Göreceli hızlarda uyarılmış çekirdeklerin parçalanmalarında yüzey gerilim enerjisinin etkileri

1 T.C

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

GÖRECELĠ HIZLARDA UYARILMIġ ÇEKĠRDEKLERĠN

PARÇALANMALARINDA YÜZEY GERĠLĠM ENERJĠSĠNĠN ETKĠLERĠ

Fatma BULUT YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI

2 T.C

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

GÖRECELĠ HIZLARDA UYARILMIġ ÇEKĠRDEKLERĠN

PARÇALANMALARINDA YÜZEY GERĠLĠM ENERJĠSĠNĠN ETKĠLERĠ

Fatma BULUT

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI

Konya, 2010

Bu Tez 01.06.2010 Tarihinde AĢağıdaki Jüri Tarafından Oybirliği ile Kabul EdilmiĢtir.

... ... ...

Prof.Dr. Rıza OĞUL Prof.Dr.Erol PEHLĠVAN Doç.Dr.Nihal BÜYÜKÇĠZMECĠ

3 ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

GÖRECELĠ HIZLARDA UYARILMIġ ÇEKĠRDEKLERĠN

PARÇALANMALARINDA YÜZEY GERĠLĠM ENERJĠSĠNĠN ETKĠLERĠ Fatma BULUT

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Fizik Anabilim Dalı

DanıĢman: Prof. Dr. Rıza OĞUL 2010, 57 Sayfa

Nükleer parçalanmada, yüzey geriliminin parçacık yük dağılımına etkisi, farklı ortalama nötron-proton oranlarına sahip çekirdekler için, çeĢitli Zb (bağlı yük) ve E (uyarma x

enerjisi) değerlerinde araĢtırıldı. Parçacıkların simetri enerjisinin yük dağılımını önemli ölçüde etkilediği gözlendi. Yüzey geriliminin, ortalama orta kütleli parçacıklar (Intermediate Mass Fragment,IMF) değerlerinin Zb’a göre değiĢimine etkisi nötron fakir ve nötron zengin çekirdekler için araĢtırıldı. Yüzey gerilim enerjisinin orta kütleli parçacıklar değerlerinde önemli değiĢikliklere yol açtığı gözlendi.

Elementlerin ortalama <N>/Z oranları da hesaplandı. Bu değerlere yüzey geriliminin etkisinin ihmal edilebilir olduğu görüldü. Sıcak parçacıklar için hesaplanan isoscaling katsayısı alfa değerlerinin yüzey gerilim enerjisi terimine göre değiĢiminin ihmal edilebilir düzeyde olduğu görüldü. Ġkincil uyarılmalar sonucunda oluĢan soğuk parçacıklar için de alfanın yüzey gerilim terimine karĢı duyarlılığının ihmal edilebilir olduğu görüldü. DeğiĢik uyarılma enerjilerinde alfa katsayılarının yüzey gerilimine göre değiĢimi hesaplandı. Uyarılma enerjileri artarken alfa katsayılarının azaldığı gözlendi.

Anahtar Kelimeler: Ġstatistiksel Çok Katlı Parçalanma Modeli, yüzey gerilim enerjisi, isoscaling

4 ABSTRACT

M. Sc. Thesis

SURFACE ENERGY EFFECTS IN NUCLEAR FRAGMENTATION OF RELATIVISTIC PROJECTILES

Fatma BULUT Selcuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics

Supervisor: Prof. Dr.Rıza OĞUL 2010, 57 Page

The effect of surface energy of finite nuclei on charge distributions of produced fragments in different ranges of the bound charge Zbound and the excitation energy Ex is investigated for the nuclei with different N/Z ratio. It is seen that the surface energy of individual fragments influence the charge distributions. Influence of the surface energy parameter B0 on the curve of average IMF (Intermediate Mass Fragments) multiplicities versus Zb was also studied for neutron rich and neutron poor projectiles. We observed that the variation of surface energy term produces significant changes in the average IMF multiplicities.

Mean neutron to proton ratios <N>/Z of the elements are also calculated. It is seen that the effect of surface energy on these ratios can be neglected. Variation of the isoscaling coefficient alpha for hot primary fragments versus surface energy is almost negligible. After secondary de-excitation the sensitivity of alpha to the surface energy term is also negligible. The values of isoscaling coefficients at various excitation energies are calculated as a function of surface energy term. One may observe that while the excitation energy increases isoscaling coefficients tend to decrease.

5 ÖNSÖZ

Bu çalıĢma Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuĢtur.

Bu tezin hazırlanmasında çalıĢmalarım boyunca yardımlarını hiç esirgemeyen ve bana her konuda destek olan danıĢman hocam Sayın Prof. Dr. Rıza OĞUL’a en içten teĢekkürlerimi sunarım.

ÇalıĢmalarım sırasında benden bilgilerini hiç esirgemeyen ve her zaman yardımcı olmaya çalıĢan değerli hocalarım Sayın Doç.Dr. Nihal Büyükçizmeci’ye ve Sayın Yrd. Doç.Dr. Mehmet Erdoğan’a çok teĢekkür ederim.

Hayatımın her anında yanımda olan ve her zaman beni yüreklendiren sevgili aileme teĢekkürlerimi bir borç bilirim.

6 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET………...3 ABSTRACT………4 ÖNSÖZ………...5 ĠÇĠNDEKĠLER………...6 1. GĠRĠġ ... 8

2. ĠSTATĠSTĠKSEL ÇOK KATLI PARÇALANMA MODELĠ (STATISTICAL MULTIFRAGMENTATION MODEL,SMM)………....11

2.1. Nükleer Çok Katlı Parçalanmanın OluĢumu ... 12

2.2. Nükleer Çok Katlı Parçalanmanın Fiziksel Tanımı ... 13

2.3. Bozunma Durumlarının Sınıflandırılması ... 15

2.3.1. Bozunma Ģekillenimi ... 15

2.3.2. Parçalanma olayı ... 17

2.3.3. Parçalanma dağılımı ... 18

2.4. Ġstatistiksel Topluluklar ... 19

2.5. Parçalanan Bir Sistemin Serbest Enerjisi ... 22

2.5.1. Serbest enerjinin ayrıĢması… . ... 22

2.5.2. Parçacıkların öteleme hareketi ... 24

2.5.3. Bulk serbest enerjisi ... 27

2.5.4. Yüzey serbest enerjisi ... 27

2.5.5. Çok parçacıklı bir sistemin Coulomb enerjisi ... 28

2.6. AyrıĢmadan Sonra Parçacıkların Yayılmaları ve Yeniden Uyarılmaları ... 29

3. NÜKLEER ÇOK KATLI PARÇALANMAYA YÜZEY GERĠLĠM ENERJĠSĠNĠN ETKĠLERĠ ... 30

3.1. Yüzey Gerilim Enerjisinin <N>/Z Oranına Etkisi ... 31

3.2. Yüzey Gerilim Enerjisinin Ġsoscaling Katsayılarına ÇeĢitli Uyarılma Enerjilerindeki Etkileri ... 34

4. ARTIK ÇEKĠRDEK ĠSTATĠSTĠK TOPLULUĞUNUN RASGELE HESAPLANMASI ... 38

7 4.2. Yüzey Gerilim Enerjisinin Orta Kütleli Parçacıklar’a Etkis ... 46

4.3. Yüzey Gerilim Enerjisinin Ġsoscaling Katsayılarına Etkileri...48

5. SONUÇLAR VE TARTIġMA ... 50 6. KAYNAKLAR ... 52

8 1. GĠRĠġ

Bu çalıĢmada, çeĢitli uyarılma enerjilerinde parçalanan ağır atom çekirdeklerinin parçalanma ürünlerinin oluĢumları istatistiksel parçalanma modeline göre incelendi. Çekirdek parçalanması nükleer fiziğin temel konularından biri olmakla beraber Astrofizik alanındaki Süpernova patlamaları ve büzülmesi, nötron yıldızları ve yıldızsı (stellar) maddenin dinamiği gibi konuları çalıĢmak için önemlidir. Bu alanda hızlandırıcılarda gerçekleĢtirilen nükleer ağır iyon parçalanması deneylerinin sonuçlarına göre teorik modeller geliĢtirilmiĢtir ve bu modellerden birisi de istatistiksel parçalanma modelidir. Bu çalıĢmada atom çekirdeğinin parçalanması dinamiği istatistiksel yaklaĢımlarla incelenmiĢtir. Ġstatistiksel yaklaĢımın nükleer fizik alanında uygulanması, ilk kez Niels Bohr tarafından bileĢik çekirdek kavramı kullanılarak, Weisskopf tarafından buharlaĢma modeli, Fong tarafından istatistiksel fisyon ve Fermi-Landau tarafından çok katlı parçacık üretim teoremi kullanılarak yapılmıĢtır. Çok-parçacık salkım (cluster) yaklaĢımı ilk kez A. Mekijan tarafından istatistiksel termodinamik kullanılarak çalıĢılmıĢtır. Biz bu çalıĢmada nükleer sıvı damlası modeli üzerine kurulan sıvı-gaz faz geçiĢleri teorisini kullanarak nükleer parçalanma dinamiğini çalıĢtık. Bir çekirdek uyarıldığı zaman (bu uyarma iki çekirdeği çarpıĢtırarak ya da bir çekirdeği proton, nötron ve alfa parçacıkları ile bombardıman ederek yapılabilir) sıcak ve yoğun nükleer madde oluĢur. Bu sıcak ve yoğun madde kısa menzilli itici nükleon-nükleon etkileĢmeleri sonucunda geniĢlemeye baĢlar. Bu geniĢleme sırasında bu madde belli bir yerde termodinamik dengeye ulaĢır, bunun sonucu olarak sıvı ve gaz fazındaki nükleer damlacıklar ve kabarcıklar oluĢur. Bu Ģekilde oluĢan yüksek sıcaklık ve basınç altında nükleer maddenin davranıĢı sıvı-gaz faz geçiĢleri teorisi ile incelenebilir. Bu Ģekilde nükleer maddenin hal denklemi belirlenerek olası sıvı-gaz faz geçiĢleri araĢtırılabilir. Nükleer fizik deneyleri modern hızlandırıcılarda yapılmaktadır. Bu hızlandırıcıların parçacıklara kazandırdığı uyarma enerjisi, MeV mertebesi ile birkaç GeV mertebesi aralığındadır. Orta ve yüksek enerjide ağır iyonlar, pionlar ve yüksek Ģiddetli proton ıĢınları üretilebilmektedir. Hedef çekirdek ile hedefe gönderilen çekirdek (projectile nucleus) veya hızlandırılan parçacıkların esnek olmayan (deep-inelastic) çarpıĢmaları, nükleer sistemi, nükleer taban durumdan uyarılmıĢ durumdaki ara nükleer sisteme dönüĢtürebilir. Uyarma enerjisi yeterince yüksekse, çekirdeğin iç özellikleri, özellikle kabuk yapısı önemini kaybeder ve çekirdek veya hadronik maddenin uyarılmıĢ durumdaki özellikleri araĢtırılabilir. Ġki iyonun çarpıĢıp kaynaĢması sonucunda sistem termodinamik

9 dengeye ulaĢır. Böylece bileĢik sıcak çekirdek oluĢmuĢ olur. Standart bileĢik çekirdek durumu sadece düĢük uyarma enerjilerinde geçerlidir. Çünkü bu durumda hafif parçacıkların buharlaĢması ve fisyon kanalları baskındır. DüĢük enerjilerde bileĢik çekirdekte nükleon baĢına 1-2 MeV uyarılma enerjisi depo edilir. BileĢik çekirdek belli bir süre yaĢadıktan sonra buharlaĢma veya fisyona uğrayarak bozunur. Hedef çekirdeğe gönderilen çekirdeğin veya hızlandırılmıĢ parçacığın enerjisi arttıkça, bileĢik çekirdekte depo edilen uyarılma enerjisi ve bileĢik çekirdeğin sıcaklığı da artar. Ayrıca, çarpıĢma sonucu oluĢan bileĢik çekirdek sıkıĢır ve sistemin yoğunluğu artar. Bu yüzden yüksek enerjilerde bileĢik çekirdeği, sıkıĢmıĢ ve sıcak bir ara durum gibi düĢünebiliriz. Bu ara durumun hayatta kalma süresi, bileĢik çekirdekte depo edilen uyarılma enerjisine ve basıncına bağlıdır. Yüksek uyarılma enerjilerinde, yüksek sıcaklık ve basınçtan dolayı sistem geniĢleme sürecine girmeden tamamen proton ve nötronlarına ayrıĢır. Bu durum buharlaĢma veya patlama olarak adlandırılabilir. Ġlk sıcaklık ve basınç çok fazla değilse sistem, geniĢleme süreci sonunda parçalanma yerine irili ufaklı parçalara ayrılır. Bu parçalar nükleer damlalar olarak kabul edilir. Bu olay nükleer çok katlı parçalanma (nuclear multifragmentation) olarak adlandırılır (Bondorf 1976).

Termodinamiksel olarak kararsız bölgedeki nükleer maddenin özellikleri, damlalar arası etkileĢmeler hesaba katılarak istatistik mekaniğin temel prensiplerine göre incelenebilir. Bunun için sistemin mikrokanonik dağılım fonksiyonunun bulunması gerekir. Belli bir enerjide ve belli sayıda parçacıktan oluĢan bir sistem düĢünülürse, bu sistemin mikrokanonik dağılım fonksiyonu hesaplanarak bütün termodinamik ve istatistiksel özellikleri ortaya çıkarılabilir. ALADIN deneylerinin verilerine göre yüksek enerjilerdeki yüzeysel çekirdek-çekirdek reaksiyonlarında kaynağın çok katlı parçalanması hakkında öğretici bilgiler sağlanmıĢtır (Schüttauf ve ark. 1996). Ayrıca bu çalıĢmalarda uyarma enerjisi ile çok katlı parçalanmanın yükseldiği ve düĢtüğü, bu süreç esnasında da sıcaklığın yaklaĢık T~5 MeV civarında sabit kaldığı gösterilmiĢtir (Pochodzalla ve ark. 1995). BileĢik çekirdek benzeri bir durumdan çok parçacıklı duruma geçiĢ gölgesinde parçacık sayısındaki büyük kararsızlık ve parçacıkların maksimum büyüklüğü gösterilmiĢtir (Kreutz ve ark. 1993). Alt nükleer yoğunluklardaki donma hacminde (freeze-out volume) sıcak parçacıklar arasında termal bir denge olduğunu kabul eden istatistik modellerin verilerle tutarlı olduğu görülmüĢtür (Botvina ve Mishustin 1992, Li ve ark. 1993, Bondorf ve ark. 1995, Raduta A.H. ve Raduta A.R. 2000).

Coulomb etkileĢmesinin ihmal edildiği ve termodinamik denge Ģartının sağlandığı sonsuz nükleer madde tanımı gerçekte sonlu nükleer maddeyi temsil etmez. Bunun sebebi, gerçek nükleer sistemlerin birkaç yüz nükleondan oluĢan sonlu sistemler olmasıdır. Bu

10 yüzden sonlu parçacık etkileri faz geçiĢlerinde önemli değiĢmelere neden olur. Ayrıca, gerçekçi bir hesaplamada yüzey ve Coulomb etkileri dikkate alınmalıdır. Son yirmi yıl içinde bütün bu etkiler farklı modellerle yoğun bir biçimde çalıĢılmaktadır. Özellikle, doyma yoğunluğunun altındaki yoğunluklarda yüzey gerilimi ve Coulomb etkileĢiminin madde dağılımının geometrisini önemli ölçüde etkilediği gösterilmiĢtir (Ravenhall ve ark. 1983, Ogul ve Atav 2003, Manisa ve ark. 2005, Botvina ve ark. 2006).

Çekirdeğin çok katlı parçalanması üzerine yapılan çalıĢmaların baĢlıca iki amaca hizmet ettiğine inanılır. Bunlardan birincisi, bu reaksiyonların daha iyi tanımlanması ve genel anlamıyla iliĢkilidir. Bu reaksiyonların % 10–15 kadarı yüksek enerjili hadron-çekirdek çarpıĢmaları ve yaklaĢık bunun iki katıda çekirdek-çekirdek çarpıĢmalarıdır. Ġkincisi, çok katlı parçalanma reaksiyonu, sıcak parçacıkların özelliklerini, (0,10,3)0 yoğunluklarda (normal nükleer madde yoğunluğu 3

0 0,15fm





 ) ve nükleer maddenin donma hacmine ulaĢmasının beklendiği T38MeV civarındaki sıcaklıklardaki faz diyagramını çalıĢmak için deneysel bir vasıta olarak göz önünde bulundurulabilir. Çok katlı parçalanma, sıcak ortamda çekirdekteki değiĢimleri belirlemek için ve faz diyagramının bu bölümünü araĢtırmak için bir olanak sağlar. Bu ikinci nokta birçok astrofiziksel uygulamalar için çok önemlidir. Özellikle, Supernova II tipi patlamalar esnasındaki süreçleri ve nötron yıldızlarının oluĢumu için oldukça önemlidir (Bethe 1990, Botvina ve Mishustin 2004, Botvina ve Mishustin 2005).

Biz bu çalıĢmada, nükleer parçalanmanın modellenmesinde, oldukça baĢarılı olan Ġstatistiksel Çok Katlı Parçalanma Modelini (Statistical Multifragmentation Model, SMM) kullandık (Bondorf ve ark. 1982-95). Tezin birinci bölümünde sunulan giriĢten sonra ikinci bölümünde modelin temel özellikleri tanıtıldı. Üçüncü bölümde, standart SMM kullanılarak, nükleon baĢına 4-8 MeV uyarma enerjisi bölgesinde nötron zengin 124Sn ve nötron fakir

Sn 112

çekirdeklerinin çok katlı parçalanmalarına yüzey gerilim enerjisinin etkileri hesaplandı. Bu elementlerin parçalanma ürünlerinden gidilerek isoscaling katsayıları 4-8 MeV/nükleon uyarma enerjisi bölgesinde hesaplandı ve yüzey gerilim enerjisi etkileri gösterildi. Aynı zamanda ortalama <N>/Z oranları Z=3-10 aralığındaki küçük parçacıklar için hesaplandı ve yüzey gerilim enerjisinin bu oranlara etkisi gösterildi. Dördüncü bölümde ise üçüncü bölümde yaptığımız hesapları istatistiksel artık çekirdek topluluğu modelini kullanarak tekrarladık.Bu modelde değiĢken olarak uyarılma enerjisi yerine bağlı yük Zb’u kullandık. Bunun nedeni: deneysel verilerin okunmasında yüklü parçacıklar dedekte edilebildiği için Zb değiĢkeni kullanılır ve teorik olarak da aynı değiĢken kullanılırsa sonuçların deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırılması mümkün olur. BeĢinci bölümde ise sonuçlar ve tartıĢma sunulmuĢtur.

11 2. ĠSTATĠSTĠKSEL ÇOK KATLI PARÇALANMA MODELĠ (STATISTICAL MULTIFRAGMENTATION MODEL-SMM)

Çok sayıda nükleer parçacığın oluĢtuğu nükleer parçalanma süreci, 40 yıldan fazla bir süre önce, ağır çekirdeklerin orta ve yüksek enerjili protonlarla yaptığı reaksiyonların sonucunda keĢfedildi (Barashenkov ve ark. 1959, Perfilov ve ark. 1962, Tolstov 1984). Daha sonra böyle olaylar, kozmik ıĢınlardaki ağır iyonların foto-emilsiyonla etkileĢimlerinde ve pion-çekirdek reaksiyonlarında gözlendi (Gagarin ve ark. 1970, Gagarin ve ark. 1975, Gutborg 1978). Seksenli yıllarda nükleer parçalanma çalıĢmaları orta enerjilerdeki ağır iyon reaksiyonları ile baĢladı(Goodman ve ark. 1984).

Orta enerjide ağır iyon reaksiyonları, 4π multi detektör sistemleri kullanılarak, GSI’de ALADIN (Hubele ve ark. 1991) ve FOPI (Alard ve ark. 1992, Jeong ve ark. 1994), MSU’da MINIBALL (De Souza ve ark. 1991, Peaslee ve ark. 1994), Grenoble’da AMPHORA (Desesquelles ve ark. 1993) ve GANIL’de INDRA’da gerçekleĢtirilmiĢtir. Relativistik proton ve alfa parçacıkları kullanılarak ağır iyon reaksiyonları Dubna’da gerçekleĢtirilmiĢtir (Lips ve ark. 1994). ġu anda, çekirdek-çekirdek ve hadron-çekirdek reaksiyonlarında nükleer parçacık üretimi hakkında zengin deneysel bilgi toplanmıĢtır. ġimdi yalnızca kütle ve yükün enerjiye bağlı dağılımlarına değil aynı zamanda farklı korelasyon fonksiyonları ve dıĢ karakteristik verilerine de ulaĢılabiliyor. Parçalanmada farklı modellere dayanan böyle verilerin sistematik analizi teorik fizikçiler için büyük önem taĢımaktadır.

Son çeyrek yüzyılda nükleer parçalanma için çok çeĢitli modeller önerilmiĢtir. Modellerdeki çok çeĢitlilik, çalıĢılan olayın karmaĢık karakterini yansıtır. 80’li yıllardan buyana yapılan çalıĢmalar, hiçbir modelin orta ve yüksek enerjideki bir reaksiyonda çok uyarılmıĢ nükleer sistemlerin bozunma, oluĢum ve geliĢiminin yeterli tarifini tek baĢına vermediğini gösterir. Reaksiyonun seçilen bazı özelliklerini tanımlayan çeĢitli yaklaĢımları geliĢtirmek problemi çözmek için en uygun yol gözükmektedir. Buna göre her bir teorik modelin sonuçları ile deneysel sonuçlar sistematik olarak karĢılaĢtırılmalıdır.

12 2.1. Nükleer Çok Katlı Parçalanmanın OluĢumu

Ġstatistiksel Çok Katlı Parçalanma Modelinin (Statistical Multifragmentation Model, SMM) temelleri ilk olarak, 1936’da bileĢik çekirdek kavramı ile Niels Bohr, 1937’de Weisskopf (BuharlaĢma Modeli), 1950’de Fermi, 1953’de Landau ve 1956’da Fong (Ġstatistik Fisyon Modeli) tarafından önerilmiĢtir. Ġstatistik termodinamik çerçevesinde çok nükleonlu çekirdek oluĢumları ilk kez 1978’de Mekjian tarafından çalıĢılmıĢtır. Ancak bu çalıĢma, sistemde yalnızca hafif çekirdeklerin (d, t, 3He, α) var olabildiği 10-30 MeV/nükleon mertebeli uyarma enerjilerindeki parçalanmalara odaklandı. Daha sonra daha gerçekçi bir çalıĢma, sıcak yoğun çekirdek ortamının parçacıklar üzerindeki etkisini dikkate alarak, 1982’de G. Röpke, L. Münchov ve H. Schulz tarafından gerçekleĢtirilmiĢtir. 10 MeV/nükleon uyarma enerjisindeki nükleer madde içinde farklı kütlede çok sayıda nükleer parçacık bulunduğu, Kuantum Ġstatistiksel Model (QSM) kullanılarak D. Hahn ve H. Stöcker (1988) tarafından da hesaplandı.

SMM’in geliĢimine önemli bir katkı J. Randrup ve S. Koonin (1981) tarafından yapılan bir çalıĢma ile yapıldı. Bu yazarlar, baryon sayılarının ve toplam enerjinin ortalama değerinin sabit olduğu parçacıkların bulunduğu büyük kanonik topluluğu incelediler. Hesaplamalar 10 MeV/nükleon değerinden büyük uyarma enerjileri için uygulandı. Bozunma sürecinin istatistik tanımının önemli bazı elemanları bu çalıĢmada tanımlanmıĢ olmasına rağmen, formülasyon sonsuz bir sisteminkiyle ilgiliydi Daha sonra bu model, G. Fai ve J. Randrup’un 1982 ve 1983’de yaptığı çalıĢmalarla geniĢletildi ve genelleĢtirildi. Kullanılan modelin genel ismi literatürde FREESCO olarak bilinmektedir.

Çoğunlukla Copenhagen Modeli olarak adlandırılan SMM, Bondorf ve ark. (1985), Botvina ve ark. (1985), Mishustin (1985), Barz ve ark. (1986), Botvina ve ark. (1986), Botvina ve ark. (1987), Sneppen (1987), Sneppen ve Donangelo (1989) nun kaynaklarında ĢekillendirilmiĢtir. Parçacıkların mikrokanonik, kanonik ve makrokanonik toplulukları için istatistik modelin genel formülasyonu yapılmıĢtır. Burada Ģekillenim uzayının özellikleri de çalıĢılmıĢtır. Tek bozunma kanalları ve temsili dağılım (partisyon) örnekleri için sayısal çözümler gerçekleĢtirilmiĢtir. Nükleer madde içindeki sıvı-gaz faz geçiĢi ile parçalanmanın iliĢkisi gösterilerek parçalanan sistemin termodinamik özellikleri çalıĢılmıĢtır. Reaksiyonun son aĢamalarında Coulomb yayılması (Botvina ve ark. 1986) ve sıcak parçacıkların yeniden uyarılmaları (de- excitation) (Sneppen 1987) sayısal çözümle gerçekleĢtirilmiĢtir. Botvina ve

13 ark. (1985 ve 1990) tarafından Çağlayan-Bozunma-BuharlaĢma Modeli (Cascade-Fragmentation-Evaporation Model, CFEM) orta enerjili protonların neden olduğu nükleer parçalanmayı belirlemek için tasarlanmıĢtır. Parçacık oluĢumunda deneysel veriyi analiz etmek için istatistiksel parçalanma modelinin pek çok uygulaması yayın olarak sunulmuĢtur. 1995 yılında modelin geliĢimi bir rapor Ģeklinde Bondorf ve arkadaĢları tarafından sunulmuĢtur.

2.2. Nükleer Çok Katlı Parçalanmanın Fiziksel Tanımı

Ġki ağır iyon orta enerjilerde çarpıĢtığında ya da bir ağır iyon yüksek enerjili bir hadron ile uyarıldığında, sıcak ve sıkıĢmıĢ bir nükleer madde oluĢur. Daha sonra bu madde basınç nedeniyle dıĢarıya doğru geniĢleme sürecine girer. Bazı dinamik süreçlerin sonucu olarak V hacimli, E0 uyarma enerjili, A0 nükleon sayılı ve toplam yükü Z0 olan uyarılmıĢ nükleer madde oluĢur. Yüksek uyarma enerjisinin neden olduğu yüksek basınç yüzünden ve muhtemelen sıkıĢma yüzünden, nükleer madde geniĢler ve soğur. Bu geniĢleme süreci içerisinde nükleon parçacık yoğunluğundaki dalgalanmaların sonucu olarak nükleonlar gaz fazından sıvı fazına (droplets-damlalar) dönüĢür (hot fragments). Ġrili ufaklı bu nükleer damlacıklar, p, n, d, t, 3_{He ve α gibi parçacıkları yayınlayarak (buharlaĢarak) soğur ve nükleer} parçacıklar ortaya çıkarlar (cold fragments). Hesaplamalara göre (Ravenhall ve ark. 1983), ρ < ρ0/2 yoğunluğunda nükleonlarla sarılmıĢ damlacıkların fazı gerçekleĢirken, ρ0/2 < ρ < ρ0 da gaz (bubble-kabarcık) faz oluĢur. Ġç basınç yeterince büyük değilse sistem çatlama (cracking) noktasına ulaĢamaz ve biraz geniĢledikten sonra tekrar bir kabarcık oluĢturacak Ģekilde sıkıĢır. Sistem, salınımlar yaparak uyarılma enerjisini salar ve buharlaĢır ya da fisyona uğrar. Bu yeterince uzun yaĢam süreli duruma bileĢik çekirdek (compound nucleus) denir. Standart bileĢik çekirdek durumu sadece düĢük uyarma enerjilerde geçerlidir. Çünkü bu durumda hafif parçacıkların buharlaĢması ve fisyon kanalları baskındır. Bununla birlikte bu durum, çekirdek hızlı bir biçimde çok sayıda parçacıklara bozunduğundan yüksek uyarma enerjilerinde (E*23MeV/nükleon) uygulanabilir değildir. Çoğu deneyde (Botvina ve ark. 1995, D’Agistino ve ark. 1996, Scharenberg ve ark. 2001, Pienkowski ve ark. 2002,

14 Bellaize ve ark. 2002, Avdeyev ve ark. 1998, Avdeyev ve ark. 2002, Botvina ve ark. 2006) görüldüğü gibi dengedeki bir kaynak bu durumda da oluĢabilir ve istatistik modeller genelde parçacık oluĢumunu tanımlamada çok baĢarılıdır.

ġekil 2.2.1. a) yüksek uyarılmıĢ sistemin baĢlangıç evresinde oluĢumu(çatlaklar) b) geniĢleme evresinde parçacıların oluĢumu c) yayılma ve bileĢik sistemin bozunmasından sonra parçacıkların yeniden uyarılması

Ara sistemin parçalanmasına kadar geçen geniĢleme süresi baĢlangıç Ģartlarına kuvvetli bir Ģekilde bağlıdır. BaĢlangıçta hızlı bir geniĢlemeye neden olan sıkıĢma durumunda, bu süre 50 fm/c civarındayken; geniĢleme normal nükleer yoğunluktan baĢladığında bu süre hadron-çekirdek veya yüzeysel ağır iyon reaksiyonları için birkaç 100 fm/c kadar uzun olabilir (hadron-çekirdek, merkezcil olmayan çekirdek- çekirdek çarpıĢmaları sonucunda).

GeniĢleme sırasında sistemin farklı kısımları arasında Ģiddetli enerji, yük ve kütle değiĢimleri gerçekleĢir. Bu nedenle, ayrıĢmadan hemen önce en azından kısmen (partial) bir termodinamik denge kurulduğunu kabul edebiliriz. Parçacık oluĢum süreci kararsız bir

15 ortamda gerçekleĢir, bu nedenle kargaĢalı bir karakterdedir. Olaydan olaya parçacık bileĢiminde büyük değiĢiklikler beklenebilir. Bu nedenle, tek bir olaydaki çeĢitli tipteki parçacıklar üzerinde kimyasal bir denge göz önüne alınmaz. Kimyasal denge yalnızca her bir parçacık türünün ortalama çarpanı (çok katlılık, multiplicity) ile ilgili duruma karĢılık gelecektir. Nükleer damlacıkların yüzeyleri arasındaki uzaklık nükleer kuvvetlerin menziline ulaĢtığında (2-3 fm) ayrıĢmanın olduğu kabul edilir. Daha sonra damlacıklar arasındaki kuvvetli etkileĢmeler kaybolur ve birincil (primary) parçacıklar oluĢur. Bu, donma (freeze-out) geçiĢi ρ0/2 ile ρ0/10 yoğunluk değerleri aralığında oluĢur. Burada ρ0~0.15 fm-3 dengedeki çekirdek yoğunluğudur.

Açık bozunma kanallarının sayısı, 2-8 MeV/nükleon uyarılma enerjisi aralığında çok fazladır. Bu durumda, parçacıkların son durumlarını tanımlamak için istatistiksel yaklaĢımlar kullanmak daha uygun olur. Dinamik modellerde sistem oluĢumunun son durumları verilen baĢlangıç Ģartlarından bulunurken, istatistiksel yaklaĢımda tüm olası son durumlar seçilir ve bağıl olasılıkları hesaplanır. Ġstatistiksel fizik kurallarına uygun olarak, her bir bozunma kanalının olma olasılığı onun istatistiksel ağırlık fonksiyonu ile verilir. Bu durumda geriye kalan iĢ, bütün kanallar üzerinden toplam enerji, kütle numarası ve yük korunumu göz önüne alınarak, bu ağırlık fonksiyonunun hesaplanmasıdır. BaĢlangıçtan son duruma geçiĢi tanımlayan matris elemanlarındaki farklılık bu yaklaĢımda ihmal edilir. Açık kanalların sayısı çok büyük olduğu zaman, bu yaklaĢım iyi bir yaklaĢımdır. Çünkü istatistiksel ağırlıklar birçok büyüklük mertebesinde kanaldan kanala değiĢir.

2.3. Bozunma Durumlarının Sınıflandırılması

2.3.1. Bozunma Ģekillenimi

J. Randrup ve S. E. Koonin (1981) tarafından tanımlanan gösterimlerin ıĢığında son durumları, Ģekillenimler (konfigürasyonlar), olaylar ve dağılımlar olarak gruplandıracağız. Kanal genel terimi, bu türlerin herhangi bir elemanı için kullanılabilecektir. Bozunmada sistemin durumunu karakterize eden değiĢkenlerin tam bir seti, bütün parçacıkların kütle

16 merkezlerinin koordinatları, açısal momentumu s_i, uyarma enerjisi εi, momentumu Pi

 , yükleri Zi ve kütleleri Ai’yi içerir. Bu değiĢkenlerle karakterize edilen bu duruma F ile gösterilen bir bozunma Ģekillenimi denir.





:

F _{i i} _{i i} _i _i  (2.1)

Burada, M parçacıkların toplam sayısıdır. Parçacık yük ve kütleleri baryon ve elektrik yük korunumu Ģartıyla sınırlandırılır.

0 M 1 i i F A A A 





Sanki-klasik yaklaĢımda, F Ģekilleniminin toplam enerjisi

F M 1 i i i 2 i i 2 i durum taban i F ε U 2I s 2m P E E _          



olarak gösterilir. Burada parantez içindeki terimler sırasıyla, parçacığın taban durum, öteleme, dönme ve iç uyarma enerjileridir. Burada mi öteleme hareketi yapan i. parçacığın etkin kütlesidir. mi= mNAi olarak alınır. MN=938 MeV durgun nükleon kütlesidir. (2.3) denklemindeki son terim, parçacık uyarma enerjisidir ve UFC Coulomb ile UFN nükleer etkileĢmelerin toplamı olarak yazılabilir. Kuvvetli (nükleer) etkileĢmeler ayrıĢma süreci sonunda son bulur. Bu durumu sert küre potansiyeli olarak tanımlayabiliriz:

                j i j i j i j i N F R R r r 0, R R r r , U _{ }   (2.4)

Burada Ri = r0 A1/3 (r0 = 1.17fm) i. parçacığın yarıçapıdır. Parçacıkların küre Ģeklinde oldukları kabul edilir. Gerçekçi bir yöntemle parçacıkların artık etkileĢimlerini dikkate alan yaklaĢımlar J. Randrup ve S.E. Koonin tarafından (1987) yılında yapılmıĢtır (Randrup ve Koonin 1987, Lopez ve Randrup 1989, Lopez ve Randrup 1990). Uzun menzilli Coulomb

17 etkileĢimi parçacıkların ayrıĢması aĢamasında ve sonraki aĢamalarda parçacıkların yayılmasını idare eder. Wigner Seitz yaklaĢımında toplam Coulomb enerjisi,



olarak verilir. Buradaki EC0, Z0e yüküyle kararlı olarak yüklenmiĢ kürenin Coulomb enerjisidir ve R = (3V/4π)1/3

bozunan sistemin yarıçapıdır. Sistemin toplam uyarma enerjisi



0

E , A0 nükleonlarını ve Z0 protonlarını içeren bileĢik sistemin Etaban0 durum taban durum enerjisine göre ölçülür. Bu durumda parçalanmadaki enerji korunumu ifadesi

0 durum taban Z , A 0 F E E E E 0 0     (2.6)

olarak yazılabilir. Burada sistemin E0 toplam enerjisi ve E0 uyarılma enerjisi sabitlenir. Nükleon baĢına uyarma enerjisi genellikle ε*

=E /A0 0 olarak ifade edilmektedir. Denklem (2.2) Ģartlarına ek olarak parçacıkların P₀ toplam momentumları ve J₀ toplam açısal momentumlarının korunumu da göz önüne alınır. Parçacıkların momentumlarının toplamı,



Ģartına uymaktadır ve bileĢik sistemin durgun referans sisteminde toplam momentumu 0

P = 0’dır.

2.3.2. Parçalanma olayı

Yukarıda tanımlanan değiĢkenler seti (2.1), (2.2), (2.6) ve (2.7) denklem sınırlamalarıyla genelde fazlalık teĢkil eder. Genellikle, son durumların böyle detaylı bir tanımı gerekli değildir, çünkü yalnızca asimptotik karakterler deneyle gözlenebilir. Bu nedenle, parçacık kütleleri, yükleri ve momentumlarıyla, bozunmadaki sistemi karakterize

18 eden değiĢken sayısını bir yerde kesmek gerekir. Üstelik termal denge kabulü sayesinde, parçacık momentumu diğer değiĢkenler setine dâhil edilmeyebilir. Sistem termal dengeye ulaĢtığı zaman, belli bir T sıcaklığı alınır ve bu sıcaklık değeri için bütün girilebilir durumları üzerinden sistemin bölüĢüm fonksiyonu belirlenir. Bu sıcaklıkta, aynı zamanda parçacıkların denge momentum dağılımları (Maxwellian) da belirlenir. Bu durum göz önüne alınarak, son durumdaki bütün parçacıkların momentumlarını Monte Carlo metodu ile seçmek mümkündür.

2.3.3. Parçalanma dağılımı

A kütle numaralı ve Z yüklü bir parçacık (A,Z) olarak ifade edilecektir. Aynı türden birkaç tane bulunabilen bütün parçacıkları tek saymak yerine, her türün çarpanlarını kullanmak daha uygundur. A kütle numaralı ve Z yüklü parçacıkların sayısı (çarpanı) NAZ ile gösterilir. 0, 1, 2, 3, 4, ….. değerlerini alabilir. Bütün son durumlar, parçacık çarpanlarının setine göre sınıflandırılabilirler. DeğiĢkenlerin böyle bir kısaltılıĢı f ile gösterilecek ve buna ayrıĢma dağılımı denilecektir.

f : {NAZ ; 1 ≤ A ≤ A0, 0 ≤ Z ≤ Z0} (2.8)

Bu set, A0 elemanlı satırları ve Z0+1 elemanlı sütunları olan bir matristir. Satır ve sütun elemanları A ve Z’ye göre düzenlenir. Sistemin toplam kütle ve yükü üzerinde (2.2) sınırlamasını sağlayan bütün f dağılımları mümkündür. Bu sınırlamalar parçacık çarpanları NAZ cinsinden,





olarak yazılabilir. Burada toplam, f dağılımına ait bütün parçacıklar üzerindendir. Dolayısıyla, f kanalındaki toplam parçacık sayısı,



19 ile verilir.Ayrılma durumlarının daha kaba sınıflandırması (denklem (2.8)), enerjinin daha kaba bir temsilini getirir. Yani denklem (2.3) yerine, denge istatistik dağılımı kullanılarak bulunan öteleme, dönme ve iç enerji ortalamaları ile koordinatlar üzerinden ortalaması alınan Coulomb enerjisi kullanılır. Böylece, bir dağılımın toplam enerjisi sistemin hacim ve sıcaklığının bir fonksiyonuna dönüĢür.

(V) E N V) (T, E V) (T, E V) (T, E C0 Z) (A, AZ AZ ö f f  



Burada, Eö_f(T,V) öteleme hareketi enerjisi ve E_AZ(T,V) tek tek bütün parçacıkların iç ve Coulomb enerjisini de içine alan ortalama enerjidir. Son terim ise denklem (2.5) deki gibidir.

2.4. Ġstatistiksel Topluluklar

SMM hesaplamalarında istatistik model çerçevesinde, Ģekillenimler, olaylar veya dağılımlar (partition) olarak sınıflandırılabilen bozunma kanallarını kullanacağız. Ġstatistik bir toplulukla, bozunan bir sistemin, momentum, enerji, yük ve kütlesi üzerindeki sınırlamaları sağlayan ve _f istatistik ağırlıklarıyla karakterize edilen bütün {f} kanallarının sınırlı ya da tam seti ifade edilebilir. Bütün ağırlıklar bilinerek, bütün fiziksel niceliklerin ortalama topluluk değerleri hesaplanabilir. Bu yaklaĢımda bir Q fiziksel büyüklüğünün, bir f kanalındaki beklenen değeri Qf ile verilir ve {f} topluluğu üzerinden alınan ortalama değeri ise,    





ile verilir. Burada, toplam topluluğun tüm elemanları üzerinden alınır. Örnek olarak, verilen bir (A,Z) türünde parçacıklar için ortalama çarpan ve çarpan dağılımlarına karĢılık gelen dispersiyon (sapma) bağıntısı,

   





20 olarak hesaplanır. Q niceliği parçacıklara göre toplanabilir özelliğe sahipse



 _(A,Z) AZ AZ

f Q N

Q ve ortalama değeri bütün parçacıklar üzerinden toplam alınarak basitçe bulunur:



A nükleon sayısıyla verilen bütün parçacıkların çarpanı N_A 





ifadelerine eĢittir. Ortalama yükleri ve yük dağılımlarının dispersiyonu,



21 Ġstatistiksel topluluklar,mikrokanonik,kanonik ve makrokanonik olmak üzere üç grupta incelenir.

Sistem A₀, Z₀, E₀, V

parçacıkların dağılımı: N_AZ, 1AA₀, 0ZZ₀}

Mikrokanonik Kanonik Makrokanonik

AN_AZ=A₀ AN_AZ=A₀ A<N_AZ>=A₀ ZN_AZ=Z₀ ZN_AZ=Z₀ Z<N_AZ>=Z₀ 0 ) , , ( N T V E E_{f AZ f}  0 ) , , (N T V E Ef AZ f  0 ) , , (N T V E E_{f AZ f}  0 0 0 exp ( , , , ) mik f f W  S E V A Z kan exp( f( , , 0, 0)) f F T V A Z W T   ( , , 0, 0) exp( f ) mak f F T V A Z A Z W T        

ġekil 2.4.1. V hacminde, A0 kütle numaralı, Z0 yüklü ve E0 toplam enerjili parçalanan nükleer sistem için istatistiksel toplulukların sınıflandırılması

Sistemin tüm mikroskopik durumlarının yük, kütle (baryon sayısı), açısal momentum, momentum ve enerji korunum kanunlarına sıkı biçimde uyduğu topluluğa mikrokanonik topluluk denir. Bütün durumların eĢit derecede olası olduğu kabul edilir. (2.1) denkleminde tanımlanan F değiĢkenler setine göre ayrıĢma konfigürasyonlarının (Ģekillenimlerinin) sınıflandırılması bu topluluğa karĢılık gelir.

Parçacıkların uyarma enerjileri, momentumları ve koordinatlarıyla ilgilenilmiyorsa, böyle bütün değiĢkenler üzerinden bir toplam alınabilir. Sonra parçacık çarpanlarının f seti ile (denklem (2.8)) ayrıĢma kanallarını ifade eden dağılımlara ulaĢılır. Bu durumda verilen bir dağılıma neden olan tüm mikroskopik durumlar üzerinden (2.6) enerji korunum denkleminin

22 ortalaması alınır. Sonuç olarak, bir f dağılımıyla ilgili yalnızca ortalama enerjiyi sınırlayan denklem, 0 f f (T ,V) E E f   (2.17)

elde edilir. Denklemin sol tarafı (2.11) ile verilmiĢtir. Bu ifade bir f dağılımını ifade eden Tf denge sıcaklığını verir. Verilen E0 ve V değerleri için, Tf ayrıĢma sıcaklığı, oluĢan dağılımların parçacık çarpanlarının fonksiyonelidir. Dağılımların sıcaklıkları üzerinde hiçbir kısıtlama yoktur.

Sistemin hacim ve ortalama enerjisinin sabit olduğu Ģartlar altında, verilen bir ayrıĢma dağılımının istatistiksel ağırlığı (bu duruma neden olan mikroskopik durumların sayısı) dağılımın _f expS_f entropisi ile belirlenir. Verilen bir dağılım için normalize edilmiĢ olasılık,



ile ifade edilir. Burada  normalizasyon sabitidir. Burada bütün parçacıkların toplam kütle ve yükünün denklem (2.9) ile sabitlendiği kabul edilir. Böyle sınırlamalar parçacık çarpanlarının çok büyük olmadığı sonlu nükleer sistemler için çok önemlidir.

2.5. Parçalanan Bir Sistemin Serbest Enerjisi

Bu bölümde, termal dengedeki ve farklı türdeki parçaları içeren bir sistemin Ff(T,V) serbest enerjisine olan ana katkıları inceleyeceğiz.

2.5.1. Serbest enerjinin ayrıĢması

Bir f dağılımının Ff serbest enerjisi biliniyorsa, entropi ve enerjisi, bilinen termodinamik formüllerden hesaplanabilir.

23 } N { , V f f AZ T F S           ve Ef = Ff + TSf (2.19)

Serbest enerji aĢağıdaki denklem ile ifade edilir.

f f TlnZ

F  (2.20)

Burada verilen bir f dağılımı için istatistiksel toplam,



Burada Ef denklem (2.3)’de verilmiĢtir. Toplam, f dağılımını oluĢturan parçacıkların uyarılma enerjileri, momentumları ve tüm koordinatları üzerinden alınmaktadır. (2.3) denkleminde verilen Ef ayrıĢma enerjisi bu özelliğe karĢılık gelir. Ġstatistiksel toplamın hesaplanmasından sonra sistemin serbest enerjisi,



Ģeklinde yazılabilir. Ġlk terim parçacıkların öteleme hareketini gösterir. Ġkinci terim, parçacıkların Coulomb enerjisi ve iç uyarma enerjilerini ifade eder. Son terim ise, homojen olarak V hacmine dağılan toplam yükün Coulomb enerjisidir. Sıcak çekirdek ortamında bileĢik çekirdek parçacıkları için FAZ’nin direkt olarak hesaplanması çok karıĢıktır. Bu problemin pek çok araĢtırmacı tarafından ele alınmasına rağmen hala açık olamayan araĢtırılacak sorular vardır. Standart SMM yaklaĢımı, istatistiksel toplamın direkt olarak hesaplanmasını gerektirmez. Hafif parçacıklar dıĢında tüm parçacıklar nükleer maddenin damlaları olarak kabul edilir. Taban durumdaki çekirdeğin tersine, böyle damlacıklar sıfırdan farklı sıcaklıklarda ve nükleon ve parçacıklarla çevrilidir. Böyle damlaların normal nükleer yoğunluğa (r0 1.17fm) karĢılık gelen

3 / 1 0 AZ r A

24 kabul edilir. Bu yaklaĢıma, dönme ve titreĢim serbestlik dereceleri kadar parçacıkların Ģekil ve yoğunluklarındaki değiĢimi tanımlayan serbestlik dereceleri dahil edilebilir.

A>4 olan ağır parçacıklar sıvı damlacıkları olarak düĢünülür. Bir (A,Z) parçacığının serbest enerjisi FAZ, Coulomb AZ Simetri AZ Yüzey AZ Bulk AZ AZ F F F F F     (2.23)

Ģeklinde yazılabilir. Denklemin sağ tarafındaki terimler sırasıyla, bulk (hacim), yüzey, simetri ve Coulomb enerjileridir.

2.5.2. Parçacıkların öteleme hareketi

Genel olarak, parçacıkların öteleme hareketi, termal bileĢen ve ortak (kolektif) akı olarak ayrılabilir. i. parçacığın hızı her bir uzaysal r noktasında,

) r ( ) r ( ) r ( it a i         (2.24)

olarak gösterilebilir. Burada t termal bileĢen ve a akı bileĢenini ifade eder. Tanıma göre, her tür parçacık için topluluk ortalamasında termal hız <t_i(r)=0> sıfırdır. Diğer taraftan akı hızı

) r ( a 

 parçacık türüne bağlı değildir ve tamamen yayılan maddenin dinamiği ile belirlenir. Termal dengede, parçacık hızları Maxwell dağılımına göre dağılırlar.

Bir f dağılımındaki parçacıkların öteleme hareketi ile ilgili serbest enerji için aĢağıdaki ifade kullanılır.



Burada T (2/mNT)1/2 nükleon termal dalga boyudur. Ortak kütle merkezinin konumu ve toplam parçacık momentumu üzerindeki sınırlamalar dikkate alınır. Bu, M=1 ve N 1

0

0Z

A  olduğunda bileĢik çekirdek için termal hareket katkısını yok eder. Bu durumda yalnızca onun

25 iç enerjisi istatistik toplama katkıda bulunur. Denklem (2.25) tam bir termodinamik limittedir ve M → ∞ da bir tür parçacık durumunda Boltzmann gazının serbest enerjisine dönüĢür.

Denklem (2.25) serbest hacim Vf terimini içerir. Bu terim parçacıkların kuvvetli etkileĢimi ve sonlu ölçüleri nedeniyle gerçek V hacminden farklıdır. 1. prensipten Vf’yi hesaplamak zordur. Bu nedenle Vf,1 mertebesinde olduğu düĢünülen boyutsuz χ parametresi cinsinden,

Vf = χ V0 = χ A0 /ρ0 (2.26)

ile ifade edilir. V0 normal çekirdek yoğunluğunda sistemin hacmidir. Bir f dağılımındaki parçacıkların öteleme hareketiyle ilgili ortalama enerji,

akı termal f öt f E (T) E E   (2.27)

Ģeklinde yazılabilir. Burada birinci terim termal bileĢenden gelir ve

T ) 1 M ( 2 3 Etermalf   (2.28)

ile ifade edilir ve parçacık oluĢumundan bağımsızdır. Yalnızca T sıcaklığı ve M toplam çarpanla orantılıdır. Büyük M limitinde, tek bir parçacığın ortalama enerjisi bu nedenle (3/2)T dir ve parçacık kütlesinden bağımsızdır.

Akı hızı 0 akı ) R / r ( ) r (  

 ifadesine denktir. (2.27) denkleminin ikinci terimi toplam akı enerjisi, 2 0 0 N akı A m 10 3 E   (2.29) A m

m_A  _N kütleli bir parçacığın ortalama akı enerjisi A 20 akı

m 10

3

E   ifadesidir ve parçacık kütle numarası A ile orantılıdır. (2.29) ifadesi sistemin toplam kütle numarası üzerindeki (2.2) sınırlamasını kullanarak ve bütün parçacıklar için katkıları toplayarak elde edilir. A bağımlılıklarındaki farklılık, parçacıkların geçiĢ enerjilerinin akı ve termal bileĢenlerini

26 ayırmak için kullanılır. Yaptığımız hesaplamalarda akı enerjisinden gelen terim ihmal edilecektir.

2.5.3. Bulk serbest enerjisi

Bir parçacığın taban durum ve termal enerjisinin toplamı, bulk serbest enerjisini verir. Ġç parçacık yoğunluğu ρ0 sabit olduğu için, A kütle numaralı bir parçacığın bulk enerjisi T=0 da –W0A dır. Burada, W0=16 MeV sonsuz nükleer maddenin bağlanma enerjisidir. Termal enerji çekirdek seviye yoğunluğu için Bethe (1937) formülü kullanılarak Fermi gaz modeli ile hesaplanabilir. ) aE 2 exp( a E 12 ) E ( _{5/4 1/4} 2 / 1 A    (2.30)

Burada a seviye yoğunluk parametresidir, Fermi yüzeyindeki tek parçacık seviye yoğunluğu a

6

12 _{’dır. Ġç istatistik toplam, exp(-E/T) Gibbs çarpanı ile bu ifadenin integralinin} alınmasıyla elde edilir. Bu durumda düĢük sıcaklıklarda,

A ) / T W ( ) T ( F_AZbulk  ₀  2 ₀ (2.31)

ifadesi geçerlidir. Burada, ₀ A/a’dır. Ġdeal bir Fermi gazı için ₀ 4E_f /2 olup, Ef Fermi enerjisidir. Normal nükleer madde yoğunluğunda, Ef =40 MeV ve 0=16 MeV’dir. Az uyarılmıĢ çekirdek için 0’ın deneysel değeri 2 çarpanı kadar küçüktür ve kütle numarasına önemli derecede bağlıdır. Bu davranıĢ sonlu ölçü ve kabuk etkileriyle açıklanabilir (Bohr ve Mottelson ,1969). Termal denge Ģartı altında ₀≈16 MeV’dir.

Denklem (2.31) ile verilen ifade 20 MeV altındaki sıcaklıklarda daha gerçekçidir. Sonlu çekirdekteki bağıl olarak uzun ömürlü durumların yoğunluğu 5 MeV/n’den daha düĢük uyarma enerjilerinde (2.30) Fermi gaz formülü ile incelenebilir. Daha yüksek uyarma enerjisinde gerçek seviye yoğunluğu maksimum değerine ulaĢır ve daha sonra azalır (Mustafa ve ark. 1992). Koonin ve Randrup (1987) tarafından önerildiği gibi, Fermi gazı seviye

27 yoğunluğu exp(-E/T) üsteli ile azalacak Ģekilde tanımlanarak ele alınır. Bu düzeltmeden sonra, bulk termal enerjisi yüksek sıcaklıklarda 0

2 0 lim T / 

limit değerine yönelir. Teorik tahminler oldukça belirsizdir. Örneğin, Mustafa ve ark.’ın (1992) hesaplamaları, A=40 olan bir çekirdek için, model kabullerine bağlı olarak 6 MeV ile 15 MeV arasında bir lim değeri verir. Bu 7-11 MeV aralığındaki sıcaklıklara karĢılık gelir. Serbest parametrelerin sayısını azaltmak için, aĢağıda, 0 parametresi için bütün olası düzeltmeleri nitelendiren düĢük sıcaklık ifadesi kullanılır.

Bir parçacıktaki proton ve nötron sayısı arasındaki farklılığa karĢılık gelen simetri enerjisi genel Bethe-Weizsaecker denklemi olarak alınır.

A / ) Z 2 A ( E F simetri 2 AZ simetri AZ    (2.32)

Burada =25 MeV’dir. Simetri enerjisi bulk enerjisinin bir kısmıdır. Z≈A/2 olan ara kütleli çekirdek durumunda daha küçüktür. ESAZ'ninsıcaklığa bağımlılığı ihmal edilir.

2.5.4. Yüzey serbest enerjisi

Bir (A,Z) parçacığının yüzey serbest enerjisi,(T)yüzey gerilimi ile belirlenir ve

3 / 2 2 AZ yüzey AZ (T) 4 R (T) (T)A F     (2.33)

ile ifade edilir. Burada (0)0 18MeV Bethe-Weizsaecker formülündeki yüzey katsayısıdır. (T)’nin hesaplanması için pek çok çalıĢma yapılmıĢtır (Ravenhall ve ark. 1983, Suraud 1987, Müller ve Dreizler 1994). Bütün hesaplamalar yüzey geriliminin sıcaklık artarken azaldığını ve Tc kritik sıcaklığında sıfır olduğunu göstermiĢtir. DüĢük sıcaklıkta, sıcaklığa bağlı (T) katkısı T2 ile orantılıdır. Yüksek sıcaklıkta yüzey geriliminin davranıĢı, nükleer madde içindeki sıvı-gaz faz geçiĢinden belirlenir. T=Tc kritik nokta sıcaklığında sıvı ve gaz faz arasında hiçbir fark yoktur ve (T)=0’dır. (T)için Bondorf ve ark. (1983) ve Ravenhall ve ark. (1983) tarafından kullanılan ifade

28

 

ile verilir. Bu ifade düĢük sıcaklıklarda iyi sonuçlar vermektedir. Yüzey geriliminin azalmasıyla sıcak çekirdek içinde fisyon ve parçalanma olasılığı artar. (2.19) formülü kullanılarak, 3 / 2 yüzey AZ A dT ) T ( d T ) T ( ) T ( E      _{ }   (2.35)

elde edilen ifadeyle parçacık yüzey enerjisi bulunabilir. Bu formülde (2.34) ifadesi yerine yazılırsa, T’nin artıĢı ile yüzey enersinin (serbest enerjinin tersine) ilk olarak artarak maksimuma ulaĢtığı ve sonra azalarak T=Tc’de sıfır olduğu görülür. Bu ifade yalnızca termodinamik denge altında uygulanabilir.

2.5.5. Çok parçacıklı bir sistemin Coulomb enerjisi

Çok parçacığa uyarılmıĢ bir sistemin Coulomb enerjisi, ayrıĢma hacminde parçacıkların konumları rastgele değiĢtiği için dağılımdan dağılıma farklılık gösterir. Coulomb enerjisini hesaplamak için en basit yol, yoğun madde teorisinde baĢarılı olarak uygulanan Wigner-Seitz yaklaĢımıdır. Sistem elektriksel olarak nötr olmadığı için, katıhal fiziğinde genel olarak dikkate alınan sistemlerden farklıdır. Bu nedenle, ilk olarak, toplam Coulomb enerjisinden, homojen yük dağılımı varsayılarak hesaplanan ve toplam hacimdeki toplam Z0e yükünün oluĢturduğu Coulomb enerjisi katkısı EC0 çıkarılır. Yük yapılanmasını içeren geriye kalan enerjiyi hesaplamak için standart gösterim kullanılabilir. Bu yaklaĢımda tüm sistem, her birinin merkezinde bir parçacık bulunan hücrelere ayrılabilir. Hücreler üst üste binebilir. Hücre yarıçapı C

AZ

R , negatif temel seviye yük yoğunluğu ve parçacık yüküyle belirlenir. Wigner-Seitz yaklaĢımında, hücreler arasındaki etkileĢim ihmal edilir. O zaman, oluĢan parçacıkların enerjisi tek tek hücrelerin Coulomb enerjilerinin toplamıdır.

29



Böylece, f dağılımındaki toplam Coulomb enerjisi (2.5) formülü ile hesaplanabilir. Bir parçacık içindeki yük yoğunluk dağılımına basamak fonksiyonu ile yaklaĢılırsa, tek bir hücrenin Coulomb enerjisi

        _C AZ AZ 2 2 C AZ R 1 R 1 e Z 5 3 E (2.37)

ifadesi ile hesaplanabilir. Wigner-Seitz yaklaĢımı ile yapılan hesaplamalar, az sayıda parçacık içeren dağılımlarda bile iyi sonuçlar vermektedir.

2.6. AyrıĢmadan Sonra Parçacıkların Yayılmaları ve Yeniden Uyarılmaları

Ġstatistiksel tanım, zamanı açıkça içermemesine rağmen birincil parçacıkların oluĢum süreci ve ayrıĢma hacminde sistemin yayılma süresi exp~ R/Cs ~ 50-100 fm/c civarında olmalıdır. Son ayrıĢma durumunun oluĢumu daha uzun bir zaman ölçeği ile karakterize edilir. Bu aĢamada parçacıklar karĢılıklı Coulomb alanının etkisi altında hareket ederler. Sıcak parçacıkların yeniden uyarılmaları da bu aĢamada gerçekleĢir. Böyle süreçler, hafif parçacıkların artmasına ve parçacık enerjilerinin yeniden dağılımına neden olur. Özellikle birincil sıcak parçacıklar (primary hot fragments) ve bunların parçacık yayınlayarak dönüĢtüğü soğuk parçacıklar (secondary cold fragments) bu süreçlerin bir sonucudur.

Sıvı damlası yaklaĢımı hafif parçacıklar için anlamsızdır. A≤4’den hafif ve ağır parçacıkları ayrı ele almak gerekir. 2

H, 3H ve 3He uyarılmıĢ durumda olmadıkları sürece, nükleonlarıyla birlikte, deneysel kütleleri mA,Z (Bağlanma enerjileri BA,Z), yarıçapları RA,Z ve taban durum spin dejenerasyon çarpanları gA,Z ile karakterize edilen temel parçacıklardır. Bu parçacıkların öteleme serbest enerjisi ve Coulomb enerjilerine katkıları (2.25) ve (2.37) genel formülleri kullanılarak hesaplanır.

30 3. NÜKLEER ÇOK KATLI PARÇALANMAYA YÜZEY GERĠLĠM ENERJĠSĠNĠN ETKĠSĠ

SMM kullanılarak farklı izospinli 124

Sn ve 112Sn çekirdeklerinin 4,6 ve 8 MeV/n enerjilerinde nükleer çok katlı parçalanmalarına yüzey gerilim enerjisinin etkilerini inceledik. Ġncelediğimiz çekirdeklerden 124

Sn 1.48 N/Z oranına sahipken 112Sn 1.24 N/Z oranına sahiptir. Tablo 3.1 de hesaplamalarda kullanılan çekirdeklerin kütle numaraları, atom numaraları, nötron sayıları ve N/Z oranları verilmiĢtir.

Bu çekirdeklerin nükleer çok katlı parçalanması sıcak parçalanma ve soğuk parçalanma olarak iki bölümde ele alınmıĢtır. Sıcak ve soğuk parçalanmayı aĢağıdaki gibi açıklayabiliriz. Ağır bir çekirdek uyarıldığı zaman (bu uyarılma iki ağır iyonun çok yüksek hızlarda çarpıĢmasıyla ya da ağır bir iyonun yüksek enerjili hafif parçacıklarla bombardıman edilmesi ile sağlanır) sıcak ve sıkıĢmıĢ bir nükleer maddeye dönüĢür. Bu sıcak ve sıkıĢmıĢ madde kısa menzilli itici nükleon-nükleon kuvvetlerinin etkisiyle geniĢlemeye baĢlar. Donma sıcaklığında termodinamik dengeye ulaĢtığı varsayılan bu madde sıvı-gaz faz geçiĢleri teorisiyle açıklanır. Bu geçiĢler sırasında, nükleer madde damlacık oluĢumları ile irili ufaklı sıcak nükleer ürün çekirdeklere dönüĢür. Bu olaya sıcak parçalanma (hot fragmentation) denir. Bu sıcak parçacıklar daha hafif parçacıklar yayınlayarak bozunur ve kararlı duruma dönüĢürler. Bu parçalanmaya da soğuk parçalanma (cold fragmentation) denir.

Çekirdek Kütle numarası Atom numarası Nötron sayısı N/Z Sn 124 50 74 1.48 Sn 112 50 62 1.24

Tablo 3.1. Hesaplamalarımızda kullanılan atomik çekirdeklerin kütle ve atom numaraları, nötron sayıları ve N/Z oranları.

31 3.1. Yüzey Gerilim Enerjisinin <N>/Z Oranına Etkisi

Nükleer parçalanmada izotopik etkiler sadece nükleer fizik alanında değil, süpernova patlaması, nötron yıldızı modelleri ve stellar maddenin durum denklemi gibi astrofiziksel alanlarda da çok büyük önem taĢır. Bugüne kadar yapılan çalıĢmalarda rölativistik ağır iyon çarpıĢmalarıyla elde edilen deneysel ve teorik çalıĢmalarda parçalanmanın <N>/Z ’ye bağlılığı yüzey gerilim enerjisinde bazı değiĢimlerin olması gerektiğini ortaya koymuĢtur (Botvina ve ark. 2002, Le Fevre ve ark. 2005, Ono ve ark. 2003, Tsang ve ark. 2004). Biz bu çalıĢmamızda istatistiksel çok katlı parçalanma modelini kullanarak yüzey gerilim enerjisindeki değiĢimlerin parçalanma ürünleri ve izotop dağılımlarına etkilerini hesapladık. Bugüne kadar yapılan deneysel çalıĢmalarda nükleer parçalanma reaksiyonları sonucunda artıĢ ve azalıĢ (rise-and-fall), kalorik eğrilerde plato davranıĢı gibi parçalanma ürünlerinin dağılımı hakkında önemli bilgiler edinilmiĢtir. ġekil 3.1.1.’de ortalama <N>/Z oranının Z’ye göre değiĢimi Z=3-10 aralığındaki hafif parçacıklar için gösterilmiĢtir. Bu Ģekilde <N>/Z oranının uyarılma enerjisine bağlılığı da gösterilmiĢtir. Nötron fakir element 112Sn’nin <N>/Z oranları nötron zengin 124Sn’ye ait oranlardan daha düĢüktür. Bu durum deneysel analizlerle uyum içindedir (Sfienti ve ark. 2009). ġekil 3.1.2. ’de ise yüzey gerilim enerji katsayısı B0’ın <N>/Z oranlarına etkisi gösterilmektedir. Yüzey gerilim enerjisindeki değiĢimin <N>/Z oranlarını çok fazla etkilemediği görülmüĢtür.

32 112 Sn SOĞUK < N > / Z 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Ex = 4 MeV/n Ex = 6 MeV/n Ex = 8 MeV/n 124 Sn SOĞUK Z 0 2 4 6 8 10 12 < N > / Z 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

ġekil 3.1.1. Ortalama <N>/Z oranlarının çeĢitli uyarılma enerjilerinde parçacık yükünün bir fonksiyonu olarak değiĢimi

33 Sn 112 SOĞUK < N > / Z 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Sn124SOĞUK Z 0 2 4 6 8 10 12 < N > / Z 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 B0=18 MeV B0=20 MeV B0=18 MeV B0=20 MeV

34 3.2. Yüzey Gerilim Enerjisinin Ġsoscaling Katsayılarına ÇeĢitli Uyarılma Enerjilerindeki Etkileri

Ġsoscaling yaklaĢımı buharlaĢma, kuvvetli sönümlü ikili çarpıĢmalar ve nükleer çok katlı parçalanma gibi birçok reaksiyonda uygulanmaktadır. Nötron proton oranları farklı iki ağır iyon çarpıĢtığı zaman elde edilen izotop ürünlerinin analizi bize reaksiyon hakkında önemli bilgiler verir. Ġsoscaling katsayıları aĢağıdaki formülde  ve  olarak tanımlanmaktadır.

) exp( ) , ( / ) , ( ) , ( _{2 1} 21 N Z Y N Z Y N Z C N Z R    (3.1)

Bu denklemde R ürün (yield) oranı, ₂₁ Y nötron zengin elementin parçalanma ürünü, ₂ Y ₁ nötron fakir elementin parçalanma ürünü, C normalizasyon katsayısı, N nötron sayısı ve Z de proton sayısını göstermektedir. Ġsoscaling katsayıları  ve  ile simetri enerjisi arasındaki bağıntı deneysel ve teorik çalıĢmalarda aĢağıdaki Ģekilde ele alınmıĢtır (A.S.Botvina ve ark. 2002, A.Le Fevre ve ark. 2005, S. Kowalski ve ark. 2007):

) A Z A Z ( T 4 2 2 2 2 2 1 2 1     (3.2) ) A N A N ( T 4 2 2 2 2 2 1 2 1     (3.3)

Burada Z , ₁ A ve ₁ Z , ₂ A sırasıyla nötron fakir ve nötron zengin elementlerin yük ve kütle ₂ numaralarını, N1 ve N2 de nötron sayılarını göstermektedir. Biz bu çalıĢmada isoscaling katsayılarının çeĢitli uyarılma enerjilerinde yüzey gerilim enerjisi katsayısı B0 ile değiĢimini hesapladık. Hesaplamaları yaparken Z=3-10 aralığını ve uyarılma enerjisi için de 4E_x 8 MeV/nükleon aralığını kullandık. ġekil 3.2.1.’de 112Sn ve 124Sn elementleri için isoscaling katsayısı  ’nın yüzey gerilim enerjisi katsayısı B0’a göre değiĢimini gösterdik. Bu Ģekilde donma hacmindeki sıcak parçalanma ürünlerinden elde edilen  değerleri ile ikincil uyarılmalarla oluĢan soğuk parçalanma ürünlerinden elde edilen  değerleri ayrı ayrı gösterilmiĢtir. Sıcak parçalanma ürünlerinden elde edilen  değerlerinin B0 ile değiĢimi

35 ihmal edilebilir düzeydedir. Nükleon baĢına 4, 6 ve 8 MeV/nükleon uyarma enerjisi ile uyarılan 112Sn ve 124Sn çekirdeklerinin parçalanması sonucunda oluĢan sıcak birincil parçacıkların bağıl kütle değerlerinin yüzey enerji katsayısı B0=16, 18 ve 20 MeV değerleri için değiĢimlerini inceledik. Sıcak parçalanma ürünleri için bulunan alfa değerlerinin soğuk parçacıklar için bulunan değerlerden daha yüksek olduğu görülmüĢtür. Bunun nedeni, sıcak parçacıkların ikincil uyarılmaları sonucunda oluĢan çekirdeklerin ürün değerlerinin değiĢmesidir. ġekil 3.2.2.’de ise alfa değerlerinin uyarılma enerjisine göre değiĢimleri gösterilmiĢtir. Uyarılma enerjisi arttıkça alfa değerleri azalmaktadır. Bunun nedeni, uyarılma enerjisinin artması sonucunda parçalanma ürünlerinin kütle numaralarının azalmasıdır. ġekil 3.2.3.’de ise isoscaling katsayıları  ve ’nın çeĢitli uyarılma enerjilerinde yüzey enerji katsayısı B0 ile değiĢimi gösterilmiĢtir. Bu Ģekilden de görüldüğü gibi, alfa isoscaling katsayıları yüzey enerjisi katsayısı arttıkça çok fazla değiĢmemektedir. Ayrıca alfa katsayılarının uyarılma enerjisiyle değiĢimi de bu Ģekilden görülebilmektedir. Aynı Ģekilde isoscaling katsayısı betanın değiĢimi de alfanın değiĢimi ile aynı eğilimi göstermektedir.

15 16 17 18 19 20 21 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 124 Sn / 112Sn E_X= 4 MeV/n soğuk





ġekil 3.2.1. Ġsoscaling katsayısı alfanın çeĢitli uyarılma enerjilerinde, yüzey gerilim enerjisi katsayısı B0 ile değiĢimi

36 124 Sn / 112Sn SOĞUK Z=3-10  0.2 0.4 0.6 0.8 x 3 4 5 6 7 8 9  0.4 0.6 0.8 1.0 B0= 20 MeV B0= 18 MeV B0= 16 MeV 124 Sn / 112Sn SICAK

ġekil 3.2.2. Ġsoscaling katsayısı alfanın çeĢitli yüzey gerilim enerjisi katsayıları için uyarılma enerjisinin fonksiyonu olarak değiĢimi

37 Ex= 8 MeV/n 124 Sn / 112Sn SOĞUK Z=3-10  0.2 0.4 0.6 0.8 Ex= 4 MeV/n Ex= 6 MeV/n B0 15 16 17 18 19 20  -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

ġekil 3.2.3. Ġsoscaling katsayıları alfa ve betanın çeĢitli uyarılma enerjilerinde, yüzey gerilim enerjisi katsayısı B0 ile değiĢimi

38 4. ARTIK ÇEKĠRDEK ĠSTATĠSTĠK TOPLULUĞUNUN RASGELE HESAPLANMASI

Nükleer çok katlı parçalanmada sıcak ve soğuk parçalanmanın sıvı-gaz faz geçiĢleri yaklaĢımı kullanılarak analizleri çok baĢarılı sonuçlar vermiĢtir (Botvina ve ark. 1987, Botvina ve ark. 1990, Gross 1990, Bowman ve ark. 1991, De Souza ve ark. 1991, Hubele ve ark. 1992, Kreutz ve ark. 1993, Moretto ve Wozniak 1993). Orta ve hafif kütleli parçacıkların oluĢumu iki ayrı yaklaĢımla açıklanabilmektedir. Birinci yol, yüksek enerjilerde hadron-çekirdek reaksiyonları ve yine yüksek enerjilerde merkezi olmayan yanal hadron-çekirdek- hadron-çekirdek çarpıĢmalarıyla (peripheral collisions) iliĢkilendirilir. Ġkinci yol ise, ara enerjilerdeki ağır çekirdeklerin kafa kafaya çarpıĢmasıyla (central collisions) iliĢkilendirilebilir. Parçacık oluĢmasında bu iki yol bir arada da olabilir ya da çarpıĢma parametresi ve bombardıman enerjisine göre bir yoldan diğer yola kademe kademe de değiĢebilir (Botvina ve ark. 1995). Bu yaklaĢımda istatistiksel artık çekirdek topluluğu yaklaĢımı kullanılır.

ALADIN spektrometresinin deneysel verilerinin analizlerinden yüzeysel çarpıĢma sürecinin 3 aĢamasının olduğu gösterildi (Hubele ve ark. 1992, Botvina ve Mishustin 1992, Kreutz ve ark. 1993, Barz ve ark. 1993). Bu üç aĢama Ģu Ģekildedir. Birinci aĢama, hedef çekirdek ile hedefe gönderilen çekirdeğin Ģiddetli bir Ģekilde çarpıĢmasıyla hızlı bir dinamik süreç baskındır. Ġkinci aĢamada, çarpıĢan çekirdeklerin çarpıĢmaya katılmayan bölümlerinden aĢırı uyarılmıĢ sıcak nükleer sistemin (SNS, Thermalized Nuclear Systems, TNS) oluĢumu, ve üçüncü aĢamada sıcak nükleer sistemin (SNS) istatistiksel olarak parçalanması ele alınır.

Ġlk durumun Çağlayan Modeli (Intranuclear Cascade Model,INC) gibi dinamik bir modelle tanımlanabilmesine rağmen, deneysel verilerle direk olarak karĢılaĢtırılabilmesi bakımından dengede olmayan bir durum sonrası dengeye ulaĢan kaynakların bir topluluğunu belirlemek daha kullanıĢlıdır (Botvina ve Mishustin 1992). OluĢan artık çekirdeğin özellikleri istatistiksel çok katlı parçalanma modelleri ile araĢtırılmıĢtır (Botvina ve Mishustin 1992, Barz ve ark. 1993, Li ve ark. 1993). Bu araĢtırmaların analizine göre, sıcak nükleer sistemin (SNS) dağılımı, nükleon baĢına uyarma enerjisinin artmasıyla istatistiksel çok katlı parçalanmaya maruz kalan artık çekirdeğin kütle numarası A değerinin azalmasının bir iliĢkisiyle ve * = 6 8 *   A E

39 ulaĢtığı Ģeklinde karakterize edilmiĢtir (Botvina ve ark. 1995). Ġstatistiksel Çok Katlı Parçalanma Modeli (Statistical Multifragmentation Model, SMM) kullanılarak yapılan hesaplamalarda, uyarma enerjisi E* değeri, ortalama kütle A ile iliĢkilendirilerek, artık çekirdek (sıcak nükleer sistem, SNS) dağılımının deneysel verilerine uygun sonuçlar elde edilmiĢtir (Botvina ve ark. 1995). Böylece artık çekirdeğin E*

uyarma enerjisi ile ortalama kütle A arasında genel bir iliĢki kurulmuĢtur. A kütle numarasına ve E*

uyarma enerjisine göre sürekli olan artık çekirdek ya da sıcak nükleer sistem (SNS) toplulukları göz önüne alınarak ve A ortalama kütle değeri civarındaki kütle numarasının gausyen dağılımları farz edilerek dengedeki kaynakların ortalama kütlesi A,

2 * 2 * 1 0 A E a A E a 1 A A                  (4.1)

denklemi ile parametrize edilmelidir (Botvina ve ark. 1995, Botvina ve ark. 2006). Burada E* kaynakların MeV cinsinden uyarma enerjisi, A0 ise kaynakların kütlesidir. Ayrıca,

1 1 0,001(MeV)

a   değerine eĢitken, a2 0,009 0,015(MeV) 2





 aralığında değerler alabilir

ve kaynakların enerjisine çok az bağlıdır. Ayrıca yapılan analizler sıcak artık çekirdeğin uyarma enerjisinin bir sınırlaması için bazı göstergelerin olduğu anlaĢılır. Bunun sebebi de denge öncesi emisyondur. Yüksek bir enerji artık çekirdeğe aktarılırsa onun büyük bir kısmı parçalanma öncesi hızlı parçacıklarla uzağa taĢınır. Böylece uyarma enerjisi ile parçacıkların bağlanma enerjisinin karĢılaĢtırılabilirliğinin doğal bir sınırı olduğu beklenebilir. Buna göre denklem (4.1)’den nükleon baĢına maksimum uyarma enerjisinin 8,13MeV

A E*max *

max  



olduğu anlaĢılır (Botvina ve ark. 1995). Denklem (4.1) reaksiyonun dengede olmayan aĢamasından sonra oluĢan artık bir nükleer sistemin kütle numarası ve uyarma enerjisi arasındaki doğal bir iliĢkiyi yansıtır. Yani yüksek uyarma enerjilerinde daha çok parçacık oluĢur. Uyarma enerjisi ile kütle numarasının kabul edilen iliĢkisi hem dinamik simülasyonlarla (Konopka ve ark. 1993, Barz ve ark. 1993) hem de diğer istatistik modellerle (Li ve ark. 1993, Botvina ve ark. 1995, Raduta A.H. ve Raduta A.R. 2000) tutarlı sonuçlar vermektedir. Farklı Zbound (bağ yükü; parçacıklarda depolanan toplam yük, Z  2) değerlerinde parçacık oluĢumunun çok iyi bir tanımlama sağlamasının yanı sıra artık çekirdek topluluğunun topluluk parametresi ile yapılan hesaplamaları kalorik eğrinin davranıĢını yeniden oluĢturur (Xi ve ark. 1997).

40 Sıcak nükleer sistemin, kütle numarasının ortalama değeri A civarındaki kütle dağılımının geniĢliği             _{* 2} max 2 * 0 0 0 ) ( ) ( c 1 A (4.2)

ile verilir. Burada 0 ve c katsayıları, orta kütleli parçacıkların deneysel çok katlılık 0 dağılımlarının geniĢliğine uygun olarak seçilir. Uyarma enerjisi ile kütle dağılımının geniĢliğinin artması SNS oluĢum sürecinin rasgele doğasıyla da uyumludur. SNS (sıcak nükleer sistem) topluluğunun atom numaraları Z, hedefe gönderilen (projectile) çekirdeğin N/Z oranı uygulanarak kütlesinden türetilir.

Farklı

A E* * 

 uyarma enerjilerine sahip artık çekirdeklerin kütleleri toplanmıĢ bağıl ürünleri Y_(), tamamıyla reaksiyonun ilk aĢamasından belirlenir. Deneysel sonuçların iyi bir tanımlamasının sağlanabilmesi, ürünler için uygun bir parametrizasyon seçilmesi ile olur. DüĢük uyarma enerjilerinde (_küçük), Botvina ve arkadaĢlarının yaptığı analizler sonucunda artık çekirdeklerin bağıl ürünlerini

) c ( exp Y _* max * 1 ) (*      (4.3)

biçiminde basit bir exponansiyel biçimde seçmiĢlerdir (Botvina ve ark. 1995). Bu Ģekilde bir davranıĢ Cascade model hesaplamalarıyla da öngörülmüĢtür (Botvina ve ark. 1990, Botvina ve Mishustin 1992). Yine aynı çalıĢmada Botvina ve arkadaĢları, *_max civarında ürün dağılımlarının hedefe bağlı olduğunu göstermiĢlerdir. Hedef çekirdeğin Cu olması durumunda, eğer artık çekirdeklerin uyarma enerjileri ile bir birikiminin sınır değere yaklaĢımı varsa, bu durumda, *küçük* *maxcivarındaki parametrizasyon

))) ( 1 ( c exp( )) ( ( c Y 2 * * 3 ) (       (4.4)