Nükleer kabuk model kullanılarak bazı hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin hesaplanması

NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ

SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI

YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI

Hazırlayan: Emel ÇETİNKAYA

Danışman: Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI

Emel ÇETİNKAYA

YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI

Bu tez…./…/…… tarihinde aşağıda belirtilen jüri tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

Ünvanı, Adı ve Soyadı İmza Başkan : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU

Üye : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Üye : Doç. Dr. Muzaffer CAN

ONAY :

Bu tez, … / … / 2007 tarih ve …. sayılı Enstitü Yönetim Kurulu tarafından belirlenen jüri üyelerince kabul edilmiştir.

… / … /2007 Prof. Dr. Metin YILDIRIM

ÖZET

NÜKLEER KABUK MODELİ KULLANILARAK

BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI Emel ÇETİNKAYA

Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Fizik Anabilim Dalı

Yüksek Lisans Tezi 2007, 80 sayfa

Danışman : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jüri : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU

Jüri : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jüri : Doç. Dr. Muzaffer CAN

Bu çalışmada çekirdeğin Kabuk modeli kullanılarak çekirdeklerin enerji seviyelerinin enerjisi için oluşturulan formüller yeni yöntemle hesaplanmıştır. Bu formüller kullanılarak bazı hafif çekirdeklerin (30

14Si16, 24

12Mg , 12 1022Ne , 12

32

16S16) enerji seviyelerinin enerjileri, saf

ve karışık durumlar için hesaplanmıştır. Enerji seviyelerinin incelenmesinde kullanılan modelden elde edilen sonuçlar literatürdeki benzer çalışmaların teorik ve deneysel sonuçları ile karşılaştırılmıştır ve uyum içinde olduğu görülmüştür. Hesaplamalardan görülmüştür ki genel olarak hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin incelenmesinde konfigürasyon karışımı dikkate alınırsa alınan sonuçlar daha hassas olur.

Anahtar Kelimeler: Çekirdeklerin enerji seviyeleri, Kabuk modeli, Clebsh-Gordan katsayıları, Konfigürasyon karışımı

ABSTRACT

CALCULATION OF THE ENERGY LEVELS OF SOME LİGHT NUCLEİ BY USİNG SHELL MODEL

Emel ÇETİNKAYA

Gaziosmanpaşa University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics Science

Masters Thesis 2007, 80 pages

Supervisor : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jury : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU Jury : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jury : Assoc. Prof. Dr. Muzaffer CAN

In this study the formulas which are established by using the nuclear Shell model for energy levels of nucleus have been investigated from a new method. By using these formulas the energy levels of some light nuclei (30

14Si16, 24 12Mg , 12 22 10Ne , 12 32 16S16) have been

calculated for pure and mixed states. The results obtained from the model which is used to investigate the energy levels have been compared to the theoretical and experimental data from literature and it has seen been seen that the obtained results are in good agreement with those data. From calculations it has been seen that if we take account the configuration mixing in investigation of energy levels of light nucleus obtained results are more accurate.

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans çalışmalarım boyunca engin bilgi ve tecrübeleriyle yanımda olan, hoşgörü ve desteğini hiçbir zaman esirgemeyen saygıdeğer danışman hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU’na sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Tez dönemi boyunca büyük bir sabır ve iyi niyetle bana yardımcı olan çok değerli arkadaşım Araş. Gör. Erhan ESER’e destek ve dostluğundan dolayı çok teşekkür ederim. Ayrıca yardımlarından dolayı arkadaşlarım Araş. Gör. Savaş SÖNMEZOĞLU, Araş. Gör. Songül FİAT ve Hüseyin KOÇ ‘a teşekkür ederim.

Hayatım boyunca gösterdikleri maddi-manevi destek ve sabırlarından dolayı değerli aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER ÖZET……… i ABSTRACT………. ii TEŞEKKÜR……… iii İÇİNDEKİLER………iv ŞEKİLLER LİSTESİ……….. v TABLOLAR LİSTESİ………..………. vi 1.GİRİŞ………. 1 2.LİTERATÜR ÖZETLERİ……….. 3

2.1.Nükleer Enerji Seviyeleri……… 3

2.2.Shell (Kabuk) Modeli……… 4

2.3.Pertürbasyon Teori……… 9

2.4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri………13

2.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları………...19

2.6. Konfigürasyon Karışımı Uygulamarı………..…24

3.HESAPLAMALAR……….. 30

3.1. 30 14Si16 Çekirdeği için Enerji Hesabı……….. 30

3.2. 24 12Mg Çekirdeği için Enerji Hesabı……….. 43 12 3.3. 22 10Ne Çekirdeği için Enerji Hesabı……….. 54 12 3.4. 32 16S16 Çekirdeği için Enerji Hesabı……….. 64

4.SONUÇ ve TARTIŞMA……… 76

KAYNAKLAR……….. 77

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil Sayfa

2.1. 12_{Cçekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı ………3}

2.2 Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör potansiyeli ……….. 6

2.3. Kabuk modeli potansiyeli ……….. 8

2.4. Kabuk modeli potansiyeli enerji düzeyleri ……… 9

3.1. 30 14Si16 çekirdeğinin enerji seviyeleri diyagramı ……….42

3.2. 26_{Mg çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı ………53}

3.3. 22 Ne çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı ……….. 63

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo Sayfa

1. 30

Si’un 28

Sikoruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri ……… 35

2. 26_{Mg ’un} 24_{Mg koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri ………... 47}

3. 22

Ne’nin 20

Ne koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri ………... 58 4. 32

16Si ’un 16

30

16Si koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri ……….. 69 14

1. GİRİŞ

İlk kez 1911 yılında Rutherford’un atom çekirdeğinin varlığını önermesiyle başlayan çekirdek çalışmaları giderek artan bir önemle günümüze kadar devam etmektedir. Bu konuda fiziğin pek çok dalında, çekirdeğin yapısını düzenleyen kurallar ve çekirdeğin özelliklerinin belirlenmesi üzerine günümüze kadar pek çok çalışma yapılmıştır. Yapılan bu çalışmalarda çekirdeklerin uyarılmış durumları, spini, yarıçapı, yarı ömrü, bozunma modları, tesir kesitleri, vb. gibi özellikleri belirlenmeye çalışılmıştır.

Çekirdeklerin uyarılmış durumları yoğun olarak çalışılan bir konu olup, çekirdeğin bu özelliğini tanımlamak ve çekirdeklerin enerji seviyelerini (uyarılmış durumlarını) hesaplamak karışık matematiksel işlemler gerektirir. Nükleer bilimciler bunun yerine, çekirdeği tanımlayan ve karışık matematiksel işlemleri ortadan kaldıran nükleer modeller geliştirmişlerdir.

Herhangi bir çekirdek modeli tek başına çekirdeğin bütün özelliklerini açıklamakta yeterli değildir. Sonuçta, her biri; bir takım kabullere dayanan ve sınırlı şekilde kullanılabilen modeller ortaya çıkmıştır. Çekirdek yapısını ve çekirdeklerin özelliklerini açıklayabilmek için ortaya çıkan çekirdek modellerinin temelinde potansiyeller için belirli varsayımlar bulunduğundan modelin başarısı potansiyel seçiminin doğruluğuna bağlıdır. Bu çekirdek modelleri, çekirdeklerin özelliklerinin anlaşılmasında, çekirdeklere ait deneysel verilerin yorumlanmasında ve bağlanma enerjisinden sorumlu mekanizmaların anlaşılmasında yararlı olmuştur ( Serway, 1995). Bu modellerin bazıları şunlardır (Dincel, 2001 );

1- Sıvı damla Modeli 2- Shell ( kabuk) Modeli 3- Fermi-gaz Modeli 4- Kollektif Model 5- Optik Model

6- Deformasyon Modeli

7- Doğrudan etkileşme Modeli.

Bu çalışmada; Kabuk modelini dikkate alarak, bazı hafif çekirdekler için enerji seviyeleri, saf durum ve karışık durum dikkate alınarak ayrı ayrı hesaplanmıştır ve enerji seviyelerinin hesaplanmasında kullanılan modelin ne kadar doğru bir yaklaşım olduğu belirlenmiştir. Elde edilen teorik sonuçlar diğer araştırmacıların teorik ve deneysel sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Alınan sonuçlardan genel olarak hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin bulunmasında karışık durumlarının dikkate alınması gerekliliği ortaya konulmuştur.

2. LİTERATÜR ÖZETİ

2.1. Nükleer Enerji Seviyeleri

Çekirdek atom gibi, özellikleri ve yeri kuantum mekaniği kuralları ile belirlenen enerji seviyelerine sahiptir. Uyarılmış durumların yerleri her bir çekirdek için farklıdır, ve uyarılma enerji, E , her bir çekirdeğin iç yapısına bağlıdır. Her bir uyarılmış durum, _x

durumların açısal momentum, parite ve izospin’ini tanımlayan kuantum sayıları ile karakterize edilir. Örnek olarak, Şekil 1’de 12_{C çekirdeğinin uyarılmış enerji seviyeleri}

görülmektedir. , ( ) (18.7) (16.0) 1 ,1 15.1 1 , 0 12.7 3 , 0 9.64 0 , 0 7.65 2 ,0 4.44 0 ,0 0.0 X J T E MeV n p π + + − + + +

Şekil 2.1. 12_{C çekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı. Diyagramın}

üstünde bir proton (p) ve nötron (n) için ayrılma enerjileri verilmektedir.

Açısal momentum kuantum sayısı, J, kesirli veya tamsayıdır. Bir nükleer enerji seviyesinin

nükleonların koordinatları korunmuşsa, P= + mevcut durumun orijinali gibi olduğu, yani değişmediği, P= - mevcut durumun orijinal durumdan farklı olduğu anlamına gelir. İzospin kuantum sayısı, T, kesirli veya tam bir sayıdır. Şekil 1.de her bir uyarılmış durum için bu kuantum sayıları _{J , T şeklinde gösterilmektedir. Bu kuantum sayıları bir çekirdekteki} P nükleonların bağlanma enerjisini etkileyen kuvvet kanunlarının temel simetrilerinin sonuçlarıdır. Bu kuantum sayıları bir uyarılmış durumun aynı çekirdekte bir diğer duruma nasıl bozunacağını (gamma bozunumu) veya farklı bir çekirdekte özel bir duruma nasıl gireceğini belirler ( beta veya alfa bozunumu).

Enerji seviyelerini ve onların özelliklerini hesaplamak için bir çok nükleonlar arasındaki etkileşmeleri çözümlemek karışık matematiksel işlemlerdir. Bu yüzden nükleer bilimciler matematiksel işlemleri basitleştirmek ve çekirdeği tanımlamak için nükleer modeller geliştirmişlerdir.

2.2. Shell (Kabuk) Modeli

Kabuk modeli, protonların ve nötronların sihirli sayıları ile birlikte çekirdeğin kararlılığını ve tek-A’lı çekirdeklerin taban durum spin, parite ve dipol momentini büyük bir başarı ile açıklamaktadır (Krane, 2001; Gedikoğlu, 1988). Kabuk modelinde, çekirdeğin özelliklerinin belirlenmesinde çiftleşmiş nükleonların oluşturduğu kor’un etkisi ihmal edilir. Bu modelde, tek A’lı bir çekirdeğin taban durum özellikleri, A-1 tane

nükleonun toplam spini sıfır olacak şekilde çiftleştikten sonra, kalan çiftlenmemiş tek nükleonun kuantum sayıları tarafından belirlenir ve aşağıdaki iki temel varsayım üzerine kurulmuştur:

1- Çekirdekte bulunan nükleonlar, bir V(r) potansiyelinde bağımsız olarak hareket

ederler. Bu potansiyel, bir nükleona diğer tüm nükleonlardan gelen ortalama etkiyi gösterir ve sadece radyal uzaklığa bağlı olup, tüm çekirdekler için aynıdır.

2- Enerji seviyelerinin tümü, Pauli dışarlama prensibine göre nükleonlar tarafından doldurulur.

A tane nükleon içeren çok nükleonlu bir sistemin Hamiltonyeni;

2 A i ij 1 i i,j 1 1 p 1 ( ) U(r ) ( ) 2m 2 A A i i i i H V r V r = = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥+_⎢ − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

(2.1) 2 i 0 1 i A ij i,j 1 1 p ( ) 2m 1 ' ( ) U(r ) ( ) 2 A i i A ij i i H V r H V r V r = = = ⎡ ⎤ ≡ _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ≡_⎢ − _⎥ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

(2.2) Burada, 2 _i i /2m

p ve V(ri) sırasıyla, kinetik enerji ve i. numaralı nükleonun hareket ettiği

ortalama merkezsel potansiyeldir. Böyle bir sistemde nükleonlar Pauli dışarlama ilkesine uyarlar. Buna göre dalga fonksiyonu nükleonların yer değiştirmelerine göre antisimetriktir.

( )

r r₁, ₂

( )

r r2, ₁

ψ = −ψ (2.3)

Buna göre A nükleonlu bir sistemin genel dalga fonksiyonu aşağıdaki gibi bir slater determinantıyla ifade edilebilir.

(

)

(1) (1) (1)... (1) (2) (2) (2)... (2) 1 1, 2,3,...., ! ( ) ( ) ( )... ( ) a b c p a b c p a b c p A A A A A A ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = ……… ……… (2.4)

Burada ψ_j

( )

i ’ ler i numaralı nükleonun j halini göstermektedir. Çekirdeğin Kabuk modeli,

verilen bir nükleonun diğer tüm nükleonlar tarafından biçimlenmiş etkili çekici bir potansiyelde hareket ettiğini varsayar. Çekirdekteki potansiyeli aşağıdaki gibi sonsuz kare kuyu potansiyeli olarak düşünürsek, bir nötron veya bir protonu ayırmak için onu kuyudan dışarı çıkarmaya yetecek enerjiyi, sonsuz büyüklükte sağlamamız gerekir.

0 0 0 , ( ) 0 , V r r V r r r − < ⎧ = ⎨ _≥ ⎩ (2.5)

Sonsuz kuyu potansiyeli, Denklem (2.5) ve Şekil 2a’de görüldüğü gibi potansiyel ortalama R yarıçapından sonra r’ye doğru düzenli olarak azalması gerekirken aniden

azaldığından dolayı nükleer potansiyel seçimi için iyi bir yaklaşım değildir. Potansiyel enerjinin birden sıfır olması çok kararlı bir çekirdek olması demektir.

Diğer taraftan Denklem (2.6) ’daki gibi harmonik salınıcı potansiyeli (Şekil 2b) keskin bir şekle sahip değildir ve yine sonsuz ayrılma enerjisi gerektirir (Krane, 2001).

Başka bir şekilde izah etmek gerekirse; Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör potansiyeli ile tüm sihirli sayılar elde edilemediğinden dolayı, Kabuk modeli potansiyeli için doğru bir potansiyel değildir. Doğru potansiyel tüm sihirli sayıları vermelidir. Bu problemi ortadan kaldırmak için, Denklem( 2.7)’deki gibi, bu iki potansiyel arasında bir şekle sahip olan Şekil 3’deki gibi bir potansiyel seçeriz (Krane, 2001).

2 2 0 1 V(r) V m w r 2 = − + (2.6)

( )

0 1 exp[( ) / ] V V r r R a − = + − (2.7)

Şekil 2.3. Kabuk modeli potansiyeli

R ve a parametreleri sırasıyla ortalama yarıçap ve yüzey kalınlığını verir.

1/3

R 1.25 A fm≈ ve a=0.524 fmolarak seçilir. V0 kuyu derinliği uygun ayrılma enerjilerini

verecek şekilde ayarlanır ve 50 MeV mertebesindedir. Bu durumda elde edilen enerji

Şekil 4’de, solda, ara durum, Şekil 3’de verilen potansiyel ile hesaplanan enerji düzeyleri gösterilmiştir. Her düzeyin sağında o düzeyin kapasitesi, üstünde de o düzeye kadarki toplam nükleon sayısı gösterilmektedir. Kabukların sırasıyla 2(2 + kadar 1) nükleon doldurmasıyla 2, 8 ve 20 sihirli sayılarını elde edebiliriz, ancak hesaplamalar daha büyük sihirli sayıları vermemektedir. Şekil 4’ün sağında spin-yörünge etkileşmesinin etkisi gösterilmiştir. Spin-yörünge etkileşmesi l>0’lı düzeylerin iki yeni düzeye ayrılmasına

neden olur. Burada Kabuk etkisi çok açıktır ve sihirli sayılar tam olarak elde edilmektedir.

Şekil 2.4. Solda Kabuk modeli potansiyeli enerji düzeyleri; sağda spin-yörünge

etkileşmeli Kabuk modeli potansiyeli enerji düzeyleri

2.3. Pertürbasyon Teori

Fenciler geliştirilen kuramların deneysel gözlemlerle uyumlu olmasını isterler. Bu nedenle hesaplamalarda deneyler kadar sağlıklı olmalıdır. Fakat tam çözüm mümkün değilse yaklaşık hesaplamadan başka yol yoktur. Buna göre yaklaşık hesaplama, uygulanan deneysel yöntemden kötü değilse, tam çözüme gerek yoktur. Bu yöntemlerden biride

pertürbasyon yöntemidir. Bu yöntem, Schrödinger denklemini tam olarak çözebildiğimiz bir problemde Hamiltonyene küçük bir katkı geldiği zaman uygulanır. (Karaoğlu, 2006)

Bu yüzden, nükleer taban durum ve uyarılmış durumların çeşitli özelliklerini hesaplayabilmek için bu durumlara uygun dalga fonksiyonlarının bilinmesi ve dalga fonksiyonların çok cisimli Shrodinger denkleminin çözülmesi gerekir. Bir sistemin Shrodinger denklemi:

(

(1),...., ( )

)

(

(1),...., ( )

)

Hφ r r A =E rφ r A (2.8) olup, Hamiltonyeni H : 1 1 ( ) ( , ) A A k k l H T k W k l = = < =

∑

+

∑

(2.9)

gibi verilir. Bu Hamiltonyen çekirdekteki tüm nükleon çiftlerinin kinetik enerji terimleri

T(k) ve nükleon-nükleon etkileşim terimleri W(k,l)’nin toplamından oluşur. Bu çok-cisim

probleminin kesin bir çözümü bulunmamaktadır. Yaklaşık bir çözüm olarak, tek-parçacık potansiyeli U(k)’nın uygulanmasıyla, Shrodinger denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir;

{

}

(0) (1) 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) A A A k k l k H T k U k W k l U k H H = = < = ⎧ ⎫ = + +_⎨ − _⎬= + ⎩ ⎭

∑

∑

∑

(2.10)

Bu denklem herhangi bir U(k) potansiyel seçimi için elbette uygundur, fakat residual etkileşimlerin etkisini mümkün olabildiğince azaltmak açısından pertürbasyon teoriyi uygulamak avantajlı olacaktır.

1 1 ( , ) ( ) A A k l k H W k l U k = < = =

∑

−

∑

(2.11)

U için yaklaşım olarak genelde Harmonik osilatör potansiyeli veya Saxon-Woods

potansiyeli kullanılır. (Brown, 1984; 2001; Negele, 1970). φa

( )

r , tek parçacık durumları olmak üzere Schrödinger denklemi

( ) ( ) ( )

a a a a

Tφ r +Uφ r =eφ r (2.12)

olur. Burada e özdeğeri, tek parçacık enerjisini ve a ise |nljm> tek parçacık durumlarını a

gösterir.

( )

(

)

1

(0) _{(1) .... ( )}

A

a a r a r A

φ ≡φ φ tek parçacık fonksiyonları Shrodinger denklemini sağlar,

(0) (0) (0) (0)

a a a

H φ =E φ (2.13)

Pertürbe olmayan Hamiltonyen;

(

)

(0) 1 ( ) ( ) A k H T k U k = ≡

∑

+ (2.14)

ve pertürbe olmayan enerji;

(0) 1 k A a a k E e = =

∑

(2.15)

gibi ifade edilir. Burada a bütün tek parçacık durumlarını temsil eder. Ürün fonksiyon

(

)

(0) _{(1),...., ( )}

a r r A

φ , çok parçacıklı dalga fonksiyonu olmasına rağmen Pauli dışarlama prensibinden dolayı tam bir antisimetriklik gerektirir. Ea( )0 enerjili ve A-parçacıklı antisimetrik dalga foksiyonları, (0)

(

_{(1),...., ( )}

)

a r r A

φ fonksiyonlarının yaklaşık lineer kombinasyonlarının alınmasıyla oluşturulabilir. Bir nükleer durumu belirlemek için,

toplam açısal momentumu ve izospini iyi tanımlanmış bir dalga fonksiyonu oluşturmak gerekir. Bu sebeple, tüm antisimetri ve iyi tanımlanmış toplam açısal momentum ve izospin şartlarının sağlanması için, (0)

(

_{(1),...., ( )}

)

a r r A

φ ürün fonksiyonlarının daha komplike lineer kombinasyonları gerekir. Şu andan itibaren; _φ(0)

(

_{r(1),...., ( )r A}

)

Γ ile gösterilen gerçek

dalga fonksiyonlarını kurmayı başardığımızı farzediyoruz, burada kuantum numaralarının açıkça belirtilmesi gerektiğinden verilen durumlar bir Γ sembolüyle gösterilecek. Γ sembolu toplam spin J ve izospin T’yi içerir.

Denklem (2.11) ile verilen H(1) residual etkileşmeler pertürbasyon olarak hesaba katılırsa, Shrodinger denkleminin çözümleri olan ΨΓ gerçek dalga fonksiyonları ile EΓ

enerjileri yaklaşık olarak hesaplanabilir veya tahmin edilebilir. Pertürbasyon teorisinde yapılacak ilk şey ΨΓ ‘nın gerçek özfonksiyon dağılımını ve EΓ gerçek özenerjilerini

belirlemektir: (0) (1) φΓ = φΓ + φΓ (2.16) (0) (1) EΓ =EΓ +EΓ (2.17) Burada _φ(1)

Γ ve EΓ(1); sırasıyla pertürbe olmayan durumdaki dalga fonksiyonu ve

enerjideki küçük değişimleri belirtir. Denklem (2.10), (2.16) ve (2.17)’ u Denklem (2.8)’ de yerine yazarsak;

(

_H(0) _H(1)

)

(

_φ(0) _φ(1)

)

(

_E(0) _E(1)

)

(

_φ(0) _φ(1)

)

_.

Γ Γ Γ Γ Γ Γ

+ + = + + (2.18)

Denklem (2.18), sıfırıncı ve birinci derece terimlerine ayrılırsa;

(0) (0) (0) (0) H φΓ =EΓ φΓ (2.19) (0) H _φ(1) Γ + H (1) (0) φΓ = (0) EΓ (1) φΓ + (1) EΓ (0) φΓ (2.20)

Denklem (2.20)’ü soldan _φ(0) Γ ile çarparsak; (1) EΓ (0) φΓ (0) φΓ = (0) φΓ H (1) (0) φΓ + (0) φΓ H - (0) (0) EΓ (1) φΓ (2.21)

Denklem (2.19)’ye göre, _{H hermit operatör olduğundan, Denklem (2.21)’ün sağdan} (0)

2.terimi sıfır olur. Böylece _φ(0)

Γ normalize fonksiyonları için; (1) EΓ = (0) φΓ H (1) (0) φΓ (2.22)

elde edilir. Bu bize; residual etkileşmelerden kaynaklanan _{H enerji değişiminin,} (1)

pertürbe olmayan durumdaki residual etkileşmenin beklenen değeri olarak hesaplanabileceğini gösterir. Denklem (2.15), (2.17) ve (2.22)’e göre _φ (0)

Γ durumunun

enerjisi aşağıdaki gibi verilir.

(0) (1) EΓ =EΓ +EΓ = φΓ(0) H +(0) H(1) φΓ(0) = (0) (1) (0) 1 k A a k e φ_Γ H φ_Γ = +

∑

(2.23)

Burada birinci terim: tek-parçacık enerjilerinden gelen katkıyı, ikinci terim: residual etkileşmelerden gelen katkıyı verir.

2.4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri

Çekirdeğin bağlanma enerjisi _{E , çekirdeği serbest proton ve nötronlara ayırmak} b için gerekli olan toplam enerjinin negatif değeri olarak tanımlanır. Genelde bağlanma enerjisi pozitif işaret olsa da burada negatif işaret kullanılmıştır ve çekirdeğin Hamiltonyeninin beklenen değeri ile daha doğrudan bir ilişkisi vardır. Bağlanma enerjisinin kesin değeri, çekirdeğin taban durumunda en büyüktür. n. uyarılmış durumun uyarılma enerjisi E n , ( )x( )

b

E n bağlanma enerjisinden ve taban durum bağlanma

enerjisinden aşağıdaki gibi bulunur. (Brussaard ve Glaudemans, 1977).

Eylemsiz (hareketsiz) bir koru ve p orbitalinde iki nükleonu bulunan bir çekirdek düşünelim. Bu çekirdeğin toplam bağlanma enerjisine katkıda bulunan pek çok terim vardır. Bu durumda çekirdeğin toplam bağlanma enerjisi aşağıdaki şekilde yazılabilir.

2 (1) 2

( ) 2 ( ) ( )

b b

p

E kor p_Γ + = e +E_Γ p +E kor (2.25)

Denklem (2.25)’de ki her terim basit bir fiziksel yoruma sahiptir. 2e terimi; p _p

yörüngesinde bağımsız olarak hareket ettiği düşünülen iki parçacığı potansiyel kuyudan çıkarmak için gerekli olan enerjinin negatif değerini belirtir. Genellikle bu potansiyel kuyunun kor dışındaki parçacıkların sayısına bağlı olmadığı varsayılır. Kor dışındaki iki parçacığın karşılıklı etkileşmesinden bağlanma enerjisine gelen katkı _E(1)(_p2)

Γ ile

verilmiştir. Bu terim yalnızca p yörüngesine değil aynı zamanda, J_Γspinine ve T_Γ izospinine de bağlıdır. Sonuncu terim, _{E kor ise, kor içindeki parçacıkların bağlanma} b( ) enerjisini temsil eder. Kapalı – kabuk korunun eylemsiz (hareketsiz) olduğu kabul edilirse ( bu demektir ki; kapalı – kabuk konfigurasyonunu devam ettirecek ve uyarılmayacak)

( ) b

E kor terimi sabit olur.

Kor + iki nükleon sisteminin taban durumu toplam enerjinin minimumu ile karakterize edilir. İki parçacığın değişik Γ değerlerinde çiftlendiği ve iki nükleondan birinin veya her ikisinin birden farklı bir tek parçacık yörüngesinde uyarıldığı durumların hepsi “uyarılmış durumu” belirtir. Bu durumda toplam Hamiltonyen aşağıdaki gibi alınır:

12 kor H =H + H (2.26)

]

3 3 3 ( ) ( ) ( , ) ( ) A A A kor k k e k H T k U k W k U k = = < = ⎡ ⎡ ⎤ = _⎢ + +_⎢ − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣

∑

∑

∑

(2.27)

[

]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} + + =

∑

∑

∑

∑

= = = = ) ( ) 2 , 1 ( ) , ( ) ( ) ( 2 1 3 1 2 1 12 T k U k W k W U k H k A l A k k (2.28)

Burada H , kor parçacıkları arasındaki etkileşmeyi temsil ediyor (k=3,…,A). _kor

Kor’un hareketsiz olduğu kabul edilirse toplam enerjiye H ’un katkısı sabit olur. H_kor 12

terimi ise, iki ekstra parçacıktan gelen katkıyı belirtir ve aşağıdaki gibi yazılır.

) 1 ( 12 ) 0 ( 12 12 H H H = + (2.29) Burada (0) 12

H , tek parçacığın Hamiltonyenini belirtir ve şöyle yazılır:

[

] [

]

(0)

12 (1) (1) (2) (2) S P. (1) S P. (2)

H = T +U + T +U =H +H (2.30)

ve artık etkileşmeler ise;

) 2 , 1 ( ) 2 ( ) , 2 ( ) 1 ( ) , 1 ( 3 3 ) 1 ( 12 W l U W l U W H A l A l + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ =

∑

∑

= = (2.31)

ile verilir. Burada tek parçacık potansiyeli U’nun seçimi keyfi olup,

3 ( ) A ( , ), 1, 2 l U k W k l k = =

∑

= (2.32)

gibi alınabilir. Böylece, artık etkileşmeler (1) 12

H ’deki tek parçacık terimleri tamamen kalkar

ve geriye yalnız iki – parçacık terimi W(1,2) kalır. Diğer bir deyişle, artık etkileşimler ) 2 , 1 ( ) 1 ( 12 W

H = ifadesi ile verilir ve görüldüğü gibi herhangi bir tek parçacık terimi içermez. (Kuo and Brown,1966; Kuo, 1974; Barrett and Kirson, 1973; Jiang and et al., 1992). Buradan sonra; residual iki – cisim etkileşimleri

∑

_l<j V( ji, ) ile ifade edillecektir. Buna göre, kor dışındaki iki parçacık için artık etkileşmeler;

) 2 , 1 ( ) 1 ( 12 V H = (2.33)

olur, Denklem (2.26), (2.29), (2.30) ve (2.33)’dan toplam Hamiltonyen aşağıdaki gibi olur.

. (1) . (2) (1, 2)

kor S P S P

H =H +H +H +V (2.34)

Kor dışındaki iki parçacığı p yörüngesinde bulunan çekirdeğin bağlanma enerjisi, ) ,..., 1 ( ) 0 ( _A Γ

φ durumundaki toplam Hamiltonyenin beklenen değeriyle verilir.

(0) (0)

( ) (1..., ) (1,..., ) b

E A_Γ = φ_Γ A H φ_Γ A (2.35)

(0)_{(1,... )A}

φ _Γ dalga fonksiyonu, iki ekstra nükleonu tanımlayan _φ (0)_{(1, 2)}

Γ dalga

fonksiyonunun antisimetrik çarpımı şeklinde yazılabilir.

(0)

{

(0)

}

00 (1,...., )A A (kor) (1, 2) φ_Γ = φ φ _Γ (2.36) 00(kor) φ ve _φ(0)_{(1, 2)}

Γ fonksiyonları antisimetrik alınır. Antisimetrikleştirici A, tüm

parçacık koordinatlarını permute ederek ve yaklaşık lineer kombinasyonlarını olarak, antisimetrikleştirme işini gerçekleştirir. Denklem (2.35)’deki matris elemanının hesaplanmasında doğru sonuçlar, (0)

00(kor) (1, 2)

φ φ_Γ şeklindeki daha basit çarpım fonksiyonları ile birlikte elde edilir. Denklem (2.34)’de de olduğu gibi toplam Hamiltonyen, (0)

00(kor) ve (1, 2)

φ φ _Γ dalga fonksiyonlarının ortanormalitesinden elde edilen terimlere ayrıştırılabilir.

( 0 ) ( 0 )

0 0(k o r) (1, 2 ) H (1, 2 )

φ φ_Γ φ_Γ

(0) (0)

00(kor H) core 00(kor) (1, 2) HS P. .(1) HS P. .(2) (1, 2)

φ φ φ_Γ φ_Γ

) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( (0) ) 0 ( Γ Γ + φ V φ (2.37)

Denklem (2.37)’a dikkatli bakılırsa ve tek parçacık enerjileri

(0) (0) 2 (0) 2

. . . 12

2e_p φ_Γ (1, 2) H_{S P}(1) H_{S P}(2)φ_Γ (1, 2) p H p

Γ

= + = , (2.38)

residual (artık) etkileşmeler,

Γ Γ

Γ

Γ(1)(p2)= (0)(1,2)V(1,2) (0)(1,2) = p2V(1,2)p2

E φ φ , (2.39)

gibi ve korun bağlanma enerjisi de

00 ( ) 00

( ) ( ) ( )

b

kor

E kor = φ kor H φ kor (2.40)

gibi verilirse Denklem (2.37)’un Denklem (2.25)’e denk olduğu görülür. Burada iki parçacık dalga fonksiyonu (0)(1,2)

Γ

φ ’yi gösterimde kolaylık olması açısından p2 ile gösterdik.

Buraya kadar Coulomb enerjisi göz ardı edilmiştir. Coulomb enerjisinin toplam bağlanma enerjisine katkısı kolayca dahil edilebilir ancak, Coulomb kuvvetinin uzun menzilli olmasından dolayı nükleer yapının detaylarına pek önemli bir şekilde bağlı değildir. Coulomb enerjisi E ’nin hesaplanması için pek çok yaklaşık ifadeler mevcuttur. _C

( Beiner et al., 1975). Denklem (2.25)’de _{E kor terimi, yani kor’don gelen katkı için} b( ) bağlanma enerjisinin deneysel değeri alınabilir (Firestone and Shirley, 1998; ENSDF, 2001). Tek parçacık enerjisi e , doğrudan kor çekirdeğinin bağlanma enerjisi ile kor + _p

Örneğin, taban durumu 16_{O koru ile} 5 2 1d nötronunun çiftlendiği 17O, 5 2 n J = durumunda: Eb O Eb O MeV MeV d (17 ) (16 ) (131,77 127,62) 4,15 15/2 = − = + =−

Kor’un dışında iki parçacıktan fazla parçacık varsa, örneğin; n parçacık p kabuğunda ve m parçacık λ kabuğunda iken bağlanma enerjisi aşağıdaki gibi olur.

(1)

( ) ( ) ( )

b n m b n m

c p

E kor p+ +λ =E +E kor +me_λ+ne +E_Γ p λ (2.41)

Baştaki dört terim yukarıda açıklanmıştı. Son terim kor dışındaki iki parçacıktan fazla olan parçacıkların etkileşmeleridir ve iki – cisim matris elemanıyla hesaplanabilir:

) ( ) , ( ( (1) ' ) 1 ( ' ' λ λ λ V k p C E p p E n m n m l k l m n Γ Γ Γ Γ + < = Γ

∑

=

∑

(2.42)

Denklem (2.39)’deki matris elemanından;

' ) 1 ( ' ( (1,2) _Γ Γ pλV pλ E (2.43) elde edilir.

2.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları

Şuana kadar ki tartışmalarımıza perturbe olmamış durumları, (0) Γ

φ , dahil etmedik. Bu durumların hepsi tam bir Kabuk model karışımını temsil eder. Örneğin: iki aktif yörüngeyi hesaba katarak, p ve ,λ pn ve _λm _{her birinin parçacık dağılımı olmak üzere,} saf durumları (0)_(pn m₎

α β

φ _Γ λ ile, ara kuantum numaraları α ve β ile, J_α +J_β =J_Γ ve

Γ = +T T T_{α β} ile verilir. Denklem (2.23)’dan (0) Γ

φ saf durumunun enerjisi iki durumun toplamı şeklinde

( )0 ( )1

E E= +E verilir. E katkısı, bağımsız parçacık hareketini tanımlayan H( )0 (0)

hamiltonyeninden kaynaklanır. ( )1

E katkısı, H (1) residual (artık) etkileşmesinden kaynaklanır. k=1,….g olmak üzere g tane durum ₍ (0)₎

k

φ _Γ düşünelim: bu durumların enerjileri E_k =E_k( )0 +E_k( )1 birbirlerinden çok farklı olmadığını düşünelim. Bu durumda residual (artık) etkileşmelerden dolayı, nükleonların bir durumdan diğerine sıçrayabileceğini göz ardı edemeyiz. Dolayısıyla asıl durum tüm ( (0))_k

Γ

φ durumların karışımı şeklinde verilmelidir. Amaç, çok parçacık sistemini açıklayan uygun bir ( (0))_k

Γ

φ

lineer kombinasyonu bulmaktır.

Kombinasyonları aşağıdaki gibi yazalım:

(0) 1 g p kp k k a φ = Ψ =

∑

, p=1,….., g (2.44)

Burada J_Γ ve T_Γ değerlerini belirten Γ etiketi yazımda kısalık olması açısından kaldırılmıştır. Ψ için normalizasyon şartı aşağıdaki bağıntıyla verilir. _p

1 2 1 =

∑

= kp g k a , p=1,…….,g (2.45)

akp genliğinin karesi, çekirdeğin φ_k(0)ile belirtilen durumda bulunma ihtimali olarak

yorumlanabilir. Şimdi özdeğer denkleminin çözülmesi gerekir.

p p p E

H Ψ = Ψ (2.46)

Denklem (2.10) ve Denklem (2.44)’i Denklem (2.46)’de yerine yazılırsa;

) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( ) 0 ( ₎ ( g _{kp k} k p k kp k a E a H H

∑

φ

∑

φ = = = + (2.47)

Denklem (2.47)’ü sol taraftan _φ(0) _{ile çarparsak;}

p p kp k g k a E a H H + =

∑

= ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 φ φ (2.48)

elde edilir. Burada (0)

k

φ fonksiyonlarının orta normalliği kullanılmıştır. (0)

k

φ fonksiyonları

H (0)’ın öz durumları aşağıdaki gibi olduğundan

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( k k k E H φ = φ , (2.49)

) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( k k k k k H H H H H H = φ φ = φ + φ = φ φ + φ φ ) 1 ( ) 0 ( k k k H E + = δ (2.50)

elde edilir. Burada (0)

k

E terimi tek parçacık enerjisinden gelen katkıyı ve (1)

k

H de residual

(artık) etkileşmeden gelen katkıyı gösterir. Denklem (2.50)’yi kullanarak Denklem (2.48)’i aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz.

ep p kp k g K a E a H =

∑

=1 (2.51)

Her p değeri için, akp genliklerini sütun vektörleri olarak yazarsak, Denklem (2.51)’i matris

formunda verebiliriz; ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ gg g H H H H H H . . . . . . 1 22 21 12 11 . . . . . . . . . . .. . . . .. . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ gp p p a a a . . . 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = gp p p P a a a E . . . 2 1 . (2.52)

H’ın hermitik olduğundan dolayı,

k k H

elde edilir. Bu, H matrisinin simetrik olduğu anlamına gelir. _lk 11 12 ... ... ... .. ... ... .. 1 21 22 1 ... ... .... ... ... .... .... .... ... ... .... . 0 . . P g p g gg p H E H H H H E H H E − − = − (2.54)

Bu g. dereceden E denklemine ve _p E ’nin g tane köküne götürür. Değişik kökleri _p

Denklem (2.52)’ da yerine yazarak, her akp özvektörü için bir denklem elde edilir. Değişik

özdeğerlere ait özvektörlerin hepsi mutlaka ortagonal ve normalize olmalıdır;

' ' ' 1 , ( ) g kp kp pp P P k a a δ E E için = = ≠

∑

(2.55) P P E =E ′ için )( ' p

p≠ uygun özvektörler akp ve aak1, bir takım ortagonalleştirme

işlemlerinin yardımıyla ortagonal yapılabilirler. Denklem (2.51) a_p' ile çarpılıp, üzerinden toplamı alındıktan sonra, Denklem (2.55)’de yerine yazıldığında,

' ' 1 , pp p kp ek p g k E a H a = δ

∑

= (2.56)

elde edilir. Denklem (2.56)’a dikkat edilirse Denklem (2.46) ile özdeş olduğu görülür. Denklem (2.56)’ün matris şekli aşağıdaki gibidir.

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ g gg g g gg g g g g E E E a a a a a a H H H H H H a a a a a .. . .. 0 . . . 0 0 ... 0 . . . . . . . .... ... .. . . . . . . . . . . ... .. . . . 2 1 1 21 1 12 11 1 21 1 12 11 . .. . .. .. ... .. .. 1 12 1 .. ... ... 21 11 (2.57)

Böylece akp matrisleri H k matrisini köşegenleştirir. Denklem (2.55), akp katsayılarının bir ortagonal matrisi (A) oluşturduğu anlamına geliyor. Bu matrisin ortagonalliği _{A =A bağıntısıyla verilebilir, burada A}-1 T -1 _{ters matris, A}T _{ise transpoze}

matristir. Buna göre Denklem (2.57) daha kısa olarak,

A-1H A = E (2.58)

gibi yazılabilir.

Dalga fonksiyonlarının ve enerjilerin saptanması işlemi aşağıdaki gibi özetlenebilir. Enerji matrisi, Denklem (2.50)’de verilen H _k matris elemanlarından oluşturulur. Pertürbe olmayan Hamiltonyen H(0)_{, sadece diagonal matris elemanlarına katkıda bulunur.}

k

H

matrisinin diogonalleştirilmesi, Hamiltonyenin gerekli özdeğer ( enerji) ve özvektörlerine (karışık – konfigurasyon dalga fonksiyonları) götürür.

Kabuk modelinde pertürbasyon yaklaşımını kullanarak H(1)’in hesaplanmasında, iki parçacık etkileşimlerinin toplamı şeklinde bir varsayım yapılabilir:

) , ( ) 1 ( _{V i j} H j i

∑

< = (2.59)

2.6. Konfigürasyon Karışımı Uygulamaları

Çekirdek içinde, (0) 2 ) 0 ( 1 φ

φ ve ortanormal dalga fonksiyonları ile tanımlanan ve aynı

J spinine ve aynı T izospinine sahip iki durum olduğunu var sayalım. Konfigürasyon

karışımı dikkate alınmadan bu iki durumun enerjileri (0) 1 ) 0 ( 1 11 φ Hφ H = ve ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 22 φ Hφ

H = ile verilir. İki dalga fonksiyonunu içeren Ψ aşağıdaki gibi verilir. _p

(0) (0) 2 2

1 1 2 2 , 1 2 1 , 1, 2

P a pφ p a pφ p ap a p p

Ψ = + + = = (2.60)

Denklem (2.52) konfigürasyon karışımları ile enerjilerin aşağıdaki gibi özdeğer denkleminden elde edildiğini gösteriyor.

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ p p p p p a a E a a H H H H 2 1 2 1 22 21 12 11 (2.61)

Matris elemanları H _k = H_k daha önceden Denklem (2.50)’de tanımlanmıştı. Özdeğerler

(0) (1)

p p p

11 12 12 22 0 p p H E H H H E − = − (2.62) veya 2 11 22 12 (H −E_p)(H −E_p)−H =0 (2.63)

şeklinde verilebilir ve çözümlerde aşağıdaki gibi olur:

}

{

2 12 2 22 11 22 11 ( ) (2 ) 2 1 H H H H H E_p = + ± − + (2.64) ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 φ

φ ve ile tanımlanan durumlar arası enerji ayrılığı, bu iki durum arasındaki konfigurasyon karışımı hesaba katıldığında değişir. Konfigürasyon karışımı olmadığındaki enerji ayrılması: 22 11 H H − = ∆ (2.65)

ile ve konfigurasyon karışımı dikkate alındığında ise enerji ayrılması:

2 12

2 _{(2 )}

'= ∆ + H

∆ (2.66)

ile verilir. Buna göre konfigürasyon karışımı dikkate alındığında, karışık durumların toplam bağlanma enerjisi aşağıdaki gibi yazılabilir:

(

2

)

( )

( )

_{1, 2 .}

b b

E_Γ kor+ρ =E kor ± _EP (2.67)

bu çekirdeğin toplam bağlanma enerjisine katkıda bulunan terimler Denklem (2.61)’ de açıklanmıştı. Denklem (2.61) deki _E( )1

( )

_ρ2

Γ terimini ve Denklem (2.67) deki EP

( )

1, 2

terimini hesaplamak için, her J and T değeri için H₁₁, H₂₂ ve H₁₂ değerlerinin hesaplanması gerekir. H11 ve H22 hesaplamak için,

(

)

(

)

(

)

(

)

{

( )

( )

}

(

)

2 1 2 1 _{1 1 2} (1, 2) 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ₂ 1 1 1 2 1 3 2 2 j_a j _{l l J T} MSDI b _{a b} j j V_{a b} j j_{a b JT} A_T x j_a j_b J J _ab T j_a j_b J T T B C δ + + _{+ + +} 〈 〉 = − 〈 − 〉 − − + + + 〈 〉 + − + + − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ _{⎤ ⎡⎣ ⎤⎦} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.68)

denklemi, Denklem (2.64) deki H12’ i hesaplamak için,

2 1 2 1 2 1 2 1 (1,2) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 j j j j A n_a n n_c n a _b c _d SDI b d T j j V_{a b} j j_{c d J T} J _{ab cd} l l_{d b b d}j j x j_b j_a J j_d j_c J δ δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎝ ⎠ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎪⎩ + + + + + + + 〈 〉 = − + + + + + + − 〈 − 〉〈 − 〉 − − l l⎡⎢ a b J T⎤⎥ ⎢ _⎟⎟ ⎥ ⎢ _⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + + 1 1 ₁ 1 1 _{1 1 1} 2 2 2 2 T j_b j_a J j_d j_c J ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎢ ⎛ ⎞ ⎥ ⎪⎪_⎬ ⎢ ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎥_⎪ ⎢ _{⎝ ⎠} ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪⎭ − 〈 〉〈 〉 + − (2.69)

denklemi kullanılır. Denklem (2.68) ve (2.69) daki A, B ve C değerleri aşağıdaki gibi alınır (Brussaard and Glaudemans, 1977).

(25 ) , 0. 0 1

A ≈A ≈ ≈B A MeV C ≈ (2.70)

Denklem (2.68) ve (2.69) daki j m j m JM_{a a b b} ifadeleri Clebsch-Gordan katsayıları olarak adlandırılır ve 3-j sembolleriyle aşağıdaki şekilde ifade edilir:

( )

1 ja jb J 2. 1 a b a a b b a b j j J j m j m JM J m m M + + ⎛ ⎞ = − _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (2.71)

Görüldüğü gibi hafif çekirdeklerin enerjisinin hassaslığı Clebsch-Gordan kat- sayılarını hesaplamak için seçilen formüle bağımlıdır. Bu tezde ; I.I. Guseınov ve B.A. Mamedov’un Clebsch-Gordan katsayılarının hesaplanması için verdiği formülleri kul-lanarak ( Guseinov, et al., 1995 ) 30

14Si , 16 24 12Mg12, 22 10Ne12, 32 16S çekirdeklerinin enerjilerini 16

hesaplandı ve literatürdeki sonuçlarla karşılaştırıldı, alınan sonuçların deneysel sonuçlara daha yakın olduğu görüldü.

(2.71) deki Clebsch-Gordan katsayılarını hesaplamak için I.I.Guseınov ve B.A. Mamedov çalışmalarında aşağıdaki formülü vermişlerdir.( Guseinov and Mamedov, 2005)

(

l l m m l l LM1 2 1 2 1 2

)

=δM m m. 1− 2

(

)

(

)

( )

(

)(

)

1 2

(

1 2

)

2 1

(

)

1 1

( )

2 2

( )

1/ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 l l L L M l l L l l L l m l m L F l l L F L l l F l l L F l l L F l F l + − + − + − + + + ⎡ _{+ + + +} ⎤ ⎢ ⎥ × + + + + + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

( )

1

(

1 2

)

2 2

(

)

1 1

(

)

n n l m n l m n n F l l L F _{+ −} L M F_{− −} L M ×

∑

− + − + − (2.72)

Burada F n_m

( )

=n!/⎡_⎣m n m!

(

−

)

!⎤_{⎦ binomial katsayılardır ve} l1− ≤ ≤ +l2 L l1 l M2, ≤L, ve

(

)

(

)

[

]

2 2 1 1 1 2 2 2 1 1

max 0,⎡_⎣ l +m − L M l+ , −m − L M− _⎦⎤≤ ≤n min l + −l L l, +m l, −m dır.Ref.[9] deki aşamaları kullanarak Clebsch-Gordan katsayıları aşağıdaki hale gelir ( Guseinov, 1985).

( )

( 1 1 2 2 )

(

)

1 2 1 2 1/ 2 1 2 1 2 1 2 1 m m m m M M l l L m m M C = − + + + + + l l m m l l LM (2.73)

Clebsch-Gordan katsayılarının hesaplanmasında binomial katsayılarının kullanılması bunların bilgisayar hafızasında saklanmasında kolaylık sağlar.

Binomial katsayıların hesaplanmasında,faktoriyel işlemlerinden kaçınmak ve hesaplamaları hızlandırmak amacıyla;

( )

(

1

)

1

(

1

)

m m m

F n =F n− +F ₋ n− (2.74)

tekrarlama bağıntısı kullanılmıştır. Bilgisayar yardımıyla hesaplanan binomial katsayıları düzenli olarak hafızada saklanmış ve simetriler uygulanarak hafıza ihtiyacı minimize edilmiştir.

( )

(1 2 3)/ 2

₍

₎

1 2 3 1 2 3 1 0 0 0 l l l l l l l l l + + ⎡ ⎤ = − ∆ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3

(

(

1 2 3

)

)

(2 3 1)/ 2

( )

3 1 2 3 1 2 3 / 2 , 0 , l l l l F l l l F l l l l çift l l l tek + − ⎧ + + + + = ⎪ ×⎨ + + = ⎪⎩ (2.75)

Burada;

(

)

₍

₎

₍

₎

_{( )}

1 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 3 1 1 2 1 2 l l l l l l l l F l l l l l F l F _{+ −} l ∆ = + − + + + + . (2.76)

Denklem (2.71)’de j_a = ve j_b J =0olması durumunda,

2 1 1 1 00 2 2 2 1 j j j − = + (2.77) denklemi kullanılır.

3. HESAPLAMALAR

3.1. 30

14Si Çekirdeği için Enerji Hesabı 16

28 14Si kor 14

(

2

)

( )

₂

( )

2 b b E kor_Γ +ρ =E kor + e_ρ +E_Γ ρ (3.1)

( )

( )

28

( )

28 _931,5 b b p n E kor =E Si =⎡_⎣Zm +Nm −m Si ⎤_⎦ (3.2)

[

14.1, 007825 14.1,00866501 27,976927 931,5

]

= + − 236,54MeV = − (3.3)

( )

( )

1/ 2 29 28 2 242, 05 236,54 8, 48 b b s e_ρ =e =E Si −E Si = − + = − MeV

1/ 2 3 / 2 3 / 2 2 1 1 1, 27 7, 21 s d d e e MeV e MeV − = = − 1.Durum

(

)

2

( )

1/ 2 2s T =1 İzinli Durumlar 0 ,1+

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

) ( ) (

)

1/ 2 1/ 2 2 28 2 28 2 1/ 2 2 1/ 2 2 2 28 2 1/ 2 1/ 2 01 2 2 2 2 2 1, 2 2 b b b s b s E kor E Si s E Si e E s E Si e s V s ρ Γ + = Γ + = + + Γ = + + (3.4) eşitliğinde:

(

) ( ) (

)

₍

₎

2 2 2 2 1/ 2 1/ 2 1 01 1 2. 1 1 1 1 1 2 2 1, 2 2 00 2 2.0 1 2 2 2 2 s V s A B C ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + + _(3.5) ve 2 1 1 1 1 1 1 1 00 1 2 2 2 2 2. 1 _{2. 1} 2 2 j − = = = + ₊ (3.6)

eşitlikleri yerlerine yazılırsa:

(

) ( ) (

)

2 2 1/ 2 1/ 2 1 1 01 4 1 2 1, 2 2 2 2 s V s = −A + + = − + +B C A B C

(

)

( )

1/ 2 28 2 28 1/ 2 2 1 2 2 b b s E_Γ Si+ s =E Si + e −A + +B C (3.7) 2.Durum

(

)

2

( ) ( )

5/ 2 1d İzinli Durumlar 0 ,1 ; 2 ,1+ +

( )

0 ,1+ durumunda:

(

)

(

)

( )

3 / 2

(

)

2 28 28 2 3/ 2 1 3/ 2 1 2 1 b b b d E kor_Γ +ρ =E_Γ Si+ d =E Si + e +E_Γ d

(

2

)

(

) ( ) (

2

)

2 3/ 2 3/ 2 3/ 2 01 1 1 1, 2 1 E_Γ d = d V d

(

)

2 2 1 3 2. 1 3 1 3 1 2 ₀₀ 2 2.0 1 2 2 2 2 A B C ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + + _(3.8) Denklem (3.3)’ de 2 3 1 3 1 1 1 00 3 2 2 2 2 _{2. 1} 4 2 − = = + yerine yazılırsa:

(

) ( ) (

2

)

2 3/ 2 3/ 2 1 1 01 16 1 1 1, 2 1 . 2 2 4 d V d = −A + + = −B C A + +B C

(

)

( )

3/2 28 2 28 3/ 2 1d 1 1 +2e 2 b b E_Γ Si+ d =E Si − A + +B C (3.9) elde edilir.

( )

2 ,1+ durumunda:

(

₂

)

(

) ( ) (

2

)

2 3/ 2 3/ 2 3/ 2 21 1 1 1, 2 1 E_Γ d = d V d

(

)

2 2 1 3 2. 1 3 1 3 1 2 ₂₀ 2 2.2 1 2 2 2 2 A B C ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + +

(

) ( ) (

2

)

2 3/ 2 3/ 2 1 1 21 16 1 1, 2 1 .5.0, 05 0, 4 2.5 d V d = −A + + = −B C A + +B C = −0, 4A₁+ + B C (3.10) 3.Durum

(

)(

)

1

( ) ( )

1/ 2 3/ 2 2s 1d İzinli Durumlar 1 ,1 ; 2 ,1+ +

(

)

( )

3 / 2 1/ 2

(

)

28 1 1 28 1 1 1/ 2 3/ 2 1 2 1/ 2 3/ 2 2 1 2 1 b b d s E_Γ Si+ s d =E Si +e +e +E_Γ s d

( )

1 ,1+ _durumunda:

(

1 1

)

(

) ( ) (

)

1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 ₁₁ 2 1 2 1 1, 2 2 1 E_Γ s d = s d V s d

(

)(

)

( )

2 0 2 1 1 1 3 2. 1 2. 1 3 1 1 1 2 2 _{10 1 1} 2 2.1 1 1 0 2 2 2 2 A + + B C ⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ _{⎡ ⎤} = − _⎣ + − _⎦+ + + + B C = + (3.11)

( )

2 ,1+ _durumunda:

(

1 1

)

(

) ( ) (

)

1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 ₂₁ 2 1 2 1 1, 2 2 1 E_Γ s d = s d V s d

(

)(

)

( )

2 0 2 2 1 1 3 2. 1 2. 1 3 1 1 1 2 2 _{20 1 1} 2 2.1 1 1 0 2 2 2 2 A + + B C ⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ _{⎡ ⎤} = − − _⎣ + − _⎦+ + + + (3.12) Denklem (3.12)’ de

( )

3 1 0 2 2 3 1 2 3 1 1 1 _{2 2} 20 1 2.2 1 5.0,31623 1 1 2 2 2 2 0 2 2 + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = − + ⎜ ⎟= ⎜₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ _(3.13) yerine yazıldığında,

(

2s1/ 21d3/ 2

) ( ) (

V 1, 2 2s1/ 21d3/ 2

)

₂₁ 1 1 2.4 .5.0,1.2 0,8 2.5 A B C A B C = − + + = − + + (3.14)

Konfigürasyon Jπ T

28_{Si Koruna göre}

Bağ.Enerjileri Uyarılma Enerjileri

(

)

2 1/ 2 2s 0+ ₁ 1/ 2 1 2 2s A B C e − + + + ₀ 1/ 2 3/ 2 2s 1d 1+ ₁ 1/ 2 3 / 2 2s 1d B C e+ + +e A e1− 2s_{1 / 2} +e1d_{3 / 2} 1/ 2 3/ 2 2s 1d 2+ ₁ 1/ 2 3 / 2 1 2 1 0,8A B C e s ed − + + + + 0, 2A e1− 2s_{1/ 2} +e1d_{3 / 2}

(

)

2 3/ 2 1d ₀+ ₁ 3 / 2 1 1 2A B C 2ed − + + + 1/ 2 3 / 2 1 2 2s 2 1d A e e − − +

(

)

2 3/ 2 1d ₂+ ₁ 3 / 2 1 1 0, 4A B C 2ed − + + + 0, 6A1−2e2s_{1/ 2} +2e1d_{3 / 2}

Tablo1. 30_{Si ’un} 28_{Si koruna göre düzenlenmiş enerjileri}

Tablo1’de A, B ve C 1 25 25 0,833 30 A B MeV MeV A = = = = ve C=0

dır. Toplam Bağlanma enerjisi:

( )

1/ 2 28 2 1 2 236,54 2.8, 48 0,833 0,833 b s E Si + e −A + + = −B C − − + 253,5MeV= − 1/ 2 3/ 2 2s 1d _için, 1/ 2 3 / 2 1 2s 1d 0,833 7, 21 8, 48 2,1 A e− +e = − + = MeV

1/ 2 3/ 2 2s 1d _için, 0, 2A e1− 2s1/ 2 +e1d3 / 2 =0, 2.0,833 7, 21 8, 48 1, 43− + = MeV

(

)

2 3/ 2 1d _için, 1/ 2 3 / 2 1 2 2s 2 1d 0,833 2.7, 21 2.8, 48 1, 7 A e e MeV − − + = − − + =

(

)

2 3/ 2 1d _için, 1/ 2 3 / 2 1 2 1 0, 6A −2e s +2ed =0, 6.0,833 2.7, 21 2.8, 48 3, 04− + = MeV

elde edilir. Bu hesaplamalar konfigürasyon karışımı içermemektedir. Konfigürasyon karışımını göz önüne alalım.

( )

0 ,1+ _{seviyesini inceleyelim:}

(

)

2 1/ 2 01 2s ve

(

_{3/ 2}

)

2 01

1d durumları karışırsa bu durumların enerjileri,

(

) (

)

{

2 2

}

11 22 11 22 12 1 2 2 p E = H +H ± H −H + H (3.15)

(

) ( ) (

)

(

)

1/ 2 1/ 2 2 2 11 1/ 2 1/ 2 2 01 2 2 1 2 2 1, 2 2 2 1 2. 1 1 1 1 1 2 00 2 2 2.0 1 2 2 2 2 s s H s V s e A B C e = + ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + + + 1/ 2 1 2 4 1 2 2 2 s A B C e = − + + + = − + + +A₁ B C 2e_{2s1/ 2} =2. 8, 48

(

−

)

= −16,96MeV. (3.16)

(

) ( ) (

)

3 / 2 2 2 22 3/ 2 3/ 2 1 01 1 1, 2 1 2 d H = d V d + e

(

)

3 / 2 2 2 1 1 3 2. 1 3 1 3 1 2 _{00 2} 2 2.0 1 2 2 2 2 d A B C e ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + + + 3 / 2 1 1 16 1 2 2 4 d A B C e = − + + + 3 / 2 1 1 2A B C 2ed = − + + + = −15, 25MeV _(3.17)

(

) ( ) (

2

)

2 12 1/ 2 3/ 2 01 2 1, 2 1 ' H = s V d yi

( )

1, 2

( )

1

₍

₎

(

2 1 2

)(

₍

1 2

)(

₎₍

1 2

₎

)(

1

)

2 2 1 1 1 a b c d n n n n _{T a b c d} a b c d JT ab cd j j j j A j j V j j J δ δ + + + + + + + = − + + +

( )

( )

( )

1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 b d b d a b j j l l l l J T b a d c T b a d c j j J j j J j j J j j J + + + + + + ⎧ _{⎡ ⎤} × −_⎨ − − _⎣ − − _⎦ ⎩ ⎫ ⎡ ⎤ − _⎣ + − _⎬ ⎦⎭

eşitliğini kullanılarak hesaplayabiliriz.

( )

1 1 1 1

₍

₁

₎

₍

₎₍

₎

12 1 1 3 3 2. 1 2. 1 2. 1 2. 1 2 2 2 2 1 2 2.0 1 1 1 1 1 A H + + + ⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ = − + + +

( )

1 1 32 2 0 2 1 1 1 1 00 3 1 3 1 00 1

( )

1 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ⎧ _{⎡ ⎤} × −_⎨ − − _⎣ − − _⎦ ⎩ 1 1 1 1 01 3 1 3 1 01 1

( )

11 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎫ ⎡ ⎤ − _⎣ + − _⎬ ⎦⎭ burada: 1 1 1 1 00 0, 70711 2 2 2 2− = 3 1 3 1 00 0,5 2 2 2 2− =

değerleri yerine yazıldığında:

1 12 1 2.4 .0, 70711.0,5.2 1, 41 1,17 2 2 A H = = A = MeV (3.18)

elde edilir. (3.16), (3.17) ve (3.18)’den alınan değerler Eşitlik (3.15)’ de yerine yazıldığında:

( )

1

{

(

) (

2

)

2

}

0 16,96 15, 25 1, 71 2.1,17 2 E + = − − ± +

{

}

1 32, 21 2,9 2 = − ±

( )

1 0 17,5 E + = − MeV E₂

( )

0+ = −14,6MeV

( )

0 1

( )

0 2

( )

0 E + =E + −E + = −2,9 MeV (3.19) olarak bulunur.

( )

2 ,1+ seviyesini inceleyelim: 1/ 2 _{3/ 2 21} 2s 1d ve

(

_{3/ 2}

)

2 21 1d durumları karışırsa;

(

) ( ) (

)

3 / 2 1/ 2 11 2 1/ 21 3/ 2 1, 2 2 1/ 21 3/ 2 ₂₁ 1d 2s H = s d V s d +e +e (3.20)

(

)(

)

( )

3 / 2 1/ 2 2 0 2 2 1 1 2 1 3 2. 1 2. 1 3 1 1 1 2 2 _{20 1 1} 2 2.2 1 1 0 2 2 2 2 d s A + + B C e e ⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ _{⎡ ⎤} = − − _⎣ + − _⎦+ + + + + +

burada:

( )

3 1 0 2 2 3 1 2 3 1 1 1 _{20 1 2.2 1} 2 2 _5.0,31623 1 1 2 2 2 2 0 2 2 − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = − + ⎜ ⎟= ⎜₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

değerini yerine yazarsak:

3 / 2 1/ 2 11 1 1 2 2.4 .5.0,1.2 2.5 d s H = −A + + +B C e +e 3 / 2 1/ 2 11 0,8 1 1d 2s H = − A + + +B C e +e 11 15,52 H = − MeV (3.21) olarak bulunur.

(

) ( ) (

)

3 / 2 2 2 22 3/ 2 3/ 2 1 21 1 1, 2 1 2 _d H = d V d + e (3.22)

(

)

3 / 2 2 2 1 1 3 2. 1 3 1 3 1 2 _{20 2} 2 2.2 1 2 2 2 2 d A B C e ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + + + burada:

( )

3 1 2 2 2 3 3 2 3 1 3 1 _{20 1 2.2 1} 2 2 _{5.0, 22361} 1 1 2 2 2 2 0 2 2 − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = − + ⎜ ⎟= ⎜₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ yerine yazılırsa:

3 / 2 22 1 1 16 .5.0, 05 2 2.5 d H = −A + + +B C e 3 / 2 1 1 0, 4A B C 2e_d = − + + + 22 13,92 H = − MeV (3.23) bulunur.

(

) ( ) (

)

2 12 1/ 2 3/ 2 3/ 2 21 2 1 1, 2 1 H = s d V d

( )

(

)

(

)(

)

1 1 1 1 ₁ 1 3 3 3 2. 1 2. 1 2. 1 2. 1 2 2 2 2 1 2 2.2 1 1 0 1 1 A + + + ⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ = − + + +

( )

1 3 32 2 2 2 3 1 1 1 20 3 1 3 1 20 1

( )

1 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ⎧ _{⎡ ⎤} × −_⎨ − − _⎣ − − _⎦ ⎩ 3 1 1 1 21 3 1 3 1 21 1

( )

11 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎫ ⎡ ⎤ − _⎣ + − _⎬ ⎦⎭

{

}

1 12 2.4 5.0,31623. 5.0, 22361.2 2.5 A H = 12 0, 47 H = MeV _(3.24) olarak bulunur.

(

) (

)

{

2 2

}

1 15,52 13,92 15,52 13,92 2.0, 47 2 p E = − − ± − +

{

}

1 29, 44 1,86 2 p E = − ±

( )

1 2 15, 65 . E + = − MeV E2

( )

2 13, 79MeV. + _{= −}

( )

2 15,65 13,79 E + = − + = −1,86 MeV olarak bulunur. (3.25) Şekil 3.1. 30

3.2. 24

12Mg12 Çekirdeği için Enerji Hesabı

26 12Mg kor 14 1. Durum

(

)

2

( ) ( ) ( )

5/ 2 1d İzinli Durumlar 0 ,1 ; 2 ,1 ; 4 ,1+ + +

( )

0 ,1+ durumunda:

(

2

)

(

24

)

_{5 / 2}

(

2

)

1 5/ 2 2 1 b b d E kor_Γ +ρ =E Mg + e +E_Γ d _Eb

(

24_Mg

)

₌

[

_{12.1,007825 12.1,00866501 23,985042 931,5+ −}

]

= −198, 26MeV

(

₂

)

(

) ( ) (

2

)

2 5/ 2 5/ 2 5/ 2 01 1 1 1, 2 1 E_Γ d = d V d

(

)

2 2 1 5 2. 1 5 1 5 1 2 ₀₀ 2 2.0 1 2 2 2 2 A B C ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + + eşitliğinde: 2 5 1 5 1 1 1 00 5 2 2 2 2 _{2. 1} 6 2 − = = +

değeri yerine yazıldığında

(

) ( ) (

2

)

2 5/ 2 5/ 2 1 1 01 36 1 1 1, 2 1 3 2 6 d V d = −A + + = −B C A + + (3.26) B C

( )

2 ,1+ _durumunda:

(

₂

)

(

) ( ) (

2

)

2 5/ 2 5/ 2 5/ 2 21 1 1 1, 2 1 E_Γ d = d V d

(

)

2 2 1 5 2. 1 5 1 5 1 2 20 2 2.2 1 2 2 2 2 A B C ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − + + + eşitliğinde:

( )

5 5 0 2 2 5 5 2 5 1 5 1 _{2 2} 20 1 2.2 1 1 1 2 2 2 2 0 2 2 − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = − + ⎜ ⎟ ⎜₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5.0,19518 =