Genişletilmiş ayrışım metodunun iki ve (2+1) boyutlu Boussinesq denklemlerine uygulanması / Applying modified decomposition method to two and (2+1) dimensional Boussinesq equations

T.C.

FIRAT ÜNIVERSITESI FEN BILIMLERI ENSTITÜSÜ

GENISLETILMIS AYRISIM METODUNUN IKI VE (2+1) - BOYUTLU BOUSSINESQ

DENKLEMLERINE UYGULANMASI

Nedim AKGÜN

Tez Yöneticisi

Prof. Dr. Salih ÖZÇELIK

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dali

T.C.

FIRAT ÜNIVERSITESI FEN BILIMLERI ENSTITÜSÜ

GENISLETILMIS AYRISIM METODUNUN IKI VE (2+1) – BOYUTLU BOUSSINESQ DENKLEMLERINE UYGULANMASI

Nedim AKGÜN

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dali

Bu tez, / / 2007 tarihinde asagida belirtilen jüri tarafindan oy birligi / oy çoklugu ile basarili / basarisiz olarak degerlendirilmistir.

Danisman: Prof. Dr. Salih ÖZÇELIK Üye:

Üye:

Bu tezin kabulü, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun …/…/…. tarih ve ……….. sayili karariyla onaylanmistir.

TESEKKÜR

Bu çalismanin hazirlanmasi için fedakarca, her zaman için hiçbir yardimini benden esirgemeyen degerli hocam Prof. Dr. Salih ÖZÇELIK’e ve Yrd. Doç. Dr. Mustafa INÇ’e sonsuz tesekkürlerimi ve saygilarimi sunarim.

IÇINDEKILER Tesekkür Içindekiler...I Özet... II Abstract...III Giris ... 1 1.BÖLÜM... 1

1.1.Temel Tanim ve Teoremler... 2

2.BÖLÜM... 6

2.1.Adomian Ayrisim Yöntemi... 6

2.2.Adomian Polinomlarinin Hesaplanmasi ... 8

2.2.1.Lineer Olmayan Polinomlar... 8

2.2.2.Trigonometrik Lineer Olmayanlik ... 10

2.2.3.Üstel Llineer Olmayanlik... 12

2.2.4.Logaritmik Lineer Olmayanlik ... 13

2.2.5.Bileske Fonksiyonlar Için Adomian Polinomlari ... 15

3.BÖLÜM... 18

Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929)... 18

3.1.Genellestirilmis Ayrisim Metodunun Iki-Boyutlu ve (2+1)- Boyutlu Boussinesq Denklemlerine Uygulanmasi... 20

3.1.1. Genellestirilmis Ayrisim Metodunun Iki-Boyutlu Boussinesq Denklemlerine Uygulanmasi ... 20

3.1.2. Genellestirilmis Ayrisim Metodunun (2+1) -Boyutlu Boussinesq Denklemlerine Uygulanmasi ... 25

KAYNAKLAR ... 32

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

GENISLETILMIS AYRISIM METODUNUN IKI VE (2+1) – BOYUTLU BOUSSINESQ DENKLEMLERINE UYGULANMASI

Nedim AKGÜN

Firat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dali

2007, Sayfa: 33

Bu çalisma üç bölüm halinde düzenlenmistir.

Birinci bölümde bazi temel tanim ve teoremler verildi.

Ikinci bölümde Ayrisim metodu ve lineer olmayan terimler için Adomian polinomlari hesaplandi.

Üçüncü bölüm çalismanin esas kismi olup, bu bölümde genisletilmis ayrisim metodu iki ve (2+1) – boyutlu Boussinesq denklemlerine uygulandi ve sayisal sonuçlar incelendi.

Anahtar Kelimeler: Adomian ayrisim metodu, Adomian polinomlari, Boussinesq denklemi.

ABSTRACT

M. S. Thesis

APPLYING MODIFIED DECOMPOSITION METHOD TO TWO AND (2+1) DIMENSIONAL BOUSSINESQ EQUATIONS

Nedim AKGÜN

Firat University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

2007, Sayfa: 33

This thesis is arranged in three chapters.

In first chapter, some basic definitions and theorems are given.

In second chapter, we calculated Adomian polynoms for decomposition method and non linear terms.

In third chapter which is the main of thesis, we applied modified decomposition method to two and (2+1) dimension Boussinesq equations and numerical results are examined.

Keywords: Adomian Decomposition Method, Adomian Polynoms, Boussinesq equation.

GIRIS

Özel bir metot yardimiyla polinomlari hesaplanan ve bilinmeyen fonksiyonun ayristirilmasina dayanan ayrisim metodu yaklasik yirmi sene kadar önce G. Adomian tarafindan bulundu.

Bu metotla lineer ve lineer olmayan fonksiyonel denklemleri (fizik, mühendislik, biyoloji, tipta kompermental analiz, astro fizik, nükleer reaktörler, lazerler, kompütür çipleri, radar, milli ekonomideki davranis, cebirsel, kismi türevli, adi diferansiyel denklemler, integral denklemler ve bunlar gibi pek çok denklemi ve problemi) çözmek mümkündür.

Bu metodun ilkeleri pek çok makalede ve birkaç kitapta uygulandi, fakat kullanilabilir teorik veriler Cherruault ve ekibinin [1],[5],[11] çalismalariyla hizlandi.

G. Adomian ilk olarak genel durumlari kapsayan pek çok örnek üzerinde çalisti. Fakat uygulamalarda bazi basit denklemleri seçip hesaplarin kolaylasmasini sagladi ve bu çalismalarda genellikle baslangiç ve sinir sartlari ayrisim metodunun hesaba katilmasini saglayacak sekilde basit olanlar seçildi.

Bu metodun etkinligi baslangiçta yalniz örneklerde denenmis ve yakinsakligini ortaya koyacak hiçbir açiklama yapilmamisti. Daha sonra Cherruault çalismalarinda ayrisim metodunun yakinsakligini kanitladi ve bu metodu biyolojik modellere uyguladi [1] ,[2], [11],[12].

Adomian ayrisim metoduyla verilen bir problemin yapisi degistirilmeyecek ve lineerizasyon yapilmayacaktir.

Yapilan çalisma üç bölüme ayrilmistir. Birinci bölümde temel tanim ve teoremler verildi. Ikinci bölümde Adomian Ayrisim metodu anlatildi. Adomian polinomlarin hesaplanmasi gösterildi.

Üçüncü bölümde, ise ayrisim metodu baslangiç sartli iki ve (2+1)-boyutlu Boussinesq denklemlerine uygulandi.

1.BÖLÜM 1.1.Temel Tanim ve Teoremler

Tanim1.1.1

L bos olmayan bir cümle ve K, reel veya komleks sayilar cismi olsun. Asagidaki sartlar saglaniyorsa L ye K üzerinde lineer uzay (veya vektör uzayi) denir [13]:

+, . Iki islem olmak üzere,

+

, )L

A islemine göre degismeli bir gruptur.Yani,

G1) Her x,y∈L için x+ y∈L dir ( kapalilik özelligi ) )

2

G Her x,y,z∈L için için x+(y+z)=(x+ y)+z dir (birlesme özelligi) )

3

G Her x ? L için x+θ =θ+x=x olacak sekilde θ∈L vardir ( özdes elamanvarligi)

) 4

G Her x∈Liçin x+(−x)=(−x)+x=θ olcak sekilde (−x)∈L vardir (ters elaman varligi)

) 5

G Her x,y∈L için x+y =y+x dir (degisme özelligi) )

B x,y∈Lve α ,β∈Kolmak üzere asagidaki sartlar saglanir: )

1

L α.x∈L dir (skalerle çapmaya göre kapalilik) ) 2 L α(x+y)=α.x+β.y dir. ) 3 L (α+β)x=α.x+β.y ) 4 L (α.β)x=α(β.x) dir. ) 5

L 1x= x dir (burada 1, K nin birim elamanidir) Tanim1.1.2.

Lineer uzaylarda tanimli dönüsümlere operatör denir [13]. Tanim1.1.3.

L ve L' ayni bir K cismi üzerinde iki lineer uzay olsun.

' :L L T → operatörü , ) ( ) ( ) (x y T x T y

T + = + ve T(α.x)=αT(x)sartlarini sagliyorsa T ye lineer operatör denir (α∈K) [14].

Tanim1.1.4.

K =R veya K =Colmak üze re L,Küzerinde bir vektör uzayi olsun. f :L→Koperatörüne fonksiyonel denir [14].

Tanim 1.1.5.

X bir vektör uzayi olsun. . :X→R+ dönüsümü asagidaki sartlari sagliyorsa, bu dönüsüme bir norm ve (X, . ) ikilisine de bir normlu uzay denir.

∀x,y∈X için N1) x ≥0

N3) αx = α x (α skaler) N4) x+ y ≤ x + y

dir [13]. Bir (X, . ) normlu uzayi tam ise, yani bu uzaydan alinan her Cauchy dizisi bu normlu uzayin bir noktasina yakinsiyorsa bu normlu uzaya Banach uzayi denir [8].

Tanim 1.1.6

Bagimli bir degiskeni ve bu bagimli degiskenin bir yada çok bagimsiz degiskene göre türevlerini içeren bir denkleme diferansiyel denklem denir [6].

Tanim 1.1.7

Bagimli degiskenin yalniz bir bagimsiz degiskene göre türevlerini içeren diferansiyel denkleme adi diferansiyel denklem denir [6].

Tanim 1.1.8

Bagimli degiskenin iki yada daha çok bagimsiz degiskene göre kismi türevlerini içeren diferansiyel denkleme kismi diferansiyel denklem denir. Bu kismi diferansiyel denklem; 0 ) , , , , , (x y u_x u_y u_xx u_yy = F , formunda verilir [6]. Tanim1.1.9 0 ) , , (x y y′ = F ,

denkleminde F fonksiyonu y ve y′ ye göre lineerse yani denklem 0 ) ( ) ( ) (x +B y y′+C x = A

biçimindeyse lineer differansiyel denklem adini alir. Tanim 1.1.10

Bir degiskenin skaler bir fonksiyon için Adomian polinomu asagidaki sekilde verilir.

Fonksiyonu n defa türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bu taktirde Adomian polinomlari 0 1 0 =     ∑ = ∞ = i n n f U n A formülü ile tanimlanir [14].

Tanim 1.1.11

A, B, C birer sabit sayi olmak üzere, x ve y serileri arsinda kesin olan türden çesitli fonksiyonel iliskilere deterministik iliski denir. Örnegin,

B Ax

y= + ( Dogrus al iliski )

λogy= λog(Ax+B) ( Tam logaritmik iliski )

ifadeleri birer deterministik iliskilerdir. Bunlardan baska daha pek çok deterministik iliski tipleri yazilabilir [7].

Çünkü serilerden birinin aldigi deger bilindiginde, diger serinin alabilecegi deger kesin olarak hesaplanabilir.

Örnegin bir gazin hacmi ile basinci arasindaki ters yönlü iliski, elektrik akimi ile direnç arasindaki ters yönlü iliskiler hep birer birer deterministik iliskidir.

Tanim 1.1.12

Önceden hangi degerleri alacagi kesin olarak bilinmeyen, fakat yaklasik olarak bir egilim belirleyen, olaylar arasindaki iliskilere stokastik iliski denir.

Bu tür iliskilere konu olan olaylarin, hangi sonucu alacagi deney veya olay gerçeklesmeden bilinemez, ancak yaklasik olarak belli bir hata payi ile tahmin edilebilir [7].

Tanim 1.1.13

H

ata, genellikle gerçek deger ile yaklasik deger arasindaki fark olarak tanimlanir. x_g ile gerçek degeri, x_y ile yaklasik degeri gösterecek olursak;

y g X X X = − ∆

ile tanimlanan ∆X `e “mutlak hata” denir.

Mutlak hatanin gerçek degere oranina “bagil hata” olarak tanimlanmasina ragmen gerçek deger bilinmediginden bagil hata;

y X X ∆ = ε ile hesaplanir. Gerçek deger de

X X X_g = _y ±∆ olarak ifade edilir [15].

Teorem 1.1.1

) , ( ) , (U₀ V₀ f U₀ V₀ A_n = , A₀(U₀,...,U_n;V₀,...,V_n) qn q q Pn P P qn q q Pn P P q q Pn p v u q Vn q Vi q P Un P U n + + + + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ =

∑

1 2 ... .... .... ... 2 1 1 1 1 1 ! 1 1 2 1 2 1 1 1 ! .... ! ! ! ... n nq q nP P₁+...+ _n+ ₁+...+ _n = f(U₀,V₀),n≠o

2. BÖLÜM 2.1. Adomian Ayrisim Yöntemi

Ayrisim yöntemi bir seri metodu oldugu ve birçok cebirsel, lineer veya lineer olmayan diferansiyel denklemlere basarili bir sekilde uygulandigi bilinmektedir. Genel olarak bu metodu verecek olursak, kabul edelim ki F, hem lineer hem de lineer olmayan terimleri içeren bir genel lineer olmayan adi diferansiyel operatör olmak üzere

( ) ( )

u g x,

F = (2.1.1)

denklemini ele alalim. (2.1.1) denkleminde L; verilen diferansiyel denklemin en yüksek mertebeden türevini, R; lineer operatörden kalan kismini ve N; ise diferansiyel denklemde lineer olmayan terimi göstermek üzere

, g Nu Ru

Lu+ + = (2.1.2) seklinde ayristirarak yazalim. L bir lineer operatör ve tersi de mevcut olsun (2.1.2) esitligi

Nu Ru g

Lu = − − (2.1.3)

seklinde ya zilabilir ve bu esitligin her iki tarafi L operatörü ile sol taraftan −1 (2.1.3) esitligine uygulanirsa Nu L Ru L g L Lu L−1 = −1 − −1 − −1 , (2.1.4) bulunur.

L ikinci mertebeden ve tersi mevcut olan lineer bir operatör oldugunu kabul edelim. (2.1.4) esitliginde gerekli islemleri yaptiktan sonra

( )

tu

( )

L Ru L Nu u u 1 1 0 ' 0 + − − − − = , (2.1.5)

çözüm fonksiyonu bulunur. (2.1.5) ile elde edilen esitlikteki Nu lineer olmayan terim

ve

∑

∞ = = 0 n n A

Nu seklinde ifade edilmektedir. Buradaki A polinomlari özel polinomlardir _n

ve bu polinomlar daha sonra tartisilacaktir. (2.1.5) esitligindeki u , ayristirilmis seri

( )

x t çözüm fonksiyonudur. Bu seri çözüm fonksiyonun birinci terimi u , verilen baslangiç 0

degeri ve denklemin sag taraf fonksiyonun integrali olmak üzere u₀ =a+bt−L−1g ile bulunur daha sonra u terimi kullanilarak ₀ u₁,u₂,u₃,Κ terimleri elde edilerek ayristirilmis seri çözüm fonksiyonu

( )

_∑

∞

( )

= = 0 , , n n x t u t x u (2.1.6)

seklinde yazilabilir ve serinin yakinsak oldugu varsayilacaktir. Bu seri çözümü kullanilarak (2.1.5) esitligi tekrar yazilirsa

∑

∑

∑

∞ = − ∞ = − ∞ = − − = 0 1 0 1 0 0 n n n n n n u L u L A u (2.1.7)

seklinde genel seri formu elde edilir. Benzer olarak , (2.1.7) esitligi açik sekilde

       ≥ − − = − − = − − = − − + − − − − , 0 , , , 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 1 n A L Ru L u A L Ru L u A L Ru L u n n n Μ (2.1.8)

formunda yazilabilir. Buradaki A polinomlari her bir lineer olmayan terim için n

genellestirilebilir ve bu genellestirmede A sadece ₀ u a, ₀ A sadece ₁ u ve ₀ u e, ₁ A ise, ₂

2 1 0,u ,u

u ye bagli ve benzer sekilde (2.1.8)esitligindeki bütün A Adomian polinomlari _n

elde edilebilir. A Adomian polinomu da ayristirilmis hali ise literatürde _n

), ( ) )( ! 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) )( ! 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( 0 3 0 3 3 1 0 2 0 2 2 1 0 0 3 3 0 2 0 2 2 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 u f du d u u f du d u u u f du d u A u f du d u u f du d u A u f du d u A u f A + = + = = = =

)

0 1 ! 1 = ∞ =         Φ =

∑

λ λ λ k k n n n k u d d n A , n>0 (2.1.10)

seklinde verilmektedir. Bu Adomian polinomlarini elde etmek için bir alternatif metot ise tarafindan gelistirilmistir. Bazi problemlerin sayisal çözümlerinin daha hassas olmasi istenildigi durumlarda ayrisim serisi için çok sayida terimin hesaplanmasi gerekebilir. Bu gibi durumlarda (2.1.10) genel formülün kullanilmasi, istenildigi kadar çok sayida (2.1.6) ayristirma serisinin terimlerinin hesaplanmasinda kolayliklar saglamaktadir.

Ayrisim metodu kullanilarak u , kapali çözüm fonksiyonunun bu fonksiyona

( )

x t ait sayisal çözümlerin elde edilmesi için

; ) , ( ) , ( 1 1

∑

− = =n k n n x t u x t φ n≥0 (2.1.11) olmak üzere,

( )

x t u n n , limΦ = ∞ → (2.1.12)

ifadesinin (1.1.8.) indirgeme bagintisi göz önüne alinarak kolayca hesaplanabilir. Buna ilaveten (2.1.12) seklindeki ayrisim seri çözümü, genel olarak fiziksel problemlerde çok hizli yakinsayan sonuçlar vermektedir. Ayrisim serisinin yakinsakligi literatürde birçok yazar tarafindan arastirilmistir. Ayrisim serisinin yakinsakligi teorik olarak incelenmislerdir. Bu çalismalara ilaveten yakin zamandaki çalismalari ayrisim serisinin yakinsakligi bulmada yeni bir yaklasim önerilmistir.

2.2. Adomian Polinomlarinin Hesaplanmasi

Wazwaz [10] lineer olmayan terimlerin adomian polinomlarini hesaplamak için son derece kullanisli bir algoritma gelistirdi. Bu algoritmanin kullanilmasiyla A _n Adomian polinomlarinin hesaplanmasi asagidaki yöntemle yapilir.

2.2.1. Lineer Olmayan Polinomlar I. Durum Eger F(y)=y2 ise

∑

∞ = = 0 n n y y (2.2.1)

olmak üzere F(y)=y2lineer olmayan terimi (2.2.1) de yerine yazilirsa

2 3 2 1 0 ...) ( ) (y = y +y +y + y + F (2.2.2)

bulunur. Esitligin sag tarafi açilirsa

+ + + + + + + = 0 3 1 2 2 1 2 0 1 0 1 0 2 0 2 2 2 2 2 ) (y y y y y y y y y y y y y F (2.2.3)

elde edilir. (2.3.2)’deki açilimda indis toplamlari ayni olan terimler bir araya getirilirse

2 1 3 0 2 1 2 0 1 0 2 0 2 2 2 2 ) (y y y y y y y y y y y F = + + + + + ... 2 2 2 2 2 _{0 4} + _{1 3}+ ₂2+ _{0 5}+ _{1 4}+ _{2 3}+ + y y y y y y y y y y y (2.2.4) olur. (2.2.4)’ den 2 ) (y y

F = için Adomian polinomlari

2 0 0 y A = , 1 0 1 2y y A = , 2 0 2 1 2 y 2y y A = + , (2.2.5)

3 0 2 1 3 2y y 2y y A = + , , 2 2 _{1 3 0 4} 2 2 4 y y y y y A = + + formunda bulunur. II. Durum

Polinom tipinde verilen lineer olmayan terimler için n∈Z+ olmak üzere asagidaki genelleme yapilabilir; n y A0 = 0 ) 1 ( 0 1 − = n ny A , 2 ) 1 ( 0 2 1 ) 2 ( 0 2 ( 1) 2 1 y ny y y n n A = − n− + n− , (2.2.6) 3 1 ) 3 ( 0 3 ( 1)( 2) 6 1 y y n n n A = − − n− +n(n−1) 3 ) 1 ( 0 2 1 ) 2 ( 0 y y ny y yn− + n− , III. Durum

Eger n∈Z−ise bu takdirde Adomian polinomlari

n y A₀ =− ₀− , ) 1 ( 0 1 + − − = n ny A , 2 ) 1 ( 0 2 1 ) 2 ( 0 2 ( 1) 2 1 y ny y y n n A =− + −n+ − −n+ , (2.2.7) 3 1 ) 3 ( 0 3 ( 1)( 2) 6 1 y y n n n A =− + + n+ −n(n+1) y₀−(n+2)y₁y₂ −ny₀−(n+1)y₃, formülüyle bulunur. IV. Durum

Eger n ondalikli bir sayi ise bu takdirde Adomian polinomlari

, ) 2 )( 1 ( 6 1 ) 1 ( , , 3 1 3 0 2 1 2 0 3 1 0 3 1 1 0 1 0 0 y y n n n y y y n n y ny A y ny A y A n n n n n − − − − − − + − + = = = Μ , ) 3 )( 2 )( 1 ( 24 1 , ) 2 )( 1 ( 2 1 ) 2 1 ( ) 1 ( 4 1 4 0 2 2 1 3 0 3 1 2 2 2 0 4 1 0 4 y y n n n n y y y n n n y y y y n n y ny A n n n n − − − − − − − + − − + + − + = (2.2.8) olarak hesaplanir.

V. Durum

Eger lineer olmayan terim

x yy y F( )= ise

∑

∞ = = 0 n n y y (2.2.9)

∑

∞ = = 0 n n x x y y

olmak üzere (2.2.9) ifadesi

...) ( ...) ( ) (y = y0 +y1+y2+y3+ x y0 +y1+y2+y3+ F = y₀ X y₀ + X y₀ y +₁ y₀ X y₁ + X y₀ y +₂ X y₁ y ₁ (2.2.10) + X y₂ y₀+ X y₀ y₃+ X y₁ y₂+ X y₂ y₁+ X y₃ y₀ + X y0 y4+y0 y4_X +y1_X y3+…..

ve indis toplamlari ayni olan ifadeler gruplandirilirsa

0 A = y₀ X y0 , 1 A = X y₀ y₁+y₀ X y₁ , 2 A = X y₀ y +₂ X y₁ y₁ y_2X y₀ , 3 A = X y0 y3+y1X y2+y2X y1+y3X y , 0 4 A = X y0 y4+y0 y4_X +y1_X y3+y2_X y2+y3X y , 1 Μ bulunur.

2.2.2. Trigonometrik Lineer Olmayanlik I. Durum

y y

F( )=sin ise o zaman ilk olarak A₀ =F(y₀) ifadesini diger terimlerden ayirmaliyiz, çünkü diger terimlery ’a bagli olarak hesaplanmaktadir. ₀

y y

F( )=sin

Lineer olmayan terimi (2.2.11) de yerine yazilirsa ...)] ( sin[ ) (y = y0+ y1+y2+y3+ F (2.2.12) ve bu ifadede θ =y0, ... 3 2 1+ + + = y y y φ alinirsa, φ θ φ θ φ

θ ) sin cos cos sin

ifadesinden ...) sin( cos ...) cos( sin ) (y = y₀ y₁+y₂+y₃+ + y₀ y₁+y₂+y₃+ F (2.2.14)

bulunur. Burada cos(y₁+y₂ +y₃+...) ve sin(y₁+y₂+y₃+...) ifadeleri Taylor serisine açilirsa ...) ...) ( ! 4 1 ...) ( ! 2 1 1 ( sin ) ( 1 2 4 2 2 1 0 − + + + + + − = y y y y y y F (2.2.15) ...] ...) ( ! 3 1 ...) [( cos 3 2 1 2 1 0 + + − + + + + y y y y y ve böylece ...) ...) ! 4 1 ... 2 ( ! 2 1 1 [ sin ) (y = y₀ − y₁2+ y₁y₂ + + y₁4 +y₂4 + − F (2.2.16) ...] ...) ( ! 3 1 ...) [( cos 3 2 3 1 2 1 0 + + − + + + + y y y y y

bulunur. (2.2.16) ifadesi düzenlenirse

Μ , cos ! 3 1 sin cos , sin ! 2 1 cos , cos , sin 0 3 1 0 2 1 0 3 3 0 2 1 0 2 2 0 1 1 0 0 y y y y y y y A y y y y A y y A y A − − = − = = = (2.2.17) elde edilir. II. Durum

Eger F(y)=cosy ise yukarida yapilan islemlerin benzerini verilen lineer olmayan terim için uygulanirsa;

Μ , cos ! 4 1 sin ! 2 1 cos ) ! 2 1 ( sin , sin ! 3 1 cos sin , cos ! 2 1 sin , sin , cos 0 4 1 0 2 2 1 0 3 1 2 2 0 4 4 0 3 1 0 2 1 0 3 3 0 2 1 0 2 2 0 1 1 0 0 y y y y y y y y y y y A y y y y y y y A y y y y A y y A y A + + − − = − − − = − − = − = = (2.2.18) bulunur.

III. Durum

Eger F(y)=sinh y ve F(y)=coshy seklinde hiperbolik lineer olmayanliga sahip ise ayni algoritma kullanilarak Adomian polinomlari, sirasiyla ,

Μ , sinh ! 4 1 cosh ! 2 1 , sinh ) ! 2 1 ( cosh , cosh , sinh 0 4 1 0 2 2 1 0 3 1 2 1 0 4 4 0 1 1 0 0 y y y y y y y y y y y A y y A y A + + + + = = = (2.2.19) ve A0 =cosh y0, 0 1 1 y sinh y A = , 0 2 1 0 2 2 cosh ! 2 1 sinh y y y y A = + , (2.2.20) 0 3 1 0 2 1 0 3 3 sinh ! 3 1 cosh sinh y y y y y y y A = + + , 0 4 1 0 2 2 1 0 3 1 2 2 0 4 4 cos ! 4 1 sin ! 2 1 cosh ) ! 2 1 ( sinh y y y y y x y y y y y y A = + + , Μ

formülleriyle elde edilir.

2.2.3. Üstel Lineer Olmayanlik I. Durum Eger y e y F( )= ise bu takdirde yo o e y

F( )= teriminin diger terimlerden ayrilmasi gerekir.

y

e y

F( )= ifadesi (2.3.1) de yerine yazilirsa

... 2 1 0 ) (y =ey+y+y+ F (2.2.21) veya ... 3 2 1 0 ) ( = y y+y+y+ e e y F (2.2.22) elde edilir. Bu son ifadede; ... y y1+ 2+

...] ...) ( ! 2 1 ...) ( 1 [ ) ( 1 2 3 1 2 3 2 0 + + + + + + + + + =e x y y y y y y y F y 0 0 0 ₎ 0 ! 3 1 ) ! 2 1 ( _{2 1}2 _{3 1 2 1}3 1 y y y y e y y y y e y y e y e + + + + + + = (2.2.23) ) ... ! 4 1 ! 2 1 ! 2 1 ( 4 0 1 2 2 1 2 2 3 1 4+ + + + + + y e y y y y y y y bulunur. Buradan da , 0 0 y e A = , 1 1 o y e y A = , ) ! 2 1 ( 2 0 1 2 2 y e y y A = + 3 1 2 1 3 3 ! 3 1 (y y y y A = + + )_ey0, Μ , ) ! 4 1 ! 2 1 ! 2 1 ( 4 0 1 2 2 1 2 2 3 1 4 4 y e y y y y y y y A = + + + + elde edilir. II. Durum

Eger F(y)=e−y ise bu takdirde Adomian polinomlari

, ) ! 4 1 ! 2 1 ! 2 1 ( , ) ! 3 1 ( , ) ! 2 1 ( , , 0 0 0 0 4 1 2 2 1 2 2 3 1 4 4 3 1 2 1 3 3 2 1 2 2 1 1 0 y y y y y e y y y y y y y A e y y y y A e y y A e y A e A o − − − − − + − + + − = − + − = + − = − = = (2.2.25) seklinde olur.

2.2.4. Logaritmik Lineer Olmayanlik I.Durum

Eger F( y)= λny , y>0 ise bu takdirde bu ifade (2.2.1)’de yerine yazilirsa ...)

( )

(y = n y₀ + y₁ +y₂ +

bulunur. (2.2.26) ifadesi ise n y F( )=λ _      + + + ...) 1 ( 0 2 0 1 0 y y y y y (2.2.27) formunda yazilabilir. n λ (αβ)=λnα + nλ β oldugundan (2.2.27) ifadesi 0 ) (y ny F =λ +λn( + + + 0 2 0 1 1 y y y y …) (2.2.28)

olur. (2.2.28)’de ikinci terim Taylor serisine açilirsa

0 ) (y ny F =λ +       + + + ...) ( 0 3 0 2 0 1 y y y y y y (2.2.29) ... ... 4 1 ... 3 1 ... 2 1 4 0 2 0 1 3 0 2 0 1 2 0 2 0 1 +     + + −     + + +     + + − y y y y y y y y y y y y

elde edilir. (2.2.29)’da indis toplamlari ayni olan terimler gruplandirilirsa, Adomian polinomlari asagidaki formda bulunur.

, 0 0 ny A =λ 0 1 1 y y A = , 2 0 2 1 0 2 2 2 1 y y y y A = − , 3 0 3 1 2 0 2 1 0 3 3 3 1 y y y y y y y A = − + , (2.2.30) 4 0 4 1 3 0 2 2 1 2 0 3 1 2 0 2 2 0 4 4 4 1 2 1 y y y y y y y y y y y y A = − − + − , II. Durum

Eger F(y)= λn(1+y), −1< y≤1ise o zaman Adomian polinomlari

), 1

( 0

0 n y

, 1 0 1 1 y y A + = , ) 1 ( 2 2 1 1 2 0 2 1 2 2 2 y y y y A + − + = , ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 1 3 0 3 1 2 0 2 1 0 3 3 y y y y y y y A + + + − + = (2.2.31) , ) 1 ( 4 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 ₀ 4 4 1 3 0 2 2 1 2 0 3 1 2 0 2 2 0 4 4 y y y y y y y y y y y y A + − + + + − + − + =

2.2.5. Bileske Fonksiyonlar Için Adomian Polinomlari I.Durum

Eger F(y)=e−y2 ise bu takdirde u= y2 diyelim, böylece F(y)=e−u olur.

u

e− ve y için Adomian polinomlari sirasiyla, (2.2.25) ve (2.2.5) denklemlerinden 2

0 0 u e A = − , 0 1 1 u e u A =− − , Μ ) 2 ( 2 1 2 2 1 2 0 _{u u} e A = −u − , (2.2.32) Μ , 2 , 2 , 2 0 2 1 2 1 0 1 2 0 0 y y y B y y B y B + = = =

seklinde yazilabilir. Buna göre

Μ )], , , ( ), , ( ), ( [ ) , , ( )], , ( ), ( [ ) , ( )], ( [ ) ( 2 1 0 2 1 0 1 0 0 2 2 1 0 2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 y y y B y y B y B A u u u A y y B y B A u u A y B A u A = = =

elde edilir. Buradan da _F(_y)=_e−y2

fonksiyonu için Adomian polinomlari 20

0

y

e A = −

20 1 0 1 2 y e y y A =− − (2.2.33) Μ 2 0 ) 2 ( 0 2 2 2 1 2 1 2 0 2 y e y y y y y A = − −− − II. Durum: ) 2 sin( ) (y e y F = −y olsun. Burada

∑

∞ = − ₌ 0 n n y A e ,

∑

∞ = = 0 ) 2 sin( n n B y , (2.2.34)

seklinde gösterelim. Böylece

∑

∞ = = 0 ( ) ( n n A y F )(

∑

∞ =0 n n B ) (2.2.35) olur. Buradan da; , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1 0 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 0 0 0

∑

− = + = + + = + = = n j i j i n AB y F B A B A B A y F B A B A y F B A y F Μ

(

2.2.36

)

elde edilir. Ayrica sin( y 2) fonksiyonu için Adomian polinomlari (2.2.18) den

Μ ), 2 sin( ) 8 ( ) 2 cos( ) 2 ( ), 2 cos( ) 2 ( ), 2 sin( 0 2 1 0 2 2 0 1 1 0 0 y y y y B y y B y B − = = = (2.2.37)

formunda hesaplanir. Böylece (2.2.36) ifadesinde, (2.2.25) ve (2.2.37) ifadeleri birlikte göz önüne alinirsa F(y) =e−ysin(y 2) fonksiyonu için Adomian polinomlari

), 2 sin( ) (_{y0 e} 0 _y0 F = −y ) 2 sin( ) 2 cos( ) 2 ( ) ( 1 1 0 1 0 0 0 _{y y ye y} e y F = −y − −y , ) 2 cos( ) 2 ( ) (_{y2 y1e} 0 _{y1 y0} F =− −y (2.2.38) +

{

( 2)cos( 2) ( 2 8)sin( ₀ 2)

}

1 0 2 0 _{y y y y} e−y − ,

+ )sin( 2) ! 2 1 ( 0 2 1 2 0 _{y y y} e−y − + ,

seklinde elde edilir.

Denklemlerde ortaya çikan lineer olmayan bileske fonksiyonlara ait Adomian polinomlari yukaridaki islemlere benzer sekilde hesaplanabilir.

3. BÖLÜM

JOSEPH VALENTIN BOUSSINESQ ( 1842-1929 )

Joseph Valentin Boussinesq, 13 Mart 1842’de ( Montpellier’e 30 km uzakliktaki ) Saint Andre de Sangonis’de dogdu. Babasi Jackues bir çiftçi, annesi bir fabrikatörün kizi olan Anne-Marrie Cavalier’di. Bir erkek kardesi vardi. Annesi Anne-Marrie Cava lier 1857 yilinda hayatini kaybetti. 7 yasindan sonra kasabanin ilk okuluna basladi ve oradaki ögretmeniyle, doga hakkindaki çekici buldugu olgular hakkindaki düsüncelerini paylasti. Peder olan amcasi ona Latince ve Yunanca ögretti. Bu bilgilerin yaninda Boussinesq’in gençligi hakkinda pek fazla bilgi yoktur.

Boussinesq 16 yasinda Montpellier ve Iycée’yi örnek alarak okutman oldu. Bunlarin paralelinde matematik ve mekanik alanlarinda çalissa da edebi yönü de gelismisti. Gece gündüz bilim adina adanmis bir zaman diliminden sonra 19 yasinda matematik dalinda diploma aldi. Mekanik ve matematiksel fizikten ilham almasina ragmen dini ve filozof konulara da ilgisi vardi.

19.Yüzyil baslarinda yasamis olan Fourier ve Cauchy gibi bilim adamlarinin çalismalarini neredeyse ezbere biliyordu. Bu yüzyilin alisilmis bilim insani portresinin disina çikarak tamamen mekanigin istisna bir ismi oldu.

20 yasinda Agde Koleji’nde ögretmenlik yapmaya basladi. Bu ona, diger isler arasinda Lamé’nin çalismalari izinde, bilim üzerinde çalisabilmesi için büyük bir zaman ve olanak saglamis oldu. Bunun, ilk Akademik belgesini yayinlamasinda önemli bir etkisi oldu. Bu belgede, ince ve dikkatli bir sekilde su jetinin yüzey üzerindeki darbelerini tarif eden bir problem çözülüyordu. Bu çalismadan sonra Agde’den ayrilarak, akademik kariyerine Vigan Koleji’nde Gap ( Prof. James Dauphiné ) ile devam etti. Geldigi Vigan sehrinde, 1869’da Mende’de görevli bir bakanin kizi olan Jeanne Giscard of Castling ( 1819-1894 ) ile evlendi.

O siralar, isigin dagilim teorisiyle ugrasiyordu. 1867’de Paris Bilim Akademisi’nde heterojen ortamlarda isinin dagilmasi konulu tezini vererek doktorasini aldi.

Boussinesq’in doktora tezi, Lamé’nin isik teorisine önemli bir bakis açisi getirdi. Tez çalismasindan hemen sonra, bir etkiye maruz kalan elastik maddelerin üç baslica yöne hareketlendiklerini sorgulayan bir çalismayi Akademi’ye gönderdi.

Birkaç yil önce, varsayimlarin basitlestirilmesi için bu soruya bir cevap arayan Saint- Coming ( 1797-1886 ) ise gerilimlerin eliptik dagilimlarini gösteren bir açiklama bulmustu.

Ancak Boussinesq, mekanik alanda birçok ünlü bilim adaminin takdirini toplayan daha genel bir çözüm yoluna giderek sonuca ulasmisti. Matematikçi Picardy’e ( 1936 ) göre Boussinesq’in buldugu çözümler elektromanyetik alani hariç matematigin bütün konularinda kullanilabilirdi. Nitekim, yaptigi çalismalar sonucu ortaya koydugu kurallar, mekanikte, optikte, isida, elastik teorisinde, isik teorisinde ve matematikteki diferansiyel denklemlerde oldukça kullanildi.

Yazim ve anlatim tarzi basit olmaktan çok uzakti ve bazen yaptigi açiklamalar yazinin kendisinden daha uzun oluyordu. Yazilarini yazarken daktilo basinda yorgun düsüyordu, çünkü elde ettigi sonuç, tahmin ettiginin üç kati çikiyordu. Yaradilisi geregi her zaman yepyeni fikirlere sahipti. Çok ayrintili ve gerçeklerle dolu cümlelerini anlamak oldukça zordu.

1868’deki Fransiz Alpleri’ndeki gezisinde, hidrodinamik konusuna ilgi duymaya basladi. O siralar Saint-Coming ile aralarindaki mantigin benzerligi bir tesadüf degildi. Bu adam, onun teknik sorulari hakkinda konusabilecegi tek insandi. Sonra, bir aralar onunla birlikte üniversitede düzenlenen bir istasyon projesine katilmak istedi. Ancak bu projeye katilanlarin bir fizik diplomasi olmasi gerekiyordu. Bu konu hakkinda çok düsünen Boussinesq, 1872’de çalistigi kolejden ayrildi ve bir yil sonra 1873’de, Lille Bilimler Fakültesi’nde profesörlük ünvanini almayi basardi.

Bir süre katilarin ve hidrodinamigin mekanik kanunlari üzerine çalisip, problemlerin teorik yargisinin, uzun zaman sonra anlamini kazanmasini sagladi. 1886’da adindan söz ettirerek Bilim Akademis’ne seçildi. Çalismalari sonucunda, önceden anlasilamayan birçok mekanik probleminin anlasilmasini sagladi. Adini, “ Boussinesq Denklemi ” veya Boussinesq Problemi ”olarak bilinen, katilarin mekaniginin çözülmesinde kullanilan problemlere vererek basarili bir akademik kariyer geçirdi ve yine dogdugu yerde, 19 Subat 1929’da hayata veda etti.

3.1. Genisletilmis Ayrisim Metodunun Iki Ve (2+1)- Boyutlu Boussinesq Denklemlerine Uygulanmasi

3.1.1. Genisletilmis Ayrisim Metodunun Iki Boyutlu Boussinesq Denklemlerine Uygulanmasi

Ayrisim metodu uygulamali matematikte yaklasik ve analitik çözümler için etkili bir yöntem olup bu yeni yaklasim uygulamada karsilasilan lineer ya da lineer olmayan problemlerin çözümünde kullanilan önemli bir metottur. Bu yaklasim kullanilarak ele alinan hem lineer olmayan problemleri lineerlestirmeksizin analitik çözümlerini ayrisim seri fonksiyonlari seklinde elde edilmektedir. Ayrica ele alinan problemlerin yaklasik sayisal çözümleri de bu ayrisim serisinin terimleri kullanilarak kolayca hesaplanabilmektedir.

Literatürde lineer olmayan kismi diferensiyel denklemlerin sayisal çözümleri pek azdir. Özellikle son zamanlarda ortaya konan sayisal metotlar yardimiyla bu tür denklemlerin nümeriksel çözümleri yeni yeni yapilmaya baslanmistir.

Simdi 2. bölümde detaylica sunulan ve denklemlerde bulunan lineer olmayan terimler için hesaplanan Adomian polinomlarinin kullanilmasiyla

( )

0, 3 4 2 + = + − xx xx x tt U U U U (3.1.1)

formundaki 2-boyutlu Boussinesq denkleminin genisletilmis ayrisim metodu yardimiyla sayisal çözümlerini bulup, analitik çözümü ile karsilastiracagiz. (3.1.1) denkleminde

4 4 2 2 2 2 , , x L x L t L_{t x xx} ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂

= ve olmak üzere bu denklemi operatör formunda

( )

0, 3 2 + = − −LU U L U U L_{t x xx xx} (3.1.2)

seklinde yazabiliriz. U , çözüm fonksiyonunu bulmak için (3.1.2) denklemine

( )

x t soldan L−t1 operatörünü uygularsak

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

LU x t NU x t L U x t

]

L x tU x U t x U xx x t , , , 0 , 0 , , 1 + + + + = − (3.1.3)

esitligini elde ederiz. Burada −

()

=

∫∫

()

t t t dtdt L 0 0 1 . . integral operatörü ve NU

( )

x,t =3

( )

U2 _xx ifadesi ise lineer olmayan terimi göstermektedir. Ayrisim metodu çözümü

( )

_∑

∞

( )

= = 0 , , n n x t U t x U (3.1.4)

formunda aradigindan bu ifadeyi (3.1.1) de yerine yazarsak,

( )

( )

( )

         +    +       + + =

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = − 0 0 0 0 1 ) , ( ) ,..., ( ) , ( 0 , 0 , , n n xx n n n n n x t t t x U L U U A t x U L L x tU x U t x U (3.1.5) bulunur. Burada

∑

∞ = = = 0 0,..., ) ( ) ( n n n n N U A U U

A ifadesi Adomian polinomu olarak adlandirilir. Herhangi bir kismi diferansiyel denklemde ortaya çikacak lineer olmayan terimin durumuna göre Adomian polinomlarinin nasil hesaplandigi 2. Bölümde genis bir sekilde ifade edilmisti. Burada lineer olmayan N(U)=3(U2)_xx

fonksiyoneli ele alinarak A terimlerinin _n bazilari , ) ( 3 ₀2 0 U xx A = , , ) 2 ( 3 _{0 1} 1 U U xx A = A2 =3(2U0U2+U12)_xx , (3.1.6) xx U U U U A₃ =3(2 _{0 3}+2 _{1 2}) , xx U U U U U A 3(2 2 2) 2 3 1 4 0 4 = + + ,

seklinde elde edebiliriz. Buna göre verilen baslangiç sartiyla birlikte 2-Boyutlu Boussinesq denklemini genisletilmis ayrisim metodu ile çözerken asagidaki indirgeme bagintisini kullanacagiz, U0(x,t) =U(x,0),

(

0 0 0

)

1 1(x,t) tU (x,0) L L U A L U U = _t + _{t x} + + _xx ,

(

)

, ) , ( 1 1 t x k k xx k k x t L L U A L U U ₊ = − + + k ≥1 (3.1.7) Simdi (3.1.1) formundaki lineer olmayan 2- boyutlu Boussinessq denklemini

2 ) 0 , (x c U = sech2 ( 1)] 2 [ c x+ 2 5 4 1 ) 0 , (x c Ut − = sech2[ ( 1)] 2 x+ c tanh[ ( 1)] 2 x+ c (3.1.8)

baslangiç sartlari ile birlikte, genisletilmis ayrisim metodunu kullanarak bu denklemin çözüm fonksiyonunu arastiralim. (3.1.8) baslangiç sartlarini (3.1.7) indirgeme formülünde kullanirsak, asagidaki terimleri elde ederiz.

)] 1 ( 2 [ sec 2 ) , ( 2 0 = x+ c h c t x U ), ) ( ) ( 3 ( )] 1 ( 2 tanh[ )] 1 ( 2 [ sec 4 1 ) , ( 2 2 1 _{0 0 0 4} 5 1 x t Lt A U xx U x c x c h c t x U = − + + + − + + (3.1.9) )]) 1 sinh( )] 1 ( cosh[ ) 1 ( ) 1 ( 2 )]( 1 ( 2 [ sec 8 1 ) , ( 2 4 2 = x+ − +c t+ +c t c x+ − c x+ c h t c t x U )], 1 ( 3 sinh[ 2 )] 1 ( 2 sinh[ 16 )] 1 ( sinh[ 38 )] 1 ( 3 cosh[ ) 1 ( 3 cosh[ )] 1 ( 2 cosh[ ) 1 3 ( 24 )] 1 ( cosh[ ) 33 1 ( 15 440 40 )]( 1 ( 2 [ sec ) 1 ( ( 1536 1 ) , ( 3 3 8 3 + − + + + + + + + + + + − + + + − + + = x c c x c c x c c x c ct x c t x c t c x c t c ct t x c h t c c t x U )]))), 1 ( 2 5 sinh[ )] 1 ( 2 3 sinh[ 57 )] 1 ( 2 1 sinh[ 302 ( ) 1 ( 96 )] 1 ( 2 1 [ sec )]) 1 ( 5 cosh[ )] 1 ( 5 cosh[ 2 )] 1 ( 5 cosh[ )] 1 ( 4 cosh[ 1076 )] 1 ( 4 cosh[ 616 )] 1 ( 4 cosh[ 116 )] 1 ( 3 cosh[ 62637 )] 1 ( 3 cosh[ 13242 )] 1 ( 3 cosh[ 717 )] 1 ( 2 cosh[ ) 8183 498 17 ( 96 )] 1 ( cosh[ ) 540099 1546 301 ( 6 2562924 52392 2604 ( ) 1 ( )] 1 ( 2 [ sec )]) 1 ( 2 cosh[ )] 1 ( cosh[ 10 10 ( 5760 ( )] 1 ( 2 1 [ sec ( 737280 1 ) , ( 2 5 2 2 2 2 2 2 2 7 4 4 4 + + + − + + − + + + + + + + + − + − + − + + + + + + + + + − − + + − − − + − + + + + + + − + = x c x c x c t c c x c h x c c x c c x c x c c x c c x c x c c x c c x c x c c c x c c c c c t c x c h x c x c x c h t c t x U

Sayisal sonuçlari hesaplamak için bu terimleri asagidaki ifadede yerine yazip,

∑

∞ = + + + + = = 0 3 2 1 0 ... ) , ( ) , ( n n xt U U U U U t x U (3.1.10) ... ) 1 ( 6 cosh[ 13008 )] 1 ( 6 cosh[ 3792 )] 1 ( 6 cosh[ 496 ) 1 ( 6 cosh[ 5599387 )] 1 ( 5 cosh[ 1879185 )] 1 ( 6 cosh[ 224337 )] 1 ( 5 cosh[ 11611 )] 1 ( 4 cosh[ 303205280 )] 1 ( 4 cosh[ 48647904 )] 1 ( 4 cosh[ 2190048 )] 1 ( 4 cosh[ 8096 )] 1 ( 3 cosh[ 497330615 )] 1 ( 3 cosh 353172795 )] 1 ( 3 cosh[ 1902075 )] 1 ( 3 cosh[ 164119 )] 1 ( 2 cosh[ ) 2023283441 44103507 850413 11873 ( 16 )] 1 ( cosh[ ) 7 3183011005 111932229 1159365 93161 ( 3 8 6803567932 773572320 12764448 325536 ( ) 1 ( )] 1 ( 4 cosh[ 10 )] 1 ( 4 cosh[ 4 ) 1 ( 3 cosh[ 645 )] 1 ( 3 cosh[ 123 )] 1 ( 2 cosh[ ) 2050 133 ( 4 )] 1 ( cosh[ ) 33775 59 ( 26670 600 ( 21504 ( )] 1 ( 2 1 [ sec ( 660602880 1 ) , ( 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 12 6 5 5 + + − + − + − + + + + + + + + + − + − + − + − + + + + + + + − + + + − − + + − − + − + − + + + + + + + − + − + + + + − + + − + = x c c x c c x c x c c x c c x c c x c x c c x c c x c c x c x c c x c c x c c x c x c c c c x c c c c c c c t c x c c x c x c c x c x c c x c c c c x c h t c t x U

Mathematica veya Maple gibi programlardan yararlanmak gerekir. Çünkü hesaplamalar hem zaman alici hem de hata yapabilme orani yüksektir. Burada elde edilen (3.1.9) ayrisim serisinin terimleri, (3.1.10) seri formunda yerlerine yazilir ve Taylor açilimi kullanilirsa (3.1.1) denkleminin kapali formu

] 1 2 2 [ sec 2 ) , (x t c h2 c x c ct U = + +

seklinde elde edilir. Sayisal karsilastirma yapabilmek için lineer olmayan 2-boyutlu Boussinesq denkleminin ayrisim seri fonksiyonu ile analitik çözümünü göz önüne alacagiz. x t / 20 25 30 35 40 1 . 0 −1.13536×10−11 14 10 65003 . 7 × − − −5.15455×10−16 18 10 47311 . 3 × − − −2.34016×10−20 2 . 0 11 10 54354 . 4 × − − 13 10 06141 . 3 × − − 15 10 06276 . 2 × − − 17 10 38988 . 1 × − − 20 10 36493 . 9 × − − 3 . 0 10 10 02534 . 1 × − − 13 10 90868 . 6 × − − 15 10 65504 . 4 × − − 17 10 13654 . 3 × − − 19 10 11338 . 2 × − − 4 . 0 10 10 83324 . 1 × − − 12 10 23523 . 1 × − − 15 10 32291 . 8 × − − 17 10 60793 . 5 × − − 19 10 77859 . 3 × − − 5 . 0 10 10 88913 . 2 × − − 12 10 94668 . 1 × − − 14 10 31166 . 1 × − − 17 10 83791 . 8 × − − 19 10 95494 . 5 × − − 6 . 0 −4.20881×10−10 −2.83588×10−12 −1.9108×10−14 −1.28749×10−16 −8.67501×10−19 7 . 0 10 10 81331 . 5 × − − 12 10 91698 . 3 × − − 14 10 63924 . 2 × − − 16 10 77831 . 1 × − − 18 10 19821 . 1 × − − 8 . 0 10 10 72935 . 7 × − − 12 10 208 . 5 × − − 14 10 50912 . 3 × − − 16 10 36443 . 2 × − − 18 10 59314 . 1 × − − 9 . 0 10 10 98996 . 9 × − − 12 10 73118 . 6 × − − 14 10 53544 . 4 × − − 16 10 05595 . 3 × − − 18 10 05908 . 2 × − − 0 . 1 9 10 26352 . 1 × − − 12 10 51353 . 8 × − − 14 10 73637 . 5 × − − 16 10 86513 . 3 × − − 18 10 60431 . 2 × − −

Tablo 1. c=1 için ayrisim serisinin alti terimi kullanilarak elde edilen mutlak hatayi gösteren tablo.

Sekil 1. Iki boyutlu Boussinesq denklemi için genisletilmis ayrisim metodunun bes ve on terim kullanilarak elde edilen yaklasik çözüm ve analitik çözümü gösteren grafik.

t/x 20 25 30 35 40 1 . 0 15 10 87025 . 6 × − − 18 10 83508 . 5 × − − 21 10 95588 . 4 × − − 24 10 20916 . 4 × − − 27 10 57495 . 3 × − − 2 . 0 14 10 85325 . 2 × − − 17 10 42334 . 2 × − − 20 10 0582 . 2 × − − 23 10 74808 . 1 × − − 26 10 48469 . 1 × − − 3 . 0 −6.64626×10−14 −5.64484×10−17 20 10 79431 . 4 × − − 23 10 07193 . 4 × − − 26 10 45839 . 3 × − − 4 . 0 13 10 22546 . 1 × − − 16 10 04082 . 1 × − − 20 10 83993 . 8 × − − 23 10 50798 . 7 × − − 26 10 37672 . 6 × − − 5 . 0 13 10 99512 . 1 × − − 16 10 6945 . 1 × − − 19 10 43918 . 1 × − − 22 10 22234 . 1 × − − 25 10 03816 . 1 × − − 6 . 0 13 10 01246 . 3 × − − 16 10 55856 . 2 × − − 19 10 17305 . 2 × − − 22 10 84563 . 1 × − − 25 10 56754 . 1 × − − 7 . 0 13 10 33107 . 4 × − − 16 10 67849 . 3 × − − 19 10 12423 . 3 × − − 22 10 65349 . 2 × − − 25 10 25368 . 2 × − − 8 . 0 13 10 02288 . 6 × − − 16 10 11538 . 5 × − − 19 10 34463 . 4 × − − 22 10 69 . 3 × − − 25 10 13402 . 3 × − − 9 . 0 13 10 18272 . 8 × − − 16 10 94979 . 6 × − − 19 10 90264 . 5 × − − 22 10 01326 . 5 × − − 25 10 25789 . 4 × − − 0 . 1 16 10 09342 . 1 × − − 16 10 28671 . 9 × − − 19 10 88744 . 7 × − − 22 10 69901 . 6 × − − 25 10 68964 . 5 × − −

Tablo 2. c=2 için ayrisim serisinin alti terimi kullanilarak elde edilen mutlak hatayi gösteren tablo.

Sekil 2. iki boyutlu Boussinesq denklemi için genisletilmis ayrisim metodunun on terimi kullanilarak elde edilen yaklasik ve analitik çözümü gösteren grafik, a) c=1b) c=2

3.1.2. Genisletilmis Ayrisim Metodunun

(2+1)-Boyutlu Boussinesq Denklemine Uygulanmasi

Simdi 2. bölümde detaylica sunulan ve denklemlerde bulunan lineer olmayan terimler için hesaplanan Adomian polinomlarinin kullanilmasiyla

( )

2 − ₄ − =0,

−

− xx xx x yy

tt U U U U

U (3.1.11)

formundaki (2+1)-boyutlu Boussinesq denkleminin genisletilmis ayrisim metodu yardimiyla sayisal çözümlerini bulup, analitik çözümü ile karsilastiracagiz. (3.1.11)

denkleminde ₄ 4 2 2 2 2 , , x L x L t Lt x xx ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ve ₂ 2 y Ly ∂ ∂

= olmak üzere bu denklemi operatör formunda

( )

2 − − =0, − −LU U L U LU U L_{t x xx xx y} (3.1.12)

seklinde yazabiliriz. U

(

x,y,t

)

çözüm fonksiyonunu bulmak için (3.1.12) denklemine soldan L−t1 operatörünü uygularsak

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

LU x y t NU x y t L U x y t LU x y t

]

L y x tU y x U t y x U y xx x t , , , , , , , , 0 , , 0 , , , , 1 + + + + + = − (3.1.13)

esitligini elde ederiz. Burada −

()

=

∫∫

()

t t t dtdt L 0 0 1 . . integral operatörü ve

(

)

( )

xx u x y t U N 2 ,

, = ifadesi ise lineer olmayan terimi göstermektedir. Ayrisim metodu çözümü (3.1.4)

(

)

(

)

(

)

         +       +    _+      + + =

∑

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = − 0 0 0 0 0 1 ) , , ( ) , , ( ) ,..., ( ) , , ( 0 , , 0 , , , , n n y n n xx n n n n n x t t t y x U L t y x U L U U A t y x U L L y x tU y x U t y x U (3.1.14)

bulunur. Burada lineer olmayan N(U) =(U2)_xx fonksiyoneli ele alinarak A n

terimlerinin bazilari xx U A0 =( 02) , , ) 2 ( 0 1 1 U U xx A = xx U U U A₂ =(2 _{0 2}+ ₁2) , (3.1.15) xx U U U U A₃ =(2 _{0 3}+2 _{1 2}) , A4 = (2UU 2UU U )xx 2 2 3 1 4 0 + + ,

seklinde elde edebiliriz. Buna göre verilen baslangiç sartiyla birlikte (2+1) boyutlu Boussinesq denklemini genisletilmis ayrisim metodu ile çözerken asagidaki indirgeme bagintisini kullanacagiz, ) 0 , , ( ) , , ( 0 x yt U x y U = ,

(

0 0 0 0

)

1 1(x,y,t) tU (x,y,0) L LU A L U LU U = _t + _t− _x + + _xx + _y ,

(

)

, ) , , ( 1 1 t x k k xx k y k k x y t L LU A L U LU U ₊ = − + + + k ≥1 (3.1.16) Simdi (3.1.1) formundaki lineer olmayan (2+1)- boyutlu Boussinessq denklemini

[

( )

]

tan 6 ) 0 , , (x y R k2 2 2 k x y U = − α α +β

(

)

[

]

(

cos2 ( )

)

sec

[

( )

]

2 8 2 6 ) 0 , , ( 4 4 2 2 2 2 2 4 − + − + + + = y x k y x k a k R k y x U_t β α β α β α α α (3.1.17) baslangiç sartlari ile birlikte, genisletilmis ayrisim metodunu kullanarak bu denklemin çözüm fonksiyonunu arastiralim.

[

( )

]

tan 6 ) , ( 2 2 2 0 x t R k k x y U = − α α +β ,

(

)

(

[

]

)

[

]

[

( )

] [

tan ( )

]

, sec 12 ) ( sec ) ( 2 cos 2 8 2 6 ) , ( 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 4 1 y x k y x k k t y x k y x k k R t k t x U β α β α λ α β α β α β α α α + + + + + + − + + + =

(

)

(

(

)

[

]

(

2

)

cos

[

4 ( )

]

cos

[

6 ( )

]

2 cos

[

6 ( )

]

24 ) ( 2 cos 120 2 15 40 2240 80 40 )] ( [ sec 8 ) 2 1 ( 8 1 ) , ( 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 4 3 2 2 8 2 4 2 2 2 3 5 2 y x k kRt y x k k t y x k R k t y x k k R k t k t t k kRt k t y x k k R t k t x U β α α β α α β α β α α β α β α α α β α α α β α β α α α + + + + + + + − + − + − − − + + + + + + + − =

[

]

[

]

[

]

[

4 ( )

]

2 sin

[

6 ( )

]

, sin 16 ) ( 2 sin 38 ) ( 6 cos ) ( 6 cos 8 3 4 2 y x k y x k y x k y x k kt y x k t k β α λ β α λ β α λ β α β β α α + + + − + − + + + + (3.1.18) x t 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 . 0 10 10 06259 . 6 × − 10 10 06492 . 6 × − 6.0673×10−10 10 10 06973 . 6 × − 6.07221×10−10 2 . 0 9 10 42291 . 2 × − 2.42379×10−9 2.42468×10−9 2.42559×10−9 2.42652×10−9 3 . 0 9 10 44892 . 5 × − 5.45076×10−9 5.45265×10−9 5.45458×10−9 5.45655×10−9 4 . 0 8 10 68652 . 9 × − 9.68993×10−9 9.69281×10−9 9.69607×10−9 9.6994×10−9 5 . 0 8 10 51417 . 1 × − 1.51464×10−8 1.51512×10−8 1.51561×10−8 1.51611×10−8 6 . 0 8 10 18244 . 2 × − 2.1831×10−8 2.18378×10−8 2.18448×10−8 2.18519×10−8 7 . 0 8 10 97487 . 2 × − 2.97578×10−8 2.97672×10−8 2.97768×10−8 2.97866×10−8 8 . 0 8 10 89326 . 3 × − 8 10 8945 . 3 × − 8 10 89578 . 3 × − 8 10 89708 . 3 × − 8 10 89842 . 3 × − 9 . 0 8 10 9398 . 4 × − 4.9415×10−8 4.94323×10−8 4.94512×10−8 4.94682×10−8 0 . 1 8 10 11702 . 6 × − 6.11933×10−8 6.1217×10−8 6.12411×10−8 6.12658×10−8 Tablo 3. (1) denkleminin tam çözümü (11) ve 0≤n ≤3 olmak üzere elde edilen sayisal

sonuçlar ((φ₃(x,y,t)).

Böylece (3.1.6) denklemindeki Adomian polinomlarini (3.1.16) deki indirgeme bagintisi birlikte kullanilirsa serinin diger terimleri olan U₁,U₂,U₃,... terimlerini de buluruz. Burada elde edilen (3.1.18) ayrisim serisinin terimleri, (3.1.4) seri formunda yerlerine yazilirsa,

∑

∞ = + + + + = = 0 3 2 1 0 ... ) , , ( ) , , ( n n x y t U U U U U t y x U (3.1.19)

seklinde ayrisim serisinin çözüm fonksiyonu elde edilmis olur. Elde edilen bu çözüm fonksiyonunu,

[

( )

]

tan 6 ) , , (x y t R k2 2 2 k x y t U = − α α +β −λ

seklinde kapali formda da yazabiliriz.

Sayisal karsilastirma yapabilmek için lineer olmayan (2+1)- boyutlu Boussinesq denkleminin ayrisim seri fonksiyonu ile analitik çözümünü göz önüne alacagiz.

x t / 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 . 0 14 10 00269 . 6 × − 6.00274×10−14 6.00279×10−14 6.00284×10−14 6.00289×10−1 4 2 . 0 13 10 40115 . 2 × − 2.40117×10−13 2.40119×10−13 2.40121×10−13 2.40123×10−13 3 . 0 13 10 40277 . 5 × − 5.40282×10−13 5.40287×10−13 5.40292×10−13 5.40297×10−13 4 . 0 13 10 60527 . 9 × − 9.60536×10−13 9.60545×10−13 9.60554×10−13 9.60563×10−13 5 . 0 12 10 50088 . 1 × − 1.5009×10−12 1.50091×10−12 1.50093×10−12 1.50094×10−12 0.6 12 10 16136 . 2 × − 2.16138×10−12 2.1614×10−12 2.16142×10−12 2.16145×10−12 7 . 0 12 10 94198 . 2 × − 2.94201×10−12 2.94204×10−12 2.94207×10−12 2.9421×10−12 8 . 0 12 10 84277 . 3 × − 12 10 84281 . 3 × − 3.84285×10−12 3.84289×10−12 3.84293×10−12 9 . 0 12 10 86375 . 4 × − 4.8638×10−12 4.86385×10−12 4.8639×10−12 4.86396×10−12 0 . 1 12 10 00494 . 6 × − 6.00501×10−12 6.00507×10−12 6.00514×10−12 6.0052×10−12 Tablo 4. (1) denkleminin tam çözümü (11) ve 0≤n ≤5 olmak üzere elde edilen sayisal

sonuçlar.

Tablo 1-5 deki sonuçlar x ve t nin çesitli degerlerine karsilik gelen analitik ve yaklasik çözümün farki alinarak, yani mutlak hata U(x,y,t)−φ_n(x,y,t) formülü kullanilarak hesaplanmistir. Burada ayrisim serisinin terim sayisi arttikça elde edilen sayisal çözüm daha hassas olacagindan n degeri Tablo 1 de 3, Tablo 2 de 5 ve Tablo 3 de ise 10, olarak seçilmistir. Ayrica mutlak hata hesaplanirken Tablo 1 de α =0.01 , β =0.1,

1 = k , λ=0.1,y=0⋅5; Tablo 2 de α =0.01, β =0.1,λ =−0.1 , y=1 ; Tablo 3 de 01 . 0 =

α , β =0.1, λ =−0.1,y =10 alinarak hesaplamalar yapilmistir. Burada sayisal çözümün hassasligi x ve i t ve sabit degerlerin seçimi ve ayrisim serisinin terimlerinin i

x t / 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 1 . 0 14 10 24521 . 6 × − 6.24526×10−14 6.24531×10−14 6.24536×10−14 6.24541×10−14 2 . 0 13 10 49875 . 2 × − 2.49877×10−13 2.49879×10−13 2.49881×10−13 2.49883×10−13 3 . 0 13 10 62372 . 5 × − 5.62376×10−13 5.62381×10−13 5.62385×10−13 5.6239×10−13 4 . 0 12 10 00005 . 1 × − 1.00005×10−12 1.00006×10−12 1.00007×10−12 1.00008×10−12 5 . 0 12 10 563 . 1 × − 1.56301×10−12 1.56303×10−12 1.56304×10−12 1.56305×10−12 6 . 0 12 10 25135 . 2 × − 2.25137×10−12 2.25139×10−12 2.2514×10−12 2.25142×10−12 7 . 0 12 10 0652 . 3 × − 3.06522×10−12 3.06525×10−12 3.06527×10−12 3.0653×10−12 8 . 0 12 10 00466 . 4 × − 12 10 0047 . 4 × − 12 10 00473 . 4 × − 12 10 00476 . 4 × − 12 10 00479 . 4 × − 9 . 0 12 10 06986 . 5 × − 12 10 0699 . 5 × − 12 10 06994 . 5 × − 12 10 06998 . 5 × − 5.07002×10−12 0 . 1 12 10 2609 . 6 × − 12 10 26095 . 6 × − 12 10 261 . 6 × − 12 10 26105 . 6 × − 12 10 2611 . 6 × −

Tablo 5. (1) denkleminin tam çözümü (11) ve 0≤n≤10 olmak üzere elde edilen sayisal sonuçlar. -4 -2 0 2 4 x -4 -2 0 2 4 t -0.04 -0.02 0 0.02 u -4 -2 0 2 4 x -4 -2 0 2 4 x -4 -2 0 2 4 t -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 u -4 -2 0 2 4 x

-4 -2 0 2 4 x _-4 -2 0 2 4 t -0.1 -0.05 0 u -4 -2 0 2 4 x -4 -2 0 2 4 x _-4 -2 0 2 4 t -0.04 -0.02 0 0.02 u -4 -2 0 2 4 x

a) φ₅(x,y,t) yaklasik çözüm fonksiyonu b) Analitik çözüm fonksiyonu

-5 0 5 x -5 0 5 t -0.3 -0.2 -0.1 0 u -5 0 5 x -5 0 5 x -5 0 5 t -0.3 -0.2 -0.1 0 u -5 0 5 x

a) φ₁₀(x,y,t) yaklasik çözüm fonksiyonu b) Analitik çözüm fonksiyonu

Sekil 3. Lineer olmayan (2+1)- boyutlu Boussinesq denkleminin 0≤n≤10olmak üzere )

, , (x y t

n

φ yaklasik ve analitik çözüm fonksiyonlari, burada α =0.1 , β =0.1, k =1, 1

. 0

=

λ ,y=0⋅5 seklindedir.

Yukaridaki grafiklere dikkat edilecek olursa ayrisim serisinin terim sayisi arttikça yaklasik çözüm fonksiyonu analitik çözüm fonksiyonuna yaklasmaktadir. Sayisal çözümün hassasligi x ve i y , y ve sabit degerlerin seçimine bagli olarak i

degismektedir. x ve t degeri ne kadar sifira yakin seçilirse o kadar hassas sonuçlar elde edilmektedir. x ve t nin büyük degerleri için yakinsayan veya hassas sonuçlar elde edebilmek için ayrisim serisine daha çok terim eklemek gerekir.

Sonuç olarak, lineer olmayan iki ve (2+1)- boyutlu Boussinesq denkleminin çözümünün hassasligi x, t ve y degerlerinin uygun seçimine ve ayrisim serisinin terimlerinin çokluguna baglidir.

KAYNAKLAR

[1]Abbaoui, K. ve Cherruault, Y. ve Ndour M., 1995, The decomposition Method applied to differantial systems, Kybernetes, 24 (8), 32-40

[2]Abbaoui, K. ve Cherruault, Y. ve Seng, V., 1995, Practical formulae for the calculus of multivariable Adomian Polynomials, Math. Comput. Modelling, 22 (1), 89-93

[3]Abbaoui, K., 1995, Les fondoments mathématiques de la méthode décompositionelle d’Adomian et application a la résolution des équations issues de la Biologie et de la Médecine, These de Doctorat de I’Université de Paris VI, France.

[4]Adomian, G., 1994, Solving frontier problems of Physics: The decomposition method, Boston: Kluwer Academic Publishers.

[5]Cherruault, Y. , 1999, Optimisation, Méthodes Locales et Globales, Presses Univarsitaires de France.

[6]Debnath, L., 1998, Nonlinear Partial Differantial Equations for Scientists and Engineers, Birkhauser, Berlin.

[7]Karagöz, M., 1998, Istatistik Yöntemler, Malatya.

[8]Kreyzig, E., 1978, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley and Sons, New York.

[9]Wazwaz, A.M., 2000, A new algorithma for calculating Adomian polynomials for nonlinear operators, Appl. Math. Comput., 111, 33-51.

[10]Senthilvelan, M., 2001, On the extended applications of homogenious balance method, Appl.Math.Comput. 123 381-388.

[11]Cherruault, Y. , 1989, Convergence of Adomian’s method, Kybernetes, 18 (2), 31-38.

[12]Gabet, L., 1992, Modelisation mathématiques de la diffusion des Médicaments a travers les capillaires et dans les tissus a la suite d’une injection et esquisse d’une théorie décompositionelle et applications aux equations aux dérivées partielles, Thése de I’Ecole Centrale de Paris.

[13]Kreyszig, E., 1978 Intruductory Functional Analiysis with Applications, John Wiley and Sons, New York.

[14]Adomian, G., 1986, Nonlinear Stochastic Operator Equations, Academic Pres, San Diego.

[15]Kincaid, D. Cheney,W., 1990, Numerical Analysis, Cole Publishing Company, California.

ÖZGEÇMIS

12.01.1981 tarihinde Malatya ili, Dogansehir ilçesi, Sürgü kasabasi, Karsiyaka Mahallesinde dogmusum. Ilkokulu, Sürgü Karsiyaka Ilkokulunda okudum. Ortaokulu, Abdulkadir Eris Ilkögretim okulunda okudum. Liseyi, Sümer lisesinde okudum.1998 yilinda Malatya Meslek Yüksekokulu Tekstil bölümünü kazandim. Bu okuldan 2000 yilinda mezun oldum. 2001 yilinda Tokat Gaziosmanpasa Üniversitesi Matematik Bölümünü kazandim. Bu bölümden 08.08.2005 tarihinde mezun oldum. Su anda Elazig Firat Üniversitesinde Yüksek Lisans yapmaktayim.