ELEKTRiK GÜÇ SİSTEMLERİNDE KAOTiK OLAYLARıN BAŞLANGlÇ ŞARTLARINA HASSAS BAGIMLILIGI

(1)

SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 6.Cilt, l.Sayı (Mart 2002)

Elektrik Güç Sistemlerinde Kaotik Olaylann Başlangıç Şartianna Hassas Bağımlıhğı M.A.Yalçm, Y.Uyaroğlu

ELEKTRiK GÜÇ SİSTEMLERİNDE KAOTiK OLAYLARıN BAŞLANGlÇ

ŞARTLARINA HASSAS BAGIMLILIGI

M.

Ali Yalçın, Yılmaz Uyaroğlu

••

Ozet - Bu çalışmada,geniş bir yükleme durumu aralığındaki bir güç sistemindeki kaotik davranışlar

bilgisayar simülasyonları yardımıyla

gözlemlenmektedir. "Tuhaf çekici" olarak ta

adlandırılan Kaos'un varlığı lyapunov üstellerinin hesaplanmasıyla elde edilmektedir. Bilimdeki temel bir inanış, deterministik sistemlerin önceden belli olmasıdır. Verilen deterministik model, bir başlangıç şartı ve çalışma altındaki bir sistemi tanımlar ise, sistem davranışı bütün zamanlar için önceden bilinebilir. Son zamanlardaki, determinizmin kaotik sistemleri önceden tahmin ederneyeceği keşfi bu bakış tarzlarını değiştirmiştir. Kaos'taki bu buluş bilimlerdeki ve mühendislik sistemlerinde geniş olarak karşımıza çıkan karmaşık ve önceden kestirilemeyen olayları anlamamızı sağlamaktadır. Kaotik sistemlerin genel özelliklerinden biri de başlangıç şartlarına oldukça duyarlı olmalarıdır. Bu nedenle pratikte bire bir uyumlu kaotik devreler dizayn edilse bile bu başlangıç şartlarını aynı şekilde

vermek mümkün değildir Gerilim çökmesi

mekanizmasının nasıl gerçekleştiğini gösteren, mümkün olan en basit modeli elde etmek için, hassas modelierne kabulleri yapmak gereklidir. Bu ;alışmada, yavaşça değişen kararlı bir denge ıoktasını izleyen bir güç sistemi kullanılmıştır.

4nahtar kelimeler:Gerilim Çökmesi, Başlangıç

)artlarına Hassas Bağımlılık

lbstract - Several voltage collapses have bad a period

ıf slowly decreasing voltage followed by an ccelerating collapse in voltage. In this paper we nalyze this type of Voltage Collapse based on a

., o lt age Co ll apse Model. The essen ce of this model is ıat the system dynamics after bifurcation are aptured by the center manifold trajectory and it is omputable model that allows prediction of voltage ollapse.

-eywords: Voltage Collapse, Sensitive Dependence on Initial Conditition.

.Ali Yalçın, Y Uyaroğlu ,Sakarya Üniversitesi, Mühendislik kültesi, Elektr1k Elektronik Mühendisliği Bölümü, Esentepe ımpüsü,54187 ,SAKARY A,yalcin@sakarya.edu.tr,

{troglu@sakarya. edu. tr,

97

ı. GİRİŞ

Bir sistemin geçmiş bilgilerine dayanarak, yapacağı davranışın tahmin edilmesi ve sosyal bilimleri de içeren çok geniş bir alanda temel bir problemdir.

Sistemin tüm durumlarının ve parametrelerinin bilinmesi halinde yapacağı davranışın tam olarak belirlenebildiği deterıninistik sitemler içinde bilinen en karmaşık dinamiğe sahip olan kaotik sistemler, ürettikleri sürecin tahmini en zor olan sistem sınıfını oluşturur[ I].

Bu sistemlerde ayrık zamanda ölçülen işaretler kaotik zaman serileri olarak adlandırılır. Kaotik zaman serilerinin tahmini bir cebirsel işieve yaklaşım problemi olarak göıülebilir. Kaos karışık nonlineer olayları açıklamayı arayan n1atematiksel ilmin nispeten yeni bir dalıdır[2,3].

Günümüzde fizikçiler kaos yardımıyla galaksinin oluşumunu açıklamaktadır. Hava ve depremierin tahmini, kontrol, kanser hücrelerinin teşhis ve tedavisi gibi çeşitli pratik problemlerde bu teoriyle analiz edilebilmektedir.

Böyle sistemler nonlineerdir ve sistemin geçmiş giriş ve çıkış verisinden sistemleri modelierne düşünülmüştür.

Sistem çok yüklü olduğu zaman meydana gelen sistem kararsızlılığın bir tipide gerilim çökmesidir[4,5].

Bu olay yüklerdeki artış sebebiyle, sistemin çalışma noktasındaki yavaş bir değişim tarafından karakterize edilir, bu durumda hızlı ve ani bir değişim oluşuna kadar gerilim genlikleri kad�meli olarak azalır[6,7].

II. ÇAT ALLAŞMA TEORİSİ

Çatallaşma olaylarını sürekli hal ve süreksiz hal çatallaşma olayları olarak sınıflandırmak çok yararlıdır.

Süreksiz çatallaşma olayları durumunda sistem nominal

değerinden sonsuz bir değere ulaşmaktadır.

Bir parametre kritik bir değere geçerken bir çift denge noktasının ortadan kaybolması olan, eyer noktası çatallaşması lineer olmayan dinamik olaylarda temel bir çatallaşmadır, hem de yıkıcı çatallaşmanın yada bir süreksiziiliğin en basit örneğidir.

(2)

yıkıcı çatallaşmaların diğer örnekleri, alt kriti

�

değer hopf çatallaşması ve alt kritik değer pıtchfork çatallaşması gibi alt kritik değer formunda gözüken bütün çatallaşmalardır. Eğer noktası çatallaşmas�

�

�m_und�, kararlı denge dummuna meyilin kesilmesı sureksız bır çatallaşmayı gösterir. Sürekli yada süreksiz bir çatallaşmayı tanımlamanın bir yolu, her � parametre değerini, aym kararlı denge durumuna planlayan parametre faz fonksiyonunu kullanmaktır. Bu kavramı kullanarak, süreksiz bir çatallaşma J.l değerinde bir parametre de meydana gelir. Burada parametre-faz

fonksiyonu süreksizdir.

Rıaıdıe

p _p

( c

J...t ... ..

1

J...t ··-·-- .

Şekil 1 Jl==J.lo 'da sürekli ve süreksiz çatallaşmaların

şematik paran1etre-faz aralığı

diyagramları. Q yolları kesilirken, kararlı denge yolundaki P çatallaşma noktasının

öbür tarafına doğru devam eder.

Bazı kararlı denge noktalannın yollarının kesilmesi ile oluşan herhangi bir çatallaşma için eş anlamlı olarak, yıkıcı çatallaşma ve süreksiz çatallaşma terinılerini kullanacağız. Yıkıcı ve sürekli çatallaşmalann gö_z

!

emlerine dayanarak, yaklaşık olarak f.l=J.lc'de, üst krıtık değerli çatallaşmalan alt kritik değerli çatallaşmadan daha fazla ümit edilebilir sistem cevabı sonuçtanır.

III. UYGl.JLANAN ÇÖZÜM METODU

Başlangıç değer probleminde, x=x0 noktasından somaki

nokta

?

_{a fonksiyon değeri, bu} _x==x0 _{noktası civarında,} fonksıyonun _Taylor _seri _açıluru _yapılarak hesaplanabiliyordu. Ancak bu tür bir hesaplan1ada karşımıza çıkacak yüksek mertebeden türevleri bulmak 0

�

_{.dukça_ za�n alıcı olacaktır. Bu nedenle Taylor seri} yontemı yerıne, bu serinin indirekt olarak kullanıldıg ... ı

Runge Kutta - ·· t m1 · ·

.. .. yon e erını _kullanmak hesaplama

a?.ısından . b�yuk kola.ylık getirecektir. Runge-Kutta y�ntemlen bır anlamda ıntegrallerin yaklaşık hesabına ait

Sımpson kural.ına

�

_ayanır. _{1 891} _{yılında Cari Runge}

t��afından teklıf edılmiş ve kullanıldığı yıllarda diğer

yontemlere nazaran daha hassas sonuçlar vermiştir. 1 901

98

Elektrik Güç Sistemlerinde Kaotik Olayıann Başlangıç _Sa:ı.

Hassas Bağ:

M.A.Yalçın, Y.i_.:�

yılında, Kutta bazı değişiklikler yaparak yöntemi _�: sonuçlar verecek hale sokmuştur. _Bu _yöntemin

değişik şekilleri mevcut olup, genel olarak fonksh�

bir sonraki değeri, ., ·

foııı�unda hesaplanmaktadır. _Buradaki _{� (xi,} _{Yi, h)}a1

üzerınde temsili eğim olarak yorumlanabilir� _ı fonksiyon, a' lar sabitler olmak üzere _'

şeklinde yazıla bilmektedir. Bu denklemde k'lar ise;

k = f (x · +p h y· +q k h+q k h+

· n ı n-1 , ı n-1,1 1 n-1,2 2 ···i""<!:ıtı

ıkn-1 h)

şeklindedir. Dikkat edilirse her bir k değeri bir ön'�

k'lar cinsinden ifade edilmektedir. n değişik şekl: seçilerek farklı türdeki fonnüller elde edilebilir. n =

seçilecek olursa Euler yöntemindeki formüller d edilebilir. n = 2 seçilirse ikinci mertebe Runge-K�: forn1ülleri elde edilir. N = 4 seçilirse dördüı: mertebeden Runge-Kutta foıınüller elde edilir.

IV. GÜÇ SİSTEM MODELİ

Gerilim çökmesi modelinin Şekil 1 'deki gösterilen ;

sistem modeline nasıl uygulanacağını göstermek için:

örnek önemlidir. Güç sistem modelinde, generatörleı biri salınım barası diğeri ise sabit Em gerilim genliğt salınım denklemi tarafından verilen açı dinamikle:.

sahiptir.

c

ol

O

-

--

-Şekil2. Örnek güç sistemi.

...___. Y

m

L(-9m-1t/_ı

vlö

P,Q

(3)

.. . ₂

M Örn+ D Om _{=P m+V m V}Y m sin (8-Öm-Qrn)+V m Y mSİnQm Burada M, dm ve Pm sırasıyla, generatör atalet momenti damping ve mekanik güçtür. Yük modeli, dinamik bir

indüksi yon motoru ve paralel bağlı bir sabit PQ yükünü

•

içermektedir. İndüksi yon motoru, 8 frekans ı ve V yük

geriliminin terimlerinde motorun aktif ve reaktif p ve Q

güçleriyle tammlanabilir. PQ yükü ve motoru için

birleştirilmiş n1odel aşağıda çıkarılmıştır . •

.

Pd=Po+Pı+Kpw Ö +Kpv(V+TV)

Burada P0,Q0 motorun P1 ve Q1 'de PQ yükünün sırasıyla

aktif ve reaktif güçleridir. Yükün artan reaktif güç

talebinde tekabül eden, Q 1 artışı sistem parametresi

olarak seçilmiştir.

Yük gerilimi yaklaşık olarak 1 .0 pu değerine çıkaırnak

için sabit bir C kapasitörii' de içeıınektedir. Kapasitör

içeren devre yerine kapasitörtü devrenin Thevenin

eşdeğerini elde ederek E0, Y0, ve Q0 yeniden

• 1

düzenlenerek E0, Y0 ,ve Q0 elde edilir. Sistem

tarafından yüklere enjekte edilen aktif ve reaktif güçler;

. ' ' P=V0 VYo sin(8+8o )-V m VY msin(ö-ı _• 2 Öm+8m)+( YOsin8 0 + Y 01Stn8m)V t ı ı (l.a) Q(oın,8,V)=E 0 VY 0 cos(8+8 0 )+Em VY mcos(8-8m+8m)

-ı ı 2

(Y 0 cos8 0 + Y mcos8m)V (l.b)

Yukarıdaki eşitlikleri düzenleyip türevli terimleri

eşitliklerin sol tarafına aldığımızda sistemin diferansiyel

denklemlerini elde ederiz.

M w =-d111w+Pm+Em VY msin(8-8ın-8m)+Em 2Ymsin8m � . 2 fKqwKpv V _{=KpwKqv2 V} +(KpwKqv-KqwKpv)V+Kqw(P(8m,8,V)-Po-Pı) -Kpw( Q( 8m, 8, V)-Qo_ Q ı) (2)

3öylece dinamik yük modeli ( 1 ) eşitliği, bu güç sistem nodeli için (2) forrnundaki diferansiyel denklemleri

;özer. Teori detayları kısmında gerekli olduğu gibi (2)

ienklernlerinin S 1 x R x S 1 x R durum uzayının, pozitif

ieğişmez kompakt bir C alt kümesini elde ederiz. Bu compakt set aşağıdaki gibi olsun

99

Elektrik Güç Sistemlerinde Kaotik Olayların Başlangıç Şartıanna Hassas Bağımlılığı M.A.Yalçın, Y.Uyaroğlu

Burada, C pozitif değişmeyen bir kümesi olsun diye, C'nin sınırlan üzerindeki vektör alanı noktaları yeteri

kadar büyük seçilmiştir. Büyük w değeri için (2)

foınıunun 2. eşitliğinde

�

=-M-1 dın w etkilidir. Aynı

fornıun 4. eşitliğinde ise, büyük V değeri için

terimi etkilidir.

Bir eyer noktası çatallaşması 8m, 8, w, V, Q1 değişkenleri

için, bu eşitliklerin sıfıra eşidenen jakobiyenin

determinantı ve sol tarafı sıfıra eşitlenen (2)

denklemlerini çözerek bulunur.

Derece olan bütün açılar hariç, bütün değerler birim o

değerdir. Parametreler 20 'den küçük hat açıları ve 1 pu

değerine yakın V gerilimi ile bir eyer noktası çatallaşması

örneğini elde etmek için ayarlanmıştır.

* • • •

Çatallaşma durumunda; x. = (8m ,w ,8 ,V) ve parametre

*

Q 1 = 1 1.41 değerindedir. Buradaki bütün değerler, radyan

olan açılar hariç, birim değerdir.

X• = (0.3, 0.0, 0. 2, 0.97)

W deki gerilimin göreceli olarak büyük negatif bileşeni, en azından başlangıçta, çatallaşmada gerilim azalsın di ye W+ c'nin uygun olduğunu gösterir.

(2) foıınundaki denklemler, bu durumda w+c boyunca çölanenin karakterini belirlemek ve onaylamak için, w'nin doğrultusunda x.'dan O.Ol'e kadar yer değiştiren bir başlangıç şartından başlayarak sayısal olarak

. _*

çözülürler. Integrasyon boyunca Qı, Q1 'da sabit tutulur.

V

ı

0.98 0.9G 0.94 0.92 0.9 0.88 O. 86 '---'----'---L--_..ı_ _ _ı__ __ ı-..__....ı..__...ı_-.-ı. _ __ı o 5 1 o 15 20 25 30 35 40 45 50 _... .. t

Şekil 3. (0.3, 0.0, 0. 2, 0.97) başlangıç şartları

(4)

SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 6.Cilt, 1 .SaY1 (Mart 2002)

ı

0.98 0.96 0.94 ı 0.92 0.9

ı

0.88 5 1 o 15 20 25 30 35 ı40 45 so -+� t

Şekil 4 . . (0.3, 0.0, 0.2, 0.970 1 ) başlangıç şartlan için kaotik moddaki gerilim zaman serisi.

V 1��--�_• �--�• ��• • --��--��

i

0.98 0.96 r-o. 94 o .92 o .9 0.88 1-o. 86 ı • • • J -o 5 10 15 20 25 30 35 ı40 ı45 50 -... � t

Şekil.5. (0.3, 0.0, 0.2, 0.9699) başlangıç şartları için kaotik moddaki gerilim zaman serisi.

V

i

0.98 _{" ,., (\}

NI/V

V 0.96 0.94 0.92 0.9 1-O. 88 t -0.86 0�-�· ---:;;· --::---:·:--�· _-�_·_:---_-�·_{_:_}_{_}_{..ı__}_' _--L._._ı_ _j 5 1 o 15 20 25 30 35 40 ı45 50 -·· t

Şekil 6. (0.3, 0.0, 0.2, 0.968) başlangıç şartları için kaotik moddaki gerilim zaman serisi.

1 00

Elektrık Güç Sistemlerinde Kaotik Olayların Başlangıç ŞartlarJ� Hassas Bağımlı�� M.A.Yalçın, Y.Uyaro�·

••

V. SONUÇLAR ve ÖNERİLER

Lineer olmayan sistem teorilerindeki ilerleme ve sor zamanlardaki pahalı ve işlem gücü yüksek bilgisayarıant yaygınlığı, güç sistemlerindeki karmaşık davranışlan analiz etmeye ve anlamaya sebep olmuştur.

Bu çalışmada, bir güç sisteminin belirli yük.lenme şartlar. için oluşan kaotik olaylar bilgisayar simülasyon sonuçlar. ile gösterilmektedir. Bununla beraber, kaotik sistemleıir. başlangıç şartlarına hassas bağımlılığı ve herhangi ba

sayısal simülasyonlardaki kalıcı kesme hatalan yüzünden. kaotik davranışların gözlemlenmesi büyük bir dikkaıl�

olmalıdır.

Lyapunov üstellerinin hesaplanması, bir güç sisteminde� kaotik davranışların gözlemlerimizi onaylamaya yardım eder. Kaos için bir güvenilir gösterge olan geniş bantlı bu

spektrumda gözlemlerinrizi onaylamak için türetilmiştir.

KAYNAKLAR

[ 1 ] Kap i tani ak, T., "Chaos for Engineering", Springer Verlag, 1 998.(Book).

[2] Kwatny, 1-I.G,Pasrija, A. K and Bahar, L. Y "Static

bifurcations in electric power networks: Loss of

steady-state stability and voltage collapse IEEE Trans. Circuits and Systems Vol 33 No 1 0 (October 1986).

[3] IEEE, "Special Publication 90Tı-ı0358-2-PWR

"Voltage Stability of Power Systeıns:Concepts,

Analytical Tools, and Industry Experience", 1990. [4] Chiang H, Dobson.I , Thomas, R.," On Voltage Collapse in Electric Po\ver Systems",

IEEE Power Systems, Vol.5.,No:2 May,1 990.

[5] Yalçın, M.A., "Enerji Sistemlerinde Gerilim Kararlılığını n Yeni Bir Yaklaşımla incelenmesi,, Doktora Tezi, İTÜ, E-E Fakültesi, İstanbul, 1995

[ 6] Ian Do b son, "Observation on the Geometry of Saddie Node Bifurcation and Voltage collapse

in Electrical Po\ver Systems", IEEE Circuits

and Systems, vol.39 ,No:3 March, 1 992.

[7] Y.Uyaroğlu, Yalçın, M.A., "Elektrik Güç

Sistemlerinde Kaos", SAÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, Cilt 5 ,Sayı 2, ,s:27, Eylül 200 1 .

(8] Y.Uyaroğlu, Yalçın, M.A., "Elektrik Güç

Sistemlerinde Gerilim Çökmelerinin Çatallaşma

Analizi ile Kaotik Olaylannın incelenmesi", Elektrik Elektronik-Bilgisayar Mühendisliği 9. Ulusal

Kongresi, Cilt 1 ,s:204, Eylül 2001 .

] ı t ı c 1 � ü ü