bvp BK uzayları ve matris dönüşümleri üzerine

p

bv , BK UZAYLARI VE MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ ÜZERİNE

Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

Ebru MUTLU

Danışman: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL

Temmuz 2009 DENİZLİ

Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun …./…./2009 tarih ve …….. sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. Halil Karahan Müdür

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve tez çalışmalarım boyunca gösterdiği sabır, her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli sayın hocam Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL’e en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Ayrıca bu çalışmanın yapılması sırasında, değerli olduğunu bildiğim vaktini benim için ayıran kıymetli dostum Arş. Gör. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN’ a, desteğini hiç eksik etmeyen sevgili eşim Yrd. Doç.Dr. Özcan MUTLU’ ya, biricik oğlum Onur MUTLU ve aileme teşekkür ederim.

ÖZET

,

p

bv BK UZAYLARI VE MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ ÜZERİNE

MutluU Ebru

Yüksek Lisans Tezi, Matematik ABD Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL

Temmuz 2009, 41 Sayfa

Üç bölümden oluşan bu tezde, _bvp _{uzayları ile bazı BK- uzayları arasındaki} matris dönüşümleri ile kompakt operatörler incelenmiştir.

Birinci bölümde sonraki bölümler dikkate alınarak bazı temel kavram ve teoremler ifade edilmiştir.

İkinci bölümde

( )

_bvp β _duali,

(

) (

) (

) (

)

0 1

, _∞ , , , , , ,

p p p p

bv bv c bv c bv ve

(

_{bv bv} p,

)

matris sınıflarını karakterize eden Malkowsky, Rakočević ve Žıvković (2002) tarafından yapılan teoremlerinin ispatları verilmiştir.

Üçüncü bölümde çokça faydalandığımız Hausdorff kompaktsızlık ölçüsünün temel teoremleri ile bir sonsuz matrisin _{bv uzayları ile bazı BK- uzayları} p arasında kompakt operatör olmasını karakterize eden teoremlerin ispatları detaylı olarak verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: _{bv uzayı, FK uzayı, BK uzayı, AK uzayı, Hausdorff} p kompaktsızlık ölçüsü, matris dönüşümleri

Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL Prof. Dr. Sadulla JAFAROV Doç. Dr. Muzaffer ADAK

ABSTRACT

On _{bv BK Spaces and Matrix Transformations} p, Mutlu Ebru

M. Sc. Thesis in Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL July 2009, 41 Pages

In this thesis consisting of three chapters, the matrices and compact operators between the spaces _{bv and BK- spaces are studied.} p

In the first chapter, by considering subsequent chapters, some basic concepts and theorems are stated.

In the second chapter, the proofs of theorems of Malkowsky, Rakočević and Žıvković (2002) characterizing

( )

_bvp β_{-duals and classes matrices,}

(

bvp, ∞

) (

, bv cp, ,

) (

bv cp, 0

) (

, bvp, 1

)

and

(

bv bv are given. p,

)

In the third chapter, with theorems that we make use of so much, stating the basic properties of Hausdorff measure of noncompactness, the theorems characterizing an infine matrix to be compact operator between the spaces _bv p and some BK- spaces, are given in detail.

Keywords: _{bv space, FK space, BK space, AK space, Hausdorff measure of} p noncompactness, matrix transformations

Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL Prof. Dr. Sadulla JAFAROV Assoc. Prof. Dr. Muzaffer ADAK

İÇİNDEKİLER

Sayfa

Yüksek Lisans Tezi Onay Formu ...ii

Bilimsel Etik Sayfası...iii

Teşekkür...iv

Özet ... v

Abstract ...vi

İçindekiler ...vii

1 TEMEL TANIM VE TEOREMLER... 1

1.1. Temel Tanım ve Teoremler... 1

1.2. Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Tanımı ... 9

2 _{bv UZAYININ}p _{β - DUALİ VE MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ... 12}

2.1. _{bv Uzayının} p _{β - Duali... 12}

2.2. _{bv Uzayı Üzerine Matris Dönüşümleri... 15} p 3 HAUSDORFF KOMPAKTSIZLIK ÖLÇÜSÜ İLE KOMPAKT DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ ... 21

3.1. Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsünün Özellikleri... 21

3.2. Kompakt Dönüşümleri Özellikleri... 31

KAYNAKLAR ... 40

1 TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilmiştir.

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1 (Bazı gösterim ve diziler) :

ω : Reel veya kompleks terimli bütün dizilerin kümesi φ : φ ⊂ ω olacak şekilde sonlu dizilerin kümesi

0 c : ₀

{

_{n n}

}

n c = x (x )= ∈ω: lim x =0 c : c=

{

_{n n}

}

n x (x )= ∈ω: lim x mevcut ∞ : ∞

{

n n

}

n x (x ) : sup x = = ∈ω < ∞ s

c : Reel veya kompleks terimli yakınsak serilerin kümesi, yani;

s c = _n n _k k 0 x (x ) : x c = ⎧ _{= ∈ω} ⎛ ⎞_∈ ⎫ ⎨ ⎜ ⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎩

∑

⎭ s

b : Kısmi toplamlar dizisi sınırlı olan reel veya kompleks terimli serilerin kümesi,

yani; s b = 0 ( ) : n n k k x x ω x _∞ = ⎧ _{= ∈} ⎛ ⎞_∈ ⎫ ⎨ ⎜ ⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎩

∑

⎭ 1 : 1= n k k 0 x (x ) : ∞ x = ⎧ _{= ∈ω < ∞}⎫ ⎨ ⎬ ⎩

∑

⎭

p : 1≤ p<∞ olmak üzere p. kuvvetleri mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin kümesi, yani;

( )

p p k k k 0 x x : ∞ x , 1 p = ⎧ ⎫ =_⎨ = ∈ω < ∞ ≤ < ∞_⎬ ⎩

∑

⎭

bv : Reel veya kompleks terimli sınırlı salınımlı dizilerin kümesi,

( )

1 1 : k k k k bv x x ω x x ∞ − = ⎧ ⎫ =_⎨ = ∈ − < ∞_⎬ ⎩

∑

⎭ p bv : 1p≥ olmak üzere = p bv

( )

_{k k k 1}p k 1 x x : ∞ x x ₋ = ⎧ _{= ∈ω − < ∞}⎫ ⎨ ⎬ ⎩

∑

⎭ (k) e : e( )_nk 1, n k 0, n k = ⎧ = ⎨ _≠ ⎩ ve

( )

(k) (k) n e = e dizisidir.

B(X, Y) : X normlu uzayından Y normlu uzayı içine olan bütün sınırlı lineer dönüşümlerin kümesi

Tanım 1.1.2 (Vektör uzayı): L boştan farklı bir küme ve K reel veya kompleks sayıların cismini göstersin. Eğer x, y, z L ve ,∀ ∈ α β∈ olmak üzere K

: L L L ve : K L L + × → ⋅ × → fonksiyonları için 1 l ) x y L+ ∈ (kapalılık özelliği), z y x z y x l₂) +( + )=( + )+ (birleşme özelliği), x x

l₃) +θ =θ + olacak şekilde θ∈L vardır (birim eleman), θ = + − = − + x x x x

l₄) ( ) ( ) olacak şekilde −x∈L vardır (ters eleman),

x y y x

L x

l₆) α⋅ ∈ (skalerle çarpma işleminde kapalılık), y x y x l₇) α⋅( + )=α⋅ +α⋅ x x x l₈) (α +β)⋅ =α⋅ +β⋅ ) ( ) ( ) 9 x x l αβ ⋅ =α⋅ β⋅ 10

l ) 1 K∈ birim eleman olmak üzere 1 x x⋅ =

şartları sağlanıyorsa, L ye bir vektör uzayı veya lineer uzay denir.

Tanım 1.1.3 (Normlu Uzay): X, K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer

. : X→ fonksiyonu için 1 n ) ∀ ∈x X , x≠ θiçin x >0 , x = ⇔ = θ 0 x 2 n ) ∀λ ∈K , x X için∀ ∈ λ = λ ⋅x x 3 n ) ∀x, y X için x y∈ + ≤ x + y

şartları sağlanıyorsa ⋅ fonksiyonuna, X üzerinde bir norm ve X uzayına da normlu uzay denir.

Tanım 1.1.4 (Banach Uzayı): Norma göre tam olan uzaya yani her Cauchy dizisinin

yakınsak olduğu uzaya Banach uzayı adı verilir.

Teorem 1.1.5: Eğer Y bir Banach uzayı ise B X, Y

(

)

bir Banach uzayıdır (Kreyszig 1989).

Teorem 1.1.6 (Banach-Steinhause Teoremi): X bir Frechet uzayı yani tam lineer metrik uzay olsun. Eğer

( )

f ,_n X üzerinde tanımlı sürekli lineer fonksiyonellerin noktasal yakınsak bir dizisi ise bu taktirde

n n

f (x) lim f (x)=

Tanım 1.1.7 (FK Uzayı): Koordinat fonksiyonelleri sürekli olan ω nın tam lineer alt metrik uzayına FK uzayı denir (Malkowsky ve Rakočević 2004).

X, φ yi kapsayan FK uzayı olsun. Eğer ∀ =x

( )

x_k ∈X dizisi için (k) k k 0 x ∞ x e = =

∑

, yani; n (k ) k k 0 d x x e 0 (n ) = ⎛ ₋ ⎞_{→ → ∞} ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠

olacak şekilde bir tek gösterimi varsa, X’ e AK özelliğe sahiptir veya kısaca AK uzayı adı verilir.

Normlu FK uzayına ise BK uzayı adı verilir.

Tanım 1.1.8 (Schauder Bazı): X lineer metrik uzay olsun. Eğer ∀x∈X için

) ( 0 n n nb x

∑

∞ = = λ yani n (k) k k 0 d x b 0 (n ) = ⎛ _{− λ} ⎞_{→ → ∞} ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠

olacak şekilde skalerlerin bir tek (λn)∞n₌₀dizisi bulunabiliyorsa,

( )

∞

=0 n n

b dizisine X lineer

metrik uzayında Schauder bazı adı verilir.

Önerme 1.1.9: p bv uzayı p k p k k bv x x x p 1 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ =

∑

∞ = −

normuna göre BK uzayıdır. Üstelik

k j 0, j k b (k 0,1, 2,...) 1, j k < ⎧ ⎪ =_⎨ = ⎪ _≥ ⎩ olmak üzere

( )

( )k

b dizisi bu uzay için bir Schauder bazıdır (Malkowsky, Rakočević,

Žıvković, 2002).

Tanım 1.1.10 (Sınırlı Lineer Operatör) : X ve Y iki normlu uzay ve T : X→Y bir lineer operatör olsun. Eğer x X∀ ∈ için

x c

Tx ≤

olacak şekilde bir c≥0 reel sayısı varsa T ye sınırlı lineer operatör denir. (Burada

eşitsizliğin soldaki norm Y uzayındaki, sağdaki norm ise X uzayındaki normdur.) Bu eşitsizliği sağlayan c sayılarının en büyük alt sınırına yani

{

}

T =inf c: x X için T(x)∀ ∈ ≤c x sayısına T nin normu denir. Bu norm aynı zamanda

x X x 0 Tx T sup x ∈ ≠ =

eşitliği ile de verilebilir. Ayrıca B(X, Y) , bu norma göre bir normlu uzaydır.

X üzerindeki bütün sınırlı lineer operatörlerin oluşturduğu B(X, ) normlu uzayına X in duali denir ve _{X ile gösterilir. Açıktır ki} / _{X üzerindeki norm} /

x X x X x 0 x 1 f (x) f sup sup f (x) x ∈ ∈ ≠ = = = dir (Kreyszing, 1980).

Tanım 1.1.11: X ve Y metrik uzay ve f : X→Y dönüşümü verilmiş olsun. Eğer her sınırlı Q⊂ kümesi için X f (Q) kapanış kümesi Y de kompakt ise f ye kompakttır ______ denir ve kompakt dönüşümlerin kümesi K(X, Y) ile gösterilir.

Kompakt dönüşüm diziler cinsinden aşağıdaki biçimde karakterize edilebilir.

Teorem 1.1.12: X ve Y normlu uzay ve L : X→Y lineer operatör olsun. Bu durumda L nin kompakt olması için gerek ve yeter şart X’ deki her sınırlı

( )

x_n dizisi için

(

L x

( )

_n

)

dizisinin Y de yakınsak bir alt diziye sahip olmasıdır (Şuhubi, 2001).

Tanım 1.1.13 (Çarpım Uzayı): X ve Y , ω nın iki alt kümesi olsun. Bu durumda

( )

( )

(

)

{

n n n n

}

kümesine X ile Y nin çarpım uzayı denir (Malkowsky, Rakočević, Žıvković, 2002). Eğer özel olarak Y c= alınırsa _s

( )

( )

n s n k k k 0 n k k k 0 X M(X,c ) a a : x X için a x c a a : x X için a x yakınsaktır β = ∞ = ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ = =_⎨ = ∈ω ∀ ∈ _{⎜ ⎟}∈ _⎬ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ =_⎨ = ∈ω ∀ ∈ _⎬ ⎩ ⎭

∑

∑

elde edilir. Buna X in β duali adı verilir. Eğer X ⊃ φ bir BK uzayı ise a∈ω dizisinin normu tanımlı olmak üzere

* * k k X k o a a sup ∞ a x :x X ve x 1 = ⎧ ⎫ = = _⎨ ∈ = _⎬ ⎩

∑

⎭

biçiminde tanımlanır. Örneğin, a X_∈ β _{ise bu norm mevcuttur (Wilansky, 1984).}

Aşağıdaki kısımlarda 1 p< < ∞ ve 1 1 1 p q+ = olmak üzere

(

)

1 q n 1+ ile

(

)

1_q

(

)

1_q 1q 1q

(

)

1_q n 0 n 1 n 1 1, 2 ,3 ,..., n 1 ,... ∞ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + =_⎜ + _⎟ =⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} dizisini göstereceğiz.

Tanım 1.1.14: A=

( )

a_nk reel veya kompleks terimli bir sonsuz matris ve x=

( )

x_k

herhangi bir dizi olsun. Eğer ∀ =n 0,1, 2,... için

n nk k

k 0

A (x) ∞ a x

=

=

∑

serileri yakınsak ise A(x)=

(

A (x)_n

)

dizisine x dizisinin A matrisi ile elde edilen

dönüşüm dizisi denir. Ayrıca ∀ ∈ X için A(x) dönüşüm dizisi mevcut ve Y uzayına x ait ise A ya X uzayından Y uzayına bir matris dönüşümü denir ve bu tür matris dönüşümlerinin kümesi

(

X ,Y

)

ile gösterilir.

Tanım 1.1.15: X , ω nın bir alt kümesi olmak üzere X_A=

{

x∈ω: A x

( )

∈X

}

( )

nk

A= a sonsuz matrisinin n. satır elemanlarının dizisini A_n

(

n 0,1, 2,...=

)

ile göstereceğiz, yani

( )

(

)

n nk k 0 n0 n1 nk A = a ∞₌ = a ,a ,...,a ,... alacağız. Bu durumda n nk k k 0 A (x) ∞ a x = =

∑

ve

{

}

* * n X n n nk k k o A A sup A (x) :x X , x 1 sup ∞ a x :x X, x 1 = ⎧ ⎫ = = ∈ = = _⎨ ∈ = _⎬ ⎩

∑

⎭ olur.

Teorem 1.1.16: T üçgen matris ve X ile Y, ω nın iki alt kümesi olsun. Bu taktirde

(

X YT

)

A∈ , olması için gerek ve yeter şart B=TA∈

(

X,Y

)

olmasıdır. Ayrıca eğer X, Y

BK uzayı ve A∈

(

X,Y_T

)

ise bu taktirde

B

A L

L =

dir (Malkowsky ve Rakočević 2004).

p > 1 olmak üzere Δ=

( )

Δnk matrisi n≥1 için

nk Δ = 1 k n 0 1 k n 1 1, k n 0, diğer durumlarda = = ⎧ ⎪− = − ⎪ ⎨ ₌ ⎪ ⎪⎩

biçiminde tanımlayalım. Bu durumda Δ bir üçgensel matris ve =

( )

p _Δ p bv dir.

(

_∑

)

∑

= nk ve E=

( )

Enk matrislerini ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ =

∑

nk _k k_n n , 0 0 , 1 ve

nk 0, 0 k n 1 E 1, k n ≤ ≤ − ⎧ = ⎨ _≥ ⎩ şeklinde alacağız.

Tanım 1.1.17: X, ω nın bir alt kümesi olsun. Eğer x∈X verildiğinde

(

0,1, 2,...

)

k k

y ≤ x k= eşitsizliğini sağlayan her y∈ için y Xω ∈ oluyorsa, X’ e

normal küme denir.

Teorem 1.1.18: X ,φ yi kapsayan AK özelliğine sahip normal bir FK uzayı olsun. Bu taktirde E matrisi için

( )

XΔ =

(

X ∩M

(

XΔ,c

)

)

E

β β dir (Malkowsky, 2002).

Teorem 1.1.19: p 1> olsun. A∈

(

p, _∞

)

olması için gerek ve yeter şart q nk n k 0 sup ∞ a = < ∞

∑

olmasıdır (Stieglitz ve Tiesz, 1977).

Teorem 1.1.20: p 1> olsun. A∈

(

p,c₀

)

olması için gerek ve yeter şart q nk n k 0 sup ∞ a = < ∞

∑

ve _nk

(

)

n lima =0 k 0,1,...=

olmasıdır (Stieglitz ve Tiesz, 1977).

Önerme 1.1.21: X , φ yi kapsayan AK özelliğine sahip normal ve Y bir lineer uzay olsun. Eğer M

(

X_Δ,c

)

=M

(

X_Δ,c₀

)

ise bu taktirde A∈

(

X_Δ,Y

)

olması için gerek ve

yeter şart RA∈

(

X_,Y

)

_{olmasıdır. Burada}

(

, =0,1,...

)

=

∑

∞ = k n a r k j nj A nk (1.1) ve her n=0, 1, 2… için

(

)

A n R ∈M X ,c_Δ (1.2)

(Malkowsky, 2002).

Teorem 1.1.22: X , φ yi kapsayan bir uzay ve Y, BK uzayı olsun. Bu taktirde

a-) A∈

(

X, _∞

)

olması için gerek ve yeter şart

∞ < = * * sup _{n X} n X A A (1.3)

olmasıdır. Eğer A∈

(

X, _∞

)

ise

A L = A*_X dır. b-) Eğer

( )

( )k k 0 b ∞ , X

= ’in bir Schauder bazı ve Y , Y nin kapalı bir BK uzayı ise bu 1

taktirde, A∈

(

X,Y₁

)

olması için gerek ve yeter şart

(

X Y

)

A∈ , ve k= 0, 1,2,… için A b

( )

( )k ∈Y₁

olmasıdır (Malkowsky ve Rakočević 2004).

Teorem 1.1 23 1< p<∞ ve _{M(bv )}p _{a : n 1 a}

(

)

1_q ∞ ⎧ ⎫ =_⎨ ∈ω + ∈ _⎬ ⎩ ⎭ olsun. Bu taktirde a-)

( )

(

( )

)

E p q p bv M bv β = ∩ b-) Her _a∈

( )

_bvp β _için

( )

p * bv q a = E a

1.2. Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Tanımı

Tanım 1.2.1 (Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü): (X,d) metrik uzay ve Q X in bir alt

kümesi olsun.

a-) Eğer ∀ε >0 için n _{i i i}

i 1

Q B(x , r ), r (i 1, 2,..., n)

=

⊂ ∪ <∈ = olacak şekilde bir

n n( )= ε ∈ sayısı bulunabiliyorsa, Q ya X de total sınırlıdır denir ve

{

x , x ,..., x_{1 2 n}

}

kümesine ise Q ’nun ε-neti (ağı) adı verilir.

Total sınırlı her küme sınırlıdır. Fakat tersi genel olarak doğru değildir.

b-) Eğer Q sınırlı ise

(

)

{

n

}

i i i i i 1 (Q) inf 0 : Q B x , r , x X, r (i 1,..., n) = χ = ε > ⊂ ∪ ∈ <∈ = (1.4)

sayısına Q kümesinin Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü ve χ fonksiyonuna ise

Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü denir.

Q ’yu örten yuvarların merkezlerinin Q ya ait olmak zorunda olmadığına dikkat edilmelidir. Dolayısıyla χ(Q) Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü denk olarak

{

}

(Q) inf 0 : Q, X desonlu ağına sahiptir χ = ε > ε −

biçiminde ifade edilebilir.

Tanım 1.2.2: χ ve ₁ χ sırasıyla X ve Y Banach uzayları üzerinde tanımlı Hausdorff ₂ Kompaktsızlık Ölçüleri ve μ , X’ in boştan farklı bütün sınırlı alt kümelerinin sınıfı _X olsun. L :X→ operatörü verilsin. Eğer Y

X

Q

∀ ∈μ için L(Q)∈μ _Y ve

(

)

2 L(Q) k (Q)1

χ ≤ χ

olacak şekilde 0 k≤ < ∞ sayısı varsa, L ye

(

χ χ₁, ₂

)

- sınırlıdır denir. Bu operatörün

(

χ χ1, 2

)

- normu veya kısaca kompaktsızlık normu

(

)

{

}

1, 2 X 2 1 L _{χ χ} =inf k 0: Q≥ ∀ ∈μ içinχ L(Q) ≤ χk (Q) biçiminde tanımlanır. Eğer χ =χ ise _{1 2} 1, 2 L_{χ χ} in yerine 1 L _χ yazılır.

2 _bvp _{UZAYININ β - DUALİ VE MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ}

Bu bölümde Malkowsky, Rakocevic ve Žıvković, (2002) ye ait olan

( )

_bvp β _duali

ile

(

p

) (

p

) (

p

) (

p

)

0 1

bv , _∞ , bv ,c , bv ,c , bv , ve

(

_{bv , bv matris sınıflarını karakterize eden} p

)

teoremlerin ispatlarını vereceğiz.

2.1. _bvp _{Uzayının β - Duali} Teorem 2.1.1: 1< p<∞ ve

(

)

_∞ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 1 * ) ( 1 1 q p n bv M olsun. Bu taktirde a-)

( )

p

(

( )

p

)

q _E bv β = ∩M bv b-) p

( )

(

( )

)

* p q bv a = E a ∀ ∈a bv β dır. İspat:

( )

(

(

)

)

(

(

p

)

)

_E q E p q p c bv M c bv M bv β = β ∩ , = ∩ , olduğunu biliyoruz

(Malkowsky, 2002). Buna göre

(

bv c

)

M

( )

bv M

(

bv c

)

M

(

bv c

)

M p, ⊂ p ⊂ p, ₀ ⊂ p, yani

(

p

)

( )

p bv M c bv

M , = olduğunu göstermek yeterlidir. a∈M

(

bvp,c

)

alalım. Bu

durumda p

bv

x∈

∀ için ax∈c olur. Öte yandan x bv∈ p olması durumunda gerek ve

yeter şart y= Δ ∈ olmasıdır. Daha açık bir ifadeyle x _p

(

₁ 0

)

1 =

−

=x x ₋ x₋

olmak üzere _{x bv∈} p _{olması için gerek ve yeter şart} p

y∈ dir. Buna göre

∑

= = n k k n y x 0 ve

∑

= = n k k n n nx a y a 0

yazılabilir. Şimdi C=

( )

c_nk matrisini

n nk a , 0 k n c 0 , k n ≤ ≤ ⎧ = ⎨ _> ⎩

biçiminde tanımlayalım. Bu durumda C∈

( )

_p,c olacağından Teorem 1.1.19’dan

(

)

q _{n 1} q q nk n n _{k 0} n _{k 0} n

sup ∞ c sup a supa. n 1

= = = = + < ∞

∑

∑

olur. Dolayısıyla a

(

n+

)

q ∈ _∞ 1 1 . dur. Bu ise

(

p

)

( )

p bv M c bv M , ⊂ olmasıdır. Karşıt olarak

( )

p bv M a∈ olsun. Bu durumda a

(

n+

)

q ∈ _∞ 1 1 . olduğuna göre Ν ∈ ∀n için

(

n+

)

q a_n ≤K 1 1 yani

(

)

q n n K a ₁ 1 +

≤ olacak şekilde K sabiti vardır. Fakat

(

n+

)

→

(

n→∞

)

K q 0 1 1 olduğuna göre

( )

an ∈c0 (2.1)

dır. Tekrar C matrisini yukarıdaki gibi tanımlarsak

(

+

)

<∞ = =

∑

∑

= ∞ = q n n n k q n n q k nk n a n a c sup sup 1 sup 0 0 (2.2)

olur. Ayrıca (2.1) ve (2.2) göz önüne alınırsa Teorem 1.1.20’dan C∈

(

bv ,cp ₀

)

dır. Bu ise

( )

p

bv

M ⊂ M

(

bvp, c

)

olmasıdır. Tanımdan ise M

(

bvp,c₀

)

⊂M

(

bvp,c

)

olduğu açıktır. Şu halde istenen eşitlik

elde edilir.

b-)

( )

p β

bv

a∈ olsun. Biliyoruz ki x bv∈ p olması için gerek ve yeter şart

p

x

y=Δ ∈ dir. Abel kısmi toplamasından

ve

( )

(

)

n R n k k k k nka a e a E R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

∑

∑

∞ =

(

0,1,...

)

1 1 1 0 0 = − = + _{+ +} = =

∑

∑

a x R y R_n x_n n n k k k n k k k (2.3) dır.

( )

p β bv

a∈ olduğuna göre (a) şıkkı nedeniyle a∈

(

q ∩M

( )

bvp

)

_E olacağından,

( )

∈ = E a R

( )

p q∩M bv

( )

( )

p bv M a E R= ∈

⇒ olur. (a) şıkkındaki ispat yöntemiyle

(

bv , c0

)

M

R∈ p bulunur ve (2.3) den ise

∑

∑

∞ = ∞ = = 0 0 k k k k k kx R y a (2.4)

elde edilir. x _bvp = y _p eşitliği göz önüne alınırsa (2.4) den

* * p p R a bv =

olur. Diğer taraftan _p ∼ _q olduğu dikkate alınırsa

( )

_q

bv E a

a p =

*

2.2. _bvp _{Uzayı Üzerine Matris Dönüşümleri} Teorem 2.2.1:

a-) ∈

(

p, _∞

)

bv

A olması için gerek ve yeter şart

( ) _⎟⎟ <∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑ ∑

∞ = ∞ = ∞ q k q k j nj n bv a A p 1 0 sup (2.5) ve her k için 1 q nj n _{j k} sup k ∞ a = ⎛ ⎞ < ∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ (2.6) olmasıdır. b-)

(

p

)

0

A∈ bv ,c olması için gerek ve yeter şart (2.5), (2.6) nın sağlanması ve

∞ → n lim _nj j k a 0 (k 0,1, 2,...) ∞ = = =

∑

(2.7) olmasıdır.

c-) _A∈

(

_{bv ,c}p

)

_{olması için gerek ve yeter şart (2.5), (2.6) in sağlanması ve} ∞ → n lim _{nj k} j k a a (k 0,1, 2,...) ∞ = = =

∑

(2.8) olmasıdır.

d-) Y, _∞, c₀ veya c uzaylarından herhangi birini göstersin. Eğer A∈

(

bv , Yp

)

ise

bu taktirde ( p ) A _{bv ,} L A ∞ = dur.

İspat:

a-) Teorem 2.1.1 nedeniyle M

(

bvp,c

)

=M

(

bvp,c₀

)

olur. Buna göre Teorem 1.1.21

göz önüne alınırsa ∈

(

p, _∞

)

bv

A olması için gerek ve yeter şart R=

( )

r_nk ∈

(

_p, _∞

)

ve

n= 0, 1,… için R_n ∈M

(

bvp,c

)

olmasıdır. Burada

nk nj j k r ∞ a (n, k 0,1, 2,...) = =

∑

= ve

( )

n nk k 0 R = r ∞₌ dur. Şimdi

(

p

)

( )

1q 1q n n 0 M bv ,c a a : n a n a ∞ ∞ = ⎧ _{⎛ ⎞} ⎫ ⎪ ⎪ =⎨ = ∈ω =⎜_⎜ ⎟_⎟ ∈ ⎬ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ olduğundan

(

p

)

1q 1q

( )

1q 1q n n nk nk nj k k j k R M bv ,c k R _∞ k r _∞ sup k r sup k ∞ a = ∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ =

∑

< ∞

olur. Bu ise (2.6) şartıdır. Bunun yanı sıra Teorem 1.1.19 nedeniyle

(

p

)

nk q njq

n k 0 n k 0 j k

R , _∞ sup ∞ r sup ∞ ∞ a

= = =

∈ ⇔

∑

=

∑ ∑

< ∞

dır. Bu da (2.5) şartıdır. Böylece elde edilen şartların denkliğinden ispat tamamlanır.

b-) j k< için ( )k j

b = ve j k0 ≥ için ( )k =1

j

b

(

k =0,1,...

)

olmak üzere Teorem

1.1.9’dan

( )

( )k ∞_k=0

b dizisi p

bv uzayının bir Schauder bazı olduğundan 0,1, 2,...k= için

( )

( )

k ( )k n nj j nj j 0 j k A b ∞ a b ∞ a = = =

∑

=

∑

elde edilir.

Teorem 1.1.21 (b) şıkkına göre A∈

(

bvp, c₀

)

olması için gerek ve yeter şart

(

∞

)

∈ p,

bv

A ve k 0,1, 2,...= için A b

( )

( )k ∈ olmasıdır. Öte yandan c₀ A

( )

b( )k ∈ olması c₀

0 lim

∑

∞ = =k j nj n a

demektir. Böylece (b) şıkkının ispatı (a) şıkkı göz önüne alınarak tamamlanır.

c-) Bu şıkkın ispatı da benzer olarak verilir.

d) Teorem 1.1.21’den biliyoruz ki, eğer_A

(

_{bv ,}p

)

∞ ∈ ise A bv L A p = * dır. Burada p p * * n nk k bv bv n n k 0

A sup A sup sup ∞ a x : x 1

= ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ = = _{⎨ ⎨} = _⎬⎬ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩

∑

⎭

dır. Şimdi n=0,1,... için A_n =

( )

a_nk ∞_k=0 olduğu göz önüne alınırsa, Teorem 2.1.1 ‘den

( )

p 1 q _q * n bv n q nk nk k m _{m 0 q} m 0 k m A E A a a ∞ ∞ ∞ ∞ = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = _{⎜ ⎟} = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝

∑

⎠ _⎝

∑ ∑

_⎠

olup dolayısıyla (a) şıkkından

( ) p p 1 q _q * * n nk bv bv bv, n n _{m 0 k m} A sup A sup a A ∞ ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = = ⎜_⎜ ⎟_⎟ = ⎝

∑ ∑

⎠ elde edilir.

Eğer Y c= veya ₀ Y c= ise

(

p

) (

p

) (

p

)

0

bv ,c ⊂ bv ,c ⊂ bv , _∞

Teorem 2.2.2: X , φ yi kapsayan BK uzayı olsun. Bu taktirde A∈

(

X, ₁

)

olması için gerek ve yeter şart

1 0 n (X, ) N _{n N} Nsonlu A sup A ⊂Ν _∈ =

∑

< ∞

olmasıdır (Malkowsky, 1987). Ayrıca, A∈

(

X, ₁

)

ise

(X,1) A (X,1)

A ≤ L =4. A (2.9)

dır.

İspat: Sadece (2.9) un sağlandığını gösterelim. A∈

(

X, ₁

)

, m∈ Ν₀ olsun. Bu durumda ∀N ⊂

{

0,1,...,m

}

ve x =1 olan ∀x∈X için

1 m n n n A n N n 0 n 0 A (x) A (x) ∞ A (x) A(x) L ∈ = = ≤ ≤ = ≤

∑

∑

∑

olur. Buradan da (X ) LA A ≤ 1 , _(2.10)

elde edilir. Öte yandan supremumun özelliğinden ∀ε >0 için

(X,1) n A n 0 A A (x) L 2 ∞ = ε =

∑

> − ve x =1

olacak şekilde bir x X∈ vardır. Aynı şekilde

1 m(x ) n n A (x) A(x) 2 ε ≥ −

∑

olacak şekilde bir m(x) tamsayısı vardır. Böylece 1 m(x) n A A n 0 A (x) A(x) L L 2 2 2 = ε ε ε ≥ − > − − = − ε

∑

elde edilir. Fakat (Malkowsky ve Rakocevic 2004) den biliyoruz ki

{ } m(x ) n n A N 0,...,m(x) n N n 0 4 maks A (x) A (x) L ⊂ _{∈ =} ⎛ ⎞ ≥ ≥ −∈ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠

∑

dır. Demek ki ∀∈>0 için (X,1) A 4. A ≥ L − ∈ dır ve dolayısıyla (X,1) A 4. A ≥ L (2.11)

dır. Şu halde (2.10) ve (2.11)’den (2.9) eşitsizliği elde edilir.

Teorem 2.2.3: a-)

(

p, ₁

)

bv

A∈ olması için gerek ve yeter şart (2.6) nin sağlanması ve

( ) _⎟⎟⎟ <∞ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∑ ∑ ∑

∞ = ∈ ∞ = Ν ⊂ q k n N q k j nk sonlu N N bv a A p 1 0 , 0 1 sup (2.12) olmasıdır. Ayrıca

(

p, ₁

)

bv A∈ ise ( p ) ( p ) 1 1 A bv , bv , A ≤ L ≤4. A (2. 13) dir.

( p ) 0 1 q q nk n 1,k bv ,bv N _{k 0 n N j k} Nsonlu A sup ∞ ∞ (a a ₋ ) ⊂Ν = ∈ = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ = _⎜ − _⎟ < ∞ ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝

∑ ∑ ∑

⎠ (2.14)

olmasıdır. Ayrıca A∈

(

bvp,bv

)

ise

(_{bv ,bv}p ) _A (_{bv ,bv}p )

A ≤ L =4. A (2.15)

dır.

İspat:

(a) şıkkının ispatı Teorem 2.2.2 ve Teorem 1.1.23’den, (b) şıkkının ispatı ise (a) şıkkı ve Teorem 1.1.16’dan görülür. (2.15) eşitsizliğine gelince, bv=

( )

_{1 Δ} eşitliği ve Teorem 2.2.2 nedeniyle

(

bv bv

)

A∈ p, olması için gerek ve yeter şart B=ΔA∈

(

bvp, ₁

)

dir. Buna göre A∈

(

bvp,bv

)

ise B∈

(

bvp, ₁

)

olacağından (2.13) eşitsizliğinden

( p ) ( p )

1 1 B bv ,

bv ,

B ≤ L ≤4. B

yazılabilir. Fakat B=

( )

bnk =

(

ank −an−1,k

)

olduğuna göre (2.12) ve (2.14) ten

( p )

(

)

( p ) 1 0 1 q _q nk n 1,k bv , bv ,bv N k 0 n N j k Nsonlu B sup ∞ ∞ a a ₋ A ⊂Ν _{= ∈ =} ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ = _⎜ − _⎟ = ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝

∑ ∑ ∑

⎠

3 HAUSDORFF KOMPAKTSIZLIK ÖLÇÜSÜ İLE KOMPAKT DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

Bu bölümde çokça faydalandığımız Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsünün temel özelliklerini içeren teoremleri ispat ettikten sonra sonsuz matrisin _{bv uzayları arasında} p

kompakt olması için gerek ve yeter şartları ifade eden teoremlerin ispatlarını vereceğiz.

3.1. Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsünün Özellikleri

Bu kısımda matris dönüşümleri ile kompakt dönüşümler arasındaki ilişkileri ifade eden teoremleri ve ispatlarını vereceğiz.

Lemma3.1.1:

(

X,d

)

metrik uzay ve Q,Q ,Q , X ’ in sınırlı alt kümeleri olsun. Bu _{1 2} taktirde

a-) (Q) 0χ = olması için gerek ve yeter şart Q nun total sınırlı olmasıdır.

b-) Q₁⊂Q₂ ise χ

( ) ( )

Q₁ ≤ χ Q₂ c-) χ

( )

Q = χ( Q )___ d-) χ(Q₁∪Q ) maks (Q ), (Q )₂ =

{

χ ₁ χ ₂

}

e-) χ(Q₁∩Q ) min₂ ≤

{

χ(Q ), (Q )₁ χ ₂

}

dir. İspat: a-)

{

n

(

_{i i}

)

_i

}

i 1 (Q) inf 0 : Q B x , r , r , i 1,..., n 0 = χ = ε > ⊂ ∪ < ε = = ise infumumun özelliğinden 0∀δ > için ε < + δ ve 0 n _{i i} i 1 Q B(x , r ) =

Buna göre ∀δ > için 0 r_i< δ ve n _{i i}

i 1

Q B(x , r )

=

⊂ ∪ olacak şekilde sonlu n∈ bulunur ki,

bu Q nun total sınırlı olmasıdır. Tersi ise tanımdan açıktır.

b-) Q₁⊂Q₂ ise

(

)

{

ε >0 : Q2 ⊂ ∪_{i 1=}n B x , r , ri i i < ε ⊂ ε >

}

{

0 : Q1⊂ ∪_{i 1}n₌ B x , r , r

(

i i

)

i < ε

}

olduğundan infumum özelliğinden istenen eşitsizlik elde edilir.

c-) Q⊂___Q ise (b) şıkkından χ

( )

Q ≤ χ( Q )___ dır. Tersine gelince, χ

( )

Q nun tanımından 0∀δ > için ε < χ(Q)+ δ ve n _{i i i} i 1 Q B(x , r ), r = ⊂ ∪ < ε olacak şekilde ε >0 vardır. Buradan ___Q ⊂ n ____________{i i} i 1= B(x , r )

∪ bulunur. Fakat ___________B(x , r )_{i i} ile B(x , r ) yuvarlarının _{i i} yarıçapları aynı olduğundan χ(Q)__ ≤ ε olur. Demek ki ∀δ > için 0

__ (Q) (Q) (Q) (Q) χ ≤ε < χ + δ⇒ χ < χ + δ dır ve dolayısıyla χ(Q)__ ≤χ(Q) bulunur. d-) Q₁⊂Q₁∪Q₂ ve Q₂ ⊂Q₁∪Q₂ olduğundan (b) şıkkından 1 1 2 (Q ) (Q Q ) χ ≤ χ ∪ ve χ(Q )₂ ≤ χ(Q₁∪Q )₂

bulunur. Buradan ise

{

1 2

}

1 2

maks χ(Q ), (Q )χ ≤χ(Q ∪Q )

elde edilir. Tersi için maks

{

χ(Q ), (Q )₁ χ ₂

}

=s ve ε >0 verilsin. Tanımdan

n m ' 1 _{i 1} i i 2 _{j 1} j j i j Q B(x , r ), Q B(y , r ), r , r s = = ⊂ ∪ ⊂ ∪ < + ε

{

}

n m m n ' '' 1 2 _{i 1 j 1} i i j j _{k 1} i i Q Q B(x , r ) B(y , r + B(z , r ) = = = ∪ ⊂ ∪∪ ∪ = ∪ ve '' i

r < + ε yazılabilir. Şu halde s ∀ε >0 için. χ(Q₁∪Q ) s₂ ≤ + ε olup dolayısıyla

1 2

(Q Q ) s

χ ∪ ≤ bulunur.

e-) Bu şıkta da benzer olarak ispatlanabilir.

Teorem 3.1.2: X normlu uzay ve Q,Q ,Q , X in sınırlı alt kümeleri olsun. Bu _{1 2} taktirde a-) χ(Q₁+Q₂)≤ χ(Q₁)+χ(Q₂) b-) ∀λ ∈ için ( Q)χ λ = λ χ(Q) c-) x X için (Q x)∀ ∈ χ + = χ(Q) dır. İspat:

a-) ε >0 verilsin. Şimdi

{

x ,..., x_{1 n}

}

ve

{

y ,..., y_{1 m}

}

sırasıyla Q ve ₁ Q nin ₂

[

χ(Q )1 + ε

]

ve

[

χ(Q )2 + ε

]

-ağı olsun. Bu durumda n ' 1 _{i 1} i i i 1 Q B(x , r ), r (Q ) = ⊂ ∪ < χ + ε ve m ' 2 _{j 1} j j j 2 Q B(y , r ), r (Q ) = ⊂ ∪ < χ + ε olur. Buradan

{

}

{

}

n m n m ' ' 1 2 _{i 1 j 1} i i j j _{i 1 j 1} i j i j Q Q B(x , r ) B(y , r ) x y B( , r ) B( , r ) = = = = + ⊂ ∪∪ + = ∪∪ + + θ + θ

yazılabilir. Öte yandan

' '

i j i j

olduğundan ' ' i i j j i j i j ' ' i j i j i j i j B(x , r ) B(y , r ) x y B( , r ) B( , r ) x y B( , r r ) B(x y , r r ) + = + + θ + θ ⊂ + + θ + = + +

bulunur. Demek ki,

n m ' ' 1 2 _{i 1 j 1} i j i j i j 1 2 Q Q B(x y , r r ), r r (Q ) (Q ) 2 = = + ⊂ ∪∪ + + + < χ + χ + ε dır. Buradan da ∀ε >0 için 1 2 1 2 (Q Q ) (Q ) (Q ) 2 χ + ≤ χ + χ + ε

elde edilir ki, bu ise

1 2 1 2

(Q Q ) (Q ) (Q )

χ + ≤ χ +χ

eşitsizliğini verir.

b-) Eğer λ =0 ise eşitlik açıktır. λ ≠0 alalım. ε >0 ve n _{i i i}

i 1 Q B(x , r ), r = ⊂ ∪ < ε olsun. Bu durumda

{

}

{

}

{

}

n n n i i i i i i i 1 i 1 i 1 n n ' ' i i i i i i i 1 i 1 Q B(x , r ) (x B( , r ) x B( , r ) B( x , r ) B( x , r ), r r = = = = = λ ⊂ ∪ λ = ∪ λ + θ = ∪ λ + θ λ = ∪ λ λ = ∪ λ λ = λ < λ ε

yazılabilir. Tanım göz önüne alınırsa χ λ( Q)≤ λ ε bulunur. Buna göre

( Q) (Q) χ λ ≤ λ χ

elde edilir.

Tersini göstermek için n ' '

i i i i 1

0, Q B(x , r ), r

=

' n i i i 1 x r Q B , = ⎛ ⎞ ⊂ ⎜_⎜ ⎟_⎟ λ λ ⎝ ⎠ ∪ olur. i 1, 2,..., n= için ' i r < δ olduğuna göre i' i r r = λ dersek ri δ < λ olacağından (Q) δ χ ≤ λ bulunur. Buradan da (Q) (Q) ( Q) λ χ ≤ δ⇒ λ χ ≤ χ λ

olduğu görülür. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 3.1.3: X sonsuz boyutlu normlu uzay ve B_X=

{

x X : x∈ ≤ kapalı birim 1

}

yuvar olsun. Bu durumda χ

( )

B_X =1 dir.

İspat: ∀ε >0 için B_X⊂B( ,1θ + ε olduğuna göre ) χ

( )

B_X ≤ + ε1 ve dolayısıyla

( )

BX 1

χ ≤ dir. χ

( )

B_X <1 olamaz. Çünkü, χ

( )

B_X = <q 1 olsaydı ε >0 sayısını q+ ε < olacak şekilde seçelim. Bu durumda 1 B in bir (_X q+ ε)- ağı mevcuttur. Bu ağı

{

x ,..., x1 k

}

ile gösterirsek

{

}

{

}

k k k X _{i 1} i i _{i 1} i i _{i 1} i X B B(x , r ) x r B( ,1) x (q )B = = = ⊂ ∪ = ∪ + θ ⊂ ∪ + + ε

yazılabilir. Böylece Lemma 3.1.1, Teorem 3.1.2’den

( )

X _{1 i k}

(

{

i X

}

)

q B maks x (q )B (q ).q

≤ ≤

= χ ≤ χ + + ε = + ε (3.1.)

bulunur. q+ ε < olduğundan (3.1) nedeniyle q 01 = elde edilir, yani B total sınırlıdır. _X Fakat X sonsuz boyutlu uzay olduğuna göre bu mümkün değildir. Şu halde χ

( )

B_X =1

dir.

Şimdi Schauder bazına sahip Banach uzaylarında Hausdorff kompaktsızlık ölçüsünü hesaplamada önemli kolaylık sağlayan Gadenštein, Gohberg ve Marcus’un teoremini

verelim. X Banach uzayı ve

{

e , e ,...1 2

}

bir Schauder bazı olsun. Bu durumda her bir

x X∈ için i i

i 1

x ∞ x e

=

=

∑

olacak şekilde bir tek

( )

xi skaler dizisi vardır.

{

}

n 1 2

P :X→X, e , e ,... kümesinin lineer gereni üzerine bir projektör dönüşümü yani,

n

n i i

i 1

P (x) x e

=

=

∑

olsun. Bu durumda aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 3.1.4 (Gadenštein, Gohberg ve Marcus Teoremi): X,

{

e , e ,..._{1 2}

}

Schauder bazına sahip Banach uzayı ve Q, X ’in sınırlı bir alt kümesi ve P :Xn → bir projektör X

dönüşümü olsun. Bu taktirde

(

)

( )

(

)

(

)

n _n n n x Q x Q n n x Q 1

lim sup sup I P (x) Q inf sup I P (x)

a

lim sup sup I P (x)

∈ ∈ ∈ ⎛ ₋ ⎞_{≤ χ ≤ −} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ≤ _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ dir. Burada _n n

a lim sup I P= − dir.

İspat: Açıktır ki ∀ ∈n için

(

)

n n

Q P Q⊂ + −I P Q (3.2)

dir. Lemma 3.1.1, Teorem 3.1.2 ve (3.2) göz önüne alınırsa

(

) (

)

n n n n x Q (Q) (P Q) (I P )Q (I P )Q sup (I P )(x) ∈ χ ≤ χ + χ − = χ − ≤ −

bulunur. Buradan ise

n n

n _{x Q n x Q}

(Q) inf sup (I P )(x) lim sup sup (I P )(x)

∈ ∈

⎛ ⎞

χ ≤ − ≤ _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

olur. Şimdi teoremdeki eşitsizliğin diğer tarafını gösterelim. ε >0 ve

{

x , x ,..., x_{1 2 k}

}

Q nun

[

χ(Q)+ ε

]

- ağı olsun. Bu durumda, B kapalı birim yuvar olmak üzere _X

[

]

(

)

{

}

[

]

k i 1 2 k x i 1 Q B x , (Q) x , x ,..., x (Q) B = ⊂ ∪ χ + ε ⊂ + χ + ε

yazılabilir. Bu demektir ki her bir x X∈ için x z= + χ

[

(Q)+ ε

]

.s olacak şekilde

{

1 2 k

}

x∈ x , x ,..., x ve s B∈ _X mevcuttur. Buna göre

[

]

n n i n x Q 1 i k sup (I P )(x) sup (I P )(x ) (Q) I P ∈ − ≤ ≤ ≤ − + χ + ε − olup buradan da

(

n

)

[

]

n n x Q n

lim sup sup I P (x) (Q) lim sup I P

∈

⎛ ₋ ⎞_{≤ χ + ε −}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar.

Teorem 3.1.5: X ve Y Banach uzayı ve L B(X, Y)∈ olsun. Bu taktirde

( )

(

X

)

L _χ= χ L B

İspat: L_χ nin tanımından ∀ε >0 için ∃ >k 0 vardır öyle ki

k< L _χ+ ε ve her Q∈μ için _X χ

(

L(Q)

)

≤ χk (Q) (3.4)

eşitsizliği sağlanır. Bu durumda (3.4) ten ∀ε >0 ve ∀ ∈μ için Q _X

(

L(Q)

)

⎡ L _χ ⎤. (Q)

χ ≤_⎣ + ε χ_⎦

olur. Buradan ise ∀ ∈μ için Q _X χ

(

L(Q)

)

≤ L _χχ(Q) bulunur. Eğer Q B= _X alınırsa,

X

(B ) 1

χ = olduğu göz önüne alınarak

(

L(B )X

)

L χ

elde edilir. Şimdi bu eşitsizliğin tersini göstermek için keyfi bir Q∈μ ve Q nun bir _X

{

x , x ,..., x1 2 n

}

, r-ağını alalım. Bu durumda

(

)

n i i i i 1 Q B(x , r ) , r r = ⊂ ∪ < ve buradan

(

)

(

)

n n i i i i 1 i 1 L(Q) B(x , r ) B(x , r) = = ⊂ ∪ ⊂ ∪ (3.6)

yazılabilir. Lemma 3.1.1, Teorem 3.1.2 ve (3.6) nedeniyle

(

)

(

)

(

)

{

}

( )

(

)

{

}

(

( )

)

n n i i i 1 i 1 n i i 1 x x 1 i n L(Q) B(x , r) L x r B( ,1) L(x ) r L(B( ,1)) maks r L B r L B = = = ≤ ≤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ χ ≤ χ ∪_{⎜ ⎟}=χ ∪_⎜ + θ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = χ ∪_⎜ + θ _⎟ ⎝ ⎠ ≤ χ = χ

bulunur. Öte yandan ∀ε >0 için Q nun

{

x , x ,..., x_{1 2 n}

}

, r-ağını r<χ(Q)+ ε biçiminde seçersek

(

L(Q)

)

[

(Q)

]

. L(B )

(

X

)

χ ≤ χ + ε χ

elde edilir. ε →0 için limite geçilirse, ∀ ∈μ için Q _X

(

L(Q)

)

(

L(B ) . (Q)X

)

χ ≤ χ χ

bulunur ki, bu ise (3.6) ve (3.7) den istenen eşitliği verir.

Sonuç 3.1.6: X, Y Banach uzayı ve L B(X, Y)∈ olsun. Bu taktirde . _χ, B(X, Y) üzerinde bir yarı normdur ve

a-) L_χ = olması için gerek ve yeter şart L K(X, Y)0 ∈ olmasıdır.

b-) L_χ ≤ L

dır.

İspat:

a-) . _χ nin yarı norm olduğu Teorem 3.1.2’den kolayca görülebilir. L _χ = ise 0 Lemma 3.1.1’den L(B ) total sınırlıdır. Şimdi _x (x ), X de keyfi sınırlı bir dizi olsun. _n Bu durumda n∀ için x_n ≤M olacak şekilde M 0> sayısı mevcut olacağından

n n

x y

M

= dersek y_n ≤1 olur. Yani n∀ için y_n∈ olur. Dolayısıyla B_x

(

L(y ) , L(B )_n

)

_X

de bir dizidir. Total sınırlılığı nedeniyle L(B ) in bir sonlu 1-ağı vardır ve bu ağın açık _X yuvarlarından en az biri

( )

y_n dizisinin bir

( )

(1)

n

y alt dizisini içerir. Diyelim ki bu yuvar B(z,1) olsun. Aynı şekilde

( )

(1)

n

y dizisinin

( )

(2) n

y alt dizisini içeren 1

2- ağı ve bir 1 B z, 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ yuvarı vardır. Bu şekilde devam edilirse

(

)

(1) (2) (n)

1 2 n

y , y ,..., y ,... alt dizisi elde

edilir. Öte yandan bu alt dizi bir Cauchy dizisidir, çünkü m, n N> için

(n) (m) n m 1 y , y B z, N ⎛ ⎞ ∈ ⎜_⎝ ⎟_⎠ yani (n) (m) (n) (m) n m n m 2 y y y z z y N − ≤ − + − <

dir. Y bir Banach uzayı olduğuna göre (n) n

y →z (n→ ∞ olur. Böylece ) L kompakt

operatördür.

Tersi için L kompakt olsun. Bu durumda L(B ) kompakttır. Dolayısıyla _________X ∀ε >0

için _________X n

(

_i

)

i 1

L(B ) B x ,

=

⊂ ∪ ε olacak şekilde n n( )= ε ∈ vardır. Buradan ∀ε >0 için

( )

(

)

________

X X

L _χ = χ L B ≤χ⎛_⎜L(B )⎞_⎟≤ε

⎝ ⎠ elde edilir ki bu ise

olması demektir.

b-) L =inf k : x X için L(x)

{

∀ ∈ ≤k x

}

olduğundan ∀ε >0 için k< L + ε ve x X

∀ ∈ için L(x) ≤k L olacak şekilde k 0≥ vardır. Şimdi L(B ) in sonlu k-ağını _X

alalım. Bu durumda _X n

(

_i

)

i 1

L(B ) B x , k

=

⊂ ∪ olup dolayısıyla ∀ε >0 için

(

X

)

L _χ = χ L(B ) ≤ <k L + ε bulunur. Bu ise

L _χ≤ L

demektir.

c-) Eğer K K(X, Y)∈ ise yukarıda olduğu gibi L _χ= olur. Teorem 3.1.2 0 nedeniyle

[

] [

]

(

) (

)

X X X X X L K (L K) (B ) L(B ) K(B ) L(B ) K(B ) L K L χ χ χ χ + = χ + = χ + ≤ χ + χ = + = (3.8)

bulunur. Öte yandan L K+ _χ tanımından ∀ε >0 için

L+ K _χ

δ < + ε ve L(B ) K(B )X + X ⊂ ∪_{i 1}n₌ B(x , )i δ

olacak şekilde δ >0 vardır. Buradan ise

n

X _{i 1} i X

L(B ) B(x , ) K(B )

=

⊂ ∪ δ −

(

)

(

)

n X _{i 1} i X X L L(B ) B(x , ) K(B ) K(B ) K L K χ ₌ χ χ ⎡ ⎤ = χ ≤χ ∪_⎢ δ − _⎥ ⎣ ⎦ ≤δ + χ =δ + =δ < + + ε bulunur. Bu ise L _χ ≤ +L K _χ (3.9)

demektir. Şu halde (3.8) ve (3.9) dan istenen elde edilir.

3.2. Kompakt Dönüşümlerin Özellikleri

Teorem3.2.1: A sonsuz matris, 1<p<∞, q p (p 1) =

− olsun Ayrıca n>r olacak

şekildeki her n ve r doğal sayıları için

( ) q k q k j nj r n r bv a A p 1 0 ) ( , sup ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑ ∑

∞ = ∞ = > ∞ alalım.

a-) Eğer A∈

(

bvp, c₀

)

ise bu taktirde

( ) ) ( , lim r bv r A A p L ∞ ∞ → = χ (3.10) dır.

b-) Eğer A∈

(

bvp,c

)

ise bu taktirde

( ) (( ) , ) ) ( , lim lim 2 1 r bv r A r bv r→∞ A p ∞ ≤ L χ ≤ →∞ A p ∞ (3.11)

c-) Eğer ∈

(

p, _∞

)

bv A ise bu taktirde ( ) ) ( , lim 0 r bv r A A p L ∞ ∞ → ≤ ≤ _χ (3.12) dır.

İspat: Teorem 2.1.1 nedeniyle (3.10), (3.11), (3.12) deki limitler mevcuttur.

a-) Kısalık için K B= _X =

{

x X : x∈ ≤ olsun. Önce r 0,1, 2,...1

}

= için

(

)

r 0 0 r 0 1 r P :c →c , P (x)= x , x ,..., x , 0, 0,... olmak üzere

(

)

(

)

A _r r x K L _χ AK lim sup I P Ax →∞ _∈ ⎡ ⎤ = χ = _⎢ − _⎥ ⎣ ⎦ (3.13)

olduğunu gösterelim. Şimdi

(

)

(

)

0 r r x x c n r 1 r 2 _{n r 1} x x _n n 0 I P (x) I P sup x sup x 0,0,..., x , x ,... sup sup 1 x sup x ≠θ ∈ + + _{≥ +} ≠θ ≠θ ≥ − − = = = ≤ (3.14)

olduğu açıktır. Ayrıca ∀x∈c₀ için

(

I −P_r

)

(x) ≤ I −P_r x olduğuna göre

( ) (

x 0,...,x 1,x 2,...

)

c0 x= _k = _{r+ r+} ∈ alınırsa

(

)

1 ) ( = − x x P I r (3.15)

bulunur. (3.14) ve (3.15) ten demek ki

r

I P− =1 (3.15)

dır. Böylece Teorem 3.1.5 gereğince (3.13) eşitsizliği elde edilir. Şimdi A(r)=

( )

a_nk

nk nk 0 , 0 n r a a , n r ≤ ≤ ⎧ = ⎨ _> ⎩

biçiminde tanımlayalım. Bu durumda Teorem 2.2.1 (d) şıkkından

( p ) p ( r ) (r) r A (r) bv , (bv , ) x K sup (I P ) Ax L A A ∞ ∞ ∈ − = = = (3.16)

bulunur. Böylece (3.13) ve (3.16) dan (3.10) elde edilir.

b-) Dikkat edelim ki

{

e, e , e ,..._{1 2}

}

, c nin Schauder bazı olduğundan ∀ ∈x

( )

x_{k k 0}∞₌ ∈ , c için

(

)

(k ) k k 0 x e ∞ x e = = +

∑

−

olacak şekilde ∈ ve skalerlerin

( )

x_k dizisi mevcuttur. Eğer r 0,1, 2,...= için

c c Pr : → dönüşümünü

(

)

(

) (

(

) (

) (

)

)

(

)

r (k) r k 0 1 r k 0 0 1 P (x) e x e , ,... x , x ,..., x ,0,0,... x , x ,..., , ,... = = + − = + − − − =

∑

biçiminde tanımlarsak bu durumda

(

I P (x)− r

)

=

(

0, 0,..., 0, xr 1+ − , xr 2+ − ,...

)

olacağından her x c∈ için

(

I P (x)− r

)

= x P (x)− r ≤ x + P (x)r ≤2 x

bulunur. Buradan ise I P− _r ≤2 olur. Öte yandan özel olarak

(

)

k _{r 1}

x (x ) ,..., , , ,... c

+

r

(I P )(x)− =2 =2 x

bulunur. Dolayısıyla I P− _r =2 elde edilir. Böylece Teorem 3.1.5 te a 2= alınırsa (3.11) eşitsizliğinin sağlandığı görülür.

c-) r 0,1,...= için P_r(x)=

(

x₀,x₁,...,x_r,0,0,...

)

ile tanımlı P_r : _∞ → _∞

dönüşümünü göz önüne alalım. Bu taktirde

) )( ( ) (AK I P AK P AK ⊂ r + − r

yazabiliriz. Gerçekten y AK∈ ise y A(x)= olacak şekilde x ∈X vardır. Öte yandan

K x∈ için

(

)

r 0 r P Ax= A (x),..., A (x), 0,... ve (I P )A(x)− _r =

(

0, 0,..., A (x),..._{r 1+}

)

olduğuna göre r r P Ax (I P )Ax A(x) y+ − = = dır. Bu ise r r y P (AK) (I P )(AK)∈ + − olmasıdır. χ ölçüsünün özelliklerinden ise

(

)

(

)

(

)

r r r r r r r y (I P )AK

(AK) P (AK) (I P (AK)

P (AK) (I P )(AK) (I P )(AK) sup (I P )y ∈ − χ ≤ χ + − ≤ χ + χ − = χ − ≤ −

olur. Öte yandan y (I P )AK∈ − _r ⇔ = −y (I P )Ax,_r olacak şekilde x K∈ vardır. Buna göre

r r r 1 r r y (I P )AK x K (0,...,0,A (x),...

sup (I P )y sup (I P ). (I P )Ax

+ ∈ − − = ∈ − − ( r ) r A x K sup (I P )Ax L ∈ = − = yazılabilir. Böylece ( r ) A A _χ =χ(AK)≤ L (3.17)

olup dolayısıyla Teorem 2.1.1 ve (3.17) den istenen eşitsizlik elde edilir. Şimdi bu teoremin bir sonucunu verelim.

Sonuç 3.2.2: Eğer A∈

(

bvp, c₀

)

veya A∈

(

bvp,c

)

ise bu taktirde L_A kompakt

dönüşümünün olması için gerek ve yeter şart

0 lim (₍ ) _{, )} = ∞ ∞ → r bv r A p (3.18) olmasıdır. Ayrıca ∈

(

p, _∞

)

bv

A olsun. Eğer lim (₍ ) _{, )} =0

∞ ∞ → r bv r A p ise bu durumda LA kompakttır. İspat: (Yeterlilik). A∈

(

bvp, c₀

)

ve p (r) (bv , ) r lim A 0 ∞

→∞ = olsun. Bu durumda Teorem

3.2.1 (a) şıkkı nedeniyle p (r) A _r (bv , ) L lim A 0 ∞ χ = _→∞ =

elde edilir. Şu halde Sonuç 3.1.6 (a) şıkkından LA kompakttır.

(Gereklilik). LA kompakt ise aynı teorem ve sonuçtan

0 lim (₍ ) _{, )} = ∞ ∞ → r bv r A p elde edilir. Eğer ∈

(

p, _∞

)

bv

A ise benzer olarak L_A nın kompakt olduğu görülür.

Dikkat edelim ki, ∈

(

p, _∞

)

bv

0 lim (₍ ) _{, )} = ∞ ∞ → r bv r A p

yeter şart olup fakat gerek şart değildir. Bunu görmek için aşağıdaki örneği inceleyelim.

Örnek 3.2.3 n 0,1,...= için (0) n

A =e biçiminde tanımlanan A=

( )

a_nk matrisini göz önüne alalım. Bu durumda ∀ için n

1 q _q nj k 0 j k a ∞ ∞ = = ⎧ ⎫ ⎪ _{⎪ =} ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩

∑ ∑

⎭ q q q ₁ q nj nj nj j 0 j 1 j 2 a a a ... 1 ∞ ∞ ∞ = = = ⎛ ⎞ ⎜ + + + ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝

∑

∑

∑

⎠ olduğundan ∞ < = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∑ ∑

∞ = ∞ = 1 sup 1 0 q k q k j nj n a bulunur ve ayrıca ∞ < = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∑

∞ = 0 sup 1 1 q q k j nj q k a k

elde edilir. Şu halde Teorem 2.2.1 (a) şıkkından dolayı _A

(

_{bv ,}p

)

∞ ∈ dur. Ayrıca n∀ için 1 sup sup 0 1 0 ) ( ) , ( = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑ ∑

∞ = > ∞ = ∞ = > ∞ j nj r n q k q k j nj r n r bv a a A p olduğundan 0 1 lim (₍ ) _{, )} = > ∞ ∞ ← r bv r A p dır. Buna rağmen p bv x∈ ∀ için

0 A nk k n 0 0 0 k o 1 L (x) A(x) ∞ a x (a x ) (x ) x e = = =

∑

= = = dönüşümü kompakttır.

Teorem 3.2.4.: A sonsuz matris,

) 1 ( , 1 − = ∞ < < p p q

p ve r pozitif tamsayı olsun.

Ayrıca { } p 1 o 1 q _q (r) nj (bv , ) N / 0,1,...,r _{k 0 n N j k} Nsonlu A sup ∞ ∞ a ⊂Ν = ∈ = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ = _{⎜ ⎟} ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝

∑ ∑ ∑

⎠ alalım. Eğer

(

p, ₁

)

bv A∈ ise bu taktirde (r) (r) lim A _p L_A 4. lim A _p r (bv , ) r (bv , ) 1 1 ≤ ≤ χ → ∞ → ∞ (3.19) dır. İspat: ∀ =

( )

∞₀∈ ₁ = k k x x dizisinin

∑

∞ = = 0 ) ( k k ke x

x biçiminde tek bir gösterimi vardır.

Şimdi r 0,1,...= için Pr : ₁→ ₁ dönüşümünü P (x)r =

(

x , x ,..., x ,0,0,...0 1 r

)

biçiminde

tanımlayalım. Bu durumda

(

)

1 1 1 r 1 r r n x x k k 0 k k r 1 x k n 0 0,0,...,0, x ,... (I P )(x) I P sup sup x _x x sup 1 x + ∈ ∈ = ∞ = + ∞ ∈ = − − = = = ≤

∑

∑

∑

r (I P )(x) 1 x − =

olduğuna göre I P− _r =1 bulunur. Buradan Teorem 3.1.5 nedeniyle

( r ) p ( bv , )1 r A r _{x Q} A lim sup (I P )(x) (Q) L _χ →∞ ∈ − = χ = olur. p 1 (r) r (bv , ) x Q sup (I P )(x) A

∈ − = olduğu göz önüne alınırsa (3.19) elde edilir.

(3.19) eşitsizliği nedeniyle aşağıdaki sonuç verilebilir.

Sonuç 3.2.5: A matrisi Teorem 3.2.4 şartlarını sağlasın ve

(

p, ₁

)

bv

A∈ olsun. Bu

taktirde

A

L nın kompakt olması için gerek ve yeter şart =

∞ ∞ → ) ( ) , ( lim r bv r A p 0 olmasıdır.

Teorem 3.2.6: A sonsuz matris,

) 1 ( , 1 − = ∞ < < p p q

p ve r pozitif tamsayı olsun.

Ayrıca { } sonlu N r N r bv bv o p A ..., , 1 , 0 / ) ( ) , ( = _⊂Νsup q k q N n j k j n nj a a 1 0 , 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

∑ ∑ ∑

∞ = ∈ ∞ = − diyelim. Bu taktirde

(

bv bv

)

A∈ p, olduğunda ) ( ) , ( ) ( ) , ( 4.lim lim r bv bv r A r bv bv r←∞ A p ≤ L χ ≤ ←∞ A p (3.20) İspat: ₍bk _{)k ,}bv 0 ) ( ∞

= nin Schauder bazı olsun. Bu durumda her x∈bv için

(

)

∑

∞ = − − = 0 ) ( 1 k k k k x b x x , dir.

tek türlü yazılabilir. Eğer P_r :bv→bv dönüşümü

(

)

r (k) r k k 1 k 0 P (x) x x ₋ b = =

∑

− ile tanımlarsak

(

) (

)

(

)

1 (0) (1) (r) r r 0 1 1 0 r r 1 x 0 r.yer 0 0 1 0 1 0 r r 1 r r 1 0 1 r 1 r r P (x) (I P )(x) (x x )b (x x )b ... (x x )b x , x ,... 0, x x , x x ,... ... 0,...,0, x x , x x ,... x , x , ... , x , x , x ,... − − − = − − − = − = − + − + + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + − − + + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = olacağından r r r 1 r r 2 r (I P )(x) x P (x)− = − =⎛_⎜0,0,...,0, x ₊ −x , x ₊ −x ,...⎞_⎟ ⎝ ⎠

yazılabilir. Böylece Teorem 3.2.4 ve Teorem 3.1.5 göz önüne alınarak (3.20) eşitsizliği elde edilir.

Teorem 3.2.6 ve Sonuç 3.1.6’dan aşağıdaki sonuç verilebilir.

Sonuç 3.2.7: A matrisi Teorem 3.2.6 daki şartları sağlasın ve A∈

(

bvp,bv

)

olsun.

Bu taktirde

A

L nın kompakt olması için gerek ve yeter koşul =

∞ → ) ( ) , ( lim r bv bv r A p 0 olmasıdır.

KAYNAKLAR

Akhmerov, R. R., (1992) Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Operator Theory: Advances and Applications, 55 Birkhauser Verlag, Basel

Banás, J., Goebl, K., (1980) Measures of Noncompactness in Banach Spaces, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 60, Marcel Dekker, New York and Basel Jarrah, A. M., (1998) BK Spaces, Bases and Linear Operators, Rend. Circ. Mat.

Palermo II, 52: 177-191

Kreyszig, E. (1989) Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley &

Sons Inc, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 688s

Maddox, I.J. (1970) Elements of Functional Analysis. Cambridge University Pres, 208s Malkowsky, E., Rakočević, V., (1998) The Measures of Noncompactness of Linear

Operators Between Certain Sequence Spaces, Acta Sci. Math (Szeged), 64: 151-170 Malkowsky, E., Rakočević, V., Žıvković, S., (2002) Matrix Transformations

BetweenThe Sequence Space BVp

and Certain BK Spaces, Bulletin, Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles, Sciences Mathématiques Naturelles/ Sciences Mathematiques Vol. CXXIII27: 33-46

Malkowsky, E., Rakočević, V.,(2000) An Introduction into TheTheory of Sequence Spaces and Measures of Noncompactness, Zbornik radova9: 7, Matematički Institut

SANU, Belgrade 143-234

Malkowsky, E.,(1987) Klassen von Matrix Abbildungen in Paranormierten

FR-Räumen, Analysis7: 275-292

Malkowsky, E.,(2002) Linear Operators Between Some Matrix Domains, Rend. Circ.

Mat. Palermo II, 68: 641-655

Stieglitz, M., Tiesz H., (1977) Matrixtransformationen von Folgenraumen Eine Ergebnisübersicht, Math. Z., 154, 1-16.

Şuhubi, E.S., (2001) Fonsiyonel Analiz, İstanbul Teknik Üniversitesi Vakfı No:38, s638

Wilansky, A., (1964) Functional Analysis, Blaisdell Publishing Company, New York, s291

Wilansky, A., (1984) Summability Through Functional Analysis, Nort-Holland

ÖZGEÇMİŞ

Ebru MUTLU 1978 yılında Burdur’da doğdu. İlkokulu Uşak Mehmetçik İlkokulunda, ortaokulu Uşak Besim Atalay Ortaokulu ve lise öğretimini ise Uşak Lisesi’nde tamamladıktan sonra 1999 yılında Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünden mezun oldu.

Bir yıl özel bir dershanede çalıştıktan sonra, dört yıl özel bir bankada çalıştı. 2004 yılından itibaren Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Sınıf Öğretmenliği Bölümünde Öğretim Görevlisi olarak çalışmaktadır.

2006 yılında Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Yüksek Lisans programına başladı. Halen Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Sınıf Öğretmenliği Bölümünde Öğretim Görevlisi olarak çalışmaktadır.