Viskoelastik Dielektrik Ortamlarin Hasar Mekaniğine Ait Matematiksel Bir Model

757

XV. Ulusal Mekanik Kongresi,03-07 Eylül 2007,ISPARTA

VİSKOELASTİK DİELEKTRİK ORTAMLARIN HASAR MEKANİĞİNE AİT MATEMATİKSEL BİR MODEL

Mustafa Reşit Usal Ali Ünal Erdem

Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine Eğitimi Bölümü Isparta

Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Ankara

usalmr@tef.sdu.edu.tr alierdem13@gmail.com

ÖZET

Bu çalışmada, viskoelastik dielektrik hasarlı malzemelerin bünye denklemlerine ait genel ifadeler sürekli ortam hasar mekaniğinin temel yasalarından türetilmiştir. Bu matematiksel model, mekanik bir yükün etkisi altında kalan ve mikro boşluklar içeren viskoelastik dielektrik ortamlar için geliştirilmiştir. Malzeme normalde izotrop bir ortam olup sırf mikro-boşluk dağılımı nedeniyle güçlü bir anizotropi göstermektedir. Bu bağlamda cisim davranış olarak kendisini elastik gerilme, dissipatif gerilme, elektriksel polarizasyon ve gerinme-enerjisi yoğunluğunun değişim hızı tarzında ifade edecektir.

ABSTRACT

The general expressions of constitutive equations for isotropic viscoelastic dielectric damaged materials were derived from the basic laws of continuum damage mechanics. This mathematical model represents an viscoelastic dielectric media which has micro-voids and subjected to a mechanical loading. Due to micro-void distribution, overall structure attains a strong anisotropy, despite the fact that the material is otherwise isotropic. In this context the body will respond by means of elastic stress, dissipative stress, electric polarization and strain-energy density release rate.

1.GİRİŞ

Hasar mekaniği; atomik ölçekte, mikro ölçekte, mezo ölçekte ve makro ölçekte oldukça farklı araştırma alanlarına konu olmuştur. Bu farklı yaklaşımlardan ortaya çıkan ortak görüş şudur: Hasar, malzemenin momentum iletme özelliğinde bir gerilemeye neden olmaktadır. Hasar tansörleri kavramı hasar mekaniğinin temelini oluşturmaktadır. Hasar değişkenini tanımlamak için literatürde değişik mertebeden tansörler kullanılmıştır[1-7]. Biz bu çalışmamızda kanaatimizce daha gerçekçi bir fiziksel yoruma imkan vermesi nedeniyle hasar tansörünü ikincin mertbeden seçmiş bulunuyoruz.

2. HASARIN MEKANİK TEMSİLİ

Malzeme içerisinde yer alan mikro boşlukların dışarıdan uygulanan çekme kuvvetine karşı herhangi bir direnç göstermediği dolayısı ile yük taşımadığı düşünülürse, efektif olarak yük taşıyan yüzeyin dik kesit alanından mikro boşlukların alanını çıkararak elde edilen yüzey (S-SD) olur. Dolayısıyla da efektif gerilme :

D S S F − =

σ~ şeklinde yazılabilir. Hasar parametresi mikro boşlukların toplam alanının toplam kesit alanına oranı

S S

D≡ D olarak tanımlanabilir[8-11]. Bu durumda efektif gerilme ve hasarın tanımını dikkate alarak,

D D S F S S S F D − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 / 1 ~ σ

σ yazılabilir. Yukarıda verilen ifadeleri göz önüne alarak aşağıdaki sınırlamaları yazılabilir; 0≤ D≤1, D=0 (başlangıçtaki hasarsız durum), D=1 (malzemenin

kopma veya kırılma durumu)

Efektif gerilme bağıntısını kullanarak, hasarlı ve hasarsız bir malzemenin elastisite modülleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi verilebilir: _{( )} E E( D)

E E D E= − = ⇒ = − = _~ ~ 1 1 ~ _{σ σ} σ ε . Burada, ( ED ) hasar

nedeniyle elastisite modülünde meydana gelen azalmayı, E~ ise hasarlı malzemenin elastisite

modülünü göstermektedir. Hasar değişkenlerini belirleyebilmek için K sayıda mikro çatlak içeren bir temsili hacim elemanı (THE) göz önüne alınmıştır. Herhangi bir k-ıncı mikro çatlağın açık veya aktif kısmı A(k) ile, bu mikro çatlağın kapalı veya pasif yüzeyi de A*(k) ile gösterilmiştir. Weitsman bunları eşdeğer düzlemsel yüzeyler olarak düşünerek (k) (k) (k)

A n A = ve ) ( ) *( ) *(k k k A n

A = vektörleri ile temsil etmiştir, (k = 1, ...,K). Burada _n(k)_{, bir mikro çatlak}

düzlemine ait birim normal vektörü göstermektedir [12,13]. Eğrilik yarıçapları çok büyük olan farklı infinitesimal çatlak yüzeyleri topolojik ve mekanik açıdan eş değer kabul edilebilir. Bu durumda çatlak yüzeyinin topolojik temsili çatlak yüzeyinin yönünden bağımsız olarak ifade edilebilir. Matematiksel olarak bu temsili, iki vektörün diyadik çarpımı ile oluşturulan bir simetrik tansör kullanarak gösterebiliriz. Bu durumda, her bir mikro çatlağı aşağıdaki gibi simetrik diyadlarla tanımlayabiliriz.

) ( ) ( ) (k _Ak _Ak H ≡ ⊗ ve _H*(k) _≡A*(k)_{⊗ A}*(k) , ( ) () (k) j k i k j i A A H ≡ (1) F S F

Şekil 2. a) K sayıda mikro çatlak içeren temsili hacim elemanının düzlemsel görüntüsü (27), b) Bir mikro çatlağın açık ve kapalı yüzeyleri.

Şekil 1. Tek eksenli çekme altındaki bir çubukta hasar parametresinin tanımı

n

759

A(k) ve A*(k) yüzeylerinin ölçüsü ve yeri hakkında detaylı bilgiler ancak istatistiksel olarak mikro ölçekte mevcut olduğundan, Sürekli-Ortamlar Mekaniğinin kullanıldığı mezo ölçekte (1) ifadesi ile verilen tansörel ifadelerin birleşik etkilerini aşağıdaki diyadik çarpımların toplamları ile gösterebiliriz. Bu işlem, mikro ölçekten mezo ölçeğe geçerken yapılan homojenleştirme şeklinde de yorumlanabilir.

) ( ) ( 1 k k K k A A H=∑ ⊗ = ve ) ( * ) ( * 1 * K k k k A A H =∑ ⊗ = (2) Hasarın etkisi, ikinci dereceden simetrik tansörel karakter taşıyan iki adet iç durum değişkeni ile ifade edilmektedir. Bu çalışmada, bünye değişkeni olarak, sadece açık mikro yüzeylerin etkisini dikkate alan bir tek hasar tansörü göz önüne alınmıştır. Açık mikro-çatlak yüzeylerinin temsili hacim elemanı içerisindeki ortalama değerlerini A( )X,t vektörü ile, bu

vektörün zamanla değişimini A&( )X,t ile gösterebiliriz. Malzeme mikro-çatlak yüzeylerinin

pozitif ve negatif taraflarını fark edemeyeceği için, matematiksel olarak A( )X,t ve A&( )X,t

vektörlerine olan bağımlılığı, (2)1 ifadesini de göz önüne alarak,

A A A A H A A

H≡ ⊗ ⇒ & ≡&⊗ + ⊗& formundaki tansörel çarpımlarla ifade edebiliriz.

3. TERMODİNAMİK KISITLAR

Enerji denklemi ile entropi eşitsizliği uygun şekilde birleştirilir ve serbest enerji için aşağıdaki şekilde bir Legendre transformasyonu kullanarak,

i iP E 1 ≡_{ε−θη− ⋅ =ε−θη−ρ}− ψ E Π (3)

Entropi eşitsizliği maddesel formda aşağıdaki gibi elde edilir.

(

)

1 0 2 1 , 0 + − −Π ≥ + Σ

− & ρ ηθ& TMNC&MN _θ θMQM ME&M (4)

elde edilmiş olur. Mekanik bir yüklemeye maruz, mikro-çatlaklar içeren ve bu çatlakların zamanla şekillerinin değiştiği düşünülen viskoelastik bir ortamın gerilme potansiyeli Σ ’ nın argümanları; Sürekli-Ortamlar Mekaniğinin bünye aksiyomlarına göre

(

CMN,C&MN,HMN,H&MN, EM,θ

)

olarak belirlenmiştir [14-15]. Bu durumda gerilme

potansiyelini,

( ),t =Σ

[

C_MN,C&_MN ,H_MN,H&_MN, E_M,θ

]

Σ X (5)

şeklinde bir fonksiyon olarak yazabiliriz. Bu fonksiyonun zamana göre maddesel türevi (31) eşitsizliğinde yerine yazılır, ortak terimlerin parantezleri alınırsa aşağıdaki eşitsizliğe ulaşırız. − Σ − Σ − Σ − Σ − MN N M N M N M N M N M N M N M N M H H H H C C C C T && & & && & & ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ) ∂ ∂ 2 ( 2 1 ) 1 0 ∂ ∂ 1 ( ) ∂ ∂ ( , 0 0 + Σ − ≥ − Σ + Π M M M M M E Q E & ρ η ρ θ θ& θ θ (6)

(6) eşitsizliğinin keyfi her bağımsız termodinamik proseste sağlanabilmesi için gerilme potansiyelinin argümanları içinde bulunmayan C&&MN , H&&MN, E&M, θ&, ve θ,M terimlerin

katsayılarının sıfıra eşit olması gerekir. C&MN ve H&MN , Σ nın argümanları içerisinde yer

aldığından bu eşitsizlikteki C&MN ve H&MN nin katsayıları sıfıra eşitlenemez [14-15]. C&MN nin

ve H&MNnin katsayılarına aşağıda verilen atamalar yapılmıştır.

N M N M N M D C T T ∂ Σ ∂ − ≡ 2 , N M N M H Y ∂ Σ ∂ − ≡ (7)

Burada, DTMN ve YMN sırasıyla dissipatif gerilme ve gerinme-enerjisi yoğunluğunun değişim

hızı olarak adlandırılmıştır. Ayrıca pozitif bir büyüklükle uğraşmak için; YMN≡−YMN

tanımlaması kullanılarak, gerinme enerjisi yoğunluğunun değişim hızı aşağıdaki gibi ifade edilebilir. N M N M H Y ∂ Σ ∂ ≡ (8)

(6) eşitsizliğindeki C&&MN,H&&MN E&M, θ&, ve θ,M nın katsayıları sıfıra eşitlenerek aşağıdaki

ifadeler elde edilir: 0 ∂ ∂Σ ₌ N M C& , ∂ =0 Σ ∂ N M H& , M ∂E_M ∂ Σ − = Π , η _{ρ θ} ∂ ∂ 1 0 Σ − = , Q_M=0, (9) (8) ve (9) tanımlarını dikkate alarak, (6) eşitsizliği aşağıdaki gibi yazılabilir:

0 2 1 _{− ≥} N M N M N M N M DT C& Y H& (10) Dissipatif gerilmenin hangi argümanlara bağlı olduğu aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

(

MN, MN, MN, MN, M,θ

)

N M D N M DT = T C C& H H& E (11)

Yukarıda verilen (9) ve (10) ifadelerinde, başlangıçta belirttiğimiz gibi ortamda ısı iletiminin olmadığı ve serbest enerji yoğunluğunun da C&MNve H&MN tansörlerine bağlı olmadığı

görülmektedir. O halde Σ’nın bağlı olduğu argümanlar aşağıdaki gibi yazılabilir.

[

C_MN,H_MN, E_M,θ

]

Σ =

Σ (12)

(7) ifadesinden görüldüğü gibi, malzeme içinde oluşan TMN simetrik gerilme tansörü, iki

gerilme tansöründen meydana gelmektedir ( D MN N M N M T C T + ∂ Σ ∂

= 2 ). Her biri simetrik olan bu gerilme tansörleri elastik gerilme ve disspatif gerilme olarak adlandırılır. Buna göre TMN

gerilme tansörünü TMN ≡ ETMN + DTMN şeklinde yazabiliriz. Bu ifadedeki ETMN elastik gerilme

tansörü N M N M E C T ∂ Σ ∂

≡ 2 şeklinde ifade edilmektedir.

Asimetrik formda ortaya çıkan toplam gerilmenin maddesel koordinatlardaki ifadesi sürekli ortamlar mekaniğinin rutin hesaplamaları ile aşağıdaki gibi bulunmuştur[6]:

1 , , = −Π − Π − = PR P M n R n M PR P M MR R P T X X E T E C T (13)

Burada, CM−1N=XM,mXN,n Piola şekil değiştirme tansörü olarak bilinir.

Bu çalışmada ortam sıkışmaz kabul edilmiştir (J=detC=III=1). Bu durumda elastik gerilme için bünye denklemi maddesel koordinatlarda aşağıdaki gibi elde edilir [15].

N M N M N M E C C p T ∂ Σ ∂ + − = −1 _{2 (14)}

Burada p , Lagrange çarpanı olup alan denklemleri ve sınır şartları ile belirlenir.

Elde edilen bünye denklemlerinden, ETMN, ΠM ve YMN nin işlemler içinde tanımlanan bir termodinamik potansiyelden türetildiği, DTMN nin ise kendi argümanlarına bağlı tansörel bir

fonksiyon olarak ortaya çıktığı görülmüştür. O halde yapılacak ilk iş Σ’ nın ve DTMN nin açık

formlarını ortaya koymak olacaktır.

4. HASARLI ELASTİK DİELEKTRİK ORTAMLAR İÇİN BÜNYE DENKLEMLERİ

Ortamın anizotropisi sadece mikro-boşluklardan kaynaklandığı için Σ gerilme potansiyelinin formu maddesel koordinat sisteminin ful-ortogonal transformasyon grubu altında invaryant

761

kalmalıdır[14-15]. Matematiksel olarak ifade edilecek olursa, Σ aşağıdaki kısıtlamayı sağlamalıdır:

(C,H,E,θ)_=Σ

(

MCMT,MHMT,ME,θ

)

Σ (15)

Burada M, maddesel koordinat sistemlerinin ful ortogonal transformasyonlarını gösterdiğinden ortogonal bir matris olup, _M−1_=MT_{şartını sağlamaktadır. C, H simetrik} matrisleri ile E vektörünün birbirinden bağımsız 11 adet müşterek invaryantları aşağıdaki gibi belirlenmiştir: N N C I₁= , I₂=C_NMC_MN, I₃=C_NMC_MLC_LN, I₄=H_NN, I₅=E_NE_N, I₆=E_NC_NME_M, L L M M N NC C E E I₇= , I₈=E_NH_NME_M,I₉=E_NC_NLH_LME_M,I₁₀=C_NMH_MN,I₁₁=C_NMC_MLH_LN, (16)

Bu durumda serbest enerji fonksiyonumuz yukarıda verilen argümanların fonksiyonu olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:

(

I1,I2,I3,...,I11

)

Σ

=

Σ (17)

İkinci dereceden bir tansör olan Green deformasyon tansörünün asal invaryantları dikkate alınarak (17) ifadesindeki (I1, I2, I3) invaryantları yerine, asal invaryantlar kullanılabilir.

Ortam sıkışmaz kabul edildiğinden III=1 olur. Bu durumda Σ nın bağlı olduğu invaryantlar, aşağıdaki gibi verilebilir.

(I,II ,I4,I5,I6,...,I10, I11) Σ

=

Σ (18) (18) ifadesinin CMN,HMN ve HMN e göre türevlerini alıp (14), (9)3 ve (8) denklemlerinde

yerine yazacak olursak, modellenen ortamdaki elastik gerilme, polarizasyon ve gerinme-enerjisi-yoğunluğu değişim hızına ait nonlineer bünye denklemleri elde edilmiş olur.

[

( )

(

)

( )

(

)

(

P N NR

)

( )

PR

(

PN NR PN NR

)

] P N N R R N N P R P R P R P N N R P Q P R P E C H H C I H I H E E I E E C E E C I E E I C C II I C p T + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + − ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + − = − 11 10 9 7 6 1 _{2 δ δ} (19) [ R

(

RL L

)

(

RM ML L

)

(

RL L

)

(

RL LM M M ML LR

)

] R C H E E C H I E H I E C C I E C I E I ∂ + Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ − = Π 9 8 7 6 5 2 2 2 2 (20) ( )PR P R

(

N NP R

)

( )

PR

(

PN NR

)

R P C C I C I E C E I E E I I Y 11 10 9 8 4 ) ( ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ + ∂ Σ ∂ = δ (21)

Σ, (16)’ da verilen invaryantların analitik bir fonksiyonu ise bir polinomla temsil edilebilir. Σ’ nın kaçıncı mertebeden bir polinomla temsil edileceği deformasyon büyüklüklerinin olaydaki etkileşim paylarına kısacası nonlineerlik mertebelerine bağlıdır [14,15]. İç enerji pozitif tanımlı olduğundan bu polinomun pozitif tanımlı olması gerekir. Ayrıca invaryantların sırasının Σ’ yı etkilememesi için bu polinomun simetrik katsayılı olması, yani kuadratik bir form şeklinde olması gerekir. Serbest enerji yoğunluğu fonksiyonu için mevcut invaryantlar cinsinden bir polinom seçilebilir:

∑ = Σ j i j i j i I I a , , ij ji a a = , (i,j=1,2,4,5,6,7,8,9,10,11) (22)

(22) ifadesinin ihtiva ettiği invaryantlara göre Σ’ nın kısmi türevleri alınarak (19), (20) ve (21) denkleminde yerine yazıldıktan sonra deformasyon tansörü C ve hasar tansörü H’ ın birinci dereceden, elektrik alan vektörü E nin ikinci dereceye kadar olan terimleri dikkate

alınarak yeniden düzenlenmiştir[14,15]. Ayrıca deformasyon tansörü C ve genleme tansörü E arasındaki CMN=δMN+2EMN bağıntıyı dikkate alarak aşağıdaki denklemleri yazabiliriz.

+ + + + + − = − R P Q Q N N R P N N R P N N R P Q P R P ET pC 1 α0δ α1E δ α2E E δ α3E E E δ α4ENENLELδPR+α5HNNδPR+ + + + N NL L PR N NL L QQ PR R P Q Q N N E E H E E H E E H δ α δ α δ α_{6 7 8} α9ENLHLNδPR+α10ENENLHLMEMδPR+ + + + N N PR NN PR R P E E E H E E _{3 6} 11 α α α α8ENHNLELEPR+α12EPER+α13ENNEPER+α14HNNEPER+ + R P N L L N H E E E 15 α α16(EPEQEQR+EPQEQER)+α17HNN(EPEQEQR+EPQEQER)+α18EPHRQEQ+ + + + + + PR NN PR N N PR N NL L PR Q Q R P N N E H E H E H E E H E E E H E _{20 21 22 23} 19 α α α α α ) ( ) ( ₂₅ 4 2 EPQHQR+ERQHQP +α ENEN EPQHQR+ERQHQP α (23) L L P N N L L P P N N L L P P N N P P=−[β1E +β2E E +β3+E E +β4H E +β5H E +β6H E E Π ] ) ( 9 8 7ENNHPLEL+β ENLHLNEP+β EPLHLMEM+HPLELMEM β (24) YPR=γ0δPR+γ1ENNδPR+γ2HNNδPR+γ3ENENδPR+γ4ENENLELδPR+γ5ENHNLELδPR + + + + + +γ6ENLHLNδPR γ7ENENL HLMEMδPR γ8EPR γ6HNNEPR γ9ENENEPR + + + + + P R NN P R NN P R NL LN P R R P L L N NH E E E E E E E H E E E H E E E _{11 12 5 10} 0 1 γ γ γ γ γ R N N P Q Q R N N P E E H E E E E 7 3 1 γ γ + (25)

denklemleri bulunur. Başlangıçta gerilmesiz ve yüksüz durumda (23) ve (25) denklemindeki R

P δ

α₀ terimi sıfır olur. Yukarıda verilen (23), (24) ve (25) denklemindeki katsayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

) 4 5 ( 12 11 12 22 0≡ a + a + a α ,α1≡8(a11+9a12+11a22),α2≡4(a15+4a25+4a16+4a26+4a27), ) ( 8 25 26 27 3≡ a +a +a α ,α4≡8(a16+4a26+2a17+8a27),α5≡4(a14+4a24+a1,10+4a2,10+a1,11+4a2,11), ) ( 8 24 2,10 2,11 6≡ a +a +a α ,α7≡4(a18+4a28+a19+4a29),α8≡8(a28+a29), ) 14 4 4 4 ( 8 _{1,10 2,10 1,11 2,10 2,11} 9≡ a + a + a + a + a α ,α₁₀≡8(a₁₉+7a₂₉),α₁₁≡24(a₁₂+a₂₂), ) 2 2 ( 12 _{16 26 17 27} 12≡ a +a + a + a α ,α₁₃≡8(a₁₆+2a₂₆+2a₁₇+4a₂₇),α₁₄≡4(a₄₆+2a₄₇+a_6,10+2a_7,10+a_6,11+2a_7,11), ) 4 2 2 ( 8 6,10 7,10 6,11 7,11 15≡ a + a + a + a α ,α16≡24(a17+a27),α17≡8(a47+a7,10+a7,11),α18≡6(2a19+a29), ) 2 ( 4 19 29 19≡ a + a α ,α20≡6(2a1,10+a2,10+4a1,11+4a2,10+4a2,11)α21≡8(a1,10+2a2,10+24a1,11+4a2,11), ) ( 4 _{5,10 5,11 6,10 6,11 7,10 7,11} 2 2 ≡ a +a +a +a +a +a α ,α₂₃≡8(a_6,10+a_6,11+2a_7,10+4a_7,11),α₂₄≡24(a_1,11+a_2,11), ) ( 8 _{5,11 6,11 7,11} 25≡ a +a +a α ,β₁≡12(a₁₆+a₁₇+a₂₆+a₂₇),β₂≡8(a₁₆+a₁₇+2a₂₆+2a₂₇), ) 2 2 ( 24 _{16 17 26 27} 3≡ a +a + a + a β ,β₄≡4(a₄₅+a₄₆+a₄₇+a_5,10+a_6,10+a_7,10+a_5,11+a_6,11+a_7,11), ) 2 2 ( 12 48 19 28 29 5≡ a +a + a + a β , β6≡8(a46+a6,10+2a47+a7,10+a6,11+a7,11), β7≡8(a148+a19+2a28+2a29) ) 2 2 2 ( 8 5,106 6,10 7,10 5,11 6,11 7,11 8≡ a +a +a + a + a + a β , β9≡12(a19+a29),γ0≡6(a14+a24+a1,10+a2,10+a1,11+a2,11), ) 2 2 2 ( 4 14 24 1,10 2,10 1,11 2,11 1≡ a + a +a + a +a + a γ ,γ2≡2(a44+2a4,10+2a4,11+a10,10+2a10,11+a11,11), ) 2 2 2 ( 2 _{45 46 47 5,10 5,11 6,10 6,11 7,10 7,11} 3≡ a + a + a +a + a +a +a +a +a γ ) 2 2 2 ( 4 46 47 6,10 6,11 7,10 7,11 4≡ a + a +a +a + a + a γ , γ5≡2(a48+a49+a8,10+a8,11+a9,10+a9,11) ) 2 3 2 ( 4 4,10 4,11 10,10 10,11 11,11 6≡ a + a +a + a + a γ , γ7≡4(a49+a9,10+a9,11), γ8≡12(a1,10+2a1,11+a2,10+2a2,11) ) 2 2 2 ( 4 _{5,10 5,11 6,10 6,11 7,10 7,11} 9≡ a + a +a + a +a + a γ , γ₁₀≡4(a_8,10 +2a_8,11+a_9,10+2a_9,11), ) ( 6 _{18 19 28 29} 11≡ a +a +a +a γ , γ₁₂≡2(a₁₈+a₁₉+2a₂₈+2a₂₉), γ₁₃≡12(a₁₉+a₂₉) (26)

5. DİSSİPATİF GERİLMENİN TAYİNİ

Dissipatif gerilme, ortam izotrop olduğundan, T

D simetrik matrisi C, C&, H ve H&simetrik

763

T

D tansörü V vektörü ile sağdan ve soldan skaler çarpılır ve bu çarpım aşağıdaki gibi bir

ℜ skaler fonksiyonu ile tanımlanır [15]. ≡

ℜ(C,C& ,H,H& , E, V ) V T

(

C C H H E

)

V

D

T _{, & , , & ,} (27)

(27) ifadesinin VK ve VL ye göre kısmi türevleri alınırsa,

(

)

(

)

L K L K D V V V E H H C C E H H C C T ∂ ∂ ℜ ∂ = , , , , , 2 1 , , , , 2 _{& &} & & ₍₂₈₎ yazılır. Bu ifadenin sol tarafı V vektöründen bağımsız olduğu için (28) eşitliği V=0 için de geçerli olmalıdır. Bu durumda DTKLizotrop tansör fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilir.

(

)

(

)

0 2 _{, , , , ,} 2 1 , , , , = ∂ ∂ ℜ ∂ = K V L K L K D V V V E H H C C E H H C C

T & & & & (29)

Önce ℜ skaler fonksiyonunun argümanlarından keyfi V vektörünü çıkarıp argümanları ve

, , ,

,C H H E

C & & olan bir skaler fonksiyon tanımlayalım ve bunu Ζ≡Ζ

(

C,C&,H,H& , E

)

şeklinde gösterelim. İzotrop bir fonksiyon olan Ζ nin ortogonal koordinat dönüşümleri altında invaryant kalması için, argümanlarının sonlu sayıda invaryantlarına bağlı olması gerekir. Dört simetrik tansör C ,C& ,H ,H& ile polar vektör olan E nin birbirinden bağımsız 53 adet

invaryantı aşağıdaki listede ifade edilmiştir[15]. N

N

C

I1≡ , I2≡CNLCLN, I3≡CNLCLMCMN, I4 ≡C&NN, I5 ≡C&NLC&LN, I6 ≡C&NLC&LMC&MN, I7=HNN,

N N

H

I8= & , I9 ≡CNLC&LN, I10≡CNLHLN, I11≡CNLH&LN, I12≡C&NLHLN, I13≡C&NLH&LN,I14≡HNLH&LN, N M M L L N C C C

I₁₅≡ & ,I₁₆≡C_NLC_LMH_MN,I₁₇ ≡C_NLC_LM H&_MN,I₁₈≡C_NLC&_LMC&_MN,I₁₉ ≡C&_NLC&_LMH_MN,

N M M L L N C H C

I₂₀≡& & & ,I₂₁≡C_NLC&_LMH_MN,I₂₂ ≡C_NLC&_LM H&_MN,I₂₃≡C_NLH_LMH&_MN,I₂₄≡C&_NLH_LM H&_MN,

K N N M M L L K C C H C

I₂₅≡ & ,I26 ≡CKLCLMC&MNH&NK,I27 ≡CKLCLM HMNH&NK,I28 ≡C&KLC&LMCMNHNK, K N N M M L L K C C H C

I29 ≡ & & & ,I30 ≡C&KLC&LMHMNH&NK,I31≡CKLCLMC&MNC&NK,I32 ≡CKLC&LMHMNH&NK,

N NE

E

I₃₃≡ ,I₃₄ ≡E_NC_NLE_L,I₃₅≡E_NC_NLC_LME_M,I36 ≡E_NC&_NLE_L,I37≡ENC&NLC&LMEM ,I38≡ENHNLEL,

L L N

NH E

E

I₃₉ ≡ & ,I₄₀≡E_NC_NLC&_LME_M ,I₄₁≡E_NC_NLH_LME_M,I₄₂≡E_NC_NLH&_LME_M ,I₄₃≡E_NC&_NLH_LM E_M,

M M L L N NC H E E

I₄₄≡ & & ,I₄₅ ≡E_KH_KLH&_LM E_M ,I₄₆ ≡E_KC_KLC&_LMH_MNE_N,I₄₇ ≡E_KC_KLC&_LM H&_MNE_N,

N N M M L L K KC H H E E

I48 ≡ & ,I49 ≡EKCKLCLMC&MNHNSES,I50 ≡EKC&KLC&LM HMNCNSES, S S N N M M L L K KC C C H E E

I51≡ & & , I52 ≡EKC&KLC&LMHMNH&NSES, I53 ≡EKCKLC&LM HMNH&NSES (30)

Ancak asıl bulunması gereken fonksiyon ℜ skaler izotrop fonksiyonunun argümanları

V E H H C

C, & , , & , , şeklindedir. ℜ skaleri, V vektörünün bi – lineer bir fonksiyonu olduğundan

(30) deki invaryantlara ilaveten aşağıda verilen invaryantlara da bağlıdır. N NE V K₁≡ ,K₂≡V_NC_NLE_L,K₃≡V_N C&_NLE_L,K₄≡V_N H_NLE_L,K₅≡V_N H&_NLE_L,K₆≡V_NC_NMC_MLE_L, L L M M N NC C E V

K7≡ & & ,K8≡VNCNLC&LM EM,K9≡VNCNLHLMEM,K10≡VNCNLH&LMEM ,K11≡VNC&NLHLM EM, M M L L N NC H E V

K12≡ & & ,K13 ≡VNHNLH&LM EM,K14 ≡VKCKLC&LM HMNEN,K15 ≡VKCKLC&LM H&MNEN, N N M M L L K KC H H E V

K16 ≡ & ,K17 ≡VKCKLCLMC&MNHNSES,K18 ≡VKC&KLC&LM HMNCNSES, S S N N M M L L K KC C C H E V

K₁₉ ≡ & & ,K₂₀ ≡V_KC&_KLC&_LMH_MNH&_NSE_S,K₂₁ ≡V_KC_KLC&_LM H_MNH&_NSE_S,K₂₂ ≡V_KV_K,

L L N NH V

V

K25≡ ,K26≡VNH&NLVL,K27≡VNCNLCLMVM,K28≡VNC&NLC&LMVM,K29≡VNCNLC&LMVM ,

M M L L N NC H V V

K₃₀≡ ,K₃₁≡V_NC_NLH&_LMV_M ,K₃₂ ≡V_NC&_NLH_LMV_M ,K₃₃≡V_NC&_NLH&_LMV_M,

N N M M L L K KC C H V V

S S N N M M L L K KC C C H V V

K₃₈ ≡ & ,K₃₉ ≡V_KC&_KLC&_LMH_MNC_NSV_S,K₄₀ ≡V_KC_KLC_LMC&_MNH&_NSV_S,

S S N N M M L L K KC C H H V V

K₄₁≡ & & & , K42 ≡VKCKLC&LM HMNH&NSVS (31)

Bu durumda (27) ifadesiyle tanımlanan ℜ skaler fonksiyonu, (31) ifadesindeki Ki ( i = 1,2,...,21) invaryantları cinsinden bi-lineer ve Ki ( i = 21, 16, ...,42) invaryantlar cinsinden

lineer olmalıdır. O halde ℜ fonksiyonu için aşağıdaki gibi yazılır.

∑ ∑ ∑ ∑ = = = = + = ℜ 42 22 20 0 21 1 21 1 ) , , , , ( l l i i K K K V E A C C λ λ β αβ α β α & ₍₃₂₎

(32) denklemindeki λ0,λ1,λ2, ...,λ20 ve λαβ (α,β = 1,2,3,...,21) katsayıları, (30) denklemi ile

verilen invaryantların birer skaler fonksiyonudur. Ayrıca λ_αβ katsayıları için, λαβ=λ βα

simetri şartı geçerlidir. (29) ilişkisi kullanılıp bu çalışmada etkileşimler ilgili yapılan kabullerden dolayı C, C&, H ve H& tansörlerinin birinci mertebeden, E vektörünün ikinci mertebeye kadar olan terimleri dikkate alındığında dissipatif gerilme aşağıdaki gibi elde edilmiştir. + + + + + + = PR PR PR PR PR P R R P DT λ0δ λ1C λ2C& λ3H λ4H& λ11E E λ12

(

EPELCLR+CPNENER

)

+

(

EPELC&LR+C&PNENER

)

+ 13 λ λ₁₄

(

E_PE_LH_LR +H_PNE_NE_R

)

+λ₁₅

(

E_PE_LH&_LR +H&_PNE_NE_R

)

(33)

(33) denklemindeki katsayılar, mekanik etkileşimler lineer kabul edildiğinden (30) ifadesindeki C, C&, H ve H& tansörlerinin karesel ya da daha yüksek mertebeden terimleriyle ve birlikte etkileşimlerini içermeyen invaryantların birer skaler fonksiyonudur. O halde bu katsayıların bağlı oldukları invaryantlar EKLve E&KLcinsinden aşağıdaki gibi yazılmıştır.

N M E J₁=3 + 2 , J₂ =2E&_NN, J₃=H_NN, J₄ = H&_KK, J5= ENEN, J6= ENEN + 2ENENLEL , L L N NE E E J7 =2 & ,J8=ENHNLEL,J9 =ENH&NLEL (34)

(33) denklemindeki katsayılar (34) deki invaryantların skaler fonksiyonu olarak, i i i J β β λ_α 9 1 0+Σ₌ = ,0≤α ≤17. Eğer:(α =0⇒β =a,α=1⇒β =b, α =2⇒β=c, α=3⇒β=d, α=4⇒β= f, α=11⇒β=g, , 12⇒ =h = β α α=13⇒β=k, α=14⇒β=l,α=15⇒β=m) (35)

şeklinde tanımlanabilir. (35) ifadeleri (33) denkleminde kullanılıp CKLveC&KLtansörleri, EKLve KL

E& tansörleri cinsinden ifade edilip, etkileşimlerle ilgili yapılan kabuller göz önünde

alındığında aşağıda ifade elde edilmiştir.

+ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ = PR NN PR NN PR NN PR N PR R P DT 1δ 2E δ 3E& δ 4H δ 5H& δ Γ6ENENδPR+ Γ7ENENLELδPR+ + Γ + Γ +

Γ8ENE&NLELδPR 9ENHNLELδPR 10ENH&NLELδPR Γ11EPR+Γ12ENENEPR+Γ13E&PR+Γ14ENENE&PR+

+ Γ

+

Γ15HPR 16ENENHPR Γ17H&PR+Γ18ENENH&PR+Γ19EPER+Γ20ENNEPER+Γ21E&NNEPER+Γ22HNNEPER+

+

Γ23H&NNEPER Γ24

(

EPEQEQR+EPQEQER

)

+ Γ25

(

EPEQE&QR + E&PQEQER

)

+

(

+

)

+

Γ26 EPEQHQR HPQEQER Γ27

(

EPEQH&QR + H&PQEQER

)

(36)

(

,0, ,0,

)

=0

= T E H θ

TKL D KL

D ifadesi (36) denklemindeki katsayılara bir kısıtlama getirir ve,

+ Γ + Γ + Γ = 1δPR 2ENNδPR 4HNNδPR 0 Γ6ENENδPR+ Γ7ENENLELδPR+Γ9ENHNLELδPR+ + Γ + Γ + Γ + Γ11EPR 12ENENEPR 15HPR 16ENENHPR Γ19EPER+Γ20ENNEPER+Γ22HNNEPER+

(

+

)

+ Γ24 EPEQEQR EPQEQER Γ26

(

EPEQHQR +HPQEQER

)

(37)

765

ifadesi yazılır. (37) ifadesine göre söz konusu olanlar keyfi olduğundan, bu denklemin gerçekleşmesi için gerek ve yeter şart, Γ1=Γ2 =Γ4 =Γ6=Γ7 = Γ9 =Γ11=Γ12 =Γ15=Γ16=Γ19=

0 26 24 22

20=Γ =Γ =Γ =

Γ katsayılarının sıfır olmasıdır. Bu durumda dissipatif gerilmenin maddesel formunu veren ifade aşağıdaki gibi elde edilir.

+ Γ + Γ = NN PR NN PR R P

DT 3E& δ 5H& δ Γ8ENE&NLELδPR+Γ10ENH&NLELδPR+ Γ13E&PR+Γ14ENENE&PR+ Γ17H&PR+

+ Γ

+ Γ

+

Γ17H&PR 18ENENH&PR 21E&NNEPER Γ23H&NNEPER+ Γ25

(

EPEQE&QR + E&PQEQER

)

+

(

EPEQH&QR+H&PQEQER

)

Γ27 (38)

(38) denklemindeki Γ i_i ( =3,5,8,10,13,14,17,18,21,23,25,27) katsayıları aşağıda tanımlanmıştır.

(

2 2

)

3≡2 a +b Γ , Γ5≡ (a4+b4), Γ8≡2(a7+b7), Γ10≡(a9+b9), Γ13≡2

(

c0+3c1

)

, Γ14≡2

(

c5+c6

)

, ( 0 1) 17≡ f +3 f Γ , Γ18≡(f5+ f6), Γ21≡2(g2+2h2), Γ23≡(g4+h4), Γ25≡2

(

k0+3k1

)

, Γ27 ≡(m0 +3m1) (39) 6. SONUÇLAR

Simetrik gerilme, elastik gerilme (23) ile dissipatif gerilme (38) toplanarak aşağıdaki gibi elde edilmiştir. + + + + + + − = − R P Q Q N N R P N N R P N N R P Q P R P pC E E E E E E T 1 α0δ α1 δ α2 δ α3 δ α4ENENLELδPR+α5HNNδPR+ + + + N NL L PR N NL L QQ PR R P Q Q N N E E H E E H E E H δ α δ α δ α_{6 7 8} α9ENLHLNδPR+α10ENENLHLMEMδPR+ + + + N N PR NN PR R P E E E H E E 3 6 11 α α α α8ENHNLELEPR+α12EPER+α13ENNEPER+α14HNNEPER+ + R P N L L N H E E E 15 α α16(EPEQEQR+EPQEQER)+α17HNN(EPEQEQR+EPQEQER)+α18 EPHRQEQ+ + + + + + PR NN PR N N PR N NL L PR Q Q R P N N E H E H E H E E H E E E H E 20 21 22 23 19 α α α α α + + + + ) ( ) ( ₂₅ 4 2 EPQHQR ERQHQP α ENEN EPQHQR ERQHQP α Γ3E&NNδPR +Γ5H&NNδPR+ + Γ +

Γ8ENE&NLELδPR 10ENH&NLELδPR Γ13E&PR+Γ14ENENE&PR+ Γ17H&PR+Γ18ENENH&PR+Γ21E&NNEPER+

+

Γ23H&NNEPER Γ25

(

EPEQE&QR + E&PQEQER

)

+ Γ27

(

EPEQH&QR + H&PQEQER

)

(40)

(13) denklemi dikkate alındığı zaman, _{= −Π} −1

R M M P R P R P T E C

T asimetrik toplam gerilme tansörü

de aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

+ + + + + − = − R P Q Q N N R P N N R P N N R P Q P R P pC E E E E E E T 1 α0δ α1 δ α2 δ α3 δ α4ENENLELδPR+α5HNNδPR+ + + + N NL L PR N NL L QQ PR R P Q Q N N E E H E E H E E H δ α δ α δ α_{6 7 8} α9ENLHLNδPR+α10ENENLHLMEMδPR+ + + + N N PR NN PR R P E E E H E E 3 6 11 α α α α8ENHNLELEPR+α12EPER+α13ENNEPER+α14HNNEPER+ + R P N L L N H E E E 15 α α16(EPEQEQR+EPQEQER)+α17HNN(EPEQEQR+EPQEQER)+α18EPHRQEQ+ + + + + + PR NN PR N N PR N NL L PR Q Q R P N N E H E H E H E E H E E E H E 20 21 22 23 19 α α α α α α24(EPQHQR+ERQHQP)+ + + ) ( 5 2 ENEN EPQHQR ERQHQP

α Γ3E&NNδPR +Γ5H&NNδPR+ Γ8ENE&NLELδPR+Γ10ENH&NLELδPR+ Γ13E&PR+

+

Γ14ENENE&PR Γ17H&PR+Γ18ENENH&PR+Γ21E&NNEPER+ Γ23H&NNEPER+ Γ25

(

EPEQE&QR + E&PQEQER

)

+

(

+

)

+ Γ27 EPEQH&QR H&PQEQER [β1EP+β2ENNEP+β3+EPLEL+β4HNNEP+β5HPLEL+β6HNNEPLEL+ 1 9 8 7ENNHPLEL+β ENLHLNEP+β (EPLHLMEM+HPLELM EM)]EMCM−R β

(41) denklemine dikkat ettiğimizde; birinci terim hidrostatik basıncın gerilmeye olan katkısını, ikinci terim başlangıçta bir ön yükleme olması halinde gerilmeye olan katkıyı göstermektedir. Diğer terimler sırasıyla deformasyonun, ikinci mertebeden elektrostatik katkıyı, non-lineer elektrik alanı ile deformasyon alanının etkileşiminin katkısını, hasarın gerilmeye olan etkisini, hasar ile deformasyon alanının etkileşiminden doğan katkıyı, non-lineer elektrik alanı ile hasarın etkileşiminden gelen katkıyı, elektrik alanı, deformasyon ve hasarın üçlü etkileşiminden doğan katkıları göstermektedir. Ayrıca, gerinme ve hasar tansörlerinin zamanla değişimlerinin gerilmeye olan katkıları ve bunların elektrik alanla ayrı ayrı ve üçlü etkileşiminden doğan katkılar görülmektedir. Gerilmenin asimetrik olmasına sebep olan elektrik alanının kendisinin deformasyonla, hasar tansörü ile ve üçlü etkileşim halinde ortaya çıkan katkıları da gözlenmektedir.

KAYNAKLAR

[1] Ibijola, E.A., “On Some Fundamental Concepts of continuum Damage Mechanics” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 191 1505-1520, 2002. [2] Bassiouny, E., “Damage Mechanics in Ferroelectric Ceramics-Model and

Application” Journal of Applied Sciences 5(2) 257-266, 2005.

[3] Woo, C.W., Li, D.L., “A Universal Physically Consistent Definition of Material Damage” International Journal of Solid and Structures 30 15 2097-2108, 1993. [4] Krajcinovic, D., “Selection of Damage Parameter – Art or Science?” Mechanics of

Materials 282 165 129, 1998.

[5] Simo, J.C., Ju, J.W., “Strain and Stres-Based Continuum Damage Models-I” Formulation Int. J. Solids struct 23 7 821-840, 1978.

[6] Eskandari, H., Nemes, J.A., “An Isotropic Damage Model based on a Tensorial Representation of Damage” International Journal of Damage Mechanics 8 254-272, 1999.

[7] Zheng, Q.S., Betten, J., “On Damage Effective Stres and Equivalence Hypothesis” International Journal of Damage Mechanics 5 219-240, 1996.

[8] Kachanov, L.M., “Introduction to Continuum Damage Mechanics” Martinus Nijhof Publishers Boston-1986.

[9] Lemaitre, J., “A Course on Damage Mechanics” Springer-Verlag Berlin Heidelberg. [10] Krajcinovic, D., “Damage Mechanics” North Holland Series in Applied Mathematics

and Mechanics Volume 41 Amsterdam Elsevier, 1996.

[11] Weitsman, Y., “Damage Coupled with Heat Conduction in Uniaxially Reinforced Composites” Journal of Applied Mechanics 55 641-647, 1988.

[12] Weitsman, Y., “A Continuum Damage Model for Viscoelastic Materials” Journal of Applied Mechanics 55 773-780, 1988.

[13] Eringen, A.C., Maugin, G.A., “Electrodynamics of Continua” vol.I. Foundations and Solid Media North – Holland-1990.

[14] Erdem, A.Ü., Usal, M., Usal, M.R., “İzotropik Matris Malzemesi Olan Fiber Takviyeli Dielektrik Viskoelastik Ortamların Elektro-Termomekanik Davranışı için Matematiksel Bir Model” Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. 20 3 321-334 Ankara, 2005.

[15] Spencer, A.J.M., “Theory of Invariants” In Continuum Physics Vol.I. (Ed. A.C. Eringen) Academic Pres N.Y. and London, 1971.