Ağırlıklı ortalamalı dizi uzayları arasındaki matris dönüşümleri

PAMUKKALE ÜN!VERS!TES! FEN B!L!MLER! ENST!TÜSÜ

A"IRLIKLI ORTAMALI D!Z! UZAYLARI ARASINDAK! MATR!S DÖNÜ#ÜMLER!

YÜKSEK L!SANS TEZ! Aslı ÇAKIR

Anabilim Dalı: Matematik Programı: Matematik

Tez Danı$manı: Prof. Dr. Mehmet Sarıgöl

ÖNSÖZ

Yüksek lisans ö!renimim ve tez çalı"malarım boyunca gösterdi!i sabır, destek ve her türlü yardımı için çok de!erli sayın hocam Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL’e en içten dileklerimle te"ekkür ederim.

!Ç!NDEK!LER

ÖZET ... V! SUMMARY ... V!!

1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER ... 1

2. Z UZAYLARI VE BU UZAYLARIN ! DUALLER! ... 13

3. Z UZAYLARI ARASINDAK! MATR!S DÖNÜ#ÜMLER! ... 22

A"IRLIKLI ORTALAMALI D!Z! UZAYLARI ARASINDAK! MATR!S DÖNÜ#ÜMLER!

Üç bölümden olu"an bu tezde, Z uzayları ile ! dualleri ve bu uzaylar üzerindeki bazı matris dönü"ümleri incelenmi"tir.

Birinci bölümde sonraki bölümler dikkate alınarak bazı temel kavram ve teoremler ifade edilmi"tir.

#kinci bölümde Z uzaylarının duallerinin belirlenmesinde önemli rol oynayan teoremler ifade ve ispat edilmi"tir.

Üçüncü bölümde

₍

Z(u,v;X),Y

₎

,

(

Z(u,v;lp),l!

)

,

(

Z(u,v;c0),l!

)

,

(

Z(u,v;c),l!

)

,

(

Z(u,v;lp),l1

)

,

(

Z(u,v;c),l1

)

,

(

Z(u,v;l!),c0

)

,

(

Z(u,v;l!),c

)

matris dönü"ümlerini karakterize eden teorem ve sonuçlar ele alınmı"tır.

SUMMARY

MATR!X TRANSFORMAT!ONS BETWEEN SEQUENCE SPACES OF GENERAL!ZED WE!GHTED MEANS

In this thesis consisting of three chapters, the spaces Z, their ! duals and matrix transformations on the spaces Z are studied.

In the first chapter, by considering subsequent chapters, some basic concepts and theorems are stated.

In the second chapter, theorems which have an important role in determination of duals of the spaces Z are stated and proved.

In the third chapter, the theorems and the results which charaterize the matrix transformations

₍

Z(u,v;X),Y

₎

,

(

Z(u,v;lp),l!

)

,

(

Z(u,v;c0),l!

)

,

(

Z(u,v;c),l!

)

,

(

Z(u,v;lp),l1

)

,

(

Z(u,v;c),l1

)

,

(

Z(u,v;l!),c0

)

,

(

Z(u,v;l!),c

)

are investigated.

! $! 1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanaca!ımız temel tanım ve teoremler verilmi"tir.

Tanım 1.1 (Çalı"mada geçerli bazı sembol ve gösterimler):

w : Reel veya kompleks terimli bütün dizilerin kümesi.

0 c : c₀ =

{

x=(xn)!w:lim_n xn =0

}

c : c

{

x x w x_n mevcut

}

n n) :lim ( ! = = ! l : ! " # $ % & _{= ( <'} = ' n n n w x x x l ( ) :sup s

c : Kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan reel veya kompleks terimli dizilerin kümesi, yani ! " # $ % & ' ( ) * + , -' = =

_.

= c x w x x c n k k n s 0 : ) ( s

b : Kısmi toplamlar dizisi sınırlı olan reel veya kompleks terimli dizilerin kümesi, yani ! " # $ % & ' ( ) * + , -' = = _. =

/

x l w x x b n k k n s 0 : ) (

! %! ! " # $ % & ' < ( ) = =

_*

' = ( 1 1 : ) ( k k k k w x x x x bv p

l : 1_{" p <!} olmak üzere terimlerinin p. kuvveti mutlak yakınsak seri olu"turan dizilerin kümesi, yani

! " # $ % & ' < ( ' < ) = =

*

' =0 1 , : ) ( k p k k p x x w x p l e : (k) ! " # $ = = k n k n e k n _{0 ,} , 1 ) ( _ve ( )

( )

(k) n k _e e = dizisidir.

Tanım 1.2 (Vektör Uzayı):

L bo"tan farklı bir kümeyi, K reel veya kompleks sayıların cismini göstersin.

L z y x ! " , , ve #,"!K olmak üzere L L L" ! + : ve # :K"L!L fonksiyonları için, i) x+ y!L (Kapalılık) ii) x+(y+z)=(x+y)+z (Birle"me)

iii) x+! =! +x olacak "ekilde "!L vardır. (Birim Eleman)

iv) x₊(_"x)₌(_"x)₊x_=! olacak "ekilde "x !L vardır. (Ters Eleman)

v) x+ y= y+x (De!i"me)

vi) ".x !L (Skalerle Çarpmada Kapalılık)

vii) !.(x+y)=!.x+!.y

viii) ("+!).x=".x+!.x

ix) (".!).x =".(!.x)

x) 1!K birim eleman olmak üzere 1.x =x

"artları sa!lanıyorsa L’ye bir vektör uzayı veya Lineer Uzay denir.

! &! Tanım 1.3 (Metrik Uzay):

X bo"tan farklı bir küme olsun. E!er,

IR X X d : " ! fonksiyonu i) d(x,y)= 0! x = y ii) d(x,y)=d(y,x) iii) d(x,z)=!d(x,y)+d(y,z)

"artlarını sa!lıyorsa d fonksiyonuna bir metrik ve (X,d) ikilisine de metrik uzay denir.

Tanım 1.4 (Normlu Uzay):

K

X , cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. E!er, . :X !R/ fonksiyonu için,

i) _$x_#X ,x_"! için x _>0, x ₌0_"x_=!

ii) "#!K ,"x!X için !x = !.x

iii) " ,x !y X için x+ y ! x + y

"artları sa!lanıyorsa . fonksiyonuna X üzerinde bir norm, X uzayına da normlu uzay denir. (ii) ve (iii) "artlarını sa!layan . fonksiyonuna X üzerinde bir yarınorm, X uzayına ise yarınormlu uzay denir.

Tanım 1.5 (Banach Uzayı):

(

X, .

)

normlu uzay olsun. E!er X ’de alınan her Cauchy dizisi X içindeki bir noktaya yakınsıyorsa bu taktirde

(

X, .

)

uzayına tam normlu uzay veya Banach Uzayı denir.

Teorem 1.1 (Banach-Steinhause Teoremi):

X bir Frechet uzayı yani tam lineer metrik uzay olsun. E!er (f , _n) X üzerinde tanımlı sürekli lineer fonksiyonellerin noktasal yakınsak bir dizisi ise bu taktirde,

! '! ) ( lim ) (x f x f _n n =

ile tanımlı f :X !C/ fonksiyonu süreklidir (Wilansky 1964).

Tanım 1.6 (Konveks Küme):

X bir lineer uzay, E ! X olsun. 0 , 0 , 1 ! ! = +" # "

# ve " ,x !y Eiçin #x+"y!E ise E’ye konvekstir denir.

Tanım 1.7 (Sınırlı Lineer Operatör):

X ve Y iki normlu uzay, T :X !Y bir lineer operatör olsun. E!er "x !X için

x c

Tx ! olacak "ekilde bir c>0 reel sayısı varsa T’ye sınırlı, lineer operatör

denir. Bu e"itsizli!i sa!layan c sayılarının en büyük alt sınırına yani,

{

c x X için T x

}

c x

T =inf :# " ( ) !

sayısına T’nin normu denir. Bu norm aynı zamanda

x Tx T X x! = sup

e"itli!i ile de verilebilir. (Kreyszig, 1989) )

, (X Y

B : X normlu uzayından Y normlu uzayı içine olan bütün sınırlı lineer dönü"ümlerin kümesidir.

Tanım 1.8 (Schauder Bazı):

X lineer metrik uzay olsun. E!er, "x !X için, n n nb x

_!

" = = 0 # olacak "ekilde

skalerlerin bir tek ! =0 )

("_{n n} dizisi bulunabiliyorsa, ! =0 )

(b_{n n} dizisine X lineer metrik uzayında Schauder bazı denir.

Tanım 1.9 (FK Uzayı):

Koordinat fonksiyonelleri sürekli olan w nın tam, lineer alt metrik uzayına FK Uzayı denir. Burada alt lineer uzay X ise koordinat fonksiyonelleri

! (! ) , ( ) ( ,...) 1 , 0 ( : n X x x x P x n C X P n n n ! " ! = # = #

biçiminde tanımlanır. (Malkowsky ve Rako$evi% 2004) Ayrıca normlanmı" FK Uzayına da BK Uzayı denir.

Örne!in lp (1" p<!) uzayı p k p k p x x / 1 0 ! " # $ % & =

'

( =

normu ile birlikte bir BK Uzayıdır.

! l c c₀, , uzayları da _k k x

x _! =sup ile birlikte BK Uzayıdır. Aynı "ekilde bv uzayı da

!

" = # # = 0 1 k k k bv x x

x normu ile birlikte BK Uzayıdır.

Tanım 1.10:

x ve y iki dizi, X de w nın keyfi bir alt kümesi olsun. Bu durumda

! = =(xkyk)k 0 xy ve _y 1*_X {_{a w}: _{ya X}} ! ! = " biçiminde tanımlanır.

Tanım 1.11 (Çarpım Uzayı):

X ve Y , ’nın iki alt kümesi olsun. w

{

a a w x x içinax a x Y

}

Y X

M( , )= =( _n)! :" =( _n) =( _{n n})!

kümesine X ile Y nin çarpım uzayı denir. (Malkowsky, Rako$evi%, &ıvkovi%, 2002) Bu durumda, ,...) ,..., , ( , ,...) ,..., , (x₁ x₂ x_n a a₁ a₂ a_n x= = olmak üzere,

! )! Y x a x a x a ax=( 1 1, 2 2,..., _{n n},...)!

"artını sa!layan a terimlerinden olu"an _n (a dizisi çarpım uzayının elemanı olur. _n)

Tanım 1.12:

Her k için uk !0 olmak üzere bütün u dizilerinin kümesine U diyelim. Bu durumda her u !U için,

! = "" # $ %% & ' = 0 1 1 k k u u "eklinde alaca!ız. Tanım 1.13: ! = =(ank)n,k 0

A kompleks sayıların sonsuz bir matrisi ve x =(x_k) kompleks terimli herhangi bir dizi olsun. E!er her n=0,1,2,_… için

!

" = = 0 ) ( k k nk n x a x A

serisi yakınsak ise bu durumda

₍

₎

! = = ( ) 0 )

(x An x _n

A dizisine x =(xk) dizisinin A matrisi ile elde edilen dönü"üm dizisi denir. Ayrıca "x !X için A(x) dönüm dizisi

mevcut ve bir Y uzayına ait ise A’ya X uzayından Y uzayına bir matris dönü"ümü denir ve (X,Y) ile gösterilir. Burada X ve Y, w ’nın iki alt kümesidir.

Tanım 1.14:

X , w ’nın bir alt kümesi olsun.

} ) ( : {x w A x X X_A = ! !

kümesine A matrisinin X deki toplama alanı denir.

1 ! ! = "xk xk xk ve +1 + _{= !} " xk xk xk

! *!

tanımlayalım. Burada uygunluk için indislerden biri negatif oldu!unda terim sıfır alınacaktır. ! " # > $ $ = n k n k e_nk , 0 0 , 1 (n=0,1,2,…)

olmak üzere E =(e_nk) sonsuz matrisini gösterecektir.

Bilinir ki lokal konveks metriklenebilen uzay yarınormların bir p =(pn) dizisiyle tanımlanan topolojiye sahiptir öyle ki x!0 ancak ve yalnız her p için n pn( !x) 0

dır (Wilansky, 1984).

Teorem 1.2: )

,

( qY bir FK uzayı ve A bir sonsuz matris olsun. Bu taktirde Y_A =

_{

x:A(x)!Y

_}

,

qoA h

p! ! ya göre FK uzayıdır. Burada

n n x x p ( )= , ( ) sup ( 1,2, ) 1 … = =

_!

= k x a x h m k k nk m n dır. (Wilansky 1984). Teorem 1.3:

E!er X , ’nin kapalı alt uzayı ise bu taktirde Y X_A, Y_A’nın kapalı alt uzayıdır . (Wilansky 1984). u !,v U olsun. Bu durumda, } : { ) * ( * ) ; , ( 0 0 1 1 _{u X z w x u v z X} v X v u Z Z n n k k k n E " ! # $ % & ' = ! = = = ( = = ) )

*

kümesini tanımlayalım. Bu kümeyi yukarıda ifade etti!imiz kavramlar cinsinden de verebiliriz, yani

(

)

X u a E X u a E X u a _E ! " ! " ! # # ) ( * ) ( * 1 1 yazabiliriz. Ayrıca

! +! ! " # $ % & = ! " # $ % & =

_'

_'

= = n k k n k k nka a e a E 0 0 ) (

oldu!u göz önüne alınırsa,

X a u u a E n k k n "! # $ % & ' =

₍

=0 ) (

elde edilir. 'u halde,

(

u X

)

zv

(

u X

)

E zv

(

u X

)

u z v X v z n k k k k E E "! # $ % & ' ( ! ( ! ( !

₎

= * * * * 0 1 1 1 1_{* * * ( ) *} olur.

Z =Z(u,v;X) kümesinde u ,,v X için bazı özel dizi ve uzaylar seçilerek birçok uzay elde edilebilir.

ÖRNEK 1.1 :

i) u=v=e, X =C veya X = l_! ise Z =cs veya Z =bs olur.

ii) v =q pozitif bir dizi ise 1/ , , 0,1,2,... 0 = = =

_!

= n q Q Q u n k k n ve c X c

X = 0, = veya X = l! oldu!unda sırasıyla Z =(N,q)0 ,Z=(N,q) ve

! =(N,q)

Z a!ırlıklı ortalamalı kümeler sıfıra yakınsak, yakınsak veya sınırlıdır.

(Jarrah ve Malkowsky, 1990) iii) v = , e ! = " # $ % & ' + = 0 1 1 n n u ve X =lp ,(1" p"!)

oldu!unda Z = X_p Ces(ro dizi uzayının mutlak olmayan tipi elde edilir.

(Ng ve Lee, 1978)

! ,! Tanım 1.15 (Normal Küme):

w

X , nın alt kümesi olsun. E!er x !X verildi!inde, yk ! xk ( =k 0,1,...) e"itsizli!ini sa!layan "y !w için y ! oluyorsa, X X ’e normal küme denir.

'imdi ileriki bölümlerde sıkça kullanaca!ımız çarpım uzayının bazı temel özelliklerini veren bazı lemmaları ifade ve ispat edelim.

Lemma 1.1 : i) X !~ X için M(X,Y)!M(X~,Y) ii) Y !Y~ için M(X,Y)!M(X,Y~) iii) _M(_u!1*_X,_Y) (1/_u)!1*_M(_X,_Y) = !spat:

i) X !~ X olsun. E!er a !M(X,Y) ise "x !X için ax !Y olur. Böylece,

X X x" !

# ~ için a !M(X~,Y) elde edilir.

ii) Y !Y~ olsun. E!er a !M(X,Y) ise "x !X için ax !Yolur. Y !Y~ oldu!undan ax!Y~ olur. Buradan da a !M(X,Y~) oldu!u sonucuna varılır.

Dolayısıyla, M(X,Y)!M(X,Y~) elde edilir.

iii) u a b = ve x =uz alalım. O zaman,

( )

uz bx u a az ! = " # $ % & = ve z!u#1*X " x!X

elde edilir. Böylece,

) , ( ) , ( ) , * ( 1 _{M X Y} u a Y X M b Y X u M a! # " ! " !

olur. Buradan da,

) , ( * 1 1 Y X M u a ! " # $ % & ' (

! $-! elde edilir. Lemma 1.2: i) M(c₀,c₀)_{= l!} ii) M(c,c)=c iii) M(l!,c₀)=c₀ iv) M(lp,c₀)=l_! (1" p<!) !spat:

i) M(c₀,c)_{= l!} ve M(l!,c)=c₀ oldu!unu biliyoruz. c !0 c oldu!undan Lemma 1.1 gere!ince,

M(c0,c0)"M(c0,c)=l! (1.1) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!M(l",c0)!M(l",c)=c0

E!er a_"l! ise, "x !c₀ için ax ! elde edilir. Bu da c0 a"M(l!,c0) olması demektir. c0 _{" l!} oldu!undan Yine Lemma 1.1(i) gere!ince M(l",c0)!M(c0,c0) olur. Dolayısıyla a !M(c₀,c₀) elde edilir. Yani

l !" M(c0,c0) (1.2) (1.1) ve (1.2)’den ! = l c c M( ₀, ₀) elde edilir.

ii) E!er a ! ise, c "x !c için ax ! , yani c a !M( cc, ) olur. Böylece

) , ( cc M

c ! olur. Tersini göstermek için aksini kabul edelim. Yani a !M( cc, ) fakat

c

a ! olsun. Bu durumda e ! oldu!undan, c ae=a!c elde edilir. Bu ise a ! ile c

çeli"ir. Buradan M(c,c)!c elde edilir.

! $$! 0

c

a ! ise #x"l_! için ax ! olur. Bu da c0 a"M(l!,c0) olması demektir. Buradan

0 0) ,

(l c c

M ! = elde edilir.

iv) M(lp,c₀)=l_! (1" p<!) oldu!unu gösterelim. (i)’den lp !c0

oldu!undan l_" =M(c₀,c₀)!M(l_p,c₀) olur. Tersini göstermek için aksini kabül edelim yani a!M(l_p,c₀) fakat a"l_! olsun. Bu durumda

,... 2 , 1 , 0 , ) 1 ( 2 ) ( > j+ !j= a j k

olacak "ekilde bir

( )

! =0 )

( _j

kj

a alt dizisi vardır. 'imdi x dizisini "öyle tanımlayalım

) ( ) ( 1 j j k k a x = ve k "k(j) ,!j için xk =0 olsun. Bu durumda

!

!

!

" = " = " < + # = 0 2 0 ( 1) 1 1 ) ( j p p j k p k j a x j

Yani x ! fakat l_p ! için j ak_(j)xk_(j) =1 oldu!undan ax ! bulunur. Bu ise c0 )

, (l c₀ M

a! _p demektir. Bu da hipotez ile çeli"ir. 'u halde M(lp,c0)" l_! yani,

! = l c l M( _p, ₀) dır. Tanım 1.16 : n

k > için tnk =0 ve tnn !0(n=0,1,2,…) biçiminde tanımlanan T =(tnk) matrisine

üçgensel matris denir.

Lemma 1.3 : u!U,T üçgensel matris ve X,Y !w olsun. Bu durumda,

a)

(

)

k nk nk u a b için k n Y X B Y X u A" $1* , # "( , ),! ,! = b) A!(X,Y_T)"C!(X,Y),C=TA ve ! ,n !k için

_!

= = n j jk nj nk t a c 0

! $%!

(Malkowsky ve Sava" 2004, Malkowsky 1996) Lemma 1.4: X bir BK uzayı olsun. O zaman,

a) A#(X,l_!)" A*X =sup An *_X <! b) # "

_$

<! # / % * 1 0 sup ) , ( X N n n NsonluN N A l X A

(Malkowsky 1987 ve Malkowsky ve Rako$evi% 1998)

Teorem 1.4 : X _"! bir FK uzayı a ! olsun. E!er w "x !X için

!

" =0 k k kx a

serisi yakınsak ise,

C X fa : ! / ,

!

" = = # 0 ) ( k k k a x a x f x

"eklinde tanımlanan lineer fonksiyoneli süreklidir. (Malkowsky ve Rako$evi%, 2004) Teorem 1.5 : (X,p) lokal konveks FK uzayı olsun.

a) (Z,h),"z!Z için h(z)= p

(

uE(vz)

)

ile birlikte bir FK uzayıdır. b) E!er Y , Xin kapalı alt uzayı ise Z(u,v;Y) de Z(u,v;X)in kapalı alt

uzayıdır. !spat:

a) D(u) ve D(v), d_nn(u)=u_n ve dnn(v)=vn (n=1,2,…) olacak "ekilde kö"egen matrisleri olsun. E!er T = D(u).D(v) dersek bu taktirde matris çarpımları nedeniyle

) ( )

(z uE vz

T = olur. Böylece Z =XT alırsak Teorem 1.2’den dolayı h = poT ye

yani (poT)(z)=P(T(z))= p(uE(vz)) ye göre FK uzayı olur.

! $&!

2. Z UZAYLARI ve BU UZAYLARIN ! _DUALLER!

Bu bölümde Z uzayları ile duallerini inceleyece!iz. Bu ba!lamda duallerin belirlenmesinde önemli rol oynayan lemmalar ile temel teoremlerin ispatları üzerine duraca!ız.

) , (X Y

M çarpım uzayında Y =cs _alınırsa,

! " # $ % & ' ( ' = = ! " # $ % & ' ) * + , -. ' ( ' = = =

/

/

0 = = r yakıakınsa x a için X x w a a c x a için X x w a a cs X M X k k k n n k k k n 0 0 : ) ( : ) ( ) , ( 1

elde edilir. Bu kümeyeX in ! duali denir. Dolayısıyla X ’in ! duali çarpım uzayının özel bir durumudur.

E!er X BK uzayı ve a ! ise bu taktirde supremum mevcut olmak üzere w

! " # $ % & = = =

_'

( = 1 : sup 0 * * x x a a a k k k X

"eklinde tanımlanır. _{a "X}! _{olması durumunda bu norm mevcuttur. (Malkowsky ve}

Rako$evi% 2004)

A =(a_nk) sonsuz matrisi verilsin. .n satır elemanlarının dizisine An (n=0,1,…) yani,

( )

_{nk k 0}

(

_n0, _n1,…, _nk,…

)

n a a a a

! $'! diyelim. Bu durumda her n için,

!

" = = 0 ) ( k k nk n x a x A

yakınsak olmak üzere

{

}

! " # $ % & = ' = = ' = =

₍

) = 1 , : sup 1 , : ) ( sup 0 * * x X x x a x X x x A A A k k nk n n X n olur. Lemma 2.1 : w X ! ve Y = X_E olsun. Y1 =(X )_!+ ,Y2 =M(X,c),Y3 =M(X,c0) " _{diyelim. Bu} taktirde, Y1#Y2 "Y! (2.1) dır. E!er X normal bir küme ise

Y" =Y1!Y3 _(2.2) dır. _{a "Y}! _ise

!

!

" = + " = # $ % = 0 0 , ) ( ) ( k k k k k ky a E y y Y a (2.3) dır.

!spat: Y =X_E olsun. y != x diyelim. Bu durumda x!X " y!Y dir ve üstelik ,...) 1 , 0 ( ) ( 1 0 0 0 = + ! = ! =

_"

_"

"

# = + = = n x a x a x a y a n _{n n} k k k n k k k n k k k (2.4)

e"itli!i sa!lanır. 'imdi

!

Y Y Y1# 2 "

! $(!

oldu!unu gösterelim. a"Y₁!Y₂ alalım. Bu durumda a"Y1=(X#)_!+ olur ve dolayısıyla _{a "X}!

#+ elde edilir. Buradan da "x!X ,"y!Y için

cs y E a x a = " ! "+ ) ( + ) ( )

( olur. Di!er taraftan a!Y₂ =M(X,c) oldu!undan

Y y X x! " !

" , için ax=aE(y)!c olur. (2.4)’den ise "y !Y için ay !cs bulunur. Demek ki _{a "Y}! _{olur. Buradan ise Y Y Y}!

" # 2

1 elde edilir. E!er X normal bir küme ise Y" =Y₁!Y₃ oldu!unu gösterelim.

c

c !0 oldu!u göz önüne alınırsa M(X,c0)!M(X,c) yani Y ! olur. 3 Y2 Y ! 3 Y2 ve _{Y Y Y}! " # 2 1 oldu!undan, ! Y Y Y1# 3 " elde edilir.

'imdi tersini gösterelim. Yani Y# "Y₁!Y₃ oldu!unu gösterelim. X normal bir

küme, _{a "Y}! _{olsun. Bu durumda,}

Y y ! " için ay !cs olur, buradan da Y y ! " için ay ! c0

elde edilir. y != x oldu!una göre "x !X için, a"x!c0 olur. X normal bir küme oldu!undan

(

(#1)

)

=(#1)

(

+ ₁

)

!! "! 0 $ # "% k k k k k k k k x a x x a

ve dolayısıyla "x !X için ax ! bulunur. 'u halde c0 a ! elde edilir. Böylece Y3 (2.4) göz önüne alınırsa Y y X x! " ! " , için ("+a)E(y)=("+a)x!cs elde edilir. Bu ise

!

Y a "

#+ yani a!

( )

X# _"+ =Y1 demektir. 'u halde Y# "Y₁!Y₃ bulunur.

! $)!

(

)

!

!

" = + " = # = 0 0 ) ( k k k k k ky a E y a

e"itli!i (2.4) nedeniyle do!rudur.

Teorem 2.1 : u,v" ,U X !w olsun. Bu taktirde Z =Z(u,v;X) için,

!" # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' / :1 + M(X,c) uv a ve X v a u w a Z0 0 _(2.5)

E!er X normal bir küme ise,

!" # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' = _:1 + _{( , )} 0 c X M uv a ve X v a u w a Z/ / _(2.6)

ve bu durumda a "Z! ise "z !Z için

!

!

" = + " = ##$ % && ' ( ) = 0 0 ) ( k k k k k k k E vz v a z a (2.7) e"itli!i sa!lanır.

!spat: Önce kümelerin içindeki "artları inceleyelim. Lemma-1 (iii) den yararlanırsak, ! ! " # $ $ % & ! " # $ % & ' ( ' ) ) , ( * 1 ) , ( 1 c x M u v a c X M uv a !" ! # $ !% ! & ' ( ( ) * + + , -( ) * + , -( ) * + , -. / 0 0 ) , ( * 1 * 1 1 1 c X M u v a ve, ! ! " # $ $ % & ! " # $ % & ' ! " # $ % & ( ) ' ! " # $ % & ( * + + + _X+ u v a X v a u * 1 1 1 E X u v a ! ! " # $ $ % & ! " # $ % & ' ( ) * * 1 1

! $*! ! ! " # $ $ % & ' ' ( ) * * + , ' ( ) * + , ' ( ) * + , -. / / E X u v a 1 _* 1 _* 0 1 1

elde ederiz. Ayrıca Lemma-3’de X yerine u *!1 X _alınırsa,

(

)

[

]

[

(

)

]

(

(

)

) (

[

)

]

! ! " # $ $ % & ' ( ) * + , -= -. / 0 / / 0 / / + + * ( , ) 1 * , * * * 1 1 1 1 1 _{M X c} u X u c X u M X u X u _E 1 1 1

yazabiliriz. Z ve _Z! _{uzaylarının tanımlarından ve Lemma 1.1 (iii)’den}

faydalanarak,

(

)

(

v u X cs

)

M cs Z M Z ( , ) !1* !1* , = = " ) , * ( * 1 1 1 cs X u M v ! ! " # $ % & ' =

[

(

u X_E

)

]

! v * * 1 1 1 " " # $ % & ' ( =

yazabiliriz. Buradan da,

(

)

[

]

! ! " # $ $ % & ' ' ( ) * * + , ' ( ) * + , ' ( ) * + , -! ! " # $ $ % & ' ' ( ) * * + , ' ( ) * + , ' ( ) * + , . ' ( ) * + , = / / / / / / ) , ( * 1 * 1 * 1 * 1 * * 1 1 1 1 1 1 1 c X M u v X u v X u v Z E E 0 0 0

elde edilir. Bu da (2.5)’i ispatlar. Benzer "ekilde (2.6) ispatlanır.

(2.7)’nin sa!landı!ını gösterelim. x =uE(vz) alırsak, _! " # $ % & ' = u x v z 1 elde ederiz ve Z z X

x! " ! olur. Öte yandan

!

= = k i i i k k u v z x 0 yazılabilir. _! " # $ % & ' = u x v z 1 e"itli!inden de yararlanarak, k k k k k k _{v z} u x u x = ! ! ! 1 1

! $+! !! " # $$ % & ' = ' ' 1 1 1 k k k k k k u x u x v z

Yani x!X "z!Z elde ederiz. 'u halde

!!" # $$ % & ' = ' ' = =

(

(

1 1 0 0 1 k k k k m k k k m k k k u x u x v a z a

_!

_!

= = " " " = m k m k k k k k k k k k u x v a u x v a 0 0 1 1

_!

_!

= " = + + " = m k m k k k k k k k k k u x v a u x v a 0 1 0 1 1

_!

" = + + ₊ ## $ % && ' ( " = 1 0 1 1 m k m m m m k k k k k k u v x a v a v a u x = 1

₍

0,1,...

₎

0 = + !! " # $$ % & '

(

) = + _m v u x a v a u x m k m m m m k k k k _(2.8)

yazılabilir. Buradan da (2.7)’nin do!rulu!u görülür.

Sonuç 2.1: u,v!U, p =1 için q=! olsun. 1< p<! için

1 ! = p p q ve p=!

için q=1 olsun. Bu taktirde,

i)

(

( , ; )

)

:1 ( "!) # $ % & ' ( ) ) * + , -. / 0 ) = + _{l! p} uv a ve l v a u w a l v u Z _p 1 _q ii)

₍

₎

! " # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' = + / 1 0 1 : ) ; , ( c uv a ve l v a u w a l v u Z 0 iii)

₍

₎

! " # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' = + l_/ uv a ve l v a u w a c v u Z( , ; ₀) 0 :1 ₁ iv)

₍

₎

! " # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' = + _c uv a ve l v a u w a c v u Z( , ; ) / :1 ₁

!spat: (i), (ii) ve (iii) nin do!rulu!unu ispatlamak için Teorem 2.1 ve Lemma 1.2’den yararlanaca!ız. Teorem 2.1’e göre X normal bir küme, Z(u,v;X) olmak üzere,

! " # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' = :1 + M(X,c0) uv a ve X v a u w a Z/ /

oldu!unu biliyoruz. Öte yandan l_p, ve l_! c normal kümeler ve ₀ 1_{< p <!} için

q

p l

l ! = ve c0 =c =l! =l1

" "

! $,! ! ! ! = = =l M l c c M c c l c l M( _p, ₀) , ( , ₀) ₀ , ( ₀, ₀)

oldu!unu biliyoruz. Böylece Teorem 2.1 de X yerine sırasıyla l_p, ve l_! c ₀

alınmasıyla (i), (ii) ve (iii) nin do!rulu!u görülmü" olur. (iv) nin do!rulu!unu göstermek için Teorem 2.1 deki

!" # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' / :1 + M(X,c) uv a ve X v a u w a Z0 0 _(2.5) "artından yararlanırsak,

(

)

! " # $ % & ' ' ( ) * + , -. ' / + _c uv a ve l v a u w a c v u Z( , ; ) 0 :1 ₁

olur. Herhangi bir X uzayının ! duali X =! M(X,cs) _{"eklinde oldu!una göre} Lemma 1.1 (i) X !~ X için M(X,Y)!M(X~,Y) "artından ve c !0 c olmasından faydalanarak,

(

)

(

)

! " # $ % & ' ( ) * + , -. ' / / + 1 0 1 : ) ; , ( ) ; , ( l v a u w a c v u Z c v u Z 0 0

yazabiliriz. Ayrıca Teorem 2.1 deki

(

0,1,...

)

1 0 0 = + !! " # $$ % & ' =

(

(

) = + = m v u x a v a u x z a m k m m m m k k k k m k k k (2.8)

"artında k "! için limite geçersek elde edilen seri yakınsak olur. Burada (x k)

dizisi c yi taradı!ından sa! taraftaki ilk toplam da limite geçildi!inde yakınsak bir seri olur.

Yakınsak iki serinin farkı da yakınsak oldu!undan

c uv

a

! elde edilir. Buradan (iv) nin ispatı tamamlanır.

! %-! Örnek 2.1: i) bs" =bv0 =bv!c0 (Wilansky, 1984) ii) cs" =bv, bv!c (Wilansky, 1984) iii) ! " # $ % & ' ( < ) ' =

_*

( = ( + + 0 1 1 0 : ) , ( k k k k k k l q Qa ve q a q a Q w a q N + ! " # $ % & ' ( < ) ' =

_*

( = + + 0 1 1 : ) , ( k k k k k k c q Qa ve q a q a Q w a q N + ! " # $ % & ' ( < ) ' =

_*

( = + + ( 0 0 1 1 : ) , ( k k k k k k c q Qa ve q a q a Q w a q N + (Jarrah, 1990) iv)

(

)

_!"# $ % & _{' + ) <( + '} = a w k a a + ve n a l( X _{k k n} k ) 1 ( ) 1 ( sup : ₁ 1 * 1 , 1 ! = " < < p p q p olmak üzere,

(

)

! " # $ % & ' + ( < ) + ' =

_*

( = ( + 0 1 ( 1) ) 1 ( : k n q k k q p a w k a a ve n a l X + (Ng ve Lee, 1978)

(

)

! " # $ % & ' + ( < ) + ' =

_*

( = + ( 0 0 1 ( 1) ) 1 ( : k n k k a ve n a c a k w a X + dır. Dikkat edilmelidir ki ! ! ! " ) , ( , ) , ( , ) , (N q 0 N q N q

! %$! ! ! " # $ $ % & + ' = = = + + ' =

(

n n n k k k k n k k n q Q a q a q a Q a a 1 1 1 0 * ' sup ) dır (Malkowsky ve Rako$evi% 2004).

! %%!

3. Z UZAYLARI ARASINDAK! MATR!S DÖNÜ#ÜMLER!

Bu bölümde

(

Z(u,v;X),Y

)

,

(

Z(u,v;lp),l!

)

,

(

Z(u,v;c0),l!

)

,

(

Z(u,v;c),l!

)

,

(

Z(u,v;lp),l1

)

,

(

Z(u,v;c),l1

)

,

(

Z(u,v;l!),c0

)

,

(

Z(u,v;l!),c

)

matris dönü"ümlerini

karakterize eden teorem ve sonuçların ispatları üzerinde duraca!ız. Öncelikle faydalandı!ımız bir lemmanın ifade ve ispatını verelim. Lemma 3.1 : X normal bir dizi uzayı olsun.

) , ( ,... 1 , 0 ) , (X Y n için A M X c₀ A! _E #" = _n ! ve

bnk =!k+ank olmak üzere B !(X,Y) dir.

!spat: A!(X_E,Y) oldu!unu kabül edelim. O zaman A "n (XE)! olur. Lemma

2.1 gere!ince, ) , ( ) ( ) (X_E = X _"+ !M X c₀ # #

oldu!undan A_n!M(X,c₀) olur. x =E(z) alalım. Lemma 2.1 e göre a "Y! ise,

Y y ! " için,

!

!

" = + " = # = 0 0 ) ( ) ( k k k k k ky a E y a e"itli!i do!rudur. _{( )}! E n X A " oldu!undan, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x B x a z E a z a z A k n k k nk k nk k k nk n

!

!

!

" = " = + + " = = # = # = =

! %&!

olur. Buradan da "z !X_E , "x !X ve n=0,1,… için,

) ( )

(z B x A_n = _n

elde edilir. Böylece !n için, Bn"X! ve "x !X için, B(x)!Y elde edilir. Yani

) , (X Y B ! bulunur. Tersine A_n!M(X,c₀) ve bnk k ank + !

= olmak üzere B !(X,Y) "artları sa!lansın. O zaman _{B X}!

n " ve dolayısıyla !n için "( )_!+

#

X

An olur. Lemma 2.1 e göre

) , ( ) ( ) (XE = X _"+ !M X c0 # # dır. Buradan da _{( )}! E n X

A " elde edilir. Tekrar Lemma 2.1 e göre _{a "Y}! _ise,

Y y ! " için,

!

!

" = + " = # = 0 0 ) ( ) ( k k k k k ky a E y a e"itli!i do!rudur. _{( )}! E n X A " oldu!una göre ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x B x a z E a z a z A k n k k nk k nk k k nk n

!

!

!

" = " = + + " = = # = # = =

elde edilir. Hipotezden B !(X,Y) oldu!unda "z !X_E için A(z)!Y bulunur. Bu da A!(X_E,Y) olması demektir. Böylece ispat tamamlanır.

Teorem 3.1 : X,Y !w, X normal bir küme ve u !,v U olsun. O zaman,

(

( , ; ),

)

1 * ( , ₀) , 0,1,… 1 = ! " # $ % & ' ( ) ( * n c X M uv A Y X v u Z A _n (3.1) ve !! " # $$ % & ' = ( + k nk k k nk v a u b Y X B ( , ), 1 , n, =k 0,1,_… (3.2)

! %'! !spat: Lemma 1.3’e göre,

k nk nk v a c ' = olmak üzere

(

Z u v X Y

)

C

(

u X Y

)

A ( , ; ), ' ( !1* ), " # "

Ayrıca Lemma 3.1 ya göre, !n için,

ve ''

(

1_{* ,}

)

_, '' ' nk k nk c c Y X u C ! + " = #

olur. Sonuç olarak Lemma 1.3’e göre,

(

1* ,

)

( , ) '' _{u X Y B X Y} C ! # " ! öyle ki k nk nk u c b '' = olur. Böylece

(

)

( , ) ) ( ), ; , ( ₀ ' c X M uv A u c Y X v u Z A n n ! = " !

elde edilir. Bu da !n için,

) , ( * 1 0 1 c X M uv A_n ! " # $ % & ' ( ve k nk k nk v a u b + ! = 1

olmak üzere B !(X,Y) _{olması demektir. Böylece ispat tamamlanmı" olur.}

Bu teoremlerin bazı sonuçlarını verelim. p =1 için q=!, 1< p<! için

1 ! =

p p

q ve p=! için q=1 alalım. N / ’ın sonlu alt kümesi olmak üzere , N0 k ve

! %(!

(

)

q n k n v A u p v u K _! " # $ % & ' = ( sup 1 + ), ; , ( ! ! ! ! " ! ! ! ! # $ % = && ' ( )) * + , % < < && ' ( )) * + , = && ' ( )) * + , =

-% = + + % = + + + + p v a v a u p v a v a u p v a v a u k k k n k nk k n k q k k n k nk k n k k n k nk k k n , 1 sup 1 , 1 sup 1 , 1 sup 0 1 1 , 0 1 1 , 1 1 , , ve

(

)

q n k N n N v A u p v u K _! " # $ % & ' = + (

)

1 sup 1 ), ; , ( ! ! ! ! " ! ! ! ! # $ % = && ' ( )) * + , % < < && ' ( )) * + , = && ' ( )) * + , =

-

--

-% = + + . % = + + . + + . p v a v a u p v a v a u p v a v a u k k k n k nk N n k N k q k k n k nk N n k N k k n k nk N n k N k , 1 sup 1 , 1 sup 1 , 1 sup 0 1 1 , 0 1 1 , 1 1 , ,

olsun. Bu durumda a"a!ıdaki sonuçlar ifade edilebilir. Sonuç 3.1 : u !,v U olsun. a) ve ! < !) ), ; , ((u v p K (3.4)

(

( , ; ₀),

)

sup ( n için) v u a l c v u Z A k k nk k <" ! # $ _{" (3.5)} ve

(

)

! " Z u v l l_# A ( , ; _p), ! ! ! " ! ! ! # $ % = & = % < ' & % < % ( u v niçin p a p için n v u a k k nk k k k nk k ), ( 0 lim 1 ), ( sup ) 3 . 3 (

! %)!

(

( vu, ;!),!<!

)

K _(3.6)

(

)

! " Z u vc l# A ( , ; ); (3.6) "artı sa!lanır. ) ( lim n için v u a n k k nk k#" =$ ! (3.7) ve ! < n n " sup _(3.8) b) A"

(

Z(u,v;lp),l1

)

! (3.3) sa!lanır. ve

(

(u,v;p),1

)

<! K (3.9)

(

)

! " Z(u,v;c0),l1 A (3.5) sa!lanır. ve

(

( vu, ;! 1),

)

<! K (3.10)

(

)

! " Z(u,v;c);l1 A (3.10) ve (3.7) sa!lanır. ve ! <

"

! =0 n n # (3.11) !spat:

a) Teorem 3.1’de X = vel_p Y = l_! alalım. Bu durumda

(

( , ; ),

)

1 * ( , ₀) , 0,1,… 1 = ! " # $ % & ' ( ) ( * + A _uv M l c n l l v u Z A _{p n p} (3.12) ve B"(lp,l_!) olmak üzere _!! " # $$ % & ' = + k nk k k nk v a u b 1 , n, =k 0,1,… (3.13)

! %*!

olur. M(lp,c0)= l_! oldu!una göre (3.12)’nin sa! tarafı A"

(

Z(u,v;lp),l!

)

için ) , ( * 1 0 1 c l M uv A_{n p} ! " # $ % & ' ( olur. M(lp,c0)= l_! oldu!undan, n ! için _! ! = " ## $ % && ' ( l v u a k k k nk 0

(1" p<!) önermesine yani !n için <!

k k nk k u v a sup

denktir. Lemma 1.4(a) ya göre X bir BK uzayı oldu!unda,

! < = " # ! * * sup ) , (X l A _X A_{n X} A ve lp =lq (1" p<!) # _oldu!undan q . . * = olur. Dolayısıyla, ! < = " #( , _!) * sup * p p _n n l l p l B B l B q n k n l n k v A u v A u p ! " # $ % & ' = ! " # $ % & ' ( 1 + sup 1 + * _"" <! # $ %% & ' ( =

₎

! = + q k k nk k k n v a u 0 1 sup

elde edilir. Bu da (3.13)’ün (3.4)’e denk oldu!unu gösterir.

E!er p=! ise (3.12) A"

(

Z(u,v;l_!),l_!

)

için

e dönü"ür. Lemma 1.2’den M(l!,c₀)=c₀ oldu!undan (3.14) !n için

0 0 c v u a k k k nk ! "" # $ %% & ' ( = indirgenir. Bu da lim =0 ! " k k nk k u v a

yani (3.3)’deki "arta denktir.

Böylece Sonuç 3.1 (a)’nın ispatı tamamlanır.

) , ( * 1 0 1 c l M uv A_{n !} " # $ % & ' ( ) (3.14)

! %+!

(3.4) un sa!landı!ını göstermek için Teorem 3 ve Lemma 1.4(a) dan yararlanaca!ız. Teorem 3.1 deki (3.2) "artında X = ve l_p Y = l_! alalım. Bu durumda

!! " # $$ % & ' = + k nk k k nk v a u b 1 olur.

(3.5)’in sa!landı!ını göstermek için Teorem 3.1’deki (3.1) "artında X = ve c₀

! = l Y alalım. A_"

₍

Z(u,v;c₀),l_!

₎

için 1 * ( ₀, ₀) 1 c c M uv A_n ! " # $ % & ' ( olur. M(c0,c0)= l_! oldu!undan !n için _! ! = " ## $ % && ' ( l v u a k k k nk 0

elde edilir. Yani _<!

k k

nk k u v

a

sup olur. Böylece

(3.5) "artının sa!landı!ı görülmü" olur.

(3.6) "artının sa!landı!ını görmek için Teorem 3.1’deki (3.2) "artında X = ve c₀

!

= l

Y alalım ve tekrar Lemma 1.4(a)’dan yararlanalım. c₀! =l₁ oldu!undan

1 * . . = olur. Bu durumda, 1 * 0 1 sup 1 ) , ( _! " # $ % & ' = ! " # $ % & ' ( ) * + + _v A u v A u l c B n k n n k _<! "" # $ %% & ' ( =

₎

! = + + 0 11 1 , 1 sup k k k n k nk k n v a v a u Bu da (3.6)’nın sa!landı!ını gösterir.

(3.7)’nin sa!landı!ını göstermek için X =c ve Y _{= l!} alalım. A_"

₍

Z(u,v;c),l_!

₎

oldu!undan

₍

₎

c uv l c v u Z A_n ( , ; ), 1 * 1 ! " " # $ % & ' ( )

* olur. Bu da (3.7)’nin sa!landı!ını gösterir. Ayrıca

₍

Z(u,v;c),l_!

_{) (}

" Z(u,v;c0),l_!

₎

oldu!undan (3.6)’nın sa!landı!ı açıktır.

(3.8)’in sa!landı!ını gösterelim. A_"

₍

Z(u,v;c₀),l_!

₎

oldu!unda Teorem 3.1 nedeniyle

! %,! ) , ( _{0 !} " c l B olur. Ayrıca (c₀,l_!)=(l_!,l_!) dır. ) ; , (u v c Z

z ! alalım. Bu durumda x=uE(vz)!c olur ve l!C/ için xk l k"! =

lim mevcuttur. Buradan A_n(z)=B_n(x)+l!_n elde edilir. A )(z "l_! , B )(x "l_! oldu!undan

_{( )}

! _! = "l n n 0 # olur. Bu da n <! n "

sup olması demektir. Buradan (3.8)’in sa!landı!ı görülmü" olur.

b) Teorem 3.1’de X = ve c₀ Y =l1 alalım. N, N0’ın sonlu bir alt kümesi olsun. Lemma 1.4(a)’dan yararlanarak,

_"" <! # $ %% & ' ( )

_*

+ + * 0 1 sup c N n k nk k k N v a u ! < "" # $ %% & ' ( )

_*

_*

! = + + + 0 1 1 , 1 sup k n N k k n k nk k N v a v a u

Bu da (3.9)’un sa!landı!ını gösterir. (3.10)’un sa!landı!ı da benzer "ekilde gösterilebilir.

(3.11)’in sa!landı!ını gösterelim.

E c u v c v u Z z ( , ; ) !1*( !1* ) = " alalım. E E zv u c c u v z !1*( !1* ) ( !1* ) " # " #E(zv)"u!1*c "uE(zv)!c

Dolayısıyla x=uE(vz)!c olur. Bu durumda, l!C/ için _k xk =l

! "

lim limiti mevcuttur.

Teorem 2.1’deki (2.8) e"itli!inden yararlanalım. ! < " #

$

# * 1 0 0 sup ) , ( c N n n N B l c B

! &-!

!

!

" = + = + ## $ % && ' ( ) = 1 0 0 m k m m m m k k k k m k k k v u x a v a u x z a _m m m m k m k k k k x v u a x v a u !!_" + # $$ % & ' =

₍

) = + 1 0 1

Burada k "! için limite geçilirse,

n n n z B x l A ( )= ( )+ ! yazılabilir. A(z)!l₁ ve B(x)!l1 oldu!undan

( )

n n 0!l1 " = # olur. Bu da

_"

<! ! =0 n n # olması demektir. (3.11) "artı sa!lanmı" olur.

Tersini göstermek için "artların sa!landı!ını kabül edelim. (3.6), (3.7) veya (3.10) "artları Sonuç 2.1 (iv) nedeniyle _A

₍

_Z(u,v;c)

₎

!

n" olması anlamına gelir. (3.7)

nedeniyle A_n(z)=B_n(x)+l!_n elde edilir. (3.6) veya (3.10) nedeniyle B !( Yc, ) olur. (3.8) veya (3.11) nedeniyle

_{( )}

#_{n n}"₌₀!Y olur. Dolayısıyla "z !Z(u,v;c) için

Y z

A( )! olur. Bu da A!

(

Z(u,v;c),Y

)

oldu!unu gösterir. Uyarı 3.1: _{( , )} !_{,( , )}! 0 N q q N veya ! " ) ,

(N q uzaylarının herhangi birinde

! ! " # $ $ % & + ' = =

₍

' = + + 1 0 1 1 ' * sup n k n n n k k k k k n q Q a q a q a Q a a )

oldu!unu biliyoruz. Lemma 1.4 (a) gere!ince,

(

!

)

" N q l

A ( , )₀, , A"

(

(N,q),l_!

)

veya A"

(

(N,q)_!,l_!

)

olması için gerekli "artlar sırasıyla,

(

)

_""<! # $ % % & ' + ( = ! + + ( = !

)

m m nm k k n k nk m k k n m q Q a q a q a Q q N K 1 1 , 1 0 , ' _{( , ) , sup (3.12)} ve ! " l q Q A_n (3.13)

! &$! (3.12) "artı ve c q Q A_n ! (3.14) (3.12) "artı ve 0 c q Q A_n ! (3.15)

dır. Bu "artlar ise Sonuç 2(a)’da verilen "artlara denktir.

!spat: A_"

(

(N,q)₀,l_!

)

ve A"

(

(N,q)_!,l_!

)

olması durumunda . _!' ve

! . normlarının 1 1 0 + + ! = " =

_#

k k k k k k q a q a Q a $

normu ile tanımlandı!ını ve !

0 ) , (N q ve ! " ) ,

(N q üzerinde bu normların denk oldu!unu göstermeliyiz. Öncelikle

! ! " # $ %a (N,q)0 (N,q) için * ' a a a _" ! _" =

oldu!u açıktır. E"itsizli!in tersini kanıtlamak için, (N,q)₀ veya (N,q)_! uzaylarını X ile gösterelim. a !X alalım. Bu durumda

C X f_a : ! /

!

" = = # 0 ) ( k k k a x a x f x

dönü"ümü (Malkowsky ve Rako$evi% 2004)’dan dolayı sürekli lineer fonksiyoneldir. Dolayısıyla, "x !X için,

x f x

! &%!

olur. 'imdi n negatif olmayan keyfi bir tam sayı olsun. !k için _!!

" # $$ % & ' = + + 1 1 k k k k k k q a q a Q b alalım ve ! " n x dizisini

(

)

! ! ! " ! ! ! # $ > + = % & & ' = + ( ) n k n k b Q q n k b Q q x _{n n} n k k k n k , 0 1 , ) sgn( 1 0 , ) sgn( 1 1

"eklinde tanımlayalım. Bu taktirde

! " # $ % & ' = =

₍

= 0 1 : ) ( ) , ( 0 0 n k k k n k q x Q x x q N

oldu!u göz önüne alınırsa, 0!k !n için 1 sgn( )

0 k k j k j j k n k q x b Q = = " ! = ! "

#

$ ve, n

k > için #k"n! =0 olur. Dolayısıyla x X

n ! " # _ve 1 ) sgn( sup sup = ! = ! " # " # k n k n k k n _b x $

olur. Üstelik (2.8), (3.16) ve . normunun tanımına göre, *

! " + + + + = ! " + = ! " ! " + = =

_#

_#

n n n n n n k n k k n k n k k n a q Q a b x a x f ₁ 1 1 1 0 1 0 ) ( $ $

!

= = n k k b 0 * a !

olur. Öte yandan,

_!

_!

= + + = ""# $ %% & ' ( = n k k k k k k n k k q a q a Q b 0 1 1 0

kısmi toplamında n"! için limite

! &&! * 0 1 1 0 a q a q a Q b k k k k k k k k _"" ! # $ %% & ' ( =

₎

)

* = + + * = oldu!u görülür. Bu ise, * ' ! ! a a a " = demektir. Dolayısıyla, ' * ! ! a a a = =

e"itli!i elde edilir. E!er (3.12) ve (3.14) sa!lanırsa,

(

!

)

=

_$

# "

(

!

)

<! ! = ! + + ! 0 ' 1 1 , _{( , ) ,} sup , ) , ( k k k n k nk k n q N K q a q a Q q N K

elde edilir. (3.7) ve (3.14)’den yararlanırsak,

(

!

)

<! " "sup ( , )_!, sup ' , q N K q Q a q Q n n mn n m n n n n # elde ederiz.

Tersine A"

(

(N,q),l_!

)

için Sonuç 3.1 (a)’daki "artların sa!landı!ını kabül edelim. Öncelikle !m,n için,

!

!

" = + + + + # = # $ # 0 1 1 , 1 1 , 1 0 k k k n k nk k k k n k nk m k k q a q a Q q a q a Q olur. Buradan,

(

)

! < ! " #

$

# = ! + + 1 0 1 1 , , , ) , ( supm k k k n k nk k n m q N K q a q a Q (3.17)

Bunun dı"ında Sonuç 2.1 (iv) ve Teorem 1.2’ye göre her sabit n için,

C q N

f_An :( , )! / x! fAn(x)= An(x)

"eklinde tanımlanan dönü"üm Teorem 1.2’den dolayı sürekli lineer fonksiyoneldir. Bu durumda, "x !(N,q) için,

x f x