Effect of sub-threshold stimuli on neuronal dynamics

Eşik-altı Uyartımların Stokastik Nöron Dinamiklerine Etkisi

Effect of Sub-threshold Stimuli on Neuronal Dynamics

N. Hakan Ekmekci, Mahmut Özer

Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü, Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, 67100 Zonguldak

nhekmekci@yahoo.com, mahmutozer2002@yahoo.com

Özetçe

Gerilim kapılı iyon kanalları uyarılabilir hücre membranlarında elektriksel sinyalin üretilmesinde ve yayılmasında oldukça büyük öneme sahiptir. Bu çalışmada Hodgkin-Huxley formalizasyonunun stokastik versiyonu tanıtılmakta ve kanal gürültüsünün sinir hücresinin dinamik davranışları üzerindeki etkisi Gauss gürültüsüne sahip bir modele dayalı olarak incelenmektedir. Eşikaltı bir uyartım olduğunda kanal gürültüsünün spike aktivitesine neden olabildiği ve membran alanı küçüldükçe ateşleme dinamiğinin daha düzenli örüntüler izlediği gösterilmektedir. Ayrıca stokastik modelin çok büyük membran alanları için deterministik modele yakınsadığı ve nöronların eşik altı uyartımları kodlayabileceği gösterilmektedir.

Abstract

Voltage-gated ion channels are of great importance in the generation and propagation of electrical signals in the excitable membranes. In this study, we introduce the stochastic version of the Hodgkin-Huxley formalism and investigate the effect of channel noise on neuronal dynamic behaviors based on a model with the Gaussian noise. We show that the channel noise may result in a spiking activity for subthreshold stimulus, and that the firing dynamics follows more regular patterns when the membrane patch becomes smaller. It is also shown that the stochastic model converges to the deterministic model for very large membrane patches and the neurons can encode subthreshold stimuli by considering the channel noise.

1. Giriş

Uyarılabilir hücrelerde elektriksel sinyalin oluşmasında hücre membranında bulunan iyon kanalları büyük rol oynamaktadır. İyon kanallarından akan akımların makroskobik modeli Hodgkin-Huxley tarafından geliştirilmiştir [1]. Ancak bu modelde iyon kanallarının stokastik açılma ve kapanma özelliği gözönüne alınmamıştır. Patch-clamp tekniği ile sadece bir iyon kanalı üzerinden geçen akımın ölçülmesi mümkün olmuş ve bu deneysel teknik ile elde edilen sonuçlardan iyon kanalının temelde rasgele açılıp kapanan stokastik bir eleman olduğu anlaşılmıştır [2].

Pecher tarafından yapılan deneysel bir çalışmada nöronların kesin bir eşik değerine sahip olmadığı gösterilmiştir [3]. Bu çalışmada aksiyon potansiyeli ateşleme olasılığı giriş uyartımının genliğine bağlı olarak ölçülmüş ve bu ölçümler sonucu nöronların ateşleme özelliğinin, Hodgkin-Huxley modelinin tersine, eşik altı uyartımlarda da oluşabileceği tespit edilmiştir. DeFelice ve Isaac tarafından yapılan çalışmada ise sonlu sayıda iyon kanalı içeren nöronların uyartım olmadığı halde dinlenim potansiyeli,

aksiyon potansiyeli ateşleme gibi bilinen makroskobik özelliklere sahip olduğu gösterilmiştir [4].

İyon kanallarının bulunduğu ortamdaki sıcaklığa bağlı olarak belirli bir iç gürültü bulunmaktadır. İyon kanallarının açık veya kapalı olmaları, sıcaklık seviyesine bağlı olarak, rastlantısal değişim göstermektedir. Gerilim-kontrollü iyon kanallarının rasgele açılıp kapanmaları nöronlardaki kanal gürültüsünün kaynağıdır. Oluşan bu kanal gürültüsünün gücü membranda bulunan toplam iyon kanal sayısı ile ters orantılıdır [5]. Bu gürültünün özdeş uyartımların nöronlara farklı zamanlarda uygulanması durumunda bilgi akışı üzerindeki etkileri uzun zamandır araştırılmaktadır [6], [7].

Bu çalışmada nöronun kendi iç yapısından kaynaklanan kanal gürültüsünün membran gerilimi üzerindeki etkileri incelenmektedir. İlk olarak Hodgkin-Huxley nöron modeli kanal gürültüsünü içerecek şekilde genişletilmektedir. Elde edilen model ile dışardan eşikaltı uyartım uygulandığı durumda, farklı membran alanları için membran gerilimlerinde oluşan değişimler incelenmektedir.

2. Hodgkin-Huxley

Modeli

Nöron membranının elektriksel eşdeğer devresi Şekil 1’de verilmiştir. Membran üzerinden geçen iyonik akımlar paralel iletkenlikler ve bataryalar ile modellenmektedir. Şekil 1’de Cm

membranın kapasitansını göstermektedir ve değeri yaklaşık olarak 1µF/cm2 _{dir. G}

Na, GK ve GL sırasıyla sodyum,

potasyum ve kaçak iletkenliklerini, ENa, EK ve EL ise sodyum,

potasyum ve kaçak denge potansiyellerini göstermektedir. Bu denge potansiyellerinin değerleri sırasıyla ENa =50mV, EK

=-77mV ve EL=-54.4mV’dur. Bu devre modelinde Kirşof akım

yasasının uygulanması ile aşağıdaki denklem elde edilmektedir

:

inj L L K K Na Na m

I

)

E

V

(

G

)

E

V

(

G

)

E

V

(

G

dt

dV

C

=

−

+

−

+

−

+

(1) Modelde kaçak bileşen hariç diğer iyonik iletkenliklerin değeri membran gerilimine ve zamana bağlıdır. Kaçak iletkenlik sabit olup değeri 0.3mS/cm2 _{dir. Sodyum ve}

potasyum

iletkenlikleri,

4 maks K K 3 maks Na Na

n

g

G

h

m

g

G

=

=

(2)

olarak tanımlanmaktadır. Burada maks Na

g ve maks K

g sırasıyla tüm kanalların açık olması durumunda elde edilecek maksimum sodyum ve potasyum iletkenlik değerleridir. Bu değerler sodyum ve potasyum iyon kanalları için sırasıyla 120 0-7803-9238-8/05/$20.00 ©2005 IEEE

mS/cm2 _{ve 36mS/cm}2 _{dir. 3. denkleminde m ve h sırasıyla}

sodyum kanalı aktivasyon ve inaktivasyon kapılarının açık olma olasılıklarını, n ise potasyum kanalı aktivasyon kapısının açık olma olasılığını göstermektedir.

Şekil 1 Nöron Membranının Elektriksel Eşdeğer

Devresi

3. Stokastik Hodgkin-Huxley Modeli

Hodgkin-Huxley tarafından ortaya atılan modelde iyon kanallarının stokastik açılıp kapanmaları göz ardı edilmiştir. Gerçekte iyon kanallarının açılıp kapanmalarında dalgalanma meydana gelmekte ve bu dalgalanma dinamik davranışı etkilemektedir. Bu dalgalanma miktarı çok sayıda iyon kanalı bulunması durumunda, yani büyük alana sahip bir membran söz konusu olduğunda, ihmal edilebilecek seviyeye düşmekte ve dinamik davranış deterministik model ile tanımlanabilmektedir. Bu nedenle Hodgkin-Huxley deterministik modeli sadece büyük boyuttaki membranlar için geçerli olmaktadır.

Kanal gürültüsünün membran gerilimi üzerindeki etkileri, membran eşik civarında lineerleştirilerek incelenmiştir [8]. Hodgkin-Huxley modelinin stokastik versiyonu DeFelice ve arkadaşları tarafından ortaya konulmuştur [4]. Bu çalışmaların sonucunda kanal gürültüsünün nöronların dinamiklerini önemli ölçüde etkilediği gösterilmiştir. Ancak bu teorik modeller oldukça karmaşık ve uzun nümerik simülasyonlar gerektirmektedir. Bu nedenle bu çalışmada işlemleri basitleştirmek amacı ile m, n ve h değişkenlerinin değişim hızı denklemleri için aşağıda verilen Langevin versiyonları kullanılmaktadır [5], [9-11]:

)

t

(

g

m

)

m

1

(

dt

dm

m m m

−

−

β

+

α

=

(3)

)

t

(

g

n

)

n

1

(

dt

dn

n n n

−

−

β

+

α

=

(4)

)

t

(

g

h

)

h

1

(

dt

dh

h h h

−

−

β

+

α

=

(5)

şeklindedir.

Burada αm, αn,αh, βm, βnve βh hız

sabitlerini göstermektedir. Mürekkepbalığı dev aksonu için bu hız sabitleri deneysel olarak aşağıdaki şekilde belirlenmiştir [1]: 20 / ) 65 V ( m 10 / ) 40 V ( m

e

4

e

1

)

40

V

(

1

.

0

+ − + −

=

β

−

+

=

α

(6)

80 / ) 65 V ( n 10 / ) 55 V ( n

e

125

.

0

e

1

)

55

V

(

01

.

0

+ − + −

=

β

−

+

=

α

(7)

10 / ) 35 V ( h 20 / ) 65 V ( h

e

1

1

e

07

.

0

+ − + −

+

=

β

=

α

(8)

Burada gm(t), gn(t), ve gh(t) birbirinden bağımsız, sıfır

ortalama değerine sahip beyaz Gauss gürültüsünü göstermektedir. Bu gürültü bileşenlerinin özilişki fonksiyonları kanal sayısına bağımlı olup aşağıdaki denklemlerle verilmektedir:

)

't

t

(

)

(

N

2

)

't

(

g

)

t

(

g

m m Na m m m m

_α

₊

_β

δ

−

β

α

=

(9)

)

't

t

(

)

(

N

2

)

't

(

g

)

t

(

g

n n K n n n n

_α

₊

_β

δ

−

β

α

=

(10)

)

't

t

(

)

(

N

2

)

't

(

g

)

t

(

g

h h Na h h h h

_α

₊

_β

δ

−

β

α

=

(11)

Bu denklemlerin nümerik çözümü sonucu elde edilen m,n ve h değerlerinin [0 1] aralığında kalması gerekmektedir. Eğer bu değerlerden biri veya daha fazlası bu aralığın dışına çıkacak olur ise işlemler tekrarlanıp yeni m,n ve h değerleri elde edilmektedir. Sodyum ve potasyum kanal sayıları membran alanına bağlıdır. Homojen iyon kanal yoğunluğu kabulü durumunda kanal sayıları aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir:

S

N

,

S

N

_Na

=

ρ

_{Na K}

=

ρ

_K (12)

burada ρ ve Na ρ sırasıyla sodyum ve potasyum kanal K

yoğunluğu olup değerleri sırasıyla 60 kanal/µm2 _{ve 18}

kanal/µm2_{’dir. S toplam membran alanını, N}

Na ve NK

membrandaki toplam sodyum ve potasyum kanal sayısını göstermektedir.

4. Sonuçlar

Bu kısımda eşik altı bir uyartım uygulandığında membran geriliminde gözlenen değişimler sunulmaktadır. Stokastik denklem sistemi ileri yönlü Euler yöntemi kullanılarak çözülmekte, basamak büyüklüğü 10µs olarak alınmaktadır. Bu amaçla nöron membranına çeşitli frekanslarda

)

t.

w

sin(

A

)

t

(

I

inj

=

(13)

formuna sahip sinüzoidal akım uygulanmaktadır. Burada A= 1 µA/cm2 _{olarak alınmıştır. Dört farklı alan için 10 saniye}

C

m

Hücre İçi

Hücre Dışı

E

Na

E

K

E

L

G

Na

G

K

G

L

I

inj

süreli 5 ayrı simülasyon yapılmış ve spike’lar arası zaman aralığı histogramları elde edilmiştir. Simülasyonlarda w=0.3 ms-1 _{değeri kullanılmış olup elde edilen sonuçlar Şekil 2’de}

gösterilmiştir.

(a)

(b)

(c)

(d)

Şekil 2. Farklı membran alanları için spike’lar arası

zaman histogramı (a) S=1µm2_{, (b) S=12µm}2 _{, (c)}

S=34µm2 _{ve (d)S=100µm}2

Deterministik modele 1µA/cm2 _{genlikli akım uygulandığında}

aksiyon potansiyeli ürememektedir. Ancak stokastik modelde eşik altı uyartımın kodlanma biçimi spikelar arası zaman aralığı histogramından görülebilmektedir. Şekil 2’de görüldüğü gibi düşük membran alanlarında uygulanan eşik altı uyartım histogramının şeklinde bir değişikliğe yol açmamaktadır. Membran alanı büyültüldüğünde uygulanan uyartımın harmoniklerinde spikeların yoğunlaştığı Şekil 2’de görülmektedir. Fakat bu yoğunlaşma ne çok küçük ne de çok büyük membran alanlarında oluşmaktadır.

Harmonikler de oluşan spike’ların sayısı eksponansiyel olarak zaman aralığı arttıkça azalmaktadır. Ayrıca alan arttıkça hem oluşan toplam spike sayısı azalmakta, hem de birbirini takip eden spikelar arasındaki zaman aralığı artmaktadır.

İkinci aşamada uygulanan eşikaltı akım frekansının nöron ateşleme örüntüsünün düzenliliğine etkisi araştırılmaktadır. Bu amaçla her bir alan için 10 saniye süreli 5 ayrı simülasyon yapılmış, ve bu simülasyonlar 1 ile 100 µm2 _{arasında değişen}

14 farklı membran alanı için toplam 70 defa gerçekleştirilmiştir. Simülasyon sonucu elde edilen stokastik gerilim sinyali V(t)’den aksiyon potansiyelinin oluşum zamanları belirlenerek aşağıdaki dizi tanımlanmıştır:

∑

=

−

δ

=

N 1 i i

)

t

t

(

)

t

(

u

(14)

burada ti aksiyon potansiyelinin meydana geldiği zamanı, N

ise toplam aksiyon potansiyeli sayısını göstermektedir. Aksiyon potansiyelinin oluştuğu an membran geriliminin önceden belirlenmiş olan bir eşik değerini aştığı zaman olarak alınmıştır. Simülasyonda bu eşik değeri 25 mV olarak alınmıştır. Bu dizi, değişinti katsayısı (coefficient of variation, CV) nı hesaplamak için kullanılmaktadır. CV matematiksel ifadesi aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

T

T

T

:

CV

2 2

₋

=

∑

− = + ∞ →

−

=

N 1 1 i i 1 i N

N

)

t

t

(

lim

:

T

∑

− = + ∞ →

−

=

N 1 1 i 2 i 1 i N 2

N

)

t

t

(

lim

:

T

(15)

CV, 0 ile 1 arasında değişen bir değere sahip olup 0 değerine yaklaştıkça oluşan aksiyon potansiyellerinin düzenli bir yapıya sahip olduğunu göstermektedir. Tamamen düzensiz dizinin CV değeri 1’dir.

CV’nin membran alanına karşı değişimi üç farklı frekans için elde edilmiş ve Şekil 3’de gösterilmiştir. Şekil 3’de görüldüğü gibi uygulanan eşik altı uyartımın frekansı arttırıldıkça elde edilen aksiyon potansiyeli dizisinin CV değeri azalmakta, yani oluşan dizinin düzenliliği artmaktadır. Düşük membran alanlarında CV değerinin uyartım frekansından bağımsız olduğu görülmektedir. Burada uyartımın nöronun çalışma dinamiklerine herhangi bir etkisi söz konusu değildir. Oluşan aksiyon potansiyeli dizisi tamamen kanal gürültüsünden kaynaklanmaktadır.

Şekil 3. Alana karşılık CV’nin çeşitli eşikaltı uyartım

frekansları için değişimi

A=1µA/cm2 _{sabit genlikli w=0.2, 0.3 ve 0.4ms}-1

frekansında eşik altı uyartım için elde edilen spike dizisinin ateşleme frekansının membran alanı ile değişimi elde edilmiş ve Şekil 4’de gösterilmiştir. Tüm uyartım frekanslarında elde edilen aksiyon potansiyeli ateşleme frekansları, membran alanına karşı benzer değişim göstermektedir. Ayrıca spike dizisinin ateşleme frekansının uygulanan akımın frekansı ile doğru orantılı olduğu görülmektedir.

Şekil 4. Ateşleme frekansının eşik altı uyartım

durumunda membran alanı ile değişimi Son olarak membran alanı sabit tutulup uyartım frekansı değiştirildiğinde oluşan aksiyon potansiyeli dizisinin ortalama ateşleme frekansının değişimi elde edilmiş ve Şekil 5’de verilmiştir.Şekil 5 nöronların eşik altı uyartımları kodlayabildiği tipik bir frekans band aralığını göstermektedir. Düşük uyartım frekanslarında, spike dizisinin frekansı uyartım frekansının artması ile artmaktadır. Oluşan spike dizisinin ortalama frekansı rezonans etkisi göstererek uyartım frekansı ile beraber düşük frekanslarda artmakta, ancak uyartım frekansının büyük değerleri için azalmaktadır. Eşik altı uyartımların kodlanmasında uyartım frekansının önemli bir parametre olduğu görülmektedir.

Şekil 5. Ortalama ateşleme frekansının eşik altı

uyartım durumunda S=34µm2 _{membran alanı için}

uyartım frekansı ile değişimi

Kaynakça

[1] Hodgkin A. L., and Huxley A. F., "A Quantative Description of Membrane Current and Its Application to Conduction and Exicitation in Nerve'', J. Physiol,

16:6402-6413, 1952

[2] Neher E., and Sakmann B., "Single-Channel Currents Recorded from Membrane of Denervated Frog Muscle Fibers", J. Stat. Phys., 60, 799-802, 1976.

[3] Pecher C., " La Fluctuation d’excitabilite de la Fibre Nerveuse ", Int. Physiol. Biochem., 49, 129-152, 1939. [4] DeFellice L.J., and Isaac A., " Chaotic States In a

Random World: Relationship Between the Nonlinear Differential Equations of Excitability and the Stochastic Properties of Ion Channels ", J. Stat. Phys., 70, 339-354,

1993.

[5] Fox F.R. and, Lu Y., " Emergent Collective Behaviour in Globally Coupled Independently Stochastic Ion Channels", Phy. Rev. E, 49(4), 3421-3431, 1994.

[6] White J. W., Rubinstein J. T., and Kay A. R., " Channel Noise in Neurons ", Tren. Neuro., 23, (3), 131-137, 2000. [7] Schneidman E., Freedman B., and Segev I., " Ion

Channel Stochasticity May Be Critical in Determining the Reliability and Precision of Spike Timing", Neu.

Comp., 10, 1679-1703, 1998.

[8] Lecar H., and Nosal R., " Theory of Threshold Fluctuations in Nerves: Relationships Between Electrical Noise and Fluctuations in Axon Firing ", Tren. Neuro.,

Biophy. J., 11(4), 1048-1067, 1971.

[9] Hanggi P., Schmid G., Goycuk I., " Exitable Membranes: Channel Noise, Synchronisation, and Stochastic Resonance ", Adv. Sol. St. Phy., 42, 359-370, 2002. [10] Schmid G., Goycuk I. and Hanggi P., "Channel Noise

and Synchronisation in Excitable Membranes", Physica

A., 325, 165-175, 2003.

[11] Schmid G. Goycuk I., Hanggi P., Zeng S. and Jung P., " Stochastic Resonance and Optimal Clustering for Assemblies of Ion Channels ", Fluc. Noise Let., 4(1),

L33-L42, 2004.