EŞLEŞME TEORİSİ VE PİYASA TASARIMI
Yrd. Doç. Dr. M. Kadir Doğan Ankara Üniversitesi Siyasal Bilgiler Fakültesi
● ● ●
Öz
Eşleşme teorisi, bölünmez kaynakların dağıtımını, değişimini ve birbirleriyle eşleşmesini inceleyen, oyun teorisi ve mekanizma tasarımı araçlarını kullanan ve mikroiktisatın son otuz yılda hızla gelişen bir alanıdır. 2012 yılında, Nobel ekonomi ödülü, eşleşme teorisi ve piyasa tasarımı alanındaki katkılarından dolayı iki iktisatçıya, Alvin E. Roth ve Lloyd S. Shapley’e verilmiştir. Bu ödül, eşleşme teorisinin ve piyasa tasarımının önemini bir kez daha vurgulamıştır. Öte yandan Türkiye’de eşleşme teorisi alanı pek bilinmemektedir. Bu makalenin amacı, eşleşme teorisi ve piyasa tasarımı konusunda literatürdeki bazı önemli modelleri ve sonuçları anlatarak bu alanın tanınmasına katkı sağlamaktır. Bu amaçla çalışmada, iki taraflı ve tek taraflı eşleşme piyasaları, okul seçimi problemi, üniversitelere öğrenci yerleştirme problemi ve böbrek değişimi için piyasa tasarımı incelenmektedir.
Anahtar Sözcükler: Eşleşme, piyasa tasarımı, okul seçimi, öğrenci yerleşimi, böbrek değişimi
Matching Theory and Market Design Abstract
During the past 30 years, matching theory has become a rapidly growing branch of microeconomics that analyzes the allocation, exchange and matching of indivisible resources while using the tools of game theory and mechanism design. The 2012 Nobel Prize in Economics was awarded to two economists, Alvin E. Roth and Lloyd S. Shapley, for their contributions to matching theory and market design, highlighting the importance of these paradigms. On the other hand, the field of matching theory is not known well in Turkey. The purpose of this article is to contribute to the recognition of matching theory and market design by introducing some of the fundamental models and results in this field. Therefore, two-sided and one-sided matching markets, school choice problem, student placement problem and market design for kidney exchange are examined in this study.
Keywords: Matching, market design, school choice, student placement, kidney exchange
Makalenin geliş tarihi: 10.03.2014
Eşleşme Teorisi ve Piyasa Tasarımı
Giriş
Eşleşme teorisi, bölünmez kaynakların dağıtımını, değişimini ve birbirleriyle eşleşmesini inceleyen, oyun teorisi ve mekanizma tasarımı araçlarını kullanan, mikroiktisatın son otuz yılda hızla gelişen bir alanıdır. 2012 yılında eşleşme teorisi ve piyasa tasarımı alanına olan katkılarından1 dolayı Nobel ekonomi ödülünün iki iktisatçıya, Alvin E. Roth ve Lloyd S. Shapley, verilmesi eşleşme teorisinin ve piyasa tasarımının önemini bir kez daha vurgulamıştır. Öte yandan Türkiye'de eşleşme teorisi alanı pek bilinmemektedir, hatta bazı iktisatçılar tarafından iktisat alanında dahi sayılmamaktadır. Bu makalenin amacı eşleşme teorisi ve piyasa tasarımı konusunda literatürdeki bazı önemli modelleri ve sonuçları anlatarak bu alanın tanınmasına katkı sağlamaktır.2
Eşleşme teorisinin başlangıcı 1962 yılında David Gale ve Lloyd S. Shapey tarafından yayınlanan “College Admissions and Stability of Marriage [Üniversite Kabulleri ve Evliliğin Durağanlığı]” başlıklı makaleye dayanır. Bu makalede iki taraflı (örneğin, üniversiteler ve öğrenciler) bir eşleşme piyasasında ulaşılabilecek dağılım hakkında bir çözüm yöntemi olan durağanlık kavramı tanımlanarak, bu piyasada en azından bir durağan eşleşme olduğu gösterilmiş ve durağan eşleşmeyi bulmak için gecikmeli kabul algoritması ismi verilen bir algoritma önerilmiştir. Bu çalışmadan yaklaşık yirmi yıl sonra Roth (1984)’ün, A.B.D.’de 1950’lerde uygulanmaya başlayan stajyer doktorları hastanelere yerleştiren algoritmanın Gale ve Shapley (1962)’de önerilen gecikmeli kabul algoritmasına eşdeğer olduğunu göstermesi, piyasa tasarımının, yani gerçek hayattaki problemleri çözmek için teoriye dayanarak mekanizmalar tasarlamanın, önem kazanmasına neden olmuştur. Farklı
1A. E. Roth’un literatüre yaptığı katkılar için bkz. Jackson (2013) ve L. S. Shapley’in literatüre yaptığı katkılar için bkz. Serrano (2013).
2Eşleşme piyasaları hakkında diğer literatür taramaları için bkz. Roth ve Sotomayor (1990), Sönmez ve Ünver (2011), Abdulkadiroglu ve Sönmez (2013).
piyasalarda etkin ve bireylerin tercihlerini doğru beyan etmesini sağlayan mekanizmalar tasarlanmıştır. Örneğin, Abdulkadiroglu ve Sönmez (2003) tarafından öğrencilerin okullara yerleşimi için önerilen mekanizma, A.B.D.'nin Boston ve New York şehirlerinde ilköğretim okullarına öğrenci kabul edilmesinde kullanılmaya başlanmıştır. Roth v.d. (2005a) tarafından böbrek değişimi için önerilen mekanizma A.B.D. New England bölgesinde kurulan böbrek değişim programında kullanılarak nakil bekleyen yüzlerce hastanın böbrek bulmasına yardımcı olmuştur.
Bu makalenin anlatım düzeni şöyledir. İlk bölümde birebir eşleşmelerin (evlilik modeli) ve bire çok eşleşmelerin (üniversite kabul problemi) olduğu iki taraflı eşleşme piyasaları anlatılmaktadır. İkinci bölümde tek taraflı eşleşme piyasaları (ev piyasası modeli) ve üçüncü bölümde okul seçimi problemi incelenmiştir. Dördüncü bölümde Türkiye’deki öğrenci seçme ve yerleştirme sisteminin de dahil olduğu üniversitelere öğrenci yerleştirme problemi ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise son on yılda gelişen böbrek değişimi için piyasa tasarımı konusu tartışılmıştır.
1. İki taraflı eşleşme piyasaları
İki taraflı eşleşme piyasalarında birbirleriyle eşleşecek iki ayrık (kesişimleri boş küme olan) oyuncu kümesi (örneğin, üniversiteler ve öğrenciler, işçiler ve firmalar, hastaneler ve stajyer doktorlar) bulunmaktadır. Her oyuncunun diğer kümedeki oyuncular hakkında tercihleri vardır. Her oyuncunun sadece bir oyuncu ile eşleştiği piyasalar birebir eşleşme piyasaları olarak isimlendirilirken, bir oyuncunun birden çok oyuncu ile eşleşebildiği piyasalara bire çok eşleşme piyasaları denilmektedir.
1.1. Birebir eşleşme piyasaları
Birebir eşleşmeler için verilebilecek en popüler model Gale-Shapley (1962)’de tanımlanan evlilik modelidir. Evlilik modelinde sonlu ve ayrık kümeler olan M
m m1, 2,...,mk
erkekler kümesini belirtirken,
1, 2,..., l
W w w w kadınlar kümesini göstermektedir. Erkeklerin kadınlar
hakkında tercihleri ve kadınların erkekler hakkında tercihleri bulunmaktadır. Tercihlerin tam, geçişli ve mutlak3 olduğu varsayılmaktadır. Erkekler, bazı kadınlarla evlenmek yerine hiç evlenmemeyi ve kadınlar, bazı erkeklerle
3Tercihlerin mutlak olması hiçbir erkeğin iki kadın arasında veya hiçbir kadının iki erkek arasında kayıtsız kalamayacağını ifade eder.
evlenmek yerine hiç evlenmemeyi tercih edebilir. Herhangi bir erkeğin, m diyelim, tercihleri olan m, W
m kümesinin elemanlarının bir sıralamasıdır. Örneğin, m
w w w m
2,
1,
3, ,....,
w
lise, m’nin ilk tercihi ikinci kadın, ikinci tercihi birinci kadın, üçüncü tercihi ise üçüncü kadın olup erkek m diğer kadınlarla evlenmek yerine hiç evlenmemeyi tercih etmektedir.a m b
w
w
ifadesi ise erkek m’nin kadın a’yı kadın b’ye tercih edeceğini göstermektedir. Benzer şekilde herhangi bir kadının, w diyelim, tercihleri olanw, M
w kümesinin elemanlarının bir sıralamasıdır. Örneğin,1
,
2, ,....,
w
m m w
m
kise, w’nin ilk tercihi birinci erkek, ikinci tercihi ikincierkek olup kadın w, diğer erkeklerle evlenmek yerine evlenmemeyi tercih etmektedir.
m
a wm
b ifadesi ise kadın w’nin erkek a’yı erkek b’ye tercih ettiğini göstermektedir. Erkek ve kadınların tercihlerini öyle ki
m1,....,
mk, w1,....,
wl
gösterirse evlilik modeli şu üçlü, ,
M W tarafından tanımlanmaktadır.
Bir eşleşme
’de a oyuncusunun eşleştiği oyuncu
a tarafından gösterilsin. Bir eşleşme ise
: M
W
M
W
tanımlı şu özelliklere sahip bir birebir bağıntıdır: a) Eğer
m m ise o halde
m Wolmalıdır. b) Eğer
w w ise o halde
w M olmalıdır. c)
m w
w m
olmalıdır.Birebir eşleşme modeli analiz edilirken şu kavramlar önemli yere sahiptir.
Bireysel rasyonellik: Eğer oyuncular eşleşme
tarafından atanan eşlerini hiç evlenmemeye tercih ediyorlarsa, eşleşme
bireysel rasyoneldir.Bloke edilmek: Herhangi bir kadın-erkek çifti (m,w) birbirlerini
tarafından atanan eşlerinden daha çok tercih ediyorsa (yani, w m
m ve
w
m
w ise), (m,w) çifti eşleşme
'yi bloke eder.Durağanlık (stability): Bir eşleşme
eğer bireysel rasyonelse ve hiçbir çift tarafından bloke edilmiyorsa, durağandır.Pareto etkinlik: Hiçbir oyuncuyu
'deki eşinden daha az tercih ettiği biriyle eşleştirmeden, en azından bir oyuncuyu
'deki eşinden daha çok tercihettiği biriyle eşleştiren başka bir eşleşme bulunmuyorsa
Pareto etkin bir eşleşmedir.Gale ve Shapley (1962) evlilik probleminde durağan eşleşmenin varlığını göstermişlerdir. “Gecikmeli kabul (deferred acceptance)” ismini verdikleri bir algoritma tanımlayarak bu algoritmanın oluşturduğu eşleşmenin durağan olduğunu göstermişlerdir. Bu algoritmanın erkeklerin teklif ettiği ve kadınların teklif ettiği iki farklı hali vardır.
Erkeklerin teklif ettiği gecikmeli kabul algoritması: İlk adımda her erkek ilk tercihi olan kadına teklif eder. Her kadın gelen tekliflerden en çok tercih ettiğini geçici olarak kabul eder, diğerlerini reddeder. İkinci adımda, ilk adımda reddedilen erkekler ikinci tercihi olan kadınlara teklif ederler. Her kadın gelen teklifler ve varsa bir önceki adımda geçici olarak kabul ettikleri teklifler arasından en çok tercih ettiğini kabul eder, diğerlerini reddeder. Genel olarak, k’ıncı adımda, k-1’inci adımda reddedilen erkekler daha önce reddedilmediği kadınlar arasından en çok tercih ettiklerine teklif ederler. Her kadın gelen teklifler ile varsa bir önceki adımda geçici olarak kabul ettikleri teklifler arasından en çok tercih ettiğini kabul eder, diğerlerini reddeder. Algoritma hiçbir teklifin reddedilmediği adımda sona erer ve her kadın eğer geçici olarak kabul ettiği bir teklif varsa o teklif sahibi erkekle eşleşir. Bir kadın eğer geçici olarak kabul ettiği bir teklif yoksa hiçbir erkekle eşleşmez.
Kadınların teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasında ise teklifi kadınlar yaparken teklifleri reddeden veya geçici olarak kabul eden taraf erkeklerdir. Gale ve Shapley (1962) erkeklerin teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasının ortaya çıkardığı durağan eşleşmenin erkek-optimal olduğunu göstermiştir. Yani, hiçbir erkek başka bir durağan eşleşmeyi bu eşleşmeden daha çok tercih etmez. Benzer şekilde kadınların teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasının ortaya çıkardığı durağan eşleşme, kadın-optimal eşleşmedir. Yani hiçbir kadın başka bir durağan eşleşmeyi, kadınların teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasının ortaya çıkardığı eşleşmeden daha çok tercih etmez. Gecikmeli kabul algoritmasının işleyişi aşağıdaki örnek aracılığıyla gösterilmiştir.
Örnek 1. Dört erkek
m m m m1, 2, 3, 4
ile dört kadın
w w w w1, 2, 3, 4
bulunduğunu ve tercihlerin şöyle olduğunu düşünelim.
1 1 2 2 3 3 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 1 3 2 4 2 2 4 3 2 1 2 4 1 3 3 1 3 2 4 3
: ,
,
,
,
:
,
,
,
,
: ,
,
,
,
:
,
,
,
,
:
,
,
,
,
:
,
,
,
,
:
,
,
,
,
:
,
,
,
,
m w m w m wErkeklerin Tercihleri
Kadınların Tercihleri
w w w w m
m m m m w
w w w w m
m m m w m
w w w w m
m m m m w
Tercihlere bakıldığında 2. kadının 1. erkek ile evlenmek yerine hiç evlenmemeyi, 4. kadının ise 2. erkek ile evlenmek yerine hiç evlenmemeyi tercih ettiği görülmektedir. Bu örnekte erkek-optimal durağan eşleşmeyi bulmak için erkeklerin teklif ettiği gecikmeli kabul algoritması kullanılır. Bu algoritmanın işleyişi şöyledir. 1. adım: m1 ve m2, w1'e; m3, w2'ye ve m4, w3'e
teklif eder. İki teklif alan w1, m1’i m2’ye tercih ettiği için m2’nin teklifini
reddeder. Diğer teklifler geçici olarak kabul edilir. 2. adım: İlk adıma reddedilen m2, ikinci tercihi olan w3’e teklif eder. w3, m2’yi ilk adımda geçici
olarak kabul ettiği m4’e tercih ettiği için bu teklifi geçici olarak kabul eder,
m4’ü reddeder. 3. adım: m4, ikinci tercihi olan w1’e teklif eder. w1 ilk adımda
geçici olarak kabul ettiği m1’i, m4’e tercih ettiği için bu teklifi reddeder. 4.
adım: m4, üçüncü tercihi olan w2’ye teklif eder. w2, m4’ü birinci adımda geçici
olarak kabul ettiği m3’e tercih ettiği için bu teklifi kabul eder, m3’ü reddeder. 5.
adım: m3, ikinci tercihi olan w4’e teklif eder. Daha önce hiç teklif gelmeyen w4,
m3 ile evlenmeyi hiç evlenmemeye tercih ettiği için bu teklifi kabul eder.
Hiçbir teklif reddedilmediği için algoritma sona erer, geçici kabuller nihai hale dönüşür ve erkek-optimal ve durağan olan şu eşleşme ortaya çıkar.
1 2 3 4 1 3 4 2 erkek optimal
m
m
m
m
w
w
w
w
Öte yandan, bu örnekte kadınların teklif ettiği gecikmeli kabul algoritması uygulanırsa kadın-optimal ve durağan olan şu eşleşme elde edilir.
1 2 3 4 1 2 3 4 kadın optimal
m
m
m
m
w
w
w
w
Erkek-optimal durağan eşleşme kadınlar açısından tüm durağan eşleşmeler arasından en kötü olanıdır. Yani, herhangi bir durağan eşleşmede bir kadın erkek-optimal durağan eşlemedeki eşinden daha az tercih ettiği bir erkek ile eşleşemez. Benzer şekilde, kadın-optimal durağan eşleşme tüm durağan eşleşmeler arasından erkekler için en kötü olanıdır (Knuth, 1976).
Evlilik probleminde ortaya çıkabilecek durağan eşleşmelerin sayısıyla ilgili olarak net bir sonuç olmamasına rağmen, Irwing ve Leather (1986) tarafından durağan eşleşme sayısının alt limiti ile ilgili şu sonuç bulunmuştur. Her
i
0
içinn
2
iolmak üzere eğer evlenme probleminde n kadın ve n erkek varsa, bu problemde en azından 12
n durağan eşleşme bulunmaktadır. Bir mekanizma verilen her evlilik problemi için bir eşleşme ortaya çıkaran bir sistemdir. Eğer bir mekanizma her evlilik problemi için durağan eşleşme ortaya çıkarıyorsa, durağan mekanizmadır. Her evlilik problemi içinPareto-etkin eşleşme yaratıyorsa, Pareto etkin bir mekanizmadır. Her evlilik problemi için bireysel rasyonel bir eşleşme yaratıyorsa, bireysel rasyonel bir mekanizmadır. Bir mekanizma altında eğer hiçbir oyuncu tercihlerini yanlış bildirerek daha çok tercih ettiği bir oyuncu ile eşleşemiyorsa, mekanizma manipüle- edilemezdir.
Roth (1982b) hem durağan hem de manipüle edilemez bir mekanizmanın var olamayacağını göstermiştir. Durağan mekanizmaların manipüle edilebilir olması, bireysel rasyonel ve Pareto etkin olan mekanizmalar için de geçerlidir. Pareto etkin, bireysel rasyonel ve manipüle edilemez bir mekanizma var olamaz. (Alcalde ve Barbera, 1994). Erkeklerin teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasına göre eşleşme ortaya çıkaran mekanizmayı “erkek-optimal durağan mekanizma” ve kadınların teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasına göre eşleşme ortaya çıkaran mekanizmayı “kadın-optimal durağan mekanizma” olarak isimlendirirsek bu mekanizmaların manipüle edilemezliği hakkında şunlar söylenebilir. i) Erkek-optimal durağan mekanizma kullanıldığında hiçbir erkek tercihlerini yanlış beyan ederek daha çok tercih ettiği bir kadınla evlenemez. Diğer bir deyişle, tercihlerini doğru beyan etmek her erkek için zayıf olarak baskın stratejidir. ii) Kadın-optimal durağan mekanizma altında hiçbir kadın tercihlerini yanlış beyan ederek daha çok tercih ettiği bir erkekle evlenemez. Yani, tercihlerini doğru olarak bildirmek her kadın için zayıf olarak baskın stratejidir. (Roth 1982b; Dubins ve Freedman, 1981)
1.2. Bire çok eşleşme piyasaları
Bire çok eşleşme piyasalarının birebir eşleşme piyasalarından en önemli farkı bazı oyuncuların birden çok oyuncuyla eşleşebilmesidir. Bire çok eşleşme piyasalarının en bilinen uygulaması üniversitelere öğrenci kabul problemidir. Firmalar ile işçilerin eşleşmesi, A.B.D.'de stajyer doktorların hastanelere atanması yine bu piyasaya örnek olarak gösterilebilir.
Üniversitelere öğrenci kabul probleminde4
1, 2,..., n
S s s s öğrenciler
kümesini,C
C C1, 2,...,Cm
üniversiteler kümesini5 göstermektedir. Yani n4Bu kısımda bahsedilen üniversitelere öğrenci kabul problemine A.B.D.’deki sistem örnek olarak verilebilir. Bu sistemde hem öğrencilerin üniversiteler hem de üniversitelerin öğrenciler üzerinde tercihleri bulunmaktadır. Türkiye’deki sistemde ise öğrencilerin üniversiteler üzerinde tercihleri bulunurken, üniversitelerin öğrenciler üzerinde tercihleri bulunmamaktadır. Ayrıca programlar farklı puan türlerine göre öğrenci kabul etmektedir. Türkiye’de üniversitelere öğrenci yerleştirme sistemi
öğrenci m üniversiteye yerleşecektir. Evlilik problemine benzer şekilde öğrencilerin üniversiteler üzerine ve üniversitelerin öğrenciler üzerinde
tercihleri vardır. Bu tercihleri
1
,...,
n,
1,...,
ms s c c
ifade etmektedir.Örneğin, herhangi bir öğrenci s’in tercihleri s
c c s
1, , ,..,
2c
m ise bu öğrenci ilk olarak birinci üniversiteyi, ikinci olarak ikinci üniversiteyi ve diğer üniversitelere yerleşmek yerine boşta kalmayı (hiçbir üniversiteye yerleşmemeyi) tercih etmektedir. Herhangi bir üniversite c’nin tercihleri2
, , , ,..,
3 1c
s s s c
s
n ise bu üniversitenin ilk tercihi ikinci öğrenci, ikincitercihi üçüncü öğrenci, üçüncü tercihi birinci öğrenci olup üniversite, diğer öğrencileri kabul etmek yerine kontenjanının boş kalmasını tercih etmektedir. Üniversitelere öğrenci kabul probleminin evlilik probleminden en önemli farkı bir üniversitenin birden çok öğrenciyi kabul edebilmesidir. Her üniversitenin belirli bir kontenjanı bulunmaktadır.
q
c, c üniversitesinin kontenjanını göstermektedir. Öğrencilerin bir üniversiteye hangi sıradan kabul edilmeleri önemli değildir, sadece kabul edilmeleri önemlidir.Bir eşleşme eğer bireysel rasyonelse6 ve hiçbir üniversite – öğrenci çifti tarafından bloke edilmiyorsa7, durağan bir eşleşmedir.
Evlilik problemindeki gecikmeli kabul algoritması üniversitelere öğrenci kabul problemi için de uyarlanabilir.
Öğrencilerin teklif ettiği gecikmeli kabul algoritması:
Adım 1. Her öğrenci ilk tercihi olan üniversiteye başvurur. Her üniversite kendisine başvuran öğrencilerden kontenjanını aşmamak koşuluyla en çok tercih ettiklerini geçici olarak kabul eder, diğerlerini reddeder.
Adım k. Bir önceki adımda reddedilen her öğrenci daha önce reddedilmediği üniversitelerden en çok tercih ettiği üniversiteye başvurur (Eğer
“üniversitelere öğrenci kabul” probleminden farklı olduğundan dördüncü bölümde “üniversitelere öğrenci yerleştirme problemi” olarak incelenecektir.
5Bu modelde “üniversite” aslında öğrencinin üniversitede yerleşeceği programı ifade etmektedir.
6Bir eşleşmede eğer hiçbir üniversite kabul etmek istemediği bir öğrenci ile eşleşmiyorsa ve hiçbir öğrenci boşta kalmayı yerleşmeye tercih ettiği bir üniversite ile eşleşmiyorsa, eşleşme bireysel rasyoneldir.
7Herhangi bir üniversite-öğrenci çifti (c,s) için eğer s öğrencisi, c üniversitesini eşleşmesinde yerleştiği üniversiteden daha çok tercih ediyorsa ve c üniversitesi s öğrencisini eşleşmesinde kabul ettiği öğrencilerden herhangi birinden daha çok tercih ediyorsa, (c,s) çifti eşleşmesini bloke etmektedir.
bir öğrenci daha önce reddedilmediği üniversitelere yerleşmek yerine boşta kalmayı tercih ediyorsa, hiçbir üniversiteye başvurmaz ve boşta kalır.) Her üniversite daha önce geçici olarak kabul ettiği ve yeni başvuran öğrenciler arasından kontenjanı dâhilinde en çok tercih ettiklerini geçici olarak kabul eder ve diğerlerini reddeder.
Algoritma reddedilen hiç öğrenci olmadığı zaman sona erer ve o anki geçici kabuller nihai hale gelerek üniversite-öğrenci eşleşmesini verir. Gale ve Shapley (1962)’de belirtildiği gibi bu eşleşme durağandır. Bu algoritmada eğer teklif öğrencilerden değil de üniversitelerden gelirse, yine durağan bir eşleşme oluşur.
Üniversitelere öğrenci kabul problemi evlilik problemiyle çok yakından ilgilidir. Üniversitelere öğrenci kabul problemi ilişkili bir evlilik problemine dönüştürülebilir. Kontenjanı
q
colan c üniversitesini, kontenjanı bir olanq
cadet üniversite kabul ederek c üniversitesini tercih eden her öğrencinin tercih sıralamasında c’nin olduğu sıraya
q
c adet c üniversitesi yerleştirilerek ilişkili bir evlilik problemi elde edilir.Üniversitelere öğrenci kabul problemindeki bir eşleşme ancak ve ancak ilişkili evlilik problemindeki eşleşme durağan ise, durağan bir eşleşmedir. (Roth ve Sotomayor, 1989) Dolayısıyla öğrencilerin teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasının ortaya çıkardığı eşleşme öğrenci-optimaldir, yani herhangi bir öğrenci başka bir durağan eşleşmeyi bu eşleşmeye daha çok tercih etmez. Ayrıca üniversitelerin teklif ettiği gecikmeli kabul algoritmasının ortaya çıkardığı eşleşme üniversite-optimaldir. Hiçbir üniversite başka bir durağan eşleşmeyi bu eşleşmeden daha çok tercih etmez.
Evlilik probleminde olduğu gibi durağan ve manipüle edilmez bir üniversitelere kabul mekanizması olamaz (Roth, 1982b). Pareto etkin, bireysel rasyonel ve manipüle edilemez bir üniversitelere kabul mekanizması olamaz (Alcalde ve Barbera, 1994). Öğrenci-optimal gecikmeli kabul algoritmasına göre öğrencileri okullara yerleştiren mekanizma altında öğrencilerin tercihlerini doğru beyan etmeleri, zayıf baskın stratejileridir (Roth, 1986).
2. Tek taraflı eşleşme piyasaları
Tek taraflı eşleşme piyasalarında oyuncular nesneler ile eşleştirilmektedir. Sadece bir tarafın (oyuncuların) nesneler üzerinde tercihleri mevcutken, nesnelerin oyuncular hakkında bir tercihi bulunmaz. Üniversitedeki odaların üniversite hocalarına tahsis edilmesi, öğrencilerin yurtlardaki odalara
dağıtılması, kamu okullarına öğrencilerin yerleştirilmesi8 tek taraflı eşleşme piyasalarına örnektir.
Tek taraflı eşleşme piyasaları ilk olarak Shapley ve Scarf (1974) tarafından ev piyasası modeli ele alınarak incelenmiştir. Bu modele göre piyasada n tane oyuncunun ve n tane evin olduğu, başlangıçta her oyuncunun bir eve sahip olduğu, her oyuncunun evler üzerinde mutlak bir tercih sıralaması olduğu varsayılmaktadır. Piyasada oyuncular, evlerini sadece değiş-tokuş yapabilmektedir, yani alışverişte birbirlerine herhangi bir para miktarı ödeyememektedir. Ev piyasasında bir dağılım
, her oyuncunun sadece bir ev ile eşleştiği eşleşmeyi gösterir.Bir dağılım, eğer oyuncular kümesinin hiçbir alt kümesindeki oyuncular kendi aralarında değiş-tokuş yaparak, bu alt kümedeki hiçbir oyuncuyu daha kötü hale getirmeden en azından bir oyuncuyu daha iyi hale getiremiyorsa, çekirdektedir (core). Shapley ve Scarf (1974) tarafından tanımlanan ve Gale’e atfedilen Üst Değiş-Tokuş Döngüleri (Top Trading Cycles-TTC) algoritması ev piyasası modelinde çekirdekteki dağılımı bulmaktadır.
Üst Değiş-Tokuş Döngüleri Algoritması:
Adım 1: Her oyuncu en çok tercih ettiği evin sahibini işaret eder. Eğer en çok tercih ettiği ev kendi evi ise, kendini işaret eder. Sonlu sayıda oyuncu olduğu için en azından bir döngü oluşur. Örneğin, bir döngüde o1, o2,.., ot gibi t
oyuncu varsa, her oyuncu bir sonraki oyuncuyu ve t’nci oyuncu birinci oyuncuyu işaret eder. Oluşan her döngüde oyuncular işaret ettikleri oyuncunun sahip olduğu ev ile eşleştirilir. Eğer döngü dışında kalan oyuncu yoksa algoritma sona erer, aksi halde bir sonraki adıma geçilir.
Adım k (k>1 için): Daha önceki adımlarda eşleştirilmeyen oyuncular kendi aralarında en çok tercih ettiği evin sahibini işaret eder. En azından bir döngü oluşur. Oluşan her döngüde oyuncular işaret ettikleri oyuncunun sahip olduğu ev ile eşleştirilir. Eğer döngü dışında kalan oyuncu yoksa algoritma sona erer, aksi halde bir sonraki adıma geçilir.
Üst Değiş-Tokuş Döngüleri Algoritmasının işleyişi aşağıdaki örnek ile gösterilebilir.
8Kamu okullarına öğrencilerin yerleştirilmesi problemi “okul seçimi” problemi olarak adlandırılmakta olup eşleşme piyasalarının en önemli uygulama alanlarından biridir. Kamu okullarının öğrenciler üzerinde bazı öncelikleri olabilmesine rağmen, kamu okulları öğrenciler üzerinde tercih bildirmediğinden, yani stratejik davranabilen oyuncular değil de öğrenciler tarafından tüketilen nesneler gibi olduğu için okul seçimi problemi, üniversitelere öğrenci kabul probleminden farklı olarak tek taraflı eşleşme piyasalarına örnek gösterilebilir.
Örnek 2: Beş oyuncu (o1, o2, o3, o4, o5) ve beş evin (e1, e2, e3, e4, e5)
olduğu bir piyasa düşünelim. Başlangıçta 1. oyuncu 1 no’lu eve, 2. oyuncu 2 no’lu eve, 3. oyuncu 3 no’lu eve, 4. oyuncu 4 no’lu eve ve 5. oyuncu 5 no’lu eve sahip olsun. Oyuncuların evler üzerindeki tercihleri ise şöyle olsun.
1 5 2 1 3 4 2 5 4 3 1 2 3 4 2 3 5 1 4 2 1 5 3 4 5 2 4 1 5 3
:
:
:
:
:
o
e
e
e
e
e
o
e
e
e
e
e
o
e
e
e
e
e
o
e
e
e
e
e
o
e
e
e
e
e
TTC algoritmasının ilk adımında her oyuncu en çok tercih ettiği eve sahip olan oyuncuyu işaret eder. Şekil 1’de görüleceği üzere algoritmanın ilk adımında 2. ve 5. oyunculardan oluşan bir döngü oluşmuştur. 5 no’lu ev 2. oyuncuya ve 2 no’lu ev 5. oyuncuya atanır, bu iki oyuncu piyasa dışında bırakılarak ikinci adıma geçilir. Algoritmanın ikinci adımında sadece 1. oyuncudan oluşan bir döngü oluşmuştur: 1. oyuncu en çok kendi evini tercih etmektedir. 1 no’lu ev 1. oyuncuya atanarak bu oyuncu piyasa dışında bırakılır ve sonraki adıma geçilir. Algoritmanın 3. adımında 3. oyuncu ve 4. oyuncudan oluşan bir döngü oluşmuştur. 4 no’lu ev 3. oyuncuya ve 3 no’lu ev 4. oyuncuya atanır. Döngü dışında kalan oyuncu kalmadığından algoritma sona erer. Sonuç olarak TTC algoritması şu dağılımı vermektedir: 1 2 3 4 5
5 3 1 4 2
o
o
o
o
o
e
e
e
e
e
TTC algoritmasının ortaya çıkardığı dağılım ev piyasası modelinde çekirdekteki tek dağılımdır. (Roth ve Postlewaite, 1977). Ayrıca, TTC algoritması oyuncuların tercihlerini farklı yansıtmasına izin vermez (Roth, 1982a). Yani, hiçbir oyuncu evler hakkındaki tercihlerini farklı göstererek kazanç sağlayamaz (daha çok tercih ettiği bir ev ile eşleşemez).
Ev piyasası modelinin Shapley ve Scarf (1974) modelinden farklı uyarlamaları da literatürde çalışılmıştır. Örneğin, Hylland ve Zeckhauser (1979) modelinde evlerin başlangıçta bir sahibi bulunmamaktadır. Abdulkadiroglu ve Sönmez (1999)’un A.B.D. de üniversitelerin sahip olduğu evlerin, öğrencilere dağıtılmasından esinlenerek kurdukları modelde bazı evlerde oturanlar bulunurken diğerleri boştur. Evler piyasaya yeni gelenler ile mevcut oturanlara dağıtılmaktadır. Abdulkadiroglu ve Sönmez (1999) bu modelde evlerin dağıtımını gerçekleştiren “sen benim evimi iste - ben senin sıranı alırım (YRMH-IGYT)” ismini verdikleri bireysel rasyonel, Pareto etkin ve manipüle edilemez bir mekanizma önermişlerdir.
3. Okul seçimi problemi
Okul seçimi problemi ilk olarak Abdulkadiroglu ve Sönmez (2003) tarafından tanımlanmış olup eşleşme piyasalarının en önemli uygulama alanlarından biridir. Bu çalışmadan kısa bir süre sonra öncelikle 2004 yılında New York City’de (bkz. Abdulkadiroglu vd., 2005a) ve daha sonra 2005 yılında Boston’da okullara öğrenci yerleştirme sistemleri değiştirilmiştir (Abdulkadiroglu vd., 2005b).
Okul seçimi probleminde her biri belli kontenjana sahip okullar ve öğrenciler bulunmaktadır. Her öğrencinin okullar hakkında bir tercihi ve her okulun öğrencilere tanıdığı bir öncelik sıralaması vardır. Örneğin, Boston’da öğrenciler okullara yerleştirilirken okulların öncelik sıralaması şöyledir.
1. aynı okulun farklı bir bölümünden mezun öğrenciler (bu öğrenciler kesin olarak kabul edilir),
2. hem okulda kardeşi bulunan hem de okula yakın bölgede oturan öğrenciler,
3. okulda kardeşi bulunan öğrenciler, 4. okula yakın bölgede oturan öğrenciler, 5. diğer öğrenciler.
Öğrenciler tercihlerini bildirdikten sonra aynı önceliğe sahip olanlar arasında kura çekilerek bunların mutlak öncelikleri belirlenir.
Okul seçimi probleminde okulların öğrencilere tanıdığı önceliklerin dışsal olarak belirlendiği varsayılmaktadır. Diğer bir deyişle öncelikler okullar tarafından belirlenmeyip yasal olarak düzenlenmektedir.9 Dolayısıyla okul seçimi probleminde okullar tercih bildiren birer stratejik oyuncu değil, sadece öğrenciler tarafından tüketilen bir nesne gibidir.
Okul seçim probleminde bir eşleşmenin durağan olması onun adil olmasına bağlıdır. a ve b ile gösterilen iki öğrenciden a’nın s1 okuluna ve b’nin
s2 okuluna yerleştiğini düşünelim. Eğer a, s2’yi kendi yerleştiği s1’e tercih
ediyorsa ve s2 okulunda b’ye göre daha yüksek önceliğe sahipse, a
öğrencisinde haklı kıskançlık oluşur. Bir eşleşme eğer hiçbir öğrencide haklı kıskançlık oluşturmuyorsa, adildir. Bir öğrenci yerleştirme mekanizması, öğrencilerin tercihleri, okulların öncelikleri ve kontenjanlarına göre öğrencileri okullara yerleştiren mekanizmadır. Eğer bir öğrenci yerleştirme mekanizması hep adil eşleşmeler oluşturuyor ise, durağandır.
Bir eşleşme
, eğer hiçbir öğrenciyi
’de yerleştiği okuldan daha az tercih ettiği bir okula yerleştirmeden en azından bir öğrenciyi
’de yerleştiği okuldan daha çok tercih ettiği bir okula yerleştiren başka bir eşleşme yoksa (Pareto) etkindir. Eğer bir öğrenci yerleştirme mekanizması hep etkin eşleşmeler oluşturuyor ise, etkin mekanizmadır. Etkinlik okul seçimi probleminde oldukça önemlidir çünkü etkin olmayan eşleşmelerde hiçbir öğrenci daha az tercih ettiği bir okula yerleştirilmeden, bazı öğrenciler daha çok tercih ettiği okullara yerleşebilmektedir.Eğer herhangi bir öğrenci tercihlerini farklılaştırıp bildirdiğinde, tercihlerini doğru beyan ettiğinde oluşan eşleşmede yerleştiği okuldan daha çok tercih ettiği bir okula yerleşemiyorsa, öğrenci yerleştirme mekanizması manipule-edilemez bir mekanizmadır. Okul seçimi probleminde bir mekanizmanın manipule-edilemez olması da oldukça önemlidir çünkü böyle bir mekanizma altında öğrenciler stratejik davranmak yerine doğru tercihlerini bildireceklerdir.
Öğrenci yerleştirme mekanizmalarını tasarlarken durağanlık, etkinlik ve manipule-edilemezlik özellikleri göz önünde bulundurulmalıdır. Boston’da 2005 yılı öncesi kullanılan mekanizma bu özelliklerin hiçbirini sağlamamaktadır. Boston mekanizmasında öğrenciler okullara şu algoritmaya göre yerleştirilmektedir.
9Öncelik sıralamasının dışsal olmadığı duruma örnek olarak New York City’de 2005 yılı öncesinde kullanılan sistem örnek gösterilebilir. Bu sistemde aynı önceliğe sahip öğrenciler arasında öncelik sırasını okullar belirlediği için bu sistem çift taraflı eşleşme piyasalarının bir örneği olmaktadır.
Adım 1: Her okul kendini ilk sırada tercih eden öğrencileri göz önüne alır. Eğer bu öğrencilerin sayısı okulun kontenjandan fazla değilse, okul tüm öğrencileri kabul eder. Aksi halde okul, bu öğrencileri öncelik sıralarına göre kontenjanı doluncaya kadar kabul eder.
Adım k (k>1): Her okul daha önce yerleşmeyen öğrencilerden kendini k’ncı sırada tercih edenleri göz önüne alır. Bu öğrencileri sayısı okulun kalan kontenjanından büyük değilse tüm öğrencileri kabul eder. Aksi halde okul, bu öğrencileri öncelik sıralarına göre kalan kontenjanı doluncaya kadar kabul eder.
Algoritma eğer bir adımda hiç öğrenci yerleşmezse sona erer. Boston mekanizmasının manipüle edilebilir olduğu açıktır. Kabul edilebilme şansını artırmak için öğrenciler üst tercihlerinde daha az popüler okulları bildireceklerdir. Ayrıca, bu mekanizma ne durağandır, ne de etkindir. Abdulkadiroğlu ve Sönmez (2003) bu özellikleri sağlama açısından daha avantajlı iki ayrı mekanizma önermişlerdir. Bunlardan ilki ev piyasası modelinden uyarlanan üst değiş-tokuş mekanizması (TTC) olup şu algoritmaya göre öğrencileri okullara yerleştirir.
Adım 1. Her okul en çok önceliğe sahip öğrenciyi, her öğrenci en çok tercih ettiği okulu işaret eder. Sonlu sayıda okul ve öğrenci olduğu için en azından bir döngü (okul 1→öğrenci 1→okul 2→ öğrenci 2→……→okul m→öğrenci m gibi) oluşur. Oluşan tüm döngülerdeki öğrenciler işaret ettikleri okullara yerleştirilirler ve öğrenci yerleştirilen okulların kontenjanları bir eksiltilir.
Adım k (k>1). Kontenjanı dolmayan okullar, en çok önceliğe sahip öğrencileri ve daha önce yerleştirilmeyen öğrenciler, en çok tercih ettikleri okulları işaret ederler. Oluşan tüm döngülerdeki öğrenciler işaret ettikleri okullara yerleştirilirler, öğrenci yerleştirilen okulların kontenjanları bir eksiltilir. Eğer hiçbir okula öğrenci yerleştirilmemiş ise algoritma sona erer.
Üst değiş tokuş mekanizması (TTC) manipule-edilemez ve etkin olmasına rağmen durağan değildir. Önerilen ikinci mekanizma ise öğrenci optimal Gale-Shapley gecikmeli kabul mekanizması (SOSM) olup şu algoritmaya göre öğrencileri okullara yerleştirir.
Adım 1. Her öğrenci en çok tercih ettiği okula başvurur. Her okul başvuran öğrencileri öncelik sıralamasına göre kontenjanını aşmamak koşuluyla geçici olarak kabul eder, diğerlerini reddeder.
Adım k (k>1). Bir önceki adımda reddedilen her öğrenci reddedildiği okuldan sonra en çok tercih ettiği okula başvurur. Her okul başvuran öğrenciler ve daha önceki adımda geçici olarak kabul ettiği öğrenciler arasından kontenjanını aşmamak koşuluyla en yüksek önceliğe sahip öğrencileri kabul eder, diğerlerini reddeder.
Algoritma bir adımda hiçbir öğrenci reddedilmezse sona erer. SOSM tarafından oluşturulan eşleşme, öğrenciler açısından tüm durağan eşleşmeler arasından en iyisi olmasına rağmen, tüm eşleşmeler arasından etkin olmayabilir. SOSM, manipule-edilemez ve durağan olmasına rağmen etkin değildir.
Sonuç olarak TTC etkin fakat durağan olmayan bir mekanizma iken, SOSM durağan fakat etkin olmayan bir mekanizmadır. Ayrıca, her ikisi de manipüle-edilemez mekanizmalardır. Etkinlik ve durağanlık arasındaki karşılaştırma şu örnek aracılığıyla gösterilebilir.
Örnek 3: Üç okul (a, b ve c) ve üç öğrenci (ö1, ö2, ö3) olduğunu ve her
okulun kontenjanının bir olduğunu düşünelim. Öğrencilerin okullar üzerine tercihleri ve okulların öncelik sıralaması şöyle olsun.
3 2 1 1 2 1 3 2 3 1 3 2
:
: a
: a
:
: b
:
a ö
ö
ö
ö
b
c
ö
b
c
b ö
ö
ö
ö
a
c
c ö
ö
ö
SOSM’nin her adımında geçici kabuller aşağıda gösterilmiştir.
a b C Adım 1 ö2 ö3 - Adım 2 ö2 ö1 - Adım 3 ö3 ö1 - Adım 4 ö3 ö1 - Adım 5 ö3 ö1 ö2
SOSM sonucu oluşan durağan eşleşmede
ö
1veö
3 ikinci tercihlerine,2
ö
ise son tercihi olan okula yerleştirilmiş ve şu eşleşme oluşmuştur:1 2 3 SOSM
ö
ö
ö
b
c
a
SOSM
örnekte verilen öğrenci yerleştirme probleminin tek durağan eşleşmesi olmasına karşın, etkin değildir. Çünkü bu eşleştirmedeö
1veö
3’ün yerleştirildikleri okullar değiştirilirse,ö
2daha kötü olmadan her ikisi de ilk tercihlerine yerleşmiş olacaklardır. Yani, aşağıda verilen
1eşleşmesiSOSM
1
ö
1ö
2ö
3a
c
b
Üst değiş tokuş algoritmasına göre ise ilk adımda (a→
ö
3→b→ö
1) döngüsü oluşmuştur.ö
1, a okuluna veö
3, b okuluna yerleştirilir. İkinci adımda iseö
2, c okuluna yerleştirilir. TTC sonucu oluşan eşleşme şöyledir.1 2 3 TTC
ö
ö
ö
a
c
b
TTC
etkin olmasına karşın durağan bir eşleşme değildir. Çünküö
2, a okulunu kendi yerleştiği c okuluna tercih etmesine ve a okuluna yerleşen1
ö
’den (a okulu için) daha yüksek önceliğe sahip olmasına rağmen a okuluna yerleşememiştir. Diğer bir deyişle a öğrencisinde haklı kıskançlık oluşmuştur ve dolayısıyla
TTCdurağan değildir.Okul seçim probleminde uygun mekanizmayı seçerken etkinlik ve durağanlık arasında bir seçim yapılması gerekmektedir. Boston ve New York City’de haklı-kıskançlığın tamamen yok edilmesi amacıyla durağan mekanizma olan SOSM uygulanmıştır. SOSM uygulanırken önemli bir nokta da aynı önceliğe sahip öğrencilerin mutlak öncelik sıralamasının belirlenmesinde uygulanacak yöntemdir. Çünkü aynı önceliğe sahip çok sayıda öğrenci olabilmektedir. Öğrenciler arasındaki mutlak öncelik sıralamasının tespit edilmesinde kullanılan en popüler yöntem, mutlak önceliği tesadüfî bir şekilde belirlemektir. Öte yandan Erdil ve Erkan (2008) mutlak öncelik sıralamasının tesadüfî bir şekilde belirlenmesinin etkinlik kaybına yol açacağını göstermişlerdir. Etkinlik kaybının nasıl oluştuğunu şu örnekle gösterebiliriz.
Örnek 4 (Erdil ve Erkan, 2008). Üç okul (a, b ve c) ve üç öğrenci (ö1, ö2,
ö3) olduğunu ve her okulun kontenjanının bir olduğunu düşünelim.
Öğrencilerin okullar üzerine tercihleri ve okulların öncelik sıralamaları şöyle olsun. 1 2 3 1 2 2 1 3 3 3 1 2
:
( ,
)
: b
: c
:
( ,
)
: b
:
( ,
)
a ö
ö ö
ö
a
c
ö
b
a
b ö
ö ö
ö
c
a
c ö
ö ö
a okulu için ilk öncelik 1. öğrencinin olup daha sonra 2. ve 3. öğrenciler aynı önceliğe sahiptir. b okulu için ilk öncelik 2. öğrencinin olup daha sonra 1.
ve 3. öğrenciler aynı önceliğe sahiptir. c okulu için ise ilk öncelik 3. öğrencinin olup daha sonra 1. ve 2. öğrenciler aynı önceliğe sahiptir.
Aynı önceliğe sahip öğrencilerin mutlak önceliklerini belirlemede şu basit yöntemi kullandığımızı varsayalım. Daha düşük numara ile gösterilen öğrenci daha yüksek önceliğe sahip olsun. Bu yönteme göre mutlak öncelikler belirlenirse şu öncelik sıralamasına erişilir.
1 2 3 2 1 3 3 1 2
:
:
:
a ö
ö
ö
b ö
ö
ö
c ö
ö
ö
SOSM kullanılarak bu öncelik sıralamasına göre eşleştirilme yapıldığında şu durağan eşleşmeye ulaşılır.
1 2 3
ö
ö
ö
a
b
c
Öte yandan aynı önceliğe sahip öğrencilerin mutlak öncelik sıralaması belirtilen yöntemle belirlenmeden önceki sıralamaya göre şu eşleşme de durağandır. 1 2 3
ö
ö
ö
a
c
b
Ayrıca
eşleşmesi
eşleşmesine Pareto baskındır çünkü 1. öğrenci daha kötü olmadan 2. ve 3. öğrenciler daha çok tercih ettikleri okullara yerleşmişlerdir.Bu örnekte gösterilen etkinlik kaybını gidermek için Erdil ve Erkan (2008) durağan iyileştirme döngüsü adı verilen bir algoritma geliştirmişlerdir. Bu algoritma tüm durağan eşleşmeler arasında Pareto etkin eşleşmeyi bulmaktadır fakat manipule-edilebilir bir algoritmadır. Kesten (2010) yine tüm durağan eşleşmeler arasından Pareto etkin eşleşmeyi bulmak üzere etkinlik-düzeltilmiş gecikmeli kabul mekanizması (EADAM) diye isimlendirilen bir mekanizma geliştirmiştir.
Abdulkadiroğlu vd. (2009) mutlak öncelikleri belirlemek için herhangi bir yöntem kullanılarak hem SOSM’ye Pareto baskın olan hem de manipule-edilemez bir mekanizmanın elde edilemeyeceğini göstermişlerdir. Bu çalışmada ayrıca New York City ve Boston’da kullanılan SOSM’nin oluşturduğu eşleşmenin, durağan iyileştirme döngüsü altında oluşan eşleşmeden ne kadar farklılaştığı, diğer bir deyişle SOSM’nin ortaya çıkardığı etkinlik kaybı araştırılmıştır. Boston’da etkinlik kaybının çok fazla olmadığı
ama NYC’de önemli bir etkinlik kaybı olduğu belirlenmiştir. Diğer yandan bu etkinlik kaybını önlemek için kullanılacak mekanizma manipüle-edilebilir olacağından, her yönden diğerlerine tercih edilen bir mekanizma bulunmamaktadır.10
4.Üniversitelere öğrenci yerleştirme problemi
Üniversitelere öğrenci yerleştirme problemi Türkiye’deki Öğrenci Seçme ve Yerleştirme Siteminden (ÖSYS) esinlenerek Balinski ve Sönmez (1999) tarafından tanımlanmıştır. Bu çalışmada merkezi sistemle üniversitelere öğrenci yerleştirilmesi modellenmektedir. Sadece öğrenciler stratejik davranabilen oyuncular olup, üniversiteler öğrenciler tarafından tüketilen nesneler gibidir. Diğer bir deyişle sadece öğrenciler üniversiteler hakkında tercih bildirirken, üniversitelerin öğrenciler üzerinde tercihleri bulunmaz. Öğrenciler merkezi bir sınava katılarak farklı kategorilerde puanlar alırlar ve üniversitelere11 kabul edilirken aldıkları puanlara göre farklı önceliklere sahip olurlar.
Türkiye’deki üniversitelere öğrenci yerleştirme problemini tanımlamak için şunlara gerek duyulur: öğrenciler, öğrencilerin tercihleri, puan türleri, öğrencilerin puan türlerinden aldıkları puanlar, üniversiteler, üniversitelerin öğrenci alımında esas aldıkları puan türleri ve üniversitelerin kontenjanları. Bir üniversitenin esas aldığı puan türünde puanı daha yüksek olan öğrenci o üniversite için daha fazla önceliğe sahiptir. Öğrencilerin önceliklerine saygı duyulması adillik kavramı ile ifade edilir. Bir yerleştirmede eğer bir öğrenci, yerleştirmede esas alınan puan türünde kendisinden daha düşük puan alan bir öğrencinin yerleştiği üniversiteyi kendi yerleştiği üniversiteye tercih ediyorsa, bu öğrencide haklı kıskançlık oluşur. Bir yerleştirme hiçbir öğrencide haklı kıskançlık oluşturmuyorsa, adildir. Bir öğrenci yerleştirme mekanizması hep adil yerleştirme oluşturuyorsa, durağan mekanizmadır.
ÖSYS’de sadece bir puan türü olduğu varsayılırsa, şu algoritma (sıralı yerleştirme algoritması) adil bir yerleştirme oluşturacaktır: Öğrenciler, en yüksek puanlı olanı listenin en üstünde olacak biçimde puanlarına göre sıralanır. En üstteki öğrenciden başlayarak her adımda bir öğrenci, kontenjanı dolmamış üniversitelerden en çok tercih ettiğine yerleştirilir. Eğer adayın tercih
10Okul seçimi problemi hakkında detaylı bir literatür özeti için bkz. Abdulkadiroğlu (2013).
11Bu modelde “üniversite” aslında üniversitenin bir fakültesinin bir bölümü tarafından açılan lisans programını kastetmektedir. Bu şekilde ifade edilmesinin sebebi üniversite kabul problemi ile aynı terminolojinin kullanılmak istenmesidir.
ettiği tüm üniversitelerin kontenjanı dolmuş ise aday hiçbir üniversiteye yerleştirilmez. En düşük puanlı aday için de bu işlem uygulandıktan sonra algoritma sona erer.
ÖSYS’de birden çok puan türü bulunduğu için sıralı yerleştirme algoritması uygun değildir. ÖSYS’de öğrenci yerleştirmede uygulanan algoritma şöyledir.12
Adım 1. Herhangi bir puan türü (A diyelim) ele alınır. Sadece A puan türü olduğu varsayılıp, öğrencilerin sadece A puan türünden öğrenci alan üniversitelere olan tercihleri göz önüne alınarak öğrenciler, A puan türünü yerleştirmede esas alan üniversitelere sıralı yerleştirme algoritması kullanılarak geçici olarak yerleştirilir. Aynı işlem tüm puan türleri için tekrarlanır. Bu noktada öğrenciler birden çok üniversiteye geçici olarak yerleşmiş olabilir. Örneğin, bir öğrenci 2. tercihi olan A puan türünden öğrenci alan m üniversitesine ve 5. tercihi olan B puan türünden öğrenci alan n üniversitesine yerleşmiş olabilir. Eğer birden çok üniversiteye geçici olarak yerleşen hiç öğrenci yoksa algoritma sona erer ve o anki geçici yerleştirme nihai hale gelir. Aksi halde öğrencilerin tercihleri şu şekilde düzenlenir. Her öğrenci için geçici olarak yerleştiği üniversitelerden en çok tercih ettiği belirlenerek öğrencinin bu tercihten sonraki tercihleri silinir. Örneğin, yukarıda bahsedilen öğrencinin geçici olarak yerleştiği üniversitelerden (m ve n) en çok tercih ettiği üniversite 2. tercihi olan m üniversitesi olduğu için bu adayın 3. ve sonraki tercihleri silinir. Herhangi bir üniversiteye geçici olarak yerleşmeyen öğrencilerin tercih listesi aynı kalır.
Adım k (k>1). Bir önceki adımda oluşturulan tercih listesi ile birinci adımdaki işlemler aynen tekrarlanır.
Balinski ve Sönmez (1999), ÖSYS mekanizmasının üniversitelerin teklif ettiği Gale-Shapley gecikmeli kabul mekanizmasına eşdeğer olduğunu göstermiştir. Diğer bir deyişle bu iki mekanizma her öğrenci yerleştirme
12Bu algoritma Balinski ve Sönmez (1999)'da verilmiş olup ÖSYS’de farklı puan türleri olduğunda yerleştirmenin nasıl yapıldığını anlatmaktadır. ÖSYS’de farklı puan türleri olmasının yanında birçok ayrıntı daha vardır. Örneğin, i) öğrencilere, programlara yerleşirken mezun olunan okul türlerine göre ek puanlar verilebilmesi, ii) bir önceki sene üniversitelere yerleştirilen öğrencilere yerleştirmede bazı farklılıklar uygulanması, iii) programların okul birincilerine ek kontenjan ayırması, iv) TÜBİTAK yarışmalarında başarılı olan veya spor dallarında üstün başarılı olan adayların bazı ayrıcalıklara sahip olması, v) bazı programların sadece kız veya erkek öğrenci alması. Bu ayrıntılar ÖSYS'de kullanılan algoritmanın Balinski ve Sönmez (1999)'da verilen algoritmadan çok daha detaylı olmasına yol açmaktadır. ÖSYS’de kullanılan ve bu ayrıntıları da gözeten algoritma için bkz. Doğan ve Yuret (2010).
problemi için aynı yerleştirmeyi yapmaktadır. Öte yandan ikinci bölümde anlatıldığı üzere üniversitelerin teklif ettiği Gale-Shapley gecikmeli kabul mekanizması üniversite-optimal durağan bir eşleştirme oluşturmaktadır. Yani tüm durağan eşleştirmeler arasından üniversiteler açısından en iyi, öğrenciler açısından en kötü eşleştirmeyi seçmektedir. ÖSYS mekanizması, üniversitelerin teklif ettiği Gale-Shapley gecikmeli kabul mekanizmasına eşdeğer olduğuna göre, ÖSYS mekanizması durağandır (oluşturduğu yerleştirme adildir) fakat oluşturduğu yerleştirme (Pareto) etkinlik açısından tüm durağan yerleştirmeler arasından öğrenciler için en kötü olanıdır. Aşağıda verilen örnekte bu durum gözükmektedir.
Örnek 5. İki öğrenci (Ali ve Ayşe), iki üniversite (a ve b), iki puan türü (sayısal ve sözel) olduğunu, üniversitelerin birer kontenjanları mevcut olduğunu ve a üniversitesinin sayısal puan türünde, b üniversitesinin ise sözel puan türünde öğrenci kabul ettiğini varsayalım. Öğrencilerin tercihleri ile sayısal ve sözel puan türlerindeki puanları şöyle olsun. (Bir öğrencinin tercihindeki ifadesi, hiçbir üniversiteye yerleşmemeyi temsil etmektedir.)
Tercihler Sayısal Puan Sözel Puan
Ali a b 200 250
Ayşe b a 250 200
Ali, sözel puan türünde Ayşe'ye göre daha başarılı olup sayısal puan türüne göre öğrenci alan a üniversitesini, sözel puan türüne göre öğrenci alan b'ye tercih etmektedir. Ayşe ise sayısal puan türünde Ali'ye göre daha başarılı iken sözel puan türünde öğrenci alan b'yi, a üniversitesine tercih etmektedir. ÖSYS algoritmasına göre ilk adımda sayısal puan türüne göre yerleştirme yapıldığında daha yüksek puana sahip olan Ali, b üniversitesine geçici olarak yerleşir. Sözel puan türüne göre yerleştirme yapıldığında ise daha yüksek puana sahip olan Ayşe, a üniversitesine geçici olarak yerleşir. Birden fazla üniversiteye yerleşen öğrenci olmadığı için algoritma sona erer ve geçici yerleştirmeler nihai hale gelir. Yani ÖSYS algoritması bu örnekte şu yerleştirmeyi yapar. ÖSYS
Ali
Ayşe
b
a
a üniversitesin taban puanı sayısal puan türünde 250 ve b üniversitesinin taban puanı sözel puan türünde 250 olmuştur. İki öğrencide de haklı kıskançlık oluşmadığı için
ÖSYSadildir. Fakat ÖSYS algoritmasına göre her iki öğrencide ikinci tercihlerine yerleşmişlerdir. Oysa her iki öğrencinin de ilk tercihlerine yerleşmeleri mümkündür. Ali'nin a'ya ve Ayşe'nin b'ye yerleştiği eşleşme
ÖSYS
'ye Pareto baskındır. Yani ÖSYS mekanizması adildir fakat etkin değildir.Balinski ve Sönmez (1999) ÖSYS mekanizması yerine öğrencilerin teklif ettiği Gale-Shapley gecikmeli kabul mekanizmasını (SOSM) önermişlerdir. Bu mekanizma ÖSYS'de şöyle işler.
Adım 1. Her öğrenci ilk tercihine başvurur. Her üniversite kendisine başvuran öğrencilerden kontenjanını aşmamak şartıyla yerleştirmeye esas aldığı puan türünde en yüksek puanlı olanları geçici olarak kabul eder, diğerlerini reddeder.
Adım k (k>1). Bir önceki adımda reddedilen öğrenciler, reddedildikleri üniversitelerden sonraki tercihlerine başvururlar. Her üniversite başvuran öğrenciler ve bir önceki adımda geçici olarak kabul ettiği öğrenciler arasından kontenjanını aşmamak koşuluyla esas aldığı puan türünde en yüksek puana sahip olan öğrencileri kabul eder, diğerlerini reddeder.
Bir adımda hiçbir öğrenci reddedilmediğinde algoritma sona erer ve geçici yerleştirmeler nihai yerleştirme olur. SOSM, Pareto etkinlik açısından tüm durağan mekanizmalardan daha üstündür. Yani herhangi bir adil yerleştirme, SOSM'nin ortaya çıkardığı yerleştirmeye Pareto baskın olamaz. Yukarıdaki örnekte SOSM uygulandığında ilk adımda Ali a’ya, Ayşe ise b üniversitesine geçici olarak yerleşir ve reddedilen hiç öğrenci kalmadığı için bu geçici yerleştirme nihai hale gelir. Her iki üniversitenin taban puanı da öğrenci aldıkları puan türünde 200 olarak belirlenir. SOSM’nin ortaya çıkardığı bu yerleştirme hem adil hem de etkindir. Sonuç olarak ÖSYS mekanizması SOSM’ye göre taban puanları daha yüksek belirleyerek öğrencileri daha düşük tercihlerine yerleştirebilmektedir ve dolayısıyla etkinlik kaybına yol açmaktadır.
ÖSYS mekanizmasının ortaya çıkardığı etkinlik kaybı Doğan ve Yuret (2011) tarafından araştırılmıştır. Bu çalışmada 2005 yılında ÖSYS’ye başvuran öğrencilerin verileri kullanılarak, öğrenciler SOSM altında üniversitelere yerleştirilmiş ve bu yerleştirmenin ÖSYS’deki yerleştirmeden farkı tespit edilmiştir. Etkinlik kaybının ihmal edilebilecek düzeyde düşük olduğu belirlenmiştir. Lisans programları için tercih bildiren yaklaşık 380 bin öğrenciden sadece altı öğrencinin yerleştiği program değişmiştir. Etkinlik kaybının bu denli düşük olmasının sebebi ise öğrencilerin daha başarılı olduğu alan ile ilgili programları daha çok tercih etmeleridir. Örneğin, tıp fakülteleri genelde sayısal puan türünde başarılı adaylar tarafından tercih edilirken, hukuk fakülteleri genelde eşit ağırlıklı puan türünde başarılı öğrenciler tarafından tercih edilmektedir.
Balinski ve Sönmez (1999) ÖSYS mekanizmasında etkinlik kaybının yanı sıra iki kusur daha olduğunu belirlemiştir. i) ÖSYS mekanizması manipüle edilebilir bir mekanizmadır. ii) Bir öğrenci daha yüksek puan alması halinde ÖSYS mekanizması altında daha az tercih ettiği bir üniversiteye yerleşebilir.
Mesela yukarıdaki örnekte Ayşe gerçek tercihlerini bildirdiği durumda, Ali gerçek tercihi olan
a
b
sıralaması yerinea
b
sıralamasını, yani tek tercih olarak a üniversitesini bildirerek tercihlerini manipüle ederse, ÖSYS mekanizmasına göre ikinci tercihi olan b üniversitesi yerine ilk tercihi olan a üniversitesine yerleşmektedir. Dolayısıyla ÖSYS mekanizması öğrencileri her durumda gerçek tercihlerini beyan etmeye teşvik eden bir mekanizma değildir, manipüle edilebilir bir mekanizmadır.Eğer yukarıdaki örnekte Ali her iki puan türünde de daha başarısız olup 100’er puan daha eksik alarak sayısal puan türünde 100, sözel puan türünde 150 puan almış olsaydı, ÖSYS mekanizmasına göre ikinci tercihi olan b üniversitesi yerine ilk tercihi olan a üniversitesine yerleşecekti. Sonuç olarak bir öğrenci daha yüksek puan alması durumunda ÖSYS mekanizması tarafından cezalandırılarak daha az tercih ettiği bir üniversiteye yerleşebilmektedir.
ÖSYS mekanizmasında bulunan manipüle edilebilirlik ve daha yüksek başarıyı cezalandırabilme kusurları SOSM’de bulunmamaktadır. SOSM altında öğrenciler tercihlerini yanlış bildirerek daha çok tercih ettikleri okullara yerleşemez. Ayrıca SOSM altında bir öğrencinin puanı yükseldiğinde daha az tercih ettiği bir üniversiteye yerleşemez. SOSM’nin ÖSYS mekanizmasına etkinlik açısından üstünlük kurması ve ÖSYS mekanizmasında bulunun bu iki kusurun SOSM’de bulunmaması, SOSM'yi ÖSYM mekanizmasına her açıdan üstün kılmaktadır. (Balinski ve Sönmez, 1999)
Okul seçimi ve üniversitelere öğrenci yerleştirme ile ilgili modellerde öğrencilerin tercihlerinin tamamını bildirebilecekleri varsayılmıştır. Hâlbuki bu varsayım gerçekte her zaman doğru değildir. Örneğin, ÖSYS’de öğrencilerin tercih bildirebileceği belli sayıda (2010 öncesi 24, şu anda 30) program vardır. Okul seçimi probleminde öğrenciler New York City’de en fazla 12 okul hakkında, Boston’da en fazla 5 okul hakkında (2006 öncesinde) tercih bildirebilmektedir. Üniversitelere öğrenci yerleştirme probleminde öğrenciler İspanya’da en fazla 8, Macaristan’da en fazla 4 program hakkında tercih bildirebilmektedir (Haeringer ve Klijn, 2009). Doğan (2009), ÖSYS’de tercih bildiriminde kısıtlama olması halinde oluşan eksik bilgili oyunun, dengede durağan olmayan yerleştirmelere yol açabileceğini göstermiştir. Haeringer ve Klijn (2009) ise Boston, SOSM ve TTC mekanizmalarını ele alarak, okul seçimi probleminde tercih kısıtlaması olduğunda ortaya çıkan oyunun dengesini durağanlık ve etkinlik bakımından incelemiştir. Calsamiglia vd.
(2010) deneysel bir çalışma ile tercih kısıtlaması olduğunda etkinlik bakımından TTC mekanizmasının SOSM’ye, SOSM’nin de Boston mekanizmasına üstünlük kurduğunu saptamışlardır. Ayrıca, SOSM'de eşleşmeyi bloke eden çift ortalamasının diğer iki mekanizmaya nazaran daha az olduğunu, yani durağan eşleşmeye yakınlık açısından en iyi mekanizmanın SOSM olduğunu tespit etmişlerdir.
Tercih kısıtlamasının ÖSYS’de oluşan yerleşmeyi ne derece etkilediği Doğan ve Yuret (2010) tarafından incelenmiştir. 2005 yılı ÖSYS’ye başvuran yaklaşık 1.8 milyon adayın verileri kullanılarak yapılan analizde tercih kısıtlaması olmadığı durumda oluşacak yerleştirme farklı modeller vasıtasıyla tahmin edilerek, tercih kısıtlamasının 4 binden fazla adayda haklı kıskançlığa yol açtığı tespit edilmiştir. Bu çalışmada öğrencilere en azından 30 program tercih hakkı tanınması önerilmiştir. ÖSYS’de 2010 yılından sonra değişikliğe gidilerek öğrencilerin tercih edebileceği program sayısı 24'ten 30'a yükseltilmiştir.
5. Böbrek Değişimi için Piyasa Tasarımı
Böbrek hastalarına nakil için gereken böbrekler canlı bağışlayıcılar ve kadavralar olmak üzere iki farklı kaynaktan sağlanabilmektedir. Hastalardan böbrek için olan talep, kadavralardan sağlanan böbrek sayısından çok daha fazla olduğundan hastalar için bir bekleme listesi oluşturulmaktadır.13 Nakillerde böbrek uyumu oldukça önemlidir. Bağışlayıcı ile hastanın kan grubu veya doku tipi uyuşmazlığı sebebiyle böbreğin hastaya nakli uygun olmayabilir. Ayrıca birçok ülkede nakil için para karşılığı bir başkasından böbrek almak ve bir başkasına böbrek vermek yasaktır. Bu sebeple nakil için uygun böbrekler sadece bağışlayıcılardan veya bekleme listesi aracılığıyla kadavralardan temin edilebilmektedir.
Bağışlayıcının böbreği hastaya uymazsa çiftli böbrek değişimi yapılabilmektedir. Örneğin, böbrek hastası olan Ali'ye annesi, Ayşe'ye ise babası böbreğini bağışlamak istemesine rağmen annesinin böbreği Ali'ye, babasının böbreği ise Ayşe'ye uyumlu olmasın. Bu durumda eğer Ali'nin annesinin böbreği Ayşe'ye ve Ayşe'nin babasının böbreği Ali'ye uyumlu ise uyumlu böbrekler hem Ali'ye hem de Ayşe'ye nakledilebilir. Bu şekilde böbrek değişimi çiftli böbrek değişimi olarak isimlendirilmektedir. Nakillerde uygulanabilecek bir diğer yöntem ise dolaylı böbrek değişimi olarak
13Örneğin, A.B.D’de 2003 yılında bekleme listesinde yaklaşık 60 bin hasta olmasına rağmen sadece 8665 adet böbrek nakli yapılmıştır. Kadavradan yapılan bu nakillerin dışında 6464 kişiye canlı bağışlayıcılardan nakil yapılmıştır. (Roth v.d., 2005b)
isimlendirilmektedir. Bu yöntemde eğer bağışlayıcının böbreği hastaya uymazsa, hastanın bekleme listesine önceliğe sahip olarak dâhil edilmesi koşuluyla bağışlayıcı böbreğini bekleme listesindeki uyumlu birisine bağışlamaktadır.
Böbrek değişimi için etkin, manipüle-edilemez ve hastaların refahını artıracak mekanizma tasarlama konusu eşleşme piyasalarında son on yılda üzerinde en çok çalışılan konulardan biri olmuştur. Roth vd. (2004) böbrek değişimi piyasasını modelleyerek etkin ve manipüle edilemez bir mekanizma tasarlamışlardır. Bu mekanizma Üst Değiş-Tokuş Döngüleri (TTC) algoritmasından (Shapley ve Scarf, 1974) ve mevcut oturanların da olduğu ev dağılımı problemi için Abdulkadiroğlu ve Sonmez (1999) tarafından tasarlanan mekanizmadan esinlenerek oluşturulmuş ve Üst Değiş-Tokuş Döngüleri ve Zincirleri (TTCC) olarak isimlendirilmiştir. Shapley ve Scarf (1974) tarafından tanımlanan ev piyasası modelinde oyuncuların yalnızca nesneler (evler) hakkında tercihleri bulunmaktadır. Oysa böbrek değişimi piyasasında oyuncuların (hastaların), nesneler (böbrekler) ile birlikte bekleme listesindeki öncelik hakkında da tercihleri bulunmaktadır. TTCC algoritmasında eğer bir döngü oluşursa, bu döngüde öngörülen böbrek değişimi gerçekleşir. Örneğin, (hasta 1, bağışlayıcı 1), (hasta 2, bağışlayıcı 2), (hasta 3, bağışlayıcı 3) çiftleri bir döngü oluşturursa döngüde öngörülen şekilde (üç-yönlü) bir böbrek değişimi gerçekleşir. Öte yandan TTC algoritmasında her adımda en azından bir döngü oluşurken, TTCC algoritmasında her adımda en azından bir döngü oluşmak zorunda değildir, bekleme listesi de olduğu için zincirler de oluşabilir. Örneğin hasta 1, hasta 2’nin bağışlayıcısından böbrek alırken, hasta 2’ye bekleme sırasında öncelik tanınabilir ve hasta 2’nin bağışlayıcısının böbreği bir başka hastaya nakledilebilir. Bu durum “zincir” olarak ifade edilirken etkin ve manipüle-edilemez mekanizma için zincir seçim kuralları Roth vd. (2004)’te verilmiştir.
Roth vd. (2004) tarafından verilen modelin pratikte uygulanması oldukça zordur çünkü bu model çok yönlü böbrek değişimine izin vermektedir. Örneğin, bir döngüde dört çift mevcut ise dört hasta ve bağışlayıcının böbrekleri birbirlerine nakledilecektir. Hastasına böbrek nakledilen bağışlayıcı, böbreğini bağışlamaktan vazgeçebilir. Bu durumu engelleyecek bir sözleşme yapmak mümkün değildir. Pratikte daha kolay uygulanabilecek böbrek değişimi iki yönlü olandır. Yani iki hasta ve iki bağışlayıcı arasında nakil işlemlerinin aynı anda yapılmasıdır. Roth vd. (2005a) en fazla iki yönlü böbrek değişiminin olabileceğini ve hastaların uyumlu böbrekler arasında kayıtsız olduğunu varsayarak, bu durumda böbrek değişimi için etkin ve manipüle – edilemez iki farklı mekanizma önermişlerdir.
Böbrek değişiminin sadece iki yönlü değişim ile sınırlanması önemli bir refah kaybına neden olmaktadır. Roth vd. (2007) üç yönlü değişimin mümkün
