Bazı fark denklemlerinin global asimptotik kararlılığı ve periyodikliği üzerine bir çalışma

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI FARK DENKLEMLERİNİN GLOBAL ASİMPTOTİK KARARLILIĞI VE PERİYODİKLİĞİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

İbrahim YALÇINKAYA DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI Konya, 2006

T.C

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI FARK DENKLEMLERİNİN GLOBAL ASİMPTOTİK KARARLILIĞI VE PERİYODİKLİĞİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

İBRAHİM YALÇINKAYA DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez 24 / 03 / 2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir

Prof. Dr. Hasan ŞENAY (Başkan)

Prof. Dr. Eşref HATIR Prof. Dr. Fatih NURAY (Üye) (Üye)

Yrd. Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA (Danışman) (Üye)

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü'ne Doktora Tezi olarak sunulmuştur.

Doktora çalışmamı yönetmeyi kabul ederek karşılaştığım güçlüklerde değerli yardımlarını esirgemeyen, tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR’a teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

İbrahim YALÇINKAYA Konya, 2006

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ

1. BÖLÜM

GİRİŞ………...1

1.1. Maksimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar...2

1.2. Fark Denklemlerinin Global Asimptotik Kararlılığı İle İlgili Yapılmış Çalışmalar……..5

2. BÖLÜM FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIMLAR...13

3. BÖLÜM

{

1

}

1 max1/ , − + = n n n x Ax x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ……...19

3.1. A<0 durumu……….……...19 3.2. A>0 durumu……….……...25 3.3. Nümerik Sonuçlar..……….……...35 4. BÖLÜM a n a n n a n n a n n x x x x x x x 2 1 2 1 1 1 − − − − + _{+ +} + + = RASYONEL FARK DENKLEMİNİN GLOBAL ASİMPTOTİK KARARLILIĞI...42

SONUÇ VE ÖNERİLER...58

ÖZET

Doktora Tezi

BAZI FARK DENKLEMLERİNİN GLOBAL ASİMPTOTİK KARARLILIĞI VE PERİYODİKLİĞİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

İbrahim YALÇINKAYA

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR 2006, 65 Sayfa

Jüri: Prof. Dr. Hasan ŞENAY Prof. Dr. Fatih NURAY Prof. Dr. Eşref HATIR Yrd. Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, maksimumlu fark denklemleri ve fark denklemlerinin global asimptotik kararlılığı ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verdik. İkinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremleri verdik.

Üçüncü bölümde, x_n+1 =max

{

1/x_n,Ax_n−1

}

fark denklemini tanımladık, çözümlerini ve periyodikliğini inceledik. Son olarak da bu fark denklemi için nümerik örnekler verdik. Dördüncü bölümde ise, a n a n n a n n a n n x x x x x x x 2 1 2 1 1 1 − − − − + _{+ +} + +

= rasyonel fark denklemini tanımladık,

global asimptotik kararlılığını inceledik ve nümerik örnekler verdik.

Anahtar Kelimeler: Maksimumlu Fark Denklemi, Periyodiklik, Rasyonel Fark

1. BÖLÜM GİRİŞ

Bu çalışmada, fark denklemlerinin iki ayrı konusu olan maksimumlu fark denklemleri ve fark denklemlerinin global asimptotik kararlılığı ele alınmıştır.

Maksimumlu fark denklemleri ile ilgili literatürde var olan çalışmalardan büyük bir kısmı incelenmiştir. Bu kapsamlı araştırmanın ışığında, A parametresi herhangi bir reel sayı ve x₋₁, x ₀ başlangıç şartları sıfırdan farklı reel sayılar olmak

üzere, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋ +1 , 1 1 max n n n Ax x

x maksimumlu fark denklemi tanımlanmış ve çözümleri

incelenmiştir. Bu denklem A=0 iken, bilinen bir denklem olan xn+1 =1/xn fark

denklemine eşittir ve 2 periyotludur. Bu nedenle A<0 ve A>0 olma durumlarının

ele alınması yeterli olmuştur. A<0 durumu için verilen Teorem 3.1.1, A>0

durumu için verilen Lemma 3.2.1, Lemma 3.2.2 ve Teorem 3.2.1 tamamen orijinaldir.

Ayrıca fark denklemlerinin global asimptotik kararlılığı ile ilgili yapılmış çalışmalardan büyük bir kısmı incelendikten sonra, a∈[0,∞) ve

) (0, , , _{1 0} 2 − ∈ ∞ − x x x olmak üzere, _a n a n n a n n a n n x x x x x x x 2 1 2 1 1 1 − − − − + _{+ +} + +

= rasyonel fark denklemi

tanımlanmış ve çözümlerinin x=1 denge noktasında global asimptotik kararlı olduğu ispat edilmiştir. Bu amaçla ifade ve ispat edilen Lemma 4.1, Lemma 4.2, Lemma 4.3 ve Teorem 4.1 de orijinaldir.

1.1. Maksimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar

Amleh (1998), G. Ladas yönetiminde yaptığı doktora tezinde; fark denklemlerinin üç farklı konusunu ele almıştır. İlk bölümde,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 1 1 max , n n n x B x A x

fark denkleminin çözümlerinin sıfırdan farklı reel sayılar olan A , parametreleri ve B

0 1, x

x₋ başlangıç şartları için periyodik olduğunu göstermiştir. İkinci bölümde,

2 1 2 1 1 − − − − + ₊ + = n n n n n n n x x x x x x

x rasyonel fark denkleminin global asimptotik kararlılığını

incelemiş ve son bölümde ise, Plant-Herbivore sisteminin çözümlerinin sınırlılığı üzerine çalışmıştır.

Amleh, Hoag ve Ladas (1998),

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 1 1 , 1 max n n n x A x x fark denkleminin

çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Bu çalışmada; A parametresi ve başlangıç şartlarının sıfırdan farklı reel sayılar olduğunu kabul etmişler. Bu fark denkleminin bütün çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ve ayrıca A parametresi ve başlangıç şartlarına bağlı olarak çözümlerin er geç 2, 3 ve 4 periyotlu olabileceğini göstermişlerdir.

Grove, Kent ve Ladas (1998), yaptıkları çalışmada;

1 1 − + + = n n n n n x b x a x otonom

olmayan Lyness fark denklemi ile

{

}

1 1 , max − + = n n n n n x b x a x maksimumlu fark

denkleminde katsayıların negatif olmayan

{ }

a_n ∞_n=0 ve

{ }

b_n ∞_n=0 dizileri olduğunu

varsaymışlar, bu varsayımlar doğrultusunda bu denklemlerin bütün pozitif çözümlerinin sürekli ve sınırlı olabilmesi için yeter şartlar elde etmişlerdir. Ayrıca çalışmada zıt durumların her biri için örnekler vermişlerdir.

Janowski, Kocic, Ladas ve Tzanetopoulos (1998), yaptıkları çalışmada;

{ }

1 1 , max − + = n k n n x A x

x maksimumlu rasyonel fark denkleminin çözümlerinin sınırlılık ve salınımlılık özelliklerini incelemişlerdir. Bu fark denkleminde A , k parametreleri ve

başlangıç şartlarının pozitif sayı değerleri aldıklarını varsaymışlar ve çalışma sonucunda bu denklemin çözümlerinin sınırlı ve salınımlı olma şartlarını A , k

parametreleri ile başlangıç şartlarına bağlı olarak elde etmişlerdir.

Valicenti (1999), yaptığı doktora tezinde;

1 1 − + + = n n n n n x b x a x otonom olmayan

Lyness fark denklemi ile

{

}

1 1 , max − + = n n n n n x b x a

x maksimumlu fark denkleminin

çözümlerinin periyodikliği ve global asimptotik kararlılığı üzerine çalışmıştır.

Teixeria (2000), yaptığı doktora tezinde; ilk olarak A herhangi bir reel sayı ve başlangıç şartları sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere,

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x x

fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. İkinci bölümde ise,

n n n y b x a x ₊₁ = + , n n n y d x c

y ₊₁ = + fark denklem sisteminin çözümlerini analiz etmiş ve

sonuncu bölümde de 1 1 1 − − + ₊ + = n n n n y qy y p

y fark denkleminin pozitif parametreler ve

başlangıç şartları altında global asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir.

Papaschinopoulos ve Hatzifilippidis (2001), katsayılarını pozitif sayı dizileri

ve başlangıç şartlarını pozitif sayı olarak aldıkları

∏

∏

− = + − = + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = _n k n i i n n k n i i n n x b x a x ), ( max 1 1 fark

denkleminin pozitif çözümlerinin süreklilik, sınırlılık ve periyodiklik özelliklerini incelemişlerdir.

Mishev, Patula ve Voulov (2002), ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 2 1 max , n n n x B x A x fark denkleminin

periyodikliği üzerine yaptıkları çalışmada; A , B parametreleri ile başlangıç şartlarını pozitif sayı değerleri olarak kabul ederek denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmişlerdir.

Voulov (2002), yaptığı iki çalışmadan birincisinde; G. Ladas tarafından verilen bir açık problemi çözmüştür. Bu çalışmada, A ,B ,C parametreleri negatif

olmayan reel sayılar olmak üzere A+B+C >0 için

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − −1 3 5 , , max n n n n x C x B x A x

fark denkleminin bütün çözümlerinin periyodik olduğunu göstermiştir. İkincisinde ise, A ile B parametreleri pozitif reel sayılar ve k ile m parametreleri pozitif tam

sayılar olmak üzere,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − + m n k n n x B x A

x ₁ max , maksimumlu fark denkleminin pozitif

çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelemiştir. A , B , k ve m parametrelerine

bağlı olarak denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmiştir.

Papaschinopoulos ve arkadaşları (2003), yaptıkları çalışmada daha önce Feuer tarafından çalışılmış olan

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x

x fark denkleminin çözümleri,

çözümlerinin periyodikliği ve sabit aralığı üzerine çalışmışlardır.

Feuer (2003),

{ }

1 1 , max − + = n l n k n n x x A x

x maksimumlu Lyness fark denklemi üzerinde yaptığı çalışmada; A ’nın pozitif bir reel sayı, k, l ve başlangıç şartlarının da keyfi

reel sayı değerleri olduğunu kabul ederek denklemin çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelemiştir.

Patula ve Voulov (2004), yaptıkları çalışmada; A , _n B pozitif terimli ve 3 _n

periyotlu diziler olmak üzere,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 2 1 max , n n n n n x B x A

x fark denkleminin çözümlerinin

periyodikliğini incelemişlerdir.

Çinar ve arkadaşları (2005), yaptıkları çalışmada; 0A ,B> olmak üzere,

sıfırdan farklı başlangıç şartları için

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 2 1 min , n n n x B x A

x fark denkleminin pozitif

çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Ayrıca, bu denklemi genelleştirerek elde ettikleri ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + − − + ) 2 2 ( ) 2 ( 1 1 ... , ... min k n k n k n n n n x x B x x x A

x fark denkleminin pozitif

başlangıç şartları altında periyodik olma durumlarını incelemişlerdir.

1.2. Fark Denklemlerinin Global Asimptotik Kararlılığı İle İlgili Yapılmış Çalışmalar

Amleh ve arkadaşları (1999), aşağıdaki üç fark denklemini incelemişler:

2 1 2 1 1 − − − − + ₊ + = n n n n n n n x x x x x x x , 2 1 2 1 1 − − − − + ₊ + = n n n n n n n x x x x x x x , 1 2 2 1 1 − − − − + ₊ + = n n n n n n n x x x x x x x .

Bu denklemlerin pozitif başlangıç şartları altında, pozitif denge noktaları olan 1

=

x ’de global asimptotik kararlı olduklarını göstermişlerdir. Ayrıca denklemlerin

sıra değişikliği olmak üzere, pozitif yarı dönmelerinin bir veya iki terimli, negatif yarı dönmelerinin ise bir veya üç terimli olduğunu göstermişlerdir.

Devault ve Galminas (1999), yaptıkları çalışmada; ),x₋₁ ,x₀ ,A∈(0,∞ p>1

için _p n p n n x x A x _1/ 1 1 1 −

+ = + fark denkleminin pozitif denge noktasında global asimptotik

kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Kruse ve Nasemann (1999), yaptıkları çalışmada; x₋₃,x₋₂,x₋₁,x₀ pozitif

başlangıç şartları altında

3 2 1 3 2 1 1 − − − − − − + _{+ +} + + = n n n n n n n n n x x x x x x x x

x fark denkleminin x=1 denge

noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Feuer ve arkadaşları (2000), yaptıkları çalışmalarında; A herhangi bir reel sayı ve başlangıç şartları sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere,

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x x

fark denkleminin çözümlerinin global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir. Ayrıca A=1 için (x₋₁,x₀)∈(0,∞) olmak üzere, denklemin sıfır olmayan bütün çözümlerinin 7 periyotlu olduğunu, 1A> için sabit bölgenin

{

( , ) : , [1/ , ], 1

}

1 = ∈ ∈ ≥ + + xy A A y x xR R y x R

olduğunu ve (x₋₁,x₀)∈R₁ için denklemin sıfır olmayan çözümlerinin 3 periyotlu olduğunu, 0< A<1 içinde sabit bölgenin

{

( , ) : , [1/ , ]

}

2 x y R xR x y A A

R = ∈ + + ∈

olduğunu ve (x₋₁,x₀)∈R₂ için denklemin sıfır olmayan çözümlerinin 4 periyotlu olduğunu göstermişlerdir.

Mishev ve Patula (2000), yaptıkları çalışmalarında; A>0, k ≥2 ve n≥2k

için ) 1 2 ( 3 1 ) 2 2 ( 2 1 _... ... − − − − − − − + = + k n n n k n n n n y y y y y y A

y fark denklemini incelemişler ve bu denklemin sıfır

olmayan çözümlerinin y= 1+A denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

El-Metwally ve arkadaşları (2001), xn n

n x e

x ₊₁ =α+β ₋₁ − fark denkleminin pozitif çözümlerinin global asimptotik kararlı olduğunu göstermişler, ayrıca periyodikliğini de incelemişlerdir. Bu çalışmada, β =eα için birde açık problem vermişlerdir.

Sundarapandian (2002), yaptığı çalışmasında; ,n R

x∈ w∈Rm olmak üzere, aynı kompleks vektör uzayı üzerinde tanımlı n m n

R R x R f : → ve s:Rm →Rm fonksiyonları için x= f( wx, ) • , )w=s(w •

lineer olmayan cascade sisteminin ) 0 , 0 ( ) ,

(x w = denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu ispatlamıştır.

Li ve Zhu (2003), yaptıkları iki ayrı çalışmadan birincisinde a∈[0,∞) ve başlangıç şartları x₋₁,x₀ ∈(0,∞) olmak üzere,

1 1 1 − − + ₊ + = n n n n n x x a x x x fark denkleminin

çözümlerinin global asimptotik kararlı olduğunu ve ikincisinde ise, a∈[0,∞) ve ) , 0 ( , , _{1 0} 2 − ∈ ∞ − x x

x olmak üzere, aşağıdaki iki fark denklemini incelemişler:

a x x x a x x x x n n n n n n n + + + + = − − − − + 2 1 2 1 1 ve a x x x a x x x x n n n n n n n + + + + = − − − − + 2 1 2 1 1

Bu rasyonel fark denklemlerinin çözümlerinin x=1 pozitif denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir. Ancak, Yang (2005) yaptığı çalışmada; Li ve Zhu’ nun çalışmasında bulunan ve algılanması güç olan bazı hataları saptamış ve bu hataları düzelterek a x x x a x x x x n n n n n n n + + + + = − − − − + 2 1 2 1

1 fark denkleminin global asimptotik

kararlılığını tekrar incelemiştir.

Yan ve Li (2003), yaptıkları iki çalışmadan birincisinde; α ≥0 ve β,γ >0 için 1 1 − + ₋ + = n n n x x x γ β α

rasyonel fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini,

değişmez aralığını ve global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir ve bu denklemin periyodik ve global asimptotik kararlı olma şartlarını tek tek ele almışlardır. İkincisinde ise, α ≥0 ve β,γ >0 için

1 1 − + ₋ − = n n n x x x γ β α

rasyonel fark denklemini

incelemişler ve bu denklemin, α ≥0, 0β,γ > , β < ve γ 0<α <β (γ −β ) şartları sağlandığında pozitif denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Çinar ve arkadaşları (2004), k∈N için

∑

∑

= − − = − + + + + = _k i i n n n n k i i n n n x x x x x x x 2 1 1 1 1 fark

denklem ailesinde denklemlerin pozitif çözümlerinin global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

El-Afifi (2004), yaptığı çalışmasında; negatif olmayan katsayılar ve pozitif başlangıç şartları altında

1 1 1 − − + ₊ + + = n n n n n Cx Bx x x

x α β γ rasyonel fark denkleminin denge

noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir. Ayrıca bu denklemin pozitif ve negatif yarı dönmeleri ile değişmez aralığını incelemiştir.

El-Owaidy ve arkadaşları (2004), yaptıkları iki çalışmadan birincisinde; )

, 1 [ ∞ ∈

α , ...k =1 ,2 , ve pozitif reel sayılar olan başlangıç şartları altında

n k n n x x

x ₊₁ =α + − fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodik karakterli olduğunu

ve bu çözümlerin global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir. İkincisinde ise, 0 ,β > α için n n n x x x + − = − + 1 1 _γ β α

fark denkleminin pozitif denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Papaschinopoulos ve Schinas (2004), yaptıkları çalışmalarında ...k =1 ,2 , ve

0 1 1,..., ,

,x x x

x_{−k −k+ −} pozitif başlangıç şartları altında, i≠ j, j−1 ve j=1,2,...,k

olmak üzere,

∑

∑

= − − + − = − + + + = _k i i n j n j n k i i n n x x x x x 0 1 0 1 1

fark denklem ailesini incelemişler. Bu

ailenin pozitif çözümlerinin salınımlı olduğunu ve x=1 denge noktasında global asimptotik kararlı olduklarını göstermişlerdir.

Li ve Zhu (2004), a ,b∈[0,∞) ve başlangıç şartları x₋₂,x₋₁, x₀∈(0,∞)

olmak üzere, yaptıkları iki çalışmadan birincisinde,

2 2 1 − − + ₊ + = n n n n n x x a x x x fark denklemi ve 2 1 2 1 1 − − − − + ₊ + = n n n n n x x a x x

x fark denkleminin, ikincisinde ise,

a x x x a x x x x _b n n b n b n b n n n _{+ +} + + = − − − − + 2 1 2 1 1 fark

denkleminin x=1 pozitif denge noktasında global asimptotik kararlı olduklarını göstermişlerdir.

Sun ve Xi (2004), k∈

{

0,1,2,...

}

, j ,l ,s ,t∈Zk₊₂ ≡

{

0 ,1 ,...,k+2

}

, j ≠ , l s≠ , t A negatif olmayan ve x_−k−2,x_−k−1,...,x₀ başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak

üzere, { } { }x x x A A x x x x t n s n t s Z i i n l n j n l j Z i i n n k k + + + + = − − − ∈ − − − − ∈ − +

∑

∑

+ + , , 1 2 2 _{fark denkleminin} =₁ x denge noktasında

global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Yan ve Li (2004), yaptıkları çalışmada; )A ,b ,bk ∈(0,∞ , ...,a ,b0 ,b1 ,

) , 0 [ ∞ ∈ k b ve k =1 ,2 ,... için

∑

= − + − − = _k i i n i n n x b A bx a x 0

1 yüksek mertebeden lineer olmayan

rasyonel fark denkleminin pozitif çözümlerinin global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Yang ve arkadaşları (2004), yaptıkları iki çalışmadan birincisinde; a,b≥0 ve 0 ,d > c için 2 2 1 1 − − − − + + = n n n n x d cx bx a

x fark denkleminin pozitif denge noktasında, ikincisinde ise, A₁ ,A₂ ,A₃ ,A₄ ,B₁ ,B₂ ,B₃ ,B₄ pozitif sabitleri A₁+ A₂ +A₃ +A₄ =

4 3 2

1 B B B

B + + + şartını sağlamak üzere, başlangıç şartları da pozitif sayılar iken 4 3 3 2 2 1 1 4 3 2 3 1 2 1 1 B x B x B x x B A x x A x A x A x n n n n n n n n n + + + + + + = − − − − − −

+ Putnam-Type rasyonel fark denkleminin

Wan-Tong (2004), p∈(0,1), q ,r∈(0,∞), p<q/r <1+ p, m∈(0,∞) ve k =1 ,2 ,... olmak üzere _m k n n n n n x r qx px x x − − + + − =

− ₁ fark denkleminin belirli

başlangıç şartları altında bütün pozitif çözümlerinin, pozitif denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Aloqeili (2005), çalışmasında x₋₁,x₀∈R ve a>0 için

n n n n x x a x x 1 1 1 − − + = ₋

rasyonel fark denkleminin çözümlerinin kararlılık özelliklerini ve yarı dönmelerini incelemiştir. Ayrıca bu denklemin bazı şartlarda çözümlerini genelleştirmiş ve periyodik olduğu durumları incelemiştir.

Camouzis (2005), çalışmasında β , Aδ , ve başlangıç şartları negatif olmayan reel sayılar, β +δ >0, B,C>0 ve paydası her zaman pozitif olmak üzere,

1 2 1 _A − − + _{+ +} + = n n n n n Cx Bx x x

x β δ rasyonel fark denkleminin pozitif denge noktasında global

asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir.

Dehghan ve Douraki (2005), yaptıkları çalışmada B , C ve α ,β ,γ pozitif, ...k =1 ,2 , ve başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere,

1 2 1 1 2 1 1 + − + − + − + − + ₊ + + = k n k n k n k n n Cx Bx x x

x α β γ fark denkleminin pozitif denge noktasında global

asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

El-Owaidy ve arkadaşları (2005), α,β ve başlangıç şartları negatif olmayan sayılar olmak üzere, _p

n n n x x x 2 1 1 − − + + = γ β α

fark denkleminin pozitif denge noktasında

Hamza (2005), çalışmasında α,x₋₁,x₀ negatif sayılar olmak üzere, n n n x x

x ₊₁ =α + −1 fark denkleminin global asimptotik kararlılığını ve salınımlılığını

incelemiştir.

Kocic (2005), çalışmasında

{ }

Kn pozitif elemanlı sınırlı bir dizi olmak üzere, n n x n n x r K x rK x ) 1 ( 1 = _{+ −}

+ Beverton-Holt denkleminin pozitif çözümlerinin global

asimptotik kararlılığını incelemiş, ayrıca

∑

∑

−

= ∞ → − = ∞ → ≤ 1 0 1 0 1 sup lim 1 sup lim n k n n n k n n K n x n olduğunu ispatlamıştır.

Li (2005), yaptığı çalışmada; a∈[0,∞), ,x₋₃,x₋₂,x₋₁ x₀∈(0,∞) olmak üzere,

a x x x x x x a x x x x x x x n n n n n n n n n n n n n + + + + + + + + = − − − − − − − − + 1 3 1 3 1 3 1 3 1

1 dördüncü mertebeden fark denkleminin

global asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir.

Li ve Zhu (2005), yaptıkları çalışmada; )a∈[0,∞ , ,x₋₃,x₋₂,x₋₁ x₀∈(0,∞)

için a x x x a x x x x _b n n b n b n n b n n + + + + = − − − − + 3 2 3 2

1 rasyonel fark denkleminin global asimptotik kararlı

olduğunu göstermişlerdir.

Saleh ve Aloqeili (2005), yaptıkları iki çalışmadan birinde, y_−k,y_−k+1,..., ),

, 0 (

0∈ ∞

y A<0 ve k =1 ,2 ,... için ve diğerinde de y−k,y−k+1,...,y0,A∈R için

k n n n y y A y −

+1 = + fark denkleminin negatif denge noktası olan y= 1+A da global

Stevic (2005), yaptığı çalışmada; pozitif başlangıç şartları altında p n p n n x x

x ₊₁ =α + −1 fark denkleminin sınırlılığını, global asimptotik kararlılığını ve salınımlılığını incelemiştir.

Yan ve arkadaşları (2005), çalışmalarında; α ∈R ve x₋₁, x₀ başlangıç şartları rasgele reel sayılar olmak üzere,

1 1 − + = − n n n x x x α fark denkleminin sınırlılığını,

periyodikliğini ve global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Yang ve arkadaşları (2005), yaptıkları çalışmada; a negatif olmayan

bir sabit olmak üzere,

a x x x a x x x x n n n n n n n + + + + = − − − − + 2 1 2 1 1 ve a x x x a x x x x n n n n n n n + + + + = − − − − + 2 1 2 1 1 rasyonel

fark denklemlerinin salınımlılık özelliklerini ve global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Zeng ve arkadaşları (2005), çalışmalarında 0α,β,γ ≥ ve (−∞,∞) aralığında tanımlı g(x) fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

) ( 1 k n n n x g x x − + ₊ − = γ β α fark denkleminin global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIMLAR

Bu bölümde fark denklemleri ile ilgili literatürde var olan genel tanım ve teoremler verilmiştir.

x bağımsız değişkeninin sürekli olduğu durumda, y(x) bağımlı değişkeninin değişimi ...'( ), ''( ),..., ( )( ), x y x y x

y n türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x’in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz.

Bu bölümde x’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu

farkların bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

Tanım 2.1. n bağımsız değişken ve buna bağımlı değişkende y olmak

üzere, bağımlı değişken ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin ),( ), 2( y E y E ... ), ( ..., ), ( 3 y E y

E n _{gibi farklarını içeren bağıntılara Fark Denklemi denir. Dikkat}

edilirse, fark denklemlerinin n’in sürekli olduğu durumda diferansiyel denklemler

ile arasında büyük benzerlikler vardır.

) ( ) 1 ( ) ( ₁ 0y n a y n f n a + + =

Birinci mertebeden fark denklemidir.

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( _{1 2} 0y n a y n a y n g n a − + + + =

İkinci mertebeden fark denklemidir. Denklemin mertebesinin belirlenmesinde, y ’nin hesaplanabilmesi için gerekli olan başlangıç şartı sayısı göz önüne alınmaktadır.

Teorem 2.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, I

I x I

f : → sürekli diferensiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her x₋₁,x₀∈I başlangıç şartları için

xn₊₁ = f(xn,xn₋₁), n=0,1,2,... (2.1)

denklemi bir tek

{ }

x_n ∞_{n= 1−} çözümüne sahiptir.

Tanım 2.2. Eğer x noktası için (2.1) denkleminde x= f( xx, ) ise, x’e (2.1)

denkleminin denge noktası denir. Eğer her n≥0 için x=x_n ise, x’e f ’nin sabit

noktası denir.

Tanım 2.3. Eğer her n>0 için x₋₁,x₀ ∈J iken xn∈ olacak şekilde bir J I

J ⊆ alt aralığı varsa, bu aralığa (2.1) denkleminin değişmez aralığı denir.

Tanım 2.4. x (2.1) denkleminin denge noktası olmak üzere: ,

(a) Eğer x₋₁,x₀∈I olmak üzere her ε >0 için x₀ −x + x₋₁−x <δ iken her 0

≥

n için x_n − x <ε olacak şekilde bir δ >0 sayısı varsa, x denge noktası

kararlıdır denir.

(b) Eğer x denge noktası kararlı ve x₋₁,x₀∈I iken x_n x n→∞ =

lim olacak şekilde, x₀ −x + x₋₁ −x <γ şartını sağlayan 0γ > sayısı varsa, x denge noktası

lokal asimptotik kararlıdır denir.

(c) Eğer her x₋₁,x₀∈I iken xn x n→∞ =

lim ise, x denge noktasına çekim noktası

(d) Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise, x denge noktası

global asimptotik kararlıdır denir.

(e) Eğer x denge noktası kararlı değil ise, kararsızdır denir.

(f) Eğer x₋₁,x₀ ∈I iken x₀ −x + x₋₁ −x <r ve bazı N ≥−1 sayıları için r

x

x_N − ≥ olacak şekilde bir r>0 sayısı varsa, x denge noktasına repeller denir.

Tanım 2.5. Eğer

{ }

xn dizisi için xn+p = xn ise,

{ }

xn dizisi p periyotludur

denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 2.6. Eğer

{ }

xn dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye

kalan sonsuz sayıdaki terim için xn+p = xn ise,

{ }

xn dizisine er geç p periyotludur

denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 2.7. (2.1) denkleminde, f(x_n ,x_n−1) fonksiyonunu f( vu, ) şeklinde düşünelim: u x x f r ∂ ∂ = ( , ) ve v x x f s ∂ ∂ = ( , ) olmak üzere, yn₊₁ =ryn +syn₋₁ (2.2)

denklemi elde edilir. Bu denkleme

x

denge noktası civarında lineer denklem denir.

(2.2) denkleminin karakteristik denklemi:

2_{− − =}0 s rλ

λ (2.3) dır.

Teorem 2.2. (Lineer Kararlılık Teoremi)

(a) Eğer (2.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise, x

denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

(b) Eğer (2.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

(c) (2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şart r <1−s<2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal

asimptotik kararlıdır.

(d) (2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den büyük olması için gerek ve yeter şartlar s >1 ve r < 1−s olmasıdır. Bu durumda, x denge

noktası repellerdir.

(e) (2.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar 02 _{+ s}4 _>

r

ve r > 1−s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır (Chatterjee ve

arkadaşları, 2003).

Benzer şekilde, mertebesi 3 olan fark denklemleri için Teorem 2.2. aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir.

xn₊₁ = f(xn,xn₋₁,xn₋₂), n=0,1,2,... (2.4)

fark denklemini ele alalım.

(2.4) denkleminde, f(x_n ,x_n−1 ,x_n−2) fonksiyonunu f(u,v,w) şeklinde düşünelim:

u x x x f r ∂ ∂ = ( , , ), v x x x f s ∂ ∂ = ( , , ) ve w x x x f t ∂ ∂ = ( , , ) olmak üzere, y_n+1 =ry_n +sy_n−1+ty_n−2 (2.5)

denklemi elde edilir. Bu denkleme x denge noktası civarında lineer denklem denir.

(2.5) denkleminin karakteristik denklemi:

3₋ 2_{− − =}0 t s rλ λ λ (2.6) dır.

Teorem 2.3. (Lineer Kararlılık Teoremi)

(a) Eğer (2.6) denkleminin bütün kökleri mutlak değerce 1’den küçük ise, x

denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

(b) Eğer (2.6) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

(c) (2.6) denkleminin bütün köklerinin mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar r+t <1−s, r−3t <3+s ve t2 −s−rt <1 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır (Chatterjee ve arkadaşları,

2003).

Tanım 2.8. x, (2.1) denkleminin denge noktası olsun. l ≥−1, m≤∞olmak üzere,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisinin her elemanı x denge noktasından büyük veya eşit,

1 − =

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisine

{ }

∞ − = 1 n n

x çözümünün bir pozitif yarı dönmesi denir. Benzer

şekilde, l≥−1, m≤∞ olmak üzere,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisinin her elemanı x denge

noktasından küçük, l =−1 veya l>−1 için xl−1 ≥x ve m=∞ veya m<∞ için x

x_m+1≥ oluyorsa,

{

x_l,x_l+1,...,x_m

}

dizisine

{ }

x_n ∞_{n= 1−} çözümünün bir negatif yarı

dönmesi denir.

Tanım 2.9.

{ }

xn ∞_{n= 1−} çözümlerinin hepsi birden ne pozitif nede negatif ise, bu

çözümlere sıfır civarında salınımlıdır denir. Aksi halde salınımlı değildir.

Tanım 2.10.

{

x_n −x

}

dizisi salınımlı ise,

{ }

x_n ∞_{n= 1−} çözümüne x denge noktası

civarında salınımlıdır denir.

Tanım 2.11.

{ }

xn ∞_{n= 1−} dizisinde her n için P≤ xn ≤Q olacak şekilde P ve Q pozitif sayıları varsa,

{ }

x_n ∞_{n= 1−} dizisine sınırlıdır denir.

Teorem 2.4. (Clark Teoremi) p,q∈R ve k,n∈

{

1,2,...

}

olmak üzere;

0

1 + + − =

+ n n k

n px qx x

fark denkleminin lokal asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart p + q <1 olmasıdır.

3. BÖLÜM ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − +1 , 1 1 max n n n Ax x

x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ

Bu bölümde, A parametresi herhangi bir reel sayı ve x₋₁, x ₀ başlangıç şartları sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋ +1 , 1 1 max n n n Ax x x , ,...n=0,1,2 (3.1)

maksimumlu fark denklemi tanımlanmış ve çözümleri incelenmiştir.

Eğer (3.1) denkleminde A=0 olarak kabul edilirse, denklem bilinen bir denklem olan xn+1 =1/xn şekline dönüşür ki bu denklem 2 periyotludur. Bu nedenle

0 <

A ve A>0 olma durumlarının ele alınması yeterlidir.

Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda A<0, ikinci kısımda ise A>0 durumunda (3.1) denkleminin çözümleri incelenmiştir. Üçüncü ve son kısımda da (3.1) denklemi için nümerik örnekler verilmiştir.

3.1. A<0 durumu

Bu kısımda, A<0 durumunda (3.1) denkleminin çözümleri incelenmiştir. Aşağıdaki teorem, A<0 iken (3.1) denkleminin bütün çözümlerini tam anlamıyla açıklar niteliktedir.

Teorem 3.1.1. (3.1) denkleminde A<0 olsun. Bu durumda denklemin çözümleri: (a) Eğer x₋₁ <0, 0x₀ > ve 0 1 1 x x = ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x xn = − . (b) Eğer x₋₁ <0, 0x₀ > ve x₁ = Ax₋₁ ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , , ( ) ( 1 1 1 1 0 1 − − − − − = Ax Ax Ax Ax x x x_n . (c) Eğer x₋₁ >0, 0x₀ < , 0 1 1 x x = ve A∈(−∞,−1] ise, ,...) , ,..., , , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 1 A x x A A x x A Ax x x x xn = − . (d) Eğer x₋₁ >0, 0x₀ < , 0 1 1 x x = ve A∈(−1,0) ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 1 Ax Ax Ax Ax x x x xn = − . (e) Eğer x₋₁ >0, 0x₀ < , x₁ = Ax₋₁ ve 2 ₁ 0 1 − ≥ A x Ax ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , , , ( ) ( 0 0 0 0 1 0 1 Ax Ax Ax Ax Ax x x x_n = _{− −} . (f) Eğer x₋₁ >0, 0x₀ < , x₁ = Ax₋₁ ve 2 ₁ 0 1 − < A x Ax ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , , , , ( ) ( 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 − − − − − − = x A x A x A x A Ax Ax x x x_n .

(g) Eğer 0x₋₁,x₀ > ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x x_n = ₋ . (h) Eğer 0x₋₁,x₀ < ve ₀ 1 1 Ax Ax₋ ≤ ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , , , ( ) ( 0 0 0 0 1 0 1 Ax Ax Ax Ax Ax x x xn = − − . (i) Eğer 0x₋₁,x₀ < ve ₀ 1 1 Ax Ax₋ > ise, ,...) , 1 ,..., , 1 , , , ( ) ( ₁ 1 1 1 1 0 1 − − − − − − = Ax Ax Ax Ax Ax x x xn . şeklindedir.

İspat. (a), (b) İlk olarak x₋₁ <0 ve x₀ >0 olsun. O zaman 0 , 1 max ₁ 0 1 > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = Ax₋ x x

olur. Buradan, iterasyonla kolaylıkla görülebilir ki her n≥0 için x_n >0’dır. Dolayısıyla, eğer ₁ 0 1 1 − ≥ = Ax x

x ise, her n≥1 için,

n n n n x Ax x x ₁ max 1 , ₁ = 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋ +

dir. Bu durumda denklemin bütün çözümleri 2 periyotludur ve bu çözümler:

,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x xn = − şeklindedir.

Eğer x₁ = Ax₋₁ ise, çözümler: ,...) 1 , ,..., 1 , , , ( ) ( 1 1 1 1 0 1 − − − − − = Ax Ax Ax Ax x x xn şeklindedir. (c)-(f) Eğer x₋₁ >0 ve x₀ <0 ise, , 0 , 1 max ₁ 0 1 < ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = Ax₋ x x 0 , 1 max _{0 0} 1 2 = > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = Ax Ax x x ve 0 , min , 1 max , 1 max 2 ₁ 0 0 1 2 3 > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = A x₋ x A Ax Ax x x

dır. İterasyonla her n≥2 için x_n >0 elde edilir. Dolayısıyla, her n≥3 için

n n

x

x ₊₁ = 1 olur ki sonuç olarak bu durumdaki bütün çözümler er geç 2 periyotludur.

Eğer 0 1 1 x x = ve A∈(−∞,−1] ise, 0 1 1 x Ax₋ ≤ olduğundan 0 1 2 x A x A ₋ ≥ olup sonuç olarak 0 0 0 3 , 1 max x A x A Ax x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

olur. Dolayısıyla çözümler:

,...) , ,..., , , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 1 A x x A A x x A Ax x x x xn = − şeklindedir.

Eğer 0 1 1 x x = ve A∈(−1,0) ise x₂ = Ax₀, 0 0 0 3 1 , 1 max Ax x A Ax x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

olur. Dolayısıyla çözümler:

,...) 1 , ,..., 1 , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 1 Ax Ax Ax Ax x x x x_n = ₋ şeklindedir. Eğer 0 1 1 1 x Ax x = ₋ ≥ ise, 0 1 2 x A x A ₋ ≤ ve eğer 2 ₁ 0 1 − ≥ A x Ax ise, 0 1 2 0 3 1 , 1 max Ax x A Ax x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋

olur. Dolayısıyla çözümler:

,...) 1 , ,..., 1 , , , , ( ) ( 0 0 0 0 1 0 1 Ax Ax Ax Ax Ax x x xn = − − şeklindedir. Eğer x₁ = Ax₋₁ ve 2 ₁ 0 1 − < A x Ax ise, 1 2 3 = A x−

x olur. Dolayısıyla çözümler:

,...) 1 , ,..., 1 , , , , , ( ) ( 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 − − − − − − = x A x A x A x A Ax Ax x x xn şeklindedir. (g) Eğer 0x₋₁,x₀ > ise, 1 0 0 1 = > x

x olur. İterasyonla her n≥−1 için x_n >0

olduğu görülür. Sonuç olarak her n≥0 için

n n

x

,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x xn = − şeklindedir.

(h)-(i) Eğer 0x₋₁,x₀ < ise, x₁ = Ax₋₁ >0 ve

0 , 1 max , 1 max ₀ 1 0 1 2 > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − Ax Ax Ax x x

olur. İterasyonla her n≥1 için x_n >0 olduğu görülür. Sonuç olarak, her n≥2 için

n n

x

x ₊₁ = 1 sağlanır. Dolayısıyla, eğer ₀

1 1 Ax Ax₋ ≤ ise, çözümler: ,...) 1 , ,..., 1 , , , , ( ) ( 0 0 0 0 1 0 1 Ax Ax Ax Ax Ax x x xn = − −

şeklindedir. Öte yandan, eğer ₀

1 1 Ax Ax₋ > ise, çözümler: ,...) , 1 ,..., , 1 , , , ( ) ( ₁ 1 1 1 1 0 1 − − − − − − = Ax Ax Ax Ax Ax x x x_n

şeklinde olur ki böylece ispat tamamlanmış olur.

0 <

A durumunda (3.1) denkleminin her bir çözümü sonuçta pozitiftir.

O halde (3.1) denklemi x ile çarpılır ve _n y_n =x_nx_n−1 dönüşümü yapılırsa, n≥ ve n₀ 0

0 >

n

y için y_n+1 =max

{

Ay_n,1

}

denklemi elde edilir. Dolayısıyla, 1₁

0+ =

n

y olur. Buradan, iterasyonla n≥ n₀ +1 için yn =1’dir. (yn,n≥ için n0

n n

x

x ₊₁ = 1 ’e eşittir.) Bu da (3.1) denkleminin her bir çözümünün er geç iki periyotlu olduğunu gösterir.

3.2. A>0 durumu

Bu kısımda, A>0 durumunda (3.1) denkleminin çözümleri incelenmiştir. Öncelikle, A>0 durumunda (3.1) denkleminin çözümlerinin irdelenmesinde kullanılacak iki lemma tanımlanmış ve ispat edilmiştir. Daha sonra verilen teorem bu durumda (3.1) denkleminin bütün çözümlerini tam anlamıyla açıklar niteliktedir.

Lemma 3.2.1. y₀ >0 olmak üzere, aşağıdaki fark denklemini alalım

yn+₁ =max

{

Ayn,1

}

(3.2.1) Bu denklem için aşağıdaki ifadeler doğrudur.

(a) Eğer A∈(0,1] ise, (3.2.1) denkleminin her bir y çözümü er geç sabittir. _n Üstelik, eğer A∈(0,1) veya A=1 ve y₀∈(0,1] ise, er geç yn =1’dir. Ayrıca, eğer

1 =

A ve y₀ >1 ise, er geç y_n = y₀’dır.

(b) Eğer A>1 ise, (3.2.1) denkleminin her bir y çözümü er geç _n y_n+1 = Ay_n fark denklemini sağlar.

İspat. (a) İlk olarak A∈(0,1) olduğunu kabul edelim. Eğer ] A 1 , 0 ( 0∈ y ise, 1 0A≤

y olduğundan y₁ =1 elde edilir. Ardından, y₁A<1 olduğundan y₂ =1’dir.

İterasyonla her n≥1 için y_n =1 elde edilir.

Eğer y₀ >1/A ise, y₁ = Ay₀’dır. Eğer 1A2y₀ ≤ ise, y₂ =1 olur ve sonuç

olarak, her n≥2 için yn =1 olur. Aksine, y2 = A2y0 olsun. A∈(0,1) olduğundan

∞ →

n için An →0 olur. Dolayısıyla, 0 ₀ ≤1

y

An ve 0−1 ₀ >1

y

An olacak şekilde bir N

n₀ ∈ doğal sayısı vardır. Buradan da her n≥ için n₀ y_n =1 olduğunu görmek kolaydır ve bu istenen sonuçtur.

Eğer 1A= ise, y₀∈(0,1] için y₁ =1 olur ve sonuç olarak, her n≥1 için

1 =

n

y elde edilir. Eğer 1y₀ > ise, y₁ = y₀ >1 olur ve iterasyonla her n≥0 için

0

y

yn = elde edilir ki böylece ispat tamamlanmış olur.

(b) Eğer ] A 1 , 0 ( 0∈

y ise, y₁ =1 olur. Ayrıca,

{

1

}

1 1

2 max Ay ,1 Ay A 1 y

y = = = > =

olur ve iterasyonla her n≥1 için y_n+1 ≥ y_n elde edilir ki buradan da her n≥1 için

n n Ay

y ₊₁ = elde edilir.

Eğer y₀ >1/A ise, y₁ = Ay₀ >1 olur. Buradan her n≥0 için yn+1 = Ayn

olduğunu görmek kolaydır ve ispat tamamlanmış olur.

Lemma 3.2.2. y₀ >0 olmak üzere, aşağıdaki fark denklemini alalım.

yn+₁ =min

{

Ayn,1

}

(3.2.2) Bu denklem için aşağıdaki ifadeler doğrudur.

(a) Eğer A∈(0,1) ise, (3.2.2) denkleminin her bir y çözümü er geç _n n

n Ay

y ₊₁ = fark denklemini sağlar.

(b) Eğer A≥1 ise, (3.2.2) denkleminin her bir y çözümü er geç sabittir. n

Üstelik, eğer A>1 veya A=1 ve y₀ >1 ise er geç y_n =1 ve eğer A=1 ve ] 1 , 0 ( 0 ∈ y ise, er geç y_n = y₀’dır.

İspat. (a) Eğer ] A 1 , 0 ( 0∈

y ise, y₁ = Ay₀ ≤1 olur. Dolayısıyla, iterasyonla her n≥0 için y_n+1= Ay_n elde edilir. Eğer y₀ >1/A ise, y₁ =1 ve y₂ = A<1 olur

ve iterasyonla her n≥1 için y_n+1 = Ay_n elde edilir.

(b) İlk olarak A=1 olsun. Eğer ]y₀∈(0,1 ise, y₁ = y₀ olur ve her n≥0 için

0

y

y_n = elde edilir. Eğer 1y₀ > ise, y₁ =1 olur ve her n≥1 için y_n =1 elde edilir.

Eğer 1A> ve y₀ >1/A ise, y₁ =1 olur ve her n≥1 için yn =1 elde edilir.

Eğer ] A 1 , 0 ( 0∈

y ise, y₁ = Ay₀ olur. Eğer 1A2y₀ > ise, y₂ =1 ve sonuçta her n≥2

için 1yn = elde edilir. Aksine, 0 1 2 1 2 = Ay = A y ≤ y olsun. n→∞ için An →0 olduğundan _Am0_y0 >1 ve 1 0 1 0− _y ≤

Am olacak şekilde bir m₀ ∈N doğal sayısı vardır. Bu şekilde seçilen m için ₀ 1

0 =

m

y olur ki bu her n≥m₀ için y_n =1 olmasını sağlar ve ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.2.1. (3.1) denkleminde, A>0 olsun. Bu durumda denklemin çözümleri:

(a) Eğer x₋₁ <0, 0x₀ > ve A∈(0,1] ise,

,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x x_n = ₋ . (b) Eğer x₋₁ <0, 0x₀ > ve A>1 ise, ,...) , , , , 1 , , ( ) ( 0 2 0 2 0 0 0 0 1 x A x A x A Ax x x x xn = − . (c) Eğer x₋₁ >0, 0x₀ < ve A∈(0,1] ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , , ( ) ( 1 1 1 1 0 1 − − − − − = Ax Ax Ax Ax x x x_n .

(d) Eğer x₋₁ >0, 0x₀ < ve A>1 ise, ,...) , ,..., 1 , , 1 , , , ( ) ( 1 ₁ 1 2 1 1 2 1 1 0 1 + − − − − − − − − = A x x A x x A Ax Ax x x x n n n . (e) Eğer 0x₋₁,x₀ > , 0 1 1 x x = ve A∈(0,1] ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x xn = − . (f) Eğer 0x₋₁,x₀ > , 0 1 1 x x = ve A>1 ise, ,...) , ,..., , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 1 x A x A x A Ax x x x x n n n = − . (g) Eğer 0x₋₁,x₀ > , x₁ = Ax₋₁ ve A≥1 ise, ,...) , ,..., , , , , ( ) ( 2 _{1 1 0} 0 1 0 1 x Ax Ax A x A x A x x x_n = _{− − −} n ₋ n .

(h) Eğer 0x₋₁,x₀ > , x₁ = Ax₋₁ ve A∈(0,1) ise, x çözümleri er geç 2 n

periyotludur. (i) Eğer 0x₋₁,x₀ < , 0 1 1 x x = ve A∈(0,1] ise, ,...) , ,..., , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 1 x A x A x A Ax x x x x n n n = − . (j) Eğer 0x₋₁,x₀ < , 0 1 1 x x = ve A>1 ise, ,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x xn = − .

(k) Eğer 0x₋₁,x₀ < , x₁ = Ax₋₁ ve A∈(0,1] ise, ,...) , ,..., , , , , ( ) ( 1 ₁ 0 1 2 0 1 0 1 − − + − − = x x Ax Ax A x A x A x x_n n n .

(l) Eğer 0x₋₁,x₀ < , x₁ = Ax₋₁ ve A>1 ise, x çözümleri er geç 2 _n periyotludur.

şeklindedir.

İspat. (a), (b) İlk olarak x₋₁ <0, 0x₀ > olsun. O zaman, 0 1 0 1 = > x x ve

{

,

}

max

{ }

1, 0 max _{0 0 0} 2 = x Ax =x A > x

olur. Bu yüzden, eğer A∈(0,1] ise, x₂ = x₀ ve

= 3 x 0 0 0 1 , 1 max x x A x _⎭⎬= ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

olur. İterasyonla her n≥2 için

{

0 0

}

0 2 max x ,Ax x x _n = = ve 0 0 0 1 2 1 , 1 max x x A x x _n = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = −

elde edilir. Dolayısıyla, çözümler:

,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x xn = − şeklindedir. Eğer 1A> ise, x₂ = Ax₀ ve

0 , 1 max , 1 max 0 0 0 1 2 3 = > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = x A x A Ax Ax x x

olur ve iterasyonla her n≥1 için

0 1 1 2 x A x n n − − = ve x2 A x0 n n = elde edilir. Dolayısıyla, çözümler: ,...) , , , , 1 , , ( ) ( 0 2 0 2 0 0 0 0 1 x A x A x A Ax x x x xn = − şeklindedir. (c)-(d) Eğer x₋₁ >0, 0x₀ < ise, , 0 1 1 = Ax− > x 0 1 1 2 = > − Ax x ve

{ }

A Ax Ax x x max 1 , _{1 1}max1, 2 3 = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

olur. Bu durumda kolaylıkla görülebilir ki her n≥1 için x_n >0’dır.

Eğer A∈(0,1] ise, 1 3 = Ax− x ve 1 4 1 − = Ax x

olur ve iterasyonla her n≥1 için

1 1 2 − = Ax− x n ve 1 2 1 − = Ax x n

elde edilir. Dolayısıyla, çözümler: ,...) 1 , ,..., 1 , , , ( ) ( 1 1 1 1 0 1 − − − − − = Ax Ax Ax Ax x x xn şeklindedir. Eğer 1A> ise, 1 2 3 = A x− x ve 1 4 1 − = x x

olur ve iterasyonla her n≥2 için

1 1 2 − = A x− x _n n ve 1 2 2 − − = x A x n n

elde edilir. Dolayısıyla, çözümler:

,...) , ,..., 1 , , 1 , , , ( ) ( 1 ₁ 1 2 1 1 2 1 1 0 1 + − − − − − − − − = A x x A x x A Ax Ax x x x n n n şeklindedir.

(e)-(h) Eğer 0x₋₁,x₀ > ise,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋₁ 0 1 , 1 max Ax x x olur. Eğer 0 1 1 x x = ise,

{

0 0

}

2 max x ,Ax x = olur. Bu durumda, eğer ]A∈(0,1 ise,

0 3

1 x x = olur ve iterasyonla her n≥1 için

0 1 2 1 x x n− = ve 0 2 x x n =

elde edilir. Dolayısıyla, çözümler:

,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x xn = − şeklindedir. Eğer A∈(1,∞) ise, 0 2 Ax x = ve 0 3 x A x = olur ve iterasyonla her n≥1 için

0 1 1 2 x A x n n − − = ve 0 2 A x x n = n

elde edilir. Dolayısıyla, çözümler:

,...) , ,..., , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 1 x A x A x A Ax x x x x n n n = − şeklindedir.

Eğer 0 1 1 1 x Ax x = ₋ ≥ ve A∈[1,∞) ise, 0 0 1 2 , 1 max Ax Ax Ax x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ve 1 2 1 2 0 3 , 1 max ₋ = ₋ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = A x A x Ax x

olur ve iterasyonla her n≥1 için

1 1 2 − =A x− x n n ve 0 2 A x x _n = n elde edilir. Dolayısıyla, çözümler:

,...) , ,..., , , , , , ( ) ( 2 _{0 1 0} 1 2 0 1 0 1 x Ax Ax A x A x A x A x x x_n = _{− − −} n ₋ n şeklindedir. 0 1 1 1 x Ax

x = ₋ ≥ ve A∈(0,1) olduğu durum daha karışıktır. Çünkü her n≥−1

için 0x_n > ’dır. (3.1) denkleminde eşitliğin her iki yanı x ile çarpılır ve _n

1 −

= n n n x x

y dönüşümü yapılırsa, (3.1) denklemi (3.2.1) denklemine dönüşür. Bu durumda Lemma 3.2.1’in iddiaları sağlandığından y çözümleri er geç sabittir ki bu n

da (3.1) denkleminin x çözümlerinin er geç 2 periyotlu olduğu anlamına gelir. _n

(i)-(l) Eğer 0x₋₁,x₀ < ise, her n≥−1 için xn <0 dır. Eğer

0 1 0 1 1 , 1 max x Ax x x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋ ve ]A∈(0,1 ise,

{

0 0

}

0 2 max x ,Ax Ax x = = ve

0 0 0 3 , 1 max x A x A Ax x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

olur ve iterasyonla her n≥1 için

0 1 1 2 x A x n n − − = ve 0 2 A x x _n = n elde edilir. Dolayısıyla, çözümler:

,...) , ,..., , , 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 1 x A x A x A Ax x x x x n n n = − şeklindedir. Eğer 0x₋₁,x₀ < , 0 1 1 x x = ve A>1 ise, 0 2 x x = ve 0 0 0 3 1 , 1 max x x A x x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

olur ve iterasyonla her n≥1 için

0 1 2 1 x x _n− = ve 0 2 x x _n = elde edilir. Dolayısıyla, çözümler:

,...) 1 , ,..., 1 , , ( ) ( 0 0 0 0 1 x x x x x x_n = ₋ şeklindedir.