˙ISTANBUL TEKN˙IK ¨UN˙IVERS˙ITES˙I F AVRASYA YER B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U
DO ˘GU ANADOLU Y ¨UKSEK PLATOSU OLUS¸UMUNUN TERMAL TAR˙IHC¸ ES˙I
Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I Ali De˘ger ¨OZBAKIR
Anabilim Dalı: Katı Yer Ana Bilim Dalı Programı: Yer Sistem Bilimi
...Thus the part of the earth where these masses got lost are now lighter and so they will be further away from the centre of the world so that land and mountains will emerge out of water... Leonardo da Vinci
¨
ONS ¨OZ
B¨ut¨un ¸calı¸smalarım boyunca yol g¨ostericili˘giyle her zaman sorularımı a¸cıklıkla cevaplayan danı¸smanım sayın Prof.Dr.A.M Celal S¸eng¨or’e ¸calı¸smalarıma destek oldu˘gu, her ne kadar matematiksel bi¸seyler d¨onsede tez kapsamında normalden daha az sinirlendi˘gi i¸cin sonsuz te¸sekk¨urlerimi bor¸c bilirim
Tezin olu¸sturulmasında en b¨uy¨uk eme˘gi sarfeden sayın Dr. Sinan ¨Ozeren ve Do¸c.Dr. Nazmi Postacıo˘glu’na ise minnettarlı˘gımı ifade etmek i¸cin uygun bir sıfat hen¨uz icat olmamı¸stır. O y¨uzden onlara olsan sonsuz minnetimi ifade edecek kelimeyi hˆalˆa aramaktayım.
Ayrıca tez yazımı i¸cin kullandı˘gım LATEX it¨u formatını hazırlayan Dr. Onur Tan’a ve MATLAB’i yapan MathWORKS firmasına da en i¸cten saygı ve te¸sekk¨urlerimi bor¸c bilirim.
Ve elbette oda arkada¸slarım Taylan San¸car ve Kenan Akbayram; Kar¸sı kom¸sularım Deniz Bozkurt ve Ozan Mert G¨okt¨urk ve tabii ki ¨Ozlem Ersin’e de var oldukları i¸cin te¸sekk¨ur ederim.
Ali De˘ger ¨OZBAKIR 8 Mayıs 2006
˙IC¸ ˙INDEK˙ILER
KISALTMALAR vi
S¸EK˙IL L˙ISTES˙I vii
SEMBOL L˙ISTES˙I ix
1. G˙IR˙IS¸ 1
1.1. Giri¸s 1
1.2. Kıtasal C¸ arpı¸smanın Sonucunda Meydana Gelen Olaylar 4
1.3. Do˘gu Anadolu Jeolojisinin Ana Hatları 6
1.4. Delaminasyon / Termal Anomali 8
2. MATEMAT˙IKSEL MODEL 10
2.1. Green Fonksiyonları 12
2.1.1. Isı Denklemi ˙I¸cin Green Fonsiyon’larının C¸ ıkartılması 13
2.2. Modelin Kurgulanması 16
2.2.1. Zaman ˙I¸cinde S¨urekli C¸ akan Kaynak Modeli 16 2.2.2. Bir Kere C¸ akan Kayna˘ga Ba˘glı Anomalinin Yayılması 19
2.3. Sınır S¸artları 19
2.3.1. Dirichlet Sınır S¸artı 20
2.3.2. Neumann Sınır S¸artı 21
2.3.3. Sınır S¸artlarının ¨Ozeti 21
2.4. Parametrelerin Birimsizle¸stirilmesi 22
2.5. ˙Imaj Serileri Y¨ontemi 23
3. MODEL C¸ IKTILARI 25
3.1. Tek Moyutlu Model 25
3.2. ˙Iki Boyutlu Model 26
3.3. 1B/2B Modellerinin farkı 27
3.5. Anomalinin Yarı Uzayda Kısmˆı Olarak Yerle¸smesi 28 4. SONUC¸ LAR 33 KAYNAKLAR 34 EKLER 36 .1. Birinci Model 37 .2. ˙Ikinci Model 45 .2.1. 2D Model 45 .2.2. 1D Model 52
KISALTMALAR
S¸EK˙IL L˙ISTES˙I
Sayfa No S¸ekil 1.1 Do˘gu Anadolu’nun dijital y¨ukseklik haritası 2 S¸ekil 1.2 Akdeniz ¸cevresindeki kabuk ve litosfer kalınlık haritaları.
(Jimenez-Munt ve di˘g., 2003) 3
S¸ekil 1.3 Kabuk ve manto litosfer kalınlık kont¨orleri (S¸eng¨or ve di˘g., 2003) 4 S¸ekil 1.4 Ortado˘gu’ya ait jeofiziksel ¨ozellikler: (a) 100 km derinlikten
alınmı¸s tomografik dilim, (b) 400 km low-pass filtrelenmi¸s b¨olgesel topo˘grafya, (c) 800 km low-pass filtrelenmi¸s serbest hava anomalisi haritası, (d) 1964–1998 arası sismik aktivite (siyah daireler) ve Neojen–Kuvaterner volkanizmasının g¨ozlendi˘gi noktalar (pembe daireler) (Maggi ve Priestley, 2005). 5 S¸ekil 1.5 Alp–Himalaya da˘g ku¸sa˘gının tektonik ¨ozellikleri (Condie, 1989). 6 S¸ekil 1.6 (A). Do˘gu Anadolu tektonik ¸cer¸cevesinin ana bile¸senleri. I:
Rodop-Pontid blo˘gu, II: Kuzeybatı ˙Iran blo˘gu, III: Do˘gu Anadolu Yı˘gı¸sım Karma¸sı˘gı (EAAC), IV: Bitlis-P¨ot¨urge Masifi, V: Arap ¨on ¨ulkesi (foreland). Koyu ye¸sil alanlar: ofiolitik melanj mostraları, Pembe and kırmızı alanlar: ¸carpı¸smaya ba˘glı olu¸san volkanik birimler, beyaz alanlar: ayırtlanmamı¸s birimler veya gen¸c ¨ort¨u formasyonları. EKP: Erzurum-Kars Platosu. (B). Do˘gu Anadolu’nun Tektonik birimleri, ¸carpı¸sma k¨okenli volkanik ¨ur¨unleri ve volkanizma merkezlerini de i¸cine alan basitle¸stirilmi¸s jeoloji haritası. E-K-P: Erzurum–Kars Platosu; NATF and EATF: Kuzey Anadolu Fay Zonu ve Do˘gu Anadolu Fay Zonu. Volkanlar: Ag: A˘grı Da˘gı, Al1: Alada˘g (A˘grı’nın GD’su), Al2: Alada˘g (Horasan’ın KB’sı), Bi: Bing¨ol Da˘gı, Bl: Bilicanda˘gı, D: Dumanlıda˘g, E: Etr¨usk Da˘gı, H: Hamada˘g, K: Karatepe, Ki: Kısırda˘g, M: Mt. Meydanda˘g, N: Nemrut, S: S¨uphan, T: Tend¨urek, Y: Ya˘glıcada˘g, Z: Ziyaretda˘g (Keskin,
2003). 7
S¸ekil 2.1 Model diyagramı: D, delaminasyon derinli˘gi; L, litosfer kalınlı˘gı; Y, yalıtılmı¸s sınırları; T, sıcaklı˘gı; R, yatay mesafeyi; r ve θ radyal ve a¸cısal bile¸senleri g¨ostermektedir. 16 S¸ekil 2.2 Hesap alanı: Yatay eksen x, d¨u¸sey eksen y, oklar y¨uzey
S¸ekil 2.4 S¸ekilde g¨or¨ulen iki d¨uzlem sınır ko¸sullarının tatbik edildi˘gi b¨olgeyi, i¸ci dolu daireler kaynakları, bo¸s olanlar ise kuyuları temsil etmektedir. Siyah ile g¨osterilen kaynak ve kuyular yukarıdaki sınır ko¸sul i¸cin, kırmızılar ise a¸sa˘gıdaki sınır ko¸sulu sa˘glama ¨uzere hazırlamı¸slardır. Ortada q ¸siddetinde ¸cakan kaynak ise eliptik anomali i¸cindeki kaynakları sembolize
etmektedir. 23
S¸ekil 3.1 Tek boyutlu modelin e¸s sıcaklık ¸cıktısı. 25
S¸ekil 3.2 izoterm 2D. 26
S¸ekil 3.3 Tek boyutlu ile iki boyutlu model ¸cıktıları arasındaki farkın e¸s
sıcaklık grafi˘gi. 27
S¸ekil 3.4 Tabanda sınır ko¸sul tanımsız oldu˘gunda ¸c¨oz¨ulen Dirichlet
probleminin ¸cıktısı. 28
S¸ekil 3.5 t=0.05 ve xb = 0 durumundaki izotermler. 29 S¸ekil 3.6 t=0.05 ve xb = 0.5 durumundaki izotermler. 29 S¸ekil 3.7 t=0.05 ve xb = 1.0 durumundaki izotermler. 30 S¸ekil 3.8 t=0.05 ve xb = 1.6 durumundaki izotermler. 30 S¸ekil 3.9 t=0.05 ve xb = 2.3 durumundaki izotermler. 31 S¸ekil 3.10 t=0.05 ve xb = 2.5 durumundaki izotermler. 31 S¸ekil 3.11 Termal anomalinin yayılma s¨ureci. z ekseninde anomali t =
0.5 d¨uzeyinde normale d¨onebilmi¸stir. Bu da alınan zaman aralı˘gının yarısından sonra anormal jeotermin kaybolması
SEMBOL L˙ISTES˙I
¨ OZET
Do˘gu Anadolu d¨unya ¨uzerinde ¨once dalma–batma olayı ile ba¸slayıp daha sonra ¸carpı¸sma rejimine ge¸cmi¸s, bu esnada geli¸sen y¨uksek platoda levha i¸ci volkanları g¨osteren en ¨onemli yerlerden biridir. Bu y¨uzden ge¸cmi¸ste olduk¸ca fazla bi¸cimde ¸calı¸sılmı¸s, fakat son zamanlarda kabuk kalınlı˘gı ¨uzerine yapılan ¸calı¸smalar sayesinde daha da fazla ¸calı¸smaya hakeden bir b¨olgedir. Yapılan son ¸calı¸smalarda kıtasal kabu˘gun sıcak astenosfer ¨uzerinde yer aldı˘gı , yani manto litosferinin bulunmadı˘gı ortaya ¸cıkmı¸stır. Arabistan–Avrasya ¸carpı¸smasında 2 Ma sonra, 13 Ma ba¸slayan bu volkanizma g¨un¨um¨uze kadar s¨uremektedir. Bununla birlikte gravite verisi de Do˘gu Anadolu altında ısıl bir gariplik oldu˘gunu g¨ostermektedir. Bu ¸calı¸smada eliptik bir ısıl anomalinin kabu˘gun altına yerle¸stirilmesiylel olu¸sacak sıcaklık evrimi hesaplanmaya ¸calı¸sılmı¸s, sınır ko¸sulları olarak da bir Dirichlet problemi ¨one s¨ur¨ulm¨u¸st¨ur. Ayrıca ısıl rahatlamanın ne zaman ger¸cekle¸sti˘gi hesaplanmı¸stır.
ABSTRACT
Eastern Anatolia is a unique place on the face of earth for the very reason that the many constituents of plate tectonics can be observed thoroughly: begining with the subduction and accretion, later the tectonic regime transformed to orogeny while a high plateau is emerged with intraplate volcanics. However recent studies revealed that the basement of the crust of Easatern Anatolia is in contect with the hot asthenosphere, which means that the area is devoid of mantle lithosphere. In addition to that a diffuse volcanism began at 13 Ma, 2 Ma after the collision of Arabian plate with Eurasian, and piled up huge amount of volcanics. Moreover the gravity data is also in accord with a thermal anomaly beneath. Therefore, Eastern Anatolia, and more specifiaclly Eastern Anatolian High Plateau diverts the attention of many researchers.
In this study, a thermal anomaly of elliptical shape on the basement of the crust is simulated with the boundary conditions of Dirichlet type. And the thermal profiles are generated to see the movement of volcanism and rate of thermal dissipation.
1. G˙IR˙IS¸
1.1. Giri¸s
Do˘gu Anadolu platosu, Alp-Himalaya sisteminde yer alan ve 150,000 km2 alana yayılmı¸s yakla¸sık 2 km ortalama irtifaya sahip y¨uksek bir b¨olgedir. Avrasya ve Arabistan kıtaları arasındaki son okyanusal litosfer par¸casının Orta Miyosen’de Bitlis/Zagros kenet zonu boyunca yitmesiyle b¨olge kıtasal ¸carpı¸sma safhasına ge¸cmi¸s, b¨oylece hareketin do˘grultusunda Kuzey–G¨uney y¨onl¨u bir sıkı¸smaya maruz kalmak suretiyle kısalarak kalınla¸smı¸s ve y¨ukselmeye ba¸slamı¸stır. T¨urk–˙Iran platosunun ¨ozellikle batısı ve ortasındaki, en y¨uksek kesimleri, aynı zamanda Ge¸c Tersiyer–Kuvaterner volkanizmasının da merkezini olu¸sturmaktadır (S¸eng¨or ve Kidd, 1979).
Do˘gu Anadolu, hˆalˆa ¸c¨oz¨ulmemi¸s bir problemi barındırmaktadır: platonun, hem normalden ince bir kabuk kalınlı˘gına sahip olması; hem manto litosferinin ¸cok ¸cok ince, hatta bazı kesimlerde hi¸c bulunmaması; son olarak b¨olgenin yo˘gun volkanik faaliyetler g¨ostermi¸s olması, b¨olgenin esasen sadece normal bir ¸carpı¸sma ve ¸carpı¸sma sonrası tektoni˘gi g¨ostermedi˘gine i¸saret eden en ¨onemli delillerdir. ˙Isostatik telafi oldu˘gu varsayımından hareketle, Do˘gu Anadolu’nun kıtasal ¸carpı¸sma sebebiyle kalınla¸sarak y¨ukselmi¸s k¨utlesini ta¸sıyabilmesi i¸cin, -150 mgal Bouguer anomalisi de˘geri de dikkate alınarak, 55 km kalınlı˘gında bir kabu˘ga sahip olması gerekti˘gi hesaplanmı¸stır (S¸eng¨or, 1980). Uniform izostatik dengeye, telafiyi sa˘glayacak k¨utlenin do˘grudan da˘g zincirinin altında yer aldı˘gı, manto ve kabuk yo˘gunluklarının sırasıyla ρm ve ρc de˘gerlerinde sabit oldukları kabul¨uyle
bir hesap yapılabilir. Airy hipotezinden hareketle b¨olgede yer alan da˘g zincirinin, ¨uzerinde bulundu˘gu manto litosferine yakla¸sık ne kadar g¨om¨uld¨u˘g¨u hesaplanabilir (Watts, 2001):
r = ρc
ρm− ρc
S¸ekil 1.1. Do˘gu Anadolu’nun dijital y¨ukseklik haritası ¸cıkmaktadır.
K¨utle dengesi g¨ozetilerek ¨onerilen k¨uresel y¨ukselti modeli ¸cer¸cevesinde izostatik dengeye litosfer tabanında varıldı˘gı kabul¨u kullanılarak, astenosfer ρa ve
litosfer ρl yo˘gunluklarından hareketle, deniz seviyesinden ² km y¨uksekli˘ge
sahip bir y¨uk¨un ta¸sınması i¸cin gerekli litosfer kalınlı˘gı Lachenbruch ve Morgan tarafından tablolanmı¸stır (Lachenbruch ve Morgan, 1990). Bu diyagrama g¨ore ortalama yo˘gunlu˘gu 2.95 g/cm3 olan bir litosferin 1.5–3.5 km’lik bir y¨uk¨u ta¸sıyabilmesi i¸cin 50 – 80 km kalınlı˘ga sahip olması gerekti˘gi ortaya ¸cıkmaktadır. Ancak litosfer yo˘gunlu˘gu hakkında a priori bir ¨onerme hesap yanlı¸slı˘gına yol a¸cacaktır. Bunun yerine kabuk ve manto listosferinin toplam sebhiyeye ayrı ayrı katkıları hesaplanarak olu¸sturulan diyagram kullanıldı˘gı vakit 2.85 g/cm3 yo˘gunlu˘ga sahip bir kabu˘gun yukarıdaki y¨ukleme ko¸sullarında ancak ± 55 km kalınlı˘gında oldu˘gu takdirde kendini destekleyebilece˘gi ortaya ¸cıkmaktadır.
S¸ekil 1.2. Akdeniz ¸cevresindeki kabuk ve litosfer kalınlık haritaları. (Jimenez-Munt ve di˘g., 2003)
kalınlıklarını hesaplamı¸slardır. S¸ekil 1.2’den g¨or¨uld¨u˘g¨u ¨uzere, kabuk kalınlı˘gı ortalama ± 40 km iken litosfer kalınlı˘gının ± 80 km’yi ge¸cti˘gi g¨or¨ulmektedir. Ancak Do˘gu Anadolu Sismik Deneyi projesi kapsamında b¨olgeye yerle¸stirilen 29 sismogram yoluyla elde edilen veri ile kabuk kalınlı˘gının alıcı fonksiyonları y¨ontemi ile ± 45 km kalınlı˘ga sahip (Sandvol ve di˘g., 2000), (Zor ve di˘g., 2003) ve en ¨onemlisi b¨olgenin manto litosferinden yoksun oldu˘gu ortaya ¸cıkmı¸stır. Bu sebepten dolayı b¨olgenin jeodinamik evrimi konusunda daha farklı hipotezlerin ¨one s¨ur¨ulm¨u¸st¨ur.
T¨urk-˙Iran platosunun ¨ust manto yapısına dair en ¨onemli bulgu S-dalgası hız modellerinde 150 km derinli˘ge kadar takip edilebilen, ¸cok kuvvetli bir d¨u¸s¨uk hız anomalisidir (Maggi ve Priestley, 2005). S-dalgası hızındaki de˘gi¸sim, sıcaklık
S¸ekil 1.3. Kabuk ve manto litosfer kalınlık kont¨orleri (S¸eng¨or ve di˘g., 2003) .
solidus sıcaklı˘gının ¨uzerinde bulunan ¨ust mantonun varlı˘gını desteklemektedir. Elbette, bu jeolojik soruna yakla¸sım i¸cin bulguların ¨onemli bir kısmı da jeokimyasal ¸calı¸smalardan gelmektedir. Erzurum–Kars platosu ile A˘grı Da˘gı ¸cevresindeki kaya¸cları kalkalkalen karakterli, dalma-batma imzası ta¸sıyan bir zenginle¸smi¸s magma kayna˘gından t¨uremi¸s olduklarını, g¨uneye gidildi˘ginde ise dalma-batma izinin yerini kıta i¸ci magmatizmasına bıraktı˘gını belirtmi¸stir. G¨uneyde artık alkalen volkanitler g¨or¨ulmektedir. Bununla beraber, AFC (Asimilasyon ve Kısmi Kristallenme) modeli g¨uneyde magma-kabuk etkile¸siminin daha fazla oldu˘gunu g¨ostermi¸stir. B¨olgedeki volkanizmanın kuzeyden g¨uneye do˘gru g¨o¸c etti˘gi de radyometrik ya¸s tayinleri sonucu ortaya ¸cıkmı¸stır (Keskin, 2005).
1.2. Kıtasal C¸ arpı¸smanın Sonucunda Meydana Gelen Olaylar
Bir orojenin varolu¸s kayna˘gı, kar¸sıt y¨onl¨u ¸calı¸san tektonik kuvvet vekt¨orlerinin kıtasal litosfer ¨uzerindeki etkile¸sleridir. Di˘ger yandan litosfer kalınla¸stık¸ca hem kabuk hem de litosfere dahil olan ¨ust manto kısmı da kalınla¸smaktadır.
S¸ekil 1.4. Ortado˘gu’ya ait jeofiziksel ¨ozellikler: (a) 100 km derinlikten alınmı¸s tomografik dilim, (b) 400 km low-pass filtrelenmi¸s b¨olgesel topo˘grafya, (c) 800 km low-pass filtrelenmi¸s serbest hava anomalisi haritası, (d) 1964–1998 arası sismik aktivite (siyah daireler) ve Neojen–Kuvaterner volkanizmasının g¨ozlendi˘gi noktalar (pembe daireler) (Maggi ve Priestley, 2005).
Dolayısıyla orojenezin ilerlemesi esnasında zamana ba˘glı olarak genel sebhiye ¨once pozitif sonra da negatif bir mecra izlemektedir. Kıta-kıta ¸carpı¸sması sebebiyle meydana gelen orojen, evrimini ¨u¸c a¸samalı bi¸cimde s¨urd¨ur¨ur: (1) ¸carpı¸smanın ilk safhalarında b¨olgenin kısalarak kalınla¸sması, bu esnada da˘g zincirinin astenosfere daha derin bi¸cimde k¨ok salması ve topo˘grafyanın y¨ukselmesi, (2) kalınla¸san kabu˘gun artan sıkı¸smaya mukavim olmamasından dolayı daha fazla y¨ukselememesi fakat y¨uksek b¨olgenin alansal yayılımının artması, (3) ortadan kalkan tektonik kuvvetler sebebiyle b¨olgenin kendini ta¸sıyamaz hale gelmesi ve ¸c¨okmesi ¸seklinde ¨ozetlenebilir (Schott ve Schmeling, 1998). Kalınla¸san manto litosferi gravitasyonel bir kararsızlık sergilemektedir (Houseman ve di˘g., 1981). Bu durum delaminasyon adı verilen, manto litosferinin ve hatta bazı durumlarda alt kabu˘gun da ¨ust kabuktan ayrılarak astenosfere batmasına sebep olmaktadır.
D¨unya’nın geni¸s ¨ol¸cekteki gravite g¨or¨unt¨uleri litosfer–astenosfer etkile¸simleri veya manto konveksiyonu ile dene¸stirilebilir. Okyanus alanlarındaki b¨uy¨uk pozitif anomaliler, olasılıkla y¨ukselen manto konveksiyon akımlarını veya manto
olu¸smaktadır. Yukarı mantoda meydana gelen aynı etki kuvvetindeki iki s¨ure¸c anomalilerin cinsini belirlemektedir. Derinden gelen yo˘gun malzemenin anomali de˘gerini artırıcı, di˘ger yandan konveksiyon akımlarındaki ¸cevreden daha y¨uksek sıcaklıkların o b¨olgede genle¸smeye ve k¨utlede azalmaya sebep olmasıyla meydana gelen gravite de˘gerini azaltıcı etkileri. Kıtalarda ise ana negatif anomaliler Pleistosen’de ¸cekilen buzulların ardından izostatik olarak y¨ukselen b¨olgelerde g¨ozlenmektedir. Bunun yanında Tibet ve Andlarda da b¨uy¨uk negatif anomaliler g¨ozlenmektedir (A. M. Celal S¸eng¨or, s¨ozl¨u g¨or¨u¸sme). Bu b¨olgedeki s¨ure¸c, buzullar tarafından astenosfere g¨om¨ulen litosfer kolonunda d¨u¸s¨uk yo˘gunluklu astenosferin anomaliyi azaltıcı etkisidir (Condie, 1989).
1.3. Do˘gu Anadolu Jeolojisinin Ana Hatları
S¸ekil 1.5. Alp–Himalaya da˘g ku¸sa˘gının tektonik ¨ozellikleri (Condie, 1989). ”Do˘gu Anadolu Y¨uksek Platosunun jeolojisi neotektonik ve paleotektonik kaya¸c gruplarında incelenmek ¨uzere iki sınıfta ele alınabilir. Platonun paleotektonik yapıları kendilerini ¨u¸c temel tektonik birim halinde g¨osterir: (1) Do˘gu Rodop–Pontid yayı, Albiyen-Oligosen ya¸sında g¨uneye bakan magmatik bir yaydır. Bu yay, Avrasya kıta kenarının altına, kuzeye do˘gru dalan bir dalma-batma sistemi tarafından olu¸sturulmu¸stur. Geni¸s ¨ol¸cekli bir geri bindirme zonu Kratese ya¸slı ofiyolitik melanj naplarını bunun g¨uney kenarına getirmi¸stir. Bunlar Do˘gu Anadolu Yı˘gı¸sım Kompleksinin en gerideki par¸calarıdır. (2) Do˘gu Anadolu Yı˘gı¸sım Prizması: Do˘gu Anadolu Y¨uksek Platosunda Adilcevaz kire¸cta¸sı g¨or¨uld¨u˘g¨u her yerde [Aquitanianden Burdigaliana: 20-16 Ma] bunun ¨ust Kretase (veya daha gen¸c) ofiyolitik melanj ve Pliyosen’den ¨ust Oligosen’e kadar fli¸s ardalanması i¸cerdi˘gi bilinmektedir. Kuzeyden g¨uneye gidildik¸ce fli¸s gen¸cle¸sti˘gi gibi ¸cevresi de Kretaseden Oligosene do˘gru sı˘gla¸sır. Kuzeyde Oligosen uyumsuz
S¸ekil 1.6. (A). Do˘gu Anadolu tektonik ¸cer¸cevesinin ana bile¸senleri. I: Rodop-Pontid blo˘gu, II: Kuzeybatı ˙Iran blo˘gu, III: Do˘gu Anadolu Yı˘gı¸sım Karma¸sı˘gı (EAAC), IV: Bitlis-P¨ot¨urge Masifi, V: Arap ¨on ¨ulkesi (foreland). Koyu ye¸sil alanlar: ofiolitik melanj mostraları, Pembe and kırmızı alanlar: ¸carpı¸smaya ba˘glı olu¸san volkanik birimler, beyaz alanlar: ayırtlanmamı¸s birimler veya gen¸c ¨ort¨u formasyonları. EKP: Erzurum-Kars Platosu. (B). Do˘gu Anadolu’nun Tektonik birimleri, ¸carpı¸sma k¨okenli volkanik ¨ur¨unleri ve volkanizma merkezlerini de i¸cine alan basitle¸stirilmi¸s jeoloji haritası. E-K-P: Erzurum–Kars Platosu; NATF and EATF: Kuzey Anadolu Fay Zonu ve Do˘gu Anadolu Fay Zonu. Volkanlar: Ag: A˘grı Da˘gı, Al1: Alada˘g (A˘grı’nın GD’su), Al2: Alada˘g (Horasan’ın KB’sı), Bi: Bing¨ol Da˘gı, Bl: Bilicanda˘gı, D: Dumanlıda˘g, E: Etr¨usk Da˘gı, H: Hamada˘g, K: Karatepe, Ki: Kısırda˘g, M: Mt. Meydanda˘g, N: Nemrut, S: S¨uphan, T: Tend¨urek, Y: Ya˘glıcada˘g, Z: Ziyaretda˘g (Keskin, 2003).
bir ¨ort¨ud¨ur. Do˘gu Anadolu Yı˘gı¸sım Prizmasının litosferik bir tabanı olmadı˘gı iddiası, do˘gu kenarının (Kuzeybatı ˙Iran) erken Jura d¨oneminde Laurasianın bir par¸cası haline gelmi¸s olması ve bu d¨onemde batı kenarının da (Menderes–Toros Blo˘gu) halen Laurasiadan uzakta olması ile malumdur. (3) Bitlis–P¨ot¨urge Masifi: Do˘gu Anadolu Yı˘gı¸sım Kompleksi Mu¸s kenedi boyunca ¸cok deforme olmu¸s metamorfik masiflerle temas halindedir. Do˘gu Anadoluda neotektonik d¨onem Adilcevaz kire¸cta¸sının sudan ¸cıkması ile ba¸slar, bunun hemen ardından y¨uksek plato sedimantasyonu ve volkanizma ba¸slamı¸stır. Do˘gu Anadoluda rastlanan en gen¸c denizsel ¸c¨okeller Serravaliyen ya¸stadır. Dolayısıyla plato en ge¸c 11 milyon yıl ¨once y¨ukselmeye ba¸slamı¸s demektir. Platodaki en ya¸slı volkanikler de hemen hemen bu ya¸stadır, ancak geni¸s ¨ol¸cekte volkanizmanın ba¸slaması i¸cin 4-5 milyon yıl daha ge¸cmesi gerekmi¸stir. Platoda en sık rastlanan sedimanter kayalar Miyosenden g¨un¨um¨uze karasal konglomeralar, ¸seyl ve marn i¸ceren kumta¸sları ve ters faylarla sınırlanmı¸s Do˘gu-Batı uzanan havzalarda ¸c¨okelen evaporitlerdir (S¸eng¨or ve di˘g., 2003).”
”Do˘gu Anadolu Y¨uksek Platosundaki en ¨onemli aktif yapılar KD-GB ve GD-KB uzanan do˘grultu atımlı faylar ve daha az sayıda D-B uzanan ters faylardır. Plio-pleistosen sedimanter kayaların kıvrım eksenleri de genellikle D-B uzanır. B¨ut¨un bu g¨ozlemler platonun en az 15 milyon yıldan beri sıkı¸smakta oldu˘gunu g¨ostermektedir; ne var ki bu sıkı¸sma daha aktiftir ve ters faylardan daha ¸cok do˘grultu atımlı faylar ile kontrol edilmektedir (S¸eng¨or ve di˘g., 2003).”
1.4. Delaminasyon / Termal Anomali
Kıtasal litosferin battı˘gı y¨onde hi¸cbir ipucu yoktur. Kıtasal kabu˘gun pozitif sebhiyesinden kaynaklanan bu durum, kıtasal litosferin de gravitasyonel bakımdan duraylı olmasına etki etmektedir. Lˆakin, litosferin mantodan m¨ute¸sekkil olan kısmı so˘guk ve yo˘gun olması sebebiyle duraysızdır. Bu durum kıtasal litosferin alt kabu˘gu da kapsayan kesimden itibaren ayrılması ve alt mantoya batmasına yol a¸cabilmektedir (Schubert, 2001).
Pn ve Sn fazları ¨uzerinde yapılan g¨ozlemlerle beraber g¨or¨ulmektedir ki Do˘gu Anadolu Platosu, manto litosferinden mahrum bir y¨ukseltidir. Manto litosferi olmayan b¨olgeler kabaca Ge¸c Kretase / Erken Oligosen ya¸sındaki ya¸slı bir Do˘gu Anadolu Yı˘gı¸sım Kompleksi’nin oldu˘gu kısımlara denk gelmektedir. Manto litosferinin yitmesine sebep olan durum, prizmanın altında kuzey y¨onl¨u dalan blo˘gun ayrılması, dolayısıyla a¸sa˘gı seviyelerin astenosfer ile do˘grudan etkilenmesi ve bu durumun b¨olgede yaygın bir volkanizma olarak kendini g¨ostermesi
olarak a¸cıklanabilir. B¨ut¨un bu sebeplerden dolayıdır ki Do˘gu Anadolu Y¨uksek Platosu kalın bir kabuk tarafından de˘gil, termal anomalinin dinamik etkisi sayesinde ayakta kalabilmektedir (S¸eng¨or ve di˘g., 2003). Hen¨uz termal etkilerin topo˘grafyayı dinamik olarak desteklemesi sayısal olarak ispatlamamı¸stır.
Bu tez kapsamında termal anomalinin dif¨uzyon zaman ¨ol¸ce˘gi bazında evrimi ortaya konmaya ¸calı¸sılmı¸stır. Eliptik geometriden m¨ute¸sekkil bir termal anomali kullanılmı¸s ve hem tek boyutta hem de iki boyutta ısı aktarımı modeli olu¸sturulmu¸stur.
2. MATEMAT˙IKSEL MODEL
Modelin ilk a¸saması billi bir b¨olge ve sınır ko¸sullarında ısı denkleminin, hesap alanı i¸cinde ve bir kaynak i¸cermeyen ¸sekilde, yani
∂tu = κ∇2u
denklemiyle ifade edilen halde ¸c¨oz¨ulmesidir. Fakat kopmanın d¨uzensizli˘gi sebebi ile tabanda buna uygun bir geometrinin var olması, denklemin de d¨uzensiz bir geometri ve dolayısıyla sınır ko¸sullarda ¸c¨oz¨ulmesi zorunlulu˘gunu beraberinde getirmektedir. Bilindi˘gi gibi d¨uzensiz geometrilerde kısmˆı t¨urevli diferansiyel denklemlerin ¸c¨oz¨ulmesi i¸cin bir¸cok sayısal y¨ontem kullanılmaktadır. Fakat bu y¨ontemler kurgulanan fenomenin fiziksel ili¸skilerini dikkate almamaktadır. Halbuki, ısı denkleminin analitik yolla do˘grudan ¸c¨oz¨um¨un¨u sa˘glayan entegrasyon kernelleri fazlasıyla mevcuttur.
Isı iletimi bahsinde anlık ¸cakan bir nokta kayna˘gın, yani herhangi uzay-zaman koordinatında serbest kalan ısı enerjisi bo¸salımının, sonsuz b¨uy¨ukl¨ukteki (boyutlarından herhangi biri veya ikisi di˘gerlerine g¨ore ¸cok ¸cok b¨uy¨uk olan) katılarda gayet iyi uygulama buldu˘gu bilinmektedir. Bir¸cok problemin ¸c¨oz¨um¨u bu basit fiziksel yakla¸sımla kolaylıkla yazılabilmektedir. Teorik bakımdan ise nokta kaynak, potansiyel teorideki ¡1
r
¢
olan temel ¸c¨oz¨ume kar¸sılık gelen ve sınırlı nesnelerde ısı iletimi teorisinin geli¸simi esnasında aynı potansiyel teoride oldu˘gu gibi Green Fonksiyonları’nın olu¸sturulmasında b¨uy¨uk ¨onem ta¸sımaktadır (Carslaw ve Jaeger, 1959).
Anlık ¸cakan bir nokta kayna˘gın ¸c¨oz¨um¨une temel ¸c¨oz¨um denirse, bir zaman serisi boyunca bu ifadenin integrali de s¨urekli nokta kaynak i¸cin ¸c¨oz¨um¨u verecektir (Carslaw ve Jaeger, 1959). Bir sistemin birim impulsif kuvvete cevabı sınır de˘ger problemlerinde Green Fonksiyonları olarak bilinmektedir (Olver ve Shakiban, 2005).
Bu tezde b¨olgedeki termal anomalinin evrimi kurgulanırken ilk olarak Z
∂ω Gi × Qi × dω integrallerinde sınır ko¸sulları sa˘glatacak cinsten Qi katsayılarının hesaplanması ¨uzerine bir model kurgulanmı¸stır. ˙Ikinci modelde ise sınır ko¸sulları
imaj serileri y¨ontemiyle sa˘glatılarak olayın fizi˘gini y¨oneten diferansiyel denklem ¸c¨oz¨ulm¨u¸st¨ur.
2.1. Green Fonksiyonları
Genel haliyle lineer bir diferansiyel denklem yazarsak,
L · u = f (2.1)
burada L(x) lineer, kendine e¸s diferensiyel operat¨or, u(x) bilinmeyen bir fonksiyon, ve f (x) de homojen olmayan bir terim olsun. Denklem 2.1 ¸c¨oz¨um¨u ¸su ¸sekilde yazılabilir:
u(x) = L−1(x) · f (x) (2.2)
L−1, L diferansiyel operat¨or¨un¨un tersi olacaktır. L bir diferansiyel operat¨or
olarak tanımlandı˘gından, bunu tersi diferansiyel hesabın do˘gası gere˘gi bir integral operat¨or olacaktır. Bir operat¨or¨un tersiyle ¸carpımı birim operat¨or I tanımlamaktadır.
LL−1 = L−1L = I (2.3)
Ters operat¨or¨u d¨uzenleyerek yazarsak
L−1f =
Z
G(x; x0)f (x0)dx0 (2.4)
burada g¨or¨ulen integrasyon kerneli G(x; x0), L diferansiyel operat¨or¨uyle ili¸skili
olan Green Fonksiyon’udur. Dirac Delta fonksiyonunu da yukarıdaki ¸cıkarımda yerine kondu˘gunda Z ∞ −∞ δ(x − x0)f (x0)dx0 = f (x) Z ∞ −∞ δ(x0)dx0 = 1 (2.5) ve 2.5, 2.4 denklemleriyle birle¸stirildi˘ginde Lu = L · Z G(x; x0)f (x0)dx0 = f (x) = Z ∞ −∞ δ(x − x0)f (x0)dx0 = f (x) L · G(x; x0) = δ(x − x0) (2.6)
2.1.1. Isı Denklemi ˙I¸cin Green Fonsiyon’larının C¸ ıkartılması
Yukarıdaki b¨ol¨umde g¨or¨uld¨u˘g¨u ¨uzere, ¸c¨oz¨ulecek lineer denklemin ilgili Green Fonksiyon’unu hesaplamak demek, aslında, L · G(x; x0) = δ(x − x0) denklemini
¸c¨ozmek demektir. Isı denklemini genel haliyle yazarsak, Green Fonksiyon’u
G(x, t; x0, t0) olmak ¨uzere: ∂G ∂t = κ∇ 2G + δ(x − x 0)δ(t − t0) (2.7) L = κ∇2 − ∂
∂t s¨oz konusu olan lineer operat¨ord¨ur. Green Fonksiyon’ları
anlık etkilere kar¸sı tepkiyi verdi˘ginden dolayı etki olmadan denklemin sonu¸c ¨uretmesi beklenemez. Dirac Delta’lar arg¨umanlarında verili uzay ve zaman koordinatındaki anlık ¸cakmayı sembolize etmektedir. Bu sebepten dolayı nedensellik ilkesi olarak a¸sa˘gıdaki ifade yazılabilir:
G(x, t; x0, t0) = 0 for t < t0. (2.8) Denklem 2.8’i ¸c¨ozmenin en kolay yolu Fourier d¨on¨u¸s¨um¨u metoduyla kısmˆı diferansiyel denklemi adi diferansiyel denkleme d¨on¨u¸st¨urmek ve bilinen analitik metotları uygulamaktır. Fourier ortamında ¸cıkan ¸c¨oz¨um¨un ters d¨on¨u¸s¨um¨u de bize Green Fonksiyonu’nu verecektir.
G(ω, t; x0, t0) = (2π)1n Z ∞ −∞ G(x, t; x0, t0)ei ˙ωxdnx. G(x, t; x0, t0) = Z ∞ ∞ G(ω, t; x0, t0)e−i ˙ωxdnω. (2.9)
Yukarıdaki denklem Fourier ve ters Fourier d¨on¨u¸s¨umlerinin genel hˆalini g¨ostermektedir. Denklem (2.7)’nin Fourier d¨on¨u¸s¨um¨un¨u aldı˘gımızda kar¸sımıza (2.10)’da g¨osterilen ifade ¸cıkmaktadır.
∂G
∂t = −κω
2G + ei ˙ωx0
(2π)nδ(t − t0). (2.10)
Nedensellik ilkesine de aynı d¨on¨u¸s¨um tatbik edilmelidir ki diferansiyel denklemin kendisi ve ba¸slangı¸s ko¸sulu belirlenebilsin.
G(ω, t; x0, t0) = 0 , t < t0. (2.11)
t > t0 i¸cin Green Fonksiyonu’nun ifadesi adi diferansiyel denklemin ¸c¨oz¨um¨u olarak ortaya ¸cıkacaktır:
Denklem (2.12)’nin ¸c¨oz¨um¨u ise
G(ω, t; x0, t0) = C(ω)eκω
2(t−t
0). (2.13)
C(ω), t = t0’daki ba¸slangı¸c ko¸sulu ile belirlenmektedir. t < t0 i¸cin G = 0 oldu˘gundan ve Dirac Delta fonksiyoneli t = t0’da etkidi˘ginden dolayı, C(ω),
t = t0’daki sı¸crama ko¸sulundan hesap edilebilir. 2.10’u t = t0’dan t = t0+’ya kadar entegre edersek Denklem (2.14) bulunur.
G(t0+) − G(t0−) =
ei ˙ωx0
(2π)n. (2.14)
Ancak nedensellik ilkesi G(t0−) = 0 oldu˘gundan dolayı C(ω), G(t0+) =
ei ˙ωx0/(2π)n ifadesinden hesaplanabilir: G(ω, t; x0, t0) = ei ˙ωx0 (2π)ne −κω2(t−t 0). (2.15)
Ters d¨on¨u¸s¨um yapıldı˘gında ise Green Fonksiyonu’nun Fourier transformu olarak ifade edilmi¸s hali kar¸sımıza ¸cıkacaktır:
G(x, t; x0, t0) = Z ∞ −∞ e−κω2(t−t 0) (2π)n e i ˙ω2x 0dnω. (2.16)
Green Fonksiyonu x − x0’a ba˘glı oldu˘gundan transformu bir Gausyen’dir. Bu y¨uzden G(x, t; x0, t0) ifadesi x = x0 merkezine g¨ore bir da˘gılımı ifade etmektedir:
G(x, t; x0, t0) = 1 (2π)n · π κ(t − t0) ¸n/2 e−(x−x0)2/4κ(t−t0). (2.17)
Denklem (2.17)’de n denklemin boyutunu (n = 1, 2, 3) g¨ostermektedir (Haberman, 1983). u = 1 8(πκt)32 · e ţ (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 4κt ű (2.18) fonksiyonu ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = 1 κ · ∂u ∂t (2.19)
(2.19)’da verilen ¨u¸c boyutlu ısı denklemini sa˘glamaktadır. (2.18)’de t → 0 iken (x0, y0, z0) dı¸sında kalan t¨um noktalarda ifade sıfıra, bu noktalarda ise sonsuza
Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ρcνdxdydz = Qρc 8(πκt)32 Z ∞ −∞ e−(x−x0)2/4κt dx Z ∞ −∞ e−(y−y0)2/4κt dy Z ∞ −∞ e−(z−z0)2/4κt dz = Qρc (2.20)
kadardır. Dolayısıyla Denklem (2.18), t = 0 anında (x0, y0, z0) noktasında Qρc ¸siddetinde bir anlık ¸cakma sonucu ortaya ¸cıkan sıcaklık da˘gılımı olarak
2.2. Modelin Kurgulanması
2.2.1. Zaman ˙I¸cinde S¨urekli C¸ akan Kaynak Modeli
Do˘gu Anadolu altındaki manto litosferinin kopmasıyla sıcak astenosfer, kabu˘gu ısıtmaya ba¸slamı¸stır. B¨oylece Do˘gu Anadolu Y¨uksek Platosu termal etkiler sebebiyle dinamik olarak yukarıda tutulmaktadır ve dengeye gelene kadar da bu s¨ure¸c devam edecektir. A¸sa˘gıdaki ¸sekil bu modeli temsil etmektedir.
KABUK LITOSFERI MANTO ∂u ∂z ¯ ¯ z=zD = qa ASTENOSFER ∂u ∂x ¯ ¯ x=0 = 0 ∂u ∂xu ¯ ¯ x=R = 0 R 0 ∂u ∂r ¯ ¯ ¯ r=r,θ= qr (ρa) (ρm) (ρc) x y
u = u(x, y, t)
T = T0 Y Y L DS¸ekil 2.1. Model diyagramı: D, delaminasyon derinli˘gi; L, litosfer kalınlı˘gı; Y, yalıtılmı¸s sınırları; T, sıcaklı˘gı; R, yatay mesafeyi; r ve θ radyal ve a¸cısal bile¸senleri g¨ostermektedir.
Kutu modelde y = 0 y¨uzeyi temsil etmektedir. D¨unyanın y¨uzey sıcaklı˘gı astenosfer sıcaklı˘gına kıyasla ¸cok ¸cok ufak oldu˘gu i¸cin T = T0 = 0 almak m¨umk¨und¨ur. Mavi ile g¨osterilmi¸s olan kesikli ¸cizgi delaminasyonun oldu˘gu yerdir. Kabuk–astenosfer etkile¸siminin olaca˘gı y¨uzey burası oldu˘gundan, qastenosf erkadar
bir ısı akısı buradan kabuk ve/veya manto litosferine girmektedir. qastenosf er,
astenosfer–kabuk s¨ureksizli˘ginde, y¨uzey normaline g¨ore etki etmektedir. Burada
∂u
∂r = qastenosf er olarak alınmaktadır. Modelin sol ve sa˘g duvarları yalıtkan olarak
alınmı¸stır ¸c¨unk¨u bu kısımlarda ∂xu = 0 olmakta, yani yatay koordinat boyunca
ilerlendi˘ginde sıcaklıkta bir de˘gi¸sim olmamaktadır. Modele ili¸skin termal sınır ko¸sulları (2.21)’de ¨ozetlenmektedir.
u(0, y, t) = T0 ∂u ∂x ¯ ¯ x=0,R = 0, 0 < y < yD, t > 0 0 < y < R, t > 0 ∂u ∂x ¯ ¯ x=xD = qx, yD < y < L, t > 0 ∂u ∂y ¯ ¯ ¯ y=yD = qy, 0 < x < xD, t > 0 ∂u ∂y ¯ ¯ ¯ y=L = qy, xD < x < R, t > 0 (2.21)
Evvela delaminasyon olmadı˘gı durumda ve sadece kıtasal kabuk malzemesi a¸sa˘gıdan sabit bir akı ile ısıtıldı˘gı zaman ortaya ¸cıkacak sıcaklık da˘gılımı hesaplanmı¸stır. Ardından sıcaklık da˘gılımının kontur diyagramı ¸cizilmi¸stir. Sıcaklık gradyenini hesaplamak i¸cin ¨oncelikle hesap alanının sınır elemanları yerle¸stirilmi¸stir. E¸sit mesafe ile yerle¸stirilen bu elemanlar, verilen zaman aralı˘gında ve bulundukları duvarın sınır ¸sartını sa˘glayacak bi¸cimde δt adım aralı˘gında ¸cakarak bir sıcaklık da˘gılımı yaratmaktadır (S¸ekil 2.2). Her kayna˘gın ¸cakma ¸siddeti S¸ekil2.22 de genel formda gosterilmi¸stir. Modelin yuzey kısmında sıcaklı˘gın sabit olması gerekti˘ginden ¨ust kısımda bir kaynak-kuyu ¸cifti bulunmaktadır.
Her δt zaman adımındaki ¸cakmalar di˘ger t¨um kaynak noktaları ¨uzerinde bir ısı akısı veya sıcaklık olu¸sturmakta, bu da kaynakların etkisini de˘gi¸stirmektedir. Hˆal b¨oyle olunca, kaynakların her zaman adımında sınır ko¸sulları sa˘glayabilmeleri i¸cin belirli Q ¸siddetlerinde ¸cakmalarının garanti altına alınması gerekmektedir. Kaynaklardaki ¸cakmalar G fonksiyonunun belirledi˘gi bi¸cimde, zamanla Gausyen bi¸cimde ¨olmekte, fakat her zaman adımında, bir hedef ¨uzerine t¨um kaynakların etkisi, b¨ut¨un termal tarih¸ce boyunca olan t¨um ¸cakma etkilerin toplamı cinsinden ifade edilmektedir. (2.22) numaralı ifadesinde verilen matrisde, her satır bir sonraki zaman adımındaki d¨uzeltilmi¸s Q’ların ifadesini, her kolon ise ilgili sınır ko¸sulunu g¨ostermek suretiyle ¸cakma ¸siddetlerinin de˘gerlerini vermektedir.
2κT0 0 q 0 2κT0− I1(2) −I (2) 1 q − I (2) 1 −I (2) 1 2κT0− (I1(3)+ I (3) 2 ) −(I (3) 1 + I (3) 2 ) q − (I (3) 1 + I (3) 2 ) −(I (3) 1 + I (3) 2 ) ... ... ... ... P(N ) (N ) P(N ) (N ) P(N ) (N ) P(N ) (N )
−0.20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
S¸ekil 2.2. Hesap alanı: Yatay eksen x, d¨u¸sey eksen y, oklar y¨uzey normalleri, yuvarlak semboller kaynak, ye¸sil noktalar da i¸c noktaları g¨ostermektedir.
sa˘glanamadı˘gı saptanmı¸stır. Bunun sebebi ise sıcaklık de˘geri hesaplanırken uzay integrallerine ilave olarak zaman integrallerinin de alınmasıdır. Riemann Toplamı ¸seklinde ifade edilen integral ıraksak bir seri olu¸sturduklarından netice olduk¸ca hatalı ¸cıkmaktadır.
2.2.2. Bir Kere C¸ akan Kayna˘ga Ba˘glı Anomalinin Yayılması
Bu ikinci modelin kurgusunda kaynaklar termal anomalinin tabanına yerle¸stirilmi¸stir. Ayrıca eliptik anomali de kaynaklarla doldurulmu¸stur. Bu ¸sekilde hem tavan hem de tabanda Dirichlet ko¸sulları ile tanımlanmı¸s, yani izotermal y¨uzeyler elde edilmektedir. ˙Ikinci modeli birinciden ayıran asıl ¨ozellik ise t zamanında ger¸cekle¸sen bir ¸cakma zamanla yayılmakta, bu y¨uzden zaman serisi ¨uzerinden bir entegrasyon ger¸cekle¸stirilememektedir. B¨oyle kurgulandı˘gında, model eliptik geometri sebebiyle yine zorluk ihtiva etmekte fakat bunun ¸c¨oz¨um¨u imaj serileri y¨ontemiyle kolaylıkla yapılmaktadır. Bu konu B¨ol¨um 2.5’de ele alınmı¸stır.
Anomali jeotermi. a b L 0
TA
KABUK
ASTENOSFER
K. JeotermS¸ekil 2.3. ˙Ikinci model’in diyagramı ve parametreleri
2.3. Sınır S¸artları ∂2T ∂x2 + 1 kg(x, t) = 1 α ∂T ∂t. (2.23)
ni sınırda dı¸s y¨uzey normalidir. i ise ya 1 ya da 2 olmak ko¸suluyla iki koordinatı
ifade etmektedir. Yani x1 ve x2 sırasıyla sol ve sa˘g sınırları temsil etmektedir. Ba¸slangı¸c ko¸sulu ise
T (x, 0) = F (x) (2.25)
olarak verilmi¸stir. Sınır ko¸sulları, denklem (2.24)’de ifade edilmi¸s ¨u¸c farklı sınır ko¸sulu ifade etmektedir. ki, hi and fi ile a¸sa˘gıda g¨osterilen bu ko¸sullara ayrıca
birinci, ikinci ve ¨u¸c¨unc¨u tip sınır ko¸sulu olarak da tanınmı¸stır ( ¨Ozı¸sık, 1968)
Birinci tip sınır ko¸sulu (yaygın olarak Dirichlet ko¸sulu olarak bilinmektedir) denklem (2.24)’de ki = 0 ve hi = 1 olarak alındı˘gında o sınırda sıcaklı˘gı
tanımlamak i¸cin kullanılmaktadır.
T (xi, t) = fi(t). (2.26)
Burada fi(t) sıfır olarak alınabilir. Neumann ¸sartı olarak da bilinen bu ikinci t¨ur
sınır ise tanımlandı˘gı y¨uzeydeki akıyı sembolize etmektedir.
ki ∂T ∂ni ¯ ¯ ¯ ¯ xi = fi(t) (2.27)
fi(t) = 0 olması ko¸sulunda o sınırın yalıtılmı¸s oldu˘gu anla¸sılacaktır. ¨
U¸c¨unc¨u tip sınır ise, konvektif bir terim oldu˘gu durumda denklemde yerini almaktadır. Robin ¸sartı olarak da bilinen bu ¸sartta, denklem (2.24)’de fi(t)
genellikle hiT∞ olarak alınır. 2.3.1. Dirichlet Sınır S¸artı
Y¨uzeyde u(0, y, t) = T0 = 0 ¸sartını sa˘glamak i¸cin sınır ¨uzerine duble kaynak kullanmak gerekmektedir (Carslaw ve Jaeger, 1959). Duble kaynak demek, sınır ¨uzerine yerle¸stirilmi¸s Q g¨uc¨undeki kaynaklar ve buna ¸cok ¸cok az mesafe uzaklı˘ga konmu¸s -Q ¸siddetinde ¸cakma yaratan kuyuların kombinasyonu demektir –b¨oylece aradaki mesafe dx → 0’a giderken, sınırda sıcaklık 0’a gidecektir, ancak
t0 = 0 anında sınırda Dirac ¸seklinde bir patlama olacaktır.
Dublenin ¸cıkartılı¸sı a¸sa˘gıda g¨osterilmi¸stir.
lim dx→ 0 −Q(x + dx) + Q(x) dx = − ∂v ∂x (2.28)
g¨or¨ulmektedir. ∂tG = ∂xxG ∂x∂tG = ∂x∂xxG ∂t(∂xG) = ∂xx(∂xG) (2.29) 2.3.2. Neumann Sınır S¸artı
Neumann sınır ¸sartı, ilk modelde yalıtılmı¸s sa˘g ve sol duvar i¸cin kullanılmı¸stır. ˙Ikinci modelde ise bu kısımlar i¸cin sa˘glanması gereken bir sınır ¸sart verilmemi¸stir. C¸ ¨unk¨u x do˘grultusunda, yani yatay eksende, sıcaklık sonsuzda yok olacaktır. 2.3.3. Sınır S¸artlarının ¨Ozeti
A¸sa˘gıdaki denklemler birinci model i¸cin sırasıyla ¨ust, sa˘g, alt ve sol duvarlar i¸cin sa˘glanması gereken sınır ¸sartlarını g¨ostermektedir.
Z t Z ω Q · ∂yG · dω · dt → j≤n X tj X i htjhxi · Q(xi, ti) · ∂G ∂x(x, y, t|x 0, y0, t0) Z t Z ω Q · G · dω · dt → j≤n X tj X i htjhyi· Q(yi, ti)G(x, y, t|x 0, y0, t0) Z t Z ω Q · G · dω · dt → j≤n X tj X i htjhxi · Q(xi, ti)G(x, y, t|x 0, y0, t0) Z t Z ω Q · G · dω · dt → j≤n X tj X i htjhyi· Q(yi, ti)G(x, y, t|x 0, y0, t0) (2.30) G = 1 4πκ(t−t0) × e ů (x−x0)2+(y−y0)2 4·κ·t ÿ G = G(x, y, t|x0, y0, t0) (2.31)
˙Ikinci modelde ise yalnızca tepede ve tabanda Dirichlet sınır ko¸sulları bulundu˘gundan ve bunun i¸cin imaj serileri kullanıldı˘gından ikinci modelin sınır ko¸sullarının ifadesi ’˙Imaj Serileri’ b¨ol¨um¨unde verilmi¸stir.
2.4. Parametrelerin Birimsizle¸stirilmesi
l kalınlı˘gında bir litosferin tabanında yer alan, uzun ekseni a ve kısa ekseni b
olan bir eliptik anomali, kıtasal izotermden sapma g¨osterecektir. Matematiksel modelde ba¸slangı¸ctaki sıcaklık ko¸sulu termal anomaliye g¨ore verilmi¸stir. Buna g¨ore tepedeki sıcaklık u = 0 ve tabandaki sıcaklık u = 1 olarak verilmi¸stir. Birimsiz zaman τ , dif¨uzyon katsayısı ve litosfer kalınlı˘gı cinsinden verilmi¸stir.
τ = l
2
κ (2.32)
κ 10−6m2s−1 olarak alınacaktır (Kaminski ve Jaupart, 2000). Boyutsuz birimler
ise, boyutsuz zaman t∗ = t
2.5. ˙Imaj Serileri Y¨ontemi
˙Imaj serileri y¨ontemi iki d¨uzlem ile sınırlanmı¸s ısı iletimi problemlerinde ba¸sarılı bir ¸sekilde kullanılmaktadır. ¨Ozellikle bu iki d¨uzlem sıfır sıcaklı˘gında tutuluyorsa bir¸cok problem kolay bir ¸sekilde ¸c¨oz¨ulebilmektedir. S¨oz konusu katının her y¨one do˘gru uzadı˘gını kabul edersek, sınır d¨uzlemlere g¨ore her kayna˘ga kar¸sı kuyu ¸seklinde yazılacak kaynak-kuyu ¸ciftleri sınırda sıcaklı˘gın 0 olmasına sebep olacaklardır.
S¸ekil 2.4. S¸ekilde g¨or¨ulen iki d¨uzlem sınır ko¸sullarının tatbik edildi˘gi b¨olgeyi, i¸ci dolu daireler kaynakları, bo¸s olanlar ise kuyuları temsil etmektedir. Siyah ile g¨osterilen kaynak ve kuyular yukarıdaki sınır ko¸sul i¸cin, kırmızılar ise a¸sa˘gıdaki sınır ko¸sulu sa˘glama ¨uzere hazırlamı¸slardır. Ortada q ¸siddetinde ¸cakan kaynak ise eliptik anomali i¸cindeki kaynakları sembolize etmektedir.
-q ¸siddetinde bir kuyu konursa bu sınırda sıcaklık 0 olacaktır. Fakat yukarı bulunan kuyu bu sefer z = 0’da sınır ko¸sulunu bozacaktır. Bu y¨uzden z = 0’a g¨ore de bir kaynak konulması gerekecektir. Bu ¸sekilde konan kaynak ve kuyular s¨urekli her iki sınır ko¸sulunu da bozmaktadır. Ancak yeteri kadar fazla kaynak ve kuyu alınırsa bir noktadan sonra eklenen kaynak ve kuyular sonucu de˘gi¸stirmeyecektir. Kısacayakınsayan bir imaj serisi kullanılmaktadır. ˙Ikinci olarak z = 0’dan ba¸slamak suretiyle, ikinci bir imaj serisi yukarıda anlatıldı˘gı gibi hazırlanmaktadır.
˙Ilk imaj serisini olu¸sturan rek¨urans ba˘gıntısı,
zp1 = zp z• pi = −zp+ 2L z◦ pi+1 = −zpi (2.33)
¸seklinde yazılabilir. z = 0’ı sa˘glatan algoritma ise ¸sudur:
zp1 = zp z• pi = −zp1 z◦ pi+1 = −zp+ 2L (2.34)
2.33 ve 2.34’de i¸ci dolu daireler kaynakları, bo¸s olanlar ise kuyuları temsil etmektedir.
3. MODEL C¸ IKTILARI
1 boyutlu model ¸cıktısı sonucunda ortaya ¸cıkan izotermler
3.1. Tek Moyutlu Model
3.2. ˙Iki Boyutlu Model
2 Boyutlu modelin sıcaklık yayılım izotermleri
3.3. 1B/2B Modellerinin farkı
˙Iki modelin ¸cıktıları arasındaki farkın e¸ssıcaklık grafi˘gi
S¸ekil 3.3. Tek boyutlu ile iki boyutlu model ¸cıktıları arasındaki farkın e¸s sıcaklık grafi˘gi.
3.4. ˙Iki Boyutlu Model—Tabanda sınır ko¸sul tanımlanmamı¸s hal ˙Iki modelin ¸cıktıları arasındaki farkın kont¨orleri
S¸ekil 3.4. Tabanda sınır ko¸sul tanımsız oldu˘gunda ¸c¨oz¨ulen Dirichlet probleminin ¸cıktısı.
3.5. Anomalinin Yarı Uzayda Kısmˆı Olarak Yerle¸smesi
Bu b¨ol¨umde delaminasyon olayının a¸sama a¸sama olması s¨uresince sıcaklık de˘gerlerinin evrimi g¨osterilmektedir. T¨um grafikler t = 0.05 birimsiz zamanında ¸cizdirilmi¸stir. xb, delaminasyon olayının x ekseninde sınırı olmak ¨uzere xb = 0, 0.5, 1.0, 1.6, 2.3, ve 2.5 i¸cin de˘gerler elde edilmi¸stir.
S¸ekil 3.7. t=0.05 ve xb = 1.0 durumundaki izotermler.
S¸ekil 3.11. Termal anomalinin yayılma s¨ureci. z ekseninde anomali t = 0.5 d¨uzeyinde normale d¨onebilmi¸stir. Bu da alınan zaman aralı˘gının yarısından sonra anormal jeotermin kaybolması gerekti˘gini s¨oylemektedir.
4. SONUC¸ LAR
Model ¸cıktılarında ilk g¨oze ¸carpan tek boyut ile iki boyut yakla¸sımlarının birbirlerine olduk¸ca yakın sonu¸clar vermesidir. Bunun elbette en ¨onemli sebebi anomali ¸seklinin boyut oranının 1/3’den daha az olmasıdır.
Isıl rahatlama boyutsuz zamanın yarısında sa˘glanmı¸stır. Dolayısıyla b¨olgede konveksiyonun ciddi bir bi¸cimde s¨urd¨u˘g¨u a¸sikˆardır.
Elastik kalınlık hadisesi, gravite ve topo˘grafya ili¸skisi hakkında yapılacak bir ara¸stırma, bu modelin ¸cıktılarından sentetik olarak ¨uretilecek sıcaklık ve bouguer anomlisi verileriyle kar¸sıla¸stırıldı˘gı takdirde Do˘gu Anadolu hakkında daha fazla bilgi sahibi olunabilir. Elbette bunun i¸cin gravite anomlisi verilerine ihtiya¸c vardır.
KAYNAKLAR
Carslaw, H. ve Jaeger, J., 1959. Conduction of heat in solids. Oxford University Press.
Condie, K. C., 1989. Plate Tectonics and Crustal Evolution. Pergamon Press. Haberman, R., 1983. Elementary Applied Partial Differential Equations.
Prentice Hall.
Houseman, G., McKenzie, D. ve Molnar, P., 1981. Convective instability of a thickened boundary layer and its relevance for the thermal evolution of continental convergent belts. J. Geophys. Res., 86, 6115–6132.
Jimenez-Munt, I., Sabadini, R., Gardi, A. ve Bianco, G., 2003. Active deformation in the Mediterranean from Gibralter to Anatolia inferred from numerical modeling and geodetic and seismological data. J. Geophys. Res, 108, 2006–2024.
Kaminski, E. ve Jaupart, C., 2000. Lithosphere structure beneath the Phanerozoic intracratonic basins of North America. Earth and Planetary
Science Letters, 178, 139–149.
Keskin, M., 2003. Magma generation by slab steepening and breakoff beneath a subduction accretion complex: An alternative model for collision-related volcanism in Eastern anatolia, Turkey. Geophys. Res. Lett., 30, 8046.
Keskin, M., 2005. Domal uplift and volcanism in a collision related zone without a mantle plume: Evidence from Eastern Anatolia.
www.mantleplumes.org/Anatolia.html.
Lachenbruch, A. ve Morgan, P., 1990. Continental extension, magmatism and elevation; Formal relations and rules of thumb. Tectonophysics, 174, 39–62.
Maggi, A. ve Priestley, K., 2005. Surface waveform tomography of the Turkish-Iranian plateau. Geophysical Journal International, 160, 1068–1080. Olver, J. ve Shakiban, C., 2005. Applied Linear Algebra. Prentice Hall.
¨
Ozı¸sık, N., 1968. Boundary Value Problems of Heat Conduction. International Textbook Company.
Sandvol, E., Seber, D., Barazangi, M., T¨urkelli, N., G¨urb¨uz, C., Kuleli, S., Karabulut, H., Zor, E., G¨ok, R., Bekler, T. ve Bayraktutan, S., 2000. Eastern Turkey Seismic Experiment. IRIS Newsletter, 1, 2000.
Schott, B. ve Schmeling, H., 1998. Delamination and detachment of lithospheric root. Tectonophysics, 296, 225–247.
Schubert, G., 2001. Mantle Convection in the Earth & Planets. Cambridge University Press.
S¸eng¨or, A. M. C. ve Kidd, W. S. F., 1979. The post-collisional tectonics of the Turkish-Iranian Plateau and a comparison with Tibet. Tectonophysics, 55, 361–376.
S¸eng¨or, A., 1980. T¨urkiye’nin Neotektoni˘ginin Esasları. T¨urk. Jeol. Kur., Konf.
Serisi 2, 40, 40.
S¸eng¨or, A., ¨Ozeren, S., T.Gen¸c ve Zor, E., 2003. East Anatolian high plateau as a mantle-supported, north-south shortened domal structure.
Geophysical Research Letters, 30, 8045.
Watts, A. B., 2001. Isostacy and Flexure of the Lithosphere. Cambridge University Press.
Zor, E., Sandvol, E., G¨urb¨uz, C., T¨urkelli, N., Seber, D. ve Barazangi, M., 2003. The crustal structure of the East Anatolian plateau from receiver functions. Geophys. Res. Lett., 30, 8044.
.1. Birinci Model
Parametrelerin ve hesap alanının olu¸sturuldu˘gu program
function [k k2 X Y Xm Ym Xb Yb nx ny number_of_points Dirichlet] = parametre(a,b, ara_nokta)
% [k k2 X Y Xm Ym Xb Yb nx ny number_of_points Dirichlet] = % parametre(a,b,ara_nokta)
% Girdiler:
% a, b: x ve y eksenlerinin uzunlugu
% ara_nokta : sinirlar arasindaki nokta sayisi. %
% Ciktilar:
% k, k2 : hedef ve kaynagi belirten indisler
% X, Y : Noktalarin x ve y koordinatlarini tutan vektorler % Xm, Ym : Domainin x ve y koordinatlarini tutan matrisler
% Xb, Yb : Sinir elemanlarinin x ve y koordinatlarini tutan vektorler % nx, ny : Sinirdaki birim normal vektorunun x ve y bilesenleri
% Dirichlet : Sinir kosulunun turu (Dirichlet 1, Neumann 0) X = linspace(0,a,ara_nokta);
Y = sort(linspace(0,b,ara_nokta),’descend’);
% Hesap domaininin x ve y koordinat bilesenlerini saklayan % Xm ve Ym matrisleri olusturuluyor.
[Xm Ym] = meshgrid(X, Y);
% Sinirdaki noktalarin koordinatlari Xb Yb matrislerinde % saklanacaktir. Xb = vertcat(Xm(1,:)’,Xm(2:ara_nokta,ara_nokta), sort(Xm(ara_nokta,1:ara_nokta-1)’, ’descend’),Xm(2:ara_nokta-1,1)); Yb = vertcat(Ym(1,:)’,Ym(2:ara_nokta,ara_nokta), sort(Ym(ara_nokta,1:ara_nokta-1)’, ’descend’),sort(Ym(2:ara_nokta-1,1)));
[number_of_points,min]=size(Xb); %number_of_points, sinirdaki eleman sayisi % koord_sinir = [Xb Yb];
% Dirichlet, Sinirdaki elemanlarin hangi sinir sartini
% (Dirichlet veya Neumann) sagladigini gosteren Boolean vektoru. % 0 = Neumann, 1 = Dirichlet olmak uzere:
for i=1:number_of_points if (Yb(i)==b) Dirichlet(i,1)=1; else Dirichlet(i,1)=0; end end
% Sinir elemanlarinin birim normal vektorleri [nx ny] for i=1:number_of_points if (Yb(i)==0) nx(i,1)=0; ny(i,1)=1; else if (Yb(i)==b) nx(i,1)=0; ny(i,1)=-1; else if (Xb(i)==0) nx(i,1)=1; ny(i,1)=0; else if (Xb(i)==a) nx(i,1)=-1; ny(i,1)=0; end end end end end
% Birim vektorlerin grafik uzerinde gosterimi [u v] = meshgrid(nx, ny) ;
[x y] = meshgrid(Xb, Yb); quiver(x,y,u,v,1);
hold off;
% sinirdaki noktalardan hedef ve kaynak olanlari birbirinden ayirmak
% maksadiyla iki yeni indis kullaniliyor. Bunlardan ’k’ hedefi tarayan indis, % ’k2’ ise kaynagi tarayan indisi gosterecektir.
k = (1: number_of_points)’; k2 = k;
Green Fonksiyonlarının hesaplandı˘gı program
%[G, dxG, dyG, dxyG, dxxG, dyyG] = green(t, x, y, tp, xp, yp) %Girdiler:
% t : hedefteki zaman. % x : hedefin x koordinati % y : hedefin y koordinati % tp : Cakmanin oldugu zaman
% xp : Cakmanin oldugu kaynagin x koordinati % yp : Cakmanin oldugu kaynagin y koordinati %
%Ciktilar
% G : Temel isi denklemi cozumu cekirdegi % dxG, dyG, dxyG, dxxG, dyyG : G’nin turevleri
kappa = 1;
G = (1/(4*pi*kappa*(t-tp)^2))*exp(-(((x-xp)^2 + (y-yp)^2)/ (4*kappa*(t-tp))));
%MATLAB ic analitik hesap komutlari %syms x xp y yp t tp kappa; %dxG = diff(G,x); %dyG = diff(G,y); %dxxG = diff(G,x,2); %dyyG= diff(G,y,2); %dxyG = diff(dxG,y); dxG=-1/16/pi/kappa^2/(t-tp)^3*(2*x-2*xp)*exp(-1/4*((x-xp)^2+(y-yp)^2) /kappa/(t-tp)); dyG=-1/16/pi/kappa^2/(t-tp)^3*(2*y-2*yp)*exp(-1/4*((x-xp)^2+(y-yp)^2) /kappa/(t-tp)); dxyG= 1/64/pi/kappa^3/(t-tp)^4*(2*x-2*xp)*(2*y-2*yp)*exp(-1/4*((x-xp)^2+ (y-yp)^2)/kappa/(t-tp)); dxxG=-1/8/pi/kappa^2/(t-tp)^3*exp(-1/4*((x-xp)^2+(y-yp)^2)/kappa/(t-tp))+ 1/64/pi/kappa^3/(t-tp)^4 *(2*x-2*xp)^2*exp(-1/4*((x-xp)^2+(y-yp)^2)/kappa/(t-tp)); dyyG= -1/8/pi/kappa^2/(t-tp)^3*exp(-1/4*((x-xp)^2+(y-yp)^2)/kappa/(t-tp))+ 1/64/pi/kappa^3/(t-tp)^4* (2*y-2*yp)^2*exp(-1/4*((x-xp)^2+(y-yp)^2)/kappa/(t-tp)); C¸ akma ¸siddetleri ve kaynaklar arası etkile¸simi hesaplayan program function [Q, I] = main3(a, b, ara_nokta,last_time, delta_t) % [Q, I] = main3(a, b, ara_nokta,last_time, delta_t)
%
% Ciktilar:
% Q, kaynaklarin hedefler uzerinde olusturdugu kumulatif sicaklik % katkisini yok eden cakma katsayilari.
% I, kaynaklarin hedef uzerinde olusturduklari toplam aki. %Parametrelerin cagirildigi satir
[k, k2, X, Y, Xm, Ym, Xb, Yb, n_x, n_y, N, Dirichlet] = parametre(a, b, ara_nokta);
%Initialization
ds = .1; % noktalar arasi mesafe T0 = 0; %yuzey sicakligi, T_sifir
q = 50; %[mW/m2] kabuk ve litosfer tabanindaki isi akisi kappa = 1; %isil iletkenlik
I = linspace (0,1,N); Q(1,1:N)=0;
% ilk zaman adimindaki Q = Q(1,k2) for k2 = 1:N
if ((Yb(k2)==b | (Xb(k2)==0 & Yb(k2)==b & Xb(k2)==a))) Q(1,k2) = 2*kappa*T0;
else if ((Yb(k2)==0 | (Xb(k2)==0 & Yb(k2)==0 & Xb(k2)==a))) Q(1,k2) = q; else Q(1,k2) = 0; end end end %Ana Dongu:
for n_time = 2:last_time %Ana zaman dongusunun baslangici.
I(:) = 0; % Toplami hesaplanan I, entegrallerinin ilk degeri = 0. for k = 1 : N % hedefi tarayan indis, k
if (Dirichlet(k)) % hedef Dirichlet for k1 = 1 : n_time-1
% evvelki zamani gosteren (cakma) indis, k1
for k2 = 1 : N % kaynagi tarayan indis, k2
tp = k1 * delta_t; % patlama zamaninin degeri. time_now = n_time * delta_t; %simdiki zaman [G, dxG, dyG, dxyG, dxxG, dyyG] =
green(time_now,Xb(k),Yb(k),tp,Xb(k2),Yb(k2));
if (Dirichlet(k2)) % kaynak Dirichlet I(k) = I(k) - Q(k1, k2) * delta_t * (dxG * n_x(k2) + dyG * n_y(k2))*ds;
else % kaynak Neumann
I(k) = I(k) + Q(k1, k2) * delta_t * G * ds; end
end end
else % Hedef Neumann for k1 = 1 : n_time-1
for k2 = 1 : N
tp = k1 * delta_t;
time_now = n_time * delta_t; [G, dxG, dyG, dxyG, dxxG, dyyG] = green(time_now,Xb(k),Yb(k),tp,Xb(k2),Yb(k2));
if (Dirichlet(k2)) % kaynak Dirichlet
n_y(k)* dyyG)* delta_t *Q(k1,k2) * ds; else % kaynak Neumann
I(k) = I(k) - kappa * (dxG * n_x(k) + dyG * n_y(k))* Q(k1,k2)*ds;
end end end
end%Kaynak etki sorgulamasinin sonu % Q’nun degerleri %for k2 = 1:N % for k1 = 2:last_time Q(n_time,k) = Q(1,k) - I(k); % end %end end%hedef taramasinin sonu
end% bastaki zaman dongusunun sonu. Sıcaklık de˘gerlerini hesaplayıp ¸cizdiren program
function [Xm, Ym, Q, I, Temp] = Tij3(a, b, ara_nokta, last_time, delta_t) %[Xm, Ym, Q, I, Temp] = Tij3(a, b, ara_nokta, last_time, delta_t)
%Sicaklik degerlerini hesaplayip cizdiren program %Girdiler:
% a, b: x ve y eksenlerinin uzunlugu
% ara_nokta : sinirlar arasindaki nokta sayisi. % last_time : modelde hesaplanacak son zaman % delta_t : zaman artirimi
%
% Ciktilar:
% Q, kaynaklarin hedefler uzerinde olusturdugu kumulatif sicaklik % katkisini yok eden cakma katsayilari.
% I, kaynaklarin hedef uzerinde olusturduklari toplam aki. % Xm, Ym : Domainin x ve y koordinatlari
clc;
close all; ds = .1;
[k k2 X Y Xm Ym Xb Yb n_x n_y N Dirichlet] = parametre(a,b, ara_nokta); [Q I] = main3(a,b,ara_nokta,10,1); [xx,yy]=meshgrid(X,Y); z = xx; for i = 1:ara_nokta for j = 1:ara_nokta T = 0; xlokal = xx(i,j) ; ylokal = yy(i,j) ;
for k2 = 1 : N % kaynagi tarayan indis, k2 if (Dirichlet(k2)) % kaynak Dirichlet
for k1 = 1 : last_time-1 % evvelki zamani gosteren (cakma) indis, k1 tp = k1 * delta_t; % patlama zamaninin degeri.
time_now = last_time * delta_t; %simdiki zaman [G, dxG, dyG, dxyG, dxxG, dyyG] =
green(time_now,xlokal,ylokal,tp,Xb(k2),Yb(k2));
T = T - Q(k1, k2) * delta_t * (dxG * n_x(k2) + dyG * n_y(k2)) *ds;
end
else %kaynak Neumann
for k1 = 1 : last_time-1 % evvelki zamani gosteren (cakma) indis, k1 tp = k1 * delta_t; % patlama zamaninin degeri.
time_now = last_time * delta_t; %simdiki zaman [G, dxG, dyG, dxyG, dxxG, dyyG] =
end end end z(i,j) = T; end end subplot(1,2,1), surf(xx,yy,z) subplot(1,2,2), contour(xx,yy,z) clabel(c,h) ;
.2. ˙Ikinci Model .2.1. 2D Model Ba¸slangı¸c sıcaklık de˘geri function T=T_initial(z); T=z;
X ekseninde eliptik anomali boyunca entegrasyon sınırlarını belirleyen program function f=x_max(z,a,b) if nargin==0 z=[0.2,0.2]; a=3; b=0.3333; end f=a*sqrt(1.-z.*z/(b*b));
X’e g¨ore entegrasyonu yapan program
function f=integral_with_respect_to_xp(zp,t,x,a,b) % returns the integral from -x_max(zp) to x_max(zp) of %exp( -(x-xp)^2/(4*t)) if nargin==0 zp=[0.2,0.2]; a=3; b=0.3333; t=0.2; x=0.9; end sqrt_t=t^0.5; x_max_=x_max(zp,a,b); u_max=(x_max_-x)/(2*sqrt_t); u_min=(-x_max_-x)/(2*sqrt_t); jacobian=2*sqrt_t; f=(erf(u_max)-erf(u_min))*jacobian; %[root,weight]= calculat_all(256,-x_max_(1),x_max_(1)); %fun=exp(-((root-x)/(2*sqrt_t)).^2); %sum(fun.*weight) %f
˙Integrandın tam ifadesi
x=1.5; b=0.3333; t=0.2; end
fx=integral_with_respect_to_xp(zp,t,x,a,b);%the inner integral s=zp;
s(:)=0.0;
[Zp,sign]=images(zp,t);%produces matrix of images . %Column i contains images of zp(i)
size_Zp=size(Zp); number_of_rows=size_Zp(1); for k=1: number_of_rows s=s+sign(k,:).*T_initial(zp).*exp(-(z-Zp(k,:)).^2/(4*t)); end f=fx.*s/(4*pi*t);
imaj serilerini hesaplayan program function [Z,sign]=images(zp,t);
%sign will containathe signs of images
% number of image will depened on the ratio t/(zp-z)^2, %zp is line vector
%Z is matrix
%each colunms of Z contains coordinates of the images of zp(i) %Z =numbere_of_images X length(zp) if nargin==0 zp=[0.15,0.16]; t = 0.1; end num_image = 20;
L=1; %Thickness of the lithosphere Z=zeros(num_image,length(zp)); sign=zeros(num_image,length(zp)); Z(1,:)=zp; %Z(2,:)=-zp; for i=2:num_image if (mod(i,2) == 0) Z(i,:)=-Z(i-1,:); else if (mod(i,2)~=0) Z(i,:)= (i-1)*L+zp; end end end
sign(1,:)=1; sign(2,:)=-1; for i=3:num_image if (mod(i,2) == 0) sign(i,:)=-1; else if (mod(i,2) ~=0) sign(i,:)=1; end end end
%ikinci imaj serisi:
Z2=zeros(num_image-1,length(zp)); for i=1:num_image-1 if mod(i,2)~=0 if i==1 Z2(i,:)=L-zp; else Z2(i,:)= L+(i-1)*L-zp; end elseif mod(i,2)==0; if i == 2 Z2(i,:)=-(L-zp); else Z2(i,:)=-Z2(i-1,:); end end end sign2=zeros(2,length(zp)); sign2(1,:)=1; sign2(2,:)=-1; for i=3:num_image if (mod(i,2) == 0) sign2(i,:)=-1; else if (mod(i,2)~=0) sign2(i,:)=1; end end end Z = [Z Z2]; sign = [sign
if nargin==0 t=0.3; x=2.5; z=0.4; b=0.3333; a=3; end %integrand(zp,x,z,t,a,b) %QUADL(FUN,A,B,TOL,TRACE) T=quadl( @integrand,0,b,1.0e-8,[],x,z,t,a,b); %[root,weight]=calculat_all(256,0,b); %fun=integrand(root,x,z,t,a,b); %s=sum(weight.*fun) %T %root=linspace(0.,b,4); %ff=integrand(root);
Sonu¸cların ¸cizdirildi˘gi program %function f=plotting(w,n,t,a,b) %if nargin==0 clc; clear; t=0.5; w=3; n=15; b=0.3333; a=3; %end x=linspace(-w,w,n); z=linspace(0,1,n); [xk,zk]=meshgrid(x,z); T = xk; T(:,:)=0; for k1=1:n for k2=1:n T(k2,k1) = temperature(t,x(k1),z(k2),a,b); end end subplot(1,2,1), surfl(xk,zk,T) subplot(1,2,2), contour(xk,zk,T) %contour(xk,zk,T)
%hold on
Par¸calı kopma i¸cin yapılan hesaplarda imaj serileri ve integralin sınırları farklı olacaktır. Bunun i¸cin ise yukarıdaki kodlara ¸cok benzeyen e¸slenikler kullanılmı¸stır: function f=integrand2(zp,x,xb,z,t,a,b) if nargin==0 z=0.5; zp=[0.2,0.2]; a=3; x=-1; b=0.3333; t=0.2; xb=-1.5; end
fx=integrand_part(zp,t,x,xb,a,b);%the inner integral s=zp;
s(:)=0.0;
[Zp,sign]=images(zp,t);%produces matrix of images .Column i contains images of zp(i) size_Zp=size(Zp); number_of_rows=size_Zp(1); for k=1: number_of_rows s=s+sign(k,:).*T_initial(zp).*exp(-(z-Zp(k,:)).^2/(4*t)); end f=(fx.*s/(4*pi*t));
˙I¸cteki integrali hesaplayan rutin:
function f=integrand_part(zp,t,x,xb,a,b) if nargin==0 z=0.5; zp=[0.001,0.29999]; a=3; x=-1; b=0.3333; t=0.2; xb=-a; end cevap=0*zp;
%fx=quadl(@integrand_part_x,xb,a,1.0e-8,[],x,t) %the inner integral sqrt_t=t^0.5;
x_max_=x_max(zp,a,b); x_min_=-x_max_;
xbv=zp*0.+xb; lo=(x_min_<xbv); u_max=(x-xbv(lo))/(2*sqrt_t); u_min=(x-x_max_(lo))/(2*sqrt_t); jacobian=2*sqrt_t; cevap(lo)=(erf(u_max)-erf(u_min))*jacobian*(pi)^.5 /2; llo=~lo; u_max=(x-x_min_(llo))/(2*sqrt_t); u_min=(x-x_max_(llo))/(2*sqrt_t); jacobian=2*sqrt_t; cevap(llo)=(erf(u_max)-erf(u_min))*jacobian*(pi)^.5 /2; f=cevap;
Sıcaklı˘gı hesaplayan rutin ise
function T=temperature_part(t,x,z,xb,a,b) if nargin==0 t=0.1; x=0.3; zp=[0.2,0.2]; b=0.3333; a=3; z=.2; xb=-a; end %xb=-3.0; %integrand(zp,x,z,t,a,b) %QUADL(FUN,A,B,TOL,TRACE) T=quadl( @integrand2,0,b,1.0e-8,[],x,xb,z,t,a,b); %[root,weight]=calculat_all(256,0,b); %fun=integrand(root,x,z,t,a,b); %s=sum(weight.*fun) %T %root=linspace(0.,b,4); %ff=integrand(root);
Ba¸slangı¸cta, anomaliye g¨ore tanımlanmı¸s sıcaklık de˘gerini veren fonksiyon
.2.2. 1D Model Tek boyuttaki integrand
function f=integrand_1D(zp,z,t,a,b) if nargin==0 z=0.5; zp=[0.2,0.2]; a=3; x=1.5; b=0.3333 t=0.2; end f=1; s=zp; s(:)=0.0;
[Zp,sign]=images(zp,t);%produces matrix of images .Column i contains images of zp(i) size_Zp=size(Zp); number_of_rows=size_Zp(1); for k=1: number_of_rows s=s+sign(k,:).*T_initial(zp).*exp(-(z-Zp(k,:)).^2/(4*t)); end f=(f.*s/(2*(pi*t)^.5));
Tek boyuttaki sıcaklık hesaplama programı function T2=temperature_1D(t,x,z,a,b) if nargin==0 t=0.3; x=0.5; b=0.3333; a=3; z=1; end B=b*(1-(x^2)/(a^2))^.5; %f=integrand_1D(zp,z,t,a,b) T2=quad( @integrand_1D,0,B,1.0e-8,[],z,t,a,b);
.2.3. Tabandaki Dirichlet ko¸sulunun olmadı˘gı model Sadece y¨uzeyde verili sıcaklık de˘gerine g¨ore ifade edilmi¸s integrand function f=integrand(zp,x,z,t,a,b) if nargin==0 z=0.5; % zp=[0.2,0.2]; a=3; x=1.5; b=0.3333; t=0.2; zp=linspace(0,b,100); end
fx=integral_with_respect_to_xp(zp,t,x,a,b);%the inner integral s=zp;
s(:)=0.0;
[Zp,sign]=images(zp,t);%produces matrix of images .Column i contains images of zp(i) size_Zp=size(Zp); number_of_rows=size_Zp(1); for k=1: number_of_rows s=s+sign(k,:).*T_initial(zp).*exp(-(z-Zp(k,:)).^2/(4*t)); %s=s+sign(k,:).T_initial(zp).*exp(-(z-Zp2(k,:)).^2/(4*t)); end f=fx.*s/(4*pi*t);
y¨uzeydeki sınır ko¸sulunu sa˘glatan imaj serisini hesaplayan program function [Z,sign]=images(zp,t);
%sign will containathe signs of images
% number of image will depened on the ratio t/(zp-z)^2, %zp is line vector
%Z is matrix
%each colunms of Z contains coordinates of the images of zp(i) %Z =numbere_of_images X length(zp) if nargin==0 zp=[0.15,0.16]; t = 0.1; end num_image = 11;
Z(1,:)=zp; sign(1,:)=1; for i=2:2:num_image-1 Z(i,:)=-Z(i-1,:); Z(i+1,:)= 2*L-Z(i,:); sign(i,:)=-sign(i-1,:); sign(i+1,:)= -sign(i,:); end
Z(:)=0; %birinci imaj serisi iptal edildi. %ikinci imaj serisi
Z2=zeros(num_image,length(zp)); sign2=zeros(num_image,length(zp)); Z2(1,:)=zp; sign2(1,:)=1; Z2(2,:)=-Z2(1,:)+2*L; for i=3:2:num_image Z2(i,:)=-Z2(i-1,:); Z2(i+1,:)= 2*L-Z2(i,:); sign2(i,:)=-sign2(i-1,:); sign2(i+1,:)= -sign2(i,:); end Z = [Z Z2]; sign = [sign sign2];
¨
OZGEC¸ M˙IS¸
Ali D. ¨Ozbakır, 1980 yılında ˙Istanbul’da do˘gdu. ˙Ilk ¨o˘gretimini Kurtulu¸s, Kazım Karabekir ve Faik Re¸sit Unat ˙Ilkokullarında, orta ¨o˘gretimini ¨Ozel Ba˘glarba¸sı Belde Lisesi’nde tamamladı. 1998 yılında AFS kapsamında Kansas Wichita High School East’te Lise 4. sınıfı bitirdi. Y¨uksek ¨o˘gretimine 1999 yılında ˙Istanbul Teknik ¨Universitesi Maden Fak¨ultesi, Maden M¨uhendisli˘gi b¨ol¨um¨unde ba¸sladıktan sonra 2001’de C¸ ift Anadol Programı kapsamında Jeoloji M¨uhendisli˘gi b¨ol¨um¨une girdi. 2003 yılında Maden M¨uhendisli˘gi b¨ol¨um¨un¨u birincilikle bitirdi ve aynı yıl Avrasya Yer bilimleri Enstit¨us¨u, Yer Sistem Bilimi Anabilim Dalında y¨uksek lisansa ba¸sladı. 2005 yılında Jeoloji M¨uhendisli˘gi b¨ol¨um¨un¨u de tamamlamı¸stır. ˙Ingilizce bilmektedir. Gezmeyi ¸cok sever.
