Ters özdeğer problemleri

T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TERS ÖZDEĞER PROBLEMLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Hülya GÖZÜTOK SARAL

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Abdullah YILDIZ

Mayıs 2006 T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TERS ÖZDEĞER PROBLEMLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Hülya GÖZÜTOK SARAL

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Bu tez .. / .. /2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.

………. ……… ……….

Jüri Başkanı Üye Üye

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın her aşamasında çok değerli destekleri için danışman hocam sayın Prof. Dr. Abdullah YILDIZ’a, katkılarından dolayı sayın Araştırma Görevlisi Mustafa ERÖZ’e teşekkürlerimi sunarım.

Hülya GÖZÜTOK SARAL

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... v

ŞEKİLLER LİSTESİ... vi

TABLOLAR LİSTESİ... vii

ÖZET... viii

SUMMARY... ix

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

BÖLÜM 2. TERS ÖZDEĞER PROBLEMLERİ ... 5

2.1. Giriş... 5

2.2. Temel Sistemin Oluşturulması ... 8

2.3. Özdeğer ve Özfonksiyonların Asimptotik Davranışları ... 20

2.4. Bazı Hiperbolik Problemler ... 38

2.5. Ters Problem ... 48

2.6. Parametre Belirleme Problemi ... 57

2.7. Sayısal Çözüm Teknikleri ... 63

BÖLÜM 3. SONUÇLAR………... 72

3.1. Klasik Ters Sturm-Liouville Probleminin Çözümü... 72

3.2. Ardışık Yaklaşımlar Yöntemi... 75

3.3. Uygulamalar...

BÖLÜM 4.

77

TARTIŞMA VE ÖNERİLER... 90 KAYNAKLAR... 91 ÖZGEÇMİŞ... 94

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

[ ]

^{a b}

C , : [a,b] de tanımlı sürekli fonksiyon sınıfı

[ ]

^{a b}

Cⁿ , : [a,b] de tanımlı n. türeve varana kadar sürekli fonksiyon sınıfı

[ ]

0,1

C0 : = {f ∈C[0,1]: f(0)=0}

[ ]

0,1

j

Co : = C^j[0,1]∩C₀[0,1] , j=1,2 )

1 , 0

2(

H : Sobolev uzayı. ( bkz. sf. 5) )

1 , 0

1(

H : =

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ∈ ^{[0,1]: ( )}= +

∫

^{( ) ,} ∈ ^, ∈ ^2(0,1)

0

L g R dt

t g x

f C

f

x

α α

) 1 , 0

1(

H0 : = H¹(0,1)∩C₀[0,1] )

1 , 0

2(

L : (0,1) de ikinci dereceden integrallenebilen fonksiyon sınıfı

O : Büyük o sembolü

o : Küçük o sembolü

f ∞ : max ( )

1

0 f x

x≤

= ≤ C₀[0,1]

Cj

f : maxmax ⁽⁾( )

1 0 ,...,

1 f ^l x

x j

l= ≤ ≤

= C₀^j[0,1]

H1

f ^{2 2}

2

:= f _L2 + f′ _L H¹(0,1) ve H₀¹(0,1) T * : T ’nin L -adjoint (devriğini)’unu belirtir ²

−1

T : T ’nin tersi

1

*)

(T ⁻ : T ’nin devriğinin tersi ΩT :=(0,1)×(0,T)⊂R²,q∈C[0,1] Ω T : Ω_T’nin kapanışı

) ( _T

C Ω : Ω ’ de tanımlı sürekli fonksiyon sınıfı _T BM :={q∈L^∞(0,1): q _∞ ≤M}

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 1.1. u dalgasının D objesinden ⁱ

saçılması………...………….1

Şekil 1.2. Γ

eğrisi………..2

Şekil 2.1. [0,20] ile [5,100] üzerindeki q₁’in karakteristik fonksiyonu…………..32

Şekil 2.2. [0,20] ile [5,100] üzerindeki q₂’nin karakteristik fonksiyonu……...….32

Şekil 3.1.1. 5 özdeğer için q(x)= xx( −1) fonksiyonunun grafiği………..…….…80

Şekil 3.1.2. 10 özdeğer için q(x)= xx( −1) fonksiyonunun grafiği……….81

Şekil 3.1.3. 20 özdeğer için q(x)= xx( −1) fonksiyonunun grafiği…...……….82

Şekil 3.2.1. q(x)= xx( −1) fonksiyonunun lineer çözümünün grafiği

…...86

Şekil 3.2.2. q(x)= xx( −1) fonksiyonunun lineer olmayan çözümünün grafiği ….87

Şekil 3.3.1.

⎩⎨

⎧ ≤ < − ≤ ≤

= 1

2 ) 1 1 ( 2, 0 1

)

(x x x x ² x

q nın lineer

çözümünün

grafiği...

...88 Şekil 3.3.2.

⎩⎨

⎧ ≤ < − ≤ ≤

= 1

2 ) 1 1 ( 2, 0 1

)

(x x x x ² x

q lineer olmayan

çözümünün

grafiği…...

...89

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 1.1. q₁(x) potansiyeline ait asimptotik formülden elde edilen özdeğerler...33

Tablo 1.2. q₂(x) potansiyeline ait asimptotik formülden elde edilen özdeğerler....34

ÖZET

Anahtar kelimeler: Özdeğer problemleri, ters özdeğer problemleri.

İnvers özdeğer problemleri kendi başlarına önemli oldukları gibi pratik başka önemli uygulamalara da sahiptir. Parabolik ve hiperbolik diferansiyel denklemlerin parametre belirlemeleri ve grating teori de bunların kullanım alanlarından bazılarıdır.

Biz bu çalışmamızda kanonik sturm-liouville özdeğer problemini çeşitli sınır koşulları için analiz ettik. Sayılabilir sayıda λ_n özdeğerinin bulunduğunu, bunlara ait asimptotik formülleri teoremleriyle beraber

ispatladık. Bundan sonra da ters probleme yani özdeğerlerin bilinmesi halinde potansiyel fonksiyonun belirlenmesi işini yaptık.

Son kısımda da nümerik işlemlerle q potansiyelinin nasıl elde edileceğini örneklerle gösterdik.

INVERSE EIGENVALUE PROBLEMS

SUMMARY

Key Words: Eigenvalue problems, Inverse eigenvalue problems.

Inverse eigenvalue problems are not only interesting in their own right but also have important practical applications. Other applications appear in paramater identification problems for parabolic or hyperbolic differantial equations and in grating theory.

We will study the canonical Sturm-Liouville eigenvalue problem some different boundary conditions. We will prove that there exists a countable number of eigenvalues λ_n of this problem and also obtain some asymptotic formula for eigenvalues.

We also study inverse problem , i.e, we are given the eigenvalues λ_n and then determine the potential function q(x).

Finally in last section we use some numerical procedure and obtain some results with examples.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Öncelikle ters problemleri çeşitli örneklerle tanıyarak bizim problemimizin yerini belirtmek istiyoruz. İşe bazı basit ters problemleri örneklemekle başlayalım.

1. n. dereceden p(x) polinomunu, x₁,x₂,...,x_n köklerine sahip bir polinom olarak belirlemek, verilen bir p(x) polinomunun köklerini bulma işleminin tersi bir problemdir.

2. A matrisi nxn lik reel simetrik bir matris olsun. N tane λ₁,λ₂,...,λ_n reel sayıları verilsin. Öyle bir D köşegen matrisi bulalım ki A+D matrisi

λn

λ

λ₁, ₂,..., sayılarını özdeğer kabul etsin. Bu problem A+D matrisinin özdeğerlerini hesaplama işinin ters problemidir.

3. Ters saçılma problemi:

Verilen bir yoğunlukta sesin veya elektromanyetik dalgalarının bir objeden saçılmasından yararlanarak saçan nesnenin şeklini(formunu) belirlemek.

u ^s

u ⁱ D

u ^s

Şekil 1.1. uⁱ dalgasının D objesinden saçılması

Buna ait direkt problem ise D objesi verilip saçılan dalgayı belirlemekti Rn

D⊂ n=2 veya 3 ∂D düzgün sınırına sahiptir. u gelen dalgası ⁱ

x

eik^θˆˆ k >0 dalga sayısı θ^ˆ birim vektör gelen dalganın yönünü belirleyen vektördür.

Direkt problem u =uⁱ +u^s toplamının değişim alanını (u gelen ⁱ u ^s saçılan dalgadır) 0Δu+k²u = ∂D sınırında u=0 dır.

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

∂ −

∂ s ⁻⁽ⁿ₂⁺¹⁾ S

r O r iku

U r= x →∞

Son eşitlik radyasyon şartı olarak bilinir ki

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= _{− ∞} ⁻⁽²⁺¹⁾

2

1 ) (ˆ)

) exp(

( _n ⁿ

s U x O x

x x x ik

U x →∞

asimptotik davranışına sahiptir. Burada x xˆ = x dir.

İnvers problem U_∞(xˆ) uzak çözüm değerleri belli ise D şeklini belirlemektir.

4. Abel integral denklemi

y

h ………... p₁

Γ ;x=ψ( y)

p p x ₀

Şekil 1.2. Γ eğrisi

Γ verilen eğrisi üzerinde h>0 yüksekliğinde p₁ noktasından p ₀ noktasına (h=0 seviyesi) bir partikül element yer çekimi etkisinden başka (mg) bir kuvvetin olmadığı bir hareket içindedir.

Direkt problem verilen Γ eğrisi üzerinde p₁ den p a geliş zamanı T yi ₀ belirlemektir. T =T(h) olup ters problem T(h) belli ise Γ eğrisini bulmaktır.

) ( : x=ψ y

Γ ise P(ψ(y),y) mgh sabit

mgy mv

U

E+ = ² + = =

2 v 2g(h y)

dt

ds = = −

∫

∫

^{= + ′}₋

=

=

p h

p

y dy h g

y v

h ds T T

0

2

) ( 2

) ( ) 1

(

1

0

ψ h>0

)2

( 1 )

(y ψ y

ψ = + ′

g h t T

f 2

) ) (

( = dersek

∫

^h _h−^y_y ^{dy = f h}

0

) ) (

ψ(

h>0

Abel integral denkleminin çözümü gerekmektedir.

Bu denklemin uygulamaları için R.Corenflovand S.Vessella [1]

başvurulabilir.

5. Isı transferi problemi

2 2 ( , ) )

, (

x t x U t

t x U

∂

=∂

∂

∂ bir boyutlu ısı denklemi u(0,t)=u(1,t)=0

) ( ) 0 ,

(x u₀ x

u = 0≤ x≤1 başlangıç sınır değer probleminin klasik çözümünü bulmak düz problemdir. Yani, T anındaki sıcaklık miktarını

) (.,T

U , u başlangıç sıcaklığı bilindiğinde belirlemektir. ₀ U(.,T) bilinmesi halinde u veya t<T anındaki sıcaklıkları belirlemek ise ters ₀ problemdir.

6. Homojen olmayan ortamlarda difüzyon problemi de parametre belirleme problemi gibi ters bir problemdir.

7. Sturm-liouville problemi

L uzunluğunda ρ =ρ(x)>0 0≤x≤L kütle yoğunluğuna sahip bir telin x=0 ve x=L de sabitleyelim.

v( tx, ) t>0 0≤ x≤L için x noktasnda t anında yer değiştirme ise

2 2 2

2 ( , ) ( , )

)

( x

t x v t

t x x v

∂

= ∂

∂

ρ ∂ 0< x< L t>0

0 ) , ( ) ,

(o t =v L t =

v t>0 dalga denklemini ]

)[

( ) ,

(x t w x aCos t bSin t

v = ω + ω ω>0 frekanstır.

) (x

w için Sturm-liouville özdeğer problemi

0 ) ( ) ( )

( + ² =

′′ x x w x

w ω ρ 0< x< L w(0)=w(L)=0 direkt problem, ρ(x)bilindiğinde w özdeğerlerini özfonksiyonlarını bulmaktır.

Ters problem ise w,ω² belli iken ρ(x) belirlenmesidir.

Bu örneklerin hepsini K(x)=y gibi bir operatör denklemle verebiliriz.

Direkt problem K operatörünün x verildiğinde X model uzayında uygulamaktır. Tersi ise K(x)=y denkleminden x’i çözmektir.

Direkt problem x ve K operatörü verilip K(x) i hesaplamaktır. Ters problem y ve K verilip x’i K(x)=y denkleminden çözmektir.

Ters problemde K’nın tanımında K operatörünün tanım ve değer kümelerinin bilinmesiyle mümkündür. Sonlu boyutlu , sonsuz boyutlu, lineer ve lineer olmayan operatörler bilinen farklılıklardır. Genelde K(x)

in hesaplanması sınır değer problemini çözmektir veya integral hesaplamaktır.

BÖLÜM 2. TERS ÖZDEĞER PROBLEMLERİ

2.1 Giriş

Ters özdeğer problemleri, kendi başına önemli olduğu gibi aynı zamanda başka önemli pratik uygulamalara da sahiptirler [2]. Parabolik yada hiperbolik diferansiyel denklemler için parametre tayin etme problemlerinde (Bkz. [4,7,10] ) sıkça görülen ters problemler grating teoride de ortaya çıkar ( [3]) ve daha bir çok problemlerde uygulama sahasına sahiptir.

Biz bu çalışmada, Sturm-Liouville özdeğer problemini kanonik formda inceleyeceğiz. Direkt problem,

( ) ( ) ( ) ( ), 0 1

2

2 + = ≤ ≤

− q x u x u x x

dx x u

d λ

(2.1a)

u(0)=0 ve hu′(1)+Hu(1)=0, (2.1b)

ile verilen sınır değer probleminden λ özdeğerleri ve u ≠0 özfonksiyonlarını belirlemektir.

Burada )q∈L²(0,1 ve h² + H² >0 h,H∈R olarak verilmiştir. Bu bölümde bütün fonksiyonların gerçel (reel) değerli olduklarını varsayıyoruz. Bazı uygulamalarda, örneğin grating teoride, q karmaşık (kompleks)-değerli fonksiyonların aynı zamanda pratik bir önemi de

vardır. Esas itibariyle, bu bölümün bütün sonuçları, q nun karmaşık- değerli olması halinde de doğrudur. (2.1a), (2.1b), özdeğer problemi w için daha genel özdeğer probleminin özel bir durumudur. Yani

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

dt t t dw dt p

d ( )

)

( +

[

^{ρr(t)−g(t)}

]

^w(t) = 0 , ^t∈

[ ]

^a,b , (2.2a)

α_aw′(a)+β_aw(a)=0, 0α_bw′(b)+β_bw(b)= (2.2b)

Burada p, ve g r t∈[ ba, ] için p(t)>0 ve r(t)>0 ile verilen fonksiyonlardır ve α_a,α_b,β_a,β_b∈R α_a² +β_b² >0 ve α_a² +β_b² >0 ile sabitlerdir.

Bununla birlikte, eğer g∈C[ ba, ] ve p,r∈C²

[ ]

a,b varsayarsak, o zaman Liouville transformasyonu (2.2a), (2.2b) ters özdeğer problemini (2.1a), (2.1b) kanonik forma çevirir. Özel olarak

), (

) : (

)

( p t

t t = r

σ f(t):=

[

p(t)r(t)

]

^1/4, ⁼

∫

^b

a

ds s

L: σ( ) , (2.3) tanımlarsak

x:[a,b]→[0,1] monoton fonksiyon 1 ( ) ,

: )

( sds

t L x

t

a

∫

= σ t∈

[ ]

a,b , (2.4) ve u:[0,1]→R yeni fonksiyon

)), ( ( )) ( ( : )

(x f t x w t x

u = x∈

[ ]

0,1, )

(x t

t = ; x= x(t)’nin tersi

olarak verilirse hesaplamalar sonucunda, λ =L²ρ ,

) ( ' 2 2

) (

) ( ' ) ( ) (

) ( ) (

) ) (

(

x t t

t f

t f t p t r

t f t r

t L g x q

⎥=

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

(2.5) olur.

Aynı zamanda (2.2b) sınır koşullarınıda, kolaylıkla aşağıdaki şekle dönüştüğünü görürüz.

h₀u′(0)+H₀u(0)=0 ve h₁u′(1)+H₁u(1)=0 (2.6) Burada

)) ( /(

)

0 (a Lf a

h =α_aσ ve H₀ =β_a / f(a)−α_af^'(a)/ f(a)² dır.

Benzer tarzda

1 1, H

h verilir. a yerine b konur.

Bu bölümde, biz sadece (2.1a), (2.1b) kanonik Sturm-Liouville özdeğer problemini inceleyeceğiz. İlk etapta, h=0 durumunu detaylı bir biçimde inceleyeceğiz. Bölüm 2.3’ün sonunda h=1 halini kısaca tartışacağız. Bölüm 2.3’te bu problemin sayılabilir sayıda λ_n özdeğerini ve aynı zamanda asimptotik formunu(formül) vereceğiz. q gerçek-değerli olduğu için, problemin kendine eş ve sayılabilir sayıda özdeğerinin varlığı, fonksiyonel analizin genel spectral teoreminden elde edilir. (Bkz.sayfa 21 Teorem).

Bu genel teorem, özdeğerlerin sonsuza gitmesini gerektirdiğinden, yakınsama hızı hakkında daha fazla bilgiye ihtiyacımız vardır. Asimptotik davranışının formülünün ispatındaki temel faktör, |λ | sonsuzluğa gittiğinden, (2.1a) diferansiyel denklemin temel sistemin asimptotik davranışı olacaktır. Bütün veri ve özdeğerler reel değerli olduğu halde, kompleks analizden çıkan sonuçları, özellikle Rouché teoremini kullanacağız. Bu, temel sistemdeki λ parametresinin kompleks (karmaşık)-değerli olmasına izin verilmesini gerekli kılar. Temel çözümün varlığı ve onun asimptotik davranışı sonraki kısmın konusu olacaktır.

Bölüm 2.5 ters probleme ayrılmıştır: λ_n özdeğerleri verildiğinde q fonksiyonunu bulunacaktır. Bölüm 2.6’te ters spektral problemlerin, parabolik başlangıç değer problemi için, bir parametre belirleme probleminde nasıl ortaya çıktığını göstereceğiz. Son olarak Bölüm 2.7 de Rundell ve diğerlerinin (Bkz. [6,8,9]) ileri sürdükleri q ’nün bulunmasının sayısal çözümleme işlemlerini inceleyeceğiz.

Bu bölümü aşağıdaki örnekte görüleceği gibi negatif bir sonuç ile bitiriyoruz.

Örnek 2.1.

), ( ) ( ) ( )

(x q x u x u x

u′′ + =λ

− 0<x<1, u(0)=0, u(1)=0 probleminin λ bir özdeğeri ve u bir öz fonksiyonu olsun.

O zaman λ özdeğerine uygun q~ aşağıdaki denklemin v(x):=u(1−x) olan bir öz fonksiyonudur.

-v^"(x)+ q~ (x)v(x) = λ v(x), 0<x<1, v (0)=0, v (1)= 0 ~q(x):=q(1−x)

İleride göreceğimiz gibi q fonksiyonunun tek olarak belirlenebilmesi için 2

= 1 x ye göre çift bir fonksiyon olması gerektiği veya eğer ikinci bir spektrumu biliyorsak (yani u(1)= 0 dan farklı sınır koşuluyla bulunan spektrum) q tek türlü bulunabilir.

2.2. Temel Sistemin Oluşturulması

Lineer diferansiyel denklemeler teorisinden bilindiği üzere aşağıdaki başlangıç değer problemleri, her λ∈C ve her reel veya kompleks-değerli q∈C

[ ]

0,1 için tek çözümü vardır.

−u₁′′+q(x)u₁ =λu₁, 0<x<1 , u₁(0)=1 u₁′(0)=0 (2.7a) ,

)

( _{2 2}

2 q x u u

u′′+ =λ

− 0<x<1 , u₂(0)=0 u′₂(0)=1 (2.7b)

) 1 , 0

2( L

q∈ ’in varlık ve tekliği ise Teorem 2.4’de gösterilmektedir. { u₁,u₂} fonksiyonlar kümesine −u′′+qu =λu un (0,1) de diferansiyel denklemlerin temel sistemi adı verilir. u₁ve u₂ fonksiyonları lineer bağımsızdır çünkü Wronskian determinantı

[

^u₁^,u₂

]

^{: = det} _⎢

⎣

⎡

1′

1

u u _⎥

⎦

⎤

′2 2

u

u = u₁u₂′ −u₁′u₂ =1 dir. (2.8)

Bu,

[

u₁,u₂

]

=u₁u₂′′ −u₁′′u₂ =u₁(q− )u₂ −u₂(q− )u₁ =0 dx

d λ λ ile

[

u1,u2

]

^{(0) =1}

’den

görülmektedir. u₁,u₂ fonksiyonları λ ve q ’ya bağlıdır. Bu bağlılığı çoğu zaman )

, (., q u

u_j = _j λ , j=1,2 şeklinde ifade edebiliriz. q∈L²(0,1) için denklem ikinci dereceden sürekli türevlenemez ancak Sobolev uzayının bir elemanıdır.

≥0

r için H^r(0,2π) Sobolev uzayı;

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ + <∞

=

∑ ∑

∈Z ∈

k k Z

k r ikt

k

r a e k a

H (0,2π): : (1 ²) ² ile tanımlanır.

) 2 , 0

0( π

H , L²(0,2π) ile çakışır.

= : ) 1 , 0

2(

H {u^∈C

[ ]

u^′ x ^{=α +}

∫

^πv t dt

0

1 0,1 : ( ) ( ) , α∈C v∈L²(0,1)}

v için u″ ∈L²(0,1) yazarız.

En önemli örnek q=0 olduğu durumdur. Bu durumda (2.7a) ile (2.7b)’yi açık olarak çözebiliriz.

Örnek 2.2.

=0

q olsun. (2.7a) ve (2.7b)’nin çözümleri, u₁(x,λ,0)=cos( λx) ve

λ λ,0) ^sin( λ ⁾ ,

2( x x

u = dir. (2.9) )

cos(sx

sa ve sasin(sx)/s çift fonksiyonlardır.

Herhangi bir q∈L²(0,1) için temel çözümlerin λ sonsuza gittiği zaman (2.9) çözümü gibi davrandığını göreceğiz. Bundan sonraki teoremin kanıtı için, aşağıdaki Lemmaya ihtiyacımız vardır.

Lemma 2.3.

) 1 , 0

2( L

q∈ ve ]~, [0,1 C k

k ∈ olmak üzere öyle bir μ >0 reel sayısı vardır ki bütün ]

1 , 0

∈[

τ için

) exp(

)

~(τ ≤ μτ

k ve k(τ) ≤exp(μτ) dir.

] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ :

~,

C C

K

K → , operatörleri her biri sırasıyla ~( ) ( )

t q t x

k − ve

) ( ) (x t q t

k − çekirdekli Volterra integral operatörleri olsunlar. Bu halde bütün ]

1 , 0 [

∈C

ϕ ve n∈Ν için aşağıdaki eşitsizlikler doğrudur.

, ) ˆ(

! ) 1

~ n ₁ ( n x

e x n q x

K

K ⁻ϕ ≤ ϕ _∞ ^μ 0≤ x≤1 (2.10)

Burada ^{q x =}

∫

^{x q t dt}

0

) ( : ) (

ˆ dir.

Eğer ϕ∈C[0,1] aynı zamanda tüm τ∈

[ ]

0,1 için │ϕ(τ) ≤exp(μτ) ifadesini sağlarsa bütün n∈N için

, ) ˆ(

! ) 1

~ n ₁ ( n x

e x n q x K

K ⁻ϕ ≤ ^μ 0≤ x≤1 (2.11) ifadesini elde ederiz.

İspat:

İspatı tümevarım yöntemiyle yapacağız.

=1

n için

( )

^{x =}

∫

^{xk x−t q t t dt}

K

0

) ( ) ( )

~(

~ϕ ϕ

( ) ˆ( )

0 )

( q t dt e q x

e ^x

x t

x μ

μ ϕ

ϕ _∞ ⁻ ≤ _∞

≤

∫

elde ederiz.

Şimdi keyfi bir n için (2.10)’nun doğru olduğunu kabul edelim bu aynı zamanda K

K = ~ içinde doğru olduğundan

∫

⁻

≤

x

n t

x

n x e q t K t dt

K K

0 )

( ( ) ( )

)

~ ϕ( ^μ ϕ

e q t q t dt n

n x

x ( )ˆ( )

! 1

∫

0

≤ ϕ ∞ ^μ

doğrudur.

Son integrali

∫

^{x q t q t ndt =}

0

) ( ˆ )

(

∫

^{xq′ t q t ndt =}_n+

∫

^x_dt^{d q t n+ dt}

0

1 0

) ) ( ˆ 1 ( ) 1

( ˆ ) ( ˆ

= ˆ( ) ¹ 1

1 +

+ x n

n q ile hesaplarız.

Bu ise (2.10) un (n+1) için ispatıdır. (2.11) ispatı için, sadece 1. adımı

( )

x

K^~ϕ ( ) ˆ( )

0 )

( e q t dt e q x

e ^x

x

t t

x μ μ

μ ≤

≤

∫

⁻

şeklinde ifade etmemiz yeterlidir.

Kalan kısım, aynı şekilde ispatlanır.

Şimdi u_j,j=1,2, için başlangıç değer probleminin Volterra integral denklemlerin denkliğini ispatlayacağız.

Teorem 2.4.

) 1 , 0

2( L

q∈ ve λ C olsun. ∈

(a) u₁,u₂ ∈C[0,1] aşağıdaki Volterra integral denklemlerinin çözümleri iseler )

1 , 0 (

, ₂ ²

1 u H

u ∈ (2.7a) ve (2.7b)’nin çözümleridir.

, ) ( ) ) ( ( ) sin

cos(

)

( ₁

0

1 x t q t u t dt

x x

u

∫

x ⁻

+

= λ

λ λ (2.12a)

, ) ( ) ) ( ( sin sin

)

( ₂

0

2 x x t q t u t dt

x u

∫

x ⁻

+

= λ

λ λ

λ 0≤ x≤1 dir. (2.12b)

(b) (2.12a) ve (2.12b) integral denklemler ile (2.7a) ve (2.7b) başlangıç değer

problemleri tek türlü çözülebilir. Çözümler, Neumann serileri ile temsil edilir. K integral operatörü olmak üzere

, ) ( ) ) ( ( : sin

) (

0

dt t t t q x x

K

x ϕ

λ

ϕ ⁼

∫

λ ^{− x∈[0,1]} (2.13) ve

) cos(

: )

(x x

C = λ ve

λ λ ) : sin(

)

( x

x

S = olsun. (2.14) O halde

∑

^∞

=

=

0 1

n nC K

u ve

∑

^∞

=

=

0 2

n nS K

u dir. (2.15) Bütün sınırlı Λ⊂C ve Q⊂L²(0,1) kümeler için seriler düzgün olarak yakınsar,

Q q

x, , )∈[0,1]×Λ×

( λ için düzgün yakınsak olurlar.

İspat:

(a) )f,g∈H²(0,1 için kısmi entegrasyonun aşağıdaki biçimini kullanacağız.

∫

^{b ′′ − ′′ = ′ − ′}

a

b

t a

g t f t g t f dt t g t f t g t

f ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )]

[ (2.16)

Sadece u₁ için ispat yapacağız. u₁, (2.7a)’nın bir çözümü olsun.

O halde

∫

∫

^{xS x−t q t u t dt= xS x−t u t +u′′ t dt}

0

1 1

0

1( ) ( )[ ( ) ( )]

) ( )

( λ

u t S x t S x t dt

∫

x

=

′′ − +

−

=

0 0

1( )[ ( ) ( )]

4 4

4 3

4 4

4 2

1λ

+[u₁′(t)S(x−t)+u₁(t)S′(x−t)]^t_t=⁼₀^x =u₁(x)−cos( λx) dır.

Diğer taraftan u₁∈C[0,1] (2.12a) integral denklemin bir çözümü olsun.

O halde u₁ hemen hemen her yerde türevlenebilir ve

u x x x t q t u t dt

x

) ( ) ( ) ( cos )

sin(

)

( ₁

0

1^{′ =− λ λ +}

∫

^{λ − dir.}

Burdan u′₁ nın sürekli ve hatta hemen hemen her yerde türevlenebilir olduğunu gözlemleriz. Ve

u₁′′(x)=−λcos( λx)+q(x)u₁(x)

⁻

∫

^{x x−t q t u t dt}

0

1( ) ) ( ) ( sin λ

λ

=−λu₁(x)+q(x)u₁(x)

ifadesi söz konusu iddiayı kanıtlar. Çünkü sağ taraf L²(0,1) sınıfından olduğundan iddiamızı doğrular ve başlangıç koşulu açıkça sağlanmaktadır.

(b) Bütün k(τ)=cos( λτ), k(τ)=sin( λτ) ve k(τ)=sin( λτ)/ λ fonksiyonlarının τ∈

[ ]

0,1 için μ = Im λ ile k(τ) ≤exp(μτ) şartlarını sağladığını gözlüyoruz. Bu, ilk iki fonksiyon için açıktır. Üçüncüsü için

τ μτ

τ λ μ

λ τ

λ ≤

∫

s ds=

∫

s ds≤e

0 0

) cosh(

) ) cos(

sin( den doğar.

λ τ λ τ) sin( )/

( =

k olmak üzere k(x−t)q(t) çekirdekli K integral operatörü üzerinde çalışmak zorundayız. K~=K

ile Lemma 2.3’e başvuruyoruz. (2.10) tahmini, yeterince büyük n için, aynı biçimde q∈ ve Q λ∈Λ için

1

! ) 1 ˆ(

<

≤ e^μ

n K q

n n

sağlar. Bu yüzden, Neumann serileri yakınsak olurlar (aşağıdaki teoreme bakınız) bu da (b) şıkkının ispatıdır.

Teorem 2.4.1: Neumann Serisi

X R veya C de tanımlı Banach uzayı ve X

X

K : → lineer sınırlı bir operatör limsup ^1/ <1

∞

→ n n

n

K ise O zaman I − tersi alınabilirdir. K

∑

^∞

=0 n

K Neumann serisi operatör norma göre yakınsaktır ve n

1 0

)

( ⁻

∞

=

−

∑

^K = ^{I K}

n

n dir.

(Eğer m∈N için R^m <1 ise limsup ^1/ <1

∞

→ n n

n

K şartı sağlanır. )

Önceki teoremin integral ifadesi, keyfi q ’nün durumunu q=0’ ın durumuyla karşılaştırmak suretiyle temel sistemin aşağıdaki asimptotik davranışını verir.

Teorem 2.5.

) 1 , 0

2( L

q∈ ve λ C olsun ve ∈ u₁,u₂ temel sistem olsun, yani, sırasıyla (2.7a) ve (2.7b) başlangıç değer problemlerinin çözümleri olsun. Bütün x∈[0,1] için aşağıdakiler doğrudur.

, ) ( Im

1 exp )

cos(

) (

0

1 ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

≤

− ^{x x}

∫

^{q t dt}

x u

λ x

λ λ (2.17a)

, ) ( Im

1 exp )

) sin(

(

0

2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

≤

− ^{x x}

∫

^{x q t dt}

x

u λ

λ λ

λ (2.17b)

, ) ( Im

exp ) sin(

) (

0

1 ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

≤

′ ^x + ^{x x}

∫

^{x q t dt}

u λ λ λ (2.17c)

, ) ( Im

1 exp )

cos(

) (

0

2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

≤

′ ^x − ^{x x}

∫

^{x q t dt}

u λ

λ λ (2.17d) İspat: Yine Neumann serilerini kullanıyoruz ve C(τ):=cos( λτ) ve

λ τ λ τ): sin( )/

( =

S tanımlıyoruz. K , çekirdeği q(t)sin( λ(x−t))/ λ ile integral operatör olsun. Sonra

∑

^∞

=

≤

−

1

1( ) cos( ) ( )

n

nC x K x

x

u λ dır.

Şimdi k~(τ)=sin( λτ) ve k(τ)=sin( λτ)/ λ koyuyoruz ve K~

ile K aracılığıyla, sırasıyla ~( )

t x

k − ve k(x− çekirdekleri olan Volterra integral t) opratörlerini belirtiyoruz. O zaman Kⁿ = 1 K~Kⁿ−¹

λ ve Lemma 2.3 ile kısım (b)’nin yardımıyla sonuçlandırıyoruz. n≥1 için

(

^x

)

dt t q n x

C K

x n

n λ

λ ! ^{( ) exp Im} ) 1

(

0 ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

≤ ⎛

∫

dir. Şimdi, toplama istenilen

tahmini verir.

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

≤

− ^{x x}

∫

^{x q t dt}

x u

0

1 1 exp Im ( )

) cos(

)

( λ

λ λ

1 exp(Im )

)

(x x

S λ

≤ λ | den dolayı, aynı deliller, (2.17b)’yi de ispatlar.

(2.12a) ve (2.12b) integral denklemlerin türevini alarak aşağıdaki denklemleri elde ederiz.

∫

⁻

=

′ x + x ^x x t q t u t dt

u

0

1

1( ) λsin( λ ) cos λ( ) ( ) ( ) ,

∫

⁻

=

′ x − x ^x x t q t u t dt

u

0

2

2( ) cos( λ ) cos λ( ) ( ) ( ) .

Şimdi de daha önce yaptığımız gibi K ve K~

operatörlerinin çekirdekleri )

( cos )

(t x t

q λ − olacak şekilde yeniden tanımlayalım.

∑

^∞

=

=

′ +

0 1

) ~ sin(

) (

n

nC K K x x

u λ λ

∑

^∞

=

=

′ −

0 2

) ~ cos(

) (

n nS K K x x

u λ

ve Lemma 2.3, kısım (b) yi tekrar kullanırız. (2.17c) ve (2.17d) elde ederiz.

Gelecek kısımda, özfonksiyonların q ve λ ya göre sürekli türevlenebilirliklerinin kabulüne ihtiyacımız olacaktır. X ve Y Banach uzayları arasında Fréchet türevi kavramına da ihtiyacımız olacaktır.

Fréchet Türevi 2.5.1.

Normlu uzaylar arasında lineer olmayan dönüşümlerin lineerleştirilmesi hususunda önemli bir kavram olan Fréchet türevinden bahsedeceğiz. Sürekli ve diferansiyellenebilir olma bu tanımla izah edilebilecektir.

Tanım: X ve Y reel veya kompleks normlu uzaylar olsun. U ⊂ X açık bir alt kümesi xˆ∈U ve T:X ⊃U →Y lineer olmayan bir operatör olsun.

(a) Şayet x− xˆ ≤δ için T(x)−T(xˆ) ≤ε olacak şekilde her ε >0 sayısına karşılık δ >0 sayısı bulunabiliyorsa T , xˆ de süreklidir.

(b) xˆ∈U için T diferansiyellenebilir deriz. Eğer xˆ’ya bağlı lineer sınırlı Y

X

A: → operatörü

0 ˆ)

( ˆ )

1 (

lim0 + − − =

→ T x h T x Ah

h

h ise A

x

T′(ˆ):= yazarız. T′(xˆ)∈L(X,Y) dir.

(c) Eğer xˆ’nın V komşuluğunda T Fréchet türevlenebilirse ve )

, ( :V L X Y

T′ → xˆ’da sürekli ise xˆ∈U’da T dönüşümü Fréchet sürekli diferansiyellenebilirdir deriz.

Süreklilik ve diferansiyellenebilme X ve Y ’deki normlara bağlıdır. Eğer T , xˆ’da diferansiyellenebilirse (b) şıkkındaki lineer sınırlı T operatörü tektir. Yani

A x

T′(ˆ):= iyi tanımlıdır. Eğer T , x’de diferansiyellenebilirse x’de aynı zamanda süreklidir. X =Kⁿ ve Y = K^m ise bu özel halde lineer sınırlı T ′(x) dönüşümü Jacobianden ibarettir.

Örnek 2.5.2: İntegral Operatörü

C C b a d c

f :[ , ]×[ , ]× → argümanlarına göre sürekli ve sürekli türevlenebilsin.

] , [ ] , [

:C a b C c d

T →

∫

=

b

a

ds s x s t f t x

T( )( ): ( , , ( )) , t∈[c,d],x∈C[a,b]

şeklinde tanımlansın. T sürekli Fréchet türevine sahiptir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir.

∫

_∂^∂

′ = ^b

a

ds s z s x s t x f t

z x

T ( ) )( ) ( , , ( )) ( ) ,

( t∈[c,d],x,z∈C[a,b]

Aşağıdaki teorem Fréchet türevinin özelliklerini vermektedir.

Teorem 2.5.3.

(a) T,S:X ⊃U →Y x∈U için Fréchet diferansiyellenebilsin. O zaman T +S ve λ de T λ∈K için Fréchet diferansiyellenebilirdir ve

), ( ) ( ) ( )

(T +S ′ x =T′ x +S′ x (λT)′(x)=λT′(x) dir.

(b) Zincir kuralı: T:X ⊃U →V ⊂Y ve S:Y ⊃V →Z x∈U ve T(x)∈V için Fréchet türevlenebilsinler. O zaman ST de x de Fréchet türevlenebilirdir ve

3 2 1 43 42

1( , ) ( , )

) ( )) ( ( ) ( ) (

Y X L Z Y L

x T x T S x ST

∈

∈

′

= ′

′ ∈L(X,Z) dir.

2 ,

=1

j için (λ,q)_au_j(.,λ,q) C×L²(0,1)den C[0,1] ye bir dönüşüm olsun. Bu dönüşümleri yine u ile gösterip aşağıdaki teoremi ispatlarız. _j

Teorem 2.6.

, 2 , 1 ], 1 , 0 [ ) 1 , 0 (

:C×L² →C j=

u_j sırasıyla (2.7a) ile (2.7b)’nin çözümleri

olsunlar. Aşağıdaki ifadeleri elde ederiz:

(a) u süreklidir. _j

(b) u sürekli bir biçimde her _j (λˆ,qˆ)∈C×L²(0,1) için F-türevlenebilirdir.

ˆ) ˆ, (., ˆ)

ˆ,

(., q u _, q

u_j λ _j λ

λ ^{= λ}

∂

∂ , (2.18a)

ve

ˆ) ˆ, (., )

ˆ)(

ˆ,

(., q q u _, q

qu^j λ = ^jq λ

∂

∂ dir. (2.18b)

ˆ) ˆ,

, (., q

u_jλ λ ve u_j,q(.,λˆ,qˆ), j =1,2 için aşağıdaki sınır değer problemlerinin çözümleridirler.

−(u_j,λ)′′+(qˆ−λˆ)u_j,λ =u_j(.,λˆ,qˆ) (0,1) de

u_j,λ(0)=0, (u_j,λ)′(0)=0, (2.19)

−(u_j,q)′′+(qˆ−λˆ)u_j,q =−qu_j(.,λˆ,qˆ) (0,1) de u_j,q(0)=0, (u_j,q)′(0)=0, ayrıca , bütün x∈[0,1] için aşağıdakileri elde ederiz:

, 2 , 1 ), ( ] , [ ) (

0

,

2 = =

∫

^{xuj t dt ujλ uj x j} (2.20a) ),

](

, [ ) ( ] , [ ) ( )

( _{2, 1}

0

2 , 1 2

1 t u t dt u u x u u x

u

x

λ

λ =

∫

= (2.20b) ,

2 , 1 ), ( ] , [ ) ( ) (

0

,

2 = =

−

∫

^{xq t uj t dt ujq uj x j} (2.20c)

), ](

, [ ) ( ] , [ ) ( ) ( )

( _{2, 1}

0

2 , 1 2

1 t u t dt u u x u u x

u t

q _q

x

q =

=

−

∫

(2.20d)

[ vu, ], (2.8)’den bildiğimiz Wronskian determinantını gösterir.

İspat:

(a), (b): u ’nin sürekliliği ve diferansiyellenebilirliği (2.12a) ile (2.12b) integral _j denklemlerden elde edilir. Çünkü çekirdek ve sağ taraf sürekli ve diferansiyellenebilir bir şekilde λ ve q ’ya bağlıdır. Geriye (b) içindeki ifadeleri göstermek kalır. 1u=u_j,j= veya 2 olsun.

0 ˆ )

(., ˆ )

(ˆ ˆ )

(., + + − − + =

−u′′ λ ε q λ ε u λ ε ,

0 ˆ) (., ˆ) (ˆ ˆ)

(., + − =

−u′′ λ q λ u λ dır.

Böylece,

ˆ ) (., ˆ) (., ˆ )

(., 1[ ˆ) (ˆ ] ˆ) (., ˆ )

(.,

1[ λ ε λ λ ε

λ ε λ

ε

ε λ^{+ − ′′+ − + − = +}

− u u q u u u olur.

Fark oranları için homojen başlangıç şartları sağlanır,ε →0 a giderken sağ taraf düzgün olarak u(.,λˆ)’ya yakınsar. Bu nedenden ötürü, fark oranı x’e göre u,

u ’ya düzgün olarak yakınsar. Aynı nedenler q ’nun türevi için de geçerlidir. λ

(c) Diferansiyel denklemde u_j,λ yi u ile _j u yi _j u_j,λ ile çarpıp taraf tarafa çıkarırsak şunu elde ederiz.

u²_j(x)=u_j′′(x)u_j,λ(x)−u′′_j,λ(x)u_j(x) (u (x)u _, (x) u _, (x)u (x)).

dx d

j j j

j λ − ′λ

= ′

Bu denklemi integre ederek ve homojen sınır koşullarını kullanarak (2.20a)’nın birinci denklemini buluruz. Kalan denklemelerin kanıtlanması için aynı ispatlar kullanılır. Bu kısmın hiçbir yerinde q ’nun reel-değerli olduğu varsayımını

kullanmadık. Bu yüzden, 2.4, 2.5, ve 2.6 Teoremlerinin iddiaları, kompleks- değerli q içinde doğrudur.

2.3. Özdeğer ve Özfonksiyonların Asimptotik Davranışları

İlk etapta kendimizi Dirichlet problemiyle sınırlandıralım aşağıdaki özdeğer problemiyle uğraşalım

) ( ) ( ) ( )

(x q x u x u x

u′′ + =λ

− , 0< x<1 ,u(0)= u(1)=0. (2.21)

Bölümün sonunda farklı sınır koşullarından bahsedeceğiz. Tekrar q∈L²(0,1) reel-değerli olsun. Eğer sadece λ, f(λ):=u₂(1,λ,q) fonksiyonunun bir sıfırı ise; o zaman λ∈C’nin bu problemin bir özdeğeri olduğunu söyleriz. Tekrar

) ,

2(.,

2 u q

u = λ u₂(0)=0 ve u₂′(0)=1 ’in (2.7b) başlangıç koşullar ile başlangıç değer probleminin çözümünü belirtir. O halde u₂(1,λ,q)=0 ise λ özdeğerine karşılık gelen u₂(.,λ,q) özfonksiyondur. f fonksiyonu, matrisin karakteristik polinomu gibi davranır ve bu sebeple özdeğer probleminin karakteristik fonksiyonu olarak adlandırılır. Teorem 2.6, f ’nin türevlenebilir olduğunu, yani, C’nin tamamında analitik olduğunu söyler. Bu gözlem, karmaşık (kompleks) analizden (çıkan) sonuçları kullanma imkanını sağlar. İlk önce, soyut spektral teoriden türetilebilen Sturm-Liouville probleminin özdeğer ve özfonksiyonlarına ilişkin çok iyi bilinen gerçekleri özetliyoruz.

Teorem 2.6.1.

X X

A: → bir lineer operatör olsun

a) Farklı λ_j∈C özdeğerlerine karşılık gelen özfonksiyonların sonlu kümesi n

j X

x_j∈ , =1,..., olsun. {x₁,...,x_n} kümesi lineer bağımsızdır.

Eğer X Hilbert uzayı ve A self-adjoint ise yani A^∗ = A ise , tüm λ_j özdeğerleri reeldir ve λ_jözdeğerlerine karşılık gelen x ,...,₁ x_n özvektörler ikişerli ortogonaldir (diktirler).

b) X Hilbert uzayı veA:X →X self- adjoint olsun. Bu durumda A ’nın spectral yarıçapı

r(A)=sup{λ :λ∈σ(A)}olmak üzere sup( , ) ( )

1

A r x Ax A

x

=

=

=

şeklindedir. Bu durum aşağıdaki teoremde görüleceği üzere Compact operatörler için daha basittir.

Teorem 2.6.2: Compact Self-Adjoint Operatörler İçin Spectral Teorem

X X

K : → compakt ve self-adjoint olsun(K ≠0). Bu durumda aşağıdakiler doğrudur.

a) Spektrum özdeğerlerden ibarettir. Sıfırıda içerebilir. K ’nın her özdeğeri reeldir. K en az bir, en çokta sıfırda yığılma noktası oluşturacak şekilde sayılabilir sayıda özdeğere sahiptir.

b) Her λ ≠0 özdeğeri için, sonlu sayıda lineer bağımsız özvektör vardır.

Yani özuzaylar sonlu boyutludur. Farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörler ortogonaldir.

c) Özdeğerler aşağıdaki formda sıralanır λ₁ ≥ λ₂ ≥ λ₃ ≥...

ve λ_j’ye karşılık gelen özuzay üzerine ortogonal izdüşümleri

→ X

P_j : N(K−λ_jI) ile gösterelim. Eğer λ₁,...,λ_m özdeğerleri sonlu sayıda ise

∑

=

= ^m

j j jP K

1

λ olur.

Eğer özdeğerlerin (λ_j) sonsuz bir dizisi ise,

∑

^∞

=

=

1 j

j jP

K λ olur ve seri operatör normunda yakınsaktır.

Ayrıca

1 1

+

=

=

−

∑

^{m m}

j j jP

K λ λ dir.

d) K ’nın λ≠0 özdeğerlerine karşılık gelen özvektörlerin tümünün lineer gereni H olsun. O zaman

X =H ⊕N(K) dır.

Bazen (d) farklı ifade edilebilir. Sonlu ve sonsuz özdeğerlerin varlığı halinde N

J ⊂ index kümesi tanımlansın, birinci durumda J sonlu, ikinci durumda N

J = dir. Her λ_j, j∈J özdeğeri için, N(K −λ_jI) özuzayının ortonormal bir bazını seçelim. Tekrar özdeğerleri

0

3 ...

2

1 ≥ λ ≥ λ ≥ >

λ

formunda sıralanır. Her λ_j ≠0 katlılıklarıyla sayarsak her λ_j özdeğerine x _j özvektörünü tanımlayabiliriz.

Her x∈X )

0 N(K

x ∈ ve

∑

∈

=

J j

j j

j x x x

Kx λ ( , ) olmak üzere

∑

∈

+

=

J j

j j x x x x

x ₀ ( , ) Fourier açılımına sahiptir.

Sonuç olarak K bire bir ise, tüm özvektör {x_j : j∈J} kümesi X ’de tam sistem oluşturur. Compakt self-adjoint operatörler için spectral teoremi K:X →Y self- adjoint olmayan operatörlere genişletilebilir.

Lemma 2.7.

) 1 , 0

2( L

q∈ reel değerli olsun:

(a) Bütün λ özdeğerleri reeldir.

(b) 2 =1

j L

g koşulu ile sayılabilir sonsuz tane reel λ_j,j∈Ν özdeğerleri vardır. Bunlara karşılık gelen özfonksiyonlar g_j∈C[0,1]. Özfonksiyonlar

) 1 , 0

2(

L içinde tam ortonormal bir sistem oluştururlar.

(c) λ özdeğerlerin geometrik ve cebirsel katlılıkları birdir, yani, özdeğer uzayı bir boyutludur ve karakteristik fonksiyonun kökleri basit köklerdir.

İspat:

Sınır değer problemi self adjoint olduğundan (a) ve (b) elde edilir.

(c) λ, bir özdeğer ve vu, iki değişik özfonksiyon olsun. α² +β² >0 ile β

α, ve αu′(0)=βv′(0) seçelim. w:=αu−βv fonksiyonu diferansiyel denklemi çözer ve w(0)= w′(0)=0 sağlanır, yani w, özdeş olarak sıfırlanır. Bu yüzden, u ile v lineer bağımlı olurlar.

λ’nin f ’nin basit bir kökü olduğunu göstermek gayesiyle Teorem 2.6’nın, (c) kısmına başvururuz. u₂(1,λ,q)=0 olduğu için, j=2 için (2.20a)’dan

) , , 1 ( )

, , 1 ( )

( u₂ q u_2, q

f λ λ

λ λ = _λ

∂

= ∂

′

⁼ _′

∫

^{1 ≠}

0

2 2

2

. 0 )

, , ) (

, , 1 (

1 u x q dx

q

u λ

λ

buluruz.