TÜRKİYE ATOM ENERJİSİ KURUMU
ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ
Ç7N.A.E.M. A . R 296
IBIND : NOKTA ÇEVRİMSEL CHEBYSHEV YARI İTERATİF
DİFÜZYON KODU
Ulvi ADALIOĞLU
NÜKLEER MÜHENDİSLİK BÖLÜMÜ
O c a k 1992 i t \P.K. 1, Hava Alanı, İSTANBUL
Basım tarih i
T e m m uz
. 1.992
TÜRKÎYE ATOM ENERJİSİ KURUMU
ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ
Ç.N.A.E.M. A.R 296
IBIND : NOKTA ÇEVRİMSEL CHEBYSHEV YARI İTERATİF
DİFÜZYON KODU
U lvi ADALIOĞLU
NÜKLEER MÜHENDİSLİK BÖLÜMÜ
Ocak 1992
P.K. 1, Hava Alanı, İSTANBUL
Basım tarih i Te m muz. 1992
Ö Z E T
I B I N D : N O K T A Ç E V R İ M S E L C H E B Y S H E V YARI 1 T E R A T 1 F D İ F Ü Z Y O N K O D U
Nokta ve satır bazında overrelaksasyon ile difüzyon denkle minin iç iterasyon çözümü hızlandırıİmaktadır. Grup difüzyon denkleminin katsayılar matrisinin çevrimsel özelliğinden fayda lanarak iç iterasyonda Chebyshev Yarı iteratif tekniği de kulla nılabilir. Eğer matris difüzyon denklemi daha küçük boyutlardaki küple olmıyan denklemlere dönüştürülürse bu denklemlerin çevrim sel Chebyshev yarı iteratif tekniklerle daha hızlı çözümü mümkün olmaktadır.
Bu raporda bildirilen IBIND kodu yarı iteratif tekniklerin en basiti olan nokta çevrimsel Chebyshev yarı iteratif tekniğini orijinal denklem takımına uygulamaktadır. Yarı iteratif teknik lerin teori ve tatbikatında tecrübe kazanılmış olup elde edilen neticeler nokta ardışık overrelaksasyon (hızlandırılmış Liebman) kodu IBD sonuçları ile karşılaştırılmıştır, Kod VAX 11/750 de test edilmiştir.
S U M M A R Y
I B I N D : A P O I N T C Y C L I C C H E B Y S H E V SEMI I T E R A T I V E D I F F U S I O N C O D E
Multigroup neutron diffusion equations can be solved by point and line accelaration techniques of the block overrelaxation methodology. Making use of cyclic nature of the coefficient matrix of group diffusion equations, Chebyshev semi-iterative techniques can also be used for the inner iteration solution. If matrix diffusion equation is reduced to a set of uncoupled matrix equations with smaller dimensions, then, Chebyshev semi-iterative method can be applied to these cyclically reduced equations in order to get the solution faster than overrelaxation techniques.
The code IBIND described in this report utilizes point Chebyshev semi iterative technique, the simplest of its kind, applied to the original equations. Experience is gained for the theory and application of semi iterative techniques. It is com pared with the IBD code, a point overrelaxation (or, accelerated Liebman) code. IBIND is tested on VAX 11/750 machine.
Sayfa 1. GİRİŞ 1 2. TEORİ 2 2.1- Çevrimsel indirgeme 2 S 2.2- A matrislerinin partisyonu 6 2.3- Çözüm tekniği 8 3. PROGRAMIN TANITILMASI 9 4. UYGULAMALAR 10 5. SONUÇLAR 11 REFERANSLAR 14
Ek 1- Giriş datasının verilişi
Ek 2- Giriş parametreleri hakkında bilgi Ek 3- Çıkışda verilen bazı değerlerin tarifi
TABLOLAR
Tablo 1- Test problem için elde edilen sonuçlar 15
ŞEKİLLER
Şekil 1- Sonlu fark denklemi için kafes yapısı 3 Şekil 2- Nokta partisyon için kafes noktaları
nın numaralandırılması 7
Şekil 3- TR-2 küçük kalp konfigürasyonu 11 Şekil 4- Test problem 3 konfigürasyonu 12
1. GİRİŞ
Nokta veya satır ardışık overrelaksasyon (SOR) tekniğiyle difüzyon denkleminin çözümlerini bulan bir kaç tane kod son se nelerde ÇNAEM Nükleer Mühendislik Bölümü ’nde geliştirilmiş b u lunmaktadır (1,2,3). İç iterasyon çözümünde yarı iteratif Chebyshev tekniğinin uygulamasının sağlıyaçağı avantajları araş tırmak ve yeni kodlar geliştirmek üzere çalışmalara başlanmış tır.
Yarı iteratif tekniklerin 2-çevrimsel ve uyumlu sıralamalı (consistent ordering) probleme doğrudan tatbiki bir avantaj sağ lamamakta, hatta asimtotik yakınsama hızı daha da kötüleşmekte ve ortalama yakınsama hızı ise ancak SOR kadar olmaktadır. Bu hâlde yarı iteratif Chebyshev tekniğinin orijinal probleme tat bik edilen SOR tekniğinin değişik bir çeşidi olduğu da ispat edilmiştir (4).
Problemde ortaya çıkan katsayılar matrisinin çevrimsel (cyc lic) özelliğinden faydalanmakla hızlandırmada iyileştirmeler mümkün olabilmektedir (4,5,6). Meselâ iki çevrimsel matrisler daha küçük boyutlarda küple olmıyan matrislere parçalanarak in dirgenir ve elde edilen bu matris denklem takımları kolayca çö zülebilir. Yalnız bu indirgeme sonunda elde dilen matrisler o r i jinal matris kadar boşluklu olmıyabilir. Bu hâlde bir noktanın hesabı için gerekli aritmetik hesap orijinal hâle göre daha faz
la da olabilmektedir.
Genellikle nokta 2-çevrimsel problem için indirgenmiş küple olmıyan matris denklemlere tatbik edilen nokta Jacobi veya nokta Gauss-Seidel i terasyonları orijinal sisteme uygulanan nokta Ga- uss-Seidel metoduna göre daha hızlı bir yakınsama temin ediyor. Bu durum indirgenemez Stieltjes matrisleri için ispat edilmiş tir. Eğer matris ’’simetrik ve definit” ise her iki hâlin yakın saması birbirine eşit olmaktadır (5).
Difüzyon denkleminden elde edilen sonlu fark denklemleri matris formunda yazılırsa elde edilen matris denklemin katsayı
lar matrisi A
- nokta 2- ç e v r i m s e l ,
- indirgenemez bir Stieltjes matrisi, - köşegene göre indirgenemez dominant, dır.
Eğer iki çevrimsel matrisler crl sıralamasıyla (ordering) in dirgenirse çözüm vektörünün yaklaşık yarısı iterasyondan çıkar tılmaktadır. Bu şekilde elde edilen küple olmıyan indirgenmiş matris denklemlere tatbik edilecek ’’çevrimsel Chebyshev yarı iteratif” metodunun asimtotik yakınsama hızı Jacobi veya SOR m e todunun hızı gibidir. Eğer Jacobi matrisi simetrik ise ortalama yakınsama hızı ise daha iyi olmaktadır.
İndirgemeyle elde edilen yeni matrislerin de 2-çevrimsel o l ması lâzımdır. Gösterilmiştir ki nokta veya 1-satır indirgeme çevrimsellik özelliği korumamaktadır (5).
Bu raporda katsayılar matrisini nokta olarak bölünmeye uğra tan ve elde edilen küple denklemleri nokta çevrimsel Chebyshev yarı iteratif tekniği ile çözen IBIND kodu tanıtılmaktadır. B u rada esas amaç devam edecek bir seri Chebyshev yarı iteratif tekniği çalışmalarının teori ve pratiğini kazanmaktır.
Uygulamalar göstermiştir ki IBIND kodu nokta SOR kodu IBD ile mukayese edilebilir hızda veya hatta daha iyidir. Eğer so nuçlara çok tesir etmiyecek şekilde iterasyon limitleri azaltı lır veya yakınsama hassasiyeti kabalaştırı1ırsa zaman kazancı tabii ki daha da artmaktadır.
2. TEORİ
2.1- Çevrimsel indirgeme
îki boyutlu birkaç gruplu nötron difüzyon denklemleri
e
e
e
g -*■ h g + / _ E ] 0 = V - U> V 0 ) + [E a t ö e 6 X L h h h s ~ h v E 0 + \ E f s k eff S = 1,2, ... ,G {2.1)burada G maksimum grup sayısı olup diğer semboller bilinen m a n a lara sahiptir. Bu denklemin integrasyonundan elde edilen beş nokta sonlu fark denklemi:
g g
e
e
e
s
s
e
- b 0 + a 0 - c 0 - d 0 i , j i 1, j i , j i , j î ) J i + 1 , J ^-,1 ^ ı J 1e
g g X g e 0 = --- S + S = S (2.2)i ı j i,j + 1 k' fi,j si, j i,j eff
= 1 , 2 , .... , G
-3-g
dir ki S ve S ’1er sırayla (i,j) noktasındaki top-f i , j s i ,j
lam fisyon ve gruptan gruba saçılma kaynaklarıdır.
Z/y I
M
ÖZ
N r/x
ÖR
Şekil 1 - Sonlu fark denklemi için kafes yapısı
Bu sonlu fark nuraara1andırılırsa
denklemleri kafes noktaları birbiri ardınca aşağıdaki matris denklemi elde edilir:
g g g
A <f> = S (2.3)
S
A matrisleri MNxMN boyutlu üç köşegen matrisler olup ayrıca köşegenin alt ve üstünde köşegen dışı sıfırdan farklı elemanları
g g
vardır. <(> ve S matrisleri ise aranan çözüm ve kaynak m atris lerini göstermektedir.
(2.3) denkleminin çözümü bazı matris operasyonları ile o l dukça hızlı bir hâle getirilebilir. Eğer A matrisinin (g grup
indisini bir kenara bırakalım.) elemanları a ile gösterilirse i , j
D ve D köşegen matrisleri
-1
D = Köşe, matris [{a {e? .... fa )
1,1 2 ,2 1İN,MN
-1
D = Köşe, matris [ 1/JeP 1/Ja 1 ** ... l/.Ja1 ]
1,1 2 ,2 MN,IIN
ifadeleri ile tarif edilebilir.
(2.3) denklemi -1 -1 I - B = D A D X = D 0 -1 g = D S tarifleri ile j I - B ) X = g (2.4)
haline sokulabilir. Burada I birim matris ve
r i
I O B |
B = I ı j
L 1 J
T
olup B matrisi (rx(MN-r)), B matrisi ise ((MN-r)xr) boyutla-
1 1
r m d a d ı r . 2-çevrimsel (I - B) matrisinin bir elemanı şudur:
i j (I - B) = — ---
----i j { a f a 7
-5-B matrisinin elemanları ise
B = 0 i i ı = J B ı J ı J /a { ? ii J j i # j
(2.4) denklemi X çözüm vektörünü iki kısma ayıracak şekilde yazılabilir: I T i " B İ- 1 - B r X i _ s 1 1 X s 2J L 2J (2.5)
Burada X ve X vektörleri çözüm vektörünün birbirinden ayrı bi-
1 2
rer kısmıdır. X ’ in boyutu (rxl), X ’nin ise ((MN-r)xl) ’dir.
1 2
g ve g vektörleri de sırayla aynı boyutlara sahiptir.
1 2
(2.5) denkleminin iki tarafı ( I + B ) matrisîyle çarpılırsa
I - B B 1 1
O
O
T | B B j 1 1 -i 1 X I ■ g + B g 1I 1 1 1 2 T X B g + g L 2.1 1L 1 1 2 -i ( 2.6)elde edilir. (2.5 ve (2.6) denklemlerinden
( I - B B ) X = g + B g 1 1 1 1 1 2
X = B X + g
2 1 1 2
(2.7)
T
elde edilecektir. B B matrisi bazen B matrisi kadar boşluklu 1 1
o l m ı y a b i l i r .Bu hallerde çözülecek denklem sayısının azaltılma sından olan kazanç aritmetik işlem sayısının artmasından dolayı kaybolmaktadır.
S
2.2- A matrislerinin partisyonu
Kafes noktalarının belli şekillerde gruplandırılmasıyla (2.5) de verilen 2-çevrimsel denklem takımına gelinebilir. U n u tulmamalıdır ki nokta indirgemeyle küple olmıyan 2-çevrimsel denklemler elde edilemez. Şekil 2 de görülen kafes üzerindeki noktalar birinci noktadan başlıyarak, ve birbirini takiben ”* ” ve "o" ile işaretlenerek gruplandırılır. önce '’y ı l d ı z ” olarak işaretlenenler en alt satırdan itibaren, daha sonra ise "yuvar lak” işaretli olanlar "yıldız” işaretlilerin numaralarının bit tiği yerden başlamak üzere numaralandırılır. (Bir yıldız veya yuvarlak işaretli noktanın sırayla yuvarlak veya yıldız işaretli noktalarla çevrili olmasına dikkat edilmelidir.)
M o--- *--- o--- *---- o 2 1 0 ---r + q + 1 1 t p+l 1 --- o---r + q+2 ! * P + 2 1 — c i * ! I. .. *... oi i 1 r + 1 2 r+2 2 i ------ ^ MN r — *--- o ■*0—5-- * * ---o o --- * -*--- o P r + q
Şekil 2- Nokta partisyon için kafes noktalarının numaralandırıİması Burada MxN r
2
( MxN çift ise)~7~
MxN + 1 r = --- ( MxN tek ise) 2 N p = --- ( N çift ise) 2 N t 1 p = --- ( N tek ise) 2 q = N - p d i r .Bu yeni kafes noktaları numaralandırmasına göre (2.3)
S
lemi formunu muhafaza eder. Fakat katsayılar matrisi» A
MM
şeklini alır. Bu halde (2.3) denklemi
a (j> i i i a <f> ii i = - T a 0 5 = 3r i j j + S J=r+1 r = - 7 a 0 f=f i j j J *1 + S J j i 1 « i 4 r r+1 { i « M N (2.9) l i n e e r d e n k l e m t a k ı m ı n a d ö n ü ş ü r 2 . 3 - Ç ö z ü m t e k n i ğ i (2.9) ’u n b i r i n c i d e n k l e m i n d e n b u l u n a n k ı s m î ç ö z ü m i k i n c i d e n k l e m e k o n u l u p ç ö z ü m ü n k a l a n k ı s m ı b u l u n u r . P r a t i k o l a r a k ç ö z ü m i ç i n a ş a ğ ı d a k ı s a c a i z a h e d i l e n " Y a r ı - i t e r a t i f C h e b y s h e v ” m e t o d u k u l l a n ı l a c a k t ı r : m i t e r a s y o n s a y ı s ı n ı g ö s t e r m e k ü z e r e , MM (m + 1 ) -1 (m) = a l - a 0 + S ] i i i 4==r i j j i (m+1) (m) >n( m + 1) (m) = 0 + to ( 0 “ 0 ) 1 4 i 4 r i i m+ 1 / 2 i i ,(m + 1 ) -1 x ~r ( m + 1 ) = a f - / a 0 + S ] i i i ^ i j j i (m+1 ) -e (m) ^ ( m + 1 ) (m) -II + to ( 0 0 ) r+1 « i v< MN i i m+1 i i (2. 1 0) hı z l a n d ı r m a p a r a m e t r e s i n i n a r d ı ş ı k d e ğ e r l e r i U) =
1/2
1
-9-ü) = 1 2 Ui (k+l)/2 2 2 P ^ (J ) 1 1 2 P P (J ) --- • U 4 k/2 (2.1 1) k >, 2 P
ile verilmektedir. J probleme ait Jacobi matrisi, ç ise bu m a t risin spektral yarıçapıdır.
P
Spektral yarıçap o(J ), kaynak terimi sıfır alınarak (2.9)
' (m)
veya (2.10) denklemlerinden hesaplanabilir. Eğer Y homojen denklemin m inci iterasyondaki çözümü ise bu iterasyondaki y a r ı çap t a h m i n i : T ( m ) (m) (m) ( Y , Y ) 2 P X = --- = o (J ) T(m) (m-1) 5 ( Y j Y ) T
ile bulunabilir. Burada (Y ,Y) ifadesi matris pimi ve integralini göstermektedir.
3. PROGRAMIN TANITILMASI
IBIND kodu şu özelliklere sahiptir:
1. Kod en fazla 5 grup ve 70x80 boyutlarındaki problemleri çözebilecek şekilde yazılmıştır. Maksimum bölge sayısı 80, ma- teryel sayısı ise 25 ’dir.
2. Kodun giriş listesi Ek 1 'de verilmektedir.
3. Giriş parametreleri hakkındaki bilgi Ek 2 ’dedir.
4. Kodun çıkışında her iterasyondaki k-eff değerleri ve iç iterasyon sayıları yanında ayrıca
- kalp üzerinde ortalanmış akı değerleri,
(2.1 2)
büyüklüklerin
- her grup ve bölge için güce göre normalize integral ve or talama a k ı l a r , absorpsiyon, gruptan saçılma ve fisyon ile olan kayıplar ile üretilen güç değerleri
bulunmaktadır. Bunlara ait izahat Ek 3 ’dedir.
5. Kod spektral yarıçap hesabını ayrı bir altprogramla y a p mamaktadır. Gerek homojen gerekse de homojen olmıyan denklemleri beraberce çözüp yarıçap ve hızlandırma hesabları yapmaktadır, îstenen yarıçap ve neticede optimum hızlandırma parametresi b u lunduktan sonra program yeni bir altprogramda homojen olmıyan denklemi çözmektedir. Böylece bilhassa büyük boyutlu problemler için yaklaşık 1 dakikanın üzerinde bir CPU zaman tasarrufu sağ lanmaktadır.
6. îç iterasyonda yakınsama kriteri, £ dış iterasyonun
ya-1
kınsama kriteri £ ’ye göre ayarlanmaktadır. Başlangıçda iç ite-3
rasyon hassasiyetinin çok iyi olmasına ihtiyaç yoktur. Bu sebep- den £ kaba bir değerden, meselâ 0.02 gibi bir değerden başlayıp
1
her dış iterasyonda 0.1 küçülerek £ ’den küçük değerlere gel-3
inektedir ki bu istenen yakınsamayı temin etmektedir.
7. İç iterasyonun maksimum iterasyon sayısı problemin b ü y ü k lüğüne göre seçilebilmektedir. Bu sınır değer iyi seçilirse CPU zaman kazancı arttırılabilir.
4. UYGULAMALAR
IBIND kodu bu koda esas olan IBD koduyla beraber çeşitli problemlere tatbik edilmiştir. Elde edilen sonuçlar ve harcanan CPU zamanları birbirleriyle mukayese edilmişlerdir.
Test için kullanılan problemler şunlardır:
i- Birinci problem Şekil 3 de görülen TR-2 reaktörü küçük kalp konfi g u r a s y o n u d u r . Reaktör kalbi bir taraftan Be bloklar ile yansıtılmış olup karşı kenarın köşelerine birer Alüminyum blok konmuştur. BC-2 kontrol çubuğu kalbe tamamen girmiş olup diğer üç çubuk tamamen dışardadır.
Bu problem X-Y geometride 4 grup ve 24x29 kafes yapısı ile m o d e ] lenip kritiklik hesabı yapılmıştır. Modelde 53 bölge ve 10 materyel tarifi yapılmıştır.
-11-Y I Su reflektör | Be Be Be Be BSl ...-] BS2 1 .... BCl i I 1 i BC2 r j Al Al Be :: Be blok Al :: Al blok BC : Kontrol çubuğu BS : Ayar çubuğu
Boş kareler standart yakı t elemanlarıdır.
X Şekil 3- TR-2 küçük kâlp konfigürasyonu
i i İkinci deneme problemi birinci problem olup yalnız daha ince kafes yapısı alınmıştır. Yeni kafes noktaları sayısı 48x58 dir. Bölge ve materyel sayıları değişmemiştir.
i i i — Üçüncü problem r-2 geometride fiktif bir reaktörün ho mojen kalp bölgesinin arka arkaya konulmuş iki farklı cinsten reflektör ile yansıtılmasından elde edilen konfigurasyondur. K a fes noktaları yapısı 44x62 olup grup sayısı 2 dir. Bölge sayısı
d, materyel sayısı ise 3 dür.
5, SONUÇLAR
Test problemleri gerek İBD gerek 1B.IND ile çözülmüştür, kar şılaşılan problem ve elde edilen sonuçlar şunlardır:
1, Yakınsama kriterleri ayni alındığı zaman
.integral ; değerlerden k-eff ‘ 1er arasındaki fark altıncı hanede*
ortalama izafi veya normalize akı değerleri dördüncü h a n e d e ,
Z (C m )!
Şekil 4- Test problem 3 konfigürasyonu
- nokta akı değerleri ızgaranın ortalarına doğru üçüncü hanede, kenarlarda ise beşinci hanede,
d e ğ i ş m e k t e d i r .
2. Dış iterasyon sayıları hemen hemen aynıdır.
3. IBIND kodu büyük boyutlu problemler için bazı grupları yakınsatmakta iç iterasyon limitlerine kadar gitmektedir. H a l b u ki IBD hiç bir zaman iterasyon limitlerine kadar gidip d a y a n m a maktadır. IBIND * in bu davranışının sebebi olarak düşünülen ş u
dur: indirgenmiş çözümde kafes noktalarının yarısının aynı anda hızlandırılması akı değerlerinin bazı noktalarda f 1uktuasyonuna sebep olmakta ve dolayısıyla grubun yakınsaması bir türlü g e r çek l e ş e m e m e k t e d i r . Dış iterasyonun hemen hemen ortalarına kadar zaten kaba olan akı değerlerini yakınsatmak için lüzumsuz ite rasyon yapmaktansa istenen hassas değerlerin daha ilerdeki dış iterasyonlarda aranmasının daha uygun olacağı düşüncesine v a r ı l mıştır. Gerçekten de iterasyon limiti daha küçük değerlere m e selâ yarıya indirildiği zaman elde edilen gerek integral gerekse de nokta sonuç değerler öncekine göre hiç d e ğ i ş m e m e k t e d i r . Fakat kazanılan zaman oldukça büyüktür.
13-Iterasyon limitlerine bir müdahale IBD ’de yakınsama p r o b lemleri ortaya çıkarmaktadır. IBD ’nin iç iterasyonunun kabalığı dış iterasyona tesir etmektedir.
Meselâ 2. problemde IBIND birinci grup akışını yakınsatmakta zorluk çekmekte ve her seferinde iterasyon limitine dayanmakta dır. IBD ise en fazla 290 iterasyona çıkmaktadır. Buna rağmen IBIND daha fazla CPU zamanı harcamamaktadır. (Yapılan çeşitli hesaplarda eğer kullanılan diskin çok fazla fragmantasyona u ğ ramasına sebep olacak yoğun bir iş yükü varsa, çok fazla diske müracaat ve sektör arama dolayısıyla iterasyon limitine dayanma nın harcanan CPU zamanını arttırdığı, meselâ zamanı 46 d a k . dan 1 saatin üzerine çıkardığı görülmüştür.)
Bu fazlalık iç iterasyonlar sonuçların hassasiyetinde hemen hiç değişiklik yapmamaktadır. Bu sebepden hassasiyetten kayıp vermemek şartıyle ITMAX ’ı azaltarak zaman kazancını daha da arttırmak yolu tercih edilebilir.
Bazı hâllerde iterasyon limitleriyle oynamaya ihtiyaç olmı- y a b i İ m e k t e d i r . O zaman IBIND iç iterasyon sayıları hiç bir zaman limite kadar gitmemekte, çok daha düşük sayılarda yakınsama sağ lanmaktadır. Meselâ 3. problemde IBD bazı iç i terasyonlarda 400 i terasyon sayısına kadar dayandığı hâlde IBIND * in en fazla eriştiği sayı 72 dir. Bu durum CPU zamanını fevkalade düşürmek- t edil’.
4. îç iterasyon hassasiyetini biraz azaltmak başlangıçta k a bul edilen şartlara göre yapılan hesaba nazaran oldukça fazla bir CPU zamanı kazancı sağlamaktadır. Meselâ maksimum iç iteras yon 500 ve t için 0.02 yerine 0.03 alınırsa meselâ gene 2.
1
test problemi için CPU zamanı 46 dak. dan 33 dak. ya inmektedir. Buna mukabil hesap sonuçlarında k-eff ’1er d e ğ i ş m e m e k t e , ortala ma akılar 4. veya 5. hanelerde değişmekte, nokta akı değerleri arasındaki farklar ise 0.00001 mertebesinde olmaktadır.
5. Gerek iç iterasyon limiti uygun bir değere indirilir ve gerekse de ^ biraz daha kaba değerde tesbit edilirse sonuçların
1
hassasiyetinde o kadar büyük değişiklik olmamaktadır. Fakat CPU zaman kazancı daha da artmaktadır.
Kodla yapılan nümerik test sonuçları Tablo 1 }de özetlenmiş
tir. Görülmektedir ki IBIND kodu nokta SOR kodu IBD ’yle muk a y e se edilebilir hızda, hatta daha da yüksek bir hızdadır. Eğer li mitler değiştirilirse CPU zaman kazancı artmaktadır.
REFERANSLAR
1. R. T u n ç e l , U. Adalıoğlu, ”IBD kodu - İki boyutlu, çok gruplu nötron difüzyon kod u ” , ÇNAEM-R-190, 1978.
2. U, Adalıoğlu, R. Tunçel, "IBD-1L : One Line O v errelaxati on Code for Diffusion Theory Calculations (An improved version of IBD-1 c ode)” , ÇNAEM-ÂR-263, June 1989.
3. U. Adalioglu, ” IBD-2L : Two Line Overrelaxation Code for Diffusion Theory Calculations” , ÇNAEM A.R.-284, O c t . 1990. 4. R. S. Varga, "Matrix Iterative A n a lysis” , Prentice-Hall,
1962.
5. L. A. Hageman, ”Block Iterative Methods for Two-Cyclic Matrix Equations with Special Application to the Nume r i cal Solution of the Second-Order Self-Adjoint Elliptic Partial Differential Equation in Two D i m e n s i o n ” , WAPD-TM-327, Apr. 1962.
6. L. A. Hageman, "Numerical Methods and Techniques used in the Two-Dimensional Neutron Diffusion Program, P D Q - 5 ” , W A P D - T M - 3 6 4 , Feb. 1963.
TEŞEKKÜR
İhtiyaç duyulan referansların temininde yardımlarını esirge- miyen Dr. Necmi DAYDAY a teşekkürü borç bilirim.
la bi o i-ie st pr ob ie ıi er iç in el de edi len so nuç ia r
-15-1. k a r t 2. k a r d 3. k a r t 4. k a r d 5. k a r d 6. k a r d (6+I B ) . k a r d (6 + 2 I B ) . k a r d ( . . • ) k a r d k a r d ( . . . ) k a r d k a r d k a r d ( . . . ) k a r d k a r d BAŞLIK I R R X 1 ,I R R X 2 ,I R H Z İ ,IRHZ2 N R Z , ITMAX E P S 1 ,EPS2,E P S 3 I B ,İ C A P ,I G E O ,I A D ,I G U C ,I B A K ,I C E Y , K M A X ,I M A X ,J M A X ,K O M S A ,IBIS
(I S 1 ( I ),I S 2 ( I ),JS1(I),J S 2 ( I ) , I=1,IB
K K ( K ) ,I M A T ( K ) , K=1,IB DELRI(I), 1=1,IMAX DELZJ(I), 1=1,JMAX X ( K ) , K = 1 ,KMAX U X N U ( K , N ) ,D F (K ,N ) ,S A (K ,N ) ,S F (K ,N ) (S S ( K , M , N ), M = 1 ,K M A X ), N=l,KOMSA), K = 1 ,K M A X ) P HYUK BKARE 20A4 415 415 3F10.7 1213 1814 1814 8 F 1 0 .5 8F10.5 8F10.5 8 f l 0 .7 8 F 1 0 .7 E l 4.7 E 1 4 .7 E14.7
IB IGEO NRZ ITMAX EPS1 EPS 2 EPS3 İCAP # İCAP = İCAP # İCAP = 1 AD IGUC İBAK KMAX IMAX JMAX KOMSA
Ek 2 - GİRİŞ PARAMETRELERİ HAKKINDA BİLGİ
= 1 = 0 = 2 # 2 1 + ICEY # 1 bölge sayısısi 1 indir geometri için kartezyen geometri için normalize akıları yazar, normalize akıları yazmaz. maksimum iç iterasyon sayısı
iç iterasyonda akı yakınsama kriteri k-eff ’1er ve fisyon kaynak oranları için kriter
dış iterasyonda akı yakınsama kriter kartezyen geometride bütün kalp
1 + ICEY # 1 : kartezyen geomtride yarım kalp (Y ekseni simetrisi), veya si lindir geometride tam kalp
1 t ICEY = 1 : kartezyen geometride yarım kalp (X ekseni simetrisi)
1 + ICEY = 1 : kartezyen geometride çeyrek kalp, veya silindir geometride yarım kâlp akı ve adjoint akı hesabı
sadece akı hesabı
= i # I
güç ve kaynak dağılımı hesabı sadece İzafî akı
= 1 = 0
X-Y geometride B 2* kullanılmakta silindirik geometri hâli
enerji grub sayısı
X veya r ekseni üzerindeki kafes nok tası sayısı
0 i
Y veya Z ekseni üzerindeki kafes nok tası sayısı
kompozisyon sayısı sadece İzafî akı
güce göre normalize akı hesabı IBIS
ISl(I) B ö l g e 1 ’r u n sol sınırı I S 2 (I ) B ö l g e I ’n ı n sag: sınırı JS1(I) B ö l g e I ’n ı n alt sınırı J S 2 (I ) B ö l g e I ’n ı n üst sınırı IRRX1 k â l p b ö l g e s i n i n sol sınırı IRRX2 k â l p b ö l g e s i n i n sag: sınırı IRHZİ k â l p b ö l g e s i n i n alt sınırı IRHZ2 k â l p b ö l g e s i n i n üst sınırı K K (K ) B ö l g e K * n ı n no. su
IMAT(K) B ö l g e K 'daki k o m p o z i s y o n no. su
D E L R I ( I ) X v e y a r e k s e n i n d e k i k a f e s a r a l ı k l a r ı D E L Z J ( I ) Y v e y a Z e k s e n i n d e k i k a f e s a r a l ı k l a r ı X (K ) G r u p K da d o ğ a n f i s y o n n ö t r o n l a r ı ke s r X N U (K ,N ) g r u p K ve k o m p o z i s y o n N i ç i n o r t a l a m a f i s y o n n ö t r o n l a r ı sayısı D F (K ,N ) 4 • glrüp K ve k o m p o z i s y o n N içirt d i f ü z y o n k a t s a y ı s ı
SA(K,N) : g r u p K ve k o m p o z i s y o n N i çin E«
S F ( K ,N ) : gru p K ve k o m p o z i s y o n N için Et
S S ( K , M , N ) : k o m p o z i s y o n N için g r u p K d a n g r u p M
ye E.
P : W a t t o l a r a k r e a k t ö r g ü c ü (IGUC =1 ,
ve IBIS=1 h â l l e r i için, aksi h â l d e P ’ye i h t i y a ç y o k t u r . ) I G E O = 0 iç i n " P / H Y U K ” v e r i l e c e k t i r .
H Y U K
B K A R E
X - Y g e o m e t r i d e r e a k t ö r k â l p y ü k s e k l i s i (Cm o l a r a k ) , IGEO=l i çin bu kart yok. e k s e n e l a k ı b ü k ü m ü ( C m ' 3 ),
Ek 3 - ÇIKIŞDA VERİLEN BAZI DEĞERLERİN TARİFİ A) G r u p l a r a ve b ö l g e l e r e ai t i n t e g r a l defterler K g r u p i n d i s i , N K da b ö l g e indisi ve t f i s y o n d a n ç ı k a n e n e r ji o l m a k üzere: 1. BÖL. HAC. (NK) 2. INT. AKI (K,NK) (K) V i j 3. ORT. AKI ( K ,NK) 4. A B S O R P S (K ,N K ) = 5. R E M O V A L (K,NK) = 6. F I S S I O N (K,NK) = 7. FIS. K A Y N (K,NK) I N T . AKI (K ,NK) / B O L . H A C . (NK) E (K,NK) * INT. AKI (K ,N K ) E (K,NK) * INT. AKI (K,NK) E F(K) * E (K ,N K ) * INT. AKI (K,NK) f X(K) k - eff F I S S I O N (K,NK) K a 1 8. G Ü C Ü R E T . / C M (K,NK) = Y E (K,NK) * INT. AKI (K,NK) f ( S i l i n d i r g e o m e t r i d e G U C Ü R E T . ( K , N K ) h e s a p l a n m a k t a d ı r ) B) G r u p l a r a g ö r e ve t o p l a m n ö t r o n k a y ı p v e k a z a n c ı 1. ü r e t i l e n n ö t r o n m i k t a r ı NK F I S S I O N (K.NK) P R O D X N U (K)
2. Gruplara düşen nötron miktarı/k-eff
XPRODK (K) = > FIS. KAYN (K,NK)
nF7
3. Gruba saçılan nötronlar
INSCAT (K + l ) = ^ REMOVAL (K,NK)
4. Toplam nötron kazancı
KAZANÇLAR (K) = XPRODK (K) + INSCAT (K)
5. Absorpsiyon kayıpları ABSORP (K) = V ABSORPS (K,NK) Mk 6. Gruptan saçılmalar OUTSCAT (K) = y ~ REMOVAL (K,NK) MK 7. Eksenel kaçaklar DBLOSS (K) = ^ D(K,NK) * B a. * I N T . AKI (K,NK) NIC
8. Sol sinirdan kaçaklar SOLLIK (K) 9 . Sağ s i m rdan kaçaklar SAĞLIK (K) 10 . Üst sinirdan kaçaklar USTLIK (K) 11 . Alt sınırdan kaçaklar ALTLIK (K) 12 . KAYIPLAR = ( 5 den 12 'ye kadarki
Toplam nötron kazanç ve kayıpları grup ve genel toplam rak eşit olmalıdır.
