Bir spektral problemin özdeğerlerinin sayısal analizi

Tam metin

(1)T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. BİR SPEKTRAL PROBLEMİN ÖZDEĞERLERİNİN SAYISAL ANALİZİ Şeyma TÜLÜCE YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KONYA,2010.

(2)

(3) ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ. BİR SPEKTRAL PROBLEMİN ÖZDEĞERLERİNİN SPEKTRAL ANALİZİ. Şeyma TÜLÜCE Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Hasan Köse. 2010, 35 Sayfa. Jüri : Yrd. Doç. Dr. Hasan Köse Doç Dr. Galip Oturanç Doç. Dr. Coşkun Kuş. Bu çalışmada ısı iletim ve titreşim problemleri gibi literatürün önemli problemlerine hazırlık teşkil etmesi bakımından regüler Sturm-Liouville sistemleri incelenmiştir. a x b için, P(x) 0 ve s(x) 0 olmak üzere, . . P x.

(4) . q x λ s x y 0. şeklinde tanımlanan regüler Sturm-Liouville sisteminin sınır şartları, özdeğer ve özvektör gibi temel kavramları verilmiştir. Birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımının bulunduğunda oluşan spektral problemin özdeğerleri ve özfonksiyonları incelenmiş ve sıcaklık dağılımı için formül yazılmıştır. Bazı özel haller için açık formüller elde edilmiş ve genel haller için asimptotik formüller elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville Sistemi, Spektral analiz, Özdeğer, Özvektör, Sıcaklık Dağılımı. i.

(5) ABSTRACT MASTER THESIS. NUMERICAL ANALYSIS OF EIGENVALUES OF SPECTRAL PROBLEM. Şeyma TÜLÜCE Selcuk University Graduate School Of Natural and Applied Sciences Department Of Mathematics Supervisor: Assist. Prof. Dr. Hasan Köse 2010, 35 Page. Jury : Assist. Prof. Dr. Hasan Köse Assoc.Prof.Dr. Galip Oturanç Assoc. Prof. Dr. Coşkun Kuş. In this study, regular Sturm-Liouville systems have been studied in order to form a preparation for the important problems of the literature such as heat conduction and vibration. For a x b , P(x) 0 and . . P x.

(6) . s(x) 0 , the equation. q x λ s x y 0. which is defined as regular Sturm-Liouville systems the boundary conditions and its basic terms such as eigenvalues and eigenvectors were given. The eigenvalues and eigenfunctions of the spectral problem arising in finding of the heat distibution in a composite medium consisting of two layers in contact are investigated and formula for the heat distribution is written. In some private conditions, the clear formulas were obtained and in some general conditions, asymptotic formulas were obtained. Key Words: Sturm-Liouville System, Spectral Analysis, Eigenvalue, Eigenvector, Heat Distribution. ii.

(7) ÖNSÖZ Mühendislik ve matematiğin arakesiti olan uygulamalı matematik, fizik ve mühendisliğin birçok probleminin modellemesi ve çözümünün bulunabildiği, matematiğin bir dalıdır. Bu tez çalışmasında [Oturanç,G. 1995]’de incelenen birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımı problemine sayısal değerler verilerek özdeğerlerin sayısal davranışı incelenmiştir. Yüksek Lisans Tez konumun seçimi ve yürütülmesi konusundaki büyük ilgi ve yardımları için Sayın danışmanım Yrd. Doç. Dr. Hasan Köse’ye ve Sayın Doç. Dr. Galip Oturanç’a teşekkür eder, saygılarımı sunarım.. Şeyma TÜLÜCE KONYA,2010. iii.

(8) SEMBOLLER a. : Yüzeyler için temas noktası. b. : Cismin bittiği nokta. C. : Katsayı. c. : Birim hacim için ısı kapasitesi. h. : Yüzey ısı transfer katsayısı. K. : Termal difüzivite. R(x,t) : x noktası ve t zamanındaki ısı üretim miktarı t. : Zaman. U(x,t) : x noktası ve t zamanındaki sıcaklık fonksiyonu U U. : Çevre sıcaklığı. U. : U(x,t) fonksiyonunun t’ye göre kısmi türevi. y(x). : Özfonksiyon(Eigenfunction). α. : Özdeğer(Eigenvalue). λ. β. ρ. : U(x,t) fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi. : Malzemenin gözeneklik katsayısı : Malzemenin termal iletim katsayısı. : sabit. iv.

(9) İÇİNDEKİLER ÖZET…………………………………………………………………………………i ABSTRACT………………………………………………………………………….ii ÖNSÖZ……………………………………………………………………………...iii SEMBOLLER……………………………………………………………………….iv İÇİNDEKİLER………………………………………………………………….……v 1.GİRİŞ……...………………………………………….……………………………1 2. STURM -LİOUVİLLE PROBLEMLERİ………………………...…………….2 2.1. Regüler Sturm-Liouville Problemleri………………….………………………..2 2.2. Sturm-Liouville Sisteminin Özdeğerleri……………………………….………..3 3. BİRLEŞİK ELEMANLARDA SICAKLIK DAĞILIMININ İNCELENMESİ…………………………………………………………………...12 3.1. Birleşik Elemanlarda Sıcaklık Dağılımı………………………………………..12 3.2. Değişkenlerine Ayırma Yöntemi Yardımcı Spektral Problem…………….…..13 3.3. Spektral Problemin İncelenmesi……………………………………………....15 3.4. Sıcaklık Dağılımı İçin Formül…………………………….…………………...29 3.5. Bileşik Elemanlarda Sıcaklık Dağılımındaki Özdeğerlerin Maple Programı İle Çözümü………………………………………………………..29 4. SONUÇ…………………....……………………………………………..……..…34 5. KAYNAKLAR…………………………………………………………..……..…35. v.

(10) 1. 1. GİRİŞ Bir diferansiyel denklemin bazen bilinmeyen katsayılar içeren genel çözümünü bulmakla yetiniriz. Bazı durumlarda ise, diferansiyel denklemin belirli şartları sağlayan çözümlerinin bulunması gerekir. Bu şartlar, genellikle problemin yapısında vardır veya doğrudan denklemle birlikte verilir. Adı geçen şartlar yalnız bir noktaya ait özel şartlar ise başlangıç şartları, eğer iki veya daha fazla noktayı kapsayan şartlar ise o zaman sınır şartları adını alır. Örnek olarak,

(11) . g 0,. y 0 0,. y " 0 V. (1.1). denklemini ve başlangıç şartlarını göz önüne alalım. Bu denklem, g sabit ivmesi ile doğrusal hareket yapan bir hareketlinin denklemidir. Başlangıç şartlarından. anlaşıldığına göre, t 0 anında hareketli cismin başlangıç noktasından y. uzaklığında bulunmakta olup aynı anda hızı V ‘dır. (1.1) denkleminin bu şartlara. uyan genel çözümü,. y y V t % g t % . (1.2). olur. [Aydın, M., Kuryel, B., Gündüz, G., Oturanç, G. 2001.] Bu çalışmada, bazı diferansiyel denklemlerin integrasyon sabitlerinin. belirlenmesinde, a x b aralığının iki ucunda, başka bir deyişle iki noktada verilen. ve “sınır şartları” olarak adlandırılan şartları göz önüne alıp, Sturm-Liouville. diferansiyel denkleminin yapısı incelenmiş, birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımında spektral problemin özdeğerleri ve özfonksiyonları üzerinde durulmuştur. Birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımında spektral problemin özdeğerleri nümerik olarak hesaplanmıştır..

(12) 2. 2. STURM -LIOUVILLE PROBLEMLERİ 2.1. Regüler Sturm-Liouville Problemleri Sınır-değer problemleri arasında Sturm-Liouville probleminin önemli bir yeri vardır. Genel olarak sınır-değer problemi denildiği zaman ilk akla gelen, SturmLiouville problemidir. Sturm-Liouville problemi ilk olarak 19. yüzyılın ortalarında C. Sturm ve J. Liouville tarafından incelenmiştir. Asıl adı Jacques Charles Francois olan Sturm, 1903-1955 yılları arasında yaşamış, Fransız asıllı İsviçreli matematikçidir. Analiz ve fiziksel matematik üzerinde çalışmıştır. Asıl adı Joseph olan Liouville ise 1809-1882 yılları arasında yaşamıştır. Fransız analizcisi ve geometricisidir. Daha sonra 20. yüzyılın başlarında D. Birkhoff (1909) tarafından incelenmiştir. Bu çalışmalarda regüler sınır şartları, özdeğerler ve bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlara bağlı fonksiyonlar sistemi verilmiştir. Sturm-Liouville problemlerinin yaklaşık özdeğerlerini hesaplamak için bir çok nümerik metod mevcuttur. Nümerik örnekler ile özdeğer problemleri çift tamlık aritmetiği kullanılarak Matlab da. EIG(A, B, ‘chol’) fonksiyonu ile de çözüme. ulaşılmaya çalışılmıştır. Bu çalışmada ise, Maple programını kullanarak birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımında özdeğer çözümü hesaplanmıştır. İlk olarak Sturm-Liouville sistemlerini inceleyelim. . . P x q x λ s x y 0

(13). (2.1). diferansiyel denklemine Sturm-Liouville Denklemi denir. Burada λ bir parametre. olmak üzere, P(x), q(x) ve s(x) fonksiyonları. a x b. aralığındaki bütün x. değerleri için reel fonksiyonlardır. Çözümlerin varlığını garanti edebilmek için bu aralıkta q(x) ve s(x) sürekli, P(x) ise türevlenebilir fonksiyonlardır.. Eğer P(x) ve s(x) fonksiyonları [a,b] aralığında pozitif yani P(x) 0. ve. s(x) 0 ise (2.1) denklemi ile verilen Sturm-Liouville denklemlerine [a,b] aralığında regüler(düzgün)’dir denir. L. . . p x.

(14) . q x.

(15) 3. operatörünü kullanırsak (2.1) diferansiyel denklemi, Ly λ s x y 0. (2.2). şeklini alır.. a x b aralığında her λ. değeri için regüler Sturm-Liouville denkleminin. C% sınıfında iki lineer bağımsız çözümü vardır. Bir Sturm-Liouville denklemi, a y a a% y " a 0. b y b b% y " b 0. (2.3). olarak verilen sınır koşulları ile birlikte Sturm-Liouville sistemi olarak tanımlanır.. Burada a , a% , b , b% ’ler reel sabitler olup, a% a%% * 0 ve b% b%% * 0’dır.. 2.2. Sturm-Liouville Sisteminin Özdeğerleri Bir Sturm-Liouville sistemi için aşikar olmayan (sıfıra özdeş olmayan) çözümler varsa. λ. değerlerine “özdeğer”. ve karşılık gelen çözümlere de. “özfonksiyon” denir. Örnek 2.2.1. y ′′ λy 0. y 0 0 ,. y " π 0. sınır-değer problemi aşağıdaki gibi çözülebilir. Bu problem özel bir Sturm-Liouville probleminden başka bir şey değildir. (2.1). denkleminde P(x) = 1, q(x) = 0 ve s(x) = 1 alınırsa y "" λy 0 denklemi elde. edilir.. Bu problemin sıfır çözümünden başka bir çözümünü bulmak için λ ‘ nın 3 ayrı. halini λ 0, λ , 0, λ 0 ayrı ayrı göz önüne almak gerekmektedir..

(16) 4. - λ , 0 için λ µ% alındığında, y "" λy 0. m% µ% 0 m 0µ. y x Aeµ Be4µ. (2.4). olur. Sınır şartları aşağıdaki gibi uygulanabilir. y 0 0. y 0 Ae Be 0 AB0 A B. y " x Aµeµ Bµe4µ. y " π Aµeµ5 Bµe4µ5 0. =µ Aeµ5 Be4µ5 0. µ * 0 olduğu için eµ5 * 0 ve. e4µ5 * 0. yazılabilir. O halde A B 0. olmalıdır. O zaman denklem y x 0 aşikar çözümüdür. ii) λ 0 için y "" 0 y "" 0. elde edilir.. y" A. y AxB olur. Sınır şartları uygulandığında y 0 0 sınır şartı için,. y 0 A 0 B 0 olduğundan, B 0 elde edilir. y " π 0 sınır şartı için,. y " x A olduğundan, y " π A 0 elde edilir.. (2.5).

(17) 5. O halde λ 0 için de aşikar çözüm elde edilir.. iii) λ 0 için durum daha farklıdır. m% λ 0 m% λ. m% i% λ olur.. m 0i√λ Denklem ise, y x c e9√: c% e49√: . c cos<√λ x= i sin √λ x c% cos √λ x i sin √λ x cos √λ x c c% sin √λ x i c c% . Burada c c% A ve i c c% B koyulursa, y x A cos √λ x B sin √λ x. olur. Sınır şartları uygulanırsa,. y 0 A cos 0 B sin 0 y 0 A. y 0 0 koşulundan A 0 bulunur.. y " x √λ A sin √λ x √λ B cos √λ x. y " π √λ A sin √λ π √λ B cos √λ π y " π 0 √λ B cos √λ π y " π √λ B cos √λ π). y " π 0 olduğundan √λ B cos √λ π 0 olmalıdır.. (2.6).

(18) 6. B = 0 ve λ * 0 seçimi aşikar çözümü vereceğinden B * 0 ve. cos √λ π 0. almalıyız.. cos √λ π 0. cos √λ π cos ? √λ . Aπ ,. %@ 4. %@ 4. %. n 1, 2, … . %. olup özdeğerler, λ@ ?. %@ 4 % %. A. şeklindedir. Karşılık gelen özfonksiyonlar , B c@ olduğunda θ@ x c@ sin ?. Ax ,. n 1, 2, … . %@ 4 %. şeklindedir. [Korum, D. 2002.] Örnek 2.2.2. y "" λy 0 y 0 0 ,. y π 0. sınır-değer problemi aşağıdaki gibi çözülebilir. Bu problem özel bir Sturm-Liouville problemidir.. i) λ 0 ise bu durumda denklemin genel çözümü, y AxB. (2.7). olur. Sınır şartları genel çözüme ayrı ayrı uygulanırsa, açıkça görülür ki, A B 0 elde edilir. λ 0. için verilen sınır-değer probleminin tek çözümü “sıfır”. çözümüdür.. ii) λ , 0 ise bu durumda denklemin kökleri 0√λ ‘dır. Burada √λ α ile. gösterilirse adı geçen kökler α O halde genel çözüm,. y AeE Be4E. ve. α. gibi birbirinden farklı iki reel sayıdır.. (2.8).

(19) 7. olur. Sınır şartları yukarıdaki denkleme uygulanırsa, AB0. AeE5 Be4E5 0. elde edilir. Burada katsayılar determinantı, 1 ∆ G E5 e. e. 1. 4E5 G. *0. olduğundan, λ , 0 olması halinde de problemin tek çözümü “sıfır” çözümüdür. iii) λ 0 ise bu durumda denklemin kökleri. eşlenik kompleks sayıdır. Denklemin genel çözümü,. 0√λ 0i √λ. y x A cos √λ x B sin √λ x. şeklinde iki. (2.9). olur. Sıra ile sınır şartlarını denkleme uygulayalım. y 0 A cos 0 B sin 0 y 0 A 0 0. olur. Buradan A 0. bulunur. İkinci sınır şartını uygulayalım.. y π A cos √λ π B sin √λ π y π 0 B sin √λ π y π B sin √λ π. olur. Buradan, B sin √λ π 0. elde edilir. B * 0 ve sin √λ π 0. olması halinde aşikar olmayan çözümler. elde edilir.. sin √λ π sin nπ √λ n. λ@ n% ,. n 1, 2, … .

(20) 8. değerleri denklemi sağlar. Bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyon, B c@ olduğunda. θ@ x c@ sin nx ,. n 1, 2, … . şeklindedir. [Korum, D. 2002.] Örnek 2.2.3.

(21) . λy0. y 0 0 ,. y L 0. problemi aşağıdaki gibi çözülebilir.. i) λ 0 için tek çözüm “sıfır” çözümüdür.. ii) λ , 0 için,. y c eE c% e4E y c c% 0. (2.10). y L c eEH c% e4EH 0. katsayılar determinantı, 1 ∆ G EH e. e. 1. 4EH G. *0. olduğundan, λ , 0 için sistemin tek çözümü “sıfır” çözümüdür. iii) λ 0 için,. y x c sin √λ x c% cos √λ x y 0 c sin 0 c% cos 0 0 c% 0. y L c sin √λ L c% cos √λ L c sin √λ L 0. c * 0 için. sin √λ L 0. sin √λ L sin nπ. (2.11).

(22) 9. √λ L nπ √λ . @π H. olur. O halde karakteristik kökler, @π %. λ@ ? A H. şeklindedir. Bu karakteristik köklere karşılık gelen karakteristik fonksiyonlar ise, θ@ x c@ sin H x @π. şeklindedir. [Korum, D. 2002.] Örnek 2.2.4. . . x λ 0

(23).

(24). y ′ 1 0 , y ′ e%π 0 Sturm-Liouville probleminin karakteristik değerlerini ve karakteristik fonksiyonlarını bulunuz.. i) λ 0 ise bu durumda diferansiyel denklem . . x 0

(25). olur. Bu denklemin genel çözümü, x c

(26). y c ln x c elde edilir. Sınır şartlarını uygulamadan önce y’nin birinci türevi, y ′ c . . bulunur.. (2.12).

(27) 10. Sınır şartları uygulanırsa, y ′ 1 c 0 . ve y ′ e%π c. . Jπ. 0. olur. Görülüyor ki c 0 ‘dır. Bu değer denklemde yerine koyulursa, y c@ ,. n 1, 2, 3, … . elde edilir. Burada c@ sıfırdan farklı herhangi bir keyfi sabit sayıdır. λ 0 için karşılık gelen sıfır çözümünden farklı olan özfonksiyon, y c@ ’dir.. ii) λ 0 ise bu durumda x e değişken değiştirmesi yapılırsa,

(28) . λy0. ve genel çözüm olarak, y c sin √λ t c% cos √λ t veya y c sin √λ ln x c% cos √λ ln x elde edilir. Denklemin birinci türevi alınırsa, y ′ c. √λ . cos √λ ln x c%. √λ . sin √λ ln x. bulunur. Burada sınır şartları uygulanırsa, y ′ c √λ cos 0 c% √λ sin 0 0. ve buradan c √λ 0 veya c 0 elde edilir. İkinci sınır şartının uygulanmasından,. y ′ e%π c Jπ cos √λ ln e%π c% Jπ sin<√λ ln e%π = 0 √λ. veya c% √λe4%π sin 2π√λ 0. √λ. (2.13).

(29) 11. bulunur. Sıfır çözümünden farklı bir çözümün gerçekleşebilmesi için, sin 2π√λ 0 veya 2π√λ nπ ,. n 1, 2, 3, … . olmalıdır. Buradan, λ@ . @ L. ,. n 1, 2, 3, … . ve buna bağlı olarak karakteristik fonksiyonlar, θ@ x c@ cos ?% ln xA @. elde edilir. [Korum, D. 2002.].

(30) 12. 3. BİRLEŞİK ELEMANLARDA SICAKLIK DAĞILIMININ İNCELENMESİ Birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımı ve ısı geçişi birçok endüstri problemlerinde karşılaşılan bir konudur. [Özışık, N. 1980] monografisinin 8. bölümünde birbiri ile temasta bulunan birkaç tane farklı paralel levhalardan oluşan birleşik cisimde sıcaklık dağılımı için, yardımcı spektral problemin özdeğerleri ve özfonksiyonları cinsinden formül yazılmıştır. Bu yüzden ilgili spektral problemin özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının bulunması gerekmektedir. Burada yardımcı spektral problemin sonsuz sayıda özdeğerlerinin varlığı matematiksel olarak ispatlanmış, bazı özel hallerde özdeğerlerinin açık şekli bulunmuş, genel halde ise özdeğerler için asimptotik formül elde edilmiştir. [Oturanç, G. 1995] 3.1. Birleşik Elemanlarda Sıcaklık Dağılımı Birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımının hesaplanmasında kullanılan sınır koşullarını vermeden önce kurulacak probleme ilişkin bir boyutlu ısı geçişi denklemi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir. Tanım 3.1.1. t zamanı göstermek üzere, t 0 , x yolu boyunca. U(x,t) iki değişkenli. fonksiyonu birimsizleştirilmiş (boyutsuzlaştırılmış) sıcaklık dağılımını göstersin. Genel olarak MN , M. K. M N , M. 1⁄c R x, t hU x, t U . (3.1). ifadesine zamana bağlı bir boyutlu sıcaklık dağılımı denklemi denir. [Churchill, R. V. 1972.] Eşitlik (3.1)’de c, birim hacim başına ısı kapasitesi R(x,t), t zamanında x yolu boyunca “üretilen ısı” , “K” “termal difuzivite”, h, pozitif değerli “yüzey ısı transfer. katsayısı” ve U ise “çevre sıcaklığıdır”..

(31) 13. Eşitlik itlik (3.1)’de U(x,t) ve R(x,t) fonksiyonları dışında dı ında kalan büyüklükler genellikle uygulamada sabit olarak kabul edilirler. Isı iletim katsayıları katsayıları. ,. olan. iki malzemenin ”a” sınırında temas ettiklerini varsayılsın, (Şekil ( ekil 3.1).. Şekil 3.1. İki levha arasında ısı geçişi x=a noktasında genel ısı üretimi ve ısı soğurması so urması olabilir. Bu durumda ve x. x gösterimleri kullanılmak üzere; (t. ). (t. ). (3.2). eşitlikleri itlikleri yazılabilir. [Churchill, R. V. 1972.], burada. ,. sabitlerdir.. değerleri ğerleri ise, ısı iletim. ,. değ değerleri gözeneklik katsayıları,. ,. ve. ,. pozitif. katsayılarıdır. [Özışık, şık, N. 1980.] 3.2. Değişkenlerine kenlerine Ayırma Yöntemi Yardımcı Spektral Problem Değişkenlerine kenlerine ayırma yöntemi (Fourier yöntemi) kısmi türevli diferansiyel denklemlerinin çözümünde oldukça kullanışlı kullanı lı bir yöntem olup, literatürde de oldukça yoğun bir şekilde ekilde yer almaktadır. Değişkenlere De ayırma yöntemi ntemi ile çözüm bulmada özdeğer er ve özvektörlerin (özfonksiyonların) teorik olarak incelenmesi spektral teori bilimi çerçevesi içinde araştırılmaktadır. ara Eşitlik (3.1)’de R(x,t). ve h. olması. durumunda, x = a noktasındaki iki farklı cismin teması aşağıda a ğıdaki koşullar altında verilsin..

(32) 14. SU K U 0 , x , a, t 0 T U K % U a , x , b, t 0. (3.3). U(0, t) = 0 , U(b, t) = 0 (dış sınır koşulları). (3.4). S U a 0, t αU a 0, t T (iç temas koşulları) U a 0, t βU a 0, t. (3.5). U(x, 0) = f(x) , 0 , x , b (başlangıç koşulu). (3.6). Burada K , K % ve α, β pozitif sabitlerdir.. (3.6) başlangıç koşulunu dikkate almaksızın (3.3) denkleminin (3.4) ve (3.5) koşullarını sağlayan çözümünü U(x, t) = e4λ y(x),. 0,x,b. (3.7). şeklinde arayalım, burada λ kompleks değerler alabilir parametredir, y(x) fonksiyonu ise, t’ye bağlı olmayıp λ’ya bağlı olabilir. (3.7) ifadesi (3.3), (3.4) ve (3.5) denklemlerinde yerine konulduğunda , y ′′ x λρ% y x ; 0 , x , a S V y ′′ x λρ%% y x ; a , x , b. (3.8). y(0) = y(b) = 0. (3.9). S y a 0 α y a 0 T y ′ a 0 β y ′ a 0. (3.10). elde edilir. Burada ρ 1⁄WK , ρ% 1⁄WK % olarak alınmıştır. U(x, t) = e4λ y(x) ise, U x, t e4λ y ′ x. U x, t e4λ y ′′ x.

(33) 15. y ′′ x . NXX ,. . JYλZ. [ N \[ Z JYλZ. . ][ . ][. U eλ. . λe4λ y x eλ. ] . λy x . [. y ′′ x ] . λy x olur. O halde . [. y ′′ x ] . λy x . [. elde edilir. Burada ρ% . . ][. koyulursa istenilen elde edilir. ρ 1⁄WK olur. Aynı. şekilde (3.6) denkleminin x’e göre birinci ve ikinci türevleri alınıp U K % U a , _ , b, t 0. denkleminden U çekilip yerine yazılarak ρ% 1⁄WK % olduğu da ispatlanabilir.. [Oturanç, G. 1995.]. 3.3. Spektral Problemin İncelenmesi Tanım 3.3.1. Eğer bir kompleks λ değerinde (3.8), (3.9), (3.10) probleminin özdeş olarak sıfır olmayan bir y(x) çözümü varsa, bu λ değerine (3.8), (3.9), (3.10) probleminin özdeğeri ve y(x) çözümüne de λ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyonu denir. [Oturanç, G. 1995.] Böylece (3.3), (3.4), (3.5) probleminin (3.7) şeklinde çözümünün varlığı için gerek ve yeter koşul λ’nın (3.8), (3.9), (3.10) probleminin özdeğeri ve y(x)’in de bu özdeğere karşılık gelen özfonksiyonu olmasıdır..

(34) 16. (3.8), (3.9), (3.10) probleminin bütün özdeğerlerinden oluşan kümeye bu problemin spektr‘i denir. Özdeğerlerin incelenmesi problemine de spektral problem denir. Önerme 3.3.1. (3.8), (3.9), (3.10) probleminin özdeğerleri reeldir. [Oturanç, G. 1995.] İspat : λ kompleks değerli (3.8), (3.9), (3.10) probleminin özdeğeri ve y(x) de. bu özdeğere karşılık gelen özfonksiyon olsun. Eşitlik (3.8) ile verilen denklemler y`. ile çarpılıp tanımlı oldukları aralıklarda integre edilirse; b `````` dx λρ% ab|y x |% dx a y ′′ x y x . ve e `````` dx λρ% ae|y x |% dx ab y ′′ x y x % b. elde edilir. Kısmi integrasyondan, `````` ve dv y ′′ x dx alınırsa, u y x. ′ x dx `````` dx y ′ x y x `````` a y ′ x y`````` a y ′′ x y x. yazılabilir. Bu denklem tanımlı aralıklarda yazılıp bu iki eşitlikte yerine koyulursa sırasıyla, b `````` ′ x dx λρ% ab|y x |% dx ``````````` y ′ a 0 y a 0 a y ′ x y . e `````` ′ x dx λρ% ae|y x |% dx ``````````` y ′ a 0 y a 0 ab y ′ x y % b. elde edilir. Eşitlik (3.10)’dan, % b b ``````````` αβ y ′ a 0 y a 0 a hy ′ x h dx λρ% a |y x |% dx % e e ``````````` y ′ a 0 y a 0 ab hy ′ x h dx λρ%% ab |y x |% dx. (3.11) (3.12). elde edilir. Eşitlik (3.12)’in her iki tarafını αβ ile çarpılıp eşitlik (3.11) ile taraf tarafa toplanırsa,.

(35) 17. a |y " x |% dx αβ ab |y " x |% dx λρ% a |y x |% dx αβ λρ%% ab |y x |% dx b. e. b. e. (3.13). elde edilir. Bu son eşitliklerden; λ. %. %. a hy ′ x h dx αβ ab hy ′ x h dx b. e. ρ% a |y x |% dx αβ ρ%% ab |y x |% dx b. e. yazılabilir. Bu son eşitlikten görüleceği üzere λ reeldir. Önerme 3.3.2. (3.8), (3.9), (3.10) probleminin birbirinden farklı λ ve λ% özdeğerlerine. karşılık gelen y (x) ve y% (x) özfonksiyonları aşağıdaki “ortogonallik” bağıntısını. sağlar.. , y , y% 0 olmak üzere,. % ```````` ```````` ρ% a y x y % x dx αβ ρ% ab y x y% x dx b. e. (3.14). yazılır. [Oturanç, G. 1995.] İspat : Önce 0 , x , a aralığını inceleyelim. y′′ x λ ρ% y x. y%′′ x λ% ρ% y% x. (3.15) (3.16). Eşitlik (3.15)’in her iki tarafını y```````` ile eşitlik (3.16)’nın eşleğini alıp her % x. iki tarafını y x ile çarpalım.. % ```````` ```````` y′′ x y % x λ ρ y x y% x. ``````` ′′ % ```````` y x y % x λ% ρ y x y% x. Bu iki denklemi birbirinden çıkarıp 0 , x , a aralığında integralleyelim. b ``````` ′′ % b ```````` ```````` a y′′ x y % x y x y% x dx λ λ% ρ a y x y% x dx.

(36) 18. kısmi integrasyon ile çözülüp sınırlar için eşitlik (3.9) ve (3.10) yazılıp, kısmi integrasyondan, ′′ ```````` uy % x ve dv y x dx alınırsa,. b b ′ ′ ``````` ′ ``````` ```````` a y′′ x y % x dx y x y% x a y x y% x dx. u y x ve dv ``````` y%′′ x dx alınırsa,. b b ```````` ``````` ``````` ′ ′′ ′ ′ a y x y % x dx y x y% x a y% x y x dx. elde edilir. Bu ifadeler yerine yazılırsa, b ′ b ```````` ``````` ′ ``````` ′ ′ ′ ′ ``````` ′ ``````` ``````` y′ x y % x a y x y% x dx y x y% x a y% x y x dx y x y% x y x y% x. b ``````` % b ′ ``````` ```````` iy′ x y % x y x y% x j λ λ% ρ a y x y% x dx. ```````````` ′ % b ```````````` ```````` y′ a 0 y % a 0 y a 0 y% a 0 λ λ% ρ a y x y% x dx. (3.17). elde edilir. Eşitlik (3.15) ve (3.16) için aynı işlemler a , x , b aralığı için yapılırsa, y′′ x λ ρ%% y x. y%′′ x λ% ρ%% y% x. alındığında, % ```````` ```````` y′′ x y % x λ ρ% y x y% x. ``````` ′′ % ```````` y x y % x λ% ρ% y x y% x. yazılabilir. Bu iki denklem birbirinden çıkarılıp a , _ , b aralığında integrallenirse, eşitlik (3.9) ve (3.10) yardımı ile. ```````````` ′ % e ```````````` ```````` y′ a 0 y % a 0 y a 0 y% a 0 λ λ% ρ% ab y x y% x dx. elde edilir. Eşitlik (3.10), (3.17) ve (3.18) yardımı ile λ * λ% olduğu için,. (3.18).

(37) 19 % ```````` ```````` ρ% a y x y % x dx αβ ρ% ab y x y% x dx 0 b. e. elde edilir. Önerme 3.3.3. (3.8), (3.9), (3.10) probleminin özdeğerleri bir katlıdır. Yani her özdeğere sadece bir tane lineer bağımsız özfonksiyon karşılık gelir. [Oturanç, G. 1995.] İspat : Bir λ özdeğerine iki tane lineer bağımsız y x ve. y% x. özfonksiyonlarının karşılık geldiğini varsayalım. O halde (0, a) ve (a, b). aralıklarından en az birisi üzerinde y x ve y% x özfonksiyonları birbirleri ile lineer bağımsız olmalıdır.. Aksini kabul edelim; y% x C y x. y% x C% y x. (0 , x , a). (a , x , b). olacak şekilde C ve C% sabitleri vardır. Bu ifadeler eşitlik (3.5)’de yerine yazılırsa sırasıyla,. y a 0 αy a 0. y% a 0 αy% a 0 ve y′ a 0 βy′ a 0. y%′ a 0 βy%′ a 0. C y a 0 αC% y a 0 C y′ a 0 βC% y′ a 0. Buradan, C C% olduğu görülür. Çünkü y(x) * 0 dır. O halde her özdeğere. sadece bir tane lineer bağımsız özfonksiyon karşılık gelir..

(38) 20. Özdeğerleri incelemek için onların sağladığı denklemi (karakteristik denklemi). bulalım. Bu amaçla φ x, λ (0 , x , a) ile y ′′ x λρ% y x. 0,x,a. φ 0, λ 0 , φ′ 0, λ 1. (3.19) (3.20). ve Ψ x, λ (a , _ , k) ile de, y ′′ x λρ%% y x. a,x,b. (3.21). denkleminin Ψ b, λ 0 , Ψ′ b, λ 1 başlangıç şartlarını sağlayan çözümü gösterilsin. Önerme 3.3.4. (3.8), (3.9), (3.10) probleminin λ özdeğerleri χ λ l. φ a 0, λ φ′ a 0, λ. αΨ a 0, λ l βΨ′ a 0, λ. χ λ β φ a 0, λ Ψ′ a 0, λ α φ′ a 0, λ Ψ a 0, λ fonksiyonunun kökleri ile çakışır. [Oturanç, G. 1995.] İspat : Eşitlik (3.19)’ un y(0) = 0 şartını sağlayan çözümü y(x) = C φ x, λ. (0 , x , a). şeklinde, Eşitlik (3.21)’ in y(b) = 0 şartını sağlayan çözümü de y(x) = C% Ψ x, λ. (a , x , b). şeklindedir. O halde y(x) çözümünün eşitlik (3.10) şartını sağlaması için C φ a 0, λ α C% Ψ a 0, λ. C φ′ a 0, λ β C% Ψ′ a 0, λ. (3.22).

(39) 21. eşitlikleri sağlanmalıdır. y(x)’ in aşikar olmaması için C ve C% ’ nin en az biri. sıfırdan farklı olmalıdır. Buradan, χ λ l. φ a 0, λ φ′ a 0, λ. αΨ a 0, λ l=0 βΨ′ a 0, λ. elde edilir. Eşitlik (3.8), (3.9), (3.10) probleminin özdeğerlerinin varlığını incelemek için bu özdeğerlerin sağladığı denklem (karakteristik denklem) elde edilmelidir. Bu. amaçla eşitlik (3.8)’de λ s % yazılırsa,. y ′′ x s % ρ% y x ; 0 , x , a) y ′′ x s % ρ%% y x ; a , x , b). elde edilir. Eşitlik (3.8)’ in, Eşitlik (3.9) koşullarını sağlayan genel çözümü y x C. y x C%. m9@ m ρ[ . , 0,x,a. m. m9@m ρ e4 . , a,x,b. m. şeklinde olur. Burada C ve C% keyfi sabitlerdir. C. m9@m ρ[ b m. = α C%. m9@m ρ e4b m. ρ C cos s ρ a βρ% C% coss ρ% b a . elde edilir. Buradan C. m9@m ρ[ b m. α C%. m9@m ρ e4b m. =0. ve C ρ cos s ρ a C% βρ% cos s ρ% b a 0 şeklinde elde edilir. Bu son iki denklemde katsayılar matrisinin determinantı. (3.23).

(40) 22. m9@ m ρ[ b. α. m9@m ρ e4b . m n0 ∆ s n ρ cos s ρ a βρ% coss ρ% b a m. olarak yazılır. Bu determinant açılırsa,. ∆ s βρ%. m9@ m ρ[ b m. coss ρ% b a αρ cos s ρ a. m9@m ρ e4b m. = β %m osin s iρa ρ% b a j sin s iρ a ρ% b a j p ρ. α %m[ osin s iρ a ρ% b a j sin s iρ a ρ% b a j p ρ. =0 . %m. αρ βρ% sin sρ a ρ% b a . . %m. αρ βρ% sinρ aρ% b a 0. bulunur. A αρ βρ%. , B = αρ βρ%. δ ρ a ρ% b a , γ ρ a ρ% b a. (3.24). olmak üzere ∆ s . . %m. A sin sδ B sin sγ 0. (3.25). şeklinde elde edilir. Buradan ∆ s 0. (3.26). elde edilir. Burada A 0 , ∞ , B , ∞ ve α 0, β 0 olmak üzere,. G G G t. u. Ev[ 4wv Ev[ xwv. G ,1. (3.27).

(41) 23. δ0 ,. G G=G y. z. ∞ , γ , ∞ olmak üzere,. v[ b4v e4b. v[ bxv e4b. G , 1. (3.28). elde edilir. ∆ 0 * 0 olduğu gösterilebilir. Doğrudan da, Eğer γ 0 ise Eşitlik (3.25)’ den. ∆ 0 . %. Aδ*0. Eğer γ * 0 ise yine Eşitlik (3.25)’ den ∆ 0 . %. A δ Bγ. % αρ βρ% ρ a ρ% b a αρ βρ% ρ a ρ% b a . % {αa ρ% α b a ρ ρ% βaρ ρ% β b a ρ%% . αaρ% α b a ρ ρ% βaρ ρ% β b a ρ%% | αa ρ% β b a ρ%% * 0. bulunur. Bu sonuçtan sonra aşağıdaki özel durumlar incelenebilir. i) B = 0 olsun. [} ρ a ρ% b a ~ ∆ s . u m9@ mz %. m. S 0 değeri (3.8), (3.9) problemi için özdeğer vermiyor. Çünkü bu değer için. (3.8), (3.9) probleminin yalnızca sıfır çözümü vardır. Ayrıca ∆ 0 * 0 olduğunu da ∆ s * 0 ~ sδ nπ , n 01, 02, … ~ S@ nπδ , n 01, 02, …. biliyoruz.. % λ@ S@% nπδ % π⁄ρ a ρ% b a . n , n 1, 2, 3, …. Eşitlik (3.23)’de C 1 kabul edilerek,.

(42) 24. C% . m9@ m v[ b. E m9@m v e4b . elde edilir. O halde öz fonksiyonlar sin s@ ρ x m m9@ m v[ b . y@ x . E m m9@m v e4b . şeklinde elde edilir.. ,. 0,x,. sins@ ρ% b x , a , _ , k. S. (3.29). ii) γ 0 olsun. [} ρ a ρ% b a ]. yukarıdaki durum ile aynı olan sonuç elde edilir iii) γ . z %. olsun.. ρ a ρ% b a . v[ bxv e4b %. 2 ρ a 2 ρ% b a ρ a ρ% b a ρ a 3 ρ% b a. ρ% . b. e4b. ρ veya a v. v[ x v. elde edilir. Bu durumda sağlanır.. ∆ s 0 . %m . %m. . %m. 1). v. v[ x v. b. , 1 yazılabilir ve bundan dolayı. A sin sδ B sin % 0 mz. 2A sin % cos % B sin % 0 mz. mz. sin [2A cos ( B ] = 0 . mz. %m. %. sin. mz %. mz %. mz. mz. %. 0 ise,. nπ n 01, 02, … . s@ . % @5 z. n 01, 02, … . 2) 2A cos ? % A B 0 ise, mz. cos % %u mz. t. a, b koşulu.

(43) 25. cos 4 ?. t. %u. A d. GuG , 1 } 1 , u , 1 t. t. 4 %. 5 . olsun.. mz %. ,. t. %u. ,d,. ,. %5. %. . 0d 2 nπ n 0, 01, 02, … . s@4 . L @54% z. elde edilir.. s@x . ,. L @5x% z. Hiçbir ön şart vermeden ∆ s . . %m. A sin sδ B sin sγ 0. denkleminin s köklerinin varlığı ve bu köklerin sayısının incelenmesi problemi (Özışık, 1980) spektral teori çalışmaları için önemlidir. Köklerin varlığı ve bu köklerin sonsuz sayıda olması kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinden bilinen Rouche teoreminden yaralanılarak incelenebilir. Teorem 3.3.1.(Rouche Teoremi). f(z) ve g(z) fonksiyonları basit ve kapalı Γ eğrisinin içinde ve üzerinde analitik. (holomorf) olsunlar. Eğer Γ hiçbir sıfır yerinden geçmiyorsa ve. Γ. üzerinde. |f z | |g z | ise, o halde f z g z ve f z fonksiyonlarının Γ içindeki sıfır yerlerinin sayısı aynıdır.. Teorem 3.3.2. ∆ s 0 denkleminin sonsuz sayıda kökü vardır. S@ n 1, 2, … kökleri, s@ . @54 z. , % , r@ , 5. şeklindedir. [Oturanç, G. 1995.]. 5 %. , n 1, 2, 3, ….

(44) 26. İspat : λ s % olmak üzere, sδ πz , s Φ λ Φ ? Φ z . z. %5. 5 z. 5 z. z ~ λ s % % z %. z % A Φ z. 5 z. (3.31). A sin πz B sin πz . Γ@ ile z: |Re z| n . %. (3.30). y. z. (3.32). , |Im z| n %. karesinin çevresi gösterilsin. Γ Γ@ , f z . sin πz , %5 zu. g z %5 sin ?z πzA zt. y. kabul edilsin. O halde Φ z f z g z Rouche teoreminin ifadesine göre, |f z | |g z |. |A sin πz | |B|sin ? πzA z . m9@ 5. y. GuG . l m9@ 5 l , 1 t. GuG , 1 olduğu kolayca görülebilir. t. Dolayısıyla, . m9@ 5. l m9@ 5 l 1 z Γ@ ve n yeterince büyük olduğunu göstermek yeterlidir. z σ iτ olmak üzere, Γ@ ’nin dik kenarları üzerinde σ 0 ?n %A ~ 0 , |τ| ~ ∞ çünkü . sin πz sin π ?0 ?n %A iτA . GzG , 1 y. sin ?0πn 0 % πiτA 5. 0 cos0πn iπτ. 0 cos πn cos iπτ 0 1 @ cos h πτ. Burada cos iπτ cos h πτ ‘dır. Çünkü,. cos z cos x iy. cos x . cos hy i sin x . sin hy.

(45) 27. denkleminde x 0 dersek,. cos iy cos hy) elde edilir. y πτ alındığında da. cos iπτ cos h πτ istenileni elde edilmiş olur. Gsin z πz G G y. J 4JY. %9 Ge . . %9 . %9. %9. [ . G. ,. 950?@x Ax9. e. [ . y. z. c. 4950?@x Ax9. he95 9 e495 9 h. G. |e45 e5 |. % e45 e5 . Gsin πz G e45 e5 y. z. %. |sin πz | |0 1 @ cos h πτ | cos h πτ) . O halde, l. . m9@ 5 m9@ 5. l. J xJY %. JY xJ JY xJ. . Φ ε e5|| e45||. J|||| xJY|||| J|| xJY||. , 0ε1. Φ" ε π|τ|<e5|| e45|| = 0 Φ ε Φ 1. ,. yazılabilir. Yani. 0ε1. e5|| e45|| e5|| e45||. elde edilir. O halde |c| , 1 olduğundan,. e5|||| e45|||| e5|| e45||. yazabiliriz. Böylece ¡n için, . m9@ 5. l m9@ 5 l1 ,. elde edilir.. ,. 0ε1. σ 0 ?n %A . z σ iτ olmak üzere, Γ@ ’nin yatay kenarları üzerinde τ 0 ?n %A . l. . m9@ 5 m9@ 5. l. . G G|| %J . J||. . = e45?4A|| ~ 0 % .

(46) 28. Çünkü G G , 1 ve |τ| ~ ∞ ‘dir. y. z. Burada bellidir ki, z Γ@ ve ¡n için, |sin πz| ce5|| kalır. Ayrıca Gsin z πz G e45 e5 |e45 | |e5 | 2 e y. . 5G G||. yazılabilir.. O halde yeterince büyük n’ler için, l. . m9@ 5 m9@ 5. elde edilir.. l1 ,. τ 0 ?n A %. O halde Rouche teoreminin ifadesine göre, yeterince büyük n’ler için Φ z. fonksiyonunun Γ@ içindeki sıfır yerlerinin sayısı 1z sin πz fonksiyonunun Γ@ içindeki sıfır yerlerinin sayısı kadardır. 1z sin πz ‘nin Γ@ içindeki sıfırları, πm m 01, 02, … , 0n . dir ve bunların sayısı 2n ‘dir. Böylece Φ z ’ nin Γ@ içinde 2n tane sıfır yeri vardır. Φ λ Φ ? z z % A Φ z 5. (3.31). görüleceği üzere, Φ z çift fonksiyondur. O halde Φ z ’nin Γ@. eşitliğinden. içindeki kökleri,. z@ , z@4 , … , z@4 , z@. şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde (Rouche teoreminin yardımıyla) kolayca görülebilir ki, z@ kökü ?n % , n %A . . aralığında bulunur.. n % , z@ , n % . . s@ z z@ , 5. Eşitlik (3.31)’den, yazılır. Eşitlik (3.33)’den,. n % , 5 s@ , n % . z. . nπ % , ¢s@ , £¤ % 5. % , ¢s@ nπ , 5. 5. 5. %. δs@ nπ Γ@ olmak üzere,. s@ . @5x ¥ z. , , Γ@ , 5 %. 5 %. z@ 5 s@ z. (3.33).

(47) 29. elde edilir.. (3.8), (3.9), (3.10) probleminin λ@ s@% özdeğerine karşılık gelen y@ x. özfonksiyonu. y@ x y@ x . . m. sin s@ ρ x , m9@ m v[ b. E m m9@m v e4b . 0,x,. sins@ ρ% b x , a , _ , k. şeklinde bulunur. [Oturanç, G. 1995.] 3.4. Sıcaklık Dağılımı İçin Formül (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) probleminin U(x, t) çözümü, 4: U x, t ∑§ y@ x @¨ C@ e. serisi şeklinde bulunur. Burada C@ sayıları Eşitlik (3.6) başlangıç koşulundaki f(x). için yazılan. f(x) = ∑§ @¨ C@ y@ x. ayrılış formülünden C@ . «. ©ª,

(48) «. ©

(49) .

(50) . . ¯. v[ a® ¬

(51) xEw v a ¬

(52) ¯ v[ a®

(53) xEw v a

(54) . n 1, 2, … olarak elde edilir. [Oturanç, G. 1995.]. 3.5. Birleşik Elemanlarda Sıcaklık Dağılımındaki Özdeğerlerin Maple Programı İle Çözümü SU K U 0 , x , , ° 0T U K % U a , _ , k, ° 0 U(0, t) = 0 , U(b, t) = 0 (dış sınır koşulları) S U a 0, t αU a 0, t T (iç temas koşulları) U a 0, t βU a 0, t U(x, 0) = f(x) , 0 , x , k (başlangıç koşulu). şartlarını sağlayan denklemlerin çözümü U(x, t) = e4: y(x),. 0,x,k.

(55) 30. şeklindedir. "" x y λρ% y x ; 0 , x , S T y "" x λρ%% y x ; a , _ , k. y(0) = y(b) = 0 S y a 0 α y a 0 T y " a 0 β y " a 0 şartlarını sağlayan denklemlerin özdeğerleri ise, A αρ βρ%. , B = αρ βρ%. δ ρ a ρ% b a , γ ρ a ρ% b a. olmak üzere ∆ s . . %m. A sin sδ B sin sγ 0. ifadesiyle bulunur. Örnek 3.5.1.. α 0.58. α% 0.78. β 0.18. 1. β% 0.21. 2 x,2. K 0.38. 3 x2. K % 0.44. Şekil 3.2. İki levha arasında ısı geçişi Gözeneklik katsayıları α 0.58, α% 0.78, ısı iletim katsayıları β 0.18,. β% 0.21 ve termal difüziviteleri K 0.38 , K % 0.44 olan.

(56) 31. u x, 0 f x 1. u 0.38 u ,. fonksiyonu için, eşitlik (3.3)’den,. 1 , x , 2 , t 0. u 0.44 u ,. 2 , x , 3 , t 0. olduğuna göre, bu denklemin özdeğerlerini bulunuz. u x, 0 f x 1 yazılır. Eşitlik (3.6)’dan,. u(x, t) = e4: y(x), y "" x λ. y "" x λ A 0.58 ¶ B 0.78 ¶ δ γ. . √.µ . √.µ. 1 , x , 3 ve (3.7), (3.23), (3.24) denklemlerinden,. . .µ .LL . y x ; 1 , _ , 2 y x ; 2 , _ , 3. √.µ . √.µ. 2. 2. . 0.21 ¶. √.LL . √.LL. 0.18 ¶. . √.LL . √.LL. 1.212270421. 0.948802. 3 2 4.7522. 3 2 1.737033. ∆ %m 1.212270421 ¶ sin s ¶ 4.7522 0.948802 ¶ sin s ¶ 1.737033 0 . (3.34). yazılabilir. (3.34) denkleminin çözülmesi ile özdeğerler elde edilmiş olur. Bu çözümü maple programı yardımıyla bulalım. > y[0]:=0: for k from 0 to 100 do y[k+1]:=NextZero((s>(1.212270421*sin(4.7522*s)+.948802*sin(1.737033*s))/(2*s)),y[k]): print(y[k+1]); od: >.

(57) 32. Çizelge 3.1.. İ(indis) 0 1 1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 13 14 15 15 16 17 17 18 19 19 20 21 21 22 23 23 24 25 25 26 27. ¸- (özdeğer) .8490298847 .156381358 .944505924 .828273684 .187512045 .889714609 .790393216 .234262902 .836564523 .743460167 .286919299 .78666246 .691880084 .338031684 .742844349 .63788214 .37943978 .71110711 .58269403 .40044481 .70078151 .52711865 .39386970 .71809829 .47183282 .36453009 .75731750 .41760700 .32201057 .80761330 .36558348 .27270497 .86048275 .31779675 .21989013 .908558065 .27874620 .16526420 .94259959 .25446168 .10982400.

(58) 33. Bu durumda bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Şimdi de bu özdeğerlerin grafiğini çizelim. > plot((1.212270421*sin(4.7522*s)+.948802*sin(1.737033*s))/(2*s), s = -10 .. 10); >. Şekil 3.3. Özdeğer çözüm grafiği Şekil 3.3’den de görüleceği üzere bu özdeğerler asimptotik olup sonsuz köke sahiptir..

(59) 34. 4. SONUÇ (3.8), (3.9), (3.10) olarak verilen birleşik elemanlarda sıcaklık dağılımı probleminin literatürde farklı yöntemlerle çözüldüğünü görmek mümkündür. Bu çalışmada, değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözülen bir birleşik eleman ısı transferi probleminin çözümüne temel teşkil eden ve daha önce spektr özellikleri verilen. özdeğerler. sayısal. olarak. incelenmiştir.. Teoride. köklerin. reelliği,. ortogonalliği gibi özellikler sayısal olarak da görülebilmiştir. Bu çalışmayı birleşik eleman sayısının arttığı durumlarda da teorik ve sayısal olarak incelemek mümkündür. Teoride köklerin asimptotik olduğu verilmekte fakat ispatı görülmemektedir. Bu durum yeni bir araştırma problemi olarak ele alınabilir..

(60) 35. 5. KAYNAKLAR Aydın, M., Kuryel, B., Gündüz, G., Oturanç, G. 2001. “Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları” E.Ü. Müh. Fakültesi Ders Kitapları Yayınları No:14, 5. Baskı, İzmir. Atkinson, F.V. 1964.“Discrete and Continous Baundary Problems”, Academic Press. Bellman, R. 1953. “Stability Theory of Differantial Equations”, Mc Graw Hill Book Company, INC. Birkhoff, C. and Rota, G.C. 1962. “Ordinary Differantial Equations”, Ginn and Company. Churchill, R.V. 1972. “Operational Mathematics”, McGraw-Hill Book Company, New York.. Dwyer, H.I. and. Zettl, A. 1994. “Computing Eigenvalues of Regular SturmLiouville Problems” , Electronic Journal of Differantial Equations. Korum, D. 2002. “Düzgün Sturm-Liouville Sistemleri” Seminer Çalışması. Oturanç, G. and Şahin, Z.A 2001. “Eigenvalue Analysis of Temperature Distribution in Composite Walls”, INT.J. Energy Res. 25:1189-1196. Oturanç, G. 1995. “Diferansiyel Operatörlerin Spektral Teorisi ile Birleşik Elemanlarda Sıcaklık Dağılımının İncelenmesi Üzerine” Türk Matematik Derneği VIII. Ulusal Matematik Sempozyumu. Özışık, N. 1980. Heat Conduction, John Willey & Sons, 2@ ..

(61)