FONK_GRAFIK

(1)

(2)

Fonksiyonların Asimptotlarını bulma

Asimptot nedir?

(3)

Asimptot nedir?

Bir (d) doğrusu veya bir (c) eğrisi ile bir y=f(x) fonksiyonun sonsuza giden uçları arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, bu doğru veya eğriye, fonksiyonun bir ASİMPTOT ’ u denir.

(4)

y x 0 y=b y=f(x) Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır.

(d) 0 x y y=f(x) (d) Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır.

(5)

y

x 0

y=f(x)

Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır.

(d) 0 x y y=f(x) (c) Fonksiyon, +’ a (c) eğrisini takip ederek uzanmaktadır.

(6)

x y 0 x=a a y=f(x)

Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz?





 

f

(

x

)

lim

a x x y 0 y=f(x) a x=a

Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz?





 

f

(

x

)

lim

a x x

lim

a

f

(

x

)









f

(

x

)

lim

a x

(7)

aR olmak üzere, y=f(x) fonksiyonu için,





 

f

(

x

)



lim

a x veya x

lim

a

f

(

x

)







oluyorsa, x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun DÜŞEY ASİMPTOT’ u denir.

Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesemez.

(8)

ÖRNEK: 1 x 4 x 5 x y 2   

 eğrisinin düşey asimptotunun olup olma-_{dığını araştıralım.}

x’ in hangi değeri için, lim_ f(x)  

? x olur?          0 2 1 x 4 x 5 x lim 2 1 x          0 2 1 x 4 x 5 x lim 2 1 x ve _         0 2 1 x 4 x 5 x lim 2 1 x          0 2 1 x 4 x 5 x lim 2 1 x

(9)

Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir?Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir?

Düşey asimptot, y  _QP(₍x_x)₎ biçimindeki rasyonel

fonksiyonlarda bulunur.

Paydanın kökü ( veya kökleri) fonksiyonun

(10)

ÖRNEK:

4 x

8 y

₂





_{eğrisinin, düşey asimptotlarını araştıralım:}

Paydanın kökleri:

x2-4=0

x2-4=0  _x=-2 ve _x=2

x=-2 x=2

(11)

ÖRNEK: 3 2 3 4

x

1 x

x

2 x

y







eğrisinin, varsa, düşey asimptot-_{larını araştıralım:}

İfadenin paydasını sıfır yapan değerler

x-x3 = 0  x(1-x2)=0  x

1=0 x2=-1 x3=1

x₁=0 x₂=-1 x3=1 doğrularıdır.

(12)

2 2 3

)

2 x

(

1 x

x

y









eğrisinin, varsa, düşey asimptot-_{larını araştıralım:} ÖRNEK:

İfadenin paydasını sıfır yapan değerler

(x+2)2 = 0  x

1=x2=-2 (Çift katlı kök)

(13)

1 x

4 x

5 x

y

2







 _{Düşey asimptotu}_{Düşey asimptotu} x=1 doğrusu

?

)

x

(

f

lim

1 x 



?

)

x

(

f

lim

1 x 



 0   2

?

)

x

(

f

lim

1 x 



?

)

x

(

f

lim

1 x 



 0   2

Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?

(14)

0 x y 1 x=1





 

f

(

x

)

lim

1 x





 

f

(

x

)

lim

1 x





 

f

(

x

)

lim

1 x





 

f

(

x

)

lim

1 x

(15)

2 2 3

)

2 x

(

1 x

x

y









x=-2 doğrusu düşey asimptotx=-2 doğrusu düşey asimptot



  

f

(

x

)

lim

2 x



  

f

(

x

)

lim

2 x    ₎2 0 ( 1 _   ₎2 0 ( 1









  

f

(

x

)

lim

2 x



  

f

(

x

)

lim

2 x    ₎2 0 ( 1 _   ₎2 0 ( 1





₀ _x y







Fonksiyon, asimptotun her iki tarafında da, -’ a uzanmaktadır.

(16)

x=a, paydanın tek kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun farklı uçları na yaklaşır.

x=a, paydanın çift kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun aynı ucuna yaklaşır.

(17)

y x 0 y=b b y=f(x) x y 0 b y= b y=f(x)

b

)

x

(

f

lim

x



_x

lim

__

f

(

x

)



b

y x 0 b _x

lim

__

f

(

x

)



b

(18)

y=f(x) fonksiyonu için,

R

b

)

x

(

f

lim

x





veya x

lim



f

(

x

)



b



R

oluyorsa, y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun YATAY ASİMPTOT’ u denir.

Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesebilir.

(19)

y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir mi?y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir mi? y= ax fonksiyonu x y 0 1 1 a

0 a

lim

x x



(20)

ÖRNEK: x 1 1 x y  

 _{fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım:}

?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?



1

1 ?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?



1

(21)

ÖRNEK: 1 x x 3 x 5 2 y ₂ 2   

 fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım:

?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?

₃ 5 3 5

?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?

₃5₃ 5

(22)

ÖRNEK: 4 2 x 1 x 3 x y  

 fonksiyonunun yatay asimptotunu _bulalım:

?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?

0

0 ?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?

y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur. y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

(23)

Payın derecesi, paydanın derecesin-den küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır.

Payın derecesi, paydanın derecesin-den küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır.

x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz?

PAYIN DERECESİ, PAYDANIN

DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.

PAYIN DERECESİ, PAYDANIN

(24)

ÖRNEK:

y=3X fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım:

?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?

0

0 ?

)

x

(

f

lim

xx

lim



f

(

x

)



?

y=0 doğrusu, eğrinin x için yatay

asimptotudur.

y=0 doğrusu, eğrinin x için yatay asimptotudur.

(25)

y x 0 y=f(x) (d): y=ax+b 0 x y y=f(x) (c): y=ax2+bx+c

Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için,



f(x) g(x)



0 lim

x_   ise,

y=g(x) fonksiyonuna, EĞİK ASİMPTOT denir. Eğer, y=g(x) bir eğri ise, EĞRİ ASİMPTOT adını alır.

(26)

ÖRNEK: 2 x 5 x 3 x y 2   

 fonksiyonunun eğik asimptotunu _bulalım:

2 x 5 x 3 x y 2     x _x 3x₂ 5 y 2   

  _{Payı paydaya bölersek;}

2 x 5 x 3 x y 2     2 x 3 1 x    



f(x) (x 1)



lim x   x 2 3 lim x    



0

(27)

Bu durumda;Bu durumda;

y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur.y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur.

EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR GENELLEME YAPILABİLİR?

PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK ASİMPTOT OLARAK ALINIR.

(28)

ŞİMDİ DE;ŞİMDİ DE; 1 x 2 x 2 x y 3   

 fonksiyonunun eğik asimptotunu _{araştıralım:}

1 x 2 x 2 x y 3     x _x2x₁ 2 y 3   

  Payı paydaya bölersek;

1 x 2 x 2 x y 3     1 x 3 1 x x2     

(29)

) x ( Q ) x (

P _{biçimindeki bir rasyonel fonksiyonda, payın}

derecesi, paydanın derecesinden iki veya daha fazla derece küçük ise, fonksiyonun EĞRİ ASİMPTOT’ u vardır.

(30)

 



_ f(x) 

lim

x oluyorsa, fonksiyonun, EĞİK

yada EĞRİ ASİMPTOT’u vardır.

y=f(x) eğrisinin, y=mx+n biçiminde bir eğik asimptotu varsa;

x ) x ( f lim m x   n lim



f(x) mx



x     x ) x ( f lim m x   n lim



f(x) mx



x    

(31)

Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem de eğri asimptotu olabilir mi?

BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.

(32)

ÖRNEK: x 1 x y 3  

 fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım:

x 1 x y 3    ₁ x_x y 3  

  _{Payı paydaya bölersek;}

2 x 8 5 x 2 x2      x 1 x y 3   

(33)

ÖRNEK: 2 x 4 x ) x (

f _ 2 _ _ _{fonksiyonunun, varsa, eğik} asimp-totunu bulalım:       x 2 x 4 x lim m 2 x      x x 2 x 4 1 x lim 2 x       x x 2 x 4 1 . x lim 2 x 0 0 -1



   



    x 4x 2 ( 1).x lim n 2 x 2

x- için, eğik asimptot;

(34)

Şimdi de, xŞimdi de, x+ için, eğik asimptotu arayalım: + için, eğik asimptotu arayalım:       x 2 x 4 x lim m 2 x      x x 2 x 4 1 x lim 2 x      x x 2 x 4 1 . x lim 2 x 0 0 1



  



    x 4x 2 (1).x lim n 2 x -2

(35)

c

bx

ax

y

_



ax

22

_



bx

_



c

a>0 için eğik asimptot vardır.

a

2 b

x

.

a

y





a<0 için eğik

(36)

Bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek için

TANIM ARALIĞINI BİLMELİYİZ

AR ve f: AR’ ye tanımlı y=f(x) fonksiyonunda, xA için, f(x)R olacak şekilde oluşan en geniş AR kümesine, f fonksiyonunun EN GENİŞ TANIM KÜMESİ denir ve D ile gösterilir.

(37)

ÖRNEKLER

1. f(x)=x3+2x2-3x+1 fonksiyonunun tanım küme-sini bulalım:

Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı?

f(x), bir POLİNOM fonksiyon olduğundan, tüm reel sayılar için tanımlıdır.

(38)

2. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: x x x 3 1 2 2 _ 

f(x), bir RASYONEL fonksiyon olduğundan, paydayı sıfır yapan x değerleri için tanımsızdır.

x2-3x=0 x

(39)

3.

f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi tek sayı olduğundan, kökün içinin tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır.

x2-4=0 x

1=-2 veya x2=2

D=R-{-2,2}

f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: 3 2 ₄ 1   x x

(40)

4.

f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi çift sayı olduğundan, kökün içinin pozitif olduğu yerlerde tanımlıdır.

x

2

-x-2

0 (x

2

-x-2)’in işaretini incelemeliyiz.

f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım:

2

2 _ _x _

(41)

x

2

-x-2 =0

(x-2).(x+1)=0  x

1

=-1 ve x

2

=2

f(x) - -1 2 +  x2-x-2 _{O O} O O

+

-

+

D= (-

,-1][2, )

(42)

5.

Fonksiyonun, tanımlı olması için gerekli şartlar?

x+1  1  x

 0

x+1>0  x>-1

2-x>0  x<2

f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: ) 2 ( log_x_₁  x “Taban”, (x+1)1 ve (x+1)>0; “Sayı” , (2-x)>0 olmalıdır. O -1 O0 O2 (-1,0)  (0,2)

(43)

HATIRLATMA Polinom fonksiyonlar,

)

(

)

(

x

g

x

f

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar,

tüm REEL sayılarda tanımlıdır

Paydayı SIFIR yapan değerlerde TANIMSIZDIR.

(44)

KÖKLÜ FONKSİYONLARDAKÖKLÜ FONKSİYONLARDA n+ olmak üzere Kökün derecesi tek iken Kökün derecesi tek iken 1 2

(

)

(

x



n

g

x

f

‘in tanım kümesi g(x)’ in tanım kümesidir. Kökün derecesi çift iken Kökün derecesi çift iken n

_g

_x

x

f

₍

₎

_

2

₍

₎

fonksiyonu g(x)0 için tanımlıdır.

(45)

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken;

Periyodik olup olmadığına bakılır!!!!

Eğer periyodik ise, grafik, belli bir aralıkta çizi lir, çizilen grafik, diğer periyot aralıklarında aynen tekrarlanır.

(46)

Hangi özelliği taşıyan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir?

f:AB’ ye tanımlı bir fonksiyon olsun. A’ nın her elemanı için, f(x+T)=f(x)

eşitliğini sağlayan, en az bir pozitif T sayısı varsa, bu T reel sayısına, f’ in periyodu denir.

(47)

ÖRNEKLER

1. f(x)=2x+1 fonksiyonunun periyodik olup olma-dığını bulalım:

f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T reel sayısını arayacağız:

f(x)=2x+1 f(x+T)= 2(x+T)+1

2(x+T)+1=2x+1  2x+2T+1=2x+1  T=0

(48)

2. f(x)=2cos(3x+1) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulalım: f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) 2cos[3(x+T)+1]= 2cos(3x+1) 3(x+T)+1=(3x+1)+k.2



3x+3T+1=(3x+1)+k.2



(kZ)

3

2 . π

k

T 

 k=1 için; 3 2π T  bulunur.

(49)

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken;

Tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır!!!!

Bir fonksiyonun tek veya çift olduğu nasıl anlaşılır ve bu kavram bu özellikleri taşıyan fonksiyonların grafiklerini çizerken nasıl bir kolaylık sağlar?

(50)

AR ve f:AR bir fonksiyon olsun. xR için:

* f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur. * f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.

(51)

f(-x)=f(x)

(Çift fonksiyon olma durumu)

-x ile x’ in görüntüleri aynıdır.

Grafik, y-eksenine göre simetriktir.

Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında çizilir; y-eksenine göre simetriği

alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur.

Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında çizilir; y-eksenine göre simetriği

(52)

x y O -x x f(x) y=f(x) A(x,f(x)) A’(-x,f(x)) f, çift fonksiyondur.

(53)

f(-x)=-f(x)

(Tek fonksiyon olma durumu)

x x  -x iken f(x)  -f(x) -x iken f(x)  -f(x)

Fonksiyonun bir noktası A(x,f(x)) iken, diğer noktası, A’(-x,-f(x)) olmaktadır.

(54)

Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, xR+ için

çizilir; daha sonra orijine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur.

Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, xR+ için çizilir; daha sonra orijine göre simetriği

alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur.

0 y x x f(x) -x -f(x) A(x,f(x)) A’(-x,-f(x)) y=f(x) f, tek fonksiyondur.

(55)

ÖRNEKLER

1. f(x)=x2+cosx fonksiyonunun tek veya çift fonk-siyon olup olmadığını bulalım:

f(-x)= (-x)2+ cos(-x) = x2 + cosx = f(x)