BELİRLİ İNT   

KONUNUN AŞAMALARI

KONUNUN AŞAMALARI

KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI

BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON

BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON

BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI

KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI



a

b



x

₀

< x

 

₁

<x

₂

<x

₃



<...<x

 

_k-1

<x

_k

<...<x

_n-1



<x

_n

P={x

₀

,x

₁

,x

₂

,x

₃

,...,x

_k-1

,x

_k

, ..., x

_n-1

,x

_n

}

[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)

Her bir [x_k-1, x_k] kapalı alt aralığı için;

Her bir [x_k-1, x_k] kapalı alt aralığı için;

x_k= x_k –x_k-1 sayısı x_k= x_k –x_k-1 sayısı

[x_k-1, x_k] kapalı alt aralığının uzunluğu

x₁= x₁ –x₀ x₁= x₁ –x₀ x₂= x₂ –x₁ x₂= x₂ –x₁ x₃= x₃ –x₂ x₃= x₃ –x₂ x_n= x_n –x_n-1 x_n= x_n –x_n-1

...

Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere

[a.b] aralığının uzunluğu

[a.b] aralığının uzunluğu

b-a = x₁+ x₂+ x₃+...+ x_n

x₁= x₁ –x₀ x₁= x₁ –x₀ x₂= x₂ –x₁ x₂= x₂ –x₁ x₃= x₃ –x₂ x₃= x₃ –x₂ x_n= x_n –x_n-1 x_n= x_n –x_n-1

...

Alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse Alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse P bölüntüsüne P bölüntüsüne

[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.

P düzgün bir bölüntü ise;

P düzgün bir bölüntü ise;

[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.

[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.

x_k=

n

a

b



ÖRNEK:

ÖRNEK:

[2,7] ARALIĞI İÇİN[2,7] ARALIĞI İÇİN

P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür. P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür. x₁= x₁= 3 5 2 3 11   _x 2= x₂= 3 5 3 11 3 16   _x 3= x₃= 3 5 3 16 7  

3

5

3

2

7

P



7

₃



2



5

₃

P







m₁ m2 m_{3 m} 4 mn y=f(x) x₁ x₂ x₃ x_k x_n x y 0 a=x0 x1 x2 x3...xk-1 xk ...xn-1 xn=b

ALT TOPLAM

ALT TOPLAM



)

P

,

f

(

A





 n 1 k k k

.

x

m Δ

m

₁

.

Δ

x

₁



m

₂

.

Δ

x

₂



...



m

_n

.

Δ

x

_n

M₁ M2 M_{3 M} K Mn y=f(x) x₁ x₂ x₃ x_k x_n x y 0 a=x0 x1 x2 x3...xk-1 xk ...xn-1 xn=b

ÜST TOPLAM

ÜST TOPLAM



)

P

,

f

(

Ü





 n 1 k k k

.

x

M Δ

M

₁

.

Δ

x

₁



M

₂

.

Δ

x

₂



...



M

_n

.

Δ

x

_n

x y 0 y=f(x)

a=x

₀

t

₁

x

₁

t

₂

x

₂

f(t

₁

)

x

₁

f(t

₂

)

x

₂

x

_k-1

t

_k

x

_k

f(t

_k

)

x

_k

x

_n-1

_t

_n

x

_n

x

_n

f(t

_n

)

RİEMANN TOPLAMI

RİEMANN TOPLAMI



)

P

,

f

(

R





 n 1 k k k

).

x

t

(

f

Δ

_f

_t(

₁

_).

_Δ

_x

₁



_f

_t(

₂

_).

_Δ

_x

₂



_...



_f

_t(

_n

_).

_Δ

_x

_n





 n 1 k k k

).

x

t

(

f

Δ



 n 1 k k k

.

x

M Δ





 n 1 k k k

.

x

m Δ

Alt Toplam Rieman Toplamı Üst Toplam

ÖRNEK:

ÖRNEK:

f:[0,2]_f:[0,2] R, f(x)=x_{ R, f(x)=x}22 fonksiyonu için; fonksiyonu için;

[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;

[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;

Alt toplamını

Alt toplamını

Üst toplamını

Üst toplamını

Riemann toplamını bulalım:

x

₁

=

x

₂

=

x

₃

=

x

₄

=

2

1

4

0

2

4

a

b



_



_

P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}

P, düzgün bir bölüntü olduğundan

P, düzgün bir bölüntü olduğundan

Alt toplamı Alt toplamı

y=x

2



)

P

,

f

(

A



 n 1 k k k

.

x

m Δ

m₁=f(0)=0 m₁=f(0)=0 _m 2=f(1/2)=1/4 m₂=f(1/2)=1/4 m₃=f(1)=1 m₃=f(1)=1 _m 4=f(3/2)=9/4 m₄=f(3/2)=9/4



)

P

,

f

(

A





 n 1 k k k

.

x

m Δ

m

₁

.

Δ

x

₁



m

₂

.

Δ

x

₂



m

₃

.

Δ

x

₃



m

₄

.

Δ

x

₄ 2 1 4 9 2 1 1 2 1 4 1 2 1 0        0 1₂  ₄1  1₂  1 1₂  9₄  1₂  4 7 ₄7 

y

x

0

1/2 1 3/2 2

Üst toplamı Üst toplamı

y=x

2

y

x

0

1/2 1 3/2 2



)

P

,

f

(

Ü



 n 1 k k k

x

Δ

.

M

M₁=f(1/2)=1/4 M₁=f(1/2)=1/4 _M 2=f(1)=1/4 M₂=f(1)=1/4 M₃=f(3/2)=9/4 M₃=f(3/2)=9/4 _M 4=f(2)=4 M₄=f(2)=4



)

P

,

f

(

Ü





 n 1 k k k

x

Δ

.

M

M

₁

.

Δ

x

₁



M

₂

.

Δ

x

₂



M

₃

.

Δ

x

₃



M

₄

.

Δ

x

₄ 2 1 4 2 1 4 9 2 1 1 2 1 4 1        ₄1  ₂1  1  ₂1  ₄9  ₂1  4  ₂1  4 15 15₄ 

Riemann toplamı: Riemann toplamı:

y=x

2

y

x

0

1/2 1 3/2 2



)

P

,

f

(

R



 n 1 k k k

x

Δ

).

t

(

f

2 x x ) t ( f k 1 k k    2 x x ) t ( f k 1 k k    4 1 22 1 0 t₁  ₂2 1₄ 1 0 t₁    4 3 2 1 2 1 t₂  ₂ ₄3 1 2 1 t₂    4 5 22 3 1 t₃  ₂2 5₄ 3 1 t₃    4 7 2 2 2 3 t₄  ₂ ₄7 2 2 3 t₄    4 1 4 3 4 5 4 7



)

P

,

f

(

Ü





 n 1 k k k

x

Δ

.

M

M

₁

.

Δ

x

₁



M

₂

.

Δ

x

₂



M

₃

.

Δ

x

₃



M

₄

.

Δ

x

₄



)

P

,

f

(

Ü

₁



₂



₃



).

Δ

x

₄



4

7

(

f

x

Δ

).

4

5

(

f

x

Δ

).

4

3

(

f

Δ

).

4

1

(

f



















2

1

16

49

2

1

16

25

2

1

16

9

2

1

16

1

8 21 8 21

f:[a,b]  R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun.

s

)

P

,

f

(

Ü

lim

)

P

,

f

(

A

lim

0 P 0 P 







ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında

İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo-

nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.

s

dx

).

x

(

f

b a





f

(

x

).

dx

s

b a





0

P



_{olması ne demektir?}

[a,b] aralığının, [x_k-1,x_k] alt aralıklarının uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir.

Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.

Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.

P parçalanması, düzgün bir

parçalanma olduğundan;

P parçalanması, düzgün bir

parçalanma olduğundan;









0

n

P





_













   b a n 1 k k k n

f

(

t

).

Δ

x

f

(

x

).

dx

lim



_















   b a n 1 k k k n

f

(

t

).

Δ

x

f

(

x

).

dx

lim

ÖRNEK:



3

0

2

_dx

x

belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım:

[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;

[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;

k{0,1,2,....,n} için, k{0,1,2,....,n} için, n 3 n 0 3 n a b x Δ P Δx _k b_na 3 _n0 _n3 P  _k     

;

seçilirse

olarak

x

Δ

.

k

a

t

_k



a



k

.

Δ

x

_k

olarak

seçilirse

;

t

_k





_k

n

k

3

n

3

.

k

0

t

_k



0



k

.

_n

3



3

_n

k

t

_k



























   n 1 k P 3 0 2

n

3

).

n

k

3

(

f

lim

dx

x

_



















   n 1 k P 3 0 2

n

3

).

n

k

3

(

f

lim

dx

x



































      n 1 k 2 3 P n 1 k 2 2 P

n

k

27

lim

n

3

n

k

9

lim

_

































      n 1 k 2 3 P n 1 k 2 2 P

n

k

27

lim

n

3

n

k

9

lim























6

)

1

n

2

).(

1

n

.(

n

n

27

lim

₃ 0 P























6

)

1

n

2

).(

1

n

.(

n

n

27

lim

₃ 0 P















_

_

  3 2 3 n

6

n

)

n

n

3

n

2

.(

27

lim

_













_

_

  3 2 3 n

6

n

)

n

n

3

n

2

.(

27

lim

9

6

2

.

27



9

6

2

.

27







3 0 2

_dx

₉

x





3 0 2

_dx

₉

x

İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ

İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ

f: [a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında

integralle-nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b]  R fonksiyonu

(a,b) aralığında türevli ve  x(a,b) için, F’(x)=f(x)

ise, . dır ) a ( F ) b ( F ) x ( F dx ) x ( f b a b a   



f(x)dx F(x) F(b) F(a) dır. b a b a   



ÖRNEK:

:

bulalım

egralini

int

belirli

dx

)

4

x

3

(

2 1



(

3

x



4

)

dx

belirli

int

egralini

bulalım

:

2 1







(

3

x

 dx

4

)



4

x

c

2

x

3

2





14

2

.

4

2

2

.

3

)

2

(

F

2







3

.

₂

2

4

.

2

14

)

2

(

F

2







2

11

1

.

4

2

1

.

3

)

1

(

F

2







3

.

₂

1

4

.

1

11

₂

)

1

(

F

2







2

17

2

11

14

)

1

(

F

)

2

(

F

dx

)

4

x

3

(

2 1















2

17

2

11

14

)

1

(

F

)

2

(

F

dx

)

4

x

3

(

2 1















f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;



b 





a b a b a dx ) x ( g dx ) x ( f dx )] x ( g ) x ( f [ _{ }



b 





a b a b a dx ) x ( g dx ) x ( f dx )] x ( g ) x ( f [ _{ }



 π 2 / π dx ) x cos x sin . 3 (

₌



π 2 / π xdx sin . 3

+



π 2 / π xdx cos

=

3(-cosx)   + sinx  

3(-cosx)   + sinx  

-3.[(cos - cos(/2)] + [sin  - sin (/2)]

[-3.((-1)+3.0)] + (0-1)

2







b a b a dx ) x ( f . c dx ) x ( f . c







b a b a dx ) x ( f . c dx ) x ( f . c











8 3 8 3

dx

.

x

ln

.

4

dx

.

x

ln

.

4











8 3 8 3

dx

.

x

ln

.

4

dx

.

x

ln

.

4





 



5 1 3 5 1 3

_.

_dx

₅

_.

_x

_.

_dx

x

.

5





 



5 1 3 5 1 3

_.

_dx

₅

_.

_x

_.

_dx

x

.

5







6 2 6 2

x

dx

.

3

x

dx

.

3

_





6 2 6 2

x

dx

.

3

x

dx

.

3





a a

0

dx

)

x

(

f





a a

0

dx

)

x

(

f

0

dx

.

x

ln

3 3





ln

x

.

dx

0

3 3





0

dx

.

x

1 1 3

_



 

0

dx

.

x

1 1 3

_



 

0

x

dx

2 2





x

0

dx

2 2









  a b b a dx ) x ( f dx ) x ( f





  a b b a dx ) x ( f dx ) x ( f









5 1 1 5 2 2

_dx

₃

_x

_dx

x

3









5 1 1 5 2 2

_dx

₃

_x

_dx

x

3

124 1 125 1 5 3 x . 3 5 3 3 1 3     5 1 125 1 124 3 x . 3 5 3 3 1 3      124 ) 124 ( ) 125 1 ( ) 5 1 ( 3 x . 3 1 3 3 5 3           3. x₃ (13 53) (1 125) ( 124) 124 1 5 3           











c b b a c a

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f











c b b a c a

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

[a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;