Esnek olmayan çubuğun bükülmesi ile ilgili monoton operatörlü ters katsayı probleminin çözümü

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ * FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ESNEK OLMAYAN ÇUBUĞUN BÜKÜLMESİ İLE İLGİLİ

MONOTON OPERATÖRLÜ TERS KATSAYI PROBLEMİNİN

ÇÖZÜMÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Matematikçi Salih TATAR

Anabilim Dalı: Matematik

Danışman: Prof. Dr. Alemdar HASANOĞLU

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Bu çalışmada bükülmenin matematiksel modeli verilmiş, düz ve ters problemler tanımlanmıştır. Düz problem monoton operatörler teorisi kapsamında incelenmiştir ve ters problemin quazi çözümünün varlığı kanıtlanmıştır. Daha sonra ise düz ve ters problemler sayısal olarak çözülmüştür.

Bu çalışmanın, ters problemler ve sayısal yöntemler ile ilgili çalışmalara katkısının olmasını dilerim.

Beni bu konuda çalışmaya sevk eden ve her konuda bana yardımcı olan danışman hocam sayın Prof. Dr. Alemdar HASANOĞLU’ na teşekkürü bir borç bilirim; ayrıca, her zaman ve her konuda bana yardımcı olan hocam sayın Doç. Dr. Zahir MURADOĞLU’ na teşekkürlerimi sunarım.

Yine, üzerimde emeği olan ve burada isimlerini sayamadığım Kocaeli Üniversitesi Matematik bölümünün değerli hocalarına, arkadaşlarım Dr. Ali DEMİR’ e, Arş. Gör. Abdulkadir AYGÜNOĞLU’ na, Uzman Arzu ERDEM’ e ve hayatım boyunca benim için hiçbir fedakarlıktan kaçınmayan AİLEME teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR ...i İÇİNDEKİLER ...ii ŞEKİLLER DİZİNİ...iii TABLOLAR DİZİNİ... iv SİMGELER... v ÖZET ... vi İNGİLİZCE ÖZET………..vii GİRİŞ... 1

1. BÜKÜLMENİN MATEMATİKSEL MODELİ VE TERS PROBLEMİN TANIMI... 3

1.1. Esnek (Elastik) Cismin Denge Problemi ile İlgili Matematiksel Modeller ... 3

1.2. Esnek Olmayan Silindirik Çubuğun Bükülmesinin Matematiksel Modeli…...12

1.3. Ters Katsayı Probleminin Tanımı ... 15

1.4. Düz Problemin Zayıf Çözümü ve Potansiyeli... 16

1.5. Ters Katsayı Problemi için Quasi Çözümün Varlığı………..……..22

1.6. Kare Bölgede Esnek Çubuğun Bükülmesi Problemi... 26

2. LİNEER OLMAYAN DÜZ PROBLEMİN MONOTON OPERATÖRLER TEORİSİ KAPSAMINDA İNCELENMESİ... 32

2.1.Yaklaşık Çözümün Tanımlanması ve Potansiyeller Dizisi... 32

2.2.Yakınsama Teoremi... 38

3. DÜZ VE TERS PROBLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ ... 48

3.1. Düz Problemin Sonlu Fark Denkleminin Elde Edilmesi, Sonlu Fark Çözümü ve Hata Analizi... 48

3.2. Ters Problemin Ayrık Probleme Dönüştürülmesi ... 54

3.3. Kesin Deneysel Verili Ters Problemin Sayısal Çözümü ... 56

3.4. Deney Hatalarıyla Verilmiş Ters Problemin Sayısal Çözümü……..….………..62

SONUÇLAR VE ÖNERİLER………66

KAYNAKLAR ... 67

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1.1. Gerilim tensörünün bileşenleri ... 5

Şekil 1.2. Bir boyutlu elastik çubuğun eğilmesinde simetri ekseni. ... 9

Şekil 1.3. T=g

( )

ξ2 ξ fonksiyonu ... 13

Şekil 1.4. Altı sabitlenmiş ve ekseni z ’ye paralel olan çubuğun bükülmesi………..14

Şekil 3.1. g

( )

ξ fonksiyonunun κ=0 ve κ=1 durumu ... 53

Şekil 3.2. g

( )

ξ fonksiyonu ... 54

Şekil 3.3. g

( )

ξ fonksiyonuna parçalı lineer yaklaşım... 56

Şekil 3.4. Sert ve yumuşak malzemeler için ters problemin çözümü ... 61

Şekil 3.5. Sert malzeme için plastiklik durumunda 7 nokta ile ters problemin çözümü. ...62

TABLOLAR DİZİNİ Tablo3.1.

( )

ξ + = ξ 1 1

g fonksiyonu için (1.30)-(1.31) probleminin 2 farklı başlangıç

iterasyonu için bulunan

{

∏

( )

un

}

potansiyeller dizisi...51

Tablo 3.2. Örnek 3.1 deki problemin N×M=20×20 ve N×M=40×40 alınarak çözümü sonucu elde edilen mutlak hatalar... ...51

Tablo 3.3. Mühendislik malzemesi için

{

∏

( )

un

}

potansiyeller dizisi...54

Tablo 3.4. Düz problemin θ ' nın artan değerleri için çözümüne karşılık gelen M ve ξ değerleri ...57

Tablo 3.5. Kesin deneysel verili ters problem için G ' nin belirlenmesi ...58

Tablo 3.6. Kesin deneysel verili ters problem için β1' in belirlenmesi ...60

Tablo 3.7. Kesin deneysel verili ters problem için β ' nin belirlenmesi ...60 2 Tablo 3.8. Kesin deneysel verili ters problem için β ' ün belirlenmesi ...60 3 Tablo 3.9. Kesin deneysel verili ters problem için β4' ün belirlenmesi ...61

Tablo 3.10. γ=0.03...63

Tablo 3.11. γ=0.03 hata payı sonucu elde edilen M değerleri...63

Tablo 3.12. γ=0.03 hata payı ile verilen ters problem için β1' in belirlenmesi...64

Tablo 3.13. γ=0.03 hata payı ile verilen ters problem için β ' nin belirlenmesi ...64 2 Tablo 3.14. γ=0.03 hata payı ile verilen ters problem için β3' ün belirlenmesi ...64

SİMGELER DİZİNİ VE KISALTMALAR Ω ∂ : Ω bölgesinin sınırı Ω : _{R ’de sınırlı bölge} 2 ∇ : Gradyan vektörü

( )

Ω m

C : m negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere kendisi ve α _≤m

olmak üzere .α kısmi türevleri sürekli olan fonksiyonlar uzayı

( )

Ω

m 0

C : m

( )

Ω

C uzayından olan ve Ω bölgesinin sınırında 0’a eşit olan

fonksiyonlar uzayı

( )

Ω

p

L : Ω bölgesinde p. kuvveti integrallenebilen fonksiyonlar uzayı

( )

Ω 1 H : Kendisi ve i x u ∂ ∂

kısmi türevleri L2

( )

Ω uzayından olan fonksiyonlar uzayı

( )

Ω

1 0

H : H1

( )

Ω uzayından olan ve Ω bölgesinin sınırında 0’ a eşit olan fonksiyonlar uzayı

( )

Ω 0 H : L2

( )

Ω uzayı B : Banach uzayı

( )

.,. a : Bilineer form *

U : U uzayının dual uzayı

0

. : L2

( )

Ω uzayında norm

(

u,v

)

DA : A operatörünün u’da v elemanı yönündeki birinci mertebeden

Gateaux türevi

(

u,v

)

Df : f fonksiyonelinin u’da v elemanı yönündeki birinci mertebeden

Gateaux türevi

.,. : Hilbert uzayında iç çarpım . : Banach uzayında norm J(u) : A operatörünün potansiyeli

( )

x

gh : Yaklaşık çözüm fonksiyonu

ESNEK OLMAYAN ÇUBUĞUN BÜKÜLMESİ İLE İLGİLİ MONOTON OPERATÖRLÜ TERS KATSAYI PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

SALİH TATAR

Anahtar Kelimeler: Lineer Olmayan Eliptik Denklem, Monoton Operatör,

Bükülme, Ters problem, Zayıf Çözüm, Lineerleştirme, Yakınsaklık, İterasyon Algoritması, Esnekliğin Deformasyon Teorisi

Özet: Bu çalışmada, lineer olmayan eliptik denklemdeki bilinmeyen katsayıyı

belirleyen ters problem incelenmiştir. Esnekliğin deformasyon teorisi içerisinde lineer olmayan eliptik operatör bir monoton potansiyel operatördür. Bu yüzden, monoton operatör teorisini uygulayarak düz problemin _H1

( )

_{, R}2

⊂ Ω

Ω uzayında tek

çözümünün olduğu ispatlanmıştır. Daha sonra düz problem için lineerleştirilmiş şema önerilmiş ve yakınsaklık ispatlanmıştır. Bununla birlikte ters problemin quazi çözümünün varlığı kanıtlanmıştır. Son bölümde, düz problemin nümerik çözümü için sonlu fark şeması ve quazi-statik ters problemin nümerik çözümü için bir algoritma çıkarılmıştır. Hatasız ve hatalı giriş verileri için elde edilen sonuçlar ters problemin çözümü için kullanılan yöntemin doğru ve kararlı olduğunu göstermektedir.

SOLUTION OF THE INVERSE COEFFICIENT PROBLEM FOR MONOTONE OPERATOR, RELATED TO ELASTO-PLASTIC TORGUE OF

A BAR SALİH TATAR

Keywords: Nonlinear Elliptic Equation, Monotone Operator, Torgue, Inverse

Problem, Weak Solution, Linearization, Convergence, Iteration Algorithm, Deformation Theory of Plasticity.

Abstract: In this study, inverse problem related to determination of unknown

coefficient in the nonlinear (monotone) elliptic equation is considered. Within the range of the deformation theory of plasticity, the nonlinear elliptic operator is a monotone potential one. Therefore we apply monotone operator theory and prove that the direct problem has a unique solution in 1

( )

2

R ,

H Ω Ω⊂ . In addition to this, we proved existence of the quazi solution for the inverse coefficient problem. Then we propose a linearization scheme for the direct problem and prove the convergence. In the final chapter 3 we derive the variational finite difference scheme for the numerical solution of the direct problem, and an algorithm for the numerical solution of the quasi-static inverse problem. The result obtained for the noise free and noisy synthetive data show that the presented method of solution of the inverse problem is accurate and stable.

GİRİŞ

Ters katsayı problemleri bilimsel literatürde güncel problemlerdendir. Bunların içinde lineer olmayan operatörlerin katsayısının belirlenmesi ile ilgili olanlar, yeni sınıf ters problemlerdendir. Bu çalışmada esnek olmayan (“elasto-plastik”) çubuğun bükülmesi ile ilgili ters problem incelenmiştir.

Bölüm 1’ de deformasyon teorisi kapsamında bükülmenin matematiksel modeli verilmiş ve buna dayalı ters problem tanımlanmıştır. Bu ters problemin bir öğesi olan düz problem, lineer olmayan eliptik denklem için Dirichlet problemi olarak ortaya çıkmıştır. Bu problemin zayıf çözümü tanımlanmış ve daha sonra diferansiyel operatörün potansiyel operatör olduğu gösterilmiştir. Ayrıca ters problemin yaklaşık (quazi) çözümü tanımlanmış ve bu çözümün varlığı ispatlanmıştır. Son olarak, esnek çubuğun bükülme problemi değişkenlere ayırma yöntemiyle çözülmüş ve bükülmenin analitik ifadesi elde edilmiştir.

Bölüm 2’ de düz problem monoton potansiyel operatörler teorisi kapsamında ele alınmıştır. Önce bilinen sonuçların kısa tekrarı ve analizi verilmiş, daha sonra da bu sonuçlar bükülme problemine uygulanmıştır. Monoton potansiyel operatörler teorisinde soyut kavram olarak tanımlanan ∏

( )

u potansiyelinin yaklaşık çözümler üzerindeki değerinin bükülme ve bükülme açısı üzerinden ifadesi elde edilmiştir. Bu bölümde düz problemin çözümünün varlığı ve tekliği ile, ayrıca yaklaşık çözümün kesin çözüme yakınsaması ile ilgili teoremler kanıtlanmıştır.

Bölüm 3’ de düz ve ters problemlerin sayısal çözüm algoritmaları verilmiştir. Düz problem zayıf çözüme dayalı incelendiğinden dolayı, sonlu fark denklemi de integralleme yoluyla elde edilmiştir. Bu denklemin yakınsama hatasının düşük olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca, potansiyeller dizisinin monoton azalan dizi olması, sayısal deneylerle de gözlemlenmiştir. Gerçek mühendislik malzemeleri için ters problem hem hatalı, hem de kesin deney verilerine dayalı çözülmüştür. Her iki

durumda elde edilen sonuçlar, tezde önerilen algoritmanın kararlılığının yüksek, hatasının da düşük olduğunu göstermektedir.

BÖLÜM 1. BÜKÜLMENİN MATEMATİKSEL MODELİ VE TERS PROBLEMİN TANIMI

1.1. Esnek (Elastik) Cismin Denge Problemi ile İlgili Matematiksel Modeller

Dış kuvvetlerin etkisiyle dengede olan ve G bölgesini dolduran B sert cismi çeşitli derecelerde deforme olur, yani hacmini ve şeklini değiştirir. Dış kuvvetlerin etkisiyle ortaya çıkan deformasyon belli değeri aşmazsa, bu kuvvetin etkisi kaldırıldığında, cismin deformasyonu kaybolur ve cisim başlangıç şeklini alır. Böyle özelliği olan bir cisme esnek (elastik) cisim denir. Sert bir cismin deforme olması, her bir

(

x1,x2,x3

)

x = noktası için u =

(

u1,u2,u3

)

yer değiştirme vektörünün verilmesiyle

belirlenir. B sert cisminin herhangi bir noktasının deforme olmadan önceki durumu x, deforme olduktan sonraki durumu x' olursa, yer değiştirme vektörü u=x−x' veya ui

( )

x =xi−xi ,'i=1,2,3 şeklinde belirlenebilir.

B sert cisminin hacim birimine karşılık gelen kuvvet vektörü F =

(

F1,F2,F3

)

, bu

cismin Γ yüzeyine karşılık gelen kuvvet vektörü de f =

(

f1,f2,f3

)

olsun. Sert cismin

denge durumunda (Hasanov 2001, Rektorys 1977, Timoshenko ve Goodiyer 1970)

∫∫∫

∫∫

Γ = Γ + G 0 fd Fdx (1.1)

eşitliği sağlanır. Diverjans teoremine göre,

∫∫

Γ

Γ d

f_i integralini

(

i =1,2,3

)

bir hacim integrali gibi tanımlayabilecek bir σi=

(

σi1,σi2,σi3

)

vektörü bulunabilir:

∫∫∫

∫∫

Γ= σ Γ G i id div dx f (1.2)

Burada

(

n,x

)

cos

(

n,x

)

cos

(

n,x

)

,i 1,2,3 cos

fi =σi1 1 +σi2 2 +σi3 3 = (1.3)

ve n, G bölgesinin yüzeyine yönlendirilmiş dış normaldir. (1.1) formülü ve G bölgesinin keyfi bölge olduğu dikkate alınırsa, elde etmek istediğimiz denge denklemi, 3 i i F 0,i 1,2,3,x G R divσ + = = ∈ ⊂ veya G x , 3 , 2 , 1 i , 0 F x 3 1 j i j ij ∈ = = + ∂ σ ∂

∑

= (1.4)

şeklinde olur. Burada σ=

{ }

( )

σij matrisine gerilim tensörü denir. Gerilim tensörünün

bileşenlerinin fiziksel anlamını incelemek için x noktasını öyle seçelim ki, bu noktada normal, 0x₁ ekseni ile aynı yönde olsun. O halde (1.3)’ den fi =σi1 elde

edilir. Böylelikle, σ bileşeni, _i1 0x₁ eksenine dik birim yüzeye (düzleme) etkiyen f kuvvetinin 0x_i eksenine izdüşümü olur, yani, σ₁₁ bileşeni f kuvvetinin düşey (normal), σ₁₂ ve σ13 ise yatay bileşenleridir. (Şekil 1.1)

11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 σ 1 x 2 x 3 x

Şekil 1.1: Gerilim tensörünün bileşenleri

Kolayca gösterebileceği gibi, gerilim tensörü simetriktir (σij =σji) ve (1.3)

denklemler sisteminde sadece altı bilinmeyen fonksiyon vardır. Bunun için bileşke kuvvetlerin momentlerinin 0x₁ eksenine göre sıfıra eşit olması koşulunu yazalım:

[

x F x F

]

dx

[

x₂f₃ x₃f₂

]

d 0 G 2 3 3 2 − +

∫∫

− Γ=

∫∫∫

Γ .

Birinci integralde (1.4) sistemi, ikinci integralde ise (1.3) ifadesini göz önüne alınırsa,

[

x x

]

cos

(

n,x

)

d 0 dx x x x x 3 1 j _G j j 2 3 j 3 2 j j 2 3 j j 3 2 =         Γ σ − σ +         ∂ σ ∂ − ∂ σ ∂

∑ ∫∫∫

∫∫

= Γ (1.5)

ifadesi elde edilir. Son integrale Diverjans teoremi uygulanarak,

(

x x

) (

cosn,x

)

d div

(

x2 3j x3 2j

)

dx G j 3 1 j j 2 3 j 3 2σ − σ Γ=

∫∫∫

σ − σ

∫∫∑

Γ =

[

]

[

]

[

]

dx x x x x dx x x x x x x x x x G 3 1 j 3 1 j 23 32 j j 2 3 j j 3 2 G 23 3 33 2 3 22 3 32 2 2 21 3 31 2 1

∫∫∫

∑

∑

∫∫∫

        σ − σ + ∂ σ ∂ − ∂ σ ∂ =       σ − σ ∂ ∂ + σ − σ ∂ ∂ + σ − σ ∂ ∂ = =

bulunur. Bu (1.5) eşitliğinde yazılıp G’ nin keyfi bölge olduğu göz önünde bulundurulursa,

23 32 =σ

σ

eşitliği elde edilir. Benzer biçimde σ₁₂ =σ₂₁ ve σ13 =σ31 olduğu ispatlanabilir.

Demek ki gerilim tensörü simetriktir.

( )

_       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ε i j j i ij x u x u 2 1 u (1.6)

olarak tanımlanan fonksiyon simetrik tensördür ve cismin deformasyonunu ifade eder. (deformasyon tensörü)

Elastite kuramında gerilim ve deformasyon tensörleri arasındaki bağıntı Hooke yasasıyla verilir. Esnek cisim için Hooke yasası aşağıdaki gibidir: (Timoshenko ve Goodiyer 1970)

( )

( )

( )

( )

∑

( )

= ε = θ δ λθ + µε = σ 3 1 i ij ij ij ij u 2 u u , u u . (1.7) Burada    = ≠ = δ j i , 1 j i , 0 ij

Kronecker sembolü, λ=λ

( )

x ve µ=µ

( )

x Lame katsayılarıdır. Uygulamalarda Lame katsayılarıyla

(

)

(

λ+µ

)

λ = µ + λ µ µ + λ = 2 V , 2 3 E (1.8)

biçiminde ifade edilen E esneklik katsayısı ve V Poisson katsayısı daha çok kullanılır. (1.6), (1.7) formüllerini (1.4) sisteminde göz önüne alırsak deforme olan türdeş (homojen) sert cisim için denge denklemlerini elde ederiz:

[

θ

( )

u =divu

]

:

( )

( )

x divu F 0,i 1,2,3 x u x u x x i i j j i 3 1 i i = = +         λ +         ∂ ∂ + ∂ ∂ µ ∂ ∂

∑

= . (1.9)

Bu sisteme Lame denklemler sistemi denir. (Timoshenko ve Goodiyer 1970)

Cisim türdeş olduğu halde Lame katsayıları x’ e bağlı olamaz. Türdeş cisim için (1.9) sistemi vektör biçiminde aşağıdaki gibi yazılır:

(

λ+µ

)

graddivu−µ∆u=F

− . (1.10)

Burada u

( )

x =

[

u1

( )

x ,u2

( ) ( )

x ,u3 x

]

yer değiştirme vektörüdür. 0x3 eksenine paralel

kesitlerde deformasyonlar aynı olursa, yer değiştirme vektörünün bileşenleri x 3

koordinatına bağlı olamaz ve u bileşeni sıfıra eşit olur. Cismin bu biçimdeki 3

deformasyon durumuna ‘’Düzlem deformasyon hali’’ denir. (Timoshenko ve Goodiyer 1970)

(1.6) formüllerinden düzlem deformasyon hali için,

0 , x u , x u x u 2 1 , x u 33 23 13 2 2 22 1 2 2 1 21 12 1 1 11 ε =ε =ε = ∂ ∂ = ε       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ε = ε ∂ ∂ = ε

ifadeleri elde edilir. Gerilim tensörünün σ bileşeni için 33 ε33 =0 olduğu ve (1.7)

Hooke yasası dikkate alınırsa

(

11 22

)

33 =v σ +σ

σ

bulunur. (1.10) sistemi, düzlem deformasyon halinde aşağıdaki gibi yazılabilir:

(

)

(

)

(

)

(

)

       = + ∂ ∂ ∂ µ + λ + ∂ ∂ µ + λ + ∂ ∂ µ = + ∂ ∂ ∂ µ + λ + ∂ ∂ µ + ∂ ∂ µ + λ . 0 F x x u x u 2 x u 0 F x x u x u x u 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 (1.11)

Şimdi bu denklemler sistemi için sınır koşullarını yazalım.

G alanının Γ yüzeyinde yer değiştirme vektörünün verildiği durumda sınır koşulu

2 2 1

1 g ,u g

u = = (1.12)

biçiminde, yüzey kuvvetlerinin verildiği durumda ise sınır koşulu

(

)

(

)

(

)

(

)

   = σ + σ = σ + σ 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 f x , n cos x , n cos f x , n cos x , n cos (1.13)

biçiminde ifade edilir. Sınır koşullarının sağ tarafların sıfıra eşit olduğu durumlarda, sınır koşullarına türdeş (homojen) sınır koşulları denir. (1.12) ve (1.13) sınır koşullarından elde edilen türdeş sınır koşullarına, bunların fiziksel anlamına dayanarak ‘’sert kenetlenme’’ ve ‘’serbest sınır’’ koşulları da denir.

Şimdi ise bir boyutlu elastik çubuğun eğilmesi problemini inceleyelim. Eğilme kuramında iki hipotez kabul edilmiştir. (Timoshenko ve Goodiyer 1970) Bunlar, düzlem kesit hipotezi ve Euler-Bernoulli hipotezidir. Düzlem kesit hipotezine göre, çubuğun 0x eksenine dik düzlemle kesiti, deformasyondan sonrada ₃ 0x eksenine ₃ dik düzlem olarak kalır. Euler-Bernoulli hipotezine göre ₂

3 2

dx d ω

EI M dx d 2 3 2 − = ω (1.14)

biçimindedir. Burada ω

( )

x₃ =u₃

(

0,0,x₃

)

eğilme fonksiyonu; I, çubuğun enine kesitinin eylemsizlik momenti, E de elastisite modülüdür.

Enine kesit alanının küçük olması nedeniyle dış kuvvetlerin etkisini yaklaşık olarak kesit bölgeleri üzerindeki q

( )

x3 toplam kuvveti olarak yazabiliriz.

Simetri düzlemi olarak 0x1x3 düzlemini ele alalım. (Şekil 1.2) Bu durumda, çubuğa

dik olarak uygulanan kuvvetin simetri düzlemi de aynı olursa, S kesitinde (hacim kuvvetinin sıfır olduğunu varsayarak) sıfırdan farklı sadece

2 1 S

13dx dx

Q=

∫∫

σ (1.15)

kesme kuvveti ile

2 1 1 S 33x dx dx M=

∫∫

σ (1.16)

eğilme momenti olacaktır.

0 1

x

2

x

3

x

S

Şekil 1.2: Bir boyutlu elastik çubuğun eğilmesinde simetri ekseni

Çubuğun eğilmesinin denge denklemini elde etmek için herhangi

(

a,b

)

aralığını ele alalım ve bu kısmı etkileyen bileşke kuvvet ile bileşke momentin sıfıra eşit olması koşullarından yararlanalım. Q

( )

x₃ fonksiyonu türevlenebilirse, bileşke kuvvetlerin

( )

x dx Q

( )

b Q

( )

a 0 q b a 3 3 + − =

∫

olması koşulunu göz önüne alarak

( )

dx 0 dx dQ x q b a 3 3 3  =      +

∫

ifadesini elde ederiz.

(

a,b

)

aralığı keyfi olduğu için, son ifadeden

( )

0 dx dQ x q 3 3 + = (1.17)

denklemini elde ederiz. Benzer biçimde, bileşke momentin

( )(

x x a

)

dx Q

( )(

b b a

)

M

( )

b M

( )

a 0 q b a 3 3 3 − − − + − = −

∫

denge koşulundan

( )(

)

[

( )(

)

]

( )

dx 0 dx x dM dx a x x Q d a x x q 3 b a 3 3 3 3 3 3 3  =      + − − − −

∫

buluruz. (1.17) formülünü göz önüne alırsak, son eşitlikten herhangi

(

a,b

)

aralığı için

( )

_{( )}

∫

 =      − b a 3 3 3 3 0 dx x Q dx x dM

( )

_{( )}

₍

₎

b , a x , 0 x Q dx x dM 3 3 3 3 _{− = ∈}

olur. Bu denklemde M eğilme momenti için (1.14) formülünü yazarsak,

( )

x 0 Q dx d EI 3 3 3 3 = + ω (1.18)

elde ederiz. (1.18) eşitliğinin sol tarafının x değişkenine göre türevini alır ve (1.17) ₃ formülünü kullanırsak, bir boyutlu elastik çubuğun eğilmesinin denge denklemini elde ederiz.

( )

x ,x

(

a,b

)

. q dx d D _{4 3 3} 3 4 ∈ = ω (1.19) EI

D = değerine eğilme sertliği denir.

Çubuk türdeş değilse I =I

( )

x3 olur ve bu durumda (1.19) denklemi

( )

q

( )

x ,x

(

a,b

)

dx d x D dx d 3 3 2 3 2 3 2 3 2 ∈ =         _ω (1.20)

biçimini alır. Bu durumlar Hasanov ( 2001)’ de elde edilmiştir. Çubuğun uçlarında verilebilecek sınır koşulları aşağıdaki gibi olabilir.

a. ‘’Ucun sadece dayanak üzerinde olması’’ (simply supported) koşulu. Çubuk sabit

2

0x ekseni etrafında serbestçe dönebileceği için çubuğun uçlarında eğilme ve eğilme momenti sıfıra eşit olur:

0 dx d EI M , 0 ₂ 3 2 = ω − = = ω . (1.21)

b. ‘’Sert kenetlenmiş uç’’ (rigid clamped) koşulu. Çubuğun bir ucu öyle kenetlenmiştir ki, bu noktada eğilme ve dönme sıfıra eşit olur:

0 dx d , 0 3 = ω = ω . (1.22)

c. ‘’Serbest uçlar’’ (free boundary) koşulu. M eğilme momenti ve Q kuvveti sıfıra eşit olur. (1.14) Euler-Bernoulli koşuluna ve (1.18) formülüne göre serbest uçlar için

0 dx d , 0 dx d 3 3 3 2 3 2 = ω = ω (1.23)

olmalıdır. Çeşitli problemlerde çubuğun uçlarındaki sınır koşulları, (1.21)-(1.23) koşullarının farklı bileşimleri şeklinde verilebilir.

1.2. Esnek Olmayan Silindirik Çubuğun Bükülmesinin Matematiksel Modeli

Matematiksel modellemeye yatkınlığı ile bilinen klasik plastiklik teorilerinden en yaygını deformasyon teorisidir. (Kachanov 1967, Necas ve Hlavacek 1981) Bu teoriye göre, deformasyon

( )

εi,j ve gerilim

( )

σi,j tensörlerinin bileşenleri arasındaki

ilişki aşağıdaki Hencky bağıntısı ile verilir:

( )

i,j 2 j , i =2gξ ε σ .

Bunun da sonucu olarak deformasyon yoğunluğu

(

)

      ε ε = ξ 2 1 ij ij 2 ve gerilim yoğunluğu

(

)

      = 2 1 , , 5 . 0 ij ij

T _{σ σ} arasındaki ilişki aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:

( )

. g T 2 ξ ξ = (1.24)

( )

2

g ξ fonksiyonu malzemenin esneklik özelliklerini tanımlar ve plastiklik fonksiyonu olarak isimlendirilir. Esnek deformasyonlar durumunda T=Gξ,

0 sabit

G= > ’ dır ve plastiklik fonksiyonu G >0 sabitine eşittir: g

( )

2 G ≡

ξ . G

sabitine bazen sertlik katsayısı da denir. Esnek olmayan deformasyonlar durumunda ise (1.24) fonksiyonu doğrusallığını kaybeder. (Şekil 1.3)

(1.24) bağıntısı, bükülmeye maruz kalan malzemenin gerilim durumunu tanımlar. Gerçek malzemeler için const 0

d dT > ≥ ξ ve =

( )

ξ ξ 2 g T fonksiyonu dışbükeydir. (Hasanov 1995) 2 0 ξ

( )

ξ T 2 ξ Şekil 1.3. T=g

( )

ξ2 ξ fonksiyonu

( )

ξ = T

T fonksiyonunun yukarıda sıraladığımız özellikleri sonucu,

( )

2

g ξ fonksiyonu da aşağıdaki koşulları sağlar: (Kachanov 1974)

(1) c g

( )

2 c₁, 0 ≤ ξ ≤ (2) g

( )

2 2g'

( )

2 2, 2 [0, _M2], 0 ≤ ξ + ξ ξ ξ ∈ ξ γ (3) g

( )

0, [0, M2] 2 2 ' ξ ∈ ξ ≤ ξ , (4) [0, ] [0, 2]

( )

2 sabit. 0 2 2 2 0 ∈ ∀ ∈ = ∃

ξ

ξ

_M

ξ

ξ

g

ξ

Burada c_i,γ_i >0 birer sabitlerdir, ξ02 sabiti de malzemenin esneklik limiti olarak

(1)-(4) koşullarını sağlayan fonksiyonlar sınıfını G ile gösterelim. G C [0, M2]

1

ξ ⊂

olduğu açıktır. G kümesine ters problemler ve optimal kontrol teorisinde kabul edilebilir katsayılar kümesi denir. (Hasanov 1998, Hasanov ve Seyidmamedov 1998) Altı sabitlenmiş ve ekseni z ’ ye paralel olan çubuğun bükülmesini ele alalım. (Şekil 1.4)

y

z

x

M

Şekil 1.4. Altı sabitlenmiş ve ekseni z ’ye paralel olan çubuğun bükülmesi

Bir silindirik çubuğun bükülmesinin matematiksel modeli aşağıdaki denklemle ifade edilir: (Kachanov 1967, Payne ve Philippin 1977)

( )

( )

=− θ =

(

)

∈Ω      ∂ ∂ ξ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ξ ∂ ∂ ≡ 1 2 2 2 2 1 2 1 x , x x , 2 x u g x x u g x Au . (1.25) Burada 2 R ⊂

Ω çubuğun kesitidir, θ birim uzunluğun bükülme açısıdır, u

(

x1,x2

)

Prandtl’ın baskı (veya eğilme) fonksiyonudur ve

2 / 1 2 2 2 1 x u x u               ∂ ∂ +       ∂ ∂ = ξ gradyanı

baskı yoğunluğunu ifade eder.

( )

x =0, x∈∂Ω

u (1.26)

türdeş Dirichlet sınır koşulunun sağlanmasıdır.

Buradaki matematiksel model, θ bükülme açısının artan değerlerine bağlı olarak bir süreç içinde ele alınır. Bu modele literatürde “quazi-statik” model de denir. (Kachanov 1974) Böylece bükülmenin matematiksel modeli lineer olmayan (1.25) eliptik denklemi için (1.25)-(1.26) Dirichlet problemi ile ifade edilir. Bu modelin temel özelliği _{g =g}

( )

_T2 _{katsayısının u =u}

_{( )}

_{x çözümünün gradyanına bağlı}

olmasıdır.

1.3. Ters Katsayı Probleminin Tanımı

Eğer yukarıda tanımladığımız (1.25)-(1.26) problemini belirli bir kümeden olan çeşitli

( )

2

g

g= ξ fonksiyonları için ele alırsak, o halde bu problemin tek çözümü olan u

( )

x fonksiyonu da buna bağlı olarak değişecektir. Bu fonksiyonel bağımlılığı

(

x;g

)

u

u = olarak gösterelim. Buna karşılık gelen bükülme de

[ ]

g M

(

u

(

x;g

)

)

2 u

(

x;g

)

dx1dx2

M

∫∫

Ω

=

= (1.27)

olarak tanımlanır. (Bertola ve Cafaro 2003) Böylece, eğer malzeme belli ise, yani

( )

2

T g

g = fonksiyonu verilmiş ise, teorik olarak bükülme, (1.25)-(1.26) probleminin

(

x;g

)

u

u = çözümü üzerinden (1.27) formülü ile belirlenebilir.

Bükülmenin deneysel olarak verildiği durumlarda, malzemenin özelliğinin, yani,

( )

_T2

g

g = fonksiyonunun aranması problemine, çubuğun bükülmesi ile ilgili ters katsayı problemi denir. Matematiksel olarak bu problemi ifade etmek için, bükülmenin

(

*

)

*, θ

θ ∈

θ açısının herhangi bir değerine karşılık gelen deneysel değerini M ile gösterelim. G katsayılar kümesinden ∀g∈ G alalım. O halde

bükülmenin buna karşılık gelen ve (1.27) ile hesaplanan M

[ ]

g teorik değerini hesaplayarak, bunu M deneysel değeri ile karşılaştırmak gerekir.

Dolayısı ile M deneysel verisine dayalı ters katsayı problemi

[ ]

g =

M M,g∈_{G (1.28)}

operatör denklemi ile ifade edilir. Buradan, M

[ ]

g operatörünü (1.27)’ nin sağ tarafında verilmiş integral operatörü olduğunu dikkate alırsak, (1.28) soyut operatör denklemini

(

)

=

∫∫

Ω 2 1dx dx g ; x u 2 M (1.29)

lineer olmayan integral denklemi ile ifade edebiliriz. Burada u =u

(

x;g

)

fonksiyonu, (1.25)-(1.26) probleminin çözümüdür. Ters problem kavramı kapsamında, g G ∈ katsayısı verildiği durumda, (1.25)-(1.26) sınır değer problemine düz problem denir.

1.4. Düz Problemin Zayıf Çözümü ve Potansiyeli

(

)

(

)

F

(

x ,x

) (

, x ,x

)

, x u u g x x u u g x : Au 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 Ω ∈ =       ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ − = (1.30)

(

x1,x2

)

=0,

(

x1,x2

)

∈∂Ω u (1.31)

sınır-değer problemini ele alalım. Burada g G katsayısı ∈ u fonksiyonunun türevlerine bağlı olduğundan bu operatör lineer olmayan operatördür.

Aslında bizim ilgilendiğimiz problem (1.25)-(1.26) problemidir. Burada (1.30) denkleminin sağ tarafını genel olarak alıp zayıf çözümü ve potansiyeli tanımlayacağız. Bundan da yararlanarak çözümün varlığını ve tekliğini kanıtlayacağız.

Ω bölgesinde, (1.30) denklemini ve (1.31) sınır koşulunu sağlayan klasik çözüm

( )

Ω ∩C

( )

Ω C2

sınıfında tanımlanır. Burada ve ileride Ω=Ω∪S bölgesinin S sınırının sonlu sayıda pürüzsüz eğrilerden oluştuğu varsayılmaktadır.

Pratik problemlerin çözümünde klasik çözüm kavramı yetersiz kaldığından, (1.30)-(1.31) probleminin zayıf (genelleşmiş) çözümünü tanımlamamız gerekir. Bunun için (1.30) denkleminin her iki tarafını v∈H10

( )

Ω fonksiyonu ile çarpıp, Ω bölgesinde integralleyelim.

(

)

(

)

1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dx Fvdx dx vdx x u u g x x u u g x

∫∫

∫∫

Ω Ω =             ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ − . (1.32)

Bu eşitliğin sol tarafına Green formülünü uygularsak ve v

(

x1,x2

)

fonksiyonunun da

sınırda v

(

x1,x2

)

=0 koşulunu sağladığını varsayarsak, aşağıdaki özdeşliği elde ederiz:

(

u

)

u vdx dx : Fvdx dx , v H

( )

. g 1 0 2 1 2 1 2 Ω ∈ ∀ = ∇ ∇ ∇

∫∫

∫∫

Ω Ω (1.33)

Bu integral özdeşliği sağlayan her bir ∈ 1

( )

Ω

0

H

u fonksiyonuna (1.30)-(1.31) probleminin zayıf (genelleşmiş) çözümü denir.

Hem bu bölümde, hem de diğer bölümlerde sık kullanacağımız L2

( )

Ω ,

( )

Ω

1

H ve

( )

Ω

1 0

H , C10

( )

Ω uzaylarının tanımlarını verelim. (Rektorys 1977)

( )

( )

( )

      ∞ < ⊂ Ω ∈ = Ω

∫

Ω dx x u , R x : x u : L n 2 2

( )

( )

( )

( )

      = Ω ∈ ∂ ∂ Ω ∈ Ω ∈ = Ω ___ 2 i 2 1 n , 1 i , L x u , L u : x , x u : H

( )

Ω =

{

v∈H

( ) ( )

Ω :v x =0,x∈S

}

,S=∂Ω H1 1 0

( )

{

v C

( ) ( )

:v x 0,x S

}

C1 0 Ω = ∈ Ω = ∈

(1.32) denkleminde F= 2θ alınırsa ve (1.27) tanımı göz önünde bulundurulursa bükülme probleminin zayıf çözümü

(

u

)

u vdx dx : 2θ vdx dx θM

( )

v, v H

( )

Ω g 1 0 2 Ω 1 2 1 2 ∈ ∀ = = ∇ ∇ ∇

∫∫

∫∫

Ω (1.34) olarak tanımlanır.

Teorem 1.1. Eğer, u∈C2

( )

Ω ∩C

( )

Ω _{fonksiyonu (1.30)-(1.31) probleminin klasik} çözümü ise, aynı zamanda zayıf çözümüdür. Tersine, eğer, u∈H1₀

( )

Ω fonksiyonu, (1.30)-(1.31) probleminin zayıf çözümü ise ve ayrıca u∈C2

( )

Ω ∩C

( )

Ω _koşulunu sağlıyorsa bu fonksiyon aynı zamanda bu problemin klasik çözümüdür.

İspat. u∈C2

( )

Ω ∩C

( )

Ω

fonksiyonu (1.30)-(1.31) probleminin klasik çözümü olsun.

1 0

C v ∈

∀

( )

Ω fonksiyonu için (1.32) eşitliği sağlandığında (1.33) integral özdeşliği elde edilir. O halde (1.33) integral özdeşliğini sağlayan u fonksiyonu, zayıf çözümdür.

Tersine, u fonksiyonu (1.33) integral özdeşliğini sağlasın ve u∈C2

( )

Ω ∩C

( )

Ω olsun. (1.33) integral özdeşliğinin sol tarafına Green teoremini tersten uygularsak ve

( )

x 0,x S

u = ∈ olduğunu dikkate alırsak,

(

)

(

)

(

)

2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 dx vdx x u u g x x u u g x dx dx v u u g ×             ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ − = ∇ ∇ ∇

∫∫

∫∫

Ω Ω (1.35)

(

)

(

)

( )

Ω ∈ ∀ =             ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ −

∫∫

∫∫

Ω Ω 1 0 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 C v , dx Fvdx dx vdx x u u g x x u u g x (1.36)

olur. Buradan da, (1.30) denklemini elde ederiz. Sonuç olarak, 1 0

H

( )

Ω alt uzayında (1.33) ile tanımlı zayıf çözüm

(

u;u,v

) ( )

=lv, ∀v∈H1₀

( )

Ω

a (1.37)

denkleminde u∈H1₀

( )

Ω ’ yı bulma problemine denktir. Burada a

(

u;v,w

)

lineer olmayan fonksiyoneli ve l

( )

v lineer fonksiyoneli

(

)

(

)

1 2 2 dx dx w v u g w , v ; u a

∫∫

Ω ∇ ∇ ∇ = (1.38)

( )

v Fvdx₁dx₂ l

∫∫

Ω = (1.39)

olarak tanımlanır. Burada g G∈ 1

C

⊂ ve F∈L₂

( )

Ω . Aslında lineer eliptik operatörler için g ∈ durumunda da C u∈H10

( )

Ω zayıf çözümünün varlığı bilinmektedir. (Rektorys 1977) Fakat buradaki hedefimiz ters problem olduğu için, biz her zaman ∈g G olduğunu kabul edeceğiz. Ayrıca, ileride lineer olmayan eliptik operatörün lineerleştirilmesi sonucu elde edilen

{ }

u_n çözümler dizisinin (1.36) lineer olmayan probleminin çözümüne yakınsaması için g'

( )

ξ ≤0, ξ= ∇u2 koşulunun sağlanması gerekecektir. Bu da bir daha G_⊂C1

koşulunu gerektirir.

Şimdi ise operatörler ve fonksiyoneller için türev kavramı ele alınacaktır.

B Banach uzayında her yerde yoğun B1 lineer uzayında tanımlı lineer olmayan

* 1

1 B

B :

A → operatörünü ele alalım. Burada, * 1

Tanım1.1. Vainberg (1972) u ∈B₁ olsun. ∀v ∈B₁ için,

(

)

(

)

( )

VA

(

u,v

)

t u A tv u A lim tv u A dt d 0 t = − + = + → (1.40)

limiti var ise, VA

(

u,v

)

’ ye A

( )

u operatörünün u ∈B₁ noktasında ve v ∈B1

yönünde Gateaux varyasyonu veya Gateaux türevi denir.

(

u,v

)

VA Gateaux türevi v ∈B₁ elemanına göre türdeştir ama lineer değildir, yani

(

u, v

)

VA

(

u,v

)

, R

VA α =α α∈ ,

(

u,v1 v2

)

VA

(

u,v1

)

VA

(

u,v2

)

VA + ≠ + .

Eğer verilen u ∈B₁ için, VA

(

u,v

)

Gateaux türevi v ∈B₁ elemanına göre lineer ise, bu durum

(

u,v

)

DA

(

u,v

)

A'

( )

uv

(

A

( )

u,v

)

A'

(

u;v

)

VA = = = = şeklinde gösterilir.

( )

. '

A ’ ya A

( )

. operatörünün u ∈B1 noktasında ve v ∈B1 yönünde Gateaux türevi

denir.

Herhangi u ∈B₁ için A'

( )

. operatörü sınırlı ise bu operatör B₁ den B‘ ye sürekli operatör olarak genişletilebilir. Böylece A'

( )

. operatörü tüm B’ de tanımlanmış olur. Şimdi J

( )

u :B₁ →R fonksiyoneli için Gateaux türevinin tanımını verelim.

Tanım 1.2. ∀v ∈B₁ için

(

)

(

) ( )

VJ

(

u,v

)

t u J tv u J im l tv u J dt d 0 t 0 t = − + = + → = (1.41)

limiti var ve sonlu ise VJ

(

u,v

)

’ye J

( )

u fonksiyonelinin u ∈B₁ noktasında ve v ∈B₁ yönünde Gateaux varyasyonu veya Gateaux türevi denir.

Eğer verilen u ∈B1 için v ∈B1 elemanına göre VJ

(

u,v

)

lineer ise

(

u,v

)

DJ

(

u,v

)

J'

(

u,v

)

(

J

( )

u,v

)

J'

(

u;v

)

VJ = = = =

olarak gösterilir. J'

( )

. lineer fonksiyoneline J

( )

. fonksiyonelinin u ∈B₁ noktasındaki Gateaux türevi denir. u ∈B₁ için, J'

( )

. lineer fonksiyoneli sınırlı ise bu fonksiyonel süreklidir ve sürekli olarak, tüm B uzayına genişletilebilir. Bu genişletilmiş fonksiyonele, J

( )

u fonksiyonelinin u ∈B noktasındaki gradyanı denir ve

( )

u gradJ

( )

u,u B '

J = ∈ ile gösterilir.

Tanım 1.3. Zeidler (1990) ∀v ∈B için,

( )

u,v Au,v,u B J

grad = ∈ (1.42)

olacak şekilde bir _{A:B B}*

→ operatörü varsa, o halde J fonksiyoneline, A operatörünün potansiyeli, A operatörünede J fonksiyonelinin gradyanı denir. Bu durumda A operatörüne potansiyel operatör denir.

(

u;.,.

)

a fonksiyoneli H ×H Hilbert uzayı üzerinde tanımlanmış olan sınırlı, sürekli, simetrik ve pozitif tanımlı bilineer form ve A operatörü de a

(

u;v,h

)

lineer olmayan fonksiyoneline karşılık gelen güçlü monoton potansiyel operatör olsun. Bu durumda, (1.33)’ ün sol tarafını

(

u;u,v

)

,u,v H a v , Au = ∈ şeklinde gösterebiliriz.

Lemma 1.1. Hasanov (1998) (1.30) ile tanımlanmış A operatörünün potansiyeli

( )

( )

1 2 u 0 dx dx d g 2 1 u J 2

∫∫ ∫

Ω ∇         ξ ξ = (1.43)

olarak tanımlanan fonksiyonelidir.

İspat. Gerçekten de

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

0 t 2 1 2 0 t ₂ 2g u tv u tv vdx dx 1 dt d tv u J dt d = Ω =       ∇ + ∇ + ∇ = +

∫∫

olur. Parantez içindeki ifadenin t’ ye göre tek değişkenli fonksiyon gibi türevi alınıp, daha sonra t =0 yazılırsa

( )

(

)

1 2 2 dx vdx u u g v , u ' J

∫∫

Ω ∇ ∇ ∇ =

elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafının Au,v olduğunu dikkate alırsak,

( )

u ,v Au,v '

J = olduğunu görürüz. Bu ise lemmayı kanıtlar.

1.5. Ters Katsayı Problemi için yaklaşık çözümün varlığı

Önce ters problem için yaklaşık çözümün ( veya quazi-çözümün) tanımını verelim.

Tanım 1.4.

( )

=

∫∫

(

)

−M ∈G Ω g , dx dx g ; x u 2 g J 1 2 (1.44) fonksiyoneli için

( )

g~ =minJ

( )

g ,g∈G

J (1.45)

minimum probleminin çözümüne, ters katsayı probleminin yaklaşık çözümü veya quazi çözümü denir.

Bölüm 1.2’ de tanımladığımız G kabul edilebilir katsayılar sınıfını ele alalım. Tikhonov Lemmasına göre, monoton azalan ve düzgün sınırlı fonksiyonlar sınıfı _H 0

uzayında kompakttır. (1) ve (3) koşullarından dolayı G kabul edilebilir katsayılar sınıfı _{H uzayında kompakttır. Bu kümeyi} 0

[

*

]

* 0 0 H , G ⊂ ξ ξ ile gösterelim.

( )

{

}

0 2 m G g ξ ⊂ dizisi 0 H normunda

( )

0 2 0 G

g ξ ⊂ fonksiyonuna yakınsayan bir dizi olsun. Açıktır ki,

( )

2

0

g ξ limit fonksiyonu (2) koşulunu sağlamayabilir, yani

( )

2 0

g ξ limit fonksiyonu G ’ ye ait olmayabilir. (2) koşulunda g'

( )

2 0

≤ ξ ve ξ≤ξ_* olduğunu dikkate alırsak,

( )

2g'

( )

g

( )

2g'

( )

, 0 g 0 * 2 2 2 2 * 2 2 > ξ γ ≥ ξ ξ + ξ ≥ ξ ξ + ξ

eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlikte

( )

1 2

c

gξ ≤ olduğunu dikkate alırsak

( )

, 0 2 c ' g 0 2 * * 0 1 2 > ξ ξ γ − − ≥ ξ ≥ (1.46)

değerlendirmesini elde ederiz.

Bu da bize

{

( )

2

}

'

g ξ kümesinin düzgün sınırlılığını ifade eder. Ek koşul olarak,

( )

2

' g ξ fonksiyonunun monoton azalan olduğunu kabul edelim. Bu ek koşulla beraber

( )

{

_{g ξ'} 2

}

_kümesini

1

G ile gösterelim. G1 ⊂G, G kümesinin 1

[

]

* *

1 _,

H ξ ξ ’ da kompaktlığı, J

( )

g fonksiyonelinin sürekliliği, böylece de quazi çözümün varlığı Hasanov (1995) ve Hasanov (1997)’ de gösterilmiştir.

Bundan farklı olarak, ek koşulu kullanmadan (1.46) değerlendirmesinden yola çıkarak quazi çözümün varlığını kanıtlayalım.

Lemma1.2. Hasanov ve Erdem (2007) (2)-(3) koşulları sağlandığında

( )

2

g ξ fonksiyonu için aşağıdaki eşitsizlik doğrudur.

( )

( )

[

]

(

)

[

*

]

* 2 0 2 2 , , , ~ ~ ~ ~ g g ξ ξ− ξ ξ ξ−ξ ≥γ ξ−ξ ∀ξ ξ∈ ξ ξ

Lemma1.3. Hasanov ve Erdem (2007)

{

gn

( )

ξ2

}

∈G olsun. Bu takdirde

( )

{

}

(

( )

2

)

n 2 m g g ξ ⊂ ξ ∃ vardır ki

( ) ( )

[

*

]

* 2 2 m mlim→∞g ξ =gξ ,∀ξ∈ ξ ,ξ

sağlanır. Ayrıca g G∈ ’dir.

Teorem1.2. G kabul edilebilir katsayılar sınıfı ve

(

gm

( )

ξ2

)

⊂G kabul edilebilir katsayılar dizisi olsun. Düz problemin verilen kabul edilebilir katsayılar dizisine karşılık gelen çözümlerini ise u : u

(

x;g

)

H1

( )

,m 1,2,3...

0 m m = ∈ Ω = olarak gösterelim. Eğer g

( )

ξ2 →g

( )

ξ2 ,m→∞ m ise ∇

(

u−um

)

0 →0. Burada,

(

)

∈

( )

Ω 1 0 H g ; x u düz problemin

( )

2

g ξ limit fonksiyonuna karşılık gelen çözümüdür.

İspat. Zayıf çözüm kavramından bilindiği gibi u

(

x;g

) (

,u x;gm

)

zayıf çözümleri sırası

ile aşağıdaki integral özdeşlikleri sağlar:

(

)

∫∫

∫∫

Ω Ω θ = ∇ ∇ ∇ 1 2 1 2 2 dx vdx 2 dx vdx u u g ,

(

∇

)

∇ ∇ = θ

∫∫

∀ ∈

( )

Ω

∫∫

Ω Ω 1 0 2 1 2 1 m 2 m m u u vdx dx 2 vdx dx , v H g .

İlk integral özdeşlikte v=u_m −u, ikinci integral özdeşlikte ise v=u−u_m yazıp bu iki integral özdeşliği taraf tarafa toplarsak

(

u

)

u g

(

u

)

u]

(

u u

)

dx dx 0 g [ m 1 2 2 m 2 m m ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ − =

∫∫

Ω

integral özdeşliğini elde ederiz. Bu integral özdeşliğe

(

)

(

m

)

1 2 2 m u u u u dx dx g ∇ ∇ ∇ −

∫∫

Ω

terimini ekleyip çıkarırsak aşağıdaki integral özdeşliği elde ederiz:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

) (

)

[

g u g u

]

u

(

u u

)

dx dx . dx dx u u u u g u u g 2 1 m 2 2 m 2 1 m 2 m m 2 m m − ∇ ∇ ∇ − ∇ = = − ∇ ∇ ∇ − ∇ ∇

∫∫

∫∫

Ω Ω

Bu integral özdeşliğin sol tarafında Lemma1.2’ yi dikkate alırsak ve sağ tarafına Cauchy eşitsizliğini uygularsak

(

)

[

(

) (

)

]

2 1 2 1 2 2 2 m 0 m 0 u u g u g u u dx dx        ∇ ∇ − ∇ ≤ − ∇ γ

∫∫

Ω (1.47)

eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlikte integral içindeki ifadede (1) koşulunu dikkate alırsak, bu integral içindeki ifade için

(

) (

)

(

)

2 2 0 1 2 2 2 m u g u ] u c c u g [ ∇ − ∇ ∇ ≤ − ∇

değerlendirmesi elde edilir. Lebesque yakınsaklık teoremine göre (1.47) eşitsizliğinin sağ tarafı 0’ a gider. Böylece ispat tamamlanır.

G kabul edilebilir katsayılar kümesi C -normunda kompakt olduğundan dolayı, ters katsayı problemine quazi çözüm yaklaşımını uygulayabiliriz.

Teorem1.3. Ters katsayı probleminin G kabul edilebilir katsayılar kümesine en az bir quazi çözümü vardır.

İspat. (1) ile tanımlı J

( )

g fonksiyonelinin sürekli olduğunu gösterelim.

{

gm

( )

ξ2

}

⊂G kabul edilebilir katsayılar dizisi olsun. Bu taktirde ∃

{ } { }

gn ⊂ gm dizisi bulunabilir ki

∞ → → −g 0,n

gn _C olur. Teorem 1.2’ den ve Poincare eşitsizliğinden dolayı 1 H normunda u

(

x;g_n

)

→u

(

x;g

)

sağlanır.

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

[

u x;g u x;g

]

dx dx . 2 dx dx g ; x u 2 dx dx g ; x u 2 g J g J 2 1 n 2 1 2 1 n n

∫∫

∫∫

∫∫

Ω Ω Ω − ≤ ≤ − − − = − M M

Elde edilen eşitsizlikte n →∞ için limite geçilirse J

( )

g_n →J

( )

g sağlanır. G kabul edilebilir katsayılar kümesi C -normunda kompakt olduğundan ve J

( )

g fonksiyoneli sürekli olduğundan Weierstrass teoremine göre (1.45) minimum probleminin çözümü vardır. Böylece ters problemin yaklaşık (quazi) çözümünün varlığı ispatlandı.

1.6. Kare Bölgede Esnek Çubuğun Bükülmesi Problemi

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

   Ω ∂ ∈ = × = Ω ∈ = − − 2 1 2 1 2 1 x x x x x , x , 0 x , x u a , 0 a , 0 x , x , 2 u u _{1 1 2 2} (1.48)

problemini ele alalım.

Bu problem (1.25)-(1.26) lineer olmayan probleminin g

( )

T2 1, 1 = θ

≡ özel durumuna karşılık gelir. (1.27) ile verilen bükülmeyi,

∫ ∫

= a 0 a 0 2 1 2 1,x )dx dx x ( u 2 : M (1.49)

olarak hesaplamak için, (1.48) problemine değişkenlere ayırma yöntemini uygulayalım. (1.48) probleminde 2 1 2 1 2 1,x ) u(x ,x ) x x ( v = + (1.50) dönüşümünü yapıp bu problemi v(x₁,x₂) fonksiyonu için

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

         ∈ = ∈ = ∈ = ∈ = × ∈ = + , a , 0 x , a x , a v , a , 0 x , 0 x , 0 v , a , 0 x , x a , x v , a , 0 x , x 0 , x v , a , 0 a , 0 x , x , 0 v v 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x x x x11 2 2 (1.51)

olarak elde ederiz.

(1.51) probleminin çözümü Değişkenlere Ayırma yöntemi ile şöyle tanımlanır.

(

)

(

)

(

)

. a x n sinh a x n sin D a x a n sinh a x n sin C a x n sin a x n sinh B a x n sin a x a n sinh A x , x v 2 1 1 n n 2 1 1 n n 2 1 1 n n 2 1 1 n n 2 1       π       π +       π −       π +       π       π +       π       π − =

∑

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = (1.52) Burada, λ_n =asinh

( )

nπ ve v

(

x1,0

)

=f1

( ) (

x1 ,v x1,a

)

=f2

( ) (

x1 ,v 0,x2

)

=f3

( )

x2 ,

(

a,x2

)

f4

( )

x2 v = olmak üzere,

( )

( )

( )

( )

 ξ      πξ ξ λ = ξ       πξ ξ λ = ξ       πξ ξ λ = ξ       πξ ξ λ =

∫

∫

∫

∫

d a n sin f 2 D , d a n sin f 2 C , d a n sin f 2 B , d a n sin f 2 A a 0 4 n n a 0 3 n n a 0 2 n n a 0 1 n n (1.53)

olarak tanımlanır. Bu katsayılar aşağıdaki gibi bulunur:

( )

[

( )

]

( )

n

[

n

( )

1 2

( )

1 2

]

. sinh n a 2 D C , 1 1 n sinh n a 2 B , 0 A n n 2 2 3 3 2 n n n 2 n n + − − − π       π π − = = − −       π π − = = (1.54)

Bulduğumuz bu katsayıları (1.52) de yerine yazarsak,

(

)

( )

[

( )

]

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

a . x n sinh a x n sin n sinh n 2 1 2 1 n a 2 a x a n sinh a x n sin n sinh n 2 1 2 1 n a 2 a x n sin a x n sinh 1 1 n sinh n a 2 x , x v 2 1 n 1 3 3 n n 2 2 2 2 1 1 n 3 3 n n 2 2 2 2 1 1 n n 2 2 1       π       π         π π + − − − π − + +       π −       π         π π + − − − π − + +       π       π − −       π π − =

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = (1.55) çözümünü elde ederiz.

(1.55) çözümünün (1.51) problemindeki sınır koşullarını sağladığı gösterilebilir. Örneğin (1.55)’ te x₂ = yazılırsa elde edilen 0

( )

( )

(

)

_      π         π + − − − π −

∑

∞ = a x n sin n 2 1 2 1 n a 2 1 1 n 3 3 n n 2 2 2

serisi x fonksiyonunun 12

(

0,a

)

aralığında Fourier serisidir.

(

)

(

(

)

)

(

)

a . 3 2 dx dx x , x v 2 dx dx x x , x v 2 dx dx x , x u 2 M 4 a 0 a 0 2 1 2 1 a 0 2 1 a 0 2 1 2 1 a 0 a 0 2 1 2 1 − = − = =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(1.56)

(

)

( )

[

( )

]

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

2 1 n a 0 a 0 2 1 1 3 3 n n 2 2 2 a 0 a 0 2 2 1 1 1 n 3 3 n n 2 2 2 2 a 0 2 a 0 1 1 1 n n 2 a 0 a 0 2 1 2 1 dx a x n sinh dx a x n sin n sinh n 2 1 2 1 n a 2 dx a x a n sinh dx a x n sin n sinh n 2 1 2 1 n a 2 dx a x n sin dx a x n sinh 1 1 n sinh n a 2 dx dx x , x v

∑

∫

∫

∫

∫

∑

∫

∫

∑

∫ ∫

∞ = ∞ = ∞ =       π       π         π π + − − − π − +       π −       π ×         π π + − − − π − +       π       π × − −       π π − = (1.57)

olur. Burada gerekli integraller hesaplanıp yerine yazıldığında

(

)

( )

[

( )

]

[

( )

]

( )

[

]

( )

( )

(

)

( )

[

( )

]

[

( )

]

     − π π       − − π −         π π + − − − π − +       − − π − ×       − π π − −       π π − =

∑

∑

∫ ∫

∞ = ∞ = 1 n cosh n a 1 1 n a n sinh n 2 1 2 1 n a 2 2 1 1 n a 1 n cosh n a 1 1 n sinh n a 2 dx dx x , x v n 1 n 3 3 n n 2 2 2 n 1 n n 2 a 0 a 0 2 1 2 1 (1.58)

elde edilir. (1.58) ifadesini yeniden düzenleyerek şöyle yazalım:

(

)

[

( )

]

[

( )

]

( )

( )

( )

(

)

[

( )

]

(

(

)

)

( )

n . sinh n 1 n cosh 1 1 2 1 2 1 n a 4 n sinh n 1 1 1 n cosh a 2 dx dx x , x v 1 n 5 n n n 2 2 5 4 1 n 3 2 n 3 4 2 1 a 0 a 0 2 1

∑

∑

∫ ∫

∞ = ∞ = π − π − − + − − − π π + π − − − π π = (1.59)

Sağ taraftaki birinci serinin toplamını 3.8758, ikinci serinin toplamını ise 11.753 olarak MATLAB yardımı ile yaklaşık olarak buluruz. O halde (1.59) integrali

(

)

4 5 4 3 4 a 0 a 0 2 1 2 1 11.753 0.4036a a 4 8758 . 3 a 2 dx dx x , x v = π + π ≅

∫ ∫

olarak ve bükülme ise

(

)

4 4 a 0 a 0 2 1 2 1 a 0.1406a 3 2 dx dx x , x v 2 M=

∫ ∫

− ≅ (1.60)

olarak hesaplanır. Bükülmenin esnek malzemeler için elde edilen (1.60) formülü, Literatürde verilen Bertola ve Cafaro (2003) formülün aynısıdır. Fakat burada daha basit bir yöntemle elde edilmiştir.

Sonuç olarak kare bölgede tanımlanmış (1.48) problemi için bükülmeyi analitik olarak elde ettik. Bu bükülmeyi şimdi sayısal olarak hesaplayalım ve bağıl hatayı değerlendirelim. Bunun için önce iki katlı integral için yamuk formülünü yazalım:

(

)

(

u~ u~ u~ u~

)

. 4 h h dx dx x , x u 1 n 1 i 1 m 1 j 1 j , 1 i 1 j , i j , 1 i j , i a 0 a 0 x x 2 1 2 1 2 1

∑∑

∫ ∫

− = − = + + + + + + + ≅

(1.48) problemini sonlu farklar ile çözerek, u~i,j =uh

(

x

( ) ( )

i,y j

)

yaklaşık çözümü bulunabilir. Burada nve msırası ile x1ve x2 yönündeki nokta sayıları hx1 ve hx2

sırasıyla hx₁ =1/n,hx₂ =1/m olarak tanımlanan x1 vex2 yönündeki adımlardır.

Burada n=m=30 olarak alınmıştır, yani problem düzgün şebekede çözülmüştür.

Birim karede bükülme sayısal olarak hesaplandığında Mh =0.1403 bulunur. (1.60)’ da a =1 yazarak M =0.1406 olarak bulunur. Bağıl hata ise,

= × − = ξ 100% M M M h M 0.21%

Şimdi ise genel durumu ele alalım. Bunun için (1.48) denkleminde sağ tarafı θ>0 bükülme açısını da dikkate alarak θ2 alalım ve bu durum için bükülmeyi analitik olarak bu açı cinsinden elde edelim.

(

) (

) (

)

(

)

(

)

   Ω ∂ ∈ = ∈ α × ∈ θ = − − 2 1 2 1 2 1 x x x x x , x , 0 x , x u R , a , 0 a , 0 x , x , 2 u u _{1 1 2 2} (1.61) Burada, 2 1 2 1 2 1,x ) u(x ,x ) x x ( v = +θ (1.62)

dönüşümünü yapalım ve (1.61) problemini v(x₁,x₂) fonksiyonu için yazalım:

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

         ∈ θ = ∈ = ∈ θ = ∈ θ = × ∈ = + . a , 0 x , a x , a v , a , 0 x , 0 x , 0 v , a , 0 x , x a , x v , a , 0 x , x 0 , x v , a , 0 a , 0 x , x , 0 v v 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x x x x11 2 2 (1.63)

Yukarıdaki (1.51) probleminin çözümü için yaptığımız işlemleri (1.59) problemi için de tekrarlayıp (1.49)’ da (1.62) dönüşümünü göz önüne alırsak, bükülme

4 a 1406 . 0 M= θ (1.64)

olarak elde edilir.

Böylece, esnek malzemeler için bükülme ile bükülme açısı ve bükülen çubuğun kesitinin geometrisi arasında aşikar formül elde edildi. Bu formülün, klasik bir problemin Timoshenko ve Goodiyer (1970) çözümü olmanın dışında, ters problemlerin sayısal çözümünde bir test olarak yararlı olduğunu ileride göreceğiz.

BÖLÜM 2. LİNEER OLMAYAN DÜZ PROBLEMİN MONOTON OPERATÖRLER TEORİSİ KAPSAMINDA İNCELENMESİ 2.1. Yaklaşık Çözümün Tanımlanması ve Potansiyeller Dizisi

Öncelikle monoton operatörler ile ilgili bazı tanımları verelim.

Tanım 2.1. Zeidler (1990) U gerçel saylar üzerinde tanımlanmış Banach uzayı,

*

U ’da onun eşlenik uzayı olmak üzere

(i) Au−Av,u−v ≥0,∀u,v∈U ise *

U U :

A → operatörüne monoton operatör denir;

(ii) Au−Av,u−v >0,∀u,v∈U,u ≠v ise _{A:U→ U}* _{operatörüne kesin}

monoton operatör denir;

(iii) Au−Av,u−v ≥cu−v2,∀u,v∈U,u≠ v olacak şekilde ∃c >0 sayısı var

ise *

U U :

A → operatörüne güçlü monoton operatör denir;

(iv) Au−Av,u−v ≥g

(

u−v

)

u−v,∀u,v∈U olacak şekilde monoton artan ve

( )

=

( )

=+∞ ∞ → g t lim , 0 0 g t koşullarını sağlayan + + _{→ R} R : g fonksiyonu varsa, * U U :

A → operatörüne düzgün monoton operatör denir; (v) u →∞ olduğunda →∞ u u , Au oluyorsa _{A:U U}* → operatörüne koersiv operatör denir;

(vi) ∀u ∈U için Au,u ≥ koşulu sağlanıyorsa 0 A:U→U* operatörüne pozitif operatör denir;

(vii)∀u∈U,u ≠0 için Au,u > koşulu sağlanıyorsa, 0 _A:U→U* _{operatörüne}

kesin pozitif operatör denir;

(viii) ∀u ∈U için Au,u >cu 2 olacak şekilde ∃c >0 sayısı var ise *

U U :

A →

operatörüne güçlü pozitif operatör denir.

Monoton operatörün (i) ile verilen tanımı, aslında fonksiyonların monotonluk tanımının bir genelleşmesidir. Gerçekten de, f

( )

x :

[ ]

a,b →R fonksiyonu, monoton artan (azalan) ise,

2

1 x

x < ise f

( )

x₁ ≤f

( )

x₂

(

f

( )

x₁ ≥f

( )

x₂

)

, x₁,x₂∈

[ ]

a,b

koşulları sağlanır. Bu tanım,

( )

( )

(

f x₁ −f x₂

)(

x₁−x₂

)

≥0

olarak yeniden yazılabilir. Böylece bu son yazılan eşitsizlik, monoton operatörün tanımında verilen eşitsizliğe benzer.

Önerme 2.1. Zeidler (1990)

(i) A operatörü güçlü monoton ⇒ A operatörü düzgün monoton ⇒ A operatörü kesin monoton ⇒ A operatörü monoton.

(ii) A operatörü düzgün monoton ise koersivdir.

(iv) A operatörü kesin monotondur ⇔ A operatörü kesin pozitiftir.

(v) A operatörü güçlü monotondur ⇔ A operatörü güçlü pozitiftir.

Monoton operatörle monoton fonksiyon arasındaki ilişkiyi incelemek için u,v∈U olmak üzere,

( )

t A

(

u tv

)

,v ,t

[ ]

a,b v , u = + ∈ ϕ fonksiyonunu tanımlayalım.

Lemma 2.1. _A:U→U* _{operatörünün monoton olması için gerek ve yeter koşul,}

( )

t

v , u

ϕ reel değerli fonksiyonunun,

[ ]

0,1 aralığında monoton artan olmasıdır.

İspat. A operatörü monoton olsun. O halde, ∀t₁,t₂∈

[ ]

0,1 ve t >₂ t₁ için,

( )

( )

(

)

(

)

(

u t v

)

A

(

u t v

)

,u t v

(

u t v

)

0 A t t 1 v , v t u A v , v t u A t t 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v , u 2 v , u ≥ + − + + − + − = + − + = ϕ − ϕ

elde edilir. Böylece∀t >₂ t₁ için ϕu,v

( )

t2 ≥ϕu,v

( )

t1 olur.

Şimdi, ϕu,v

( )

t fonksiyonu monoton artan olsun. Buna göre ϕ

( )

1 −ϕ

( )

0 ≥0 sağlanır.

( )

t

v , u

ϕ fonksiyonunun tanımından yararlanılarak

( )

1 −ϕ

( )

0 = A

(

u+tv

)

,v − Au,v = Av,v ≥0 ϕ

eşitsizliği yazılabilir. Burada, v=w−u,w∈U alınırsa,

0 u w , Au Aw− − ≥

olur. w ∈U elemanı keyfi olduğundan, A operatörü monotondur.

Monoton operatörlü diferansiyel problemlerin çözümünde, bu operatörlerin kendilerinin oluşturduğu Au,v =a

(

u;u,v

)

lineer olmayan fonksiyoneli ve A operatörünün J

( )

u potansiyeli arasındaki ilişkiden oluşan eşitsizlik önemli rol oynar. Tanım 2.2. Hasanov (2000)

(

u;v,v

)

0.5a

(

u;u,u

) ( ) ( )

J v J u 0,u,v U a 5 . 0 − − + ≥ ∈ (2.1)

ise, A operatörü için ‘dışbükeylik prensibi’ sağlanır denir. Tanım 2.3. Hasanov (2000)

( )

u =J

( ) ( )

u −lu,u∈U

∏ (2.2)

fonksiyoneline, (1.30)-(1.31) lineer olmayan probleminin potansiyeli denir.

(1.30)-(1.31) lineer olmayan probleminin zayıf çözümü (1.37) problemi olarak yukarıda tanımlandı. Bu problemin yaklaşık çözümünü,

(

u ;u ,v

) ( )

lv, u,v H

( )

,n 1,2,3... a 1 0 n 1 n− = ∈ Ω = (2.3)

olarak tanımlayalım. Burada

(

)

(

_{( )}

)

_{( )}n 1 2 2 1 n n 1 n ;u ,v g u u vdx dx u a =

∫∫

∇ ∇ ∇ Ω − − fonksiyoneli

( )

Ω × 10

( )

Ω 1 0 H

H üzerinde tanımlanmış simetrik bilineer fonksiyoneldir ve ∈ 1

( )

Ω

0

0 H

u başlangıç iterasyonudur.

(2.3) iterasyon şeması (1.30) lineer olmayan diferansiyel denklemi için bir lineerleştirme olarak tanımlanır. (2.3) lineerleştirilmiş problemin potansiyeli

( )

u_n =0.5a

(

u_n1;u_n,u_n

) ( )

−lu_n ,n=1,2,3...

∏ ₋ (2.4)

olarak tanımlanır.

Lemma 2.2. Hasanov (2000) A monoton potansiyel operatörü için dışbükeylik prensibi sağlansın ve

{ }

un yaklaşık çözümler dizisi olsun. O halde, (2.4) ile

tanımlanan

{

∏

( )

u_n

}

sayısal dizisi monoton azalandır.

İspat. (2.1) eşitsizliğinde u yerine un−1, v yerine de u yazılırsa n

(

u ;u ,u

)

0.5a

(

u ;u ,u

) ( ) (

Ju J u

)

0 a 5 . 0 _n−_{1 n n} − _n−_{1 n}−_{1 n}−₁ − _n + _n−₁ ≥ (2.5) elde edilir. U

u_n−1∈ verilen bir fonksiyon a

(

u_n−1;.,.

)

ise simetrik ve bilineer form olduğu için, (2.3) lineerleştirilmiş probleminin çözümü aynı zamanda

(

u ;u ,u

) ( )

l u inf

{

0.5a

(

u ;v,v

) ( )

lv

}

,v U a

5 .

0 n−1 n n − n = n−1 − ∈ (2.6)

en küçük değer probleminin çözümüdür. Burada v ∈U keyfi olduğundan U u v= n−1∈ alınırsa

(

u ;u ,u

) (

lu

)

[

0.5a

(

u ;u ,u

) ( )

lu

]

0 a 5 . 0 n−1 n n − n−1 − n−1 n n − n ≥ (2.7)

olur. (2.5) ve (2.7) eşitsizlikleri taraf tarafa toplandığında,

(

u

) (

lu

)

[

J

( ) ( )

u lu

]

0

J _n−₁ − _n−₁ − _n − _n ≥ (2.8)

elde edilir. Buradan,

(

u

)

≥∏

( )

u ,n=1,2,3...

sonucuna varılır. Bu da

{

∏

( )

u_n

}

dizisinin monoton azalan olduğunu gösterir. Ayrıca,

( )

ξ

g fonksiyonunun sınırlı olduğu durumda (1.30)-(1.31) ile tanımlanmış lineer olmayan probleminin ∏

( )

u potansiyelinin alttan sınırlı olduğunu kanıtlayalım. Lemma 2.3. Eğer c1≥g

( )

ξ ≥c0 >0 ise o halde (1.30) ile tanımlanmış lineer olmayan problemin

( )

( )

1 2 1 2 u 0 dx dx Fu dx dx d g 2 1 u 2

∫∫

∫∫ ∫

Ω Ω ∇ −         ξ ξ = ∏ potansiyeli alttan sınırlıdır. İspat. Gerçekten

( )

1 2 1 2 2 0 u dx dx Fudx dx c 2 1 u

∫∫

∫∫

Ω Ω − ∇ ≥ ∏ .

Sağ tarafa Cauchy eşitsizliğini uygularsak

( )

≥ ∇ − ∀ ∈

( )

Ω ∏ _{0 0} 10 2 0 0 u F u , u H c 2 1 u

değerlendirmesi elde edilir. F∈L₂

( )

Ω olduğundan dolayı (bükülme probleminde θ

= 2

F ) bu eşitsizliğin sağ tarafı sonludur. Bu ise ∏

( )

u fonksiyonelinin alttan sınırlı olması anlamına gelir.

Lemma 2.2 ve Lemma 2.3’ ü birlikte (1.30)-(1.31) problemine uygularsak aşağıdaki sonucu elde ederiz.

Lemma 2.4. Bükülme problemi için, (2.4) olarak tanımlanmış

{

∏

( )

u_n

}

sayısal dizisi yakınsak dizidir.