Parabolik ters problemlerde girdi-çıktı operatörlerinin monotonluk yapısı ve ilgili fonksiyonellerin frechet diferansiyellenebilirliği ile lipschitz sürekliliği

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ * FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

PARABOLİK TERS PROBLEMLERDE GİRDİ-ÇIKTI OPERATÖRLERİNİN MONOTONLUK YAPISI VE İLGİLİ FONKSİYONELLERİN FRÈCHET

DİFERANSİYELLENEBİLİRLİĞİ İLE LİPSCHİTZ SÜREKLİLİĞİ

DOKTORA TEZİ

Arzu ERDEM

Ana Bilim Dalı: MATEMATİK

Danışman: Prof. Dr. Alemdar HASANOĞLU

ÖNSÖZ ve TEġEKKÜR

Fiziksel bir sistem için verilen matematiksel modelde giriĢ verilerinden yola çıkarak hesaplamalar sonucu çıkıĢ verileri elde edilir. Bu çıkıĢ verileri sistemin davranıĢını belirler. ÇıkıĢ verileri sistemin davranıĢı ile uyumlu ise ele alınan modelin uygun bir model olduğu sonucuna varılır. Pek çok değiĢik sistem kısmi türevli diferansiyel denklemler ile modellenmektedir. Bu durumda giriĢ verileri iki farklı Ģekilde gruplanabilir:

(i) GiriĢ verileri matematiksel modelde katsayı, sağ taraf fonksiyonu vb. Ģeklinde olabilir.

(ii) GiriĢ verileri matematiksel modelde baĢlangıç fonksiyonları, sınır fonksiyonları olabilir.

Bütün giriĢ verileri ile ele alınan probleme düz problem denir.

Diğer yandan sistemin fiziksel özellikleri bilinmediğinde ve deneysel ölçümlerin sonucu hatalı olduğunda, sistemin çıkıĢ verilerini deneysel olarak ölçmek mümkün olabilir. Bu ölçümü kullanarak, bilinen giriĢ verileri ile birlikte, bilinmeyen giriĢ verisini yeniden elde edebiliriz. Bu yöntem, bize ters problemin formüle edilmesini ve çözümünü vermektedir. Aranan giriĢ verisi ile ölçülen çıkıĢ verisi arasındaki bağıntıya girdi-çıktı operatörü denir.

Ters problemler, düz problem ile bağlantılı olarak oldukça değiĢik yapıda olabilir. Ayrıca bilinmeyen giriĢ verisini belirlemek için, hangi ölçülmüĢ çıkıĢ verisinin kullanılacağı da belirsizdir. Bir ters problemin matematiksel analizinin amacı en uygun Ģartlarda en kolay ve en etkili kombinasyonu sağlayan ölçülmüĢ çıkıĢ verisini saptamaktır.

Buradaki çalıĢmada, değiĢik yapıda verilen parabolik problemler için katsayıyı ve sağ taraf fonksiyonu ile birlikte sınır fonksiyonunu bulma ters problemleri ele alınarak, matematiksel analizleri yapılmıĢtır.

ÇalıĢmanın 3. Bölümünde parabolik diferansiyel denklemler için katsayı bulma ters problemini ele alacağız. Bu problemlerdeki girdi-çıktı operatörünün monotonluğu ve Lipschitz sürekliliği ile bağlantılı olarak, problemin çözümünün varlığı ve tekliği hakkında sonuçlar elde edilmiĢtir.

Tek çıkıĢ verisi verildiğinde, sağ taraf fonksiyonu ve sınır fonksiyonunu, ikili olarak, bulma ters problemi 4. Bölümde incelenmiĢtir. Burada kullanılan yöntem, varyasyonel yöntemdir. Ele alınan hata fonksiyonelinin Frechet diferansiyellenebilir olduğu ve diferansiyelinin Lipschitz sürekli olduğu sonucu elde edilmiĢtir.

Yapılan bu çalıĢmanın geriden gelecek olan genç araĢtırmacılara ve bilim dünyasına faydalı olacağını umut ediyorum. Beni böyle bir konuda çalıĢmaya sevk eden, fikirleri ile yönlendiren ve teĢvik eden değerli hocam sayın Prof. Dr. Alemdar Hasanoğlu’na ve tez sürecinde bana daima destek olan aileme teĢekkürü bir borç bilirim.

ĠÇĠNDEKĠLER ÖNSÖZ ve TEġEKKÜR... i ĠÇĠNDEKĠLER ... iii ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ... v SĠMGELER ... vi ÖZET... vii

ĠNGĠLĠZCE ÖZET ... viii

1. GĠRĠġ ... 1

2. GENEL BĠLGĠLER ... 4

2.1. Temel Kavramlar ... 21

3. TERS KATSAYI PROBLEMĠNDE GĠRDĠ ÇIKTI OPERATÖRÜNÜN MONOTONLUĞU ... 23

3.1. Neumann-Neumann Sınır KoĢullu Düz Problem ile Birlikte Dirichlet-Dirichlet Ek KoĢullu Ters Katsayı Problemi ... 24

3.1.1. (3.1)-(3.2) ters kaysayı probleminde girdi-çıktı fonksiyonları arasındaki iliĢki ve maksimum prensibi ... 26

3.1.2. (3.4)’te tanımlanan    [ ] K H₀,    [ ] K H₁ operatörlerinin monotonluğu ve tersinirliği ... 29

3.2. Dirichlet-Neumann Sınır KoĢullu Düz Problem ile Birlikte Neumann-Dirichlet Ek KoĢullu Ters Katsayı Problemi ... 36

3.2.1. (3.13)-(3.14) ters katsayı probleminde girdi-çıktı fonksiyonları arasındaki iliĢki ... 37

3.2.2. (3.16)’da tanımlanan   [ ] K G0,   [ ] K H1 operatörlerinin monotonluğu ve tersinirliği... 40

3.3. Neumann - Dirichlet Sınır KoĢullu Düz Problem ve Dirichlet - Neumann Ek KoĢulu ile TanımlanmıĢ Ters Katsayı Problemi ... 45

3.3.1. (3.24)-(3.25) ters problemi ile ilgili girdi-çıktı fonksiyonları arasındaki iliĢki 47 3.3.2. (3.27)’de tanımlanan    [ ] K H₀,    [ ] K G₁ operatörlerinin monotonluğu ve tersinirliği... 49

3.4. Dirichlet - Dirichlet Sınır KoĢullu Düz Problem ve Neumann - Neumann Ek KoĢulu ile TanımlanmıĢ Ters Katsayı Problemi ... 55

3.4.1. (3.35)-(3.36) Ters problemi ile ilgili girdi-çıktı fonksiyonları arasındaki iliĢki ... 56

3.4.2. (3.38)’de tanımlanan    [ ] K G₀,    [ ] K G₁ operatörlerinin monotonluğu ve tersinirliği... 58

4. PARABOLĠK DENKLEMĠN SAĞ TARAFINDA ve ROBĠN KOġULUNDA BULUNAN KUVVET FONKSĠYONLARININ BELĠRLENMESĠ ile ĠLGĠLĠ TERS PROBLEM: EġLENĠK PROBLEM YAKLAġIMI ... 64

4.1. Dirichlet Ek KoĢulu ile VerilmiĢ, DeğiĢken Katsayılı Parabolik Ters Problem . 65 4.1.1. (4.3) ile tanımlanan fonksiyonelin diferansiyellenebilirliği ve gradyanı ... 67

4.2. (4.1)-(4.2) Ters Probleminin Çözümünün Tekliği ... 74

5. SONUÇLAR ve ÖNERĠLER ... 76

6. KĠġĠSEL YAYINLAR VE ESERLER ... 78

KAYNAKLAR ... 80

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

ġekil 1.1: Düz Problemin ġeması ... 2 ġekil 1.2: Ters Problemin ġeması ... 2

SĠMGELER

 



m

C : m negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere kendisi ve  m olmak üzere . kısmi türevleri sürekli olan fonksiyonlar sınıfı,

 





C : Ġstenilen mertebeden kısmi türevleri sürekli olan fonksiyonlar sınıfı

(

 



 

   _{  } 0 m m C C ),

 

  0

C :  bölgesinde kompakt supporta sahip C

 

 ’ dan olan fonksiyonlar,

 

,

m n

C  : m, n negatif olmayan tam sayılar olmak üzere kendisi ve ,

m n







 olmak üzere x değiĢkenine göre . kısmi türevleri, t değiĢkenine göre



. kısmi türevleri sürekli olan fonksiyonlar sınıfı,  : IRn’ de sınırlı bölge



 :  bölgesinin sınırı

 : Bölgenin kapanıĢı,   , : Hilbert uzayında iç çarpım . : Banach uzayında norm .,.

ÖZET

PARABOLĠK TERS PROBLEMLERDE GĠRDĠ-ÇIKTI OPERATÖRLERĠNĠN MONOTONLUK YAPISI VE ĠLGĠLĠ

FONKSĠYONELLERĠN FRECHET DĠFERANSĠYELLENEBĠLĠRLĠĞĠ ĠLE LĠPSCHĠTZ SÜREKLĠLĠĞĠ

Arzu ERDEM

Anahtar Kelimeler: Parabolik Ters Problem, Girdi-Çıktı Operatörü, Frechet Diferansiyellenebilir, Lipschitz Sürekli, Monoton.

Özet: Buradaki çalıĢmada, lineer parabolik problemler için katsayıyı ve sağ taraf fonksiyonu ile birlikte sınır fonksiyonunu bulmak için formüle edilen ters problemlerin matematiksel analizi yapılmıĢtır. Her bir ters probleme özgü eĢlenik problem tanımlanmıĢtır. ÇalıĢmanın birinci kısmında girdi-çıktı operatörleri tanımlanmıĢ ve bunların monotonluğu maksimum prensibine ve eĢlenik problemin özelliklerine dayanarak kanıtlanmıĢtır. ÇalıĢmanın ikinci kısmında, denklemin sağ tarafında ve Robin koĢulunda bulunan kuvvet fonksiyonlarının oluĢturduğu ikilinin belirlenmesi ile ilgili ters problem ele alınmıĢtır. Hata fonksiyonelinin Frechet diferansiyelinin açık biçimdeki ifadesi, ilgili eĢlenik problemin çözümü üzerinden elde edilmiĢtir. Daha sonra bu gradyanın Lipschitz sürekliliği kanıtlanmıĢtır. Bu sonuç ters problemin yaklaĢık çözümünün bulunmasında gradyan yönteminin verimli biçimde kanıtlanması imkânını sağlamıĢtır.

ĠNGĠLĠZCE ÖZET

MONOTONICITY OF INPUT-OUTPUT OPERATORS IN INVERSE PARABOLIC PROBLEMS AND FRECHET DIFFERENTIABILITY WITH

LIPSCHITZ CONTINUITY OF RELATED FUNCTIONALS

Arzu ERDEM

Keywords: Inverse Parabolic Problem, Input-Output Operator, Frechet Diferantiable, Lipschitz Continuous, Monotone.

Abstract: In this study, we consider a mathematical analysis of the problem of identifying unknown coefficient and source terms, which include the right hand function and the boundary function in Robin condition, in inverse parabolic problem. The adjoint problems corresponding to each inverse problems are given. In the first part of the study, input-output operators are defined and their monotonicity are obtained based on maximum principle and the properties of the adjoint problems. We deal with identifying the unknown right hand function and boundary function as a pair in the second part of the study. The gradient of error functional is expressed via the solutions of the direct and corresponding adjoint problems. The Lipschitz constant is obtained via the given data. This result gives the possibility to obtain the approximate solution of the inverse problem by using the gradient method as an effective way.

1. GĠRĠġ

Equation Chapter 1 Section 1

ÇeĢitli teknolojik süreçlerin güvenilirliğinin artması ve bu süreçlerde malzemenin rolünün çok önemli olduğu bilinen bir gerçektir. Bundan dolayı ısı transferine yönelik araĢtırmalar ve malzemenin ısıtılması/soğutulması ile ilgili üretim yöntemlerinin geliĢtirilmesi matematiksel modelde önemli bir rol oynar. Isı transferi olayında, malzeme özelliğini ifade eden katsayının sabit olmadığı durum veya lineer olmadığı durum, üretim yöntemindeki veya ısı transferindeki özel koĢullardan meydana gelmektedir. Böylesi durumlar, teorik veya uygulamalı olarak genel yöntemlerin kullanımını azaltmaktadır. Bu yüzden, ısı mühendisliği çalıĢmalarında yeni yaklaĢımlar geliĢtirilmektedir. Bunların arasında ters problemlerin çözümüne dayalı yöntemler özel bir yere sahiptir. Bu yöntemler, olaya çok benzeyen koĢullar altında, deneysel olarak çalıĢma imkânı sunar. Ve dahası, bu araĢtırmalardan elde edilen bilgiler deneysel çalıĢmanın hızlanmasını ve malzeme harcamalarının azalmasını sağlar. Bu durum özellikle havacılık ve roket araĢtırmalarında çok önemlidir. Genel olarak, ters problemler, fiziksel yöntemlerin belirlenmesinde, mühendislik üretimlerinin dizaynında, kontrol sistemlerinde oldukça yaygındır. (Alifanov , 1994, Beck ve diğ., 1985)

Matematiksel bir modelde, ısı transferinin tüm durumları girdi ve çıktılar arasındaki bağıntılar ile ifade edilebilir. Burada ele alınan modele göre, bir sistemdeki veya bir nesnedeki ısı transferinin giriĢ verilerini, problemin sınır koĢulları, parametreleri, baĢlangıç koĢulları, ısı kaynağı, iletkenliği ve bunların yanı sıra sistemin veya nesnenin geometriksel karakteristikleri oluĢturmaktadır. ÇıkıĢ verileri ise, herhangi bir zamanda, ısı durumunu göstermektedir. Isı transferinin matematiksel modelinde verilen giriĢ üzerinden çıkıĢ verilerini ifade eden baĢlangıç sınır değer problemine düz problem denir. Isı transferi için ele alınan ters problemin formüle edilmesinde, düz problemin önemi çok büyüktür. Bu yüzden ısı transferi ile ilgili parabolik problemin klasik teorisinin iyi bilinmesi gerekmektedir (Ladyzhenskaya ve diğ., 1968, ÖzıĢık, 1968, Cannon, Browder, 1984, Budak ve diğ., 1988). Böylece modeli iki temel çerçevede gözlemleriz: Düz problem ve ters problem.

ġekil 1.1: Düz Problemin ġeması

ġekil 1.2: Ters Problemin ġeması

Ters problemin ifadesi, düz probleme rağmen, gerçek deneysel verilerden elde edilemeyebilir. Yani matematiksel olarak, girdi-çıktı arasındaki bağıntıyı tersinir kılmak mümkün olmayabilir. Bu yüzden, ısı transferi teorisinde ortaya çıkan ters problemler, iyi tanımlı olmayan problemler olarak tanımlanır.

Matematiksel bir problemin, iyi tanımlı olması 1902'de Hadamard tarafından aĢağıdaki Ģekilde ifade edilmiĢtir (Hadamard, 1923):

(i) Problemin çözümü vardır. (ii) Problemin çözümü tektir.

(iii) Problemin çözümü giriĢ verilerine göre süreklidir.

Buna göre, o zamanlarda, problem matematiksel olarak iyi tanımlılık koĢullarından birini sağlamazsa, pratik olarak o problemi çok kolay değildi. Ancak bu durum, ters problemler ile birlikte değiĢmeye baĢladı. 1926 da, Carlemen, ters problemlerin çözümü için ilk adımı atmıĢ oldu (Carlemen, 1926). Çözüm fonksiyonlar sınıfının kompakt olması durumunda problemin iyi tanımlı olacağı sonucunu Tikhonov (1943), koĢullu iyi tanımlılık olarak adlandırmıĢtır. Bu temel sonucun Lavrentiev

Au  f

dönüĢümü ile verebiliriz. Burada u giriĢ verilerinin kümesi U, f çıkıĢ verilerinin kümesi F ile gösterilmek üzere, A U: F ile tanımlanan A , lineer veya lineer olamayan bir operatördür. Buna göre problemin iyi tanımlı olması için 1

A sürekli operatörünün mevcut olması gerekmektedir. Problemin iyi tanımlı olması için, operatörler teorisindeki direk veya varyasyonel yöntemler ele alınabilir (Fucik, Kufner, 1980, Lavrent’ev, Savel’ev, 2006).

2. GENEL BĠLGĠLER

Burada ele alacağımız çalıĢmayı iki kısımda gruplandırabiliriz. ÇalıĢmanın 1. parçasını parabolik diferansiyel denklemler için katsayı bulma ters problemi oluĢturmaktadır. Parabolik denklemler için ters katsayı problemi ilk kez Cannon (1968) tarafından tanımlanmıĢ, daha sonra da değiĢik yazarlar tarafından ele alınmıĢtır (Zeghal 2004, Elayyan, Isakov, 1997, Cannon, DuChateau, 1973, Cannon, DuChateau, 1980, DuChateau, 1981, DuChateau, Thelwell, Butters, 2004; Hasanov, DuChateau, Pektas, 2006; Hasanov, Demir, Erdem, 2007).

Zeghal (2004) tarafından aĢağıdaki lineer olmayan parabolik problem ele alınmıĢtır:

 

 

 

 

 

, , (0, ], , 0 0, , , , , [0, ]. t u k u u x t T u x x u x t h x t T      _{ }   _{ }  (2.1)

Burada   Rn,





 

0,1 için,  C2 sınırına sahip, açık sınırlı bölgedir.

0

x  olmak üzere, iç noktada ölçülmüĢ veri (ısının değeri)



0,



 

, [0, ]

u x t 



t t T (2.2)

veya x0 olmak üzere, sınırda dıĢ normal ile ölçülmüĢ veri (ısı akıĢının değeri)

 

0,

 

, [0, ] u x t t t T n   _{ }  (2.3)

K ile, uygun h x t

 

, fonksiyonlarının kümesini



  

 

 

 

2 ,1 2 : [0, ] : , 0 _t , 0 _tt , 0 , 0 _t, , [0, ] H h C T h x h x h x h x t T       _        _  

ile gösterilirse, hH ve k k₁, ₂K_ için, u x t k



0, ; 1



u x t k



0, ; 2





0, ; 1





0, ; 2



u u x t k x t k n n    _  _{ } 

  olduğunda k1 k2 olduğu kanıtlanarak (2.1)- (2.2)

(2.1)- (2.3)) ters problemine karĢılık gelen dönüĢümün birebirliği kanıtlanmıĢtır ve böylece çözümün tekliği sonucu elde edilmiĢtir.

Elayyan, Isakov (1997) tarafından





   

 

* ( ( ) ) , , (0, ], , 0 0, , n t n u div k x u x x x x t R T u x x R





            (2.4)

Cauchy problemi ele alınmıĢtır. Burada, n R

  , C2 sınırına sahip sınırlı bölge, f sınırlı fonksiyonu, supp f   olmak üzere, k x

 

 1 f x

 

olarak seçilmiĢtir. Ayrıca     *

olacak Ģekilde * bölgesinden alınan bir x *

noktasında



*







, ; , 0,

u x t x t T ölçümü verilmiĢtir. (2.4) probleminin çözümünü u_

ile (2.4) probleminde f x

 

0 durumu için çözümü u0 ile göstererek, v :u u0

ile tanımlanan fonksiyonun

 

 

, ( ( ) 0) ( ( ) ), , (0, ], , 0 0, , n t n u u div f x u div f x u x t R T u x x R                _{ }  (2.5)

probleminin çözümü olduğu gösterilip, yeterince küçük olarak seçilen



parametresi için (2.5) denkleminin sağ tarafındaki 2. terimin sıfıra yaklaĢtığı gösterilmiĢtir. Böylece (2.4) problemi yerine

 

 

, 0 0, ( ( ) 0), , , (0, ], n t n u u div f x u x t R T u x x R          _{ }  (2.6)

lineerleĢtirilmiĢ problem ele alınmıĢtır. Sonuç olarak



*







, ; , 0,

u x t x t T ölçülmüĢ

verisi ile (2.4) probleminde k fonksiyonunu bulma problemi yerine, (2.6) probleminde f L_

 

 fonksiyonunu bulma problemi incelenmiĢtir. (2.6) probleminin çözümünün integral gösterimi bilindiğinden, ölçülmüĢ veri göz önüne alındığında, (2.6) problemine karĢılık gelen ters problem 1. tip Fredholm integral denklemine denktir. Ele alınan integral denklemde Fourier dönüĢümünden faydalanılarak f L2

 

 fonksiyonları için ters problemin çözümünün tekliği

ispatlanmıĢtır.

Cannon, DuChateau (1973) tarafından yarı sonsuz bölgede 0 pozitif sabit olmak üzere

 





 

 

( ) , 0, 0, , 0 0, 0, 0, ( ), 0, t x _x k u u k u u x t u x x u t f t t       _{ }   _{ }  (2.7)

lineer olmayan parabolik probleminde



( )

  

_x 0,

 

, 0 k f t u t g t t



   (2.8)

ölçülmüĢ verisi ile ( )k s fonksiyonunu bulma problemi ele alınmıĢtır.

0

( ) x ( ) k

T x 



k s ds (2.9)

 

 

, 0, 0, , 0 0, 0, 0, ( ), 0, t xx v v x t u x x v t g t t        _{ }      (2.10)

 

0, _k



 



v t T f t (2.11)

ters probleminin çözümü olduğu gösterilmiĢtir. ,f g fonksiyonlarının

(i) f C1, (0)f 0, f t( )0, (ii) gC g2, (0)0,g t( )0,g t

 

0, (iii) 1

 



1

 



0 lim 0, t f t f t     

koĢullarını sağlaması durumunda, (2.10) probleminin çözümünden faydalanılarak, (2.7)-(2.8) ters probleminde ( )k s aranan fonksiyonu, kapalı formda verilmiĢtir. Aynı

çalıĢmada problem sonlu bölgede de ele alınmıĢtır:

 





 

 

 

   

   

₁0 ( ) , 0,1 , 0, , 0 0, 0,1 , , ( ), 0, , ( ), 0, t x _x x _x x _x k u u k u u x t u x x k u u x t g t t k u u x t p t t                      (2.12)

 

 

 

0 0 0 0, , 0, 1, , 0. u t f t t u t h t     (2.13)

(2.9) dönüĢümü ile v x t( , )T uk

 

olarak tanımlanan fonksiyon için, (2.12)-(2.13) ( )

 

 

 

 

 

₁0 , 0,1 , 0, , 0 0, 0,1 , , ( ), 0, , ( ), 0, t xx x _x x _x v v x t v x x v x t g t t v x t p t t







       _{ }          (2.14)

 



 



 

0

 

0 0 0, , 0, 1, , 0, k k u t T f t t u t T h t     (2.15)

ters problemine dönüĢtürülmüĢtür. , ,f g p fonksiyonları ve h t₀, ₀ sabitleri için

(i) h₀ 0,t₀ 0, (ii) f C1, (0)f 0, f t( )0, (iii) gC g2, (0)0,g t( )0,g t

 

0, (iv) pC2, (0)p 0,p t( )0,p t

 

0, (v) 1

 



1

 



0 lim 0, t f t f t      (vi) 1

 

1

 

0 0 0 1 , t p t g d d t t













   





(vii) t1 f 1

 

h0 t0,   

koĢullarının sağlaması durumunda (2.14) probleminin çözümünden ve (2.15) ölçülmüĢ verilerinden faydalanılarak, k s aranan fonksiyonu, kapalı formda ( ) verilmiĢtir ve ( )k s fonksiyonunun pozitif, diferansiyellenebilir fonksiyon olduğu

kanıtlanmıĢtır.

 





   

 

 

   

 

 

0





, , 0,1 (0, ], , 0 0, 0,1 , , , (0, ), 1, 0, 0, , t x _x x x u k u u x t T u x x k u u x t g t t T u t t T                _{ }  (2.16)

lineer olmayan parabolik probleminde

 

0,

 

, (0, )

u t  f t t T (2.17)

ölçülmüĢ verisi ile ( )k s fonksiyonunu bulma problemi ele alınmıĢtır. Aranan ( )k s

fonksiyonlarının kümesini K ile gösterirsek, (2.16)- (2.17) ters problemi,





[0, ] ( ) sup 0, ; ( ) T J k  u t k  f t fonksiyoneli için * ( ) inf ( ) k K J k J k  

minimum problemine dönüĢtürülmüĢtür. Bu problemin çözümü önce Ivanov, Vasin ve Tanana (1978), daha sonra Tikhonov ve Arsenin (1986) tarafından ters problemin quasi çözümü olarak tanımlanmıĢtır. Öncelikle, burada , ,   ve M pozitif sabitler,

 

0,1



 , I { : 0x  x M} olmak üzere



2



: ( ) :0 ( ) , ( ) , ( )

K  kC  I   k s  k s k s  kümesinin C I2( ) uzayında kompakt olduğunu gösterilmiĢtir. (2.9) dönüĢümü ile (2.16)-(2.17) ters problemi

 





   

 

 

 

 

 





1 0 , , 0,1 (0, ], , 0 0, 0,1 , , , (0, ), 1, 0, 0, , t xx x x v k T v v x t T v x x v x t g t t T v t t T                 _{ }  (2.18)

 

0, k



( )



( ), (0, ) v t T f t F t t T (2.19) ters problemine dönüĢtürülmüĢtür. 1 ( ) [0, ], (0) 0, ( ) 0, 0 h t C T h  h t   t T (2.20) k K

  ve (2.20) koĢullarını sağlayan f g fonksiyonları için (2.18)-(2.19) ters ,

probleminin



   



2 ,1 2 ( , ; ) 0,1 0, v x t k C T    

  tek çözümü olduğu gösterilmiĢ ve (2.9) dönüĢümünün u T_k1( )v ters dönüĢümü ile elde edilen fonksiyonun

   





2 ,1 2 _{0,1 0,} C T    

 sınıfından, (2.16)- (2.17) ters probleminin çözümü olduğu kanıtlanmıĢtır.

Cannon, DuChateau’nun (1973) çalıĢmasındaki, sonlu bölgede ele alınan parabolik probleme benzer olarak değiĢik sınır koĢulları ve ölçümleri ile DuChateau (1981), lineer olmayan parabolik problemde bilinmeyen katsayının monotonluğu ve tekliği sonuçlarını elde etmiĢtir. DuChateau’nun bu çalıĢmasında ele aldığı parabolik problem

 





   

 

 

   

 

 

0





, , 0,1 (0, ], , 0 0, 0,1 , , , (0, ), 1, 0, 0, , t x _x x x u k u u x t T u x x k u u x t g t t T u t t T          _{  }   _{ }  (2.21)

 

0,

 

, (0, ) u t  f t t T (2.22)

 

   

 

 

 

 

 

0

 

, , 0,1 (0, ], , 0 0, 0,1 , , , (0, ), 1, 0, 0, , t xx x x v a v v x t T v x x v x t g t t T v t t T               _{ }  (2.23)

 

0, _k



 



( ), (0, ) v t T f t F t t T (2.24)

ters probleminin çözümüdür. Burada

 

1

 

k a v T u olarak tanımlanmıĢtır. (2.21)-(2.22) ters probleminde (i) k₀ k u

 

u₁, 0 u M, (ii) k _2 k1,





 

0,1 , (iii) k u

 

0, 0 u M,

koĢullarını sağlayan aranan k u katsayılarının kümesini K ile gösterirsek, ( )

 

1

[0, ]

g t C T fonksiyonu

 

0 0, ( ) 0, g  g t 

koĢulunu sağlıyorsa (2.23)-(2.24) ters probleminin çözümünün varlığı ispatlanmıĢtır. Bu varsayımlar altında



0:av

 

0, ;t a dönüĢümünün monotonluğu maksimum

prensibinden faydalanılarak (Protter, Weinberger, 1984), ispatlanmıĢtır.

Bizim çalıĢmamızın 3. bölümündeki, ters katsayı problemlerinde problemin çözümünün varlığı ve tekliği için ele alacağımız yöntem, monotonluk yöntemidir. Monotonluk yöntemleri, eĢlenik problemin çözümü ile iliĢkili olarak giriĢ-çıkıĢ verileri arasındaki integral bağıntıya dayanmaktadır (DuChateau,1995; DuChateau, Thelwell, Butters, 2004; Hasanov, DuChateau, Pektas, 2006; Hasanov, Demir, Erdem, 2007). Bu yöntemde, maksimum prensibi ile birlikte problem ve eĢlenik problem arasındaki integral bağıntı kullanılarak girdi-çıktı operatörünün özellikleri belirlenmiĢtir. Bu özelliklerden faydalanarak operatörün tersinirliği ile ilgili sonuçlar elde edilmiĢtir. DuChateau (1995) ve DuChateau, Thelwell, Butters (2004)

tarafından lineer olmayan parabolik problem incelenirken, Hasanov, DuChateau, Pektas (2006); Hasanov, Demir, Erdem (2007) tarafından lineer olan parabolik problemler ele alınarak, bunların nümerik algoritmaları verilmiĢtir. Biz burada, lineer olan parabolik problemler için, kapsamlı bir Ģekilde, hangi koĢullar altında, girdi-çıktı operatörünün tersi vardır ve kararlılık koĢulu nelerdir sorularının cevabını arayacağız.

ÇalıĢmanın 2. parçasını parabolik diferansiyel denklemler için, tek çıkıĢ verisi verildiğinde, sağ taraf fonksiyonu ve sınır fonksiyonunu, ikili olarak, bulma ters problemi ele alınmıĢtır. Sadece sınır fonksiyonunu bulma problemi ve sadece sağ taraf fonksiyonunu bulma problemi ile ilgili değiĢik çalıĢmalar yapılmıĢtır (Cannon, 1968; Wenhuan, 1997; Ivanchov, 1998; Park, Chung, 1999; Hettlich, Rundell, 2001; Gol'dman,2003; Gongsheng, 2006; Yang, Hu, Shen 2008; Choulli, 1999, Hömberg, Yamamoto, 2006; Shidfar ,Karamali ve Damirchi, 2006; Slodicka, Keer, 2002). Ġkili olarak, sınırda verilen ölçüm ile birlikte baĢlangıç fonksiyonu ve sağ taraf fonksiyonunu bulma problemi Capatina, Stavre (2000) tarafından, final zamandaki ölçüm ile sağ taraf fonksiyonu ve sınır fonksiyonunu bulma problemi Hasanov (2007) tarafından ele alınmıĢtır.

Cannon (1968) n-boyutlu bölgede sağ taraf fonksiyonunu bulma problemini incelemiĢtir. V , n-boyutlu sınırlı bölge, S, bölgenin sınırı, DS için,

 

 

 

 

 

, ( , ) [0, ], , 0 , [0, ] , , , , ( , ) [0, ], t u u f x x t V T u x x x S T V u x t g x t x t D T n



                   

parabolik probleminde f x

 

sağ taraf fonksiyonunu bulma ters problemini incelemiĢtir. Ters problemin çözümünü tekliği için

 

0, , 0, , x V x x S

 



      _{ } 

özdeğer probleminden faydalanmıĢtır.

Wenhuan (1997) tarafından

 

 

 

 

2 1 ( ) ( , ) ( , ), ( , ) (0, ], , 0 , , , , , ( , ) (0, ], Lu q x f x t x t x t T u x x x u x t x t x t T n





  _{   }           (2.25)

parabolik problemi ele alınmıĢtır. Burada

, 1 1 ( ( ) ) ( ) ( ) j i i m m t j x x i x i j i Lu u a x u b x u c x u    







 parabolik operatör, u n   ,  sınırının dıĢ normalidir. (2.25) problemi için final zamanda verilen



,



3( ),

u x T 



x x

ölçümü ile q x sağ taraf fonksiyonunu bulma ters problemi incelenmiĢtir. ( ) Problemin eĢlenik probleminden faydalanarak, uygun koĢullarda, Banach uzayında ters problemin varlığı ve giriĢ verilerine göre sürekliliği gösterilmiĢtir.

Ivanchov (1998) tarafından

 

, 0

 

, ( ) 0( , ) 1( , ), ( , )(0, ),(0, ) (0, ], t xx x u au bu cu f t g x t g x t x t h T u x



x x h          _{ }  (2.26)

parabolik problemi için farklı sınır koĢulları ve bu koĢullara karĢılık gelen ölçümler ile 3 farklı ters problem ele alınmıĢtır.

 

 

1 2 (0, ) ( , ) 0, (0, ], ( ) _x 0, ( ) _x( , ) , (0, ], u t u h t t T v t u t v t u h t



t t T      _{  }  (2.27)

 

 

1 2 (0, ) ( , ) 0, (0, ], ( ) 0, ( ) ( , ) , (0, ], x x u t u h t t T v t u t v t u h t



t t T      _{  }  (2.28)

 

 

1 2 (0, ) ( , ) 0, (0, ], ( ) 0, ( ) ( , ) , (0, ], x x u t u h t t T v t u t v t u h t



t t T       (2.29)

Bu çalıĢmada (2.26)-(2.27), (2.26)-(2.28) ve (2.26)-(2.29) ters problemlerinde

0( , )

g x t sağ taraf fonksiyonunun tek olarak belirlenmesi için gerekli koĢullar elde edilmiĢtir.

Park ve Chung (1999) tarafından



 



2 2 * * . Pr .Pr . , . ( ) , t t n n v v v P v R Tj u v u u G t



x x



y y                   (2.30)

parabolik denklem sistemi ele alınmıĢtır. Burada P , Pr , R , Tj verilen sayılar



*



2 * 2 cosh ( ( )) n n x x n x x   

 Dirac fonksiyonudur. (2.30) sisteminde baĢlangıç ve sınır koĢulları ( , , 0) 0, ( , , 0) 0, ( 1, , ) 0, ( 1, , ) 0, ( , 1, ) 0, ( , 1, ) 0, v x y u x y u v y t y t x v x t u x t     _       _      

olarak tanımlanmıĢtır. Toplam N tane



x_m,y_m



noktalarında verilen u*



x_m,y_m



ölçümü yardımıyla ( )G t sağ taraf fonksiyonunu bulma problemi incelenmiĢtir.

* 2 0 1 1 ( ) [ ( , , ) ( , , )] 2 f N _t m m m m i J G u x y t u x y t dt  





fonksiyonelinin gradyenti hesaplanarak, gradyent yöntemi ile ( )G t fonksiyonu için

nümerik yaklaĢım elde edilmiĢtir.

Hettlich ve Rundell (2001) tarafından

, ( , ) (0, ], ( , 0) 0, , ( , ) 0, ( , ) (0, ], t D u u x t T u x x u x t x t T



      _{ }   _{ } 

parabolik problemi ele alınmıĢtır. Burada 2

R

  ve D  olmak üzere _D, D bölgesininin karakteristik fonksiyonudur. D sınırında verilen u

n



 ölçümü ile D bölgesininin karakterini, _D fonksiyonundan faydalanarak belirleme ters problemi ele alınmıĢtır. Ters problemin tekliği için gerekli olan koĢullar elde edilmiĢtir.

Gol'dman (2003) tarafından 0 1 0 0 0 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ), ( , ) (0, ) (0, ], ( ) ( ) ( ), (0, ], ( ) ( ) ( ), (0, ], ( , 0) ( ), (0, ), t x x x _{x l} c u u Lu p x t f x p x t x t l T a u u e u u q t t T a u u e u u q t t T u x  x x l          _{  }   _{  }   _{ }  ( ( ) _x)_x ( ) _x ( ) Lu a u u b u u d u

yarı lineer parabolik probleminde final zamanda



,



( ), (0, ) u x T g x x l

ölçülmüĢ verisi ile ( )f x sağ taraf fonksiyonunu bulma problemi ele alınmıĢtır. Bu

çalıĢmada Hölder sınıfında çözümün tekliği ve giriĢ verilerine göre sürekliliği için koĢullar elde edilmiĢtir.

Gongsheng (2006) tarafından ( ) ( ), ( , ) (0,1) (0, ], (0, ) ( ), (0, ], (1, ) 0, (0, ], ( , 0) 0, (0,1), t xx x x u u a x g u x t T u t h t t T u t t T u x x       _{  }   _{ }   _{ } 

yarı lineer parabolik probleminde final zamanda



,



( ), (0,1) u x T 



x x

ölçülmüĢ verisi ile g u sağ taraf fonksiyonunu bulma problemi ele alınmıĢtır. ( ) Probleme karĢılık gelen eĢlenik problemden faydalanılarak, integral özdeĢlik elde edilmiĢtir. Uygun koĢullar altında ters problemin çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanmıĢtır. Ayrıca, integral özdeĢlik üzerinden, problemin koĢullu iyi tanımlılığı ispatlanmıĢtır.

Yang, Hu ve Shen (2008) tarafından

1 ( ), ( , ) (0, ) (0, ], ( , 0) 0, (0, ), (0, ) (1, ) 0, (0, ], q t x xx i i i u u u ku S x x x t l T u x x l u t u t t T







           _{ }   _{  }  



parabolik probleminde, x_i verisine göre kaynağın S_i Ģiddeti ile olan iliĢkisi incelenmiĢtir. Ters problemin çözümü, probleme karĢılık gelen minimum probleminin çözümü olarak alınmıĢtır. Verilen algoritma ile ters problemin nümerik çözümü ve bununla iliĢkili hata analizi yapılmıĢtır.

, ( , ) (0, ], ( , 0) 0, , ( ) ( , ), ( , ) (0, ], t u u x t T u x x u g u x t x t T n



               

parabolik probleminde, sınırın bir kısmında veya x₀  noktasında



0,



( ), (0, ]

u x t h t t T

ölçülmüĢ verisi ile g u sınır koĢulunu bulma ters problemleri ele alınmıĢtır. ( ) ÇalıĢmada, her iki ters problem için, uygun koĢullar altında, çözümün tekliği sonucu elde edilmiĢtir.

Hömberg ve Yamamoto (2006) tarafından ( ) ( ) ( , ), ( , ) (0, ], ( , 0) 0, , 0, ( , ) (0, ], t u u F u p t G x t x t T u x x u x t T n                 

parabolik probleminde, ( ) t  için



( ),



( ), (0, ] u



t t h t t T

ölçülmüĢ verisi ile ( )p t sağ taraf fonksiyonunu bulma ters problemi ele alınmıĢtır.

Ters problemin tek çözümü için koĢullar elde edilmiĢtir.

Shidfar ,Karamali ve Damirchi (2006) tarafından

( ), ( , ) (0,1) (0, ], (0, ) ( ), (0, ], (1, ) ( ), (0, ], ( , 0) ( ), (0,1), t xx x x u u F u x t T u t q t t T u t g t t T u x f x x       _{ }   _{ }   _{ }  parabolik probleminde

 

1, ( ), (0, ] u t  p t t T

ölçülmüĢ verisi ile ( )q t sınır fonksiyonunu bulma problemi ele alınmıĢtır. Probleme

karĢılık gelen eĢlenik problemden faydalanılarak elde edilen integral özdeĢlik yardımı ile nümerik çözümün analizi yapılmıĢtır.

Slodicka ve Keer (2002) tarafından Rn’de sınır fonksiyonunu bulma ters problemi incelenmiĢtir. Bu çalıĢmada, n

R

( ), ( , ) (0, ], ( , ) 0, ( , ) (0, ], . ( , ), ( , ) (0, ], . ( ) ( , ) ( , ), ( , ) (0, ], ( , 0) ( ), , t Dir Neu non u u f u x t T u x t x t T u g x t x t T u t u x t h x t x t T u x x x



 



                        _{ } 

parabolik probleminde



,  sınırının dıĢ normalini göstermek üzere,

2 ( ) ( ) non M t u t  



ölçülmüĢ verisi ile ( )t sınır fonksiyonunu bulma ters problemi ele alınmıĢtır. Problemin çözümünün tekliği için gerekli koĢullar elde edilmiĢtir.

Capatina ve Stavre (2000) tarafından

, ( , ) (0, ], ( , 0) ( ), , 0, ( , ) (0, ], t cu k u f x t T u x x x u k u x t T n                     

parabolik problemi ele alınmıĢtır.  Rn(n2,3) pürüzsüz sınıra sahip bölge, ve sınırda

 

, ( ), ( , ) (0, ] u x t h t x t  T

ölçülmüĢ verisi ile



f,





ikilisini bulma ters problemi incelenmiĢtir.





2 2 2 2 2 2 ( ) ( (0, ]) ( ) 0 1 ( , ) 2 2 T L L T L N J f  



uh _ dt f _   _

fonksiyoneli için varyasyonel yöntemden faydalanarak, ters problemin tek çözümü için gerekli olan koĢullar araĢtırılmıĢtır.

Hasanov (2007) tarafından 0 ( ( ) ) ( ), ( ) {0 0 }, ( 0) ( ), [0 ], ( ) ( ) [ ( ) ( )], [0 ], (0 ) 0, [0 ], t x x T x x u k x u F x t x t x l t T u x x x l k l u l t p t u l t t T u t t T





             _{   }   _{     }   _{   } 

parabolik problemi ele alınmıĢtır.

( ) _T( ), [0, ] u x T 



x x l 

ölçülmüĢ verisi ile w



F p



ikilisini bulma problemi ele alınmıĢtır.

2 0

( ) l[ ( ) _T( )]

J w 



u x T w  



x dx

fonksiyoneli için ters problemin çözümü

2 0 ( ) l[ ( ) _T( )] min w H J w u x T w



x dx    

_

   

probleminin çözümü olarak aranmıĢtır. Fonksiyonelin Fréchet diferansiyellenebilir olduğu ve diferansiyelinin Lipschitz sürekli olduğu kanıtlanmıĢtır. Bu koĢullar ise nümerik olarak çözümün yakınsaklığını garantilemektedir.

Tezin 4. bölümünde Hasanov (2007) tarafından verilen yöntemin, farklı ölçüm için, uygulaması ele alınmıĢtır.

2.1. Temel Kavramlar

Teorem 2.1. (Maksimum prensibi) u u( tx, ) fonksiyonu için

2 2 [ ] ( , ) u ( , ) u u 0 L u a x t b x t x x t          

eĢitsizliği sağlansın. Burada a x t( , )0 pozitif fonksiyondur. Bu durumda,  bölgesinde, u( tx, ) fonksiyonu maksimum değerini bölgenin sınırında alır (Protter ve Weinberger, 1984).

Tanım 2.1. X Banach uzayı ve M X olsun. f M: X R fonksiyoneli,

u M

  için u   olduğunda f u

 

  koĢulunu sağlıyor ise, f fonksiyoneline zayıf koersivdir denir (Zeidler, 1989).

Tanım 2.2. C lineer bir uzayda küme olmak üzere, u v C,  ,  t [0,1] için



1 t u tv



 C koĢulu sağlanıyorsa, C kümesine konveks küme denir (Zeidler, 1989).

Tanım 2.3. f C: R fonksiyoneli, u v C,  ,  t [0,1] için







1





1

  

 

f t u tv  t f u tf v koĢulunu sağlıyor ise, f fonksiyoneline konveks fonksiyonel denir (Zeidler, 1989).

Tanım 2.4. f C: R fonksiyoneli, u v C,  ,  t (0,1), uv için







1





1

  

 

f t u tv  t f u tf v koĢulunu sağlıyor ise, f fonksiyoneline kesin konveks fonksiyonel denir (Zeidler, 1989).

Teorem 2.2. (Minimum problemi ile ilgili temel teorem) X Banach uzayı olsun. :

f X R fonksiyoneli konveks, sürekli ve zayıf koersiv ise f fonksiyoneli X ’de minimum değerini alır. Eğer f keisn konveks fonsiyonel ise minimum tektir (Zeidler, 1989).

3. TERS KATSAYI PROBLEMĠNDE GĠRDĠ ÇIKTI OPERATÖRÜNÜN MONOTONLUĞU

Equation Chapter (Next) Section 1

Fiziksel deneylerle sınırda ölçülen çıkıĢ verisi ile bilinmeyen katsayı arasındaki iliĢkilerin belirlenmesi, ters problemlerin temelini oluĢturan bir sorudur. Isı transferi - difüzyon denklemleri (Alifanov,1994; Beck, Blackwell, Clair, 1985), petrol rezervinin modellenmesi ve yeraltı su kaynaklarının modellenmesi gibi güncel alanlarda ters katsayı problemleri önemli bir yer kaplamaktadır (Bear, 1972, Zheng, Bennett, 1995). Bu türlü problemler iyi tanımlı olmayan problemler olarak da bilinir. Bu bölümde, ters katsayı probleminin çözümünün varlığı ve tekliği ile ilgili ele alacağımız yöntem, monotonluk yöntemidir. Bu yöntemin uygulanması, önce bir eĢlenik problemin tanımlanmasını gereketirir. EĢlenik problemler,

2 0

(x t) D C (R )

 _{  }  _{keyfi fonksiyonu ile düz problemi çarpıp, kısmi integralleme} yöntemi kullanılarak elde edilir. Bu ise, deneysel ölçümlerin verim türüne bağlı olarak, aynı düz problem için farklı eĢlenik problemler elde edilebilmesi anlamına gelir. Sonuç olarak, orijinal problem ile eĢlenik problem arasında çeĢitli bağıntılar, integral özdeĢlikler, elde edilir. Monotonluk yöntemi de giriĢ-çıkıĢ verileri arasındaki bu integral bağıntılara dayanmaktadır (DuChateau,1995; DuChateau, Thelwell, Butters, 2004; Hasanov, DuChateau, Pektas, 2006; Hasanov, Demir, Erdem, 2007). Burada, maksimum prensibini ve integral bağıntıyı kullanarak girdi-çıktı operatörünün özelliklerini belirleyeceğiz. Bu özelliklerden faydalanarak operatörün tersinirliği ile ilgili sonuçlar elde edeceğiz.

3.1. Neumann-Neumann Sınır KoĢullu Düz Problem ile Birlikte Dirichlet-Dirichlet Ek KoĢullu Ters Katsayı Problemi

AĢağıdaki baĢlangıç sınır değer problemini ele alalım:

0 1 ( ( ) ) , ( ) , ( 0) 0, 0 1, (0) (0 ) ( ), 0 , (1) (1 ) ( ), 0 . t x x T x x u k x u x t u x x k u t t t T k u t t t T





     _{   }   _{   }   _{   }  (3.1)

Burada  _T {(x t ) R2     0 x 1 0 t T} parabolik bölgedir. c₁ k x( )c₀ 0 fonksiyonu ve



₀( ),t



₁( )t fonksiyonları aĢağıdaki koĢulları sağlasın:

(C1) k x( )C1[0 1] , (C2)



₀( ),t



₁( )t C[0T].

Bu koĢullar altında (3.1) baĢlangıç sınır değer probleminin

2 1 1 0

( ) ( _T) ( _T)

u x t C   C _ tek çözümü vardır (Ladyzhenskaya, Solonnikov,

Uralceva, 1968).

AĢağıdaki Dirichlet-Dirichlet ölçülmüĢ sınır koĢulları ile verilmiĢ kk x( ) bilinmeyen katsayısını bulma ters problemini düĢünelim:

0 1

(0 ) ( ) (1 ) ( ) (0 ].

u  t h t  u  t h t  t T (3.2)

Burada uu x t(  ) fonksiyonu (3.1) parabolik probleminin k x( )K katsayısına karĢılık gelen çözümüdür. (3.1)-(3.2) ters problemi Hasanov, DuChateau ve Pektas (2006) tarafından



1( )t 0 durumu için ele alınmıĢtır. (3.8) integral iliĢkisinde de

0( ) 1( )

h t h t ölçülmüĢ çıkıĢ verileri C1[0T] sınıfından olsun. KC1[0 1] ve

1

0 1 [0 ]

H H C T , sırasıyla, k k x( ) aranan katsayıların uygun kümesi ve

0( ) 1( )

h t h t ölçülmüĢ çıkıĢ verilerinin kümesi olsun.

Verilen bir k k x( )K katsayı için, (3.1) düz problemin çözümünü uu x t k(   ) ile gösterelim. Bu durumda ters problemi aĢağıdaki Ģekilde ifade edebiliriz:

0 1 0 1 ( )_x ( ) ( )_x ( ) (0 ] u x t k  _ h t  u x t k  _ h t  t  T (3.3) Girdi-çıktı operatörlerini    [ ] K H₀,    [ ] K H₁, [ ]k u x t k(   )_x0, 1 [ ] ( ) x k u x t k _

    , olarak gösterirsek, (3.3) lineer olmayan denklemini aĢağıdaki operatör denklem Ģeklinde yazabiliriz:

0 1

[ ]( )k t h t( ) [ ]( )k t h t( ) t (0T]

         (3.4)

Böylece h t0( ) ve h t1( ) ölçülmüĢ verileri ile verilen (3.1)-(3.2) ters problemi, (3.3)

lineer olmayan denkleminin çözümüne ya da (3.4) ile tanımlanan  K H₀,

1

K H

  girdi-çıktı operatörlerinin tersinirliğinin araĢtırılması problemine indirgenir.

3.1.1. (3.1)-(3.2) ters kaysayı probleminde girdi-çıktı fonksiyonları arasındaki iliĢki ve maksimum prensibi

AĢağıda elde edilen sonuçlar,



₀( ),t



₁( )t Neumann-Neumann giriĢ verilerinin iĢaretinin (3.1) düz probleminin uu x t(  ) çözümüne etkisini göstermektedir.

Teorem 3.1. 2 1 1 0

( ) ( _T) ( _T)

u x t C   C _ fonksiyonunun (3.1) probleminin çözümü

olduğunu varsayalım. Eğer Neumann sınır koĢullarını ifade eden fonksiyonlar için

0( )t 0, 1( )t 0, 0 t T







   eĢitsizlikleri sağlanıyorsa   (x t) _,   (0, )T

için u x t_x(  ) 0 eĢitsizliği sağlanır.

2 0

(x t) D C (R )  _{  } 

keyfi fonksiyon olmak üzere (3.1) denklemini



_x(x t ): ile çarpalım: [u_t ( ( )k x u_{x x}) ] _xdxdt 0      



Kısmi integralleme yöntemini uygulandığında aĢağıdaki eĢitlik bulundu:

1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 x t x_t xt x x _x x xx u dx u dxdt k x u dt k x u dxdt                   









Ġkinci integrale tekrar kısmi integralleme yöntemini uyguladığımızda,

1 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 x t x xt t x x t x x x x xx u dx u dt u dxdt k x u dt k x u dxdt                       











0 0 1 0 ( ( ) ) [ (1, ) (1, ) (0, ) (0, )] [ (1) (1, ) (1, ) (0) (0, ) (0, )] [ ( , ) ( , ) ( , 0) ( , 0)] x t xx t t x x x x x x u k x dxdt u t t u t t dt k u t t k u t t dt u x x u x x dx                     









(3.5)

integral eĢitliğini buluruz. (x t ) fonksiyonunu aĢağıdaki ters yönlü parabolik problemin çözümü olarak seçelim:

( ) ( ) , ( ) , ( ) 0 , (0 1), (0 ) (1 ) 0 , (0 ), t k x xx F x t x t x x t t t 





 







        _{   }   _{     }  (3.6)

burada F x t(  ) keyfi fonksiyondur.

(x t)

   fonksiyonu için (3.6) ters yönlü parabolik problemi iyi tanımlıdır. Çünkü, (3.6) denkleminde t(0, ) değiĢkenini  t ile değiĢtirdiğimizde, (3.6) denkleminden,



_t k x( )



_xxF x(  



t) denklemini elde ederiz. Bu ise parabolik denkleme karĢılık gelmektedir.

Burada, (3.6) da baĢlangıç ve sınır koĢullarından,



t(0 ) t



t(1 ) t



x(x 



) 0 elde edilir. Bu koĢulları (3.5) integralinin sağ tarafında kullanıldığında

1 0 0 ( ) ( ) [ ( ) (1, ) ( ) (0, )] x x x u x t F x t dxdt t t t t dt           





(3.7)

integral özdeĢliğini elde ederiz. Buna göre, (3.6) eĢlenik probleminde maksimum prensibini, F x t(   ) 0, ( , )x t _ fonksiyonu için uygulandığında

(x t) 0, ( , )x t _



    sonucunu elde ederiz. Bu sonuç, (0 ) t 0, (1, ) t 0 sınır koĢullu ile birlikte,

0 0 ( ) (0 ) (1 ) (1 ) (0 ) lim 0, (1 ) lim 0 x x h h h t t t h t t t h h                     

değerlendirmesine götürür. Burada klasik çözümden bahsettiğimiz için (x t ) fonksiyonu sürekli fonksiyondur. Bu yüzden limitte kesin eĢitsizlik söz konusudur. Diğer yandan



₀( )t 0,



₁( )t 0, 0 t



olması ile, (3.7) integral özdeĢliğinin sağ tarafını negatif elde ederiz:

( ) ( ) 0 ( ) 0 x u x t F x t dxdt F x t          



Bu eĢitsizlik ile birlikte u x tx(   ) 0, ( , )x t  sonucunu elde ederiz.

Yukarıdaki teoremde Neumann sınır koĢullarındaki eĢitsizliklerin yönü değiĢtiğinde aĢağıdaki sonucu elde ederiz.

Teorem 3.2. u x t(  ) C2 1 ( _T) C1 0 (_T) fonksiyonunun (3.1) probleminin çözümü olduğunu varsayalım. Eğer Neumann sınır koĢullarını ifade eden fonksiyonlar için

0( )t 0, 1( )t 0, 0 t T







   eĢitsizlikleri sağlanıyorsa   (x t) _,   (0, )T

için u x t_x(  ) 0 eĢitsizliği sağlanır.

Sonuç 3.1 (Hasanov, DuChateau, Pektas, 2006). x0 noktasındaki akıyı

0

( )_x (0) (0 )_x

Fl t _  k u t olarak tanımlayabiliriz. Buna göre,

0 1

0

( )_x (0) (0 )x ( ) 0, ( ) 0

Fl t _  k u   t



t 



t  durumu, ısı transferinin, sıcaklığın yüksek olduğu bölgeden daha düĢük olan bir bölgeye doğru değiĢimini ifade etmektedir. Bu durum ise Teorem 3.1 ile aynı anlamı taĢır.

Sonuç 3.2. x1 noktasındaki akıyı ( ) ₁ (1) (1 )_x x

Fl t _ k u t olarak tanımlayabiliriz. Buna göre, Fl t( ) _ k(1) (1 )ux  t



1( )t 0,



0( )t 0 durumu, ısı transferinin,

3.1.2. (3.4)’te tanımlanan    [ ] K H₀,    [ ] K H₁ operatörlerinin monotonluğu ve tersinirliği

AĢağıdaki sonuçlar bize    [ ] K H₀,    [ ] K H₁ operatörlerinin monotonluğunu vermektedir. AĢağıdaki Lemma Hasanov, DuChateau, Pektas, (2006) tarafından verilmiĢtir. Ancak bu çalıĢmada ele alınan problemde



₁( )t 0 olarak alınmıĢtır. Burada



1( )t fonksiyonu için pozitif veya negatif fonksiyon olma

koĢulu ile Hasanov, DuChateau, Pektas, (2006) tarafından verilen sonucun genellemesi olarak ele alacağız.

Lemma 3.1. u x t₁(  ) u x t k(   ₁) ve u x t₂(  ) u x t k(   ₂) fonksiyonlarının (3.1) probleminin k x k x₁( ) ₂( )K katsayılarına karĢılık gelen birer çözümü olduğunu varsayalım. h0,j( )t u(0 t kj), h1,j( )t u(1 t kj) ( j 1 2) fonksiyonları bu katsayı fonksiyonlarına karĢılık gelen çıkıĢ verileri olsun.    (0T) için h_0,j( )t , h_1,j( )t

fonksiyonları aĢağıdaki integral özdeĢliği sağlar.

2, 1 1 0 0 0 ( ) x( ) x( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] k x u x t x t dxdt t h t t h t dt               





(3.8) burada h t0( )h0,1( )t h0,2( )t , h t1( )h1,1( )t h1,2( )t k x( )k x1( )k x2( ) olarak

tanımlanır ve



0( )t 



1( )t C(0 )



için



(x t )



(x t  

 

0 1) fonksiyonu aĢağıdaki

eĢlenik problemin çözümüdür: 1 1 0 1 1 ( ( ) ) 0, ( ) , ( ) 0, (0 1), (0) (0 ) ( ), (0 ), (1) (1 ) ( ), (0 ). t x x x x k x x t x x k t t t k t t t 





 













      _{   }   _{   }   _{   }  (3.9)

Ġspat. u x t(  ) u x t1(  ) u x t2(  ) olarak tanımlayalım.

1, 2, t t t u u u    (k u1 1,x x) (k u2 2,x x) (k u1 x x) ((k1k u2) 2,x x) sağlandığından, ( ) u u x t

1 2, 1 2, 1 2, ( ) ( ) , ( ) , ( 0) 0, (0 1), (0) (0 ) (0) (0 ) (0, ), (1) (1 ) (1) (1 ), (0, ). t x x x x x x x x u k u ku x t u x x k u t k u t t T k u t k u t t T                                

Denklemi keyfi (x t ) fonksiyonu ile      (0 1) (0 )



, 0 



T bölgesinde integralleyelip, kısmi integralleme yöntemini kullanalım:

2, ₀ 2, 2, 1 0 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) [ (1) (1, ) (1, ) (0) (0, ) (0, )] [ ( , ) ( , ) ( , 0) ( , 0)] [ (1, ) (1) (1, ) (0, ) (0) (0, )] [ (1, ) (1) (1, ) (0, ) (0) x x x x x x x x k x u x t x t dxdt k u t t k u t t dt u x x u x x dx t k u t t k u t dt u t k t u t k                                    











(0, )]t dt ( t (k1 x x) ) u dxdt     

_

   (3.10)

ġimdi   (x t ) fonksiyonunu (3.9) eĢlenik probleminin çözümü olarak seçelim. Böylece yukarıdaki problemin ve (3.9) eĢlenik probleminin baĢlangıç ve sınır koĢullarını (3.10)’da göz önüne alırsak istenen sonucu elde ederiz.

(3.8) integral özdeĢliği, düz proble ve ilgili eĢlenik problem arsındaki iliĢkiyi göstermektedir. (3.9) probleminde



0( )t 



1( )t C(0 )



fonsiyonlarının keyfi

fonksiyonlar olması ise operatörün monotonluğu ve Lipschitz sürekliliğinin kanıtlanmasında önemli bir rol oynamaktadır. Ayrıca bu fonksiyonların seçimi ile ilgili sayısal algoritmalar geliĢtirilebilir. (Hasanov, DuChateau, Pektas (2006); Hasanov , Demir , Erdem (2007).)

AĢağıdaki sonuç, bize (3.8) integral özdeĢliğinin özel bir durumunu vermektedir.

Sonuç 3.3. k x k x1( ) 2( )K katsayı fonksiyonlarına karĢılık gelen çözümü olsun.

0,j( ) (0 j)

h t u  t k , h1,j( )t u(1 t kj) ( j 1 2), bu katsayı fonksiyonlarına karĢılık gelen çıkıĢ verileri olsun.    (0T) için h_0,j( ),t h_1,j( ),t t(0, ) fonksiyonları aĢağıdaki integral özdeĢliği sağlar:

0 0 2, 0, 0 ( )t h t dt( ) k x u( ) x xdxdt         





(3.11) 1 1 2, 1, 0 ( )t h t dt( ) k x u( ) x xdxdt.         





(3.12)

Burada



₀(x t )



(x t  



₀ 0) ve



₁(x t )



(x t  0



₁) fonksiyonları, (3.9) eĢlenik probleminin, sırasıyla



1( )t 0 ve



0( )t 0 için çözümüdür:

Bu sonuç ile : K H0,   K H1 operatörlerinin monotonluğunu elde

edebiliriz.

Teorem 3.3.



0(x t u x t ), 2( , )fonksiyonlarının Teorem 3.1’in,



1(x t )fonksiyonu

Teorem 3.2’nin koĢullarını sağladığını varsayalım. Eğer k x k x₁( ) ₂( ) aranan katsayıları k x₁( )k x₂( ),   x [0 1] koĢulunu sağlıyorsa h_0,i( ),t h_1,i( )t , i 1 2, çıktı fonksiyonları da

(i) h_0,1( )t u(0 t k₁)h_0,2( )t u(0 t k₂),   t (0 ) , (ii) h1,1( )t u(1 t k1)h1,2( )t u(1 t k2),   t (0 ) .