Değişken katsayılı fourier serileriyle parabolik denklemler için devirli sınır koşullu karışık problemin analizi

(1)

**KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ * FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ**

DEĞİŞKEN KATSAYILI FOURİER SERİLERİYLE

PARABOLİK DENKLEMLER İÇİN DEVİRLİ SINIR KOŞULLU

KARIŞIK PROBLEMİN ANALİZİ

DOKTORA TEZİ

İrem ÇİFTÇİ

Anabilim Dalı : Matematik

Danışman: Prof. Dr. Hüseyin HALİLOV

(2)

(3)

i

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı yöneten, yardımlarını esirgemeyen sayın hocam Prof. Dr. Hüseyin Halilov’a ve çok değerli eşi Gızyeter Halilov’a, çalışmalarım sırasında yardımlarını esirgemeyen ve değerli fikirleriyle beni yönlendiren sayın hocam Prof. Dr. Alemdar Hasanoğlu’na, tez izleme komitesindeki değerli sayın hocam Prof. Dr. Arif Demir’e, çalışma hayatımın başından beri birlikte olduğum arkadaşlarım Arş. Gör. Evrim Güven ve Arş. Gör. Günay Öztürk’e ve son olarak beni destekleyen ve bugünlere getiren aileme, eşim Aşkın Çiftçi’ye ve neşe kaynağım olan oğlum Adaberk’ e teşekkürlerimi sunarım.

(4)

ii İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR...i İÇİNDEKİLER ...ii SİMGELER...iii ÖZET ... iv İNGİLİZCE ÖZET... v 1. GİRİŞ ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2. Genel Bilgiler... 3

1.3. Türdeş Isı Transferi Denklemi için Devirli Sınır Koşullu Problemin Çözümü .... 9

2. YARI DOĞRUSAL PARABOLİK DENKLEMLERİN GENELLEŞMİŞ ÇÖZÜMÜNÜN VARLIĞI ve TEKLİĞİNİN İNCELENMESİ ... 13

2.1. Çözümün Aranması... 13

2.2. Ardışık Yaklaşımların Yakınsaklığı... 26

2.3. u(t)’nin (2.6) Sistemini Sağlaması ... 36

2.4. Çözümün Tekliği... 39

2.5. Kesin Çözümle Ardışık Yaklaşımların Farkının Değerlendirilmesi... 43

3. YARI DOĞRUSAL PSEUDO-PARABOLİK DENKLEMLERİN GENELLEŞMİŞ ÇÖZÜMÜNÜN VARLIĞI ve TEKLİĞİNİN İNCELENMESİ ... 46

3.1. Çözümün Aranması... 46

3.2. Ardışık Yaklaşımların Yakınsaklığı... 61

3.3. u(t,ε ’nun (3.8) Sistemini Sağlaması... 71 )

3.4. Çözümün Tekliği... 75

3.5. Kesin Çözümle Ardışık Yaklaşımların Farkının Değerlendirilmesi... 78

4. ε→0 DURUMUNDA ASİMPTOTİK İNCELEME ve ÇÖZÜMLER . ARASINDAKİ İLİŞKİ ... 82 5. SONUÇ ve ÖNERİLER... 95 5.1 Sonuçlar ... 95 5.2 Öneriler ... 96 KAYNAK ... 98 ÖZGEÇMİŞ ... 101

(5)

iii

SİMGELER DİZİNİ ve KISALTMALAR

. : Norm

. : Mutlak Değer

k=1,∞ : k sayısı, birden sonsuza kadar tüm değerleri alır. ]

b , a [

Cn _{: [a,b] aralığında n. mertebeye kadar türevleri sürekli fonksiyonlar uzayı}

KTDD : Kısmi Türevli Diferansiyel Denklem ) , x , t ( G ξ : Kaynak Fonksiyonu D : D bölgesinin kapanışı

(6)

iv

DEĞİŞKEN KATSAYILI FOURİER SERİLERİYLE PARABOLİK DENKLEMLER İÇİN DEVİRLİ SINIR KOŞULLU KARIŞIK PROBLEMİN

ANALİZİ

İrem ÇİFTÇİ

Anahtar Kelimeler: Fourier Serisi, Fourier Yöntemi, Yarı Doğrusal Parabolik Denklem, Devirli Sınır Koşulu, Karışık Problem

Özet: Bu çalışmada ele alınan yarı doğrusal parabolik ve yarı doğrusal pseudo-parabolik denklemler için devirli sınır koşullu karışık problemlerin genelleşmiş çözümü ilk kez tanımlanmış ve belli koşullar dahilinde sözü edilen problemlerin genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. Ele alınan problemlerin pratik önemi göz önünde bulundurularak, kesin çözümle ardışık yaklaşımların farkı

da değerlendirilmiştir. Ayrıca, ε→0 da yarı doğrusal pseudo-parabolik denklem

için incelenen problemin çözümünün, yarı doğrusal parabolik denklem için incelenen problemin çözümüne yaklaştığı gösterilmiştir. Tez, giriş ve beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezde sık kullanılan tanım ve kavramlarla ilgili bilgiler verilmiş, ikinci bölümde de, ele alınan yarı doğrusal parabolik denklemler için devirli sınır koşullu karışık problemin genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği incelenmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, ele alınan yarı doğrusal pseudo-parabolik denklem için devirli sınır koşullu genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği incelenmiştir. İkinci ve üçüncü bölümlerde söylenenlerin yanı sıra, incelenen problemlerin çözümlerinin kesin ve yaklaşık değerlerinin farkı da değerlendirilmiştir.

Dördüncü bölümde, ε→0 durumunda ikinci ve üçüncü bölümlerde ele alınan

problemlerin çözümleri arasındaki ilişki incelenmiştir. Son bölümde ise sonuçlar ve öneriler verilmiştir.

(7)

v

VARIABLE COEFFICIENT FOURIER SERIES FOR A MIXED PROBLEM FOR QUASILINEAR PARABOLIC EQUATIONS WITH PERIODIC

BOUNDARY CONDITION

İrem ÇİFTÇİ

Key Words: Fourier Series, Fourier Method, Quasilinear Parabolic Equation, Periodic Boundary Condition, Mixed Problem

Abstract: In this study, a generalized (weak) solution of mixed problems with periodic boundary conditions for quasilinear parabolic and qusilinear pseudo-parabolic equations are first considered. An existence and uniqueness of these weak solutions are proved under appropriate conditions. Taking into account an applied importance of the considered problems, the difference between exact and approximate solutions is estimated. In addition, it is shown that the solution of the problem corresponding to quasi-linear pseudo-parabolic equation approaches, as

0 →

ε , to the solution of the problem corresponding to the quasi-linear

pseudo-parabolic equation. The thesis consists of introduction and five chapters.In the first chapter necessary definitions and used notions are introduced. An existence and uniqueness of a weak(generalized) solutions of consired mixed problem for quasilinear parabolic equations with periodic boundary condition is studied in chapter 2. The same questions for quasilinear pseudo-parabolic equations with periodic boundary condition are analyzed in chapter 3. In addition to these, the difference between the corresponding exact and approximate solutions are estimated also in these two chapters. In chapter 4 the relationships between the solutions of problems consired in chapters 2 and 3 is investigated. In the final chapter 5, the obtained results and conclusions are presented.

(8)

1

1. GİRİŞ

1.1 Giriş

Bilindiği gibi, gerek sabit, gerekse de değişken katsayılı Fourier serilerinin yardımı ile bir takım adi ve kısmi türevli denklemler için çeşitli problemler incelenebilir. Ele alınan tezde değişken katsayılı Fourier serilerinin yardımı ile yarı doğrusal parabolik ve yarı doğrusal pseudo-parabolik denklemler için devirli sınır koşullu karışık problemlerin incelenmesi öngörülmektedir.

İzotropik maddenin doğrusallaştırılmış ısı iletimi denkleminin,

) x , t ( q u c u k t u c ₃ t 3 _∂ ∆ + ∂ ε + ∆ = ∂ ∂ (1.1)

biçiminde olduğu bellidir [13,14,37,40,42]. Burada, u(t,x) maddenin t anında x noktasındaki sıcaklığı, q(t,x) ısı kaynağı, c maddenin ısınma ısısı, k ısı iletkenliği, ε

ise küçük parametredir. Isı kaynağı u(t,x) e bağlı olduğunda (1.1) denklemi ) u , x , t ( q u c u k t u c ₃ t 3 _∂ ∆ + ∂ ε + ∆ = ∂ ∂ (1.2)

pseudo-parabolik yarı doğrusal denklemine dönüşür.

Gerek (1.1), gerekse (1.2) denklemi, ε=0 durumunda çeşitli bilim adamları

tarafından farklı sınır koşullarıyla ve değişik yöntemlerle incelenmiştir

[4,5,6,11,17,28]. Yine bu denklemler ε≠0 durumunda da farklı sınır koşullar

alınarak, Fourier yada başka yöntemlerle, çeşitli araştırmacılar tarafından incelenmiştir [1,2,20,21,22,23,24,34] . Fourier yöntemi, hiperbolik yada daha yüksek dereceli problemlere de uygulanabilir [8,19].

(9)

2

Ayrıca bir boyutlu durumda değişken katsayılı Fourier serilerinin yardımı ile yarı doğrusal parabolik denklem için

) 5 . 1 ( ) x 0 ( ) x ( ) x , 0 ( u ) 4 . 1 ( ) T t 0 ( 0 ) , t ( u ) 0 , t ( u ) 3 . 1 ( ) T t 0 ( ) u , x , t ( f x u a t u 2 2 2 π ≤ ≤ ϕ = ∞ ≤ ≤ ≤ = π = ∞ < < < = ∂ ∂ − ∂ ∂

karışık probleminin çeşitli anlamlarda çözümünün varlığı ve tekliği [28], yarı doğrusal pseudo-parabolik denklem için

) 8 . 1 ( ) x (0 ) x ( ) x , 0 ( u ) 7 . 1 ( ) T t (0 0 ) , t ( u ) 0 , t ( u ) 6 . 1 ( ) T t 0 ( ) u , x , t ( f x t u x u a t u 2 3 2 2 2 π ≤ ≤ ϕ = ∞ ≤ ≤ ≤ = π = ∞ < < < = ∂ ∂ ∂ ε − ∂ ∂ − ∂ ∂

karışık probleminin genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliğinin incelenmesinin yanı sıra, ε→0 da (1.6), (1.7), (1.8) probleminin genelleşmiş çözümünün, (1.3), (1.4), (1.5) probleminin genelleşmiş çözümüne yakınsadığı [24], gösterilmiştir.

Teknik uygulamalarda (1.4) sınırlarının yanı sıra

u(t,0)=u(t, )π ,u_x(t,0)=u_x(t,π) (0≤t≤T≤∞) (1.9) olmak üzere devirli sınır koşulları da sıkça raslanmaktadır [7,15]. Ayrıca, teknik açıdan (1.9) daha geniş kapsamlıdır. Ele alınan tez çalışmasında, (1.6), (1.9), (1.8) ve (1.3), (1.9), (1.5) problemlerinin incelenmesini öngörülmüştür.

Söz konusu tez, giriş ve beş bölümden ibarettir. Birinci bölümde tezde sık kullanılan tanım ve kavramlarla ilgili bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, ele alınan yarı doğrusal parabolik denklem için devirli sınır koşullu genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği incelenmiştir, tezin üçüncü bölümünde, ele alınan pseudo-parabolik denklem için devirli sınır koşullu genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği

(10)

3

ele alınan problemlerin çözümleri arasındaki ilişki incelenmiştir. Son olarak beşinci bölümde sonuçlar ve öneriler verilmiştir.

1.2 Genel Bilgiler

Tanım1.1 (Cauchy Eşitsizliği): f(x) ve g(x) fonksiyonları, [a,b] kapalı aralığında karesi ile integrallenebilir olduğunda,

2 1 b a 2 2 1 b a 2 b a dx ) x ( g dx ) x ( f dx ) x ( g ) x ( f _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

(1.10) yani,

( )

2 2 L L .g f g , f ≤

eşitsizliği doğrudur. Bu eşitsizliğe Cauchy Eşitsizliği denir [ 26].

Tanım1.2 (Hölder Eşitsizliği): x=

{

x₁,x₂,...,x_n,...

}

∈l₂ vey=

{

y₁,y₂,...,y_n,...

}

∈l₂

olsun. O zaman, Hölder Eşitsizliği denilen,.

2 1 2 1 i i 2 1 2 1 i i 1 i i i y x y x _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∑

∞ = ∞ = ∞ = (1.11) eşitsizliği doğrudur [30,38].

Tanım1.3 (Bessel Eşitsizliği): [a,b] aralığında ortogonal sistem oluşturan

),... t ( ),..., t ( ), t ( ₂ _k 1 ϕ ϕ

ϕ fonksiyonlar sistemi ve karesi ile integrallenebilir

∑

∞ = ϕ = 1 k k k (t) c ) t (

f fonksiyonu verilsin. Burada c_k lar Fourier katsayılarıdır.

(11)

4

∫

∑

∞ ϕ ≤ = b a 2 2 k 1 k 2 k (t) f (t)dt c

eşitsizliği doğrudur [7,15,30,38]. Bizim çalışmamızda ise, [0,π aralığında ortogonal ] sistem oluşturan, ,cos2x,sin2x,...,cos2kx,sin2kx,...

2 1

sistemi için Fourier serisi,

[

]

∑

= + + = n 1 k ck sk 0 _a _cos₂_kx _a _sin₂_kx 2 a ) x (

f şeklinde tanımlı olup,

Bessel eşitsizliği ise,

∫

∑

∞ π = π ≤ + + 0 2 1 k 2 sk 2 ck 2 0 ₍_f _f ₎ 2 _f ₍_x₎_dx 2 f (1.12) şeklindedir. Burada,

∫

π π π ξ ξ ξ π = ξ ξ ξ π = ξ ξ π = 0 sk 0 ck 0 0 d k 2 cos ) ( f 2 f d k 2 cos ) ( f 2 f d ) ( f 2 f dır.

Tanım1.4 (Gronwall Eşitsizliği): a(t), [0,T] aralığında negatif olmayan sürekli fonksiyon, b(t), c(t), [0,T] aralığında negatif olmayan integrallenebilir fonksiyonlar ve f(t) de sınırlı fonksiyon olsun. O zaman,

[

a( )b( ) c( )

]

d f(t) ) t ( a t 0 + τ τ + τ τ ≤

∫

(1.13)

(12)

5

∫

_⎥ τ τ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + τ τ ≤ ≤ ≤ T 0 T 0 T t 0 a(t) c( )d supf(t) exp b( )d max (1.14) eşitsizliği doğrudur [3,9,10,18].

Tanım1.5 (Banach Uzayı): Normlu lineer uzayda lim x_n x 0

n→∞ − = ise, o zaman

{ }

xn

dizisi x e yakınsıyor denir ve limx_n x

n→∞ = olarak yazılır.

Normlu lineer uzay normlu yakınsamaya göre tam olduğunda, ona Banach uzayı denir [30,35,36,38,39].

Tanım1.6 (Lipshitz Koşulu): Herhangi D bölgesinde tanımlı f(x,y) fonksiyonu için, sözü edilen bölgenin her (x,y₁)ve(x,y₂) noktalarında

2 1 2 1) f(x,y ) My y y , x ( f − ≤ −

eşitsizliği sağlanacak şekilde bir M>0 sayısı varsa o zaman f(x,y), D bölgesinde y ye göre Lipshitz koşulunu sağlıyor denir. M Lipshitz katsayısı diye adlandırılır [31]. Tanım1.7 (Picard Ardışık Yaklaşım Methodu): f(x,y) bir B bölgesinde sürekli olsun.

(

x₀,y₀

)

∈ olsun. B

Bilindiği gibi, belli koşullar dahilinde

0 0) y x ( y ) y , x ( f y = = ′ (1.15)

başlangıç değer probleminin çözümü,

ξ ξ ξ + =y

∫

f[ ,y( )]d ) x ( y x x 0 0 (1.16)

(13)

6

integral denklem sisteminin çözümüne denktir. Sözü edilen integral denklemin çözümünün varlığını göstermek için Picard ardışık yaklaşım yöntemi denilen ardışık yaklaşımları

∫

ξ ξ ξ = ∞ + = + x x n 0 1 n 0 , 1 n , d )] ( y , [ f y ) x ( y (1.17)

eşitlikleri ile belirlenen yöntem sıkça kullanılmaktadır [30,31,38].

Teorem 1.8: f(x,y) fonksiyonu D bölgesinde sürekli olup y ye göre Lipshitz koşulunu sağlıyorsa, o zaman y_n₊₁(x) ardışık yaklaşımları x−x₀ ≤a için var, sürekli ve (1.15) probleminin tek çözümüne yakınsar [12,38].

Tanım1.9 (Fourier Serisi ve Fourier Katsayıları):

[a,b] aralığında parçalı sürekli f(x) fonksiyonu, aralığın sonlu sayıda noktası hariç, diğer tüm noktalarda sürekli türeve sahip olup, sözü edilen sonlu sayıda noktada sağ ve sol türevlere sahipse, o zaman ona [a,b] aralığında parçalı pürüzsüz fonksiyon denir.

[-L,L] aralığında tanımlı f(x) fonksiyonunu ve bu aralıkta ortogonal

,... L x k sin , L x k cos ,..., L x sin , L x cos , 2 1 π π π π

sistemini ele alalım.

, d ) ( f L 1 a L L 0

∫

− ξ ξ =

∫

− ξ ξ ξ = L L k _L f( )cosk d , 1 a (1.18)

(14)

7 ) , 1 k ( , d k sin ) ( f L 1 b L L k =

∫

ξ ξ ξ = ∞ − olsun.

(1.18) ile belirlenen a₀,a_k veb_k k = ,1∞ lar için,

∑

∞ = π + π + 1 k k k 0 ₎ L x k sin b L x k cos a ( 2 a

serisine f(x) fonksiyonunun [-L,L] aralığında Fourier serisi denir ve

∑

∞ = π + π + ≈ 1 k k k 0 ₎ L x k sin b L x k cos a ( 2 a ) x ( f (1.19)

şeklinde yazılır. a₀,a_k veb_k k= ,1∞’lara, f(x)’in [-L,L] aralığında Fourier katsayıları denir [7,15,16,27].

Teorem1.10 (Dirichlet): f(x) fonksiyonu

[

−L,L

]

aralığında parçalı pürüzsüz bir fonksiyon ise, f(x)’in sürekli olduğu her noktada onun Fourier serisi yakınsaktır ve

∑

∞ = π + π + = 1 k k k 0 ₎ L x k sin b L x k cos a ( 2 a ) x ( S

toplamı için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

a) f(x) in süreklilik noktalarında f(x)=S(x) (-L<x<L); b) f(x) in süreksizlik noktalarında, ); L x L ( , 2 ) 0 x ( f ) 0 x ( f ) x ( S = + + − − < <

(15)

8 c) Uç noktalarında ise,

S(-L)=S(L)= 2 ) 0 L ( f ) 0 L ( f − + + − değerine eşittir [7,15,27].

f(x), [-L,L] aralığında çift fonksiyon olduğunda, onun Fourier serisi ve Fourier katsayıları, sırasıyla,

∑

∞ = π + ≈ 1 k k 0 _, L x k cos a 2 a ) x ( f , d ) ( f L 2 a L 0 0 =

∫

ξ ξ , ) , 0 k ( , d k cos ) ( f L 2 a L 0 k =

∫

ξ ξ ξ = ∞

tek fonksiyon olduğunda ise,

∑

∞ = π ≈ 1 k k L x k sin b ) x ( f ,

∫

ξ ξ ξ = L 0 k f( )sink d L 2 b , (k=1,∞). biçimini alır [7,15].

Tanım1.11 (Sturm- Liouville Problemi, Özdeğer ve Özvektörler):

(

)

[

]

(1.22) 0 ) b ( y b ) b ( y b (1.21) 0 ) a ( y a ) a ( y a (1.20) 0 ) x ( y ) x ( r ) x ( q ) x ( y ) x ( k 2 1 2 1 = ′ + = ′ + = λ + + ′ ′

(16)

9

sınır değer problemini alalım. Burada k(x)∈C1

[ ]

a,b,q(x),r(x)∈C

[ ]

a,b veλ_keyfi

parametre ve a a2 0

2 2

1 + ≠ , 0b12+b22 ≠ olsun.

(1.20)-(1.22) sınır değer problemine sıfırdan farklı bir çözüm sağlayan λ sayısına, sözü edilen problemin öz değerleri, bunlara uygun çözümlere ise öz fonksiyonları denir. Bu durumda (1.20)-(1.22) problemine özdeğer veya Sturm- Liouville problemi denir [30,32,33,38,41,43,44].

Tanım1.12 (Periyodik Sınır Koşullu Özdeğer Problemi):

(

)

[

]

) b ( y ) a ( y ) b ( y ) a ( y 0 ) x ( y ) x ( r ) x ( q ) x ( y ) x ( k ′ = ′ = = λ + + ′ ′

sınır değer problemine, devirli Sturm- Liouville problemi denir [25].

1.3 Türdeş Isı Transferi Denklemi için Devirli Sınır Koşullu Karışık Problemin Çözümü

{

< < <∞ < <π

}

∈ = −a U 0 (t,x) D 0 t T ,0 x U 2 _xx t (1.23)

[ ]

0,T t ) , t ( U ) 0 , t ( U T , 0 t ) , t ( U ) 0 , t ( U x x = π ∈ ∈ π = (1.24)

[ ]

π ∈ ϕ = (x) x 0, ) x , 0 ( U (1.25)

karışık problemini ele alalım. (1.23)-(1.25) problemine, değişkenlerine ayırma yöntemini, veya diğer bir ifadeyle Fourier yöntemini uygulayalım. Bu nedenle çözümü,

U(t,x)= X(x)T(t)

şeklinde arayıp, X(x) ve T(t) yi belirleyelim.

) t ( T ). x ( X ) x , t ( U_xx = ′′ ve U_t(t,x)=X(x)T′(t) yi

(17)

10 (1.23) de yerlerine yazıp, ) t ( T ) x ( X a ) t ( T ) x ( X _′ ₌ 2 _′′ buradan da, ) x ( X ) x ( X ) t ( T a ) t ( T 2 ′′ = ′ (1.26)

eşitliğini elde ederiz. (1.26) eşitliğinin sol tarafı sadece t ye, sağ tarafı ise sadece x e bağlı olduğundan, sabit olması gerekir. Bu sabite ayırma sabiti denir ve genel olarak

λ − ile gösterilir. λ − = ′′ = ′ ) x ( X ) x ( X ) t ( T a ) t ( T 2 .

Böylece, X(x) ve T(t) yi belirlemek için,

(1.28) ) t ( T a ) t ( T (1.27) ) x ( X ) x ( X 2_λ − = ′ λ − = ′′

olmak üzere, iki tane adi diferansiyel denklem elde ederiz. (1.24) sınır koşullarını göz önüne aldığımızda, ) ( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 ( X π ′ = ′ π =

olur. Böylece, X(x) için, ) , 0 ( x , 0 ) x ( X ) x ( X′′ +λ = ∈ π ) ( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 ( X π ′ = ′ π =

(18)

11 Bu problemin özdeğer ve özfonksiyonları

∞ = + = = λ = = λ , 1 k , kx 2 sin C kx 2 cos C ) x ( X , ) k 2 ( 2 1 ) x ( X , 0 k 2 k 1 k 2 k 0 0

şeklinde bulunur. Şimdi (1.28) denkleminde λ yerine λ_k alıp, çözüm yapalım:

⇒ λ − = ′ ⇒ = λ + ′ 2 _k k k k k 2 k a ) t ( T ) t ( T 0 ) t ( T a ) t ( T ) , 0 k ( e c ) t ( T Inc t a ) t ( T In at k k k 2 k k 2 k = ∞ = ⇒ + λ − = −λ _. Böylece U_k(t,x)=X_k(x).T_k(t), yani, ) , 1 k ( , e ) kx 2 sin B kx 2 cos A ( ) x , t ( U , 2 c ) x , t ( U (2ak) t sk ck k 0 0 2 ∞ = + = = −

çözümlerini bulmuş oluruz. Denklem, doğrusal ve türdeş olduğundan, bulunan çözümlerin toplamı da çözümdür. Yani,

∑

∞ = − + + = 1 k t ) ak 2 ( sk ck 0 ₍_A _cos₂_kx _B _sin₂_kx₎_e 2 2 c ) x , t ( U (1.29) dır.

(1.29) eşitliğinin içerdiği belirsiz katsayıları belirlemek için (1.25) başlangıç koşulunu kullanırsak,

∑

∞ = + + = ϕ 1 k sk ck 0 ₍_A _cos₂_kx _B _sin₂_kx₎ 2 c ) x ( (1.30)

trigonometrik serisini elde ederiz. Eşitliğin her iki tarafını sırayla 1, cos2nx, sin2nx (n∈ N+) ile çarpıp sözü edilen katsayıları,

(19)

12 ) , 1 k ( d k 2 sin ) ( 2 B d k 2 cos ) ( 2 A d ) ( 2 c 0 sk ck 0 ck ck 0 0 0 ∞ = ξ ξ ξ ϕ π = ϕ = ξ ξ ξ ϕ π = ϕ = ξ ξ ϕ π = ϕ =

∫

π π π

olarak buluruz. Böylece, (1.23)-(1.25) probleminin çözümünü biçimsel olarak,

∑

∞ = − ϕ + ϕ + ϕ = 1 k t ) ak 2 ( sk ck 0 2 e ) kx 2 sin kx 2 cos ( 2 ) x , t ( U (1.31) şeklinde buluruz.

Katsayılarının ifadelerini göz önüne alıp, çözümü aşağıdaki şekle dönüştürelim.

∫

∑

∫

∞ π − = π ξ ξ + ξ ξ ϕ π + ξ ξ ϕ π = 0 t ) ak 2 ( 1 k 0 2 e d ] kx 2 sin k 2 sin kx 2 cos k 2 )[cos ( 2 d ) ( 1 ) x , t ( U ξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ξ − + π = ξ ξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ ₋_ξ ξ ϕ π =

∑

∫

∞ = − ∞ = − π d ) x ( k 2 cos e 2 1 2 ) , x , t ( G d ) x ( k 2 cos e 2 1 ) ( 2 ) x , t ( U 1 k t ) ak 2 ( 1 k t ) ak 2 ( 0 2 2

kabul edersek, ele alınan problemin çözümünün,

∫

π ξ ϕ ξ ξ = 0 d ) ( ) , x , t ( G ) x , t ( U

biçimini elde ederiz. ) , x , t (

(20)

13

2. YARI DOĞRUSAL PARABOLİK DENKLEMLERİN GENELLEŞMİŞ ÇÖZÜMÜNÜN VARLIĞI VE TEKLİĞİNİN İNCELENMESİ

2.1 Çözümün Aranması

Yarı doğrusal parabolik denklem için, devirli sınır koşullu

{

< < <∞ < <π

}

∈ = −a u f(t,x,u) (t,x) D 0 t T ,0 x u 2 _xx t (2.1)

[ ]

0,T t ) , t ( u ) 0 , t ( u T , 0 t ) , t ( u ) 0 , t ( u x x = π ∈ ∈ π = (2.2)

[ ]

π ∈ ϕ = (x) x 0, ) x , 0 ( u (2.3) karışık problemi ele alınsın. Burada, ϕ(x),

[ ]

0,π üzerinde, f(t,x,u) ise D×(−∞,∞) üzerinde tanımlı fonksiyonlardır. Ayrıca )ϕ(x , )ϕ(0)=ϕ(π , )ϕ′(0)=ϕ′(π uyum koşullarını sağlar.

Tanım 2.1: D de t ye göre birinci, x e göre ikinci mertebeden sürekli kısmi türevlere sahip, v(t,x) fonksiyonu,

0 ) x , T ( v ) , t ( v ) 0 , t ( v ) , t ( v ) 0 , t ( v x x = π = π =

koşullarını sağlıyorsa, ona test fonksiyonu denir [13,14,29,37]. Tanım 2.2: Her v(t,x) test fonksiyonu için,

∫∫

π _⎥ +

∫

πϕ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ T 0 0 0 2 2 2 _u _f₍_t_,_x_,_u₎_v _dxdt ₍_x₎_v₍₀_,_x₎_dx x v a t v =0 (2.4)

(21)

14

integral eşitliğini sağlayan u(t,x)∈C(D) fonksiyonuna, (2.1)-(2.3) karışık probleminin genelleşmiş çözümü denir.

Teorem2.3: )ϕ(x fonksiyonu

[ ]

0,π aralığında Dirichlet teoreminin koşullarını,

f(t,x,u) fonksiyonu D×(−∞,∞)bölgesinde değişkenlerine göre sürekli olup her

( )

t,x ∈D için v u ) x , t ( b ) v , x , t ( f ) u , x , t ( f − ≤ −

Lipschitz koşulunu ( burada b(t,x)≥0,b(t,x)∈L₂(D)dir.) sağlıyorsa,

O zaman (2.1)-(2.3) probleminin D bölgesinde genelleşmiş çözümü var ve tektir. Bu teoremi ispatlamak için çözümü,

] kx 2 sin ) t ( u kx 2 cos ) t ( u [ 2 ) t ( u ) x , t ( u _ck _sk 1 k 0 ₊_∑ ₊ = ∞ = (2.5)

Fourier serisi şeklinde arayıp, u₀(t),u_ck(t),u_sk(t) (k=1,∞) bilinmeyenleri için

τ ξ ξ τ + ξ τ + τ ξ τ π + ϕ =

∫∫

π

∑

∞ = d d ) ] k 2 sin ) ( u k 2 cos ) ( u [ 2 ) ( u , , ( f 2 ) t ( u t 0 0 k 1 sk ck 0 0 0 , , d d k 2 cos ) ] k 2 sin ) ( u k 2 cos ) ( u [ 2 ) ( u , , ( f e 2 e ) t ( u t 0 0 k 1 sk ck 0 ) t ( ) ak 2 ( t ) ak 2 ( ck ck 2 2 τ ξ ξ ξ τ + ξ τ + τ ξ τ π + ϕ =

∫∫

π − −τ

∑

∞₌ − (2.6) τ ξ ξ ξ τ + ξ τ + τ ξ τ π + ϕ =

∫∫

π

∑

∞ = τ − − − d d k 2 sin ) ] k 2 sin ) ( u k 2 cos ) ( u [ 2 ) ( u , , ( f e 2 e ) t ( u t 0 0 k 1 sk ck 0 ) t ( ) ak 2 ( t ) ak 2 ( ck sk 2 2

(22)

15 ) , 1 k ( d k 2 sin ) ( 2 , d k 2 cos ) ( 2 , d ) ( 2 0 sk 0 ck 0 0 ∞ = ξ ξ ξ ϕ π = ϕ ξ ξ ξ ϕ π = ϕ ξ ξ ϕ π = ϕ

∫

π π π

dır. Elde edilen sonsuz integral denklem sistemini incelemek için,

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ,u (t),u (t),...,u (t),u (t),... 2 ) t ( u ) t ( u 0 _c₁ _s₁ _ck _sk dizi elemanlarının, ∞ < + + ≤ ≤ ∞ = ≤≤ ≤ ≤ 2

∑

[maxu (t) maxu (t)] ) t ( u max _sk T t 0 1 k 0 t T ck 0 T t 0

koşulunu sağlayanlarını B ile gösterip, bu kümede,

] ) t ( u max ) t ( u max [ 2 ) t ( u max ) t ( u _sk T t 0 1 k ck T t 0 0 T t 0 ≤≤ ∞ = ≤≤ ≤ ≤ + + =

∑

şeklinde norm tanımlandığında, Banach uzayı elde edilir.

Lemma 2.4: Teorem 2.3 ün koşulları sağlanıyorsa, B uzayında (2.6) sisteminin çözümü vardır.

İspat: B uzayında (2.6) sistemini incelemek için, aşağıdaki şekilde ardışık yaklaşımlar oluşturulsun:

(23)

16 , d d ) ] k 2 sin ) ( u k 2 cos ) ( u [ 2 ) ( u , , ( f 2 ) t ( u ) t ( u t 0 0 k 1 ) N ( sk ) N ( ck ) N ( 0 ) 0 ( 0 ) 1 N ( 0 τ ξ ξ τ + ξ τ + τ ξ τ π + =

∫∫

π

∑

∞ = + , d d k 2 cos ) ] k 2 sin ) ( u k 2 cos ) ( u [ 2 ) ( u , , ( f e 2 ) 7 . 2 ( ) t ( u ) t ( u t 0 0 k 1 ) N ( sk ) N ( ck ) N ( 0 ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( ck ) 1 N ( ck 2 τ ξ ξ ξ τ + ξ τ + τ ξ τ π + =

∫∫

π − −τ

∑

∞₌ + . d d k 2 sin ) ] k 2 sin ) ( u k 2 cos ) ( u [ 2 ) ( u , , ( f e 2 ) t ( u ) t ( u t 0 0 k 1 ) N ( sk ) N ( ck ) N ( 0 ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( sk ) 1 N ( sk 2 τ ξ ξ ξ τ + ξ τ + τ ξ τ π + =

∫∫

π − −τ

∑

∞₌ + Burada, ) , 1 k ( e ) t ( u , e ) t ( u , ) t ( u t ) ak 2 ( sk ) 0 ( sk t ) ak 2 ( ck ) 0 ( ck 0 ) 0 ( 0 2 2 ∞ = ϕ = ϕ = ϕ = − − kabul edilmiştir. Yazımın basitliği için,

∑

∞ = ξ τ + ξ τ + τ = ξ τ 1 k ) N ( sk ) N ( ck ) N ( 0 ) N ( _[_u ₍ ₎_cos₂_k _u ₍ ₎_sin₂_k _] 2 ) ( u ) , ( Au

kabul edilirse, (2.7) sistemi,

τ ξ ξ τ ξ τ π + =

∫∫

π + ₍_t₎ _u ₍_t₎ 2 _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_d _d u t 0 0 ) N ( ) 0 ( 0 ) 1 N ( 0

(24)

17 τ ξ ξ ξ τ ξ τ π + =

∫∫

π τ − − + _u ₍_t₎ 2 _e _f_[ _, _,_Au ₍ _, ₎_]_cos₂_k _d _d u t 0 0 ) N ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( ck ) 1 N ( ck 2 (2.8) τ ξ ξ ξ τ ξ τ π + =

∫∫

π − −τ + _u ₍_t₎ 2 _e _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_sin₂_k _d _d u t 0 0 ) N ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( sk ) 1 N ( sk 2 şeklini alır. Önce her N için,

∞ 〈 + +

∑

∞ = ≤≤ ≤≤ ≤ ≤ 1 k ) N ( sk T t 0 ) N ( ck T t 0 ) N ( 0 T t 0 2 [maxu (t) maxu (t)] ) t ( u max

olduğunu göstermek gerekir. Teorem2.3 ün koşullarına göre,

∞ < + + = ≤ ≤ ∞ = ≤≤ ≤ ≤ ₂

∑

[maxu (t) maxu (t)] ) t ( u max ) t ( u (0) sk T t 0 1 k ) 0 ( ck T t 0 ) 0 ( 0 T t 0 ) 0 ( olduğu açıktır. τ ξ ξ τ ξ τ π + =u (t) 2

_∫∫

πf[ , ,Au ( , )]d d ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) 0 ( 0 ) 1 ( 0

eşitliği aşağıdaki şekilde dönüştürülür:

{

f[ , ,Au ( , )] f( , ,0)

}

d d 2 f( , ,0)d d . 2 ) t ( u t 0 0 t 0 0 ) 0 ( 0 ) 1 ( 0

∫∫

π π τ ξ ξ τ π + τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ϕ =

Her tarafın mutlak değerini alıp, sağ taraftaki integrallere Caucy eşitsizliği uygulanırsa,

(25)

18

{

}

2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 t 0 0 ) 1 ( 0 d d ) 0 , , ( f 2 d d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 d ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ϕ ≤

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

π π veya

{

}

2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 0 ) 1 ( 0 d d ) 0 , , ( f 2 t d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 t ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫ ∫

π π

olur. Sağ taraftaki birinci integral içindeki ifadeye Lipshitzs koşulunu uygulayıp, elde edilen, 2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 0 ) 1 ( 0 d d ) 0 , , ( f 2 t d d ) , ( Au ) , ( b 2 t ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫ ∫

π π

eşitsizliğinin sağ tarafındaki ][0,π aralığındaki integrallere yeniden Cauchy eşitsizliği uygulanırsa, 2 1 t 0 0 2 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( 2 0 ) 1 ( 0 d d ) 0 , , ( f t 2 d d ) , ( Au ) , ( b t 2 ) t ( u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫∫

∫ ∫

π π

(26)

19

olur. Burada Au(0)(_τ,_ξ) _≤ u(0)(_τ)_{olduğu dikkate alınırsa,}

2 1 t 0 0 2 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( 2 0 ) 1 ( 0 d d ) 0 , , ( f t 2 ) ( u ) , ( b t 2 ) t ( u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫∫

π π olur.

Her tarafın maksimumu alınırsa,

) D ( L ) 0 ( ) D ( L 0 (1) 0 T t 0 2 f(t, ,0) 2 T 2 ) t ( u ) , t ( b T 2 ) t ( u max ξ π + ξ π + ϕ ≤ ≤ ≤ elde edilir. Benzer olarak, τ ξ ξ ξ τ ξ τ π + =_u ₍_t₎ 2

_∫

_e− −τ

_∫

π_f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_cos₂_k _d _d ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( ck ) 1 ( ck 2 eşitliğini,

{

}

d d k 2 cos ) 0 , , ( f e 2 d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f e 2 e ) t ( u t 0 0 ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( ) t ( ) ak 2 ( ck ) 1 ( ck 2 2 2

∫

π τ − − π τ − − τ − − τ ξ ξ ξ τ π + τ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ϕ =

şeklinde dönüştürüp, her iki tarafının mutlak değerini aldıktan sonra, sağ taraftaki integrallere Cauchy eşitsizliği uygulanırsa,

(27)

20

{

}

2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 ck ) 1 ( ck d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 d e d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 d e ) t ( u 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ϕ ≤

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

π τ − − π τ − −

olur. Her tarafın k’ya göre (k=1,∞) toplamını alıp Hölder eşitsizliği kullanılırsa,

{

}

2 1 t 0 k 1 2 0 2 1 1 k 2 2 1 t 0 k 1 2 0 ) 0 ( 2 1 1 k 2 1 k ck 1 k ) 1 ( ck d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ϕ ≤

∫∑ ∫

∑

∫∑ ∫

∑

∞ = π ∞ = ∞ = π ∞ = ∞ = ∞ =

olur. Son eşitsizliğe Bessel eşitsizliği,

{

}

, d d ) 0 , , ( f 2 a 3 4 d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 a 3 4 ) t ( u 2 1 t 0 0 2 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( 1 k ck 1 k ) 1 ( ck ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π π + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ϕ ≤

∫ ∫

∑

π π ∞ = ∞ =

daha sonra da Lipsthitz koşulu uygulanırsa,

2 1 t 0 0 2 2 1 1 k t 0 0 2 ) 0 ( 2 1 k ck ) 1 ( ck f ( , ,0)d d a 3 4 2 d d ) , ( Au ) , ( b a 3 4 2 ) t ( u _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

_∫∫

∑

∞

∑

∫∫

π = π ∞ =

olur. Burada, Au(0)(_τ,_ξ) _≤ u(0)(_τ) _{olduğu göz önüne alınıp, t ye göre maksimuma} geçilirse,

(28)

21 ) D ( L ) 0 ( ) D ( L 1 k k 1 ck ) 1 ( ck T t 0 2 4 3a f(t,x,0) 2 2 ) t ( u ) x , t ( b a 3 4 2 ) t ( u max ≤ ϕ + π + π

∑

∞

∑

= ∞ = ≤ ≤

olur. Benzer işlemler

τ ξ ξ ξ τ ξ τ π + =_u ₍_t₎ 2

∫

_e− −τ

∫

π_f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_sin₂_k _d _d ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( sk ) 1 ( sk 2 eşitliğine uygulandığında, ) D ( L ) 0 ( ) D ( L 1 k k 1 sk ) 1 ( sk T t 0 2 4 3a f(t,x,0) 2 2 ) t ( u ) x , t ( b a 3 4 2 ) t ( u max ≤ ϕ + π + π

∑

∞

∑

= ∞ = ≤ ≤ olur.

Elde edilen eşitsizlikleri taraf tarafa toplandığında,

(

L (D)

)

) 0 ( ) D ( L sk 1 k ck 0 1 k ) 1 ( sk T t 0 ) 1 ( ck T t 0 ) 1 ( 0 T t 0 ) 1 ( 2 2 u (t) f(t,x,0) ) x , t ( b a 3 2 2 T 2 ) t ( u max ) t ( u max 2 ) t ( u max ) t ( u + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ π π + ϕ + ϕ + ϕ ≤ + + =

∑

∞ = ∞ = ≤≤ ≤≤ ≤ ≤

olur.Teorem2.3 ün koşullarına göre, eşitliğin sağ tarafının sınırlı olduğu açıktır, yani,

∞ 〈 ) t ( u(1) dır.

Şimdi benzer işlemler ikinci yaklaşımlar için yapılsın:

τ ξ ξ τ ξ τ π + =u (t) 2

_∫∫

πf[ , ,Au ( , )]d d ) t ( u t 0 0 ) 1 ( ) 0 ( 0 ) 2 ( 0

(29)

22 eşitliğini,

{

}

_∫∫

∫∫

π τ ξ τ ξ − τ ξ ξ τ+ π τ ξ ξ τ π + ϕ = t 0 0 t 0 0 ) 1 ( 0 ) 2 ( 0 f[ , ,Au ( , )] f( , ,0)d d f( , ,0)d d 2 ) t ( u

şeklinde dönüştürüp, her tarafın mutlak değerini aldıktan sonra sağ taraftaki integrallere, Caucy Eşitsizliği uygulanırsa,

{

}

, d d ) 0 , , ( f 2 d d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 d ) t ( u 2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 1 t 0 2 0 ) 1 ( 2 1 t 0 0 ) 2 ( 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ϕ ≤

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

π π

{

}

2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 0 ) 1 ( 0 ) 2 ( 0 d d ) 0 , , ( f 2 t d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 t ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫ ∫

π π eşitsizliği bulunur.

Sonra sağ taraftaki integral içindeki farka Lipshitzs koşulu uygulanırsa,

2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 0 ) 1 ( 0 ) 2 ( 0 d d ) 0 , , ( f 2 t d d ) , ( Au ) , ( b 2 t ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫ ∫

π π

elde edilir. Sağ taraftaki [0,π aralığındaki integrallere Cauchy eşitsizliği ] uygulanırsa,

(30)

23 2 1 t 0 0 2 2 1 t 0 0 2 ) 1 ( 2 0 ) 2 ( 0 d d ) 0 , , ( f t 2 d d ) , ( Au ) , ( b t 2 ) t ( u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫∫

∫ ∫

π π

olur. Burada, Au(1)(_τ,_ξ) _≤ u(1)(_τ) _{olduğu dikkate alınırsa,}

2 1 t 0 0 2 2 1 t 0 0 2 ) 1 ( 2 0 ) 2 ( 0 f ( , ,0)d d t 2 ) ( u ) , ( b t 2 ) t ( u _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ τ π + ϕ ≤

_∫∫

π

_∫∫

π

olur. Her tarafın t ye göre maksimumu alındığında;

) D ( L ) 1 ( ) D ( L 0 (2) 0 T t 0 2 f( , ,0) 2 T 2 ) t ( u ) , ( b T 2 ) t ( u max τ ξ π + ξ τ π + ϕ ≤ ≤ ≤ elde edilir. Yeniden, τ ξ ξ ξ τ ξ τ π + =_u ₍_t₎ 2

_∫

_e− −τ

_∫

π_f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_cos₂_k _d _d ) t ( u t 0 0 ) 1 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( ck ) 2 ( ck 2 eşitliğini

{

}

d d k 2 cos ) 0 , , ( f e 2 d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f e 2 e ) t ( u t 0 0 ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 1 ( ) t ( ) ak 2 ( ) t ( ) ak 2 ( ck ) 2 ( ck 2 2 2

∫

π τ − − π τ − − τ − − τ ξ ξ ξ τ π + τ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ϕ =

şekline dönüştürüp, her tarafın mutlak değerini aldıktan sonra, sağ taraftaki integrallere Cauchy eşitsizliği uygulanırsa,

(31)

24

{

}

2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 2 1 t 0 2 0 ) 1 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 ck ) 2 ( ck d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 d e d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 d e ) t ( u 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ϕ ≤

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

π τ − − π τ − − veya

{

}

2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 0 ) 1 ( ck ) 2 ( ck d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 ak 2 2 1 d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 ak 2 2 1 ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫ ∫

π π

olur. Her tarafın k’ya göre (k=1,∞) toplamını alıp Hölder eşitsizliği uygulanırsa,

{

}

2 1 t 0k 1 2 0 2 1 1 k 2 2 1 t 0k 1 2 0 ) 1 ( 2 1 1 k 2 1 k ck 1 k ) 2 ( ck d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 ) t ( u ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ϕ ≤

∫ ∑ ∫

∑

∫ ∑ ∫

∑

∞ = π ∞ = ∞ = π ∞ = ∞ = ∞ =

olur. Son eşitsizliğin sağ tarafında,

6 ) k 1 ( 2 1 1 k 2 π =

∑

∞ =

olduğu göz önüne alınıp, Bessel eşitsizliği uygulanırsa,

bulunur. Burada, Lipsthitz koşulu kullanılırsa,

{

}

2 1 t 0 0 2 2 1 t 0 0 2 ) 1 ( 1 k ck 1 k ) 2 ( ck d d ) 0 , , ( f 2 a 3 4 d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 a 3 4 ) t ( u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π π + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ϕ ≤

∫ ∫

∑

π π ∞ = ∞ =

(32)

25 2 1 t 0 0 2 2 1 1 k t 0 0 2 ) 1 ( 2 1 k ck ) 2 ( ck f ( , ,0)d d a 3 4 2 d d ) , ( Au ) , ( b a 3 4 2 ) t ( u _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ ξ τ π + ϕ ≤

∫∫

∑

∞

∑

∫∫

π = π ∞ =

olur. Burada, Au(1)(_τ,_ξ) _≤ u(1)(_τ) _{olduğunu göz önüne alınıp, maximuma geçilirse,}

) D ( L ) 1 ( ) D ( L 1 k k 1 ck ) 2 ( ck T t 0 2 4 3a f(t,x,0) 2 2 ) t ( u ) x , t ( b a 3 4 2 ) t ( u max ≤ ϕ + π + π

∑

∞

∑

= ∞ = ≤ ≤ elde edilir. Benzer olarak, τ ξ ξ τ ξ τ π + =_u ₍_t₎ 2

_∫

_e− −τ

_∫

π_f_[ _, _,_u ₍ _)]_sin₂_k _d _d ) t ( u t 0 0 ) 1 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( sk ) 2 ( sk 2

eşitliğine yukarıdaki işlemler uygulanırsa,

) D ( L ) 1 ( ) D ( L 1 k k 1 sk ) 2 ( sk T t 0 2 4 3a f(t,x,0) 2 2 ) t ( u ) x , t ( b a 3 4 2 ) t ( u max ≤ ϕ + π + π

∑

∞

∑

= ∞ = ≤ ≤

olur. Elde edilen eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa,

(

(1) _L ₍_D₎

)

) D ( L sk 1 k ck 0 1 k ) 2 ( sk T t 0 ) 2 ( ck T t 0 ) 2 ( 0 T t 0 ) 2 ( 2 2 u (t) f(t,x,0) ) x , t ( b a 3 2 2 T ) ( 2 ) t ( u max ) t ( u max 2 ) t ( u max ) t ( u + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ π π + ϕ + ϕ + ϕ ≤ + + =

∑

∞ = ∞ = ≤≤ ≤≤ ≤ ≤

olur. Teorem2.3 ün koşullarına göre eşitliğin sağ tarafının sınırlı olduğu açıktır, yani,

∞ 〈 ) t ( u(2)

(33)

26 dır.

Buradan, tümevarım yöntemi ile

(

L (D)

)

) N ( ) D ( L sk 1 k ck 0 1 k ) 1 N ( sk T t 0 ) 1 N ( ck T t 0 ) 1 N ( 0 T t 0 ) 1 N ( 2 2 u (t) f(t,x,0) ) x , t ( b a 3 2 2 T ) ( 2 ] ) t ( u max ) t ( u max [ 2 ) t ( u max ) t ( u + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _π + π + ϕ + ϕ + ϕ ≤ + + =

∑

∞ = ∞ = + ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ +

yazılabilir. Teorem2.3 ün koşullarına göre eşitliğin sağ tarafı sınırlıdır, yani,

∞ 〈

+ ₍_t₎

u(N 1)

dır.

Demek ki ardışık yaklaşımlar B uzayındadır, yani,

{

}

,u (t),u (t),...,u (t),u (t),... B 2 ) t ( u ) t ( u (N1) sn ) 1 N ( cn ) 1 N ( 1 s ) 1 N ( 1 c ) 1 N ( 0 ) 1 N ( _∈ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + + + + + +

dır. Böylece Lemma 2.4 ispatlanmış olur.

2.2 Ardışık Yaklaşımların Yakınsaklığı

Lemma 2.5: Teorem 2.3 ün koşulları sağlandığında, (2.8) ile tanımlanan ardışık yaklaşımları B uzayında yakınsaktır.

İspat: (2.8) ile belirlenen sisteme ardışık yaklaşımların yakınsaklığını incelemek için, aşağıdaki farklar değerlendirilir:

τ ξ ξ τ ξ τ π = −u (t) 2

_∫∫

πf[ , ,Au ( , )]d d ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) 0 ( 0 ) 1 ( 0 ,

(34)

27 τ ξ ξ ξ τ ξ τ π = −

∫

π τ − − _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_cos₂_k _d _d e 2 ) t ( u ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( ck ) 1 ( ck 2 , τ ξ ξ ξ τ ξ τ π = −_u ₍_t₎ 2

∫

_e− −τ

∫

π_f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_sin₂_k _d _d ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 0 ( sk ) 1 ( sk 2

Bu farklar aşağıdaki gibi yazılırsa,

≤ τ ξ ξ ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ τ ξ τ π ≤ − + − + − = −

∑ ∫∫

∫∫

∑

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π ∞ = 1 k t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( 1 k t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 0 ( 1 k ) 0 ( sk ) 1 ( sk ) 0 ( ck ) 1 ( ck ) 0 ( 0 ) 1 ( 0 ) 0 ( ) 1 ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f e 2 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f e 2 d d )] , ( Au , , [ f 2 2 1 ] ) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t ( u [ 2 ) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t ( u 2 2

{

}

{

}

{

τ ξ τ ξ − τ ξ

}

ξ ξ τ + π + τ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤

∑ ∫∫

∫∫

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π 1 k t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( 1 k t 0 0 ) 0 ( ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 0 ( d d k 2 sin ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f e 2 d d k 2 cos ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f e 2 d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 2 1 2 2

∑ ∫∫

∫∫

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π τ ξ ξ ξ τ π + τ ξ ξ ξ τ π + τ ξ ξ τ π 1 k t 0 0 ) t ( ) ak 2 ( 1 k t 0 0 ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 d d k 2 sin ) 0 , , ( f e 2 d d k 2 cos ) 0 , , ( f e 2 d d ) 0 , , ( f 2 2 1 2 2

elde edilir. Sağ taraftaki integrallere Cauchy eşitsizliğini uyguladıktan sonra, t ye göre integralleme yapıp, gereken sadeleştirmeler yapılırsa,

(35)

28

∑

∫

∫ ∫

∑

∫

∫ ∫

∫

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ≤ − 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 t 0 ) 0 ( ) 1 ( d d k 2 sin )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 d e d d k 2 cos )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 d e d d )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 d 2 1 ) t ( u ) t ( u 2 2 , d d k 2 sin ) 0 , , ( f 2 d e d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 d e d d ) 0 , , ( f 2 d 2 1 1 k 2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 1 k 2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 2

∑

∫

∫ ∫

∑

∫

∫ ∫

∫

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ yani,

∑ ∫ ∫

∫ ∫

∞ = π ∞ = π π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ − 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( d d k 2 sin )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 k 1 a 2 2 1 d d )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 T 2 1 ) t ( u ) t ( u

(36)

29

∑ ∫ ∫

∫ ∫

∞ = π ∞ = π π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π 1 k 2 1 t 0 2 0 1 k 2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 2 0 d d k 2 sin ) 0 , , ( f 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 k 1 a 2 2 1 d d ) 0 , , ( f 2 T 2 1 olur.

Sağ taraftaki sonsuz toplamlara Hölder eşitsizliği uygulanıp,

6 k 1 2 1 1 k 2 π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∑

∞ = olduğu göz önüne alınırsa, ≤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ −

∑∫ ∫

∫ ∫

∞ = π ∞ = π π 2 1 1 k t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 1 k t 0 2 0 ) 0 ( 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( d d k 2 sin )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 a 3 4 d d k 2 cos )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 a 3 4 d d )) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f ( 2 T 2 1 ) t ( u ) t ( u 2 1 1 k t 0 2 0 2 1 1 k t 0 2 0 2 1 t 0 2 0 d d k 2 sin ) 0 , , ( f 2 a 3 4 d d k 2 cos ) 0 , , ( f 2 a 3 4 d d ) 0 , , ( f 2 T 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ π π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ π

∑∫ ∫

∫ ∫

∞ = π ∞ = π π

olur. Sağ taraftaki sonsuz toplamlarda, toplamla t ye göre integralin değiştirilebildiği kabul edilip, Bessel eşitsizliği uygulanırsa,

(37)

30

{

}

2 1 t 0 0 2 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( d d ) 0 , , ( f 2 ) a 3 4 a 3 4 T 2 1 ( d d ) 0 , , ( f )] , ( Au , , [ f 2 ) a 3 4 a 3 4 T 2 1 ( ) t ( u ) t ( u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π π + π + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + π + ≤ −

∫ ∫

π π

olur. Sonuca Lipsthitz koşulu uygulandığında ise,

2 1 t 0 0 2 ) 0 ( 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( ) 1 ( d d ) 0 , , ( f 6 a T 3 a ) t ( u d d ) , ( b 6 a T 3 a ) t ( u ) t ( u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π π + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π π + ≤ −

∫ ∫

π π olur. ) D ( L ) 0 ( ) D ( L T 2 2 ) 0 , x , t ( f 6 a T 3 a ) t ( u ) x , t ( b 6 a T 3 a A π π + + π π + =

olarak kabul edilirse, Teorem2.3 ün koşullarına göre A_T bir sayıdır denilebilir. Bu yüzden de, son eşitsizlik,

T ) 0 ( ) 1 ( A ) t ( u ) t ( u − ≤

şeklinde yazılabilir. Burada A_T, sınırlı bir ifadedir. Yeniden,

{

τ ξ τ ξ − τ ξ τ ξ

}

ξ τ π = −u (t) 2

∫∫

π f[ , ,Au ( , )] f[ , ,Au ( , )] d d ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 2 ( 0 ,

(38)

31

{

f[ , ,Au ( , )] f[ , ,Au ( , )]

}

cos2k d d , e 2 ) t ( u ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) 1 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 1 ( ck ) 2 ( ck 2 τ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π = −

∫

− −τ

∫

π

{

}

ξ ξ τ π = −

∫

_e− −τ

∫

π _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)] _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)] _sin₂_k _d _d 2 ) t ( u ) t ( u t 0 0 ) 0 ( ) 1 ( ) t ( ) ak 2 ( ) 1 ( sk ) 2 ( sk 2

farkları yazılıp, art arda değerlendirilirse,

{

}

{

}

{

f[ , ,Au ( , )] f[ , ,Au ( , )]

}

sin2k d d . e 2 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f e 2 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 2 1 ] ) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t ( u [ 2 ) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t ( u 1 k t 0 0 ) 0 ( ) 1 ( ) t ( ) ak 2 ( 1 k t 0 0 ) 0 ( ) 1 ( ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 0 ( ) 1 ( 1 k ) 1 ( sk ) 2 ( sk ) 1 ( ck ) 2 ( ck ) 1 ( 0 ) 2 ( 0 ) 1 ( ) 2 ( 2 2

∑ ∫∫

∫∫

∑

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π ∞ = τ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ − + − + − = −

olur. Sağ taraftaki integrallere Caucy eşitsizliği uygulanıp, gereken işlemler yapılırsa,

{

}

{

}

{

}

∑

∫

∫ ∫

∑

∫

∫ ∫

∫

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ≤ − 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 ) 1 ( ) 2 ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 d e d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 d e d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 d 2 1 ) t ( u ) t ( u 2 2

(39)

32

{

}

{

}

{

}

∑

∫ ∫

∑

∫ ∫

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ − 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 e ) ak 2 ( 2 1 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 e ) ak 2 ( 2 1 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 ) t ( u ) t ( u 2 2

{

}

{

}

{

}

∑ ∫ ∫

∫ ∫

∞ = π ∞ = π π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ − 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 1 k 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 ) t ( u ) t ( u

olur. Sağ taraftaki ikinci ve üçüncü toplamlara Hölder eşitsizliğini uyguladığında ise,

{

}

{

}

{

}

2 1 1 k t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 1 k 2 2 1 1 k t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 1 k 2 2 1 t 0 2 0 ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 ) t ( u ) t ( u ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ −

∑∫ ∫

∑

∑∫ ∫

∑

∫ ∫

∞ = π ∞ = ∞ = π ∞ = π

elde edilir. Sağ taraftaki sonsuz toplamlarda, Teorem2.3 ün koşullarına göre toplamla t ye göre integralin yerlerinin değiştirilebildiği göz önüne alınıp, Bessel eşitsizliği uygulanırsa,

(40)

33

{

}

{

}

{

}

2 1 t 0 0 2 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 a 3 4 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 a 3 4 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 ) t ( u ) t ( u ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ −

∫ ∫

π π π olur.

Sağ taraftaki integraller içindeki farklara Lipsthitz koşulu uygulanırsa,

[

]

_⎟⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ≤ −

∫ ∫

π 2 1 t 0 0 2 ) 0 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( d d ) , ( Au ) , ( Au ) , ( b 2 ) a 3 2 T 2 1 ( ) t ( u ) t ( u ≤ ξ τ − ξ τ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _π + ≤ ≤ π

∫∫

b ( , )d d maxAu ( , ) Au ( , ) 2 a 3 2 2 T (1) (0) T t 0 2 1 t 0 0 2 ≤ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _π + ≤ ≤ π

∫∫

b ( , )d d maxu (t) u (t) 2 a 3 2 2 T (1) (0) T t 0 2 1 t 0 0 2 T 2 1 t 0 0 2₍ _, ₎_d _d _A b 2 a 3 2 2 T ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π +

∫∫

π , yani, T 2 1 t 0 0 2 T 2 1 t 0 0 2 ) 1 ( ) 2 ( A d d ) , ( b 6 a T 3 a A d d ) , ( b 2 a 3 2 2 T ) t ( u ) t ( u ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π π + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ π ≤ −

∫∫

π π

(41)

34 bulunur. Yeniden,

{

}

ξ τ π = −u (t) 2

∫∫

π f[ , ,Au ( , )] f[ , ,Au ( , )] d d ) t ( u t 0 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 0 ) 3 ( 0

{

}

ξ ξ τ π = − τ − − π

∫∫

f[ , ,Au ( , )] f[ , ,Au ( , )]cos2k e d d 2 ) t ( u ) t ( u ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ck ) 3 ( ck 2

{

}

ξ ξ τ π = − τ − − π

∫∫

f[ , ,Au ( , )] f[ , ,Au ( , )]sin2k e d d 2 ) t ( u ) t ( u ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( sk ) 3 ( sk 2

farkları yazılıp, benzer yolla

{

}

{

}

{

}

∑ ∫∫

∫∫

∑

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π ∞ = τ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ − + − + − = − 1 k t 0 0 ) 1 ( ) 2 ( ) t ( ) ak 2 ( 1 k t 0 0 ) 1 ( ) 2 ( ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) 1 ( ) 2 ( 1 k ) 2 ( sk ) 3 ( sk ) 2 ( ck ) 3 ( ck ) 2 ( 0 ) 3 ( 0 ) 2 ( ) 3 ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f e 2 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f e 2 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 2 1 ] ) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t ( u [ 2 ) t ( u ) t ( u ) t ( u ) t ( u 2 2

eşitsizliği elde edilir. Burada da, yukarıdakilere benzer işlemler yapıldığında,

[

]

_⎟⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ≤ −

_{∫ ∫}

π 2 1 t 0 0 2 ) 1 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( d d ) , ( Au ) , ( Au ) , ( b 2 3 a 2 T 3 a ) t ( u ) t ( u

[

]

_⎟⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ − ξ τ π π +

∫∫

π 2 1 t 0 0 2 ) 1 ( ) 2 ( 2₍ _, ₎_u ₍_t₎ _u ₍_t₎ _d _d b 6 a T 3 a

(42)

35 ≤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ ξ τ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π π +

∫∫

π

∫∫

τ π 2 1 t 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 T 2 d d d d ) , ( b ) , ( b A 6 a T 3 a 2 1 2 t 0 0 2 T 2 d d ) , ( b 2 1 A 6 a T 3 a ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π π +

∫∫

π olur.

Bu sonuçlar dikkate alınıp, matematik tümevarım yöntemi uygulanırsa,

2 N t 0 0 2 T N ) N ( ) 1 N ( d d ) , ( b ! N 1 A 6 a T 3 a ) t ( u ) t ( u _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π π + ≤ −

_∫∫

π +

eşitsizliği elde edilir. Burada, t ye göre her iki tarafın maksimumu alınırsa,

N ) D ( L N T ) N ( ) 1 N ( 2 ) x , t ( b 6 a T 3 a ! N A ) t ( u ) t ( u _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π π + ≤ − + bulunur.

Buradan da, yukarıdaki koşullar dahilinde

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + + + + + + _,_u ₍_t_),_u ₍_t_),...,_u ₍_t_),_u ₍_t_),... 2 ) t ( u ) t ( u (N1) sn ) 1 N ( cn ) 1 N ( 1 s ) 1 N ( 1 c ) 1 N ( 0 ) 1 N (

(43)

36

2.3 u(t) nin (2.6) Sistemini Sağlaması

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∞ → ₂ ,u (t),u (t),...,u (t),u (t),... ) t ( u ) t ( u ) t ( u lim (N) 0 _c₁ _s₁ _cn _sn N olsun. ) t (

u nın (2.6) sistemini sağladığını göstermek için, aşağıdaki farkları değerlendirmek yeterlidir.

Cauchy eşitsizliği kullanılırsa, sırasıyla,

{

}

ξ τ ≤ π

∫∫

π d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 1 ) 1 t 0 0 ) N ( 2 1 t 0 2 0 ) N ( ₍ _, _)]_d _d Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π

∫ ∫

π , 2)

{

}

ξ ξ τ ≤ π

∫∫

π τ − − _f_[ _, _,_Au₍ _, _)] _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)] _cos₂_k _d _d e 2 t 0 0 ) N ( ) t ( ) ak 2 ( 2 ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ

_{∫ ∫}

∫

− −τ π 2 1 t 0 2 0 ) N ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 _d 2 _f_[ _, _,_Au₍ _, _)] _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_cos₂_k _d _d e 2 2 1 t 0 2 0 ) N ( ₍ _, _)]_cos₂_k _d _d Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π

∫ ∫

π ,

{

}

ξ ξ τ ≤ π

∫∫

π τ − − _f_[ _, _,_Au₍ _, _)] _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)] _sin₂_k _d _d e 2 ) 3 t 0 0 ) N ( ) t ( ) ak 2 ( 2

(44)

37 ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ

∫ ∫

∫

− −τ π 2 1 t 0 2 0 ) N ( 2 1 t 0 ) t ( ) ak 2 ( 2 _d 2 _f_[ _, _,_Au₍ _, _)] _f_[ _, _,_Au ₍ _, _)]_sin₂_k _d _d e 2 2 1 t 0 2 0 ) N ( ₍ _, _)]_sin₂_k _d _d Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π

∫ ∫

π bulunur.

2) ve 3)’de k ya göre (k=1,∞)toplam yapıp, elde edilen toplam ve 1) taraf tarafa toplanırsa,

∑ ∫ ∫

∫ ∫

∞ = π ∞ = π π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ ∆ 1 k 2 1 t 0 2 0 ) N ( 1 k 2 1 t 0 2 0 ) N ( 2 1 t 0 2 0 ) N ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 olur (Burada,

{

}

{

}

{

}

∑ ∫∫

∫ ∫

∞ = π τ − − ∞ = π τ − − π τ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π + τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π = ∆ 1 k t 0 0 ) N ( ) t ( ) ak 2 ( 1 k t 0 0 ) N ( ) t ( ) ak 2 ( t 0 0 ) N ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f e 2 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f e 2 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 1 2 2 kabul edilmiştir).

(45)

38 2 1 1 k t 0 2 0 ) N ( 2 1 1 k 2 2 1 1 k t 0 2 0 ) N ( 2 1 1 k 2 2 1 t 0 2 0 ) N ( d d k 2 sin )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d k 2 cos )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 k 1 a 2 2 1 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ ∆

∑∫ ∫

∑

∑∫ ∫

∑

∫ ∫

∞ = π ∞ = ∞ = π ∞ = π

elde edilir. Teorem2.3 ün koşullarına göre, sağ taraftaki sonsuz toplamlarda, toplamla t ye göre integralin değiştirilebildiğini göz önüne alıp, Bessel eşitsizliği uygulandıktan sonra, 6 k 1 2 1 1 k 2 π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∑

∞ =

olduğu göz önüne alınırsa,

{

}

{

}

{

}

{

}

2 1 t 0 0 2 ) N ( 2 1 t 0 0 2 ) N ( 2 1 t 0 0 2 ) N ( 2 1 t 0 0 2 ) N ( d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 ). a 3 T ( 2 1 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 a 3 4 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 a 3 4 d d )] , ( Au , , [ f )] , ( Au , , [ f 2 T 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ τ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ≤ ∆

∫ ∫

π π π π

olur. Son tarafta Lipsthitz koşulu kullanılırsa,

[

]

_⎟⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ ξ τ − ξ τ ξ τ π π + ≤ ∆

∫ ∫

π ₂1 t 0 0 2 ) N ( 2₍ _, ₎_Au₍ _, ₎ _Au ₍ _, ₎ _d _d b 2 ). a 3 T ( 2 1 ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ξ τ − τ ξ τ π π +

∫∫

π 2 1 t 0 0 2 ) N ( 2₍ _, ₎_u₍ ₎ _u ₍ ₎ _d _d b 2 ). a 3 T ( 2 1

(46)

39 ) t ( u ) t ( u ) x , t ( b 6 a T 3 a (N) ) D ( L2 − π π + ≤ olur. 0 ) t ( u ) t ( u lim (N) N→∞ − =

olduğundan, u(t) nın, (2.6) sistemini sağladığı görülmektedir.

2.4 Çözümün Tekliği

Lemma 2.6: Teorem 2.3 ün koşulları sağlanıyorsa, (2.6) sisteminin çözümü B uzayında tekdir.

İspat: Bunun için tersini farzedip, çözümün tek olmadığını ve

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ,u~ (t),u~ (t),...,u~ (t),u~ (t),... 2 ) t ( u~ ) t (

u~ 0 _c₁ _s₁ _ck _sk _{nin de bu sistemin diğer bir çözümü}

olduğu kabul edilsin.

{

}

ξ τ π = −u~ (t) 2

_∫∫

π f[ , ,Au( , )] f[ , ,Au~( , )]d d ) t ( u t 0 0 0 0

eşitliğinde her iki tarafın mutlak değerini alıp, sağ taraftaki integrale Cauchy eşitsizliği uygulanırsa,

{

f[ , ,Au( , )] f[ , ,Au~( , )]

}

d d , 2 d ) t ( u~ ) t ( u 2 1 t 0 2 0 2 1 t 0 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ξ ξ τ ξ τ − ξ τ ξ τ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ ≤ −

_∫

_{∫ ∫}

π