Manyetik Parçacık Görüntülemede Yön De˘gi¸stiren
Çarpanlar Yöntemi Kullanılarak Gerçek Zamanlı Üç
Boyutlu Görüntü Geriçatımı
Real-Time Three-Dimensional Image Reconstruction
Using Alternating Direction Method of Multipliers
for Magnetic Particle Imaging
Serhat ˙Ilbey
1,2,3, Alper Güngör
1, Can Barı¸s Top
1, Emine Ülkü Sarıta¸s
2,3,4, H. Emre Güven
1 1ASELSAN Ara¸stırma Merkezi, Ankara, Türkiye2Elektrik ve Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü, Bilkent Üniversitesi, Ankara, Türkiye 3Ulusal Manyetik Rezonans Ara¸stırma Merkezi, Bilkent Üniversitesi, Ankara, Türkiye
4Aysel Sabuncu Beyin Ara¸stırmaları Merkezi, Bilkent Üniversitesi, Ankara, Türkiye
{silbey, alpergungor, cbtop, heguven}@aselsan.com.tr saritas@ee.bilkent.edu.tr
Özetçe —Manyetik Parçacık Görüntüleme (MPG), süperpa-ramanyetik demiroksit nanoparçacıklarının uzamsal da˘gılımını tespit etmekte kullanılan görece yeni bir medikal görüntüleme yöntemidir. MPG’de görüntü geriçatımı için kullanılan yöntem-lerden biri sistem matrisi yakla¸sımıdır. Bu yöntemde öncelikle kalibrasyon ölçümleri yapılarak sistem matrisi elde edilir. Daha sonra, sistem matrisi ve görüntülenen objeden alınan veri ile bir do˘grusal denklem sistemi olu¸sturulur ve görüntülenen alandaki manyetik parçacık da˘gılımı yinelemeli düzenlile¸stirme veya eni-yileme algoritmaları ile çözülür. Bu çalı¸smada, grafik i¸slemciler kullanılarak yön de˘gi¸stiren çarpanlar yöntemi ile üç boyutlu bir görüntüleme uzayında gerçek zamanlı görüntü geriçatımı yapılabilece˘gi gösterilmi¸stir.
Anahtar Kelimeler—manyetik parçacık görüntüleme, gerçek zamanlı görüntüleme, sistem matrisi, yön de˘gi¸stiren çarpanlar yöntemi.
Özet—Magnetic Particle Imaging (MPI) is a relatively new medical imaging modality, which is used for measuring the spatial distribution of superparamagnetic iron oxide nanoparticles. One of the image reconstruction methods in MPI is the system matrix approach. In this method, first, a system matrix is obtained by taking system calibration measurements. Then, a linear system of equations is constructed with the system matrix and data received from the imaging object, and the distribution of the magnetic particles within the field of view (FOV) is resolved by iterative regularization or optimization algorithms. In this study, real-time image reconstruction for a relatively large FOV and three-dimensional high-resolution system is achieved using graphical processing units with alternating direction method of multipliers.
Keywords—magnetic particle imaging, real-time imaging, sys-tem matrix, alternating direction method of multipliers.
I. G˙IR˙I ¸S
Manyetik Parçacık Görüntüleme (MPG), süperparamanye-tik demir oksit nanoparçacıklarının (SPDO) uzamsal da˘gılımını tespit etmekte kullanılan bir görüntüleme yöntemidir [1]. MPG görüntülerinin geriçatımında iki farklı yakla¸sım bulunmaktadır: sistem matrisi (SM) yakla¸sımı [2] ve X-uzayı yakla¸sımı [3]. SM yakla¸sımında bir voksel veya daha küçük bir hacme sahip bir nanoparçacık örne˘gi görüntüleme alanında dola¸stırılarak, her bir vokselden alınan i¸saret kaydedilir. Bu veri frekans uzamına dönü¸stürülerek SM elde edilir. Görüntülenen objeden alınan ölçümler ve SM kullanılarak, yinelemeli düzenlile¸stirme veya eniyileme algoritmalarının yardımıyla görüntü geriçatılır. Literatürde kullanılan algoritmalardan bazıları ¸sunlardır: cebir-sel geriçatım tekni˘gi (CGT) [2], negatif olmayan kayna¸stırılmı¸s LASSO [4] ve yön de˘gi¸stiren çarpanlar yöntemi (YDÇY) [5], [6]. X-uzayı yakla¸sımında ise görüntü, objeden alınan zaman uzayındaki i¸sarete ızgaralama, arade˘gerleme ve ters evri¸sim adımları uygulanarak elde edilir [3].
MPG’nin klinik öncesi uygulamalarında SM yakla¸sımı kullanılarak ana i¸slem birimleri (CPU) ile gerçek zamanlı 3 boyutlu (3B) görüntü geriçatımı yapılabilece˘gi gösterilmi¸stir [7]. Ancak, klinik uygulamaların yüksek çözünürlük ve geni¸s görü¸s alanı ihtiyacı göz önünde bulunduruldu˘gunda, çoklu CPU kullanımının bu ihtiyacı kar¸sılamada yetersiz kalaca˘gı öngörülmektedir. Bunun yanında, paralel programlama pren-sipleri ile kodlanmı¸s algoritmalar ile çoklu grafik i¸slem birim-leri (GPU) veya alanda programlanabilir kapı dizibirim-leri (FPGA) kullanılarak bu ihtiyacın kar¸sılanması mümkün olabilir.
Bu çalı¸smada, YDÇY kullanılarak bir adet GPU üzerinde gerçek zamanlı 3B görüntü geriçatımı sonuçları sunulmaktadır. Böylece çoklu GPU veya FPGA kümeleri kullanımı öncesinde bir ön çalı¸sma olarak literatüre bu konudaki ilk katkı sa˘glanmı¸s olacaktır. Çalı¸smada MPG sistemi, bir benzetim aracı
(a)
(b)
(c)
¸Sekil 1: Lissajous gezingesinin (a) 3 boyutlu gösterimi ve (b) x-y, (c) y-z düzlemi üzerine izdü¸sümü.
nılarak modellenmi¸stir. Benzetimler boyunca kullanılan MPG sistem parametreleri ve görüntü geriçatımı yöntemi ikinci bölümde sunulmu¸stur. Üçüncü bölümde GPU kullanılarak elde edilen sonuçlar sunulmu¸s ve son bölümde ise bu sonuçlar de˘gerlendirilmi¸stir.
II. YÖNTEMLER
A. MPG Benzetim Parametreleri
MPG sisteminde kullanılan manyetik alan gradyanları x, y ve z yönlerinde sırasıyla 1.25 T/m, 1.25 T/m ve 2.5 T/m olarak ayarlanmı¸stır. 20 mm x 20 mm x 10 mm boyutlarında görü¸s alanı kullanılmı¸s ve bu alan 20x20x10 voksel ile temsil edilmi¸stir. Görü¸s alanı, Lissajous gezingesinde [7] hareket eden manyetik alansız nokta (MAN) ile taranmı¸stır ( ¸Sekil 1). MAN’ın taranması için üç eksende de genli˘gi 12.5 mT olan homojen sürücü alanlar kullanılmı¸stır. Gezinge; x, y ve z yönlerinde sırasıyla 26.04 kHz, 25.25 kHz ve 24.51 kHz frekanslarında taranmı¸stır. Elde edilen sinyal 20 MHz hızında örneklenmi¸stir. Sinyal elde edildikten sonra hızlı Fourier dönü-¸sümü uygulanmı¸s ve sinyalin 30 kHz – 1 MHz’lik bandı kulla-nılmı¸stır. SPDO’ların çapının 25 nm oldu˘gu ve tekil da˘gılımlı oldu˘gu kabul edilmi¸stir [9]. Ölçümlere MATLAB’ın awgn fonksiyonu kullanılarak Gauss da˘gılımlı gürültü eklenmi¸stir.
Benzetimler boyunca ¸Sekil 2’de 2 boyutlu (2B) kesitleri ve ¸Sekil 4(a)’da 3B da˘gılımı gösterilen damar objesi kullanılmı¸s-tır.
B. Yön De˘gi¸stiren Çarpanlar Yöntemi ile Görüntü Geriçatımı Görüntü geriçatımı, literatürde de yaygınca kullanılan YDÇY algoritması [8] ile yapılmı¸stır. YDÇY, geriçatılacak görüntünün toplam de˘gi¸sinti (TD) ve l1 normunun
a˘gırlıklan-dırılmı¸s toplamlarını minimize eden bir algoritmadır. MPG’de elde edilen görüntülerin görüntü uzayında seyrek olması ve toplam de˘gi¸sintilerinin küçük olması, YDÇY’nin MPG için uygun bir algoritma oldu˘gunu göstermektedir. YDÇY’de aynı
zamanda MPG görüntülerinin negatif olamayaca˘gı da bir kısıt olarak verilebilir [5].
Bu çalı¸smada YDÇY ile a¸sa˘gıdaki problem çözülmektedir [5]: argmin c αl1kck1+ αT DTD(c) subject to kAc − bk2< , ci≥ 0, i = {1, ..., N } . (1)
Bu denklemde c geriçatılacak görüntüyü, c geriçatılacak gö-rüntünün vektörle¸stirilmi¸s gösterimini, A sistem matrisini, b alınan ölçümleri, N ise toplam voksel sayısını göstermektedir. ci, c objesinin i’nci vokseline kar¸sılık gelmektedir. Benzetimler
boyunca αl1ve αT Ddüzenlile¸stirme katsayıları sırasıyla 0.1 ve
0.9 olarak ayarlanmı¸stır. de˘geri ise eklenen gürültü seviyesine göre hesaplanmı¸stır.
Yukarıda problem tanımı verilen YDÇY, NVIDIA Ge-R
Force GTX 1080 üzerinde çalı¸stırılmak üzere CUDA program-lama dilinde ve aynı zamanda MATLAB ortamında kodlan-mı¸stır. GPU kullanılarak elde edilen sonuçların i¸slem süreleri, CPU’dan elde edilen sonuçların süreleri ile kar¸sıla¸stırılmı¸stır. Kullanılan i¸s istasyonu Intel(R) Xeon(R) CPU E5-2637 v4 @ 3.50 GHz (x2) i¸slemci gücüne, 1 adet NVIDIA GeForceR
GTX 1080 ekran kartına ve 256 GB RAM’e sahiptir.
Elde edilen görüntülerin ba¸sarımı, farklı sinyal gürültü oranları (0 dB, 10 dB, 20 dB, ∞) ve geriçatım yineleme sayıla-rına göre incelenmi¸stir. Geriçatım ba¸sarımı, yapısal benzerlik endeksi (YBE) ve doruk sinyal gürültü oranı (DSGO) met-rikleri kullanılarak hesaplanmı¸stır. YBE ve DSGO de˘gerleri sırasıyla MATLAB’ın ssim ve psnr fonksiyonları kullanılarak hesaplanmı¸stır.
III. SONUÇLAR
Her bir sinyal gürültü oranı (SGO) için farklı yineleme sayısı ile YDÇY algoritması kullanılarak damar objesinin MPG görüntüsü geriçatılmı¸stır. Gürültüsüz ve 100 yineleme
z = 1 mm z = 2 mm z = 3 mm z = 4 mm
z = 5 mm z = 6 mm z = 7 mm z = 8 mm
¸Sekil 2: Benzetimlerde kullanılan referans damar objesinin x-y düzlemindeki her bir dilimi için 2 boyutlu gösterimi. Bu ¸sekilde, beyaz pikseller SPDO’ların var oldu˘gu vokselleri temsil etmektedirler.
z = 1 mm z = 2 mm z = 3 mm z = 4 mm
z = 5 mm z = 6 mm z = 7 mm z = 8 mm
¸Sekil 3: Gürültüsüz ortamda 100 YDÇY yinelemesi ile geriçatılan görüntünün her bir dilimi için 2 boyutlu gösterimi. Bu ¸sekilde, siyah olmayan pikseller SPDO’ların var oldu˘gu vokselleri temsil etmektedirler.
kullanılan senaryonun geriçatım sonucu ¸Sekil 3 ve ¸Sekil 4(b)’de gösterilmektedir. Geriçatılan objenin referans objeye çok yakınsadı˘gı görsel olarak da anla¸sılabilmektedir.
Farklı SGO de˘gerlerinde farklı sayıdaki yineleme ile YDÇY algoritmasının görüntü kalitesi üzerindeki performansı ölçülmü¸s ve performans de˘gerleri TABLO I ve TABLO II’de gösterilmi¸stir.
TABLO III’te ise YDÇY’nin CPU ya da GPU kulla-nılması durumlarındaki geriçatım hızı gösterilmektedir. Buna göre 20x20x10 voksel boyutuna sahip bir MPG görüntüsünün
geriçatımında 1 adet GPU kullanılması durumunda 100 yi-nelemede saniye ba¸sına 8-9 görüntü geriçatımı yapılabilece˘gi gösterilmi¸stir. Buna ek olarak, GPU kullanıldı˘gı durumda CPU’ya göre 30 ile 65 kat arası hızlanma sa˘glanmı¸stır.
IV. TARTI ¸SMA
Geriçatım performans sonuçlarına göre 100 yinelemenin görüntü kalitesi açısından yeterli oldu˘gu de˘gerlendirildi˘ginde, 20x20x10 vokselden olu¸san bir görüntü 0.12 saniyede geriça-tılmı¸stır. Böylece, YDÇY ile MPG’de saniyede 8-9 adet 3B hacim görüntüleyecek ¸sekilde gerçek zamanlı görüntülemenin
(a) (b)
¸Sekil 4: (a) Benzetimlerde kullanılan referans damar objesi ve (b) gürültüsüz ortamda 100 YDÇY yinelemesi ile geriçatılan görüntünün 3B gösterimi.
Tablo I: Geriçatılan objenin referans objeye göre her bir SGO ve yineleme sayısı için YBE de˘gerleri.
YBE Yineleme Sayısı
SGO (dB) 5 50 100 300
∞ 0.90 0.93 0.95 0.99
20 0.89 0.92 0.93 0.96
10 0.83 0.86 0.88 0.92
0 0.33 0.35 0.37 0.61
Tablo II: Geriçatılan objenin referans objeye göre her bir SGO ve yineleme sayısı için DSGO de˘gerleri.
DSGO Yineleme Sayısı
SGO (dB) 5 50 100 300
∞ 22.0 28.7 30.4 41.5
20 21.9 24.4 24.7 25.5
10 21.2 22.7 22.9 23.3
0 17.9 18.8 18.9 18.7
sadece 1 adet GPU kullanılarak mümkün oldu˘gu gösteril-mi¸stir. Klinik uygulama için daha büyük hacimlerin YDÇY ile geriçatımının, birden çok GPU’nun parallellenerek gerçek zamanda yapılabilece˘gi de˘gerlendirilmektedir. MPG sisteminin SGO’su, istenen görüntü kalitesi için gerekli iterasyon sayısını etkilemektedir. SGO, veri toplama sayısı artırılarak iyile¸stiri-lebildi˘ginden, veri toplama sayısı ve YDÇY iterasyon sayısı birlikte de˘gerlendirilerek görüntüleme hızı eniyilenmelidir.
TE ¸SEKKÜR
Bu çalı¸sma TÜB˙ITAK tarafından desteklenmi¸stir (Proje Numaraları: 9050103 ve 115E677). Emine Ülkü Sarıta¸s’ın çalı¸smaları Avrupa Komisyonu tarafından FP7 Marie Curie Career Integration Grant (PCIG13-GA-2013-618834) ile Türk Bilimler Akademisi tarafından TUBA-GEBIP 2015 programı ile ve BAGEP Bilim Akademisi ödülü ile desteklenmi¸stir.
Tablo III: YDÇY’nin her bir yineleme sayısı için CPU ve GPU kullanıldı˘gındaki toplam i¸slem süreleri.
Yineleme Sayısı 5 50 100 300
CPU süresi (s) 0.25 2.33 4.73 14.10 GPU süresi (s) 0.004 0.07 0.12 0.38 Hızlandırma Miktarı 62.5 33.3 39.4 37.1
KAYNAKLAR
[1] B. Gleich, J. Weizenecker, "Tomographic imaging using the nonlinear response of magnetic particles", Nature, 2005.
[2] T. Knopp, J. Rahmer, T. F. Sattel, S. Biederer, J. Weizenecker, B. Gleich, J. Borgert, T. M. Buzug, "Weighted iterative reconstruction for magnetic particle imaging", Phys. Med. Biol., 2010.
[3] P. W. Goodwill, E. U. Saritas, L. R. Croft, T. N. Kim, K. M. Krishnan, D. V. Schaffer, S. M. Conolly, "X-Space MPI: Magnetic Nanoparticles for Safe Medical Imaging", Adv. Mater., 2012.
[4] M. Storath, C. Brandt, M. Hofmann, T. Knopp, J. Salamon, A. Weber, A. Weinmann, "Edge Preserving and Noise Reducing Reconstruction for Magnetic Particle Imaging", IEEE Trans. Med. Imag., 2016.
[5] S. ˙Ilbey, C. B. Top, A. Güngör, T. Çukur, E. Ü. Sarıta¸s, H. E. Güven, "Comparison of System-Matrix-Based and Projection-Based Reconst-ructions for Field Free Line Magnetic Particle Imaging", International Journal on Magnetic Particle Imaging, 2017.
[6] S. ˙Ilbey and C. B. Top and T. Çukur and E. U. Saritas and H. E. Güven, "Image Reconstruction for Magnetic Partical Imaging using an Aug-mented Lagrangian Method", International Symposium on Biomedical Imaging, 2017.
[7] J. Weizenecker, B. Gleich, J. Rahmer, H. Dahnke, J. Borgert, "Three-dimensional real-time in vivo magnetic particle imaging", Phys. Med. Biol., 2009.
[8] S. Boyd, "Distributed Optimization and Statistical Learning via the Alternating Direction Method of Multipliers", Foundations and Trends R
in Machine Learning, 2011.
[9] A. P. Khandhar, R. M. Ferguson, H. Arami, K. M. Krishnan, "Mo-nodisperse magnetite nanoparticle tracers for in vivo magnetic particle imaging", Biomaterials, 2013.
