T.C.
SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONĐK
ÖZELLĐKLERĐNĐN ĐNCELENMESĐ
BEKĐR ÇAKIR DOKTORA TEZĐ FĐZĐK ANABĐLĐM DALI
ÖZET Doktora Tezi
ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐNĐN ĐNCELENMESĐ
Bekir ÇAKIR
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Hüseyin YÜKSEL 2007, 111 Sayfa
Jüri: Prof. Dr. Hüseyin YÜKSEL Prof. Dr. Mehmet ZENGĐN
Prof. Dr. Salih YILDIZ Prof. Dr. Ülfet ATAV Doç. Dr. Ayhan ÖZMEN
Bu tez çalışmasında düşük boyutlu kuantum mekaniksel yapılarının elektronik özellikleri Kuantum Genetik Algoritma(KGA) yöntemiyle incelendi. Hesaplamalarda merkezinde hidrojen ve helyum benzeri safsızlık olan bir ve iki elektronlu kuantum nokta yapıları ele alındı ve sonsuz ve sonlu derinlikli küresel simetrik sınırlayıcı potansiyel göz önüne alındı. Sistemlerin dalga fonksiyonları tek-elektron spin orbitallerinden oluşan bir Slater determinantı ile tanımlandı. Tek-elektron spin orbitalleri ise Slater Tipi Orbitallerin(STO) lineer bileşimleri olarak oluşturuldu. Enerjinin beklenen değeri Hartree-Fock Roothaan Metodu(HFR) ve açılım katsayıları ve ekranlaşma sabitleri KGA yöntemiyle belirlenen STO lar üzerinden hesaplandı. Bir elektronlu ve iki elektronlu kuantum nokta yapıların taban ve bazı uyarılmış durumların enerjileri, kuantum nokta yarıçapına ve baz fonksiyonu sayısına bağlı olarak belirlendi. Aynı yapıların taban durumları için bağlanma enerjisi hesaplandı.
Anahtar Kelimeler: Kuantum nokta yapı, Kuantum Genetik Algoritma, Hartree- Fock Roothaan, Slater tipi orbital.
ABSTRACT PhD Thesis
INVESTIGATIN OF ELECTRONIC PROPERTIES OF MANY ELECTRONS QUANTUM DOT STRUCTURES
Bekir ÇAKIR
Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics
Supervisor: Prof. Dr. Hüseyin YÜKSEL 2007, 111 Pages
Jury: Prof. Dr. Hüseyin YÜKSEL Prof. Dr. Mehmet ZENGĐN
Prof. Dr. Salih YILDIZ Prof. Dr. Ülfet ATAV Doç. Dr. Ayhan ÖZMEN
In this study, electronic properties of low-dimensional quantum mechanical structures have been investigated by using Quantum Genetic Algorithm(QGA). One- and two-electron quantum dots(QD) with on-center hydrogen and helium impurities are considered in the calculations. We have assumed the confining potential to be infinitely and finitely deep and spherically symetric. The wave functions of the systems were defined by a Slater determinant occurring from single-electron spin orbitals. Also, linear combinations of Slater Type orbitals (STOs) were used for description of the single-electron spin orbital. The energy expectation values were determined by using the Hartree-Fock Roothaan(HFR) method. We calculated these values over Slater type orbitals whose expansion coefficients and screening constants are determined by the Quantum Genetic Algorithm(QGA). The ground and some excited state energies of one-electron QD and ground state energies of at wo-electron QD were calculated depending on the dot radius and the size of the basis set. In addition, we evaluated the binding energies of the same structures for the ground state.
Key Words: Quantum dot, Quantum Genetik Algortihm, Hartree-Fock Roothaan, Slater Type orbital.
ÖN SÖZ
Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Doktora çalışması olarak sunulmuştur. Bu çalışmada günümüz teknolojisinde oldukça önemli olan Kuantum nokta yapılarının elektronik özellikleri teorik olarak incelendi.
Kuantum nokta yapılar teknolojik sahada tek elektron transistörleri, infrared dedektörleri, hafıza elemanları ve iletişim gibi çeşitli alanlarda teknolojik cihazların üretilmesinde kullanılmaktadır. Kuantum nokta yapılar düşük boyutlu kuantum mekaniksel sistemler oldukları ve günümüz teknolojisine uyarlanabildikleri için bilim adamlarının ilgi odağı haline gelmiştir. Bu yapıların fiziksel özelliklerinin incelenmesiyle ilgili deneysel ve teorik çalışmalar giderek ivme kazanmaktadır. Yapılan bu çalışma kuantum nokta yapılarının elektronik özelliklerinin anlaşılması için olumlu yeni katkılar sağlayacaktır. Ayrıca hesaplama tekniği açısından da bu alanda yapılan ilk çalışmalardan olması yönüyle de önem arz etmektedir.
Bu çalışmam süresince bilgi ve tecrübeleriyle bana her konuda yardımcı olan ve yön gösteren danışman hocam Sayın Prof. Dr. Hüseyin YÜKSEL’e en içten teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca çalışmamın her safhasında bana sürekli yardımcı olan ve her konuda destek veren bölümümüz öğretim üyelerinden Doç. Dr. Ayhan ÖZMEN hocama, Prof. Dr. Ülfet ATAV hocama ve Aksaray Üniversitesi Öğretim üyesi Yrd. Doç. Dr. Yusuf YAKAR’a büyük yardımlarından dolayı teşekkür ederim.
Çalışmalarım boyunca beni her zaman sabırla destekleyen ve teşvik eden sevgili eşime ve çocuklarıma özellikle teşekkürlerimi bir borç bilirim.
Ayrıca çalışmamın çeşitli safhalarında bilgi ve tecrübelerinden istifade ettiğim bölümümüz öğretim elemanlarına ve bu çalışmada bana maddi destek veren Selçuk Üniversitesi Bilimsel Araştırma Koordinatörlüğüne teşekkürlerimi sunarım.
Bekir ÇAKIR Nisan 2007, KONYA
ĐÇĐNDEKĐLER ÖZET……… iii ABSTRACT……….. iv ÖN SÖZ………v ĐÇĐNDEKĐLER………..vi 1.GĐRĐŞ………1
2. DÜŞÜK BOYUTLU YAPILAR VE ÜRETĐM TEKNĐKLERĐ 8
2.1. Giriş………....8
2.2. Düşük Boyutlu Yapılar……….11
2.2.1. Kuantum Kuyuları……….11
2.2.2 Kuantum Telleri……….13
2.2.3. Kuantum Nokta Yapılar………14
2.3. Düşük Boyutlu Yapıların Üretim Yöntemleri………..16
2.3.1. Asitle Eritme Yöntemi………..16
2.3.2. Module Edilmiş Elektrik Alan Yöntemi………..17
2.3.3. Kendiliğinden Büyüme Yöntemi……….19
2.3.4. Seçici Büyütme Yöntemi………..19
2.3.5. Kuantum Kuyusu ve Engel Arası Đç Difüzyon Yöntemi………..20
2.3.6. Yarı Đletken Mikro Kristaller………21
3. KÜRESEL KUANTUM NOKTA YAPILARININ ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐ VE SAYISAL YÖNTEMLER………...23
3.1. Giriş ………23
3.2. Tek Elektronlu Kuantum Kuyusu………...24
3.3. Kuantum Nokta Yapının Elektronik Yapısı………27
3.4. Etkin Kütle Yaklaşımı ………27
3.5. Kuantum Nokta Yapılarda Sınır Şartları……….29
3.6. Genetik Algoritma………...30
3.6.1. Yeniden Oluşum (Üretme)………33
3.6.2. Çaprazlama (Crossover) ………...34
3.6.3. Mutasyon ………..36
4. HESAPLAMALAR ve SONUÇLAR………..38
4.2. Sonsuz Küresel Simetrik Potansiyelde Kuantum Nokta
Yapının Elektronik Özellikleri ………...39
4.2.1. Hesaplama Yöntemi………...43
4.2.2. Sonsuz Küresel Simetrik Potansiyelli Kuantum Nokta Yapılar Đçin Sonuç ve Tartışma……….…………..46
4.3. Sonlu Küresel Simetrik Potansiyelde Kuantum Nokta Yapının Elektronik Özellikleri………....………56
4.3.1. Hesaplama Yöntemi………..63
4.3.2. Sonlu Küresel Simetrik Potansiyelli Kuantum Nokta Yapılar Đçin Sonuç ve Tartışma …………..……….64
KAYNAKLAR………..73
EK-1 Şekiller……….84
EK-2 Analitik Đfadeler………..90
EK-3. Fortran Programları EK-3.1. Sonsuz Küresel Simetrik Kuantum Nokta Yapının Enerji Beklenen Değerlerini Hesaplayan KGA Programı………..92
EK-3.2. Sonlu Küresel simetrik Potansiyel Kuyusu………...108
Bu Tez Çalışmasından Çıkan Yayınlar
Yurtdışı yayınlar
1. Çakır, B., Özmen, A., Atav, Ü., Yüksel, H. and Yakar, Y., 2007 Investigation of electronic structure of a quantum dot using Slater-type orbitals and quantum genetic algorithm.,International Journal of Modern Physics C., 18: 61-72.
2. Çakır, B., Özmen, A., Şahin, M., Yakar, Y., Atav, Ü. and Yüksel, H., ”Calculation of the electronic structure of a spherical quantum dot using a combination of quantum genetic algorithm and Hartree-Fock-Roothaan Method”, gönderildi.
Uluslararası Bildiri
1. Çakır, B., Özmen, A., Şahin, M., Yakar, Y., Atav, Ü. and Yüksel, H., 28-30 August. 2006 Determination of wave functions of a quantum dot using the genetic algorithm, Proceedings of the international conference on modeling and simulation, Konya,Turkey, paper No:B032.
1. GĐRĐŞ
Elektriğin keşfinden sonra bazı malzemelerin iyi bir iletken, bazı malzemelerin de kötü bir iletken olduğu anlaşıldı. Malzemeler elektrik yükü taşımalarına göre; iletkenliği 104-106 (Ω.cm)-1 aralığında olan malzemeler iletken, iletkenliği 10-10 (Ω.cm)-1 den daha az olan malzemeler de yalıtkan, iletkenliği 104 -10-10 (Ω.cm)-1 aralığında olan bazı katılar da yarı iletken olmak üzere üç sınıfa ayrılırlar. Yalıtkanlar çok yüksek sıcaklıklarda iletkenlik özelliği kazanırken, yarı iletkenler oda sıcaklığında elektriksel iletkenlik kazanırlar. 1873 yılında selenyumun fotoiletkenliğinin keşfedilmesiyle yarı iletken bilimi başlamış oldu (Smith 1873). Daha sonra 1940’lı yılların sonunda farklı fiziksel ve kimyasal özelliklere sahip yeni bir aygıt olan transistörün ortaya çıkmasıyla yarı iletken biliminde yeni bir dönem başladı (Bardenn ve Brattain 1948, Shockleey 1949). Hall ve arkadaşları (1962) tarafından yarı iletken lazerin icat edilmesi, birbirinden farklı en az iki yarı iletken kullanılarak oluşturulan heteroeklemlerin ortaya çıkışı (Anderson 1962) 1960 yıllarda kuantum mekaniğinin katıhal elektroniği üzerinde daha etkin bir rol oynamasına neden olmuştur.
Haberleşme ve iletişim teknolojilerinde gözlenen yoğun talep ve değişik özel uygulamaların ivme kazandırdığı deneysel ve teorik çalışmalar, yaklaşık yarım yüzyıldır yarı iletken malzeme bilimindeki ve teknolojisindeki gelişmelere büyük bir hız kazandırmıştır. Bununla birlikte hafıza ve hesaplama sistemlerine olan yoğun talep, sinyal iletim ve çalışma hızlarının yükseltilmesi yönündeki araştırmalar, yeni mikroelektronik ve optoelektronik aygıtların geliştirilmesine zemin hazırlanmıştır.
Yakın bir geçmişe kadar mikroelektronik tümüyle yüksek bir mekanik kararlılığa sahip, ısısal iletkenliği yüksek ve üretimi nispeten kolay bir malzeme olan Silisyum temelli bir bilim dalıydı. Çünkü bu tür malzemeler çok küçük yasak enerji aralığına sahip olduğundan pratik uygulamalar için oldukça elverişlidir. Sahip olduğu bu eşsiz özellikler nedeniyle farklı elementlerle alaşım ve katkı yapılarak çok farklı elektronik özelliklere sahip tek-kristal, polikristal ve amorf formlarda malzemeler üretilebilmektedir. Silisyumun yaygın olarak entegre devre teknolojisinde kullanılmaktadır.
Yarı iletken aygıtlar üzerinde kuantum sınırlandırmasının etkileri ile ilgili tartışmalar 1950 li yıllarda başlar. Schrieffer (1957) bir potansiyel kuyu içerisinde hapsedilmiş elektronların klasik olarak davranamayacaklarını ve bu elektronların enerji seviyelerinin sınırlandırmanın olduğu boyutta kesikli değerler alacağını ileri sürmüştür. 1975 yılında Cho ve Arthur (1975) tarafından moleküler demet kaplama (Molecular Beam Epitaxy (MBE)) yönteminin bulunuşu çoklu eklem kuantum yapılarında önemli gelişmelere ışık tutmuştur.
Kuantum kuyusu olarak adlandırılan iki boyutta sınırlandırılmış elektronik yapılar, daha yüksek iletim bandı enerjisine sahip aynı iki düzlem yarı iletken tabaka arasına düşük bant aralıklı yarı iletken bir düzlem tabakanın eklenmesiyle elde edilir. Kuantum kuyusunun çok ince bir yapıya sahip olması ve elektronun bu yapı içinde tutulması sistemin elektronik özelliklerinin incelenmesi açısından araştırmacıların ilgisini çekmiştir. Bu da yarı iletken teknolojisinin hızlı bir şekilde gelişmesine yol açmıştır.
Literatürde kuantum kuyularının enerji seviyelerinin kesikli olduğuna dair yapılmış çok sayıda çalışma vardır( Esaki ve Tsu 1970, Chang ve ark. 1974, Dingle
ve ark. 1974, Dingle ve ark. 1978). Kuantum kuyusunun sınırlanması etkisine dayalı olarak çalışan rezonans tünelleme diyodu (Chang ve ark. 1974) ve kuantum kuyu lazeri (van der Ziel ve ark. 1975) optoelektronik cihazların ilk örnekleri olarak verilebilir.
Đnce film büyütme tekniklerindeki gelişmeler, özellikle elektron demeti ve x-ışını litografisi gibi hassas malzeme üretim ve analiz tekniklerinin gelişimi, farklı boyutlarda ve şekillerde kuantum yapılarının üretilmesine imkan sağlamıştır. Kısa zaman içerisinde bu gelişmeler kuantum tel olarak adlandırılan tek boyutlu yapıların üretilmesine olanak sağlamıştır(Petroff ve ark. 1982, Smith 1987, Hansen 1987). Kuantum kuyu ve kuantum tel aygıtlarındaki ilerlemeler, sınırlandırılmış sistemlerin elektronik yapılarının hesaplanmasında büyük bir ilgi odağı oluşturmuştur. Teknolojide, özellikle çok hassas litografik tekniklerdeki hızlı gelişmeler, elektronların tek boyutlu yapıda sınırlandırılmasına ve dolayısıyla kuantum tel yapıların üretilmesine imkan sağlamıştır(Petroff 1982). Kuantum telleri teknolojik olarak litografik yöntemlerle kuantum kuyusu içeren bir malzemeden çok dar şeritler kesilerek veya elektromanyetik yöntemle elektron hareketi kısıtlanarak elde edildi(Tandon ve Khokle 1994). Bu yapıların enine boyutları kuantum kuyusunun derinliğinden önemli ölçüde daha büyüktür (Jacak 1998). Kuantum telleri, yaygın olarak MOS ve MOSFET yapıların üretiminde kullanılmaktadır(Lai 1986). Ayrıca bu yapılarda kuantumlu balistik direnç etkisi gözlenmiştir(van Wees 1988).
Elektronların serbest hareketinin tüm boyutlarda sınırlandırılması, kuantum nokta yapıları olarak adlandırılan sıfır boyutlu nano yapıların ortaya çıkmasına yol açmıştır. Đlk kuantum nokta yapısı Reed ve ark. (1986) tarafından üretilmiş olup, 250 nm kenar uzunluğu olan kare biçiminde bir geometrik yapıya sahiptir. Daha
sonra 30-45 nm boyutlarına kadar kuantum nokta yapıları farklı geometrik (kübik, ellipsoid, küresel ve piramit) şekillerde üretilmiştir (Cibert ve ark. 1986, Temkin ve ark. 1987, Bimberg ve ark. 1999). Bu dönemde sıfır boyutlu nano yapılar olarak adlandırılan kuantum nokta yapıları daha çok teorik olarak çalışılmış ve sonrasında deneysel olarak gerçekleştirilmiştir ( Ashoori ve ark. 1992, Murray ve ark.1993, Katari ve ark. 1994). Kuantum nokta yapılar çok verimli ve tam kontrol edilebilir laserlerin yapımında kullanıldı (Reed 1993). Böyle yapıların şekil ve boyutlarının deneysel olarak kontrol edilebilmesi teknolojik uygulamada çok geniş bir alan açmıştır (Kouwenhoven ve Marcus 1998).
Tüm boyutlarda güçlü bir sınırlandırma sonucu elde edilen kuantum nokta yapıları kesikli enerji seviyelerine ve kabuk yapılarına sahip olduklarından dolayı yapay atom olarak da adlandırılırlar (Maksym ve Chakraborty 1990, Fujito ve ark. 1996). Üretilme aşamasında bu yapıların şekilleri, boyutları, enerji seviyeleri ve sınırlandırdıkları elektron sayıları kontrol edilebilir olduğundan teknolojik olarak daha ilgi çekicidir. Kuantum nokta yapıları kullanılarak kızıl ötesi foto dedektörler (QDIP), tek elektron transistorler, hafıza elemenları ve kuantum bilgisayarları gibi cihazlar geliştirilmeye başlanmıştır(Ryzhii 1996, Nomoto ve ark. 1998, Choi ve ark. 1998, Yusa ve Sakaki 1999, Gammon 2000, Sim ve ark. 2004).
Kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerini inceleyen çok sayıda teorik ve deneysel çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmalarda farklı hesaplama yöntemleri ve dalga fonksiyonları kullanılmıştır. Bu yöntemlerden birisi varyasyonel yöntem olup, bu tür kuantum mekaniksel yapıların incelenmesinde yoğun bir şekilde kullanılmaktadır: 1980 yıllarda Bastard (1984) hidrojenik safsızlığın bağlanma enerjisini varyasyonel yöntemle hesaplamıştır. Marin ve Cruz (1991) direkt
varyasyonel metodunu kullanarak sonsuz küresel bir kuyuda sınırlandırılmış hidrojen atomu ve harmonik salınıcı gibi sistemlerin Shrödinger denklemlerine karşılık gelen çözümlerini bularak, enerji seviyelerini belirlemiştir. Brownstein (1993) sınırlandırılmış sistemlerin enerji özdeğerlerini Gauss teoremini kullanarak lineer varyasyon yöntem ile hesaplamıştır. Varshni (1999,2001) varyasyonel yöntemle küresel kuantum nokta yapının ve merkezindeki bir safsızlığın taban durum enerjilerini basit bir dalga fonksiyonu ile hesapladı. Slater Tipi Orbitalleri kullanarak Szafran ve ark. (1998,1999) iki ve üç elektronlu kuantum nokta yapısının elektronik özelliklerini inceledi. Bednarek ve ark.(1999, 2001) ve McCharty (2001) Gauss Tipi Orbitalleri kullanarak çok elektronlu kuantum nokta yapının elektronik yapısını lineer varyasyonel yöntemle incelemişlerdir. Hartree-Fock yöntemini kullanarak (Jaskolski 1996, Connerade ve ark. 2000, Reusch ve Grabert 2003), yoğunluk fonksiyonel teorisini (DFT) kullanarak (Lee ve ark. 1998, Şahin ve Tomak 2005), Monte-Carlo yöntemini kullanarak (Ceperley 1978, Sim ve ark. 2004), pertürbasyon yöntemini kullanarak (Bose ve Sarkar 1998) çeşitli kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerini incelediler.
Son zamanlarda nano yapılı sistemlerin elektronik yapılarının ve fiziksel özelliklerinin incelenmesinde en iyileme yöntemi olan KGA tekniği kullanılmaya başlanmıştır. GA, ortama iyi uyum sağlayan bireylerin hayatta kalması ve sağlayamayan bireylerin ise elenmesi olarak tanımlanabilir. GA tekniği ilk kez Holland (1975) tarafından kullanılmış olup, mühendislik ve malzeme biliminde yaygın olarak kullanılmaktadır(Venugopal ve Narendran 1992, Homair ve ark. 1994, Sahin ve ark. 2000, Kulkarni ve ark. 2004, Castro ve ark. 2004). Kuantumlu yapılarda kullanıldığında KGA olarak da adlandırılan bu yöntem varyasyon
yönteminde olduğu gibi enerji minimizasyon ilkesine dayanır ve son zamanlarda fiziğin bir çok alanında, özellikle kuantum mekanik sistemlerin elektronik yapılarının belirlenmesinde kullanılmaya başlanılmıştır(Grigorenko ve Garcia (2000, 2001, 2002), Nakanishi ve Sugawara 2000, Saha ve ark. 2001, Chaudhury ve Bhattacharyya 1998, Sahin ve Tomak 2002, Şafak ve ark. 2003, Şahin ve Tomak 2005, Çakır ve ark. 2006, Çakır ve ark. 2007).
Bu çalışmalardan Grigorenka ve Garcia Gaussian benzeri bir dalga fonksiyonu formunu ele alarak quantum sistemlerin taban ve birinci uyarılmış durum enerjilerini ve dalga fonksiyonunu hesapladılar. Şahin ve ark. sonsuz ve sonlu potansiyelle sınırlandırılmış küresel kuantum nokta yapısının elektronik özelliklerini tek parametreli Gauss tipi dalga fonksiyonu kullanarak incelediler. Çakır ve ark. kuantum genetik algoritma yöntemiyle HFR yönteminin birleşimini kullanarak, sonsuz derinlikli küresel simetrik sınırlayıcı potansiyele sahip merkezinde hidrojen ve helyum benzeri safsızlık bulunan bir ve iki elektronlu kuantum nokta yapısının elektronik özelliklerini Slater Tipi Orbitaller (STO) üzerinden incelediler.
Bu tez çalışmamızın iki amacı vardır. Bunlardan birincisi parametre eniyilemesine dayanan kuantum genetik algoritma yöntemiyle analitik yöntem olan Hartree-Fock Roothaan metodunun birleşiminin kuantum mekanik sistemlere uygulanabilirliğini göstermektir. Đkinci olarak bu yöntemle atomik özellik gösteren kuantum nokta yapılarının STO lar üzerinden elektronik özelliklerini incelemek, STO ların bu yapıların fiziksel özelliklerinin hesaplanmasında eksikliklerini ve üstünlüklerini tartışmak ve hesaplamalarda kullanılan STO baz seti sayısının önemini vurgulamaktır.
Çalışmamızda iki farklı kuantum nokta yapısını ele aldık. Bunlardan birincisi sonsuz küresel simetrik sınırlayıcı potansiyele sahip merkezinde safsızlık bulunan GaAs kuantum nokta yapısı, diğeri ise sonlu küresel sınırlayıcı potansiyele sahip merkezinde safsızlık bulunan GaAS/AlxGa1-xAs kuantum nokta yapısıdır. Bir
elektron için bu nokta yapıların taban ve bazı uyarılmış durum enerjilerini ve bağlanma enerjilerini hesapladık. Đki elektron için yine bu yapıların taban durum enerjisini hesapladık.
Tezin ikinci bölümünde kuantum nokta yapıları ve bu yapıların elde ediliş yöntemleri hakkında bilgi verilecektir. Üçüncü bölümde kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerinden ve bu özelliklerin hesaplama yönteminden bahsedilecektir. Dördüncü bölümde ise kuantum nokta yapılar için analitik ifadeler ve bu ifadeler kullanılarak hesaplanan sonuçlar verilecektir. Bu sonuçların değerlendirilmesi ve gelecekte yapılabilecek çalışmalara ışık tutması açısından öneriler sunulacaktır. EK-1 de sonlu yapılar için elde edilen grafikler, Ek-2 de hesaplamalarda kullanılan bazı katsayıların analitik ifadeleri ve EK-3 de ise bu hesaplamaların yapıldığı analitik ifadelerin fortran programları verilecektir.
2. DÜŞÜK BOYUTLU YAPILAR VE ÜRETĐM TEKNĐKLERĐ
2.1. Giriş
Nano teknolojideki gelişmeler ve üretim tekniklerindeki ilerlemeler, haberleşme ve iletişim teknolojisindeki aşırı talep, değişik özel uygulamaların hız kazandırdığı deneysel çalışmalar ve bunlara eşlik eden teorik çalışmalar değişik yapı ve fiziksel özelliklere sahip kuantum mekanik sistemlerinin üretilmesine olanak sağlamıştır. Hafıza ve hesaplama sistemlerine olan yoğun talep, sinyal iletme ve işleme hızlarının yükseltilmesi yönündeki araştırmalar, yeni mikroelektronik ve optoelektronik yapıların üretilmesine zemin hazırlamıştır (Mitin ve ark.1999, Davies 1999).
Mikroelektronik alandaki temel amaç, minimum büyüklükte aygıt ve en üst düzeyde entegre elemanların üretilmesidir. Bunun için, yüksek nitelikli çok tabakalı yapay yapılara ihtiyaç vardır. Boyutlar küçüldüğü zaman aygıt, mevcut çalışma prensiplerini yitirmeye başlarken kuantum etkileri önem kazanmaya başlar. Ayrıca boyutların küçülmesi bir elektrik sinyalinin iletimini sağlayan yüklerin sayısında da önemli ölçüde bir azalmaya neden olacaktır. Günümüzde üretilen bazı nano ölçekli aygıtlar, tek elektron iletimine dayalı olarak çalışmaktadır. Bu tür tek-elektron aygıtları III. ve V. grup elementlerinin katkılanmasıyla Si/Ge gibi farklı yarı iletkenlerden yapılmış eklemler kullanılarak üretilmektedir.
Tabiatta bulunan bütün yapılar makroskopik, mikroskopik ve düşük boyutlu (mezoskopik) olmak üzere üç sınıfa ayrılabilir. Parçacıkların hareketini istatistiksel olarak tanımlanabilecek boyutlardaki yapılara makroskopik yapılar, atomik boyutlardaki yapılara mikroskopik yapılar denir. Büyüklükleri makroskopik ile
mikroskopik yapılar arasında yer alan, boyutları yaklaşık 10-1000
o
A arasındaki yapılar da mezoskopik yapılar olarak tanımlanır. Bir yapının mezoskopik bir yapı olarak adlandırılması için, sistemin boyutlarından en az birisinin, üç karakteristik uzunluk olan ortalama serbest yol, Fermi dalga boyu ve faz durulma mesafesinden küçük olmalıdır.
Ortalama serbest yol, bir elektronun yapmakta olduğu çarpışmalar arasında çarpışma yapmadan aldığı yoldur. Başka bir deyimle elektronun bir çarpışmadan sonra momentumunu değiştirmeden gidebileceği maksimum mesafedir. Bir sistemin boyutları ortalama serbest yoldan daha küçükse elektronlar bu yapı içinde çarpışma yapmadan ilerleyebilir. Faz durulma mesafesi, elektronlar arasındaki faz dengesinin bozulmaya uğradığı mesafedir. Eğer bir yapının boyutları ortalama serbest yoldan veya faz durulma mesafesinden küçükse, elektronun hareketi tek bir dalga fonksiyonu ile ifade edilebilir. Đki boyutlu elektron gazı için Fermi dalga boyu
2 / 1 ) / 2 ( e f = π n
λ ile tanımlanır ve yarı iletken malzeme için değeri 10-100 nm
mertebesinde, metaller için ise 1 nm den daha düşüktür. Yani yarı iletken bir yapıda elektronlar için kuantum engeli oluşturmak, metalik yapılara göre çok daha kolaydır. Mezoskopik yapılar taşıyıcıların hareketlerinin engelleyici bir potansiyel ile sınırlandırılması ile deneysel olarak oluşturulabilmektedir. Yarı iletken ve dielektrik malzemelerin yasak enerji aralıklarının farklılığından dolayı ara yüzeyde bir potansiyel engeli oluşur. Bu potansiyel engeli yarı iletken içerisindeki yük taşıyıcılarının hareketlerini sınırlandırabilir. Şekil.2.1 de görüldüğü gibi yasak enerji aralığı (Eg1) büyük olan bir yarı iletken malzeme içerisine, daha düşük yasak enerji
aralığına (Eg2) sahip başka bir yarı iletken malzeme atom katmanları olarak
potansiyel engeli oluşur. Bu engel, elektronların ve deşiklerin bu bölgede sınırlandırılmasına sebep olur. Günümüzde bu şekilde üretilen birçok farklı yarı iletken malzeme, teknolojinin değişik alanlarında yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bu yarı iletkenlere GaAs, AlAs, InAs, InSb, AlGaAs ve CdSe gibi yarı iletken malzemeler örnek verilebilir.
Şekil 2.1. Kuantum heteroyapısı (kuantum kuyusu) nın şematik gösterimi
Boyut sayısına bağlı olarak taşıyıcı hareketlerinin sınırlandırıldığı nano yapılar, kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktaları olmak üzere 3 ayrı grupta sınıflandırılabilir. Bu yapılar Şekil 2.2 de şematik olarak gösterilmiştir. Buradaki ilk şekil (a) parçacığın tüm yönlerde serbestçe hareket edebildiği hiçbir sınırlandırmanın olmadığı hacimsel bir aygıtı temsil eder. Đkinci şekil (b) ise, parçacığın hareketi iki boyutta serbest iken, bir boyutta sınırlandırılmıştır ve kuantum etkisi tek boyutta görülür. Üçüncü şekil (c) ise bir kuantum telini göstermektedir ve böyle bir yapıda parçacığın hareketi iki boyutta sınırlandırılmış ve bir boyutta serbest bırakılmıştır. Sınırlandırılmanın yapıldığı iki boyutta kuantum etkileri gözlenir. Dördüncü şekil ise her üç boyutta sınırlandırılmış olduğu bir kuantum noktasını
GaAs AlGaAs AlGaAs Valans bandı Eg1 Eg1 Eg2 Kesikli enerji seviyeleri
göstermektedir. Elektronların hareketlerinin sınırlandırılması 1970 li yıllarda
sınırlandırılan boyutlara bağlı olarak kenar uzunlukları 100
o
A olan kuantum kuyularının ve kuantum tellerinin üretilmesi ile başlamıştır. Daha sonraki yıllarda ise
boyutları yaklaşık 100
o
A olan kuantum kutuları üretilmeye başlanmış ve 1980 li
yıllarda ise elektronların hareketlerini daha küçük boyutlarda (10 -100
o
A ) sınırlandıran kuantum noktaları üretilmeye başlanmıştır(Ekimov ve ark. 1985, Banyai and Koch 1993).
Şekil 2.2. Sınırlandırılmış yapılar; (a) Üç boyutlu hacimsel (bulk) malzeme, 3D; (b)Bir boyutta sınırlandırılmış kuantum kuyusu, 2D; (c) Đki boyutta
sınırlandırılmış kuantum teli, 1D; (d) Üç boyutta sınırlandırılmış kuantum noktası, 0D
2.2. Düşük Boyutlu Yapılar 2.2.1. Kuantum Kuyuları
Elektronun hareketinin sadece bir boyutta sınırlandığı, diğer iki boyutta serbestçe hareket edebildiği yapılara kuantum kuyuları denir. Bu yapılar yasak enerji aralığı büyük olan bir malzemenin içine, yasak enerji aralığı küçük olan bir malzemenin ince bir tabaka halinde yerleştirilmesiyle elde edilir. Şekil 2.3 de elektronların hareketinin y-doğrultusunda sınırlandırıldığı bir kuantum kuyusu verilmiştir. Elektronlar sadece iki boyutta serbest hareket edebildiği böyle yapılara iki boyutlu elektron gazı (2BEG) da denir. Sınırlandırma sadece y-doğrultusunda olduğu için kuantum etkisi sadece bu doğrultuda görülür.
Şekil 2.3 Bir kuantum kuyusunun şematik gösterimi
Elektron y-doğrultusunda sadece Ly aralığında hareket edebilirken, x- ve
z-doğrultusunda herhangi bir sınırlandırmanın olmadığı böyle bir yapı için dalga fonksiyonu (y) z) ik x exp(ik z) y, ψ(x, = x + z ϕ (2.1)
yazılabilir. Burada kx ve kz , x- ve z-doğrultusundaki dalga vektörünün bileşkesidir.
(y)
ϕ ise sınırlandırmanın olduğu doğrultuya karşılık gelen dalga fonksiyonudur. Kuantum etkisinin görüldüğü y-doğrultusu için Schrödinger dalga denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
0 ) y ( ) V E ( m 2 dy ) y ( d y y 2 2 2 = ϕ − + ϕ h . (2.2)
Burada Ey ve Vy sırasıyla, y-doğrultusundaki hareketin enerjisi ve enerji boyutunda
sınırlayıcı potansiyeldir. Sınırlayıcı potansiyel sınırlarda sonsuz yükseklikte alınırsa,
kuyu içinde Vy=0 olur. Kuyu sınırlarında sınır şartları uygulandığında
dalga vektörünün y-doğrultusundaki bileşeni
y y n L n k y π = (2.3) x z y Ly
değerlerini alır. Görüldüğü gibi dalga vektörü bileşeni kesikli değerleri aldığı için kuyu içinde kesikli enerji özdeğerleri
2 y y 2 n L n m 2 E y π = h (2.4)
olur. Bu durumda parçacığın toplam enerjisi,
π + + = 2 y y 2 z 2 x 2 L n k k m 2 E h (2.5) ile verilir. 2.2.2 Kuantum Telleri
Elektronların hareketlerinin iki boyutta sınırlı, tek boyutta serbestçe hareket edebildiği sistemlere kuantum telleri denir. Böyle bir sistemde elektronların hareketlerinin sınırlandığı iki boyutta kuantum etkisi görülür. Şekil 2.4’de y- ve z-doğrultusunda sınırlandırmanın olduğu bir kuantum telinin şematik gösterimi verilmiştir. Böyle bir sistem içindeki elektron, tek serbestlik derecesiyle karakterize edilir. Bu yapı içinde hareket eden bir elektrona eşlik eden dalga fonksiyonu,
z) (y, x) exp(ik z) y, ψ(x, = x ϕ (2.6)
biçiminde yazılabilir. Burada ϕ(y,z)sınırlandırmanın olduğu doğrultulara karşılık gelen dalga fonksiyonudur. Sınırlandırmanın olduğu iki boyut için Schrödinger denklemi (y,z) V(y,z) (y,z) E (y,z) dz d dy d m 2 2 y,z 2 2 2 2 ϕ = ϕ + ϕ + − h (2.7)
biçiminde yazılır. y- ve z-doğrultusunda uygulanan sınırlayıcı potansiyelleri sonsuz yüksek alırsak, kuyu içinde V(y,z)=0 olur. Bu durumda dalga fonksiyonuna sınır şartları uygulanırsa, y y n L n k y π = , ve z z n L n k z π = (2.8)
elde edilir ve kesikli enerji özdeğerleri ise,
π + π + = 2 z z 2 y y 2 x 2 L n L n k m 2 E h (2.9)
şeklinde ifade edilebilir.
Şekil.2.4. Đki boyutta hareketi sınırlı, tek boyutta serbest olan bir kuantum telinin şematik gösterimi.
2.2.3. Kuantum Nokta Yapılar
Elektron hareketlerinin üç boyutta (tüm boyutlarda) sınırlandığı hetero yapılara kuantum nokta yapıları denir. Şekil 2.5’de bir kuantum nokta yapısı gösterilmiştir. Böyle bir sistemde her üç boyutta da kuantum etkisi görülür. Kuantum nokta yapısı için Schrödinger denklemi
Ly
z
y x
) z , y , x ( E ) z , y , x ( ) z , y , x ( V ) z , y , x ( dz d dy d dx d m 2 2 2 2 2 2 2 2 ϕ = ϕ + ϕ + + − h (2.10) biçiminde yazılabilir.
Şekil 2.5. Kuantum nokta yapısının şematik gösterimi
Tüm boyutlardaki sınırlandırıcı potansiyeli sonsuz alırsak, kuyu içinde V(x,y,z)=0 olur. Sınır şartlarından dalga vektörü bileşenleri
x x n L n k x π = , y y n L n k y π = ve z z n L n k z π = (2.11)
dir. Enerji özdeğerleri ise
π + π + π = 2 z z 2 y y 2 x x 2 L n L n L n m 2 E h (2.12) elde edilir. Ly z y x Lx Lz
2.3. Düşük Boyutlu Yapıların Üretim Yöntemleri 2.3.1. Asitle Eritme Yöntemi
Bu yöntem kuantum nokta yapılarının üretiminde kullanılan ilk yöntemdir (Reed ve ark. 1986). Bu yöntemin aşamaları Şekil.2.6 da gösterilmiştir. Bu yöntemde ilk önce bir ya da birden fazla kuantum kuyusuna sahip bir yapının yüzeyi polimer maskeyle kaplanır(Şekil 2.6.a). Sonra polimer maske elektron veya iyon demetine maruz bırakılarak oluşturulacak nano yapının sınırları ve şekli belirlenir(Şekil 2.6.b). Polimer tabaka yüksek çözünürlüğe sahip olduğu için yapının şekli ve sınırları belirlenirken görünür bölge elektromanyetik dalga kullanılmaz. Bir sonraki aşamada ise numunenin yüzeyi ince bir metal tabakayla kaplanır (Şekil 2.6.c). Daha sonra seçilen yüzey dışındaki tüm yüzey aktive edilmiş iyon demetine maruz bırakılarak metal ve altındaki polimer tabaka temizlenir ve basit yapı elde edilir (Şekil 2.6.d). Sınırlandırıcı bölge yüzeyi üzerinde kalan metal tabaka elektrot olarak kullanılabilir. Bundan sonra, metal maskeyle korunmamış bölgeler kimyasal olarak aktif iyonlarla aşındırılmasıyla kuantum kuyu parçaları içeren ince yapılar oluşturulur (Şekil 2.6.e) ve bu yapılar kesilerek yüzeyden ayrılır (Şekil 2.6.f) (Reed 1993, Jacak ve ark. 1998, Jacak 2000). Böylece bu yöntemle boyutları 10-100 nm mertebesinde sınırlandırılmış kuantum yapıları elde edilir (Smith ve ark. 1988, Demel ve ark,1990). Bu yöntemle elde edilen kuantum kuyularının kenarlarında malzemeye bağlı olan kusurlar oluşabilir.
Şekil 2.6. Asitle eritme yöntemiyle kuantum nokta yapısının üretim aşamalarının şematik
olarak gösterimi (Reed 1993)
2.3.2. Module Edilmiş Elektrik Alan Yöntemi
Bu yöntem, kuantum kuyusu yüzeyi üzerine çok küçük elektrotlar yerleştirilmesi esasına dayanan litografik bir yöntemdir. Elektrotlara belli bir büyüklükte potansiyel farkı uygulanması ile elektronların hareketini sınırlandıran çok küçük bir elektrik alanı oluşur. Bu elektrik alan uygulanan gerilim ile ayarlanabilir. Bu yöntemle elde edilen kuantum kuyularının kenarlarında eritme yönteminde oluşan malzemeye bağlı olan kenar kusurları oluşmaz. Aynı zamanda bu yöntemle eritme yönteminde olduğu gibi yan yana düzgün dizilmiş birden fazla kuantum noktası
(b) Metal (c) (d) Aktif iyonlar (e) Kuantum kuyusu letim Polimer maske Elektron demeti (a) Kuantum noktası (f)
oluşturulabilir(Jacak 1998). Bu yöntemle kuantum kuyusunun elde ediliş Şekil 2.7’de şematik olarak gösterilmiştir.
Şekil 2.7. Kuantum kuyusu üzerinde minyatür elektrotlar oluşturulması yöntemiyle kuantum noktası üretimi.
Litografi tekniği ile önce malzeme yüzeyi üzerinde küçük GaAs odacıkları üretilir. Daha sonra bu odacıkların üzeri elektrot olarak kullanılması için metal bir tabaka ile kaplanır. Metal tabakaya gerilim uygulandığında bir elektriksel potansiyel ve elektrik alanı oluşur. Bu potansiyel ve elektrik alanı yardımıyla kuantum kuyusunun yüzeyi ve elektrot arasındaki mesafe ayarlanabilir. Uygulanan elektriksel potansiyelden dolayı malzemenin iletkenlik ve valans bant yapısı değişime uğrar. Diğer taraftan kuantum kuyusu ile elektrot arasındaki modülasyonu yerine Şekil 2.7’de gösterildiği gibi malzemenin alt kısmında elde edilen n+GaAs elektrot
GaAs tabaka Engelleyici bariyer AlGaAs
NiCr Elektrot
GaAs Kuantum Kuyusu Tünel engeli AlGaAs
Valans bandı Đletim bandı
Ef
Yalıtkan NiCr
Katkısız GaAs Alt elektrot GaAs
olarak kullanılır. Böylece malzemenin hem alt hem de üst kısmına gerilim uygulanmış olur. Oluşan potansiyeller yardımı ile kuyunun iletkenlik bandının derinliği ve genişliği ayarlanabilir. Aynı zamanda kuantum noktası içinde hareketi sınırlandırılabilecek elektron sayısı da ayarlanabilir(Alsmeier ve ark.1990, Ashoori ve ark. 1992, Ashoori ve ark. 1993).
2.3.3. Kendiliğinden Büyüme Yöntemi
Bu yöntem kuantum noktalarının kendiliğinden kristalleştirilmesi yöntemidir (Petroff ve Denbaars,1994). Bu yöntemde alt tabaka ve kristalleşen malzemenin örgü sabitleri önemli ölçüde farklılık gösteriyorsa sadece ilk çökeltilen tek tabakalar, örgü sabiti alt tabakanınkine eşit katmanlar olarak epitaksiyel formda kristalleşir. Kritik kalınlık aşıldığında tabaka içerisinde meydana gelen önemli ölçüdeki gerilme, düzenli yapının bozulmasına ve aynı boyutlarda, düzenli biçimlere sahip, rastgele dağılmış küçük odacıkların kendiliğinden oluşmasına neden olur. Bu odacıkların şekli ve büyüklüğü örgü sabitleri arasındaki uyuşmazlığa bağlı olarak tabaka içinde oluşan gerilme şiddetine, büyütmenin olduğu sıcaklığa ve büyütme hızına bağlıdır. Bu yolla elde edilen kuantum nokta yapıları boyutları küçük ve homojen büyüklükte, kenar kusurları olmayan ve oldukça elverişli büyüme süreçlerine sahip olduğu için opto elektronik ve mikro elektronik uygulamalarında büyük ümit vaad etmektedir.
2.3.4. Seçici Büyütme Yöntemi
Bu yöntemde, yasak enerji aralığı çok dar olan GaAs gibi yarı iletken bir malzeme yüzeyinin üzeri daha geniş yasak enerji aralığına sahip AlGaAs gibi malzemeyle kaplanır. Sonra bu tabakanın üzeride koruyucu bir tabaka ile (SiO2) ile
kaplanır. Yüzey üzerinde büyütmenin yapılacağı alan belirlenir ve bu alan üzerinde eritme yapmak suretiyle minyatür üçgenler oluşturulur. Bu minyatür üçgen yüzeylere Metal-Organic Chemical Vapor Deposition (MOCVD) tekniği uygulanarak sıcaklıkları 700 0C-800 0C ‘ye kadar çıkarılır. Sıcaklık etkisiyle hacimleri büyüyen üçgen yüzeyler tetrahedral piramit haline dönüşür ve büyütme tamamlanmış olur. Bu yöntemle elde edilen bir kuantum nokta yapısı Şekil 2.8’ de gösterilmiştir. Bu yöntemle elde edilen bir kuantum nokta yapısının boyutları 100 nm den daha küçüktür(Raymond ve ark.,1996, Grundmann ve ark.,1995).
Şekil 2.8. Seçici büyütme yöntemiyle kuantum nokta yapısının elde edilmesi (Fukui ve ark.,1991).
2.3.5. Kuantum Kuyusu ve Engel Arası Đç Difüzyon Yöntemi
Bu yöntem kuantum kuyusunun belirlenen bir bölgesinin lazer demeti ile ısıtılmasına dayanan bir tekniktir. Kalınlığı yaklaşık olarak 3 nm olan GaAs kuantum kuyusu, yaklaşık olarak 20 nm kalınlığına sahip iki adet Al0.35Ga0.65As yapıları
arasına yerleştirilmesiyle bir kuantum kuyusu oluşturulabilir. Sonra 10 nm kalınlığında GaAs tabakası, AlGaAs tabakası üzerine yerleştirilir. Lazer demetinin neden olacağı erime veya oksitlenmeleri engellemek amacı için en üst yüzey yaklaşık 100 nm kalınlıklı SiN4 tabakası ile kaplanır. Şekil 2.9 da görüldüğü gibi seçilen
belirli bir yüzey lazer demetiyle ısıtmaya tabi tutulur. Isıtılan yüzeyin altında kalan
GaAs AlGaAs
kısımlarda galyum ile alüminyum atomları birbirine karışır ve bölgesel bant yapısının oluşmasına neden olur. Seçilen bölgenin altında kalan yasak enerji aralığı, ısıtılmayan bölgelerin yasak enerji aralığından daha küçüktür. Böyle bir işlem büyük boyutlu malzemelerde kullanılırsa, aralarında yasak enerji aralığı bulunan ve içinde elektron veya elektronların sınırlandığı kuantum noktaları elde edilir (Jacak,1998).
Şekil 2.9. Seçilen bir yüzeyin lazer demeti ile ısıtılmasıyla kuantum kuyusunun
elde edilmesi.
2.3.6. Yarı Đletken Mikro Kristaller
Bu yöntemde ise, herhangi bir dielektrik malzeme içerisine (örneğin cam) yarı iletken mikro kristaller yerleştirilmesiyle kuantum nokta yapıları elde edilir. Bunun için belli oranlarda CuCl, CdSe veya CdS gibi bileşikler silikat cam bileşiklerinin belirli oranlarıyla birkaç yüz santigrat derecede ısıtmaya tabi tutulur.
3 nm GaAs Lazer demeti ile ısıtılan alan
20 nm AlGaAs 100 nm SiN4 20 nm AlGaAs 10 nm AlGaAs Valans bandı Đletim bandı Kuantum noktası
Sıcaklığa ve ısıtma süresine bağlı olarak istenilen büyüklükte ve boyutta kuantum noktaları elde edilebilir. Kristal yarıçapı a, ısıtma süresi t ve sıcaklık T olmak üzere
kT 3 te a ε − − = (2.13) Bağıntısıyla üretilen kuantum nokta yapısının genişliği kontrol edilebilir. Bu yöntem ile 1, 2 nm ile 18 nm genişliğinde kuantum nokta yapıları üretilebilir( Ekimov ve ark.1985, Jacak 1998).
3. KÜRESEL KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONĐK ÖZELLĐKLERĐ VE SAYISAL YÖNTEMLER
3.1. Giriş
Đletim bandı ile valans bandı arasında sonlu bir yasak enerji aralığı bulunan malzemelere yarı iletken malzemeler denir. Valans bandında üç ve beş elektron bulunan atomlardan oluşan yarı iletken malzemelere III-V bileşikli yarı iletkenler (GaAs, InSb), iki ve altı elektronlu atomlardan oluşan yarı iletken malzemeler ise II-IV bileşikli yarı iletkenler (CdS, ZnS) ve valans bandında dört elektron bulunan Si ve Ge gibi elementlerden oluşan yarı iletkenlere ise IV-IV bileşikli yarı iletkenler denir. Yarı iletken malzemeler içine safsızlık atomları yerleştirilir ve herhangi bir uyarılmaya maruz bırakılırsa, bir elektron iletim bandına çıkarılabilir. Bu durumda malzeme serbest hareket edebilen bir elektron kazanmış olur ve yarı iletken malzeme uyarılmış olur. Bu da safsızlık elektron sistemi için taban enerji durumdur. Eğer katkılanan atomun valans elektron sayısı, yarı iletken malzemeyi oluşturan atomların valans elektron sayısından fazla ise iletim bandının hemen altında yasak enerji aralığında donor seviyesi denilen yeni enerji seviyeleri oluşur. Eğer katkılanan atomun valans bandındaki elektron sayısı yarı iletken malzemeyi oluşturan atomlarınkinden az ise bu kez valans bandının hemen üzerinde akseptör seviyesi denilen yasak enerji aralığında tuzak seviyeleri oluşur.
Yarı iletken malzemelerin fiziksel özelliklerinin inceleyebilmek için iyi bir teorik model oluşturmak gerekir. Teorik model oluşturduktan sonra bu yapılar için Schrödinger denkleminin oluşturulması ve çözülmesi gerekir. Schrödinger denkleminin iyi çözümlerinin elde edilebilmesi için, elektronlar bir malzeme içinde bulunduğundan dolayı etkin kütle yaklaşımı gibi bazı yaklaşımlar yapılması gerekir.
Ayrıca kuantum mekaniğinin varsayımlarına uygun sınır şartlarının oluşturulması ve sisteme uygun hesaplama tekniğinin seçilmesi gerekir.
3.2. Tek Elektronlu Kuantum Kuyusu
Kuantum nokta yapılarının elektronik özelliklerini incelemek için a yarıçaplı bir küresel kuyu içinde serbest hareket edebilen bir elektronu göz önüne almak uygun olacaktır. Böyle bir kuyunun şematik gösterimi Şekil 3.1 de gösterilmiştir. Kuantum nokta yapılarında elektronlar sınırlayıcı bir potansiyel tarafından hapsedilir. Küresel sonlu bir V(r) potansiyeli tarafından sınırlandırılmışküresel nokta yapısında hareket eden bir elektron için Schördinger denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
) θ, (r, E ) θ, (r, V(r) ) θ, (r, ∇ 2m - 2 2 ϕ ψ = ϕ ψ + ϕ ψ h (3.1) ) θ, (r, E ) θ, (r, V(r) ) θ, (r, sin r 1 sin sin r 1 r r r r 1 2m -2 2 2 2 2 2 2 2 ϕ ψ = ϕ ψ + ϕ ψ ϕ ∂ ∂ θ + θ ∂ ∂ θ θ ∂ ∂ θ + ∂ ∂ ∂ ∂ h (3.2)
Şekil 3.1. Sonlu derinlikli küresel potansiyel kuyusu. V(r)
V0
r
Buradaki ψ(r,θ,ϕ) dalga fonksiyonunu ) , ( Y ) r ( R ) , , r ( θ ϕ = n, , θ ϕ ψ l lm (3.3)
küresel ve radyal olmak üzere iki ayrı kısımda yazabiliriz. Bu durumda küresel simetrik potansiyel için Denk.3.2 deki Schrödinger denklemi
0 ) r ( R mr 2 ) 1 ( -) r ( V -E 2m dr ) r ( dR r dr d r 1 , n 2 2 2 , n 2 2 = + + l l l l h h (3.4)
biçimini alır. Buradaki V(r) sınırlandırıcı potansiyeli
> ∞ ≤ = a r , a r , 0 ) r ( V (3.5)
Biçiminde sonsuz küresel bir potansiyel olduğunu kabul edersek, Schrödinger denkleminin radyal kısmı 0 ) r ( R mr 2 ) 1 ( -E 2m dr ) r ( dR r dr d r 1 , n 2 2 2 , n 2 2 = + + l l l l h h (3.6) olur. Burada, 2 mE 2 h = α ve ρ=αr, (3.7)
dönüşümleri uygulanırsa, Denk.(3.6)
0 ) ( R ) 1 ( -1 d ) ( dR 2 d ) ( R d , n 2 , n 2 , n 2 = ρ ρ + + ρ ρ ρ + ρ ρ l l l l l (3.8)
biçiminde küresel Bessel diferansiyel denklemi formunu alır. Böyle bir denklemin genel çözümü ) ( Bn ) ( Aj ) ( Rn,l ρ = l ρ + l ρ (3.9)
olur. Buradaki jl(ρ) ve nl(ρ) fonksiyonları sırasıyla küresel Bessel ve Küresel Neumann fonksiyonlarıdır( Abromowitz and Stegun 1970, Arfken 1985). Bu dalga
fonksiyonunda r = 0 da Neumann fonksiyonları ıraksak olduğu için B = 0 seçilir. Bu durumda kuyu içinde dalga fonksiyonu
) ( Aj ) ( Rn,l ρ = l ρ (3.10)
elde edilir. r = a da ise sınırlayıcı potansiyel sonsuz olduğu için elektron kuyu dışına çıkamaz ve jl(ρ)=0 olur. Bu durumda l ’nin alacağı değerlere göre parçacığın kuyu içindeki enerji değerleri belirlenebilir. l=0 için,
0 a ) a sin( ) a ( j0 = α α = α (3.11)
olur. Bu eşitlikte ancak
π =
αa n , n=1,2,..,∞ (3.12)
olması ile sağlanır. Elektronun kesikli enerji özdeğerleri ise
2 2 2 2 0 , n ma 2 n E = π h , n=1,2,…,∞ (3.13)
bulunur. l=1 durumunda ise,
0 ) a ( ) a cos( ) a ( ) a sin( ) a ( j1 2 = α α − α α = α (3.14)
olur. Bu denklemin kökleri ise sayısal analiz yöntemiyle veya grafik yöntemle belirlenebilir. Bu denklemin kökleri 4.493, 7.723, 10.904,… (Karaoğlu 1994) olarak bulunur. Bessel fonksiyonunun ilk kökü için enerji özdeğeri ;
2 2 1 , 1 a 493 . 4 m 2 E = h (3.15)
elde edilir. Benzer şekilde l ’nin diğer değerleri içinde enerji özdeğerleri hesaplanabilir.
3.3. Kuantum Nokta Yapının Elektronik Yapısı
Atomlarda elektronlar çekirdeğin çekici Coulomb potansiyelinden dolayı atoma bağlı olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla yörünge açısal momentum sayısı l hiçbir zaman baş kuantum sayısı n den büyük olamaz. Atomlarda kabuk yapısı n ve l nin alacağı değerlere bağlı olarak 1s, 2s, 2p,… şeklinde oluşur. Kuantum nokta yapıda böyle bir çekici potansiyeline ihtiyaç duyulmadan sadece sınırlayıcı bir potansiyel engelinin olması elektronları kuantum noktası içinde tutmaya yetecektir. Küresel kuantum noktasındaki bir elektron çekici bir Coulomb potansiyelinde hareket etmediği için yörünge açısal kuantum sayısında herhangi bir kısıtlama söz konusu değildir. Bundan dolayı küresel bir kuantum noktasındaki bağıl durumların kabuk yapısı 1s, 1p, 1d, 2s, 1f,…şeklinde oluşur. (Zhu ve ark. 1990, Zhu ve Chen 1994). Enerji seviyeleri ise En,l biçiminde etiketlenir.
Kuantum nokta yapılarının kabuk yapılarının gösterilmesinde kullanılan diğer bir gösterim ise, baş kuantum sayısı n yi n+ l şeklinde ifade edilmesidir. Bu durumda 1s kabuğu aynı kalırken 1p kabuğu 2p olarak ve 1d kabuğu da 3d olarak adlandırılmaktadır. Bu durumda küresel kuantum noktasındaki bağlı durumlar için kabuk yapısı 1s, 2p, 3d, 2s, 4f, 3p, … şeklinde gösterilmektedir. Enerji seviyeleri ise
l l,
n
E + şeklinde etiketlenir (Zhu ve ark. 1990).
3.4. Etkin Kütle Yaklaşımı
Serbest bir parçacığın enerji ile dalga vektörü arasındaki ilişkiyi göz önüne alacak olursak, momentumu p k
r h r
= olan serbest bir elektronun kinetik enerjisi
m 2 k E 2 2 h = (3.16)
dir. Yani kristal yapı içindeki bir elektron periyodik bir potansiyel altında hareket ettiği için parçacığın momentumu serbest parçacığın momentumundan farklı olur. Bu momentuma kristal momentumu denir. Kristal yapıda örgü noktalarının periyodik potansiyeli altında hareket eden bir elektrona dışarıdan bir Fd
v kuvvet uygulanırsa, elektron a m dt v d m F Fd i r v v v = = + (3.17)
kuvveti altında ivmelenecektir. Buradaki Fvi, kristal yapının hareketli elektrona uyguladığı kuvvettir. Fvi iç kuvvetini de kapsayacak şekilde yeni bir dış kuvvet tanımlanırsa elektronun hareket denklemi
a m dt v d m FD * *r v v = = (3.18)
olur. Buradaki m*, iç kuvveti de içine alan elektronun kristal yağı içindeki kütlesidir ve etkin kütle olarak tanımlanır (Harrison 1999, Mitin ve ark. 1999, Davies 1999).
Diğer taraftan kristal yapı içinde dış kuvvetin etkisi altında hareket eden elektronun grup hızı dk dE 1 E dk d dk d vg h h= = ω = (3.19)
biçiminde yazılabilir. Denk.(3.16), Denk.(3.18) ve Denk.(3.19) birleştirilirse kristal yapı içindeki elektronun etkin kütlesi
2 2 2 * dk E d m = h (3.20)
bulunur. Denk.(3.20) kütle boyutunda olmakla birlikte E(k) fonksiyonunun ikinci türevine bağlıdır.
3.5. Kuantum Nokta Yapılarda Sınır Şartları
Bölüm 2’ de kuantum noktalarının en az iki farklı yarı iletken malzemeden yapıldığını belirtilmişti. Yarı iletken malzemeler farklı olduğu için bunların etkin kütleleri, dielektrik sabitleri ve örgü sabitleri de farklı olur. Sonlu potansiyel engeline sahip bir kuantum nokta yapısındaki bir elektronun potansiyel engelini aşması olasılığı vardır. Yani elektron kuyu içinden potansiyel engeli içine geçebilir. Bu durumda elektronun hareketini incelerken hem kuyu içinde hem de kuyu dışında Schrödinger denklemi etkin kütle değişimi göz önüne alınarak oluşturulması gerekir. Potansiyel engeli yüksekliği V0 , genişliği a olan bir kuantum nokta yapısındaki bir
elektronun kuyu içindeki etkin kütlesi m1, kuyu dışındaki etkin kütlesi ise m2 olsun.
Bu elektron için Schrödinger denklemi,
a r , E V m 2 a r , E m 2 2 2 0 2 2 2 2 1 1 2 1 2 > ψ = ψ + ψ ∇ − < ψ = ψ ∇ − h h (3.21)
Şeklinde yazılabilir. Burada ψ1 ve ψ2 sırasıyla kuyu içerisindeki ve dışındaki, dalga fonksiyonlarıdır. Kuantum mekaniğinin madde akımı sürekliliği varsayımına göre, etkin kütle farklılığı olmayan böyle bir sistem için sınır şartı,
a r 2 a r 1 a r 2 a r 1 dr d dr d ve = = = = ψ = ψ ψ = ψ (3.22)
biçiminde dalga fonksiyonunun kendisi ve birinci türevi sınırlarda sürekli olmasıdır. Etkin kütle farklılığı olan sistemler için bu sınır şartı
a r 2 2 a r 1 1 a r 2 a r 1 dr d m 1 dr d m 1 ve = = = = ψ = ψ ψ = ψ (3.23)
biçiminde tanımlanır. Bu sınır şartı BenDaniel-Duke (1966) şartı olarak bilinir. Böylece kuyu engel sınırında süreklilik şartı yazılırken etkin kütle farkları doğrudan işin içine girmiş olur.
3.6. Genetik Algoritma
Genetik algoritma (GA), ortama iyi uyum sağlayan bireylerin hayatta kalması, sağlayamayan bireylerin ise elenmesi olarak tanımlanabilen bir araştırma ve sayısal optimizasyaon yöntemidir (Coley-2001). GA tekniği ilk kez (Holland 1975) tarafından kullanılmış olup, mühendislik ve malzeme biliminde yaygın olarak kullanılmaktadır (Venugopal ve Narendran 1992, Homaifar ve ark. 1994, Yang ve Gen 1994, Şen ve ark. 2001, Samanta 2004, Kulkarni 2004, Castro 2004). Son zamanlarda fiziğin birçok alanında, özellikle kuantum mekanik sistemlerin taban durum enerjisinin belirlenmesinde kullanılmaya başlanılmıştır (Judson 1994, Wanschura 1996, Kariuki 1997, Pullan1997, Zacharias ve ark. 1998, Şahin ve ark.2000, Liu ve ark. 2000, Kim ve ark. 2001, Aydın ve Yıldırım 2004, Kudla 2004). Kuantumlu yapılarda kullanıldığında Kuantum Genetik Algoritma (KGA) olarak da adlandırılan bu yöntem varyasyon yönteminde olduğu gibi enerji minimizasyon ilkesine dayanır ve kuantum mekaniksel sistemleri temsil eden Schrödinger denkleminin çözümlerini bulmak için de kullanılmaya başlanmıştır (Chaudhury ve Bhattacharyya 1998, Nakanishi ve Sugawara 2000, Grigorenko ve Garcia 2000, 2001, Saha ver ark. 2001, Şahin ve Tomak 2002, Şafak ve ark. 2003, Şahin ve ark. 2005).
Genel bir araştırma ve optimizasyon yöntemi olan KGA, varyasyon tekniğinden oldukça farklıdır. Varyasyon yöntemi bazı kurallara bağlı iken, KGA
tekniği rastgeleliğe dayanır. Varyasyon yöntemi çözüme tek bir noktadan (analitik ifadeden elde edilen bir sonuçtan) başlarken, KGA tekniği problemin olası çözümlerini oluşturan noktalar topluluğu (başlangıç popülasyon) ile işe başlar. Varyasyonel yöntem belirli bir analitik ifadeyle sınırlanırken, KGA da her hangi bir analitik ifadeyle sınırlama yoktur. Varyasyonel yöntemde parametreler sıralı bir biçimde değiştirilirken, KGA da belirli bir sıra yoktur. Tüm parametreler aynı anda değiştirilebilir. Varyasyonel yöntemde genelde ikilik kodlama sistemi kullanılırken, KGA parametreler farklı şekillerde kodlanabilir.
KGA yeniden oluşum (veya kopyalama), çaprazlama ve mutasyon olmak üzere üç temel üzerine kurulmuştur (Coley 2001). Yeniden oluşum sürecinde bireylerin hayatta kalma olasılıkları belirlenir. Hayatta kalma olasılığı yüksek olan bireyler bir sonraki nesle aktarılırken hayatta kalma olasılığı düşük olan bireyler ise elenir. Bu işlem için her nesilde bazı seçim operasyonunun uygulanması gerekir. Çaprazlama (Crossover) sürecinde biyolojide kullanılan doğal çaprazlama işlemine benzer bir sürece tabi tutulur. Çaprazlama işlemi, yeniden oluşumda elde edilen bireyler üzerine uygulanır. Bu bireyler içinden rastgele seçilen iki birey üzerinden yürütülür. Bu iki bireyin genetik bilgileri rastgele bir noktadan kesilerek, birinci bireyin kesilen noktanın solunda kalan bilgiler ikinci bireyin kestiğimiz noktanın sağında kalan bilgilerle, birinci bireyin kesilen noktanın sağında kalan bilgiler ikinci bireyin kestiğimiz noktanın solunda kalan bilgilerle eşleştirilir. Böylece her iki bireyde birbirlerinin genetik bilgilerini taşımış olurlar. Mutasyon işlemi yerel minimumlardan kurtulmak için uygulanan bir süreçtir. Mutasyon işlemi nüfus içinden rastgele seçilen bir birey üzerinden gerçekleştirilir. Çaprazlama ve mutasyon süreçlerinin uygulanmasında bir gerçekleştirme olasılığı belirlenir. Çaprazlama
sürecinde gerçekleştirme olasılığı nüfuzundaki çeşitliliği artırmak için yüksek seçilir. Mutasyon sürecinde gerçekleştirme olasılığı yanlış çözümlere gitmemek için düşük seçilir. Yani olasılık büyük seçilirse yakınsama güçleşir ve rastgelelik çok artar.
KGA tekniğini uygulanırken iki farklı yöntemden bahsedilebilir. Bunlardan birincisi parametre eniyilemesi, ikincisi ise dalga fonksiyonu en iyilemesidir.
) ,..., , , c ,..., c , c ( 1 2 n ζ1 ζ2 ζn
ψ kuantum mekanik sistemi temsil eden Schrödinger denkleminin olası çözümü olsun. Eğer varyasyon tekniğinde olduğu gibi parametre eniyilemesi yapılıp ci ve ζi değerleri belirlenecekse bu durumda başlangıç
nüfusunun bireyleri ci ve ζi lerin rastgele belirlenmiş değerlerinden oluşur. Bu değerler dalga fonksiyonunun analitik ifadesinde kullanılır ve elde edilen bu analitik ifade kullanılarak hesaplamalar yapılır. Eğer dalga fonksiyonu en iyilemesi yapılacaksa, ci ve ζi’lerin rastgele belirlenen değerleri kullanılarak dalga fonksiyonunun sayısal değerlerinden oluşan başlangıç nüfusu oluşturulur ve bu dalga fonksiyonlarının her biri bir birey alınır. Hesaplamalar bu sayısal dalga fonksiyonu üzerinden yapılır. Böylece analitik ifade, ci ve ζi ler bir kez kullanılmış olur. Toplam birey sayısı nüfus büyüklülüğü veya sayısı olarak adlandırılır.
Oluşturulan başlangıç nüfusu içindeki her bir birey, An herhangi bir bireyin
normalizasyon sabiti olmak üzere 1 = dV ψ ψ A = ψ ψ A n tümuzay * n 2 n n n 2 n
∫
(3.24)ifadesiyle her bir birey normalize edilir. Normalize olmuş bu dalga fonksiyonu nüfusu kullanılarak her bir birey için enerjinin beklenen değeri hesaplanır. Elde edilen bu enerji değerleri kullanılarak her bir bireyin uygunluk değerine bakılır ve genetik işlemler bu uygunluk değeri üzerinden yürütülür.
3.6.1. Yeniden Oluşum (Üretme)
Yeniden üretme sürecinde yeni nesil oluşturmak için her bir bireyin uygunluk değerlerine bakılır ve uygunluk değeri büyük olan bireyler yeni nesle aktarılırken uygunluk değeri küçük olan bireyler elenir. Herhangi bir i. bireyin enerji beklenen değeri Ei aşağıdaki gibi eşitlikle uygun (fitness) bir Fi değerine dönüştürülür.
) E E /( ) E E ( i min i e F = −β − − (3.25)
Burada E ve Emin sırasıyla ortalama ve minimum enerjileri gösterir ve β ayar
parametresidir. Yeniden oluşumda yeni nüfus bireyleri bir önceki nesilden seçilir. Her bir bireyin gelme olasılığı Pi , o bireyin uygunluk(fitness) değeri olan Fi ile
orantılıdır. Örneğin, bir nüfus içindeki birey sayısı Npop olmak üzere
∑
= = pop N 1 i i i i F F P (3.26)bu işlemde bazı bireylerin gelme olasılığı birden fazla olurken bazı bireylerin de gelmeme olasılığı vardır. Yani Pi değeri büyük olan bireyin yeni nesle aktarılma
olasılığı daha çok, küçük olan bireyin yeni nesle aktarılma olasılığı daha az olacaktır. Bunun için bir seçim işlemi uygulanır. Bu işlem için farklı yöntemler uygulanabilir. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanları uygunluk- oranı ve rulet çarkı yöntemidir (Goldberg 1999, Coley 2001).
Rulet çarkı yöntemiyle seçim yapmak için öncelikle Denk.(3.26) dan elde edilen uygunluk değerleri kullanılarak bir rulet çarkı oluşturulur. Bu uygunluk değerleri kullanılarak oluşturulan rulet çarkı şematik olarak Şekil 3.2 de gösterilmiştir.
Şekil.3.2 den de görüleceği gibi uygunluk değeri 7.3 olan bireylerin gelme olasılığı fazla iken uygunluk değeri 1.1 olan bireylerin gelme olasılığı çok az
olacaktır. Böylece uygunluk değerleri yüksek olan bireyler yeni nesle daha çok aktarılacaktır. Çark nüfus sayısı kadar çevrilerek yeni bireyler elde edilir.
Şekil 3.2 Rulet çarkının şematik gösterimi.
3.6.2. Çaprazlama (Crossover)
Biyolojik süreçte gerçekleşen çaprazlama işlemi, iki kromozomun genlerinin birbiriyle değiştirmelerini sağlayan bir işlemdir. Çaprazlama işlemi yeniden oluşturma işlemiyle oluşturulan yeni bireyleri üzerinden yapılarak yeni kuşak için çok daha iyi bir nesil oluşturmak için yapılır. Bunun için nüfus içinden rastgele iki birey seçilerek, bu iki birey arasında biyolojik süreçteki çaprazlama işlemine benzer bir işlem yürütülür. Çaprazlama işlemini rastgele seçilen iki birey arasında nasıl gerçekleştirildiği şematik olarak Şekil 3.3 deki gibi gösterilebilir.
Seçilen iki birey rastgele belirlenen bir noktadan kesilerek birbiriyle yer değiştirilir. Böylece iki yeni birey elde edilmiş olur. Belirlenen iki yeni birey, farklı oranlarda hem birinci bireyin hem de ikinci bireyin bilgilerini taşımaktadır. Rastgele kesme işlemi sadece bir noktadan yapılacağı gibi birden fazla noktadan da kesilebilir.
F, 7.3 B, 1.3
C, 2.7
D, 4.5
E, 3.2 A, 1.1
Şekil 3.3. Çaprazlama işleminin şematik gösterimi.
Dalga fonksiyonu eniyilemesi yönteminde çaprazlama işlemi, dalga fonksiyonunu oluşturan sayısal değerleri üzerinden yürütülür. Rastgele seçilen iki dalga fonksiyonu ψ1(ci,ζi) ve ψ2(ci,ζi) kendi aralarında çaprazlama işlemi
)) , c ( S 1 ( ) , c ( ) , c ( S ) , c ( ) , c ( )) , c ( S 1 ( ) , c ( ) , c ( S ) , c ( ) , c ( i i i i 1 i i i i 2 i i 2 i i i i 2 i i i i 1 i i 1 ζ − ζ ψ + ζ ζ ψ = ζ ψ′ ζ − ζ ψ + ζ ζ ψ = ζ ψ′ (3.26)
biçiminde bir işlemle yapılabilir. Böylece elde edilen yeni bireylerin her biri, bir önceki iki bireyin bilgisini taşımış olur. Böyle bir işlem yapılırken S(ci,ζi) çok iyi seçilmelidir. Çünkü dalga fonksiyonlarının belirli ağırlıkları alınıp, birleştirilerek yeni dalga fonksiyonları elde edilirken, fonksiyonlarının türevlerinde bir süreksizliğe neden olabilir. Bu da kuantum mekaniğinin postülalarına ters düşen bir durumdur ve yanlış çözümlere götürebilir. Bunu önlemek için çaprazlama işleminde S(ci,ζi)ya yumuşak geçişli bir fonksiyon (Grigorenko ve Garcia 2002) ya da değerini (0,1) arasında rastgele bir sayı seçilmelidir. Böylece dalga fonksiyonundaki istenmeyen kırılmalar önlemmiş olur.
Parametre eniyilemesi yönteminde çaprazlama işlemi dalga fonksiyonu eniyilemesi yönteminin tersine, parametrelerin sayısal değerlerine karşılık gelen
1. birey
2. birey
1. yeni birey
ikilik kodlar üzerinden gerçekleştirilir. Đkilik kodlar üzerinden hem tek noktadan hem de iki ayrı noktadan kesilerek yapılan bir çaprazlama işlemi:
1. birey 11010/1100100=3428 → 110100010111 =3351 1. yeni birey 2. birey 01010/0010111=1303 → 010101100100=1380 2. yeni birey veya
1. birey 11010/110/0100=3428 → 110100010100 =3348 1. yeni birey 2. birey 01010/001/0111=1303 → 010101100111=1383 2. yeni birey biçiminde yapılabilir.
3.6.3. Mutasyon
Genetik algoritmanın diğer bir süreci olan mutasyon işlemi, çaprazlama işleminden sonra oluşturulmuş yeni nesil içinden rastgele seçilen bir bireye uygulanır. Mutasyon işlemi sistemi düştüğü yerel minimumlardan kurtarılması açısından önemli bir rol oynar. Đki kodlama sisteminde rastgele üretilmiş bir başlangıç popülasyonun tüm bireylerinin ilk rakamı sıfır olabilir. Böyle bir durumda çaprazlama işlemiyle ilk rakamı 1 olan bir birey elde etmek mümkün değildir. Yani çaprazlama işlemiyle ikilik kodlamada 12 hanelik bir sayının değeri 0111 1111 1111=2047 olacaktır. Oysa ikilik kodlamada 12 hanelik bir sayının en büyük değeri 1111 1111 1111= 4095 tir. Böyle bir minimumdan kurtulmak için mutasyon işlemi uygulanır. Mutasyon işleminin anlamı; ikilik kodlamada, değeri 1 olan bir kromozomu 0, değeri 0 olan bir kromozomu 1 yapmak demektir.
Dalga fonksiyonu eniyilemesinde çok şiddetli bir mutasyon uygulamak dalga fonksiyonunda istenmeyen kırıklıklara veya yanlış çözümlere neden olabilir. O
yüzden mutasyon şiddetini küçük seçmek gerekir. Eğer rastgele seçilmiş bir )
, (
1 ci ζi
ψ dalga fonksiyonuna mutasyon uygulanırsa,
) , c ( ) , c ( ) , c ( i i 1 i i m i i 1 ζ =ψ ζ +ψ ζ ψ′ (3.28)
biçiminde bir mutasyon uygulanabilir. Burada ψm(ci,ζi) mutasyon fonksiyonudur. Çeşitli mutasyon fonksiyonları kullanılabilir. Kuantum mekanik sistemlerin taban durum enerjisinin belirlenmesinde Grigorenko ve Garcia (2000) Gauss tipi bir fonksiyon kullanmışlardır. Chaudhury ve Bhattacharyya (1999) çok boyutlu yüzeylerdeki yerel kritik noktaların belirlenmesinde dalga fonksiyonunun değerini belli oranlarda rastgele artırarak veya azaltarak uygulamıştır.
4. HESAPLAMALAR ve SONUÇLAR
4.1. Giriş
Teknolojideki son gelişmeler nano boyuttaki yarı iletken yapıların üretilmesine imkan sağlamaktadır. Yarı iletken nano yapıların, başta tek elektron transistörleri, kuantum kuyu ve kuantum infrared fotodedektörleri gibi elektronik yapılar olmak üzere birçok alanda uygulamaları vardır(Levine 2000, Ryzihii 1996, Lee ve ark. 1999). Kuantum nano yapılar kesikli enerji seviyeleri ve kabuk yapıları gibi atomik özellikleri gösterdiği için yapay atom olarak da adlandırılmaktadır (Maksym ve Chakraborty 1990, Kouwenhoven ve Marcus 1998, Fujito ve ark. 1996). Dolayısıyla bu yapılarla ilgili yapılan çalışmalar yoğun madde fiziği, atom fiziği ve kuantum kimyası ile yakından ilgilidir. Bölüm 1 de ifade edildiği gibi yoğun madde ve atom fiziğinde bir- ve iki-elektronlu kuantum noktaların fiziksel özelliklerinin incelenmesiyle ilgili çeşitli teorik ve deneysel çalışmalar yapılmıştır.
Bu bölümde KGA yöntemi ile HFR yöntemini birleştirerek kuantum nokta yapılarının elektronik özelliklerini inceledik ve iki farklı kuantum nokta yapıyı göz önüne aldık. Bunlardan birisi merkezinde hidrojen tipi bir safsızlık bulunan sonsuz küresel simetrik potansiyelle sınırlandırılmış bir- ve iki-elektronlu kuantum nokta yapısı, diğeri ise merkezinde hidrojen ve helyum tipi bir safsızlık bulunan sonlu küresel simetrik potansiyelle sınırlandırılmış bir- ve iki-elektronlu kuantum nokta yapısıdır. Her iki yapıda da dalga fonksiyonu olarak STO ların lineer bileşiminden oluşan tek-elektron spin orbitalleri alındı. KGA tekniği ile Schrödinger denkleminin olası çözümleri olan dalga fonksiyonları belirlendi ve bu dalga fonksiyonları kullanılarak HFR metoduyla her iki yapının enerji beklenen değerleri hesaplandı.
