İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BCH KODLARI
YÜKSEK LİSANS TEZİ Selda ÇALKAVUR
0309042008
Anabilim Dalı : Matematik Bilgisayar Programı : Matematik Bilgisayar
Tez Danışmanı: Prof. Dr. Erol BALKANAY
İÇİNDEKİLER
TABLO LİSTESİ ………...iv
SEMBOL LİSTESİ ………v
ÖZET……….vii
ABSTRACT……….viii
BÖLÜM 1. SONLU CİSİMLER………...1
1.1. Cisim Genişlemeleri………1
1.2. Sonlu cisimlerin Yapısı………...5
1.3. Birimin Kökleri ve Cyclotomic Polinomlar………15
1.4. Sonlu Cisimlerin Elemanlarının Gösterilmesi………...18
BÖLÜM 2. SONLU CİSİMLER ÜZERİNDE POLİNOMLAR………..19
2.1. Polinomların Mertebesi ve Primitif Polinomlar……….19
2.2. İndirgenemez Polinomlar……….27
2.2.1. İndirgenemez Polinomların Kuruluşu………...31
BÖLÜM 3. LİNEER KODLAR………..46
3.1. Dual Kod ve Eşlik-Denetim (Parity-Check) Matrisi……….48
BÖLÜM 4. HAMMING KODLARI………...54
4.1. Ham(r,q nun Kuruluşu……….56 )
BÖLÜM 5. DEVRESEL KODLAR………59
BÖLÜM 6. BCH KODLARI………67
6.1. Minimal Polinomlar………..74
6.2. BCH Kodları……….85
6.2.1. Tasarlanmış Mesafe………..85
6.2.2. BCH Kodunun Kuruluşu………..87
6.2.3. n=63 İçin Tüm BCH Kodlarının Oluşturulması………95
6.2.4. İki-Hata Düzelten BCH Kodunu Çözmek………..105
6.2.5. BCH Kodları İçin Genel Kod Çözme Algoritması……….107
6.2.5.1. Hata Yerleştiren Polinom………...111
6.3. Son Gelişmeler……….116
6.4. Goppa Kodları……….117
KAYNAKLAR………120
EKLER………122
ÖNSÖZ
İstanbul Kültür Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne bağlı Matematik
Bilgisayar Ana Bilim Dalı, Matematik Bilgisayar Yüksek Lisans Programı’nın son aşaması olan bu tez çalışmasında, “BCH Kodları” ele alınmıştır.
Çalışmalarım esnasında, beni yalnız bırakmayan, değerli görüş ve fikirleri ile bu teze yön veren ve her türlü desteğini esirgemeyen saygıdeğer hocam Sayın Prof. Dr. Erol Balkanay’a katkılarından dolayı teşekkür etmeyi büyük bir borç bilir,
saygılarımı sunarım.
Bugüne kadar bana hep destek olan başta babam Yusuf Çalkavur’a, bütün aileme ve görev yaptığım okul müdürüm Canan Ertekin’e de teşekkür ederim.
İstanbul, Şubat 2006 Selda ÇALKAVUR
ABSTRACT
This study which examines BCH codes consist of six chapters.
Chapter 1 develops those concepts from Abstract Algebra that are necessary to an uderstanding of BCH codes. Finite fields and structure of finite fields are introduced in this chapter.
Chapter 2 is devoted to presantation of polynomials over finite fields. Construction of irreducible polynomials are also given.
Chapter 3 contains an introduction to coding theory. In this chapter linear codes, generator matrix of a code, dual code and parity-check matrix are considered. Hamming codes are introduced in chapter 4.
The properties of cylic codes, generator polynomial of cylic codes are presented in chapter 5.
Chapter 6 covers in detail BCH codes. Primitive element, primitive polynomial and minimal polynomiala are examined. A class of BCH codes for t−error
correction is presented. Further, in this chapter the new developments of BCH codes and Goppa codes are presented.
Key Words: Finite fields, roots of unity and cyclotomic polynomials, order of polynomials, irreducible polynomials, linear codes, Hamming codes, cylic codes, generator polynomial, primitive element, primitive polynomial, minimal
ÖZET
BCH kodlarının ele alındığı bu çalışma, altı bölümden oluşmaktadır.
Bölüm 1’de BCH kodları için gerekli cebirsel bilgiler verilmiştir. Sonlu cisimler ve sonlu cisimlerin yapısı incelenmiştir.
Bölüm 2’de sonlu cisimler üzerinde polinomlardan söz edilmiş, indirgenemez polinomların kuruluşu ele alınmıştır.
Bölüm 3’te kodlar teorisine bir giriş yapılmıştır. Bu bölümde lineer kodlar, bir kodun üreteç matrisi, dual kod ve eşlik-denetim (parity-check) matrisi incelenmiştir. Bölüm 4’te Hamming kodlarından söz edilmiştir.
Bölüm 5’te devresel kodların özelikleri, devresel kodların üreteç polinomu gösterilmiştir.
Bölüm 6’da BCH kodları detaylı bir şekilde incelenmiştir. Primitif eleman, primitif polinom ve minimal polinomlar anlatılmıştır. t−hata düzelten BCH
kodlarının bir sınıfı ele alınmıştır. Ayrıca bu bölümde, BCH kodları hakkındaki son gelişmeler ve Goppa kodları anlatılmıştır.
Anahtar kelimeler: Sonlu cisimler, birimin kökleri ve cyclotomic polinomlar, polinomların mertebesi, indirgenemez polinomlar, lineer kodlar, Hamming kodları, devresel kodlar, üreteç polinomu, primitif eleman, primitif polinom, minimal polinomlar, tasarlanmış mesafe, BCH kodları, Reed-Solomon kodu, Goppa kodları.
SEMBOL LİSTESİ
BCH kodu : Bose-Chaudri-Hocquenghem kodları ⊥
C : C kodunun duali 15
C : 15 uzunluklu iki-hata düzelten BCH kodu
) (n
E : K cismi üzerinde birimin n. köklerinin kümesi ,
q
F GF(q) : Mertebesi q= ph ( p asal, h pozitif tam sayı) olan Galois cismi
n q
F )
( : F nun elemanlarının sıralı q n−lilerinin kümesi ]
[x
Fq : Katsayıları F da olan polinomlar halkası q
*
q
F : F sonlu cisminin sıfırdan farklı elemanlarının çarpım grubu q
m q
F : Fq[x] deki m dereceli indirgenemez f polinomunun F üzerinde q
parçalanış cismi ]
[x
Fm : F[x] deki derecesi m den daha küçük olan tüm polinomların kümesi |
| F : F cisminin eleman sayısı
t
f : F üzerinde q qm t
F
∈
α nin karakteristik polinomu
T
G : G üreteç matrisinin transpozesi Ham ,(r )2 : İkili (binary) Hamming kodu
) (n
μ : Moebious μ fonksiyonu )
(d
Nq : Fq[x] de derecesi d olan indirgenemez monik polinomların sayısı )
( f
ord : f polinomunun mertebesi
, (L
Γ g : Goppa kodu ) ]
:
TABLO LİSTESİ
Tablo 2.2.1.1. F cismi için indisler tablosu……….40 16
Tablo 5.1. 3 uzunluklu ikili devresel kodlar……….60 Tablo 5.1.1. 4 uzunluklu üçlü devresel kodların üreteç polinomları ve üreteç matrisleri……….…………64 Tablo 6.1. ( ) 1 4
x x x
p = + + polinomu ile üretilen GF(24) ün elemanları...……73
Tablo 6.1.1. ( ) 1 4
x x x
p = + + polinomu ile üretilen GF(24) cismindeki tüm
elemanların minimal polinomları……….83 Tablo 6.2.3.1. ( ) 1 6
x x x
p = + + primitif polinomu kullanılarak oluşturulan
(26)
GF nın elemanları………...96
Tablo 6.2.3.2. (26)
GF daki elemanların minimal polinomları………....98
Tablo 6.2.3.3. n=63 uzunluklu tüm ikili primitif BCH kodlarının parametreleri ve üreteç polinomları………..99
BÖLÜM 1
SONLU CİSİMLER
Bu bölüm, tezin asıl konusu olan BCH kodları için gerekli cebirsel bilgilerin özetlenmesine ayrılmıştır. Bu nedenle çoğu teorem, ispatsız olarak verilecektir.
Sonlu cisim, sonlu sayıda elemana sahip olan bir cisimdir. Bu eleman sayısı, cismin mertebesi olarak adlandırılır.
Sonlu cisimlerin mertebeleriyle ilgili, aşağıdaki önemli teoremi verelim.
Teorem 1.1. q mertebeli bir cismin var olması için gerek ve yeter koşul, q nun bir asal sayının kuvveti şeklinde olmasıdır. Yani; h pozitif bir tam sayı olmak üzere,
q =p biçiminde ifade edilir. h
q mertebeli bir cisim genellikle, q mertebeli bir GALOIS CİSMİ olarak
adlandırılır ve “GF(q)” şeklinde gösterilir. (Kodlar üzerine çalışırken, ağırlıklı olarak “GF(q)” yerine “F ” notasyonu kullanılmaktadır. Çalışmalarımızda q
“GF(q)” ve “F ” aynı anlamda kullanılacaktır. q
1.1. Cisim Genişlemeleri
F bir cisim olsun. F nin bir K alt kümesi, F deki işlemlere göre bir cisim ise
F cismine, K nın bir cisim genişlemesi denir. K ya da, F nin bir alt cismi
denmektedir. K ≠ halinde ,F K bir öz alt cisim adını alır.
,K F ( p asal) sonlu cisminin bir alt cismi ise bu durumda p K 0 ve 1 ,
Tanım 1.1.1. Öz alt cisimler içermeyen bir alt cisim, asal cisim adını alır.
Bu ifade; p mertebeli ( p asal) herhangi bir cismin, bir asal cisim olduğunu gösterir. Q rasyonel sayılar cismi, asal cisme diğer bir örnektir.
Verilen bir F cisminin alt cisimlerinin boş olmayan topluluğunun bir kesişimi, yine F nin bir alt cismidir. F nin tüm alt cisimlerinin bir kesişimi ise, kesinlikle bir asal cisimdir.
Teorem 1.1.1. R, asal karakteristikli bir komütatif halka olsun. R nin karakteristiği
p asal sayısı ise,
(a+b)pn = apn + bpn ve (a-b)pn = apn - bpn a( , b∈R ve n∈Ν) dir.
Teorem 1.1.2. Bir F cisminin asal alt cismi; F nin karakteristiği, p asalı veya sıfır olarak düşünülürse, F veya Q rasyonel sayılar cisminin ikisinden birine p
izomorfiktir.
Tanım 1.1.2. K F cisminin bir alt cismi ve , M F nin herhangi bir alt kümesi ,
olsun. Bu durumda K(M); K ve M nin her ikisini de içeren, F nin tüm alt cisimlerinin kesişimi olan cisim olarak tanımlanır ve K nın elemanlarının eklenmesiyle elde edilen bir cisim genişlemesi adını alır.
Sonlu M ={θ1,...,θn} kümesi için K(M) olarak, K(M)= K(θ1,...,θn) yazılır.
,
M bir tek θ∈Felemanını içeriyorsa bu durumda L=K(θ), K nın bir basit
alır. )K(M kesinlikle K ve M nin her ikisini de içeren F nin en küçük alt cismidir.
Tanım 1.1.3. K F nin bir alt cismi ve , θ∈F olsun. ,θ K daki katsayılarla trivial olmayan bir polinom denklemini sağlıyorsa, yani
an θn+ − +
−1 1
n n
a θ …+a1θ +a0=0 (ai∈K)
(hepsi birden sıfır değil) ise bu durumda θ ya, K üzerinde cebirseldir denir.
L nin her elemanı K üzerinde cebirsel ise; K nın bir L genişlemesi, K üzerinde
bir cebir veya K nın bir cebirsel genişlemesi olarak adlandırılır.
Tanım 1.1.4. θ∈F, K üzerinde cebirsel ise bu durumda J ={f ∈K[x]: f(θ)=0}
idealini üreten, bir tek şekilde belirli monik g∈K[x] polinomuna, θ nın K üzerinde minimal polinomu adı verilir.
K üzerinde θ nın derecesi ile g nin derecesi anlaşılacaktır.
Tanım 1.1.5. L K nın bir cisim genişlemesi olsun. ,, L K üzerinde bir sonlu vektör
uzayı olarak düşünülürse L ye, K nın bir sonlu genişlemesi adı verilir. K üzerinde
L vektör uzayının boyutu, K üzerinde L nin derecesi olarak adlandırılır ve [L:K]
ile gösterilir.
Teorem 1.1.3. L K nın bir sonlu genişlemesi ve , M L nin bir sonlu genişlemesi ,
ise bu durumda M K nın bir sonlu genişlemesidir. , [M :K]=[M :L][L:K]
İspat. [M :L]=m, [L:K]= n,
L üzerinde M nin bir tabanı {α1,…,αm} ve K üzerinde L nin bir tabanı {β1,…,βn} olsun. Bu durumda,
α , ∀α M için α =∈ γ1α1+…+γmαm, (γi∈ L 1 ≤i≤ ) m
şeklinde bir lineer kombinasyondur ve γi lerin her birini βj taban elemanları cinsinden ifade edersek,
α =
∑
= m i i i 1 α γ = m j i i n j ij r β )α ( 1 1∑ ∑
= = = m j i i n j ij r β α∑∑
=1 =1 , (rij∈ K ) elde edilir.mn tane βjαi (1≤i≤m, 1≤ j≤n) elemanlarının K üzerinde lineer bağımsız
olduğu gösterilebilirse, ispat tamamlanmış olur. Bu amaçla,
0 1 1 =
∑∑
= = i m i n j j ij s β α , (sij ∈ ) Kolduğunu kabul edelim.
O zaman,
( ) 0 1 1 =
∑ ∑
= = i j m i n j ij s β αdır ve L üzerinde αi nin lineer bağımsızlığından,
0 1 =
∑
= j n j ij s β (1≤i≤m)Teorem 1.1.4. K nın her sonlu genişlemesi, K üzerinde cebirseldir.
İspat. L K nın bir sonlu genişlemesi ve , [L:K]=m olsun. θ L için, ∈
1, ,θ …, θm
gibi m+1 tane eleman, K üzerinde lineer bağımlı olmalıdır ve bu nedenle 0 + 1 +...+ m =0 m a a a θ φ , (ai ∈K ) dır.
Bu ifade, θ nın K üzerinde cebirsel olduğunu gösterir.
1.2. Sonlu Cisimlerin Yapısı
Yardımcı Teorem 1.2.1. F , q elemanlı bir K alt cismini içeren sonlu cisim olsun. Bu durumda m=[F:K] olmak üzere,
m
q F |=
|
dir. || F ile, F cisminin eleman sayısı gösterilmektedir.
İspat. F K üzerinde bir vektör uzayı ve F sonludur. Bu nedenle ,, F K üzerinde
sonlu bir vektör uzayı olarak düşünülebilir. [F:K]=m ise ;F b1, b2,…, b gibi m
m tane eleman içeren, K üzerinde bir tabana sahiptir. Bu nedenle F nin her elemanı bir tek şekilde,
a1b1+a2b2 +...+ambm (a1, a2,…, )am∈K
olarak gösterilebilir. Her a katsayısı, q çeşit değer alabileceğinden F cismi, i
kesinlikle m
q elemanlıdır.
Teorem 1.2.1. ,F bir sonlu cisim olsun. F nin karakteristiği p asalı ve onun asal
İspat. F sonlu ise, F nin karakteristiği bir p asalıdır. Buna göre teorem 1.1.2. gereğince, F nin asal alt cismi ,K F ye izomorfiktir. Bu nedenle F nin eleman p
sayısı, n
p dir.
Yardımcı Teorem 1.2.2. F q elemanlı bir sonlu cisim ise, , ∀a∈F için aq = a
dır.
İspat. aq = özdeşliği, a a=0 için apaçık bellidir. Diğer yandan; F nin sıfırdan farklı elemanları, çarpma işlemi altında, mertebesi q−1 olan bir grup oluşturur. Bu nedenle;
q−1 =1
a (∀a∈F, a≠0)
dir.
İspatlanması gereken de budur.
Yardımcı Teorem 1.2.3. F q elemanlı bir sonlu cisim ve , K F nin bir alt cismi ,
olsun. O zaman K[x] deki xq − polinomu, x F[x] de
xq − =x
∏
∈ − F a a x ) (şeklinde çarpanlarına ayrılır. Burada ,F xq − in K üzerinde bir parçalanış x
cismidir.
Teorem 1.2.2. (Sonlu Cisimlerin Varlığı ve Tekliği)
Her p asalı ve her pozitif n tam sayısı için, p elemanlı bir sonlu cisim vardır. n
n
p
q= elemanlı herhangi bir sonlu cisim, F üzerinde p x x
q − in parçalanış cismine
İspat. (Varlık) n p q= olmak üzere Fp[x] de x x q − ele alınsın ve , F onun F üzerindeki p
parçalanış cismi olsun. Bu polinom, F de q tane farklı köke sahiptir ve polinomun türevi ]Fq[x de,
q−1 −1=−1
qx
dir.
Bu yüzden kök, xq − ile ortak köke sahip olmaz. x
S ={a∈F:aq −a=0}
olsun. Bu durumda S F nin bir alt cismidir. ,
(i) S 0 ve 1 i içerir. ,
(ii) a,b∈S ve teorem 1.1.1. gereğince, (a− )b q =aq −bq =a−b
anlamına gelir ve buradan, a−b∈S elde edilir. (iii) a,b∈S ve b≠0 için; ( −1) = − = −1 ab b a ab q q q
ve bu yüzden ab−1∈S tir. S, tüm xq − in köklerini içerdiğinden, bu ifade x S de parçalanmalıdır.
Bu nedenle F =S ve S nin q tane elemanı vardır. Dolayısıyla ,F q elemanlı
bir sonlu cisimdir.
(Teklik)
F , q= pn elemanlı bir sonlu cisim olsun. Bu durumda teorem 1.2.1. gereğince, F nin karakteristiği p dir ve ,F F gibi bir alt cisim içerir. Yardımcı teorem 1.2.3. p
gereğince ,F F üzerindeki p x x
q − in bir parçalanış cismidir. Parçalanış cismi de
tektir. (İzomorfikler aynı sayılmak koşuluyla.)
Teorem 1.2.3. (Alt Cisim Ölçütü)
F q, q= pn elemanlı bir sonlu cisim olsun. F nun her alt cismi, q n nin pozitif bir böleni m olmak üzere, p mertebelidir. Karşıt olarak m n nin pozitif bir böleni m ise F nun q
m
p elemanlı bir tane alt cismi vardır.
İspat. F nun bir K alt cisminin mertebesi, uygun bir q m≤ pozitif tam sayısı için, n m
p dir. Yardımcı teorem 1.2.1. den dolayı;
n,
p
q= p nin bir kuvveti olmak durumundadır. )m (pn =(pm)t
Böylece, m| n bulunur.
Tersine; n nin pozitif bir böleni m ise, m −1
p |pn −1
dir. Böylece, Fp[x] de xpm−1−1 polinomu, xpn−1 −1 polinomunu böler.
F , q F üzerindeki p x x m
p − in bir parçalanış cismi gibi görülen bir alt cisim
içermelidir ve teorem 1.2.2. nin ispatında, bir parçalanış cisminin mertebesinin m
p
olduğu gösterilmişti.
Teorem 1.2.3 ün ispatı; n nin pozitif bir böleni m olduğunda p m
mertebesinin, F nin bir tek alt cismine ait olduğunu gösterir. Bu alt cisim, pn
n p
F deki xpm −x∈Fp[x] polinomunun köklerini kesinlikle içerir.
Tanım 1.2.1. Bir F sonlu cismi için, q F nun sıfırdan farklı elemanlarının çarpım q
grubu, *
q
F ile gösterilir.
Teorem 1.2.4. Her F sonlu cismi için, q F nun sıfırdan farklı elemanlarının çarpım q
grubu *
q
F , devreseldir.
Tanım 1.2.2. *
q
F devresel grubunun bir üreteci, F nun primitif bir elemanı olarak q
adlandırılır.
Teorem 1.2.5. F bir sonlu cisim ve q Fr, bir sonlu cisim genişlemesi olsun. Bu
durumda Fr, F nun basit bir cebirsel genişlemesidir ve q Fr nin her primitif elemanı, F üzerinde q Fr nin tanımlayıcı elemanı olarak işlev görür.
İspat. Fr nin bir primitif elemanı ξ olsun. Fq(ξ) ⊆Fr olduğu açıktır. Başka bir ifadeyle ),Fq(ξ ξ nin tüm kuvvetlerini ve sıfırı içerir. Bu nedenle Fq(ξ), Fr nin
tüm elemanlarını içerir. Dolayısıyla, Fr =Fq(ξ)
Teorem 1.2.6. Her F sonlu cismi ve her pozitif q n tam sayısı için Fq[x] de,
derecesi n olan indirgenemez bir polinom vardır.
İspat. Fr, F cisminin genişlemesi ve q Fr nin mertebesi q olsun. Bu durumda, n
[Fr :Fq]=n
dir. Teorem 1.2.5. gereğince, ∃ξ∈Fr için Fr=Fq(ξ)
dir. O halde, F üzerinde q ξ nin minimal polinomu, Fq[x] de n dereceli
indirgenemez bir polinomdur.
Not. Her q asal sayısı ve her pozitif n tam sayısı için, F üzerinde q n dereceli
indirgenemez bir polinom vardır. Bu sonuç, her n≥1 tam sayısı için F cisminin qn
varlığını gösterir.
Yardımcı Teorem 1.2.4. f ∈Fq[x], F üzerindeq m dereceli indirgenemeyen bir polinom olsun. Bu durumda f(x) in, xqn − i bölmesi için gerek ve yeter koşul, x
m nin n yi bölmesidir.
İspat. f(x) in xqn − i böldüğünü kabul edelim. α , x F üzerinde q f nin parçalanış
cismi içindeki bir kökü olsun.
Bu durumda, αqn =α dır ki, α∈Fqn dir.
Fq(α), F nin bir alt cismidir. Fakat, qn
[Fq(α):Fq]=m ve [Fqn :Fq]=n
idi. Bu da teorem 1.1.3. gereğince, m nin n yi böldüğünü gösterir.
Karşıt olarak m, n yi bölüyorsa teorem 1.2.3. gereğince, F nin qn F yi bir alt qm
cisim olarak içerdiği anlaşılmaktadır.
F üzerinde f nin parçalanış cismi içindeki f nin bir kökü α ise,
[Fq(α):Fq]=m
ve
Fq(α)=Fqm
dir.
Sonuç olarak; α∈Fqn ve böylece,
αqn =α
olur. Bu nedenle α , xqn −x∈Fq[x] in bir köküdür.
Dolayısıyla f(x), xqn − i böler. x
Teorem 1.2.7. Fq[x] de m dereceli indirgenemez bir polinom f ise, f nin F de qm
bir α kökü vardır. Bundan başka, f nin tüm kökleri basit köktür ve F nun q m tane
farklı elemanı olan ,α αq,αq2,…, αqm−1 ile verilirler.
[Fq(α):Fq]=m dir. Böylece, Fq(α)=Fqm ve özel olarak, α∈Fqm dir.
β∈Fqm, f nin bir kökü ise q
β nun da, f nin bir kökü olduğunu göstereceğiz. ai∈Fq olacak şekilde,
f(x)=amxm+...+a1x+a0, (0≤i≤m)
yazılsın. Bu durumda yardımcı teorem 1.2.2. ve teorem 1.1.2. gereğince;
q qm q q q m q qm m q a a a a a a f(β )= β +...+ 1β + 0 = β +...+ 1 β + 0 =( m+...+ 1 + 0)q = ( )q =0 m a a f a β β β dır.
Bundan dolayı; ,α αq,αq2,…, αqm−1 elemanları, f nin kökleridir. Bu
elemanların farklı olduğu gösterilmelidir.
Tersini kabul edelim. Yani, bu elemanlar farklı olmasın. qj qk
α
α = (bazı j ve k tam sayıları için) (0≤ j<k ≤m−1)
kabul edelim. Bunun m k
q − kuvveti alınırsa,
αqm−k+j =αqm =α
elde edilir.
Bu durumda f(x), xqm−k+j −x i böler. Yardımcı teorem 1.2.4. gereğince bu
durum sadece m, m−k+ j yi bölerse mümkündür. Fakat,
0<m−k+ j<m
idi. Bu nedenle kabulümüz yanlıştır.
Sonuç 1.2.1. f , Fq[x] de m dereceli indirgenemez bir polinom olsun. Bu durumda
q
F üzerinde f nin parçalanış cismi, F ile verilir. qm
İspat. Teorem 1.2.7. , F de f nin parçalandığını gösterir. Ayrıca qm F deki qm
f nin bir α kökü için,
Fq(α, , q α αq2, …, m m q q q F F = = − ) ( ) 1 α α dir.
Sonuç 1.2.2. Fq[x] de dereceleri aynı olan herhangi iki indirgenemez polinom, izomorfik parçalanış cismine sahiptir.
Tanım 1.2.3. F , qm F nun bir genişlemesi ve q α∈Fqm olsun. Bu durumda
,
α αq,αq2,…, αqm−1 elemanlarına q
F ya göre α nın eşlenikleri denir.
α∈Fqm nin eşleniklerinin farklı olması için gerek ve yeter koşul, α nın F q
üzerinde minimal polinomunun derecesinin m olmasıdır. Aksi halde; bu minimal polinomun derecesi d, m nin bir öz bölenidir ve bu durumda α nın eşlenikleri
,
α αq,…, qd−1
Teorem 1.2.8. F nun herhangi bir alt cismine göre q * q F ∈ α nın eşlenikleri, * q F grubu içerisinde aynı dereceye sahiptir.
İspat. Teorem 1.2.4. gereğince *
q
F , bir devresel gruptur. F nun karakteristiğinin q
her kuvveti, *
q
F ın q−1 mertebesi ile aralarında asaldır.
Sonuç 1.2.3. Eğer α , F nun bir primitif elemanı ise q
*
q
F nın herhangi alt cismine göre tüm eşlenikleri de, primitif elemandır.
Örnek 1.2.1. α∈F16, ]f(x)= x4 +x+1∈F2[x in bir kökü olsun. O zaman α nın
2 F ye göre eşlenikleri, ,α α2, 1α4 =α + ve α8 =α2 +1 olur.
Eşleniklerin her biri, F nın primitif elemanlarıdır. 16
α nın F4 e göre eşlenikleri, α ve
α4 =α +1
dir.
1.3. Birimin Kökleri ve Cyclotomic Polinomlar
Tanım 1.3.1. n pozitif bir tam sayı olsun. Bir K cismi üzerinde , xn −1 in
parçalanış cismi, K üzerinde “n. cyclotomic cisim” adını alır ve “K(n)” ile
gösterilir. (n)
K de xn −1 in kökleri, K üzerinde “birimin n. kökleri” adını alır ve bu köklerin tamamının kümesi, “ (n)
E ” ile gösterilir.
Teorem 1.3.1. n, pozitif bir tam sayı ve K , p karakteristikli bir cisim olsun. Bu durumda;
(i) p, n yi bölmezse bu durumda E(n), K(n) deki çarpmaya göre n mertebeli bir devresel gruptur.
(ii) p , n yi bölerse, pozitif m ve e tam sayıları ile e
mp
n=
yazılır ve m, p ile bölünemez. Bu durumda; (n) (m)
K
K = , E(n) =E(m)
ve (n)
K de xn −1 in kökleri, E(m) nin m tane elemanıdır. Bu elemanların her biri
e
p ile çarpılarak elde edilir.
Tanım 1.3.2. K , p karakteristikli bir cisim ve n, p ile bölünemeyen pozitif bir tam sayı olsun. Bu durumda (n)
E devresel grubunun bir üreteci, K üzerinde “birimin
n. primitif kökü” adını alır.
Tanım 1.3.3. K , karakteristiği p olan bir cisim; n, p ile bölünemeyen pozitif bir tam sayı ve ξ, K üzerinde birimin n. primitif kökü olsun.
Bu durumda, ( ) ( ) 1
∏
= − = n s s n x x Q ξ , ( ( ns, )=1)polinomu, K üzerinde “n. cyclotomic polinom” adını alır.
Teorem 1.3.2. K , karakteristiği p olan bir cisim ve n, p ile bölünemeyen pozitif bir tam sayı olsun. Bu durumda;
(i) x 1 | Q (x)
n
d d
n − =
∏
,
(ii) Eğer K nın asal alt cismi rasyonel sayılar cismi ise Qn(x) in katsayıları,
K nın asal alt cismine veΖ ’e aittir.
Örnek 1.3.1. r bir asal sayı ve k∈Ν olsun. Bu durumda, ( )=1+ k−1 + 2 k−1 +...+ ( −1) k−1 k r r r r r x x x x Q dir.
Çünkü teorem 1.3.2. (i) gereğince,
1 1 ) ( )... ( ) ( 1 ) ( 1 1 1 − − = − = − − k k k k k r r r r r r x x x Q x Q x Q x x Q idi.
k =1 için Qr(x)=1+x+x2 +...+xr−1 olur.
Teorem 1.3.3. (n)
K cyclotomic cismi, K nın basit bir cebirsel genişlemesidir.
Dahası,
(i) Eğer K , rasyonel sayılar cismi ise bu durumda Q cyclotomic polinomu, K n
üzerinde indirgenemezdir ve [ ( ) : ] ( ) n K K n =φ dir.
(ii) (g,n)=1 iken K =Fq ise bu durumda Q , n K[x] de her biri aynı d dereceli
olan φ(n) d tane monik indirgenemez çarpanlara ayrılır. K(n) cismi, K üzerinde
herhangi böyle indirgenemez çarpanın parçalanış cismidir ve [K(n) :K]=d
dir. Burada d, 1qd ≡ mod n şeklindeki en küçük pozitif tam sayıdır.
Bu teoremi bir örnek üzerinde açıklayalım:
Örnek 1.3.2. K = F11 ve ]Q12(x)=x4 −x2 +1∈F11[x olsun. Teorem 1.3.3. (ii) den
dolayı d =2 olur. Q12(x),
( ) ( 2 5 1)( 2 5 1) 12 x = x + x+ x − x+
Q
şeklinde çarpanlarına ayrılır. Çarpanlarına ayrılan çarpanların her ikisi de F11[x] de indirgenemezdir. (12)
K cyclotomic cismi, F121 e eşit olur.
Teorem 1.3.4. F sonlu cismi, kendi alt cisimlerinin herhangi biri üzerinde q
(q−1) nci cyclotomic cisimdir.
Yardımcı teorem 1.3.1. d, pozitif n tam sayısının (1≤d ≤n) bir böleni ise bu durumda )(x , n −1/ d −1 ifadesini böler.
1.4. Sonlu Cisimlerin Elemanlarının Gösterilmesi
f , Fp[x] de n dereceli indirgenemez bir polinom ise bu durumda teorem 1.2.7 ye göre f , F da bir q α köküne sahiptir. Dolayısıyla,
Fq = Fp(α)
dır. O halde; F nun her elemanı, q F üzerinde derecesi p n den daha küçük bir
polinom olarak bir tek şekilde ifade edilir. F ya, q Fp[x]/(f) kalan sınıf halkası
olarak bakılabilir.
Örnek 1.4.1. F un elemanlarını bu yolla göstermek için 9 F a; 9 F ün, derecesi 2 3
olan, basit bir cebirsel genişlemesi olarak bakarız. Bu, F üzerinde indirgenemez ve 3
ikinci dereceden bir polinomun bir α kökünü eklemekle elde edilir. ( ) 2 1 3[ ] x F x x f = + ∈ diyelim. Böylece, ( ) 2 1 0 9 F f α =α + = ∈
dır ve F un 9 tane elemanı, 9 a0 +a1α şeklinde verilir. ( ,a 0 a1∈F3)
Ayrıntılı olarak,
F9 ={0,1, 2, ,α 1+α, 2+α,2α,1+2α,2+2α} yazılabilir.
BÖLÜM 2
SONLU CİSİMLER ÜZERİNDE POLİNOMLAR
2.1. Polinomların Mertebesi ve Primitif Polinomlar
Yardımcı Teorem 2.1.1. f ∈Fq[x], f(0)≠0 olacak şekilde derecesi m≥1 olan
bir polinom olsun. Bu durumda pozitif bir ≤ m −1
q
e tam sayısı vardır öyle ki f(x),
1 −
e
x i böler.
Bu teoremden yola çıkılarak aşağıdaki tanım verilir:
Tanım 2.1.1. f ∈Fq[x], sıfırdan farklı bir polinom olsun. f(0)≠0 ise bu durumda;
) (x
f in böldüğü 1xe − için en küçük pozitif e tam sayısı, f nin mertebesi olarak adlandırılır ve
ord( f)=ord(f(x)) ile gösterilir.
f(0)=0 ise bu durumda f(x),
f(x)= xhg(x) (h∈Ν ve g∈Fq[x], g(0)≠0)
gösterimi ile bir tek şekilde ifade edilir. Böylece ord( f ord), (g olarak tanımlanır. )
f polinomunun mertebesi bazen f nin periyodu veya f nin kuvveti (exponenti) olarak da adlandırılır.
Not. ,n pozitif bir tam sayı ve b tam sayısı n ile aralarında asal ise bk ≡1 (mod n) olduğunda, en küçük pozitif k tam sayısı, b nin (modül n) e göre çarpımsal
Teorem 2.1.1. f ∈Fq[x], f(0)≠0 olacak şekilde F üzerinde q m dereceli indirgenemez bir polinom olsun. Bu durumda ord( f ), *
m q
F çarpımsal grubundaki f nin herhangi bir kökünün mertebesine eşittir.
İspat. Sonuç 1.2.1 e göre F , qm F üzerinde f nin parçalanış cismidir. f nin q
kökleri teorem 1.2.8. gereğince, *
m q
F grubunda aynı mertebeye sahiptir. α∈Fq*m,
f nin herhangi bir kökü olsun. Bu durumda αe =1 olması için gerek ve yeter koşul,
) (x
f in xe−1 i bölmesidir.
Sonuç 2.1.1. f ∈Fq[x], F üzerinde q m dereceli indirgenemez bir polinom ise bu durumda ord( f ), m−1
q i böler.
İspat. f(x)=cx, c∈Fq* ise ord( f )=1 dir ve sonuç, aşikardır. Başka bir ifadeyle;
teorem 2.1.1. gereğince *
m q
F , 1qm − mertebeli bir gruptur.
Teorem 2.1.2. Fq[x] de derecesi m ve mertebesi e olan, indirgenemez monik polinomların sayısı, φ(e /) m dir.
(Burada e≥2 ve q nun (modül e) ye göre çarpımsal mertebesi m dir.)
Yukarıda sözü edilen indirgenemez monik polinomların sayısı, eğer m= e=1 ise ve diğer bütün durumlarda sıfır ise, 2 ye eşittir. Fq[x] de mertebesi e olan
indirgenemez bir polinomun derecesi; (modül e) ye göre, q nun çarpımsal mertebesine eşit olmalıdır.
İspat. f , f(0)≠0 olacak şekilde ]Fq[x de, indirgenemez bir polinom olsun.
Teorem 2.1.1. e göre; ord(f)=e olması için gerek ve yeter koşul, f nin tüm
Başka bir ifadeyle; ord(f)=e olması için gerek ve yeter koşul, f nin Q e
cyclotomic polinomunu bölmesidir. Teorem 1.3.3. (ii) gereğince, Q nin herhangi bir e
indirgenemez monik çarpanının derecesi, aynı m sayısıdır. ,m qm ≡1 (mod e )
olacak şekilde, en küçük pozitif tam sayıdır. Çarpanların sayısı da φ(e /) m dir.
m= e=1 için indirgenemez monik polinom, f(x)=x
dir.
Yardımcı Teorem 2.1.2. c pozitif bir tam sayı olsun. Bu durumda; , f(0)≠0 olacak
şekilde bir f ∈Fq[x] polinomunun xc −1 i bölmesi için gerek ve yeter koşul,
) ( f
ord nin, c yi bölmesidir.
İspat. e=ord( f), c yi bölerse; f(x), xe−1 i böler ve xe −1, xc −1 i böler.
Dolayısıyla ),f(x xc −1 i böler. Tersine; f(x), xc −1 i bölerse, c=me+r (c≥e idi.), (m∈Ν ve 0≤r<e) yazılabilir. c −1=( me −1) r +( r −1) x x x x idi.
Sadece r =0 olduğunda ),f(x xr −1 i böler. Buradan; e nin, c yi böldüğü görülür.
Sonuç 2.1.2. e1 ve e2 pozitif tam sayılar ise bu durumda Fq[x] de, 1
1 − e x ve 1 2 − e
İspat. f(x), xe1 −1 ve xe2 −1 in en büyük ortak böleni olsun. xd −1, xei −1 in en
büyük ortak böleni idi. (i=1, 2, …) Bu nedenle xd −1, )f(x i böler. Diğer taraftan
), (x
f xei −1 in ortak bölenidir (i=1, 2, …) ve yardımcı teorem 2.1.2. ye göre
), ( f
ord e1 ve e2 yi böler.
Sonuç olarak; ord( f), d yi böler ve bu nedenle yardımcı teorem 2.1.2. gereğince f(x), xd −1 i böler.
Böylece, ( )= d −1
x x
f eşitliği elde edilir.
Teorem 2.1.3. g∈Fq[x], g(0)≠0 olacak şekilde F üzerinde indirgenemez bir q
polinom ve b
g
f = olsun. Burada ord(g)=e ve ,b pozitif bir tam sayıdır. t,
b
pt ≥ olacak şekilde en küçük tam sayı olsun. ( ,p F sonlu cisminin q
karakteristiğidir.) Bu durumda, t ep f ord( )= dir.
Teorem 2.1.4. g ,...,1 gk polinomları, F üzerinde sıfırdan farklı polinomlar ve bu q
polinomlar, ikişer ikişer aralarında asal olsunlar. f =g1...gk şeklinde bir polinom ise
bu durumda ord( f); ord(g1),...,ord(gk) nın en küçük ortak katına eşittir.
Örnek 2.1.1. ( ) 10 9 3 2 1 2[ ] x F x x x x x f = + + + + ∈ polinomunun mertebesini hesaplayalım. 2
F üzerinde f(x) polinomunun kanonik çarpanlarına ayrılışı,
( )=( 2 + +1)3( 4 + +1) x x x x x f biçimindedir.
Teorem 2.1.3. gereğince; ( 2 + x+1)=3
x
ord ve ord((x2 + x+1)3)=12
olarak hesaplanır. Ayrıca, ( 4 + x+1)=15
x ord
dir. Teorem 2.1.4. e göre ord( f), 12 ve 15 in en küçük ortak katına eşittir. Dolayısıyla,
ord(f)=60 tır.
), ( f
ord sonuç 2.1.1. de gösterildiği gibi, 210 − i bölemez. 1
Teorem 2.1.5. F karakteristiği p olan sonlu cisim ve q, f ∈Fq[x], f(0)≠0 olacak
şekilde pozitif dereceli bir polinom olsun. bk k b f af f 1... 1
= ifadesi, Fq[x] de, f nin kanonik çarpanlarına ayrılışıdır. (a∈Fq, b1,...,bk ∈N ve f ,...,1 fk, Fq[x] de
birbirinden farklı, indirgenemez monik polinomlardır.) Bu durumda,
t
ep f
ord( )=
dir. ( ;e ord(f1),...,ord(fk) nın en küçük ortak katı ve t, max( 1,..., k) t
b b
p ≥ olacak
şekilde, en küçük tam sayıdır.) Tanım 2.1.2. ( ) 1 ... 1 0 [ ] 1x a x a F x a x a x f q n n n n + + + + ∈ = − − , (an ≠0) olsun. Bu
durumda, f polinomunun tersi olan *
f polinomu; n n n n n a x a x a x a x f x x f*( )= (1)= 0 + 1 −1 +...+ −1 + şeklinde tanımlanır.
Teorem 2.1.6. f , Fq[x] de sıfırdan farklı bir polinom ve ,
*
f f nin ters polinomu
olsun. Bu durumda, ( ) ( *) f ord f ord = dır.
Not. f( x− ve )) f(x in mertebeleri arasında gizli bir ilişki vardır. Karakteristiği 2
olan bir cisim için, f(x)= f(−x) idi. Bu bilgi, karakteristiği tek sayı olan sonlu cisimlerin mertebelerinin bulunması için yeterlidir.
Tanım 2.1.3. Derecesi m≥1 olan bir f ∈Fq[x] polinomu, F nin bir primitif qm
elemanının F üzerinde minimal polinomu ise, q F üzerinde, primitif polinom adını q
alır. Bu nedenle, F üzerinde derecesi q m olan bir primitif polinom, F üzerinde q
indirgenemez monik polinom olarak tanımlanabilir ve F nin çarpımsal grubunu qm
üreten bir α∈Fqm köküne sahiptir.
Teorem 2.1.7. Derecesi m olan bir f ∈Fq[x] polinomunun F üzerinde bir primitif q
polinom olması için gerek ve yeter koşul; 0f(0)≠ , f monik polinom ve 1 ) ( = m− q f ord olmasıdır.
İspat. f , F üzerinde primitif polinom ise ,q f monik polinom ve
f(0)≠0
dır. f polinomu, F üzerinde indirgenemezdi. Teorem 2.1.1. e göre, q
( )= m −1
q f ord
Diğer taraftan; ( )= m −1
q f ord
olması, m≥1 olmasını gerektirir.
f polinomunun F üzerinde indirgenemez olduğunu iddia ediyoruz. Şimdi, f q
polinomunun F üzerinde indirgenebilir olduğunu kabul edelim. Bu durumda f q
polinomu, indirgenemez bir polinomun kuvvetidir veya f polinomu, derecesi pozitif olan aralarında asal iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabilir.
İlk durumda; F üzerinde indirgenemez q g∈Fq[x] (g(0)≠0) polinomu için
b
g
f = ve b≥2
idi. Bu durumda teorem 2.1.3. e göre ord( f), F nun karakteristiği ile bölünebilir. q
Fakat 1m −
q i bölmez. Bu bir çelişkidir. Şu halde birinci durum gerçekleşmez.
İkinci durumda, f = g1g2
idi. g1, ]g2∈Fq[x aralarında asal monik polinomlarının dereceleri sırasıyla, pozitif
1
m ve m2 sayılarıdır.
ei =ord(gi), ,(i =1 2) ise ord(f)≤e1e2 dir. (Teorem 2.1.4. e göre)
Ayrıca yardımcı teorem 2.1.1. gereğince, ≤ mi −1
i q
e , ,(i =1 2)
Bu nedenle,
ord(f)≤(qm1 −1)(qm2 −1)<qm1+m2 −1=qm −1
dir. Bu ise, bir çelişkidir. f polinomunun F üzerinde indirgenebilir olduğunu kabul q
ederek çelişkiye düştük. Dolayısıyla f polinomu F üzerinde indirgenemezdir ve q
teorem 2.1.1. e göre, f polinomu F üzerinde bir primitif polinomdur. q
Teorem 2.1.8. Derecesi m≥1 olan f ∈Fq[x] monik polinomunun, F üzerinde q
primitif polinom olması için gerek ve yeter koşul, )(−1)m f(0 ifadesinin, F nun bir q
primitif elemanı olması ve F nun bazı elemanlarına q (mod f(x)) e göre kongrüent
olan, r
x deki en küçük pozitif r tam sayısının,
r =(qm−1)/(q−1) olmasıdır.
F üzerinde f nin primitif olduğu durumda, q
xr ≡(−1)m f(0) (mod f(x)) dir. Örnek 2.1.2. ( ) 4 3 2 2 2 3[ ] x F x x x x x f = + + + + ∈ polinomunu inceleyelim.
,f F üzerinde indirgenemezdir. Teorem 2.1.5. e göre, kullanacağımız yöntemin 3
taslağını oluşturabiliriz. ( )=80=34 −1 f ord dir.
Sonuç olarak, teorem 2.1.7. gereğince ,f F üzerinde primitif polinomdur. 3
teorem 2.1.8. e göre ise, 40 ≡2
x (modf(x))
dir.
2.2. İndirgenemez Polinomlar
f pozitif dereceli bir polinom ve f nin , Fq[x] de her çarpanlarına ayrılışı
sabit bir polinom içeriyorsa, f ∈Fq[x] polinomu, F üzerinde indirgenemezdir. q
Teorem 2.2.1. Herhangi bir b∈F elemanının, ]f ∈F[x in çok katlı bir kökü
olması için gerek ve yeter koşul b nin, f polinomunun ve f polinomunun türevinin )
( '
f bir kökü olmasıdır.
Teorem 2.2.2. ∀n∈N ve her F sonlu cismi için, q F üzerinde, dereceleri q n yi bölen, bütün indirgenemez monik polinomların çarpımı, xqn − e eşittir. x
İspat. Yardımcı teorem 1.2.4. e göre; Fq[x] de, g(x)=xqn −x polinomunun kanonik çarpanlarında ortaya çıkan, F üzerinde indirgenemez monik polinomlar, q
) (x
g in derecesi olan n yi bölerler. '( )=−1
x g
dir.
Teorem 2.2.1. e göre g polinomu, F üzerinde kendi parçalanış cismi içinde çok q
katlı köklere sahip değildir. Dolayısıyla, F üzerinde, dereceleri q n yi bölen her bir
indirgenemez monik polinom, Fq[x] de, g nin kanonik çarpanları içinde tam bir kez ortaya çıkar.
Sonuç 2.2.1. Fq[x] de derecesi d olan indirgenemez monik polinomların sayısı ) (d q Ν ise bu durumda, =
∑
Ν n d q n d d q | ) ( ( Her n∈N için) (2.2.1.)dır. Burada toplam, n nin bütün pozitif bölenleri üzerinde alınır.
İspat. g(x) polinomunun kanonik çarpanlarının toplam derecesi ile g(x)=xqn −x polinomunun derecesi karşılaştırıldığında, teorem 2.2.2. den, (2.2.1.) özdeşliği elde edilir.
Tanım 2.2.1. Moebius μ fonksiyonu, N de tanımlı bir fonksiyondur.
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = , 0 , ) 1 ( , 1 ) ( k n μ □
n∈N nin tüm pozitif d bölenleri üzerinde bir toplam belirtmek için, (2.2.1.) ifadesindeki gibi
∑
n
d| toplam sembolünü kullanırız. Benzer bir yaklaşımla çarpım
sembolü olarak,
∏
n d |
sembolünü kullanırız.
Yardımcı Teorem 2.2.1. n∈N için Moebius μ fonksiyonu,
∑
⎩ ⎨ ⎧ > = = n d n n d | 0, 1 1 , 1 ) ( μ ise koşullarını sağlar. 1 = n ise, ,n k tane farklı asal sayının çarpımı ise, ,
İspat. n>1 için, sadece n nin pozitif d bölenlerini hesaplayalım. d =1 veya ,d
farklı asal sayıların bir çarpımı iken, μ(d)≠0 dır. Bu nedenle; n nin farklı asal bölenleri p1, p2,…, p ise, k
∑
∑
∑
= ≤ ≤ ≤ + + + + = n d k i i i k k i i i p p p p p p d | 1 1 2 1 2 1 2 1 ) ... ( ... ( ) ( ) 1 ( ) ( μ μ μ μ μ ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ + k k k k k ) 1 ( ... ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 2 = (1+(−1))k =0dır. Bu ifade, n=1 durumunda apaçık bellidir.
Teorem 2.2.3. Fq[x] de, derecesi n olan, indirgenemez monik polinomların sayısı ), (n q Ν Ν =
∑
=∑
n d dn d n d q d q n q d n n n | | / ) ( 1 ) ( 1 ) ( μ μeşitliği ile verilir.
(Burada "μ" ile Moebius Fonksiyonu ifade edilmektedir.)
Bu formül, her F sonlu cismi ve q ∀n∈N için, Fq[x] de, derecesi n olan
Örnek 2.2.1. Fq[x] de derecesi 20 olan indirgenemez monik polinomların sayısı, ( (1) (2) (4) (5) (10) (20) ) 20 1 ) 20 ( 20 10 5 4 2 q q q q q q q = μ +μ +μ +μ +μ +μ Ν = ( ) 20 1 20 10 4 2 q q q q − − + dir.
Teorem 2.2.4. ;α F nun q F cisim genişlemesinin bir elemanı olsun. Kabul qm
edelim ki, F üzerinde q α nın derecesi d ve g∈Fq[x], F üzerinde q α nın minimal
polinomu olsun. Bu durumda:
(i) g polinomu, F üzerinde indirgenemezdir ve g nin derecesi ,q d m yi böler.
(ii) Bir ]f ∈Fq[x polinomunda f(α)=0 olması için gerek ve yeter koşul; g
polinomunun, f polinomunu bölmesidir.
(iii) f , f(α)=0 olacak şekilde ]Fq[x de, indirgenemez monik polinom ise bu
durumda, f = dir. g
(iv) g , xq − ve x xqm − i böler. x
(v) g polinomunun kökleri ,α αq,
…, qd−1
α dir ve g , F üzerinde bu q
elemanların hepsinin minimal polinomudur.
(vi) α ≠0 ise bu durumda ord(g), Fq*m çarpımsal grubundaki α nın mertebesine
(vii) g nin F üzerinde primitif polinom olması için gerek ve yeter koşul; q α nın,
*
m q
F deki mertebesinin qd −1 olmasıdır.
2.2.1. İndirgenemez Polinomların Kuruluşu
Bu bölümde öncelikle indirgenemez bir polinomun bilinmesiyle, yeni bir indirgenemez polinomun nasıl kurulacağı üzerinde durulacaktır.
Yardımcı Teorem 2.2.1.1. s≥2 ve e≥2 aralarında asal tam sayılar ve ,m
s nin ( modül )e ye göre çarpımsal mertebesi olsun. t≥2, asal çarpanları e yi bölen fakat (sm−1)/e sayısını bölmeyen bir tam sayı olsun.
t≡0 (mod 4) iken sm ≡1 kabul edelim. Bu durumda; s nin (modül et ) ye göre çarpımsal mertebesi, mt dir.
Teorem 2.2.1.1. f1(x), f2(x),..., )fN(x polinomları, Fq[x] de m dereceli, e mertebeli farklı indirgenemez monik polinomlar olsun ve t≥2, asal çarpanları e yi bölen fakat qm−1/e yi bölmeyen bir tam sayı olsun. Üstelik, t≡0 (mod 4) iken
1 ≡
m
q (mod 4) olduğunu kabul edelim. Bu durumda; f1(xt), f2(xt),…, fN(xt)
polinomları, ]Fq[x de, derecesi mt ve mertebesi et olan, indirgenemez farklı polinomlardır.
Örnek 2.2.1.1. F2[x] de, derecesi 4 ve mertebesi 15 olan indirgenemez polinomlar, ( 4 + x+1)
x ve (x4 + x3 +1)
dir.
Bu durumda; F2[x] de, derecesi 12 ve mertebesi 45 olan indirgenemez polinomlar, ( 12+ x3 +1)
] [
2 x
F de, derecesi 60 ve mertebesi 225 olan indirgenemez polinomlar, ( 60+ x15 +1) x ve (x60 + x45 +1) dir. ] [ 2 x
F de, derecesi 100 ve mertebesi 375 olan indirgenemez polinomlar, ( 100 + x25+1)
x ve (x100 + x75 +1)
dir.
Teorem 2.2.1.2. f1(x), f2(x),..., )fN(x polinomları, ]Fq[x de, tek m dereceli ve e
mertebeli, farklı monik polinomlar olsun. q=2au−1, t=2bv ,(a b≥2)
olsun.
Burada ,u v tek sayıdır ve t nin tüm asal çarpanları e yi bölsün, fakat
e
qm−1/ yi bölmesin.
,k a ve b den daha küçük olan bir sayı olsun. Bu durumda; her fj(xt)
polinomu, ]Fq[x de, derecesi
k
mt2 olan, 1− 2k −1 tane indirgenemez monik gij(x)
polinomlarının bir çarpımı şeklinde ifade edilir. 2k−1Ν tane (x)
gij polinomu,
] [x
Fq de, derecesi k
mt2 ve mertebesi et olan, farklı indirgenemez monik 1−
polinomlardır.
Teorem 2.2.1.3. f , Fq[x] de, m dereceli, indirgenemez monik bir polinom olsun. ,
m q
F
∈
α f polinomunun bir kökü ve ∀t∈N için ,f t F üzerinde q qm t
F
∈
α nin
karakteristik polinomu olsun. Bu durumda;
∏
= + − = t j j t m t t x f w x f 1 ) 1 ( ( ) ) 1 ( ) (tir.
Burada w ,...,1 wt ler, F üzerinde birimin .q t köküdür. (Katlılığa göre sayılan)
İspat. f nin tüm kökleri, α =α1,α2,…, αm olsun. Bu durumda; f nin, çarpmaya t
göre hesaplanan kökleri, α1t, , 2 t α …, t m α olsun. Bu nedenle;
∏
= − = m i t i t t t x x f 1 ) ( ) ( α =∏∏
= = − m i t j j iw x 1 1 ) ( α =∏∏
= = − − m i t j i j j w x w 1 1 1 ) ( α yazılır.Özdeşlikteki katsayıların karşılaştırılması,
∏
= − = − t j j t w x x 1 ) ( 1olduğunu gösterir ki,
∏
= + − = t j t j w 1 1 ) 1 ( dir ve dolayısıyla,
∏∏
= = − + − − = t j m i i j t m t t x w x f 1 1 1 ) 1 ( ( ) ) 1 ( ) ( α =∏
∏
= = + − + = − − t j t j j t m j t m x w f x w f 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ( ) ( 1) ( ) ) 1 ( elde edilir. 1,..., 1 −w w köklerinin hepsi, t−1 F üzerinde, birimin .q t köküdür.
Örnek 2.2.1.2. F2[x] de, 1f(x)=x4 +x+ indirgenemez polinomu gözönüne
alınsın. f karakteristik polinomu hesaplansın. 3
F2 üzerinde birimin 3. kökleri ,1 ,w w dir. Burada ,2 w F4 te x2 + x+1 in bir
köküdür. Bu durumda; ( 3) ( 1)16 ( ) ( ) ( 2 ) 3 x f x f wx f w x f = − = ( 4 + +1)( 4 + +1)( 2 4 + 2 +1) x w x w wx wx x x = 12+ 9 + 6 + 3 +1 x x x x dir. Dolayısıyla, ( ) 4 3 2 1 3 x = x +x +x +x+ f
polinomu elde edilir.
f karakteristik polinomunu hesaplayan bir başka metod, matris teorisi üzerine t kurulmuştur. 1 1 0 1 ... ) (x x a x a x a f = m− m− m− − − −
şeklinde bir polinom ve A f polinomunun eşlik matrisi olsun. ,, A mxm tipinde bir matristir. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = −1 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 m a a a a A L M M M M M L L L
Bu durumda f polinomu, lineer cebir anlamında, A nın karakteristik polinomudur. F üzerinde q mxm tipindeki I birim matrisi ile
f(x)=det(xI−A) dır.
Her bir t∈N için ,f t t
A nin ( A nın .t kuvveti) karakteristik polinomudur. Bu
nedenle, A nın kuvvetleri hesaplanarak, f polinomları bulunmuş olur. t
Örnek 2.2.1.3. f karakteristik polinomları, ]t Fq[x de indirgenemezdir.
Teorem 2.2.1.3. e göre; f nin t Fq[x] de indirgenemez olması için gerek ve yeter
koşul, k =m olmasıdır. k =m olması için gerek ve yeter koşul; m nin, q nun (modül )d =e/( et, ) ye göre çarpımsal mertebesi olmasıdır.
q nun çarpımsal mertebesi; e nin bir böleninin modülüne göre, m nin bir böleni olmalıdır. m nin bölenleri, k =1, 2, 3 tür.
O halde; k −1=1,
q 3, 7 ve qk ≡1 (mod d)
dir. Bu durum, sadece d =1, 3, 7 olduğunda gerçekleşir. Bu nedenle ,f t
(t,63)=9, 21, 63
ise kesinlikle F2[x] de indirgenebilir.
1≤ t ≤63 koşulu ile t nin değerlerini hesaplamak yeterlidir. ,
9 =
t 18, 21, 27, 36, 42, 45, 54, 63 olduğunda ,f t F2[x] de indirgenemezdir.
Pratikte; indirgenemez polinomlar, sık sık bir cisim genişlemesindeki elemanların minimal polinomları olarak karşımıza çıkarlar.
Yukarıda sözü edilen f polinomu, F üzerinde primitif polinom ise, q
= m −1
q
e
dir. Bu durumda α nın kuvvetleri; F nin, sıfırdan farklı tüm elemanları arasında qm
yer alır. Bu nedenle yukarıda sözü edilen metodlar; *
m q
F nin her bir elemanının, F q
üzerindeki minimal polinomunu hesaplamak için kullanılabilir.
Aşağıdaki metod ile minimal polinomlar ifade edilebilir:
,θ F üzerinde, q F nin tanımlayıcı bir elemanı olsun. Dolayısıyla; qm
, 1
{ ,θ …, }θm−1 kümesi,
q
F üzerinde, F nin bir tabanıdır. qm F üzerinde q
*
m q
F
∈
∑
= − − = m j j ij i b 1 1 1 θ β (1≤i≤m+1) dir. g polinomunu, g(x)=cmxm+...+c1x+c0şeklinde yazarız. g nin, 0g(β)= olacak şekilde, en küçük pozitif dereceli, monik
polinom olmasını istiyoruz.
g(β)=cmβm+...+c1β +c0 =0 koşulu,
∑
+ = − = 1 1 1 0 m i ij i b c (1≤ j≤m) (2.2.1.1.)lineer homojen denklemler sistemine götürür.
Burada ,c0 c1,…, c ler, bilinmeyenlerdir. ,m B sistemin katsayılar matrisi olsun.
;
B ,(i )j elemanları b olan, ij (m+1)xm tipinde bir matristir. ,r B nin rankı olsun.
Bu durumda; sistemin çözüm uzayının boyutu, s=m+1−r dir. (1≤r≤m ve m s≤ ≤ 1 idi.) Eğer s=1 ise cm =1 ve eğer s>1 ise cm =cm−1 =...=cm−s+2 =0 ve cm−s+1 =1 dir.
Örnek 2.2.1.4. F2[x] de, θ ∈F64 elemanı, x6 + x+1 indirgenemez polinomunun
bir kökü olsun. β =θ3 +θ4 için,
4 2 6 4 3 5 4 2 4 3 2 3 3 2 2 4 3 1 0 1 1 1 1 θ θ θ β θ θ β θ θ θ β θ θ θ β θ θ θ β θ θ β β + + + = + + = + + = + + = + + + = + = =
olur. Bu durumda B matrisi,
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 B
şeklinde oluşturulur. B matrisinin rankı, 3 tür.
Böylece,
s=m+1−r =4 tür. Dolayısıyla,
