i
GREEN FONKSĠYONLARINI KULLANARAK KATILARINMANYETĠK ÖZELLĠKLERĠNĠN
ĠNCELENMESĠ Göktuğ GÜZEL Yüksek Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı
Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU 2011
T.C.
GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
GREEN FONKSĠYONLARINI KULLANARAK KATILARIN MANYETĠK ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ
Göktuğ GÜZEL
TOKAT 2011
1
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, baĢkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların baĢka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya baĢka bir üniversitedeki baĢka bir tez çalıĢması olarak sunulmadığını beyan ederim.
Göktuğ GÜZEL Ocak-2011
1
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
GREEN FONKSĠYONLARINI KULLANARAK KATILARIN MANYETĠK ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ
Göktuğ GÜZEL GaziosmanpaĢa Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
Örgü Green fonksiyonlarının doğru değerlendirmesi için yeni, basit ve etkili bir teknik bulundu. Binomial açılım teoremini kullanarak, bu fonksiyonlar Binomial katsayılar ve basit integrallerle ifade edildi. Kapsamlı test hesaplamaları, pratik hesaplamalarda önerilen iĢlemler dizisinin en verimli(randımanlı) metot olduğunu gösterdi. Sonuç olarak, analitik ifadelerin pratik kullanımını göstermek için literatürde kesinleĢmiĢ bazı hesaplama örnekleri bulundu. Bu hesaplamaları kullanarak, katıların manyetik özellikleri incelendi ve literatürden elde edilen teorik ve deneysel sonuçlarla karĢılaĢtırıldı ve uyum içinde olduğu görüldü.
2011, 49 Sayfa
Anahtar Kelimeler: Hacim merkezli kübik örgü-Anizotropik yüzey merkezli kübik örgü-Örgü Green fonksiyonları-Binom katsayıları, Manyetik özellikler, Manyetizasyon.
1
ABSTRACT
INVASTIGATE THE MAGNETIC PROPERTISE OF SOLIDS USING GREEN FUNCTIONS
Göktuğ GÜZEL
GaziosmanpaĢa University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics
Science
Supervisor: Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU
A new, simple, and efficient technique for the accurate evaluation of the lattice Green functions is presented. Using binomial expansion theorems, these functions are expressed through the binomial coefficients and basic integrals. The extensive test calculations show that the proposed algorithm in this work is the most efficient method in practical computations. Finally, in order to show the practical use of analytical expressions found some computation examples and comparisons with literature are made. Using these calculations, the magnetic properties of solids were investigated and compared with the theoretical and experimental results reported in the literature and seen that it was in agreement with the literature.
2010, 49 pages
Keywords: Body centered cubic lattice ,Anisotropic face centered cubic lattice , Lattice Green’s functions , Binomial coefficients ,Magnetic properties ,Magnetisation
1
ÖNSÖZ
Yüksek Lisans çalıĢmalarım süresince bana her türlü kolaylığı sağlayan, karĢılaĢtığım zorluklarda bana yol gösteren ve bu çalıĢmanın oluĢmasında bilgi ve deneyimlerini benden esirgemeyen danıĢman hocam sayın Prof. Dr. Ġskender ASKEROĞLU’ na en içten teĢekkürlerimi sunarım.
Her zaman bilgilerinden yararlandığım değerli hocam sayın Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU ’na teĢekkürlerimi sunarım. Tez çalıĢmamın her aĢamasında bana yardımlarını esirgemeyen değerli arkadaĢım Yrd. Doç. Dr. Erhan ESER ’e teĢekkür ederim.Yüksek lisans öğrenimim boyunca benden yardımlarını esirgemeyen arkadaĢlarım Fikret YILMAZ ve ġükrü YILDIZ’a da ayrıca teĢekkür ederim.
Hayatım boyunca hep yanımda olan canım aileme ve hayatımın anlamı eĢime, bana gösterdikleri sabır ve esirgemedikleri maddi, manevi destekleri için çok teĢekkür ederim. Göktuğ GÜZEL Ocak-2011 iii iii
1 ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii ĠÇĠNDEKĠLER iv SĠMGE VE KISALTMALAR DĠZĠNĠ v ġEKĠLLER DĠZĠNĠ vi 1. GĠRĠġ 1 2. LĠTERATÜR ÖZETĠ 4
2.1. Üç-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu 5
2.2. d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu 9
2.2.1 dsöçg fjsĢdg jĢsldj fslĢdj fĢlsdf jd-
d’nin Tek Olması durumunda An (d) ve Bn katsayıları 15 2.2.2 d’nin Çift Olması durumunda Cn (d) ve Dn katsayıları 16 2.2.3 d-Boyutlu Watson fonksiyonu ve Logaritmik Fonksiyon
Hesaplanması
17 2.2.4 d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonlarının Analitik Hesaplanması 21
3. MATERYAL VE YÖNTEM 25
3.1. Üç-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu 25
3.2. Spin-Dalga teorisi 28 4. BULGULAR ve TARTIġMA 31 5. SONUÇ 36 KAYNAKLAR 37 ÖZGEÇMĠġ 39 iv
1
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
Sayfa ġekil 4.1. Gd için yüzey manyetizasyonunun sıcaklıkla değiĢimi 32 ġekil 4.2. Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J=1 =1) 33 ġekil 4.3. Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J=1 =2) 33 ġekil 4.4. Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J=2 =1) 34 ġekil 4.5. Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J=2 =2) 34 ġekil 4.6. Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J=2 =3) 35 ġekil 4.7. Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J=3 =3) 35
2
SĠMGE ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ
Simgeler Açıklama
a d-boyutlu Hiperküp için Örgü Sabiti
( )a n Pochhammer Sembolü E Enerji ( , ) G d w Örgü Green Fonksiyonu ( , ; ) sq
G l m w Kare Örgü için Green Fonksiyonu nm
G Green Fonksiyonunun Matris Elemanı
L Örgü Laplasyon Operatörü d L Logaritmik Fonksiyon r Konum Vektörü u Pozitif Tamsayı w ( , )u v Düzleminde Nokta d W Watson Fonksiyonu ( )z
( , )d u
, n m Digama FonksiyonuDurum Yoğunluğu Fonksiyonu Kronocker Delta Fonksiyonu
1
1. GĠRĠġ
Green fonksiyonları matematikte homojen olmayan diferansiyel denklemlerin, istenen sınır koĢulları altında çözülmesinde kullanılan bir yöntemi ve bu yöntemle iliĢkili olarak hesaplanan fonksiyonu belirtmekte kullanılır. Ġlk kez matematikçi George Green tarafından kullanılmıĢtır.
L bir doğrusal operatör olmak üzere;
Lu(x)=f(x) (1)
biçiminde tanımlı homojen olmayan bir diferansiyel denklemi çözmek amacıyla öncelikli olarak aynı sınır koĢulları altında
LG(x,y)= (x,y) (2)
biçiminde tanımlanmıĢ (2) denklemi çözülür. Burada δ(x − y) Dirac delta fonksiyonunu, G(x,y) ise ilgili probleme iliĢkin Green fonksiyonunu göstermektedir. Green fonksiyonunun bulunması durumunda, bilinmeyen u(x) fonksiyonu
D
u(x)= G(x,y)f(y)ds(y)
(3)
biçiminde hesaplanır. Burada D, fonksiyonunun desteğidir.
Green Fonksiyonları yardımıyla birbirini etkileyen çok parçacıklı sistemlerin fiziksel özelliklerini açıklamanın daha kullanıĢlı olduğu görülmüĢtür. Çok elektronlu sistemlerde fiziksel özelliklerin incelenmesi için Schrödinger denkleminin çözülerek sistemin dalga fonksiyonunun hesaplanması gerekmektedir. Günümüzde ise bu denklemin çözümü çok basit mikro sistemler için yapılabilmektedir. Ancak çok boyutlu kristalik yapıya sahip olan katıların fiziksel özelliklerinin incelenmesi için Poisson denkleminin çözülmesi gerekir. Fakat Green fonksiyonu yöntemi, sistemin tüm enerji seviyelerinin ve dalga fonksiyonlarının hesaplanmasının gerekli olmadığı durumlar da kullanılır. Ayrıca dıĢ bir alan uygulama veya sisteme parçacık ekleyip çıkartmak gibi durumlarda kristalin fiziksel özelliklerinin incelenmesi daha kolay olur.
2
Örgü Green fonksiyonlarının değerlendirilmesi, Katıhal Fiziğinin verimli sayısal analizine temel olmuĢtur. Örneğin ferromanyetizmanın istatistiksel modeli, Ising modeli, Heisenberg modeli, küresel model, örgü dinamikleri, tesadüfî hareket modeli, bant yapısı, ince filimler gibi. Literatürde bu fonksiyonların değerlendirilmesi için pek çok etkili yaklaĢım sunuldu. Son zamanlarda 16-25 deki çalıĢmalarda yeni matematiksel fikirler ortaya çıkarıldı ve ilgili Katıhal fiziği problemlerini çözmek için örgü Green fonksiyonlarına dayalı yeni algoritmalar çok güçlü çözüm metotları sağlar. Örgü Green fonksiyonları üzerine yapılan çalıĢmaların çoğunun eliptik tipi integral yaklaĢımına dayalı olduğu literatürden görülebilir. Literatürde genellikle örgü Green fonksiyonları için formüller eliptik tip integraller ve ilgili fonksiyonlara bağlı olarak verilmiĢtir. Mevcut çalıĢmada Örgü Green fonksiyonlarının hızlı ve doğru hesaplanmasını sağlayan temel integrali ve sonsuz bir toplam olarak meydana gelen seri geniĢleme formüllerini önerdik. Binomial katsayıların hesaplanması için bilgisayarın kullanımı ve bu basitleĢtirme hesaplayıcılar için geniĢ değer aralığına yayabilir.
Green Fonksiyonlarının 1,2…n parçacıklı sistemler için farklı çeĢitleri vardır. Çok parçacıklı sistemlerin termodinamik özellikleri ve basit uyarılma spektrumu çalıĢmalarındaki iĢlemler, sıcaklığa bağlı Green fonksiyon metotlarının geliĢimi sayesinde olur.
George Green; elektromanyetik diferansiyel denklemleri, Green fonksiyonları olarak adlandırdığı temel fonksiyonları kullanarak bunları integral denklemlerine çevirdi.
Bunlardan birisi Green fonksiyonu çözümü olan Poisson denklemidir. Özellikle Born tipi dalga fonksiyonu yaklaĢımının kullanıldığı çok parçacıklı
sistemlerin saçılma teorisinde Green fonksiyonları önemli yer tutar. Son otuz yıldır çok parçacıklı problemlerin sistematik olarak matematiksel incelemesi, yoğun maddenin en basit özelliklerinin, kristalik yapıyı oluĢturan atomların özellikleriyle nicel olarak iliĢkilendirilebilmesi için geliĢtirilmektedir.
Gerçekte çok parçacıklı sistemlerde yoğun maddelerde geliĢen fiziksel özelliklerin temel iki sınıfı vardır. Bunlardan birincisi yalıtkanlardaki ıĢığın yayılması, metallerdeki elektrik yükünün taĢınması, ses dalgalarının yayılmasıdır. Diğeri ise süperiletkenlik, süperakıĢkanlık, manyetizma gibi kuantum sistemi olayları, klasik sistemlerde oluĢan donma ve erime olaylarında maddeyi temel simetrisine döndüren faz geçiĢleridir.
3
Bu olayların her ikisi de temel atomik etkileĢimlerin etki alanından daha uzak mesafede gerçekleĢen fiziksel olayları içerir. Bu matematiksel ifadelerin birçok formülü mevcuttur. Bu ifadelerin ortak özellikleri aĢağıda verilmiĢtir:
Atomlar arası etkileĢimlerin zayıf olduğu durumlarda, katıları oluĢturan parçacıkların serbest olduğu düĢünülebilir. O halde uyarılmıĢ duruma geçiĢ incelendiğinde bu geçiĢin enerji taĢıması yoluyla olduğu görülür. Bu enerji taĢınması Green fonksiyonu yaklaĢımı ile incelenir.
Green fonksiyonları karmaĢık enerji düzleminde analitik yaklaĢım yoluyla uyarılma spektrumlarının özelliklerinin incelenmesinde de kullanılır. Katıların manyetik alınganlığı, elektriksel iletkenliği ve uygulanan dıĢ alanla oluĢan etkileĢimleri de Green fonksiyonları ile ifade edilebilir. Green fonksiyonlarının zamana bağlı olmaları ise en önemli özelliğidir. Bu fonksiyonları kullanarak katıların izotropik ve anizotropik özellikleri zamana bağlı olarak incelenebilir.
Green Fonksiyon metodu, özellikle birbirini etkileyen çok parçacıklı sistemlerin fiziksel özelliklerini açıklamada oldukça kullanıĢlıdır. Potansiyel Green fonksiyonları teorisi; kaynak yetersizliği ile ortaya çıkan yani yük ve akım kaybı ile üretilen elektromanyetik alanları belirlemek için ortaya çıkmıĢtır.
Çok elektronlu sistemlerin fiziksel özelliklerini incelenmesi için Schrödinger denkleminin çözülerek sistemin dalga fonksiyonunun bulunması gerekir. Bilindiği gibi günümüzde bu denklemin çözümü çok basit mikro sistemler için mümkündür. Bu durumda çok boyutlu kristalik yapıya sahip olan katıların fiziksel özelliklerinin incelenmesi için Poisson denkleminin çözülmesi gerekir. Green fonksiyon yöntemi, sistemin tüm enerji seviyelerinin ve dalga fonksiyonlarının hesaplanmasının gerekli olmadığı durumlar da kullanılır. Ayrıca dıĢ bir alan uygulama veya sisteme parçacık ekleyip çıkartmak gibi durumlarda kristalin fiziksel özelliklerinin incelenmesi önerilen yöntem ile daha kolay olur.
4
2. LĠTERATÜR ÖZETĠ
Örgü Green fonksiyonları (LGF); teorik fiziğin birçok alanında kullanılan, sürekli uzay Green fonksiyonuna benzer fonksiyonlardır. Örgü Green fonksiyonlarının tanıtımı için kısa bir giriĢ Hollos (2005) tarafından verilmiĢtir.
Green fonksiyonlarının daha kapsamlı bir açıklaması Economou (1983) tarafından yapılmıĢtır. LGF çoğunlukla yoğun madde ve istatistik fiziğinde kullanılır. LGF’nin bazı kullanımlarının iyi bir yaklaĢımı Cserti (2000) tarafından verildi. Aynı zamanda Örgü Green Fonksiyonu isim olarak görünmese de kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılır. Özellikle Örgü Green Fonksiyonu üç boyutlu kübik ve iki boyutlu kare örgüde Poisson denklemlerinin çözümünde kullanılır. AraĢtırmaların büyük bir kısmı son elli yıldan beri örgü Green fonksiyonları için yapılmaktadır.
Joyce ve Zucher (2001) tarafından d-boyutlu hiperkübik örgüler için Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyonu sırası ile EĢitlik 2,1 ve EĢitlik 2.2’ de olduğu gibi ifade edilmiĢtir.
π π 1 d d d 1 d 0 0 dθ ...dθ 1 W ... π d (cosθ ... cosθ )
(2.1)
π π d d 1 d 1 d 0 0 1 L ... ln d (cos θ ... cosθ ) dθ ...dθ π
(2.2)Özellikle ve ’ün sayısal değerlerinin yüksek hassasiyette hesaplanmasını sağlayan yeni bir metot geliĢtirildi. ve ’ nin olduğu durumunda asimtotik davranıĢı belirlendi. Elde edilen sonuçların bazı genelleĢtirilmeleri tartıĢıldı. Joyce (2002) tarafından d-boyutlu hiperkübik örgü Green fonksiyonlarının analitik özellikleri araĢtırıldı.
π π 1 d d 1 d 0 0 dθ dθ 1 G(d, w) π w (cosθ cosθ )
(2.3)5
’ ye eĢit olup düzleminde kompleks değiĢkendir. Özellikle dallanma noktası tekilliğinde ’nin durumları ayrıntılı olarak
belirlendi. Sonuçlar ikinci adımdan sonra baĢlangıç noktasına dönen hiperkübik örgü için ’ nin katlarındaki asimptotik geniĢlemede kullanılır. Sonuç olarak bu asimptotik geniĢleme genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu için son derece doğru değerler verir.
π π s d d 1 d 1 d 0 0 1 W (s) ... d (cos θ ... cosθ ) dθ dθ π
(2.4)Burada ve Katlı terim geniĢleme teoremleri kullanılarak d-boyutlu hiperkübik örgülerde, örgü Green fonksiyonu, Logaritmik fonksiyon ve Watson fonksiyonu için tek bir yaklaĢım Guseinov ve Mamedov (2006) tarafından sunuldu. Bu yaklaĢımın doğruluğu ve geçerliliği diğer hesaplama yöntemleriyle test edildi. Elde edilen yaklaĢıklık formülleri, tüm yaklaĢımlar için geçerli ve katılarla ilgili fiziksel özelliklerinin çalıĢılmasında uygun bir çözüm yolu olduğu bulunmuĢtur.
2.1 Üç-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu
Örgü Green fonksiyonu EĢitlik 2.6’ de olduğu gibi kısmen anizotropik yakın çevre etkileĢimleri ile basit kübik örgü içeren çok sayıda örgü statik problemlerinde önemli rol oynar (Delves ve ark.,2001).
cos θ cos mθ cos nθ π π π
1 1 2 3
G(l, m, n,; α, w) dθ dθ dθ
1 2 3
30 0 0w cos θ cos θ α cos θ
π 1 2 3 (2.5) G( , m, n; o, w) Gsq( , m; w) n,0 (2.6)
Kronocker delta fonksiyonu ve izotropik yakın çevre etkileĢimli iki boyutlu kare örgü için Green fonksiyonudur. Ayrıca EĢitlik 2.6’ dan;
6
n
G( , m, n; , w) ( 1) G( , m, n; , w) (2.7)
olduğu görülür. Böylece yapılacak olan inceleme aralığı için sınırlanabilir. durumu için daha kompakt bir notasyon kullanılabilir.
n
G( , m, n; , w) ( 1) G( , m, n; , w) (2.9)
EĢitlik 2,6’daki üçlü integral, reel eksen boyunca ’ dan ’ ya, durumunda, karmaĢık düzleminde bir tek değerli analitik fonksiyonunu tanımlar. Ayrıca EĢitlik 2,6’dan ’nın simetri bağıntı koĢulunu sağladığı bulunur.
m n 1
G( , m, n; , w) ( 1) G( , m, n; , w) (2.10)
Pek çok uygulama, ’da ’nin reel eksenine yaklaĢacağı Ģekilde limitinin alınmasının gerektirir. Bu durumda daha ileri tanımlamalar yapmak uygun olacaktır. G ( , m, n; , u) lim G( , m, n; u i ) GR( , m, n; , u) G ( , m, n; , u)I 0 (2.11) Burada ve sonsuz küçük pozitif bir sayıdır. Özel bir durum olarak,
durumunda EĢitlik 2.11’ i daha basit formda yazabiliriz.
G ( , u) lim G( , u i ) GR( , u) iG ( , u)I
0
(2.12)
EĢitlik 2.10’nu kullanılarak, ’ nin tek veya çift oluĢuna göre, reel kısmı ’nin, ’nun tek veya çift fonksiyonu ve imajener kısım ’nin da bir tek veya çift
fonksiyon olduğunu bulunur. olduğunda ’nin imajener
kısmı her zaman sıfıra eĢit olur. Ayrıca, fonksiyonunun , ve ’da dallanma noktası özelliği sergileyeceği de gösterilebilir.
7
1 i exp i( i )t dt ( i ) 0 (2.13)EĢitlik 2.6 integralinin paydasına, EĢitlik 2.1.8 ifadesi ile uygulanırsa; EĢitlik 2.11’ den Green fonksiyonu için basit bir integral gösterimi türetilebilir. Burada
reeldir ve ’ dır. Bu katlı integral, standart sonuç kullanılarak basitleĢtirilebilir.
1 n
cos(n ) exp(it cos )d i J (t)n 0
(2.14)
Burada, ; n. dereceden birinci tür Bessel fonksiyonunu ifade eder. Bu yolla EĢitlik 2.15 elde edilir. m n 1 G ( , m, n; , u) ( i) exp( iut)J (t)J (t)J ( t)dtm n 0 (2.15)
Burada ’ dur. Ayrıca Volfram ve ark..,(1963) tarafından EĢitlik 2.16’ daki ifade bulunmuĢtur.
G( , m, n; , w) exp( wt)I (t)I (t)I ( t)dm n 0
(2.16) Burada I tn( ); 1.tür değiĢtirilmiĢ Bessel fonksiyonudur ve w 2 ve
0 dır.0
lm n olduğunda, EĢitlik 2.11 ve EĢitlik 2.12 ifadelerinden EĢitlik 2.17 ve EĢitlik
2.18 ifadeleri elde edilir.
2 0 0 0
GR(a, u) sin(ut) j (t) j (at)dt
(2.18) 2 0 0 0GI(a, u) cos(ut) j (t) j (at)dt
8
Burada ’dur. Daha genel olarak Green fonksiyonu , aĢağıdaki formda ifade edilebilir:
2 2 (a, u) G( , w) du w u
(2.20) Burada düzleminde herhangi bir noktadır.1
( , u) GI(a, u)
(2.21)
EĢitlik 2.21, durum yoğunluğu fonksiyonudur (Katsura ve ark., 1971). Buradan için seri temsili EĢitlik 2.20’ deki integralin ile geniĢletilmesiyle elde edilebilir.
2n 2n n 0 1 1 G( , w) ( ) w w
(2.22) Burada ve 2 2n 0 ( ) 2 u ( , u)du 2n (2.23)yoğunluk fonksiyonunun çift momentleri sıfırdır; çünkü , ’nun tek fonksiyonudur. EĢitlik 2,6’daki Green fonksiyonunun kapalı-form hesaplama çalıĢmalarının çoğu izotropik durumu için uygulanmıĢtır. Bu özel durum
ve için Watson (1939) tarafından hesaplanmıĢtır.
2 2 G(0, 0, 0;1, 3)G(1, 3)(18 12 2 10 3 7 6) K(k) (2.24) k (2 3)( 3 2) (2.25)
9
; k modülünde 1. tür tam eliptik integrali ifade eder. EĢitlik 2.25’ deki k modülünün tekil bir k değerine eĢit olduğunu belirtmek gerekir (Maradudin ve ark., 1960). Herhangi bir N pozitif tamsayı için tekil değer aĢağıdaki özelliğe sahiptir:
K (k N ) N K(k N ) (2.26)Burada K k( ); 1.tür tam eliptik tümler integraldir. Daha genel Green fonksiyonu G(1,w)
için tam bir formül ilk olarak Joyce (1972) tarafından geliĢtirilmiĢtir.
1/ 2 1 1/ 2 2 2 G(1, w) (1 n) (1 ) K(k ) K(k ) 4 (2.27)
Burada k2 , ve zifadeleri sırasıyla aĢağıdaki gibi ifade edilir.
2 1 1 1 1 1 (1 ) 1 2 4 2
k
(2.28) 2 16z( 1 z 1 9z) (2.29) 2 z 1/ w (2.30)Bu sonuçlar reel eksen boyunca w 3’ten w3’e kadar ki bütün noktalarda
G(1,w)’yi hesaplamak için kullanılabilir.
2.2 d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonu
Green fonksiyonu; 1 d d 1 d 0 0 d d 1 G(d, w) w (cos cos )
(2.31)10
w u iv ve ( , )u v düzleminde kompleks değerlerdir. Örgü Green fonksiyonu d-boyutlu hiperkübik örgüde en yakın komĢu etkileĢimi gerektiren bir çok örgü modelinde önemli rol oynar. EĢitlik 2.31’in d-katlı integralinin tek değerli analitik fonksiyonu
d
w ’den wd’ye uzanan gerçek eksende de bir kesme yapılması Ģartıyla ( vu, )
kompleks düzleminde belirlendiği bulunmuĢtur. Birçok uygulamada w’nın gerçek u eksenine yaklaĢtığı durumda G(d,w)’nin sınırlı davranıĢının bilinmesi gereklidir. Bu yüzden EĢitlik 3.32’nin verilmesi uygun olacaktır.
R I 0
G (d, u) lim G(u i ) G (d, u) iG (d, u)
(2.32)
Burada u; u aralığında pozitif bir sayıdır. Alternatif bir form olarak EĢitlik 2.31’i ifade etmek için G( ud, )fonksiyonunu kullanılabilir.
d d (d, u) G(d, w) du w u
(2.33)Burada w;( vu, )düzleminde herhangi bir noktadır.
1 1 (d, u) G (d, u) (2.34) ( , )d u
; durum yoğunluğu fonksiyonudur.G(d,w)’nin seri temsili 1/w’nın katlarındaEĢitlik 2.33 integrali geniĢletilerek elde edilebilir. Böylece EĢitlik 2.35 elde edilir.
2n 2n n 0 1 1 G(d, w) (d) w w
(2.35) Burada w d’dir. d 2n 2n 0 (d) 2 u (d, u) du
(2.36)11
Durum yoğunluk fonksiyonu
( ud, )’nun tek momentleri sıfırdır. Çünkü
( ud, ); u’nun bir çift fonksiyonudur.
2n(d)için daha kullanıĢlı alternatif formül 1/w’nın katlarında EĢitlik 2.31’ deki integralin geniĢletilmesiyle elde edilebilir.2n 2n d 1 d 1 d 0 0 1 (d) (cos cos ) d d
(2.37)Random Walk teorisi göz önüne alınarak
2n(d) ifadesi daha ileri bir formda yazılabilir.2n 2n(d) d p (d)2n
(2.38)
Burada p2n(d); basit hiperküp üzerinde 2n. adımdan sonra baĢlangıç noktasına dönebilecek olan rast gele adım olasılığıdır.
) , (d w
G ; w dnoktalarında moment serilerinin EĢitlik 2.37’de yakınsamaları, serilerin dallanma noktalarıdır. d tek olduğunda G(d,w)’nin tekil davranıĢı, w d
noktasının analitik devam formülü ile tanımlanır.
1 d 1 n 2 n n n n 0 n 0 G(d, w) A (d)( w d) ( w d) B (d)( w d)
(2.39) d çift ise; 1 d 1 n 2 n n n n 0 n 0 G(d, w) C (d)( w d) ( w d) ln( w d) D (d)( w d)
(2.40) Burada
An(d),Bn(d),Cn(d),Dn(d):n0,1,2,
d’ye bağlı olan sabitlerdir. EĢitlik 2.38 ve EĢitlik 2.40’ da üst sınırlar wdtekil noktası komĢuluğunda; alt sınırlard
w tekil noktası komĢuluğunda uygulanır.
12 1/ 2 2 1 1 G(1, w) 1 w w (2.41)
A (1)n 0: n0,1, 2,...
n n n n (1/ 2) ( 1) B (1) n! 2 2 (2.42)Burada (a)n; Pochhammer sembolü ve n = 0,1,2,… d = 2 olduğunda aĢağıdaki sonuç
kullanılabilir. 2 1 2 1 1 1 4 G(2, w) F , ;1; w 2 2 w (2.43)
Ġkinci dereceden diferansiyel denklem Cn(2),Dn(2) katsayılarını bulmak için 2F 1 hipergeometrik fonksiyonu ile birleĢtirildi. Bu katsayılar aĢağıdaki bağıntılar ile iliĢkilendirilebilir. 2 2 2 n 1 n n 1 8(n 1) D (2) 2(3n 3n 1)D (2) n D (2)0 (2.44) 2 2 2 n 1 n n 1 n 1 n n 1 8(n 1) C (2) 2(3n 3n 1)C (2) n C (2) 16(n 1)D (2) 6(2n 1)D (2) 2nD (2) 0 (2.45) ,... 2 , 1 , 0
n C0(2) ve D0(2)’nın birincil değerleri EĢitlik 2.43’ deki 2F 1 fonksiyonunun standart analitik özelliklerinden belirlenebilir.
0 2 C (2) ln 2 (2.46) 0 1 D (2) 2 (2.47)
13
Bu sonuçlar EĢitlik 2.44 ve EĢitlik 2.45’deki yineleme bağıntıları
Cn(2),Dn(2):n0,1,2,
katsayıları için kesin değerler elde etmede kullanılır.Joyce(2002)
An(3),Bn(3):n0,1,2,
katsayıları için benzer yenileme bağıntılarından kesin sonuçlar bulunabileceğini gösterdi.An(d),Bn(d),Cn(d),Dn(d) katsayıları ve genel formüllerin türetilmesinden ortaya çıkan sonuçlar 1/n’nin katlarında p2n(d)rondom walk olasılığı için bir asimptotik geniĢleme oluĢturulmasında kullanılır. Sonuç olarak bulunan bu geniĢleme, genelleĢtirilmiĢ d-boyutlu Watson integrali için tam ve doğru sonuçlar hesaplamaya olanak verir.
0 1 exp( t)dt
(2.48)EĢitlik 2.48 integralinde Re(
)0dır. Çoklu integral sonuçları, standart sonuçlarkullanılarak bir tek integralle indirgenebilir.
0 0 1 exp(t cos )d I (t)
(2.49) ) ( 0 tI ;birinci tür Bessel fonksiyonudur. Bu durumda EĢitlik 2.50 elde edilir.
d 0 0 G(d, w) exp( wt)I (t)dt
(2.50)Burada Re(w)0dır. d = 3 için ilk kez Maradutin tarafından geliĢtirilen ifade izlenerek EĢitlik 2.50 [0,T] ve [T,) ;T 0interval aralığına ayrılabilir.
1 2 G(d, w)J (d, T, w)J (d, T, w) (2.51) T d 1 0 0 J (d, T, w)
exp( wt)I (t)dt (2.52)14 d 2 0 T J (d, T, w) exp( wt)I (t)dt
(2.53) ) , , ( 1 d T wJ ’nın w = d noktasının en yakın komĢuluğundaki davranıĢının belirlenmesi yerine Taylor serisi W = d olduğunda EĢitlik 2.53 üstel faktörüne geniĢletilebilir. Bu yöntem EĢitlik 2.54’yi verir.
T n n n d 1 0 n 0 0 ( 1) J (d, T, w) (w d) t exp( dt)I (t)dt n!
(2.54) ) , , ( 1 d T wJ , w = d noktasında analitik bir fonksiyondur. Standart asimptotik formülü uygulanırsa EĢitlik 2.55 elde edilir.
0 I (t) exp(t)1/ 2 2F0 1 1, ; ; 1 (2 t) 2 2 2t (2.55)
t olduğu durumda EĢitlik 2.55’ deki 2F0; genelleĢtirilmiĢ hipergeometrik seridir.
Böylece aĢağıdaki asimtotik formül elde edilir.
2 J (d, T, w) 1 d 1 2 j j d / 2 j 0 (w d) 1 a (d) d 1 j, T(w d) (w d) (2 ) 2
(2.56) T dur. ;( za, ) tamamlanmıĢ gama fonksiyonudur. EĢitlik 3.50’de
aj(d): j 0,1,2,...
katsayıları aĢağıdaki fonksiyon ile belirlenir.d j 2 0 j j 0 1 1 1 F , ; ; a (d)z 2 2 2t
(2.57)15
2.2.1 d’nin Tek Olması Durumunda A d ve n( ) B d Katsayıları n( )
d = 1,2,3,…olduğunda wd’nin katlarında J2(d,T,w) için geniĢleme ifadesi
Davis(1960)’in formülü uygulanarak elde edebilir.
n a n 0 ( z) (a, z) (a) z (n a)n!
(2.58) z ve arg(z) dir. J2(d,T,w) ve J1(d,T,w) için EĢitlik 2.54, EĢitlik 2.52’ de yerine yazılırsa elde edilen sonuç Tdurumunda G(d,w)’nin asimptotik formülünde kullanılır. n (d 1) / 2 n n d / 2 ( 1) a (d) ( 1) B (d) (2 ) (n 1/ 2d) (2.59)
n n 1 M j n T n d / 2 j j 0 a (d) ( 1) T A (d) lim U (d, T) (2 T) n! j 1/ 2d n 1 T
(2.60) 1 n n 1 n d n 0 0 ( 1) U (d, T) T u exp(dTu)I (Tu)du n!
(2.61) ]) 2 / [ 1 , 0 max( n dM ve [a]; a’ ya eĢit veya küçük olan en büyük tam sayıdır. EĢitlik 3.54, d herhangi bir tek tam sayı olduğu durumda
Bn(d):n0,1,2,...
için kesin ifadeler elde etmeye olanak sağlar.EĢitlik 2.60’ın sağ tarafındaki ifade d 1’in tek değerleri için
An(d):n0,1,2,...
’nin sayısal değerlerini bulmak için kullanılır.16
2.2.2 d’nin Çift Olması Durumunda Cn(d)veDn(d) Katsayıları
,... 6 , 4 , 2
d olduğunda EĢitlik 3.34’ deki Cn(d)ve Dn(d) katsayıları için elde edilecek olan ifade “Bölüm 3.1.3.1” de tanımlanan iĢlemler takip edilerek bulunabilir. Ancak EĢitlik 3.54; aN N0,1,2,... olmasından dolayı kullanılamaz. Bunun için alternatif bir formül olan EĢitlik 2.62’yi kullanmak gerekir.
N m N m 0 ( 1) ( x) ( N, x) (N 1) ln x x N! (n M)m!
(2.61)Burada
(z)Digama fonksiyonudur. Dn(d)için nihai sonuç EĢitlik 61’deki gibidir.d / 2 n n n ( 1) a (d) 1 D (d) 2 (n 1/ 2d) (2.62) ) (d Cn katsayısı için;
1 / 2 0 1/ 2 1 / 2 ( ) ( 1) ( , ) (2 ) ! ( 1/ 2 1) ( ) lim ( 1) ( ) ( 1) ln (2 ) ! n n M j n d j j n n T n d d a d T U d T T n j d n T C d a d n T n
(2.63) d n M max(0, 21/2 ) , 1 2 1 d n olduğu durumda 1 2 1 n d j terimini ayrıele almak gerekecektir. Aynı zamanda EĢitlik 2.63’den
ak(d)0:k 1,2,..
bulunabilir. EĢitlik 2.63’ün sağ tarafındaki ifade d2’nin çift sayı değerleri için
Cn(d):n0,1,2,...
’nin sayısal ifadesinin bir önceki bölümdeki iĢlemler takip edilerek bulunmasında kullanılır.17
2.2.3 d-boyutlu Watson Fonksiyonu ve Logaritmik Fonksiyonun Hesaplanması
d-katlı Watson fonksiyon;
1 d
d d 1 d 0 0 d ...d 1 W ... d cos ... cos
(2.64)BirleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon;
d d 1 d 1 d 0 0 1 L ... ln d (cos ... cos ) d ...d
(2.65)EĢitlik 2.64 ve EĢitlik 2.65 ile verilen ifadeler, d-boyutlu hiperkübik örgüler için ferromanyetizmanın Küresel modeli ve Gaussian teorisinden ortaya çıkar. Wd integrali aynı zamanda d-boyutlu hiperkübik örgülerde Random Walk teorisinde önemli bir rol oynar. Ld fonksiyonu hiperkübik örgüdeki toplam sayının hesaplanmasında ve dallanan polimer yılması teorisinde yer alır. Watson (1953) tarafından W3 ifadesi oluĢturuldu.
2 3 2 W 18 12 2 10 3 7 6 K 2 3 3 2 (2.66)K(k); k modülü ile tek katlı eliptik integrali ifade eder. K(k) ifadesi aynı zamanda W3’ü
Borwein ve Zucker (1992)’in çalıĢmalarında kullandığı gama fonksiyonunu ifadelerinde yazmanın mümkün olduğunu gösterir.
2 3 3 1 1 11 W 3 1 96 24 24 (2.67)18
d
W integrali d=1 ve d=2 olduğu durumlar için mevcut değildir. Watson’un W3 ifadesi
d
4 olduğu durumlar için hesaplama yapamamaktadır. Ancak Maradudin ve ark..,
(1960) EĢitlik 3.63 ifadesi ile 4ddurumları için hesaplama yapılabileceğini gösterdi.
0 1 exp( t)dt
(2.68)Burada EĢitlik 2.64’deki integral için (
)0dır. Standart sonuç olan EĢitlik 2.69kullanılarak çoklu integral sonuçları tek bir integrale indirgenebilir.
0 0 1 exp(t cos )d I (t)
(2.69)Burada I0(t)birinci tür Bessel fonksiyonudur. Bu Ģekilde EĢitlik 2.70 elde edilir.
d d 0 0 W exp(dt)I (t)dt
(2.70)Burada d 3’ tür. Ld logaritmik fonksiyonu d=1 ve d=2 için aĢağıdaki ifadelerde olduğu gibidir. 1 L ln 2 (2.71) 2 4G L ln 2 (2.72)
Burada G; Catalan sabitidir. d 3 olduğunda Ld logaritmik fonksiyonu için literatürde daha ileri kesin formüller yoktur. EĢitlik 2.64 ’ün EĢitlik 2.70’ deki tek bir integrale indirgenmesi daha önceden çalıĢılmamıĢtır. Son zamanlarda Joyce (2002), L3 ifadesini
19
Temel amaç Ld için bir tek integral temsilinin oluĢturulmasıdır. Elde edilecek olan ifade tüm d 1 için geçerli olacaktır. Bu yeni formül
Ld :d 2,3,..
için tam doğru sayısal değerleri bulmak için kullanılacak ve d olduğu durumlarda Ld’ nin asimtotik davranıĢı belirlenecektir. Hesaplamalara EĢitlik 2.73 kullanılarak baĢlanacaktır.
0 dt exp( t) exp( zt) ln z t
(2.73) 0 ) ( z dır. EĢitlik 2.73, EĢitlik 2.63’ de kullanılırsa EĢitlik 2.69’u aĢağıdaki forma indirgeyebiliriz.
d
d 0
0
dt
L exp( t) exp( dt)I (t)
t
(2.74)Burada d 1dir. Ld’nin bu yeni ifadesi, Wd’nin EĢitlik 2.70 ile yapılan gösteriminde yer alan integrale çok yakın olduğu görülmektedir.Ld’nin sayısal değerlerini hesaplamak yerine EĢitlik 2.74 integralini (0,T] ve [T,)olarak iki kısma ayırmak gerekir. Burada T>0 dır. d d d 0 0 dt L J (T) exp( dt)I (t) (0, T) t
(2.75) 1 d d 0 0 duJ (T) [exp( Tu) exp( dTu)I (Tu)]
u
(2.76) ) , 0 ( T ; tam olmayan gama fonksiyonudur.
d 0 exp( dt)I (t) M j d / 2 j j 0 c (d) 1 (2 t)
t (2.77)20
Burada t , M = 0,1,2,…dır. Katsayılar
cj(d): j0,1,2,...
ise EĢitlik 2.78’ deki fonksiyon ile ifade edilir.d j 2 0 j j 0 1 1 z F , ; ; c (d)z 2 2 2
(2.78) 02F ; genelleĢtirilmiĢ hipergeometrik fonksiyondur. EĢitlik 3.73’ün sol tarafı z’nin
katlarına geniĢletilirse c0(d)1 ve c1(d)d/8’ dir.
2 d c (d) (8 d) 128 (2.79) 2 3 d c (d) (200 24d d ) 3072 (2.80) 2 4 d c (d) (24 d)(416 24d d ) 3072 (2.81) 2 3 4 5 d c (d) (824064 65920d 2960d 80d d ) 3932160 (2.82)
EĢitlik 2.67’yi EĢitlik 2.74’ de yerine yazarsak aĢağıdaki temel formül ortaya çıkar.
M j d T d d / 2 j J 0 c (d) 1 L lim J (T) (0, T) (2 T) j d / 2 T
(2.83) ) , 0 ( T ; tamamlanmamıĢ gama fonksiyonu, M herhangi bir pozitif tamsayı ve d 1 dir.
Ldd:d 1,2,...,10
’nun sayısal değerlerini belirlemek için EĢitlik 2.83’ün sağ tarafındaki ifadeler kullanılır. Benzer metotlar EĢitlik 2.64’deki Watson integraline uygulanabilir.21
M j d T d d / 2 j J 0 c (d) 1 W lim W (T) (2 T) j d / 2 1 T
(2.84)M; sabit pozitif tam sayıdır.
1
d
d 0
0
W (T)T exp( dTu)I (Tu)du
(2.85)
2.2.4 d-Boyutlu Örgü Green Fonksiyonlarının Analitik Hesaplanması
Örgü Green fonksiyonun, genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyonun hesaplanmasını geliĢtirmek için literatürde çeĢitli metotlar önerilmiĢtir. Aynı zamanda Green fonksiyon teknikleri geliĢtirilmiĢtir. Son zamanlarda genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için birkaç etkili teknik ve görüĢ ileri sürülmüĢtür. Örgü Green fonksiyonu ile ilgili literatürdeki çalıĢmaların çoğunun eliptik integral yaklaĢımına dayandığını belirtmek gerekir. Bu düĢünceyle çok terimli geniĢleme katsayıları yoluyla örgü Green fonksiyonu, genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için bu bölümde genel analitiksel ifadeleri elde etmek için bir ilave yapılacaktır ve yeni bir alternatif yaklaĢım yoğun madde problemlerinin çeĢitli çalıĢmalarında oluĢan çok boyutlu integrallerin sayısal hesaplamalarına yönelik var olan metotlara ilave olarak verilecektir. Bu yaklaĢım içerik olarak literatürdeki yaklaĢımlardan daha basittir. Bu yaklaĢımla oluĢturulan serilerde yeterli terim elde edilirse, fonksiyonların üç tipi için de sonuçlar büyük doğrulukla elde edilebilir.
Örgü Green fonksiyonu, Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için verilecek olan formüllerin uygulaması, Katıhal fiziğinde yer alan bazı problemlerin çözülmesi için bilgisayar kullanımında kolaylık sağlar. Yani formüller kolaylıkla cebirsel bilgisayar diliyle hesaplamalarda kullanılabilir.
d-boyutlu hiperkübik örgü Green fonksiyonu, genelleĢtirilmiĢ d-boyutlu Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon sırasıyla aĢağıda ki gibi ifade edilir.
22 1 d d 0 0 1 d d ...d 1 G(d, w) ... w (cos ...cos )
, wd (2.86) s d d 0 0 1 d 1 d 1 W (s) ... (d(cos ... cos )) d ...d
(2.87) d d 1 d 1 d 0 0 1 L ... ln(d(cos ...cos ))d ...d
(2.88)Burada d1, 2,...,s d/ 2(s1, 2,...)’dir. w; reeldir. EĢitlik 2.86’ daki w ifadesi çok sayıda örgü modelinde önemli rol oynar. Sonuç olarak s 1 ile EĢitlik 2.87’ nin özel,
yani Wd Wd( 1) belirli bir durumunu hesaba katarak d-katlı Watson fonksiyonu elde edilebilir. Örgü Green fonksiyonu, Watson fonksiyonu için yeni ifadeler elde etmek için ilk olarak, iyi bilinen çok katlı geniĢleme teoremleri hesaba katılacaktır.
1 1 2 1 2 3 n n n n n n n 1 2 3 1 n 0 n 0 n 0
(x
x
x ... x )
...
1 2 i 1 1 1 3 1 1 2 i 1 1 2 1 1 n n n ... n n n n n n ,n ,...n 1 2 3 i n n n n ... nF
(n)x x x ...x
(2.89) Burada , ,..., ( ) 2 1 n F i n nn , EĢitlik 2.90 ile ifade edilen çok terimli geniĢleme katsayılarıdır.
1 2 3 i n ,n ,n ,...n 1 2 3 1 n! F (n) . (n )!(n )!(n )!...(n )! (2.91)
Çok terimli geniĢleme katsayıları iki terimli katsayılar yoluyla ifade edilebilir:
1 2 3 1 1 2 3 n ,n n ,...n n n 1 n 1 2 F (n)F (n)F (n n )F (n n n )... 1( 1 2 1) n l F n n n n (2.92) F (n)m n!/[m!(n m)!] 0 m n 0 m 0 ve m n (2.93)
Fm(n) katsayılarını hesaplamak için; aĢağıdaki yineleme bağıntısını kullanır.
m m m 1
23
Çoklu geniĢleme katsayıları ve temel integral terimlerinde örgü Green fonksiyonu ve Watson fonksiyonu için bir ifade oluĢturulacak. EĢitlik 2.86 ve EĢitlik 2.872’ de EĢitlik 2.89’u dikkate alarak örgü Green fonksiyonu ve genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu için çoklu geniĢleme katsayılarının terimlerinde aĢağıdaki formüller elde edilir.
N i i 1 i id d N i 0 1 G(d, w) lim ( 1) F ( 1)w K
(2.94) N i i s d d N i id i 0 1 W (s) lim ( 1) F (s)d K
. (2.95)BirleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için yeni bir yaklaĢımın oluĢturulması EĢitlik 2.96’de verilen belirsiz integral ve örgü Green fonksiyonunda EĢitlik 2.87 ve EĢitlik 2.94 kullanılarak kolaylıkla oluĢturulabilir.
d L (w)
G(d, w)dwC(d) (2.96) d d 0 0 1 d 1 d 1 L (w) ln(wcos cos ))d ...d C(d)
(2.97) ( ) d dL L d özdeĢliği, EĢitlik 2.88 ve EĢitlik 2.97’ den görüldüğü gibi integrasyon sabiti sıfıra eĢittir; yani C(d) = 0 dır. ġimdi EĢitlik 2.94’ü EĢitlik 2.96’da dikkate alıp, birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyon için yeni bir ifade elde edilecektir.
N i id d d 0 0d N i i i 1 K 1 L F ( 1)K ln(d) lim ( 1) F ( 1) id
. (2.98)EĢitlik 2.94, EĢitlik 2.95 ve EĢitlik 2.98’ de N indeksi toplamın en üst limitidir. Bu denklemlerden ortaya çıkan temel Knd integrali aĢağıdaki gibi ifade edilir.
24
n nd 1 d 1 d 0 0 K ... cos ...cos d ...d
(2.99) 1 2 d 1 1 1 2 1 2 3 d 1 2 d 1 2 3 t 1 2 d 1 n n n ... n n n n n n n n ,n ,n ,...n n n n n 0 n 0 n 0 n n n n ... n...
F
(n)I I ...I
(2.100) Burada n0’dır.n
I
n
cos
d
0
(2.101) I n integralinin hesaplanabilmesi için aĢağıdaki formül kullanılacaktır.
n 0, n; tek n 1/ 2 I , n;çift n / 2 1 (2.102)Bu bölümde örgü Green fonksiyonu, genelleĢtirilmiĢ Watson fonksiyonu ve birleĢtirilmiĢ logaritmik fonksiyonun çözümü için yeni bir çözüm yolu sunuldu. Bu ifadeler çoklu geniĢleme serilerine dönüĢtürülebilir. Elde edilen bu Basit integraller, çok terimli geniĢleme katsayılarını içeren çok katlı seri geniĢlemelerine dönüĢtürülebilir. Hesaplanan bu yeni ifadeler yardımıyla Katıhal fiziği ile iliĢkili birçok problemin detaylı bir Ģekilde hesaplanması mümkündür.
25
3. MATERYAL ve YÖNTEM
Örgü Green fonksiyonlarını konu alan çok sayıda kitap ve makale bulunmaktadır. Green fonksiyonlarının Katıhal fiziğindeki uygulamaları ve bu konudaki çalıĢmalar son elli yıl ve öncesinden bu günümüze kadar hız kazanarak gelmiĢtir. Burada, Örgü Green fonksiyonların hesaplanması için verilen teknik (Mamedov ve ark.,2008) bu fonksiyonları; Binomial geniĢleme teoremi kullanılarak Binomial katsayılara ve temel integrallere dönüĢtürmeye olanak verir. Bu ifadeler çok zor integraller içerdiklerinden dolayı kompleks integral parametrelerinde bu hesaplamayı yapmak çok zordur. Bundan dolayı “Wolfram Mathematica 7.0’’ programı kullanılarak Örgü Green Fonksiyonlarının programları oluĢturulmuĢ, ideal basit kübik örgü ve kusurlu basit kübik örgü için manyetizasyon değerlerinin hesaplamaları yapılmıĢtır. Elde edilen sonuçlar literatürdeki deneysel sonuçlarlarla kıyaslanmıĢtır. Örgü Green fonksiyonlarının hesaplanmasında önerilen bu yeni yaklaĢım sayısal hesaplamalarda kolaylık sağlamıĢtır.
3.1 Örgü Green Fonksiyonları
Yönlere bağlı yüzey merkezli ve basit kübik örgü Green fonksiyonları sırasıyla aĢağıdaki gibi tanımlanır.
1 2 3 1 1 1 1 1 2 2 3 1 3 1 0 d d d 1 G ( , )
cos cos cos cos cos cos
(3.1) 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 2 3 0 d d d 1 G ( , )cos cos cos
(3.2)
Burada ve gerçek parametrelerdir. Joyce (2002)’un yaptığı çalıĢmada, basit kübik, cisim merkezli kübik ve yüzey merkezli kübik örgüler için orijinde ilgili fonksiyonlar aĢağıdaki biçimdedir
26
Basit kübik örgüler için
1 2 3 1 3 0 1 1 2 3 d d d 1 G ( ) 1
(cos cos cos )
3
(3.3)
Cisim merkezli kübik örgüler için,
1 2 3 2 3 1 2 3 0 d d d 1 G ( )
cos cos cos
(3.4)
Yüzey merkezli kübik örgüler için,
1 2 3 3 0 1 2 2 3 3 1 d d d 1 G ( ) 1
(cos cos cos cos cos cos )
3
(3.5)Örgü Green fonksiyon ifadelerinin elde edilmesinde; rastgele seçilen gerçek veya kompleks n ve x y durumu için aĢağıdaki Binomial geniĢleme teoremi
kullanılmıĢtır. n m n m m m m=0 (x±y) = (±1) F (n)x y
(3.6) Burada F n0( ) 1 ’ dır.
!/ !( )! ( ) ( 1) ( ) ! ( ) m m n m n m F n m n m n (3.7) n; tamsayı n; tamsayı değil27
Yukarıdaki eĢitlikte m0 durumunda Binomial katsayısı F nm( )sıfıra eĢittir ve negatif faktöriyel ile pozitif tamsayı olan n’ nin toplama katkısı yoktur. ( )
ifadesi EĢitlik 3.7’ de belirtilen Gamma fonksiyonudur.1 t 0 ( ) t e dt
(3.8)EĢitlik 3.6, EĢitlik 3. 4 ve EĢitlik 3. 9’da dikkate alınırsa örgü Green fonksiyonları için sırasıyla aĢağıdaki ifadeler elde edilir.
j L i 1 i k 2 2 2 3 L 2 j k 2 i j j k k i 0 j 0 k 0 1 G ( , ) lim F (i)F ( j) I I I
, 2 2 2 (3. 9) j M i 1 3M i j k i j j k k i 0 j 0 k 0 1 1G ( ) lim F (i)F ( j)I I I
(3 )
1 (3.10)Burada L ve M indeksleri toplamlarının üst sınırlarını ifade etmektedir ve In ifadesi EĢitlik 3.11’de verilmiĢtir.
n n o
I
cos d (3.11)n
I ifadesi hesaplandığında (Mamedov ve ark.,2005) EĢitlik 3.12 elde edilir.
n 1 n 2 n 1 2 0, n tek ise I , n çift ise (3.12)
28
3.2 Spin - Dalga Teorisi
x,y,z yönlerinde J, J, αJ (J 0 ve α 0 için) değerlerine sahip en yakın komĢu değiĢ tokuĢ integrali ile birlikte basit kübik örgü için spini S olan ferrromagnetizmanın Heisenberg modelini düĢünelim. Ġdeal spin dalga teorisine göre (Dyson, 1956; Mattis, 1965) bir termodinamik T sıcaklığında bu modelin manyetizasyonu M(T) aĢağıdaki gibi verilir. M(T) 1 1 ( , ) M(0) S (3.13) 2 (1) n 2 0 2 0 n n 0 n 1 1 1 1 1 1 3 F , ; F , ; C ( )( z) , 2 2 2m 2 2 2m 2
(3.14) 1 2 33( , )=(2+ )-cos -cos - cos
(3.15) B 4JS k T (3.16)
ve Boltzmann sabitidir. (3.14) integralini baĢka bir biçimde ifade etmek için durum yoğunluğu fonksiyonunu ( ) kullanabiliriz.
0 0 1 exp(x cos )d I (x)
(3.17) Burada R G ( , u) lim G( , u i ) G ( , u) (3.18)29
gibi tanımlanır. Ġlgili manyetizasyonun düĢük sıcaklıklardaki davranıĢı üstlerindeki geometrik seriler gibi (3.14)’ deki integral bir kez geniĢletilerek incelenebilir. x 0 2 0 e 1 1 1 I (x) F , ; 2 2 2x 2 x (3.19)
olduğunu bulduk. Standart sonuç (Joyce, 1998)(11.12) eĢitliğine uygulanırsa,
0 0 1 exp(x cos )d I (x)
(3.20)elde edilir. Burada I0(z) modifiye edilmiĢ Bessel fonksiyonudur. Bu iĢlem aĢağıdaki ifadeyi verir. 2 0 0 m 1 ( , ) exp[ m(2 ) ]I (m I (m )
(3.21)τ >>1 olduğunda aĢağıdaki asimptotik formülü kullanabiliriz.
x 0 2 0 e 1 1 1 I (x) F , ; 2 2 2x 2 x (3.22)
x , EĢitlik (3.21)’i aĢağıdaki biçimde yazabiliriz.
n 2 n n m n (1) m n n 3 2 2 m 0 m 1 1 ( 1) ( ) n ( ) 2 2 C ( ) F 1 m n!2 (2n 1) ( n) 2
(3.23)Son olarak EĢitlik (3.23)’e 2 (1) n 2 0 2 0 n n 0 n 1 1 1 1 1 1 3 F , ; F , ; C ( )( z) , 2 2 2m 2 2 2m 2
(3.24)30 n (1) n 3/ 2 n 0 1 3 1 ( , ) C ( ) n 2 (2 )
(3.25)Burada Riemann zeta fonksiyonunu gösterir ve, katsayısı Green fonksiyonu geniĢlemesi, 1 (1) n 2 (1) n n n n 0 n 0 1 G( , ) A ( )[ (2 )] [ (2 )] C ( )[ (2 )] 2
, (3.26) ve (3.27) formülü ile tanımlanır.31
4. BULGULAR ve TARTIġMA
Bu çalıĢmada Örgü Green Fonksiyonları kullanılarak çeĢitli katıların manyetizasyonunun doğrudan hesaplanması için verilen etkili bir tekniğin “Mathematica 7.0” bilgisayar dilinde oluĢturulan programından elde edilen sonuçları ve literatürdeki sonuçlarla yapılan bir kıyaslaması verilmiĢtir. Elde edilen sonuçlar ġekil 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5,4.6’ da sunulmuĢtur.
ġekil 4.1 Gd elementi için deneysel olarak ölçülen ve teorik olarak hesaplanan manyetizasyon değerlerini göstermektedir. ġekilden de görüldüğü gibi hesaplanan manyetizasyon sonuçları diğer sonuçlarla (Namikawa ve ark., 1985; Hannon ve ark., 1988; Dürr ve ark., 1999; Camley ve Tilley, 1988) uyum içindedir.
EĢitlik (3.13)’de J ve α’ nın farklı değerleri için elde edilen manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi ġekil 4.2- 4.7’de görülmektedir.
32
ġekil4.1. Gd için yüzey manyetizasyonunun sıcaklıkla değiĢimi. ■ XMCD ölçümlerinden elde edilen sonuçları (Hannon ve ark.,1988; Namikawa ve ark., 1985; Dürr ve ark., 1999), ▲ Temel Alan Hesaplamalarını (Mean-field) (Camley ve Tilley, 1988), ● yük manyetik reflectivity (Choi ve ark., 2004) sonuçlarını ve düz çizgi bu çalıĢmadan (J 2,
2) elde edilen sonuçları göstermektedir.33
ġekil 4.2 Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J1,
1)34
ġekil 4.4 Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J 2,
1)35
ġekil 4.6 Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J2,
3)ġekil 4.7 Manyetizasyonun sıcaklıkla değiĢimi (J 3,
3)36
5. SONUÇ
Son zamanlarda Green fonksiyonu Katıhal fiziği uygulamalarında sıkça kullanılmaktadır. Katıhal fiziğinde birçok ilgi çekici nicelik örgü Green fonksiyonlarınca ifade edilebilir. Bu çalıĢmada Örgü Green fonksiyonunun temel özellikleri ve Katıhal fiziğindeki çeĢitli uygulamaları verilmiĢtir. Bu uygulamalar dahilinde örgü Green fonksiyonları kullanılarak Gd elementi ve elde edilen analitik ifade için manyetizasyon hesaplamaları yapıldı. Bu çalıĢmada oluĢturulan formüllerin basit kübik yapılı katıların manyetizasyon değerlerinin hesaplanmasında kullanılabilmesi için “Mathematica 7.0 bilgisayar programı kullanılarak hesaplamalar yapıldı. Yapılan karĢılaĢtırmanın, literatürden elde edilen sonuçlarla yakından iliĢkili olduğu ġekil 4.1’ de görülmektedir. Ayrıca, J ve α’ ya bağlı olarak elde edilen sonuçlar ġekil 4.2 ,4.3 ,4.4, 4.5, 4.6 ve 4.7’ de görülmektedir. Bu çalıĢmada, basit kübik örgü Green fonksiyonlarının temsili için yeni ve basit bir ifade türetilmiĢtir.
37
KAYNAKLAR
Aitchison, R.E., 1964. Resistance between adjacent points of liebman mesh. American Journal of Physics 32, 566.
Aitkinson, D. ve Van Steenwijk, F.J.,1999. Infinite resistive lattices. American Journal of Physics 67, 486-492.
Camley, R. E. and Tilley, D. R., 1988. Phase transitions in magnetic superlattices. Phys. Rev. B 37, 3413-3421.
Choi, Y., Haskel, D., Camley, R.E., Lee, D.R., Lang,J.C., Srajer, G., Jiang, J.S. and Bader, S.D., 2004. Temperature evolution of the Gd magnetization profile in strongly coupled Gd/Fe multilayers. Physical Review B 70, 134420.
Cserti, J., 2000. Application of the lattice Green’s function for calculating the resistance of a infinite network of resistors. Journal Physic 68 (10), 896-906.
Cserti, J., David, G. ve Piroth,G., 2002. Perturbation of infinite networks of resistors. American Journal Physics 70 (2).
Delves, R.T. ve Joyce, G.S., 2001. On the Green function for the anisotropic simple cubic lattice. Annals of Physics 291, 71-133.
Dürr, H. A., Dudzik, E., Dhesi, S.S., Goedkoop, J. B., Van der Lan, G., Belakhovsky, M., Mocuta, C., Marty, A. and Samson, Y., 1999. Chiral Magnetic Domain Structures in Ultrathin FePd Films . Science 284, 2166.
Dyson, F. J., 1956. Thermodynamic Behavior of an Ideal Ferromagnet. Phys. Rev. 102, 1230-1244.
Economou, E.N., 1983. Green function in quantum physics.
Glasser, M. L. ve Zucher, I. J.,1977. Extended Watson Integrals for Cubic Lattices. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 74,1800-1801.
Guseinov, I.I. ve Mamedov B.A; 2006. A unified treatment of the lattice Green function, generalized watson integral and associated logarithmic integral for the d-dimensional hypercubic lattice. Philosophical Magazine, 1-6.
Hannon, J. P., Trammell, G.T., Blume M. and Gibbs, D., 1988. X-Ray Resonance Exchange Scattering. Phys. Rev. Lett. 61, 1245-1248.
Hollos, S. ve Hollos, R., 2005. Capasitans calculations using the lattice Green function in two dimensions. Cond-mat/0601016.
Hollos, S., 2006. Some square lattice Green function formulas. Cond-mat/050879. Horiguchi, T., 1971. Lattice Green’s Function for the Simple Cubic Lattice. Journal
Physics Society Japon 30,1261-1272.
Inoue, M., 1974. Lattice Green’s function for the body-centered cubic lattice. Journal Mathematical.Physics. 16, 809-812.
Joyce, G.S.,1970. Exact results for a body–centered cubic lattice Green’s function with applications in lattice statisticts. Journal of Mathematical Physics.12, 7.
Joyce, G.S., 1973. On the simple cubic lattice green functions. Philoshical Trans.Rsociety. 273, 583-610.
Joyce, G. S., 1998. On the cubic modular transformation and the cubic lattice Green functions. J. Phys. A 31, 5105.
Joyce, G.S. ve Zucher, I.J.,2001. Evaluation of The Watson Integral and Associated Logarithmic Integral For The d-dimensional Hypercubic Lattice Journal Physics.A:Mathematical 34, 7349-7354.
38
Joyce, G.S., 2002. Singular behaviour of the lattice Green function for the d- dimesional hypercubic lattice. Journal Physics A:Mathematical 36, 911.
Katsura, S. Morita, T. Inawashiro, S. Horiguchi, T. ve Abe, Y., 1971. Lattice Green function introduction. Journal Mathematical Physicis, 12, 892-895.
Lee, J. ve Teitel, S., 1992. Phase transition in classical two-dimensional lattice coulomb gases.Physics Rev.B46 3247-3262.
Mamedov, B.A. ve Askerov I.M.,2008. Accurate evaluatin of the cubic lattice Green Functions using binomial expansion theorems. Int.J. Theorical Physic.
Maradudin, A.A. Montroll E.W. Weiss, G.H. Herman, R. ve Milnes, H.W., 1960. Green’s functions for monatomic simple cubic lattices. Bruxelles: Academie Royale Belgique.
Mattis, D. C., 1965. “The Theory of Magnetism,” Harper & Row, New York.
Morita, T. ve Horiguchi,T.,1970. Calculation of the Lattice Green’s Function For The Bbc,Fcc ve Rectangular Lattices. Journal of Mathematical Physics.12, 6.
Namikawa, K., Ando, M., Nakajima, T. and Kawata, H., 1985. X-Ray Resonance Magnetic Scattering. J. Phys.Soc. Jpn. 54, 4099.
Whittaker, E.T., 1927. Course of Modern Analysis. 4th EDN, Combridge
Wolfram, T. ve Callaway, J., 1963. Spin-Wawe Impurity States in Ferromagnets. Phys. Rev. 130, 2207-2217.
39
ÖZGEÇMĠġ KiĢisel Bilgiler
Adı Soyadı : Göktuğ GÜZEL
Doğum Tarihi ve Yeri : 07.06.1977 / TOKAT Yabancı Dili : Ġngilizce
Telefon : 05054513411
e-mail : [email protected] Eğitim
Derece Fakülte/Program Üniversite Yıl
Lisans Eğitim Fakültesi / Fizik
Öğretmenliği Ondokuz Mayıs Üniversitesi 1996–2001 Y. Lisans Fen Bilimleri Enstitüsü/ Fizik Gazi Osman PaĢa Üniversitesi 2007– …
ĠĢ Deneyimi Görev Unvanı
Görev yeri Yıl
Fizik
Öğretmeni Final Dergisi Dershanesi Tokat
2004-2006 2007-2009 Fizik
Öğretmeni Final Dergisi Dershanesi Tokat / Erbaa 2006-2007 Fizik
Öğretmeni Karasu Eğitim Dershaneleri Tokat / YeĢilyurt 2008-2009 Fizik
