Rasyonel fark denklemlerinin çözümleri ve kararlılığı

(1)

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

RASYONEL FARK DENKLEMLERĐNĐN

ÇÖZÜMLERĐ VE KARARLILIĞI

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Danışman

Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU

Hazırlayan

Emine Özlem HEKĐMOĞLU

(2)

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

RASYONEL FARK DENKLEMLERĐNĐN ÇÖZÜMLERĐ VE KARARLILIĞI

Emine Özlem HEKĐMOĞLU YÜKSEK LĐSANS TEZĐ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

Bu tez 02 / 09 / 2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir. Yrd.Doç.Dr.Kemal USLU (Danışman)

Yrd.Doç.Dr.Necati TAŞKARA Yrd.Doç.Dr.Hasan KÖSE (Üye) (Üye)

(3)

ÖNSÖZ 1. BÖLÜM

LĐTERATÜR ÖZETĐ ... 1 2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ TANIMLAR... 5 3. BÖLÜM

LĐNEER OLMAYAN FARK DENKLEMĐ, ÇÖZÜMÜ VE LOKAL ASĐMPTOTĐK KARARLILIĞI………..……….………9 4.BÖLÜM

FARK DENKLEM SĐSTEMLERĐNĐN POZĐTĐF ÇÖZÜMLERĐ ... 13

4.1. 1 1 1 1 , 1 − − + + = = n n n n n n y x x y y

x FARK DENKLEM SĐSTEMĐNĐN POZĐTĐF

ÇÖZÜMLERĐ……….13 4.2. 1 1 1 1 , − − + + = = n n n n n n y x Bx y y A

ÇÖZÜMLERĐ……….17 4.3. 2 1 1 1 1 , 1 − − + − + = = n n n n n n y x x y y

ÇÖZÜMLERĐ……….20 4.4. 2 1 1 1 1 , − − + − + = = n n n n n n y x Bx y y A

ÇÖZÜMLERĐ………24 4.5. ( )1 1 1 1 , 1 + − − + − + = = k n n n n k n n y x x y y

(4)

ÇÖZÜMLERĐ……….32 5.BÖLÜM

SONUÇ VE ÖNERĐLER………..36 KAYNAKLAR………..37

(5)

i ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışmada bana yol gösteren saygıdeğer hocam Yrd.Doç.Dr. Kemal USLU’ya sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

.

(6)

ii ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

RASYONEL FARK DENKLEMLERĐNĐN ÇÖZÜMLERĐ VE KARARLILIĞI

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU 2008, 39 sayfa

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; rasyonel fark denklem sistemlerinin çözümleri, periyodikliği ve rasyonel fark denkleminin çözümlerinin kararlılığı ile ilgili çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.

Đkinci bölümde; çalışmamız için gerekli olan temel kavramlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde; n n n n x x x

x ₊₁=1− −1, lineer olmayan fark denkleminin

çözümleri, bu çözümlerin başlangıç şartlarına göre durumları ve bu çözümlerin lokal asimptotik kararlılığı incelenmiştir.

(7)

iii Dördüncü bölümde; 1 1 1 1 , 1 − − + + = = n n n n n n y x x y y x , (n=0,1,2,...) fark

denklem sisteminin çözümlerinin periyodikliği araştırılmıştır. Daha sonra,

( )

1 1 1 1 , 1 + − − + − + = = k n n n n k n n y x x y y

x , (n=0,1,2,...) genel rasyonel fark denklem sisteminin de çözümlerinin periyodik olduğu gösterilmiştir.

ANAHTAR KELĐMELER: Rasyonel Fark Denklemi, Periyodiklik, Lokal Kararlılık

(8)

iv ABSTRACT

MS Thesis

THE SOLUTIONS AND STABILITY OF RATIONAL DIFFERENCE EQUATIONS

Emine Özlem HEKĐMOĞLU

Selcuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Asist. Prof. Dr. Kemal USLU 2008, 39 pages

This study consists of four sections. In the first section, it’s given information about related studies the solutions and periodicity of rational difference equation systems and the stability of solutions of rational difference equation.

In the second section, we have given some necessary basic concept for our study.

In the third section,

n n n n x x x

x ₊₁ =1− −1 non-linear difference equation

solutions, situations according to initial values of these soluations and local asymptotic stability of these solutions have been examined.

(9)

v

In the fourth section, the periodicty of solutions of

1 1 1 1 , 1 − − + + = = n n n n n n y x x y y

x , (n=0,1,2,...) difference equation system has been

examined. Then, periodicty of solutions of

( )

1 1 1 1 , 1 + − − + − + = = k n n n n k n n y x x y y x ,

(n=0,1,2,...) general rational difference equation system has been also obtained.

(10)

1 1. BÖLÜM

LĐTERATÜR ÖZETĐ

E. Camouzis ve G. Ladas, 1994 yılında;

2 1 2 1 1 ₋ + + = n n n x bx x

fark denkleminin lokal kararlılığını ve global çekiciliğini araştırmışlardır.

C. J. Schinas, 1997 yılında; 1 1 1 − + = + n n n x x x , n = 0, 1, 2, …

Lyness fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğinden ve denklem sabitinden hareketle, 1 1 − + = + n n n x A ay x , 1 1 − + = + n n n y A bx y , n=0, 1, 2, ... 1 1 − + = + n n n n x A y a x , 1 1 − + = + n n n n y A x b y , n=0, 1, 2, ... 1 1 } , max{ − + = n n n n x A y a x , 1 1 } , max{ − + = n n n n y A x b y , n=0, 1, 2, ...

denklem sistemleri ve rasyonel formdaki benzer bazı fark denklemlerinin, fark denklem sistemlerinin ve maksimumlu fark denklem sistemlerinin denklem sabitlerini ve çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir.

D. C. Zhang, B. Shi, J. Gai, 2001 yılında;

2 1 2 1 1 ₋ + + + = n n n x bx a x

(11)

2

rasyonel fark denklemi için bazı global çekicilik sonuçları elde etmişlerdir.

E. A. Grove, G. Ladas, L. C. McGrath, C. T. Teixeira 2001 yılında;

n n n n n n y d x c y y b x a x ₊₁ = + , ₊₁ = +

rasyonel sisteminin çözümlerinin davranışı ve varlığı üzerinde çalışmışlardır.

D. Clark ve M. R. S. Kulenović, 2002 yılında; n = 0, 1, 2, … için, a, b, c ve d pozitif sayılar ve x₀, y₀ başlangıç şartları negatif olmayan sayılar olmak üzere,

1 + n x = n n cy a x + , yn+1= n n dx b y +

fark denklem sisteminin çözümlerinin global kararlılık özelliklerini ve asimptotik davranışını incelemişlerdir. C. Çinar 2003 yılında; 1 1 1 1 ₋ − + =₋ ₊ n n n n x x x x , n=0, 1, 2, …

fark denkleminin çözümlerini, bu çözümlerin başlangıç şartlarına göre durumları ve bu çözümlerin lokal asimptotik kararlılığını incelemiştir.

X. Yang, H. Lai, D. J. Evans, G. M. Mebson, 2004 yılında;

) 0 , ; 0 , ( . . . , 2 , 1 , 2 2 1 1 > ≥ = − + + = − − − d c b a n x d cx bx a x n n n n

fark denkleminin global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

(12)

3 C. Çinar 2004 yılında; 1 1 1 1 ₋ − + =₋ ₊ n n n n x ax x x , n=0, 1, 2, …

fark denkleminin çözümlerini, bu çözümlerin başlangıç şartlarına göre durumları ve bu çözümlerin lokal asimptotik kararlılığını incelemiştir.

C. Çinar ve Đ. Yalçınkaya 2004 yılında;

1 1 n 1 1 1 n 1 1 z , 1 y , 1 − + − − + + = = _⋅ = n n n n n x y x z x , n=0, 1, 2, ...

fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini,

{

x ,_n z_n

}

çözümlerinin üç periyotlu,

{ }

y_n çözümlerinin ise on iki periyotlu olduğunu ispat etmişlerdir. C. Çinar ve Đ. Yalçınkaya 2004 yılında;

1 1 n 1 1 n 1 1 z , y , 1 − + − + + = = = n n n n n x x x z x , n=0, 1, 2, ...

fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini ve

{

x_n,y_n,z_n

}

çözümlerinin üç periyotlu olduğunu ispat etmişlerdir.

C. Çinar 2004 yılında; = +1 n x n y 1 , y_n₊₁ = 1 1 − − n n n y x y

fark denklem sisteminin çözümlerinin dört periyotlu olduğunu incelemiştir.

M. Saleh, M. Aloqeili 2005 yılında;

{

2,3,4,...

}

); , 0 ( , ... , , , ₁ ₀ 1 = + − − − + ∈ ∞ ∈ + y y y A k y y A y _k _k n k n n

(13)

4

M. J. Douraki, M. Dehghan, M. Razzghi 2006 yılında;

) , 0 ( ... , , ); , 0 ( , ; ₃ ₁ ₃ ₂ ₀ 3 ∞ ∈ ∞ ∈ + = ₋ ₊ ₋ ₊ − − x AB x x x B x A x _k _k k n k n n

(14)

5 2.BÖLÜM

FARK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ GENEL TANIMLAR

x bağımsız değişkeni sürekli durumda iken, y(x) bağımlı değişkeninin değişimi y(x),y′(x),...,y(n)(x) türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x’in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz. Bu bölümde x’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

Tanım 2.1. n bağımsız değişken ve buna bağımlı değişken de y olmak üzere, bağımlı ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin F(y),F2(y),...,F(n)(y),... gibi farklarını içine alan bağıntılara Fark Denklemi denir. Fark denklemleri Z → IR ye tanımlanmış olan fonksiyonlardır (Elaydi 1995, Rugh 1996, Agarwal 2000). Örneğin; n n n a y f y a₀ + ₁ ₊₁ = fark denklemi birinci mertebeden fark denklemidir veya

n n n n a y a y g y a₀ ₋₁ + ₁ + ₂ ₊₁ = denklemi ikinci mertebedendir. Genel olarak;

n k n k n k n a y a y h y ₊ + ₋₁ ₊ ₋₁+...+ ₀ =

denklemi n. mertebeden lineer fark denklemidir. Burada f ve _n g ’ler n’ye bağlı _n fonksiyonlardır. Bir fark denkleminin mertebesi; en yüksek mertebeli terimin mertebesi ile en düşük mertebeli terimin mertebesi arasındaki farktır. Bir fark denkleminde mertebesi kadar başlangıç şartı bulunur.

Tanım 2.2. Bir fark denkleminde bağımlı değişken birinci derecedense bu denkleme

lineer fark denklemi denir (Elaydi 1995, Rugh 1996, Agarwal 2000).

Örneğin;

n y y

y_n₊₂ −7 _n₊₁+ _n =

fark denklemi ikinci mertebeden lineer fark denklemidir veya 0 3 2 3 ₂ ₁ 3 − + + + − = + n n n n y y y y

(15)

6

denklemi ise üçüncü mertebeden lineer fark denklemidir. Örneğin;

y_n₊₁ −y_n +ny_n₊₁y_n =0

fark denklemi ise birinci mertebeden lineer olmayan bir fark denklemidir.

n. mertebeden bir lineer fark denklemi ise An, An-1, … , A0 lar sabitler olmak

üzere, n k k n n k n ny A y A y f A ₊ + ₋₁ ₊ ₋₁+ ₀ = şeklindedir.

Tanım 2.3. I ⊂ IR olmak üzere, f :I∗I →I tanımlı, sürekli ve diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O takdirde ∀x₋₁,x₀∈I için {x_n}∞_n₌₀’ye

) , ( ₁ 1 − + = n n n f x x

x , (n = 0, 1, 2, … ) fark denkleminin çözümü adı verilir (Elaydi

1995, Rugh 1996, Agarwal 2000).

Tanım 2.4. Eğer x noktası için, f(x,x)= x ise x noktasına f’’nin denge noktası

denir. Eğer ∀n≥0 için x= x_n ise x noktasına f ’nin sabit noktası denir ( Elaydi 1995, Rugh 1996, Agarwal 2000).

Tanım 2.5. x, x_n₊₁= f(x_n,x_n₋₁), (n= 0, 1, 2, … ) denkleminin denge noktası olmak üzere,

a) Eğer ∀ ε > 0 için x-1 , x0 ∈ I iken x₀ −x + x−₁−x <

δ

olacak şekilde bir

0 >

δ sayısı varsa bütün n≥0 için x_n −x <

ε

olur. Bu durumda x denge noktası kararlıdır denir.

b) Eğer x denge noktası kararlı ve x-1 , x0∈ I iken x0 −x + x−1−x <

σ

olacak şekilde bir σ >0 sayısı varsa; o zaman x_n x

n→∝ =

lim dir. Bu halde x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

c) Eğer ∀x₋₁,x₀∈I iken x_n x n→∝ =

lim ise; o zaman x denge noktasına global çekici denir.

(16)

7

d) Eğer x denge noktası kararlı ve global çekici ise x denge noktasına global asimptotik kararlıdır denir.

e) Eğer x denge noktası kararlı değil ise x denge noktasına kararsızdır denir

(Elaydi 1995, Rugh 1996, Agarwal 2000, Yang at all 2004).

Tanım 2.6. Fark denkleminin denge noktasındaki kısmi türevleri ile oluşturduğumuz yeni denkleme bu fark denkleminin karakteristik denklemi adı verilir (Elaydi 1995,

Rugh 1996, Agarwal 2000, Yang at all 2004, Douraki at all 2006).

Örneğin; ) , ( ) , ( ₁ ₂ 1 f x x f u v x_n₊ = _n₋ _n₋ = (2.1) olmak üzere oluşturulan

0 ) , ( ) , ( 2 1 1 _∂ = ∂ − ∂ ∂ − ₋ ₋ + n n n z v y y f z u y y f z

denklemi (2.1) denkleminin karakteristik denklemidir.

O halde herhangi bir

) ( , ) , ... , , ( ₁ ₂ 1 f x x x k IN x_n₊ = _n₋ _n₋ _n₋_k ∈

fark denkleminin karakteristik denklemi

0 ... 2 2 1 1 1− − − − − − − = + n n k n k n Pz P z P z z için,

a) P₁ + P₂ +...+ P_k <1 ise o takdirde denklem lokal asimptotik kararlıdır. b) P₁ + P₂ +...+ P_k >1 ise o takdirde denklem kararsızdır.

1 2 ... k 1

P + P + + P = olması halinde ise bu denklemin lokal asimptotik kararlılığı hakkında bir şey söylenemez.

Tanım 2.7. Eğer

{ }

x_n dizisinde x_n₊_p = x_n olacak şekildeki en küçük p sayısına bu dizinin periyodu denir (Elaydi 1995, Rugh 1996, Agarwal 2000, Yang at all 2004,

(17)

8

Tanım 2.8.

{ }

x_n dizisi için, dizinin sonlu sayıdaki terimleri hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terimler için, x_n₊_p =x_n olacak şekildeki en küçük p sayısına

{ }

x_n dizisinin periyodu ergeç p ’dir denir (Elaydi 1995, Rugh 1996, Agarwal 2000, Yang at all 2004, Douraki at all 2006).

(18)

9 3. BÖLÜM

LĐNEER OLMAYAN FARK DENKLEMĐ, ÇÖZÜMÜ VE LOKAL ASĐMPTOTĐK KARARLILIĞI

Bu bölümde; x ve ₀ x₋₁ pozitif reel sayılar olmak üzere, n n n n x x x x ₊₁=1− −1 , (n = 0, 1, 2, …) (3.1)

lineer olmayan fark denkleminin çözümlerini, bu çözümlerin başlangıç şartlarına göre durumları ve bu çözümlerin lokal asimptotik kararlılığı incelenmiştir. Bu kısımda C. Çinar ’ın 1 1 1 . 1 ₋ − + = ₋ ₊ n n n n x x x x , (n = 0, 1, 2, …)

rasyonel fark denklemi için elde etmiş olduğu sonuçlardan faydalanılmıştır.

Teorem 3.1. x₋₁ =k ve x₀ =h için, (3.1) fark denkleminin çözümü

{ }

x_n dizisi olsun. O takdirde, t = 0, 1, 2, … için (3.1) denkleminin çözümü;

1 2 2 1 1 2 . 1 , 1 + + + +       − =       − = t t t t hk hk h x hk hk k x (3.2)

Đ_{spat: t = 0 için aşağıdaki sonuçlar elde edilir:} , 1 1 h hk x = − . 1 2 2 hk k h x − =

Şimdi t > 0 olmak üzere, (t-1) için aşağıdaki ifadelerin doğru olduğunu varsayalım.

. ) 1 ( , 1 2 1 2 t t t t hk hk h x hk hk k x − =       ₋ = − (3.3)

(19)

10

t için bu ifadelerin doğru olduğunu gösterelim: (3.1) ve (3.3) ten, 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ₋ + + = _ − _       − − =       −       −       − − = − = t t t t t t t t t hk hk k hk hk h hk hk hk h hk hk k hk hk h x x x x , 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + = _ ₋ _       −       − − =       −       −       − − = − = t t t t t t t t t hk hk h hk hk k hk hk hk hk hk k hk hk h hk hk k x x x x .

elde edilir ki, teoremin ispatı tamamlanmıştır.

Teorem 3.2. (3.1) denkleminin 2 1 ve -2 1

olan iki farklı denge noktası vardır.

Đ_{spat: (3.1) denkleminin denge noktaları için,}

y y y 2 1− = denklemini yazabiliriz.

Buradan 2y2 −1=0 elde edilir. Böylece denklemin denge noktaları; 2 1 ve -2 1 dir. Teorem 3.3. (3.1) denkleminin 2 1 ve -2 1

denge noktaları lokal asimptotik kararlı değildir.

Đ_{spat: (3.1) denkleminin lokal asimptotik kararlılığı için lineer denklemler,} 2 1 ve -2 1

denge noktaları için sırasıyla z_n₊₁+2z_n +z_n₋₁ =0, z_n₊₁+2z_n +z_n₋₁ =0 dır. Bu denklemlerin karakteristik denkleminin köklerinin mutlak değerleri 1’e eşittir. Böylece ispat tamamlanmıştır.

(20)

11

Sonuç 3.1. x₋₁ =k ve x₀ =h başlangıç şartları ile (3.1) denkleminin çözümü

{ }

x_n dizisi ve h>0, k >0 ve hk <1 olduğunu varsayalım. O takdirde denklemin bütün çözümleri pozitiftir.

Đ_{spat: (3.2) den tüm çözümler pozitiftir.}

{ }

x_n dizisi ve h<0, k <0 ve hk <1 olduğunu varsayalım. O takdirde denklemin bütün çözümleri negatiftir.

Đ_{spat: (3.2) den tüm çözümler negatiftir.}

{ }

x_n dizisi ve h>0, k >0 ve

2 1 <

hk olduğunu varsayalım. O takdirde; ∞ = + ∞ → 2 1 lim _t t x ve lim ₂ ₊₂ =0 ∞ → t t x . Đ_spat:_h>₀_,_k >₀_ve 2 1 < hk . O takdirde 1 1 , hk hk − < 1 1−hk < hk ve (3.2) den; . 0 1 lim lim , 1 lim lim 1 2 2 1 1 2 =       − = ∞ =       ₋ = + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → t t t t t t t t hk hk h x hk hk k x

{ }

x_n dizisi ve h<0, k <0 ve

2 1 <

hk olduğunu varsayalım. O takdirde; −∞ = + ∞ → 2 1 lim _t t x ve lim ₂ ₊₂ =0 ∞ → t t x .

(21)

12 Đ_spat:_h<₀_,_k <₀_ve 2 1 < hk olsun. O takdirde 1 1 , hk hk − < 1 1−hk < hk ve (3.2) den; . 0 1 lim lim , 1 lim lim 1 2 2 1 1 2 =       − = −∞ =       − = + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → t t t t t t t t hk hk h x hk hk k x

{ }

x_n dizisi ve h>0, k >0 ve

2 1 >

hk olduğunu varsayalım. O takdirde (t =0,1,2,…) için; 0 lim ₂ ₊₁ = ∞ → t t x ve ₊ =∞ ∞ → 2 2 lim _t t x . Đ_spat:_h>₀_,_k >₀_ve 2 1 > hk olsun. O takdirde 1− <1, hk hk 1 1−hk > hk ve (3.2) den; . 1 lim lim , 0 1 lim lim 1 2 2 1 1 2 ∞ =       − = =       ₋ = + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → t t t t t t t t hk hk h x hk hk k x

Sonuç 3.6. x₋1 =k ve x0 =h başlangıç şartları ile (3.1) denkleminin çözümü

{ }

xn dizisi ve h<0, k <0 ve

2 1 >

hk olduğunu varsayalım. O takdirde; 0 lim ₂ ₊₁ = ∞ → t t x ve ₊ =−∞ ∞ → 2 2 lim _t t x . Đ_spat:_h<₀_,_k <₀_ve 2 1 > hk olsun. O takdirde 1− <1, hk hk 1 1−hk > hk ve (3.2) den; . 1 lim lim , 0 1 lim lim 1 2 2 1 1 2 −∞ =       − = =       − = + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → t t t t t t t t hk hk h x hk hk k x

(22)

13 4.BÖLÜM

FARK DENKLEM SĐSTEMLERĐNĐN POZĐTĐF ÇÖZÜMLERĐ

4.1. 1 1 1 1 , 1 − − + + = = n n n n n n y x x y y

x FARK DENKLEM SĐSTEMĐNĐN

POZĐTĐF ÇÖZÜMLERĐ Bu bölümde; 0 1, x x₋ ,y₀,y₋₁ ∈(0,∞) (4.1.1) olmak üzere, 1 1 1 1 , 1 − − + + = = n n n n n n y x x y y x , (n=0, 1, 2, … ) (4.1.2) fark denklem sisteminin çözümleri araştırılmıştır.

Bu kısımda ise C. Çinar’ın

1 1 1 1 , 1 − − + + = = n n n n n n y x y y y x , (n=0, 1, 2, … )

rasyonel fark sistemi için elde etmiş olduğu sonuçlardan faydalanılmıştır.

Teorem 4.1.1. x₋₁, x₀,y₀,y₋₁∈(0,∞) olmak üzere, (4.1.2) denklem sisteminin çözümünün

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri altı periyotlu ve periyodiktir.

Đ_{spat: (4.1.1) hipotezi altında (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir.} Böylece (4.1.2) denklem sistemi yardımıyla aşağıdaki eşitlikler elde edilir:

n n n n n n y x x y x x = ₊ = − − + 2 1 1 2 , , , , 1 1 1 1 1 − − + + = = n n n n n n y x x y y x

(23)

14 n n n n y y x x ₊₃ = 1 , ₊₃ = 1 , 1 1 4 4 , − − + + = = n n n n n n x y x y y x , n n n n n n x y y x x x , ₅ 1 1 1 5 = + = − − + , . 6 6 n, n n n x y y x ₊ = ₊ =

olup, Tanım 2.7’den denklem sisteminin çözümlerinin altı periyotlu olduğu görülür.

Teorem 4.1.2. x₋₁, x₀,y₀,y₋₁∈(0,∞), x₋₁ =r,x₀ =s,y₀ =q,y₋₁ = p başlangıç şartları ile (4.1.2) denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda n=0, 1, 2, … için (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

sp r y q x₆_n₊₁= 1, ₆_n₊₁= , , , ₆ ₂ 2 6 y s r sp x _n₊ = _n₊ = q y s x₆_n₊₃ =1, ₆_n₊₃ =1, r sp y q x₆_n₊₄ = , ₆_n₊₄ = , s y sp r x₆_n₊₅ = , ₆_n₊₅ =1, q y s x₆_n₊₆ = , ₆_n₊₆ = .

(24)

15

Đ_{spat: (4.1.1) hipotezine göre (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir.} Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım: sp r y q x₆_n₋₅ = 1, ₆_n₋₅ = , , , ₆ ₄ 4 6 y s r sp x _n₋ = _n₋ = q y s x₆_n₋₃ =1, ₆_n₋₃ =1, r sp y q x₆_n₋₂ = , ₆_n₋₂ = , s y sp r x₆_n₋₁ = , ₆_n₋₁=1, q y s x₆_n = , ₆_n = .

Daha sonra n için aşağıdaki sonuçların doğru olduğu görülür:

, 1 , 1 1 1 6 6 1 6 1 6 6 1 6 sp r s s sp r y x x y q y x n n n n n n = = = = = − − + + , , 1 6 2 6 1 6 1 6 6 2 6 y x s r sp sp r s s x y x x _n _n n n n n = = = + = = − − + q y y s x x n n n n 1 1 , 1 1 6 3 6 6 3 6 + = = + = = ,

(25)

16 r sp sp r s s x y x y q y x n n n n n n = = = = = − − + + 1 , 1 6 1 6 6 4 6 6 4 6 , s x y sp r s s sp r y x x x n n n n n n 1 1 , 1 6 5 ₆ 1 6 6 1 6 5 6 = = = + = = − − + , q y y s x x₆_n₊₆ = ₆_n = , ₆_n₊₆ = ₆_n_.= .

(26)

17 4.2. 1 1 1 1 , − − + + = = n n n n n n y x Bx y y A

POZĐTĐF ÇÖZÜMLERĐ Teorem 4.2.1. A, B ∈IR, x₋₁, x₀,y₀,y₋₁∈(0,∞) (4.2.1) olmak üzere, 1 1 1 1 , − − + + = = n n n n n n y x Bx y y A x , (n=0, 1, 2, … ) (4.2.2) fark denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri altı periyotlu ve periyodiktir.

, , 1 1 1 1 − − + + = = n n n n n n y x Bx y y A x A Bx y Bx y Ax x _n n n n n n = + = − − + 2 1 1 2 , , n n n n y B y Bx A x ₊ = ₊₃= 2 3 , , 1 1 4 4 , − − + + = = n n n n n n x y x y B Ay x , n n n n n n x A y y x Ax x = ₊ = − − + 5 1 1 5 , , . 6 6 n, n n n x y y x ₊ = ₊ =

(27)

18

Teorem 4.2.2. A ve B birer reel sayı, x₋₁, x₀,y₀,y₋₁∈(0,∞), s

x r

x₋₁ = , ₀ = ,y₀ =q,y₋₁= p başlangıç şartları ile (4.2.2) denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

sp Br y q A x₆_n₊₁= , ₆_n₊₁= , , , ₆ ₂ 2 6 A Bs y Br Asp x _n₊ = _n₊ = q B y Bs A x _n₊ = ₆_n₊₃ = 2 3 6 , , r sp y B Aq x₆_n₊₄ = , ₆_n₊₄ = , s A y sp Ar x₆_n₊₅ = , ₆_n₊₅= , q y s x₆_n₊₆ = , ₆_n₊₆ = .

Đ_{spat: (4.2.1) hipotezine göre (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir.} Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım: sp Br y q A x₆_n₋₅= , ₆_n₋₅ = , , , ₆ ₄ 4 6 A Bs y Br Asp x _n₋ = _n₋ = q B y Bs A x _n₋ = ₆_n₋₃= 2 3 6 , ,

(28)

19 r sp y B Aq x₆_n₋₂ = , ₆_n₋₂ = , s A y sp Ar x₆_n₋₁= , ₆_n₋₁= , q y s x₆_n = , ₆_n = .

, , 1 6 6 1 6 1 6 6 1 6 sp Br s A s sp Ar B y x Bx y q A y A x n n n n n n = = = = = − − + + , , ₆ ₂ 6 1 6 1 6 6 2 6 A Bs A Bx y Br Asp sp Ar B s A As Bx y Ax x _n n n n n n = = = + = = − − + q B y B y Bs A Bx A x n n n n+ = = + = = 6 3 6 2 6 2 3 6 , , r sp sp Ar s A s x y x y B Aq B Ay x n n n n n n = = = = = − − + + 1 6 1 6 6 4 6 6 4 6 , , s A x A y sp Ar s A s sp Ar A y x Ax x n n n n n n = = = + = = − − + 6 5 6 1 6 6 1 6 5 6 , , q y y s x x₆_n₊₆ = ₆_n = , ₆_n₊₆ = ₆_n_.= . Böylece indüksiyon ile ispat tamamlanmıştır.

(29)

20 4.3. 2 1 1 1 1 , 1 − − + − + = = n n n n n n y x x y y

POZĐTĐF ÇÖZÜMLERĐ Teorem 4.3.1. x₋₁, x₀,y₀,y₋₁,y₋₂∈(0,∞) (4.3.1) olmak üzere, 2 1 1 1 1 , 1 − − + − + = = n n n n n n y x x y y x , (n=0, 1, 2, … ) (4.3.2)

fark denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotlu ve periyodiktir.

2 1 1 1 1 , 1 − − + − + = = n n n n n n y x x y y x , , , 1 2 2 A x y y x _n n n n+ = + = , 1 , 1 4 4 n n n n y y x x ₊ = ₊ = , , 1 2 5 1 5 − − + − + = = n n n n n n x y x y y x , 1 , ₆ 6 n n n n x y y x ₊ = ₊ = , 1 , 1 3 1 2 3 − + − − + = = n n n n n n y y x y x x

(30)

21 , , ₇ ₁ 2 1 7 + − − − + = n = n n n n n y y y x x x . , ₈ 8 n n n n x y y x ₊ = ₊ = Teorem 4.3.2. x₋₁, x₀,y₀,y₋₁,y₋₂∈(0,∞), x₋₁=r, x₀ =s, y₀ =q, y₋₁= p, k

y₋₂ = başlangıç şartları ile (4.3.2) denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda n=0, 1, 2, … için (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri; sk r y p x₈_n₊₁= 1, ₈_n₊₁= , , , 1 2 8 2 8 y s q x _n₊ = _n₊ = p y r sk x₈_n₊₃= , ₈_n₊₃ = 1 , q y s x₈_n₊₄ =1, ₈_n₊₄ = 1, r sk y p x₈_n₊₅ = , ₈_n₊₅ = , , 1 , ₈ ₆ 6 8 s y q x _n₊ = _n₊ = , , ₈ ₇ 7 8 y p sk r x _n₊ = _n₊ = . , ₈ ₈ 8 8 s y q x _n₊ = _n₊ =

(31)

22

Đ_{spat. (4.3.1) hipotezine göre (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir.} Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım: sk r y p x₈_n₋₇ = 1, ₈_n₋₇ = , p y r sk x₈_n₋₅= , ₈_n₋₅ = 1 , q y s x₈_n₋₄ =1, ₈_n₋₄ =1, r sk y p x₈_n₋₃= , ₈_n₋₃ = , , 1 , ₈ ₂ 2 8 s y q x _n₋ = _n₋ = , , ₈ ₁ 1 8 y p sk r x _n₋ = _n₋ =

, 1 , 1 1 2 8 8 1 8 1 8 1 8 1 8 sk r s s sk r y x x y p y x n n n n n n = = = = = − − + − + , , 1 6 8 6 8 y s q x _n₋ = _n₋ = . , ₈ 8 s y q x _n = _n =

(32)

23 , , 1 1 8 2 8 8 2 8 y x s q y x _n _n n n+ = = + = = , 1 1 , 1 1 8 3 8 1 8 2 8 8 3 8 p y y r sk sk r s s x y x x n n n n n n = = = = = − + − − + , 1 1 , 1 1 8 4 8 8 4 8 q y y s x x n n n n+ = = + = = , 1 , 1 8 2 8 8 5 8 1 8 5 8 r sk sk r s s x y x y p y x n n n n n n = = = = = − − + − + , 1 1 , 8 6 8 8 6 8 s x y q y x n n n n+ = = + = = , , 1 8 7 8 1 2 8 8 1 8 7 8 y y p sk r s s sk r y x x x _n _n n n n n = = = + = − = − − + . , ₈ ₈ ₈ 8 8 8 x s y y q x _n₊ = _n = _n₊ = _n =

(33)

24 4.4. 2 1 1 1 1 , − − + − + = = n n n n n n y x Bx y y A

POZĐTĐF ÇÖZÜMLERĐ

Teorem 4.4.1. A ve B birer reel sayı ve x₋₁, x₀,y₀,y₋₁,y₋₂∈(0,∞) (4.4.1) olmak üzere, 2 1 1 1 1 , − − + − + = = n n n n n n y x Bx y y A x , (n=0, 1, 2, … ) (4.4.2) fark denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotlu ve periyodiktir.

Đ_{spat. (4.4.1) hipotezi altında (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir.} Böylece (4.4.2) denklem sistemi yardımıyla aşağıdaki eşitlikler elde edilir:

2 1 1 1 1 , − − + − + = = n n n n n n y x Bx y y A x , , , ₂ 2 A Bx y y A x _n n n n+ = + = , , 1 3 1 2 3 − + − − + = = n n n n n n y B y Bx y Ax x , , ₄ 2 4 n n n n y B y Bx A x ₊ = ₊ = , , 1 2 5 1 5 − − + − + = = n n n n n n x y x y B Ay x , , ₆ 6 n n n n x A y B Ay x ₊ = ₊ =

(34)

25 , , ₇ ₁ 2 1 7 + − − − + = n = n n n n n y y y x Ax x . , ₈ 8 n n n n x y y x ₊ = ₊ =

Teorem 4.4.2. A ve B birer reel sayı x₋₁, x₀,y₀,y₋₁,y₋₂∈(0,∞), s

x r

x₋₁ = , ₀ = ,y₀ =q,y₋₁= p,y₋₂ =k başlangıç şartları ile (4.4.2) denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

sk Br y p A x₈_n₊₁= , ₈_n₊₁= , , , ₈ ₂ 2 8 A Bs y q A x _n₊ = _n₊ = p B y Br Ask x₈_n₊₃= , ₈_n₊₃ = , q B y Bs A x _n₊ = ₈_n₊₄= 2 4 8 , , r sk y B Ap x₈_n₊₅= , ₈_n₊₅ = , , , ₈ ₆ 6 8 s A y B Aq x _n₊ = _n₊ = . , ₈ ₈ 8 8 s y q x _n₊ = _n₊ = , , ₈ ₇ 7 8 y p sk Ar x _n₊ = _n₊ =

(35)

26

Đ_{spat. (4.4.1) hipotezine göre (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir.} Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım: sk Br y p A x₈_n₋₇ = , ₈_n₋₇ = , p B y Br Ask x₈_n₋₅ = , ₈_n₋₅ = , q B y Bs A x _n₋ = ₈_n₋₄ = 2 4 8 , , r sk y B Ap x₈_n₋₃ = , ₈_n₋₃= , , , ₈ ₂ 2 8 s A y B Aq x _n₋ = _n₋ = , , ₈ ₁ 1 8 y p sk Ar x _n₋ = _n₋ =

, , 2 8 8 1 8 1 8 1 8 1 8 sk Br s A s sk Ar B y x Bx y p A y A x n n n n n n = = = = = − − + − + , , ₈ ₆ 6 8 A Bs y q A x _n₋ = _n₋ = . , ₈ 8 s y q x _n = _n =

(36)

27 , , ₈ ₂ 8 8 2 8 A Bs A Bx y q A y A x _n n n n+ = = + = = , , 1 8 3 8 1 8 2 8 8 3 8 p B y B y Br Ask sk Ar B s A As Bx y Ax x n n n n n n = = = = = − + − − + , , 8 4 8 2 8 2 4 8 q B y B y Bs A Bx A x n n n n+ = = + = = , , 1 8 2 8 8 5 8 1 8 5 8 r sk sk Ar s A s x y x y B Ap B Ay x n n n n n n = = = = = − − + − + , , 8 6 8 8 6 8 s A x A y B Aq B Ay x n n n n+ = = + = = , , ₈ ₇ ₈ ₁ 2 8 8 1 8 7 8 y y p sk Ar s A s sk Ar A y x Ax x _n _n n n n n = = = + = − = − − + . , ₈ ₈ ₈ 8 8 8 x s y y q x _n₊ = _n = _n₊ = _n =

(37)

28 4.5.

( )

1 1 1 1 , 1 + − − + − + = = k n n n n k n n y x x y y

Teorem 4.5.1. k bir doğal sayı ve

0 1, x x₋ ,y₋_k₋₁,y₋_k,y₋_k₊₁,y₋_k₊₂,...,y₋₁,y₀∈(0,∞) (4.5.1) olmak üzere,

( )

1 1 1 1 , 1 + − − + − + = = k n n n n k n n y x x y y x , (n=0, 1, 2, … ) (4.5.2) fark denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.5.2) denklem sisteminin bütün çözümleri (2k+6) periyotlu ve periyodiktir.

( )

1 1 1 1 , 1 + − − + − + = = k n n n n k n n y x x y y x , , , 1 2 1 n n n k n y x y x ₊ ₊ = ₊ =

( )

, 1 , ₃ 1 1 2 k n n n k n n k n y y x y x x − + − + − + + = = , 1 , 1 3 3 n k n n k n y y x x ₊ ₊ = ₊ ₊ =

( )

, , 1 1 4 4 − + − + + − + + = = n k n n k n k n k n x y x y y x , 1 , ₅ 4 2 n k n n k n x y y x ₊ ₊ = ₊ ₊ =

(38)

29

( )

1 , 6 , 1 5 2 n k n k k n n n k n y y y x x x ₊ ₊ ₋ + − − + + = = . , ₂ ₆ 6 2k n n k n n x y y x ₊ ₊ = ₊ ₊ = Teorem 4.5.2. k∈IN ve x₋₁, x₀,y₋_k₋₁,y₋_k,y₋_k₊₁,y₋_k₊₂,...,y₋₁,y₀∈(0,∞), s x r

x₋₁ = , ₀ = ,y₀ =q,y₋₁= p,y₋₂=k,y₋_k =m,y₋_k₋₁=n, başlangıç şartları ile (4.5.2) denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda

=

n 0, 1, 2, … için (4.5.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

(

₂ ₆

)

₁ 1 ,

(

₂ ₆

)

₁ , sn r y m x_n _k₊ ₊ = _n _k₊ ₊ =

(

₂ ₆

)

₁ 1, y

(

₂ ₆

)

₂ s, q x_n _k₊ ₊_k₊ = _n _k₊ ₊ =

(

₂ ₆

)

₂ ,

(

₂ ₆

)

₃ 1 , m y r sn x_n _k₊ ₊_k₊ = _n _k₊ ₊ =

(

₂ ₆

)

₃ 1,

(

₂ ₆

)

₃ 1, q y s x_n _k₊ ₊_k₊ = _n _k₊ ₊_k₊ =

(

₂ ₆

)

₄ ,

(

₂ ₆

)

₄ , r sn y m x_n _k₊ ₊_k₊ = _n _k₊ ₊_k₊ =

(

₂ ₆

)

₂ ₄ ,

(

₂ ₆

)

₅ 1, s y q x_n _k₊ ₊ _k₊ = _n _k₊ ₊_k₊ =

(

₂ ₆

)

₂ ₅ , y

(

₂ ₆

)

₆ m, sn r x_n _k₊ ₊ _k₊ = _n _k₊ ₊_k₊ =

(

₂ ₆

)

₂ ₆ s, y

(

₂ ₆

)

₂ ₆ q. x_n _k₊ ₊ _k₊ = _n _k₊ ₊ _k₊ =

(39)

30

Đ_{spat. (4.5.1) hipotezine göre (4.5.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir.} Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım:

(

₂ ₆

)

₂ ₅ 1 ,

(

₂ ₆

)

₂ ₅ , sn r y m x_n _k₊ ₋ _k₋ = _n _k₊ ₋ _k₋ =

(

₂ ₆

)

₅ 1, y

(

₂ ₆

)

₂ ₄ s, q x_n _k₊ ₋_k₋ = _n _k₊ ₋ _k₋ =

(

₂ ₆

)

₄ ,

(

₂ ₆

)

₂ ₃ 1 , m y r sn x_n _k₊ ₋_k₋ = _n _k₊ ₋ _k₋ =

(

₂ ₆

)

₃ 1,

(

₂ ₆

)

₃ 1, q y s x_n _k₊ ₋_k₋ = _n _k₊ ₋_k₋ =

(

₂ ₆

)

₂ ,

(

₂ ₆

)

₂ , r sn y m x_n _k₊ ₋_k₋ = _n _k₊ ₋_k₋ =

(

₂ ₆

)

₂ ,

(

₂ ₆

)

₁ 1, s y q x_n _k₊ ₋ = _n _k₊ ₋_k₋ =

(

₂ ₆

)

₁ , y

(

₂ ₆

)

m, sn r x_n _k₊ ₋ = _n _k₊ ₋_k =

(

₂ ₆

)

s, y

(

₂ ₆

)

q. x_n _k₊ = _n _k₊ =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) ( )

1 , , 1 1 1 6 2 6 2 1 6 2 1 6 2 6 2 1 6 2 sn r s s sn r y x x y m y x k k n k n k n k n k k n k n = = = = = + − + + − + + + − + + +

(40)

31

(

)

(

)

,

(

)

(

)

, 1 1 6 2 2 6 2 6 2 1 6 2 y x s q y x _n _k _n _k k n k k n = = + + = + = + + + +

(

)

(

) (

) ( )

(

)

(

)

(

)

, 1 1 , 1 6 2 3 6 2 1 6 2 1 6 2 6 2 2 6 2 m y y r sn sn r s s x y x x k k n k n k n k k n k n k k n = = = = = − + + + − + + − + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

, 1 1 , 1 1 6 2 3 6 2 6 2 3 6 2 q y y s x x k n k k n k n k k n = = = = + + + + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

) (

) ( )

(

)

, 1 , 1 6 2 1 6 2 6 2 4 6 2 6 2 4 6 2 r sn sn r s s x y x y m y x k n k k n k n k k n k k n k k n = = = = = − + + − + + + + + − + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

, 1 1 , 6 2 5 6 2 6 2 4 2 6 2 s x y q y x k n k k n k n k k n = = = = + + + + + + + +

(

)

(

)

(

₂ ₆

) (

₂ ₆

) ( )

₁ 1 ,

(

2 6

)

6

(

2 6

)

, 1 6 2 5 2 6 2 y y m sn r s s sn r y x x x _n _k _k _n _k _k k k n k n k n k k n = = = + + + = + − = + − + + − + + + +

(

₂ ₆

)

₂ ₆ x

(

₂ ₆₎

)

s, y

(

₂ ₆

)

₂ ₆ y

(

₂ ₆

)

q. x_n _k₊ ₊ _k₊ = _n _k₊ = _n _k₊ ₊ _k₊ = _n _k₊ =

(41)

32 4.6.

( )

1 1 1 1 , + − − + − + = = k n n n n k n n y x Bx y y A

Teorem 4.6.1. k bir doğal sayı, A ve B reel sayılar,

0 1, x x₋ ,y₋_k₋₁,y₋_k,y₋_k₊₁,y₋_k₊₂,...,y₋₁,y₀∈(0,∞) (4.6.1) olmak üzere,

( )

1 1 1 1 , + − − + − + = = k n n n n k n n y x Bx y y A x , (n=0, 1, 2, … ) (4.6.2)

fark denklem sisteminin çözümlerinin

{

x ,_n y_n

}

olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.6.2) denklem sisteminin bütün çözümleri (2k+6) periyotlu ve periyodiktir.

( )

1 1 1 1 , + − − + − + = = k n n n n k n n y x Bx y y A x , , , ₂ 1 A Bx y y A x _n n n k n+ + = + =

( )

_, _, 3 1 1 2 k n n n k n n k n y B y Bx y Ax x − + − + − + + = = , , ₃ 2 3 n k n n k n y B y Bx A x ₊ ₊ = ₊ ₊ =

( )

, , 1 1 4 4 − + − + + − + + = = n k n n k n k n k n x y x y B Ay x , , ₅ 4 2 n k n n k n x A y B Ay x ₊ ₊ = ₊ ₊ =