Dijital homoloji grupları

T.C.

PAMUKKALE ÜNĠVERSĠTESĠ

FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

DĠJĠTAL HOMOLOJĠ GRUPLARI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

EMĠNE KÖSE

T.C.

PAMUKKALE ÜNIVERSITESI

FEN BILIMLERI ENSTITÜSÜ

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

DIJITAL HOMOLOJI GRUPLARI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

EMĠNE KÖSE

i

ÖZET

DĠJĠTAL HOMOLOJĠ GRUPLARI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

EMĠNE KÖSE

PAMUKKALE ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

(TEZ DANIġMANI:DR.ÖĞR. ÜYESI GÜLSELI BURAK) DENĠZLĠ, OCAK - 2020

Dijital homoloji grupları görüntü analizi için ana araçlardan biridir. Çünkü iki farklı nesnenin izomorfik homoloji grubuna sahip olup olmadığını belirtmek, görüntü analizinde önemli bir rol oynar. Dijital homoloji grupları, dijital simpleksler kompleksi üzerine inşa edilmiştir. Dijital görüntülerin homoloji gruplarının hesaplanması, dijital topolojide önemli bir alana sahiptir. Bununla birlikte literatürdeki dijital görüntülerin homoloji grupları hakkında birçok teorik çalışma olmasına rağmen bilgisayar algoritması açısından çalışmalar yeterli değildir. Daha önceki çalışmalarda iki boyutlu algoritmalar ortaya konmuştur. Bu çalışmada öncelikli olarak üç boyutlu dijital görüntülerin homoloji gruplarını hesaplanması için bir algoritma oluşturulması hedeflenmiştir. Matrislerde normal form baz alınarak indirgeme algoritması kullanılıp, dijital görüntülerinin homoloji gruplarının hesaplanması ile ilgili çalışmalar yapılmıştır.

ANAHTAR KELĠMELER:Dijital Topoloji, Dijital Simpleksler, Homoloji

ii

ABSTRACT

DIGITAL HOMOLOGY GROUPS MSC THESIS

EMĠNE KÖSE

PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS

(SUPERVISOR:ASSOC. PROF. DR. GÜLSELĠ BURAK) DENĠZLĠ, JANUARY 2020

Digital homology groups are one of the main tools for image analysis. Because specifying whether two different objects have isomorphic homology groups is a very effective tool for image analysis. Digital homology groups were built on digital simplical complexes. The calculation of homology groups of digital images has an important place in digital topology. Although, there are many theoretical studies about homology groups of the digital images in the literature but computer algorithm are not enough. The previous studies, two-dimensional algorithms have been introduced. In this study is propose to form an algorithm for calculating the homology groups of three-dimensional digital images. In the matrices, reduction algorithm based on normal form was used and homology groups of digital images were calculated.

KEYWORDS:Digital Topology, Digital Simpleks, Homology Groups, Reduction

iii

ĠÇĠNDEKĠLER

Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii ĠÇĠNDEKĠLER ... iii ġEKĠL LĠSTESĠ ... iv SEMBOL DĠZĠNĠ ... v ÖNSÖZ ... vi 1. GĠRĠġ ... 1 2. TEMEL TANIMLAR ... 2 2.1 Dijital Homeomorfizma ... 6

2.2 Dijital Retrakt Olan Uzaylar ... 7

2.3 Dijital Homotopi ... 7

2.4 Dijital Büzülebilir Uzaylar ... 9

2.5 Dijital Yol ve Dijital Kapalı Yol ... 11

2.6 Dijital Basit Kapalı Eğri ... 11

2.7 Dijital Kapalı Yüzey ... 12

3.DĠJĠTAL GÖRÜNTÜLERĠN HOMOLOJĠ GRUPLARI ... 14

3.1 Dijital Simpleksler ... 14

3.2 Dijital Simpleksler Kompleksi ... 14

3.3 Sınır Homomorfizması ... 16

3.4 Simpleksler Homoloji Grupları ... 18

3.5 Euler Karakteristik ... 30

4.HOMOLOJĠ GRUPLARI ĠÇĠN ĠNDĠRGEME ALGORĠTMASI ... 32

4.1 İndirgeme Algoritması ... 33

4.2 İndirgeme Algoritmasının Uygulamaları ... 34

5. SONUÇ VE ÖNERĠLER ... 49

6. KAYNAKLAR ... 50

iv

ġEKĠL LĠSTESĠ

Sayfa

Şekil 2.1: 2-yakın ... 3

Şekil 2.2: 4-yakın ve 8-yakın. ... 3

Şekil 2.3: 6-yakın, 18-yakın ve 26-yakın ... 3

Şekil 2.4: MSC8,MSC4,MSC8 ... 11 Şekil 2.5: MSS18, MSS18 ,MSS6 ... 13 Şekil 3.1: Simpleksler ... 14 Şekil 3.2: MSC₈ ... 16 Şekil 3.3:



X,8



... 23 Şekil 3.4: MSS18 ... 25 Şekil 3.5: MSS18 ... 29 Şekil 3.6: MSS6 ... 29

Şekil 4.1: Dijital homoloji gruplarını hesaplayan algoritma ... 38

Şekil 4.2: Matris indirgeme için akış diyagramı ... 39

Şekil 4.3: MSS₁₈ ... 41

v

SEMBOL DĠZĠNĠ

 : Yakınlık bağıntısı



X,



:  -yakınlıklı dijital görüntü

 

a b , :  -yakınlıklı dijital görüntü



X x, 0



: Noktalı dijital görüntü



0,



N_ x  :x₀ noktasının



yarıçaplı  -komşuluğu

 

Int X :X dijital görüntüsünün içi

X Y : X veY dijital görüntülerinin bağlantılı toplamı f g : f ve gdijital  -yollarının çarpımı

f : f  -yolunun aşikar genişlemesi

 

f X : X dijital görüntüsünde kapalı yol sınıfı





1 X x, 0   :



X x ın , ₀



-temel grubu

 

q C X

: X dijital görüntüsünde q-boyutlu simpleksler zincir grubu

q

 : Sınır oparatörü

 

q

Z X

: Dijital simpleksler q-devirlerinin grubu

 

q

B X

: Dijital simpleksler q-sınırlarının grubu

 

q

H X

: q-boyutlu dijital simpleksler homoloji grubu

vi

ÖNSÖZ

Bu tez çalışmasının gerçekleştirilmesinde kıymetli bilgi, birikim ve tecrübelerini benimle paylaşan, bana her zaman yol gösterici olan, eğitimim boyunca insani ve ahlaki değerleri ile de örnek edindiğim ve tecrübelerinden yararlanırken hiçbir zaman hoşgörü, sabır ve desteklerini esirgemeyen çok değerli hocam sayın Dr. Öğr. Üyesi Gülseli BURAK’a sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Çalışmalarım boyunca maddi manevi destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan aileme de teşekkür ederim.

1

1. GĠRĠġ

Homoloji teorisi, cebirsel topolojinin temel konularından biridir. Homoloji teorisindeki hesaplama yöntemleri, dijital görüntü analizi, geometrik modelleme, dinamik sistemlerle ilgili problemlerin çözümünde kolaylık sağlar.

Dijital görüntülerin simpleksler homoloji grubu Karaca, Arslan ve Öztel (2008) tarafından tanımlanarak, MSS18 in simpleksler homoloji grupları

hesaplanmıştır.

Boxer, Karaca ve Öztel (2011), dijital görüntülerin simpleksler homoloji gruplarıyla ilgili çalışmaları genişleterek, bazı dijital yüzeylerin Euler karekteristiğini hesaplamışlardır.

Ege ve Karaca (2013), dijital görüntülerin simpleksler homoloji grupları için Eilenberg-Steenrod aksiyomlarını ele almışlardır.

Demir ve Karaca (2013) çeşitli dijital basit kapalı yüzeylerin bağlantılı toplamlarının simpleksler homoloji gruplarını hesaplamışlardır.

Öztel, Akgül ve Aksu (2017), iki boyutlu dijital görüntülerin homoloji gruplarının hesaplanması için bir algoritma vermişlerdir.

Bu çalışmada, üç boyutlu dijital görüntülerin simpleksler homoloji gruplarının hesaplanması için bir algoritma oluşturularak ve bundan yararlanarak

18

2

2. TEMEL TANIMLAR

tamsayılar kümesi olmak üzere n , n -boyutlu Euclid uzayında kafes noktalarının kümesidir. Bir dijital görüntü ikilisi, yakınlık bağıntısı ile n

nin sonlu alt kümesinden oluşur. Yakınlık bağıntısı dijital görüntülerin tanımlanmasında kullanılır.

Tanım 2.1 1 l n olmak üzere l pozitif tam sayısı ve



1, ,



,



1, ,



n

n n

p p p q q q 

ayrık iki nokta için aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa pve q ya _l-yakın denir;

 piqi 1 olacak şekilde en çok l kadar i indisi vardır.

 pjqj 1 olacak şekilde diğer tüm j indisleri için pj qj dır.

Buna göre l, verilen bir

n

p noktasına yakın olan q n noktalarının sayısını gösterir. Tanım 2.1 den , 2 ve 3 de yakınlıkları şu şekilde ifade edilebilir:

 de ayrık pve q noktaları p q 1 ise bu noktalara 2-yakındır denir.

 2

de ayrık p ve q noktaları, her bir koordinatında en fazla 1 farklı ise bu noktalara 8-yakındır denir.

 2 _{de ayrık}

p ve q noktaları 8-yakın ve sadece bir koordinatında farklı ise bu noktalara 4-yakındır denir.

 3

de ayrık pve q noktaları, her bir koordinatlarında en fazla 1 farklı ise bu noktalara 26-yakındır denir.

 3

de ayrık pve q noktaları 26-yakın ve en fazla iki koordinatında farklı ise bu noktalara 18-yakındır denir.

 3

de ayrık pve q noktaları 18-yakın ve sadece bir koordinatında farklı ise bu noktalara 6-yakındır denir.

3





2, 4,8, 6,18, 26



olsun. Bir p kafes noktasının  -komşuluğu pye  -yakın olan noktalardan oluşur (Boxer 1994).

ġekil 2.1: 2-yakın

ġekil 2.2: 4-yakın ve 8-yakın

ġekil 2.3: 6-yakın, 18-yakın ve 26-yakın Tanım 2.2 Bir dijital aralık a b,  , ab olmak üzere,

 

a b,     



z a z b



şeklinde tanımlanır. Bir kafes noktasının  -komşuluğu ise bu noktaya  -yakın olan noktaların kümesi denir.



X,



 n dijital görüntüsü ve  olsun. Dijital görüntünün x0 elemanının



yarıçaplı  -komşuluğu, l



x x0,



, x0 dan xe en kısa

basit  -yolunun uzunluğu olmak üzere



0,







0,





 

0

N_ x    x X l_ x x   x şeklinde tanımlanır. n

de  -yakınlık bağıntısı tanımlı ve X  n -yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. x y, X x, y için xx0,yxr ve i0,1, ,r1 iken xi

4

ile x_i1  -yakın olacak şekilde X bir



x x₀, ,₁ ,x_n



alt kümesi var ise X dijital görüntüsüne  -bağlantılı denir (Boxer 1994).

Örnek 2.3 2

X  kümesi

 

 

 

 

 



0 1,1 , 1 2,1 , 2 3, 2 , 3 3, 0 , 4 4, 0



X  x  x  x  x  x 

olsun. X dijital görüntüsünde x1 e 4-yakın olan sadece x0 olduğundan x1 in

4-komşuluğunda x0 vardır. x1 in 8-komşuluğunda bulunan noktalar ise x0,x2 ve x3 dür

(Boxer 1994).

Tanım 2.4 n0

X , ₀ -yakınlıklı ve _Y  n1 _,

1

 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. X in her ₀ -bağlantılı U alt kümesi için f U ,

 

Y nin ₁ -bağlantılı alt kümesi ise f X Y fonksiyonu



 ₀, ₁



-süreklidir denir (Boxer 1994). Örnek 2.5 X  ve Y 2 kümeleri



0 1, 1 2, 2 3, 3 4



X  x  x  x  x  ,

 

 

 

 



0 0, 0 , 1 1,1 , 2 2, 0 , 3 3,1



Y y  y  y  y 

olsun. f X Y fonksiyonu i0,1, 2,3 için f x

 

_i  y_i şeklinde tanımlansın. X

in her 2-bağlantılı U alt kümesi için f U ,

 

Y nin 8-bağlantılı alt kümesi olduğundan dolayı f X Y fonksiyonu

 

2,8 -süreklidir (Boxer 1999).

Önerme 2.6 n0

X  , 0 -yakınlıklı ve 1

n

Y  , 1 -yakınlıklı dijital

görüntüler olsun. f X Y fonksiyonu



 ₀, ₁



-sürekli olması için gerek ve yeter şart X in her 0-yakın



x x noktaları için 0, 1



f x

 

0  f x

 

1 veya f x

 

0 ve

 

1

5

Ġspat: f X Y ,



 ₀, ₁



-sürekli olduğunda X in ₀-bağlantılı



x x ₀, ₁



alt kümesi için



f x

   

₀ ,f x₁



Y nin 1-bağlantılı alt kümesidir. Yani f x ile

 

0

 

1

f x , Yde ₁-yakındır veya f x

 

₀  f x

 

₁ dir.

Tersine ₀-yakın x x₀, ₁X noktaları için yani X in ₀-bağlantılı



x x ₀, ₁



alt kümesi için f x

 

₀  f x

 

₁ veya f x

 

₀ ve f x

 

₁ , Y de ₁-yakın ise

   



f x0 ,f x1



Y nin 1 -bağlantılı alt kümesidir. Bu durumda f X Y

fonksiyonu



 ₀, ₁



-süreklidir.

Örneğin,  , Y dijital görüntüsü üzerinde bir yakınlık bağıntısı olsun.

 

,

f  a b Y fonksiyonunun

 

2, -sürekli olması için gerek ve yeter şart her

 

, 1 ,

c c  a b için f c

 

 f c



1



veya f c ile

 

f c



1



in Y de  -yakın olmasıdır.

0

n

X  ,0 -yakınlıklı ve 1

n

Y  , 1-yakınlıklı dijital görüntüler olsun.

f X Y fonksiyonu



 ₀, ₁



-sürekli ve bijektif, f1 Y X fonksiyonu



 1, 0



-sürekli ise f fonksiyonuna



 0, 1



-izomorfizm denir ve X  ₀,₁Y

şeklinde gösterilir.

Önerme 2.7 f 



X,₀

 

 Y,₁



dijital



 ₀, ₁



-sürekli ve



, 1

 

, 2



g Y   Z  dijital



 ₁, ₂



-sürekli fonksiyonlar ise



, 0

 

, 2



f g X   Z  bileşke fonksiyonu dijital



 ₀, ₂



-süreklidir (Boxer 1994).

6

2.1

Dijital Homeomorfizma

(Boxer 1994) ve (Boxer 1999) makalelerinde homeomorfizma kavramını



0

 

1



"f  X,  Y, fonksiyonu dijital



 ₀, ₁



-sürekli, bijektif ve 1

f dijital



 1, 0



-sürekli ise f ye dijital



 0, 1



-homeomorfizma denir." şeklinde

tanımlanmıştır.

Önerme 2.8 Dijital homeomorfizm dijital görüntüler arasında bir denklik

bağıntısıdır. (Boxer 1994).

Ġspat: i) Her X dijital görüntüsünün  _x X  X birim dönüşümü ile kendisine dijital homeomorfik olduğu açıktır. Yani yansıma vardır.

ii) f X Y bir dijital homeomorfizm olsun. f1 Y X fonksiyonunda bir dijital homeomorfizm bağıntısı olduğu kolayca görülür. O zaman dijital homeomorfizma simetriktir.

iii) f X Y ve g Y Z dijital homeomorfizmalar olsunlar. Önerme 2.7 den g f X Z dijital homeomorfizmdir. O zaman dijital homeomorfizma geçişmelidir.

Örnek 2.9 X 

 

0, 2  ve Y 

 

0,1  olsun. f X Y,

 

2 x f x  ile tanımlanmış bir fonksiyon olsun. f , dijital sürekli bijeksiyondur, fakat f1

fonksiyonu dijital sürekli değildir. Böylece f , bir dijital homeomorfizm değil ve X

ile Y de dijital homeomorfik değildir (Boxer 1994).

Dijital homeomorfizma topolojideki tanımıyla aynı şekilde tanımlanmış olsa da uygulamada farklılık göstermektedir. deki topolojide bütün kapalı aralıklar birbirine homeomorf iken deki dijital topolojide dijital aralıklar dijital homeomorf değildir. Örneğin;

  

1,3  1, 2,3



ve

  

2,5  2,3, 4,5



dijital aralıkları birbirine

 

2, 2 -homeomorf değildir.

Bu nedenle (Boxer 2006) da dijital homeomorfizma kavramı yerine dijital izomorfizma kavramını kullanmayı önermiştir.

7

2.2

Dijital Retrakt Olan Uzaylar

Tanım 2.10   A X ve i A X ₀ -kapsama dönüşümü olsun.

a A

  , r i a

 

a olacak şekilde r X  A dijital 0-sürekli fonksiyonu varsa

X e ₀-retrakt denir (Boxer 1994).

Teorem 2.11 X0 , X in bir dijital retraktı ve f X Y bir dijital

homeomorfizm olsun. O zaman f X

 

₀ da Y nin bir dijital retraktıdır (Boxer 1999).

Ġspat: f X  X₀ bir dijital retrakt fonksiyonu olsun. O zaman Önerme 2.7 den f r f1 Y f X

 

₀ bir dijital retrakt dönüşümüdür.

2.3

Dijital Homotopi

Tanım 2.12 n0

X  , 0 -yakınlıklı ve 1

n

Y  , 1 -yakınlıklı dijital

görüntüler olsun. f X Y fonksiyonu



 ₀, ₁



-sürekli olsun. Pozitif bir m tam sayısı ve aşağıdaki özellikleri sağlayan H X 

 

0,m Y fonksiyonu varsa, f ve gfonksiyonlarına Y de dijital



 ₀, ₁



-homotopik fonksiyonlar denir (Boxer 2005).

 x X için H x

 

, 0  f x

 

ve H x m



,



g x

 

,

 x X için

H_x

 

0,m Y, tH t_x

 

H x t

 

, şeklinde tanımlanan Hx indirgenmiş fonksiyonu



2,1



-süreklidir.

 t

 

0,m için

H_t X Y , xH x_t

 

H x t

 

,

8

Burada H fonksiyonuna f ve g arasında dijital



 ₀, ₁



-homotopi fonksiyonu denir.

f ve g fonksiyonlarının Y de dijital



 ₀, ₁



-homotopik olduğunu göstermek için

 0,1

f _{ } g

notasyonu kullanılır.

Önerme 2.13 Dijital



 ₀, ₁



-homotopi, dijital sürekli fonksiyonlar arasında bir denklik bağıntısıdır (Boxer 1994).

Ġspat: Dijital homotopinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini

sağladığını göstermeliyiz.

 Her



 ₀, ₁



-sürekli f X Y fonksiyonu ve her pozitif m tamsayısı için,

 

0,

H X  m Y fonksiyonu her

 

x t,  X

 

0,m için

 

,

 

H x t  f x

şeklinde tanımlandığından f den f ye dijital



 ₀, ₁



-homotopi olur. Bu durumda dijital homotopi yansıma özelliğini sağlar.

 H X 

 

0,m Y fonksiyonu f den g ye dijital



 ₀, ₁



-homotopi ve

 

0,

G X  m Y fonksiyonu her

 

x t,  X

 

0,m için

 

,



,



G x t H x m t

şeklinde tanımladığımızda g den f ye dijital



 ₀, ₁



-homotopi olur. Bu durumda dijital homotopi simetri özelliğini sağlar.

 H X 

 

0,m Y fonksiyonu f den g ye dijital



 ₀, ₁



-homotopi ve



0, 0



G X  m Y fonksiyonu g den h a dijital



 ₀, ₁



-homotopi olsun.



0, 0



9

 

 

 

 

 





 



0



, , , 0, , , , , , H x t x t X m F x t G g x t m x t X m m m           

şeklinde tanımlandığında f den h a dijital



 ₀, ₁



-homotopi olsun. Bu durumda dijital homotopi geçişme özelliğini sağlar.

Tanım 2.14 f 



X,₀

 

 Y,₁



dijital



 ₀, ₁



-sürekli fonksiyonu eğer Y

de bir sabit fonksiyona dijital homotopik ise f , Yde dijital nullhomotopiktir denir (Boxer 1999).

Tanım 2.15 n0

X , 0 -yakınlıklı ve 1

n

Y , 1 -yakınlıklı dijital

görüntüler olsun. f X Y



 ₀, ₁



-sürekli fonksiyonu için

 0, 01X

g f _{ }

1,11Y

f g _{ }

olacak şekilde g Y X ,



 ₀, ₁



-sürekli fonksiyonu varsa f fonksiyonuna



 0, 1



-homotopi denklik denir ve X ile Y ,



 0, 1



-homotopi denktir denir

(Boxer 2005).

2.4

Dijital Büzülebilir Uzaylar

Tanım 2.16



X,₀



bir dijital görüntü olsun.



X,₀



üzerindeki birim dönüşüm sabit dönüşüme



 ₀, ₀



- homotopik ise X e 0-büzülebilir denir (Boxer

1999).

Örnek 2.17 Her

 

0, m dijital aralığı dijital büzülebilirdir.

   

0, 0,

 

0,

10

homotopi fonksiyonu H x t

 

, max 0,



x t



şeklinde tanımlandığında, 1_{ 0,m} birim dönüşümü ile 0



sabit dönüşümü homotopik olur (Boxer 1994).

Önerme 2.18 m  için Im dijital büzülebilirdir (Boxer 1994).

Ġspat: F I _m1I_m fonksiyonu



1, , m,





 

1, , ,



m,





F x x t  M x t M x t

ile tanımlandığında büzülebilirlik kolayca görülür. Burada

 

, max 0,





M x t  x t .

Önerme 2.19 X dijital bağlantılı olmayan bir dijital görüntü ise X dijital büzülebilir değildir (Boxer 1994).

Ġspat: X in dijital büzülebilir olduğunu kabul edelim, yani

 

0,

F X  p Xbir dijital homotopi her xX ve x₀X için F x

 

, 0 x ve



,



0

F x p x olsun. yX noktası ile x₀, X in aynı dijital bileşeninde olmasın. O zaman öyle bir t

 

1,p vardır ki F y t



, 1



ve F y t

 

, , X in farklı bileşenlerindedir. Böylece F y t



, 1



ve F y t komşu değildir. Bu durum

 

, F nin dijital sürekliliği ile çelişir.

Teorem 2.20 X dijital büzülebilir ve Y , X in dijital retraktı ise Y dijital büzülebilirdir (Boxer 1994).

Aşağıda verilen örnek ile dijital büzülebilirliğin, Euclidean büzülebilirliğin bir benzerliği olmadığını göstereceğiz. Euclidean uzay k_{nın kapalı ve sınırlı bir}

X

alt kümesi büzülebilir ve lokal büzülebilir ( her xX ve x in her U komşuluğu için

x in öyle bir U₀ U komşuluğu vardır ki i U ₀ U kapasama dönüşümü U da bir sabit fonksiyona homotoptur) ise, X , k _{nın bir retraktıdır (Borsuk 1967).}

11

Örnek 2.21 U I₂ ve U



 

0, 2 I₁







 

1, 0



olsun. O zaman U dijital büzülebilir fakat I nin bir retraktı değildir (Boxer 1994). ₂

2.5

Dijital Yol ve Dijital Kapalı Yol

Tanım 2.22



X,



 n dijital görüntüsünde x noktasından y noktasına bir dijital  -yolu, f 

 

0,m X , f

 

0 x, f m

 

 yolacak şekilde dijital

 

2,

-sürekli fonksiyonudur. Eğer ilave olarak f

 

0  f m

 

ise f ye dijital  -loop denir ve p f

 

0 noktası f loopunun baz noktasıdır. Eğer f bir sabit fonksiyon ise aşikar loop denir (Khalimsky 1987).

2.6

Dijital Basit Kapalı Eğri

Tanım 2.23 n

X  ,  -yakınlık bağıntısı ile bir dijital görüntü olsun. Eğer öyle m3 için aşağıdaki koşulları sağlayan bir f 



0,m1



X

 

2, -sürekli

fonksiyon var ise X e bir dijital basit kapalı  -eğri denir (Boxer 2005).

 f bire bir ve örten;

 f

 

0 ve f m



1



 -yakın;

 Her t



0,m1



için, f t

 

nin f





0,m1





de  -komşuları sadece

 

 



1 mod



f t m ve f





t1 mod



 

m



dir.

12

n

X  bir dijital görüntü olsun. x y z, , X ve y ile z birbirine  -yakın olsun. x noktası sadece y ve z noktalarına  -yakın ise x noktasına  -köşe noktası denir. y ve z ,  -köşe noktaları değil ve x noktası y ve z nin her ikisinede  -yakın olan tek nokta ise x ,  -köşe noktasına basittir denir.X dijital görüntüsünün tüm basit  -köşeleri çıkartıldığında bir basit kapalı  -eğri elde ediliyorsa X e genelleştirilmiş basit kapalı  -eğri denir (Han 2006)

2.7

Dijital Kapalı Yüzey

Tanım 2.24 n

X  , n3 dijital görüntü ve X  nX olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa X e bir kapalı  -yüzey denir (Han 2006).

1.



 ,

 





, 2n



, 2 ,3



n n1





xX ve  3n2n1 için;

 Her xX için 26

   

,1

x

X N x  x kümesi x e  -yakın olan bir tane eleman içerir.

 x

X , x e  -yakın iki tane  bileşene sahiptir. (Bu bileşenleri Cxx ve D xx ile gösterelim.)

 Her yN_X için xx

N_ C   ve xx

N_ D   dir.

Ayrıca X kapalı  -yüzeyi için, X basit  -noktaya sahip değil ise X e basit kapalı  -yüzey denir.

2.



,





3n 2n 1, 2



n

     için;

 X ,  -bağlantılı.

 Her xX için X xgenelleştirilmiş basit kapalı eğri

Ayrıca x

X basit kapalı  -eğri ise X e basit kapalı  -yüzey denir. Bilinen dijital basit kapalı yüzeyler Şekil 2.5 de verilmiştir.

13

Tanım 2.25 S ile _k Sk, kapalı  -yüzeylerin n

deki kapanışını gösterelim. Eğer bir xS_k noktası S_k nın bir sınırlı  -bağlantılı bileşenine ait ise x’e Sk’nın

içindedir denir. Diğer durumda Sk’nın dışındadır denir. Sk’nın tüm iç noktalarının

kümesini IntSk ile tüm dış noktalarının kümesini ExtSk ile gösterilir (Han 2006).

ġekil 2.5: a)MSS18 b)MSS18 c)MSS6

Şimdi MSC_, Sk, SSk ve MSS ile n3 için

n_{’de sırasıyla minimal basit}

kapalı  -eğri, kapalı  -yüzey, basit kapalı  -yüzey ve minimal basit kapalı  -yüzeyi göstereceğiz.

Teorem 2.26 (Han 2006).

1. MSS₆, 18 -büzülebilirdir. 2. MSS₆, 6 -büzülebilir değildir. 3. MSS18, 18 -büzülebilir değildir.

14

3. DĠJĠTAL GÖRÜNTÜLERĠN HOMOLOJĠ GRUPLARI

3.1

Dijital Simpleksler

Tanım 3.1



₀, ₁, ,





n,



m

P p p p   da dijital bir görüntü olsun. Eğer

 0 0 m i i i t p 



ve 0 0 m i i t 



ise t₀  t_m 0.

 Her i j, 



0,1, m



, i j için pi ve p j  -yakın ise P ye dijital



, m



-simpleks denir ve P p p₀, ₁, ,pm ile gösterilir. m ye de simplekslerin

boyutu denir (Arslan ve diğ. 2008).

Bu durumda bazı simpleksler Şekil 3.1 da (ki bütün noktalar birbirine sırasıyla 2, 2,8, 26-yakın olmak üzere ) gösterilmiştir.

ġekil 3.1: Sırasıyla  2, 0 , 2,1 , 8, 2 ,26,3-simpleksler

3.2

Dijital Simpleksler Kompleksi

Tanım 3.2



₀, ₁, ,





n,



m

P p p p   da dijital



, m



-simplekslerinin sonlu kolleksiyonu olsun. Eğer

 sK ise s nin yüzüde bu simpleksler kompleksine ait,

 s t, K iken st boş yada s ve t nin ortak bir dijital simpleksi var ise K

15

Tanım 3.3 Dijital simpleksler kompleks



K,



ya ait köşeler üzeride bir sıralama var ise



K,



ya yönlü dijital simpleksler kompleksi denir (Arslan ve diğ. 2008).

Tanım 3.4



K,



bir dijital simpleksler kompleksin geometrik gerçeklenebilirliği K , tüm dijital simplekslerin birleşimi olarak tanımlanır. Yani

s K

K s



 .

Dijital görüntüler aynı zamanda

 

, 0 -simplekslerin birleşimi gibi düşünülebilir. Bu durumda her dijital görüntü bir dijital simpleksler kompleksidir (Arslan ve diğ. 2008).

Tanım 3.5



X,₀



bir dijital görüntü olsun. Bir simpleksler kompleksi



X,1



ve h K X



 0, 1



-izomorfizması varsa X dijital görüntüsü çok

yüzlüdür denir.

Bu durumda dijital görüntülerin çok yüzlüsü yerine kendisiyle doğrudan çalışılabilir (Arslan ve diğ. 2008).

Önerme 3.6



0



0 , n P  ,



1



1 , n Q  sırasıyla dijital



₀, m



ve



₁, m



simpleksler olsun. O zaman P ve Q dijital



 ₀, ₁



-izomorfiktirler (Arslan ve diğ. 2008).

Ġspat: P



p p₀, ₁, ,pm



ve Q



q q0, 1, qm



olsun.



0

 

1



: , ,

h P  Q , p_i h p

 

_i q_i

şeklinde tanımlanan dönüşüm her piP için dijital



 0, 1



-izomorfizimdir.

O halde elimizdeki simpleks yapısı ile serbest değişmeli grupları inşa edebiliriz.

Tanım 3.7 C_q

 

K , dijital simpleksler kompleksi



K,



daki dijital

 

, q -simpleksleri baz kabul eden serbest değişmeli gruptur (Arslan ve diğ. 2008).

16

Sonuç 3.8



X,



 n de mboyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olsun. Her qm için, C_q

 

K bir aşikar gruptur ( Arslan ve diğ. 2008).

Ġspat: X ,m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksinde qm için

 

, q -simpleks mevcut olmadığından C_q

   

K  0 dır.

3.3

Sınır Homomorfizması

Tanım 3.9



X,



 n da m boyutlu yönlü dijital simpleksler kompleksi olsun. pˆ_i, p_i elemanlarının simplekslerden çıkarılması olmak üzere;

 

1

 

: q Cq K Cq K     





₀

 

0 1 0 1 ˆ 1 , , , , , , , , 0 , q i i q i q q p p p p m q ise p p p m q ise   _{ }   _{ }  



şeklinde tanımlanan homomorfizmaya sınır homomorfizması denir (Arslan ve diğ. 2008).

Örnek 3.10 MSC₈ dijital görüntüsünü ele alalım.

ġekil 3.2: MSC8

 

 

 

 





2 8 0 1, 2 , 1 2,1 , 2 3, 2 , 3 2,3 MSC  p  p  p  p   ve 0 1 3 2 p  p  p  p olsun. 0 -simpleksler 0 , 1 , 2 , 3 p p p p

17 ve 1-simpleksler

0 0 3 , 1 3 2 , 2 1 2 , 3 0 1

e  p p e  p p e  p p e  p p şeklindedir. 1-simplekslere sınır operatörünü uygularsak

 

e0 p3 p0   

 

e1 p2 p3   

 

e2 p2 p1   

 

e3 p1 p0   

elde edilir (Arslan ve diğ. 2008).

Önerme 3.11 Her 1 q m için _q1  _q 0 dır (Arslan ve diğ. 2008).

Ġspat: p p₀, ₁, ,p_q C_q

 

X için





 

1 0 1 1 0 0 ˆ , , , 1 , , , q i q q q q i q i p p p p p p          _  _ 





 

 

1 0 0 0 ˆ ˆ 1 ( 1 , , , , , ) q q j i j i q j i p p p p    









 





 





0 0 ˆ ˆ 1 , , , , , ˆ ˆ 1 , , , , , i j i j q i j i j j i q j i p p p p p p p p        





 





 

1





0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 1 i j , , _i, , _j, _q 1 k l , , _k, , _l, _q j i k l p p p p p p p p        





olduğundan





1 0, 1, , 0 q q p p pq    elde edilir.

18

Sonuç 3.12



X,



 n de m boyutlu dijital simpleksler kompleksi olsun.

 

1

 

 

1 1

 

0 1 0 0 m m m 0 m m C X   C X  C X    C X         

bir zincir kompleks olur (Arslan ve diğ. 2008).

3.4

Simpleksler Homoloji Grupları

Şimdi dijital görüntüler için homoloji gruplarını tanımlayabiliriz.

Tanım 3.13



X,



, dijital simpleksler kompleksi olsun.

 Z_q

 

X Ker_q grubuna dijital simpleksler q-devirlerin grubu denir.

 B_q

 

X Im_q1 grubuna dijital simpleksler q-sınırların grubu denir.

 H_q

 

X Z_q

 

X B_q

 

X bölüm grubuna q. Dijital simpleksler homoloji grubu denir (Arslan ve diğ. 2008).

Tanım 3.14 



X,₀

 

 Y,₁



dijital görüntüler arasında bir fonksiyon

olsun.X de 0-yakınlıklı her Pdijital



0, m



-simpleksi için 

 

P ,nm için Yde



1, n



-simpleks ise  ye dijital simpleksler dönüşümü denir (Boxer ve diğ. 2011).

Tanım 3.15 



X,₀

 

 Y,₁



dijital simpleksler dönüşüm olsun. q0

için 0

 

1

 

q q C X C Y _   homomorfizmi



p p0, 1, ,pq



 

p0 , ,

 

pq _   

şeklinde tanımlanır (Boxer ve diğ. 2008).

Böylece cebirsel topolojide artık aksiyom haline gelmiş teoremlerin dijitaldeki karşılıklarını inceleyebiliriz:

19

 

 

0 1

q q

H K H L dir (Arslan ve diğ. 2008).

Ġspat: f K L bir dijital



 ₀, ₁



-izomorfik dönüşüm olsun. Bu durumda,

f bijeksiyon ve Önerme 2.7 den “k k1, 2K, k1 ve k2, 0-yakın olması için gerek

ve yeter şart f k

 

₁ ve f k

 

₂ l -yakın ya da f k

 

1  f k

 

2 ” koşulunu sağlar.

0 m q olsun.

 

0 0, 1, , m q p p p C K için;

 

 

0 1 q q C K C L   , 



p₀, ,p_q



 f p

 

₁ , ,f p

 

_q

şeklinde tanımlansın.  dönüşümü f nin tanımından dolayı iyi tanımlı ve bijeksiyondur. Böylece

 

 

0 1

q q

C K C L elde edilir. Sonuç olarak

 

 

0 1

q q

H K H L .

Teorem 3.17



X,



tek noktalı dijital görüntü ise

, 0 0, 0 q q H q  _{ }    dır (Arslan ve diğ. 2008).

Ġspat: X 

 

x₀ olsun. m q 0 için X in içerdiği dijital

 

, q -simpleks mevcut olmadığından C_q

 

X 0 dır. Böylece, tüm m q 0 için 0

 

₀

q

H X  dır.

0

q olsun. C₀

 

X , dijital

 

, 0 -simpleks bazlı serbest değişmeli grup olduğundan C₀

 

X  dir.

20

 

0

1

0

0 C X  0 kısa dizisinde Im ₁ 0 ve Ker ₀ dir. Böylece

 

0

0

H K  dir.

Teorem 3.18 X dijital basit kapalı  -eğri ise

, 0,1 0, 0,1 q q H q  _{ }    dır (Arslan ve diğ. 2008). Ġspat:





2 0, 1, , q

X  x x x  bir dijital basit kapalı  -eğri olsun. Bu durumda, x_i ve x , _j -yakındır gerek ve yeter şart i j 1



modq



dur.

 





1 0 0 , 1 , , q q C X  x x x  

 





1 1 0, 1 , 1, 2 , , , 0 q q C X  x x x x x x  

dir. m q için C_q

 

X 0 olduğundan H_q

 

X 0 dır.

 

 

0 2 1 1 0 0 C X  C X  0 kısa dizisinden Im 2 0 ve 1 0 q

Ker   bulunur. Diğer taraftan

















1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 1 2 1 0 , , _{q q}, q q n x x n x x n x x n x x n x x n x x            eşitliğinden ₁ q Im  dur.

21





























1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 , , , 0 0 0 q q q q q q q q n x x n x x n x x n x x n x x n x x n n x n n x n  n x                   

eşitliği çözüldüğünde n₀   n₁ n_q n olur. Buradan Ker ₁ dir. Sonuç olarak

 

 

1 0

H X  H X elde edilir.

Teorem 3.19



X,



 ndijital görüntüsü  -yol bağlantılı ise

 

0

H X  dir ( Arslan ve diğ. 2008).

Ġspat: X in 0 -simplekslerinin p₀ , p₁ , , p_n olduğunu kabul edelim.

 

 

0 2 1 1 0 0 C X C X      

dizisi elde edilir.0 sıfır homomorfizmi olduğundan

 

 

0 X Ker 0 C0 X  _{  }  olur.C₀

 

X in elemanları 0 , n i i i i k p k  



şeklindedir. İddia ediyoruz ki

 

 

0 0 0 0 n i i i i B X k p C X k    _    _ 





 dır. İddiamız doğruysa,

 

0 X     i i i k p  k





22

dönüşümü örtendir ve çekirdeği B₀

 

X dir. Birinci izomorfizma teoreminden

 

0

H X  olur. (3.19) eşitliğini göstermek için çift taraflı kapsamayı gösterelim.

 

0 0 n i i i k p C X   



 ve



k_i 0

olsun. Herhangi bir pX seçersek X ,  -yol bağlantılı olduğundan her piX

için p den p_i ye bir  -yol vardır. _i , p den p_i ye olan  -yolu oluşturan dijital

1-simplekslerin kümesi olsun.₁

 

_i  p_i p olduğu açıktır.

 

1 0 n i i i k C X  



dir ve 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i i i i i i k k  k p p k p k p   







 



 







olur.



k_i 0 olduğundan

 

1 0 0 ( ) n i i i i i k p k B X    



 





dır. Tersine B₀

 

X ise   ₁(



k e_{i i}) , e_iC₁

 

X yani ei, 1-simplekstir ve

, i i i r s e  p p şeklindedir. Böylece









1( ) 1 _i, _{i i i i i} i i i r s i s r i s i r k e k p p k p p k p k p  



 



 



 







olur.ki iki kez ve zıt işaretli olarak tekrarlandığından



ki 0 dır. Böylece

 

 

 

0 0 0

H X Z X B X  elde edilir.

23

Teorem 3.20



X,



 m bir dijital görüntü ve



X_  



X in  -yol bileşenlerinin kolleksiyonu olsun. O zaman

 



0



rank H X card

dır (Arslan ve diğ. 2008) de Teorem 3.18’ in bir sonucudur.

Örnek 3.21 X Y, ye dijital homotopi denk iken 0

 

0 H X ve 1

 

0 H Y izomorf olmayabilir.

    

 







8 1, 0 , 0,1 , 1, 0 , 0, 1 MSC   

dijital görüntüsünü ele alalım. MSC₈ dijital basit kapalı 8 -eğri ve 8 -büzülebilir bir eğridir. Bu nedenle tek noktalı uzaya dijital

 

8,8 -homotopi denktir. Teorem 3.17 ve 3.18 den H₁8



MSC₈ 



ve H₁8

 

 

 0 dır.

Sonuç olarak MSC₈ _{ 8,8}

 

 iken H₁8



MSC₈



ve H₁8

 

 

 izomorf değildir. (Arslan ve diğ. 2008). Örnek 3.22 X 



p₀ 

 

0, 0 ,p₁

 

1, 0 ,p₂ 

 

1,1



ve



X,8



, Şekil 3.3 de



p0  p1 p2



ile sıralanmıştır. ġekil 3.3:X,8 O zaman C₀8

 

X ,C₁8

 

X ve C₂8

 

X sırayla



p0 , p1 , p2



,



p p0 1 , p p1 2 , p p0 2



24



p p p0 1 2



bazları ile üretilmiş serbest abel gruplardır. Böylece,

 

8 0

H X  ve H_q8

 

X 0,q0 (Arslan ve diğ. 2008).

Teorem 3.23 MSC₈  





1, 0 , 0, 1 , 0,1 , 1, 0

 



    



nün simpleksler homoloji grubu,





8 8 , 0,1 0, 0,1 q q H MSC q      _  dır (Boxer ve diğ. 2008). Ġspat: MSC₈ 



c₀  



1, 0 ,



c₁



0, 1 ,



c₂ 

 

0,1 ,c₃ 

 

1, 0



(Şekil 2.4) ve sıralama bağlantısı ile yönlendirilmiştir. 8





8 0 q C MSC  , q1. C₁8



MSC₈



ve





8 0 8 C MSC sırasıyla;



c c0 1 , c c1 3 , c c2 3 , c c0 2



ve



c0 , c1 , c2 , c3



ile üretilmiş serbest abel gruplardır. Böylece

1 Ker  , 3 1 Im  ,Ker ₀ 4 ve





8 8 q H MSC  ,q0,1 ve H_q8



MSC₈ 



0, q0,1. elde edilir. (Arslan, Karaca ve Öztel 2008).

25

Teorem 3.24 MSS₁₈ nün dijital simpleksler homoloji grupları





18 18 , 0, 2 0, 0, 2 q q H MSS q      _  dır (Boxer ve diğ. 2008). ġekil 3.4: MSS₁₈ Ġspat: MSS18 nün noktalarını



p0 



1,1, 0 ,



p1



0, 0, 2 ,



p2  



1,1, 0 ,

















3 3 0, 0, 0 , 4 0,1, 1 , 5 0,1,1

p  p   p   olarak gösterelim ve bu noktaları

2 3 4 5 1 0

p  p  p  p  p  p şeklinde sözlük sıralamasına göre sıralandığını kabul edelim. MSS₁₈ dijital görüntüsünde q3 için



  

18 18 0 q H MSS  dır. C₀18



MSS₁₈



,C₁18



MSS₁₈



,C₂18



MSS₁₈



bazları sırasıyla 0 -simpleksler p₀ , p₁ , p₂ , p₃ , p₄ , p ₅ 1-simpleksler e₀ p p_{2 1} ,e₁ p p_{2 3} ,e₂ p p_{2 4} ,e₃ p p_{2 5} ,e₄ p p_{4 1} , 5 3 4 , 6 4 0 , 7 5 1 , 8 3 5 , 9 5 0 , e  p p e  p p e  p p e  p p e  p p 10 1 0 , 11 3 0 e  p p e  p p 2-simpleksler ₀ p p p_{2 4 1} ,₁ p p p_{4 1 0} ,₂  p p p_{3 4 0} ,₃ p p p_{2 3 4} , 4 p p p2 5 1 , 5 p p p2 3 5 , 6 p p p5 1 0 , 7 p p p3 5 0        

26 şeklinde olan serbest abel gruplardır. Böylece













3 18 2 18 1 18 0

2 18 1 18 0 18

0 C MSS  C MSS  C MSS  0

kısa dizisi elde edilir. 18



  

3 2 18 0 Im B MSS  dır. Ayrıca

 

 

 

 

 

 

7 2 0 2 0 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 5 2 5 0 i i i n n  n  n  n  n  n      _{ }            





 

 

6 2 6 7 2 7 n  n      n e₀



₄ e₀ e₂



n e₁



₁₀ e₆ e₄



n e₂



₆e₁₁e₅



n e₃



₅ e₂ e₁



















4 7 0 3 5 8 3 1 6 10 9 7 7 8 3 1 n e  e e n e  e e n e  e e n e  e e e₀



 n₀ n₄



e n₁



₃n₅



e n₂



₀n₃



e n₃



₄n₅



e n₄



₀n₁























5 2 3 6 1 2 7 4 6 8 5 7 9 6 7 e n n e n n e n n e n n e n n            









10 1 6 11 2 7 e n n e n n      olur. Buradan

























0 0 4 1 3 5 2 0 3 3 4 5 4 0 1 5 2 3 e  n n e n n e n n e n n e n n e n n





















6 1 2 7 4 6 8 5 7 9 6 7 10 1 6 e n n e n n e n n e n n e n n            





11 2 7 0 e n n     denklemi çözülürse 0 1 2 3 4 5 6 7 n n n n n n n n n             bulunur. Bu durumda













18 2 18 2 0 1 2 3 4 5 6 7 Z MSS Ker  n                n elde edilir. Böylece













18 18 18

2 18 2 18 2 18

H MSS Z MSS B MSS  dır.

27

 

 

 

 

 

 

11 1 0 1 0 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 0 i i i k e k e k e k e k e k e k e     _{ }            



  k_{6 1}

 

e₆  k_{7 1}

 

e₇  k_{8 1}

 

e₈  k_{9 1}

 

e₉  k_{10 1}

 

e₁₀  k_{11 1}

 

e₁₁

















0 1 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 k p p k p p k p p k p p        

















4 1 4 5 4 3 6 0 4 7 1 5 k p p k p p k p p k p p        

















8 5 3 9 0 5 10 0 1 11 0 3 k p p k p p k p p k p p        









0 6 9 10 11 1 0 4 7 10 p k k k k p k k k k        









2 0 1 2 3 3 1 5 8 11 p k k k k p k k k k         









4 2 4 5 6 5 3 7 8 9 p k k k k p k k k k        

elde edilir. Buradan













0 6 9 10 11 1 0 4 7 10 2 0 1 2 3 p k k k k p k k k k p k k k k             













3 1 5 8 11 4 2 4 5 6 5 3 7 8 9 0 p k k k k p k k k k p k k k k              denklemi çözülürse 3 0 1 2 k    k k k 6 2 4 5 k k  k k 9 0 1 2 7 8 k      k k k k k 10 0 4 7 k k k k 11 1 5 8 k   k k k

elde edilir. Bu durumda











18 1 18 1 0 0 1 1 2 2 0 1 2 3 4 4 5 5 Z MSS Ker  k e k e k e    k k k e k e k e



k2 k4 k e5



0 k e7 7 k e8 8



k0 k1 k2 k7 k e8



9           



k0 k4 k e7



10



k1 k5 k e8



11 ki ,i 0,1, 2, 4,5, 7,8



         7  olur. Ayrıca

28











18 1 18 2 0 0 1 1 2 2 0 1 2 3 4 4 5 5 B MSS   Im t e t e t e    t t t e t e t e



t2 t3 t e4



6 t e5 7 t e6 8



t0 t1 t2 t5 t e6



9           



t0 t3 t e5



10



t1 t4 t e6



11 ti ,i 0,1, 2,3, 4,5, 6



          7  olur. Böylece H₁18



MSS₁₈



Z₁18



MSS₁₈



B₁18



MSS₁₈

  

 0 elde edilir.







18 0 18 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 B MSS   Im h p h p h p h p h p      



h₀ h₁ h₂ h₃ h₄



p₅  i 0,1, 2,3, 4 h_i



 5 ve







18 0 18 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Z MSS  n p n p n p n p n p n p  i 0,1, 2,3, 4,5 n_i



 6 olduğu için H₀18



MSS₁₈



Z18₀



MSS₁₈



B₀18



MSS₁₈



 6 bulunur. Böylece 18



₁₈



, 0, 2 0, 0, 2 q q H MSS q      _  elde edilir.

Teorem 3.25 MSS₁₈ in dijital simpleksler homoloji grupları





18 3 18 , 0 , 1 0, 0,1 q q H MSS q q    _   _  dır (Boxer ve diğ. 2008).

29

ġekil 3.5: MSS₁₈

Teorem 3.26 MSS₆ in dijital simpleksler homoloji grupları





6 5 6 , 0 , 1 0, 0,1 q q H MSS q q     _   _  dır (Boxer, Karaca ve Öztel 2008).