Ayrık Kesirli Analizde Başlangıç Değer Problemleri

AYRIK KESİRLİ ANALİZDE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ Aynur ASTAM

DANIŞMAN

Doç. Dr. Hasan ÖĞÜNMEZ MATEMATİK ANABİLİM DALI

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

AYRIK KESİRLİ ANALİZDE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİ

Aynur ASTAM

DANIŞMAN

Doç. Dr. Hasan ÖĞÜNMEZ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;

- Tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,

- Görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,

- Başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,

- Atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, - Kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,

- Ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı

beyan ederim.

18/11/2016

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

AYRIK KESİRLİ ANALİZDE BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİ

Aynur ASTAM

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Hasan ÖĞÜNMEZ

Bu çalışmada, ayrık kesirli operatörlerin analizi, ayrık kesirli analizde başlangıç değer problemlerinin varlığının ve çözümlerinin sürekliliği incelenmiş, literatürde verilen temel bazı teoremlerin ispatları açılmış ve teoremler örneklerle de desteklenmiştir.

2016, v + 42 sayfa

Anahtar Kelimeler: Ayrık Kesirli Analiz, Başlangıç Değer Problemleri,

ABSTRACT

INITIAL VALUE PROBLEMS IN DISCRETE FRACTIONAL CALCULUS

Aynur ASTAM Afyon Kocatepe University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Hasan ÖĞÜNMEZ

In this study, the analysis of discrete fractional operators, the existence of initial value problems and the continuity of solutions in discrete fractional analysis are investigated. On the other hand the proofs of some basic theorems given in the literature have been explained and the theorems have been supported by examples.

2016, v + 42 pages

Key Words: Discrete fractional calculus, initial value problems, Riemann-Liouville

TEŞEKKÜR

Tez çalışmam süresince görüş ve önerileriyle çalışmama yön veren, ihtiyacım olduğu her anda sabır ve anlayış ile yardımlarını esirgemeyen, bu araştırmanın konusu, yürütülmesi ve yazım aşamasında yapmış olduğu büyük katkılarından dolayı değerli tez danışmanım Doç. Dr. Hasan ÖĞÜNMEZ’e, tez yazım aşamasında benden yardımını esirgemeyen sevgili eşime, her zaman, her konuda bana destek veren, bugünlere ulaşmama vesile olan aileme sonsuz teşekkür ederim.

Aynur ASTAM AFYONKARAHİSAR 2016

İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii TEŞEKKÜR ... iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... iv SİMGELER DİZİNİ ... v 1. GİRİŞ ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ... 3

3. AYRIK KESİRLİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ... 13

4. AYRIK KESİRLİ BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİ İÇİN ÇÖZÜMLERİN SÜREKLİLİĞİ ... 28

5. KAYNAKLAR ... 41

SİMGELER DİZİNİ Simgeler Küçüktür ya da eşittir Büyüktür ya da eşittir  _Sonsuz ∆(. ) Fark operatörü

∆−𝜗𝑓 𝑓 fonksiyonunun 𝜗-inci mertebeden kesirli toplamı ∆𝜗_{𝑓 𝑓 fonksiyonunun 𝜗-inci mertebeden kesirli farkı}

Belirli integral

 Gamma fonksiyonu 𝜎(. ) İleri sıçrama operatörü

𝜗 Değişik teta Alfa Beta Gama Toplam Operatörü t(n) Faktöriyel fonksiyonu Elemanıdır

Reel Sayılar Kümesi Limit  





1. GİRİŞ

Türev ve integral operatörleri analizin iki temel kavramlarıdır. Benzer olarak fark ve toplam operatörleri de ayrık analizin iki temel kavramlarıdır. Genel olarak türev ve fark operatörleri 𝑛 bir tam sayı olduğunda 𝑛-inci mertebeye kadar bir fonksiyona uygulanabilirler ve sırasıyla 𝑑𝑛_{𝑓(𝑥)/𝑑𝑥}𝑛_{, ∆}𝑛_{𝑓(𝑥) şeklinde gösterilirler.}

Kesirli analiz, türev ve integral operatörlerinin mertebelerinin keyfi sayılar olabileceğini ifade eder. Örneğin bir fonksiyonun 1/2-inci mertebeden türevini √5-inci mertebeden integralini hesaplayabiliriz.

Kesirli analiz, keyfi mertebeden türev ve integraller ile ilgilenen uygulamalı matematiğin bir dalıdır ve onların uygulamaları bilim, mühendislik, uygulamalı matematik, ekonomi ve diğer alanlarda görülür. 𝐷 = 𝑑

𝑑𝑥 operatörünü içeren diferansiyel analizin özellikleri ile fark operatörü olarak bilinen ∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥) operatörünü içeren ayrık kesirli analizin özellikleri arasında bir benzerlik olduğu bilinir. Aynı benzerlik kesirli ve ayrık kesirli analizin operatörleri arasında da vardır.

Kesirli analizin tohumu 3 yüzyıl kadar önce L-Hospital’dan Leibniz’e gönderilen bir mektupta ekildi. Burada L-Hospital 𝑛 = 1/2 ise 𝑑𝑛𝑦/𝑑𝑥𝑛’in anlamı hakkında bir soru oluşturdu. 30 Eylül 1695 tarihli cevapta, Leibniz “Bu belirgin bir paradokstur. Bir gün kullanışlı sonuçlar çizilecek” yazdı ve konu ile ilgili araştırmalar başladı.

Sonra Johann Bernoulli’nin cevabı ile birlikte, Leibniz genel mertebelerin türevlerini ispatladı. Leibniz 1/2-inci mertebenin türevi anlamına gelen 𝑑12𝑦 gösterimini kullandı. 1730’da Euler, 1772’de Lagrange tarafından kesirli türevlere birbirinden farklı kaynaklarda değinildi.

Diaz ve Osler (1974), 𝑛-inci mertebeden fark için 𝜗 herhangi bir gerçek veya kompleks sayı olduğunda kesirli farkı,

∆𝜗𝑓(𝑥) = ∑(−1)𝑘(𝜗 𝑘) 𝑓(𝑥 + 𝜗 − 𝑘), (1.1) ∞ 𝑘=0 (𝜗 𝑘) = 𝛤(𝜗 + 1) 𝛤(𝜗 − 𝑘 + 1)𝑘! , (1.2)

Miller ve Ross (1989), 𝑡 ≡ 𝜗(𝑚𝑜𝑑1) ve 0 < 𝜗 < 1 olduğunda, kesirli mertebeden toplam ve fark operatörlerini sırasıyla aşağıda gösterildiği şekilde tanımladı.

∆−𝜗_{𝑓(𝑡) =} 1 𝛤(𝜇)∑(𝑡 − 𝜎(𝑠)) (𝜗−1) 𝑓(𝑠), (1.3) 𝑡−𝜇 𝑠=𝑎 ∆𝜗𝑓(𝑡) = ∆∆−(1−𝜗)𝑓(𝑡) = ∆ 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑓(𝑠) (1.4) 𝑡−1+𝜗 𝑠=𝑎

Bu tezde Atıcı ve Eloe (2007, 2009), Atıcı ve Uyanık (2015) ve Goodrich (2010) incelendi ve bu çalışmalardaki bazı teoremlerin ispatları açıldı. Bu çalışmalarda ayrık kesirli operatörlerin analizi, ayrık kesirli analizde başlangıç değer problemlerinin varlığının ve çözümlerinin sürekliliğinin incelenmesi yapılmıştır.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde ayrık kesirli analizde kullanılan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.

Tanım 2.1. Gamma fonksiyonu 𝛤(𝑥) olarak ifade edilen özel soyut bir fonksiyondur ve

tamsayı olmayan değerlerin faktöriyele genelleştirilmesi ilk olarak Euler tarafından gösterilmiştir. 𝑥 > 0 için, 𝛤(𝑥) = ∫ 𝑡𝑥−1 ∞ 0 𝑒−𝑡_{𝑑𝑡 (2.1)} olarak tanımlanmıştır. 𝛤(1) = ∫ 𝑡1−1 ∞ 0 𝑒−𝑡_𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑡𝑑𝑡 ∞ 0 = (−𝑒−𝑡_)| 0 ∞ = −𝑒−∞+ 𝑒−0 = 1 ⟹ 𝛤(1) = ∫ 𝑒−𝑡𝑑𝑡 ∞ 0 = 1 (2.2) 𝛤(𝑥 + 1) = ∫ 𝑡𝑥+1−1 ∞ 0 𝑒−𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑥 ∞ 0 𝑒−𝑡_𝑑𝑡 𝑡𝑥= 𝑢 ⇒ 𝑥𝑡𝑥−1𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝑒−𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 ⇒ −𝑒−𝑡 = 𝑣 olsun. = [−𝑡𝑥_𝑒−𝑡_]| 0 ∞_{+ 𝑥 ∫ 𝑒}−𝑡_𝑡𝑥−1 ∞ 0 𝑑𝑡 = [−∞𝑥_𝑒−∞_{+ 0𝑒}0_{] + 𝑥𝛤(𝑥)} = 𝑥𝛤(𝑥) ⇒ 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥𝛤(𝑥) (2.3) 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥𝛤(𝑥) bağıntısı önemli bir fonksiyonel eşitliktir ve tamsayı değerler için fonksiyonel eşitlik,

𝛤(𝑛 + 1) = 𝑛! (2.4)

haline gelir. Bu nedenle, Gamma fonksiyonu sıfır olmayan pozitif reel sayılar için faktöriyel fonksiyonunun bir genişlemesi olarak yorumlanabilir.

𝑥 = 1, 𝛤(2) = 1𝛤(1) = 1 𝑥 = 2, 𝛤(3) = 2𝛤(2) = 2.1 𝑥 = 3, 𝛤(4) = 3𝛤(3) = 3.2.1 . . . 𝑥 = 𝑛 − 1, 𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)𝛤(𝑛 − 1) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 1 = (𝑛 − 1)! 𝑥 = 𝑛, 𝛤(𝑛 + 1) = (𝑛)𝛤(𝑛) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 1 = 𝑛!

Tanım 2.2. Azalan faktöriyel (faktöriyel polinomu) 𝑡(𝑛) _{herhangi bir 𝑛 ≥ 0 tamsayısı} için, 𝑡(𝑛) = 𝑡(𝑡 − 1)(𝑡 − 2) … (𝑡 − (𝑛 − 1)) = ∏(𝑡 − 𝑘) = 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 + 1 − 𝑛) 𝑛−1 𝑘=0 , (2.5)

olarak tanımlanır ve 𝛤 Gamma fonksiyonunu belirtir (Atıcı and Eloe 2007).

Teorem 2.1. Faktöriyel fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar.

i. ∆𝑡(𝜗)= 𝜗𝑡(𝜗−1), (∆ ileri fark operatörü) ii. (𝑡 − 𝜇)𝑡(𝜇) = 𝑡(𝜇+1), 𝜇 ∈ ℝ

iii. 𝜇(𝜇) = 𝛤(𝜇 + 1)

iv. 𝑡(𝜗+𝛽)= (𝑡 − 𝛽)(𝜗)𝑡(𝛽) (Atıcı and Eloe 2007)

v. ∆𝑠(𝑡 − 𝑠)(𝜗)= −𝜗(𝑡 − 𝑠 − 1)(𝜗−1), 𝑠 ∈ ℝ (Goodrich 2010).

İspat.

Makalede verilmeyen i, ii, iii, iv ispatlarını yapalım. Azalan faktöriyelin tanımına ve özelliklerine göre ispatlar aşağıdaki gibi gösterilebilir.

i. ∆𝑡(𝜗) = ∆ 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1) = 𝛤((𝑡 + 1) + 1) 𝛤((𝑡 + 1) − 𝜗 + 1)− 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1) ∆ Operatörünün özelliğinden, = 𝛤(𝑡 + 2) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 2)− 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥𝛤(𝑥) özelliğinden,

= (𝑡 + 1)𝛤(𝑡 + 1) (𝑡 − 𝜗 + 1)𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1)− 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1) = 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1)( 𝑡 + 1 𝑡 − 𝜗 + 1− 1) = 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1) 𝜗 (𝑡 − 𝜗 + 1) = 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗)! 𝜗 (𝑡 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑛 + 1) = 𝑛! özelliğinden, = 𝜗 𝛤(𝑡 + 1) (𝑡 − 𝜗 + 1)! = 𝜗 𝛤(𝑡 + 1) (𝑡 + 1 − (𝜗 − 1)) 𝑡(𝑛) = 𝛤(𝑡+1) 𝛤(𝑡+1−𝑛) özelliğinden, = 𝜗𝑡(𝜗−1) elde edilir. ii. (𝑡 − 𝜇)𝑡(𝜇) _{= (𝑡 − 𝜇)} 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 + 1 − 𝜇) 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥𝛤(𝑥) özelliğinden, = (𝑡 − 𝜇) 𝛤(𝑡 + 1) (𝑡 − 𝜇)𝛤(𝑡 − 𝜇) = 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 + 1 − (𝜇 + 1)) = 𝑡(𝜇+1) iii. 𝜇(𝜇) = 𝛤(𝜇 + 1) 𝛤(𝜇 + 1 − 𝜇) = 𝛤(𝜇 + 1) 𝛤(1) = 𝛤(𝜇 + 1) iv. 𝑡(𝜗+𝛽) = 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 + 1 − 𝜗 − 𝛽)

𝛤(𝑡 − 𝛽 + 1) ile çarpar ve bölersek, = 𝛤(𝑡 − 𝛽 + 1) 𝛤(𝑡 + 1 − 𝜗 − 𝛽) 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝛽 + 1) = (𝑡 − 𝛽)(𝜗)_𝑡(𝛽) elde edilir.

v. Azalan faktöriyel tanımı ve gamma fonksiyonunun temel özelliklerinden, ∆_𝑠(𝑡 − 𝑠)(𝜗)= (𝑡 − 𝑠 − 1)(𝜗)− (𝑡 − 𝑠)(𝜗) = 𝛤(𝑡 − 𝑠) 𝛤(𝑡 − 𝑠 − 𝜗)− 𝛤(𝑡 − 𝑠 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝑠 − 𝜗 + 1) =(𝑡 − 𝑠 − 𝜗)𝛤(𝑡 − 𝑠) − 𝛤(𝑡 − 𝑠 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝑠 − 𝜗 + 1) = −𝜗(𝑡 − 𝑠 − 1)(𝜗−1) elde edilir. ∎

Lemma 2.1. 𝑎, 𝜗 ∈ ℝ olsun. 𝑦 ve 𝑓, ℕ_𝜗+𝑎 da tanımlı fonksiyonlar ve 𝛾 > 0 sabit sayı ise, her 𝑡 ∈ ℕ_𝜗+𝑎 için

𝑦(𝑡) ≤ 𝑓(𝑡) + 𝛾 ∑ 𝑦(𝜏) 𝑡−1 𝜏=𝜗−1 dir. Ayrıca, 𝑦(𝑡) ≤ 𝑓(𝑡) + 𝛾 ∑ 𝑓(𝜏) 𝑡−1 𝜏=𝜗−1 (1 + 𝛾)𝑡−𝜏−1 dir.

Uyarı 2.1. Analizde verilen her 𝜗 > 0 reel sayısı için,

𝑑 𝑑𝑡𝑡

𝜗 _{= 𝜗𝑡}𝜗−1 ve ayrık analizde,

∆𝑡(𝜗) = 𝜗𝑡(𝜗−1)

dir. Bu nedenle, analizdeki 𝑥𝑛 _{kuvvetleri ve ayrık analizdeki 𝑥}(𝑛) _benzerdir.

Bu tezdeki bazı ispatlar ayrık analiz için çarpım kuralına bağlı olduğundan, bu kuralı bir örnekle gösterelim.

Örnek 2.1. 𝑓 ve 𝑔 reel değerli fonksiyonlar olsun.

∆(𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)) = 𝑔(𝑡)∆𝑓(𝑡) + 𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡)

= 𝑔(𝜎(𝑡))∆𝑓(𝑡) + 𝑓(𝑡)∆𝑔(𝑡), (2.6) (𝜎(𝑡) = 𝑡 + 1)

Birinci eşitlik için,

∆(𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)) = 𝑓(𝑡 + 1)𝑔(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)

= 𝑓(𝑡 + 1)𝑔(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡 + 1)𝑔(𝑡) + 𝑓(𝑡 + 1)𝑔(𝑡) − 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 1)(𝑔(𝑡 + 1) − 𝑔(𝑡)) + 𝑔(𝑡)(𝑓(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡))

= 𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡) + 𝑔(𝑡)∆𝑓(𝑡).

İkinci eşitlik için,

∆(𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)) = 𝑓(𝑡 + 1)𝑔(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)

= 𝑓(𝑡 + 1)𝑔(𝑡 + 1) − 𝑔(𝑡 + 1)𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡 + 1)𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡) = 𝑔(𝑡 + 1)(𝑓(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡)) + 𝑓(𝑡)(𝑔(𝑡 + 1) − 𝑔(𝑡))

= 𝑔(𝜎(𝑡))∆𝑓(𝑡) + 𝑓(𝑡)∆𝑔(𝑡)

(Kelley and Peterson 2001).

Uyarı 2.2. (2.6) denkleminden,

𝑔(𝑡)∆𝑓(𝑡) = ∆(𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)) − 𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡) dir.

Her iki tarafa da 𝑡 = 1 den 𝑏 − 1’e kadar toplam operatörü uygulanırsa,

∑(𝑔(𝑡)∆𝑓(𝑡)) = 𝑏−1 𝑡=1 ∑ ∆(𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)) − 𝑏−1 𝑡=1 ∑(𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡)) 𝑏−1 𝑡=1 = ∑[𝑓(𝑡 + 1)𝑔(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)] − 𝑏−1 𝑡=1 ∑(𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡)) 𝑏−1 𝑡=1 = [𝑓(2)𝑔(2) − 𝑓(1)𝑔(1) + 𝑓(3)𝑔(3) − 𝑓(2)𝑔(2) + 𝑓(4)𝑔(4) − 𝑓(3)𝑔(3) + ⋯ + 𝑓(𝑏 − 1)𝑔(𝑏 − 1) − 𝑓(𝑏 − 2)𝑔(𝑏 − 2) + 𝑓(𝑏)𝑔(𝑏) − 𝑓(𝑏 − 1)𝑔(𝑏 − 1)] − ∑(𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡)) 𝑏−1 𝑡=1 = [𝑓(𝑏)𝑔(𝑏) − 𝑓(1)𝑔(1)] − ∑ 𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡) 𝑏−1 𝑡=1 ∑(𝑔(𝑡)∆𝑓(𝑡)) = 𝑏−1 𝑡=1 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)|₁𝑏− ∑ 𝑓(𝜎(𝑡))∆𝑔(𝑡), 𝑏−1 𝑡=1 (2.7)

𝑏 > 1 tam sayı, (2.7) ayrık kesirli analizde toplam formülü olarak bilinir (Kelley and Peterson 2001).

Tanım 2.3. 𝑎 herhangi bir reel sayı ve 𝜗 herhangi bir pozitif reel sayı olsun. 𝑓’nin

𝜗-inci mertebeden kesirli toplamı,

∆_𝑎−𝜗𝑓(𝑡) = 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝜎(𝑠)) (𝜗−1) 𝑓(𝑠) (2.8) 𝑡−𝜗 𝑠=𝑎 olarak tanımlanır (Miller and Ross 1989).

Burada 𝑠 = 𝑎(𝑚𝑜𝑑1) için 𝑓 fonksiyonu, ve 𝑡 = 𝑎 + 𝜗(𝑚𝑜𝑑1) için ∆_𝑎−𝜗𝑓 kesirli toplamı tanımlanmıştır. Uyarı 2.3. 𝜗 = 1 için, ∆𝑎−𝜗𝑓(𝑡) = 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝜎(𝑠)) (𝜗−1) 𝑓(𝑠) 𝑡−𝜗 𝑠=𝑎 tanımı ∆_𝑎−1𝑓(𝑡) = 1 𝛤(1)∑(𝑡 − 𝜎(𝑠)) (1−1) 𝑓(𝑠) 𝑡−1 𝑠=𝑎 𝑡(𝑛) = 𝛤(𝑡+1) 𝛤(𝑡+1−𝑛) özelliğinden, = 1 1∑ 𝛤(𝑡 − 𝜎(𝑠) + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜎(𝑠) + 1 − 0)𝑓(𝑠) 𝑡−1 𝑠=𝑎 = ∑ 𝑓(𝑠) 𝑡−1 𝑠=𝑎 ⇒ ∆_𝑎−1_{𝑓(𝑡) = ∑ 𝑓(𝑠)} 𝑡−1 𝑡=1 şekline gelir.

𝑎 herhangi bir reel sayı, 𝜗 herhangi bir pozitif reel sayı olsun. 𝑚 − 1 < 𝜗 < 𝑚 ve burada 𝑚 bir tam sayıdır. 𝑓’nin 𝜗-inci mertebeden kesirli farkı,

∆𝜗𝑓(𝑡) = ∆𝑚∆−(𝑚−𝜗)𝑓(𝑡) = ∆𝑚 1 𝛤(𝑚 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (𝑚−𝜗−1) 𝑓(𝑠) 𝑡−𝑚+𝜗 𝑠=𝑎 (2.9) olarak tanımlanır.

Tanım 2.4. 𝑦: ℕ0 → ℝ bir fonksiyon ve 𝑦(0) ≥ 0 olsun. Eğer, her 𝑎 ∈ ℕ0 için 𝑦(𝑎 + 1) ≥ 𝜗𝑦(0)

ise 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-artan fonksiyondur (Atıcı and Uyanık 2015).

𝑦, ℕ₀ da artan ve 0 < 𝜗 < 1 ise 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-artandır. Ayrıca 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-artan ve 𝜗 ≥ 1 ise 𝑦, ℕ₀ da artandır. 𝜗 = 1 ise 𝑦, ℕ₀ da artandır ancak ve ancak 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-artandır.

Tanım 2.5. 𝑦: ℕ₀ → ℝ bir fonksiyon ve 𝑦(0) ≤ 0 olsun. Eğer, her 𝑎 ∈ ℕ₀ için 𝑦(𝑎 + 1) ≤ 𝜗𝑦(0)

ise 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-azalan fonksiyondur (Atıcı and Uyanık 2015).

𝑦, ℕ₀ da azalan ve 0 < 𝜗 < 1 ise 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-azalandır. Ayrıca 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-azalan ve 𝜗 ≥ 1 ise 𝑦, ℕ0 da azalandır. 𝜗 = 1 ise 𝑦, ℕ0 da azalandır ancak ve ancak 𝑦, ℕ0 da 𝜗-azalandır.

Örnek 2.2. ℕ₀ da 𝑔(𝑡) = 𝑒−𝑡 _olsun.

𝜗 ∈ (0, 1/𝑒] olduğunda 𝑔’nin 𝜗-artan fonksiyon olduğunu gösterelim. 0 < 𝜗 ≤ 1/𝑒 eşitsizliğinin her iki tarafını 𝑒−𝑡 ile çarpalım.

0 < 𝜗𝑒−𝑡 ≤ 𝑒−(1+𝑡) elde ederiz. Böylece, tanım 2.4. den ℕ0 da 𝑔(𝑡) = 𝑒−𝑡 𝜗-artandır (Atıcı and Uyanık 2015).

Tanım 2.6. Bir diferansiyel denklem çözülmek istendiğinde gerçekten bir çözümü

olduğundan ve bu çözümün tek olduğundan emin olunmalıdır. Bu husus 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) eşitliğindeki 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonunun Lipschitz şartının sağlanmasını gerekli kılar. 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonunun (𝑥₀, 𝑦₀) noktasını içine alan bir 𝑅 bölgesinde tanımlı ve sürekli olduğunu varsayalım. Bölgenin kapalı ve bir dikdörtgenle sınırlı olduğunu kabul edelim. Şayet 𝑅 bölgesindeki bütün 𝑥, 𝑦₁ ve 𝑦₂ ler için

|𝑓(𝑥, 𝑦₁) − 𝑓(𝑥, 𝑦₂)| < 𝐿|𝑦₁ − 𝑦₂|

eşitsizliğini sağlayacak bir 𝐿 varsa 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonu Lipschitz koşulunu sağlar.

Teorem 2.2. 𝑓, ℕ_𝑎 da tanımlanan reel değerli bir fonksiyon olsun ve 𝜇, 𝜗 > 0 olsun. 𝑡 = 𝜇 + 𝜗, 𝑚𝑜𝑑(1) olacak şekilde tüm 𝑡 ler için

∆−𝜗_[∆−𝜇_{𝑓(𝑡)] = ∆}−(𝜇+𝜗)_{𝑓(𝑡) = ∆}−𝜇_[∆−𝜗_𝑓(𝑡)] dir (Atıcı and Eloe 2007).

Uyarı 2.4. 𝑓, tam sayılar kümesinde tanımlanmış reel değerli bir fonksiyon olsun. Ayrık

analizde,

∆∆−1𝑓 = 𝑓 dir.

Dolayısıyla,

∆−𝜗_𝑡 (𝜇) ₌ 𝛤(𝜇 + 1) 𝛤(𝜇 + 𝜗 + 1)𝑡

(𝜇+𝜗)

dir (Atıcı and Eloe 2007).

Uyarı 2.5. Herhangi bir 𝑐 sabiti için, ∆𝜗_{𝑐 sıfır değildir.}

Bunu görmek için, kuvvet kuralını ve toplam operatörünün lineerlik özelliğini kullanırız. Bir 𝑐 sabitinin kesirli farkı,

Lemma 2.2.den, ∆∆−(1−𝜗)𝑐 = ∆ 𝑐 𝛤(2 − 𝜗)𝑡 (1−𝜗) ∆-türev ve 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥𝛤(𝑥) den, = 𝑐 𝛤(1 − 𝜗)𝑡 (−𝜗) dir. Burada 0 < 𝜗 < 1 dir.

Örnek 2.2. 𝑓 ve 𝑔 tamsayılar kümesinde tanımlı olsun. 𝜗 =1

2 için kuvvet kuralı aracılığı ile aşağıdaki gibi faktöriyel polinomlarının 𝜗 −inci toplamını hesaplayabilir ve genelleyebiliriz. Çözüm: ∆−12_𝑡(0) ₌ 𝛤(0 + 1) 𝛤 (0 +1_{2 + 1)} 𝑡(0+12) ₌ 𝛤(1) 𝛤 (3₂₎ 𝑡(12) = 𝛤(1) 𝛤 (3₂₎ 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤 (𝑡 + 1 −1₂₎ = 𝛤(1) 𝛤 (3₂₎ 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤 (𝑡 +1₂₎ ∆−12_𝑡(1) ₌ 𝛤(1 + 1) 𝛤 (1 +1_{2 + 1)} 𝑡(1+12) ₌ 𝛤(2) 𝛤 (5₂₎ 𝑡(32) = 𝛤(2) 𝛤 (5₂₎ 𝛤(𝑎 + 1) 𝛤 (𝑎 + 1 −3₂₎ = 𝛤(2) 𝛤 (5₂₎ 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤 (𝑡 −1₂₎ ∆−12_𝑡(2) ₌ 𝛤(2 + 1) 𝛤 (2 +1_{2 + 1)} 𝑡(2+12) ₌ 𝛤(3) 𝛤 (7₂₎ 𝑡(52) = 𝛤(3) 𝛤 (7₂₎ 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤 (𝑡 + 1 −5₂₎ = 𝛤(3) 𝛤 (7₂₎ 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤 (𝑡 −3₂₎

∆−1/2_𝑡(𝑛) ₌ 𝛤(𝑛 + 1) 𝛤 (𝑛 +3₂₎ 𝑡(𝑛+12) ₌ 𝛤(𝑛 + 1) 𝛤 (𝑛 +3₂₎ 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤 (𝑡 − 𝑛 +1₂₎

Teorem 2.3. Herhangi bir 𝜗 > 0 için, aşağıdaki eşitlik sağlanır. ∆−𝜗∆𝑓(𝑡) = ∆∆−𝜗𝑓(𝑡) −(𝑡 − 𝑎)

(𝜗−1)

𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) (2.10) Öyle ki 𝑓, ℕ_𝑎 da tanımlıdır (Atıcı and Eloe 2009).

Uyarı 2.6.

∆−𝜗∆𝑓(𝑡) = ∆∆−𝜗𝑓(𝑡) −(𝑡 − 𝑎) (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) denkleminde 𝜗 yerine 𝜗 + 1 yazılarak, teorem 2.2. den (üs kuralı),

∆−𝜗−1∆𝑓(𝑡) = ∆−𝜗𝑓(𝑡) −(𝑡 − 𝑎) (𝜗) 𝛤(𝜗 + 1)𝑓(𝑎) elde edilir. Bu ∆−𝜗𝑓(𝑡) = ∆−𝜗−1∆𝑓(𝑡) +(𝑡 − 𝑎) (𝜗) 𝛤(𝜗 + 1) 𝑓(𝑎) (2.11) denklemini ifade eder (Atıcı and Eloe 2009).

Uyarı 2.7. 𝑝 − 1 < 𝜗 < 𝑝 olsun. Burada 𝑝 bir pozitif tamsayıdır. Teorem 2.3. den,

∆∆𝜗𝑓(𝑡) = ∆∆𝑝(∆−(𝑝−𝜗)𝑓(𝑡)) = ∆𝑝+1(∆−(𝑝−(𝜗))𝑓(𝑡)) = ∆𝑝_(∆∆−(𝑝−𝜗)_𝑓(𝑡)) teorem 2.3. (𝜗 = 𝑝 − 𝜗), = ∆𝑝(∆−(𝑝−𝜗)∆𝑓(𝑡) +(𝑡 − 𝑎) (𝑝−𝜗−1) 𝛤(𝑝 − 𝜗) 𝑓(𝑎)) = ∆𝑝∆−(𝑝−𝜗)∆𝑓(𝑡) + ∆𝑝(𝑡 − 𝑎) (𝑝−𝜗−1) 𝛤(𝑝 − 𝜗) 𝑓(𝑎) lemma 2.2. ve teorem 2.2. den,

= ∆𝜗∆𝑓(𝑡) + 1 𝛤(𝑝 − 𝜗) 𝛤(𝑝 − 𝜗 − 1 + 1) 𝛤((𝑝 − 𝜗 − 1) − 𝑝 + 1)(𝑡 − 𝑎) (𝑝−𝜗−1−𝑝)_𝑓(𝑎) = ∆𝜗∆𝑓(𝑡) + 1 𝛤(𝑝 − 𝜗) 𝛤(𝑝 − 𝜗) 𝛤(−𝜗) (𝑡 − 𝑎) (−𝜗−1)_𝑓(𝑎)

⇒ ∆∆𝜗𝑓(𝑡) = ∆𝜗∆𝑓(𝑡) +(𝑡 − 𝑎) (−𝜗−1) 𝛤(−𝜗) 𝑓(𝑎) elde edilir (Atıcı and Eloe 2009).

Böylece, teorem 2.3. deki denklemin herhangi bir 𝜗 reel sayısı için geçerli olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

Teorem 2.4. 𝜗 herhangi bir gerçek sayı ve 𝑝 herhangi bir pozitif tam sayısı için aşağıdaki eşitlik sağlanır.

∆−𝜗∆𝑝𝑓(𝑡) = ∆𝑝∆−𝜗𝑓(𝑡) − ∑ (𝑡 − 𝑎) (𝜗−𝑝+𝑘) 𝛤(𝜗 + 𝑘 − 𝑝 + 1)∆ 𝑘_{𝑓(𝑎), (2.12)} 𝑝−1 𝑘=0 Öyle ki 𝑓, ℕ_𝑎 da tanımlıdır (Atıcı and Eloe 2009).

Uyarı 2.8. (2.12) de 𝜗 yerine 𝜗 + 𝑝 yazar ve teorem 2.2. yi kullanırsak,

∆−𝜗_{𝑓(𝑡) = ∆}−𝜗−𝑝_∆𝑝_{𝑓(𝑡) + ∑} (𝑡 − 𝑎) (𝜗+𝑘) 𝛤(𝜗 + 𝑘 + 1)∆ 𝑘_𝑓(𝑎). 𝑝−1 𝑘=0 (2.13)

(Atıcı and Eloe 2009).

Teorem 2.5. 𝑝 pozitif bir tam sayı ve 𝜗 > 𝑝 olsun. Öyleyse,

∆𝑝[∆−𝜗𝑓(𝑡)] = ∆−(𝜗−𝑝)𝑓(𝑡). (2.14) dir (Atıcı and Eloe 2009).

3. AYRIK KESİRLİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ

Bu bölümde ayrık kesirli fark operatörleri için monotonluk sonucu verilmiş, literatürde verilen temel teoremlerin ispatları açılmıştır.

Teorem 3.1. 𝑦(0) ≥ 0, 𝑦: ℕ₀ → ℝ bir fonksiyon olsun. 𝜗 ∈ (0,1) ve her 𝑡 ∈ ℕ_1−𝜗 için ∆₀𝜗𝑦(𝑡) ≥ 0

olduğunu varsayalım. Bu durumda 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-artandır (Atıcı and Uyanık 2015).

İspat. Matematiksel tümevarım ile 𝑦’nin 𝜗-artan olduğunu ispatlayacağız. İlk olarak,

kesirli toplam tanımından,

∆₀𝜗𝑦(𝑡) = ∆∆₀−(1−𝜗)𝑦(𝑡) = ∆[ 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠)] ≥ 0 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0 eşitsizliğini inceleyelim. 𝑠(𝑡) = 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0

olsun. ∆𝑠(𝑡) ≥ 0 olduğundan, 𝑠(𝑡), ℕ_1−𝜗 de artan bir fonksiyondur. 𝑠(2 − 𝜗) − 𝑠(1 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)(1 − 𝜗) (−𝜗)_{𝑦(0) +} 1 𝛤(1 − 𝜗)(−𝜗) (−𝜗)_𝑦(1) − 1 𝛤(1 − 𝜗)(−𝜗) (−𝜗)_𝑦(0) = 1 𝛤(1 − 𝜗)[∆(−𝜗) (−𝜗)_{𝑦(0) + (−𝜗)}(−𝜗)_𝑦(1)] = 1 𝛤(1 − 𝜗)[−𝜗 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(2) 𝑦(0) + 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(1) 𝑦(1)] ≥ 0 dır. Dolayısıyla 𝑦(1) ≥ 𝜗𝑦(0)

dır. Şimdi, tümevarım hipotezinin 𝑛 = 𝑘 − 1 değeri için geçerli olduğunu varsayalım. Böylece,

𝑦(𝑘) ≥ 𝜗𝑦(𝑘 − 1) ≥ 𝜗2_{𝑦(𝑘 − 2) ≥ ⋯ ≥ 𝜗}𝑘_{𝑦(0) ≥ 0 (3.1)} elde edilir. 𝑛 = 𝑘 için eşitsizlik,

𝑦(𝑘 + 1) ≥ 𝜗𝑦(𝑘) (3.2) dir. (3.2)’nin ispatı için ilk olarak,

𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 1 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘 𝑠=0 ve 𝑠(𝑘 + 2 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 2 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘+1 𝑠=0 eşitliklerini hesaplayalım. 𝑠(𝑡), artan olduğundan; 𝑠(𝑘 + 2 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 2 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘+1 𝑠=0 − 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 1 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘 𝑠=0 ≥ 0

dır. Yukarıdaki toplam operatörlerinden, 1 𝛤(1 − 𝜗)[(𝑘 + 1 − 𝜗) (−𝜗)_{𝑦(0) + (𝑘 − 𝜗)}(−𝜗)_𝑦(1) + (𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(2)+ ⋯ + (2 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 − 1) + (1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] − 1 𝛤(1 − 𝜗)[(𝑘 − 𝜗) (−𝜗)_𝑦(0) + (𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(1) + (𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(2)+ ⋯ + (1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 − 1) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘)] ≥ 0

elde ederiz. Benzer terimler ortak paranteze alındığında aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz. 1 𝛤(1 − 𝜗)[[(𝑘 + 1 − 𝜗) (−𝜗)_{− (𝑘 − 𝜗)}(−𝜗)_]𝑦(0) + [(𝑘 − 𝜗)(−𝜗)− (𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)]𝑦(1) + [(𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)− (𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗)]𝑦(2) + ⋯ + [(2 − 𝜗)(−𝜗)− (1 − 𝜗)(−𝜗)]𝑦(𝑘 − 1) + [(1 − 𝜗)(−𝜗)− (−𝜗)(−𝜗)]𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] ≥ 0 Daha sonra, ∆ operatörünü 𝑦(0), 𝑦(1), … , 𝑦(𝑘 + 1) katsayılarına uygularsak,

1

𝛤(1 − 𝜗)[∆(𝑘 − 𝜗)

(−𝜗)_{𝑦(0) + ∆(𝑘 − 1 − 𝜗)}(−𝜗)_𝑦(1) + ∆(𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(2) + ⋯ + ∆(1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 − 1) + ∆(−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] ≥ 0

elde edilir. ∆ operatörüne

∆𝑡(𝜇) _{= 𝜇∆𝑡}(𝜇−1) kuvvet kuralını uygularsak,

1

𝛤(1 − 𝜗)[(−𝜗)(𝑘 − 𝜗)

(−𝜗−1)_{𝑦(0) + (−𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗)}(−𝜗−1)_𝑦(1) + (−𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗−1)𝑦(2) + ⋯ + (−𝜗)(1 − 𝜗)(−𝜗−1)𝑦(𝑘 − 1) + (−𝜗)(−𝜗)(−𝜗−1)𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] ≥ 0

elde edilir. Azalan faktöriyel tanımından, 1 𝛤(1 − 𝜗)[(−𝜗) 𝛤(𝑘 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(0) + (−𝜗) 𝛤(𝑘 − 1 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 − 1 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(1) + (−𝜗) 𝛤(𝑘 − 2 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 − 2 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(2) + ⋯ + (−𝜗) 𝛤(1 − 𝜗 + 1) 𝛤(1 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(𝑘 − 1) + (−𝜗) 𝛤(−𝜗 + 1) 𝛤(−𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(𝑘) + 𝛤(−𝜗 + 1)𝑦(𝑘 + 1)] ≥ 0 elde edilir. Yukarıdaki ifadeyi sadeleştirirsek,

𝑦(𝑘 + 1) + (−𝜗) 𝛤(1 − 𝜗)[ 𝛤(𝑘 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) + 𝛤(𝑘 − 𝜗) 𝛤(𝑘 + 1)𝑦(1) + 𝛤(𝑘 − 1 − 𝜗) 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ + 𝛤(2 − 𝜗) 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) + 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(2) 𝑦(𝑘)] ≥ 0 elde edilir. Böylece,

𝑦(𝑘 + 1) + (−𝜗) 𝛤(1 − 𝜗)[ (𝑘 − 𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) +(𝑘 − 1 − 𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(𝑘 + 1) 𝑦(1) +(𝑘 − 2 − 𝜗)(𝑘 − 3 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ +(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) + 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(2) 𝑦(𝑘)] ≥ 0 dır. Buradan, 𝑦(𝑘 + 1) ≥(𝑘 − 𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) +(𝑘 − 1 − 𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 1) 𝑦(1) +(𝑘 − 2 − 𝜗)(𝑘 − 3 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ +(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) + 𝜗 𝛤(2)𝑦(𝑘) dır. (3.1) tümevarım varsayımından, 𝑦(𝑘 + 1) − 𝜗𝑦(𝑘) ≥ (𝑘 − 𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) +(𝑘 − 1 − 𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 1) 𝑦(1) +(𝑘 − 2 − 𝜗)(𝑘 − 3 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ +(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) ≥ 0 elde edilir. Bundan dolayı, her 𝑘 ∈ ℕ için

𝑦(𝑘 + 1) − 𝜗𝑦(𝑘) ≥ 0 olarak sonuçlandırabiliriz.

Artan faktöriyel,

𝑡𝜗̅ ₌𝛤(𝑡 + 𝜗) 𝛤(𝑡) olarak tanımlanır.

Gamma fonksiyonunun sıfır ve negatif tamsayılar için tanımlı olmadığına dikkat edelim. 𝑡 → 𝑡𝜗̅_{, {𝑡 ∈ ℝ ∶ 𝑡 𝑣𝑒 𝑡 + 𝜗, ℤ}−_{∪ {0} 𝑎 𝑎𝑖𝑡 𝑑𝑒ğ𝑖𝑙} kümesinden ℝ reel sayılar} kümesine tanımlıdır.

Teorem 3.2. 𝑦(0) ≥ 0, 𝑦: ℕ0 → ℝ bir fonksiyon olsun. 𝜗 ∈ (0,1) ve 𝑦’nin ℕ0 da artan bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Her 𝑡 ∈ ℕ_1−𝜗 için

∆₀𝜗𝑦(𝑡) ≥ 0 dır (Atıcı and Uyanık 2015).

İspat. ∆₀𝜗𝑦(𝑡) = ∆∆₀−(1−𝜗)𝑦(𝑡) = ∆[ 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠)] ≥ 0 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0 olduğunu göstermek istiyoruz. Benzer olarak,

𝑠(𝑡) = 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0

olsun. İspatı tamamlamak için, 𝑠(𝑡)’nin ℕ_1−𝜗 de artan olduğunu göstermeliyiz. 𝑘 ≥ 1, herhangi bir 𝑘 reel sayısı için,

𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 − 𝜗) ≥ 0 dır. Aslında, 𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 1 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) − 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘−1 𝑠=0 𝑘 𝑠=0 = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑ ∆𝑘(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) + 1 𝛤(1 − 𝜗)(−𝜗) (−𝜗)_𝑦(𝑘) 𝑘−1 𝑠=0 = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑠) + 𝑦(𝑘) 𝑘−1 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑠) 𝑘−2 𝑠=0

= 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) + 𝜗 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) (𝑦(𝑘 − 1) − 𝑦(𝑠)) 𝑘−2 𝑠=0 + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑘 − 1) 𝑘−2 𝑠=0 ≥ 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) +𝑦(𝑘 − 1) 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑘−2 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝑦(𝑘 − 1) + 𝑦(𝑘 − 1) +𝑦(𝑘 − 1) 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑘−1 𝑠=0 ≥ 𝑦(𝑘 − 1)(1 + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) ) 𝑘−1 𝑠=0 = 𝑦(𝑘 − 1) ∑(−𝜗) 𝑠̅ 𝑠! 𝑘 𝑠=0 = 𝑦(𝑘 − 1)(1 − 𝜗) 𝑘̅ 𝑘! ≥ 0 elde edilir. ∎

Teorem 3.3. 𝑦(0) > 0, 𝑦: ℕ₀ → ℝ bir fonksiyon olsun. 𝜗 ∈ (0,1) ve 𝑦’nin ℕ₀’da kesin artan fonksiyon olduğunu varsayalım. Her 𝑡 ∈ ℕ_1−𝜗 için

∆₀𝜗𝑦(𝑡) > 0 dır (Atıcı and Uyanık 2015).

İspat. ∆₀𝜗𝑦(𝑡) = ∆∆₀−(1−𝜗)𝑦(𝑡) = ∆[ 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠)] > 0 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0 olduğunu göstermek istiyoruz. Benzer olarak,

𝑠(𝑡) = 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0

olsun. İspatı tamamlamak için, 𝑠(𝑡)’nin ℕ1−𝜗 de artan olduğunu göstermeliyiz. 𝑘 ≥ 1, herhangi bir 𝑘 reel sayısı için,

𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 − 𝜗) > 0 dır. Aslında,

𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 1 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) − 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘−1 𝑠=0 𝑘 𝑠=0 = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑ ∆𝑘(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) + 1 𝛤(1 − 𝜗)(−𝜗) (−𝜗)_𝑦(𝑘) 𝑘−1 𝑠=0 = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑠) + 𝑦(𝑘) 𝑘−1 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑠) 𝑘−2 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) + 𝜗 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) (𝑦(𝑘 − 1) − 𝑦(𝑠)) 𝑘−2 𝑠=0 + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑘 − 1) 𝑘−2 𝑠=0 > 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) +𝑦(𝑘 − 1) 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑘−2 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝑦(𝑘 − 1) + 𝑦(𝑘 − 1) +𝑦(𝑘 − 1) 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑘−1 𝑠=0 > 𝑦(𝑘 − 1)(1 + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) ) 𝑘−1 𝑠=0 = 𝑦(𝑘 − 1) ∑(−𝜗) 𝑠̅ 𝑠! 𝑘 𝑠=0 = 𝑦(𝑘 − 1)(1 − 𝜗) 𝑘̅ 𝑘! > 0 elde edilir. ∎

Sonuç 3.1. ℎ: [1, +∞)ℕ× ℝ → ℝ tanımlı negatif olmayan, sürekli fonksiyon ve 𝐴 negatif olmayan reel bir sayı olsun. Ayrık kesirli başlangıç değer probleminin tek çözümü,

∆₀𝜗𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑡 + 𝜗 − 1)), 𝑡 ∈ ℕ_2−𝜗 𝑦(0) = 𝐴

Benzer yolla, yukarıdaki sonuçlar başlangıç noktasında negatif değerli fonksiyon için elde edilebilir.

Teorem 3.4. 𝑦(0) ≤ 0, 𝑦: ℕ₀ → ℝ bir fonksiyon olsun. 𝜗 ∈ (0,1) ve her 𝑡 ∈ ℕ_1−𝜗 için ∆₀𝜗𝑦(𝑡) ≤ 0

olduğunu varsayalım. Bu durumda 𝑦, ℕ₀ da 𝜗-azalandır (Atıcı and Uyanık 2015).

İspat. Matematiksel tümevarım ile 𝑦’nin 𝜗-azalan olduğunu ispatlayacağız. İlk olarak,

kesirli toplam tanımından,

∆₀𝜗𝑦(𝑡) = ∆∆₀−(1−𝜗)𝑦(𝑡) = ∆[ 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠)] ≤ 0 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0 eşitsizliğini inceleyelim. 𝑠(𝑡) = 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0

olsun. ∆𝑠(𝑡) ≤ 0 olduğundan, 𝑠(𝑡), ℕ_1−𝜗 de azalan bir fonksiyondur. 𝑠(2 − 𝜗) − 𝑠(1 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)(1 − 𝜗) (−𝜗)_{𝑦(0) +} 1 𝛤(1 − 𝜗)(−𝜗) (−𝜗)_𝑦(1) − 1 𝛤(1 − 𝜗)(−𝜗) (−𝜗)_𝑦(0) = 1 𝛤(1 − 𝜗)[∆(−𝜗) (−𝜗)_{𝑦(0) + (−𝜗)}(−𝜗)_𝑦(1)] = 1 𝛤(1 − 𝜗)[−𝜗 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(2) 𝑦(0) + 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(1) 𝑦(1)] ≤ 0 dır. Dolayısıyla 𝑦(1) ≤ 𝜗𝑦(0)

dır. Şimdi, tümevarım hipotezinin 𝑛 = 𝑘 − 1 değeri için geçerli olduğunu varsayalım. Böylece,

𝑦(𝑘) ≤ 𝜗𝑦(𝑘 − 1) ≤ 𝜗2_{𝑦(𝑘 − 2) ≤ ⋯ ≤ 𝜗}𝑘_{𝑦(0) ≤ 0 (3.3)} elde edilir. 𝑛 = 𝑘 için eşitsizlik,

𝑦(𝑘 + 1) ≤ 𝜗𝑦(𝑘) (3.4) dir. (3.4)’ün ispatı için ilk olarak,

𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 1 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘 𝑠=0

ve 𝑠(𝑘 + 2 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 2 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘+1 𝑠=0

eşitliklerini hesaplayalım. 𝑠(𝑡), azalan olduğundan; 𝑠(𝑘 + 2 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 2 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘+1 𝑠=0 − 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 1 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘 𝑠=0 ≤ 0 dır. Yukarıdaki toplam operatörlerinden,

1 𝛤(1 − 𝜗)[(𝑘 + 1 − 𝜗) (−𝜗)_{𝑦(0) + (𝑘 − 𝜗)}(−𝜗)_𝑦(1) + (𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(2)+ ⋯ + (2 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 − 1) + (1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] − 1 𝛤(1 − 𝜗)[(𝑘 − 𝜗) (−𝜗)_𝑦(0) + (𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(1) + (𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(2)+ ⋯ + (1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 − 1) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘)] ≤ 0

elde ederiz. Benzer terimler ortak paranteze alındığında aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz. 1 𝛤(1 − 𝜗)[[(𝑘 + 1 − 𝜗) (−𝜗)_{− (𝑘 − 𝜗)}(−𝜗)_]𝑦(0) + [(𝑘 − 𝜗)(−𝜗)− (𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)]𝑦(1) + [(𝑘 − 1 − 𝜗)(−𝜗)− (𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗)]𝑦(2) + ⋯ + [(2 − 𝜗)(−𝜗)− (1 − 𝜗)(−𝜗)]𝑦(𝑘 − 1) + [(1 − 𝜗)(−𝜗)− (−𝜗)(−𝜗)]𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] ≤ 0 Daha sonra, ∆ operatörünü 𝑦(0), 𝑦(1), … , 𝑦(𝑘 + 1) katsayılarına uygularsak,

1

𝛤(1 − 𝜗)[∆(𝑘 − 𝜗)

(−𝜗)_{𝑦(0) + ∆(𝑘 − 1 − 𝜗)}(−𝜗)_𝑦(1) + ∆(𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(2) + ⋯ + ∆(1 − 𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 − 1) + ∆(−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] ≤ 0

∆𝑡(𝜇) = 𝜇∆𝑡(𝜇−1) kuvvet kuralını uygularsak,

1

𝛤(1 − 𝜗)[(−𝜗)(𝑘 − 𝜗)

(−𝜗−1)_{𝑦(0) + (−𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗)}(−𝜗−1)_𝑦(1) + (−𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗)(−𝜗−1)𝑦(2) + ⋯ + (−𝜗)(1 − 𝜗)(−𝜗−1)𝑦(𝑘 − 1) + (−𝜗)(−𝜗)(−𝜗−1)𝑦(𝑘) + (−𝜗)(−𝜗)𝑦(𝑘 + 1)] ≤ 0

elde edilir. Azalan faktöriyel tanımından, 1 𝛤(1 − 𝜗)[(−𝜗) 𝛤(𝑘 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(0) + (−𝜗) 𝛤(𝑘 − 1 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 − 1 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(1) + (−𝜗) 𝛤(𝑘 − 2 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 − 2 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(2) + ⋯ + (−𝜗) 𝛤(1 − 𝜗 + 1) 𝛤(1 − 𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(𝑘 − 1) + (−𝜗) 𝛤(−𝜗 + 1) 𝛤(−𝜗 + 1 + 𝜗 + 1)𝑦(𝑘) + 𝛤(−𝜗 + 1)𝑦(𝑘 + 1)] ≤ 0 elde edilir. Yukarıdaki ifadeyi sadeleştirirsek,

𝑦(𝑘 + 1) + (−𝜗) 𝛤(1 − 𝜗)[ 𝛤(𝑘 − 𝜗 + 1) 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) + 𝛤(𝑘 − 𝜗) 𝛤(𝑘 + 1)𝑦(1) + 𝛤(𝑘 − 1 − 𝜗) 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ + 𝛤(2 − 𝜗) 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) + 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(2) 𝑦(𝑘)] ≤ 0 elde edilir. Böylece,

𝑦(𝑘 + 1) + (−𝜗) 𝛤(1 − 𝜗)[ (𝑘 − 𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) +(𝑘 − 1 − 𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(𝑘 + 1) 𝑦(1) +(𝑘 − 2 − 𝜗)(𝑘 − 3 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ +(1 − 𝜗)𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) + 𝛤(1 − 𝜗) 𝛤(2) 𝑦(𝑘)] ≤ 0 dır. Buradan,

𝑦(𝑘 + 1) ≤(𝑘 − 𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) +(𝑘 − 1 − 𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 1) 𝑦(1) +(𝑘 − 2 − 𝜗)(𝑘 − 3 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ +(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) + 𝜗 𝛤(2)𝑦(𝑘) dır. (3.3) tümevarım varsayımından, 𝑦(𝑘 + 1) − 𝜗𝑦(𝑘) ≤ (𝑘 − 𝜗)(𝑘 − 1 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 2) 𝑦(0) +(𝑘 − 1 − 𝜗)(𝑘 − 2 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘 + 1) 𝑦(1) +(𝑘 − 2 − 𝜗)(𝑘 − 3 − 𝜗) … (2 − 𝜗)(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(𝑘) 𝑦(2) + ⋯ +(1 − 𝜗)𝜗 𝛤(3) 𝑦(𝑘 − 1) ≤ 0 elde edilir. Bundan dolayı, her 𝑘 ∈ ℕ için

𝑦(𝑘 + 1) − 𝜗𝑦(𝑘) ≤ 0 olarak sonuçlandırabiliriz.

∎

Teorem 3.5. 𝑦(0) ≤ 0, 𝑦: ℕ₀ → ℝ bir fonksiyon olsun. 𝜗 ∈ (0,1) ve 𝑦’nin ℕ₀ da azalan bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Her 𝑡 ∈ ℕ_1−𝜗 için

∆₀𝜗𝑦(𝑡) ≤ 0 dır (Atıcı and Uyanık 2015).

İspat. ∆₀𝜗𝑦(𝑡) = ∆∆₀−(1−𝜗)𝑦(𝑡) = ∆[ 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠)] ≤ 0 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0 olduğunu göstermek istiyoruz. Benzer olarak,

𝑠(𝑡) = 1 𝛤(1 − 𝜗) ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑡−(1−𝜗) 𝑠=0

olsun. İspatı tamamlamak için, 𝑠(𝑡)’nin ℕ_1−𝜗 de azalan olduğunu göstermeliyiz. 𝑘 ≥ 1, herhangi bir 𝑘 reel sayısı için,

𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 − 𝜗) ≤ 0 dır. Aslında, 𝑠(𝑘 + 1 − 𝜗) − 𝑠(𝑘 − 𝜗) = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 + 1 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) − 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) 𝑘−1 𝑠=0 𝑘 𝑠=0 = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑ ∆𝑘(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗) 𝑦(𝑠) + 1 𝛤(1 − 𝜗)(−𝜗) (−𝜗)_𝑦(𝑘) 𝑘−1 𝑠=0 = 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑠) + 𝑦(𝑘) 𝑘−1 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑠) 𝑘−2 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) + 𝜗 𝛤(1 − 𝜗)∑(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) (𝑦(𝑘 − 1) − 𝑦(𝑠)) 𝑘−2 𝑠=0 + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑦(𝑘 − 1) 𝑘−2 𝑠=0 ≤ 𝑦(𝑘) − 𝜗𝑦(𝑘 − 1) +𝑦(𝑘 − 1) 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑘−2 𝑠=0 = 𝑦(𝑘) − 𝑦(𝑘 − 1) + 𝑦(𝑘 − 1) +𝑦(𝑘 − 1) 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) 𝑘−1 𝑠=0 ≤ 𝑦(𝑘 − 1)(1 + 1 𝛤(1 − 𝜗)∑(−𝜗)(𝑘 − 𝜗 − 𝜎(𝑠)) (−𝜗−1) ) 𝑘−1 𝑠=0 = 𝑦(𝑘 − 1) ∑(−𝜗) 𝑠̅ 𝑠! 𝑘 𝑠=0 = 𝑦(𝑘 − 1)(1 − 𝜗) 𝑘̅ 𝑘! ≤ 0 elde edilir. ∎

Sonuç 3.2. ℎ: [1, +∞)ℕ× ℝ → ℝ tanımlı negatif olmayan, sürekli fonksiyon ve 𝐴 negatif olmayan reel bir sayı olsun. Ayrık kesirli başlangıç değer probleminin tek

çözümü,

∆₀𝜗𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑡 + 𝜗 − 1)), 𝑡 ∈ ℕ_2−𝜗 𝑦(0) = 𝐴

dır. 𝑦, 𝜗-azalan ve pozitif değildir (Atıcı and Uyanık 2015). Ayrık kesirli operatör ∆₀−𝜗_{, ℕ}

0’dan ℕ𝑐+𝜗’ye tanımlıdır. Bundan dolayı, aşağıdaki eşitlik her 𝑡 ∈ ℕ𝑐+𝜗 için tanımlıdır.

∆𝑐−𝜗𝑓(𝑡) = ∑ (𝑡 − 𝜎(𝑠))(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑡−𝜗 𝑠=𝑐 𝑓(𝑠)

Burada 𝑐, herhangi bir reel sayıdır. 𝑎 ∈ ℕ𝑐 ise her 𝑡 ∈ ℕ𝑎+𝜗 için ∆𝑎−𝜗𝑓(𝑡) yi hesaplamak mantıklıdır. Bu operatörün böyle bir karakteristik özelliği, ayrık kesirli analizin temel teoremini elde etmek için bize yol gösterir.

Teorem 3.6. 𝑓, ℕ_𝑐 de tanımlı ve 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ_𝑐, 𝑎 < 𝑏 olsun. Böylece 𝜗 ∈ (0,1) olduğunda aşağıdaki eşitlik sağlanır.

∆_{𝑎−𝜗+1}−𝜗 ∆𝑎𝜗𝑓(𝑡)|𝑡=𝑏 = 𝑓(𝑏) −

(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1)

𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎)

Yukarıdaki eşitliğin ispatı için, her 𝜗 > 0 için teorem 2.3. den aşağıdaki eşitlik sağlanır.

∆_𝑐−𝜗_{∆𝑓(𝑡) = ∆∆} 𝑐 −𝜗_{𝑓(𝑡) −}(𝑡 − 𝑐) (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑓(𝑐) 𝑓, ℕ_𝑐 de tanımlıdır.

Ayrıca teorem 2.2. yi kullanırsak, her 𝜗, 𝜇 > 0 için

∆_𝜗−𝜇[∆₀−𝜗𝑓(𝑡)] = ∆₀−(𝜗+𝜇)𝑓(𝑡) = ∆𝜇−𝜗[∆0 −𝜇

𝑓(𝑡)] dir. Öyle ki 𝑡 ≡ (𝜇 + 𝜗)𝑚𝑜𝑑(1) (Atıcı and Uyanık 2015).

İspat. Teorem 2.3. deki eşitliğin sol tarafını kullanarak ispata başlayalım.

∆_{𝑎−𝜗+1}−𝜗 ∆_𝑎𝜗_𝑓(𝑡)| 𝑡=𝑏 = ∆∆_{𝑎−𝜗+1}−𝜗 ∆_𝑎−(1−𝜗)𝑓(𝑡)|_𝑡=𝑏−(𝑡 − (𝑎 − 𝜗 + 1)) (𝜗−1) 𝛤(𝜗) |𝑡=𝑏∆𝑎 −(1−𝜗) 𝑓|_{𝑡=𝑎−𝜗+1} Burada teorem 2.2. ve özdeşlik

∆_𝑎−(1−𝜗)𝑓|_{𝑡=𝑎−𝜗+1} = 𝑓(𝑎) kullanılırsa,

= ∆∆_𝑎−1𝑓(𝑡)|_𝑡=𝑏−(𝑏 − (𝑎 − 𝜗 + 1)) (𝜗−1)

= 𝑓(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)) (𝜗−1)

𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎)

∎

Teorem 3.7. 𝑓 ve 𝑔, ℕ_𝑐 de tanımlı ve 𝑔, [𝑎, 𝑏] ∩ ℕ_𝑐 de tanımlı kesin artan fonksiyon, 𝑔(𝑎) > 0 olsun. Burada 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ_𝑐, 𝑎 < 𝑏 dir. 𝜏₁, 𝜏₂ ∈ [𝑎, 𝑏] , 𝜗 ∈ (0,1) öyle ki,

∆𝑎𝜗𝑓(𝜏1) ∆_𝑎𝜗𝑔(𝜏₁)≤ 𝑓(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑔(𝑎) ≤ ∆𝑎 𝜗_𝑓(𝜏 2) ∆_𝑎𝜗𝑔(𝜏₂) dir (Atıcı and Uyanık 2015).

İspat. Tersini varsayalım. Her 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] için,

𝑓(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑔(𝑎) > ∆𝑎 𝜗_𝑓(𝑡) ∆_𝑎𝜗_𝑔(𝑡) (3.3) veya 𝑓(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑔(𝑎) < ∆𝑎 𝜗_𝑓(𝑡) ∆_𝑎𝜗𝑔(𝑡) (3.4)

olsun. 𝑔, kesin artan olduğundan [𝑎 + 1 − 𝜗, 𝑏 + 1 − 𝜗] ayrık aralığında ∆_𝑎𝜗_{𝑔(𝑡) > 0} olduğunu biliyoruz. Böylece, yukarıdaki (3.3) eşitsizliğinden,

𝑓(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑔(𝑎) ∆𝑎𝜗𝑔(𝑡) > ∆𝑎𝜗𝑓(𝑡) elde edilir.

Kesirli toplam operatörü lineer ve eşitsizliği koruduğundan, yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafına 𝑡 = 𝑏 de ∆_{𝑎−𝜗+1}−𝜗 _{eşitliğini uygularsak,}

𝑓(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑔(𝑎) ∆_{𝑎−𝜗+1}−𝜗 ∆_𝑎𝜗_𝑔(𝑡)| 𝑡=𝑏 > ∆𝑎−𝜗+1−𝜗 ∆𝑎𝜗𝑓(𝑡)|𝑡=𝑏

elde edilir. Teorem 3.6.’ nın bir sonucu olarak aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz. 𝑓(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)

(𝜗−1)

𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏) −

(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1)(𝜗−1)

𝛤(𝜗) 𝑓(𝑎)

∎

Uyarı 3.1. Teorem 3.7. de,

𝑔(𝑏) −(𝑏 − 𝑎 + 𝜗 − 1) (𝜗−1)

𝛤(𝜗) 𝑔(𝑎)

ifadesi sıfıra eşit değildir. Sıfıra eşit olduğunu varsayalım. 𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)=

𝛤(𝑏 − 𝑎 + 𝜗)

𝛤(𝜗)𝛤(𝑏 − 𝑎 + 1) < 1

elde edilir. Bu eşitsizlik, 𝑔(𝑏) < 𝑔(𝑎) olduğunu ifade eder. Bu sonuç teoremin ispatı ile çelişir (Atıcı and Uyanık 2015).

4. AYRIK KESİRLİ BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİ İÇİN ÇÖZÜMLERİN SÜREKLİLİĞİ

Bu bölüm boyunca 𝜗 ∈ (0,1] ve 𝑓: (ℕ_𝜗−1∪ ℕ_{𝜗−𝜀−1}× ℝ → ℝ) tanımlı olduğunu varsayalım. Lineer olmayan ayrık kesirli başlangıç değer problemini göz önüne alalım.

∆𝜗𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑡 + 𝜗 − 1)) (4.1) ∆𝜗−1_𝑦(𝑡)|

𝑡=0 = 𝑦(𝜗 − 1) = 𝑦0 (4.2)

Burada 𝑡 ∈ ℕ0 dır. Şimdi, 0 < 𝜀0 < 𝜗 ≤ 1 olsun. 𝜀 > 0 yeteri kadar küçük, öyle ki 0 < 𝜀₀ ≤ 𝜗 − 𝜀 < 𝜗 ≤ 1 dir.

∆𝜗−𝜀𝑧(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑦(𝑡 + 𝜗 − 𝜀 − 1)) (4.3) ∆𝜗−𝜀−1_𝑧(𝑡)|

𝑡=0 = 𝑧(𝜗 − 𝜀 − 1) = 𝑧0 (4.4)

Burada 𝑡 ∈ ℕ₀ dır.

Bizim amacımız 𝑓 de uygun koşullar altında, 𝜀 → 0+ _{ve 𝑧}

0 → 𝑦0 iken (4.1)-(4.2) ve (4.3)-(4.4) problemlerinin çözümlerini göstermektir. Yani, problem (4.1)-(4.2) 𝜗 ve 𝑦0 a göre bir süreklilik koşulunu sağlar. Bu sonucun ispatı için, Teorem 4.1.’i ispatlayalım. Fakat ilk olarak bir başlangıç lemması vermemiz gerekir.

Lemma 4.1. (4.1)-(4.2) probleminin çözümü, 𝑡 ∈ ℕ_𝜗−1 için

𝑦(𝑡) =𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑎0+ 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 olarak verilir (Atıcı and Eloe 2009).

Teorem 4.1. (4.1)-(4.2) ve (4.3)-(4.4) de verilen ayrık kesirli başlangıç değer

problemlerini düşünelim. 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑓: (ℕ_𝜗−1∪ ℕ_{𝜗−𝜀−1}) × ℝ → ℝ iken bir fonksiyon olsun. Öyle ki, 𝑓(𝑡, 𝑦) bir Lipschitz koşulunu sağlar: Yani, 𝐿, 𝑀 > 0 sabitleri var, öyle ki her 𝑦1, 𝑦2 ve 𝑡1, 𝑡2 ∈ ℕ𝜗−1∪ ℕ𝜗−ℰ−1 için

|𝑓(𝑡1, 𝑦1) − 𝑓(𝑡2, 𝑦2)| ≤ 𝐿|𝑡1− 𝑡2| + 𝑀|𝑦1− 𝑦2| dir. 𝜉 ≥ 𝜗 olarak verilsin. N= 𝑚𝑎𝑥 { max 𝑡∈[𝜗−1,𝜉]_ℕ𝜗−1| 𝑡(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0| ,𝑡∈[𝜗−𝜀−1,𝜉−𝜀]max _{ℕ𝜗−𝜀−1}| (𝑡−𝜀)𝜗−𝜀−1 𝛤(𝜗−𝜀) 𝑧0|} ve 𝑄₀ = max (𝑡,𝑦)∈[𝜗−1,𝜉]_ℕ𝜗−1∪[𝜗−𝜀−1,𝜉−𝜀]_{ℕ𝜗−𝜀−1}×[−2𝑁,2𝑁]𝑓(𝑡, 𝑦) ve varsayalım ki

max 𝑡∈[𝜗−1,𝜉]_ℕ𝜗−1∑|(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_| 𝑡−𝜗 𝑠=0 , max 𝑡∈[𝜗−𝜀−1,𝜉−𝜀]_{ℕ𝜗−𝜀−1} ∑ |(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{| ≤} 𝑡−𝜗+𝜀 𝑠=0 𝛤(𝜗) 𝑄₀ 𝑁.

(4.1)-(4.2) nin çözümü 𝑦 ve (4.3)-(4.4) ün çözümü 𝑧 ise, her 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]ℕ𝜗−1 için

|𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡 − 𝜀)| ≤ ∅(𝑡) +𝑀𝐾0 𝛤(𝜗) ∑ ∅(𝜏) (1 + 𝑀𝐾0 𝛤(𝜗)) 𝑡−𝜏−1 𝑡−1 𝜏=𝜗−1 dir. Burada, 𝐾0 = max (𝑡,𝜏)∈[𝜗−1,𝜉]ℕ𝜗−1×[𝜗−1,𝜀−1]_ℕ𝜗−1 |(𝑡 − 𝜏 + 𝜗 − 2)(𝜗−1)| ve ∅(𝑡) = |𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0− (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0| + 1 𝛤(𝜗)𝑄0| 𝑡(𝜗) 𝜗 − (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀) 𝜗 − 𝜀 | +𝑄0| 𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗) 𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀 + 1)(𝑡 − 𝜀) (𝜗−𝜀)_| + 𝜀 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1) 𝑡−𝜗 𝑠=0 (Goodrich 2010).

İspat. Lemma 4.1. den,

𝑦(𝑡) = 𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0+ 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 (4.5) ve 𝑧(𝑡) = 𝑡 (𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀)𝑧0 + 1 𝛤(𝜗 − 𝜀) ∑ (𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗+𝜀 𝑠=0 (4.6) dır. 𝑦(𝑡), ℕ_𝜗−1= {𝜗 − 1, 𝜗, 𝜗 + 1, … } kümesinde, 𝑧(𝑡), ℕ_{𝜗−𝜀−1} = {𝜗 − 𝜀 − 1, 𝜗 − 𝜀, 𝜗 − 𝜀 + 1, … } kümesinde tanımlıdır.

Bu amaçla,

𝑧̃(𝑡) = 𝑧(𝑡 − 𝜀) (4.7) olsun. Karşılaştırma için,

𝑧̃(𝑡) =(𝑡 − 𝜀) (𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0 + 1 𝛤(𝜗 − 𝜀)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)) (4.8)} 𝑡−𝜗 𝑠=0

olsun. (4.8) in sağ tarafını ele alalım.

|𝑦(𝑡) − 𝑧̃(𝑡)| = |𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0− (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0 + 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 𝛤(𝜗 − 𝜀)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))| ≤ |𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0− (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0| + | 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 | + | 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 |

+ | 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 𝛤(𝜗 − 𝜀)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))| (4.9)

dir. (4.9) un sağ tarafındaki terimlerin her dört çiftinin analizini gösterelim. İlk terimi ele alalım. |𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0− (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0| (4.10) Burada 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]_ℕ𝜗−1dir. 𝑙𝑖𝑚 𝜀→0+| 𝑡(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0 − (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0| = | 𝑦0− 𝑧0| 𝑡(𝜗−1) 𝛤(𝜗) Burada |𝑦0 − 𝑧0| < 𝛿, 𝛿 > 0 sabittir. Öyleyse,

𝑙𝑖𝑚 𝜀→0+| 𝑡(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0− (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0| = | 𝑦0− 𝑧0| 𝑡(𝜗−1) 𝛤(𝜗) < 𝑡(𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝛿

dir. 𝛿 ve 𝜀 yeterince küçük seçilmiştir. (4.10)’da 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]_ℕ𝜗−1 keyfi olarak küçük seçilebilir. (4.9) da üçüncü bölüme dikkat edelim.

| 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)) 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)) | (4.11) | 1 𝛤(𝜗)∑[(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{− (𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1)}(𝑣−𝜀−1)_] 𝑡−𝜗 𝑠=0 𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))| (4.12)

olduğu görülür. 𝑁 teoremde tanımlandığı gibi olmak üzere, 𝑄₀ = _{(𝑡, 𝑦) ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]} 𝑚𝑎𝑥

ℕ𝜗−1∪ [𝜗 − 𝜀 − 1, 𝜉 − 𝜀]ℕ𝜗−𝜀−1× [−2𝑁, 2𝑁] 𝑓(𝑡, 𝑦) (4.13) Teoremin açıklamasında verilen hipotezler ile gözlemleyelim.

|𝑦(𝑡)| ≤ 𝑁 + 1 𝛤(𝜗)∑|(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_| 𝑡−𝜗 𝑠=0 |𝑓(𝑠 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1))| ≤ 𝑁 + 𝑄0 𝛤(𝜗) 𝛤(𝜗) 𝑄₀ 𝑁

Öyle ki, |𝑦(𝑡)| ≤ 2𝑁 dir. Benzer bir iddaa |𝑧(𝑡)| ≤ 2𝑁 olduğunu gösterir. Böylece, (4.12) ve (4.13) den, | 1 𝛤(𝜗)∑[(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{− (𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1)}(𝑣−𝜀−1)_] 𝑡−𝜗 𝑠=0 𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))| ≤ 𝑄₀| 1 𝛤(𝜗)∑[(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{− (𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1)}(𝑣−𝜀−1)_] 𝑡−𝜗 𝑠=0 | Lemma 2.1. den, = 1 𝛤(𝜗)𝑄0|[− 1 𝜗(𝑡 − 𝑠) (𝜗)_] 0 𝑡−𝜗+1_{+ [} 1 𝜗 − 𝜀(𝑡 − 𝜀 − 𝑠) (𝜗−𝜀)_] 0 𝑡−𝜗+1_| = 1 𝛤(𝜗)𝑄0| 𝑡(𝜗) 𝜗 − (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀) 𝜗 − 𝜀 | (4.14) 𝑙𝑖𝑚 𝜀→0+ 1 𝛤(𝜗)𝑄0| 𝑡(𝜗) 𝜗 − (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀) 𝜗 − 𝜀 | = 0

dır. Öyle ki, (4.11) de 𝜀 → 0+ _{dır. (4.9) da dördüncü bölümü inceleyelim.}

| 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 𝛤(𝜗 − 𝜀)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))| (4.15)

(4.15)’i (4.11)’dekine benzer biçimde yeniden yazalım. (4.13)’ü kullanırsak, | 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 𝛤(𝜗 − 𝜀)∑(𝑡 − 𝜀 − 𝑠 − 1) (𝜗−𝜀−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))| ≤ 𝑄₀|𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗) 𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀) [− 1 𝜗 − 𝜀(𝑡 − 𝜀 − 𝑠) (𝜗−𝜀)_] 0 𝑡−𝜗+1 | = 𝑄0| 𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗) 𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀 + 1)(𝑡 − 𝜀) (𝜗−𝜀)_{| (4.16)}

(4.14) de olduğu gibi, (4.16)’nın sağ tarafını ele alalım. 𝑙𝑖𝑚

𝜀→0+𝑄0|

𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗)

𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀 + 1)(𝑡 − 𝜀)

(𝜗−𝜀)_{| = 0}

Öyle ki, (4.15)’de 𝜀 → 0+ _{dır. Son olarak, (4.9)’da ikinci terimi inceleyelim.}

| 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 | (4.17)

𝑓 ’de Lipschitz koşulunu kullanırsak,

| 1 Γ(ϑ)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 1, 𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 − 1 Γ(ϑ)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{𝑓(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1, 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1))} 𝑡−𝜗 𝑠=0 | ≤ 1 Γ(ϑ)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{[𝐿𝜀 + 𝑀|𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1) − 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)|]} 𝑡−𝜗 𝑠=0

= 𝜀 𝐿 Γ(ϑ)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)₊ 𝑀 Γ(ϑ) 𝑡−𝜗 𝑠=0 ∑(𝑡 − 𝑠 − 1)(𝜗−1) 𝑡−𝜗 𝑠=0 |𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1) − 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)| (4.18)

elde edilir. (4.18)’in sağ tarafına dikkat edelim. Her 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]_ℕ𝜗−1 için,

𝑙𝑖𝑚 𝜀→0+𝜀 1 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1) 𝑡−𝜗 𝑠=0 = 0 (4.19)

bulunur. Şimdiye kadar ki sonuçları özetleyelim. (4.10), (4.14), (4.16) ve (4.18)’i birleştirerek (4.9)’u yeniden bulalım.

|𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡 − 𝜀)| = |𝑦(𝑡) − 𝑧̃(𝑡)| ≤ |𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0− (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0| + 1 𝛤(𝜗)𝑄0| 𝑡(𝜗) 𝜗 − (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀) 𝜗 − 𝜀 | +𝑄0| 𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗) 𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀 + 1)(𝑡 − 𝜀) (𝜗−𝜀)_| +𝜀 𝐿 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1) 𝑡−𝜗 𝑠=0 + 𝑀 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{|𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1) − 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)|} 𝑡−𝜗 𝑠=0 (4.20) Burada, 𝜙(𝑡) = |𝑡 (𝜗−1) 𝛤(𝜗) 𝑦0− (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀−1) 𝛤(𝜗 − 𝜀) 𝑧0| + 1 𝛤(𝜗)𝑄0| 𝑡(𝜗) 𝜗 − (𝑡 − 𝜀)(𝜗−𝜀) 𝜗 − 𝜀 | +𝑄₀|𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗) 𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀 + 1)(𝑡 − 𝜀) (𝜗−𝜀)_{| + 𝜀} 𝐿 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1) 𝑡−𝜗 𝑠=0 (4.21) olarak tanımlayalım. (4.20)’de (4.21)’i ve 𝜏 = 𝑠 + 𝜗 − 1 eşitliğini kullanırsak, 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]ℕ𝜗−1 için |𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡 − 𝜀)| = |𝑦(𝑡) − 𝑧̃(𝑡)| ≤ 𝜙(𝑡) + 𝑀 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{|𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1) − 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)|} 𝑡−𝜗 𝑠=0 = 𝜙(𝑡) + 𝑀 𝛤(𝜗)∑(𝑡 − 𝑠 − 1) (𝜗−1)_{|𝑦(𝑠 + 𝜗 − 1) − 𝑧(𝑠 + 𝜗 − 𝜀 − 1)|} 𝑡−𝜗 𝑠=0 (4.22)

elde edilir.

Son olarak, lemma 2.1. de verilen Gronwall eşitsizliğini kullanalım. (4.22)’ye lemma 2.1. i uygularsak, 𝐾0 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑡,𝜏)∈[𝜗−1,𝜉]_ℕ𝜗−1×[𝜗−1,𝑡−1]_ℕ𝜗−1|(𝑡 − 𝜏 + 𝜗 − 2) (𝜗−1)_| Böylece (4.22)’den, |𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡 − 𝜀)| ≤ 𝜙(𝑡) +𝑀𝐾0 𝛤(𝜗) ∑ |𝑦(𝜏) − 𝑧(𝜏 − 𝜀)| 𝑡−1 𝜏=𝜗−1 (4.23)

elde edilir. (4.23)’e Gronwall eşitsizliğini uygularsak,

|𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡 − 𝜀)| = |𝑦(𝑡) − 𝑧̃(𝑡)| ≤ 𝜙(𝑡) +𝑀𝐾0 𝛤(𝜗) ∑ 𝜙(𝜏) (1 + 𝑀𝐾0 𝛤(𝜗)) 𝑡−𝜏−1 (4.24) 𝑡−1 𝜏=𝜗−1 elde edilir ve böylece ispat tamamlanır.

∎

Uyarı 4.1. Teorem 4.1. ifadesi ve ispatı ile ilgili bir gözlem yapalım. 𝑄0 ancak ve ancak 𝜀 ≠ 0 iken gereklidir. Böylece, 𝜀 = 0 olduğu durumlarda teorem 4.1. in hipotezi uygundur. Şimdi, ispatlamış olduğumuz teorem 4.1. den sonuçlar çıkaracağız (Goodrich 2010).

Sonuç 4.1. Teorem 4.1. in hipotezini varsayalım. Ayrıca, |𝑦₀− 𝑧₀| = 𝛿 olduğunu varsayalım. Daha sonra, problem (4.1)-(4.2)’nin çözümü 𝑦, problem (4.3)-(4.4)’ün çözümü 𝑧 olarak verilsin. Her 𝜂 > 0 ve 𝛿, 𝜀 > 0 için,

|𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡 − 𝜀)| < 𝜂 (4.25) eşitsizliği sağlanır. Burada 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]_ℕ𝜗−1, 𝜉 > 0 dır (Goodrich 2010).

İspat. Gamma fonksiyonunun şartlarında 𝜙 yazarak başlayalım.

𝜙(𝑡) = |𝛤(𝑡 + 1)𝛤(𝜗 − 𝜀)𝑦0− 𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1)𝛤(𝜗)𝑧0 𝛤(𝜗)𝛤(𝑡 − 𝜗 + 2)𝛤(𝜗 − 𝜀) | + 𝑄0 𝛤(𝜗)| (𝜗 − 𝜀)𝛤(𝑡 + 1) − 𝜗𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1) 𝜗𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1) | +𝑄₀|𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗)| | 𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1) 𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀 + 1)𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1)| + 𝜀𝐿 𝛤(𝜗)∑ 𝛤(𝑡 − 𝑠) 𝛤(𝑡 − 𝑠 − 𝜗 + 1) 𝑡−𝜗 𝑠=0 (4.26)

Bu amaçla, 𝜂₀ > 0 olarak verilsin. 0 < 𝜀 < 𝑁₁ olduğunda 𝑁₁ > 0 olarak seçebiliriz. [𝜗 − 𝜀, +∞) da 𝛤(. )’in düzgün sürekliliği her 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]_ℕ𝜗−1 için

|𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗)| < 𝜂0 4𝑄₀| 𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1) 𝛤(𝜗)𝛤(𝜗 − 𝜀 + 1)𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1)| + 4 < 𝜂0 4 (4.27) olarak bulunur.

Benzer şekilde, 𝑁₂ > 0 öyle ki 0 < 𝜀 < 𝑁₂ dir. [𝜗 − 𝜀, +∞) kümesinde gamma fonksiyonunun düzgün sürekliliğinden, 𝑄0 𝛤(𝜗)| (𝜗 − 𝜀)𝛤(𝑡 + 1) − 𝜗𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1) 𝜗𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1) | ≤ 𝑄0 𝛤(𝜗)[|𝛤(𝑡 + 1) − 𝛤(𝑡 + 1 − 𝜀)| 1 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1)+ 𝜀 𝛤(𝑡 + 1) 𝛤(𝑡 − 𝜗 + 1)] ≤𝜂0 8 + 𝜂₀ 8 = 𝜂₀ 4 (4.28) Ayrıca, 0 < 𝜀 < 𝑁3 ve 𝛿 = |𝑦0− 𝑧0| < 𝜂0 8. 𝑡∈[𝜗−1,𝜉]𝑚𝑎𝑥_ℕ𝜗−1 1 𝛤(𝑡−𝜀+1)𝛤(𝜗) olduğunda, 𝑁3 > 0 sayıları için, 1 𝛤(𝜗)𝛤(𝑡 − 𝜗 + 2)𝛤(𝜗 − 𝜀)|𝛤(𝑡 + 1)𝛤(𝜗 − 𝜀)𝑦0− 𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1)𝛤(𝜗)𝑧0| ≤ |𝑦₀||𝛤(𝑡 + 1)𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1)𝛤(𝜗)| + |𝑦₀− 𝑧₀||𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1)𝛤(𝜗)| ≤ |𝑦₀|[|𝛤(𝑡 + 1) − 𝛤(𝑡 + 1 − 𝜀)||𝛤(𝜗 − 𝜀)| + |𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1)||𝛤(𝜗 − 𝜀) − 𝛤(𝜗)|] +|𝑦0 − 𝑧0||𝛤(𝑡 − 𝜀 + 1)𝛤(𝜗)| ≤𝜂0 8 + 𝜂₀ 8 ≤ 𝜂₀ 4 (4.29) dir. Son olarak, 0 < 𝜀 < 𝑁₄ olduğunda

𝜀𝐿 𝛤(𝜗)∑ 𝛤(𝑡 − 𝑠) 𝛤(𝑡 − 𝑠 − 𝜗 + 1) 𝑡−𝜗 𝑠=0 <𝜂0 4 (4.30) olduğundan 𝑁4 > 0 olarak seçebiliriz. Çünkü, (4.30)’da toplam ve miktar

𝐿 𝛤(𝜗) ile sınırlandırılır.

Şimdi, 𝑁 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑁₁, 𝑁₂, 𝑁₃, 𝑁₄} olsun. 0 < 𝜀 < 𝑁 olduğunda, 𝑡 ∈ [𝜗 − 1, 𝜉]_ℕ𝜗−1 için (4.27)-(4.30),

|𝜙(𝑡)| < 𝜂0 (4.31) olduğunu ifade eder. 𝜙(𝑡), keyfi küçük yapılabilir. 𝜂 > 0 olarak verilsin. Bazı 𝑁5 ≥ 0 sayısı için,