03Vektor

(1)

3 VEKTÖRLER

3.1 Koordinat sistemleri

3.2 Kartezyen koordinatlar

3.3 Vektörler

3.4 Vektörlerin bileşenleri

3.5 Vektörlerin toplanması

3.6 Vektörlerin çıkarılması

3 7 Bi i

ktö

3.7 Birim vektör

1

(2)

3 2 Kartezyen koordinat

3.2 Kartezyen koordinat

(3)

3 2 Kartezyen koordinatlar

3.2 Kartezyen koordinatlar

(4)

Saatin dönme yönünün tersi

(5)

Skaler nicelik

• Sadece miktar, adet veya sayısal bir değer veren

büyüklüğü olan niceliklere skaler denir Örneğin kütle

büyüklüğü olan niceliklere skaler denir. Örneğin kütle,

enerji, sürat, bir yerdeki canlı sayısı vs.

• Yönü, doğrultusu ve büyüklüğü olan niceliklere vektör

denir Örneğin hız sıcaklık değişimi kuvvet vs

denir. Örneğin hız, sıcaklık değişimi, kuvvet vs.

(6)

Yerdeğiştirme

(7)

Quick Quiz 3 1

Quick Quiz 3.1

Aşağıdakilerden hangileri vektör, hangileri skaler

niceliklerdir?

( ) Y

(a) Yaşınız

(b) İvme

( ) H

(c) Hız

(d) Sürat

( ) Kü l

(e) Kütle

7

(8)

3 5 Vektörlerin toplamı

3.5 Vektörlerin toplamı

• R-bileşke vektör,

(9)

Vektör toplamı

(10)

Vektörlerin toplamı

(11)

Quick Quiz 3 2

Quick Quiz 3.2

A ve B vektörleri A = 12 birim ve B = 8 birim şeklinde

verilmektedir. Bileşke vektör R = A + B şeklinde ise vektörlerle

yapılan işlemlere göre en büyük ve en küçük değer

aşağıdakilerden hangisidir?

(a) 14.4 birim, 4 birim

(b) 12 bi i

8 bi i

(b) 12 birim, 8 birim

(c) 20 birim, 4 birim

(d) Y k

d kil d

hi bi i i

(d) Yukarıdakilerden hiçbirisi.

11

(12)

Quick Quiz 3 3

Quick Quiz 3.3

B vektörü A vektörüne eklenirse, hangi durumda bileşke vektör

A + B nin değeri A + B ye eşittir?

(a) A ve B paralel ve aynı doğrultlarda olunca,

(b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca,

(13)

Quick Quiz 3 4

Quick Quiz 3.4

B vektörü A vektörüne eklenirse hangi koşulda bileşke vektörü

sıfır olabilir?

(a) A ve B birbirine paralel ve aynı yönlerde olunca,

(b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca,

(c) A ve B aynı büyüklükte olunca,

(d) A ve B birbirlerine dik olunca.

(14)

Özetle : Vektörlerin toplanması

• Uygun bir koordinat sistemi seçiniz. Bileşen sayısını azaltarak toplamı kolayca yapılacak hale getiriniz.

• Problemdeki tanıma uygun bir şekil çiziniz.

H ktö ü bil l i bil l i bi l t l

• Her vektörün x ve y bileşenlerine ayırınız ve bileşenlerin cebirsel toplamını x ve y eksenleri boyunca yapınız.

Bileşke vektörün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bulunuz ve • Bileşke vektörün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bulunuz ve eksenlerden ne kadar ayrıldığını da trigonometrik fonksiyonları kullanarak hesaplayınız

(15)

Vektörlerin toplanması

xy düzleminde bulunan A ve B vektörlerinin toplamını hesaplayınız.

A = (2 0i + 2 0j) m ve B = (2 0i - 4 0j) m A (2.0i 2.0j) m ve B (2.0i 4.0j) m

Çözüm Vektörleri bileşenleri cinsinden yazılabilir.

A = A_x_x i + A_y_y j, burada Aj, _x_x = 2.0 m ve A_y_y = 2.0 m.

Benzer şekilde B_x = 2.0 m ve B_y = - 4.0 m. Bileşke vektör R aşağıdaki gibi olur,

R = A + B = (2.0 + 2.0)i m + (2.0 - 4.0)j m = (4.0i - 2.0j) m

Veya

R_x = 4.0 m R_y = -2.0 m

(16)

Vektörlerin toplanması

Bir parçacık aşağıdaki gibi yerdeğiştirmeleri yapmıştır:

d₁ = (15i + 30j + 12k) cm, d₂ = (23i - 14j - 5.0k) cm ve d₃ = (-13i + 15j) cm. Bileşke yerdeğiştirmeyi ve büyüklüğünü bulunuz.

(17)

Bileşme özelliği

(18)

Quick Quiz 3 6

Quick Quiz 3.6

Bir vektörün bileşenlerinden biri pozitif değere sahipse, bu

vektör için aşağıdaki koşullardan hangisi doğrudur?

( ) Bil

l i d

bi i

tif i

tli l

(a) Bileşenlerinden biri negatif işaretli olamaz,

(b) Sıfır olamaz,

( ) Ü b

tl

l

(19)

Quick Quiz 3 7

Quick Quiz 3.7

A + B = 0 olabilmesi için A ve B nin nasıl olması gerekir?

(a) eşit

(b) pozitif

(c) negatif

(d) Zıt işaretli.

(20)

Quick Quiz 3 8

Quick Quiz 3.8

ğ

Aşağıdakilerden hangisinde bir vektör bileşenlerinden birine

eşittir?

( ) A

2i +5j

(a) A = 2i +5j

(b) B = -3j

( ) C

5k

(c) C = +5k

(21)

3 6 Vektörlerin çıkarılması

3.6 Vektörlerin çıkarılması

(22)

Örnek 3 1 Gezide alınan toplam yol

Örnek 3.1 Gezide alınan toplam yol

(23)

Vektörlerin çarpımı

A vektörünün y-doğrultusundan bakınca x-ekseni üzerindeki izdüşümü

(24)

Dönmüş koordinat eksenleri

(25)

3 7 Birim vektör

3.7 Birim vektör

(26)

Vektör bileşenleri

(27)

Örnek 3 2

Örnek 3.2

R=56 birim

A vektörünün büyüklüğü 20 birim

B vektörünün büyüklüğü 40 birim

y

ğ

C vektörünün büyüklüğü 30 birim

a) R-bileşke vektör?

29º

a) R bileşke vektör?

b) R-bileşke vektörün yönü?

cos45º=sin45º=0.71

(28)

Örnek 3 3

Örnek 3.3

• A+B ?

• A-B ?

• B-A

• A-2B

cos30=0 87

cos30=0.87

sin30=0.50

(29)

Örnek 3 4

Örnek 3.4

Aşağıda kutupsal koordinatları verilen noktaların konum vektörlerini yazınız: (a) 12.8 m, 150°

(b) 3.30 cm, 60.0° (c) 22.0 in., 215°.

(30)

Örnek 3 5

Örnek 3.5

xy düzlemindeki bir yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü 50 0 m ve pozitif x ekseni xy düzlemindeki bir yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü 50.0 m ve pozitif x ekseni

ile yaptığı açı 120° olarak verilmektedir. Bu vektörün dik bileşenini bulunuz (sonuç için fareye tıklayınız). y

için fareye tıklayınız).

50.0 m ₄₀ 50 R_y = 50 sin60 = 43.3 veya 20 30 40 _veya R_y = 50 cos30 = 43.3 x 10 20 120° 10 20 30 -10 20 -10 -20 -30 -20

(31)

Örnek 3 6

Örnek 3.6

Bir mağaracı mağaranın

Kuzey

girişinden itibaren mağara içinde

önce 75.0 m kuzeye, 250 m

200 50.0 m

önce 75.0 m kuzeye, 250 m

doğuya, 125 m kuzey-doğuya

(doğudan 30 0° yukarı

100

(doğudan 30.0 yukarı

doğrultuda) ve son olarak 150 m

güneye doğru hareket ediyor

Doğu 100

-100 200

güneye doğru hareket ediyor.

Mağaracının mağaranın girişine

ö

d ği ti

i i

-100

göre yerdeğiştirmesini

hesaplayınız.

31 R_x=358.3 m R=358.5 m R_y=-12.5 m

(32)

Örnek 3 7 Robot kolu

Örnek 3.7 Robot kolu

Bir robot kolu önce yukarı doğru ve sonra doğuya hareket ediyor. Sonra doğu-batı boyunca düşey doğrultuda yarıçapı 4.80 cm olan çeyrek çember yayı üzerinde hareket ediyor. Robot cismi alıp yukarı ve 3.70 cm lik yarıçapı olan çeyrek çember

ü i d dü d ğ lt d k d ğ t

yayı üzerinde düşey doğrultuda kuzeye doğru taşırsa: (a) toplam yerdeğiştirmenin büyüklüğünü hesaplayınız. (b) T l d ği ti i dü k l

(b) Toplam yerdeğiştirmenin düşey eksenle yapmış olduğu açıyı hesaplayınız.

(33)

Örnek 3 8 Radar kontrolörü

Örnek 3.8 Radar kontrolörü

Bir hava kontrolörü iki uçağı radar ekranında görür. Birinci uçak yerden

800 m yükseklikte, yatay olarak 19.2 km ve 25.0° güney-batıda

bulunmaktadır. İkinci uçak ise yerden 1100 m yükseklikte, kuleden 17.6

km yatay doğrultuda 20.0° güney-batıda bulunmaktadır. İki uçak

arasındaki uzaklığı hesaplayınız. (x eksenini batı, y eksenini güney ve z

eksenini düşey doğrultu olarak alınız).

ş y

ğ

)

Uçak₁ için x₁=19200sin25 = 8114.2 m, y₁=19200cos25 =17401.1 m, z₁=800 m U k i i 17600 i 20 6019 3 17600 20 16538 6 1100 Uçak₂ için x₂=17600sin20 = 6019.3 m, y₂=17600cos20 = 16538.6 m, z₂=1100 m r = √((8114.2-6019.3)2_{+(17401.1-16538.6)}2_+(800-1100)2₎

= √(2094 92 _{+ 862 5}2 _{+ 300}2_{) = 2285 3}

33