Video frekans uygulamaları için A sınıfı logaritmik ortam eliptik süzgeç tasarımı

i

Anabilim Dalı : Elektrik-Elektronik Mühendisliği PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS Murat Dindar

OCAK 2013

VİDEO FREKANS UYGULAMALARI İÇİN A – SINIFI LOGARİTMİK ORTAM ELİPTİK SÜZGEÇ TASARIMI

iii ÖNSÖZ

Son yıllarda logaritmik ortam filtre devreleri analog filtre tasarımları içerisinde önemli bir yer teşkil etmektedir. Bu filtre yapıları geniş çalışma aralığı, elektronik olarak filtre bant genişliğinin ayarlanabilir olması, yüksek doğrusallık ve düşük güç tüketimi gibi özellikleriyle tasarımda avantaj sağlamaktadır.

Bu çalışmada logaritmik ortamda video frekans uygulamaları için eliptik filtre tasarımı yapılmıştır. Video frekans uygulamalarında filtrenin kullanılabilmesi için filtre derecesi 7 olarak belirlenmiştir. Filtre tasarımında izlenen yöntem olarak yüksek dereceden logaritmik ortam filtrelerinin sentezlenmesinde sağladığı önemli avantajlar nedeniyle E – cell pasif elemanların logaritmik ortam benzetim yöntemi seçilmiştir. Bu yöntem kullanılarak tasarlanan logaritmik ortam 7. dereceden eliptik filtre devresinin video frekans uygulamalarında kullanılabileceği devrenin pasif eşdeğerinin sonuçları incelendiğinde kabul edilmiş ve bu pasif modelin logaritmik ortam benzetimi yapılarak bu devrenin logaritmik ortama aktarılması sağlanmıştır. Tasarlanan devre Pspice benzetim ortamında gerçeklenerek, benzetim sonuçları elde edilmiş ve video frekans uygulamaları için uygunluğu kanıtlanmıştır.

Bu çalışmanın gerçekleşmesinde değerli zamanı, sahip olduğu tecrübeleri ve bilgileri esirgemeyen değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Ali KIRÇAY ’a ve tez danışmanım Doç. Dr. Erkan YÜCE’e, bilgi ve tecrübeleriyle bana ışık tutan değerli hocalarım Yrd. Doç. Dr. Selim BÖREKÇİ’e ve Doç. Dr. Selçuk HELHEL’e, değerli jüri üyesi hocalarım Doç. Dr. Aydın KIZILKAYA ‘a, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÖZEK’e, Yrd. Doç. Dr. M. Serhat KESERLİOĞLU’na, değerli meslektaşım ve dostum Ekrem KANDEMİR’e, bu süreçte benden desteğini esirgemeyen sevgili eşim ve meslektaşım Saniye DİNDAR’a ve beni bu günlere getiren aileme teşekkürü bir borç bilirim.

Yüksek lisans çalışmalarım boyunca 2210 YURT İÇİ YÜKSEK LİSANS BURS PROGRAM’ı kapsamında beni destekleyen TÜBİTAK’a teşekkür ederim.

Ocak 2013 Murat DİNDAR

iv İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ... xi SUMMARY ... xii 1. GİRİŞ ... 1 1.1 Tezin Amacı ... 1 1.2 Literatür Özeti ... 1 1.3 Tezin İçeriği ... 8

2. GENEL FİLTRE KAVRAMLARI VE TÜRLERİ ... 10

2.1 Filtre Tanımı ... 10

2.2 Filtre Türleri ve Temel Filtre Terimleri ... 11

2.2.1 Kararlılık ... 14

2.2.2 Nedensellik ... 15

2.2.3 Rasyonellik ... 15

2.3 Filtrelerin Özelliklerine Göre Sınıflandırılması ... 15

2.3.1 İşaret işleme yöntemlerine göre filtrelerin sınıflandırılması ... 15

2.3.2 Güç kaynağı sayısına göre filtrelerin sınıflandırılması ... 16

2.3.3 Temsil ettikleri işaret modlarına göre filtrelerin sınıflandırılması ... 16

2.3.4 Tasarımda kullanılan elemanlara göre filtrelerin sınıflandılıması ... 16

2.3.5 Sınıflarına göre filtrelerin sınıflandırılması ... 17

2.4 Filtre Yaklaşımları ... 19

2.4.1 Butterworth yaklaşımı ... 20

2.4.2 Chebyshev yaklaşımı ... 21

2.4.3 Ters Chebyshev yaklaşımı ... 22

2.4.4 Eliptik filtre yaklaşımı ... 23

3. LOGARİTMİK ORTAM DEVRELERİ VE TEMEL KAVRAMLAR ... 27

3.1 ELIN (Externally Linear Internally Nonlinear) Sistemler ... 27

3.2 Translineer Devreler ... 28

3.2.1 Statik translineer devreler ... 29

3.2.2 Dinamik translineer devreler ... 33

3.2.2.1 Kapasitörlü akım aynası... 35

3.2.2.2 Dinamik translineer integratör...36

3.3 Dinamik Translineer Devre Çeşitleri ... 37

3.3.1 Logaritmik ortam filtreleri ... 38

3.3.2 Sinh filtreleri ... 39

3.3.3 Tanh filtreleri ... 40

3.3.4 Dinamik voltaj – translineer devreleri ... 40

3.4 Translineer Elemanlar ... 42

3.4.1 Diyotlar ... 42

3.4.2 Bipolar juntion transistörler ... 42

3.4.3 MOSFET transistörler ... 43

3.5 Logaritmik Ortama Giriş ... 44

v

3.7 A – Sınıfı ve AB – Sınıfı Logaritmik Ortam Filtreleri ... 48

3.7.1 A – sınıfı logaritmik ortam filtreleri ... 48

3.7.2 AB – sınıfı logaritmik ortam filtreleri ... 49

3.8 Dinamik Giriş Aralığı ... 50

3.9 Genlik Uygunlaştırma Tekniği ... 51

3.9.1 Zarfsal genlik uygunlaştırma tekniği ... 53

3.9.2 Anlık genlik uygunlaştırma tekniği ... 54

3.10 Logaritmik Ortam Filtrelerinde İdeal Olmayan Eleman Davranışları ... 55

4. LOGARİTMİK ORTAM DEVRELERİ SENTEZ YÖNTEMLERİ...58

4.1 Logaritmik Ortam Devrelerinin Gerçeklenme Şartları ... 58

4.2 Logaritmik Ortam Devreleri Sentez Yöntemleri ... 61

4.2.1 Dinamik translineer sentez yöntemi ... 62

4.2.2 Durum – uzayı sentez yöntemi ... 64

4.2.3 Pasif elemanların logaritmik ortam benzetimi sentez yöntemi ... 66

3.2.2.1 Pasif elemanların logaritmik ortam eşdeğerlerinin elde edilmesi...69

5. VİDEO FREKANS UYGULAMALARI İÇİN A - SINIFI LOGARİTMİK ORTAM ELİPTİK SÜZGEÇ TASARIMI ...78

5.1 Video Filtresi Tasarım Kriterleri ... 78

5.2 Logaritmik Ortam Video Filtresinin Tasarımı ... 81

5.2.1 Devre tasarımı ve benzetim sonuçlarının elde edilmesi... 84

5.2.2 Benzetim sonuçlarının yorumlanması ... 88

6. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 93

6.1 Sonuçlar ... 93

6.2 Öneriler ... 94

KAYNAKLAR ... 95

vi KISALTMALAR

AC : Alternative Current

BJT : Bipolar Junction Transistor

CE : Common Emiter

DC : Direct Current

ELIN : Externally Linear Internally Nonlinear OTA : Operantional Transconductance Amplifier Op/Amp : Operantional Amplifier

MOSFET : Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor SNR : Signal – to – Noise ratio

vii

TABLO LİSTESİ

Tablolar

4.1 : E – cell bloklarının logaritmik ortam gösterimi, tek – girişli yapılar ... 70

4.2 : E – cell bloklarının logaritmik ortam gösterimi, çift – girişli yapılar. ... 71

5.1 : Pasif ve logaritmik devre eleman değerlerinin karşılaştırılması... 83

5.2 : 7. dereceden eliptik filtre devresine ilişkin benzetim sonuçları ... 88

5.3 : Logaritmik ortamda ideal olmayan parametreler ve bu parametrelere ilişkin hatalar ... 89

viii

ŞEKİL LİSTESİ Şekiller

2.1 : Genel filtre devresinin gösterimi ... 10

2.2 : Temel ideal filtre türlerinin frekans cevapları ... 11

2.3 : Alçak geçiren filtre cevabı, a) ideal b) yaklaşık ... 12

2.4 : Kararlı filtreye ait, a) Sıfır b) Kutup gösterimi ... 14

2.5 : a) Nedensel olmayan b) Nedensel olan sisteme ilişkin darbe cevabı ... 15

2.6 : a) Pasif gerilim modlu b) Aktif gerilim modlu filtreler ... 17

2.7 : a) Akım modlu pasif b) Akım modlu aktif filtreler ... 17

2.8 : a) A sınıfı b) B sınıfı c) AB sınıfı çıkış katı yükselteç devreleri ... 18

2.9 : a) A sınıfı b) B sınıfı c) AB sınıfı filtrelere ait transistör akımları dalga şekilleri ... 19

2.10 : Alçak geçiren filtre genlik cevabı ... 20

2.11 : Farklı derecedeki Butterworth filtrelerin genlik cevapları ... 21

2.12 : Chebyshev filtreye ait genlik cevabı... 22

2.13 : Ters Chebyshev filtreye ait genlik cevabı ... 22

2.14 : Genel eliptik filtre LC ladder devresi ... 24

2.15 : Alçak geçiren eliptik filtre genlik cevabı... 24

2.16 : Filtre tiplerinin karşılaştırılması ... 25

2.17 : Filtre tiplerinin gecikme zamanlarının karşılaştırılması ... 26

3.1 : ELIN devre yapısı ... 28

3.2 : Dört transistörlü translineer döngü yapısı... 30

3.3 : Dört translineer döngü içeren devre prensibi ... 32

3.4 : Dinamik translineer devre prensibi ... 33

3.5 : Kapasitörlü akım aynası ... 34

3.6 : Translineer bir integratör ... 37

3.7 : Temel logaritmik ortam filtresi ... 38

3.8 : Temel sinh filtresi ... 39

3.9 : Temel tanh filtresi ... 40

3.10 : Dinamik voltaj translineer devresi ... 41

3.11 : Translineer devre elemanları a) Diyot b) BJT c) MOSFET ... 42

3.12 : Transistör modeli a) Gerçek b) İdeal ... 43

3.13 : Birebir ve örten f(x) fonksiyonu ... 44

3.14 : Logaritmik ortam filtre yapısı ... 45

3.15 : Aktarım fonksiyonlarının sınıflandırılması ... 45

3.16 : Logaritma fonksiyonu grafiği ... 46

3.17 : A – sınıfı temel devre yapısı ... 48

3.18 : AB – sınıfı temel devre yapısı ... 49

3.19 : a) A – sınıfı çalışma yapısı b) AB – sınıfı çalışma yapısı ... 50

3.20 : Dinamik çalışma aralığı ... 50

3.21 : Genlik uygunlaştırma tekniği ... 51

3.22 : Dinamik çalışma aralığı a) Doğrusal sistem b) Uygunlaştırılmış sistem . 52 3.23 : Logaritmik ortamda genlik uygunlaştırma ... 53

ix

3.24 : Zarfsal uygunlaştırma kazanç fonksiyonları a) Giriş b) Çıkış ... 54

3.25 : Anlık uygunlaştırma kazanç fonksiyonları a) Giriş b) Çıkış ... 55

4.1 : Logaritmik ortam devre tasarım prensibi ... 62

4.2 : Translineer devre yapıları ... 64

4.3 : Lineer ortam pasif prototip filtre ... 67

4.4 : Pasif elemanların logaritmik ortama aktarımı ... 68

4.5 : Topraklanmış direnç logaritmik ortam gösterimi ... 72

4.6 : Yüzen direnç logaritmik ortam gösterimi ... 73

4.7 : E – cell indüktans ve kapasitör tasarımı için temel devre yapısı ... 74

4.8 : Topraklanmış indüktans logaritmik ortam gösterimi ... 76

4.9 : Yüzen indüktans logaritmik ortam gösterimi ... 76

4.10 : Topraklanmış kapasitör logaritmik ortam gösterimi ... 77

4.11 : Yüzen kapasitör logaritmik ortam gösterimi ... 77

5.1 : 7. dereceden pasif filtre yapısı ... 80

5.2 : Video filtresi uygulama gösterimi ... 81

5.3 : Topraklanmış direnç logaritmik ortam BJT gösterimi ... 82

5.4 : Yüzen indüktans logaritmik ortam BJT gösterimi ... 82

5.5 : Topraklanmış kapasitör logaritmik ortam BJT gösterimi ... 82

5.6 : Yüzen kapasitör logaritmik ortam BJT gösterimi ... 83

5.7 : Pasif, I0 = 25 µA, ideal (βf = 1000) ve AT&T CBIC – R BJT’ler kullanılarak tasarlanan 7. dereceden eliptik alçak geçiren filtre frekans cevabı ... 85

5.8 : E-cell bloklarıyla tasarlanan 7. dereceden eliptik filtrenin blok gösterimi . 86 5.9 : 7.dereceden logaritmik ortam A – sınıfı eliptik filtre devre şeması ... 87

5.10 : Maksimum 0.119 dB geçişbandı ripple grafiği ... 90

5.11 : Tasarlanan eliptik filtrenin frekans ayarlanabilme karakteristiği ... 91

5.12 : Girişe uygulanan basamak işareti ... 92

x

SEMBOL LİSTE H(s) Transfer fonksiyonu

β İleri yön akım kazancı ω Açısal frekans

ω0 Kutup frekansı

VT Yarı iletken malzemenin sıcaklığa bağlı gerilimi

K Boltzmann sabiti 1.3806568x10-23 JK-1 T Derece Kelvin

Is Diyotun ve transistorün sızıntı akımı

Io Diyotun ve transistorün sızıntı akımı

IDS MOSFET Drain – source akımı

VBE BJT base – emitter gerilimi

Vth MOSFET öngerilimi

VGS MOSFET gate – source gerilimi

VAF İleri early gerilimi

VAR Geri early gerilimi

RE BJT parasitik emitter direnci

RB BJT parasitik base direnci

gm Geçiş iletkenliği

xi ÖZET

VİDEO FREKANS UYGULAMALARI İÇİN A – SINIFI LOGARİTMİK ORTAM ELİPTİK SÜZGEÇ TASARIMI

Logaritmik ortam filtreleri literatürde akım modlu ELIN filtreler olarak da bilinmektedir. Genel olarak logaritmik ortam filtre tasarımda trasistörlerin kollektör akımı ve base – emiter gerilimi arasındaki üssel ilişkiden yararlanılmaktadır.

Bu çalışmada logaritmik ortamda A – sınıfında video frekans uygulamaları için eliptik filtre tasarımının gerçekleştirilmesi hedeflenmiştir. Video frekans uygulamalarında kullanılmak üzere ITU BT 601 standartları hedeflenerek filtre tipi eliptik filtre ve derecesi de 7 olarak belirlenmiştir. 7. dereceden eliptik filtrenin logaritmik ortamda A – sınıfında gerçekleştirilebilmesi için bazı şartların yerine getirilmesi gerekmektedir. Bu şartlardan en belirleyici olanı logaritmik ortamda akım ve gerilim değerlerinin daima pozitif seviyede kalması gerektiğidir. Böyle bir şartı 7. derece gibi eliptik yaklaşıma sahip bir filtre için A – sınıfında sağlamak kolay değildir. Bu sebepten dolayı bu şartı sağlayan pasif elemanların logaritmik ortam eşdeğeri olan A – sınıfı logaritmik ortam blok yapıları kullanılarak filtre sentezi yapılmıştır. Bu yöntemle istenen özellikleri sağlayan pasif filtre devresi logaritmik ortama aktarılmıştır.

Tasarlanan devreye ilişkin benzetim sonuçları Pspice benzetim programı yardımıyla elde edilmiş ve karşılaştırılmalı olarak verilmiştir. Bu çalışmanın gelecekte gerçekleştirilecek olan video frekans uygulamaları ve logaritmik ortam filtre devreleri konusundaki çalışmalara ışık tutabilmesi ümit edilmektedir.

Anahtar Kelimeler: Logaritmik ortam devreleri, Video frekansı uygulamaları, Eliptik süzgeç, ELIN filtreleri, A – sınıfı filtre devreleri

xii

SUMMARY

CLASS – A LOG DOMAIN ELLIPTIC FILTER DESIGN FOR VIDEO FREQUENCY APPLICATIONS

Log domain filters are known as current mode ELIN filters as well. Generally, the exponantional relationship of BJT between collector current and base – emiter voltage is used to design the log domain filters.

In this work, class – A log domain filter design is desired for video frequency applications. The specifications for video frequency applications was determined by using ITU BT 601 standarts and the type of the filter was determined as elliptic filter, the order of the filter to be designed was chosen as 7. The conditions for 7th order elliptic filter in log domain should be implemented. The most deterministic one of those conditions is that currents and voltages should always be positive in log domain. It is not easy to implement that kind of condition for high order filters as 7th order elliptic one. Therefore, the simulating topology of passive prototypes to log domain by using E – cells method was chosen in order to design the metioned filter. By using that method, the passive filter could be easily transfer to the log domain. Simulation results associated with the designed circuit were obtained by means of Pspice simulation program and the results were exhibited for comparison purposes. It is expected that this work would be lead for future studies about the video frequency applications and log domain filters.

Key Words: Log domain circuits, Video frequency applications, Elliptic filters, ELIN filters, Class – A filter circuit

1 1. _GİRİŞ

1.1 _{Tezin Amacı}

Bu çalışmada video frekans uygulamaları için logaritmik ortam A – sınıfı eliptik filtre tasarımının gerçekleştirilmesi amaçlanmıştır. İstenen tipteki filtre yapısının literatürde bulunan örnekleri incelenmiş ve logaritmik ortam filtre sentez yöntemleriyle video frekans uygulamaları için uygun tasarım gerçekleştirilmiştir. Video frekans uygulamalarında kullanılacak alçak geçiren filtre tiplerinde ki bunlara literatürde anti – aliasing filtreler de denmektedir; ITU BT 601 standartları doğrultusunda düşük geçiş bandı salınımı, zayıflama bandı aralığı, filtrenin keskinliği gibi parametrelerin sağlanabilmesi için filtre tipi eliptik filtre ve derecesi de 7 olarak belirlenmiştir.

Literatürdeki logaritmik ortam devre sentez yöntemleri incelendiğinde karşımıza pek çok yöntem çıkmaktadır. Ancak gerek yüksek dereceden filtrelerin tasarımında sağladığı kolaylık gerekse diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında sunduğu avantajlar ve dezavantajlar göz önüne alınıp tüm bu sentez yöntemleri değerlendirildiğinde, pasif elemanların exponansiyel hücrelerle (E – Cell) benzetimi yöntemi bu çalışmanın gerçekleştirilmesinde tercih edilmiştir. Bu yöntem, filtre transfer fonksiyonundan pasif prototipi elde edilen filtrenin exponansiyel hücrelerle pasif elemanlarının (R, L, C) benzetimi sağlanarak logaritmik ortamda gerçeklenmesine olanak tanımaktadır. Tasarımı gerçekleştirilen filtrenin Pspice benzetim programında benzetim sonuçları elde edilmiş ve bu sonuçlar doğrultusunda video frekans uygulamaları için filtrenin uygulanabilirliği kanıtlanmıştır.

1.2 Literatür Özeti

Filtreler elektrik, elektronik ve haberleşme sistemlerinde önemli bir yere sahiptirler. Filtreler bir giriş sinyalinin genliğini ve fazını işleyerek istenilen özellikte çıkış işareti elde etmek için tasarlanırlar.

2

Analog filtreler filtre ailesinin önemli bir üyesidir. Veri iletişim cihazlarından tutun da ev eğlence sistemlerine kadar hemen hemen her yerde analog filtre yapılarıyla karşılaşılabilir. Filtre tasarım alanında yaşanan gelişmelerle birlikte analog filtreler akım modlu filtreler ve logaritmik ortam filtreleri gibi çeşitli filtre tiplerinde tasarlanabilir.

Filtre teorisinin temelleri ilk kez 1915 yılında Amerika’da Cambell, Almanya’da Wagner tarafından birbirlerinden bağımsız olarak elektrik dalga filtresinin bulunmasıyla atılmıştır (Johnson, 1976). Filtre teorisi iki ana kola ayrılır: Klasik filtre teorisi ve modern filtre teorisi. Klasik filtre teorisi 1920’li yıllarda Cambell, Zobel ve diğerleri tarafından geliştirilmiştir. 1930’lu yıllarda Cauer, Darlington ve diğerleri klasik filtre teorisine göre daha genel ve daha iyi sonuçlar veren modern filtre teorisini geliştirmişlerdir (Johnson, 1976).

Gerçekleşen bu ilk filtrelerin tümü pasif devre elemanları yani direnç, kondansatör ve bobin kullanılarak tasarlanmışlardır. Ancak bu devrelerin yüksek frekans değerlerinde iyi çalışmalarına rağmen, daha düşük frekanslarda (yaklaşık 1KHz’in altı) boyutu büyük ve pahalı olan yüksek kalitede bobin kullanılması gerektiğinden gerçeklenmesinin pratik uygulamalarda zor olduğu görülmüştür (Sedra ve Smith, 1998).

Bunun yanında pasif elemanlar kullanılarak tasarlanan filtrelerin elektronik olarak kolay ayarlanamamaları ve sıcaklık gibi değişkenlerden güçlü bir şekilde etkilenmeleri de bu tür filtre devreleri için bir eksiklik olarak görülmüş ve bu durum araştırmacıları başka tasarım arayışlarına yönlendirmiştir (Baki, 2001).

Tüm bu sorunları aşmak için ortaya konmuş olan aktif filtreler; direnç, kondansatör ve aktif devre elemanları kullanılarak gerçeklenmektedir. Aktif filtrelerin pasif filtrelere göre bazı üstünlükleri şu şekilde sıralanabilir: Boyut ve ağırlıkta azalma, devre güvenilirliğinde artış, düşük maliyet, performans artışı, parazitlerde azalma, daha basit tasarım, daha geniş bir transfer fonksiyonu kümesini gerçeklemek ve birden büyük gerilim kazancı elde edebilmektir.

Aktif filtre teorisinin ortaya çıkmasından sonra 1930 – 1950 yılları arasında aktif devre elemanları ve fabrikasyon teknolojisinde de önemli gelişmeler olduğu görülmüştür.

3

Bu duruma 1947 yılı sonunda Bell laboratuvarlarında transistörün icat edilmesi ve bu yıllarda bilgisayarların geliştirilmiş olması örnek olarak gösterilebilir.

1960 yılında op-amp entegresinin ortaya konulması aktif filtre devreleri konusundaki gelişmelere hız kazandırmıştır.

Entegre devre teknolojisi ve fabrikasyon konusundaki gelişmelerin de ışığı altında 1970 yılı ortalarında aktif devre elemanları kullanılarak, entegre edilebilir, analog, sürekli zamanlı filtreler ortaya çıkmıştır.

Elektronik alanda yaşanan tüm bu gelişmeler analog filtrelerin popülerliğini arttırmıştır. Bu gelişmelerle birlikte son yıllarda logaritmik ortam filtreleri analog filtre ailesine katılmış ve bu filtreler ile ilgili çalışmalar yoğunlaşmıştır. Literatürde translineer filtreler, companding filtreler, akım – modlu filtreler, externally linear internally nonlinear (ELIN) veya exponansiyel state – space filtreleri olarak da bilinen logaritmik ortam filtreleri esas olarak düşük güç, düşük voltaj, yüksek dinamik çalışma aralığı, yüksek frekans uygulamaları ve elektronik açıdan bant genişliklerinin ayarlanabilir olması gibi özelliklerinden dolayı ilgi çekmektedirler. Logaritmik ortam filtrelerinin diğer filtre uygulamalarıyla karşılaştırıldıklarında bazı avantajları vardır; bu tür filtre yapılarında uygulanan filtre sadece transistör ve kapasitör elemanları kullanılarak gerçeklenmektedir. Ana fikir BJT veya MOSFET’in subthreshold bölgede çalıştırılmasıyla sağlanan I – V karakteristiğine dayanır. Logaritmik ortam filtreleri orijinal olarak Adams tarafından 1979 yılında tanıtılmıştır (Adams, 1979). “Logaritmik Ortam Filtreleri” terimi de onun tarafından kazandırılmıştır. Adams’ın çalışmasında tasarladığı ilk logaritmik ortam filtresi, ileri yönde biaslanmış diyotlarla gerçeklenmiş log ve anti – log blokları bulunan bir alçak geçiren filtredir. Ana yapıyla ilgili olarak, companding yapıyı kullanma fikri de Tsividis tarafından 1990’da gerçekleştirilmiştir (Tsividis, 1990). Aynı zamanda Seevinck’de bağımsız olarak logaritmik ortam filtre yapısını, akım – modlu companing yapı olarak tanımlayarak keşfetmiştir (Seevinck, 1990). Bu alanda önemli ve dönüm noktası olacak yıl 1993’tür, çünkü Frey logaritmik ortam filtre sentezinin durum – uzayı yöntemiyle gerçekleştirilebileceğini çalışmasında göstermiştir. Durum – uzayı yönteminde, BJT’nin exponansiyel I – V karakteristiği direkt olarak logaritmik ortam filtrelerini gerçeklemek amacıyla durum – uzayı lineer diferansiyel denklemlerinden eşleme yapılarak kullanılabilmektedir.

4

Bu çalışmasında Frey sistematik olarak durum – uzayı sentez yönteminin logaritmik ortam filtrelerinin tasarlanmasında kullanabileceğini ortaya koymuştur (Frey, 1993a; Frey, 1996a).

Bu çalışmadan sonra diğer birçok araştırmacı bu devre yapıları ile ilgilenmeye başlamıştır. Toumazou çalışmasında düşük enerji operasyonu için potansiyeli zayıf tersleme bölgesinde MOSFET transistörü çalıştırarak göstermiştir (Ngarmil ve diğ.,1995). İlk deneysel sonuçlar Perry ve Roberts tarafından yayınlanmıştır (Perry ve Roberts, 1995).

Logaritmik ortam devrelerine ilişkin literatür çalışmaları incelendiğinde, MOSFET transistörün subthreshold bölgedeki çalışmasıyla elde edilen devreye ait deneysel sonuçlar Ngammil tarafından verilmiştir (Ngammil, Toumazou ve Lange, 1995), Punzenberger ve Enz (1995), düşük voltajlı uygulamalar için logaritmik ortam devrelerinin uygun olduklarını ve 1.2 V beslemeli 65 dB ‘de AB – sınıfı devre yapısının çalışmasını ve özelliklerini göstermişlerdir (Punzenberger ve Enz, 1997a). Logaritmik ortam filtrelerinin yüksek frekanslarda (Yüzlerce MHz’den GHz’e kadar) programlanabildiğine ilişkin birçok tasarımda literatürde bulunmaktadır (Frey, 1996b; Frey 1997; El – Gamal, Baki ve Bar – Dor, 2000).

Frey’in logaritmik ortam devre sentezi için geliştirdiği durum – uzayı sentez yönteminin yanında logaritmik ortam filtre sentezinde kullanılan birçok yöntem bulunmaktadır. Son yıllarda yüksek dereceden filtre tasarımı için sağladığı avantajlar göz önüne alındığında alternatif bir tasarım yöntemi olan pasif elemanların logaritmik ortam benzetimi de logaritmik ortam filtre tasarımında kullanılmaya başlanmıştır. Bunun yanında farklı birçok sentez yöntemi araştırmacılar tarafından sunulmuştur (Frey, 1996b; El – Gamal ve Roberts 1997; Mulder, 1998). Genel tasarım yöntemi Mulder ve arkadaşları tarafından, “Translineer Filtre” terimi de kazandırılarak yayınlanmıştır (Mulder, 1998; Mulder ve diğ., 1997). Translineer devreler BJT ve MOSFET transistörün zayıf evirtim bölgesindeki karakteristiklerinde, akım ve voltaj arasındaki exponansiyel ilişkiyi baz almaktadır. İlk translineer devreler, bir akım yükseltici ve çarpıcı ile Gilbert tarafından 1968 yılında tasarlanmıştır (Gilbert, 1968a; Gilbert, 1968b). Gilbert aynı zamanda translineer devre prensibini için bir formülasyon geliştirmiştir (Gilbert, 1975).

5

Translineer devreler kullanılarak birçok uygulama araştırmacılar tarafından yapılmıştır. Bu uygulamalar osilatörleri (Pookaiyaudom ve Mahattanakul (1995)); (Serdijn, Mulder, Van der Woerd ve Van Roermund (1998)), RMS – DC çeviricileri (Mulder, Van der Woerd, Serdijn ve Van Roermund (1996a); Frey (1996c)), mixer - filtre kombinasyonlarını (Frey (1996b); Payne ve Thanachayanont (1997)) ve faz kilit döngülerini (Thananchayanont, Payne ve Pookaiyaudom (1997)) içermektedir. Güçlü evirtimli MOSFET yapısına dair genel bir yöntem Mulder ve diğ. (1996b) tarafından aynı zamanda bağımsız olarak Payne ve Toumazou (1996) tarafından tasarlanmıştır. Aynı zamanda birçok araştırmacı gürültü analizi alanında yarar sağlayan çalışmalar sunmuşlardır (Tsividis, 1997; Serdijn ve diğ. 1997; Punzerberger ve diğ. 1997b; Mulder ve diğ. 1998; Mulder ve diğ. 2000).

Sadece pasif elemanların R, L ve C elamanlarının kullanıldığı filtreler pasif filtreleri oluşturmaktadır. Şayet Op/Amps, OTAs gibi aktif elemanlarla tasarlanan filtre yapıları aktif filtre sınıfını oluşturmaktadır. Bu amaç doğrultusunda translineer filtreler aktif filtrelerdir (Tola, 1999). Translineer filtre tipleri içerisinde logaritmik ortam filtreleri genel olarak analog filtrelerin önemli sınıflarından olan ve günümüzde mikro elektronik sistemlerde kullanılan sürekli – zamanlı filtre ailesinin bir parçası olarak düşünülebilirler. Logaritmik ortam devreleri lineer transfer fonksiyonlarını BJT’nin lineer olmayan karakteristiği ile gerçekleyen akım – modlu devrelerdir. Akım modlu devreler potansiyel avantajları göz önüne alındıklarında son yıllarda yüksek bant genişliği, yüksek çalışma aralığı, düşük voltajda çalışmaları, basit devre yapıları ve düşük güç tüketimleriyle dikkat çekmektedirler.

Akım yapısındaki matematiksel ifadeler gerilim terimlerine sahip ifadelere nazaran çok daha kolay şekilde düzenlenebilirler. Bu sayede transfer fonksiyonları göz önüne alındığında akım – modlu devrelerin analiz ve sentezleri gerilim – modlu devrelere göre daha kolaydır. Bu sebepledir ki, entegre akım modlu sistem gerçeklemeleri geleneksel gerilim – modlu gerçeklemelerden transistör seviyesine daha yakındır; böylece akım – modlu devre yapıları ile daha kolay devre ve sistemler ortaya çıkarılabilmektedir (Kılınç, 2006). Ayrıca gerilim – modlu devrelerde yüksek değerli dirençler bant genişliğini sınırlamaktadır. Genelde, akım – modlu devrelerde düğüm empedansları ve voltaj dalgalanmaları küçüktür. Böylece devrenin zaman sabiti küçülür ve bu sebeple parasitik kapasiteler için dolma ve boşalma süreleri düşük olur.

6

Bu sebeptendir ki akım – modlu devreler için slew oranı temin edici ölçüde yüksektir. Yüksek frekansta çalışmaya elverişli olduklarından iletişim uygulamalarında sıklıkla kullanılmaktadırlar (Kılınç, 2006). Akım – modlu devrelerde düğüm gerilimleri düşük olduğundan düşük voltajda çalışırlar. Tüm bu önemli meziyetleri düşünüldüğünde analog devre tasarımlarında düşük voltaj ve yüksek frekans istenilen uygulamalarda akım – modlu devreler tercih edilmektedir. Akım – modlu devrelerin tüm bu önemli özelliklerine rağmen gerilim – modlu devrelerin de avantajları vardır. En başta devrelerin pratik olarak yapılabilmesi ve güvenilirliği bu üstün özelliklerden sayılabilir. Bundan dolayıdır ki, birçok sistem akım sinyallerinden çok gerilim sinyalleri ile kullanılır. Bu yüzden, akım – modlu devreler popüler olmasına rağmen hala gerilim – modlu devre yaklaşımı dikkat çekmektedir (Kılınç, 2006).

Logaritmik ortam devrelerinin basit yapısı, hızlı olmaları ve düşük güç tüketiminde çalışmaları gibi özellikleri onları devre tasarımında ön plana çıkarmaktadır (Roberts ve Leung, 2001). Uygulamalarda filtre değişkenlerinde çalışma aralığı gerekmektedir. Bu aralık ne kadar yüksekse filtre o derece geniş aralıkta çalışıyor demektir. Analog devrelerde kapasitör alanının ve güç tüketiminin artması orantısal olarak çalışma aralığını ters yönde etkilenmektedir. Çalışma aralığı üzerinde güç tüketiminin bağımsız olma özelliğine ek olarak, entegre aktif filtrelerin tasarımında entegre devre yapılarının küçülmesine olanak sağlayan teknolojilerle birlikte düşük gerilimli voltaj kaynaklarının kullanılabilir olması da devre yapısını küçülteceğinden önemli bir avantaj sunmaktadır. Ayrıca düşük gerilimle çalışma devrenin güç tüketimini de düşürecektir.

Tüm bu özellikleri dikkate alındığında akım – modlu devreler ve logaritmik ortam filtre tasarım teknikleri kullanarak tasarlanan devrelerde birim başına güç tüketimi düşürülür ve filtre daha yüksek çalışma aralığına ulaşabilir. Çalışma aralığının yüksek olması logaritmik ortam filtre yapısının karakteristiğinden kaynaklanmaktadır. Logaritmik ortam filtrelerinde sinyal sıkıştırılır ve filtre çekirdeğinde işlendikten sonra genişletilir bu da sinyalin düşük güç ve voltajda işlenip tekrar lineer ortama aktarılması ile sağlanmaktadır. Bu özelliğiyle logaritmik ortam filtreleri ELIN, kendi içinde doğrusal olmayan ancak genel yapı olarak doğrusallığını koruyan, filtreler olarak da bilinmektedir.

7

Dinamik çalışma aralığındaki artış da bu sıkıştırma ve genişletme işlemlerinde kaynaklanmaktadır (Krishnapura, 2000).

Logaritmik ortam filtrelerinin bir diğer önemli özelliği de devrede bulunan transistör bias akım kaynaklarının değerleri değiştirilerek devrenin bant genişliğinin elektronik olarak ayarlanabilmesidir.

Logaritmik ortam filtrelerinin en önemli özelliği transistörlerin lineer olmayan özelliklerini doğrudan kullanmalarıdır. Ancak transistör seviyesinde oluşan lineer olmayan etkiler (BJT’nin base akımı, sonlu beta değeri, sıfır olmayan jonksiyon direnci, early voltajı gibi) logaritmik ortamda beklenmedik devre cevaplarına yol açmakta ve devrenin frekans cevabını etkilemektedir.

Logaritmik ortam filtreleri üzerine A – sınıfı ve AB – sınıfı olmak üzere birçok çalışma yapılmıştır. A – sınıfında Frey (1996) tarafından sunulan A – sınıfı logaritmik ortam filtre tasarımını içeren çalışma bu konudaki önemli çalışmalardandır. Son yıllarda logaritmik ortam filtrelerinde AB – sınıfında yapılan çalışmalar ön plana çıkmıştır. Bunlardan en önemlileri, Kırçay ve Çam (2008) tarafından yapılan diferansiyel tip logaritmik ortam bant durduran filtre yapısıdır. Ayrıca Frey ve Tola (1999) tarafından AB – sınıfı logaritmik ortam filtrelerinin sentez metodunun sistematik olarak verildiği çalışmada da bu konudaki önemli çalışmalardan biri olarak gösterilebilir.

Bunun yanında, logaritmik ortamda özellikle yüksek dereceli filtrelerin gerçeklenmesinde büyük kolaylık sağlayan çeşitli yöntemlerde araştırmacılar tarafından ortaya koyulmuştur. Feştila ve diğ. (2007) tarafından gerçekleştirilen çalışmada lineer ortam elemanlarının lineer – olmayan logaritmik ortam elemanlarına transformasyonu ile logaritmik ortam devrelerinin tasarımı gerçekleştirilmiştir. Bu konuda bir diğer önemli çalışmada da Psychanolis ve Vlassis (2002) tarafından logaritmik ortamda eliptik filtre devresinin sinyal akış diyagramı yöntemiyle (SFG) tasarımı gerçekleştirilmiştir. Bir diğer sentez yöntemi olan ve bu çalışmada da kullanılan pasif elemanların exponansiyel hücreler (E – Cells) yardımıyla benzetimi ile de Kontogiannapoulos ve Psychanolis (2005) tarafından literatüre kazandırılan birçok çalışma bulunmaktadır. Bu yöntem, yüksek dereceden logaritmik ortam filtre tasarımına getirdiği üstünlük sebebiyle bu çalışmada sentez yöntemi olarak tercih edilmiştir.

8

Ayrıca Gm – C devre bloklarına dayalı logaritmik ortam filtre sentez yöntemleri de

geliştirilmiştir (Mahattanakul ve Toumazou, 1997).

Bunun yanında dalga değişkenlerini kullanarak (Wave Active Filters, WAF) her pasif elemanın tanımlanan dalga değişkenleri yardımıyla logaritmik ortam eşdeğerinin elde edilmesi ve bu eşdeğer yapılarla logaritmik ortam devrelerinin tasarlanması da gerçekleştirilebilir. (Psychalinos ve diğ. 2004).

Logaritmik ortam filtreleri sahip oldukları avantajlar göz önüne alındığında birçok uygulama alanına sahiptir. Bu alanlardan biri de video frekans uygulamalarıdır. Bu çalışmanın da konusu olan bu uygulamalarla ilgili literatürde birçok çalışma bulunmaktadır. Kırçay ve Çam (2009) tarafından tasarlanan 5. dereceden eliptik filtre tasarımı, 0.177 dB’lik geçiş bandı ripple toleransı ve 40 dB’den büyük durdurma bandı zayıflama değerine sahip olması sebebiyle bu uygulamalar içinde dikkat çekmektedir.

Logaritmik ortam olmamasına rağmen bu çalışma için esin kaynaklarından biri olan, Uygur ve Kuntman’ın (2006) video uygulamaları üzerine olan çalışması da 7. dereceden eliptik filtre yapısının video frekans uygulamaları için uygunluğunu göstermek açısından önemlidir.

1.3 Tezin İçeriği

Genel bir giriş olarak verilen bu bölümü izleyen ikinci bölümde genel filtre kavramları ve türleri hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak filtre kavramının açıklanması üzerinde durulmuş ve filtre devrelerine ait temel kavramlar hakkında bilgi verilmiştir.

Transfer fonksiyonu kavramı tanımlanarak filtre devrelerinin gerçeklenme şartları açıklanmıştır. Filtre devrelerinin literatürde tanımlandığı şeklide çeşitli özelliklere göre sınıflandırılması ve bu sınıflandırmalar altında bulunan filtre türlerine ilişkin bilgiler verilmiştir. Teoride istenen transfer fonksiyonlarının uygulanması için literatürde var olan filtre yaklaşımları da bu bölümün son kısmında verilmiştir. Üçüncü bölümde, tezin temel konusu olan logaritmik ortam filtrelerine ilişkin temel kavramlar ve bilgiler verilmiştir. ELIN sistemlere ilişkin temel bilgiler verilerek, translineer yapıdaki devrelere ilişkin genel özellikler işlenmiştir.

9

Logaritmik ortam devrelerinin temel çalışma mantığı kapasitörlü akım aynası devresi üzerinde gösterilmiş ve translineer devre çeşitleri verilerek bu yapılar arasında logaritmik ortam filtreleri işlenmiştir.

Logaritmik ortamda kullanılan temel translineer eleman türleri ve elemanlara ilişkin tanım denklemleri bu bölümde verilmiştir. Logaritmik ortam kavramına ilişkin detaylı bilgiler ve bu ortamda sentezlenen temel filtre yapısı üzerinden anlatılmıştır. Logaritmik ortam filtre türleri (A – sınıf ve AB – sınıfı olmak üzere) ve bu türlere ilişkin bilgiler, lineer olmayan filtre kavramı, dinamik giriş aralığı, genlik uygunlaştırma teknikleri ve logaritmik ortamda kullanılan elemanların ideal olmayan davranışlarına ilişkin bilgiler genel olarak bu bölümde anlatılmıştır.

Dördüncü bölümde, logaritmik ortam devrelerine ait literatürde olan sentez yöntemleri üzerinde durulmuştur. Bundan başka logaritmik ortam devrelerinin sentezlenmesine ilişkin olarak literatürde var olan yöntemlerden olan, durum – uzayı sentezi, translineer sentez yöntemi ve E – cell pasif elemanların logaritmik ortam benzetimi yöntemleri işlenerek bu yöntemlere ilişkin detaylı bilgiler verilmiştir. Beşinci bölümde, video filtresi kavramı ve video filtresi tasarım kriterleri, literatürde mevcut çalışmalara da değinilerek verilmiştir. Bundan başka tezin amacı olan video filtre tasarımı E – cell pasif elemanların logaritmik ortam benzetimi yöntemi kullanılarak gerçekleştirilmiş ve bu yöntem kullanılırken izlenen yol detaylı şekilde anlatılmıştır.

Tasarım yönteminde kullanılan devreler, denklemler ve hesaplanan devre elemanları tablolar halinde verilmiş ve tasarlanan devreler blok gösterimi ve devre şeması ile sunulmuştur. Tasarlanan devrenin benzetimi Pspice programı kullanılarak gerçekleştirilmiş ve sonuçlara ilişkin bilgiler hem ideal (βf = 1000) BJT hem de

AT&T CBIC – R parametreli BJT’ye ilişkin olarak verilmiştir. Tasarlanan filtrelerin frekans yanıtlarına ilişkin grafikler ve bu grafikler üzerinden filtrenin çalışması yorumlanmıştır. Tasarlanan filtrenin özellikleri üzerinden video frekans uygulamalarında kullanılıp kullanılamayacağına ilişkin yorumlar bu bölümün son kısmında verilmiştir.

Tezin son bölümü olan altıncı bölümde, tezden elde edilen sonuçlar verilmiş ve bu konuda gelecekte yapılacak çalışmalara ilişkin önerilerde bulunulmuştur.

10

2. GENEL FİLTRE KAVRAMLARI VE TÜRLERİ

2.1 Filtre Tanımı

Bir işaretin frekans bileşenlerinin bir kısmını geçiren ve bir kısmını bastıran elektronik devrelere filtre denir. Filtreler günümüzde telefon, telgraf, radyo, radar, uydu ve haberleşme sistemleri, işaret işleme uygulamaları gibi birçok alanda kullanılmaktadır. Filtreler genellikle elektronik devrelerde, gürültüyü ve istenmeyen işaretleri süzmek, belirli frekansları birbirinden ayırmak, örnekleme işleminden önce sinyalleri sınırlamak gibi çeşitli amaçlarla kullanılmaktadırlar. En genel anlamda 2 uçlu bir sistemde filtre devresinin gösterimi şekil 2.1’de verilmiştir.

Şekil 2.1: Genel filtre devresinin gösterimi.

Şekil 2.1’de gösterilen genel filtre yapısında H(s) filtrenin transfer fonksiyonu olarak adlandırılır ve giriş – çıkış işaretleri arasındaki ilişkiyi ifade eder. Transfer fonksiyonu giriş ve çıkış işaretlerine göre isimlendirilir. Buna göre, denklem (2.1.a) gerilim transfer fonsiyonu, denklem (2.1.b) akım transfer fonsiyonu, denklem (2.1.c) resistans transfer fonsiyonu ve denklem (2.1.d) kondüktans transfer fonsiyonu olarak tanımlanır.

)

(

)

(

)

(

s

V

s

V

s

H

g ç

=

(2.1.a)

)

(

)

(

)

(

s

I

s

I

s

H

g ç

=

(2.1.b)

11

)

(

)

(

)

(

s

I

s

V

s

H

g ç

=

(2.1.c)

)

(

)

(

)

(

s

V

s

I

s

H

g ç

=

(2.1.d)

2.2 _{Filtre Türleri ve Temel Filtre Terimleri}

Filtre devreleri, bastırdıkları ve geçirdikleri frekans bileşenlerinin bulunduğu bölgelere göre genel anlamda, alçak geçiren, yüksek geçiren, bant geçiren, bant durduran ve tüm geçiren filtreler olmak üzere beş gruba ayrılırlar. Bu beş filtre tipinin “ideal” genlik cevaplarına ait grafiksel gösterimler şekil 2.2’de verilmiştir.

Şekil 2.2: Temel ideal filtre türlerinin frekans cevapları.

Bir filtrenin girişte uygulanan işaretin frekansını tam olarak geçirdiği bölgeye filtrenin geçirme bandı, işaretin frekansını iletmeyip durdurduğu bölgeye de filtrenin durdurma bandı denir.

12

Filtrelerin ideal karakteristiklerinde gözlemlenen bu keskin geçiş bandı ve durdurma bandı özellikleri uygulamalarda farklılık göstermektedir. Şekil 2.3 incelendiğinde teoride (idealde) ve uygulamada genlik cevabı verilen alçak geçiren filtre üzerinde bu farklılık dikkat çekecektir.

Şekil 2.3: Alçak geçiren filtre cevabı, a) ideal b) yaklaşık.

Şekil 2.3’de de görüleceği üzere alçak geçiren yaklaşık filtre cevabı, ideal cevaba ek olarak, geçirme ve durdurma bandının yanında, geçiş bandı da içermektedir. Bu sebeple burada filtre terimleri olarak ωp, geçirme bandı ile geçiş bandını ayıran

kesim frekansı (passband frequency) ve ωs, durdurma bandı ile geçiş bandını ayıran

kesim frekansı (stopband frequency) terimleri ile karşılaşılır.

Şekil 2.2’de görüldüğü gibi ideal cevaplar göz önüne alındığında tüm filtrelerin uygulanan işaretlerin frekanslarını kendi filtre karakteristiklerine göre bazı bölgelerde geçirdikleri, bazı bölgelerde de durdurdukları görülmektedir. Filtrelerin bu karakteristiğini belirleyen fonksiyon ise filtre transfer fonksiyonudur.

Analog filtre tasarımında kesim frekansı, merkez frekans, kalite faktörü, güç tüketimi, harmonik bozulma ve dinamik çalışma aralığı gibi parametreler filtrenin performans ölçütlerini belirlemektedir. Doğrusal bir filtre düşünüldüğünde filtrenin parametreleri işaret seviyesinden bağımsız olmalıdır.

Doğrusal olmayan bir filtrenin özellikleri de bu parametrelerin ne kadarının sabit değerlerden saptığı olarak tanımlanabilir.

13

Doğrusal filtrelerde filtre karakteristiğine bağlı olarak girişe uygulanan işaretin belirli frekans aralıkları için geçirilmesine izin verilirken belirli aralıklar içindeki frekans bileşenleri bastırılır, fakat çıkış işaretinde hala istenilen frekans bileşenlerinin bastırılamaması filtre cevabında harmonik bozulmaya neden olur.

Toplam Harmonik Bozulma (THD) harmonik frekans bileşenlerinin gücünün temel frekans bileşenlerinin gücüne oranına eşittir. Dinamik çalışma sahası ya da aralığı ortalama maksimum işaretin, işlenebilir işarete oranıdır. Pratikte, bir THD değeri için işlenebilir maksimum işaret genliği ortalama maksimum işareti belirtirken, verilen bir işaret gürültü oranı (SNR) için işlenebilir minimum işaret genliği minimum işaret olarak bilinir (Fox ve diğ., 2004).

Elektronik devrelerin transfer fonksiyonları devreye uygulanan giriş işareti ve devreden elde edile çıkış arasındaki ilişkiyi ifade etmektedir. Bir filtre devresinin transfer fonksiyonunu farklı şekillerde ifade etmek mümkündür. Transfer fonksiyonları iki polinomun oranı şeklinde ifade edilebilirler. Denklem (2.2)’de genel anlamda Laplace ortamında transfer fonksiyonu gösterimi verilmiştir.

0 2 2 1 1 0 2 2 1 1

....

....

)

(

d

s

d

s

d

s

n

s

n

s

n

s

n

s

H

M M M M M K K K K K K

+

+

+

+

+

+

+

+

=

₋ − − − − − − − (2.2)

Denklem (2.2) incelendiğinde burada K pay polinomunun derecesini, M payda polinomunun derecesini, K i i

n

0 =

}

{

pay polinomunun katsayılarını ve M i i

d

0 =

}

{

de payda polinomunun katsayılarını ifade etmektedir.

)

)....(

)(

)(

(

)

)....(

)(

)(

(

)

(

3 2 1 3 2 1 M K K

p

s

p

s

p

s

p

s

z

s

z

s

z

s

z

s

n

s

H

−

−

−

−

−

−

−

−

=

_(2.3)

Denklem (2.3) transfer fonksiyonunun diğer bir gösterimine karşı düşer. Bu gösterimde z1, z2, z3,...., zK transfer fonksiyonunun sıfırlarını, p1, p2, p3,...., pM ilgili

fonksiyonun kutuplarını tanımlar. Filtre devrelerinin denklem (2.2) veya (2.3)’de verildiği gibi gerçeklenebilmesi için bazı temel koşulları sağlamaları gerekmektedir. Bu koşullar tasarlanan filtrenin analiz sonuçlarını etki eden koşullardır. Hatırlanacağı üzere filtrelerin gerçek ortamda ve teorideki davranışlarının birbirinden farklı olduğu daha önce ifade edilmişti.

14

Bir filtrenin analiz sonuçları ideale ne kadar yakın çıkarsa filtre performansı da o kadar iyi demektir. Dolaysıyla filtre tasarımını etkileyen bu koşullarında filtre tasarımı yapılırken iyi analiz edilmesi gerekmektedir. Bunlar; nedensellik, rasyonellik ve kararlılıktır (Deliyannis ve diğ., 1999).

2.2.1 Kararlılık

Bir filtre devresinin kararlılık durumu incelenirken temelde sağlanması gereken iki koşul vardır. Bunlardan birincisi, filtre transfer fonksiyonunun payda polinomunun derecesinin pay polinomunun derecesinden büyük ya da eşit olmasıdır. Yani denklem (2.2) ve denklem (2.3)’deki transfer fonksiyonları düşünüldüğünde, K ≤ M olmak zorundadır (Sedra ve Smith, 1998). Bu kriteri sağlayan fonksiyon için ikinci kararlılık şartı incelenir. Bu şart için transfer fonksiyonunun kutup – sıfır grafiğine bakılır. Tasarlanan sistemin kararlı olabilmesi için sistemin tüm kutuplarının s düzleminin sol tarafında yer alması gerekmektedir. Eğer kutupların tamamı s düzleminin sol tarafında ise sistem kararlıdır, sağ tarafında ise sistem kararsızdır ya da kutuplardan herhangi biri karmaşık eksen üzerinde ise sistem kritik kararlıdır. Filtre devrelerinin tasarımı yapılırken devrenin kararsız ya da kritik kararlı olması istenmez.

Bu nedenle filtre tasarımı yapılırken bu kararlılık şartlarının sağlanmasına dikkat etmek gerekmektedir. Kararlılık şartlarını sağlayan transfer fonksiyonunun gösterimi şekil 2.4’de verilmiştir.

(a) (b) Şekil 2.4: Kararlı filtreye ait, a) Sıfır b) Kutup gösterimi.

15 2.2.2 Nedensellik

Bir devrenin nedenselliğinin araştırılması için devrenin birim darbe cevabına bakılır. Eğer birim darbe cevabı t < 0 için, sıfıra eşitse sistem nedenseldir; birim darbe cevabı sıfıra eşit değilse sistem nedensel değildir. Nedensel olan ve olmayan iki sisteme ilişkin darbe fonksiyonları şekil 2.5’da gösterilmektedir.

Şekil 2.5: a) Nedensel olmayan b) Nedensel olan sisteme ilişkin darbe cevabı. Şekil 2.5.a ve şekil 2.5.b’de gösterilen sistemlerden nedensel olan sistem gerçeklenebilirken, nedensel olmayan sistem gerçeklenemez.

2.2.3 Rasyonellik

Bir devrenin gerçeklenebilmesi için bir diğer kriterde transfer fonksiyonunu laplace ortamında rasyonel olmasıdır. Filtre transfer fonksiyonları genelde iki polinomun birbirine oranı şeklinde olduğundan rasyoneldir.

2.3. Filtrelerin Özelliklerine Göre Sınıflandırılması

Filtreler kendi içerisinde incelendiklerinde birçok yönden farklılık göstermektedirler. Bu farklılıklar filtrenin elektronik yapısından kaynaklanmaktadır. Bu amaçla bazı özellikleri göz önüne alınarak filtreler bu farklılıklardan dolayı sınıflandırılmıştır. 2.3.1 İşaret işleme yöntemlerine göre filtrelerin sınıflandırılması Bu sınıflandırma tipinde filtre, herhangi bir elektronik devre içerisinde işlenen işaretin özellikleri göz önüne alınarak tasarlanır. Bu işaret sürekli zamanlı ya da ayrık zamanlı olabilir. Bu durum filtre devreleri içinde geçerlidir.

Filtre devreleri uygulanacak işaretin ayrık zamanlı ya da sürekli zamanlı olmasına göre iki farklı tipte tasarlanabilirler.

16

Bu sınıflandırma filtre işareti sürekli zamanlı işliyorsa sürekli zamanlı filtre, ayrık zamanlı işliyorsa ayrık zamanlı filtre olarak adlandırılarak yapılabilir.

2.3.2 Güç kaynağı sayısına göre filtrelerin sınıflandırılması Bu sınıflandırma, devrede kullanılan güç kaynaklarına sayısına göre yapılan bir sınıflandırmadır. Filtre devreleri de içerdikleri kaynak sayılarına göre tek kaynaklı filtreler ve çift kaynaklı filtreler olarak ayrılabilirler.

2.3.3 Temsil ettikleri işaret modlarına göre filtrelerin sınıflandırılması Gerilim türünde işaretlerin işlendiği devre yapılarına gerilim modlu devreler

denilmektedir. Gerilim modlu devrelerde giriş ve çıkış işaretleri gerilim cinsinden ifade edilir. Bu tip devrelerde daha çok gerilim kontrollü elemanlar kullanılmaktadır. Şekil 2.6’da gerilim modlu filtre devreleri görülmektedir. Bu tip devrelerde işlenen işaret gerilim olduğunda, devre transfer fonksiyonu çıkış ve giriş gerilim ifadelerinin oranı şeklinde olur.

Akım türünden işaretlerin işlendiği devrelere akım modlu devreler adı verilir. Akım modlu devrelerde giriş ve çıkış ifadesi akım türündedir ve bu iki ifadenin oranı ile devrenin transfer fonsiyonu elde edilebilir. Şekil 2.7’de akım modlu filtre devreleri görülmektedir.

Akım modlu devrelerde kullanılan en yaygın yapı blokları 1968 yılında Sedra ve Smith tarafından tasarlanan akım taşıyıcılarıdır (Wilson, 1990). İlerleyen yıllarda akım modlu devreler tasarım kolaylıkları açısından popüler hale gelmişlerdir. Akım modlu devrelerde akım aynaları, akım geri beslemeli op – amplar ve değişik akım modlu yükselteçler gibi birçok yapı kullanılmaya başlanmıştır (Toumazou, 1992).

2.3.4 Tasarımda kullanılan elemanlara göre filtrelerin sınıflandırılması İlk yıllarında filtre devreleri yalnızca bobin, kondansatör ve direnç gibi pasif

elemanlar kullanılarak tasarlanmaktaydı, ancak elektronik alanında yaşanan gelişmelere paralel olarak mikro elektronik tasarımların artmasıyla aktif elemanlar kullanılarak da filtre tasarımları gerçekleştirilmeye başlanmıştır. Özellikle ilk başlarda kullanılan pasif elemanlardan olan bobin, mikro elektronik filtre devrelerinde daha az rastlanır hale gelmiştir.

17

Bobin elemanının mikro elektronik devrelerde oluşturduğu gürültü bu devrelerin tasarımında bobin yerine, bu elemanın işlevini sağlayan aktif elemanların geliştirilmesini gerekli kılmış ve bu konuda yapılan çalışmalarla tasarlanan devrelerde bobin elemanını kullanımı neredeyse sınırlanmış, bobin elemanı olmaksızın aktif filtre tasarımları gerçekleştirilmiştir.

Genel olarak bobin, direnç ve kondansatör gibi pasif elemanlar kullanılarak tasarlanan filtreler pasif filtreler, OTA, Op – Amp gibi aktif elemanlarla tasarlanan filtre tiplerine de aktif filtreler denmektedir.

Şekil 2.6.a ve şekil 2.7.a’da pasif filtre devreleri ve şekil 2.6.b ve şekil 2.7.b’de de aktif filtre devrelerine ilişkin örnekler görülmektedir.

Şekil 2.6: a) Pasif gerilim modlu b) Aktif gerilim modlu filtreler.

Şekil 2.7: a) Akım modlu pasif b) Akım modlu aktif filtreler. 2.3.5 Sınıflarına göre filtrelerin sınıflandırılması

Güç yükselteçlerini özellikle çıkış katındaki transistörlerin iletime geçme durumlarına göre ayırmak ya da sınıflandırmak mümkündür.

Bu konuda çıkış yükselteçleri A sınıfı, B sınıfı ve AB sınıfı olmak üzere üçe ayrılabilir. Bu sınıflandırmaya ilişkin yükselteç devreleri şekil 2.8’de verilmiştir.

18

A sınıfı yükselteç yapısında, çıkış katına DC öteleme uygulanarak transistörün her zaman aktif bölgede kalması sağlanabilir.

B sınıfı yükselteçte ise, çıkış katındaki transistöre uygulanan AC işaretin pozitif ya da negatif periyotta olmasına göre yarım periyotta iletimde, diğer yarım periyotta ise kesimde kalır.

AB sınıfı yükselteç yapısında ise transistöre uygulanan kutuplama akımı sıfıra çok yaklaşır ama hiçbir zaman sıfıra düşmez. Dolayısıyla çıkış transistörü de hiçbir zaman tam olarak kesime girmez.

Güç yükselteçlerinde yapılan bu sınıflandırma, logaritmik ortam filtreleri ve akım modlu filtrelerde de uygulanmaya başlanmıştır. Yani akım modlu filtre devresinde işlenen akım bilgisi uygulanan DC bir ötelemeyle tüm zamanlarda pozitif tutuluyorsa bu tip devreler A sınıfı filtre, akım bilgisi bir periyotta pozitif diğerinde negatif olarak değişiyorsa buna B sınıfı filtre ve akım sıfıra çok yaklaşıyor ancak sıfır olmadan her zaman pozitif kalıyorsa bu tip filtrelere de AB sınıfı filtre denir. Bu üç filtre sınıflandırmasına ait akım dalga şekilleri şekil 2.9’de gösterilmiştir.

19

Şekil 2.9: a) A sınıfı b) B sınıfı c) AB sınıfı filtrelere ait transistör akımları dalga şekilleri.

2.4 Filtre Yaklaşımları

Analog ve sayısal filtrelerin tasarlanmasında üstesinden gelinmesi gereken önemli bir problem de filtre yaklaşımının belirlenmesidir. Filtre yaklaşımındaki amaç tasarlanacak filtrenin çıkış karakteristiğinin olabildiğince ideal duruma yakın elde edilmesidir. Daha önceki bölümlerde de belirtildiği üzere elektronik bir devre incelenirken nedensellik, kararlılık ve rasyonellik gibi temel özelliklerin dikkate alınması ve bu özelliklere ilişkin analizlerin iyi yapılması gereklidir.

Örneğin, şekil 2.10’daki alçak geçiren filtre genlik cevabı gösteriminde de görüldüğü üzere, ωpgeçiş bandı frekansı, ωsdurdurma bandı frekansı, Amax geçiş bandında izin

verilen en fazla zayıflama değeri, Amin durdurma bandında izin verilen en düşük

zayıflama değeri olarak tanımlanmaktadır.

Bir filtre devresi tasarımında kullanılan yaklaşım belirlenirken her yöntemin kendine özgü kapalı form denklemleri göz önüne alınarak, istenen özeliklere uygun olarak seçim yapılır. Tüm bu yaklaşım seçimleri için belirlenen denklemlerde ωp, ωs, Amax

ve Amin kullanılarak filtre devresi tasarlanır.

20

Şekil 2.10 : Alçak geçiren filtre genlik cevabı. 2.4.1 Butterworth yaklaşımı

Butterworth filtre yaklaşımı 1930 yılında S. Butterworth tarafından ortaya atılmıştır. Bu yaklaşım yönteminde, tasarlanacak filtre genlik cevabının iletim bandında en yüksek doğrusallığa sahip olması istenmektedir. Dolaysıyla iletim bandında herhangi bir bozulma ve dalgalanma meydana gelmez. N. Dereceden bir Butterworth filtrenin genlik cevabı denklem (2.8.a)’da gösterilmiştir (Sedra ve Smith, 1998).

N p

j

H

2 2

1

1

)

(

















+

=

ω

ω

ε

ω

(2.8.a)

_ε

=

10

Amax 20

-

1

(2.8.b) Burada ε, Amax cinsinden bir parametre ve ωp de iletim frekansını ifade etmektedir.

Butterworth yaklaşıma sahip bir filtre için geçiş bandında izin verilen maksimum zayıflama değeri, Amax denklem (2.9)’da verilmiştir. Denklem (2.10)’da da

Butterworth yaklaşımında, filtredeki minimum hata değeri Aminile ωp geçirme bandı

frekansı, ωs durdurma bandı frekansı ve filtre derecesi (N) arasındaki ilişki

görülmektedir.

21

(

)

















+

−

=

N p s

A

2 2 min

1

1

log

20

ω

ω

ε

(2.10)

Butterworth yaklaşımının farklı derecelerdeki alçak geçiren filtre tasarımda kullanılmasıyla elde edilen genlik cevaplarına ilişkin grafikler şekil 2.11’de gösterilmiştir.

Butterworth yaklaşımında filtre tasarımı gerçekleştirilirken tasarlanmak istenen filtreye ait ωp, ωs, Amax ve Amin değerlerinin bilinmesi gerekmektedir.

Bu değerler bilindiği takdirde Butterworth yaklaşımı kullanılarak ilk olarak denklem (2.8.b) yardımıyla ε ifadesi elde edilir. Daha sonra ωp, ωs, Amax ve Amin değerleri

denklem (2.10)’da yerine konularak filtrenin derecesi elde edilebilir. Filtrenin derecesi N’nin bulunmasıyla filtrenin kutup dağılımına ulaşmak mümkündür. Butterworth filtre yaklaşımında filtre kutupları arasındaki açı,

N θ

180

= _ifadesiyle

bulunabilir. Örnek olarak ε = 1 ve N = 2 olarak hesaplanmış olsun. Bu durumda θ filtre kutupları arasındaki açı 900 olarak bulunur.

Şekil 2.11: Farklı derecedeki Butterworth filtrelerin genlik cevapları. 2.4.2 Chebyshev yaklaşımı

Chebyshev yaklaşımı Rus matematikçi P.L. Chebyshev tarafından ortaya atılmış ve 1899 yılında ilk kez kullanılmıştır.

22

Bu yaklaşımda geçirme bandında filtrenin derecesine göre farklılık gösteren dalgalanmalar görülür. Chebyshev filtre yaklaşımı bu özelliğiyle diğer türlerden ayrılmaktadır (şekil 2.12).

Şekil 2.12: Chebyshev filtreye ait genlik cevabı. 2.4.3 Ters Chebyshev yaklaşımı

Ters Chebyshev yaklaşımında da Chebyshev yaklaşımında geçirme bandında görülen dalgalanmalar filtrenin durdurma bandında rastlanmaktadır. Ters Chebyshev filtrelerine ait genlik cevabı şekil 2.13’de görülmektedir (Deliyannis ve diğ, 1999).

.

23 2.4.4 Eliptik filtre yaklaşımı

Cauer filtre tipi olarak da bilinen eliptik filtre tipi geçirme ve durdurma bandında sahip olduğu eş sıçrama düzeyleriyle bilinmektedirler. Bu sıçramalar birbirlerinden bağımsız olarak ayarlanabilmektedir. Diğer verilen tipteki filtre yapılarıyla karşılaştırıldıklarında geçiş bantlarının dar olması, ɷs / ɷp değerinin küçük olması,

eliptik filtrelerin önemli avantajlarındandır. Eliptik filtreler, hem Chebyshev hem de ters Chebyshev yaklaşımının özelliklerine sahiptirler. Frekansa bağlı olarak n. dereceden eliptik filtre genlik fonksiyonu denklem 2.11’de verilmiştir.

)

/

,

(

+

1

1

=

)

(

0 2 2

ω

ω

ξ

R

ε

ω

G

n n (2.11)

Denklem 2.11’de Rn n. dereceden eliptik rasyonel fonksiyon olmak üzere; ω0, filtre

kesim frekansı, ξ, seçicilik faktörü ve ε da sıçrama faktörüdür. Yani şekil 2.15’de gösterildiği gibi geçiş bandında oluşan sıçramaların genliği doğrudan ε’a bağlı iken durdurma bandında oluşan sıçramaların genliği hem ε’a hem de ξ’a bağlıdır, şekildeki ifadeyle hem Rn’i hem de ε’u içeren Ln terimine bağlıdır.

Geçiş bandında eliptik rasyonel fonksiyon sıfır ile bir arasındadır. Dolayısıyla geçiş bandı sıçrama genliği 1 ile 1/√1 + ଶ _{arasında ayarlanabilir. Durdurma bandı}

sıçrama genliği ise 0 ile 1/1 + ௡

ଶଶ _{arasında ayarlanabilmektedir. Bu durum eliptik}

filtre yapısının geçiş ve durdurma bandında bulunan sıçramalar kontrol edilerek diğer verilen (Butterworth, Chebyshev ve ters Chebyshev) filtre yaklaşımlarının elde edilmesini sağlar. Geçiş bandı sıçrması sıfır olduğunda ters Chebyshev, durdurma bandı sıçraması sıfır olduğunda Chebyshev ve her iki bant için de sıçrama sıfır olduğunda ise Butterworth filtre yaklaşımı elde edilir.

Eliptik filtre yaklaşımının pasif filtre prototipi LC ladder pasif devre tasarımı üzeriden şekil 2.14’deki gibi gösterilebilir. Bu prototip üzerinden eliptik filtreye ait olan transfer fonksiyonu denklem 2.12’deki gibi yazılabilir.

(

)

0 1 -2 -1 -1 -1 = 2

+

+

....

+

+

+

+

=

)

(

)

(

=

)

(

∏

b

s

b

s

b

s

b

s

a

s

C

s

D

s

N

s

T

2 n n n n n m i i _(2.12)

24

Tüm verilen filtre yaklaşımları içerisinde geçirme bandı dikliği açısından eliptik filreler diğer filtrelere göre oldukça avantajlıdır. Örneğin keskinlik oranı (ɷs / ɷp) 1.5

olan bir filtrenin eliptik filtre derecesi 5 iken Chebyshev için 8, Butterworth içinse 17 olmaktadır. Özetle geçirme bandının hızlı olmasının istendiği durumlarda tercih edilecek filtre için en optimum yaklaşım eliptik filtre yaklaşımıdır.

Şekil 2.14: Genel eliptik filtre LC ladder devresi.

Şekil 2.15: Alçak geçiren eliptik filtre genlik cevabı.

Filtre yaklaşımlarında diğer önemli parametrelerde faz ve grup gecikmeleridir. Denklem 2.13’de Fouirer gösterimi verilen bir sistemin faz ve grup gecikmesi sırasıyla denklem 2.14.a ve 2.14.b’de görüldüğü gibi tanımlanabilir.

) ( ) (

).

(

=

.

)

(

=

)

(

jθ ω jθ ω

e

ω

G

e

ω

j

H

ω

j

H

(2.13)

25

ω

ω

θ

ω

Pd

₍

₎

₌

_-

(

)

_(2.14.a)

ω

ω

θ

ω

τ

∂

)

(

∂

-=

)

(

(2.14.b)

Faz gecikmesi sistemin mutlak gecikmesini tanımlarken, grup gecikmesi sistemin fazının doğrusal olup olmadığı hakkında fikir verir. Sistemin faz cevabında bozulma olmaması için grup gecikmesinin sabit ve küçük değerlerde olması gerekmektedir. Tüm filtre tipleri incelendiğinde, şekil 2.16’da ve şekil 2.17’de görüleceği üzere; dar geçiş bandı istenen uygulamalarda en optimum filtre yaklaşımı eliptik filtre iken, geçiş bandı ve faz doğrusallığı istenilen uygulamalar için en optimum çözüm Butterworth filtre tipi olmaktadır.

26

27

3. LOGARİTMİK ORTAM DEVRELERİ VE TEMEL KAVRAMLAR

3.1 ELIN (Externally Linear Internally Nonlinear) Sistemler

Bir sistemin doğrusal bir davranışa sahip olması o sistemin geleceğe yönelik çalışmasının bilinmesi ve bazı tahminlerin yapılabilmesi açısından önemli bir üstünlüktür. Fakat herhangi bir devre tasarlanırken daima doğrusal davranışa sahip olmayabilir. Transistör ve op – amp gibi elemanlar devre tasarımında sıklıkla kullanılan elamanlar olup doğrusal bir karakteristiğe sahip değillerdir.

Doğrusallığın devre ve sistemler için önemli bir parametre olması ve doğrusal olmayan elemanlarla devre ve sistem tasarımlarının gerçekleştirilmek istenmesi sonucunda araştırmacılar doğrusal olmayan elemanlarla doğrusal devre ve sistem tasarımı üzerinde çalışmaya başlamışlardır (Tsividis, 1998). Doğrusal olmayan elemanlar kullanarak sistem ve devrelerin giriş ve çıkışları arasında doğrusal ilişkinin sağlanmasında kullanılan birtakım yöntemler vardır. Bu yaklaşımlardan biri, sistemdeki doğrusal olmayan elemanları tek tek doğrusallaştırılmasıdır ki bu oldukça zahmetli ve zor bir yöntemdir. Bu konuda uygulanan faklı bir yaklaşım ilk kez 1979 yılında Adams tarafından ortaya atılmıştır (Adams, 1979). Adams’ın yaklaşımına göre doğrusal olmayan bir sistem eleman karakteristikleri değiştirilmeden giriş ve çıkış işaretleri arasında doğrusallık sağlanabilir. Bu işlemler uygulanırken işaret doğrusal olmayan bir fonksiyon kullanılarak sisteme iletilir ve sistemde doğrusal olmayan elemanlar kullanılarak işlenir ve çıkışta girişte işarete uygulanan fonksiyonun tersi kullanılarak çıkış işareti elde edilir (Tsividis ve diğ.,1990; Tsividis, 1998). Böylece sistemin ya da devrenin doğrusallığı sağlanmış olur. Bu yöntem kullanılarak elde edilen Doğrusal Davranışlı Doğrusal Olmayan (ELIN) bir filtrenin genel olarak gösterimi şekil 3.1’de verilmiştir.

Genel olarak ELIN filtrelere ait örnekler incelendiğinde en çok doğrusal olmayan karakteristikli eleman içeren devre tipinin logaritmik ortam filtreleri olduğu görülmektedir (Adams, 1979; Frey 1993a).

28

Bundan başka MOSFET transistör kullanılarak tasarlanan kare – kök ortam filtreleri (Mulder ve diğ.,1996), anlık genlik uygunlaştırmalı ve zarfsal genlik uygunlaştırmalı (Tsividis ve diğ.,1990; Tsividis, 1997; Tsividis, 1998) filtre devreleri ve anahtarlamalı kapasitörlü filtre devreleri de önemli ELIN devre yapılarındandır. ELIN devrelerinin sunduğu olanaklar kısaca özetlenirse;

• Lineer olmayan modelleri doğrudan kullanabilme imkânı sağlar.

• Elemanların toleranslarından kaynaklanan etkileri, sıcaklık bağımlılıklarını vs. iyileştirme imkânı sunar.

• Sinyalleri sıkıştırarak güç tüketiminde, dinamik çalışma aralığında, besleme geriliminde önemli avantajlar sunar.

• Akım ya da gerilimle kontrol edilebilirliği yüksek devreler tasarlama imkânı verir.

Şekil 3.1: ELIN devre yapısı. 3.2 Translineer Devreler

Translineer prensip ilk olarak 1975 yılında Gilbert tarafından ortaya konulmuştur (Gilbert, 1975). Bu prensibe göre her biri aktif bölgede çalışan (iQ>0 ve vQ>0),

birbirine kapalı bir çevrim oluşturacak şekilde bağlanmış transistörlerin gerilimleri arasında doğrusal bir ilişki olmamasına rağmen akımları arasında doğrusal bir ilişki mevcuttur.

Translineer devrelerin temeli BJT’de ve MOSFET’in zayıf evirtim bölgesinde çalıştırılması ile görülen akım ve gerilim arasındaki exponansiyel ilişkiye dayanır. Döngü (loop) içerisinde düzenlenen transistörler ileri yönde biaslanmış kabul edilir. İlk translineer devre örnekleri, bir akım yükselteci ve çarpıcısı Gilbert tarafından 1968’de tasarlanmıştır (Gilbert, 1968a; Gilbert 1968b). Gilbert ayrıca translineer devrelere ilişkin çalışma prensibini 1975 yılında formülleştirmiştir (Gilbert, 1975). Translineer devreler temel anlamda ikiye ayrılırlar; static translineer devreler (STL) ve dinamik translineer devreler (DTL).

29

Statik translineer (STL) devreler lineer olan veya olmayan statik transfer fonksiyonlarını, gerçeklerken; dinamik devreler diferansiyel denklemler gibi frekansa bağımlı olan transfer fonksiyonlarını gerçekler (Mulder ve diğ., 2000). 3.2.1 Statik translineer devreler

Statik translineer devreler hem lineer olan hem de lineer olmayan transfer fonksiyonlarının gerçeklenmesinde kullanılabilirler.

Bu konuda yapılan çalışmalarda, birçok devre örneği ortaya konulmuştur. Yükselteçler (Gilbert (1968a)); çarpıcılar/bölücüler, kara – kök ortam ve kare – kök fonsiyonları (Seevinck (1998)); sinüs yaklaşımı (Gilbert (1975)); geometrik ve harmonik ortalama fonksiyonları (Seevinck (1998) ve Mulder ve diğ. (2000)); RMS – DC çeviriciler (Gilbert ve Counts (1976)); vektör genlik devreleri ve frekans çoklayıcılar (Gilbert (1996)) yapılan çalışmalara örnek olarak gösterilebilirler. Translineer devreler, BJT’nin ve zayıf evirtim bölgesinde çalıştırılan MOSFET’in akım ve gerilimleri arasındaki exponansiyel ilişkiyi temel alır (Gilbert (1968a)). Bu ilişki, BJT’nin aktif bölgedeki kollektör akımı, Ic ile gösterilirse, denklem (3.1)’deki

gibi tanımlanabilir. T BE V V s c

I

e

I

₌

_(3.1)

Burada Is transistörün saturasyon akımı, VBE transistörün base – emiter voltajı ve

VT’de transistörün termal voltajıdır. Translineer prensip yarı iletken döngülerine

uygulanır. Saat yönündeki elemanların sayısı saat yönün tersindeki elemanların sayısına eşittir. Dört transistörlü translineer döngü örneği şekil 3.2’de gösterilmiştir. Burada I1’den I4’e doğru transistörleri biaslandığı kabul edilmiştir. Tüm elemanlar

aynı sıcaklıkta olduğunda, translineer döngü içerisinde üretilen akım terimlerinin aynı olması sağlanır (Mulder, 1998; Mulder ve diğ., 2000).

Genel translineer döngü denklemi teorik olarak sıcaklık ve işlemden bağımsız olarak çeşitli statik elektronik fonksiyonlarda kullanılabilir.

Translineer devrelerin en tipik örneği akım – modlu devrelerdir. Bunu anlamı, translineer devre davranışı en iyi akımlar cinsinden tanımlanabilir.