Yıldız modellerinde nükleer enerji oluşum oranları ve gözlemsel kontrolleri

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FİZİK ANABİLİM DALI

YILDIZ MODELLERİNDE NÜKLEER ENERJİ OLUŞUM ORANLARI VE

GÖZLEMSEL KONTROLLERİ

DOKTORA TEZİ

Gülay İNLEK

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FİZİK ANABİLİM DALI

YILDIZ MODELLERİNDE NÜKLEER ENERJİ OLUŞUM ORANLARI VE

GÖZLEMSEL KONTROLLERİ

DOKTORA TEZİ

Gülay İNLEK

ÖZET

YILDIZ MODELLERİNDE NÜKLEER ENERJİ OLUŞUM ORANLARI VE

GÖZLEMSEL KONTROLLERİ

Gülay İNLEK

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,

Fizik Anabilim Dalı

(Doktora Tezi / Tez Danışmanı : Prof. Dr. Edwin BUDDING)

Balıkesir, 2008

Paczynski’nin GOB programı [1] yardımı ile düşük kütleli yıldız zarflarının

yüzey ısı akışındaki konveksiyon rolünü çalıştık. 0.4 ve 1.1 M

◎

kütle aralığında

değen veya değmeye yakın olan çift yıldızların bileşenleri için atmosferik modelleri

dikkate aldık. Lucy ’nin önerdiği yöntem [2] takip edilerek, soğuk yıldızların

oldukça geniş kütle, ışıtma ve etkin sıcaklık aralıkları için benzer β (~0.06-0.1)

değerleri elde edildi.

Aynı zamanda Paczynski ’nin programları [1] yardımıyla donukluğun

yıldızların yarıçapları üzerine etkisini inceledik. Kurucz donukluklarından [3] yeni

donukluk tabloları oluşturmak için Lagrange interpolasyon metodunu [4] kullandık.

Kurucz donukluklarının sonuçlarını, Huebner donuklukları [5]’ nın, Iglesias ve

Rogers donuklukları [6,7] ’nın sonuçları ile karşılaştırdık. Schwarzschild ’ın [8]

dikkate aldığı kütle aralıklarının aynısı için hesaplamaları kontrol ettik. Bu

çalışmada, eski donuklukların yeni olanları ile değiştirilmesi hesaplanan yarıçapları

% 5-10 kadar değiştirmiştir.

Yıldız modellerindeki nükleer enerji oluşum oranlarını açıklamaları ile birlikte

verdik. Gözlemsel kontroller için, genç çoklu yıldız sistemi U Oph (ADS 10428)’nin

analiz sonuçlarını kullandık. U Oph ’nin yapısal ve evrimsel durumunu kontrol

etmek için Paczynski ’nin HB8 programını [1] kullandık. Çoklu sistemin yaşını

yaklaşık 38 Milyon yıl olarak tahmin ettik.

ANAHTAR SÖZCÜKLER : yıldızlar / genel yapı / modelleme / donukluk

tabloları / gözlemsel testler / enerji oluşum oranları/ tutulan çift yıldız verileri.

ABSTRACT

NUCLEAR ENERGY GENERATION RATES IN STELLAR MODELS AND

OBSERVATIONAL CHECKS

Gülay İNLEK

Balıkesir University, Institute of Science,

Department of Physics

(Ph. D. Thesis / Supervisor : Prof. Dr. Edwin BUDDING)

Balıkesir-Turkey, 2008

We study the role of convection in the surface heat flow of low mass stellar

envelopes with the aid of Paczynski ’s domain program GOB [1]. We have

considered atmospheric models for a range of masses similar to the components of

contact or near –contact binaries between 0.4 and 1.1 M

◎

.

If the procedure proposed

by Lucy [2] is followed, similar values of the index β (~0.06-0.1) are obtained for a

fairly wide range of masses, luminosities and effective temperature of cool stars.

We have also examined the effect of opacity on stellar radii with the aid of

Paczynski ’s programs [1]. We used Lagrange interpolation method [4] to prepare

new opacity tables from Kurucz opacities [3]. We have compared the results of

Kuruz opacities with those of Huebner opacities [5], Iglesias and Rogers opacities

[6,7]. We have checked calculations for the same ranges of masses considered by

Schwarzschild [8]. In this study, changes of old opacities with new ones have

changed the calculated radii by up to ~ 5-10 %.

We have presented nuclear energy generation rates in stellar models with

explanations. We have used results of analysis of the young, multiple star U Oph

(ADS 10428) for observational checks. We have used the HB8 program of Paczynski

[1] to check our results for the structure and evolutionary condition of U Oph. We

have estimate an age of the multiple system at around 38 My.

KEY WORDS : stars / general structure / stellar models / opacity tables /

observational tests / energy generation rates/ eclipsing binary data.

İÇİNDEKİLER

sayfa

ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER

ii

ABSTRACT, KEY WORDS

iii

İÇİNDEKİLER

iv

SEMBOL LİSTESİ

v

ŞEKİL LİSTESİ

vi

TABLO LİSTESİ

vii

ÖNSÖZ

viii

1. GİRİŞ

1

2. YÖNTEM

4

2.1 Genel Yapı Problemi

4

2.1.1 İki Nokta Sınır Değeri Problemleri

6

2.1.2 Dış Sınır

7

2.1.3 İç Sınır

8

2.2 Zarf Model Programları

9

2.3 Model Oluşturulmasında GOB ve SCH Programlarının Kullanılması 10

2.4 Lagrange İnterpolasyon Metodu

13

3. GOB VE SCH PROGRAMLARININ UYGULAMALARI

15

3.1 Çekim Kararması Hesaplamaları

15

3.1.1 β ’nın Hesaplanması

19

3.1.2 Gözlemlerle Kıyaslama

22

3.2 Donukluk Etkileri

25

3.3 Donukluk Tabloları

29

3.4 Farklı Donuklukların Model İntegrasyonlardaki Sonuçları

33

4. NÜKLEER ENERJİ OLUŞUM ORANLARI VE

GÖZLEMSEL KONTROLLERİ

35

4.1 Yıldızlardaki Nükleer Süreçler

35

4.1.1 Proton-Proton Reaksiyonu

36

4.1.2 Karbon Çevrimi

37

4.1.3 Helyumun Azotla Yanması

38

4.1.4 Üçlü α Süreci

39

4.1.5 Helyumun Karbonla Yanması

39

4.1.6 Karbon Yanması

40

4.1.7 Oksijen Yanması

40

4.2 Enerji Oluşum Oranları

41

4.3 Gözlemsel Kontroller

47

5. SONUÇ VE TARTIŞMA

50

KAYNAKLAR

54

ÖZGEÇMİŞ 57

EKLER: Tez kapsamında yayınlanan makale ve bildiriler

SEMBOL LİSTESİ

Simge

Adı

Birimi

ρ

Yoğunluk

g cm

-3

ρ

c

Merkezi yoğunluk g cm

-3

P

Basınç dyn cm

-2

ε

Enerji oluşum oranı erg g

-1

s

-1

κ

Donukluk cm

2

g

-1

T

Sıcaklık K

T

e

Etkin sıcaklık K

T

0

Dış tabaka sıcaklığı K

T

c

Merkezi sıcaklık K

M

Kütle g

R

Yarıçap cm

L

Işıtma erg s

-1

τ

Çekim kararma işareti

F

Bolometrik akı erg cm

-2

s

-1

σ

Stefan-Boltzmann sabiti

erg K

-4

cm

-2

s

-1

β

Çekim kararma üssü

τ

e

Optik derinlik

α

Karışım uzunluğu parametresi

ν

T

Gürültü hızı cm s

-1

γ

Adyabatik sabit

f

Doldurma parametresi

K

Eddington radyasyon basıncı dyn cm

-2

H

Akı erg cm

-2

s

-1

Ş

EKİL LİSTESİ

Ş

ekil

Numarası

Adı

Sayfa

Şekil 2.1

SCH ve GOB integrasyonlarının kombinasyonu

12

Şekil 3.1

Sıcaklığın optik derinlik ile değişimi

17

Şekil 3.2

Eddington yaklaşımı ile GOB sonuçlarının

karşılaştırılması

18

Şekil 3.3

α

değerlerinin etkisinin gösterimi

19

Şekil 3.4

OO Aql ’nın ışık eğrileri

23

Şekil 3.5

Yakın çift yıldız sistemlerindeki yıldızların deneysel

çekim kararması

24

Şekil 3.6

Iglesias ve Rogers (1996) donukluk değerlerinin

sıcaklıkla değişimi

28

Şekil 3.7

Lagrange interpolasyon sonuçlarından örnek

29

Şekil 3.8

Donukluk tablolarının üç boyutlu gösterimi

32

Şekil 4.1 Nükleer enerji oluşum oranlarının sıcaklığa bağlı

olarak değişimi 47

Şekil 4.2

Paczynski koduna göre U Oph ’nin bileşenlerinin

yarıçap evrimleri

49

TABLO LİSTESİ

Ş

ekil

Numarası

Adı

Sayfa

Tablo 3.1

Çekim kararması üssü (β) değerleri

21

Tablo 3.2

GOB ve SCH sonuçları

33

Tablo 4.1

Nükleer enerji oluşum oranları

42

Tablo 4.1-a

Hidrojen yanması

42

Tablo 4.1-b

Helyumun azotla etkileşimi

43

Tablo 4.1-c

Üçlü α süreci

43

Tablo 4.1-d

Helyumun karbonla etkileşimi

44

Tablo 4.1-e

Karbon yanması

44

Tablo 4.1-f

Oksijen yanması

45

Tablo 4.2 U Oph sistemine ait gözlem sonuçları 48

ÖNSÖZ

Bu çalışmada emeği geçen danışman hocam Prof. Dr. Edwin BUDDING ’e

teşekkür gönül borcumdur. Bu tez çalışması kapsamında kullanılan GOB, SCH ve

HB8 programlarının kullanımında yurtdışından yardımlarını esirgemeyen, Kuzey

Arizona Devlet Üniversitesi’nde çalışan Dr. A. ODELL’e teşekkürlerimi ve

saygılarımı sunarım. Bu tez çalışmasında desteklerini esirgemeyen Prof. Dr. Mehmet

Emin ÖZEL’e ve Prof. Dr. Osman DEMİRCAN’a teşekkür ederim. Ayrıca

yardımlarından dolayı Doç. Dr. Ersen METE ve Doç.Dr. Levent SOLMAZ’a ne

kadar teşekkür etsem azdır. Katkılarından dolayı Y.Doç. Dr. Oktay YILMAZ ’a da

teşekkür ederim.

Tüm çalışmalarım boyunca beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan Canım

kızlarım Damla ve Gözde’ye ve desteklerinden güç aldığım eşim Murat İNLEK’e

teşekkür gönül borcumdur.

Çalışmalar süresince birçok şeyi paylaştığım sevgili arkadaşım Aysun

BÖKE’ye çok teşekkür ederim.

1. GİRİŞ

Nükleer Fizik, yıldızların evrimi ve yapısını belirleyen temel olayların

zincirindeki en son boş halkayı doldurmaktadır. Yıldızların içindeki nükleer

süreçler, parlak cisim olan yıldızların uzun süren hayatlarını sürdürebilmeleri için

gerekli olan çok büyük enerjiyi sağlarlar. Bu nükleer süreçler yıldızın

evrimleşmesine neden olan dönüşümlerin bir yoludur. Tıpkı Güneş gibi, diğer

yıldızlarda da akıyı besleyen enerji kaynakları; nükleer, termal ve gravitasyonel

etkilerdir. Fakat yıldızların hayatlarını sürdürebilmeleri için gerekli olan temel enerji

nükleer reaksiyonlarla sağlanmaktadır.

Yıldızların merkezinde oluşan enerji, çeşitli yollarla taşınır. Bunlar: enerjinin,

fotonlarla ya da ışınımla taşındığı radyatif transfer, yıldızlardaki sıcak gazın yukarı

doğru yükselip, soğuk gazın aşağı doğru inmesiyle gerçekleşen bir enerji taşınımı

olan konvektif transfer ve ısı iletimidir. Isı iletimi; yüksek hızlı parçacıkların,

yüksek sıcaklık bölgesinden düşük sıcaklık bölgesine doğru akmaları, aynı zamanda

da daha düşük hızlı parçacıkların, düşük sıcaklık bölgesinden yüksek sıcaklık

bölgesine doğru akmaları ile gerçekleşir. Düşük hızlı parçacıklar, yüksek hızlı

parçacıklara göre daha az enerji taşıdıkları için yüksek sıcaklıklı ortamdan, düşük

sıcaklıklı ortama doğru net bir enerji taşınımı vardır. Radyatif transferde fotonların

ortalama serbest yollarının az olması, onların çok fazla etkileşim yaptığı anlamına

gelir. Bu etkileşimler, yıldızlarda donukluğa neden olur [8]. Donukluğa neden olan

fiziksel süreçler:

a)

Bağlı – bağlı geçişler : Bir atom veya iyonun bir fotonu soğurmasıdır. Bağlı

bir elektronun, bağlı durumdaki daha yüksek enerji seviyesine geçmesidir.

b)

Bağlı – serbest geçişler : Fotoiyonizasyon olarak da isimlendirilebilir. Bağlı

bir elektronun foton soğurup serbest hale geçmesidir.

c)

Serbest – serbest geçişler : Serbest olan bir elektronun, bir foton soğurarak

yine serbest şekilde daha enerjik hale geçmesidir.

d)

Elektron saçılması : Fotonların serbest elektronlar tarafından saçılmasıdır.

Bu süreçler kullanılarak, farklı kimyasal karışımlar için yıldız modellerinde

kullanılmak üzere donukluk tabloları hazırlanmaktadır. Farklı donukluk tabloları

kullanılarak, donuklukların yıldız yapısı üzerindeki etkileri incelenebilmektedir.

Uzun zamandan beri yıldızların yapısı için matematiksel model oluşturmak

astrofiziğin klasik problemlerinden biri olmuştur. Yirminci yüzyılın başlarında, bu

konu üzerine Eddington [9], Chandrasekhar [10] ve Schwarzschild [8] tarafından

yazılan kitaplar en iyileridir. Ellilerde ve altmışlarda ilk üretilen bilgisayarların

yaygınlaşmasından önce bu konu iyi geliştirilmiş ve teorik astrofizik için bu

bilgisayarları kullanmak iyi bir başlangıç olmuştur.

Loudon ve Budding [11], Paczynski ve Ziolkowski [12,13] yaklaşımlarına

dayanarak bir yıldızın yapısı için bir model tasarlamışlar ve böyle hesapların küçük

bilgisayarlarda nasıl uygulanacağını tanımlamışlardır. Paczynski ’nin üç kodu

bulunmaktadır. Bunlar: GOB, SCH ve HB8 programlarıdır [1].

Konvektif bir atmosfer için çekim kararmasının doğası hem gözlemsel olarak

hem de teorik olarak açık değildir. Bu çalışma kapsamında GOB programı

kullanılarak konvektif bir atmosfer için çekim kararma üssünün hesaplanması

amaçlanmaktadır.

Yıldızlarda donuklukların yapı üzerine etkisi hem teorik hem de gözlemsel

olarak araştırılmaktadır. Paczynski Kodlarını kullanarak, donuklukların yıldız yapısı

üzerine etkisinin incelenmesi bu çalışmanın temel amaçlarından birisidir.

Çoklu, genç yıldız sistemi U Oph’nin özellikleri tam olarak bilinmemektedir. U

Oph’ ye ait gözlemsel sonuçlara dayanarak ve evrim modelleri oluşturarak sistemin

yaşını tahmin etmek bu çalışmanın amaçları arasındadır.

Bu çalışmada dış sınır şartlarını oluşturmak için GOB, sıfır yaş ana kol

yıldızları için SCH ve yıldız evrimi için HB8 programı kullanılmıştır. SCH

programı, GOB’un sonuçlarını kullanır, HB8 ise hem GOB hem de SCH

programlarının sonuçlarını ve nükleer enerji oluşum oranlarını kullanır. GOB

programı kullanılarak, küçük kütleli yıldızların zarflarındaki konveksiyon rolü

üzerine çalışmalar yapılmıştır. Konveksiyon bölgesindeki çekim kararma üssü,

0.4 – 1.1 M

◎

kütle aralığındaki yıldızlar için hesaplanmış olup Lucy [2] ’nin

sonuçlarına benzer sonuçlar elde edilmiştir.

Yıldızların dış zarfları ile ilgilenen GOB programı ve yıldızların kütlesinin

büyük bir kısmı ile ilgilenen ve nükleer enerji oluşum oranlarını kullanarak çalışan

SCH modelleme programı kullanılarak, donuklukların yıldız yapısı üzerine etkileri

incelenmiştir.

Gözlemsel kontroller için, HB8 programı kullanılmıştır. Bu program, zamana

göre yıldızın hidrojen ve helyum bileşimini değiştirerek yıldız evrimi

oluşturmaktadır. Genç yıldız sistemi olan U Oph ’nin gözlemsel kütle ve yarıçapları

bu programda kullanılarak, sistemin bileşenlerine ait yarıçap evrimleri elde

edilmiştir. Bu evrimlerden genç yıldız sisteminin yaşı tahmin edilmiştir.

Teorik hesaplamalar temel alınarak yapılan bu çalışmada kullanılan

programların işleyişinin ayrıntılı açıklamaları Yöntem bölümünde verilmiştir. Bu tez

çalışması kapsamında yayınlanan makale ve bildiriler Ekte sunulmuştur.

2. YÖNTEM

2.1 Genel Yapı Problemi

Temel olarak normal yıldızların yapısı problemi aşağıda verilen dört tipik

diferansiyel denklemin çözümü ile ifade edilebilir:

2

4 r

dr

dM

_r

πρ

=

(2.1)

₂

r

GM

dr

dP

_r

ρ

−

=

(2.2)

2

4

r

dr

dL

_r

περ

=

(2.3)

₂ 4

4 r

L

dr

dT

_r

πε

κρ

−

=

(2.4)

Bu denklemlerde semboller için geleneksel anlamları kullanılmı

ş

tır [8]. Bu

diferansiyel denklemler, toplam basınç

P

, enerji olu

ş

um oranı ε ve donukluk

κ

terimleri için verilen,

P

=

P

( T

ρ

,

)

,

ε =

ε

( T

ρ

,

)

ve

κ =

κ

( T

ρ

,

)

(2.5)

ba

ğ

ıntılarıyla tamamlanır. Denklemlerin programda analitik çözümü yoktur, sayısal

integrasyonla çözülmek zorundadır. Bu durumda çözümleri saptamak için sınır

ş

artlarının kurulması gerekmektedir.

Yukarıdaki formülasyonda temel ba

ğ

ımsız de

ğ

i

ş

ken,

0

≤

r ≤

R

aralığında

değişen yarıçap

r

’dir. Burada R , bütün yıldızın belirgin bir dış yarıçapı olarak

alınır. Böylece

r

=

0

ve

r =

R

olmak üzere iki fiziksel sınır vardır ve her iki sınırda

mutlak şartlar belirlenebilir. Esas problem bu yüzden iki nokta sınır değeri

şeklindedir. Bu durumda her bir sınırda bir çift şart kurulur. İç sınırda (yıldızın

merkezinde) merkez sıcaklığı

T

c

ve merkez yoğunluğu

ρ

c

bilinmezken,

r

=

0

için

0

=

r

M

ve

L

_r

=

0

alınır. Dı

ş

sınırda (

r =

R

’de),

M

R

ve

L

R

bilinmezken

ρ

=

0

ve

0

=

T

alınır. Denklem (2.1), (2.2), (2.3) ve (2.4) ’ün çözümü aslında bu dört

bilinmeyenin belirlenmesidir. Sonuç olarak bütün de

ğ

i

ş

kenler

M

_r

, ρ ,

L

_r

ve T ,

r’nin fonksiyonu olarak bulunur. Bu durum Schwarzschild ’ın kitabında [8]

verildi

ğ

i gibi klasik bir formülle

ş

tirmedir. Bununla birlikte birkaç

ş

ey bu çok basit

tanımlamayla çok uygun de

ğ

ildir [11]:

1.) T dı

ş

sınırda sıfır de

ğ

ildir. Çok anormal büyük iç de

ğ

erlerle

kar

ş

ıla

ş

tırıldı

ğ

ı halde çok küçüktür. Bununla birlikte bu yıldızın görünen ve en iyi

bilinen kısmıdır. Bu yüzden makul bir

ş

ekilde dı

ş

sıcaklık, verilen bir radyatif akı,

bile

ş

im ve kütle çekimi ile belirlenebilen bir model atmosferin dı

ş

sınır sıcaklı

ğ

ı

T

0

olarak alınabilir.

2.) Normal olarak verilen bir R büyüklü

ğ

ünde bir yıldız dü

ş

ünülmez. Ancak

verilen toplam kütle M ile dü

ş

ünülür. Ba

ş

ka bir deyi

ş

le yapının dört diferansiyel

denklemi pratik uygulama için

M

_r

ba

ğ

ımsız de

ğ

i

ş

ken yapılarak yeniden yazılabilir.

Böylece dı

ş

sınır verilen

M

,

ρ

=

ρ

0

ve

T =

T

0

(atmosferin en üstü) için yarıçap

R

M

ve ı

ş

ıtma

L

_M

’nin bilinmedi

ğ

i bir hale gelir.

3.) Bazı fiziksel de

ğ

i

ş

kenleri, sayısal olarak davranı

ş

ları genel olarak düzgün

olan kendi logaritmalarıyla de

ğ

i

ş

tirmek daha elveri

ş

li olur.

2.1.1 İki Nokta Sınır Değeri Problemleri

Genellikle x’in ba

ğ

ımsız de

ğ

i

ş

ken oldu

ğ

u iki diferansiyel denklemi içeren iki

nokta sınır de

ğ

eri probleminde bir denklem, 1 noktasından ba

ş

lanarak integre

edilebilir:

x =

x

1

;

y

=

0

,

z

r1

=

z

1

,

(2.6)

Burada

z

r1

, 1 noktasında z ’nin bilinmeyen ba

ş

langıç deneme de

ğ

eridir; 2

noktasından hareketle di

ğ

er yol,

x =

x

₂

;

y

_r1

=

y

₂

,

z

=

0

(2.7)

olur. Burada

y

_r1

, 2 noktasında y ’nin ba

ş

langıç deneme de

ğ

eridir.

Sayısal bir dörtlü için, diferansiyel denklemler sonlu, küçük, lineer fark

denklemlerinin takımıyla yer de

ğ

i

ş

tirilir ve

(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

ba

ş

langıç sınır tabakasından

ba

ş

lanarak bir sonrakine, daha sonrakine tabaka tabaka geçilir.

Bazı iç e

ş

noktalarda dı

ş

a do

ğ

ru olan çözüm 1, içe do

ğ

ru olan çözüm 2 ’deki

gibi aynı

y

m

ve

z

m

de

ğ

erlerini vermez. Bu yüzden bu e

ş

noktada

(

y

m1

−

y

m2

)

,

(

z

m1

−

z

m2

)

farkları alınabilir ve onları en sonraki y ve z de

ğ

erlerinin her biri için

uygun düzeltmelerle ayırarak ve yeni ba

ş

langıç de

ğ

erleri

z

_r2

ve

y

r2

’e ula

ş

mak için

e

ş

noktadaki gözden geçirilen de

ğ

erlerle ba

ş

layıp fark denklem takımlarında zıt

yönde ilerlenir. Böylece tüm seri tekrarlanabilir. Yakınsak bir problemde

z

r2

ve

2

r

y

’den ba

ş

layan dı

ş

a do

ğ

ru ve içe do

ğ

ru olan yeni denemeler iç e

ş

noktada oldukça

iyi bir uyumla sonuçlanır. Dörtlü

x

, y ve z dizilerinde, kabul edilebilir düzgün bir

büyüklükleri, her bir tabakadaki de

ğ

i

ş

kenlerin örnek de

ğ

erleri tespit edilirken ve

gerekli kavu

ş

ma kriterleri belirlenirken dikkat gerektirir. Ardı

ş

ık i

ş

leyi

ş

,

Schwarzschild ’ın kitabında verilmi

ş

tir [8] ve “sıfır ya

ş

” yıldız modelleri için

geçerlidir. Dar nükleer yanma bölgesi geli

ş

tiren yıldızlar bu yöntemle iyi

uyu

ş

mazlar.

2.1.2 Dış Sınır

Dı

ş

sınır düzenlemelerini olu

ş

turan GOB programı için verilen bir M de

ğ

eri

için ı

ş

ıtma L ve yarıçap R ’nin tahmin edilmesi gerekiyor. Bu iki büyüklükten

üçüncü büyüklük olan etkin sıcaklık

T

_e

, a

ş

a

ğ

ıda verilen ifadeden belirlenir [8].

2 4

4

R

T

e

L

=

π

σ

(2.8)

e

T

ve L için verilen de

ğ

erler, yapının bu kısmındaki R de

ğ

erini verecektir. Aslında

e

T

ve L , HR (Herzsprung Russell) diyagramından daha iyi tahmin edilir. Standart

model atmosfer için

T

e

ve en dı

ş

tabaka sıcaklı

ğ

ı

T

0

arasında bir ba

ğ

ıntı vardır.

Eddington ’un klasik model atmosferi için

T

T

_e 4 / 1 0

2

1

_











=

’dir [14] . Pratikte

T

0

’ın

ba

ş

langıç de

ğ

eri bilinmez. Sadece onun yakla

ş

ık aralı

ğ

ı bilinir. Fakat bu dı

ş

sıcaklı

ğ

a ula

ş

acak olan akıyı veren birkaç model olmalıdır. Loudon ve Budding

[11], L ,

T

0

düzleminde dört kö

ş

e noktası için yıldız boyunca olan integrasyonun

do

ğ

ru sonuçlarını içeren bir model atmosfer seti olu

ş

turmu

ş

lardır. GOB

integrasyonları yıldızın kütlesinin

%

10 ’una ula

ş

ana kadar ilerler (

M

≥

M

_R

≥

M

_B

).

sbt

L

L

=

_R

=

oldu

ğ

u durumda sadece üç diferansiyel denklem içerdi

ğ

i için bu

program oldukça hızlı çalı

ş

ır. Bu program alt sınırında, verilen

ρ

0

, T

0

ve

R

de

ğ

erleri için ρ

Β,

Τ

Β,

r

B

de

ğ

erlerinin takımını vermektedir.

Dört

L

, kö

R

ş

e de

ğ

erleri içinde lineer interpolasyon yapmak mümkündür.

Böylece herhangi bir

L

,

R

için

L

1

-

L

2

,

R

1

-

R

2

aralı

ğ

ında lineer interpolasyonla

atmosferin taban de

ğ

erleri ρ

B

(

L, R

)

,

Τ

B

(

L

,

R

), r

B

(

L

,

R

) elde edilebilir. Böylece,

[

]

[

(

,

)

(

,

)

]

)

,

(

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1

R

L

R

L

R

R

R

R

R

L

R

L

L

L

L

L

R

L

R

L

B B B B B B

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

−

−

−

+

−

−

−

+

=

(2.9)

olur [11].

2.1.3 İç Sınır

Dı

ş

a do

ğ

ru olan dörtlü, tahmin edilen

T

_c

ve

ρ de

_c

ğ

erlerinden hareket eder ve

B

M

M =

’de

L

0_f

,

r

0_f

,

T

0_f

ve

ρ

0f

de

ğ

erlerini bulur.

R

1

ile

R

2

aralı

ğ

ında olan

GOB’un dı

ş

yarıçapı

R =

(

R

_{0 f}

)

ile ilgili olarak

L

0f

’nin

L

1

den

L

2

’ye kadar olan

aralıkta oldu

ğ

u ve

r

_0f

’nin bu L için olan

r

_B

’nin bazı de

ğ

erleri ile uyumlu oldu

ğ

u

varsayılır. Ba

ş

langıç tahminlerinden elde edilen

T

0_f

ve

ρ

0f

terk edilir. Bu

de

ğ

erlerin denklem (2.9) ’da verilen

ρ

_B

(

L

_0f

,

R

_0f

),

T

_B

(

L

_0f

,

R

_0f

)

iç de

ğ

erleri ile

uyumlu olmaları gerekli de

ğ

ildir. Böylece

ρ

0_f

−

ρ

_B

ve

T

0f

−

T

B

farkları

kullanılarak

T

c

ve

ρ

c

’nin ba

ş

langıç tahminlerini geli

ş

tirmek için fark

denklemlerinden geriye do

ğ

ru ilerlenebilir. L ve R ’nin yer de

ğ

i

ş

tirmesi sonucunda

B

ρ ve

T

_B

’nin pertürbasyonu denklem (2.9) ’dan elde edilebilir. Böylece ρ, Τ

ayrılıkları dı

ş

sınır de

ğ

erlerini geli

ş

tirmekte kullanılabilir. Bu

ş

ekilde

L

0_f

ve

f

R

₀

’nin GOB ’un örnek alanından dı

ş

arıya çıkmadı

ğ

ı, kararlı olması gereken

ba

ş

arılı bir yakla

ş

ımlar yöntemi mümkün olacaktır.

Ayarlanan nokta atmosfer tabakasının tabanı olmak zorunda de

ğ

ildir.

B r

M

M

=

tabakası için L

B

, r

B

, ρ

B

ve

T

B

’nin kombinasyonlarından bazıları seçilebilir

ve dört de

ğ

i

ş

ken için ba

ş

langıç integrasyonu, içteki tipik denk nokta

M

f

’ye

uygulanır. Bu çalı

ş

mada

M

_f

=

0

.

3

M

olarak alınmı

ş

tır.

M

_f

’de içe do

ğ

ru ve dı

ş

a

do

ğ

ru olan integrasyonlar arasındaki farklardan, yeni dı

ş

de

ğ

er

R

/

,

lineer

interpolasyonla elde edilebilsin diye ba

ş

langıç de

ğ

erleri

L

/_B

,

r

_B/

,

ρ

_B/

ve

T

_B/

olarak

pertürbe edilir.

/

B

L , L

için daha yeni bir dı

ş

de

ğ

erdir ve dı

ş

de

ğ

er

R

/

lineer

interpolasyonla elde edilebilsin diye

/

B

r

ile birlikte dört kö

ş

e noktanın çevresinde

uzanmaktadır.

Düzeltmelerin dı

ş

sınır

M

=

M

_B

’den içe do

ğ

ru olan yeni bir iterasyona

uygulanabilmesi için

/

B

ρ ve

T

_B/

’nün GOB ürünleri olan

ρ

_B

(

L

;

R

/

)

ve

(

;

/

)

R

L

T

_B

ile

tam olarak benzemesi gerekmedi

ğ

i dü

ş

ünülür.

2.2 Zarf Model Programları

Yıldızların yapılarını teorik olarak hesaplamak için üç genel-alan programı

JILA ’da, J.C.Cox ’un girdileri baz alınarak Paczynski tarafından olu

ş

turulmu

ş

tur [1]

(Paczynski Kodu). Bu programlar Normal Ana kol tipi yıldızların modellerini ve

onların evrimlerini çalı

ş

mak için çe

ş

itli gruplar tarafından kullanılmaktadır.

Yakla

ş

ım iki nokta sınır de

ğ

eri problemi [4] olarak yapı denklemlerinin

olu

ş

turulmasına dayanır [8]. Paczynski Kodu’nun ilk kısmı olan GOB programı (ki

bu program dı

ş

sınır

ş

artlarını olu

ş

turur) yıldızın zarf bölgesinin sayısal integrasyonu

ile ilgilenir. Bu program hidrostatik denge ve ideal gaz kanununun oldu

ğ

unu ve

enerji transferinin radyasyonla ya da konveksiyonla oldu

ğ

unu varsayarak yıldızların

grey atmosferini olu

ş

turur. Hidrojen molekülünün çözünmesi ve hidrojen ve

helyumun iyonla

ş

ması hesaplanır. Yıldızın kütlesi, ı

ş

ıtması log

L/L

◎

etkin sıcaklı

ğ

ı

e

modellerinde üst sıcaklık

T

0

, etkin sıcaklık

T

e

’ye

T

0

=

f

T

T

e

ş

eklinde ba

ğ

lı olarak

alınır. Buradaki

f

T

, kullanıcı tarafından belirlenir. Bu çalı

ş

mada GOB programında

e

T

T

₀

=

0

.

727

olarak alınmaktadır.

Paczynski Kodu ’nun ikinci programı SCH programıdır. SCH programı

çekirdekte hidrojenin helyuma dönü

ş

tü

ğ

ü nükleer reaksiyonların ba

ş

ladı

ğ

ı homojen

bile

ş

imle sıfır ya

ş

ana kol modelini olu

ş

turur. Dört sınır

ş

artının verilmesi

gerekmektedir. Bunlar: log

L/L

◎

, log

T

_e

, log

T

_c

ve

log

ρ

_c

’dir. Program

çekirdekteki uygun noktadan ba

ş

layıp dı

ş

a do

ğ

ru olan sayısal integrasyonda girilen

ba

ş

langıç de

ğ

erlerini kullanır.

Üçüncü program HB8, GOB ve SCH ’ın çıktılarını kullanır. Bölgesel nükleer

reaksiyon oranlarına ve zaman adımına göre hidrojen ve helyumun bile

ş

imini

de

ğ

i

ş

tirir ve evrimle

ş

mi

ş

bir yıldız modeli olu

ş

turur. Bu süreç kullanıcının seçimine

ba

ğ

lı olarak pek çok zaman adımı için tekrarlanır ve bitirilir.

2.3 Model Oluşturulmasında GOB ve SCH Programlarının Kullanılması

Bir boyutlu uzayda basit bir yıldız modelinin olu

ş

turulması genellikle dört

diferansiyel denklemden olu

ş

an sayısal dörtlü

ğ

ü içeren iki nokta sınır de

ğ

eri

problemi

ş

eklindedir [8]. Sınır

ş

artlarına bakıldı

ğ

ında iç sınır daha basittir.

Ba

ğ

ımsız de

ğ

i

ş

ken iç kütle M

r

normal olarak yarıçap r ve ı

ş

ıtma L

r

ile beraber

burada sıfırdır. Merkezi sıcaklık ve merkezi yo

ğ

unluk

T

c

ve

ρ ’nin sınır de

c

ğ

erleri

ba

ş

langıçta tahmini olarak atanır. Böylece dörtlü dı

ş

a do

ğ

ru olan integrasyonun dı

ş

sınırdan içe do

ğ

ru olan integrasyonla kar

ş

ıla

ş

aca

ğ

ı iç noktaya do

ğ

ru ilerleyebilir.

Dı

ş

sınır bazı nedenlerden dolayı daha karı

ş

ıktır. Bunlardan biri modelleme

probleminin çözümündeki ana amaç olan dörtlü tarafından belirlenen iki dı

ş

sınır

de

ğ

erleriyle gözlemsel sonuçların ili

ş

kilendirilmesidir. Normalde direkt olarak

ölçümlerle bulunabilen iki nicelik yüzey ı

ş

ıtması

L

0

ve etkin sıcaklık

T

e

’dir.

GOB (dı

ş

sınır olu

ş

umları) programı,

L

0

,

T

0

düzleminde dört kö

ş

e noktası için

model atmosferinin bir takımını olu

ş

turur. GOB programının içe do

ğ

ru olan

integrasyonları yıldızın toplam kütlesinin 0.95xM

R

’lik kısmından ba

ş

layıp kullanıcı

tarafından kurulan M

r

=M

B

atmosfer tabakasının tabanına do

ğ

ru ilerlemektedir.

Uygulamada e

ğ

er sıcaklık çok yüksek olursa veya integrasyon adımlarının sayısı

kullanı

ş

sız olacak

ş

ekilde çok fazla ise bazı kontrol parametreleri ortaya çıkar. GOB

programı alt sınırda

L

0

=L

B

’nin geçerli tutulmasıyla

ρ ,

B

T

B

ve

R

B

de

ğ

erlerinin bir

takımını olu

ş

turur. Verilen bu dört kö

ş

e de

ğ

erleri ile atmosfer de

ğ

erlerinin taban

de

ğ

erlerini bulmak için ara noktalar için denklem (2.9) ’a göre lineer interpolasyon

yapmak mümkündür.

İ

çeriye do

ğ

ru integrasyonlarla çalı

ş

an GOB programının

sonucu olarak elde edilen dört taban de

ğ

er, SCH programındaki iç integrasyonlara

girdi olarak verilmektedir. Merkezden dı

ş

arıya do

ğ

ru integrasyonlar, 0.95M

R

seviyesinden içeriye do

ğ

ru integrasyonlarla, Mr=M

R

/2 olarak seçilen sabit bir iç

noktada kar

ş

ıla

ş

tırılır. De

ğ

i

ş

kenlerin dördünün bu noktadaki ortalaması geriye do

ğ

ru

olan integrasyonlar için yeni ba

ş

langıç de

ğ

erleri olarak alınır ve böylece bir iterasyon

süreci ba

ş

lamı

ş

olur.

Merkezden dı

ş

arıya do

ğ

ru ikinci kez çalı

ş

tırılan SCH programında, yeni

T

c

ve

ρ

c

merkezi de

ğ

erlerini tahmin etmek kolay olmaktadır. Bununla birlikte SCH

akı

ş

ının (çalı

ş

masının) dı

ş

sınırında dört de

ğ

i

ş

ken için yeni de

ğ

erler olacaktır. Fakat

sadece

L

0

ve

R

yüzey çifti ba

ğ

ımsız olarak bu iki nokta probleminin integrasyonları

ile düzeltilir. Yeni yüzey ı

ş

ıtması

L

0

dı

ş

tabakalarda de

ğ

i

ş

im göstermedi

ğ

i için direkt

olarak elde edilir.

R

’nin yeni yüzey de

ğ

eri yeni

L

0

ve

R

B1

ve

R

B2

bilinen de

ğ

erleri

için orjinal GOB yüzey de

ğ

erleri olan

R

1

ve

R

2

kullanılarak elde edilebilir. Bu

R

B1,2

de

ğ

erleri dı

ş

a do

ğ

ru olan integrasyonlardan elde edilen yeni

R

B

de

ğ

eri ile

kar

ş

ıla

ş

tırılır.

R

’nin düzeltilmi

ş

yüzey de

ğ

eri interpole edilebilir.

L

0

ve

R

’nin yeni

yüzey de

ğ

erlerinin olması denklem (2.9) ’dan elde edilen ρ ve

T

’nin ba

ş

langıç

de

ğ

erleri ile taban de

ğ

erlerinin yeni bir takımını olu

ş

turmaya yol açar.

İ

çerideki

kar

ş

ıla

ş

ma noktasında de

ğ

i

ş

kenlerin dört çifti arasındaki farklılıklar do

ğ

ruluk kontrol

limitinin altında ise program sona ermektedir.

Ş

ekil 2.1, SCH ve GOB

integrasyonları arasındaki uyumu göstermektedir.

Ş

ekil 2.1 Bir Güne

ş

kütleli sıfır –ya

ş

modeli için kütle kesrine ba

ğ

lı sıcaklık

de

ğ

i

ş

imlerinin SCH ( ) ve GOB (……) integrasyonlarının

kombinasyonu.

Yıldızın merkezinden dı

ş

arıya do

ğ

ru olan SCH integrasyonlarındaki sıcaklı

ğ

ın,

artan kütle kesriyle azaldı

ğ

ı ve içe do

ğ

ru olan GOB integrasyonlarındaki sıcaklı

ğ

ın

giderek arttı

ğ

ı

Ş

ekil 2.1’den görülmektedir.

2.4 Lagrange İnterpolasyon Metodu

İ

nterpolasyon kısaca verilen de

ğ

erlerden ara de

ğ

erleri bulma

ş

eklinde

tanımlanır. Pek çok interpolasyon metodu vardır. Lagrange interpolasyon metodu

bunlardan sadece bir tanesidir. Lagrange interpolasyon formülü, N tane noktadan

geçen ve N-1 dereceli polinomu tanımlayan, bu polinom ile istenilen ara de

ğ

eri

hesaplayan bir teorem

ş

eklinde tanımlanır.

Lagrange interpolasyon formülü, dört noktadan geçen üçüncü dereceden bir

polinom olarak yazılırsa;

∑

− =

=

1 0 ,

(

).

)

(

N k k k N N

X

L

X

Y

P

(2.10)

(2.10) denklemi ile verilir. Lagrange katsayıları a

ş

a

ğ

ıdaki gibi tanımlanır.

)

)...(

).(

)...(

(

)

)...(

).(

)...(

(

)

(

1 1 0 1 1 0 , N k k k k k N k k k N

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

L

−

−

−

−

−

−

−

−

=

+ − + −

_(2.11)

P

(

X

)

=

L

0

(

X

).

Y

0

+

L

1

(

X

).

Y

1

+

L

2

(

X

).

Y

2

+

L

3

(

X

).

Y

3

(2.12)

Burada

L

0

,

L

1

,

L

2

,

L

3

Lagrange katsayılarıdır. Bu katsayılar,

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

(

3 0 2 0 1 0 3 2 1 0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

L

−

−

−

−

−

−

=

(2.13)

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

(

3 1 2 1 0 1 3 2 0 1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

L

−

−

−

−

−

−

=

(2.14)

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

(

3 2 1 2 0 2 3 1 0 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

L

−

−

−

−

−

−

=

(2.15)

)

)(

)(

(

)

)(

)(

(

)

(

2 3 1 3 0 3 2 1 0 3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

L

−

−

−

−

−

−

=

(2.16)

ş

eklindedir [4].

3. GOB VE SCH PROGRAMLARININ UYGULAMALARI

3.1 Çekim Kararması Hesaplamaları

Çekim kararmasının doğası hem teorik hem de gözlemsel olarak çok açık

değildir, fakat biçimsiz yıldızların özellikle de değen çift yıldızların ışık eğrilerinin

analizinde önemli bir etkisi vardır. Etkinin adı bazen ‘kararma’, bazen ‘parlama’

olarak bu belirsizliğe yansır. Radyatif bir atmosfer için klasik teori, bölgesel akının,

biçimsiz bir yıldız yüzeyinde bölgesel çekim ile orantılı olarak arttığını söyler.

Konular ayrıntı ile Von Zeipel tarafından açıklanmıştır [15]. Konvektif bir atmosfer

için etkinin doğası açık değildir.

Çekim kararma katsayıları bir yıldızın dış zarfının klasik teorisinden gelir.

Eğer bu tabakalardaki akı sadece sıcaklık eğimine bağlı olursa ve sıcaklık eş

potansiyel yüzeyleri boyunca sabit olursa, akı bu yüzeylerin aralıkları ile ters orantılı

olacaktır. Fakat çekim kendi kendine ters bir orantıya sahiptir. Böylece akının

çekimle orantılı olduğu sonucuna varılır [15]. Pratikte bu yaklaşımın en azından

zarflarında radyatif nakil ile taşınan akının baskın olduğu yıldızlar için gözlemler ile

mantıklı bir uyum verdiği görülür [16]. Gözlemsel analizler için F bolometrik akı,

g

çekim ve

τ

çekim kararma işareti olmak üzere yaygın olarak

F

α

g

τ

şeklinde yazılır. Yüzeyin altındaki tabakalarda enerji nakli sadece radyatif

olursa von Zeipel kanununa göre τ ’nun bolometrik değeri τ =1 olarak alınır.

Lucy , dış tabakalarda içinde enerji naklinin başlıca yolunun konveksiyon

olduğu bir zarfta τ için farklı bir değer bulmuştur [2]. Lucy, Baker ’ın atmosferik

modellerini [17] kullanarak deneysel olarak τ = 0.32 bulmuştur. Lucy bölgesel

sıcaklık eğiminin ilk olarak süper-adyabatik olduğu derinlik için konvektif zarf

modellerinin verilerini kullanmıştır. Bu noktada ısı akısını tanımlamak için etkin

sıcaklık

T ’nin kullanılması gerekmektedir.

_e

T ’nin

_e

F

=

σ

T

_e4

ile tanımlanmasıyla

Lucy ’nin yaptığı gibi

T

e

α

β

g

yazılabilir. Böylece

β =

τ

/

4

olur. Bu durumda

enerji nakli tamamen radyatif oldu

ğ

unda β =0.25 olmalıdır. Bununla birlikte Lucy’e

göre konvektif zarfları olan yıldızlar için

β

≈

0

.

08

’dir. Claret de evrim modellerini

kullanarak bu konuyu incelemi

ş

tir [18]. Claret evrimle

ş

en yıldızların yapısal

hesaplamaları için ‘üçgenler’ metodunu geli

ş

tirerek çekim-kararma üssünü

sunmu

ş

tur. Claret iki enerji nakli mekanizmasının arasında yumu

ş

ak bir geçi

ş

in

olması gereken radyatif ve konvektif zarflar için sırasıyla

β

=

0

.

25

ve

β

=

0

.

08

sonuçlarına ula

ş

mı

ş

tır. Claret ’in buldukları, F5V spektral tipteki ı

ş

ık e

ğ

risi

e

ğ

ilimlerinin ani geçi

ş

i olmadı

ğ

ını bulan Kitamura ve Nakamura ’nın [19,20]

çalı

ş

malarıyla uyumlu görülmektedir. Tutulan çift yıldızlar için mevcut ı

ş

ık e

ğ

risi

kalitesinin düzeyinde konveksiyonun yüzey ısı da

ğ

ılımına veya iç yapıya etkilerini

ayırt etmek mümkün de

ğ

ildir [21]. Aslında tutulan çift yıldızların ı

ş

ık e

ğ

rileri,

varyasyonlarının birle

ş

en etkileri sayesinde benzer eliptik ı

ş

ık e

ğ

rileri olu

ş

turabilen

parametrelerin sayısına ba

ğ

lıdır [22]. Bunun için fotometri, teori için fark gözeten

bir araç olarak anla

ş

ılabilir. Bununla birlikte Takeda, çekim kararmasının etkisinin

küçük olmadı

ğ

ını ortaya çıkarmı

ş

tır [23].

Çekim kararma üslerinin gözlemsel olarak belirlenmesi Eaton ve grubu ve

Rafert ve Twigg tarafından sunulmu

ş

tur [24,25]. Eaton ve grubu üç farklı (CC

Com, W UMa ve RT Lac için olmak üzere) belirlemeye dayanarak bir ‘gözlemsel’

konvektif çekim karartma üssü

β

=

0

.

054

±

0

.

02

’yi önermi

ş

lerdir. Rafert ve Twigg

A ve W-tipi W UMa tipi yıldızlar için ortalama bir

β

=

0

.

08

de

ğ

eri vermi

ş

lerdir.

Rafert ve Twigg, Wilson ve Devinney [26] modellerini ı

ş

ık e

ğ

risi ayarlamalarında

serbest bir parametre olan β ile kullanmı

ş

lardır. A- tipi W UMa sistemleri

genellikle, dü

ş

ük çekim kararma üssü beklenmeyen radyatif atmosferlerle

tanımlanırlar. Kitamura ve Nakamura çekim kararma üssünü gözlemlerden analiz

etmi

ş

lerdir. Onların sonuçlarında W UMa için β ~ 0.14- 0.46 arasında de

ğ

i

ş

ir [19].

Öte yandan van Belle ve grubu A7IV-V tayf türü için

0.052

059 . 0

078

.

0

+ −

=

β

bulmu

ş

lardır

[27]. Gözlemsel verilerde β için açık bir belirsizlik oldu

ğ

u için, Paczynski ’nin

GOB programını kullanarak β ’nın de

ğ

erinin küçük kütleli yıldızların konveksiyon

zarfları için tekrar ara

ş

tırılmasına karar verilmi

ş

tir. Bu yöntem temel olarak

Lucy’nin yöntemine benzemektedir.

İ

lk olarak GOB programını standart modeller ile kar

ş

ıla

ş

tırmak için Allen ’in

standart güne

ş

fotosfer modeli [28] için olan verilerine kar

ş

ı GOB programının

sonuçları gözden geçirilerek ve bulunan sonuçlar aynı zamanda klasik teori olan

Grey atmosferi paralel düzlem modeli [14] ile de

Ş

ekil 3.1 ’deki gibi sıcaklı

ğ

ın

optik derinlik ile de

ğ

i

ş

imi çizilerek kar

ş

ıla

ş

tırılmı

ş

tır. Buradaki optik derinlik

τ ,

e

bölgesel sıcaklı

ğ

ın

T

(

τ

_e

)

=

T

_e

oldu

ğ

u derinliktir.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3,60 3,65 3,70 3,75 3,80 3,85 3,90 3,95 4,00 4,05 L o g T Log τ ALLEN GOB GREY

Ş

ekil 3.1 Sıcaklı

ğ

ın optik derinlik ile de

ğ

i

ş

imi (GOB, Allen ve Grey

Modelleri).

GOB çıktıları, zarftaki kütle kesri

M

_r

,

sıcaklık T , optik derinlik τ , gürültü

hızı

v

_T

ve enerji yo

ğ

unlu

ğ

u E

ş

eklindedir. Bu program sadece zarflara uygulanıp

nükleer enerji olu

ş

um bölgesine uygulanmaz.

İ

ntegrali alınan akı sabit varsayılır

(integrasyon bölgesinde

L

=

sabit). Bu da hesaplama zamanının bir tasarrufu

ş

eklinde sonuçlanır. Bunun iyi sürdürülebilmesi için aynı zamanda integrasyon

bölgesinin tabanındaki sıcaklık ~ 10

7

K ’in altında olmalıdır. GOB aynı zamanda

farklı integrasyon adımları ve karı

ş

ım uzunlu

ğ

u parametreleri (α ) ile kolayca

çalı

ş

tırılabilir.

Dü

ş

ük kütleli modeller için konveksiyon bölgesinin yeri saptanmı

ş

tır. Bu

sonuç

Ş

ekil 3.2 ’de gösterilmektedir.

Ş

ekil 3.2 Radyatif bir model atmosfer için Eddington yakla

ş

ımı ile GOB

sonuçlarının kar

ş

ıla

ş

tırılması.

Burada GOB integrasyonları için sıcaklı

ğ

ın optik derinlikle gösterimi

sunulmaktadır. Radyatif bir atmosfer için Eddington yakla

ş

ımını içeren modelin

bölgesel sıcaklık de

ğ

i

ş

imi ile GOB sonuçları kar

ş

ıla

ş

tırılmaktadır.

İ

çindeki

sıcaklı

ğ

ın hesaplanan bölgesel sıcaklıkta farklı oldu

ğ

u, sadece radyatif sistemle

uydu

ğ

u tümsek, açıkça konveksiyon bölgesinin yerini i

ş

aret etmektedir. Aynı

zamanda konveksiyon bölgesi büyüklü

ğ

ünün farklı zarf intregrasyonları için azalan

kütle ile nasıl arttı

ğ

ı

Ş

ekil 3.3 ’den görülmektedir.

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 d e lt a R /R Kütle α =1 α =2

Ş

ekil 3.3 Konveksiyon bölgesi büyüklü

ğ

ü (

∆R

/

R

) dü

ş

ük kütleli yıldızlar için

kütlenin azalmasıyla artar.

Ş

ekil aynı zamanda farklı karı

ş

ım

uzunlu

ğ

u parametresi (

α

) de

ğ

erlerinin etkisini göstermektedir.

3.1.1

β

’nın Hesaplanması

İ

lk olarak verilen bir model kütlesi için zarf integrasyonunu adım adım

çizelgeye döken program çıktısından konveksiyon bölgesinin alt tabakası tespit

edilir. Bu tabakanın altında sıcaklık e

ğ

iminin Von Zeipel modeline [15] dönmesi

gerekti

ğ

i konusunda genel bir anlayı

ş

vardır. Lucy, adyabatik sabiti (bazen özel

entropi olarak adlandırılır), konveksiyonun ba

ş

ladı

ğ

ı tabakada

T

e

ve

g

’ye ba

ğ

lı

olarak a

ş

a

ğ

ıdaki gibi tanımlamaktadır [2] :

log

K

=

log

T

−

(

γ

−

1

)

log

ρ

(3.1)

Böylece

β

için mümkün sayısal de

ğ

er Lucy ’nin verdi

ğ

i gibi:

_g e T

T

K

g

K

e

log

)

log

/(

)

log

log

(

∆

∆

∆

∆

=

β

(3.2)

elde edilir [2]. Daha önce bahsedildi

ğ

i gibi

T

_e

, GOB ’da yerle

ş

tirilir ve g de

2

/ R

GM

g

=

’den bulunur. Verilen bir

T

_e

’de (dolayısı ile g ’de) ı

ş

ıtmanın giri

ş

de

ğ

eri de

ğ

i

ş

tirilerek R de

ğ

i

ş

tirilir. Denklem (3.2) ’de

T

e

’nin sabit oldu

ğ

u pay

böylece direk olarak elde edilir. Çünkü verilen

T

0

ile

T

e

=

1

.

376

T

0

olarak tespit

edilir. Konvektif tabakalardaki K de

ğ

eri programın verdi

ğ

i T ve

ρ

de

ğ

erleri

kullanılarak denklem (3.1) ’den basit olarak hesaplanır. Tabakadan tabakaya ya da

modelden modele belirlenen bir tabakada

∆

log

K

farkları kolayca takip edilir.

Sadece giri

ş

parametresi

log ’yi de

L

ğ

i

ş

tirmek zarfın büyüklü

ğ

ünü de

ğ

i

ş

tirir ve

dolayısıyla etkin çekimi de

ğ

i

ş

tirir. Çünkü,

log

L

=

4

log

T

0

+

2

log

R

+

sabit

(3.3)

dir.

T

0

sabit iken

log , s

L

1

ile arttırıldı

ğ

ında, buna ba

ğ

lı olarak

log ise,

R

2

1

s

1

ile

arttırılmalıdır ve böylece

log , s

g

1

ile azaltılmalıdır. Bu yüzden denklem (3.2) ’deki

pay

∆

log

K

/

s

1

’e e

ş

it olur.

log T , s

0 2

ile arttırıldı

ğ

ında,

log parametresi orjinal

L

de

ğ

erinde tutulursa, buna ba

ğ

lı olarak

log ’de 2s

R

2

ile bir dü

ş

ü

ş

olacaktır. Böylece

yukarıdaki i

ş

lem basitçe tekrarlanırsa payda kesrini bulmak için

log ’den çok

L

0

log T

kullanılarak s

2

adımı ile g ’nin bir de

ğ

i

ş

imi olaca

ğ

ı için do

ğ

ru bir kısmi türev

olmaz. Fakat,

log ’deki adım gibi

T

log , 4s

L

2

ile arttırılırsa

log (böylece log g)

R

de

ğ

i

ş

mez. Bu

ş

ekilde uygun bir kısmi türev elde edilebilir. Elveri

ş

li ölçüm için bu

iki adımın e

ş

it olması gerekiyor. Böylece

4

s

2

=

s

1

olur.

log ’deki artı

L

ş

, s

1

muhafaza edilerek dolayısıyla

logT

0

’ı,

1

4

1

s ile arttırılarak payda ikinci

çalı

ş

tırmadan hesaplanır. Bu yolla GOB tipi bir program kullanılarak bölgesel

β

de

ğ

erleri kontrol edilebilir. Hesaplamaların bir serisinde, di

ğ

er temel parametreler

sabit tutularak kütle de

ğ

i

ş

tirilmi

ş

tir.

Lucy,

β

’nın karı

ş

ım uzunlu

ğ

u parametresi (

α

) ile de

ğ

i

ş

imini incelemi

ş

ve bu

parametreye ba

ğ

lılık olmadı

ğ

ı sonucuna varmı

ş

tır. Bu çalı

ş

mada, Lucy ’nin bu

sonucu GOB tipi bir program ile (GOAL) ara

ş

tırılmı

ş

tır. Sonuçlar Tablo 3.1 ’de

verilmi

ş

tir.

Tablo 3.1 GOAL programı kullanılarak farklı karı

ş

ım uzunlu

ğ

u parametreleri

için bulunan çekim karartması üssü (

β

) de

ğ

erleri.

M◎ logL logT0

∆

R

/

R

β

( =

α

0

.

2

)

β

( =

α

0

.

5

)

β

( =

α

1

)

β

( =

α

2

)

0.4 -1.21 3.49 0.0813 0.089 0.068 0.09 - 0.5 -0.92 3.53 0.0508 0.177 0.078 0.07 0.076 0.6 -0.67 3.55 0.0461 0.192 0.081 0.076 0.067 0.7 -0.47 3.57 0.0376 0.195 0.092 0.068 - 0.8 -0.29 3.59 0.0302 0.237 0.11 0.061 - 0.9 -0.14 3.61 0.0216 0.253 0.18 0.065 0.075 1 0 3.62 0.0162 0.230 0.31 0.061 0.054 1.1 0.13 3.64 0.00869 0.252 0.15 0.09 0.061 1.2 0.24 3.65 0.000889 0.220 0.16 0.016 0.053