Aynı dağılımlı olmayan kesilmiş tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları / Distributions of order statistics of nonidentically distributed truncated random variables

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠLMĠġ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN

DAĞILIMLARI

DOKTORA TEZĠ Gökhan GÖKDERE Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Uygulamalı Matematik TEMMUZ–2010

23II 23

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠLMĠġ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN

DAĞILIMLARI

DOKTORA TEZĠ Gökhan GÖKDERE

(05121202)

Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Uygulamalı Matematik

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 22 Haziran 2010

III

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠLMĠġ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN

DAĞILIMLARI

DOKTORA TEZĠ Gökhan GÖKDERE

(05121202)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 22 Haziran 2010 Tezin Savunulduğu Tarih: 15 Temmuz 2010

Tez DanıĢman: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR (F.Ü) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Murat KARAGÖZ (Y.T.Ü)

Prof. Dr. Doğan KAYA (F.Ü)

Yrd. Doç. Dr. Mahmut IġIK (F.Ü)

Yrd. Doç. Dr. ReĢat YILMAZER (F.Ü)

II

ÖNSÖZ

Bu tezin hazırlanmasında gerekli bütün imkânları sağlayarak bana yardımcı olan, çalışmalarım süresince benden hiçbir zaman ilgi ve yardımlarını esirgemeyen bilgi ve hoşgörüsünden yararlandığım çok kıymetli hocam sayın Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR’ e ve manevi olarak her zaman desteğini hissettiğim sevgili eşime de şükranlarımı sunmayı bir borç bilirim.

Ayrıca, tezin hazırlanmasında yardımcı olan değerli arkadaşım Fahrettin ÖZBEY’e de teşekkür ederim.

Gökhan GÖKDERE ELAZIĞ-2010

III ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖNSÖZ ... II ĠÇĠNDEKĠLER ... III ÖZET ... IV SUMMARY ... V SEMBOLLER LĠSTESĠ ... VI 1. GĠRĠġ ... 1

1.1. Temel Tanım ve Teoremler ... 2

2. KESĠLMĠġ SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI ... 8

2.1. Bağımsız ve Aynı Dağılımlı KesilmiĢ Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları ... 8

2.2. Bağımsız fakat Aynı Dağılımlı Olmayan KesilmiĢ Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları ... 10

3. SONUÇLAR ... 23

KAYNAKLAR ... 30

ÖZGEÇMĠġ ... 23

IV

ÖZET

Bu tez, üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölüm, iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, bağımsız ve aynı dağılımlı kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları incelenmiştir. Bu bölümün son kısmında, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları elde edilmiştir.

Son bölümde, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Sıralı İstatistikler, Bağımsız Tesadüfi Değişkenler, Sürekli Tesadüfi

Değişkenler, Kesilmiş Tesadüfi Değişkenler, Bağımsız ve Aynı Dağılımlı Tesadüfi Değişkenler, Bağımsız fakat Aynı Dağılımlı Olmayan Tesadüfi Değişkenler, Dağılım Fonksiyonu, Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu, Permanent.

V

SUMMARY

Distributions of Order Statistics of Nonidentically Distributed Truncated Random Variables

This thesis consists of three chapters.

In the first chapter, the fundamental definitions and theorems are given.

The second chapter consists of two sections. In the first section, the joint distributions of order statistics of independent and identically distributed truncated continuous random variables are examined. In the last section of this chapter, the distributions of order statistics of independent but not necessarily identically distributed truncated continuous random variables are obtained.

In the last chapter, the some results related to the distribution and probability density functions of order statistics of independent but not necessarily identically distributed truncated continuous random variables are given.

Key Words: Order statistics, Independent random variables, Continuous random variables,

Truncated random variables, Independent and identically distributed random variables, Independent but not necessarily identically distributed random variables, Distribution function, Probability density function, Permanent.

VI

SEMBOLLER LĠSTESĠ

F : Dağılım fonksiyonu

f : Olasılık yoğunluk fonksiyonu



3 2 1 2 , ,..., , ,..., m m n m m md :

  

   n r m m r m m r m d d 3 2 2 2 1 1 ...



3 2 1 2 , ,..., , ,..., m m n t t t_d :

  

   n m t m m t m m t d d 3 2 2 2 1 1 ...



1, 1 ,..., , ,..., 2 3 1 2 r r n t t td :

  

     n r t r r t r r t d d 1 1 3 2 2 2 1 1 .. .



:





        s n n n n n 1 ! ) 1 ( ] a a [ 2 1 2 1 ... i i

: a1,a2,... kolon vektörleri olmak üzere, a ’in 1 i defa, 1 a ’nin 2 i defa … 2

alınması ile oluşturulan matris

) [ ] A

[ s/ : sN olmak üzere, indisleri s’de olan satırların alınması ile A’dan oluşturulan matris

s

231 23

1. GĠRĠġ

Sıralı istatistikler, istatistik teorisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Çünkü sıralı istatistiklerin dağılımları, örneklemin alındığı dağılımdan bağımsızdır.

Herhangi bir dağılıma sahip sürekli bir tesadüfi değişkenin tanım kümesi, her iki veya herhangi bir taraftan sınırlandırıldığında oluşan dağılıma esas dağılımın kesilmiş dağılımı denir. Kesilmiş örnekler, bilinen küçük ve/veya büyük gözlemlerin çıkarılmasından oluşan anakütleden tesadüfi olarak seçilmiş gözlemlerden oluşur [1].

Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistikler için sağlanan bazı bağıntılar, Arnold vd. [2], David [3] ve Reiss [4] tarafından elde edilmiştir. Arnold vd. [2], bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir. Cao ve West [5], bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistiklerin dağılımları için bazı bağıntılar vermişlerdir. Corley [6], sürekli çok değişkenli tesadüfi değişkenlerin farklı anlamlarda sıralı istatistiklerini tanımlamıştır. Vaughan ve Venables [7], permanent yardımıyla bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını ifade etmişlerdir. Balakrishnan [8] ve Bapat ve Beg [9], permanent yardımıyla bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir.

Bu çalışmada; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları, farklı şekillerde ifade edilmiştir.

2

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1 X, (,) aralığında tanımlanan sürekli bir tesadüfi değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f _{fonksiyonuna, X tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk} fonksiyonu denir. 1. f(x)0, 2.



   1 ) (x dx f .

X tesadüfi değişkeninin a ve b arasında bulunma olasılığı,



     b a b a R b a dx x f b X a P{ } ( ) , ve

olarak ifade edilir [10].

Tanım 1.2 X, olasılık yoğunluk fonksiyonu f olan sürekli bir tesadüfi değişken olsun.

Herhangi bir x reel değeri için X ’in dağılım fonksiyonu,



    P X x x f t dt x F( ) { } ( ) (1.1)

eşitliği ile ifade edilir [10].

Tanım 1.3 X1,X2,...,Xn tesadüfi değişkenlerinin meydana gelme sırası değil, büyüklüklerinin sırası gözönüne alınırsa bu tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistikleri,

n n n

n X X

X_1:  _2: ... _:

olarak ifade edilir. n

r

X _: , r. sıralı istatistik ve (X_1:n,X_2:n,...,X_n:n) tesadüfi vektörüne de sıralı istatistikler

3 Bundan dolayı, ) , ... , , min( _{1 2} : 1n X X Xn X  ve ) , ... , , max( 1 2 :n n n X X X X  yazılabilir [4].

Teorem 1.1 x₁x₂...x_n olmak üzere bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir

anakütleden gelen X1:n,X2:n ,... ,Xn:n sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,



  n i i n n n x x x n f x f 1 2 1 : ,..., 2 , 1 ( , ,..., ) ! ( ) şeklinde verilir [11].

Teorem 1.2 Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen Xr:n’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1rn ve x olmak üzere

) ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1 : F x F x f x r n r n x f_rn r  nr    şeklinde verilir [3].

Teorem 1.3 Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen Xr:n ve Xs:n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1rsn ve xy olmak üzere

) ( ) ( )] ( 1 [ )] ( ) ( [ )] ( [ )! ( )! 1 ( )! 1 ( ! ) , ( 1 1 : , F x F y F x F y f x f y s n r s r n y x f_rsn r  sr  ns      şeklinde verilir [3].

4

Teorem 1.4 1d n _ve 0r₀r₁r₂ ...r_d r_d1n1 _{olsun. Bağımsız ve aynı}

dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen _{rn r n r n}

d X ,..., X , X _{: : :} 2

1 ’ nin bileşik olasılık yoğunluk

fonksiyonu,





           1  1 1 1 1 1 2 1 : 1)! ( )] ( ) ( [ ) ( ! ) ,..., , ( 1 2 1 d i i i r r i i d i i d n r ,..., r , r r r x F x F x f n x x x f i i d , d x x x₁  ₂ ...

şeklinde verilir. Burada, F(x₀)0 ve F(xd1)1’dir [4].

Teorem 1.5 Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen Xr:n’nin dağılım fonksiyonu, x olmak üzere

} { ) ( _: : x P X x F_rn  _rn  m n m n r m x F x F m n _         



( )[1 ( )]

şeklinde verilir. Özel olarak; X_1:n ve X_n:n dağılım fonksiyonları, sırasıyla n n x F x F1: ( )1[1 ( )] ve ) ( ) ( : x F x Fnn  n olarak verilir [4]. Tanım 1.4 Bn, n R uzayında } , ... , , : R ) , ... , , {( 1 2 1 1 1 2 2 2 n n n n n a x b a x b a x b x x x       

şeklinde tanımlanan n boyutlu aralıkları kapsayan en küçük cebiri olsun. Bu cebirinin



 her bir elamanına n

5

Tanım 1.5 Bir f :Rn R foksiyonu, her cRiçin {xRn: f(x)c}B_n şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna n

R uzayında bir Borel fonksiyonu denir [12].

Teorem 1.6 X_1:nX_2:n...X_n:n, X₁,X₂,...,X_n

bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistikleri ve Fr:n, Xr:n’nin dağılım fonksiyonu olsun. O zaman, ns 1 olmak üzere, her B Borel kümesi için

} ) , ... , , {( ! ) 1 ( } ) , ... , , {( 1: 2: : 1 : : 2 : 1 P X X X B n m B X X X P nsn s n s n m n n m n m n n n n n s    





  

ifadesi verilir. Burada;



m n_s

, (1, 2,…, n)’ nin m elemanlı tüm s alt kümeleri üzerinden

toplamı ifade etmektedir. Bununla birlikte s

n n s n s n X X X_1:  _2: ... _: ,



  s i i s S F n F 1

dağılım fonksiyonuna sahip bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerini göstermektedir [4].

Tanım 1.6 A=(a_ij), nn tipinde karesel bir matris olsun. A matrisinin permanenti,

per (A) =



Sn  σ n i i σ i a 1 ) (

olarak ifade edilir. Burada; S , (1, 2,…, n)’nin permütasyonlarının kümesidir. Yani; _n permanent, açılımındaki bütün terimlerin işaretlerinin pozitif olması hariç determinant ile aynıdır [13].

Teorem 1.7 Bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen

n r

6 ] ) ( F 1 ) ( f ) ( F [ )! ( )! 1 ( 1 ) ( 1 1 : r n r-n r per x x x r n r x f      (1.2)

şeklinde verilir [7]. Burada; F(x)(F₁(x),...,F_n(x)), 1-F(x)(1F₁(x),...,1F_n(x)) ve

) ) ( ..., ), ( ( ) (

f x  f1 x fn x  kolon vektörleridir. Ayrıca, (1.2)’deki permanent açılırsa





        n r b i i P r a i n r F x f x F x r n r x f b r a 1 1 1 : ( ) ( ) (1 ( )) )! ( )! 1 ( 1 ) (

ifadesi elde edilir. Burada;



P

, (1, 2,…, n)’nin bütün (i₁,i₂,...,i_n) permütasyonları üzerinden toplamı ifade etmektedir [14].

Teorem 1.8 Bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen Xr:n ve X_s:n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1rsn ve xy olmak üzere ] ) ( F 1 ) ( f ) ( F ) ( F ) ( f ) ( F [ ! ) , ( 1 1 1 1 : , : , s n r s r-n s r n s r per x x y x y y n C y x f      (1.3)

şeklinde verilir. Burada;

)! ( )! 1 ( )! 1 ( ! : , s n r s r n C_rsn      ve F x( ),f x( ),F(y)F(x), ), (

f y 1F(y), kolon vektörleridir [15]. Ayrıca (1.3)’deki permanent açılırsa,



       P r a i i n s r F x f x s n r s r y , x f r a 1 1 : , ( ) ( ) )! ( 1)! ( 1)! ( 1 ) ( .





       n s c i i s r b i i y F x f y F y F c s b b 1 1 1 )] ( [1 ) ( )] ( ) ( [

7

Teorem 1.9 Bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen

n r

X_: ’nin dağılım fonksiyonu, x olmak üzere

] ) ( F 1 ) ( F [ )! ( ! 1 ) ( : m n m n r m n r per x x m n m x F     



238 23

2. KESĠLMĠġ SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

2.1 Bağımsız ve Aynı Dağılımlı KesilmiĢ Sürekli Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları

Bu kısımda, bağımsız ve aynı dağılımlı kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgili teoremler verilecektir.

n

X X

X1, 2,..., , dağılım fonksiyonu F ve olasılık yoğunluk fonksiyonu f ’ye sahip

bağımsız sürekli tesadüfi değişkenler olsun. Ayrıca; 0 < p < 1 olmak üzere

} ) ( : sup{ } ) ( : inf{ ) ( 1 p x F x p x F x p F     , xR (2.1)

ifadesi genel anlamda, F ’nin ters fonksiyonu olarak ifade edilebilir [4, 11, 16, 17]. )

(F

 ve w(F) sırasıyla, F ’nin soldaki ve sağdaki son noktalarını göstersin. O halde, (2.1)’den ) 0 ( } 0 ) ( : inf{ ) (    1  F x F x F ve (1) 1} ) ( : sup{ ) (F  x F x  F1 w ifadeleri yazılabilir [18].

9

X ’in her iki taraftan kesilmiş dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,

u F uv  ( ) ve w(_uvF)v olmak üzere ) ( ) ( ) ( ) ( u F v F x f x f uv  _ (2.2)

olarak ifade edilebilir. (1.1) ve (2.2)’den, X ’ in her iki taraftan kesilmiş dağılımının dağılım fonksiyonu, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u F v F u F x F x F uv _  

olarak elde edilir.

n r r

r    d 

 ...

1 1 2 , d = 1, 2,…, n olmak üzere, bağımsız ve aynı dağılımlı kesilmiş

sürekli bir anakütleden gelen _{rn rn r n}

d

X X

X _: , _: ,..., _:

2

1 ’nin bileşik dağılım ve olasılık yoğunluk

fonksiyonu için aşağıdaki iki teorem ispatsız olarak verilecektir.

Teorem 2.1





       3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 : ( ) ! [ ( ) ( )] m , m n,..., m , m ,..., m d w m m w uv w uv d n r ,..., r , r uv d w w d x ,x ,...,x nC F x F x F , x1x2...xd. Burada; 1 1 1 1)!] ( [    



  d w w w m m C , m₀ 0, m_d1n, _uvF(x₀)0, _uvF(x_d1)1 ve x_wR’dir. Teorem 2.2 x F x F x f D n x ,..., x , x f d w r r w uv w uv d w w uv d n r ,..., r , r uv w w d





         1 1 1 1 1 2 1 : 1 2 1 ( ) ! ( ) [ ( ) ( )] . Burada; 1 1 1 1 1)!] ( [    



   d w w w r r D , r₀ 0 ve r_d1n1’dir.

10

2.2 Bağımsız fakat Aynı Dağılımlı Olmayan KesilmiĢ Sürekli Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları

Bu kısımda, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları ile ilgili teoremler verilecektir.

Şimdi, kullanacağımız iki kavramı tanıtalım. (Fi) ve w(Fi) (i =1, 2,…, n) sırasıyla, i

F ’ nin soldaki ve sağdaki son noktalarını göstersin. O halde, (2.1)’den

) 0 ( } 0 ) ( : inf{ ) (    1  F_i x F_i x F_i ve (1) 1} ) ( : sup{ ) (F_i  x F_i x  F_i1 w ifadeleri yazılabilir.

X ’ in her iki taraftan kesilmiş dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu,

i i uvF)u (  ve w(uvFi)vi olmak üzere ) ( ) ( ) ( ) ( i i i i i i uv u F v F x f x f   (2.3)

olarak ifade edilebilir. (1.1) ve (2.3)’den, X ’ in her iki taraftan kesilmiş dağılımının dağılım fonksiyonu, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i i i i i i i i uv u F v F u F x F x F   

11

Ayrıca; bağımsız ve aynı dağılımlı kesilmiş sürekli bir anakütleden gelen s n s s X X

X₁ , ₂ ,..., ’nin dağılım fonksiyonu s

uvF ve olasılık yoğunluk fonksiyonu s uvf sırasıyla,



  s i i uv s s uv F n F 1 (2.4) ve



  s i i uv s s uv f n f 1 (2.5) şeklinde tanımlanır. Şimdi, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılım fonksiyonu için aşağıdaki teoremler verilecektir.

Teorem 2.3







                d w w w w w t m m m n t t t m m n m m m d n r r r uv m t m m C x x x F d w w w d d d 1 1 ) ( , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., 2 1 : ,..., , 1 1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 1 ( , ,..., ) ( 1)







   _       d d s n t m s s s_d w w w w n d w w t t m m w uv n ,..., n , n d d m per x s /. t . 1 ) ][ ) F( [ )! ( 1 1 1 1 2 1 . (2.6) Burada; _uvF(x_w)(_uvF₁(x_w),_uvF₂(x_w),...,_uvF_n(x_w)) (w=1, 2, … , d+1) kolon vektörlerini ve



1 2 1,s ,...,sd s n n n , ν _için s_υ



s_ν  olmak üzere



1 1   d w w

s üzerinden toplamı ifade

etmektedir. Ayrıca;



d w w s s 1   , ns_w mw1mw1twtw1 ve t0 m1’dir.

12 Ġspat. } ,..., , { ) ,..., , ( 1 2 : 1 : 2 : : ,..., ,_{2 1 2} 1r r n d r n r n r n d r uvF _d x x x P X x X x X_d x (2.7) eşitliği yazılabilir. (2.7),



 3 2 1 2 2 1 , ,..., , ,..., 2 1 : ,..., , ( , ,..., ) A m m n m m m d n r r r uv d d x x x Cper F (2.8)

şeklinde ifade edilebilir. Burada; A [ F( ) F( ) F( ) 1 F( )]

1 2 1 1 2 1 d m n d uv m m uv uv m uv x x x ... x    

 karesel bir matris,

) ) ( ) ( ,..., ) ( ) ( ), ( ) ( ( ) ( F ) ( F _w _{uv w1}  _{uv 1 w} _{uv 1 w1 uv 2 w} _{uv 2 w1 uv n w} _{uv n w1}  uv x x F x F x F x F x F x F x kolon vektörü, uvFi(x0)0 ve uvFi(xd1)1’dir. Permanentin özelliklerinden, ] ) ( F 1 ) ( F ) ( F ... ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F [ A 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 d d d n m d uv m m d uv d uv m m uv uv m m uv uv m uv x x x x x x x x per per           







                                     2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 0 1 1 2 0 2 2 3 0 ) 1 ( ) 1 ( ... ) 1 ( m m t t m m m m t t m m m n t d d t m n t m m t m m t m n d d d d . 1 1 2 2 3 1 2 )] F( 1 ) F( ) F( [ _{1 2}         d _{n md td td} d uv t t t m m uv t m uv x x ... x per

  







                      d d s d d w w m n t m m t m m t n n t d d w w w w t m n t t m m 0 0 0 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 ! ) 1 ( ... . [ F( ) F( ) ... F( ) ][ /.) 1 1 2 2 3 1 2 2 1 x x s x per d d d t t m n d uv t t m m uv t m uv        

13





  

                      d w n n t m d d w w w w n m t m m t m m t t m d d s d d d w w w m t m t m m 1 1 ) ( )! ( ) 1 ( ... 3 2 2 2 1 1 1 1 . [ F( ) F( ) ... F( ) ][ /.) 1 1 2 1 3 1 1 2 2 1 x x s x per d d d t t m n d uv t t m m uv m t m uv         







  

                        d w n n t m n n n d d w w w w n m t m m t m m t t m d d s s s sd d d d w w w m t m t m m 1 , ,..., 1 ) ( 1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 1 )! ( ) 1 ( ... . [ F( )][ /.) [ F( ) ][ /.) ... [ F( ) ][ /.) 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 1 1 d t t m n d uv t t m m uv m t m uv x s per x s per x s per d d d        









                     d d s s s sd d w w w d n n t m n n n d d d w w w w w t m m m n t t t m t m t m m 1 2 1 1 1 2 3 1 2 1 , ,..., 1 ) ( , ,..., , ,..., )! ( ) 1 ( .



     d w w t t m m w uv x s per w w w w 1 .) / ][ ) ( F [ 1 1 1 (2.9)

yazılabilir. Burada, 1(1,1,...,1) _{kolon vektörüdür. (2.9), (2.8)’de yerine yazılırsa (2.6)} elde edilmiş olur. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

Yukarıdaki teoremde; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi

değişkenlerden elde edilmiş olan _{r n r n r n}

d

X X

X _: , _: ,..., _:

2

1 ’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

permanent kullanılarak verilmiştir.

Teorem 2.3’de, permanentin özellikleri kullanılarak aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.4







                2 3 1 2 2 3 1 2 1 1 2 1 , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., 1 1 ) ( 2 1 : ,..., , ( , ,..., ) ( 1) m m n m m m m m n t t t d w w w w w t m d n r r r uv d d d w w w d m t m m C x x x F .



  

   _    d d s s s sd w s l w w m t n n n n n d w n l w uv s d d m n F x t 1 2 1, ,..., 1 1 s ( ) ! )! ( . (2.10)

14 Burada, { 1, 2,..., nsw} w w w w s s s s  ’dir.

Teorem 2.4’de, (2.4) kullanılırsa aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.5

 

 3 2 1 2 2 1 , ,..., , ,..., 2 1 : ,..., , ( , ,..., ) ! m m n m m m d n r r r uv d d x x x n C F .







                    2 3 1 2 1 1 1 1 1 , ,..., , ,..., 1 1 ) ( )] ( [ ) 1 ( m m n t t t t t m m w s uv d w w w w w t m d w w w w d w w w x F m t m m . (2.11) Ġspat. (2.7),



    { , ,..., } ) ,..., , ( 1 2 : 1 : 2 : : ,..., ,_{2 1 2} 1 d s n r s n r s n r d n r r r uvF _d x x x P X x X x X_d x (2.12)

şeklinde ifade edilebilir. (2.11), (2.10) ve (2.12)’den elde edilir. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.3’de, permanent açılımı kullanılırsa aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.6







 

        3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 : ( ) ( ) ( 1) m , m ,..., n m , m ,..., m P d w m m t t m m l j uv d n r ,..., r , r uv d w w w l d x,x ,...,x C F x F .

 



            m t l w uv t m n m t n m t l w uv w l w w w l x F x F 1 1 1 ) ( ) ( 1 1     . (2.13) Burada; { } 1 2 1     w m t ,...,τ ,τ τ , {_{1 2 m -t}} w τ ,..., τ , τ     , ττ , {jmw11,jmw12,...,jmw} ve _uvF_j (x_d1)1 l ’dir.

15 Ġspat. ) ,..., , ( 1 2 : ,..., ,₂ 1r r n d r uvF _d x x x 











      2 3 1 2 2 1 1 , ,..., , ,..., 1 1 1 2 1 1) [ ( ) ( )]... [1 ( )] ( m m n m m m d j uv n m l j uv m m l j uv P m l j uv d l d l l l x F x F x F x F C







 

      _   3 2 1 2 1 1 , ,..., , ,..., 1 2 1 1 1 1) [ ( ) ( )] ( m m n m m m P d w m m l w j uv w j uv m l j uv d w w l l l x F x F x F C (2.14)

ifadesi yazılabilir. Burada, uvFj_l(x0)0’dir. Şimdi,

) ( ) ( ) 1 ( )] ( ) ( [ ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1             







 



        m t _w l uv t m n m t n m t l w uv m m t t m m m l w j uv w j uvF x F x F x F x w l w w w l w w w w w l l     (2.15)

eşitliğini gözönüne alalım. (2.15), (2.14)’de yerine yazılırsa (2.13) elde edilmiş olur. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.6, aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Teorem 2.7







 

         3 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 : ( ) ( ) ( 1) m , m ,..., n m , m ,..., m d w m m t t m m l j uv P d n r ,..., r , r uv d w w w l m , m ,..., d m C d x ,x ,...,x C F x F .

 



            m t l w uv t m n m t n m t l w uv w l w w w l x F x F 1 1 1 ) ( ) ( 1 1     . (2.16) Burada;



1 2 m , m ,..., d m CP , 1 ... 2 1 j jm j    , 2 1 11 m 2 ... m m j j j _  _   ,…, j_m j_m j_n d d1 2... olmak üzere,

16 Teorem 2.6, aşağıdaki gibi de ifade edilebilir.

Teorem 2.8







 

         3 2 1 2 1 1 2 1 , ,..., , ,..., 1 2 1 1 2 1 : ,..., , ( , ,..., ) ( )! ( ) ( 1) m m n m m m d w m m t t m m l j uv P d d n r r r uv d w w w l d m d x x x n m F x F .

 



            m t l w uv t m n m t n m t l w uv w l w w w l x F x F 1 1 1 ) ( ) ( 1 1     . (2.17) Burada;



d m P , (1, 2,…, n)’nin bütün ( _{1 2} ) d m j ,..., j , j

permütasyonları üzerinden toplamı ifade etmektedir.

Teorem 2.6’da, (2.4) kullanılırsa aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.9

 

 3 2 1 2 1 2 1 , ,..., , ,..., 1 2 1 : ,..., , ( , ,..., ) ! [ ( )] m m n m m m m s uv d n r r r uv d d x x x nC F x F .

 

                    1 2 1 1 1 1 1_{[ ( )]} )] ( [ ) 1 ( d w m m t t m w s uv m t w s uv w w w t m w w w w w _{F x F x} m t m m . (2.18) Burada, ( d1)1 s uvF x ’ dir.

Ġspat. (2.18), (2.13) ve (2.12)’den elde edilir. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

Şimdi de bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu için aşağıdaki teoremler verilecektir.

17 Teorem 2.10



 



                   1 , 1 ,..., , ,..., 1 1 ) ( 2 1 : ,..., , 2 3 1 2 1 1 2 1 1 ) 1 ( ) ,..., , ( r r n t t t d w w w w w t r d d n r r r uv d w d w w d _{t r} r r D x x x f .



 

   _        d d t d w w w w w r n n n n n d w n w w uv w t t r r w uv d d r per x per x t s s1, s2,...,s 1 1 1 1 1 1 1 .) / ][ ) ( f [ .) / [ ] ) ( F [ )! (    . (2.19) Burada;



d w w 1   s s , s N,ν _için s_



s_ν , sw w



w, ns_w rw1rw1twtw1, 1 1 0 r  t , n_wr_w1r_w11t_wt_w1 ve _ 1 w n ’dir. Ayrıca, uvf(xw)(uvf1(xw),uvf2(xw),..., ) ) ( _w  n

uvf x kolon vektörünü göstermektedir.

Ġspat. } { _{1 1 1 2 2 2} 2 1:n r:n d r:n d d r x δx ,x X x δx ,... ,x X x δx X x P d          (2.20)

ifadesini gözönüne alalım.

(2.20), 1 d w w x  



bölünür ve  x₁, x₂,...,xd’ler sıfıra götürülürse, aşağıdaki eşitlik elde edilir. B ) ( 1 2 : 2 1 x ,x ,...,x Dper fr,r,...,r n d uv _d  (2.21) Burada, B [ F( ) f( ) F( ) F( ) f( )... f( ) 1 F( )] 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 n rd d uv d uv uv r r uv uv uv r uv x x x x x x x      

 karesel bir matristir.

Permanentin özelliklerinden, ] ) ( F 1 ) ( f ... ) ( f ) ( F ) ( F ) ( f ) ( F [ B 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 n rd d uv d uv uv r r uv uv uv r uv x x x x x x x per per       

18







                                           1 0 1 1 2 1 1 0 2 2 3 1 0 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 1 _{( 1)} 1 ) 1 ( ... ) 1 ( r r t t r r r r t t r r r n t d d t r n t r r t r r t r n d d d d . [ F( ) f( ) F( ) f( ) ... f( ) 1 F( ) ] 1 1 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 1 21         d n rd td td d uv t d uv uv t t r r uv uv t r uv x x x x x x per ! 1 ) 1 ( ... 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 3 2 1 2 1





  

                           d d w w d d n n t d d w w w w t d r n r n t r r t r r t t t r r s . [ F( ) F( ) ... F( ) f( ) f( )... f( )][ /.) 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 s d uv uv uv t t r n d uv t t r r uv t r uv x x x x x x per d d d          ! ) ( 1 ) 1 ( ... 1 1 1 1 ) ( 3 2 2 2 1 1 1 1



  



                            d d d d w d w w t r n n d d n r t r r t r r t d w w w w w t r d r t r t r r s . [ F( ) F( ) ... F( ) f( ) f( )... f( )][ /.) 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 s d uv uv uv t t r n d uv t t r r uv t r r uv x x x x x x per d d d          





  



                             1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 1 ,..., , 1 1 1 1 ) ( )! ( 1 ) 1 ( ... d d d d d w d w w n n n d d t r n n n r t r r t r r t d w w w w w t r d r t r t r r s s s s . [ F( ) f( )][ /.) [ F( ) f( )][ /.)... [ F( ) f( )][ /.) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 d d uv t t r n d uv uv t t r r uv uv t r r uv x x per x x per x x per d d d s s s           





 



                             1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 1 ,..., , 1 1 1 1 ) ( )! ( 1 ) 1 ( ... d d d d d w d w w n n n t r n n d d n r t r r t r r t d w w w w w t r d r t r t r r s s s s



      d w w w uv t t r r w uv x x per w w w w 1 1 1 .) / ][ ) ( f ) ( F [ . 1 1 1 s

19





  



                             1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 1 ,..., , 1 1 1 1 ) ( )! ( 1 ) 1 ( ... d d d d d w d w w n n n t r n n d d n r t r r t r r t d w w w w w t r d r t r t r r s s s s .



        d w n w w uv w t t r r w uv w w w w w x per x per 1 1 1 ) . / ][ ) ( f [ .) / [ ] ) ( F [ 1 1 1    (2.22)

yazılabilir. (2.22), (2.21)’de yerine yazılırsa (2.19) elde edilmiş olur. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

Yukarıdaki teoremde; aynı dağılımlı olmayan kesikli sürekli tesadüfi değişkenlerden elde edilmiş olan Xr₁:n,Xr₂:n,...,Xr_d:n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, permanent kullanılarak verilmiştir.

Teorem 2.10’da, permanentin özellikleri kullanılırsa aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.11





                     d w w w w w t r d r r n t t t d n r r r uv r t r r D ,...,x ,x x f w d w w d d 1 1 ) ( 1 , 1 ,..., , ,..., 2 1 : ,..., , 1 ) 1 ( ) ( 1 1 2 3 1 2 2 1 .



  

   _     d d d w w w w l w w t r n n n n n d w w uv n n l w uv d d r n F x f x t s s1, s2,...,s 1 1 1 ) ( ) ( ! )! ( _{  }   . (2.23) Burada, { 1, 2,..., nw} w w w w       ve _w {_ww}’dir.

Teorem 2.11’de, (2.4) ve (2.5) kullanılırsa aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.12







                     1 , 1 ,..., , ,..., 1 1 ) ( 2 1 : ,..., , 2 3 1 2 1 1 2 1 1 ) 1 ( ! ) ,..., , ( r r n t t t d w w w w w t r d d n r r r uv d w d w w d _{t r} r r D n x x x f . [ ( )] 1 1 1 1 ( ) w s uv t t r r w s uvF x f x w w w w     _{. (2.24)}

20 Ġspat. (2.20),



{ ₁  ₁ _{1 2}   ₂ ₂    } 2 1 d d s :n r d s :n r s :n r x δx ,x X x δx ,... ,x X x δx X x P d (2.25)

şeklinde ifade edilebilir. (2.25),

1 d w w x  



bölünür ve  x₁, x₂,...,x_d’ler sıfıra götürülürse,

(2.24) elde edilir. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.10’da, permanent açılımı kullanılırsa aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 2.13 ) ( ) ,..., , ( 1 1 1 2 1 : ,..., , 1 2 1



   P r l j uv d n r r r uvf d x x x D Fl x .





 





                       d w w j uv t r l w uv t r n r t n r t l w uv r r t t r d w x f x F x F w r w l w w w l w w w 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 1     . (2.26) Burada; { } 1 2 1      w r t ,..., , , {₁₂ _rt1} w ,..., , ,  _ve { ₁, ₂,..., ₁} 1 1        w w w r r r j j j ’dir. Ġspat. } {x1 Xr₁:n x1 δx1 ,x2 Xr₂:n x2 δx2 ,... ,xd Xr:n xd δxd P d          (2.27)

ifadesini gözönüne alalım. (2.27),

1 d w w x  



bölünür ve  x₁, x₂,...,xd’ler sıfıra götürülürse, aşağıdaki eşitlik elde edilir.



   p j uv r l j uv d n r r r uvf d (x,x ,...,x ) D [ Fl(x1)] f r(x1) 1 1 2 1 : ,..., , ₁ 1 2 1 .





       1 1 1 2 1 2 2 1 2( )... ( ) [1 ( )] ] ) ( ) ( [ r r l n r l d j uv d j uv j uv j uv j uv d l d r r l l x F x f x f x F x F (2.28)

21 (2.28) ifadesi,





 





           P d w r r l d w w j uv w j uv w j uv r l j uv d n r r r uv w w w r l l l d x x x D F x F x F x f x f 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 : ,..., , 1 1 2 1 ( , ,..., ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) (2.29)

şeklinde de yazılabilir. Şimdi,



 





                          r t l w uv t r n r t n r t l w uv r r t t r r r l w j uv w j uv w l w w w l w w w w w l l x F x F x F x F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)] ( 1) ( ) ( ) ( ) ( [ 1 1 1 1     (2.30)

eşitliğini gözönüne alalım. (2.30), (2.29)’da yerine yazılırsa (2.26) elde edilmiş olur. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.13, aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Teorem 2.14

 

    1 , 2 ,..., 1 2 1 1 1 1 1 2 1 : ,..., , ( , ,..., ) ( ) r r d r D l d P r l j uv d n r r r uvf x x x D F x .





 





                       d w w j uv t r l w uv t r n r t n r t l w uv r r t t r d w x f x F x F w r w l w w w l w w w 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 1     . (2.31) Burada;



1 , 2 ,...,r r d r DP , _{1 2 1} 1 ... _   j j_r j , _{1 2 1} 2 1 1  r ... r  r j j j ,…, j_r j_r j_n d d1 2... olmak

üzere, (1,2,…,n)’nin bütün (j₁,j₂,...,j_n) permütasyonları üzerinden toplamı ifade etmektedir.

22 Teorem 2.15



    d r l d P r l j uv d d n r r r uvf x x x n r F x 1 1 1 2 1 : ,..., , 1 2 1 ( , ,..., ) ( )! ( ) .





 





                       d w w j uv t r l w uv t r n r t n r t l w uv r r t t r d w x f x F x F w r w l w w w l w w w 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 1     . (2.32) Burada;



d r P , (1, 2,…, n)’nin bütün ( ₁, ₂,..., ) d r j j

j permütasyonları üzerinden toplamı ifade

etmektedir.

Teorem 2.13’de, (2.4) ve (2.5) kullanılırsa aşağıdaki teorem elde edilebilir.

Teorem 2.16



  1 1 2 1 : ,..., , 1 2 1 ( , ,..., ) ! [ ( )] r s uv d n r r r uvf _d x x x nD F x







                         1 2 1 1 1 1 1 1 1 ) ( )] ( [ ] ) ( [ 1 ) 1 ( . 1 1 d w d w w s uv t r w s uv r t r r t w s uv w w w t r x f x F x F r t r r w w w w w _{. (2.33)}

2323 23

3. SONUÇLAR

Bu bölümde, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları ile ilgili bazı sonuçlar verilecektir.

Aşağıdaki sonuçta, aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin r. sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu verilecektir.

Sonuç 3.1







       _            m t n n n t m uv n r m n m t t n n r uv s s x per m t m t m n m n m x F ( 1) ( )! [ F( )][ /.) )! ( ! 1 ) ( :









         _{  }            m t n n s uv m t n l n r m n m t t n s l x F m t n m t m t m n m n m!( )! ( 1) ( )!( )! ( ) 1 1 = _uv s n t m n m t t n n r m x F m t m n m n _                 





( 1) [ ( )] =













            t n l uv t n n n r m n m t t n m l j uv P x F x F m n m l l 1 1 ) ( ) 1 ( ) ( )! ( ! 1 =













            n t l uv t n n n r m n m t t n m l j uv P x F x F m n m l l m C 1 1 ) ( ) 1 ( ) ( )! ( ! =













            n t l uv t n n n r m n m t t n m l j uv P x F x F m n l l m 1 1 ) ( ) 1 ( ) ( )! ( =





                   n r m n m t t n s uv t n m s uv F x m t m n x F m n )] ( [ ) 1 ( )] ( [ . (3.1)

24

Ġspat. (2.6), (2.10), (2.11), (2.13), (2.16), (2.17) ve (2.18)’de d 1alınırsa, (3.1) elde edilir.

Sonuç 3.2 ve Sonuç 3.3’de; aynı dağılımlı olmayan kesilmiş sürekli tesadüfi değişkenlerin sırasıyla, minimum ve maksimumunun dağılım fonksiyonları verilecektir.

Sonuç 3.2 ) ][ ) F( [ ! 1) ( ! 1 1 ) ( 0 : 1 t per x s/. t n n x F t n n n t uv n t t n n uv s





             







      _          t n n s uv t n l n t t n s l x F t n t t n n! ( 1) !( )! ( ) 1 1 1 0 = {1 ( 1) [ ( )] } 0 t n s uv n t t n x F t n _          





=









          n t l uv t n n n t t n P x F n l 1 0 ) ( ) 1 ( ! 1 1 =









          n t l uv t n n n t t n P x F n l C 0 1 ) ( ) 1 ( ! 1 0 =









          n t l uv t n n n t t n P x F n l 1 0 ) ( ) 1 ( ! 1 0 . (3.2)

Ġspat. (3.1) de r 1alınırsa, (3.2) elde edilir.

Sonuç 3.3 ] ) F( [ ! 1 ) ( : n uv n n uv per x n x F 