Kesirli fourier dönüşümünün zaman bölgesinde sonlu farklar yöntemine uygulanması

(1)

Kesirli Fourier Dönüümünün Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar

Yöntemine Uygulanmas

Application of Fractional Fourier Transform to Finite Difference

Time Domain Method

Iltan Sayn

1

, Feza Arkan

1

, Orhan Arkan

2

1. Elektrik ve Elektronik Mühendislii Bölümü

Hacettepe Üniversitesi

{isiltan, arikan}@hacettepe.edu.tr

2. Elektrik ve Elektronik Mühendislii Bölümü

Bilkent Üniversitesi

oarikan@bilkent.edu.tr

Özetçe

Bilgisayarlarn hz ve belleklerinin gelimesi ile birlikte elektromanyetik problemlerin çözümünde saysal yöntemler skça kullanlmaya balanm ve bu konuda çok sayda aratrma yaplmtr. Saysal Elektromanyetik yöntemleri genel olarak zaman ve frekans tabanl yöntemler olarak snflandrlabilir. Zaman tabanl yöntemler geçici tepkilerin ve geni bantl problemlerin incelenmesinde kullanl olurken, frekans tabanl yöntemler duraan hal tepkilerin ve dar bantl problemlerin incelenmesinde en iyi çözümü vermektedir. Her iki yaklamn da avantajlarn ön plana çkarabilecek bir yöntem gelitirilebilecei düünülmektedir. Uzayda ve/veya zamanda Kesirli Fourier Dönüümü uygulanarak baz durumlarda hesaplama karmakl azaltlabilir. Kesirli Fourier Dönüümü, sürekli Fourier Dönüümünün genelletirilmi halidir. Son yllarda bu konu üzerinde çeitli çalmalar yaplmakta ve uygulama alanlar genilemektedir. Genel olarak, sinyal ileme ve gürültü süzme gibi alanlarda kullanlmaktadr. Bu çalmada Kesirli Fourier Dönüümü, ilk kez Maxwell denklemlerine zaman bölgesinde uygulanm ve elde edilen diferansiyel denklemler sonlu farklar yaklam ile ayrk hale getirilmitir. Elde edilen ayrk sonlu fark denklemlerinin çözümü için öneriler sunulmutur.

Abstract

With the improvement in the computer speed and memory, Numerical Methods are frequently used in the solution of electromagnetic problems. Numerical Methods can be classified as the frequency domain and the time domain based methods. While the time domain methods are suitable for modeling of the transient response and wideband problems, the frequency domain methods are suitable for modeling of the steady state response and narrow band problems. A numerical method that has the advantages of both time and frequency domain approaches can be developed. Applying Fractional Fourier Transform in space and/or time can reduce the computational complexity for some cases. The Fractional Fourier Transform is a generalization of the continuous

Fourier Transform. In last decades, there are several studies and applications concerning this transform. Generally, it is used in signal processing and noise filtering. In this study, Fractional Fourier Transform is applied to the Maxwell’s Equations for the first time in literature. Finite difference equations are obtained by the application of finite difference approximation to the differential equations.

1. Giri

Elektromanyetik alan teorisi, duran veya hareketli yükler ve bu yüklerin oluturduu elektrik ve manyetik alanlarla ilgilenen bir bilim daldr. Bu yüzden günümüzde kullanlan her türlü elektronik sistemin tasarm ve analizinde gerekli olan temel konulardan birisidir. Elektromanyetik teori, anten tasarm ve analizi, radar kesit alan hesaplanmas, elektromanyetik uyumluluk ve giriim, haberleme sistemleri, uzaktan alglama, optik gibi çok çeitli konularda uygulama alan bulmutur. Bu konularda karlalan problemlerin çözümünde elektromanyetik yöntemler kullanlmaktadr.

Elektromanyetik yöntemler analitik ve saysal olarak snflandrlabilir. Analitik yöntemler, problemin tam çözümünü vermekte ancak pratikte sadece belli geometrik yaplara uygulanabilmektedir. Bilgisayarlarn hz ve bellek kapasitelerinin artmasyla elektromanyetikteki problemlerin saysal yöntemlerle çözümü arlk kazanmtr. Genel olarak saysal elektromanyetik yöntemleri integral denklemi (D) veya diferansiyel denklem (DD) çözen yöntemler olarak snflandrlabilir. Bu snflandrmadan ayr olarak, saysal elektromanyetik yöntemler, zaman bölgesi (ZB) ve frekans bölgesi (FB) tabanl yöntemler olarak da gruplandrlabilir [1-2]. D-FB tabanl yöntemlere örnek olarak, momentler ve hzl çokkutup yöntemleri, DD-ZB tabanl yöntemlere Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar (ZBSF), DD-FB tabanl yöntemlere ise Sonlu Elemanlar Yöntemi verilebilir. ID ve DD-FB tabanl yöntemlerde, dorusal denklem sistemi oluturularak bilinmeyenler matris denklemi çözülerek bulunur. Bunlara ek olarak DD-ZB tabanl yöntemlerde de kapal ve açk olmak üzere iki çeit çözüm bulunabilir. DD-ZB açk çözümlerde dorusal denklem sistemleri yerine Maxwell

728 SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi - Diyarbakir

(2)

denklemlerindeki diferansiyel denklemler yinelemeli bir ekilde çözülür ve bu nedenle bu tip yöntemler bilgisayar kaynaklarna daha az ihtiyaç duyarlar. Ancak çözümün saysal olarak kararl olabilmesi için zaman ve uzay admlarnn kararllk koulunu salamas gerekir. DD-ZB tabanl kapal çözümlerin elde edilmesinde de matris denklemi çözülür. Açk çözüm yaklamna göre bu yöntemin avantaj, çözümün daima kararl olmasdr [2-3]. Problem boyutlar büyüdükçe yöntemlerin bilgisayar kaynaklarna olan ihtiyac da artmaktadr.

FB tabanl yöntemler problemi tek bir frekansta çözdükleri için geni bantl kaynak bulunan problemlere uygulandklar zaman her bir frekans için problemin tekrar çözülmesi gerekmekte ve hesaplama karmakl artmaktadr. ZB tabanl yöntemler ise geni bantl kaynaklarn bulunduu problemleri tek bir benzetimle çözebilmektedir. Ancak bu yöntemlerde de her bir kaynak için benzetim tekrarlanmaldr [1; 4]. Dorusal ve özde olmayan, yöne ve zamana baml ortamlar içeren problemler ZB tabanl yöntemlerle daha kolay çözülebilirler.

Inm, yaylm ve saçlm problemlerinde haberleme ve radar uygulamalarnda kullanlan pekçok geni bantl ve uzun süreli darbeli sinyaller için ZB ve FB yaklamlar yeterli olmamaktadr. Her iki yaklamn avantajlarn öne çkaracak yöntemler gelitirilebilir. Bu durumda Maxwell Denklemleri, frekans bölgesi veya zaman bölgesi yerine, Kesirli Fourier bölgesinde çözülerek her iki yaklamn da avantajlarnn korunabilecei düünülmektedir. Baz durumlarda örnein ‘chirp’ darbe sinyallerinin kullanld radar problemlerindeki gibi kaynaktan üretilen sinyalin zaman-frekans gösteriminde, sinyalin dayanann belli bölgelerde younlat durumlar için, kesirli Fourier bölgesinde uygulanacak çözüm teknikleri fayda salayabilir.

Bu çalmada Kesirli Fourier Dönüümünün (KFD), Maxwell Denklemlerine ve ZBSF yöntemine uygulanabilinecei önerilmektedir. Uygulamada karlalan problemler anlatlm ve çözüm önerileri verilmitir. kinci ve üçüncü bölümlerde, srasyla, KFD ve ZBSF yöntemi anlatlmtr. Dördüncü bölümde KFD’nin Maxwell denklemlerine uygulanarak sonlu farklar yöntemi ile çözülebileceine deinilmitir.

2. Kesirli Fourier Dönüümü

Kesirli Fourier Dönüümü (KFD), zaman-frekans analizi, gürültü süzme, radar sinyallerinin ilenmesi, iletiim, hüzme ekillendirme, sinyallerin geli açlarnn kestirimi gibi birçok alanda kullanlmaktadr. KFD klasik Fourier dönüümünün genelletirilmi halidir. f(u) sinyalinin KFD’si aadaki gibi verilebilir [5; 6]:

'

)

'

(

)

'

,

(

)

)(

(

)

(

u

F

f

u

K

u

f

u

du

f

_a a

³

_a f f

{

(1)

Yukardaki denklemde Ka(u,u’) çekirdek fonksiyonu

aadaki gibi tanmlanmtr.

) cot ' csc ' 2 cot ( 2 2

cot

1 )

'

,

(

D

iS u D uu D u D a

u

i

e

K

{

(2)

Burada, a KFD’nin kesir deerini göstermektedir. KFD, sinyalin zaman-frekans gösteriminin D=aS/2 açs kadar dönmesine neden olur. KFD a=0 için zaman sinyalinin

kendisini, a=1 için sinyalin klasik Fourier dönüümünü verir. Bir sinyalin KFD’si, a kesir deerli Fourier bölgesindedir.

Bir sonraki bölümde ZBSF yöntemi anlatlacaktr.

3. Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi

Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar (ZBSF) yöntemi 1966 ylnda Yee tarafndan önerilmitir [7]. ZBSF yöntemi diferansiyel denklem çözen ve zaman bölgesi tabanl yöntemlerdendir. ZBSF yöntemi Maxwell denklemlerindeki türevlerin sonlu farklar ile ayrklatrlmasna dayanr. Aadaki denklemde f(x) fonksiyonunun xm noktasndaki

birinci dereceden türevinin, merkezi sonlu farklar yöntemi ile ayrklatrlm yaklatrm verilmektedir [8; 9].

) ( ) 2 / ( ) 2 / ( ) ( _O _x2 x x x f x x f x x f _m _m m x ' ' ' ' # w w (3)

Yukardaki denklemde O('x2) ayrk yaklatrm hatasnn mertebesini ifade eder. 'x adm uzunluudur ve 'x sfra yaklatkça (3) gerçek deerine yaknsar.

Uzayn her noktasnda elektrik ve manyetik alanlar ve yükler arasndaki ilikiyi veren Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimleri aada verilmektedir.

t

w

u

E

B

(4)

J

D

H

w

u

t

(5)

U

D

(6)

0 B

(7) Yukardaki denklemlerde E elektrik alan, D elektrik ak younluu, H manyetik alan ve B manyetik ak younluu vektörleridir. J akm younluu vektörü, U ise elektriksel yük younluudur. Örnek olarak tek boyutta bir düzlem dalgann yaylm düünülebilir. Tek boyutlu, kaypsz, kaynak içermeyen bir ortamda x-ekseni yönünde ilerleyen bir düzlem dalga için (4) ve (5) denklemleri aadaki gibi yazlabilir.

x

E

t

H

z y

w

P

1

(8)

x

H

t

E

z y

w

H

1

(9) Yukardaki denklemlerde H dielektrik sabiti, P manyetik geçirgenlik sabitidir. ZBSF yönteminde zaman ve uzaydaki türev ifadeleri sonlu farklar ile yaknlatrlarak (8) ve (9) denklemleri aadaki gibi ayrk hale getirilebilir.

>

n

@

m n m n m n m

E

x

t

H

1/2 1/2 ₁_/₂ ₁_/₂

'

P

(10)

>

1/2 1/2

@

1 2 / 1 1 2 / 1

'

_'

mn n m n m n m

H

x

t

E

H

(11)

Yukardaki denklemlerde m ayrk x-eksenindeki noktalarn indisini, n ise ayrk zaman eksenindeki noktalarn indisini

729

(3)

göstermektedir. 'x x-eksenindeki adm uzunluu, 't ise zaman eksenindeki adm uzunluudur. ekil 1, ayrk hale getirilen uzay-zaman düzlemini göstermektedir [9].

ekil 1. Ayrk uzay-zaman düzlemi

Yukarda verilen (11) eitlii incelendiinde, zamanda bir adm öndeki elektrik alan deerinin, bir önceki admdaki elektrik alan deeri ve uzayda bu noktaya komu olan noktalardaki manyetik alan deerlerine bal olduu görülür. Ayn iliki (10) eitliinde de söz konusudur. Sonuç olarak balangç deerleri verildiinde, zaman ilerledikçe her noktadaki elektrik ve manyetik alan deerleri, bir önceki anda hesaplanan elektrik ve manyetik alan deerlerinden bulunabilir.

(11) ve (10) sonlu fark denklemlerinin çözümünün saysal olarak kararl olabilmesi için 'x ve 't adm uzunluklar belirli bir koulu salamaldr. Fiziksel olarak bu koul elektromanyetik dalgann 't süresi boyunca 'x adm uzunluundan daha fazla ilerlememesini gerektirir. Tek boyutlu bir problem için bu koul aadaki biçimi alr.

x

t

c

'

d

'

(12) Yukardaki denklemde

c

boluktaki k hzn ifade eder. 'x adm uzunluu ise Nyquist örnekleme frekansna karlk gelen dalga boyundan daha küçük seçilmelidir.

2

min

O

d

'x

(13) Yukardaki ifadede Omin sistemdeki en büyük frekansa karlk

gelen dalga boyudur. Genel olarak, 'x, Omin/10 ile Omin/40

arasnda seçilmektedir [8].

Sonsuz uzayda yaylm içeren problemlerde, benzetim snrl bir alanda yapld için benzetimin sonlandrld noktalarda geri yansma gözlenebilir. Geri yansmann olmamas için açk snr koullar salanmaldr [8].

Sonraki bölümde KFD’nin Sonlu farklar yöntemine uygulanmasna giri yaplacaktr.

4. KFD’nin ZBSF Yöntemine Uygulanmas

KFD yöntemi Maxwell Denklemlerine uygulanarak hem zaman bölgesi yöntemlerinin hem de frekans bölgesi yöntemlerinin avantajlar belli problemler için öne çkartlabilir.

Tek boyutlu, kaypsz ve özde olarak tanmlanabilen basit bir ortam için Maxwell denklemleri (8) ve (9)’de verilmitir. KFD, bu denklemlere zaman bölgesinde uygulanrsa a kesir deerli Fourier bölgesinde Maxwell denklemleri aadaki gibi elde edilebilir.

)

,

(

1 )

,

(

cos

)

,

(

sin

2

, , ,

u

x

E

x

u

x

H

u

x

uH

j

a z a y a y

w

P

D

S

(14)

)

,

(

1 )

,

(

cos

)

,

(

sin

2

, , ,

u

x

H

x

u

x

E

u

x

uE

j

a y a z a z

w

H

D

S

(15)

Yukardaki denklemler D= 0 için zaman bölgesindeki Maxwell denklemlerine, D = S/2 için Maxwell denklemlerinin Fourier dönüümüne karlk gelmektedir. (14) ve (15) denklemleri merkezi sonlu farklar ile ayrk hale getirilirse aadaki sonlu fark denklemleri elde edilebilir.

>

@

)

sin

(cos

sin

cos

sin

cos

, 2 / 1 , 2 / 1 2 / 1 , 2 / 1 ,

D

S

D

P

D

S

D

S

D

u

j

x

E

u

j

u

j

H

n n a m n a m n n n a m n a m

'

¸¸¹

· ¨¨©

§

'

(16)

>

@

)

sin

(cos

sin

cos

sin

cos

2 / 1 , 2 / 1 , 1 , 2 / 1 1 , 2 / 1

D

S

D

H

D

S

D

S

D

u

j

x

H

u

j

u

j

E

n n a m n a m n n n a m n a m

'

¸¸¹

· ¨¨©

§

'

(17)

Yukardaki denklemlerde un=n'u, a kesir deerli Fourier

bölgesindeki n indisli noktann u deerini göstermektedir. Ayrk sonlu fark (16) ve (17) denklemleri sürekli edeerlerinde olduu gibi, D’nn, srasyla, 0 ve S/2 deerleri için zaman ve frekans bölgesindeki sonlu fark biçimlerini almaktadr.

Zaman bölgesinde verilen bir kaynan KFD’si kaynak olarak (16) ve (17) eitliklerine uygulanarak a kesir deerli Fourier bölgesinde sistem çözülebilir ve ters KFD ile çözüm zaman bölgesine geri dönütürülebilir.

1 m m1/2 m m1/2 m1 m3/2 1 n 2 / 1 n n 2 / 1 n 1 n 2 / 3 n Zaman Uzay n m E ₁_/₂ 2 / 1 n m H n m E 1/2 2 / 1 n m H 2 / 1 1 n m H 1 2 / 1 n m E ) , (mn 2 x ' 2 t '

730

(4)

5. Tartma

Günümüzde elektromanyetik alannda karlalan problemlerin çözümünde saysal elektromanyetik yöntemleri arlk kazanmtr. Saysal elektromanyetik yöntemleri zaman ve frekans tabanl olarak snflandrlabilir. Zaman bölgesi tabanl yöntemler ile, sistemin geçici tepkisinin gözlenmesi ve tek bir benzetimle geni bir frekans bandnda sistem tepkisinin elde edilmesi mümkündür. Frekans tabanl yöntemler ise sistemin duraan hal tepkisini verirken, geni bantl problemler için hesaplama karmakl artmaktadr. Her iki yöntemin de avantajlarn ön plana çkarabilecek bir yöntemin gelitirilebilecei düünülmektedir. KFD uygularak, saysal yöntemler a kesir deerli Fourier bölgelerinde uygulanabilir. Bu sayede baz durumlar için hesaplama karmaklnn azalaca öngörülmektedir. Gelecekte yaplacak çalmalarda KFD’nin ZBSF yöntemine uygulanabilmesi için gerekli olan kararllk ve snr koullar incelenecek, ve tek boyutlu uzayda, basit ortamda düzlem dalgann yaylm a kesir deerli Fourier bölgesinde çözülmeye çallacaktr.

6. Kaynakça

[1] Poljak, D., Advanced Modeling in Computational Electromagnetic Compatibility, John Wiley & Sons, New York, 2007.

[2] Miller, E. K., “A selective survey of computational electromagnetics”, IEEE Trans. On Antennas & Propagat., Vol. 36, No. 9, 1988, p 1281-1305.

[3] Sevgi, L., Elektromanyetik Problemler ve Saysal Yöntemler, Birsen Yay., stanbul, 1999.

[4] Rao, S. M., Time Domain Electomagnetics, Academic Press, San Diego, 1999.

[5] Özakta, H. M., Zalevsky, Z., Kutay, M. A., The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing, John Wiley & Sons, New York, 2001.

[6] Candan, Ç., “The Discrete Fractional Fourier Transform”, MS. Thesis, Bilkent University, Ankara, 1998.

[7] Yee, K. S., “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations”, IEEE Trans. AP, vol. 14, no. 3, p 302-307, 1966.

[8] Taflove, A., Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Time-Domain Method, Artech House, Norwood, MA, 1995.

[9] Stutzman, W. L., Thiele, G. A., Antenna Theory and Design, John Wiley & Sons, New York, 1998.