Fuzzy logic_Lecture 2_Classical and fuzzy sets

Küme kavramı

•

_{Klasik kümeler}

– _{Kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir}

• A= { x  x > 6 }

•

Bulanık kümeler

– _{Kesin limitleri olmayan kümelerdir}

– _{Yani, " kümeye ait olan" dan "kümeye ait} olmayana" geçiş aşamalı olur.

• _{su sıcak " veya "sıcaklık çok yüksek" gibi}

Fuzzy Sets

Discrete

Basit tanımlamalar ve terminoloji

•

_{Karakteristik fonksiyon}

•

_{Klasik kümeler için:}

– _{(x,0)’ın anlamı x} _{A, (x,1)’in anlamı x}_A’dır. – _{Bu gösterim x elemanının A kümesine ait olup}

olmadığını gösteren bir gösterimdir

•

Bulanık kümeler için:

– _{Karakteristik fonksiyon x elemanının A}

kümesine ne kadar ait olduğunun ifadesidir.

X bir nesneler uzayı, x de bu uzaya ait bir eleman olsun. A, bu uzayda tanımlanmış bir küme olsun:

Bulanık kümeler ve üyelik

fonksiyonları

•

A = { (x, µ

(x)

 x  X }

– _{Bu tanımlamada A kümesi bir bulanık küme} – µ_A (x) ise bu kümeye ilişkin üyelik

fonksiyonudur (ÜF).

– _{Üyelik fonksiyonu (ÜF)= Membership function}

(MF)

Örnek 1: Ayrık kümeler için örnek

(Elemanları sıralanmamış)

•

_{X={Ankara, İstanbul, Kocaeli}}

•

C = “Yaşamaya değer şehirler” bulanık

kümesi

•

_{C ={(Ankara,0.8), (İstanbul,0.9),}

(Kocaeli,0.7)}

•

_{Buradaki üyelik dereceleri özneldir, kişiden}

kişiye değişebilir.

Örnek 2: Ayrık bulanık kümeler

(Elemanları sıralanmış olarak verilmiş)

• _{X = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 } : Bir ailenin sahip} olmak isteyebileceği çocuk sayısı olsun. • _{A = {(0, 0.1), (1,0.3), (2,0.7), (3,1),} (4, 0.7), (5,0.3), (6,0.1)} 0 1 2 3 4 5 6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Çocuk sayısı Ü ye lik d e re ce si

Örnek 3: Sürekli bulanık kümesi

• _{X = R}+: Belli yaşlardaki insanların kümesi

olsun.

• _{B = “50 yaş civarındaki insanların kümesi”} • B = { ( x, µ_B (x)  x  X } 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Yaş Ü ye lik d eğ er i 4 B 10 50 x 1 1          

Önemli noktalar

• _{Önceki örneklerden anlaşılacağı üzere bulanık} küme kurmak iki şeye bağlıdır:

– _{1. Elemanların bulunduğu uzaya} – _{2. Üyelik fonksiyonlarına}

• _{Üyelik fonksiyonları değerleri kişiden kişiye}

değişebilir. Bu fonksiyonlar özneldir (sübjektif) ve aynı zamanda rastlantısal da değildir

(nonprobabilistic).

Alternatif tanımlamalar

• Burada Σ ve ∫ sembolleri küme elemanı (x) ve üyelik fonksiyonunun birleşimi anlamına gelip toplama ve integral demek değildir.

• _{/ bölme işlemi anlamında kullanılmamıştır,} sadece ayıraç işlemi gören bir semboldür. • _{Buna göre,} C =0.8/Ankara+0.9/İstanbul+0.7/Kocaeli A = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/3+0.7/4+0.3/5+0.1/6 B =      





Literatürde kullanılan bazı

tanımlamalar

• _{Destek (support):A bulanık kümesinin desteği X uzayındaki x’lerden} _A(x) >0 koşulunu sağlayan elemanların oluşturduğu bir kümedir.

– destek (A)={x| _A(x) >0}

• _{Öz (core):Üyelik derecesi 1 olan elemanların oluşturduğu kümedir.}

– Öz (A)={x| _A(x)=1 }

• _{Normallik (Normality): Bir bulanık kümenin öz kümesi boş değilse o} bulanık küme normaldir.

• _{Geçiş(crossover) noktası: Üyelik derecesi 0.5 olan elemanların} kümesidir.

– karşılık (A)={x| _A(x)=0.5}

• Bulanık tekton (fuzzy singleton): : _A(x)=1 koşulunu sağlayan tek bir noktaya sahip bulanık kümedir. Diğer değişle destek kümesi bir

noktadan oluşan kümedir.

• α kesim kümesi: lf kesim kümesi: A_α , αϵ[0,1] olmak üzere üyelikleri α’dan az olmayan üyelerden kurulmuştur.

0 1 3 4 0 0,5 1 Ü ye lik d e re ce si Crossover points Support (Destek) Core (Göbek) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0,5 1 Ü ye lik d e re ce si Göbek ve destek

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 Normal Ü ye lik fo nk si yo nu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 Normal olmayan Ü ye lik fo nk si yo nu

Tanımlamalar(devam)

• _{α_seviyesi, kuvvetli α_seviyesi}

• _{Konvekslik (dış bükeylik):: x1, x2}  _X

ve [0,1] olmak üzere aşağıdaki koşulu sağlayan küme dış bükeydir.

– _{Bir kümenin tüm alfa seviyeleri} konveks ise o küme de konvekstir.









)}

(

),

(

min{

)

)

1

(

(

x

x

x

x

















Tanımlamalar (devam)

• _{Bulanık sayılar: : A bulanık kümesinin bulanık bir}

sayısı normallik ve dış bükeylik için gerekli

koşulları sağlayan gerçek uzayda (R) bir bulanık kümedir. Literatürde kullanılan bulanık kümelerin çoğu normallik ve dış bükeylik koşullarını sağlar. Yani, bulanık sayılar en temel tip bulanık

kümelerdir.

• _{Bant Genişliği: Crossover noktaları arasındaki} uzaklık.

– Bandgenişliği(A) = |x₂-x₁|, µ_A(x₁)=µ_A(x₂)=0.5

• _{Simetri:Belli bir nokta civarında bir kümenin}

ÜF’si simetrik ise küme de simetriktir denir.

Tanımlamalar(devam)

• _{Sola açık, sağa açık, kapalı}

– lim_x→-∞µ_A(x) = 1 ve lim_x→+∞µ_A(x) = 0 ise sola açık. – lim_x→-∞µ_A(x) = 0 ve lim_x→+∞µ_A(x) = 1ise sağa açık. – lim_x→-∞µ_A(x) = 0 ve lim_x→+∞µ_A(x) = 0 ise kapalı

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Bulanık Küme İşlemleri

• _{Kapsama veya altküme (containment or subset):}

– A    _A(x)  _B (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ü ye lik d er ec es i

A, B'nin alt kümesidir.

B A y1 = pimf(x,[-2 5 6 11]); y2 = 0.8*gaussmf(x,[2 5]); plot(x,y1,x,y2); axis([0 10 0 1.2])

• _{Birleşme (Union)} – _{C=AUB veya C = A OR B} – _C(x) = max ( _A(x), _B(x) ) = _A(x) V _B(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ü ye lik d e re ce si A U B A B y1 = pimf(x,[0 2 4 8]); y2 = gaussmf(x,[2 7]); y3 = max(y1,y2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'rx'); axis([0 10 0 1.2])

• _{Kesişme (Intersection)} – _{C = A ∩ B veya C = A AND B} – _C(x) = min ( _A(x), _B(x) ) = _A(x) Λ _B(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ü ye lik d e re ce si A AND B y1 = pimf(x,[0 2 4 8]); y2 = gaussmf(x,[2 7]); y3 = min(y1,y2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'rx'); axis([0 10 0 1.2])

• _{Tümleme (Complement, negation)}

– _{(veya ¬A, NOT A )}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ü ye lik d e re ce si NOT A A NOT A

)

(

1

)

(

x

x





A





 Bulanık mantıkta, VE işlemi kümelerdeki kesişimin karşılığı olan minimum fonksiyonuyla;

 _{VEYA işlemi, kümelerdeki birleşimin karşılığı olan maximum}

fonksiyonuyla;

 _{DEĞİL işlemi, kümelerdeki tümleme işlemi ile;}

 GEREKTİRME işlemi de kümelerdeki kesişimin matematiksel karşılığı olan min fonksiyonuyla belirtilir...

Bulanık mantık operatörleri

          ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ min , A B x A x B x A B A x B x           _  _             ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ max , A B x A x B x A B A x B x           _  _         ~ ~ ~ 1 X A A A x x x    _      ~ ~ ~ ~ min( ( ), ( )) A B x A x B x  _   

Gerektirme işlemi

 Program, x_i elemanının A kümesine üyelik derecesini hesaplarken, bu noktadan A kümesine dikme çıkar. A kümesinde xi=4 elemanı için üyelik derecesi 0.5 bulunur. Üyelik fonksiyonunu kestiği nokta olan üyelik derecesi, bir başka çizgi aracılığıyla sonuç üyelik fonksiyonunu kırpmak

üzere karşıya taşınır.

~

( )

A xi

Bulanık Küme İşlemcileri

• _{Min, AND işlemi → T-norm}

• _{Max, OR işlemi → T-conorm = S-norm}

• µ_{A (B  C)}(x)= µ_{(AB)  (AC)} (x) . • µ_{A (B  C)}(x)= µ_{(AB)  (AC)} (x)

• _{Bununla birlikte, min ve max ifadeleri bulanık}

sonuçlu sistemlerin analizinde bazı sorunlar çıkmasına sebebiyet verebilir. En bilinen

alternatifi, AND ve OR olasılıklarını kullanmaktır

• µ_{(A   } (x) = µ_ (x) µ_ (x) .

 Çoklu değerli mantık işlemlerinin bulanık kümelerle gösterimi  a) çarpım b) cebirsel toplama c) çıkarma d) skaler değerle küme

Kartezyen çarpım ve ko-çarpım

Cartesian product and co-product

• _{A ve B sırasıyla X ve Y uzayında tanımlı iki}

bulanık küme olsun. A ve B’nin kartezyen çarpımı (AxB) XxY uzayında bir bulanık kümedir.

• _{Kartezyen çarpım} • _{Kartezyen ko-çarpım} )) ( ), ( min( ) , (x y _A x _B y B A    _  )) ( ), ( max( ) , (x y _A x _B y B A    _ 

Kartezyen çarpım

•

_{A={a,b,c} ve B={1,2,3}}

•

C = A x B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),

(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}