KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIMDAKİ SIRA İSTATİSTİKLERİN
ÖRNEK EKSTREMLERİNİN GENELLEŞTİRİLMİŞ
MOMENTLERİ
Ayşe TURAN BUĞATEKİN
Doktora Tezi
İstatistik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Sinan ÇALIK
T.C
FIRAT ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIMDAKİ SIRA İSTATİSTİKLERİN
ÖRNEK EKSTREMLERİNİN MOMENTLERİ
DOKTORA TEZİ
Ayşe TURAN BUĞATEKİN
(Enstitü No: 091133201)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 30 Mayıs 2011
Tezin Savunulduğu Tarih: 16 Haziran 2011
HAZİRAN- 2011
Tez Danışmanı:
Yrd. Doç. Sinan ÇALIK (F.Ü)
Diğer Jüri Üyeleri:
Prof. Dr. Mehmet BEKTAŞ (F.Ü)
Doç. Dr. Mustafa İNÇ (F.Ü)
Yrd. Doç. Dr. Mehmet GÜRCAN (F.Ü)
Yrd. Doç. Dr. Cemil ÇOLAK (İ.Ü)
T.C.
FIRAT ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIMDAKİ SIRA İSTATİSTİKLERİN ÖRNEK
EKSTREMLERİNİN GENELLEŞTİRİLMİŞ MOMENTLERİ
DOKTORA TEZİ
Ayşe TURAN BUĞATEKİN
Enstitü No: 091133201
Anabilim Dalı: İstatistik
Programı: İstatistiksel Bilgi Sistemleri
Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Sinan ÇALIK
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 30 Mayıs 2011
II
ÖNSÖZ
Tez konusunun belirlenmesi ve yürütülmesi aşamasında, her türlü yardımı ve desteği
esirgemeyen kıymetli danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Sinan ÇALIK’ a teşekkür eder,
saygılarımı sunarım.
Bu süreçte, bana destek veren, cesaretlendiren ve hep yanımda olan sevgili eşim ve değerli
aileme tüm kalbimle teşekkür ederim.
Ayşe TURAN BUĞATEKİN
ELAZIĞ- 2011
III
İÇİNDEKİLER
Sayfa No
ÖNSÖZ……… II
İÇİNDEKİLER……….. III
ÖZET……….. IV
SUMMARY……… V
TABLOLAR LİSTESİ……….. VI
SEMBOLLER LİSTESİ……… VII
EKLER LİSTESİ……….. VIII
1. GİRİŞ………. 1
2. MATERYAL ve METOT………. 4
2.1. Sıra İstatistikleri ve Dağılımları……… 6
2.2.
:,
:, … ,
:Sıra İstatistiklerin Ortak Dağılımı………. 7
2.3. Kesikli Dağılımlar için Yaklaşımlar……….. 8
2.4. Momentler ve Çarpım Momentleri……… 9
2.5. Kesikli Anakütlelerin Sıra İstatistiklerine Alternatif Yaklaşım………. 12
2.6. Kesikli Düzgün Dağılımdaki Sıra İstatistikleri……….... 14
3. BULGULAR……… 15
3.1. Kesikli Düzgün Dağılımdaki Sıra İstatistiklerin Momentleri……… 15
4. SONUÇ ve TARTIŞMA……… 30
KAYNAKLAR……….. 31
EKLER……….. 33
IV
ÖZET
Sürekli tesadüfi değişkenlerdeki sıra istatistiklerinin momentleri kolaylıkla bulunabilir.
Ancak kesikli durumda sıra istatistiklerin dağılımları daha karmaşık olduğundan,
momentlerini bulmak kolay değildir. Bu momentlerin hesaplanabilmesi için belirli yaklaşımlar
ortaya konmuştur. Bu yaklaşımlar kullanılarak bazı kesikli dağılımların sıra istatistiklerinin
momentleri hesaplanabilir.
Bu çalışmanın ilk bölümünde, sıra istatistiklerin tarihçesinden ve günümüze kadar yapılan
gelişmelerden bahsedilmiştir. İkinci bölümünde, bazı kavramlar, özellikler ve yaklaşımlar
verilmiştir. Verilen yaklaşımlardan beta integral formu kullanılarak kesikli düzgün
dağılımdaki maksimum ve minimum sıra istatistiklerin momentleri genelleştirilmiştir. Ayrıca
kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek ekstremlerinin beklenen değer ve
varyansları sayısal olarak hesaplanıp, bu değerler bir tablo halinde sunulmuştur.
Anahtar Kelimeler: Sıra İstatistikleri, Dağılım Fonksiyonu, Kesikli Düzgün Dağılım,
Moment, Ekstremler.
V
SUMMARY
Generalized Moments of Sample Extremes
of Order Statistics from Discrete Uniform Distribution
Moments of order statistics in continuous random variables can be found easily. In contrast,
since distributions of order statistics are more complex in discrete case, it is not easy to find
their moments. Some specific approaches have been put forward for calculating these
moments. Moments of order statistics of some discrete distributions can be calculated by using
these approaches.
In the first chapter of this study, the histories of order statistics and developments in this
field up to now have been related. In the second chapter, some concepts, features and
approaches are given. With the help of the given approaches, moments of maximum and
minimum order statistics in discrete uniform distributions are generalized by using beta
integral form. Additionally, expected values and variances of the sample extremes of order
statistics in discrete uniform distributions are calculated numerically and they are given in a
table.
Keywords: Order Statistics, Distribution Function, Discrete Uniform Distribution,
Moment, Extremes.
VI
TABLOLAR LİSTESİ
Sayfa No
Tablo 3.1. Kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek minimumunun
beklenen değer ve varyansı……….….22
Tablo 3.2. Kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek maksimumunun
VII
SEMBOLLER LİSTESİ
)
(x
f
:
X
tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu
)
(x
F
:
X
tesadüfi değişkeninin dağılım fonksiyonu
)
(
:x
f
rn: r inci sıra istatistiğinin olasılık fonksiyonu
)
(
:x
F
rn: r inci sıra istatistiğinin dağılım fonksiyonu
r
: Orijine göre r inci moment
) ( : m n r
: r inci sıra istatistiğinin orijine göre m inci momenti
)
(t
M
X:
X
tesadüfi değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu
)
(
:t
M
n rX
: r inci sıra istatistiğinin moment çıkaran fonksiyonu
)( x F
I
VIII
EKLERİN LİSTESİ
Sayfa No
EK 1. Kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek minimumunun
beklenen değeri için Matlab programı……….…………...33
EK 2. Kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek minimumunun
varyansı için Matlab programı……….………...33
EK 3. Kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek maksimumunun
beklenen değeri için Matlab programı………...….33
EK 4. Kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek maksimumunun
1. GİRİŞ
20. yy başlarından itibaren sıra istatistikleri ve özellikleri üzerine önemli çalışmalar
yapılmıştır. Sıra istatistikleri terimi ilk olarak Wilks (1942) tarafından ortaya atılmıştır. Ancak
Wilks tarafından ortaya atılan, bir örnekteki sıralı değişkenler için tanımlanan sıra istatistikleri
konusu çok daha eskidir.
Sıra istatistiklerin ortalama, varyans ve kovaryanslarının ilk sistematik tablosu Hasting et
al. (1947) tarafından verilmiştir. Sıra istatistikleri teorisini tanımlayan ilk temel kitap David
(1981) tarafından yazılmıştır. Arnold vd. (1992), David ve Nagaraja (2003) bağımsız ve aynı
dağılımlı (iid) tesadüfi değişkenlerin sıra istatistikleri için yeni gelişmeler sunmuşlardır.
Sıra istatistiklerin dağılım teorisi 1900’ lerin başlarından beri önemli ölçüde ilgi görmüştür.
Sürekli dağılımların yanı sıra kesikli dağılımlar içinde sıra istatistiklerin genel özellikleri ile
ilgili çeşitli makaleler ortaya çıkarılmıştır. Khatri (1962), kesikli durum için sıra istatistikleri
teorisinin birkaç sistematik hesaplamasını vermiştir. Buna karşılık Kabe (1969), Khatri’ nin
(1962) karmaşık olarak verdiği i inci sıra istatistiğinin olasılık fonksiyonu ve i inci ve j inci
sıra istatistiğinin ortak olasılık fonksiyonunu daha basit ifadelerle tanımlamıştır. Balakrishnan
(1986), keyfi sürekli dağılımlardaki n boyutlu bir örnekteki sıra istatistiklerinin tekli ve çarpım
momentleri için mevcut olan indirgeme ilişki ve eşitsizliği kesikli durumlar için elde
edilmiştir. Nagaraja (1992), kesikli sıra istatistiklerin dağılım teorisini ve özelliklerini detaylı
bir şekilde incelemiştir. Arnold vd. (1992), Khatri’ nin elde ettiği ilk iki momenti farklı bir
yolla ispatlamışlardır. Çalık ve Güngör (2004), bir uygulama olarak kesikli düzgün
dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek maksimumunun beklenen değerini, n=15 örnek boyutuna
kadar cebirsel olarak ifade etmişlerdir. Çalık vd. (2010), kesikli dağılımdaki sıra istatistiklerin
m inci momentini ispat etmişlerdir.
Her bir tesadüfi değişken, dağılım fonksiyonu ile karakterize edilir. Fakat pratikte çoğu
zaman dağılım fonksiyonu belli olmaz. Matematiksel istatistiğin temel problemlerinden birisi
tesadüfi değişkenin deneysel değerlerini kullanarak onun dağılım fonksiyonunu tahmin
2
etmektir. Bazı dağılım fonksiyonlarının analitik ifadesi belli olsa da birkaç bilinmeyen
parametre (parametreler) içerir. Bu parametreler moment denilen sayısal değerler ile ifade
edilirler. Dağılım fonksiyonunun bu bilinmeyen parametresi (parametreleri) belirli koşullar
altında momentler yardımıyla belirlenebilir. Ayrıca, olasılık ve stokastik süreçler için önem
taşıyan bazı eşitsizlikler momentler yardımıyla ifade edilmektedir.
Sıra istatistiklerinin momentleri de çoğu istatistiksel problem için büyük bir öneme sahiptir.
Sıra istatistiklerinin momentleri, özellikle ortalama, varyans ve kovaryansları hakkında
edinilen bilgiler, sıra istatistiklerin lineer fonksiyonlarının beklenen değer ve varyanslarının
değerlendirilmesini sağlar. Böylece bu lineer fonksiyonların tahminlerinin ve bu tahminlerin
etkinliğinin bulunmasına yardımcı olur.
Çoğu yazarlar birincil amaç olarak bu momentlerin doğrudan hesaplanmasını sağlayan
indirgeme formüllerini araştırmış ve sıra istatistiklerin bu momentleri sayesinde birkaç
indirgeme ilişki ve eşitsizliği ortaya koymuşlardır. Bu konu ile ilgili araştırmalar Joshi (1973),
David (1981), Joshi ve Balakrishnan (1982), Balakrishnan ve Malik (1985), Malik,
Balakrishnan ve Ahmed (1988), Arnold ve Balakrishnan (1989), Joshi ve Shubha (1991),
Arnold, Balakrishnan ve Nagaraja (1992) kaynaklarından elde edilebilir. Bu indirgeme
ilişkileri keyfi anakütledeki sıra istatistiklerin hesaplanan tekli ve çarpım momentleri, varyans
ve kovaryanslarının doğruluğunu kontrol etmek için kullanılır.
Sıra istatistiklerin sık karşılaşılan uygulamalarından biri özel dağılımların parametre
tahminleridir. Sıra istatistikleri aynı zamanda regresyon katsayılarının tahmini içinde
kullanılır. En küçük kareler metoduna alternatiflerin çoğu sıra istatistiklerine dayanmaktadır.
Sıra istatistikleri sadece nokta tahminleri için değil aynı zamanda güven aralıkları, tolerans
aralıkları ve tahmin aralıkları için de faydalıdır.
Sıra istatistiklerin bir başka uygulama alanı da güvenirlik teorisidir. Aynı zamanda teste
tabi tutulan n tane ürünün yaşam zamanlarını gösterdiği için sıra istatistikleri yaşam analizinde
de önemli bir yer tutmaktadır. Özellikle sıra istatistiklerine dayalı birçok istatistik dağılımdan
bağımsız özelliğinden dolayı parametrik olmayan yöntemlerde geniş şekilde kullanılmaktadır
(Shahbazov, 2005).
Sulama planı, sel koruma sistemleri, barajlar gibi dere, nehir veya göldeki su seviyeleri
çoğu mühendislik çalışmalarının planlanmasıyla yakından ilgili değişkenlerdir.
X
i,
i
1
,
2
,...,
n
3
tesadüfi değişkenleri su seviyelerinin bir örneğini göstersin. İlk k tane sıra istatistiği
nk n
n
X
X
X
1:,
2:,...,
:en küçük gözlemlerdir ve kuraklık esnasında sistem davranışını belirlerler.
Aksine son k tane sıra istatistiği
X
nk1:n,...,
X
n:nen büyük değerlerdir ve sel veya fırtına
esnasındaki sistem davranışını gösterirler (Salvadori et al., 2007).
Sıra istatistiklerin diğer uygulamaları; istatistiksel kalite kontrol, çoklu karşılaştırma
testleri, hidroloji, meteoroloji, sismoloji, ekonometri alanlarındadır.
Kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistikleri ise; sağlık bilimleri, kodlanmış örnekleme
seçimi, jeoloji, biyolojide; “Doğal Seleksiyon ve Gerçek Algılama” [Mark vd., 2010] gibi
çeşitli uygulama alanlarına sahiptir.
Bu çalışmada, kesikli düzgün dağılımdaki sıra istatistiklerin örnek maksimum ve
minimumunun m inci momentleri ve moment çıkaran fonksiyonları elde edilmiştir. Bu
moment çıkaran fonksiyonlar yardımıyla, örnek ekstremlerinin beklenen değer ve varyansları
için, Matlab programı kullanılarak, sayısal sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca çalışmada aksi
belirtilmedikçe tesadüfi değişkenin kesikli olma durumu için inceleme yapılmıştır.
2. MATERYAL ve METOT
X tesadüfi değişkeninin
rile gösterilen sıfır noktası dolayındaki r inci momenti,
X
rnin beklenen değeridir. Simgesel olarak
r
0
,
1
,
2
,...
için,
x r r rE
(
X
)
x
f
(
x
)
(2.1)
dir [Freund, 2002].
Moment çıkaran fonksiyon yöntemi ise tesadüfi değişkenlerin sahip oldukları dağılımların
momentlerinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem tesadüfi değişkenlerin
olasılık fonksiyonundan yararlanarak bir fonksiyon belirler ve bu fonksiyondan yararlanılarak
momentler daha kolay bir şekilde hesaplanır.
X tesadüfi değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu,
)
(
)
(
t
e
P
x
M
x tx X
(2.2)
şeklindedir [Freund, 2002].
Tanım 2.1. X kesikli bir rassal değişkense, X’ in aralığı içindeki her bir x için
)
(
)
(
x
P
X
x
f
ile verilen fonksiyona X’ in olasılık fonksiyonu denir [Freund, 2002].
Tanım 2.2. X kesikli bir rassal değişkense,
x tx
t
f
x
X
P
x
F
(
)
(
)
(
),
fonksiyonuna X’ in dağılım fonksiyonu ya da birikimli dağılım denir. Burada
f
(t
)
, X olasılık
dağılımının t’ deki değeridir [Freund, 2002].
5
Teorem 2.1.
X tesadüfi değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu
M
X(t
)
, sıfırı kapsayan bazı açık
aralıklar
üzerinde
sınırlı
olsun.
Buna
göre
M
X(t
)
açık
aralıklar
üzerinde
diferensiyellenebilirdir ve
k
1
olmak üzere,
)
0
(
)
(
x( k) kM
X
E
(2.3)
yazılabilir [Dasgupta, 2010].
Teorem 2.2.
Bir tesadüfi değişken olan X ’ in aralığı
x
1
x
2
...
x
ndeğerlerinden oluşuyorsa
)
(
)
(
x
1F
x
1f
ve
i
2
,
3
,...,
n
için
f
(
x
i)
F
(
x
i)
F
(
x
i1)
olur [Freund and Walpole, 1962].
Teorem 2.3. (Olasılık- İntegral Dönüşümü)
X tesadüfi değişkeni
F
( x
)
birikimli dağılım fonksiyonuna sahip olsun.
F
( x
)
sürekli ise
Y
tesadüfi değişkeni
(
0
,
1
)
aralığı üzerindeki düzgün olasılık dağılımına sahip
Y
F
( x
)
dönüşümü ile üretilir [Gibbons, 1971].
Teorem 2.4.
n
X
X
X
1,
2,...,
sürekli
F
dağılım
fonksiyonuna
sahip
bir
örneklem
ve
n n n
n
X
X
X
1:
2:
...
:bu örneklemin sıra istatistiklerini göstersin.
)
(
...,
),
(
),
(
1: 2: 2: : : : 1nF
X
nU
nF
X
nU
nnF
X
nnU
olmak üzere
U
1:n,
U
2:n,...,
U
n:n; (0,1) aralığındaki düzgün dağılımdan alınmış örneklemin sıra
istatistikleridir [David, 1981].
6
2.1. Sıra İstatistikleri ve Dağılımları
n
X
X
X
1,
2,...,
örneklemi artan sırada
X
1:n
X
2:n
...
X
n:nbiçiminde sıralansın. Bu
sıralanmış
X
1:n,
X
2:n,...,
X
n:ntesadüfi değişkenlerine sıra istatistikleri denir. Burada
X
r:nn-
boyutlu örneklemin r inci sıra istatistiği olarak adlandırılır. 1 inci sıra istatistiği,
)
,...,
,
min(
1 2 : 1nX
X
X
nX
ve n inci sıra istatistiği,
)
,...,
,
max(
1 2 :n n nX
X
X
X
şeklindedir.
X
r:n’ nin birikimli dağılım fonksiyonu (cdf),
)
Pr(
)
(
: :x
X
x
F
rn
rn
Pr(
X
1,
X
2,...,
X
n’ lerin en az r tanesi
x
)
n r i nX
X
X
,
,...,
Pr(
1 2’ lerin tam i tanesi
x
)
n r i i n ix
x
F
x
F
i
n
,
)]
(
1
[
)]
(
[
(2.4)
şeklinde bulunabilir.
Buna göre
X
r:n’ nin birikimli dağılım fonksiyonu n deneme sayısı ve
F
(x
)
başarı olasılığı
olmak üzere bir binom dağılımının kuyruk olasılığıdır. Ayrıca
n r i p r n r i n ip
dt
t
t
r
n
r
n
p
p
i
n
0 11
0
,
)
1
(
)!
(
)!
1
(
!
]
1
[
(2.5)
eşitliği mevcut olduğundan
X
r:n’ nin cdf ’ si,
) ( 0 1 :(
1
)
)!
(
)!
1
(
!
)
(
x F r n r n rt
t
dt
r
n
r
n
x
F
(2.6)
I
F(x)(
r
,
n
r
1
),
x
olarak da yazılabilir. Burada
I
F( x),
) ( 0 1 1 ) ((
1
)
)!
(
)!
1
(
!
)
,
(
x F x Ft
t
dt
r
n
r
n
I
7
şeklinde tanımlanan incompleta beta fonksiyonudur. (2.6)’ da tanımlanan
F
r:n(
x
)
ifadesi
kesikli veya sürekli herhangi bir anakütle için sağlanır [David, 1981].
2.2.
:,
:, … ,
:Sıra İstatistiklerin Ortak Dağılımı
n r
X
:ve
X
s:n(
1
r
s
n
)
sıra istatistiklerin ortak birikimli dağılım fonksiyonu,
y
x
y
F
y
x
F
r,s:n(
,
)
s:n(
),
için
)
,
(
)
,
(
: . : ,x
y
P
X
x
X
y
F
rsn
rn
sn
P
(
X
1,
X
2,...,
X
n’ lerin en az r tanesi x’ e eşit veya ondan küçük
ve
X
1,
X
2,...,
X
n’ lerin en az s tanesi y’ ye eşit veya ondan küçüktür)
n s j j r i nX
X
X
P
(
1,
2,...,
’ lerin tam r tanesi x’ e eşit veya ondan küçük
ve
X
1,
X
2,...,
X
n’ lerin tam s tanesi y’ ye eşit veya ondan küçüktür)
n s j j r i s n r s ry
x
y
F
x
F
y
F
x
F
j
n
i
j
i
n
,
)]
(
1
[
)]
(
)
(
[
)]
(
[
)!
(
)!
((
!
!
(2.7)
olarak ifade edilebilir. Bu ifade ister kesikli ister sürekli herhangi bir anakütle için sağlanır.
Kesikli anakütleler için
X
r:nve
X
s:n’ lerin ortak olasılık kütle fonksiyonu (pmf) ’ si,
)
,
Pr(
)
,
(
: : : ,x
y
X
x
X
y
f
rsn
rn
sn
F
r,s:n(
x
,
y
)
F
r,s:n(
x
,
y
)
F
r,s:n(
x
,
y
)
F
r,s:n(
x
,
y
)
(2.8)
olarak elde edilebilir [Arnold et al., 1992].
F
1,2,...,n:n(
x
1,
x
2,...,
x
n)
P
{
X
1:n
x
1,
X
2:n
x
2,...,
X
n:n
x
n}
ortak
olasılık fonksiyonunu
göstersin.
y
1
x
1
y
2
x
2
...
y
n
x
n
şeklindeki her bir değer için,
P
(
y
1,
x
1,
y
2,
x
2,...,
y
n,
x
n)
P
{
y
1
X
1:n
x
1,
y
2
X
2:n
x
2,...,
y
n
X
n:n
x
n}
(2.9)
düşünülebilir. Buna göre
8
olayını göz önüne alalım.
A
(
(
1
),
(
2
),...,
(
n
))
{
y
1
X
(1)
x
1,
y
2
X
(2)
x
2,...,
y
n
X
(n)
x
n}
(2.10)
durumunda n! tane ayrık olay mevcuttur. Burada
(
(
1
),
(
2
),...,
(
n
))
vektörü
(
1
,
2
,...,
n nin
)
bütün permütasyonları üzerinden yürütülür. Simetri özelliğinden bütün
A
(
(
1
),
(
2
),...,
(
n
))
olayları aynı olasılığa sahiptir. Bu olasılıklar
n k k kF
y
x
F
1)
(
)
(
(2.11)
ifadesine eşittir. Sonuç olarak,
n k k k n n n n n nx
y
X
x
y
X
x
n
F
x
F
y
X
y
P
1 : 2 : 2 2 1 : 1 1,
,...,
}
!
(
)
(
)
{
(2.12)
yazılır. Anakütle dağılımı bir yoğunluk fonksiyonuna sahip ise
F
'
(
x
)
f
(
x
)
olduğundan
eşitsizliğin her iki tarafı diferensiyellenirse
n n k k n n nx
x
x
n
f
x
x
x
x
f
(
,
,...
)
!
(
)
,
1 2...
1 2 1 : ,..., 2 , 1(2.13)
ortak olasılık fonksiyonu elde edilmiş olur [Ahsanullah and Nevzorov 2005].
2.3. Kesikli Dağılımlar için Yaklaşımlar
Kesikli dağılımlarda
X
r:n’ nin olasılık kütle fonksiyonu (pmf) için üç yaklaşım mevcuttur.
Yaklaşım- 1 (Binom Toplamı): Teorem 2.2 gereğince
F
r:n(
x
)
ifadesini sağlayan denklem
kesikli durumda
X
r:n’ nin her bir mümkün x değeri için,
)
(
)
(
)
(
: : :x
F
x
F
x
f
rn rn rn(2.14)
dir. Bu nedenle
}
)]
(
1
[
)]
(
[
)]
(
1
[
)]
(
{[
)
(
: i n i n r i i n i n rF
x
F
x
F
x
F
x
i
n
x
f
(2.15)
yazılabilir. Benzer olarak
F
r:n(
x
)
için negatif binom toplam formu kullanılabilir.
9
Yaklaşım- 2 (Beta İntegral Formu): (2.6) ve (2.15) denklemlerinde verilen
F
r:n(
x
)
’ in
formu kullanılırsa,
) ( ) ( 1 :(
)
(
;
)
(
1
)
x F x F r n r n rx
C
r
n
u
u
du
f
(2.16)
olur. Burada,
)!
(
)!
1
(
!
)
;
(
r
n
r
n
n
r
C
(2.17)
şeklinde ifade edilmiştir.
Yaklaşım- 3 (Çoklu Argument) :
Bir X gözlem değeri için
{
X
x
},
{
X
x
},
{
X
x
}
şeklindeki üç farklı olayı göz önüne
alalım. Bu olayların olasılıkları sırasıyla
F
(
x
),
f
(
x
)
ve
1
F
(
x
)
’ dir.
{
X
r:n
x
}
olayı
)
1
(
n
r
r
farklı şekilde meydana gelebilir.
i
0
,
1
,
...,
r
1
ve
s
0
,
1
,
...,
n
r
olmak üzere
)
1
(
r
i
tane gözlem değeri x’ den küçük,
(
n
r
s
)
tanesi x’ den büyük ve kalanlar ise x
değerine eşittir. O halde,
1 0 0 1 1 :)!
1
(
)!
(
)!
1
(
)]
(
[
)]
(
1
[
)]
(
[
!
)
(
r i r n s i s s r n i r n ri
s
s
r
n
i
r
x
f
x
F
x
F
n
x
f
(2.18)
yazılabilir. Burada
x
0
ise
F
(
x
)
0
’ dır [Arnold et al., 1992 ;Khatri, 1962].
2.4. Momentler ve Çarpım Momentleri
)
1
(
) ( :r
n
k n r
ile sıra istatistiklerinin tekli momentleri tanımlansın. Bu momentler sürekli
durumda,
x
kf
rnx
dx
k n r :(
)
) ( :
10
C
(
r
;
n
)
x
k[
F
(
x
)]
r1[
1
F
(
x
)]
nrf
(
x
)
dx
(2.19)
ifadesi ile ve kesikli durumda,
x n r k k n rx
f
:(
x
),
1
r
n
) ( :
(2.20)
ifadesi ile hesaplanabilir.
Standart düzgün dağılıma ait sıra istatistikleri kullanılarak (2.19) formülü daha sade bir
biçimde yazılabilir. Bunun için önce sıra istatistiklerin önemli bir özelliği ifade edilecektir.
n n n
n
U
U
U
1:,
2:,...,
:sürekli standart düzgün dağılımdan tesadüfi seçilmiş bir örnekleme ait sıra
istatistikleri olsun.
F
(x
)
sürekli ise
U
F
(X
)
dönüşümü ile X tesadüfi değişkeni U standart
düzgün tesadüfi değişkenine dönüşür. Bu durumda
F
(
X
r:n)
ile
U
r:ntesadüfi değişkenlerinin
dağılımı birbirine eşittir. Bu kısaca,
n
r
U
X
F
rn d n r)
,
1
,
2
,...,
(
:
:
(2.21)
şeklinde gösterilecektir.
F dağılım fonksiyonunun ters fonksiyonu,
}
)
(
:
sup{
)
(
1y
x
F
x
y
F
(2.22)
olmak üzere herhangi bir F dağılım fonksiyonu için
n
r
X
U
F
r d r)
,
1
,
2
,...,
(
1
(2.23)
yazılabilir. F⁻¹ sıralamayı koruyan bir fonksiyon olduğundan,
n
r
X
U
F
rn d n r)
,
1
,
2
,...,
(
: : 1
(2.24)
şeklinde olacaktır. O halde (2.24) kullanılarak,
,...
2
,
1
,
1
,
)
1
(
)]
(
[
)
;
(
1 0 1 1 ) ( :
k
k
r
du
u
u
u
F
n
r
C
k r nr k n r
(2.25)
yazılabilir. Bu ifadede beta fonksiyonu bulunduğu göz önüne alınırsa
g
r:n(
u
),
Beta
(
r
,
n
1
r
)
yoğunluk fonksiyonunu göstermek üzere,
11
1 0 : 1 ) ( :[
F
(
u
)]
g
rn(
u
)
du
,
1
r
k
,
k
1
k k n r
(2.26)
yazılabilir.
Benzer olarak
r(,ks,:ln)(
1
r
s
n
)
ile sıra istatistiklerin çarpım momentleri tanımlansın.
Bu momentlerin,
y x n s r l k l k n s rx
y
f
,:(
x
,
y
),
1
r
s
n
) , ( : ,
(2.27)
ifadesi ile hesaplanabildiği açıktır.
Sıra istatistiklerin varyansı
Var
(
X
r:n),
r,r:n(
1
r
n
)
ile tanımlanır ve
)
1
(
,
)
(
2: ) 2 ( . : 2 :nVar
X
rn rn rnr
n
r
(2.28)
olarak hesaplanır.
Benzer olarak sıra istatistiklerin kovaryansı,
r,s:n(
1
r
s
n
)
ile tanımlanır ve
)
1
(
,
)
,
(
: : ,: : : : ,snCov
X
rnX
sn rsn rn snr
s
n
r
(2.29)
olarak hesaplanır. Burada
r,s:n
E
(
X
r:n,
X
s:n)
’ dir.
n r
X
:’ nin momentini elde etmek için Teorem 2.4’ deki
(
:)
1 : rn d n rF
U
X
dönüşümü
kullanılabilir. Yani,
X
r:n’ nin ortalaması
1 0 1 1 :C
(
r
;
n
)
F
(
u
)
u
(
1
u
)
du
r n r n r
(2.30)
olarak ifade edilebilir. Burada
C ;
r
n
, (2.17)’ de verilmiştir. Fakat
F
1(
u
)
kesikli
dağılımların hemen hemen hepsi için iyi bir formda yazılamadığından bu yaklaşım pratik
değildir [David, 1981].
S
, negatif olmayan tamsayıların bir alt kümesi olduğunda, kesikli dağılımlar için aşağıda
ifade edilen teoremden,
X
r:n’ nin momentlerini elde etmek için
F
r:n(
x
)
kullanılabilir.
Teorem 2.5.
S
destek kümesi, dağılıma ait negatif olmayan tam sayıların bir alt kümesi olsun. O zaman
sağ taraftaki momentler her zaman mevcut olmak üzere
12
0 : ) ( :[(
1
)
](
1
(
))
x n r m m m n rx
x
F
x
eşitliği geçerlidir [Çalık vd., 2010].
Özel olarak
m
1
ve
m
2
için
)]
(
1
[
0 : :F
x
x n r n r
ve
n r x n r n rx
F
x
: 0 : ) 2 ( :2
[
1
(
)]
elde edilir [Arnold et al., 1992; Khatri, 1962].
Teorem 2.5. tüm kesikli dağılımlar için sağlanır. Genelde bu momentleri analitik olarak
hesaplamak kolay değildir. Bazen, örnek ekstremlerinin momentleri elde edilebilmektedir.
2.5. Kesikli Anakütlelerin Sıra İstatistiklerine Alternatif Yaklaşım
X
,
f
(
x
)
olasılık kütle fonksiyonlu ve
F
(x
)
birikimli olasılık kütle fonksiyonlu
0
,
1
,
2
,...
değerlerini alan bir kesikli tesadüfi değişken olsun. Kabul edelim ki;
X
1,
X
2,...,
X
naynı pmf
’ li n tane bağımsız ve aynı dağılmış tesadüfi değişken olsun.
X
1
X
2
...
X
nuygun sıralı
istatistikler olmak üzere
f
r:n(
x
)
Yaklaşım 1’ den ,
f
r:n(
x
)
P
(
X
r:n
x
)
F
r:n(
x
)
F
r:n(
x
)
(
;
)
{
[
(
)]
i[
1
(
)]
n i[
(
)]
i[
1
(
)]
n i}
n r ix
F
x
F
x
F
x
F
n
i
C
(2.31)
olarak yazılabilir. Yaklaşım 2’ den,
(
;
)
[
(
)]
[
1
(
)]
(
;
)
1(
1
)
,
0
1
) ( 0
C
i
n
F
x
F
x
rC
r
n
u
ru
n rdu
u
x F i n i n r ive
13
f
x
rC
r
n
u
ru
n rdu
x F x F n r
(
;
)
(
1
)
)
(
1 ) ( ) ( :(2.32)
yazılabilir.
Özel olarak
r
1
için
X
1:n’ nin pmf ’ si,
(
)
(
1
)
[
(
)]
[
(
)]
,
(
)
1
(
)
_ _ ) ( ) ( _ 1 : 1x
n
u
du
F
x
F
x
F
x
F
x
f
n x F x F n n n
(2.33)
ve
r için
n
X
n:n’ nin pmf ’ si,
n x F x F n n n n
x
n
u
du
F
x
F
x
f
(
)
[
(
)]
[
(
)]
) ( ) ( 1 :
(2.34)
olarak elde edilebilir.
1
r
s
n
olmak üzere
X
r:nve
X
s:n’ nin ortak pmf ’ si,
f
r,s:n(
x
,
y
)
P
(
X
r:n
x
,
X
s:n
y
)
(
1
,
,
1
,
:
){[
(
)]
1[
(
)]
1}
1 0 0 1 0 , i w i r r i s n j r s w u w ux
F
x
F
n
j
s
u
s
w
r
i
r
C
.{[
F
(
y
)
F
(
y
)]
surw1}{[
F
(
y
)]
u1j}{[
1
F
(
y
)]
nsj}
olarak elde edilir. Verilen ifadeden,
f
r,s:n(
x
,
y
)
P
(
X
r:n
x
,
X
s:n
y
)
) ( ) ( 1 1 ) ( ) ()
1
(
)
(
)
;
,
(
)
(
x F x F s n r s r y F y Fdudv
v
u
v
u
n
s
r
C
r
s
r
(2.35)
elde edilir.
X
r1:n,
X
r2:n,...,
X
rk:n’ nin ortak pmf ’ si,
n r k k r r D k i i i i i k k n r r r
x
x
x
C
r
r
r
n
r
r
u
u
u
du
du
du
f
k i i k(
,
,...,
)
(
,
,...,
:
)
(
)(
)
(
1
)
1 2...
1 1 1 2 1 2 1 : ,..., , 1 2 1
(2.36)
ve burada
r
0
0
,
u
0
0
ve
D x F x F x F x F x F x F k k ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 2...
dır.
14
2.6. Kesikli Düzgün Dağılımdaki Sıra İstatistikleri
X, destek kümesi
S
{
1
,
2
,...,
k
}
olan kesikli düzgün anakütledeki tesadüfi değişken olmak
üzere X,
[ k kesikli düzgündür.
1
,
]
X in
'
x
S
için pmf ’ si
f
(
x
)
1
/
k
ve cdf ’ si
k
x
x
F
(
)
/
ile verilmiştir. Bu nedenle r. inci sıra istatistiğin cdf ’ si,
S
x
k
x
k
x
i
n
x
F
i n i n r i n r
1
,
)
(
:(2.37)
ile verilir. Doğrudan x ve k seçimiyle binomial dağılımın cdf ’ si için tablolarda kullanılabilir.
Örneğin
k
10
,
x
10
p
,
p
0
,
1
(
0
,
1
)
1
,
0
olarak alınırsa
x
S
için
n i i n r i n rp
p
i
n
x
F
1
)
(
:(2.38)
ifadesi binomial tablodan okunabilir ve
f
r:n(
x
)
’ de (2.14) kullanılarak elde edilebilir [David,
1981].
3. BULGULAR
3.1. Kesikli Düzgün Dağılımdaki Sıra İstatistiklerin Momentleri
n
X
X
X
1,
2,...,
olasılık kütle fonksiyonu
f
(
x
)
1
/
k
ve cdf ’ si
F
(
x
)
x
/
k
x
1
,
2
,...,
k
olan n tane bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli anakütledeki düzgün tesadüfi değişkenler olsun.
O zaman
X
r:n’ nin pmf ’ sini (2.16) daki denklemden
) ( ) ( 1 :(
)
(
:
)
(
1
)
x F x F r n r n rx
C
r
n
u
u
du
f
k x k x r n rdu
u
u
n
r
C
/ / ) 1 ( 1)
1
(
)
:
(
(2.39)
şeklinde yazabiliriz. Özel olarak
r
1
ve
r alınırsa, sırasıyla,
n
.
,...,
2
,
1
,
1
)
(
: 1x
k
k
x
k
k
x
k
x
f
n n n
(2.40)
.
,...,
2
,
1
,
1
)
(
:x
k
k
x
k
x
x
f
n n n n
(2.41)
ifadeleri bulunur [Ahsanullah ve Nevzorov, 2001].
Teorem 2.6.
nX
X
X
1,
2,...,
kesikli düzgün dağılıma sahip tesadüfi değişkenler ve
X
1:nbu tesadüfi
değişkenlere karşılık gelen 1 inci sıra istatistiği olsun. Buna göre, sağ taraftaki momentler her
zaman mevcut olmak üzere,
X
1:n’ nin m inci momenti
k i n m m m n m nk
i
k
i
i
X
E
1 : 1 ) ( : 11
]
)
1
(
[
)
(
dir.
16
İspat.
n
