Lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümlerinin periyodu ve sistemin denge noktaları

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMLERİNİN PERİYODU

VE SİSTEMİN DENGE NOKTALARI Esra HANEDAR

YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

Ağustos-2014 KONYA

TEZİ olarak kabul edilmiştir.

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Esra HANEDAR 26-08-2014

iv

ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMİNİN

ÇÖZÜMLERİNİN PERİYODU VE SİSTEMİN DENGE NOKTALARI

Esra HANEDAR

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd.Doç.Dr.Kemal USLUI 2014, 35 Sayfa

Jüri

Yrd.Doç.Dr. Kemal USLU Yrd.Doç.Dr. Turgay ÜSTÜNER

Yrd.Doç.Dr. Ş.Burcu BOZKURT ALTINDAĞ

Bu tez çalışmasında, lineer olmayan fark denklem sistemleri araştırılmış ve bu sistemlerin çözümleri başlangıç şartları göz önüne alınarak elde edilmiştir. Ayrıca bu sistemlerin çözümlerinin periyotları incelenmiş ve göz önüne alınan sistemlerin farklı periyotlara sahip olduğu bulunmuştur.

Anahtar Kelimeler:Fark denklem sistemleri, Sistemin çözümünün periyodu, Sistemin

v

ABSTRACT

MS THESIS

THE PERIOD OF SOLUTIONS OF NON-LINEAR

DIFFERENCE EQUATION SYSTEM AND EQUILIBRIUM POINTS OF THIS SYSTEM

Esra HANEDAR

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCEOF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE / DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MECHANICAL ENGINEERING

Advisor: Asst.Prof.Dr. Kemal USLU 2014, 35Pages

Jury

Asst.Prof.Dr. Kemal USLU Asst.Prof.Dr.Turgay ÜSTÜNER

Asst.Prof.Dr. Ş.Burcu BOZKURT ALTINDAĞ

In this thesis, non-linear difference equations were investigated and the solutions werre obtained by initial conditions. Also the period of solutions of this system have been studied and in view of the systems have been found to have different periods.

Keywords: The system of the difference equations, The period of solution of the

vi

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Yüksek Lisans çalışmamı yönetmeyi kabul ederek bana yol gösteren saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU’ya en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Esra HANEDAR KONYA-2014

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ...v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii 1. GİRİŞ ...1

2.FARK DENKLEM SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ LİTERATÜR ÖZETİ ...2

3. FARK DENKLEMLERİ ...7

3.1. Lineer Fark Denklemleri ...8

3.2. Fark Denklemleri İçin Genel Tanımlar ve Teoremler ...8

4. LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMLERİNİN PERİYODU ... 13 4.1. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n n y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z             FARK DENKLEM SİSTEMİ ... 13 4.2. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                  FARK DENKLEM SİSTEMİ ... 17

4.3. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 1 y 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                  FARK DENKLEM SİSTEMİ ... 23

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 31

5.1. Sonuçlar ... 31

5.2. Öneriler ... 31

1 1. GİRİŞ Bu tezde; n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n n y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z             ,n 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                  , n 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 1 y 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                  , n 0 fark denklem sistemlerinin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

2

2.FARK DENKLEM SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ LİTERATÜR ÖZETİ

Öncelikle fark denklem sistemlerinin çözümleri ve çözümlerinin periyotlarıile ilgili literatürde son yıllarda yapılmış olan bazı çalışmaları özetleyelim:

Henson ve ark. (1999)çalışmalarında,

( ) 1 ea t el t c A c L t t L_ bAe  1 (1 ) t l t P   L ( ) 1 (1 ) pa t c A t t a t A Pe   A

otonom fark denklem modelinin dinamiğini incelemişlerdir.

Schinas (1997) çalışmasında, 1 1 1 n n n x x x   

 Lyness fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğinden ve

denklem sabitinden hareketle,

1 1 1 1 , , 0 n n n n n n ay A bx A x y n x y          1 1 1 1 , , 0 n n n n n n n n a y A b x A x y n x y         









1 1 1 1 max , max , , , 0 n n n n n n n n a y A b x A x y n x y       

denklem sistemleri ve rasyonel formdaki benzer bazı fark denklemlerinin, fark denklem sistemlerinin ve maksimumlu fark denklem sistemlerinin denklem sabitlerini ve çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Çalışma sonucunda, çeşitli fark denklemlerinin ve fark denklem sistemlerinin denge noktalarını, denklemlerin katsayılarının sabit olması veya periyodik birer dizi olması gibi durumlarda katsayılara ve denklemin genel terimlerine bağlı olarak elde etmiştir.

Grove ve ark. (2001) çalışmalarında,

1 n n n a b x x y    , n 1 n n c d y x y   

3

rasyonel fark sisteminin çözümlerinin davranışı ve varlığı üzerinde çalışmışlardır. Çınar (2004) çalışmalarında, 1 1 1 1 1 , n n n n n n y x y y x y      

fark denklem sisteminin çözümlerinin dört periyotlu olduğunu elde etmiştir.

Grove ve ark. (2001) çalışmalarında,

a , b, c ve d reel sayılar ve başlangıç şartları x ve ₀ y keyfi reel sayılar ₀

olmak üzere, _{n 1} n n a b x x y    , n 1 n n c d y x y    , n 1, 2,...

fark denklem sisteminin, her n0 için iyi tanımlı olduğu ( ,x y _{0 0}) ℝℝ değerlerinin kümesini ve çözümlerinin davranışlarını araştırdılar. Bu fark denklem sisteminde, n n n x z y

 dönüşümü yaparak Riccati fark denklemine ulaştılar ve bu

denklemin karakteristik denkleminin çözümlerinden hareketle a , b, c ve dreel sayıları için şartlar elde ettiler. Çalışmanın sonunda denklemin çözümleri hakkında bazı şartlar altında genellemeler elde ettiler.

Çınar ve Yalçınkaya (2004) çalışmalarında,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , n n n n n n n x y z z x y x         

fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelediler.

_{ }

x_n ve

_{ }

z_n çözümlerinin üç periyotlu,

_{ }

y_n çözümlerinin ise on iki periyotlu olduğunu ispat ettiler.

Camouzis ve Papaschinopoulos (2004) çalışmalarında,

1 1 , 1 1 , 0 n n n n n m n m x y x y n y x         

4

Şimşek ve ark. (2009) çalışmalarında,

1 max , n n n n y A x x x     _{ }   , ₁ max , n n n n x A y y y     _{ }   , n 0

fark denklem sisteminin çözümlerini incelemişlerdir.

Taşkara N., Uslu K. Ve Tollu D.T (2001) çalışmalarında,

( 1) 1 ( 1) n n n k n n n k p x x x q x         , k ℕ, 1, ,... k k

x_{ } x_ ℝ başlangıç şartları olmak üzere fark denkleminin periyodikliği ve genelleştirilmiş çözümü için gerek ve yeter şartları incelemiştir. Ayrıca, genel çözümün (k 1)periyotlu olduğunu göstermişlerdir.

Özban (2006) çalışmasında, 1 1 , 1 1 , 0 n n n n n k n m n m k x y x y n y x y           

fark denklem sisteminin bütün pozitif çözümlerinin periyodikliğini araştırmış ve ispat etmiştir.

Henson ve ark. (1999) çalışmalarında,

t a A c t t t l t L c A c t t A e P A L P e bA L t pa t el t ea ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 1 ) ( 1              

otonom fark denklem sisteminin dinamiğini incelemişlerdir.

Briggs ve Hoopes (2004) yaptıkları çalışmada,

( )

( ) apt

t

f p e (Nicholson-Bailey fonksiyonu, Nicholson ve Bailey, 1935)

( ) 1 k t t ap f p k    _  _

  (Negatif-Binomiyel fonksiyonu, Mayıs 1978)  1  ( ) ( ) m t a p t f p e  

5 parazitizim fonksiyonları olmak üzere,





1 1 ( ) 1 ( ) t t t t t t H H f p p cH f p      

konak-parazitoit (Host-Parasitioid) modelleri üzerine literatür eleştirisi yapmışlardır.

Elaydi ve Sacker (2006) Bu çalışmada,

1 ( 1) n n n Kx x K x       , x  , 0 0 K 0

Beverton-Holt denklemleri gibi otonom olmayan fark denklemleri üzerinde zaman faktörünü ele alan bir metot geliştirmişlerdir. Bu metot, Beverton-Holt denklemleri ile ilişkili Henson ve Cushing varsayımlarını kanıtlamak için uygulanmıştır.

Deghan, Nasri, Douraki (2005) Bu çalışmada ilk olarak,

1 1 _n n n x x b cz     1 1 n n n n y _ dy ex z_ 1 1 n n n z _  fz y _

fark denklem sistemini, sürekli HIV enfeksiyon modelinin eş fark denklem modeli olarak elde etmişlerdir. Daha sonra, fark denklem sisteminin dengesinin global ve lokal asimptotik kararlılığı, sınırlılığı, kararlılık ve dallanma olayları araştırılmıştır.

Buchanan R.J. (2005) yapmış olduğu çalışmada,

1 1 t t u r av K t t u u e           1 (1 ) t av t t v_ u e

fark denklem sisteminin dinamiğini incelemiştir.

6 1  1 n n r x ay n n x _ x e   1  1 1 n n r x ay n n y  x _ e _e 

fark denklem sistemini, belli bir bitki-otçul etkileşimini çalışmak için modellemişlerdir. Elde edilen iki boyutlu fark denklem modelinde durum değişkenleri olarak yaprak ve otçul biyokütlesi kullanmışlardır.

Kang,Chesson (2010) Bu çalışmada, 1 ( , ) t t t t x_ x f x y 1 ( , ) t t t t y_  y g x y

fark denklem sisteminin non-lineerliliğe ilişkin kavramlarını geliştirmişler ve bu kavramları popülasyon dalgalanmalarında türlerin uzun sürede ve düşük yoğunluktaki büyüme oranı etkisinin nasıl olacağını göstermek için kullanılmıştır.

Kang ve Armbruster (2010) Bu çalışmada,

1 1 ( ) 1 t t aH t t aH t t P F P e H P e         _  _ ve 1 1 ( ) ( ) 1 t t aH t t aH t t P F P e H F P e         _  _

genel bitki-otçul etkileşim modellerini incelemişler ve genel bitki-otçul modellerinin dinamikleri üzerinde monoton bitki büyüme fonksiyonlarının etkisini çalışmışlardır.

Kang ve Armbruster (2011) Bu çalışmada,

(1 ) (1 ) 1 I I n n r P a l H I I n n P_ P e    (1 ) (1 ) 1 1 I I n n r P a l H I I n n H _ P e   e    

bitki- böcek fark zaman model çiftini çalışmışlar ve bu modelin popülasyon dinamiğindeki hem lokal hem de global yayılım etkisinin nasıl yoğunluklarda olduğunu göstermişlerdir.

7

3. FARK DENKLEMLERİ

Bu kısımda fark denklemleri ile ilgili literatürde iyi bilinen bazı genel tanımlar verilecek ve hatırlatılacaktır.

Tanım 3.1.n ℕ bağımsız değişken ve x bilinmeyen fonksiyon olmak

üzere,

( , ( ), ( 1),..., ( )) 0

F n x n x n x nk  _(3.1) eşitliğine fark denklemi adı verilir.

Tanım 3.2.Bir fark denkleminde bilinmeyen fonksiyonun mevcut en büyük

ve en küçük argümentlerinin farkına o denklemin mertebesi adı verilir.

Tanım 3.3.a n a n₁( ), ₂( ),...,a n katsayıları ile _k( ) g n( ), nn₀ için tanımlı reel değerli fonksiyonlar ve [ , )n₀  

_

n n₀, ₀1,n₀2,...

_

üzerinde a n  olmak üzere _k( ) 0

1

( ) ( ) ( 1) ... _k( ) ( ) ( )

x n k a n x n k   a n x n g n (3.2)

biçimindeki bir denkleme knıncı basamaktan lineer fark denklemi denir.

Bu denklem, g n ( ) 0 olduğu zaman homogen, aksi durumda homogen olmayan

lineer fark denklemi olarak adlandırılır. Buna göre knıncı basamaktan bir lineer

homogen fark denklemi genel olarak

1

( ) ( ) ( 1) ... _k( ) ( ) 0

x n k a n x n k   a n x n 

(3.3)

şeklinde ifade edilir. Ayrıca, bütün a n katsayıları _i( ) a n_i( )a_i şeklinde sabitse, (3.2) denklemine sabit katsayılı, aksi halde değişken katsayılı fark denklemi denir.

Tanım 3.4. f n f n₁( ), ₂( ),..., f n fonksiyonları _r( ) nn₀ için tanımlı olmak üzere, her nn₀ için,

1 1( ) 2 2( ) ... r r( ) 0

c f n c f n  c f n  (3.4)

olacak biçimde hepsi birden sıfır olmayan c c₁, ,...,₂ c sabitleri var ise, bu _r

8

(3.4) eşitliği her nn₀için sadece ve sadece c₁ c₂ ...c_r  durumunda 0 sağlanıyorsa,

_

f n₁( ), f n₂( ),...,f n_r( )

_

cümlesine [ , )n  üzerinde lineer bağımsızdır ₀

denir.

3.1. Lineer Fark Denklemleri

Tanım 3.1.1. Bir fark denkleminde bağımlı değişken birinci dereceden ise

bu denkleme Lineer Fark Denklemi denir. Genel olarak lineer fark denklemleri,

1 1 ... 0 ( )

n k k n k n

y _ a _ y _{ }  a y F n

şeklinde gösterilir.

Lineer fark denklemleri katsayılarının durumuna göre isimlendirilirler.  Eğer F n ( ) 0 ise denkleme Lineer Homojen Fark Denklemi denir.

 a a a₀, ,_{1 2},...,a katsayıları sabit iseler, denkleme Sabit Katsayılı Lineer _k

Fark Denklemi denir.

 a a a₀, ,_{1 2},...,a katsayıları bağımsız değişkenin fonksiyonları iseler _k

denkleme Değişken Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir.

3.2. Fark Denklemleri İçin Genel Tanımlar ve Teoremler

Teorem 3.2.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere,

:

f I I I sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her

1, 0

x_ x  başlangıç şartları için I

1 ( , 1) 0

n n n

x _  f x x _ n (3.2.1)

denklemi bir tek

_{ }

1

n _n

x _ çözümüne sahiptir.

Tanım 3.2.1.Eğerx noktası için f x x( , )x ise x ’e f ’nin denge noktası denir. Eğer  n 0 için x x_n ise o zaman x ’e f ’nin sabit noktası denir.

Tanım 3.2.2.Eğer  n 0için x_1,x₀ iken J x_n olacak şekilde bir J

9

Tanım 3.2.3.x (3.2.1) denkleminin denge noktası olmak üzere,

 Eğer x_1,x₀ olmak üzere, her J  0 için, x₀x  x₁x  iken her

0

n  için, x_nx  olacak şekilde bir  0 sayısı varsa, x denge noktası kararlıdır denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve x1,x0 iken J lim n

nx  x olacak

şekilde, x₀x  x₁x  şartını sağlayan  0 sayısı varsa, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

 Eğer her x_1,x₀ iken J lim _n

nx x ise, x denge noktasına çekim noktası

denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise, x denge noktası global asimptotik kararlıdır denir.

 Eğer x denge noktası kararlı değil ise, kararsızdır denir.

 Eğer x_1,x₀ iken J x₀ x  x₁x  ve bazı N  1 sayıları

için x_N x r olacak şekilde bir r 0 sayısı varsa, x denge noktasına repeller

denir.

Tanım 3.2.4. Eğer

_{ }

x_n dizisi için x_{n p} x_n ise,

_{ }

x_n dizisi p periyotludur

denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 3.2.5. Eğer

_{ }

x_n dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için x_{n p} x_n ise,

_{ }

x_n dizisine er geç

p periyotludur denir ve p sayısı bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 3.2.6. (3.2.1) denkleminde, f x x( ,_{n n1}) fonksiyonunu f u v( , ) şeklinde alalım: ( , )x f r u x    ve ( , )x f s v x    olmak üzere,

10

1 1

n n n

y _ ry sy_ (3.2.2)

denklemi elde edilir. Bu denkleme (3.2.1) denkleminin x denge noktası

civarındaki lineer denklemi adı verilir.

(3.2.2) denkleminin karakteristik denklemi ise,

2

r s

   (3.2.3) dır.

Teorem 3.2.2.(Lineer Kararlılık Teoremi)

Eğer (3.2.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise,

x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

 Eğer (3.2.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şart r   1 s 2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası

lokal asimptotik kararlıdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’ den büyük olması için gerek ve yeter şartlar s 1 ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x

denge noktası repellerdir.

 Her x_1,x₀ için eğer I lim _n

nx x

ise; o zaman x denge noktası global

çekimlidir denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve global çekimli ise x ’e global asimptotik

kararlıdır denir.

 (3.2.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar 2

4 0

r  s

ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır (Chatterjee ve ark.

11

Aşağıdaki lineer olmayan fark denklem sistemleri ile ilgili çalışmalar Nasri ve ark. (2005) nın yapmış oldukları çalışmalaardan alınmıştır.

1 1 1 2 1 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n n n n n n n n x f x y z y f x y z z f x y z       (3.2.4)

Tanım 3.2.7. Eğer x y z, , aşağıdaki şartları sağlarsa, ( , , )x y z  I₁ I₂I₃

noktasını (3.2.4) denklem sisteminin denge noktası olarak adlandırılır.

1 2 3 ( , , ) , , , ( ) ( , ) x x y z y x y z z x f f f y z    (3.2.5)

Tanım 3.2.8.  0 için ( ,x₀ y₀,z₀) ( , , ) x y z  iken

1 2 3 0 0 0 (( ,x y z, ) I I I ) 0 n   için ( ,x y_{n n},z_n) ( , , ) x y z 

olacak şekilde  0 mevcut ise (3.2.4) sisteminin denge noktası olan ( , , )x y z kararlıdır denir. Aksi halde ise kararsızdır.

Tanım 3.2.9. Eğer sistemin denge noktası kararlı ve

1 0 3 0 0 2 ( ,x y z, ) I I I   için 0 0 0 ( ,x y ,z ) ( , , ) x y z 

olacak şekilde  0 varsa ve lim ( n, n, n) ( , , ) 0

x x y z  x y z 

ise (3.2.4) sisteminin denge noktası asimptotik kararlıdır.

Tanım 3.2.10. Eğer sistemin denge noktası kararlı ve

1 0 3 0 0 2 ( ,x y z, ) I I I   için lim ( n, n, n) ( , , ) 0 x x y z  x y z 

ise (3.2.4)sisteminin denge noktası olan ( , , )x y z global asimptotik kararlıdır denir.

12

Teorem 3.2.3. (3.2.4) denklem sisteminin ( , , )x y z denge noktasında jakobiyen matrisi 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 3 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) , , ( ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z df df df dx dy dz df df df x y z dx dy dz df df df dx dy dz J                          _{     }                        

olup, bu jakobiyen matrisinin karakteristik polinomu





( ) det ( , , ) 0

P   J x y z I 

ile verilsin.

Bu polinomda aşağıdaki eşitlikler doğrudur;

 P( ) nın bütün kökleri 1 den küçükse denge noktası ( , , )x y z kararlıdır.

 P( ) nın köklerinden en az biri 1 den büyükse denge noktası ( , , )x y z

13

4.LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMİNİN

ÇÖZÜMLERİNİN PERİYODU 4.1. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n n y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z             _FARK DENKLEM SİSTEMİ Bu bölümde,

 

0 1 0 0 1 0 0 0 x , y , y , z , z , t_{ }  0 ve x z (4.1.1) olmak üzere, n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n n 1 y 1 1 1 x , y , z , t , n 0 t y .z z t x z              (4.1.2)

lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

Teorem 4.1.1.x , y , y , z , z , t_{0 1 0 0 1 0}

_{ }

0 ve x₀ z₀ olmak üzere, (4.1.2) denklem sisteminin çözümü

_

x , y , z , t_{n n n n}

_

olsun. Bu durumda (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri on periyotludur.

İspat: (4.1.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde

edilir. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n n y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z             n n 1 n 2 n n n n 2 n n 2 n n n 2 n 1 y .z x x z y , y t , z x z , t y              n 1 n 1 n 3 n 3 n 3 n 3 n 1 n n n n n 1 n y 1 1 y 1 x , y , z , t y .z z x z y .z y                n n 1 n 4 n n n 4 n 4 n n 4 n n 1 y .z x y t , y , z y , t z y            n 5 n 5 n 5 n 5 n n n n n n 1 1 1 1 1 x , y , z , t z x z y z t           n n 1 n 6 n n 6 n n 6 n n 6 n n n 1 y .z x t , y z , z t , t x z y            

14 n 1 n 7 n 7 n 7 n 7 n n n n n n n n 1 y 1 1 1 1 x , y , z , t x z y t x z y .z              n n 1 n n 1 n 8 n n 8 n n n 8 n 8 n n 1 n 1 y .z y .z x z , y x z , z , t y y y               n 1 n 9 n 9 n 9 n 9 n n n n 1 n n y 1 1 1 1 x , y , z , t y t y .z y z            n 10 n n 10 n n 10 n n 10 n x _ x , y _ y , z _ z , t _ t Teorem 4.1.2. x , y , y , z , z , t0 1 0 0 1 0

 

0 ve x0 z0, 0 1 0 0 1 0

x p, y_ q, y r, z s, z_ u, t vbaşlangıç şartları altında (4.1.2) denklem sisteminin çözümleri

_

x , y , z , t_{n n n n}

_

olsun. Bu durumda, n0 için (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

10 n 1 10 n 1 10 n 1 10 n 1 1 q 1 1 1 x , y , z , t v r.u s v p s           10 n 2 10 n 2 10n 2 10 n 2 r.u x p s r, y v, z p s, t q            10 n 3 10 n 3 10n 3 10 n 3 q 1 1 q 1 x , y , z , t r.u s p s r.u r           10n 4 10 n 4 10n 4 10 n 4 r.u x r v, y , z r, t s q          10 n 5 10n 5 10 n 5 10 n 5 1 1 1 1 1 x , y , z , t s p s r s v           10 n 6 10 n 6 10 n 6 10n 6 r.u x v , y s, z v, t p s q           10 n 7 10n 7 10 n 7 10n 7 1 1 1 1 q x , y , z , t p s r v p s r.u            10 n 8 10n 8 10 n 8 10 n 8 r.u r.u x s , y p s, z , t r q q          

15 10n 9 10n 9 10n 9 10n 9 1 1 q 1 1 x , y , z , t r v r.u r s          10n 10 10n 10 10n 10 10n 10 x _ p, y _ r, z _ s, t _ v şeklindedir.

İspat: n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu yani yukarıda verilen eşitliklerin sağlandığını varsayalım ve

_

n 1

_

için doğruluğunu gösterelim.

10n 9 10n 11 10n 11 10n 10 10n 10 10n 9 10n 10 y 1 1 q 1 1 x , y , t y .z v r.u z s              10n 11 10n 10 1 z t    1 v  , _{10n 11} 10n 10 10n 10 1 1 t x z p s        10n 12 10n 10 10n 10 10n 10 10n 12 10n 10 x _ x _ z _ y _ p s r, y _ t _ v 10n 12 10n 10 10n 10 z _ x _ z _ = p s , 10n 10 10n 9 10n 12 10n 9 y .z r.u t y q       10n 9 10n 13 10n 13 10n 10 10n 9 10n 10 10n 10 10n 10 y 1 q 1 1 1 x , y y .z z r.u s x z p s                 10n 9 10n 13 10n 13 10n 10 10n 9 10n 10 y q 1 1 z , t y .z r.u y r           10n 10 10n 9 10n 14 10n 10 10n 10 10n 14 10n 9 y .z r.u x y t r v, y y q              10n 14 10n 10 10n 14 10n 10 z _ y _ r, t _ z _  s 10n 15 10n 15 10n 10 10n 10 10n 10 10n 10 1 1 1 1 1 1 x , y z x z s p s y r               10n 15 10n 15 10n 10 10n 10 1 1 1 1 z , t z s t v        

16 10n 10 10n 9 10n 16 10n 10 10n 16 10n 10 10n 9 y .z r.u x t v , y z s y q              10n 16 10n 10 10n 16 10n 10 10n 10 z _ t _ v, t _ x _ z _   p s 10n 17 10n 17 10n 10 10n 10 10n 10 10n 10 1 1 1 1 1 1 x , y , x z y p s r t v               10n 17 10n 10 10n 10 1 1 z x z p s        , 10n 9 10n 17 10n 10 10n 9 y q t y .z r.u       10n 10 10n 9 10n 18 10n 10 10n 18 10n 10 10n 10 10n 9 y .z r.u x z s, y x z p s y q                 10n 10 10n 9 10n 18 10n 18 10n 10 10n 9 y .z r.u z , t y r y q           10n 9 10n 19 10n 19 10n 10 10n 10 10n 10 10n 9 y 1 1 1 1 q x , y y t r v y .z r.u              10n 19 10n 19 10n 10 10n 10 1 1 1 1 z , t y r z s         10n 20 10n 10 10n 20 10n 10 x _ x _ p, y _ y _  r 10n 20 10n 10 10n 20 10n 10 z _ z _ s, t _ t _ v

17 4.2. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                 

FARK DENKLEM SİSTEMİ

Bu bölümde;

 

1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 1 0 0 x , x , y , y , z , z , z , t , t_{    }  0 ve x_ z , x_ y (4.2.1) olmak üzere, n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 y 1 1 1 1 x , y , z , t n 0 t y.z z t x z                   (4.2.2)

lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

Teorem4.2.1.x , x , y , y , z , z , z , t , t_{1 0 1 0 2 1 0 1 0}

_{ }

0 ve x_1z , x_{1 0} y₀o lmak üzere, (4.2.2) denklem sisteminin çözümü

_

x , y , z , t_{n n n n}

_

olsun. Bu durumda (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri on altı periyotludur.

İspat: (4.2.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde

edilir. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 y 1 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                  n 2 n n 2 n 2 n 2 n n n n n 1 1 1 1 x y , y , z , t t z t x z           n n 2 n 3 n 1 n 1 n 3 n 1 n 3 n 1 n 1 n 3 n 1 n 1 y .z 1 x x z , y t , z x z , t z y                    n 4 n n n 4 n n 4 n n n 4 n n 1 1 x x z , y t , z x z , t z y            n 1 n 1 n 5 n 1 n 5 n 5 n 5 n 1 n n 2 n 1 n 1 n n 2 y 1 y x t , y , z , t z y .z x z y .z                   n 6 n n n 6 n 6 n n 6 n n n 1 x y t , y , z y , t z x z          

18 n n 2 n 7 n 7 n 7 n 7 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 y .z 1 1 1 1 x , y , z , t z x z y z t                  n 8 n 8 n 8 n 8 n n n n n n 1 1 1 1 1 x , y , z , t z x z y z t           n n 2 n 9 n 1 n 9 n 1 n 9 n 1 n 9 n 1 n 1 n 1 y .z x t , y z , z t , t x z y                  n 10 n n 10 n n 10 n n 10 n n n 1 x t , y z , z t , t x z y           n 1 n 11 n 1 n 11 n 11 n 11 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 2 y 1 1 1 x z , y , z , t x z t x z y .z                    n 12 n n 12 n 12 n 12 n n n n n n 1 1 1 x z , y , z , t y x z t x z            n n 2 n n 2 n 13 n 13 n 1 n 1 n 13 n 13 n 1 n 1 n 1 n 1 y .z 1 y .z 1 x , y x z , z , t y t y z                   n 14 n 14 n n n 14 n 14 n n n n 1 1 1 1 x , y x z , z , t y t y z           n 1 n 15 n 1 n 15 n 15 n 1 n 15 n 1 n n 2 y x x , y , z z , t t y .z              n 16 n n 16 n n 16 n n 16 n x _ x , y _ y , z _ z , t _ t şeklindedir. Teorem4.2.2.

 

1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 x , x , y , y , z , z , z , t , t_{    }  0 ve x_ z , x_ y , x_ a, 0 1 0 2 1 0 1 0 x b, y_ c, y d, z_ m, z_ n, z p, t_ q, t  başlangıç şartları r altında (4.2.2) denklem sisteminin çözümleri

_

x , y , z , t_{n n n n}

_

olsun. Bu durumdan0 için (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri,

16 n 1 16n 1 16 n 1 16 n 1 1 c 1 1 1 x , y , z , t q d.m n q a n          

19 16 n 2 16 n 2 16 n 2 16 n 2 1 1 1 1 x d, y , z , t r p r b p           16n 3 16n 3 16n 3 16n 3 1 d.m x a n , y q, z a n, t n c            16n 4 16n 4 16n 4 16n 4 1 1 x b p , y r, z b p, t p d            16n 5 16n 5 16n 5 16n 5 c 1 c x q, y , z , t n d.m a n d.m           16 n 6 16n 6 16n 6 16 n 6 1 x d r, y , z d, t p b p           16 n 7 16 n 7 16 n 7 16 n 7 1 1 d.m 1 1 x , y , z , t n a n c n q           16n 8 16 n 8 16 n 8 16n 8 1 1 1 1 1 x , y , z , t p b p d p r           16n 9 16n 9 16 9 16n 9 d.m x q , y n, z q, t a n c           16n 10 16n 10 16n 10 16n 10 1 x r , y p, z r, , t b p d           16n 11 16n 11 16 n 11 16 n 11 1 1 1 c x n, y , z , t a n q a n d.m            16 n 12 16 n 12 16 n 12 16 n 12 1 1 1 x p, y , z , t d b p r b p            16 n 13 16 n 13 16n 13 16 n 13 d.m 1 d.m 1 x , y a n, z , t c q c n           16n 14 16n 14 16n 14 16n 14 1 1 1 1 x , y b p, z , t d r d p           16n 15 16n 15 16n 15 16n 15 c x a, y , z n, t q d.m         16n 16 16n 16 16n 16 16n 16 x _ b, y _ d, z _ p, t _  r

10

1 1

n n n

y _ ry sy_ (3.2.2)

denklemi elde edilir. Bu denkleme (3.2.1) denkleminin x denge noktası

civarındaki lineer denklemi adı verilir.

(3.2.2) denkleminin karakteristik denklemi ise,

2

r s

   (3.2.3) dır.

Teorem 3.2.2.(Lineer Kararlılık Teoremi)

Eğer (3.2.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise,

x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

 Eğer (3.2.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şart r   1 s 2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası

lokal asimptotik kararlıdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’ den büyük olması için gerek ve yeter şartlar s 1 ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x

denge noktası repellerdir.

 Her x_1,x₀ için eğer I lim _n

nx x

ise; o zaman x denge noktası global

çekimlidir denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve global çekimli ise x ’e global asimptotik

kararlıdır denir.

 (3.2.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar 2

4 0

r  s

ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır (Chatterjee ve ark.

21 16n 16 16n 14 16n 23 16n 23 16n 15 16n 15 16n 15 16n 15 1 1 1 1 y .z d.m x , y z x z n a n y c                 16n 23 16n 23 16n 15 16n 15 1 1 1 1 z , t z n t q         16n 24 16n 24 16n 16 16n 16 16n 16 16n 16 1 1 1 1 1 1 x , y z x z p b p y d               16n 24 16n 24 16n 16 16n 16 1 1 1 1 z , t z p t r         16n 16 16n 14 16n 25 16n 15 16n 25 16n 15 16n 15 y .z d.m x t q , y z n y c              16n 25 16n 15 16n 25 16n 15 16n 15 z _ t _ q, t _ x _ z _  a n 16n 26 16n 16 16n 26 16n 16 16n 16 1 1 x t r , y z p y d            16n 26 16n 16 16n 26 16n 16 16n 16 z _ t _ r, t _ x _ z _ b p 16n 27 16n 15 16n 27 16n 15 16n 15 16n 15 1 1 1 1 x z n, y x z a n t q               16n 15 16n 27 16n 27 16n 15 16n 15 16n 16 16n 14 1 1 y c z , t x z a n y .z d.m              16n 28 16n 16 16n 28 16n 16 16n 16 16n 16 1 1 1 1 x z p, y x z b p t r               16n 28 16n 28 16n 16 16n 16 16n 16 1 1 z , t y d x z b p            16n 16 16n 14 16n 29 16n 29 16n 15 16n 15 16n 15 16n 15 y .z 1 d.m 1 x , y x z a n y t c q                 16n 16 16n 14 16n 29 16n 29 16n 15 16n 15 y .z d.m 1 1 z , t y c z n          

22 16n 30 16n 30 16n 16 16n 16 16n 16 16n 16 1 1 1 1 x , y x z b p y t d r               16n 30 16n 30 16n 16 16n 16 1 1 1 1 z , t y d z p         16n 15 16n 31 16n 15 16n 31 16n 16 16n 14 y c x x a, y y .z d.m           16n 31 16n 15 16n 31 16n 15 z _ z _ n, t _ t _ q 16n 32 16n 16 16n 32 16n 16 x _ x _ b, y _ y _ d 16n 32 16n 16 16n 32 16n 16 z _ z _ p, t _ t _  r

23 4.3. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 1 y 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                 

FARK DENKLEM SİSTEMİ

Bu bölümde,

 

2 1 0 1 0 3 2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 x , x , x , y , y , z , z , z , z , t , t , t_{       }  0 ve x_ z , x_{ } z ,_ 0 0 x z (4.3.1) olmak üzere, n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 y 1 1 1 1 x , y , z , t , n 0 t y .z z t x z                   (4.3.2) lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

Teorem 4.3.1.x , x , x , y , y , z , z , z , z , t , t , t_{2 1 0 1 0 3 2 1 0 2 1 0}

_{ }

0 x_2 z ,_2

1 1 0 0

x_ z , x_ z olmak üzere, (4.3.2) denklem sisteminin çözümü



x , y , z , tn n n n



olsun. Bu durumda (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri yirmi

iki periyotludur.

İspat: (4.3.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde

edilir. n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 1 y 1 1 1 x , y , z , t t y .z z t x z                  n 2 n n 2 n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 x y , y , z , t t z t x z                n 3 n 3 n 3 n 3 n n 2 n n n n 1 1 1 1 1 x , y , z , t t z z t x z            n n 3 n 4 n 2 n 2 n 4 n 2 n 4 n 2 n 2 n 4 n 1 n 1 y .z 1 x x z , y t , z x z , t z y                   

24 n 5 n 1 n 1 n 5 n 1 n 5 n 1 n 1 n 5 n n 1 1 x x z , y t , z x z , t z y                 n 6 n n n 2 n 6 n n 6 n n n 6 n 2 x _ x z t _ , y _ t , z _ x z , t _ z _ n 1 n 1 n 7 n 1 n 7 n 7 n 7 n 1 n n 3 n 2 n 2 n n 3 y 1 y x t , y , z , t z y .z x z y .z                   n 8 n n n 8 n 8 n n 8 n n 1 n 1 1 x y t , y , z y , t z x z             n 9 n 9 n 9 n 9 n 2 n 2 n 2 n n n 2 n 2 1 1 1 1 1 x , y , z , t z x z x z z t                 n n 3 n 10 n 10 n 10 n 10 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 y .z 1 1 1 1 x , y , z , t z x z y z t                  n 11 n 11 n 11 n 11 n n n n n n 1 1 1 1 1 x , y , z , t z x z y z t           n n 3 n 12 n 2 n 12 n 2 n 12 n 2 n 12 n 2 n 2 n 1 y .z x t , y z , z t , t x z y                  n 13 n 1 n 13 n 1 n 13 n 1 n 13 n 1 n 1 n 1 x t , y z , z t , t x z y                n 14 n n 2 n 14 n n 14 n n 14 n n x _ t z _ , y _ z , z _ t , t _ x z n 1 n 15 n 1 n 15 n 15 n 15 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n n 3 y 1 1 1 x z , y , z , t x z t x z y .z                    n 16 n n 16 n 16 n 16 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 x z , y , z , t y x z t x z                 n 17 n 17 n 17 n 17 n n n 2 n n n n 2 1 1 1 1 1 x , y , z , t x z t t x z z              n n 3 n n 3 n 18 n 18 n 2 n 2 n 18 n 18 n 1 n 1 n 1 n 1 y .z 1 y .z 1 x , y x z , z , t y t y z                  

25 n 19 n 19 n 1 n 1 n 19 n 19 n n n n 1 1 1 1 x , y x z , z , t y t y z             n 20 n 2 n 20 n n n 20 n 2 n 20 n 2 x _ x _ , y _ x z , z _ z _ , t _ t _ n 1 n 21 n 1 n 21 n 21 n 1 n 21 n 1 n n 3 y x x , y , z z , t t y .z              n 22 n n 22 n n 22 n n 22 n x _ x , y _ y , z _ z , t _ t Teorem4.3.2.

 

2 1 0 1 0 3 2 1 0 2 1 0 2 2 x , x , x , y , y , z , z , z , z , t , t , t_{       }  0 ve x_ z_ , 1 1 0 0 2 1 0 1 0 3 2 x_ z , x_ z , x_ a, x_ b, x c, y_ d, y e, z_ m, z_ n, 1 0 2 1 0

z_ p, z q, t_ r, t_ s, t ubaşlangıç şartları altında (4.3.2) denklem sisteminin çözümleri

_

x , y , z , t_{n n n n}

_

olsun. Bu durumda n0 için (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

22n 1 22n 1 22n 1 22n 1 1 d 1 1 1 x , y , z , t r e.m n r a n           22n 2 22n 2 22n 2 22 n 2 1 1 1 1 x e, y , z , t s p s b p           22 n 3 22n 3 22 n 3 22n 3 1 1 1 1 1 x , y , z , t u n q u c q           22 n 4 22n 4 22 n 4 22 n 4 1 e.m x a n , y r, z a n, t p d            22 n 5 22 n 5 22n 5 22n 5 1 1 x b p , y s, z b p, t q e            22n 6 22n 6 22n 6 22n 6 x _   c q r, y _ u, z _  c q, t _ n 22 n 7 22 n 7 22n 7 22 n 7 d 1 d x s, y , z , t p e.m a n e.m           22 n 8 22n 8 22n 8 22 n 8 1 x e u, y , z e, t q b p          

26 22 n 9 22 n 9 22 n 9 22 n 9 1 1 1 1 1 x , y , z , t n a n c q n r            22 n 10 22 n 10 22n 10 22n 10 1 1 e.m 1 1 x , y , z , t p b p d p s           22 n 11 22n 11 22n 11 22 n 11 1 1 1 1 1 x , y , z , t q c q e q u           22 n 12 22 n 12 22n 12 22 n 12 e.m x r , y n, z r, t a n d           22 n 13 22n 13 22 n 13 22 n 13 1 x s , y p, z s, t b p e           22n 14 22n 14 22n 14 22n 14 x _ un, y _ q, z _ u, t _  c q 22 n 15 22 n 15 22 n 15 22n 15 1 1 1 d x p, y , z , t a n r a n e.m            22n 16 22n 16 22n 16 22n 16 1 1 1 x q, y , z , t e b p s b p            22 n 17 22 n 17 22 n 17 22 n 17 1 1 1 1 1 x , y , z , t c q r u c q n            22 n 18 22 n 18 22 n 18 22n 18 e.m 1 e.m 1 x , y a n, z , t d s d p           22 n 19 22 n 19 22n 19 22 n 19 1 1 1 1 x , y b p, z , t e u e q           22n 20 22n 20 22n 20 22n 20 x _ a, y _  c q, z _ n, t _ r 22n 21 22n 21 22n 21 22n 21 d x b, y , z p, t s e.m         22n 22 22n 22 22n 22 22n 22 x _ c, y _ e, z _ q, t _ u şeklindedir.

27

İspat: n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu yani yukarıda verilen eşitliklerin sağlandığını varsayalım ve (n+1) için doğruluğunu gösterelim.

22n 21 22n 23 22n 23 22n 20 22n 22 22n 19 22n 20 1 y 1 d 1 1 x , y t y .z r e.m z n              22n 23 22n 20 1 1 z , t r     _{22n 23} 22n 20 22n 20 1 1 t x z a n        22n 24 22n 22 22n 24 22n 21 22n 21 1 1 1 1 x y e, y t s z p            22n 24 22n 24 22n 21 22n 21 22n 21 1 1 1 1 z , t t s x z b p            22n 25 22n 25 22n 22 22n 20 22n 22 1 1 1 1 1 1 x , y t z u n z q            22n 25 22n 25 22n 22 22n 22 22n 22 1 1 1 1 z , t t u x z c q            22n 26 22n 20 22n 20 22n 26 22n 20 22n 21 1 1 x x z a n , y t r z p               22n 22 22n 19 22n 26 22n 20 22n 20 22n 26 22n 21 y .z e.m z x z a n, t y d              22n 27 22n 21 22n 21 22n 27 22n 21 22n 22 1 1 x x z b p , y t s z q               22n 27 22n 21 22n 21 22n 27 22n 22 1 1 z x z b p, t y e            22n 28 22n 22 22n 22 22n 20 22n 28 22n 22 x _ x _ z _ t _   c q r, y _ t _ u 22n 28 22n 22 22n 22 22n 28 22n 20 z _ x _ z _  c q, t _ z _ n 22n 21 22n 29 22n 21 22n 29 22n 22 22n 19 22n 20 22n 20 y d 1 1 x t s, y y .z e. m x z a n                

28 22n 21 22n 29 22n 29 22n 21 22n 22 22n 19 y d z , t z p y .z e.m           22n 30 22n 22 22n 22 22n 30 22n 21 22n 21 1 1 x y t e u, y x z b p               22n 30 22n 22 22n 30 22n 22 z _ y _ e, t _ z _  q 22n 31 22n 31 22n 20 22n 20 22n 20 22n 22 22n 22 1 1 1 1 1 1 x , y z x z n a n x z c q                  22 31 22n 31 22n 20 22n 20 1 1 1 1 z , t z n t r         22n 32 22n 21 22n 21 22n 21 1 1 1 1 x z x z p b p           22n 22 22n 19 22n 32 22n 32 22n 20 22n 21 y .z e.m 1 1 y , z y d z p           22n 32 22n 21 1 1 t t s     22n 33 22n 22 22n 22 22n 22 1 1 1 1 x z x z q c q           22n 33 22n 33 22n 33 22n 22 22n 22 22n 22 1 1 1 1 1 1 y , z , t y e z q t u             22n 22 22n 19 22n 34 22n 20 22n 34 22n 20 22n 21 y .z e.m x t r , y z n y d              22n 34 22n 20 22n 34 22n 20 22n 20 z _ t _ r, t _ x _ z _   a n 22n 35 22n 21 22n 35 22n 21 22n 22 1 1 x t s , y z p y e            22n 35 22n 21 22n 35 22n 21 22n 21 z _ t _ s, t _ x _ z _ b p 22n 36 22n 22 22n 20 22n 36 22n 22 x _ t _ z _ un, y _ z _ q,

29 22n 36 22n 22 22n 36 22n 22 22n 22 z _ t _ u, t _ x _ z _   c q 22n 37 22n 21 22n 20 22n 20 1 1 x z p, x z a n           22n 37 22n 37 22n 20 22n 20 22n 20 1 1 1 1 y , z t r x z a n            22n 21 22n 37 22n 22 22n 19 y d t y .z e.m       22n 38 22n 22 22n 38 22n 21 22n 21 22n 21 1 1 1 1 x z q, y x z b p t s               22n 38 22n 38 22n 22 22n 21 22n 21 1 1 z , t y e x z b p            22n 39 22n 22 22n 22 22n 20 1 1 1 1 x x z t c q r           22n 39 22n 39 22n 22 22n 22 22n 22 1 1 1 1 y , z t u x z c q            22n 39 22n 20 1 1 t z n     22n 22 22n 19 22n 40 22n 21 22n 21 y .z 1 e.m 1 x y t d s          22n 40 22n 20 22n 20 y _ x _ z _   a n 22n 22 22n 19 22n 40 22n 40 22n 21 22n 21 y .z e.m 1 1 z , t y d z p           22n 41 22n 41 22n 21 22n 21 22n 22 22n 22 1 1 1 1 x , y x z b p y t e u               22n 41 22n 41 22n 22 22n 22 1 1 1 1 z , t y e z q         22n 42 22n 20 22n 42 22n 22 22n 22 x _ x _ a, y _ x _ z _   c q

30 22n 42 22n 20 22n 42 22n 20 z _ z _ n, t _ t _  r 22n 21 22n 43 22n 21 22n 43 22n 22 22n 19 y d x x b, y y .z e.m           22n 43 22n 21 22n 43 22n 21 z _ z _ p, t _ t _  s 22n 44 22n 22 22n 44 22n 22 x _ x _ c, y _ y _  e 22n 44 22n 22 22n 44 22n 22 z _ z _ q, t _ t _ u

31

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 5.1. Sonuçlar

Bu çalışmada, daha önce literatürde çalışılmış olan pek çok fark denklem sistemi ele alınmış, özellikle lineer olmayan fark denklem sistemleri ve bu sistemlerin periyotları incelenmiştir.

5.2. Öneriler

Bu çalışmada göz önüne alınan fark denklem sistemleri bir araya getirilerek daha genel bir fark modeli oluşturulabilir. Ayrıca elde edilen bu fark denklem sisteminin davranışları, kararlılığı ve denge noktaları incelenebilir.

32

6. KAYNAKLAR

Camouzis E.,Papaschinopoulos G., 2004, Global asymptotic behaviour of positive solutions on the system of rational difference equations

m n n n m n n n x y y y x x   

1 1 , 1 1 , Applied Mathematics Letters, vol.117, no.6,

733-737.

Çınar C., Yalçınkaya İ., 2004, On the positive solutions of difference equation system 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1          n n n n n n n x z y x y z x , International Mathematical Journal,vol5, no 5.

Dehghan M.,Nasri M., Douraki M. J., Study of a system of non-linear difference equation sarising in a deterministic model for HIV infection, Applied

Mathematics and Computation, Iran, 1306-1330.

Elaydi S., 1995, An Introduction to difference equations, Springer.

Henson S. M.,Constantino R. F., Cushing J. M., Dennis B., Desharnais R. A., 1999, Multiple Attractors, Saddles and Population Dynamics in Periodic Habitats, Bulletin of Mathematican Biology, USA, 1121-1149.

Kang Y.,Armbruster D., 2011, Dispersal effects on a discrete two patch model for plant-insectinter actions, Journal of Therotical Biology, USA, 84-97.

Özban A. Y., 2006, On the positive solutions of the system of rational difference and Applications, vol. 323, 126-132.

Schinas C., 1997, Invariants for difference equation sand systems of difference equations of rational form, Journal of Mathematical Analysis and

Applications, 216, 164-179.

Taskara N., Uslu K., Tollu D. T., 2010, The periodicity and solutions of therational difference equation with periodic coefficients, Computers&Mathematics

33

Yalcinkaya İ.,Cinar C., Simsek D., 2008, Global asymptotic stability of a system of difference equations, Applicable Analysis, vol 87(6), 677-687.

34

ÖZGEÇMİŞ

KİŞİSEL BİLGİLER

AdıSoyadı : Esra HANEDAR

Uyruğu : T.C. DoğumYeriveTarihi : Akdağmadeni – 19.12.1986 Telefon : 0 5064388393 Faks : - e-mail : arsemath@hotmail.com EĞİTİM

Derece Adı, İlçe, İl BitirmeYılı

Lise :

Üniversite : SelçukÜniversitesi, Selçuklu, Konya 2008 YüksekLisans : SelçukÜniversitesi, Selçuklu, Konya -

Doktora :

İŞ DENEYİMLERİ

Yıl Kurum Görevi

2011- Form KampüsDershanesi Öğretmen

YABANCI DİLLER

35

YAYINLAR

Esra H., Uslu K., 2014, The stability conditions related to the equilibrium points of a difference systems and the period of solutions of this system, Far East Journal of Applied Mathematics, volume 85, numbers 1-2, pp 69-74, 2013.