Tam kamyon yükü gönderici işbirliğinde güzergah planlama ve maliyet dağıtımının eniyilenmesi

TAM KAMYON YÜKÜ GÖNDERC “BRL‡NDE GÜZERGAH PLANLAMA VE MALYET DA‡ITIMININ ENYLENMES

NHAT ÖNER

YÜKSEK LSANS TEZ ENDÜSTR MÜHENDSL‡

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

A‡USTOS 2014 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Osman ERO‡UL Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Tahir HANALO‡LU Anabilim Dal Ba³kan

NHAT ÖNER tarafndan hazrlanan TAM KAMYON YÜKÜ GÖNDERC

“BRL‡NDE GÜZERGAH PLANLAMA ve MALYET DA‡ITIMININ

ENYLENMES adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Yrd. Doç. Dr. Mustafa Alp ERTEM

Üye : Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Endüstri Mühendisli§i

Tez Dan³man : Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  A§ustos 2014

Nihat ÖNER

TAM KAMYON YÜKÜ GÖNDERC “BRL‡NDE GÜZERGAH PLANLAMA VE MALYET DA‡ITIMININ ENYLENMES

ÖZET

Tam kamyon yükü gönderici i³birli§i a§larnda; katlmclarn seçimi, kimin kimle i³birli§i yapaca§nn belirlenmesi, i³birli§inden toplam kazanmn hesaplanmas ve edinilecek kazanmlarn payla³lmas önemli problemler olarak öne çkmaktadr. Tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde kazanmlar maliyetlerin azaltlmas ³eklinde oldu§u için göndericiler en az maliyetli i³birlikli çözüm aray³ içerisindedir. Toplam maliyetin en aza indirilmesinin yannda bu maliyetin i³birli§inde katlan rmalara da§tlmas ile her rmann tasarruf miktar ortaya çkar. Maliyet da§tmnn rmalar tarafndan kabul edilebilir olmamas durumunda i³birli§inin da§lma tehlikesi vardr. Bu nedenle kabul edilebilir maliyet da§tm hesaplayan bir mekanizmaya ihtiyaç vardr. Literatürdeki çal³malarda, toplam maliyeti en küçükleyen eniyileme problemi ve en küçük maliyetin da§tm birbirini izleyen ard³k a³amalar olarak ele alnm³tr. Bu çal³mada, bugüne kadar ayr³k çal³malar olarak ele alnan; en dü³ük maliyetli i³birli§i çözümünü hesaplayan eniyileme problemi ve maliyet da§tm birle³tirilerek; kabul edilebilir maliyet da§tmna sahip en dü³ük maliyetli i³birli§ini hesaplayan kar³k tam sayl programlama formülasyonu geli³tirilmi³tir. Bu çal³mada özellikle büyük ölçekli problemlerin çözülmesini hedeeyen sütun türetmeye dayal geli³mi³ eniyileme algoritmalar tasarlanm³tr.

Anahtar Kelimeler: ³birlikçi Lojistik ve Tedarik Zinciri, Tam Sayl Eniyileme, Sütun Türetme, Maliyet Da§tm, ³birlikli Oyun Kuram.

University : TOBB University of Economics and Technology

Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Industrial Engineering

Supervisor : Asst. Prof. Gültekin KUYZU

Degree Awarded and Date : M.Sc.  AUGUST 2014

Nihat ÖNER

INTEGRATED ROUTE PLANNING AND COST ALLOCATION IN TRUCKLOAD SHIPPER COLLABORATION

ABSTRACT

In truckload shipper collaboration, a group of shippers purchasing the services of carriers come together and try to identify tours which consist of regularly scheduled shipments with minimal empty truck movements with the hope of getting better rates from the carriers in return. Determining the best set of such tours is a challenging optimization problem, the solution of which yields the set of lanes and rms to be included in the collaboration, who will collaborate with whom, and the maximum amount of savings which can be achieved. Allocation of the total calculated cost to the participating rms and individual lanes will determine the nal savings for each participating rm. If the allocated costs are not accepted by the participants, the collaboration will face the risk of collapse. In the literature, solving the optimization problem minimizing the total cost and allocating the calculated minimum cost are treated as two successive but distinct phases. In this work, we aim to merge these two phases by formulating an optimization model and develop column generation based algorithms for its solution.

Keywords: Cooperative Logistics and Supply Chain, Mixed Integer Programming, Column Generation, Cost Allocation, Cooperative Game Theory.

TE“EKKÜR

lk olarak, benim buralara gelmemde çok büyük eme§i olan anneme, babama ve karde³ime te³ekkür ederim. Tezimin ortaya çkmasnda çok büyük pay sahibi olan dan³man hocam Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU 'ya da te³ekkürü bir borç bilirim. Tez jürimde yer alan Doç. Dr. Hakan GÜLTEKN 'e ve Yrd. Doç. Dr. Mustafa Alp ERTEM 'e, ilkokuldan bu zamana kadar üzerimde eme§i olan bütün hocalarma, lisans ve yüksek lisans e§itimim boyunca destekleriyle yanmda olan tüm arkada³larma ve maddi destekleri için TÜBTAK ve okuluma te³ekkürü bir borç bilirim.

ÇNDEKLER

1 GR“ 1

2 LTERATÜR ARA“TIRMASI 7

2.1 ³birlikçi Oyun Kuram . . . 7

2.1.1 Kuramsal Çal³malar . . . 9

2.1.2 Telekomünikasyon Uygulamalar . . . 9

2.2 Lojistik ³birli§i ve Rota Kapsama Problemi . . . 9

2.2.1 Lojistik ³birli§i . . . 10

2.2.2 Rota Kapsama Problemi . . . 12

2.3 Yardmc Çal³malar . . . 16

2.3.1 Sa§laml§n Bedeli, Düzensizli§in Bedeli ve Adalet . . . 17

2.3.2 Sütun Türetme ve Dengelenmi³ Sütun Türetme . . . 19

3 PROBLEM TANIMI ve ENYLEME MODEL 21 4 GEL“TRLEN ÇÖZÜM YÖNTEMLER 27 4.1 Fiyatlandrma Problemi . . . 28

4.2 Sütun Türetme Bazl Çözüm Yöntemi . . . 31

4.2.1 Birinci Sezgisel Yöntem: Birle³tirme . . . 34

4.2.2 kinci Sezgisel Yöntem: Ekleme . . . 34

4.2.3 Üçüncü Sezgisel Yöntem: Çapraz Birle³tirme . . . 35

4.2.4 Yeni Çevrimlerin ndirgenmi³ Maliyetlerinin Hesaplanmas . . . . 35

4.3 Dengelenmi³ Sütun Türetme . . . 37

4.3.1 Parametrelerin ve Dual De§i³kenlerin Güncellenmesi . . . 40

4.3.2 Durdurma Ko³ullar . . . 43

4.4 Dal-Fiyat Yöntemi . . . 43

4.4.1 Aktif Dü§ümün Seçimi . . . 45

4.4.2 Dallandrlacak De§i³kenin Seçimi . . . 45

4.4.3 Kesme Ko³ullar . . . 47

4.4.5 Durdurma Ko³ullar . . . 47

4.5 Daha yi Maliyet Da§tmnn Bulunmas . . . 48

4.5.1 Kilometre Ba³na E³it Da§tm Metodu . . . 49

4.5.2 En Büyük-En Dü³ük Yüzde Tasarruf Metodu . . . 50

4.5.3 E³it Getiri Metodu . . . 50

4.5.4 En Dü³ük Yüzde Tasarruftan Sapma Metodu . . . 51

4.6 Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi çin yi Bir Alt Snr Bulunmas . . . 52

5 DENEYSEL ÇALI“MALAR 54

6 DE‡ERLENDRME ve GELECEK ÇALI“MALAR 79

KAYNAKLAR 82

“EKLLERN LSTES

1.1 Tez Kapsamnda Çal³lan Konularn “ematik Gösterimi . . . 6

2.1 Rota Kapsama Probleminden Elde Edilebilecek Turlar . . . 14

3.1 ki Ayrk Çevrimin Birle³tirilmesi . . . 23

4.1 Geli³tirilen Çözüm Yönteminin “ematik Gösterimi . . . 33

4.2 ki Ayrk Çevrimin Birle³tirilmesi . . . 34

4.3 Temelde Olan Bir Çevrime Bir Rota Ayrtnn Eklenmesi . . . 34

4.4 Dal-yat Yönteminin “ematik Gösterimi . . . 46

4.5 Bir Rota Ayrtnn Di§er Bir Rota Ayrtna Atanmas . . . 53

5.1 Alt Snr ve Tam Sayl Çözümün Graksel Görünümü . . . 60

5.2 Matematiksel Modellerden Elde Edilen Ortalama Yüzde Tasarruf Miktarlarnn Graksel Görünümü . . . 62

5.3 Matematiksel Modellerden Elde Edilen Yüzde Tasarruf Miktarlarnn Standart Sapmalarnn Graksel Görünümü . . . 63

TABLOLARIN LSTES

5.1 Çözdürülen Örnekler Hakknda Bilgiler . . . 55 5.2 Örneklerin Çözümünde Kullanlan Parametrelerin De§erleri . . . 56 5.3 Örneklere Göre Üretilen Çevrim Saylar, Seçilen Rota Ayrt ve Çevrim

Saylar . . . 57 5.4 Sezgisel Yöntemlerde ve Fiyatlandrma Probleminde Üretilen Çevrim

Saylar . . . 58 5.5 Her Örnek çin Sütun Türetme Bazl Çözüm Yönteminden Elde Edilen

Sonuçlar . . . 59 5.6 Geli³tirilen Modellerin simlerinin Ksaltmalar . . . 60 5.7 Seçilen Rota Ayrtlarnn Elde Ettikleri Yüzde Tasarruf Miktarlarnn

Ortalamas . . . 61 5.8 Seçilen Rota Ayrtlarnn Elde Ettikleri Yüzde Tasarruf Miktarlarnn

Standart Sapmas . . . 63 5.9 Seçilen Rota Ayrtlarnn En Yüksek Yüzde Tasarruf Miktar . . . 64 5.10 Seçilen Rota Ayrtlarnn En Dü³ük Yüzde Tasarruf Miktar . . . 65 5.11 Seçilen Rota Ayrtlarnn En Yüksek ve En Dü³ük Yüzde Tasarruf

Miktarlar Arasndaki Fark . . . 66 5.12 Seçilen Rota Ayrtlar çin Kilometre Ba³na Dü³en Maliyetlerin Ortalamas 67 5.13 Seçilen Rota Ayrtlar çin Kilometre Ba³na Dü³en Maliyetlerin Standart

Sapmas . . . 68 5.14 Seçilen Rota Ayrtlar çin En Yüksek Kilometre Ba³na Dü³en Maliyet . 69 5.15 Seçilen Rota Ayrtlar çin En Dü³ük Kilometre Ba³na Dü³en Maliyet . 70 5.16 Seçilen Rota Ayrtlar çin Kilometre Ba³na Dü³en Birim Maliyetlerin

En Yükse§i ve En Dü³ü§ü Arasndaki Fark . . . 71 5.17 Birinci Senaryo çin Yeni Tam Sayl Çözüm ile Eski Tam Sayl Çözümün

Kar³la³trlmas . . . 72 5.18 Birinci Senaryodan Elde Edilen Sonuçlar . . . 73 5.19 Birinci Senaryo çin En yi Alt Snr ile Yeni Tam Sayl Çözümün

5.20 kinci Senaryo çin Yeni Tam Sayl Çözüm ile Eski Tam Sayl Çözümün Kar³la³trlmas . . . 74 5.21 kinci Senaryodan Elde Edilen Sonuçlar . . . 75 5.22 kinci Senaryo çin En yi Alt Snr ile Yeni Tam Sayl Çözümün

Kar³la³trlmas . . . 75 5.23 Üçüncü Senaryo çin Yeni Tam Sayl Çözüm ile Eski Tam Sayl

Çözümün Kar³la³trlmas . . . 76 5.24 Üçüncü Senaryodan Elde Edilen Sonuçlar . . . 77 5.25 Üçüncü Senaryo çin En yi Alt Snr ile Yeni Tam Sayl Çözümün

ALGORTMALARIN LSTES

1 δ 'larn Güncellenmesi . . . 42 2 ε'larn Güncellenmesi . . . 43

1. GR“

Gönderici i³birli§inde, göndericiler ta³maclk hizmeti almak için ta³yc rmalarla bir araya gelerek grup halinde pazarlk yaparlar. Ta³maclk sektöründe, gerek ta³yc rmalar gerekse de gönderici rmalar kendi operasyonel faaliyetlerini nasl daha etkin ve dü³ük maliyetli yapabilirim sorularn bireysel olarak cevaplamaya çal³rlar. Ama günümüzde de§i³en rekabet ko³ullar, kaynak yetersizli§i, güvenlik sorunlar gibi etmenler yüzünden rmalar bu geleneksel yakla³mlar yerine farkl yakla³mlar aramaya ba³lam³lardr. Bu farkl yakla³mlardan biri de rmalar arasnda i³birli§i olu³turma kridir.

Tam kamyon yükü gönderici i³birli§i a§lar, üçüncü ve dördüncü parti lojistik hizmeti veren rmalarn öncülü§ünde ortaya çkm³tr. Bu rmalar göndericilere i³birli§i krini anlatm³, i³birli§i yapmak isteyen gönderici rmalar bir araya getirmi³ ve i³birli§ini olu³turmu³tur. Bu rmalar özellikle sürekli kamyon hareketlerinin bulunmas ve bunun sonucunda maliyetlerin azalmas konusunda önemli rol oynamaktadr. A.B.D. `de bulunan Transplace ve Nistevo ve Avrupa `da bulunan Schenker ve Celexor rmalar bu tarz rmalara örnektir.

Tam kamyon yükü gönderici i³birli§i ta³yc rmalar için de avantaj sa§lar. ³birli§i yapan göndericiler bo³ kamyon yükü hareketlerini azalttklar için ta³yc rmalarn maliyetleri de azalmaktadr. Turlarn düzenli tekrarlanmas sebebiyle sürücü çevrim oran azalmaktadr. Turlarn düzenli olmas nedeniyle, gönderilerinin yönetimi de kolayla³maktadr.

Tam kamyon yükü gönderici i³birli§i son yllarda ortaya çkm³ yeni bir i³birli§i türüdür. Tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde kurumlar arasnda genellikle yatay i³birli§i kullanlr. Ayn tedarik zinciri içerisinde yer alan iki veya daha fazla rmann; ayn amaca ula³mak için kendi aralarnda yaptklar i³birli§ine yatay i³birli§i denir [20]. Tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde kullanlan yatay i³birli§inin amac toplam maliyeti azaltmak oldu§u için toplam getiri miktarn en büyüklemek, toplam maliyeti en küçüklemeye e³ de§erdir. Bu nedenle, bu çal³ma kapsamnda toplam maliyetin en küçüklenmesi amaçlanm³tr.

Tam kamyon yükü gönderici i³birli§i, yatay i³birli§inin bir türü olan grup satn almadan farkldr. Grup satn almada ölçek ekonomisi kullanlrken; tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde kapsam ekonomisi kullanlr. ³birlikçilerin rotalarnn saysndan çok bu rotalarn birbirlerini ne kadar iyi tamamlad§, kazanlan fayda açsndan önemlidir.

Tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde altta yatan eniyileme modeli Rota Kapsama (Lane Covering) problemidir. Rota Kapsama Problemi; rotalarn kümesi verilmi³ iken, bütün rotalar kapsayan en dü³ük maliyetli turlarn kümesini bulma problemidir. Rota Kapsama Problemine çe³itli kstlar eklenerek, problemin farkl türleri olu³turulabilir. Örne§in, göndericilerin i³birli§i yapabilece§i rma says kstland§ durumda ortaya çkan Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi bu türlerden birisidir. Rota Kapsama Probleminin di§er türlerinden biri de, çevrimler içersinde yer alan rota ayrtlar says kstland§nda ortaya çkan Say Kstl Rota Kapsama Problemidir. Bu türlerin d³nda, çevrimlerin uzunluklar snrland§nda ortaya çkan Uzunluk Kstl Rota Kapsama Problemi de mevcuttur.

Göndericiler i³birli§i yapmak istediklerinde; hangi göndericilerin i³birli§ine dâhil edilece§i, hangi göndericilerin rotalarnn arka arkaya eklenece§i, ve olu³turulan rota birle³tirme çözümünden do§an toplam maliyetin göndericilere veya rotalara da§tlmas konularnda en iyi karar vermek zorundadr. Gerçek hayat uygulamalarnda bu kararlar i³birli§i a§nn koordinasyonunu üstlenen rma tarafndan verilmektedir.

³birli§ine dâhil edilecek göndericilerin seçimi, genelde rotalama çözümüne braklr. Burada, çok sayda ve çe³itli sektörlerden düzenli gönderi rotas bira araya getirilir. Burada amaç birbirini tamamlayan rotalar bulma olasl§n mümkün oldu§u kadar yüksek tutmaktr. Sonrasnda, toplam maliyeti en aza indirmek amacyla hangi düzenli gönderi rotalarnn arka arkaya eklenerek turlar olu³turaca§na karar verilir. Rota birle³tirme çözümünden rotalarnn hiçbiri di§er göndericilerin rotalar ile birle³tirilmeyen göndericiler i³birli§i d³nda kald§ varsaylacaktr. A§daki üye says ve hesaba katlacak rota says arttkça de§erlendirilecek muhtemel tur says üstel ³ekilde artacaktr.

Düzenli gönderi turlarndan olu³an çözümün toplam maliyetliyle rmalarn ba³langçtaki bireysel maliyetlerinin toplam arasndaki fark, i³birli§inden elde edilecek toplam maliyet kazanmn verir. Ancak, her i³birlikçi rmann kendi maliyet kazanmnn belirlenmesi için toplam maliyetin rmalara da§tlmas gerekmektedir. Maliyet da§tm, var olan yakla³mlarda rota birle³tirme çözümünü takip eden ayr bir a³amadr. Tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde cevaplanmas gereken iki temel soru vardr:

1. ³birli§inden elde edilecek toplam maliyet nasl hesaplanr?

2. ³birli§inden elde edilen toplam maliyet, göndericiler arasnda en iyi ³ekilde nasl payla³trlr?

en aza indirilmesi, i³birli§ine katlacak i³birlikçilerin seçimi ve elde edilen maliyetin i³birlikçiler arasnda payla³trlmas ayr ayr olarak de§erlendirilmektedir. Yani yukarda verilen bu iki soru, ayr ayr a³amalar olarak de§erlendirilmektedir. lk olarak, bir eniyileme modeliyle en dü³ük maliyet belirlenir. Daha sonra, çe³itli ekonomik modellerle veya matematiksel modellerle; maliyet katlmclar arasnda da§tlr

Bu iki a³amann birlikte de§erlendirilmesi; ayr ayr de§erlendirilmesine kyasla daha avantajldr. Çok a³amal bu yakla³mn en büyük dezavantaj, en küçük maliyetli çözümün bir veya birkaç i³birlikçiye daha fazla avantaj sa§lamasdr. Böyle bir durumda da, kabul edilebilir bir maliyet da§tmnn bulunmas zorla³acaktr. Bu a³amalar birlikte de§erlendirildi§inde, kabul edilebilir bir maliyet da§tmnn bulunmas daha kolay olacaktr. Ayrca, Rota Kapsama Problemlerinden do§an oyunlarda; dengeli ve bütçe dengeli maliyet da§tmlarnn bulunmas için gerekli ve yeterli ³artn; oyunu tanmlayan tam sayl modelin gev³etilmi³ çözümünün, tam sayl çözüm olmasdr. Bu tez çal³masnda, bu iki soru ayn anda de§erlendirilerek; ayn anda cevaplanmaya çal³lm³tr. Geli³tirilen bir tam sayl programlama modeli yardmyla, en dü³ük maliyetli çözümü bulmak yerine; kabul edilebilir maliyetli en dü³ük maliyetli çözüm bulunarak; hangi rota ayrtlarnn i³birli§ine dâhil edilece§ine karar verilecek ve seçilen bu rota ayrtlarna dü³en maliyet belirlenecektir.

Bu tez kapsamnda; Ortak Kstl Rota Kapsama Problemine maliyet da§tm eklenerek elde edilen, Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi dikkate alnm³tr. Literatürde daha önce çal³lmam³ kstlar içeren, amac kabul edilebilir maliyetli en dü³ük toplam maliyeti hesaplamak olan bir eniyileme modeli tanmlanm³ ve çözüm yöntemleri geli³tirilmi³tir. Daha önce ayr³k olan en dü³ük maliyetli i³birli§i çözümünü hesaplayan eniyileme problemi, maliyet da§tm ile birle³tirilerek; kabul edilebilir maliyet da§tmna sahip en dü³ük toplam maliyetli çözümü hesaplayan birle³ik eniyileme modeli geli³tirilmi³tir. Ayrca, büyük ölçekli problemlerin çözülmesine yönelik çözüm yöntemleri üzerinde çal³lm³tr.

Gönderici i³birli§inde, kabul edilebilir bir maliyet da§tmnn bulunmas; i³birli§inin sürdürülebilmesi için oldukça önemlidir. Maliyet da§tm a³amasnda sklkla i³birlikçi oyun kuramnda ba³vurulur. Bu nedenle kabul edilebilir bir maliyet da§tm geli³tirmek için i³birlikçi oyun kuramnda yer alan baz kavramlar üzerine çal³lm³tr. Bu kavramlardan bazlar, kabul edilebilir maliyet da§tmnn geli³tirilmesinde kullanlm³tr.

Bu kavramlarn d³nda, i³birli§ine dâhil edilecek rota ayrtlarnn belirli oranda yüzde tasarruf sa§lamas kst kabul edilebilir bir maliyet da§tm geli³tirilirken dikkate

alnm³tr. Ayrca, maliyet da§tmnn kabul edilebilir olmas için; seçilen rota ayrtlarnn elde ettikleri yüzde tasarruar arasndaki farkn dü³ük olmas oldukça önemlidir. Böylelikle, seçilen rota ayrtlarn elde ettikleri yüzde tasarruarn birbirlerine yakn olmas sa§lanacaktr.

Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi, çok sayda karar de§i³keni içerebilir. Rota ayrtlar saysnn artmas, üretilecek çevrimlerin saysn üstel biçimde artracaktr. Çevrim saysnn artmas, modelde yer alan karar de§i³keni saysn arttracaktr. Çünkü üretilen her çevrim, modelde yer alan bir karar de§i³kenine kar³lk gelmektedir. Çok sayda karar de§i³keni içeren matematiksel modelleri çözmek için sütun türetme (column generation) en çok kullanlan yöntemlerden biridir. Sütun türetmede karar de§i³kenlerine kar³lk gelen bütün sütunlar yerine, sütunlarn snrl saydaki alt kümelerini modele dâhil ederek gerçek modelin en iyi çözümünün bulunmas hedeenir. Sütun türetme, snrl sayda sütun üzerinden çözülür. Bu nedenle sütun türetme bazl çözüm yöntemi geli³tirilmi³tir.

Geli³tirilen sütun türetme bazl çözüm yöntemi, 10 admdan olu³maktadr. Bütün olurlu çevrimleri üretmek yerine, ba³langçta yalnzca bir boyutlu ve iki boyutlu (bir ve iki rota ayrt içeren) olas çevrimler üretilir. Daha sonra bu çevrimleri birle³tirerek negatif indirgenmi³ maliyetli yeni çevrimlerin bulunmas hedeenir. Çevrimlerin birle³tirilmesinden negatif indirgenmi³ maliyetli yeni çevrim elde edilmedi§i durumda, yatlandrma problemi çözülür. Fiyatlandrma probleminden, negatif indirgenmi³ maliyetli yeni çevrimlerin elde edilmesi amaçlanr. Fiyatlandrma problemi tam sayl programlama modeli oldu§u için, negatif indirgenmi³ maliyetli çevrim elde etmek uzun zaman alabilir. Bu nedenle yatlandrma problemi yalnzca gerekti§inde çözdürülmü³tür.

Tam sayl programlama modellerini çözmek için tek ba³na sütun türetme yöntemini kullanmak yeterli de§ildir. Bu nedenle sütun türetme bazl çözüm yöntemi d³nda problemi optimal olarak çözmek için dal-yat yöntemi geli³tirilmi³tir. Dal-yat yöntemi dal-snr ve sütun türetme yakla³mlarn bir araya getiren bir yakla³mdr. Dal-yat yöntemi kullanlmaya; sütun türetme bazl çözüm yöntemi durdu§unda ba³lanr. Sütun türetme bazl çözüm yöntemi durdu§unda, son do§rusal gev³etilmi³ çözüm ve tam sayl çözüm, dal-yat yöntemine girdi olarak alnr.

Bu problemin çözümü a³amasnda dejenere çözümlere rastlanm³tr. Yani temelde yer alan çevrim karar de§i³kenleri sfr de§erini almaktadr. Bu dejenere çözümleri azaltmak için literatürde sklkla kullanlan Dengelenmi³ Sütun Türetme (Stabilized Column Generation) yöntemi modele dâhil edilmi³tir. Dengelenmi³ sütun türetme

yönteminde, e³itlik ve e³itsizlik kstlarna snrlandrlm³ artk ve gev³ek de§i³kenler ceza maliyetleriyle eklenerek pertürbasyonun de§i³mesini sa§lanr. Bu uygulama neticesinde modelde çevrim karar de§i³kenlerini içeren kstlara, snrlandrlm³ artk ve gev³ek de§i³kenler ceza maliyetleriyle birlikte eklenmi³tir.

Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi geli³tirilen çözüm yöntemleriyle çözüldükten sonra maliyet da§tmlar arasnda dengesizlik oldu§u tespit edilmi³tir. Baz rota ayrtlar garanti edilen en dü³ük yüzde tasarrufa sahip iken bazlar oldukça yüksek yüzde tasarrufa sahiptir. Bunun tespiti için, seçilen rota ayrtlarnn sahip olduklar yüzde tasarruf miktarlarnn standart sapmasna baklmas yeterli olmu³tur.

Standart sapmann yüksek olmas, rota ayrtlarnn sahip olduklar yüzde tasarruf miktarlar arasnda farkn yüksek olmasndan kaynaklanmaktadr. Bu fark ortadan kaldrmak ve seçilen rota ayrtlarnn mümkün oldu§unca e³it yüzde tasarruf elde etmelerini sa§lamak amacyla dört yeni matematiksel model geli³tirilmi³tir. Yeni maliyet da§tm; da§tlan maliyetler, seçilen rota ayrtlar ve seçilen çevrimler üzerinden yaplacaktr. Geli³tirilen modellerin bazlar, seçilen güzergâhlarn yüzde tasarruf miktarlarn temel alrken; bazlar ise seçilen güzergâhlar için kilometre ba³na dü³en maliyetleri temel almaktadr.

Son olarak, geli³tirilen modelleri ve çözüm yöntemlerini test etmek için belirli kurallara göre rasgele 18 örnek üretilmi³tir. Geli³tirilen matematiksel modeller bu 18 örnek için, geli³tirilen çözüm yöntemler yardmyla çözdürülmü³tür. Her bir matematiksel model ve çözüm yönteminden elde edilen sonuçlar detayl olarak tablo ve grak haline getirilmi³tir. Daha sonra bu tablo ve grakler detayl olarak analiz edilmi³tir. Ayrca geli³tirilen matematiksel modeller ve çözüm yöntemleri birbirleriyle kar³la³trlm³tr. Bu tez çal³mas ³u ³ekilde organize edilmi³tir: ikinci ksmda literatürede yaplan çal³malardan, üçüncü ksmda problemin tanm ve formülasyonundan, dördüncü ksmda bu problemi çözmek için geli³tirilen çözüm yöntemlerinden ve bu çözüm yöntemi içerisinde yer alan konulardan, be³inci ksmda yaplan deneysel çal³malardan ve altnc ksmda genel de§erlendirilmelerden bahsedilmektedir. Tez kapsamnda yaplan çal³malar ³ematik olarak “ekil 1.1 'de gösterilmektedir.

Ortak Kısıtlı Rota Kapsama Problemi + Kabul Edilebilir Maliyet Dağıtımı

Maliyet Dağıtımlı Ortak Kısıtlı Rota Kapsama Problemi

Sütun Türetme Bazlı Çözüm

Yöntemi Dal-Fiyat yöntemi

Dengelenmiş Sütun Türetme Yöntemi

Daha İyi Maliyet Dağıtımının Bulunması

Maliyet Dağıtımlı Ortak Kısıtlı Rota Kapsama Problemi için Çözüm Yöntemleri

Sezgisel Çözüm Yöntemi Kesin Çözüm Yöntemi

Kabul Edilebilir Maliyet Dağıtımı için İşbirlikçi Oyun Kuramı

Deneysel Çalışmalar

2. LTERATÜR ARA“TIRMASI

Literatürde tam kamyon yükü gönderici i³birli§i üzerine yaplm³ snrl sayda çal³ma mevcuttur. Ancak literatürde, i³birlikçi oyun kuram üzerine yaplm³ çok sayda çal³ma bulunmaktadr. Bu çal³ma, hem maliyet da§tmn hem de i³birlikçi oyun kuramn içerdi§i için bu konular üzerinde literatür ara³trmas yaplm³tr. Maliyet da§tm konusu, i³birlikçi oyun kuramnda sklkla rastlanlan bir konudur. ³birlikçi oyun kuram d³nda, maliyet da§tmn ba§msz olarak ele alan çal³malar da literatürde mevcuttur.

Tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde sklkla kar³la³lan i³birli§i türü yatay i³birli§idir. Yatay i³birli§i, ayn sektörde faaliyet gösteren rmalarn kendi aralarnda yaptklar i³birli§i türüdür. Bu çal³mada, rmalar arasnda yatay i³birli§i oldu§u için hem yatay i³birli§i hakknda hem de lojistik i³birli§i hakknda ara³trma yaplm³tr. Lojistik i³birli§inde, i³birlikçi oyun kuramnda yer alan baz kavramlar ele alnmaktadr. Bu konular d³nda, teze katk sa§layaca§ inanlan ba³ka konular da dikkate alnm³tr. Bu bölümde literatürde yaplan çal³malar üç ba³lk altnda incelenecektir. Bunlar srasyla; i³birlikçi oyun kuram ve maliyet da§tm, yatay i³birli§i ve yardmc çal³malardr.

2.1 ³birlikçi Oyun Kuram

³birlikçi oyun kuram üzerine yaplan çal³malar 1970 'lere kadar dayanmaktadr. ³birlikçi oyun kuramnda, hem maliyet da§tmyla ilgili mekanizmalar hem de özellikler yer almaktadr. Maliyet da§tm mekanizmalar, i³birli§inden elde edilen maliyetin payda³lar arasnda nasl etkin da§tlaca§n ele alr. Öncelikle i³birli§inden kaynaklanan toplam maliyet hesaplanr. Daha sonra bu maliyetin i³birli§ine katlan oyunculara veya katlmclara nasl da§tlaca§na karar verilir. Bu a³amalar için önerilmi³ çe³itli mekanizmalar ve senaryolar vardr. Bu ksmda, öncelikle i³birlikçi oyun kuramnda yer alan baz iyi bilinen kavramlardan bahsedilecektir. Daha sonra bu kavramlarn bahsedildi§i çal³malara de§inilecektir.

Kabul edilebilir bir maliyet da§tm bulmak için sklkla, i³birlikçi oyun kuramnda kullanlan kavramlara ba³vurulur. ³birlikçi oyun kuram, bencil oyuncularn faydalarn artrmak için bireysel olarak hareket etmek yerine; ba³ka oyuncularla ortak hareket etti§i durumlar ele alr. ³birlikçi oyun kuramnda, i³birli§inden elde edilen ortak kazanmn veya maliyetin oyuncular arasnda payla³trlmas gerekir. ³birli§inden elde edilen

kazanmn veya maliyetin oyuncular arasnda da§tlmasnda, i³birlikçi oyun kuramnda kullanlan baz kavramlardan yararlanlabilir.

E§er bir maliyet da§tmnda, i³birli§inden elde edilen toplam maliyet; oyunculara da§tlan toplam maliyete e³it ise bu maliyet da§tmna bütçe dengeli (budget balanced) maliyet da§tm denir. E§er her oyuncuya dü³en maliyet, kendi bireysel maliyetlerinden dü³ük veya e³it ise böyle bir maliyet da§tmna bireysel rasyonel (individual rationality) maliyet da§tm denir. Grup stratejisine dayankl (group-strategyproof ) veya sa§lam (stable) bir maliyet da§tmnda, hiçbir oyuncu büyük koalisyondan kopup; bir alt koalisyon olu³turarak mevcut faydasn arttramaz. Bu kavram i³birli§ini bir arada tutan en önemli kavramdr. ³birli§inin sa§lkl biçimde sürdürülebilmesini sa§lar. Bütçe dengeli ve sa§lam maliyet da§tmlarnn olu³turdu§u kümeye oyunun çekirde§i (core) denir. Bir oyunun çekirde§i bo³ olabilir.

Çekirdekte tek bir tane maliyet da§tm olmak zorunda de§ildir. Birden fazla maliyet da§tm bulunabilir. Böyle bir durumda, baz maliyet da§tmlar bazlarna göre daha tercih edilebilir olabilir. Schmeidler tarafndan tanmlanan çekirdekçik (nucleolus) böyle maliyet da§tmlardan biridir. Çekirdekçik, bütün koalisyonlar üzerinden en dü³ük fayday sözlüksel biçimde en büyüklemeye çal³r. E§er çekirdek bo³ de§ilse, çekirdekçik vardr. Çekirde§in bo³ olmas durumunda da çekirdekçik var olabilir.

³birli§i kurulduktan sonra i³birli§ine dâhil olmak isteyen yeni oyuncular olabilir. Yeni oyuncular i³birli§ine dâhil edildikten sonra, mevcut oyuncularn faydalarnn olumsuz yönde etkilenmemesi gerekir. Bu durumun önüne geçmek için çapraz monotonik (cross monotonic) özelli§i kullanlabilir. Çapraz monotonik bir maliyet da§tm yeni oyuncularn i³birli§ine dâhil edilmesi durumunda; mevcut oyuncularn faydalarnn olumsuz yönde etkilenmeyece§ini garanti eder. Çapraz monotonik bir maliyet da§tm bütçe dengesi özelli§ini sa§larsa ayn zamanda grup stratejisine dayankldr. Bütün bu özelliklerin ayn anda sa§lanmas çok zor olabilir. Bu durumda baz özelliklerde gev³etme yoluna gidilebilir.

³birlikçi oyun kuramnda sklkla kar³la³lan maliyet da§tmlarndan biri de Shapley de§eridir (Shapley Value). Shapley de§eri, her oyuncunun alt koalisyonlara ayr ayr yapt§ marjinal katksnn a§rlkl ortalamasdr. Ba³ka bir deyi³le, i³birli§inin teker teker kurulmas halinde her oyuncunun i³birli§ine yapt§ ortalama katkdr. E³it olanlara e³it davran (equal treatment of equals) özelli§inde ise, her açdan ayn olan iki oyuncuya ayn maliyet atanr. Ayn maliyete sahip olan oyuncular, ayn oyuncu olmak zorunda de§ildir. E§er bir oyuncu i³birli§ine dâhil edildi§inde, herhangi bir maliyet art³ sa§lamyorsa; o oyuncuya yapay oyuncu (dummy player) denir.

³birlikçi oyun kuramnn kullanm alan oldukça geni³tir. Telekomünikasyon uygulamalarnda dahi kullanlabilir. Bu ksmda i³birlikçi oyun kuram üzerine yaplan çal³malar ikiye ayrlacaktr.

2.1.1 Kuramsal Çal³malar

Young [41] i³birlikçi oyun kuramnda yer alan; etkinlik, toplam tekdüzelik, koalisyonlu tekdüzelik, güçlü tekdüzelik, simetri aksiyomu, kukla aksiyomu ve toplanabilirlik aksiyomu gibi kavramlar açklam³lardr. Ayrca yine i³birlikçi oyun kuramnda yer alan; e³itlikçi kural, Shapley de§eri ve çekirdekçik gibi maliyet da§tm mekanizmalarn tanmlam³lardr. Ayrca yukarda verilen özellikleri sa§layan ve sa§lamayan baz da§tm mekanizmalar geli³tirmi³lerdir.

Aumann ve Dreze [7] koalisyon yapl i³birlikçi oyun kuram üzerine çal³m³lardr. ³birlikçi oyun kuramnda yer alan baz iyi bilinen kavramlar çekirdekçik, Shapley de§eri, çekirdek, on Neumann-Morgen-Stern çözümü ve iyi bilinen özellikleri e³it olana e³it davran, bo³ oyuncu, üst toplamsal tanmlam³lardr.

2.1.2 Telekomünikasyon Uygulamalar

Bogomolnaia vd. [16] bir ileti³im a§n dikkate alm³lardr. En büyük maliyetli kapsar a§ac, i³birlikçi oyun kuramnda yer alan baz iyi bilinen kavramlar çekirdek, dengelilik, tekdüzelik ve süreklilik tanmlam³lardr. Bu özellikleri kullanarak çe³itli maliyet da§tm mekanizmalar geli³tirmi³lerdir.

Johari vd. [33] bir a§ formasyon oyununu dikkate alm³lardr. Bu çal³mada her bir dü§üm bir oyuncuya kar³lk gelmektedir. Her dü§üm, di§er bir dü§üme ürün göndermektedir. Dü§ümler arasnda direk ba§lantlar ve bu ba§lantlarn dengelili§i üzerine çal³m³lardr. Mümkün ba§lantlar üzerindeki dengeli ba§lantlar tanmlam³lar ve ba§lantnn dengeli olabilmesi için gerekli üç ko³ul geli³tirmi³lerdir.

2.2 Lojistik ³birli§i ve Rota Kapsama Problemi

Bu ba³lk altnda, hem kurumlar aras yatay i³birli§iyle alakal yaplan çal³malardan hem de lojistik i³birli§i üzerine yaplan çal³malardan ve Rota Kapsama Problemi ve türlerinden bahsedilecektir. Kurumlar aras yatay i³birli§i, literatürde kullanlan dört i³birli§i türünden birisidir. Di§erleri, kurum içi dikey, kurum içi yatay ve kurumlar aras

dikey i³birlidir [20]. Kurum içi dikey i³birli§inde kurum tedarik zinciri içerisinde farkl görevleri olan birimler arasnda koordinasyonu amaçlar. Kurum içi yatay i³birli§inde, ayn i³levi gören birimler koordineli hareket eder veya bu birimler tek bir birim altnda birle³tirilir. Kurumlar aras dikey i³birli§inde ise ayn tedarik zinciri içerisindeki farkl ve ba§msz kurumlar kar³lkl menafaatleri do§rultusunda ortak kararlar alrlar. Bu i³birli§i türleri, çal³ma kapsamnda yer almad§ için detayl ³ekilde de§inilmeyecektir. Bu ba³lk altnda ayrca maliyet da§tm mekanizmalaryla ilgili önerilmi³ çözüm yöntemlerinden, yakla³mlardan ve çe³itli senaryolardan bahsedilecektir.

Lojistik i³birli§i üzerine yaplan çal³malar oldukça geni³tir. Bu çal³malar içerisinde i³birlikçi oyun kuramn içeren birçok çal³ma da mevcuttur. Yukarda "³birlikçi Oyun Kuram" ba³l§nda verilen çal³malardan farkl olarak; bu ksmda verilen çal³malarda yalnzca i³birlikçi oyun kuram de§il lojistik i³birli§inden de bahsedilmektedir. Tam kamyon yükü i³ birli§inde altta yatan eniyileme modeli, Rota Kapsama Problemi oldu§u için; bu problem ve türleri hakknda yaplan çal³malardan ve bu problemlerden bahsedilecektir.

2.2.1 Lojistik ³birli§i

Frisk vd. [32] sveç`te yer alan sekiz orman rmas arasndaki i³birli§i üzerine çal³m³lardr. Toplam kazanmn veya maliyetin i³birli§inden nasl elde edilece§ine ve bu maliyetin veya kazanmn rmalar arasnda nasl da§tlaca§na odaklanm³lardr. ³birlikçi oyun kuramnda yer alan ve iyi bilinen baz da§tm mekanizmalar Shapley de§eri, çekirdekçik, da§tlabilir ve da§tlamaz maliyetlere dayal da§tm, gölge yatlara dayal da§tm, hacim a§rlklarna dayal da§tm tanmlam³lardr. Ayrca E³it Getiri Metodu (Equal Prot Method) adn verdikleri yeni bir maliyet da§tm metodu geli³tirmi³lerdir. Bu metot, toplam maliyeti veya kazanm payda³lar arasnda mümkün oldu§unca e³it ³ekilde da§tmay amaçlar. Sekiz orman i³letmesiyle birlikte bir vaka çal³mas gerçekle³tirmi³lerdir. Bu vaka çal³masndan elde ettikleri sonuçlar bu metotlarla kar³la³trm³lardr.

Le Blanc vd. [34] perakendeci da§tmda yer alan Fabrika Kaps Fiyatlandrmas (Factory Gate Pricing) konusu üzerine çal³m³lardr. Fabrika Kaps Fiyatlandrmas `da, ürünler perakendeciler tarafndan; üreticinin kapsndan alnarak, da§tm merkezine ta³nr. Perakendecinin tedarik zinciri; birincil da§tm ve ikinci da§tm olmak üzere iki ksma ayrlm³tr. Fabrika Kaps Fiyatlandrmas `nn potansiyelini de§erlendirmek için yedi farkl lojistik senaryosu geli³tirmi³lerdir. Birinci, ikinci ve üçüncü senaryo, göndericilerin temel nakliyeyi kontrol ettikleri geleneksel senaryodur.

Di§er senaryolar ise, perakendecinin temel nakliyeyi kontrol ettikleri yeni senaryodur. Cruijssen vd. [22] nakliye ve lojistikte yer alan yatay i³birli§i üzerine bir literatür incelemesi yapm³lardr. ³birli§i ve ortaklk arasndaki farkllktan bahsetmi³lerdir. Yatay i³birli§ini üç kategoriye ayrm³lar ve bunlar tanmlam³lardr. Bu kategoriler bütünle³menin seviyesi, merkezile³me ve faaliyet alan ve yo§unluktur. Deniz ta³macl§nda ve havaclkta yer alan baz örneklerden bahsetmi³lerdir. Ayrca yatay i³birli§inin faydalarndan, engellerinden ve tehditlerinden ve yardmclarndan bahsetmi³lerdir. Yatay i³birli§inin faydalar olarak maliyet ve verimlilik sralanabilir. Engelleri ve tehditleri olarak; ortaklar, kazanmn belirlenmesi ve da§tlmas, pazarlklar ve koordinasyon olarak gösterilebilir. Yardmclar olarak da; bilgi payla³m, ili³ki ve sözle³me yönetimi ve bilgi teknolojisi gösterilmektedir.

Cruijssen vd. [23] yatay i³birli§i hakknda kir sahibi olabilmek için geni³ kapsaml bir anket çal³mas gerçekle³tirmi³lerdir. Yedi hipotez olu³turmu³lardr. Birinci ve ikinci hipotez rma büyüklü§üyle ilgilidir. Üçüncü, dördüncü ve be³inci hipotez, kamyon rmasnn kapsam ile yatay i³birli§i arasndaki ili³kiyle ilgilidir. Altnc ve yedinci hipotez ise, rmann etkinlik seviyesiyle ilgilidir. Altnc ve yedinci hipotezi test etmek için; yarglarn, frsatlar ve tehditler olarak iki kategoriye ayrm³lardr. Katlmclar ise, i³birlikçi-i³birlikçi olmayan, ilgili-ilgili olmayan ve tam yetkili-kstl yetkili olarak snandrm³lardr. Daha sonra, geli³tirdikleri bu hipotezleri test etmi³lerdir.

Audy vd. [5], Kanadal mobilya üreticileri arasndaki nakliye koordinasyonu üzerine çal³m³lardr. Servis sa§layclar için be³ farkl lojistik senaryosu olu³turmu³lardr. ³birli§inden elde edilen maliyet rmalar arasnda nasl da§tlacak? sorusunu cevaplamaya çal³m³lardr. Bunun için bir do§rusal matematiksel model geli³tirmi³lerdir. Geli³tirdikleri bu matematiksel model Firsk vd. [32] 'nin geli³tirdi§i matematiksel modelin de§i³tirilmi³ halidir. Bu model dengeli bir da§tm bulmay amaçlamaktadr. Daha sonra, özel gereksinimlerin olmas durumunda maliyet da§tmn nasl olaca§ üzerine çal³m³lardr.

Audy vd. [6] ³u üç soru üzerine yo§unla³m³lardr: ³birli§inden elde edilecek kazanm nasl hesaplanacak?, Bu kazanm rmalar arasnda nasl payla³trlacak? ve son olarak Firmalar arasnda i³birli§i nasl kurulacak. Firmalar arasnda Lider Firma ve Lider Olmayan Firma snandrmalar yapm³lardr. Dört farkl kazanm payla³trma kural geli³tirmi³lerdir. Daha sonra, sveç`te yer alan sekiz orman i³letmesiyle birlikte vaka çal³mas gerçekle³tirmi³lerdir.

Audy vd. [3], rmalar aras ili³kinin nasl kurulmas ve yönetilmesi gerekti§i üzerine çal³m³lardr. ³birli§inin amac, lojistik aktiviteleri, i³birli§i seviyesi, i³birli§i

formlar, ortak seçimi, sorumluluklarn tanmlanmas, i³birli§inin lideri ve i³birli§inin faydalar gibi kavramlar tanmlam³lardr. Ayrca be³ farkl koordinasyon mekanizmas olu³turmu³lardr.

Audy vd. [4] lojistik aktiviteleri için koordinasyon mekanizmalarn dikkate alm³lardr. ³birli§inin üç boyutundan bahsetmi³lerdir. Bunlar yatay, dikey ve yanal boyutlar olarak tarif edilmi³tir. Dikkate aldklar her koordinasyon mekanizmasnda, farkl amaç fonksiyonlaryla birlikte bir eniyileme problemi çözülür.

Cruijssen vd. [24] göndericiler ta³ma maliyetlerini azaltmak için d³ardan kaynak kullanabilece§ini vurgulam³lardr. Göndericiler yerine lojistik aktivitelerini gerçekle³tirebilecek Lojistik Servis Sa§laycs kavramn tanmlam³lardr. Kazanmn payla³trlmas için baz kurallar önermi³lerdir. Üç adml bir prosedür geli³tirmi³lerdir. Bunlar; hedef grubun seçimi, maliyet azaltlmas ve pazarlktr. Shapley tek düze yolunu ve rasyonel Shapley tek düze yolunu tanmlam³lardr.

2.2.2 Rota Kapsama Problemi

Ergun vd. [28] varlklarn yeniden konumlandrma maliyetlerini en küçükleyen turlarn kümesini bulmaya çal³m³lardr. Rota Kapsama Problemini tanmlam³lardr. Say Kstl Rota Kapsama Problemi ve Uzunluk Kstl Rota Kapsama Problemi üzerine de çal³m³lardr. Bu problemlerin NP-Zor oldu§unu göstermi³lerdir. Say Kstl Rota Kapsama Problemini, Küme Kapsama Problemi olarak formüle edip, bir açgözlü algoritma önermi³lerdir.

Ergun vd. [29] kamyon hareketlerinin süreklili§ini sa§lan turlarn bulunmas amacyla i³birli§inin kurulmasn amaçlam³lardr. Zaman Kstl Rota Kapsama Problemi üzerine çal³m³lardr. Verilen bir rota kümesi için, turlarn toplam süresini en küçükleyen turlarn kümesini bulmaya çal³m³lardr. Zaman Kstl Rota Kapsama Problemi için, çözüm yakla³mlar vermi³lerdir. Ayrca, saysal örneklerle bu yakla³mlar kar³la³trm³lardr.

Ergun ve Özener [30] gönderici i³birlikçi oyunlar dikkate alm³lardr. Rotalar kapsamann toplam maliyetini en küçükleyen en iyi turlar bulmay amaçlam³lardr. Rotalar kapsamann maliyeti, orijinal rota maliyetlerinden ve varlarn yeniden konumlandrlmasnn maliyetlerinden olu³maktadr. Maliyet hesaplandktan sonra, hesaplanan bu maliyet oyuncular arasnda da§tlmaya çal³lr. Bu çal³mada oyuncular göndericiler de§il, rotalardr. ³birlikçi oyun kuramnda yer alan baz iyi bilinen özellikleri tanmlam³lardr. Bunlar; etkinlik, dengelilik, çapraz monotonik, e³it

olanlara e³it davran ve yapay oyuncudur. Bu özellikleri sa§layan baz maliyet da§tm mekanizmalar vermi³lerdir. Dengeli bir maliyet da§tmnn, do§rusal problemin dualinin en iyi çözümünden elde edilebilece§i gösterilmi³tir. Ayrca, baz bilinen özeliklerin ayn anda sa§lanmasnn mümkün olmad§ vurgulanm³tr. Etkinlik ve dengelilik özelliklerinde gev³etmeye gidilmi³tir. En dü³ük borçluluk maliyet da§tm ve pozitif faydal maliyet da§tm mekanizmalar geli³tirmi³lerdir.

Daha öncede belirtildi§i gibi, tam kamyon yükü gönderici i³birli§inde altta yatan eniyileme modeli Rota Kapsama Problemidir. Bu a³amada, Rota Kapsama Problemi ve Rota Kapsama Probleminin farkl türleri hakknda bilgi verilecektir.

Rota Kapsama Problemi sözel bir ifadeyle; rotalarn kümesi verilmi³ iken bütün rotalar kapsayan en dü³ük maliyetli turlarn kümesini bulma problemidir. Rota Kapsama Problemi, matematiksel bir ifadeyle; yönlü bir Öklid çizgesi G = (N, A), N tane dü§üm, A tane ayrt ve fa(a ∈ A) ayrtlarn maliyetleri ile tanmlanan ³ebeke ve bu ³ebekede düzenli gönderileri temsil eden bir alt kümesini (L ⊆ A) kapsayan ve toplam maliyeti en küçükleyen çevrimleri bulma problemi olarak tanmlanabilir.

Rota Kapsama Probleminde kullanlan çevrimler üzerine kstlar konuldu§unda, ortaya çkan problemleri çözmek oldukça zordur. Örne§in, çevrimlerin içerisinde yer alan rota ayrtlar üzerine say kst konuldu§unda ortaya çkan, say Kstl Rota Kapsama Problemi; çevrim uzunlu§uyla ilgili bir kst konuldu§unda ortaya çkan, Uzunluk Kstl Rota Kapsama Problemi ve çevrimler üzerine konulan zaman pencerisi kstlaryla ortaya çkan Zaman Kstl Rota Kapsama Problemi NP-Zor problemlerdir.

Rota Kapsama Problemi, Küme Bölmeleme Problemi (Set Partitioning Problem) olarak ifade edilebilir. (l ∈ L) rota ayrtlarn ve (c ∈ C) olurlu çevrimlerini belirtsin. (slc) bir rota ayrtnn bir çevrim içerisinde oldu§unu gösteren parametre ve (fc) parametresi ise her (c ∈ C) için olurlu çevrimlerin maliyetlerini göstersin. (xc) ise bir çevrimin seçilip seçilmedi§ini gösteren ikili karar de§i³keni olsun. Bu durumda küme bölmeleme formülasyonu a³a§daki ³ekilde ifade edilebilir.

Min X c∈C fcxc (2.1) S.t. X c∈C slcxc= 1 ∀l ∈ L (2.2) xc∈ {0, 1} ∀c ∈ C (2.3)

Rota Kapsama Probleminden elde edilebilecek turlarn nasl olaca§ “ekil 2.1 'de gösterilmektedir.

Rota

Boş Kamyon Yükü

“ekil 2.1: Rota Kapsama Probleminden Elde Edilebilecek Turlar

2.2.2.1 Ortak Kstl Rota Kaplama Problemi

Yukarda verilen kstlarn haricinde, gerçek hayatta kullanlan birçok kst Rota Kapsama Problemine dâhil edilebilir. Bunlardan biri de gönderici rmalarn i³birli§i yapabilece§i rma saysn kstlamaktr. Bu durumda ortaya çkan problem Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi olarak adlandrlr.

Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi de NP-Zor bir problemdir. E§er Ortak Kstl Rota Kapsama Probleminde, her rmann yalnzca bir rota ayrt bulunursa; bu durumda problem Say Kstl Rota Kapsama Problemine dönü³ür. Yani, Say Kstl Rota Kapsama Problemi; Ortak Kstl Rota Kapsama Probleminin özel bir durumudur ve Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi en az Say Kstl Rota Kapsama Problemi kadar zor bir problemdir. Say Kstl Rota Kapsama Problemi NP-Zor bir problem oldu§u için, Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi de NP-Zor bir problemdir.

Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi matematiksel olarak ifade edilecek olursa; yönlü bir Öklid çizgesi G = (N, A), N tane dü§üm, A tane ayrt ve fa(a ∈ A) ayrtlarn maliyetleri ile tanmlana ³ebeke ve her rmaya ait rota ayrtlarn temsil eden rota ayrtlarnn kümesi Li ⊆ A, i ∈ P verildi§inde rota ayrtlar kümesini kapsayan en fazla ki tanesinden rota ayrt içeren ve toplam maliyeti en küçükleyen çevrimleri bulma problemi olarak tanmlanabilir.

Bu çal³mada, ayrt kavram bo³ kamyon yükü hareketini temsil etmektedir. Ortak Kstl Rota Kapsama Problemini ifade etmek için daha fazla parametreye, karar de§i³kenine ve ksta ihtiyaç vardr. Problemde kullanlanan kümeler, parametreler ve karar de§i³kenleri a³a§da tanmlanm³tr.

Kümeler

N : Dü§ümlerin kümesi. A : Ayrtlarn kümesi. L : Rota ayrtlarnn kümesi.

P : ³birli§ine aday rmalarn kümesi.

Li : i ∈ P rmasna ait rota ayrtlarnn kümesi. C : Bütün olas çevrimlerin kümesi.

Parametreler

fc: c ∈ C çevriminin maliyeti.

ki: i ∈ P rmasnn i³birli§i yapabilece§i maksimum rma says. Mij = min {|Li|, |Lj|}; ∀{i, j} ⊆ P .

slc = (

1; E§er l ∈ L rota ayrt, c ∈ C çevrimi içerisindeyse. 0; Di§er durumda.

pcij = (

1; E§er i ∈ P rmas ve j ∈ P − {i} rmas c ∈ C çevrimi içerisindeyse. 0; Di§er durumda.

Karar De§i³kenleri

ul = (

1; E§er l ∈ L rota ayrt seçilmemi³se. 0; Di§er durumda.

xc = (

1; E§er c ∈ C çevrimi seçilmi³se. 0; Di§er durumda.

yij = (

1; E§er i ∈ P rmas, j ∈ P − {i} rmasyla i³birli§i yapm³sa. 0; Di§er durumda.

Min X c∈C fcxc (2.4) S.t. X c∈C slcxc= (1 − ul) ∀l ∈ L (2.5) X c∈C pcijxc≤ Mijyij ∀{i, j} ⊆ P (2.6) X c∈C pcijxc≥ yij ∀{i, j} ⊆ P (2.7) X j∈P −{i} yij ≤ ki ∀i ∈ P (2.8) xc∈ {0, 1} ∀c ∈ C (2.9) ul ∈ {0, 1} ∀l ∈ L (2.10) yij ∈ {0, 1} ∀{i, j} ⊆ P (2.11)

2.3 Yardmc Çal³malar

Bu ksmda, tez kapsamnda de§inilen di§er konular hakknda yaplan çal³malardan bahsedilecektir. Dengeli bir maliyet da§tmn bulunmas oldukça zor ve zaman alcdr. Bu nedenle, tez kapsamnda dengeli bir maliyet da§tm aranmam³tr. Ancak, literatürde, maliyet da§tmnn dengelili§ini ölçen baz kavramlar mevcuttur. Bunlardan en önemlisi sa§laml§n bedeli (price of stability) ve düzensizli§in bedelidir (price of anarchy).

Sa§laml§n bedeli, sistemin olabilicek en iyi durumu ile sa§lamlk durumu arasndaki maliyet orandr. Düzensizli§in bedeli ise, sistemin olabilecek en iyi durumu ile düzensizlik durumu arasndaki maliyet orandr. Bu ksmda sa§laml§n bedeli, düzensizli§in bedeli ve adalet üzerine yaplan çal³malardan bahsedilecektir.

Ayrca, bu ba³lk altnda; problemin çözümü esnasnda kar³la³lan dejenere çözümlerin çoklu§unu azaltmak için literatürde kullanlan Dengelenmi³ Sütun Türetme yönteminden ve "Sütun Türetme" yakla³mlarndan da bahsedilecektir.

2.3.1 Sa§laml§n Bedeli, Düzensizli§in Bedeli ve Adalet

Banchrach vd. [8] oyunlar dengeli hale getirmek için minimum harici ödemeyi tanmlam³lardr. Minimum harici ödeme, sa§laml§n bedelini i³aret etmektedir. Oyunun çekirde§i bo³ oldu§unda, oyunculara d³sal bir ödeme teklif edilerek; dengeli bir koalisyon buluna bilece§inden bahsedilmi³tir. Ayrca, koalisyon oyunlarnn özel bir türü olan ayarlanm³ koalisyon oyununu tanmlam³lardr. Ayarlanm³ koalisyon oyunlarnda sa§laml§n bedelini tanmlam³lardr.

Bertsimas vd. [15] etkinlik ve adalet arasndaki ödünle³im üzerine çal³m³lardr. Ça§r merkezi, sa§lk hizmetlerinin çizelgelenmesi, hava tra§i kontrolü ve kadavra organlarnn da§tlmasnda yer alan kaynak da§tm üzerine örnekler vermi³lerdir. Toplam fayday en büyüklemeye çal³an fayda ölçütü tanmlam³lardr. Adaletin bedelini tanmlam³lardr. Adaletin bedeli ve sa§laml§n bedeli için en kötü durum örnekleri vermi³lerdir. Ayrca, hava tra§i ak³ yönetimi üzerine bir vaka çal³mas gerçekle³tirmi³lerdir.

Anshelevich vd. [2] yönlü çizge a§ tasarm oyunlarn dikkate alm³lardr. Nash dengesi, sa§laml§n bedeli ve düzensizli§in bedeli gibi kavramlar tanmlam³lardr. yi bir Nash dengesinin en iyi cevap dinami§iyle ba³arlabilece§ini göstermi³lerdir. Nash dengesi (Nash Equilibrium), her bir oyuncunun kar³sndaki oyuncunun seçene§ine kar³ verdi§i en iyi yanttr. 1950 ylnda John Nash tarafndan ortaya atlm³tr.

Chung vd. [19] yönsüz a§ tasarm için sa§laml§n bedeli üzerine çal³m³lardr. Bu çal³ma, Anshelevich vd. [2] 'nin yapt§ çal³mann farkl bir türüdür. Hatrlanaca§ üzere, Anshelevich vd. [2] tek yönlü a§ tasarm için sa§laml§n bedeli üzerine çal³m³lardr. ki ve üç oyunculu a§ tasarm oyunlarnda, sa§laml§n bedeli için snrlar tanmlam³lardr.

Feldman ve Tamir [31] görevlerin kaynaklara atanmasnda yer alan kaynak atama uygulamalar üzerine çal³m³lardr. Kaynak aktivasyon maliyetinin kullanclar arasnda e³it bir ³ekilde da§tld§nda, saf Nash dengesinin var olmayabilece§ini göstermi³lerdir. Sa§laml§n bedelini ve düzensizli§in bedelini tanmlam³lardr. Saf Nash dengesine yaknsamak için, en iyi cevap dinami§ini kullanm³lardr.

Chen ve Zhang [17] ileti³im a§ problemleri için, yat mekanizmalarnn tasarm üzerine çal³m³lardr. Yeniden ölçeklendirme, zayf tutarllk, toplabilirlik ve pozitiik aksiyomlarn tanmlam³lardr. Geli³tirdikleri aday mekanizmalar, bu aksiyomlarla karakterize edilmektedir. Ademi merkezi sistemi tanmlam³lardr. Kullanclarn kararlarnn bilinmedi§i durumda, düzensizli§in bedeli üzerinde çal³m³lardr.

Correa vd. [21] bir a§da en büyük gecikmeli ak³, en küçükleyen problem üzerine çal³m³lardr. En büyük gecikmeyi en küçükleyen olurlu bir ak³, en küçük-en büyük ak³ olarak isimlendirmi³lerdir. Dört farkl amaç fonksiyonu kullanm³lardr. Bunlar, en büyük gecikme, ortama geçikme, adaletsizlik ve en büyük gecikmeyi en küçüklemektir. Ayrca, en büyük ak³l amaç için, düzensizli§in bedeline snrlar önermi³lerdir.

Chen ve Gürel [18] yük dengeleme modeli ve maliyet da§tm modeli üzerine çal³m³lardr. Bu problemler için, sa§laml§n bedelini ve düzensizli§in bedelini tanmlam³lardr. Sa§laml§n bedeli ve düzensizli§in bedeliyle birlikte saf Nash dengesini de§erlendirmi³lerdir.

Resnick vd. [38] sa§laml§n bedelini, oyunlar sa§lamla³tran minimum ödeme olarak tanmlam³lardr. Ayrca, e³ik a§ ak³ oyunlarnda, sa§laml§n bedeli üzerine çal³m³lardr. Sa§laml§n bedeli için, snr ve yakla³m vermi³lerdir.

Barnhart vd. [10] trak ak³ yönetim programlar üzerine çal³m³lardr. Adalet metri§i geli³tirmi³lerdir. Daha sonra, bu metri§i en küçükleyecek bir tam sayl programlama formulasyonu geli³tirmi³lerdir.

Bertsimas vd. [11] böbrek naklinde, organ da§tmndaki adalet üzerine çal³m³lardr. Böbrek da§tmyla ve da§tm politikalaryla ilgili baz prosedürlerden bahsetmi³lerdir. Böbrek da§tm prosedürünün tasarmn zor olabilece§i vurgulanm³tr. Üç a³amal bir da§tm politikas geli³tirmi³lerdir. lk a³amada, bir e³le³tirme problemi tanmlanr. kinci a³amada, e³lenik (dual) bilgileri tanmlanr. Üçüncü a³amada ise, yakla³k dinamik programlama tanmlanr. Geli³tirilen modelle amaçlanan, nakilden sonraki ya³am yln en büyüklemektir. Bununla ilgili, dört gerçekçi durum çal³mas gerçekle³tirmi³tir.

Bertsimas vd. [13] kaynak da§tm problemleriyle ilgilenmi³lerdir. Kabul edilebilir kavramlar olan, oransal adalet ve en büyük-en küçük adalet kavramlarn dikkate alm³lardr. Bertimas vd. [11] `de oldu§u gibi faydal ve adil çözüm için formülasyon vermi³lerdir. Literatürde iyi bilinen baz adalet yakla³mlarnn Aristo `nun e³itlik prensibi, klasik faydaclk, Kalai-Smorodinsky ve Nash standartlar tanmlarn vermi³lerdir. ki oyunculu bir problem için oransal adaleti, Nash çözümünün genelle³tirilmi³ hali olarak tanmlam³lardr. Oransal adalet ve en büyük-en küçük adalet altnda, adaletin sa§laml§n tanmlam³lar ve adaletin sa§laml§ için snr belirlemi³lerdir. leti³im a§lar için bant geni³li§i da§tm problem üzerine çal³m³lardr. Cui vd. [25] adalet ve kanal koordinasyonu üzerine çal³m³lardr. Bir perakendecili ve bir üreticili kanal yapsnda, üreticinin ve perakendecinin tarafsz oldu§u durumda

kararlarnn nasl olaca§ gösterilmi³tir. lk önce, perakendecinin tarafsz olmas durumunda perakendecinin kararn formülüze etmi³lerdir. Daha sonra, üreticinin tarafsz olmas durumunda üreticinin kararn formülüze etmi³lerdir. Son olarak da her ikisinin de tarafsz oldu§u durumu ele alarak, kararlarn analiz etmi³lerdir.

Bertsimas vd. [12] hava tra§i ak³ yönetimi üzerine çal³m³lardr. Literatürde bu konuda yaplm³ olan birçok çal³ma olmasna ra§men; birço§unun uygulanabilir olmad§ndan bahsetmi³lerdir. ki önemli kavram olan geçi³ ve geri dönü³ kavramlarn açklam³lardr. Daha sonra, farkl amaç fonksiyonlarna sahip ayrk en iyileme modelleri geli³tirmi³lerdir. Bunlardan ilki, toplam geçi³ miktarn en küçüklemek; ikincisi ise toplam geri dönü³ miktarn en küçüklemektedir.

Bertsimas vd. [14] hava tra§i ak³ yönetimi için yeni bir tam sayl program önermi³lerdir. Bu çal³ma, Bertimas vd. [10] yapt§ çal³mann farkl bir türüdür. Bu çal³madan farkl olarak, üç farkl kst önerilen modele dâhil edilmi³tir.

Leus ve Herroelen [35] proje planlamasnda kaynaklarn da§tlmas ve dengelenmesi üzerine çal³m³lardr. Bir kaynak atama modeli önermi³lerdir. Ayrca önerdikleri bu modeli çözmek için dal ve snr algoritmas geli³tirmi³lerdir. Aktivitelerin zamanlarn temsil etmek için stokastik de§i³kenler tanmlam³lardr.

2.3.2 Sütun Türetme ve Dengelenmi³ Sütun Türetme

Lübbecke ve Desrosiers [36] sütun türetme ve Dantzing-Wolfe ayr³trmas üzerine bir çal³ma yapm³tr. Tam sayl programlar için sütun türetme tekni§inden bahsetmi³lerdir. Snrlandrlm³ ana problem (restricted master problem) ve onun çözümü hakknda bilgi vermi³lerdir. Ayrca yatlandrma problemi ve alternatif yatlandrma kurallar hakknda bilgi vermi³lerdir. Simpleks bazl sütun türetmenin yaknsama hznn yava³ oldu§unu vurgulam³lardr. Bu istenilmeyen durumu engellemek için, dengelenmi³ sütun türetme yönteminin nasl uygulanaca§n göstermi³lerdir. Ayrca, dengelenmi³ sütun türetme yönteminde kullanlan parametrelerin nasl güncellenece§i hakknda bilgi vermi³lerdir.

Du Merle vd. [27] dengelenmi³ sütun türetme yönteminin, dejenere tam sayl probleme nasl uygulanaca§ üzerine çal³m³lardr. Sütun türetme yöntemi uygulandktan sonra parametrelerin nasl güncellenece§i ve algoritmay durdurma kriterlerinin neler oldu§u hakknda bilgi vermi³lerdir. Daha sonra, sütun türetme yöntemini havayollar mürettebat e³le³tirme, çok kaynakl Weber problemi ve p-ortanca problemine uygulam³lardr.

Oukil vd. [39] çoklu depolu araç çizelgeleme problemi (multiple-depot vehicle scheduling problem) üzerinde çal³m³lardr. Büyük boyutlu problemler için, dejenere çözümleri azaltmak için dengelenmi³ sütun türetme yöntemini uygulam³lardr. Çoklu depolu araç çizelgeleme probleminin do§rusal gev³etilmi³ halini çözmek için etkin bir yakla³m geli³tirmi³lerdir.

Xu vd. [40] gerçek hayat lojistik operasyonlarnda sklkla kar³la³lan toplamal ve teslimatl araç rotalama problemini dikkate alm³lardr. Çal³tklar problemde çoklu ta³yc ve çoklu araç türleri bulunmaktadr. Her toplanmas ve teslim edilmesi gereken ürünün zaman pencerisi mevcuttur. Yükleme ve bo³altma i³lemi bellirli sraya ve kurala uygun yaplmaldr. Problem küme bölmeleme problemi olarak formüle edilmi³tir. Problemin gev³etilmi³ halini çözmek için sütun türetme prosedürünü uygulam³lardr. Ayrca, bu problemi çözmek için sütun türetme bazl sezgisel bir algoritma geli³tirmi³lerdir.

Amor vd. [1] büyük boyutlu problemler için, yaknsama i³lemini hzlandran ve dengeleyen iki tip çifte³ en iyileme e³itsizlikleri (dual-optimal inequalities) üzerine çal³m³lardr. Çifte³ probleme kst eklendi§inde, birincil probleme yeni bir sütun yani de§i³ken eklemi³ oluruz. Bu da, çözümün olurlulu§unun kaybedilmesine neden olaca§n vurgulam³lardr. Birincil problemin olurlulu§unun kaybedilmemesi için iki metot önermi³lerdir. kili ve klasik kesim art§ problemi (cutting-stock problem) üzerine deneyler yapm³lardr.

Desrosiers vd. [26] dejenere çözümleri avantaja çevirebilecek satrca indirgenmi³ sütun türetme (row-reduced column generation) metodunu önermi³lerdir. Metodun ana kri kst saysn azaltmaktr. Satrca indirgemenin avantaj, daha küçük temelde çal³ma imkan vermesidir.

Muter vd. [37] büyük boyutlu problemlere uygulanabilen sütun ve satr türetme algoritmas (column and row generation) geli³tirmi³lerdir. Büyük boyutlu problemleri çözmek için, hem sütunun hem de satrn üretilmesine ihtiyaç duyulabilece§i vurgulanm³tr.

3. PROBLEM TANIMI ve ENYLEME MODEL

Bu tez çal³masnda, i³birlikçi çözümün bulunmas ve elde edilen kazanmlarn payla³trlmas a³amalar birle³tirilerek entegre bir model olu³turulmu³tur. Bu model i³birli§i yapmak isteyen göndericileri ve göndericilerin rota ayrtlarn girdi olarak kullanarak i³birlikçi çözümü olu³turacaktr. Modelin amac, i³birlikçiler arasnda adil maliyet payla³mna sahip en dü³ük maliyetli çözümü bulmaktr. Geli³tirilen bu modelle ortaklarn ve turlarn seçildi§inde; bu seçime kar³lk gelen adil veya kabul edilebilir bir maliyet da§tm sa§lanacaktr.

Maliyet da§tmnn kabul edilebilirlik kriterleri; i³birlikçi oyun kuramnda yer alan bütçe dengesi, dengelilik, bireysel rasyonellik, çapraz monotonik gibi kriterlerin arasndan seçilebilir. Yaplan bu çal³mada kabul edilebilirlik kriterleri olarak bütçe dengeli ve bireysel rasyonellik kriterleri seçilmi³tir. Bunlarn yannda, i³birli§ine katlan her i³birlikçinin belirli oranda tasarruf edecekleri garanti edilmekte ve i³birli§ine dâhil olan her i³birlikçiye dü³en maliyetin sfrdan farkl olmas sa§lanmaktadr. Ayrca benzer rota ayrtlarna benzer maliyetin atanmas sa§lanabilir. Di§er kriterlerinin seçilmemesinin temel nedeni, bu kriterlerin tamamnn ayn anda sa§lanmasnn çok zor ve/veya imkansz olmasdr.

Ortak Kstl Rota Kapsama Problemine maliyet da§tmn eklenmesiyle Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi ortaya çkar. Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi matematiksel olarak ifade edilecek olursa; yönlü bir Öklid çizgesi G = (N, A), N tane dü§üm, A tane ayrt ve fa(a ∈ A) ayrtlarn maliyetleri ile tanmlanan ³ebeke ve her rmaya ait rota ayrtlarn temsil eden rota ayrtlarnn kümesi Li ⊆ A, i ∈ P verildi§inde, rota ayrtlar kümesini kapsayan en fazla ki tanesinden rota ayrt içeren, toplam maliyeti en küçükleyen çevrimleri bulma ve kabul edilebilirlik kriterlerini sa§layan, seçilen rota ayrtlarna dü³en maliyeti bulma problemi olarak tanmlanabilir.

Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi dikkate alnan kriterler ve kstlar dâhilinde de§i³tirilmi³tir. Bu kstlarn ve kriterlerin dâhil edilebilmesi için yeni parametrelerin ve karar de§i³keninin tanmlanmas gerekir. A³a§da tanmlanan θ ve λ parametreleri srasyla yukarda tanmlanan kstlar olu³turmakta kullanlr. Bu a³amada kullanlan yeni parametreler ve karar de§i³keni srasyla a³a§da tanmlanmaktadr.

θ : Yüzde tasarrufu garanti eden katsay. θ ∈ [0, 1). λ : Alt snr katsays. λ ∈ [0, 1).

dl: l ∈ Lrota ayrtnn uzunlu§u.

gl: l ∈ L rota ayrtnn i³birli§i d³ maliyeti. wl: l ∈ L rota ayrtna dü³en maliyet.

Yukarda verilen ayrtlar kümesi, hem gönderileri hem de bo³ kamyon yükü hareketini temsil etmektedir. Rota ayrtlarnn kümesi ise yalnzca gönderileri yani tam dolu kamyon yükü hareketini temsil etmektedir. Çevrimlerin kümesi, her bir rota ayrtndan ba³layarak, rota ayrtlar uç uca eklenerek olu³turulur. Gerekli durumlarda dü§ümler arasnda bo³ hareket ayrtlar kullanlr. Rota ayrtlar uç uca eklendi§inde bir yol olu³ur. Bu yolun son dü§ümünden ilk dü§ümüne bir bo³ hareket ayrt eklenerek çevrimler olu³turulmu³ olur. Rota ayrtlar ve bo³ hareket ayrtlar kullanlarak olu³turulabilecek çevrimlerin ³ematik gösterimi “ekil 3.1 'de gösterilmektedir. “ekil 3.1 'de, dü§ümler arasndaki sürekli çizgi gönderileri yani tam kamyon yükü hareketini temsil ederken; kesikli çizgiler bo³ kamyon yükü hareketini temsil etmektedir.

1 2 2 3 4 3 3 4 1 2 3 3 4 5 6 7 5 5 6 7

∩

∩

∩

=

=

=

Bu çal³ma yaplrken, baz varsaymlarda bulunmaya ihtiyaç duyulmu³tur. Yaplan bu varsaymlar a³a§da listelendi§i gibidir:

• Her rmann birden fazla rota ayrt olabilir. Ancak, her rota ayrt yalnzca bir rmaya aittir.

• ³birli§ine katlacak olan rota ayrtlar önceden belirlidir. ³birli§i olu³turulduktan sonra, kurulan i³birli§ine yeni bir rota ayrt eklenemez.

• Dü§ümler, iki boyutlu bir uzayda (x, y) koordinatlaryla tanmlanm³tr.

• Dü§ümler arasndaki uzaklklarn hesaplanmasnda Öklid mesafesi kullanlm³tr. • ki dü§üm arasndaki ta³ma maliyeti, dü§ümler arasndaki uzaklkla do§ru orantldr. Ayrca, dü§ümler arasndaki uzaklk simetriktir ve üçgensel e³itsizli§e uygundur.

• Güzergahlar arasndaki ta³ma bir kamyonla yaplmaktadr. • Altta yatan yönlü çizge tam çizgedir.

• Gönderiler üzerinde herhangi bir zaman kst yoktur. • Sürücüler üzerinde herhangi bir zaman kst yoktur. • Firmalarn yapabilecekleri i³birli§i says snrldr.

• ³birli§i maliyetinin, yalnzca çevrimlerin uzunlu§una ba§l oldu§u varsaylm³tr. Bu yeni parametrelerin ve karar de§i³keninin tanmlanmasyla olu³an Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi a³a§da verilmektedir.

Min X c∈C fcxc+ X l∈L glul (3.1) S.t. X l∈L wl− X c∈C fcxc= 0 (3.2) wl≤ (1 − θ)gl(1 − ul) ∀l ∈ L (3.3) wl≥ λdl(1 − ul) ∀l ∈ L (3.4) X c∈C slcxc= (1 − ul) ∀l ∈ L (3.5) X c∈C pcijxc≤ Mijyij ∀{i, j} ⊆ P (3.6)

X c∈C pcijxc≥ yij ∀{i, j} ⊆ P (3.7) X j∈P −{i} yij ≤ ki ∀i ∈ P (3.8) xc∈ {0, 1} ∀c ∈ C (3.9) ul∈ {0, 1} ∀l ∈ L (3.10) yij ∈ {0, 1} ∀{i, j} ⊆ P (3.11) wl≥ 0 ∀l ∈ L (3.12)

Yukardaki model; çevrimlerin toplam maliyetini ve i³birli§i d³ toplam maliyeti en küçüklemeyi amaçlanmaktadr. Kst (3.2) bütçe denge kstdr. Bütçe denge kst, i³birli§inden elde edilen toplam maliyetin da§tlan toplam maliyete e³it olmas gerekti§ini söyler. Bu durumda bütçe, fazla veya eksik vermez. Kst (3.3) hem bireysel rasyonelli§i hem de yüzde tasarrufu garanti eder. Ba³ka bir de§i³le, e§er bir rota ayrt i³birli§ine dâhil edilmi³se; o rota ayrtna dü³en maliyet kendi bireysel maliyetinin belirli bir yüzdesinden fazla olamaz. Bu kst sayesinde, i³birli§ine dâhil olan rota ayrt yüzde θ kadar tasarruf sa§lar.

Kst (3.4) modele sonradan ilave edilmi³tir. Bu kst, rota ayrtlarna sfr maliyet atanmasn engeller. Ba³ka bir ifadeyle, rota ayrtlarna atanan maliyetler için bir alt snr verir. Seçilen rota ayrtlarna dü³ebilecek en dü³ük maliyet; o rota ayrtnn uzunlu§u ile orantldr. Kst (3.5) rota kapsama kstdr. E§er bir çevrim seçilmi³se o çevrim içerisindeki rota ayrtlarnn da seçilmesini sa§lar. Kst (3.6) ve kst (3.7) i³birli§iyle ilgili kstlardr. E§er bir çevrim seçilmi³se, o çevrim içerisindeki rmalarn birbirleriyle i³birli§i yapmasn sa§lar. Kst (3.8) bir rmann yapabilece§i i³birli§i saysn kstlar. Di§er kstlar ise tam say olma ve i³aret kstdr.

Yukarda verilen kstlarn haricinde modele iki ek kst ilave edilmi³tir. Bu kstlar a³a§daki gibidir:

1. E§er bir çevrim içerisinde tek bir rma varsa, bu çevrime kar³lk gelen de§i³ken sfr de§erini alr.

2. E§er bir çevrim içerisinde tek bir rota ayrt varsa, bu çevrime kar³lk gelen de§i³ken sfr de§erini alr.

Yukarda belirtilen iki durumda da i³birli§i söz konusu de§ildir. Dolaysyla, böyle çevrimlerin çözümde yer almasna gerek yoktur. Ancak, böyle çevrimler yine de

üretilirler. Bunun nedenini, "Sütun Türetme Bazl Çözüm Yöntemi" bölümünde açklanacaktr.

Yukardaki formülasyonda, rma ve rota ayrt says arttkça satr ve sütun says üssel olarak artar. Polinom sayda rma çifti oldu§u için, toplam sütun saysn olurlu çevrimlerin says belirler. Olurlu çevrim saysn da, rota ayrtnn says belirler. Bu nedenle, rota ayrt saysnn artmas, sütun saysn üssel olarak arttrr. En kötü durumda, rota ayrtlar kümesi; bo³ olmayan her bir alt kümesine kar³lk gelen bir olurlu çevrim olur ve toplam 2|L|_{− 1tane sütun olu³ur.}

Problemin çözümü için üretilen çevrimlerin basit çevrim kstna uymas gerekir. Basit çevrim kst, her bir dü§ümün yalnzca bir kere ziyaret edilmesini sa§lar. Basit olmayan bir çevrim, toplam uzunluklar ayn olacak ³ekilde birden fazla basit çevrime bölünebilir. Dolaysyla, basit olmayan çevrimler en iyi çözümde yer almayacaktr.

Dü§ümleri farkl sralarda ziyaret eden benzer çevrimlerin üretilmesi mümkündür. Bu gibi durumlarda, benzer çevrimler arasndan en dü³ük maliyete sahip çevrim dikkate alnr. Çünkü, en dü³ük maliyete sahip çevrim eniyi çözümde yer alabilir. Olurlu çevrim olu³tururken bu gibi kstlar koymak, üretilecek çevrimlerin saysn azaltrken bu kurallara uyan olurlu çevrimleri bulmak zorla³acaktr.

4. GEL“TRLEN ÇÖZÜM YÖNTEMLER

Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemini çözmek için akla gelen ilk yakla³m bütün olurlu çevrimleri üretilmesi ve daha sonra modelin tam sayl programlama çözücüsü ile en iyi çözümün bulunmasdr. Bu yakla³mda her bir rota ayrtndan ba³layarak, rota ayrtlar uç uca eklenerek olurlu çevrimler olu³turulur. Gerekli durumlarda dü§ümler arasnda bo³ hareket ayrtlar kullanlr. Rota ayrtlar uç uca eklendi§inde bir yol olu³ur. Bu yolun son dü§ümünden ilk dü§ümüne bir bo³ hareket ayrt eklenerek çevrimler olu³turulmu³ olur. Bu yolla elde edilen bütün olurlu çevrimler modelde yer alan C kümesine eklenir.

Bu nedenle, yukarda verilen Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Problemi çok sayda karar de§i³keni içerebilir. Çünkü rota ayrtlar says artkça üretilecek muhtemel çevrimlerin says üssel olarak artacaktr. Çevrimlerin saysnn üssel bir ³ekilde artmas demek karar de§i³kenlerinin saysnn da üssel sayda artmas demektir. Çünkü üretilecek her bir çevrim bir de§i³kene kar³lk gelir. Dolaysyla bu problemin en iyi çözümünü elde etmek oldukça zordur. Bu gibi çok sayda karar de§i³keni içeren matematiksel modelleri çözmek için sütun türetme yöntemi kullanlr. Bu nedenle sütun türetme bazl bir çözüm yöntemi geli³tirilmi³tir.

Sütun türetmede, karar de§i³kenlerine kar³lk gelen bütün sütunlar yerine; sütunlarn snrl saydaki alt kümelerini modele dâhil ederek, gerçek modelin en iyi çözümünün bulunmas hedeenir. Sütun türetme, matematiksel modelin snrl sayda sütun için çözülmesi ile ba³lar. Elde edilen en iyi çözüm kullanlarak, modele henüz dâhil olmayan ancak temele girebilecek yani negatif indirgenmi³ maliyetli bir sütun bulunur, modele eklenir ve pivotlama i³lemi yaplr. Negatif indirgenmi³ maliyetli bir de§i³ken/sütun bulunamad§nda çözüm yöntemi durdurulur. Elde edilen son çözüm en iyi çözümdür. Sütun türetme, snrl sayda sütun üzerinden çözülür. Snrl sayda sütun üzerinden çözülen orjinal modele snrlandrlm³ model (restricted model) denir. Negatif indirgenmi³ maliyetli yeni sütunlar bulunamad§nda, negatif indirgenmi³ maliyetli yeni sütunlar bulmay amaçlayan ikinci bir eniyileme modeli çözülür. Bu ikinci eniyileme modeline yatlandrma modeli (pricing model) denir.

4.1 Fiyatlandrma Problemi

Tam sayl programlama modellerini çözmek için tek ba³na sütun türetme yöntemini kullanmak yeterli de§ildir. Dal-snr ve sütun türetme yakla³mlarn bile³tiren dal-yat yakla³m kullanlr [9]. Bu yakla³mla, do§rusal gev³etilmi³ model sütun türetme yardmyla çözülür; yeni sütun bulunamad§nda yatlandrma i³lemi gerçekle³tirilir. Problemi kesin (exact) olarak çözmek için; sütun türetme bazl çözüm yöntemi ile birlikte dal-snr yakla³m kullanlarak dal-yat yöntemi geli³tirilmi³tir.

Fiyatlandrma probleminin formülasyonu, türetilecek sütunlarn/çevrimlerin indirgenmi³ maliyetlerine göre olu³turulur. Maliyet Da§tml Ortak Kstl Rota Kapsama Probleminin formülasyonunda, rmalarn i³birli§ine karar veren de§i³enlere (yij)kar³lk gelen sütunlar snrl saydadr ve bunlar sabit tutulur. Çevrimlerin seçilip seçilmedi§ine kar³lk gelen de§i³kenler (xc) üzerinden yatlandrma yaplr. Bir çevrim (c ∈ C) için indirgenmi³ maliyet matematiksel modelin kstlarna kar³lk gelen dual de§i³kenler üzerinden tanmlanr. Bunun için önce, modelde yer alan ve (xc) de§i³kenini içeren e³itsizliklerin; büyük e³ittir ³eklinde düzenlenmesi gerekir.

µ, πl(l ∈ L), βij ({i, j} ⊆ P )ve γij ({i, j} ⊆ P )srasyla ana modeldeki (xc) de§i³kenini içeren, (3.2), (3.5), (3.6) ve (3.7) kstlarna kar³lk gelen dual de§i³kenler olsunlar. Her çevrim için (c ∈ C) indirgenmi³ maliyet (fc) a³a§daki gibi hesaplanr.

fc= fc+ µfc− X l∈L slcπl− − X c∈C pcijβij ! − X c∈C pcijγij ! (4.1)

Her çevrim içerisinde her alan rmalar kümesi (hc) ³eklinde ifade edilirse; yeni indirgenmi³ maliyet a³a§daki gibi hesaplanr.

fc= (1 + µ)fc− X l∈c πl+ X {i,j}⊆hc βij − X {i,j}⊆hc γij (4.2)

Min fc (4.3) S.t. c ∈ C

Fiyatlandrma problemini daha açk ifade edebilmek için yeni kümelere, parametrelere ve karar de§i³kenlerine ihtiyaç vardr. Temelde olmad§ halde, baz çevrimler negatif indirgenmi³ maliyete sahip olabilirler. Bunun sebebi yukarda belirtilen, çevrim içerisindeki rma üzerine konulan kstlardr. Temelde olmayan çevrimlerin negatif indirgenmi³ maliyetli olmas, daha önce üretilen çevrimlerin tekrar üretilmesine sebep olur. Bunun önüne geçmek için "negatif indirgenmi³ maliyetli çevrimlerin kümesi (NR)" tanmlanm³tr. Fiyatlandrma probleminde kullanlanan kümeler, parametreler ve karar de§i³kenleri a³a§da tanmlanm³tr.

Kümeler

N R : Negatif indirgenmi³ maliyetli çevrimlerin kümesi. Rc: c ∈ N R çevrimi içerisindeki rota ayrtlarnn kümesi. Ac: c ∈ N R çevrimi içerisindeki ayrtlarn kümesi. Sc: c ∈ N R çevrimleri içerisindeki dü§ümlerin kümesi. Li : i ∈ P rmasna ait rota ayrtlarnn kümesi. Parametreler

fl: l ∈ L rota ayrt için dolu gitme maliyeti. fa: a ∈ Aayrt için bo³ gitme maliyeti. Mi = |Li|; ∀i ∈ P .

Karar De§i³kenleri

rl = (

1; E§er l ∈ L rota ayrt, tam dolu kamyon hareketi için seçilmi³se. 0; Di§er durumda.

ta = (

1; E§er a ∈ A ayrt, bo³ kamyon hareketi için seçilmi³se. 0; Di§er durumda.

qi = (

1; E§er i ∈ P rmasna ait bir rota ayrt seçilmi³se. 0; Di§er durumda.