İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Erhan HACIOĞLU
Anabilim Dalı : Uçak ve Uzay Mühendisliği Programı : Uçak ve Uzay Mühendisliği
OCAK 2009
Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Vedat Ziya DOĞAN (İ.T.Ü.) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Zahit MECİTOĞLU (İ.T.Ü.)
Prof. Dr. Ata MUĞAN (İ.T.Ü.)
OCAK 2009
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Erhan HACIOĞLU
(511051010)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 29 Aralık 2008 Tezin Savunulduğu Tarih : 22 Ocak 2009 PLAKLARIN TERMAL BURKULMASI
ÖNSÖZ
Bu çalışmada izotropik ve anizotropik plakların üniform sıcaklık değişimi ile burkulma analizi incelenmiştir. İlk olarak plaklarda burkulma denklemleri ele alınmış, ANSYS sonlu elemanlar paket programı yardımıyla çeşitli koşullarda analizler yapılmış ve plakların kritik burkulma sıcaklıkları hesaplanmıştır. Sonuçlar değerlendirilerek plakların boyutlarındaki, kalınlığındaki ve sınır şartlarındaki değişimlerin kritik burkulma sıcaklığına etkisi incelenmiştir.
Bu tez çalışmasını yapmama imkan veren ve çalışma süresince bana yardımcı olan hocam sayın Yard. Doç. Dr. Vedat Ziya Doğan’ a ve bu zamana kadar üzerimde emeği geçen bütün hocalarıma, aileme ve nişanlıma teşekkür ederim.
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÇİZELGE LİSTESİ ... v
ŞEKİL LİSTESİ... vi
SEMBOL LİSTESİ ... vii
ÖZET... viii
SUMMARY... ix
1. GİRİŞ... 1
1.1 Tezin Amacı ... 2
1.2 Literatür Özeti ... 3
1.3 Burkulma ve Kararlılık Hakkında Genel Bilgi ... 4
2. KOMPOZİT MALZEMELER... 6
2.1 Genel Bilgi ... 6
2.2 Kompozit Malzemelerin Havacılık Sanayinde Kullanımı ... 7
2.3 Kompozit Malzemelerin Avantajları ve Dezavantajları ... 8
2.4 Anizotropik Malzemeler için Gerilme-Şekil değiştirme Bağıntıları ... 10
2.5 Ortotropik Malzemelerde Gerilmeler ... 12
2.6 Tabakalı Kompozitler ... 15
2.7 Matematik Model ... 16
2.8 Tabakalanmış Plaklarda Şekil Değiştirme ve Gerilme Değişimleri... 16
2.9 Bir Plakta Kuvvet ve Moment Bileşenleri ... 19
2.10 Anizotropik Plaklarda Termal Gerilme Analizi ... 21
2.11 Denge Denklemleri... 24
2.12 Kompozit Malzemelerde Burkulma Denklemleri ... 26
2.13 Ortotropik Plaklarda Termal Burkulma ... 28
3. İZOTROPİK PLAKLAR ... 30
3.1 İzotropik Plakların Genel Davranışı ... 30
3.2 İzotropik Plaklarda Eğrilik-Şekil Değiştirme Bağıntıları ... 30
3.3 İzotropik Plaklarda Gerilme - Şekil Değiştirme Bağıntıları ... 32
3.4 Denge Denklemleri... 35
3.5 İzotropik Plaklarda Burkulma ... 36
3.6 İzotropik Plaklarda Isıl Gerilmeler ... 37
3.7 İzotropik Plaklarda Termal Gerilme - Şekil Değiştirme Bağıntıları ... 38
3.8 İzotropik Plak Bileşke İç-Kuvvetler ve Momentler ... 39
3.9 İzotropik Plaklarda Termal Burkulma ... 40
4. SONLU ELEMANLAR METODU ... 44
4.1 Sonlu Elemanlar Metodunun Genel Tanımı ... 44
4.2 Sonlu Elemanlar Metodunda Takip Edilen Yol ... 45
4.3 Yazılım... 47
4.4 Sonlu Elemanlar Modelinde Kullanılan Parametreler... 51
6. SONUÇLAR ... 70 KAYNAKLAR ... 73 EKLER... 76
ÇİZELGE LİSTESİ
Sayfa
Çizelge 5.1 : Çözümlerde kullanılan izotropik malzemelerin özellikleri [30]... 53
Çizelge 5.2 : Çözümlerde kullanılan kompozit malzemelerin özellikleri ... 53
Çizelge 5.3 : İzotropik kare plak sonuçlarının karşılaştırılması (a / h = 100)... 54
Çizelge 5.4 : Ortotropik kare plak sonuçlarının karşılaştırılması (a/h= 40) ... 54
Çizelge 5.5 : Analitik çözümler ile ANSYS sonuçlarının karşılaştırılması, h=4mm ... 56
Çizelge 5.6 : Alüminyum ve çelik için analitik çözümler ile ANSYS sonuçlarının karşılaştırılması, h=2mm... 56
Çizelge 5.7 : Çeşitli kalınlıklardaki alüminyum plakların kritik burkulma sıcaklıkları ... 57
Çizelge 5.8 : Ankastre ve basit mesnetli alüminyum plakların kritik burkulma sıcaklıkları, h=2mm ... 59
Çizelge 5.9 : Plak boyutlarının kritik burkulma sıcaklıklarına etkisi ... 60
Çizelge 5.10 : Tek tabakalı ortotropik plakların fiber açısı ile burkulma sıcaklığı değişimi - dört kenarı ankastre mesnet ... 61
Çizelge 5.11 : Kevlar-Epoxy 4 kenarı ankastre aynı kalınlıktaki tabakalı plaklarda tabaka sayısının kritik burkulma sıcaklığına etkisi (+θ/-θ/+θ/-θ)... 62
Çizelge 5.12 : 4 tabakalı Kevlar-Epoxy farklı mesnetlerin kritik burkulma sıcaklıkları ... 63
Çizelge 5.13 : Simetriklik ve antisimetrikliğin kritik burkulma sıcaklığına etkisi ... 64
Çizelge 5.14 : Malzeme türünün kritik burkulma sıcaklığına etkisi ... 66
Çizelge 5.15 : Malzeme kalınlığının kritik burkulma sıcaklığına etkisi... 67
ŞEKİL LİSTESİ
Sayfa
Şekil 1.1 : Denge konumlarının sınıflandırılması [20] ... 4
Şekil 2.1 : Bir elemandaki gerilmeler [23]... 11
Şekil 2.2 : Koordinat eksenleri ile asal eksenler arasındaki ilişki [23] ... 12
Şekil 2.3 : Tek yönde fiber takviyeli (Unidirectional) tabaka [23] ... 15
Şekil 2.4 : Tabakalı kompozitlerin gösterimi [23] ... 15
Şekil 2.5 : Yüklemeye maruz plağın eğilme öncesi ve sonrası [23] ... 16
Şekil 2.6 : Pozitif kuvvet bileşenleri [23] ... 19
Şekil 2.7 : Pozitif moment bileşenleri [23] ... 19
Şekil 2.8 : Tabakalardan meydana gelmiş plak [23] ... 20
Şekil 3.1 : Karşılıklı iki kenarından basit mesnetli ve basma yüklü plak [23] ... 36
Şekil 4.1 : Dört düğüm noktalı elastik kabuk eleman SHELL63 [29] ... 51
Şekil 4.2 : Sekiz düğüm noktalı lineer tabakalı eleman SHELL99 [29] ... 52
Şekil 5.1 : Analitik çözümler ile ANSYS çözümlerinin karşılaştırılması ... 55
Şekil 5.2 : Alüminyum ve çelik çözümlerinin karşılaştırılması ... 55
Şekil 5.3 : Plak kalınlığının kritik burkulma sıcaklığına etkisi - İzotropik ... 57
Şekil 5.4 : Sınır şartlarının kritik burkulma sıcaklığına etkisi - İzotropik ... 58
Şekil 5.5 : Plak boyutlarının burkulma sıcaklığına etkisi ... 59
Şekil 5.6 : Tek tabakalı ortotropik plakta fiber açısının burkulma sıcaklığına etkisi 60 Şekil 5.7 : Tabaka sayısının kritik burkulma sıcaklığına etkisi ... 61
Şekil 5.8 : Sınır şartlarının burkulma sıcaklığına etkisi - Anizotropik... 63
Şekil 5.9 : Simetriklik ve antisimetrikliğin kritik burkulma sıcaklığına etkisi ... 64
Şekil 5.10 : Malzeme çeşidinin kritik burkulma sıcaklığına etkisi – Ankastre M. ... 65
Şekil 5.11 : Malzeme çeşidinin kritik burkulma sıcaklığına etkisi – Basit M. ... 65
Şekil 5.12 : Plak kalınlığının kritik burkulma sıcaklığına etkisi - Anizotropik ... 67
Şekil 5.13 : Çeşitli sınır şartlarının kritik burkulma sıcaklığına etkisi ... 68
SEMBOL LİSTESİ
σi : Gerilme bileşenleri
Cij : Rijitlik matrisi elemanları
εij : Birim şekil değiştirmeler
x, y, z : Kartezyen koordinat sistemi
u, v, w : x, y, z doğrultularındaki deplasmanlar
E, E1, E2 : Elastisite modülü
G, G12 : Kayma modülü
υ12, υ21 : Poisson oranı
σ1, σ2 : Asal gerilmeler
τxy : Kayma gerilmesi
γxy : Kayma birim şekil değiştirme
u0, v0, w0 : Orta yüzey yer değiştirme miktarları
h : Levha kalınlığı
k : Burkulma katsayısı
m, n : Yarıdalga sayısı
εx0, εx0, γxy0 : Levha orta yüzeyinin birim şekil değiştirmeleri κx, κy, κxy : Levha orta yüzeyinin eğrilik değişimleri
Qij : İndirgenmiş rijitlik matrisi
Nx, Ny, Nxy : Birim yüzeye etki eden normal kuvvetler NxT, NyT, NxyT : Birim yüzeye etki eden normal termal kuvvetler
Mx, My, Mxy : Birim yüzeye etki eden momentler
MxT, MyT, MxyT : Birim yüzeye etki eden normal termal kuvvetler
Aij : Uzama rijitliği elemanları
Bij : Uzama eğilme rijitliği elemanları
Dij : Eğilme rijitliği elemanları
px, py, q : Basınç kuvvetleri
Qx, Qy : x ve y yönündeki kesme kuvvetleri
(Nx)kr : Kritik burkulma yükü
rx : Eğrilik yarıçapı
Lij : Plak rijitliği
F : Düzlemsel yükleme
αx, αy : x ve y yönlerindeki termal genleşme katsayısı
ΔT : Sıcaklık farkı
T : Son sıcaklık
T0 : İlk (referans) sıcaklık
ΔTkr : Kritik burkulma sıcaklığı
PLAKLARIN TERMAL BURKULMASI ÖZET
Uzay ve havacılık, otomotiv, denizcilik sanayisinde metalik ve metalik olmayan plaklar yaygın olarak kullanılmaktadır. Özellikle hafiflik istenen uygulamalarda (uçak ve uzay, denizcilik sanayi gibi) kompozit malzemeler tercih edilmektedir. Kullanılan bu malzemeler genellikle plaklar şeklinde olmaktadır. Kararlılık açısından plakların yük taşıma kabiliyetleri, çekme gerilmesi olması durumunda fazlaca bir önem arz etmemektedir. Bununla birlikte, kuvvetler eğer bir basma gerilmesi meydana getiriyorsa karşımıza kararlılık problemi çıkmaktadır. Bundan dolayı basma gerilmelerine maruz plaklarda burkulma analizinin titiz bir şekilde yapılması ve konstrüksiyonlarda bu faktörün üzerinde önemle durulması gerekir. Pratikte basma gerilmeleri sadece basınç kuvvetlerinden dolayı meydana gelmeyip, ortam sıcaklığının değişmesinden dolayı da basma gerilmeleri meydana gelmektedir. Bir uçak-uzay aracı değişken hava şartlarında çalışmakta ve bundan dolayı da ani sıcaklık değişimlerine maruz kalabilmektedir.
Bu çalışmada, düzlemiçi yerdeğiştirmeleri engellenmiş izotropik ve anizotropik plakların, üniform sıcaklık değişimi ile kritik burkulma sıcaklıkları incelenmiştir. Analizlerde malzeme özelliklerinin sıcaklıkla değişmediği kabulü yapılmıştır. Sayısal çözümlerin elde edilmesinde ANSYS 10.0 sonlu elemanlar paket programı kullanılmıştır. Bu sonuçlar analitik olarak elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmış ve analitik sonuçlarla uyum sağladığı görülmüştür. Altı bölümden oluşan bu çalışmada konu ile ilgili olarak kompozit malzemeler, tabakalı kompozit plaklar, izotropik plaklar, sonlu elemanlar metodu, plaklarda termal burkulma ve sayısal sonuçlar hakkında bilgiler verilmiştir. Hesaplamalarda plak boyutları, sınır şartları, plak kalınlığı, fiber oryantasyon açısı, tabaka sayısı, tabakaların yerleşim biçimi, malzeme türü gibi parametreler ele alınarak bu parametrelerin kritik burkulma sıcaklıkları üzerinde etkisi incelenmiştir. Bulunan değerler tablolar halinde verilmiştir. Bu değerlerden grafikler oluşturulmuş ve gerekli değerlendirmeler yapılarak sonuçlar elde edilmiştir.
THERMAL BUCKLING OF PLATES SUMMARY
Metallic and non-metalic plates are widely used in naval, automotive and aeronautical industries. Composite materials are preferred especially in the light in weight applications. Those structures are generally plates. In point of stability, it is not very important if the plates are subjected to tensile stresses. In addition to this, if the forces form compresses stresses, we have a stability problem. Because of this, the plates that are subjected to compressive stresses must be analyzed for buckling carefully and this factor must be taken into account in the constructions. In practice, compressive stresses are not only formed by pressure; compressive stresses can be formed by the change of the temperature. An aircraft can operate in different atmospheric conditions and thus may be subjected to sudden temperature variations that can cause compressive stresses.
In this study, the critical buckling temperatures of uniformly heated isotropic and anisotropic plates with immovable ends are investigated. Material properties are assumed to be constant with the change of temperature. The numerical results are obtained by using ANSYS 10.0 program. Then those results are compared with the analytical solutions. It was found that the results are very close to each other. Composite materials, laminated composite plates, isotropic plates, finite element method, thermal buckling of plates and numerical results are given in six chapters. Plate dimensions, plate thickness, boundary conditions, fiber orientation angles, number of layers, stacking sequence of layers and material types are taken as parameters to investigate the critical buckling temperatures of the plates. The findings are shown in tables and graphics.
1. GİRİŞ
Bir yapı veya makine elemanın seçimi yapılırken dikkat edilmesi gereken üç karakteristik nokta vardır. Bunlar mukavemet, rijitlik ve kararlılıktır.
Bu konuya örnek olması açısından, çapı D olan ve eksenel basınç kuvvetine maruz bir çubuk düşünelim. Kolon olarak çalışan bu çubuğun boyu eğer D kadar olursa, hiç bir kararlılık problemi olmayacak, dolayısıyla kısa elemanlarla önemli miktarlarda yük taşınabilecektir. Diğer taraftan, aynı çubuğun yüksekliği çapının birkaç katı yapılacak olursa, ikinci durumda çubuğun taşıyabileceği yük, çubuğun ilk yüküne göre oldukça küçük olacaktır. Daha doğru bir deyimle, bu çubuk daha küçük bir yük altında yana doğru burkularak kırılacaktır. Aynı eleman için, çekme kuvvetine maruz kalması durumunda boyunun değişmesinin sonuca herhangi bir etkisi olmayacaktır. Basınca maruz elemanların davranışlarını incelerken malzemenin yalnız mukavemetini incelemek yeterli değildir.
Benzer olaylara, basma kuvvetlerine maruz diğer birçok sistemlerde de rastlamak mümkündür. Çekme kuvvetine karşı oldukça dayanıklı olan ince plaklar, basınç naklederken oldukça zayıftırlar. Yanal olarak takviye edilmemiş dar kirişler, uygulanan eksenel basma kuvvetleri altında yana doğru bükülerek kırılırlar. Denizaltı gemileri gibi vakum tankları da uygun şekilde inşa edilmedikleri takdirde dış basınç altında burkulur ve kullanılmaz hale gelirler. İnce cidarlı bir tüp burkulmaya maruz bırakıldığında ince cidarlı bir kağıt gibi buruşur. Füzelerin ince kaplamaları da ateşlemelerin bazı kademelerinde yüksek sıcaklık altında yüksek basınç kuvvetlerine maruz kaldıklarından burkulabilirler. Bu ve benzeri problemler mühendislik tasarımlarında üzerinde titizlikle durulması gereken konulardır. Bundan başka, yüklü elemanların burkulması veya buruşması genellikle aniden oluşan olaylardır. Bu bakımdan birçok yapı elemanı kararlılık bozukluğu nedeniyle çökme gibi büyük bir tehlike ile karşı karşıyadırlar [1].
1.1 Tezin Amacı
Uzay ve havacılık, otomotiv, denizcilik sanayisinde metalik ve metalik olmayan plaklar yaygın olarak kullanılmaktadır. Özellikle hafiflik istenen uygulamalarda (uçak ve uzay, denizcilik sanayi gibi) kompozit malzemeler tercih edilmektedir. Kullanılan bu malzemeler genellikle plaklar şeklinde olmaktadır. Kararlılık açısından plakların yük taşıma kabiliyetleri, çekme gerilmesi olması durumunda fazlaca bir önem arz etmemektedir. Bununla birlikte taşınan kuvvetler eğer bir basma gerilmesi meydana getiriyorsa karşımıza kararlılık problemi çıkmaktadır. Bundan dolayı basma gerilmelerine maruz plaklarda burkulma analizinin titiz bir şekilde yapılması ve konstrüksiyonlarda bu faktörün üzerinde önemle durulması gerekir. Pratikte basma gerilmeleri sadece basınç kuvvetlerinden dolayı meydana gelmeyip, ortam sıcaklığının değişmesinden dolayı da basma gerilmeleri meydana gelmektedir. Bir deniz veya uçak-uzay aracı değişken hava şartlarında çalışmakta ve bundan dolayı da ani sıcaklık değişimlerine maruz kalabilmektedir. Ani sıcaklık değişimleri bu araçların yapılmış olduğu malzemeleri ve bunların fiziki özelliklerini de etkileyecektir.
Bu çalışmada, düzlemiçi yerdeğiştirmeleri engellenmiş izotropik ve anizotropik plakların, üniform sıcaklık değişimi ile kritik burkulma sıcaklıkları incelenmiştir. Analizlerde malzeme özelliklerinin sıcaklıkla değişmediği kabulü yapılmıştır. Hesaplamalarda sınır şartları, plak kalınlığı, fiber oryantasyon açısı, tabaka sayısı, simetriklik gibi parametreler ele alınmış ve bulunan değerler tablolar ve grafikler halinde verilmiştir.
Analitik çözümler elde edilip sonuçlar ANSYS 10.0 sonlu elemanlar paket programı ile karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçların, hem analitik sonuçlarla hem de literatürdeki diğer sonuçlarla [Shariyat, 2007 – Ko, W.L, 2004] uyum içerisinde olduğu görülmüştür.
Tezin birinci bölümünde tezin amacı, literatür özeti ve burkulma ve kararlılık kavramlarıyla ilgili bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde kompozit malzemeler hakkında bilgiler verilmiş ve kompozit malzemeler için gerilme ve şekil değiştirme denklemleriyle beraber burkulma denklemleri çıkarılmıştır. Üçüncü bölümde ise izotropik malzemeler için gerilme ve şekil değiştirme denklemleriyle birlikte, burkulma denklemleri verilmiştir. Dördüncü bölümde de sonlu elemanlar paket
programı ANSYS hakkında bilgiler verilmiştir. Beşinci bölümde ise yapılan çalışmada elde edilen sonuçlar tablolar halinde verilmiş ve yapılan grafikler verilmiştir. Son bölüm olan altıncı bölümde ise yapılan çalışma sonunda varılan sonuçlar açıklanmıştır.
1.2 Literatür Özeti
Plakların termal burkulması ile ilgili şimdiye kadar çalışmalar mevcuttur. [2] Jones, üniform olarak ısıtılan, kenarların yerdeğiştirmeleri tek yönde veya çift yönde engellenmiş, tek yönde yönlendirilmiş ve simetrik çapraz tabakalı dikdörtgen plaklar için temel termal burkulma problemlerini analitik olarak incelemiş; [3] Kabir ve arkadaşları, orta kalınlıkta, simetrik çapraz tabakalı, 4 kenarı ankastre mesnetli, üniform dağılmış sıcaklık yüküne maruz dikdörtgen plakların termal burkulma problemlerini incelemiş; [4] Shariyat, üniform sıcaklık yüküne maruz, tabakalı dikdörtgen plaklarda termal burkulma analizini ‘layerwise’ plak teorisi kullanarak yapmış; [5] Ko, çeşitli tümsek şekillerindeki sıcaklık dağılımına uğrayan dikdörtgen plakların termal burkulma karakteristiklerini incelemiş; [6] Murphy ve Ferreira, dört kenarı ankastre mesnetlenmiş dikdörtgen izotropik plakların termal burkulma özelliklerini deneysel olarak incelemiş; [7] Shiau ve Kuo, dikdörtgen sandviç plaklarda termal burkulma problemini sonlu elemanlar metodunu kullanarak incelemiş; [8] Thornton, 4 kenarı basit mesnetli üniform olmayan, dikdörtgen plağın termal burkulma özelliklerini deneysel olarak incelemiş; [9] Mossavarali ve arkadaşları, ince dikdörtgen izotropik ve ortotropik plakların termal yükler altında burkulmasını incelemiş; [10] Prabhu ve Dhanaraj, tabakalı kompozit plakların termal burkulmasını Reissner-Mindlin birinci derece kayma deformasyon teorisine bağlı olarak sonlu elemanlar metodunu kullanarak incelemiş; [11] Ko, sandviç plakların mekanik ve termal yüklerle burkulmasını incelemiş, sınır şartlarına göre karşılaştırmalar yapmış; [12] Tauchert, plakların eğilme, burkulma ve titreşim denklemlerini çıkarmış; [13] Huang ve Tauchert, ankastre simetrik tabakalı kompozit malzemeden yapılmış plakların termal burkulmasını incelemiş; [14] Meyers ve Hyer, simetrik tabakalanmış kompozit plakların termal burkulmasınında plakların burkulma öncesi ve sonrası davranışlarınını incelemiş; [15] Walker ve arkadaşları, simetrik tabakalı kompozit plakların kritik burkulma sıcaklıklarını incelemiş; [16] Leissa, tabakalı kompozit plakların burkulma denklemleriyle ilgili özet vermiş; [17]
Chen ve Chen, tabakalı kompozit plakların termal burkulmasını galerkin metodunu kullanarak incelemiş; [18] Thornton, izotropik plaklar ve kabukların termal olarak burkulmasıyla ilgili olarak şimdiye kadar elde edilmiş ve yayınlanmış denklemleri sunmuş; [19] Gossard ve Siede, izotropik plaklarda termal burkulma denklemlerini incelemiş ve yaptıkları termal burkulma deneyinin sonuçlarını vermişlerdir.
1.3 Burkulma ve Kararlılık Hakkında Genel Bilgi
Mukavemet problemlerini “gerilme problemleri” ve “kararlılık problemleri” olarak iki bölüme ayırabiliriz.
Gerilme problemlerinde dengedeki bir sistemin dış kuvvetler altında gerilmelerinin, yer değiştirmelerinin kritik sınırda olup olmadığı incelenir. Problem incelenirken gerilme dağılımı ve yerdeğiştirme miktarları aranır. Emniyet için gerekli şart, yapının fazla gerilmeden dolayı kopma, ezilme gibi tahribatlara uğramamasıdır.
Kararlılık problemlerinde ise bir sistemin denge konumunda kararlı olup olmadığına bakılır. Eğer sistemin denge konumu kararlıysa, sistem herhangi bir etkiyle sahip olduğu konumdan saptırılırsa, tekrar eski konumuna kendiliğinden dönebilir. Fakat denge konumu kararsızsa, böyle bir etkiyle sistem ilk durumuna kendiliğinden dönemez, hatta konumundan çok fazla uzaklaşabilir, yapıda kırılmalar olabilir. Sonuç olarak, gerilme problemlerinde gerilmelerin emniyet gerilmelerini aşıp aşmadığı, burkulma problemlerinde ise kararlı dengeyi bozan minimum yük incelenir.
Denge konumlarının sınıflandırılmasını Şekil 1.1’i kullanarak şu şekilde yapabiliriz.
Kararlı Denge Kararsız Denge Doğal (Farksız) Denge
(1) (2) (3)
Şekil 1.1 : Denge konumlarının sınıflandırılması [20]
(1) konumundaki bilye, dış etkiyle bulunduğu konumu terk ettikten sonra etkiyi kaldırdığımızda, birkaç salınımdan sonra ilk konumuna gelecektir. Denge kararlıdır.
(2) konumundaki bilye ise, bulunduğu konumdan az miktar dahi uzaklaşırsa, bulunduğu konumdan hızla uzaklaşır. Bu durumda denge kararsızdır.
(3) konumundaki bilye ise, bulunduğu denge konumundan uzaklaşırsa, yeni konumu da denge konumu olduğu için burada kalacaktır. Bu durumda denge doğal (farksız) dır.
O halde denge konumunun karakteri hakkında karar verebilmek için onun mutlaka bozulması gerekir. Bu bozulmadan sonra, bozucu etkinin kalkmasının ardından sistemdeki hareketin karakteri, kararlılık hakkındaki esas kriteri teşkil etmektedir [21].
2. KOMPOZİT MALZEMELER
2.1 Genel Bilgi
20. asrın ikinci yarısında tekniğin hızla gelişmesi, beraberinde sanayinin temel girdisi olan malzeme ve malzeme biliminde de gelişmelerin hızlanmasını sağlamıştır. Fakat bu gelişme, yer yüzünde bulunan ana malzemelerin sınırlı olmasından dolayı ihtiyaçlara cevap veremez olmuştur. Uzay araçlarının yapımına geçilen asrımızda, bilim adamları çağın yenilikleri ile birlikte mevcut malzemelerin özelliklerinden bilimin gelişmesine paralel olarak günün şartlarına uyacak şekilde yeni malzemeler imal etmişler ve etmektedirler. Dolayısıyla hem ekonomik hem daha mukavemetli hem de çok daha hafif malzemelerin teşekkülü için yapılan çalışmalar yoğunlaşmıştır. Böylece malzemeyi teşkil eden bileşenlerin, özellikleri farklı olan kombinasyonlarının verdikleri kompozit malzemeler büyük önem kazanmıştır. Kompozit malzemeler örneklerini tabiattan almış olup çok uzun bir kullanım tarihine sahiptirler. Tabiatta bulunan kompozit yapıya en iyi örnek çam ağacıdır. Ülkemizin kırsal kesimlerinde yapı malzemesi olarak kullanılan, saman çöpleri ile takviye edilmiş kerpiçler kompozit malzemelerin en ilkel örneklerindendir. Bugün kullanılan kompozitler ise fiberglas, reçine (polyester), tungsten ve molibden takviyeli alüminyum karbon ve çelik fiber takviyeli plastiklerdir [1].
İleri teknoloji kullanılan uzay, savunma sanayi ve benzeri alanlarda kompozit malzemeler, sundukları hafiflik ve yüksek dayanım özellikler nedeniyle yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bu tür uygulamalarda bazı kararlılık problemleri öne çıkmaktadır.
Belirlenen amaç için tek başlarına uygun olmayan farklı iki veya daha fazla malzemenin, istenen mekanik özellikleri sağlayacak şekilde belirli şartlar ve oranlarda fiziksel olarak, makro yapıda bir araya getirilmesiyle elde edilen malzemeye “kompozit malzeme” denir.
İç yapıları çıplak gözle incelendiğinde yapı bileşenlerinin seçilip ayırt edilmesi mümkündür. Yapılarında birden fazla sayıda fazın yer aldığı klasik alaşımlar ise makro ölçüde homojen olmalarına rağmen mikro ölçüde heterojen malzemelerdir. Kompozit malzemelerde matris denilen bir temel malzeme ile takviye amaçlı kullanılan bir fiber malzeme bulunur. Bu iki malzeme grubundan, fiber malzeme kompozit malzemenin mukavemet ve yük taşıma özelliğini, matris malzeme ise plastik deformasyona geçerken oluşabilecek çatlak ilerlemelerini önleyici rol oynamakta ve kompozit malzemenin kopmasını geciktirmektedir. Matris olarak kullanılan malzemenin bir amacı da fiber malzemeleri yük altında bir arada tutabilmektir.
2.2 Kompozit Malzemelerin Havacılık Sanayinde Kullanımı
Havacılık sanayisinde kompozitler gün geçtikçe, daha geniş bir uygulama alanına sahip olmaktadır. Planör gövdesi, uçak modelleri uçak gövde ve iç dekorasyonu, helikopter parçaları ve uzay araçlarında başarıyla kullanılmaktadır. Daha hafif malzemeyle atmosfer şartlarına dayanım ve yüksek mukavemet sağlanmaktadır. Özellikle ileri kompozit malzemeler havacılık sanayinde çok geniş uygulama alanları bulmaktadır. Kompozit malzemelerin hem hafif olması hem de üstün mekanik özelliklere sahip olması, uçaklarda ve helikopterlerde sadece iç mekanlarda değil yapısal parçalarda da kullanılmasını sağlamıştır.
Uzun yıllar boyunca, uçak tasarımcıları, uçakları inşa edecek uygun malzeme bulamadığından dolayı sadece teorik dizaynlar yapmak zorunda kalmışlardır. Yüksek hız yapan ileri ok açı kanatlı tip uçakların kanatlarının yüksek hız altında şeklinin bozulmaması için kullanılan kompozit malzemelerin olmaması ise bu uçakların yapımını imkansız kılardı.
Kompozitlerin diğer bir özelliği de tabakalar halinde uygulanabilmesi ve her bir tabakada fiberlerin farklı şekillerde yönlendirilebilmesidir. Bu da mühendise yapıyı oluşturmak için farklı inisiyatifler sağlar. Örneğin, sadece bir yöne eğilebilen öteki yöne eğilmeyen bir yapı dizayn edilebilir. İleri ok açılı uçaklarda metal malzemeden imal edilen kanadın uçuşta köşelerde eğilmesine karşın, kompozit malzeme kullanılarak imal edilen ileri ok açılı kanadın sağlam kaldığı görülmüştür.
Modern havayolları daha az ağırlıkta uçabilmek için kompozit malzemeler kullanmaya çok büyük paralar harcamaktadırlar. Boeing 777 yolcu uçağının ağırlığının yaklaşık %10’u kompozit malzemeden oluşur. Modern askeri uçakların yaklaşık 1/3’ünü kompozitler oluşturur. Uzmanlar bu oranın 2/3’ e çıkabileceğini öngörmektedirler.
2.3 Kompozit Malzemelerin Avantajları ve Dezavantajları
Kompozit malzemeler, metal malzemelere göre birtakım avantajlara sahiptirler.
Kompozitlerin özgül ağırlıklarının düşük oluşu, hafiflik gerektiren
konstrüksiyonlarda büyük bir avantaj sağlamaktadır. Bunun yanında, fiber takviyeli kompozit malzemelerin korozyona dayanımları, ısı, ses ve elektrik izolasyonu sağlamaları da ilgili kullanım alanları için bir üstünlük sağlamaktadır. Aşağıda bu malzemelerin avantajlı olan ve olmayan yanları kısaca ele alınmıştır.
Yüksek Mukavemet: Kompozit malzemelerin eğilme ve çekme mukavemeti birçok metalik malzemeye göre oldukça yüksektir. Ayrıca kalıplama özelliklerinden dolayı kompozit malzemelere istenen yönde ve bölgede gerekli mukavemet verilebilir. Böylece malzemeden tasarruf yapılarak daha hafif ve daha ucuz ürünler elde edilir.
Kolay şekillendirebilme: Büyük ve karmaşık parçalar tek işlemle bir parça halinde kalıplanabilir. Bu da malzeme ve işçilikten kazanç sağlar.
Isıya ve ateşe dayanıklılık: Isı iletim katsayısı düşük malzemelerden oluşabilen kompozitlerin ısıya dayanıklılık özelliği, yüksek ısı altında kullanılabilmesine olanak sağlamaktadır.
Elektriksel özellikler: Uygun malzemelerin seçilmesiyle, çok üstün elektriksel özelliklere sahip kompozit ürünler elde edilebilir. Bugün büyük enerji nakil hatlarında kompozitler iyi bir iletken ve gerektiğinde başka bir yapıda, iyi bir yalıtkan malzemesi olarak kullanılabilir.
Korozyona ve kimyasal etkilere karşı mukavemet: Kompozit malzemeler, hava etkilerinden, korozyondan ve çoğu kimyasal etkilerden zarar görmezler. Bu özellikleri nedeniyle kompozit malzemeler kimyevi madde tankları, boru ve aspiratörler, tekne ve deniz araçları yapımında güvenle kullanılmaktadır. Özellikle korozyona karşı mukavemetli olması, endüstride birçok alanda
avantaj sağlamaktadır.
Kalıcı renklendirme: Kalıplama esnasında reçineye ilave edilen pigmentler sayesinde kompozit malzemeye istenen renk verilebilir. Bu işlem ek masraf ve işçilik gerektirmez.
Titreşim sönümleme: kompozit malzemelerde süneklik nedeniyle, doğal bir titreşim sönümleme ve şok yutabilme özelliği vardır. Çatlak yürümesi olayı da böylece minimize edilmiş olmaktadır.
Bütün bu olumlu özelliklerinin dışında, kompozit malzemelerin olumsuz özellikleri şu şekilde sıralanabilir.
Kompozit malzemelerdeki hava zerrecikleri, malzemenin yorulma özelliklerini olumsuz etkilemektedir.
Kompozit malzemeler, değişik doğrultularda değişik mekanik özellik gösterirler.
Aynı kompozit malzeme için, çekme, basma ve eğilme mukavemet değerleri farklılıklar gösterir.
Kompozit malzemelerin delik delme, kesme gibi operasyonları, liflerde açılmaya neden olduğundan, bu tür malzemelerde hassas imalattan söz edilemez.
Görüldüğü gibi kompozit malzemeler, bazı dezavantajlarına rağmen, çelik ve alüminyuma göre birçok avantaja sahiptir. Bu özellikleri ile kompozitler, otomotiv gövde ve tamponlarından deniz teknelerine, bina cephe ve panolarından komple banyo ünitelerine, ev eşyalarından tarım araçlarına kadar birçok sanayi kolunda problemleri çözümleyecek malzemelerdir.
Kompozit malzemelerin iyileştirilebilecek özelliklerini maddeler halinde sıralayacak olursak;
1. Mukavemet 2. Isıya dayanıklılık 3. Rijitlik
5. Aşınma direnci 6. Görünüm güzelliği 7. Ağırlık 8. Yorulma ömrü 9. İmalat kolaylığı 10. Isı izolasyonu 11. Akustik izolasyon
Yukarıda sayılan bu özelliklerin hepsi aynı anda sağlanamaz. Kullanım yerine göre gereken özellikleri sağlayan uygun kompozit malzemenin seçimi ve üretimi yapılır [22].
2.4 Anizotropik Malzemeler için Gerilme-Şekil değiştirme Bağıntıları
Bütün doğrultularda özellikleri farklı olan malzemelere anizotropik malzemeler denir. Böyle malzemelerde genelleştirilmiş Hooke Kanunu;
i ij i
C
i,j=1,2,…,6 (2.1)şeklinde ifade edilir. Burada σi gerilme bileşenlerini, Cij rijitlik matrisini ve εi şekil değiştirme bileşenlerini göstermektedir. (2.1) bağıntısındaki şekil değiştirme vektörünün elemanlarını deplasmanlar cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
x
u
1
y
v
2
z
w
3
(2.2a)y
w
z
v
23 4
z
u
x
w
13 5
x
v
y
u
12 6
(2.2b)Burada u,v ve w fonksiyonları sırasıyla x, y, z doğrultularındaki (ya da 1, 2 ,3 doğrultularındaki) deplasmanlardır.
(2.1) bağıntısındaki Cij matrisi için Cij = Cji olduğu şekil değiştirme ifadesi yardımıyla kolayca gösterilebilir. Bu takdirde 36 elemanı bulunan rijitlik matrisinin eleman sayısı 21’e düşmüş olur. Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları bu şekilde ifade edilebilen malzemelere “triklinik malzemeler” denir.
Şekil 2.1 : Bir elemandaki gerilmeler [23]
Eğer malzeme özellikleri bakımından bir simetri düzlemi varsa, o zaman rijitlik matrisi 13 bağımsız elemanla ifade edilebilir. Gerilme – şekil değiştirme bağıntıları denklem (2.3)’ deki gibi yazılan malzemelere “monoklinik malzemeler” adı verilir. Ortotropik malzemelerin rijitlik matrisi ile monoklinik malzemelerin rijitlik matrisi arasındaki fark C16 = C26 = C45 = C36 = 0 olmasıdır. Ortotropik malzeme, malzeme simetrisinin peş peşe üç dik düzlemine sahiptir ve herhangi bir noktadaki malzeme özellikleri peş peşe bu üç dik düzlemde değişiktir. Ortotropik malzemelerin gerilme – şekil değiştirme bağıntıları denklem (2.4)’ de verilmiştir. Herhangi bir malzemede eğer ortogonal anizotropi haline ilave olarak mekanik özelliklerinin bütün doğrultularda aynı olduğu tek bir düzlem malzemenin her noktasında mevcut ise bu malzemeye “traversli izotropik malzeme” denir. Herhangi bir malzemede her noktada ve her doğrultuda malzeme aynı ise bu malzemeye “izotropik malzeme” denir. Şekil 2.1’ de pozitif gerilme bileşenleri gösterilmiştir.
12 31 23 3 2 1 66 36 26 16 55 45 45 44 66 33 23 13 26 23 22 12 16 13 12 11 12 31 23 3 2 10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
(2.3)
12 31 23 3 2 1 66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 12 31 23 3 2 10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
(2.4)2.5 Ortotropik Malzemelerde Gerilmeler
Şekil 2.2’ de gösterilen, asal malzeme doğrultuları 1 ve 2 eksenleriyle tanımlanan ortotropik kompozit malzemenin üzerine uygulanan gerilmeler, θ açısı kadar farklı x ve y eksenleri doğrultularında uygulandığında, malzemenin elemanter mekaniğinden faydalanarak transformasyon denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir.
Şekil 2.2 : Koordinat eksenleri ile asal eksenler arasındaki ilişki [23]
) cos sin 2 ( sin cos2 2 1
x y xy (2.5) ) cos sin 2 ( sin cos2 2 2
y x xy (2.6) ) sin (cos ) cos (sin ) sin (cos 2 2 12
x y xy (2.7)
xy y xT
12 2 1 (2.8)Burada [T], transformasyon matrisidir. Transformasyon matrisi ise;
2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos sin cos sin 2 cos sin cos sin 2 sin cos T (2.9)şeklinde yazılır. Tek yönde fiber takviyeli ortotropik kompozit plaklarda gerilme ve şekil değiştirme arasındaki bağıntılar aşağıdaki gibi ifade edilir [23]. Rijitlik matrisi elemanları;
)
1
/(
12 21 11 11
E
Q
(2.10a))
1
/(
12 21 11 12 21 12
Q
E
Q
(2.10b))
1
/(
12 21 22 21 21
E
Q
(2.10c))
1
/(
12 21 22 22
E
Q
(2.10d) 12 66G
Q
Q
44
G
23Q
55
G
31 (2.10e)olarak yazılır. (2.10) denklemlerinde;
1 2 12 21
E
/ E
(2.11)E11 : 1 yönündeki elastisite modülü (N/mm2) E22 : 2 yönündeki elastisite modülü (N/mm2) G12 : 1 yüzeyine paralel kayma modülü (N/mm2)
υ12 : 1 yönündeki Poisson oranı; υ21 : 2 yönündeki Poisson oranı
dır. Gerilmeleri şekil değiştirmeler cinsinden ifade edebilmek için indirgenmiş rijitlik matrisi Qij
__
xy y x xy y x xy y xQ
T
Q
T
__ 1 (2.12) İşlemleri yapılarak __Q
elde edilir. Burada__
Q
indirgenmiş genel ortotropik rijitlik matrisidir ve aşağıdaki gibi yazılır.
4 22 2 2 66 12 4 11 11 __ sin cos sin ) 2 ( 2 cos Q Q Q Q Q (2.13a) ) cos (sin cos sin ) 4 ( 11 22 66 2 2 12 4 4 12 __
Q Q Q Q Q (2.13b)
4 22 2 2 66 12 4 11 22 __ cos cos sin ) 2 ( 2 sin Q Q Q Q Q (2.13c)
cos ( 2 )sin cos sin ) 2 ( 11 12 66 3 12 22 66 3 16 __ Q Q Q Q Q Q Q (2.13d) 3 66 22 12 3 66 12 11 26 __ cos sin ) 2 ( cos sin ) 2 (Q Q Q Q Q Q Q (2.13e) ) cos (sin cos sin ) 2 2 ( 11 22 12 66 2 2 66 4 4 66 __
Q Q Q Q Q Q (2.13f) Benzer şekilde;
xz yz xz yzQ
Q
Q
Q
55 45 45 44 (2.14) ifadesi yazılabilir.
2 55 2 44 44Q
cos
Q
sin
Q
(2.15a)
2 55 2 44 55Q
sin
Q
cos
Q
(2.15b)
sin
cos
)
(
55 44 45Q
Q
Q
(2.15c)Gerilme ve şekil değiştirme arasındaki bu bağıntılardan istenen değerler hesaplanabilir.
2.6 Tabakalı Kompozitler
Tabaka, düz veya bükülmüş fiberlerin bir matris içerisinde düzenlenmesidir. Şekil 2.3’ de tipik tek yönde yönlendirilmiş bir tabaka görülmektedir. Fiberler ana yük taşıyıcı veya güçlendirici elemanlardır. Matrisler organik, seramik veya metalik olabilir. Matrisin görevi fiberleri destekleyip koruyarak yüklerin dağılımını ve fiberler arasındaki yük iletimini sağlamaktır.
Fiber Matriks Kompozit Malzeme Şekil 2.3 : Tek yönde fiber takviyeli (Unidirectional) tabaka [23]
Klasik plak teorisi gerilme-şekil değiştirme hipotezleriyle izah edilir. Klasik plak teorisi bir yapı bloğu, tabaka veya bir yapı elemanına gerilme - şekil değiştirme hipotezleri uygulanarak elde edilir. Şekil 2.4’ de tabakaların birleştirilmesiyle oluşturulmuş kompozit plak gösterilmiştir.
Şekil 2.4 : Tabakalı kompozitlerin gösterimi [23]
Düzlem gerilme altında ortotropik bir plak için asal malzeme koordinatlarında gerilme - şekil değiştirme bağıntıları (2.8) de verilmiştir. Plak düzleminde herhangi bir koordinat sistemine göre gerilmeler denklem (2.12) ile verilmiştir. Tabakalanmış bir plakta k’ ıncı tabakadaki gerilme şekil değiştirme arasındaki bağıntı aşağıdaki gibi verilir.
2.7 Matematik Model
Kompozit plakların yapısal analizinde 3 ana teori grubu ve bunların alt grupları mevcuttur. Bunlar;
1.) 3B elastisite teorileri
a. Klasik tabakalı plak teorisi (CLPT)
b. Kayma deformasyonu tabakalı plak teorisi (FSDT) 2.) 3B elastisite teorileri
a. Klasik 3B elastisite formülasyonu b. Layerwise teorisi
3.) Karma model metodu
olarak sıralanabilir. Bu çalışmada matematik model incelenirken klasik plak teorisi takip edilmiştir. Bu metot ince (Kirchhoff) plak teorisinin kompozit plaklara uygulanması ile geliştirilmiştir [24].
2.8 Tabakalanmış Plaklarda Şekil Değiştirme ve Gerilme Değişimleri
Tabakalanmış plak boyunca şekil değiştirme ve gerilme değişiminin bilinmesi plağın eğilme ve uzama şekil değiştirme rijitliğinin tarif edilmesi için önemlidir. Plakların, birkaç tabakanın tam olarak birleşmesi ile meydana geldiği varsayılır. Bundan başka tabakalar arasındaki yapıştırıcının yeterince ince olması halinde bile tabakalar arasında kayma deformasyonunun olmadığı düşünülür. Plaklarda şekil değiştirme esnasında tabakalar birbirlerine göre kayma göstermezler. Bundan dolayı bir plak kendine has özellikler gösteren bir tabaka gibi davranır.
Plağın orta düzlem normali, plak uzamaya veya eğilmeye maruz bırakıldığı durumda bile yine plak yüzeyine dik ve doğru olarak kalacaktır. Deformasyon sonunda orta yüzey normalinin (ABCD doğrusu) yine orta yüzeye dik ve doğru olarak kalması, orta yüzeye dik düzlemlerde kayma deformasyonlarının ihmal edilebilecek kadar küçük olmasını gerektirir. Yani γxz= γyz=0’ dır. Buna ilave olarak normalin boyunun aynı kalması orta yüzeye dik birim şekil değiştirme z’ nin sıfır olmasını gerektirir. Bir tabakanın davranışını izah eden bütün bu kabuller plaklar için Kirchhoff hipotezi olarak bilinir [23].
Şekil 2.5’ e göre plağın yüklemeden sonra şekil değiştirmesini inceleyelim. B noktasının yüklemeden önceki konumu ile yüklemeden sonraki konumu arasındaki mesafeyi u0 ile gösterirsek, ABCD doğrusu üzerindeki C noktasının yer değiştirmesi aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
Burada β plağın orta yüzeyinin x yönündeki dönme miktarıdır. Buradan;
x
w
0/
(2.17)x
w
z
u
u
0 0 (2.18a)y
w
z
v
v
0 0 (2.18b)şeklinde tanımlanır. Burada u, v, w plakta herhangi bir noktanın yer değiştirmesinin bileşkesidir. u0 ve v0 ise plağın orta düzlemindeki bir noktanın düzlemsel yer değiştirmesidir.
Şekil değiştirme – yer değiştirme denklemleri;
x
u
x
y
v
y
y
u
x
v
xy
(2.19)Burada εx
,
εy ve γxy ise plakta meydana gelen birim şekil değiştirmelerdir. (2.18)2 0 2 0
x
w
z
x
u
x
(2.20a) 2 0 2 0y
w
z
y
v
y
(2.20b)y
x
w
z
y
u
x
v
xy
0 2 0 02
(2.20c)şekline gelir. Bu eşitliklerdeki terimler;
x
u
x
0 0
y
v
y
0 0
y
u
x
v
xy
0 0 0
(2.21) 2 0 2x
w
x
20 2y
w
y
y
x
w
xy
0 22
(2.22)olarak belirtilirse, (2.19) denklemleri;
x x x
z
0
(2.23a) y y y
z
0
(2.23b) xy xy xy
z
0
(2.23c)haline indirgenmiştir. Burada εx
,
εy,γxytarafsız düzlem birim şekil değiştirmeleri, κx,
κy
,
κxy ise tarafsız düzlem eğrilik değişimleridir. Kirchhoff hipotezi plak kalınlığıboyunca lineer bir şekil değiştirmenin olduğunu doğrulamaktadır.
Kalınlık boyunca olan şekil değişikliğini ifade eden denklem (2.23) gerilme şekil değiştirme bağıntısında (2.16)’ da yerine konulursa, k’ ıncı tabakadaki gerilmeler eğrilik ve orta yüzey şekil değiştirmeleri cinsinden;
xy y x xy y x xy y xz
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
0 0 0 66 26 16 26 22 12 16 12 11 (2.24)Şeklinde ifade edilir. Her tabaka için
Q
ij__
olabileceğinden plak kalınlığı boyunca oluşan şekil değiştirmeler lineer olsa bile gerilme değişiminin lineer olması gerekmez.
2.9 Bir Plakta Kuvvet ve Moment Bileşenleri
Birim uzunluğa uygulanan düzlemsel kuvvetler Nx, Ny, Nxy, Şekil 2.6’ da ve momentler Mx, My, Mxy, Şekil 2.7’ de gösterilmiştir.
Şekil 2.6 : Pozitif kuvvet bileşenleri [23]
Şekil 2.7 : Pozitif moment bileşenleri [23]
Burada Qx, Qy kesme kuvvetleridir. Şekil 2.8’ de ise tabakalardan meydana getirilmiş kompozit bir plak gösterilmiştir.
Şekil 2.8 : Tabakalardan meydana gelmiş plak [23]
σx
,
σydüzlemsel normal gerilmeler, τxydüzlemsel kayma gerilmesi olmak üzere,
/2 2 / h h x xdz
N
(2.25a)
/2 2 / h h y ydz
N
(2.25b)
/2 2 / h h xy xydz
N
(2.25c)
/2 2 / h h x xzdz
M
(2.26a)
/2 2 / h h y yzdz
M
(2.26b)
/2 2 / h h xy xyzdz
M
(2.26c)Bu integraller tabakalı kompozit plaklarda adım adım her tabaka için uygulanır. Kuvvet ve moment bileşenleri ile tarafsız eksen gerilmeleri ve eğrilik değişimleri arasındaki ilişki, tabakanın ortotropik gerilme-şekil değiştirme bağıntılarının dönüşüm hesapları ile bulunmaktadır. Bu bağıntı,
xy y x xy y x xy y x xy y xD
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
D
D
D
B
B
B
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
B
B
B
A
A
A
M
M
M
N
N
N
0 0 0 66 26 16 66 26 16 26 22 12 26 22 12 16 12 11 16 12 11 66 26 16 66 26 16 26 22 12 26 22 12 16 12 11 16 12 11 (2.27)şeklindedir.Burada Aij uzama rijitliği, Bij eğilme-uzama rijitliği (bending-stretching coupling), Dij eğilme rijitliği olarak adlandırılmaktadır. Bij ’nin mevcudiyeti plaklarda eğilme ve uzama arasında bir bağıntıyı ifade etmektedir. Bij terimi mevcut olan bir plağı aynı anda eğmek ve/veya burmaksızın çekmek (basmak) mümkün değildir. Yani çekmeye veya basmaya çalışan bir kuvvet sadece çekme deformasyonlarına değil aynı zamanda plağı bükmeye ya da burmaya da sebep olur. Orta yüzeyine göre, malzeme özellikleri, oryantasyon ve kalınlığı itibarıyla simetrik olarak imal edilmiş tabakalı plaklarda Bijsıfır değerini almaktadır [23].
N k k k k ij ijQ
h
h
A
1 1 __)
(
)
(
(i,j=1,2,6) (2.28a)
N k k k k k k ij ijh
h
h
h
h
Q
A
1 2 3 1 3 1 __3
4
)
(
)
(
4
5
(i,j=4,5) (2.28b)
N k k k k ij ijQ
h
h
B
1 2 1 2 __)
(
)
(
2
1
(i,j=1,2,6) (2.28c)
N k k k k ij ijQ
h
h
D
1 3 1 3 __)
(
)
(
3
1
(i,j=1,2,6) (2.28d) ile tanımlanır [1].2.10 Anizotropik Plaklarda Termal Gerilme Analizi
Plakların gerilme analizinde, yapı elemanlarının çalışma sıcaklığı ile dizayn sıcaklığı arasında önemli bir fark mevcut ise bunun göz önüne alınması gerekir. Böyle durumlarda termal gerilmeler ortaya çıkar ve bunun göz önüne alınması gerekir. Bu
gibi durumlarda plaklarda mekanik gerilmelere ilaveten doğan termal gerilmeler de mekanik gerilmeler ile beraber ele alınmalıdır.
Üç boyutlu termoelastik bir elemanda gerilme-şekil değiştirme bağıntıları
T
S
ij j ii
i,j=1,2,…,6 (2.29)şeklinde ifade edilir. Burada
i şekil değiştirme miktarı,S
ij
j ile serbest şekil değiştirme miktarı
i
T
’nin toplamına eşittir. Üç boyutlu şekil değiştirme bağıntısı denklem (2.29)’ün tersi alınarak;)
(
T
C
ij j ii
i,j=1,2,…,6 (2.30)elde edilir. Denklem (2.29) ve (2.30)’in her ikisinde de
i termal genleşme katsayısı ve ΔT de sıcaklık farkıdır. Denklem (2.30)’deC
ij
i
T
toplam şekil değiştirmelerin sıfır olduğu durumda termal gerilmeleri meydana getirir.Ortotropik tabakaların asal malzeme koordinatlarındaki düzlem gerilme ifadeleri;
12 2 2 1 1 66 22 12 12 11 12 2 10
0
0
0
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
(2.31)şeklinde yazılabilir. Burada termal genleşmelerin sadece uzama şekil değiştirmelerine etki ettiği, kayma şekil değiştirme etkisi yapmadığı bilinmelidir. Tabakalardan meydana gelmiş bir plakta k’ ıncı tabakada meydana gelen gerilmeler;
k xy xy y y x x k k xy y x
T
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
66 26 16 26 22 12 16 12 11 (2.32)şeklinde yazılabilir. Burada αxy’ nin olması termal kayma katsayısının olmasını gerektirir. Şekil değişimlerinin kalınlık boyunca lineer olduğu durumlarda denklem (2.29), denklem (2.32)’ de yerine konulup kalınlık boyunca integralleri alınırsa, kuvvet bileşenleri aşağıdaki gibi bulunur.
T xy T y T x xy y x xy y x xy y x N N N K K K B B B B B B B B B A A A A A A A A A N N N 66 26 16 26 22 12 16 12 11 0 0 0 66 26 16 26 22 12 16 12 11
(2.33)Burada Aij ve Bijuzama ve eğilme-uzama rijitlikleri ve termal kuvvetlerde;
Tdz
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
N
N
N
k xy y x k T xy T y T x
66 26 16 26 22 12 16 12 11 (2.34)şeklinde yazılabilir. Termal kuvvet NT sadece toplam şekil değiştirme ve eğilmelerin sınırlandırıldığı durumlarda gerçek termal kuvvet meydana getirir. Aksi takdirde serbest durumda değeri sıfırdır.
Benzer şekilde moment bileşenleri de kalınlık boyunca momentlerin integre edilmesiyle elde edilirler.
T xy T y T x xy y x xy y x xy y x M M M K K K D D D D D D D D D B B B B B B B B B M M M 66 26 16 26 22 12 16 12 11 0 0 0 66 26 16 26 22 12 16 12 11
(2.35)Burada Dij eğilme rijitlik matrisidir. Termal moment bileşenleri de;
Tzdz
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
M
M
M
k xy y x k T xy T y T x
66 26 16 26 22 12 16 12 11 (2.36)olarak yazılabilir. Gerçekte sadece kısıtlanmış durumlarda NT termal kuvvetler ve MT termal momentler meydana gelir. Bununla beraber kuvvet ve moment bileşenleri aşağıdaki şekilde düzenlenebilir.
xy y x xy y x T xy xy T y y T x x xy y x K K K B B B B B B B B B A A A A A A A A A N N N N N N N N N 66 26 16 26 22 12 16 12 11 0 0 0 66 26 16 26 22 12 16 12 11 __ __ __ (2.37)
