Singüleriteye Sahip Sturm-Liouville Operatörler İçin İz (Trace) Formülü

C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi

Fen Bilimleri Dergisi (2003)Cilt 24 Sayı 1

Singüleriteye Sahip Sturm-Liouville Operatörler İçin İz (Trace) Formülü

R. Kh. AMİROV ve S. GÜLYAZ

Cumhuriyet Üniversitesi Fen-Edebiyat Fak. Matematik Bölümü SİVAS

Received:02.05.2003, Accepted: 12.06.2003 Özet: L₂[0,π] uzayında 2 ( ) 2 x q dx d ₊ − 0 ≡

operatörünün Dirichlet spektrumu olsun. Özel durum olarak olduğunda dir. I.M. Gelfand, B.M. Levitan [1] ve diğerleri,

için L L, , , , ₂ 1 µ µn µ ) (x q _n2 n = µ ] ) (x q ∈C₂[0,π ) ( ) ( 1 2 0 2 −

∫

+Ο + =n q x dx n n π π µ

asimptotik formülü ve olduğunda

∑

− = + n n q q n 4 ) 0 ( ) ( ] [_µ 2 π

iz formülünü bulmuşlardır. Bunlar ters (inverse) problemlerin çözümü gibi birçok alanda uygulaması olan

formüllerdir. Bu çalışmada, yukarıda ele alınan problem noktasında

(

)



     − ₊ x A x2 1 l l

.singüleriteye sahip Sturm-Liouville operatorü için çalışılmıştır.

0 =

x

Trace formula For Sturm-Liouville Operator With Singularity

Abstract: Let µ₁,µ₂,_L,µ_n,_L be the Dirichlet spectrum of the operator 2 ( ) 2 x q dx d ₊ − acting on . Inthe special case where In the I.M. Gelfand, B.M. Levitan [1] and others discovered the asymptotic formula

] , 0 [ 2 π L _{q(x) 0, n}2 n = ≡ µ ) ( ) ( 1 2 0 2 −

∫

+Ο + =n q x dx n n π π µ

and the trace formula

∑

− = + n n q q n 4 ) 0 ( ) ( ] [_µ 2 π

provided that , where . These are beatiful formulas with many

applications for example in solving inverse probIems. In this work, the above mentioned problem has

been studied for a Sturm-Liouville operator with

0 ) ( 0 =

∫

π dx x q q(x)∈C₂[0,π]

(

)

   + x A    − x2 1 l l _{singularity at x=0.}

Keyword: Trace formula, spectrum.

I. Giriş

Kuantum teorisinde Coulomb potansiyelli alanda elektronlarının hareketlerinin incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Bu tip problemlerin çözümü sadece Hidrojen atomunun değil, bir valentli atoma sahip Sodyum ve benzeri atomlarında spektrumunun ve enerji seviyelerinin bulunmasını sağlar. İndirgenmiş kütle li bir parçacığın

3-boyutlu uzayda V potansiyelindeki hareketi için radyal Schrödinger

denklemi, m r Ze r) / ( ₌₋ 2

(

)

_{( ) 0} 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ₌       _{+ −} − +       _{R r} mr r Ze E mr dr dR r dr d _{l l h} h

şeklindedir. Burada h Planck sabiti, parçacığın kütlesidir. enerjiye karşılık gelen spektral parametre olmak üzere gerekli dönüşümler yapıldığında,

m λ

(

)

_{q x y y} x A x y =λ       − _{+ +} + ′′ − ll₂1 ( )

şeklinde Strum-Liouville denklemi elde edilir. Bu tip singüler diferansiyel ifadelerin tanım kümesinden olan fonksiyonlar için y′(0) sonlu değeri mevcut değildir.

] , 0 [ 2 2 π W uzayında

(

)

_{q x y} x A x y y       − _{+ +} + ′′ − = 1 ( ) : ) ( l l₂ l (1.1) diferansiyel ifadesinin ve (1.2) 0 ) 0 ( = y 0 ) ( ) ( − = ′π Hy π y (1.3)

sınır koşullarının ürettiği operatör olsun. Burada , tamsayı,

gerçel sayılardır. operatörünün tanım kümesi:

L ( ) 2[0, ] 2 π W x q ∈ _l≥1 H A , L

{

( ): ( ) [0, ], ( ) [0, ], ( ) [0, ], (0) 0, ( ) ( ) 0

}

) ( 2 2 2 2 2 ∈ ∈ = ′ − = ∈ = y x y x W π l y L π q x W π y y π Hy π L D

L operatörünün özdeğerleri ve özfonksiyonları R.Kh. Amirov ve S. Gülyaz

çalışmasında [3] verilmiştir.

bir lineer operatör olsun. bir Hilbert uzayıdır. Hilbert uzayı olduğu için

{ }

ve H H A: → 1 ≥ n n e H 1 = H n

e ortonormal sistemi seçilebilir ve olur. Buna

göre, n n n e Ae =λ

∑

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = 1 1 1 1 , , , n n n n n n n n n n n n n e e e e e Ae λ λ λ +∞ <

∑

∞ =1 n n

λ ise bu seriye operatörünün izi denir ve trA

∑

∞ ile gösterilir.

= = 1 : ) ( n n A λ

] Hilbert uzayı olduğu için

{ }

ortonormal

sistemi seçilebilir ve olur. Buna göre,

, 0 [ ], , 0 [ ] , 0 [ :L₂ π L₂ π L₂ π L → n n n y Ly =λ 0 ≥ n n y

∑

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = 1 1 1 1 , , , n n n n n n n n n n n n n y y y y y Ly λ λ λ

şeklindedir. Ancak bu seri yakınsak değildir. Dolayısıyla regülerize edilmiş izi

incelenecektir. ile q olduğu duruma karşılık gelen (1.1)-(1.3) probleminin

özdeğerlerini göstersin. n

µ (x)=0

Tanım 1.1:

∑

∞ ifadesine (1.1)-(1.3) probleminin regülerize edilmiş izi denir.

= − 1 ] [ n n n µ λ

2. Operatörünün Regülerize İzinin Hesaplanması L

ile ) , ( ρ ϕ x ), , ( )] , ( [_{ϕ x ρ ρ}2_{ϕ x ρ} l = _{λ =:ρ}2

diferansiyel ifadesinin 0 ) , 0 ( ρ = ϕ

koşulunu sağlayan çözümü gösterilsin. Bu durumda ϕ x( ,ρ) için + = ( ) 2 ) , (x ρ πρxJ ρx ϕ _ν

[

]

q t t dt t A x J t J x J t J xt x ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( 0 ρ ϕ ρ ρ ρ ρ π ν ν ν ν       + − − + l

_∫

_{− −}

integral denklemi elde edilir.

R.Kh. Amirov ve S. Gülyaz çalışmasında [3], ’nin yeterince büyük değerlerinde operatörünün özdeğerleri için

n L

(

)

(

)

(

+

) (

+ +

)

− + − + + + + + + = 1 ₂ 2 2 0 2 2 2 ln 8 2 2 2 ln 2 2 _{l l} l l l l l n a n n A n a n n A n n _π ρ

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

     Ο + + + + + + + + + − 3 3 _{3 2} 2 _{3 3 3} 1₃ 2 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 24 n n n a n n a n n A l l l l l l π (2.1)

davranışına sahip olduğu gösterilmiştir. ’ler ile n µ

(

1

)

₀ 2 _ =     − _{+ −} + ′′ − y x A x y ll µ

denklemi ve (1.2)-(1.3) sınır koşulları tarafından üretilen operatörün özdeğerleri gösterilsin.

O halde ’lerin (2.1) davranışından görüldüğü gibi

(

)

serisi koşulu sağlandığında yakınsaktır. n ρ 0

(

−

)

+_L + − _{1 2 2} 1 µ λ µ λ ) ( 0 =

∫

π dt t q ) , ( ρ ψ x fonksiyonu

(

1

)

_{( ) ( , ) ( , )} ) , ( 2 2 ψ ρ ρ ψ ρ ρ ψ q x x x x A x x =−       − _{+ +} + ′′ − ll denkleminin 0 ) , 0 ( ρ = ψ

koşulunu sağlayan çözümü ve ψ x₀( ,ρ) ise bu problemin q durumuna karşılık gelen çözümü olsun.

0 ) (x ≡

      − ′ − ′ − = − ∞ → ∞ =

∑

ln ₍( _,, ₎) (₍ ,_, )₎ 2 lim ] [ 0 0 3 1 ψ π ρ ψ π ρ ρ π ψ ρ π ψ ρ ρ µ λ ρ _H H d d i n n n (2.2) eşitliği gösterilmiştir. (1.1.)-(1.3) probleminin regülerize izini hesaplamak için (2.2) eşitliğinden yararlanılacaktır. (2.2) eşitliğinden yararlanmak için ψ′(π,ρ)−Hψ(π,ρ) ve )ψ₀′(π,ρ)−Hψ₀(π,ρ ) , ( ve ) , ( ρ ψ₀ ρ

ifadelerinin iken davranışları bilinmelidir. Bunun

için

∞ → i ρ

ψ x x fonksiyonlarının sağladığı integral denklemlerden yararlanılır.

O halde _l=2k+1 için + − = − _{( )} ) , (_{x ρ i ρxe} i 2_{J iρx} ψ νπ _ν

[

]

q t t dt t A x i J t i J x i J t i J xt x ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( 0 ρ ψ ρ ρ ρ ρ π ν ν ν ν       + − − + l

_∫

_{− −}

olduğundan gerekli işlemler yapıldığında )ψ x( ,ρ fonksiyonu için ρ → i∞ iken

   _{+ + +} − = − ρ ρ π ρ ρ ρ ρ π ρ ψ νπ _x A x _x A x i e x k i sinh 4 ln cosh 2 sinh 2 ) 1 ( ) , ( 2

(

)

_−

[

+

]

+      ′ + ′ − ′ + + +

_∫

( ) (0) 4 sinh 4 4 2 ) ( 2 cosh 2 3 2 1 0 q x q x N N N A dt t q x x ρ ρ ρ ρ

[

′ − ′

]

− + + + + ( ) (0) 8 cosh cosh 4 3 cosh 8 3 sinh 4 2 3 3 2 3 2 2 q x q x x x A x x A x x A ρ ρ ρ ρ ν ρ ρ ρ ρ          Ο + − ₂2 cosh₃ cosh2 1₄ 2 ρ ρ ρ ρ ν x x x A

elde edilir. Bu durumda ψ x′( ,ρ) fonksiyonu için ρ → i∞ iken

   _{+ + +} − = ′ − _x A _{x x} A _x i e x k i _{ρ ρ ρ ρ} π _ρ π ρ ψ νπ _cosh 4 ln sinh 2 cosh 2 ) 1 ( ) , ( 2

(

)

_+

[

−

]

+      ′ + ′ − ′ + + +

∫

( ) (0) 4 cosh 4 4 2 ) ( 2 sinh 3 2 1 0 q x q x N N N A dt t q x x ρ ρ ρ + + − + + _{2 2} sinh3₂ 8 3 sinh 4 3 cosh 4 3 cosh 2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ x x A x x A x x A x x A

[

′ − ′

]

− − + + x x x A q x q x x x A _ρ ρ ρ ν ρ ρ ρ ρ ν 2 cosh sinh 2 ) 0 ( ) ( 8 sinh sinh 4 2 2 2 2 2 2 2 + ′′ + + − − ( ) 8 cosh cosh 2 3 cosh 4 2 sinh cosh 3 3 3 2 3 3 2 2 2 x q x x x A x x A x x x A ρ ρ ρ ρ ν ρ ρ ρ ρ ρ ν

         Ο + + ₃2 cosh₃ cosh2 1₄ ρ ρ ρ ρ ν x x x A davranışı bulunur.    + + + − = − ′ − ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ ρ π ρ π ψ ρ π ψ νπ cosh 4 ln sinh 2 cosh 2 ) 1 ( ) , ( ) , ( 2 A A i e H k i + + − − − ′ + _{1 2 2} cosh₂ 2 sinh 4 ln cosh 2 sinh sinh ρ ρπ π ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρ ρπ ρ ρπ AH AH A H M

[

−

]

+ − ′ + + + _{2 2 1 2 2} sinh3₃ 8 cosh 3 cosh 4 3 ) 0 ( ) ( 4 cosh ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π π ρ ρπ A M H A q q

[

′ − ′

]

− − + + ρπ ρ ρπ π ν π ρ ρπ ρ ρπ π ν 2 cosh sinh 2 ) 0 ( ) ( 8 sinh sinh 4 2 3 2 3 3 2 2 _A q q A

[

]

         Ο + − − + − ₂2 _{3 3} sinh3₃ 1₄ 4 ) 0 ( ) ( 4 sinh 2 sinh cosh ρ ρ ρπ π π ρ ρπ ρπ ρ ρπ π ν AH q q H A Burada

(

)

_      ′ + ′ − ′ + + = ′

_∫

_{1 2 3} 0 1 4 4 2 ) ( 2 1 N N N A dt t q M π ve

(

4 4 _{1 2 3}

)

4 N N N A M′= + ′− ′ + ′ dir. Benzer şekilde    + + + − = − ′ − ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ ρ π ρ π ψ ρ π ψ νπ cosh 4 ln sinh 2 cosh 2 ) 1 ( ) , ( ) , ( 2 0 0 A A i e H k i + + − − − ′ + _{2 2} cosh₂ 2 sinh 4 ln cosh 2 sinh sinh 4 ρ ρπ π ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρ ρπ ρ ρπ AH AH A H M A − + + ′ − + _{2 2 2 3 2}2 sinh₃ 4 3 sinh 8 cosh 4 3 cosh 4 3 ρ ρπ π ν ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π A A H M A A          Ο + − − − ₂2 _{3 2}2 ₃ sinh3₃ 1₄ 4 2 sinh cosh 2 cosh sinh 2 ρ ρ ρπ π ρπ ρ ρπ π ν ρπ ρ ρπ π ν A AH A elde edilir. + = − ′ − ′ 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 π ρ ψ π ρ ψ ρ π ψ ρ π ψ H H

[

]

− −       ′ ₋ + + + + − + ρπ ρ ρπ ρ ρπ ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ π ρ ρπ ln cosh 2 sinh 4 cosh 4 ln sinh 2 cosh ) 0 ( ) ( 4 cosh 2 2 AH H M A A A q q

[

]

+ + ′ − + + − + ′ − ′ + 3 2 2 2 2 2 3 3 sinh 8 cosh 4 3 cosh 4 3 cosh 2 sinh 4 ) 0 ( ) ( 8 sinh ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π ρ ρπ π ρ ρπ π π ρ ρπ A H M A A A AH q q (2.3)

[

]

      Ο + − − − +       Ο + + + 4 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 4 3 1 2 sinh cosh 2 cosh sinh 2 3 sinh 4 sinh 4 1 ) 0 ( ) ( sinh 4 ρ ρπ ρ ρπ π ν ρπ ρ ρπ π ν ρ ρπ π ρ ρπ π ν ρ π ρ ρπ A A AH A q q H ifadesi bulunur.

Şimdi ise (2.2) eşitliğinin sağ tarafındaki ifadede bulunan       − ′ − ′ ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 0 0 π ρ ψ π ρ ψ ρ π ψ ρ π ψ H H

fonksiyonunun ρ → i∞ iken davranışı araştırılır. (2.3) ifadesinden yararlanarak;       + =       − ′ − ′ ) ( ) ( 1 ln ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 1 1 0 0 ρ ρ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ C B H H

[

−

]

+

[

′ − ′

]

+

[

+

]

+

[

−

]

− = − ( ) (0) 4 ) 0 ( ) ( 4 ) 0 ( ) ( 8 1 ) 0 ( ) ( 4 1 3 2 3 3 2 q q e q q H q q q q π ρ π ρ π ρ π ρ ρπ

[

′ − ′

]

−

[

+

]

−

[

−

]

− − − − ln ( ) (0) 8 ) 0 ( ) ( 4 ) 0 ( ) ( 8 3 3 2 3 2 q q A q q e H q q e _π ρ ρπ π ρ π ρ ρπ ρπ

[

]



[

−

]

+

[

−

]

−      ′₋ − − − − ln ( ) (0) 8 ) 0 ( ) ( 4 1 4 ) 0 ( ) ( 16 3 2 3 3 q q e A q q H M A q q A _{ρπ π} ρ π ρ π ρ π ρπ

[

]

[

]

_      Ο + −       ′₋ + − − −2₃ −2 ₃ ( ) (0) ln₄ 4 4 ) 0 ( ) ( 16 ρ ρ π ρ π ρ π ρπ ρπ q q e H M A q q e A

elde edilir. Burada,

[

−

]

+

[

′ − ′

]

+ = ( ) (0) 8 sinh ) 0 ( ) ( 4 cosh : ) ( _{2 3} 1 q q q q B π ρ ρπ π ρ ρπ ρ

[

]

_      Ο + + + sinh₃ ( ) (0) 1₄ 4 ρ π ρ ρπ q q H

− −       ′₋ + + + = ₂ 1 sinh 4 sinh 4 cosh 4 ln sinh 2 cosh : ) ( ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ ρ A A AM H AH C + + ′ − + + − _{2 2 2 2 2} sinh3₃ 8 cosh 4 3 cosh 4 3 cosh 2 ln cosh 2 ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π ρ ρπ π ρπ ρ ρπ A A AMH A AH       Ο + − − −

+ ₂2 _{3 3 2}2 sinh₃ cosh2 ₂2 cosh₃ sinh2 1₄ 2 3 sinh 4 sinh 4 ρ ρπ ρ ρπ π ν ρπ ρ ρπ π ν ρ ρπ π ρ ρπ π ν AH A A A dir. Dolayısıyla

[

−

]

−

[

−

]

+ − =       − ′ − ′ − − ) 0 ( ) ( ln 4 ) 0 ( ) ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln ₂ 2 2 0 0 q q e A q q e H H d d _{ρπ π} ρ π π ρ π ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ ρπ ρπ

[

′ − ′

]

+

[

+

]

+

[

−

]

− + − − − ( ) (0) 8 ) 0 ( ) ( 2 ) 0 ( ) ( 4 2 2 2 2 2 2 2 q q e A q q e H q q e _π ρ π π ρ π π ρ π ρπ ρπ ρπ

[

]

[

]

_      Ο + − − −       ′ ₋ − −2_{2 3} ( ) (0) ln₄ 2 1 ) 0 ( ) ( 2 4 ρ ρ π ρ π ρ π ρπ q q q q e H M A bulunur. Buradan

[

−

]

+ =       − ′ − ′ − − _{( ) (0)} 4 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 2 2 2 0 0 3 q q e H H d d π _{ρ π} ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ ρ ρπ

[

−

]

−

[

′ − ′

]

− + − − _{( ) (0)} 8 ) 0 ( ) ( ln 8 2 2 _{q q e q q} e Aπ _ρ ρπ _{ρπ π} π _ρ ρπ _π

[

+

]

−

[

+

]

+ − − − _{( ) (0)} 16 ) 0 ( ) ( 4 2 2 2 _{q q} A _{e q q} e Hπ _ρ ρπ _π π _ρ ρπ _π

[

] [

]

_      Ο + − + −       ′₋ + − 4 2 1 4 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 4 4 ρ π π ρ π _e ρπ _{q q} q q H M A

olduğundan ( ) 0 koşulu sağlandığında

0 =

∫

π dt t q 4 ) 0 ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 2 lim 0 0 3 _{q q} H H d d i − =       − ′ − ′ − ∞ → π ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ ρ ρ

eşitliği elde edilir. O halde

4 ) 0 ( ) ( ] [ 1 q q n n n − = −

∑

∞ = π µ λ olur.

+ = − _{− ( )} ) , (_{x ρ i ρxe} i 2_{J iρx} ψ νπ _ν

[

]

q t t dt t A x i J t i J x i J t i J xt x ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ₀ ρ ρ ρ ρ ψ ρ π ν ν ν ν       + − +

∫

_{− −}

olduğundan birinci bölümde kullanılan yöntem uygulanarak ψ x( ,ρ) fonksiyonu için iken ∞ → i ρ    _{+ − +} − − = − ρ ρ π ρ ρ ρ ρ π ρ ψ νπ _x A x _x A x i e x k i sinh 4 ln cosh 2 sinh 2 ) 1 ( ) , ( 2

[

+

]

+ + +       ′ + − +

∫

_{2 2} 0 3 sinh 4 ) 0 ( ) ( 4 sinh 2 ) ( 2 cosh ρ ρ ρ ρ ρ ρ x x A q x q x M A dt t q x x

[

′ − ′

]

− − + + ( ) (0) 8 cosh cosh 4 3 cosh 8 2 3 3 2 3 2 q x q x x x A x x A ρ ρ ρ ρ ν ρ ρ          Ο + − ₂2 cosh₃ cosh2 1₄ 2 ρ ρ ρ ρ ν x x x A

elde edilir. Bu durumda ψ x′( ,ρ) fonksiyonu için ρ → i∞ iken

   _{+ − +} − − = ′ − _x A _{x x} A _x i e x k i _{ρ ρ ρ ρ} π _ρ π ρ ψ νπ _cosh 4 ln sinh 2 cosh 2 ) 1 ( ) , ( 2

[

−

]

+ − +       ′ + − +

_∫

( ) (0) 4 cosh cosh 2 2 ) ( 2 sinh 0 q x q x x x A M A dt t q x x ρ ρ ρ ρ ρ − + + − + _{2 2 2 2}2 sinh₂ 4 3 sinh 8 3 sinh 4 3 cosh 4 3 ρ ρ ν ρ ρ ρ ρ ρ ρ x x A x x A x x A x x A

[

′ − ′

]

− − − − x x x A x x x A q x q x _ρ ρ ρ ν ρ ρ ρ ν ρ ρ 2 sinh cosh 2 cosh sinh 2 ) 0 ( ) ( 8 sinh 2 2 2 2 2 2 2 + ′′ − − − ( ) 8 cosh cosh 2 3 cosh 4 3 3 3 2 3 3 q x x x x A x x A ρ ρ ρ ρ ν ρ ρ          Ο + + ₃2 cosh₃ cosh2 1₄ ρ ρ ρ ρ ν x x x A davranışı bulunur.    + − + − − = − ′ − ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ ρ π ρ π ψ ρ π ψ νπ cosh 4 ln sinh 2 cosh 2 ) 1 ( ) , ( ) , ( 2 A A i e H k i

− + + − − ′ + _{2 2 2} cosh₂ 2 sinh 4 ln cosh 2 sinh sinh ρ ρπ π ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρ ρπ ρ ρπ AH AH A H M

[

−

]

+ − ′ + + − _{2 2 2 2 2} sinh3₃ 8 cosh 3 cosh 4 3 ) 0 ( ) ( 4 cosh ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π π ρ ρπ A M H A q q

[

′ − ′

]

− − − + ρπ ρ ρπ π ν π ρ ρπ ρ ρπ π ν 2 cosh sinh 2 ) 0 ( ) ( 8 sinh sinh 4 2 3 2 3 3 2 2 _A q q A

[

]

         Ο + − − − − ₂2 _{3 3} sinh3₃ 1₄ 4 ) 0 ( ) ( 4 sinh 2 sinh cosh ρ ρ ρπ π π ρ ρπ ρπ ρ ρπ π ν AH q q H A Burada M′ = AM′−

∫

xq t dt 0 2 ( ) 2 dir. Benzer şekilde    _{+ − +} − = − ′ − ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ ρ π ρ π ψ ρ π ψ νπ cosh 4 ln sinh 2 cosh 2 ) 1 ( ) , ( ) , ( 2 0 0 A A i e H k i + + + − − ′ + _{2 2} cosh₂ 2 sinh 4 ln cosh 2 sinh sinh 4 ρ ρπ π ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρ ρπ ρ ρπ AH AH A H M A − + + ′ − + _{2 2 2 3 2}2 sinh₃ 4 3 sinh 8 cosh 4 3 cosh 4 3 ρ ρπ π ν ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π A A H M A A          Ο + − − − ₂2 _{3 2}2 ₃ sinh3₃ 1₄ 4 2 sinh cosh 2 cosh sinh 2 ρ ρ ρπ π ρπ ρ ρπ π ν ρπ ρ ρπ π ν A AH A elde edilir. + = − ′ − ′ 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 π ρ ψ π ρ ψ ρ π ψ ρ π ψ H H

[

]

+ −       ′₋ + − + − − − + ρπ ρ ρπ ρ ρπ ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ π ρ ρπ ln cosh 2 sinh 4 cosh 4 ln sinh 2 cosh ) 0 ( ) ( 4 cosh 2 2 AH H M A A A q q

[

]

+ + ′ − + + + − ′ − ′ − 3 2 2 2 2 2 3 3 sinh 8 cosh 4 3 cosh 4 3 cosh 2 sinh 4 ) 0 ( ) ( 8 sinh ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π ρ ρπ π ρ ρπ π π ρ ρπ A H M A A A AH q q (2.4)

[

]

      Ο + − − − +       Ο + + − 4 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 4 3 1 2 sinh cosh 2 cosh sinh 2 3 sinh 4 sinh 4 1 ) 0 ( ) ( sinh 4 ρ ρπ ρ ρπ π ν ρπ ρ ρπ π ν ρ ρπ π ρ ρπ π ν ρ π ρ ρπ A A AH A q q H ifadesi bulunur.

Şimdi ise (2.2) eşitliğinin sağ tarafındaki ifadede bulunan       − ′ − ′ ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 0 0 π ρ ψ π ρ ψ ρ π ψ ρ π ψ H H

fonksiyonunun ρ → i∞ iken davranışı araştırılır. (2.4) ifadesinden yararlanarak;       + =       − ′ − ′ ) ( ) ( 1 ln ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 2 2 0 0 ρ ρ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ C B H H

[

−

]

−

[

′ − ′

]

−

[

+

]

−

[

−

]

+ − = − ( ) (0) 4 ) 0 ( ) ( 4 ) 0 ( ) ( 8 1 ) 0 ( ) ( 4 1 3 2 3 3 2 q q e q q H q q q q π ρ π ρ π ρ π ρ ρπ

[

′ − ′

]

+

[

+

]

+

[

−

]

− + − − ln ( ) (0) 8 ) 0 ( ) ( 4 ) 0 ( ) ( 8 3 3 2 3 2 q q A q q e H q q e _π ρ ρπ π ρ π ρ ρπ ρπ

[

]



[

−

]

−

[

−

]

+      ′₋ + − − − ln ( ) (0) 8 ) 0 ( ) ( 4 1 4 ) 0 ( ) ( 16 3 2 3 3 q q e A q q H M A q q A _{ρπ π} ρ π ρ π ρ π ρπ

[

]

[

]

_      Ο + −       ′₋ − − + −2₃ −2 ₃ ( ) (0) ln₄ 4 4 ) 0 ( ) ( 16 ρ ρ π ρ π ρ π ρπ ρπ q q e H M A q q e A

elde edilir. Burada,

[

−

]

−

[

′ − ′

]

− − = ( ) (0) 8 sinh ) 0 ( ) ( 4 cosh : ) ( _{2 3} 2 q q q q B π ρ ρπ π ρ ρπ ρ

[

]

_      Ο + + − sinh₃ ( ) (0) 1₄ 4 ρ π ρ ρπ q q H − +       ′₋ + − + = ₂ 2 sinh 4 sinh 4 cosh 4 ln sinh 2 cosh : ) ( ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π ρπ ρ ρπ ρπ ρ A A AM H AH C + + ′ − + + − _{2 2 2 2 2} sinh3₃ 8 cosh 4 3 cosh 4 3 cosh 2 ln cosh 2 ρ ρπ π ρ ρπ ρ ρπ π ρ ρπ π ρπ ρ ρπ A A AMH A AH       Ο + − − −

+ ₂2 _{3 3 2}2 sinh₃ cosh2 ₂2 cosh₃ sinh2 1₄ 2 3 sinh 4 sinh 4 ρ ρπ ρ ρπ π ν ρπ ρ ρπ π ν ρ ρπ π ρ ρπ π ν AH A A A dir. Dolayısıyla

[

−

]

+

[

−

]

− =       − ′ − ′ − − ) 0 ( ) ( ln 4 ) 0 ( ) ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln ₂ 2 2 0 0 q q e A q q e H H d d _{ρπ π} ρ π π ρ π ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ ρπ ρπ

[

′ − ′

]

−

[

+

]

−

[

−

]

+ − − − − ( ) (0) 8 ) 0 ( ) ( 2 ) 0 ( ) ( 4 2 2 2 2 2 2 2 q q e A q q e H q q e _π ρ π π ρ π π ρ π ρπ ρπ ρπ

[

]

[

]

_      Ο + − + −       ′₋ + −2_{2 3} ( ) (0) ln₄ 2 1 ) 0 ( ) ( 2 4 ρ ρ π ρ π ρ π ρπ q q q q e H M A bulunur. Buradan

[

−

]

− − =       − ′ − ′ − − _{( ) (0)} 4 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 2 2 2 0 0 3 q q e H H d d π _{ρ π} ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ ρ ρπ

[

−

]

+

[

′ − ′

]

+ − − − _{( ) (0)} 8 ) 0 ( ) ( ln 8 2 2 _{q q e q q} e Aπ _ρ ρπ _{ρπ π} π _ρ ρπ _π

[

+

]

+

[

+

]

− + − − _{( ) (0)} 16 ) 0 ( ) ( 4 2 2 2 _{q q} A _{e q q} e Hπ _ρ ρπ _π π _ρ ρπ _π

[

] [

]

_      Ο + − − −       ′₋ − − 4 2 1 4 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 4 4 ρ π π ρ π _ρπ q q q q e H M A

olduğundan ( ) 0 koşulu sağlandığında

0 =

∫

π dt t q 4 ) 0 ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ln 2 lim 0 0 3 _{q q} H H d d i − − =       − ′ − ′ − ∞ → π ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ π ψ ρ ρ ρ

eşitliği elde edilir. O halde

4 ) 0 ( ) ( ] [ 1 q q n n n − − = −

∑

∞ = π µ λ

olur. Böylece aşağıdaki teorem ispatlandı:

Teorem: Eğer ise ( ) 0

0 =

∫

π dt t q 4 ) 0 ( ) ( ) 1 ( ] [ 1 1 q q n n n − − = − + ∞ =

∑

λ µ l π eşitliği doğrudur.

Kaynaklar

[1] I.M. Gelfand, and B.M. Levitan, On a simple idently for the eigenvalues of a differential equation, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 88, 593-596,(1953).

[2] M.G. Gasimov, About an inverse problem for Sturm-Liouville equation, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, vol. 154,No.2, (1964).

[3] R.Kh. Amirov, and S. Gülyaz, Inverse problem for the Sturm-Liouville according to a spectrum and normalizing, Bulgaria, 15-22, (18-23 August 1999).