Hata Ve Normalize Edilmiş İvme Bilgisine Dayalı Pı Kontrolör Katsayı İyileştirme Yöntemi

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ


FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Aysel ABALI

Anabilim Dalı : Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Programı : Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği

HAZĐRAN 2011

HATA VE NORMALĐZE EDĐLMĐŞ ĐVME BĐLGĐSĐNE DAYALI PI KONTROLÖR KATSAYI ĐYĐLEŞTĐRME YÖNTEMĐ

HAZĐRAN 2011

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ



FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Aysel ABALI

(504081106)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 06 Mayıs 2011 Tezin Savunulduğu Tarih : 08 Haziran 2011

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Đbrahim EKSĐN (ĐTÜ) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Müjde GÜZELKAYA (ĐTÜ)

Prof. Dr. Serhat ŞEKER (ĐTÜ)

HATA VE NORMALĐZE EDĐLMĐŞ ĐVME BĐLGĐSĐNE DAYALI PI KONTROLÖR KATSAYI ĐYĐLEŞTĐRME YÖNTEMĐ

ÖNSÖZ

Tez çalışmam süresince yardımlarını esirgemeyerek bilgi birikimini benimle paylaşan, çalışmamda bana yol gösterici olan değerli danışman hocam Sayın Prof. Dr. Đbrahim EKSĐN’e, değerli hocam Sayın Prof. Dr. Müjde GÜZELKAYA’ya teşekkürü bir borç bilir, saygılarımı sunarım.

Hayatım boyunca beni destekleyen, bana duydukları güveni her fırsatta dile getiren sevgili aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca, yüksek lisans öğrenimim boyunca Yurt Đçi Yüksek Lisans Burs Programı kapsamında vermiş olduğu destek için TÜBĐTAK – BĐDEB’e ve tez çalışmam süresince göstermiş oldukları anlayıştan ötürü iş arkadaşlarıma teşekkür ederim.

Haziran 2011 Aysel Abalı

ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa ÖNSÖZ ... iii ĐÇĐNDEKĐLER ... v KISALTMALAR ... vii ÇĐZELGE LĐSTESĐ ... ix ŞEKĐL LĐSTESĐ ... xi ÖZET ... xiii SUMMARY ... xv 1. GĐRĐŞ ... 1 2. PID KONTROLÖRLER ... 3

2.1 Kontrolör Parametrelerinin Etkisi ... 5

2.2 Kontrolör Parametrelerinin Ayarlanması ... 7

3. ZIEGLER NICHOLS PID KONTROL TASARIM YÖNTEMLERĐ ... 9

3.1 Basamak Yanıtı Yöntemi ... 9

3.2 Frekans Yanıtı Yöntemi ... 11

3.3 Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlama Yöntemi ... 12

3.3.1 Arttırılmış Ziegler Nichols ayarlamalı PI kontrolörü ... 13

4. HATA VE NORMALĐZE EDĐLMĐŞ ĐVME BĐLGĐSĐNE DAYALI ZĐEGLER NĐCHOLS PI KONTROLÖR KATSAYI ĐYĐLEŞTĐRME YÖNTEMĐ ... 17

4.1 Normalize Edilmiş Đvme Kavramı ... 18

4.2 Hata Ve Normalize Edilmiş Đvme Bilgisine Dayalı Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrolörü ... 19

4.3 Benzetim Çalışmaları ... 24

4.3.1 Birinci mertebeden ölü zamanlı sistem için benzetim çalışmaları ... 25

4.3.2 Đkinci mertebeden ölü zamanlı sistem benzetim çalışmaları ... 28

4.3.2.1 Đkinci mertebeden ölü zamanlı doğrusal sistem benzetim çalışmaları28 4.3.2.2 Đkinci mertebeden ölü zamanlı marjinal kararlı sistem benzetim çalışmaları 32 4.3.2.3 Đkinci mertebeden ölü zamanlı doğrusal olmayan sistem benzetim çalışmaları 35 4.3.3 Birinci mertebeye indirgenmiş sistem benzetim çalışmaları ... 37

5. ÇOK SÖNÜMLÜ SĐSTEM YANITI VEREN PI KONTROLÖRLER ĐÇĐN HATA VE NORMALĐZE EDĐLMĐŞ ĐVME BĐLGĐSĐNE DAYALI KATSAYI AYARLAMA MEKANĐZMASI ... 41

5.1 Çok Sönümlü Sistem Yanıtları Đçin Benzetim Çalışmaları ... 44

5.2 Az Sönümlü ve Çok Sönümlü Sistem Yanıtları Sağlayan Kontrolör Parametrelerinin Đyileştirilmesi Đçin Bir Anahtarlama Mekanizmasının Oluşturulması ... 46

6. SONUÇ VE ÖNERĐLER ... 49

KISALTMALAR

AZNPI : Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrolörü IAE : Mutlak Hatanın Đntegrali Kriteri

ITAE : Mutlak Hatanın Zaman Ağırlıklı Đntegrali Kriteri PI : Oransal Đntegral Kontrolörü

PID : Oransal Đntegral Türev Kontrolörü

RZNPI : Geliştirilmiş Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrolörü ZNPI : Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrolörü

ÇĐZELGE LĐSTESĐ

Sayfa Çizelge 2.1 : PID kontrolör tipleri. ... 5 Çizelge 2.2 : PID parametrelerinin sistem yanıtına etkisi. ... 6 Çizelge 3.1 : Basamak yanıtı yöntemine göre PID parametrelerinin belirlenmesi.... 10 Çizelge 3.2 : Frekans yanıtı yöntemine göre PID parametrelerinin belirlenmesi. ... 11 Çizelge 4.1 : dde(k) ve de(.) işaretlerine bağlı olarak sistem yanıtının davranışı. .... 19 Çizelge 4.2 : Hata ve hatanın değişiminin bölgelere göre işaret durumları... 20 Çizelge 4.3 : Birinci mertebeden sistem yanıtlarının performans analizi. ... 27 Çizelge 4.4 : Đkinci mertebeden lineer sistem yanıtlarının performans analizi. ... 29 Çizelge 4.5 : Đkinci mertebeden marjinal kararlı sistem yanıtlarının

performans analizi. ... 33 Çizelge 4.6 : Đkinci mertebeden nonlineer sistem yanıtlarının performans analizi. .. 36 Çizelge 4.7 : Birinci mertebeye indirgenmiş yüksek mertebeli sistem

ŞEKĐL LĐSTESĐ

Sayfa

Şekil 2.1 : Hata – zaman eğrisi. ... 3

Şekil 2.2 : PID kontrolörünün sisteme uygulanışı. ... 5

Şekil 3.1 : Ziegler Nichols basamak yanıtı yöntemi. ... 10

Şekil 3.2 : Sadece oransal kontrol uygulanmış kapalı çevrimli sistem. ... 11

Şekil 3.3 : Kritik periyot ve sürdürülen salınım. ... 11

Şekil 3.4 : α’ nın e ve ∆e’ ye bağlı değişimi. ... 13

Şekil 3.5 : Đkinci dereceden az sönümlü sistem yanıtı ve α’ nın değişimi. ... 14

Şekil 4.1 : Örnek sistem kapalı çevrim basamak yanıtı. ... 20

Şekil 4.2 : Oransal kazanç ayarlamasında kullanılan fonksiyon yüzeyi. ... 22

Şekil 4.3 : Referansa yaklaşma durumu için integral kazanç ayarlamasında kullanılan fonksiyonun değişimi.. ... 23

Şekil 4.4 : Referanstan uzaklaşma durumunda integral kazanç ayarlaması için kullanılan fonksiyonun değişimi... ... 23

Şekil 4.5 : Hata ve normalize edilmiş ivme bilgisine dayalı PI katsayı ayarlama yöntemine ait blok diyagram. ... 24

Şekil 4.6 : Birinci mertebeden ölü zamanlı sistem için; kapalı çevrim basamak yanıtı (a), kontrol işareti (b)... ... 26

Şekil 4.7 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi. ... 27

Şekil 4.8 : Ölü zamanı arttırılmış birinci mertebeden sistem basamak yanıtı. ... 28

Şekil 4.9 : Đkinci mertebeden ölü zamanlı lineer sistemin kapalı çevrim birim basamak yanıtı (a); kontrol işareti (b).. ... 29

Şekil 4.10 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi. ... 30

Şekil 4.11 : Ölü zamanı arttırılmış ikinci mertebeden lineer sistem basamak yanıtı. 31 Şekil 4.12 : ikinci mertebeden doğrusal sisteme uygulanan referans işareti. ... 31

Şekil 4.13 : Referans değişikliği durumunda ikinci mertebeden doğrusal sistem yanıtları. ... 32

Şekil 4.14 : Đkinci mertebeden ölü zamanlı marjinal kararlı sistem basamak yanıtı(a) ve kontrol işareti(b). ... 33

Şekil 4.15 : Kontrolör parametrelerinin değişimi. ... 34

Şekil 4.16 : Ölü zamanı arttırılmış ikinci mertebeden marjinal sistem basamak yanıtı. ... 34

Şekil 4.17 : Đkinci mertebeden doğrusal olmayan sistem basamak yanıtı (a) ve kontrol işareti (b). ... 35

Şekil 4.18 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi. ... 36

Şekil 4.19 : Ölü zamanı arttırılmış ikinci mertebeden doğrusal olmayan sistem basamak yanıtı. ... 37

Şekil 4.20 : Đndirgenmiş mertebeli sistem yanıtı ve kontrol işareti. ... 38

Şekil 4.21 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi. ... 39

Şekil 5.1 : Çok sönümlü sistem yanıtlarında oransal kazanç ayarlamasında kullanılan fonksiyonun değişimi. ... 42

Şekil 5.2 : Çok sönümlü sistem yanıtlarında referansa yaklaşma durumu için integral kazanç ayarlamasında kullanılan fonksiyonun değişimi... 43

Şekil 5.3 : Çok sönümlü sistem yanıtlarında referanstan uzaklaşma durumu için integral kazanç ayarlamasında kullanılan fonksiyonun değişimi. ... 43 Şekil 5.4 : Birinci benzetim çalışması için sistem basamak yanıtı(a) ve

kontrol işareti(b). ... 44 Şekil 5.5 : Đkinci benzetim çalışması için sistem basamak yanıtı(a) ve

kontrol işareti(b). ... 45 Şekil 5.6 : Az sönümlü ve çok sönümlü sistem yanıtı sağlayan kontrol sistemlerinin

HATA VE NORMALĐZE EDĐLMĐŞ ĐVME BĐLGĐSĐNE DAYALI PI KONTROLÖR KATSAYI ĐYĐLEŞTĐRME YÖNTEMĐ

ÖZET

Bu çalışmanın amacı klasik PI kontrolör katsayılarının iyileştirilmesine yönelik bir ayarlama mekanizması geliştirmektir.

Klasik PI ve PID kontrolörler basit bir yapıya sahip olmaları ve sistemlere kolay uygulanabilirlikleri sebebiyle endüstride yaygın bir şekilde kullanılmaktadırlar. Bu tip kontrolörlerin pek çok alanda yaygın olarak kullanılması çeşitli ve daha dayanıklı tasarım yöntemlerinin geliştirilmesini gerekli kılmıştır. Ayrıca, belirlenen kontrolör parametrelerinin ayarlanması için çeşitli stratejiler önerilmiştir. Yapılan çalışmada, PID kontrolörler ve Ziegler Nichols PID kontrol basamak yanıtı ve frekans yanıtı tasarım yöntemleri incelenmiştir ve literatürde, Ziegler Nichols tasarım yöntemi ile belirlenen kontrolör parametrelerini iyileştirmek amacıyla geliştirilmiş bir yöntem olan Arttırılmış Ziegler Nichols katsayı ayarlama yöntemi ele alınmıştır.

Bu çalışma ile temel olarak; ayarlama mekanizması, sistem hatası ve normalize edilmiş ivme değişkenlerinin giriş olarak kullanılması ile tasarlanmıştır. Normalize edilmiş ivme sistem yanıtı hakkında göreceli hız bilgisini sağlar. Buna ek olarak, hata ve hatanın değişimi değerleri kullanılarak konum ve sistem yanıtının referans değerine “yaklaşım” ya da referans değerinden “uzaklaşım” davranışı belirlenmiştir. Konum ve sistem yanıtının “yaklaşım” ya da “uzaklaşım” davranışına bağlı olarak ayarlama mekanizmasının fonksiyonu belirlenmiştir. Daha sonra, uygun ayarlama mekanizması kullanılarak kontrolör parametreleri çevrim içi güncellenmiştir.

Geliştirilen mekanizma ilk olarak Ziegler Nichols yöntemleri ile belirlenen kontrolör parametrelerini ayarlamak için kullanılmış, aşımlı ve salınımlı yanıtlar iyileştirilmiştir. Đkinci olarak ayarlama mekanizması çok sönümlü veya yavaş sistem yanıtları sağlayan kontrolör katsayılarını iyileştirmek amacıyla yeniden düzenlenmiştir. Önerilen yöntemin başarımı, Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrol ve Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrol yöntemlerinin sistem yanıtları ve kontrol çıkışları ile karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemin hem basamak hem de bozucu girişlerine karşı daha iyi bir yanıt sağladığı gözlenmiştir.

IMPROVEMENT OF PI CONTROLLER PARAMETERS BASED ON ERROR AND NORMALIZED ACCELERATION INFORMATION

SUMMARY

The aim of this study is to develope an auto-tuning mechanism for improvement of the coefficients of conventional PI controllers.

Conventional PI and PID controllers are widely used in industry due to their simple structures and easy imlementations. The widely use of these type of controllers in numerous fields, made it necessary to develop various and more robust design methodologies. Moreover, various strategies are proposed for fine tuning of the determined parameters. In this study, PID controllers and the Ziegler-Nichols PID controller design methods based on the step response and the frequency response are investigated and a Augmented Ziegler Nichols coefficient tuning method which is developed in the literature for the aim of improving Ziegler Nichols tuned controller parameters is discussed.

Basically, in this study, auto tuning mechanism is designed by using system error and normalized accelaration as inputs. The normalized accelaration provides a relative rate information about the system response. Moreover, using the values of the error and the change of the error, position and “approach” or “drift apart” nature of the system response is determined. According to this position and “approach” or “drift apart” nature of the system response the function of the auto tuning mechnasim is determined. Then, the controller gains are updated in an online fashion using the appropriate auto tuning mechanism.

The proposed mechanism is firstly used for finetuning the controller gains determined due to Ziegler Nichols methods where oscillatory and overshooting responses are ameliorated. Secondly, the tuning mechanism is reformulated to finetune the controller gains which produces over damped or sluggish system response. Performance of the proposed method is compared with the system response and control outputs of Ziegler Nichols Tuned PI Control and Augmented Ziegler Nichols Tuned PI Control methods. The proposed method provide a better response for both step and disturbance inputs.

1. GĐRĐŞ

Son yıllarda, teknolojinin gelişmesi ve ilerlemesi ile birlikte kontrol sistemlerinin önemi her geçen gün artmakta ve geri beslemeli kontrol sistemleri basit ve etkili bir yöntem olarak geçerliliğini korumaktadır. PID kontrolörler günümüzde, geri beslemeli kontrolün en yaygın olarak kullanılan şeklidir. Đntegral, oransal ve türev etkileri geçmiş(I), şimdi(P) ve gelecek(D) kontrol hata değerlerine dayanmaktadır. PID kontrolörler, hatta PI kontrolörler özellikle dinamikleri bilinen ve performans gereksinimleri karmaşık olmayan sistemler için sıklıkla kullanılan kontrolörlerdir. Süreç kontrolünde kullanılan kontrol yapılarının %95’ inden fazlası PID tipi; pek çoğu da PI kontrolörüdür [1]. PI kontrolörler, kağıt endüstrisinde kullanılan kontrolörlerin %98’ ini oluşturmaktadır [2].

PID kontrolör tasarımı, Ziegler ve Nichols [3] 1942’ de kendi yöntemlerini ortaya attığından beri geniş bir araştırma alanı olmuştur [4]. Ziegler Nichols tasarım yöntemi PI ve PID kontrolörler için oldukça makul sonuçlar veren bir ayarlama yöntemi olması dolayısıyla yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Ancak, Ziegler Nichols yöntemiyle ayarlanmış PI kontrolörleri birinci mertebeden sistemler için iyi bir performans sergilemesine rağmen yüksek mertebeli sistemlerde aşımlı ve salınımlı sistem yanıtları ile karşılaşılmaktadır. Özellikle referans değer değişimlerinde yüksek üst aşımlar görülmekte, bozuculara karşı yeterli sistem kararlılığı sağlanamamaktadır. Ziegler Nichols yönteminin sahip olduğu olumsuzlukları ortadan kaldırmak amacıyla literatürde kontrolör parametrelerini otomatik olarak ayarlayan farklı yöntemler öne sürülmüştür. Geliştirilmiş(Refined) Ziegler Nichols Ayarlamalı PI (RZNPI) Kontrol yöntemi, normalize edilmiş kazanç ve normalize edilmiş ölü zaman vasıtasıyla kontrolör parametrelerini ayarlamayı amaçlar [5]. Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlamalı PI (AZNPI) Kontrol yöntemi ise hata ve hatanın değişimine bağlı olarak kontrolör parametrelerini ayarlayan bir yöntemdir [6]. Bu yöntemlerin her ikisi de sistem hatasına bağlı olarak geliştirilen katsayı ayarlama yöntemleridir.

Bu tezde, literatürde önerilen bu yöntemlerden farklı olarak klasik PI kontrolör katsayılarını iyileştirmek amacıyla, sistem hatası ve sistem yanıtının hızlanma bilgilerini bir arada kullanarak katsayıları çevrim içi ayarlayan bir mekanizma oluşturulmuştur. PI kontrolör katsayıları klasik bir çıkarım mekanizması kullanılarak ayarlanmıştır. Sistem hatası ve normalize edilmiş ivme bu çıkarım mekanizmasının bileşenlerini oluşturmaktadır. Normalize edilmiş ivme sistem yanıtının hızlanması hakkında bilgi vermektedir [7]. Hata ve hızlanma bilgileri kullanılarak kontrolöre ait oran ve integral katsayıları oluşturulan kurallar çerçevesinde çevrim içi olarak güncellenmiştir. Önerilen bu güncelleme mekanizması Ziegler Nichols ayarlamalı PI kontrolör katsayıları için ve deneme yanılma yoluyla katsayıları belirlenen bir klasik PI kontrolör katsayıları için olmak üzere iki farklı şekilde ele alınmış, aşımlı ve aşımsız sistem yanıtlarına karşı başarımı incelenmiştir.

Yapılan çalışmanın ana hatlarını şu şekilde özetleyebiliriz: 2. Bölüm’ de klasik PID kontrolörler hakkında detaylı bilgi verilmiş ve kontrolör parametrelerinin sistem yanıtına olan etkileri anlatılmıştır. 3. Bölüm’ de Ziegler Nichols tasarım yöntemleri üzerinde durulmuştur. Literatürde Mudi tarafından önerilmiş olan Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrol yöntemi ele alınmış ve ayarlama mekanizması hakkında bilgi verilmiştir.

4. Bölüm’ de ise bu çalışmada yeni bir ayarlama mekanizması olarak önerilen hata ve normalize edilmiş ivme bilgisine dayalı Ziegler Nichols PI kontrolör katsayılarını ayarlama yöntemi anlatılmıştır. Aynı bölümde geliştirilen yönteme ilişkin benzetim çalışmaları verilmiştir. 5. Bölüm’ de Ziegler Nichols PI ayarlama yönteminden farklı olarak kontrolör katsayıları deneme yanılma yoluyla belirlenmiş çok sönümlü sistem yanıtlarının iyileştirilmesine ilişkin bir yaklaşım ele alınmıştır. Klasik PI kontrolörü ile elde edilen az sönümlü ve çok sönümlü sistem yanıtlarının bir arada iyileştirilebilmesi adına anahtarlama mekanizması kullanımına dair blok diyagram gösterilmiştir. Son bölümde ise geliştirilen yöntem ve benzetim sonuçları irdelenmiş, yapılan çalışma özetlenerek değerlendirilmiştir.

2. PID KONTROLÖRLER

PID kontrolü ilk ve en yaygın olarak kullanılan kontrol algoritmalarından biridir. Geri beslemeli kontrol olgusunun basitçe gerçekleştirilmesine olanak tanır. Bu sebeple, PID kontrolü bugün endüstri dallarında yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Endüstriyel kontrol uygulamalarında kullanılan kontrolörlerin %95’ inden fazlası PID tipi kontrolörlerdir [1]. PID kontrolünün kullanışlılığı birçok kontrol sistemine genel uygulanabilirliğinden kaynaklanmaktadır. Özellikle, sistemin matematiksel modelinin bilinmediği ve dolayısıyla analitik tasarım metotlarının uygulanamadığı durumlarda PID kontrol çok fazla yarar sağladığını kanıtlamaktadır [8].

PID kontrolörü üç terimden oluşmaktadır. Bu terimlerin algoritmadaki etkinlikleri Şekil 2.1 ile ilişkilendirilerek şu şekilde ifade edilebilir:

i. Oransal terim P (Proportional); oransal kontrole karşılık gelir ve t anındaki hata değeri yani “Şimdiki” hata değeri ile orantılı olarak bir çıkış sinyali üretir.

ii. Đntegral terimi I(Integral); t anına kadar olan hata değerlerinin integrali ile orantılı olarak kontrol etkisi meydana getirir. “Geçmişteki” hata değerlerinin toplamı olarak değerlendirilebilir.

iii. Türev terimi D (Derivative) ise t anındaki hatanın zamana göre türevi ile orantılı olarak bir çıkış verir. “Gelecekteki” hata değerinin öngörülmesi olarak belirtilebilir [9].

Kontrol sinyali bu üç terimin toplamı olarak ifade edilir. PID kontrolörüne ilişkin algoritma şu şekilde verilir:

( )

( )

( )

( )

_       + + =

∫

t d i p dt t de T d e T t e K t u 0 1 τ τ _(2.1) Burada;

( )

t : u Kontrol sinyali,

( )

t :

e Kontrol hatası (sistem yanıtının olması istenilen değeri ile sistem çıkışı

arasındaki fark), : p K Oransal kazanç, : i

T Đntegral zamanı, Kontrolör parametreleri :

d

T Türev zamanı,

Denklem (2.1) ile belirtilen PID algoritmasının laplace dönüşümü alındığında kontrolöre ait transfer fonksiyonu denklem (2.2)’ deki gibi olmaktadır:

( )

( )

( )

     + + = = T s s T K s E s U s G d i p c 1 1 _(2.2)

Bu standart formdaki algoritma ISA algoritması ya da ideal PID algoritması olarak da anılmaktadır. Oran, integral ve türev kontrolleri zaman bölgesinde birbirleriyle etkileşimsizdir [1].

(2.2) eşitliğinde verilmiş olan kontrolör transfer fonksiyonu integral kazanç katsayısı i

p i K T

K = / ve türev kazanç katsayısı K_d =K_p ×T_d olmak üzere kazançlar

cinsinden;

( )

K s s K K s G i _d p c = + + (2.3) şeklinde de yazılabilir.

Şekil 2.2 : PID kontrolörünün sisteme uygulanışı.

PID kontrolü kontrol edilmek istenen sistemin karakteristiklerine ve kontrol amacına bağlı olarak farklı şekillerde uygulanabilmektedir. Probleme bağlı olarak PID kontrolörünü oluşturan terimlerden hangilerinin kullanılacağı değişkenlik gösterir. Kontrolör, içinde barındırdığı terimlere göre isimlendirilir. En yaygın olarak kullanılan PID kontrolör tipleri ve transfer fonksiyonları Çizelge 2.1’ de verilmiştir [9].

Çizelge 2.1 : PID kontrolör tipleri.

Kontrolör tipi Kullanılan terim Transfer Fonksiyonu Oran (P) kontrolü Sadece P terimi Gc

( )

s = Kp

Đntegral (I) kontrolü Sadece I terimi

( )

_s

K s G_c = p PI kontrol P ve I terimleri

( )

_     + = s T K s G i p c 1 1 PD kontrol P ve D terimleri Gc

( )

s = Kp

(

1+Tds

)

PID kontrol P, I ve D terimleri

( )

_

    + + = T s s T K s G d i p c 1 1

2.1 Kontrolör Parametrelerinin Etkisi

Daha önce de belirtildiği gibi oran, integral ve türev terimleri PID kontrolörü meydana getirmektedir. Oransal terim için Kp, integral terimi için Ki veya Ti ve türev terimi için Kd veya Td sistem yanıtına etkiyen kontrolör parametreleridir. Bu parametrelerin her birinin sistem cevabına olan etkisi farklıdır.

Oransal kazanç katsayısı Kp; sistem yanıtındaki hata değeriyle orantılı bir kontrol sinyali sağlar. Kp kazancı arttırıldıkça kalıcı hal hatası azalır ancak kazanç değerinin artmasıyla sistem dinamiklerine bağlı olarak daha salınımlı bir sistem yanıtı elde edilir. Sisteme sadece oransal kontrol uygulandığında kararlı durumda normal olarak bir kontrol hatası mevcut bulunur. Đntegral kontrolünün sisteme uygulanışının temel sebebi bu hatayı ortadan kaldırmaktır. Kontrolöre integral teriminin eklenmesiyle bir PI kontrolör elde edilmiş olur. Đntegral zamanı Ti’ nin sonlu değerleri için (T_i →∞iken salt oran kontrolü mevcuttur) kalıcı hal hatası ortadan kalkar. Ti’ nin büyük değerleri için sistem yanıtı referans değerine yavaş bir şekilde yaklaşır. Ti değerinin küçülmesiyle sistem cevabı hızlanır ancak daha salınımlıdır. PI kontrolöre türev teriminin de eklenmesiyle PID kontrolörü elde edilir. Türev teriminin sisteme uygulanış amacı ise kapalı çevrim kararlılığını arttırmaktır. Türev teriminin varlığı hatanın öngörülmesini sağlar. T_d =0 _{olduğu durumda sadece PI kontrolörü vardır.} Sistem yanıtı salınımlı iken Td’ nin değerinin arttırılmasıyla sistem cevabının sönüm miktarı artar. Ancak türev zamanının değerinin çok büyütülmesiyle öngörü kavramı ortadan kalkar ve sönüm miktarı azalır, salınım ise tekrar artmaya başlar.

Her bir kontrolör parametresinin birbirinden bağımsız bir şekilde arttırılması durumunda sistem performansına etkisi Çizelge 2.2’ de gösterilmiştir [10]. Çizelgede bulunan ifadeler kararlı açık çevrimli sistemlerin parametre ayarlamalarında yardımcı olabilir. Çizelgede kontrolör tasarımı sırasında çoğunlukla göz önünde bulundurulan performans kriterleri yükselme zamanı, üst aşım, oturma zamanı ve hata değeri yer almaktadır.

Çizelge 2.2 : PID parametrelerinin sistem yanıtına etkisi. Parametre Yükselme zamanı Üst aşım Oturma zamanı Kalıcı hal hatası Kararlılık

Kp Azalır Artar Az artar Azalır Kötüleşir

Ki Az azalır Artar Artar _{derecede azalır} Önemli Kötüleşir

Kd Az azalır Azalır Azalır Çok az

2.2 Kontrolör Parametrelerinin Ayarlanması

Bir sistemin matematiksel modeli elde edilebiliniyorsa, sistemin kapalı çevrim geçici ve sürekli rejim özelliklerine bağlı olarak kontrolör parametrelerinin belirlenmesine yönelik pek çok değişik tasarım yöntemi mevcuttur. Eğer sistem matematiksel modeli kolaylıkla elde edilemeyecek kadar karmaşık ise PID kontrolörünün analitik yöntemlerle tasarımı mümkün değildir. Bu durumda PID kontrolör parametrelerini ayarlamak için deneysel yaklaşımlara başvurmamız gerekir.

Literatürde PI ve PID kontrolörlere dair pek çok tasarım yöntemi önerilmiştir. Önerilen yöntemlerde farklı performans iyileştirmeleri gözetilerek kontrolör tasarımının gerçekleştirilmesi amaçlanmıştır [2]. Kontrolör parametrelerini hem minimum çabayla istenilen değerlerine ayarlamak hem de sistemin matematiksel modelinin elde edilmesinde karşılaşılabilecek olası zorluklar sebebiyle bu tasarım yöntemleri oluşturulmuştur. En çok bilinen PID tasarım tekniklerinde reaksiyon eğrisi ve nominal işlem noktasında oransal kontrol etkisiyle oluşturulan kapalı çevrim döngüsü kullanılmıştır [13]. Cohen ve Coon, basamak yanıtı yönteminden yola çıkarak uzun ölü zamana sahip sistemler için bir tasarım yöntemi önermişlerdir [11]. Åström ve Hägglund ise Nyquist eğrisi üzerinde istenilen faz payı ve kazanç payına ulaşmak için eğri üzerindeki bir noktayı istenilen noktaya taşıma esasına dayanarak bir yöntem geliştirmişlerdir [12]. Literatürde önerilen yöntemlerden en yaygın olarak kullanılanlardan biri de Ziegler Nichols tasarım yöntemidir. Ziegler ve Nichols PID kontrolör parametreleri Kp, Ti ve Td’ nin ayarlanmasına ilişkin kurallar önermişlerdir. Bu kurallar, basamak yanıtı ve sadece oransal kontrolör kullanılması durumunda sistemi marjinal kararlı hale getiren Kp değeri baz alınarak PID kontrolörlerin ayarlanmasını sağlar [8].

3. ZIEGLER NICHOLS PID KONTROL TASARIM YÖNTEMLERĐ

PID kontrolör parametrelerinin belirlenmesine ilişkin 1942 yılında Ziegler ve Nichols tarafından iki klasik yöntem önerilmiştir. Bu yöntemler hala yaygın bir şekilde orijinal halleriyle veya bazı değişikliklerle kullanılmaktadır. Ziegler Nichols ayarlama kuralları basit ve sezgiseldir. Sistem hakkında çok az bilgi gerektirirler ve çok çaba sarf etmeden uygulanabilirler. Sistem, basit deney yöntemleriyle belirlenebilecek iki parametre ile ifade edilir. Bu ayarlama yöntemleri basamak yanıtı yöntemi ve frekans yanıtı yöntemidir. Her iki yöntem ile tasarım esnasında basamak yanıtında maksimum %25 üst aşım elde edilmesi amaçlanmıştır [1].

3.1 Basamak Yanıtı Yöntemi

Ziegler ve Nichols tarafından ortaya atılmış olan ilk tasarım metodu açık çevrim basamak yanıtındaki sistem bilgisine dayanmaktadır. Basamak yanıtı yöntemi reaksiyon eğrisi metodu olarak da anılır. Basamak yanıtı, Şekil 3.1’ de gösterilen biri zaman gecikmesi L ve diğeri zaman sabiti T olmak üzere sadece iki parametre ile nitelenir. Bu parametreler bulunurken; öncelikle açık çevrim basamak yanıtı eğrisinin maksimum eğime sahip olduğu nokta (bükülme noktası) bulunur. Daha sonra bulunan bu noktaya teğet doğrusu çizilir. Teğet doğrusu ile koordinat eksenlerinin kesişimi L ve T parametrelerini verir. Zaman gecikmesi L, basamak girişinin sisteme uygulanmasından sistem yanıtının görülmesine kadar geçen zamandır. Ziegler Nichols yöntemi ile bulunan zaman gecikmesi değeri sistemin gerçek ölü zamanından biraz daha fazladır. Bu, yüksek mertebeli sistem yerine düşük mertebeli sistem modelinin kullanılmaya çalışılmasından kaynaklanır.

Basamak yanıtı yöntemi, birinci dereceden zaman gecikmeli sistem yaklaşımı ile uygulanır. Benzetim yapılan sistem transfer fonksiyonu eşitlik (3.1)’ de verilmiştir:

( )

( )

= +1 − Ts Ke s U s C Ls (3.1)

Şekil 3.1 : Ziegler Nichols basamak yanıtı yöntemi.

Ziegler ve Nichols, sistem parametrelerini tanımladıktan sonra PID kontrolör parametrelerinin deneysel sonuçlarla ortaya koymuş oldukları Çizelge 3.1’ de verilen kurallar yardımıyla ayarlanmasını önermişlerdir [3].

Çizelge 3.1 : Basamak yanıtı yöntemine göre PID parametrelerinin belirlenmesi.

Kontrolör tipi Kp Ti Td P KL T

∞

0 PI KL T 9 . 0 3 . 0 L 0 PID KL T 2 . 1 2L 0.5L

Ziegler Nichols basamak yanıtı yöntemi ile kontrolör parametrelerini ayarlamak için sisteme sadece basamak girişi uygulanması yeterlidir. Bu yöntem, kontrolör parametrelerinin nasıl ayarlanması gerektiğine dair bir fikir sahibi olabilmek açısından iyi bir başlangıç noktasıdır. Ancak, yük değişimlerine ve giriş işaretindeki değişimlere karşı hassas olması bu yöntem için bir dezavantaj oluşturmaktadır.

3.2 Frekans Yanıtı Yöntemi

Ziegler ve Nichols tarafından önerilen ikinci yöntemde öncelikle T_i =∞ ve T_d =0 olarak ayarlanır. Yani sisteme sadece oransal kontrol uygulanır (Şekil 3.2). Kp değeri sıfırdan itibaren sistem cevabı osilasyon yapmaya başlayana kadar arttırılır. Salınımlı cevabın elde edildiği kazanç değeri kritik kazanç Ku ve sistem çıkışındaki osilasyonun periyodu kritik periyot Pu’ dur (Şekil 3.3). Eğer oransal kazanç katsayısının herhangi bir değeri için sistem çıkışı salınımlı olarak elde edilemiyorsa parametre belirlemede bu yöntem uygulanamaz [8].

Şekil 3.2 : Sadece oransal kontrol uygulanmış kapalı çevrimli sistem.

Şekil 3.3 : Kritik periyot ve sürdürülen salınım.

Ziegler ve Nichols kapalı çevrim yantından yola çıkarak Kp, Ti ve Td kontrolör parametrelerinin nasıl belirleneceğini Çizelge 3.2’ deki gibi önermişlerdir:

Çizelge 3.2 : Frekans yanıtı yöntemine göre PID parametrelerinin belirlenmesi.

Kontrolör tipi Kp Ti Td P 0.5Ku

∞

0 PI 0.45Ku _1.2Pu 1 0 PID 0.6Ku 0.5Pu 0.125Pu

Ziegler Nichols tasarım yöntemlerinin avantajı, parametre belirleme kurallarının kolaylıkla uygulanabilmesidir. Ancak, kolay bir yöntem olmasına ve yaygın bir şekilde kullanılmasına rağmen aşımlı ve salınımlı sistem yanıtlarına yol açan bir kontrolör tasarım yöntemidir. Ayrıca, büyük gecikme sürelerine sahip sistemlerin kontrolünde iyi bir performans elde edilememektedir.

Literatürde Ziegler Nichols tasarım yönteminin bu olumsuzluklarını ortadan kaldırmak adına çalışmalar yapılmış, kontrolör katsayılarını çevrim içi güncelleyen yöntemler önerilmiştir. Kontrolör parametrelerini iyileştirmek amacıyla geliştirilmiş ayarlama mekanizmalarından biri Artırılmış Ziegler Nichols ayarlama yöntemidir.

3.3 Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlama Yöntemi

Klasik kontrolörlerin tasarımında her ne kadar Ziegler Nichols yöntemleri yaygın olarak kullanılıyor olsa da yüksek üst aşım ve salınımlı sistem yanıtları elde edilmektedir. 2008 yılında Mudi tarafından önerilen bir yöntem olan Artırılmış Ziegler Nichols ayarlama yöntemi Ziegler Nichols PI kontrolörünün parametrelerini ayarlayarak sistem yanıtını iyileştirmeyi amaçlar [6]. Bu yöntem, ikinci ve daha yüksek mertebeden sistemler için Ziegler Nichols frekans yanıtı yöntemi ile tasarlanan kontrolörlerde karşılaşılan yüksek üst aşımların engellenmesi ve daha iyi bir geçici rejim cevabının elde edilmesi amacıyla öne sürülmüş bir yöntemdir. Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlamalı PI kontrol yönteminde ayarlama mekanizması şu şekilde çalışmaktadır:

Sistem yanıtı referans değerinden uzaklaşıyor iken sistem yanıtını istenen değere geri getirebilmek amacıyla kontrolör etkisi olabildiğince arttırılır. Diğer taraftan, sistem yanıtı referans değerine doğru yaklaşıyor iken bir sonraki aşamada meydana gelmesi muhtemel üst aşım ve alt aşımları kısıtlamak amacıyla kontrol etkisi azaltılır. Bu düşünceyi gerçeklemek amacıyla, anlık sistem yanıtına bağlı olarak oran ve integral katsayılarını sürekli olarak güncelleyen bir çevrim içi kazanç ayarlama faktörü kullanılmıştır. Kazanç ayarlama faktörü α sistem hatası (e) ve hatanın değişimi (∆e)’ nin bir fonksiyonudur. r referans değeri ve y(k) sistem çıkışı olmak üzere:

hata;

hatanın değişimi;

( )

=

( )

−

(

−1

)

∆e k e k e k _(3.3) kazanç faktörü;

( )

k =eN

( )

k ⋅∆eN

( )

k

α

_(3.4)

şeklinde tanımlanır. Burada,

( )

( )

r k e k e_N = _(3.5) ve

( )

=

( )

−

(

−1

)

∆eN k eN k eN k (3.6)

sırasıyla e(k) ve ∆e(k)’ nın normalize edilmiş değerleridir. Bütün kapalı çevrim kararlı sistemler için α değeri [-1,1] aralığında değişmektedir. Şekil 3.3’ de α’ nın e ve ∆e’ ye bağlı değişimi görülmektedir.

Şekil 3.4 : α’ nın e ve ∆e’ ye bağlı değişimi. 3.3.1 Arttırılmış Ziegler Nichols ayarlamalı PI kontrolörü

Kp ve Ki Ziegler Nichols frekans yanıtı yöntemi ile belirlenen kontrolör katsayıları olmak üzere, bu katsayıların α parametresi yardımıyla ayarlanması (3.7) ve (3.8) denklemleri ile verilen ampirik formüller yardımıyla yapılır:

( )

(

k k

)

K K p t p = 1+ 1

α

(3.7)

( )

(

k k

)

K Kt _i i = 0 +.5 2α (3.8)

Burada, Kpt(k) ve Kit(k), k zamanındaki ayarlanmış oran ve integral katsayılarıdır. k1 ve k2, Kp ve Ki’ nin başlangıç değerlerinde istenilen sistem yanıtını sağlayacak şekildeki değişimleri gerçekleştirmek amacıyla kullanılır. Ayarlanmış kontrolör denklemi (3.9)’ daki gibi olmaktadır.

( )

( )

∑

( )

= + = k i t i t p t i e K k K k u 0 (3.9)

Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlamalı PI kontrol yöntemi ile sistem yanıtının farklı evrelerinde uygun kontrol etkisinin sağlanması amaçlanmıştır. Yöntemin daha anlaşılır olması için Đkinci dereceden az sönümlü bir sistemin kapalı çevrim yanıtı ile α’ nın buna bağlı değişimi Şekil 3.5’ te gösterilmiştir.

(3.7) ve (3.8) ifadeleri ile PI kontrolör katsayılarının ayarlanması şu şekilde gerçekleştirilir:

i. Sistem yanıtı referans değerinden uzak ve referansa doğru yaklaşıyor iken (Şekil 3.5 A,C,F noktaları) oransal kazanç değeri, sistem yanıtının referansa hızlıca ulaşması açısından olabildiğince büyük olmalı ancak integral kazanç değeri büyük üst aşım ve alt aşımlara sebep olabilecek kontrol etkisini engellemek amacıyla yeterince küçük olmalıdır. Bu durumda e ve ∆e zıt işaretli ve dolayısyla α negatiftir. Bu da oran kazancının başlangıç değerinden daha büyük, integral kazancının ise daha küçük olmasına sebep olur.

ii. Sistem yanıtı referans değerinden uzaklaşıyor iken (Şekil 3.5 B,D,E noktaları) sistem yanıtını istenen değerine hızlıca getirebilmek amacıyla oran ve integral katsayıları arttırılır. Bu durumda e ve ∆e aynı işaretli ve dolayısyla α pozitiftir. Bütün kazanç değerleri başlangıç değerlerinden daha büyüktür.

4. HATA VE NORMALĐZE EDĐLMĐŞ ĐVME BĐLGĐSĐNE DAYALI ZĐEGLER NĐCHOLS PI KONTROLÖR KATSAYI ĐYĐLEŞTĐRME YÖNTEMĐ

Sisteme ait hata değeri dikkate alındığında; kontrolörün integral bileşeni küçük bir değerde seçilirse sistem yanıtı oldukça yavaş olacaktır. Buna karşın integral parametresi çok büyük seçilirse sistem yanıtı kararsız hale gelebilecek kadar hızlanacaktır. Zamanla parametreleri değişen bir kontrolör gerçeklendiğinde sistem yanıtının erken safhalarında kontrolörün büyük bir integral değerine sahip olması ve sistem yanıtı referans değerine yaklaştıkça integral değerinin kademeli olarak düşürülmesi düşünülebilir. Ancak, sistem yanıtının hızlanması hakkında bilgi edinilebilinirse kontrolör parametrelerinin ayarlanması sistem yanıtının konumuna bağlı olarak bahsedilmiş olan ayarlamadan farklı olacaktır. Örneğin; sistem yanıtının hızı “çok yavaş” iken sistem yanıtı referans değerine “çok yakın” ise kontrolörün integral etkisi azaltılmayacaktır. Oysa ki sadece sistem hatası ya da sistem yanıtının konumu dikkate alındığında integral değeri azaltılacaktı. Bu durumun tersi düşünüldüğünde sistem yanıtı “çok hızlı” iken sistem yanıtı referans değerine “çok uzak” ise integral etkisi azaltılmalıdır. Sadece sistem yanıtının konumu ya da hata değeri dikkate alındığında integral değeri azaltılmayacaktır.

Sistem yanıtının hızlanma bilgisi, 2003 yılında Güzelkaya ve diğerleri tarafından önerilen bir çalışmada bağıl hız gözleyicisi ile bulanık PID tipi kontrolör parametrelerinin ayarlanması amacıyla kullanılmıştır. Burada, sistem hatası ve normalize edilmiş ivme [14] değişkenleri kullanılarak bir bulanık çıkarım mekanizması oluşturulmuş ve bulanık PID tipi kontrolörün parametreleri güncellenmiştir.

Bu tez çalışmasında ise önerilen yöntem, sisteme ait hata değeri ile sistem yanıtının hızlanma bilgilerini beraberce kullanarak klasik PI kontrolöre ait katsayıları güncel olarak ayarlamaktadır. Geliştirilen yöntemde sistem hatası (e) ve normalize edilmiş ivme bilgisi (rv) kullanılarak bir kazanç ayarlama mekanizması oluşturulmuştur.

Oluşturulan bu ayarlama mekanizması ile PI kontrolöre ait katsayılar güncel bir biçimde ayarlanmaktadır. Katsayıları ayarlayan çıkarım mekanizmasının “e” olarak belirtilen “sistem hatası” ve “rv” olarak adlandırılan “normalize edilmiş ivme” olmak üzere iki girişi mevcuttur. Sistem hatasının değişimi ile hata değişimindeki hızlanma miktarından faydalanılarak bulunan “rv”, sistem yanıtının hızlanması hakkında bilgi veren bağıl ivme değişkenidir.

4.1 Normalize Edilmiş Đvme Kavramı

Normalize edilmiş ivme, sistem yanıtının hızlılığı ya da yavaşlığı hakkındaki “bağıl hız” bilgisini vermektedir. Bu sebeple bu bilgiyi sağlayan mekanizma “bağıl hız gözleyicisi” olarak adlandırılır. Normalize edilmiş ivme rv(k) denklem (4.1) ile ifade edilir:

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

. . 1 de k dde de k de k de k rv = − − = _(4.1)

Burada de(k) hata değerindeki değişim ve dde(k) hata değerindeki hızlanma olmak üzere;

( )

k =e

( )

k −e

(

k−1

)

de _(4.2) ve

( )

k =e

( )

k −de

(

k−1

)

dde _(4.3)

eşitlikleri ile belirtilirler. de(.) ise şu şekilde seçilir:

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

    − < − − ≥ = 1 , 1 1 , . k de k de if k de k de k de if k de de _(4.4)

Sistem cevabı yumuşak ve kararlı artma ya da azalmaya sahip olduğunda de(k).de(k-1) çarpımı pozitif olur ve sistem cevabının “hızlılık” ve “yavaşlık” bilgisi rv(k) değişkeni kullanılarak elde edilebilir. Eğer hatadaki değişimin mutlak değeri |de(k)| bir önceki değer olan |de(k-1)|’ den büyük ise o zaman sistem yanıtı “hızlı” bir biçimde artmakta ya da azalmaktadır.

Bu durumun aksine hatadaki değişimin mutlak değeri |de(k)| bir önceki değer olan |de(k-1)|’ den küçük ise o zaman sistem yanıtı “yavaş” bir şekilde artmakta ya da azalmaktadır. Çizelge 4.1 dde(k) ve de(.) parametrelerinin işaretlerine bağlı olarak sistem yanıtının “hızlılık” ya da “yavaşlık” durumunu göstermektedir. Böylelikle (4.1) eşitliği sistem yanıtının “hızlılık” ya da “yavaşlık” bilgisini de koruyarak hızlanma terimi olan dde(k)’ yı normalize etmek amacıyla türetilmiştir.

Çizelge 4.1 : dde(k) ve de(.) işaretlerine bağlı olarak sistem yanıtının davranışı.

de(k-1) veya de(k) dde(k) Sistem yanıtı

Pozitif Pozitif Negatif Negatif Pozitif Negatif Pozitif Negatif Hızlı Yavaş Yavaş Hızlı

(4.1) eşitliği ile verilen normalize edilmiş ivme rv(k) denklemi sistem yanıtının hızlanmasına ilişkin [-1,1] aralığında bir değer üretir. Eğer sistem yanıtı çok hızlı ise rv(k) “1” değerine ve eğer sistem yanıtı çok yavaş ise rv(k) “-1” değerine yakınsar. Sistem yanıtının sabit bir hızla artıyor ya da azalıyor olması durumunda ise hızlılık orta seviye olarak kabul edilir ve rv(k) “0” değerine yakınsar.

Sistem yanıtının hızlanma bilgisi ve hata değeri kullanılarak kontrolör paramtreleri Ziegler Nichols yöntemi ile belirlenen PI kontrolörünün iyileştirilmesine yönelik çalışma ve bu çalışmanın sonuçları sonraki bölümlerde detaylı bir şekilde anlatılmaktadır.

4.2 Hata Ve Normalize Edilmiş Đvme Bilgisine Dayalı Ziegler Nichols Ayarlamalı PI Kontrolörü

Hata ve hız bilgileri ile oluşturulan ayarlama mekanizmasının kontrolör katsayılarına çarpan olarak etkimesiyle daha iyi bir sistem yanıtı elde edilmesi amaçlanmıştır. Bu tasarım sayesinde Ziegler Nichols PI kontrolünde mevcut olan yüksek üst aşımların önüne geçilmiş ve bozuculara karşı daha dayanıklı bir sistem yanıtı sağlanmıştır.

Ayarlama mekanizmasının gerçekleştirilmesi aşamasında hata ve hatanın değişimi göz önünde bulundurularak sistem yanıtının referans değerine olan konumu belirlenmiş, konum ve hızlanma bilgisinden yararlanılmıştır. Bu iki değişkene bağlı olarak PI kontrolör katsayılarının çevrim içi güncellenmesi gerçekleştirilmiştir. Şekil 4.1’ de görülen kapalı çevrim sistem yanıtında belirlenmiş noktalara göre hata ve hatanın değişiminin işaretleri Çizelge 4.2’ de verilmiştir. Buna göre hata ve hatanın değişimi zıt işaretli iken sistem yanıtı referans değerine yaklaşıyor, aynı işaretli iken sistem yanıtı referans değerinden uzaklaşıyor denebilir.

Şekil 4.1 : Örnek sistem kapalı çevrim basamak yanıtı.

Çizelge 4.2 : Hata ve hatanın değişiminin bölgelere göre işaret durumları. de

e

Negatif Pozitif

Negatif B C

Pozitif A D

Bu sayede sistem hata değeri ile birlikte referans değerine göre değişimi hakkında bilgi sahibi olunur. Kontrolör katsayılarının iyileştirilmesinde sistem yanıtının

Ziegler Nichols ayarlama yöntemi ile bulunan PI kontrol kazanç katsayıları, kontrolörün iyileştirilmesi amacıyla belirlenen birtakım kurallara göre güncellenir. Ayarlama mekanizması Ziegler Nichols kontrol parametrelerini başlangıç aşamasında yorumlar ve parametreleri sistem yanıtına bağlı olarak belirli bir değere taşır ve bu değere göre arttırma ve azaltma yaparak ayarlama işlemini gerçekleştirir. Kontrol aşamasında sistem yanıtını iyileştirebilmek amacıyla oran ve integral parametreleri aşağıdaki kurallara göre güncellenmiştir:

i. Oransal kazanç (P): Sistem yanıtının referans değerine yaklaşıyor ve uzaklaşıyor olması durumlarının her ikisi için de sistem yanıtı yavaş ve referans değerine uzak yani hata değeri büyük iken oransal kazanç değeri azaltılmaz. Sistem yanıtı hızlandıkça oluşabilecek aşımların önüne geçmek amacıyla oransal kazanç değeri azaltılmalıdır.

ii. Đntegral kazancı (I): Sistem cevabı referans değerine yaklaşıyor iken (Şekil 4.1, A ve C noktaları) sistem yanıtı yavaş ve hata büyük iken integral katsayısı arttırılmalı sistem yanıtı hızlandıkça azaltılmalıdır. Sistem cevabı referans değerinden uzaklaşıyor iken (Şekil 4.1, B ve D noktaları) sistem yanıtı yavaş ve hata büyük iken integral katsayısı azaltılmalı sistem yanıtı hızlandıkça arttırılmalıdır.

Yukarıda bahsedilen kurallar yardımıyla Ziegler Nichols kontrolör parametrelerini iyileştirmek amacıyla hata değişkeninin mutlak değeri |e| ve normalize edilmiş ivme değeri rv’ nin çarpımı kullanılarak birtakım ifadeler oluşturulmuştur. Bu iki değişkenin çarpımının üstel fonksiyon değeri alınarak rv değişkeninde meydana gelen işaret değişiminden büyüklük olarak faydalanılmış, oluşturulan ifadelerin her zaman için pozitif olması sağlanmıştır.

PI kontrolör parametrelerinden oransal kazanç değeri Kp (4.5) eşitliği yardımıyla güncellenir: ( )_     + = v r e p m p e K K 1 1 (4.5)

Oran katsayısını güncellemek amacıyla kullanılan ifadenin sistem hatası ve normalize ivme değişkenlerine göre değişimi Şekil 4.2’ de gösterilmiştir. Bu fonksiyonun uygulanması ile hatanın büyük olduğu durumda sistem yanıtı yavaş iken

oransal kazanç çarpanı değeri daha büyük bir katsayı ile çarpılır. Sistem yanıtı hızlandıkça katsayı değeri azaltılır ve sistem yanıtında oluşabilecek aşımların önüne geçilmesi amaçlanır.

Şekil 4.2 : Oransal kazanç ayarlamasında kullanılan fonksiyon yüzeyi.

Kontrolör parametrelerinden integral bileşeni için güncelleme yapılırken sistem yanıtının referans değerine yaklaşıyor olması ve referans değerinden uzaklaşıyor olması durumlarında iki farklı ifade kullanılır. Sistem yanıtı referans değerine yaklaşıyor iken integral kazancının güncellenmesinde;

( )

(

)

_      + = ₂ 1 1 v r e i m i e K K _(4.6)

eşitliği kullanılır. Bu güncelleme için kullanılmakta olan fonksiyon yüzeyi Şekil 4.3 ile gösterilmiştir.

Sistem yanıtı referans değerine yaklaşıyor iken; sistem yanıtı referans değerinden çok uzak ve sistem yanıtı çok yavaş ise (4.6) ifadesi yardımıyla integral katsayısı için daha büyük bir çarpan değeri kullanılır. Sistem yanıtı hızlandıkça hata değeri büyük de olsa kontrol işaretinde oluşabilecek birikmeyi önlemek için integral parametresinin değeri küçültülür.

Şekil 4.3 : Referansa yaklaşma durumu için integral kazanç

ayarlamasında kullanılan fonksiyonun değişimi.. Đntegral kazancı, sistem yanıtı referans değerinden uzaklaştığı durumda (4.7) eşitliği ile gücellenir. Şekil 4.4’ te bu durum için integral katsayısını ayarlamada kullanılan fonksiyonun değişimi görülmektedir.

( )

(

)

_      + = − 2 1 1 v r e i m i e K K _(4.7)

Şekil 4.4 : Referanstan uzaklaşma durumunda integral kazanç ayarlaması için kullanılan fonksiyonun değişimi...

Sistem yanıtı referans değerinden uzaklaşıyor iken yani sistem yanıtının alt aşım ya da üst aşım yapması hali için hata değeri büyüdükçe integral katsayısı azaltılır. Sistem yanıtı çok hızlı iken sistem yanıtını istenilen noktaya geri getirebilmek amacıyla daha büyük bir çarpan kullanılarak integral katsayısı arttırılır.

Tanımlanan ifadeler yardımıyla ayarlanmış kontrol işareti (4.8) eşitliği ile gösterilmiştir.

( )

+

_∫

( )

=K ek K e k k

um( ) _pm _im _(4.8)

um(k) geliştirilen ayarlama mekanizması ile değiştirilmiş kontrol çıkışıdır. Ziegler Nichols tasarım yöntemi yardımıyla belirlenen kontrolör katsayıları olan Kp ve Ki, istenilen sistem başarımını sağlamak amacıyla hata ve normalize edilmiş ivme bilgileri kullanılarak güncellenmiştir. Sistem yanıtının değişiminden kaynaklanan hata ve normalize edilmiş ivmenin çarpımındaki işaret değişiminden bu çarpımın üstel fonksiyonu kullanılarak büyüklük olarak faydalanılmıştır.

Geliştirilen ayarlama mekanizması ile oluşturulan kapalı çevrim sisteme dair blok diyagram Şekil 4.5’deki gibidir:

Şekil 4.5 : Hata ve normalize edilmiş ivme bilgisine dayalı PI katsayı ayarlama yöntemine ait blok diyagram. ....

4.3 Benzetim Çalışmaları

Önerilen yöntem birinci ve ikinci dereceden ölü zamanlı doğrusal sistemler ile ikinci dereceden ölü zamanlı doğrusal olmayan sistemler üzerinde uygulanmış ve sonuçları

incelenmiştir. Ayrıca, yüksek mertebeli sistemler için de mertebe indirgeme yöntemi kullanılarak bir benzetim çalışması gerçekleştirilmiştir.

Benzetim çalışmaları Matlab – Simulink paket programı kullanılarak gerçekleştirilmiştir.

Birinci mertebeli sistem benzetimleri için gerekli kontrolör parametreleri Ziegler Nichols basamak yöntemi vasıtasıyla bulunmuş, önerilen ayarlama yöntemi sonuçları ile Ziegler Nichols ayarlamalı PI kontrolünün sonuçları karşılaştırılmıştır.

Đkinci mertebeli doğrusal ve doğrusal olmayan sistem modelleri için Ziegler Nichols frekans yanıtı yöntemi ile kontrolör parametreleri belirlenmiştir. Önerilen yöntem ile elde edilen sistem yanıtları, Ziegler Nichols PI ve Arttırılmış Ziegler Nichols PI kontrol yöntemlerinden alınan sistem yanıtlarıyla karşılaştırılmıştır. Yapılan karşılaştırmalarda sistem yanıtlarının yüzde üst aşım (% ÜA) miktarı, sistem yanıtının son değerinin %10’ undan %90’ ına ulaşması için geçen süre olan yükselme zamanı (tr), sistem yanıtının kalıcı değerinin ±%5’ ine ulaşıp, o aralıkta kalmaya başlayıncaya kadar geçen süre olan oturma zamanı (ts) ile mutlak hatanın integrali IAE ve mutlak hatanın zaman ağırlıklı integrali ITAE değerleri gibi performans kriterleri esas alınmıştır.

Karşılaştırılan yöntemlerin referans değer değişikliği, sistem ölü zaman arttırımı ile sisteme bozucu eklenmesi karşısındaki başarımları gözlenmiştir. Önerilen yöntemin dayanıklılığını incelemek amacıyla sistem ölü zamanı %50 oranında arttırılmıştır. Ayrıca, sisteme 0.4 genliğinde çıkış bozucusu uygulanarak sistem yanıtları incelenmiştir. Karşılaştırma sonuçlarının gösterildiği grafiklerde; bu tezde yapılan çalışma için “Önerilen Yöntem”, Ziegler Nichols Ayarlamalı PI kontrol yöntemi için “ZNPI” ve Arttırılmış Ziegler Nichols Ayarlamalı PI kontrol yöntemi için “AZNPI” ifadeleri kullanılmıştır.

4.3.1 Birinci mertebeden ölü zamanlı sistem için benzetim çalışmaları

Birinci mertebeden sistem simülasyonları (4.9)’ da verilen transfer fonksiyonuna sahip sistem üzerinden gerçekleştirilmiştir:

( )

, 0.4 2 . 0 = + = − L s e s G Ls (4.9)

Birinci mertebe sistem benzetim çalışmasında PI kontrolör katsayıları Ziegler Nichols basamak yanıtı ile bulunmuştur. Bu katsayılar üzerinden ayarlama yapılarak sistem yanıtları karşılaştırılmıştır. Arttırılmış Ziegler-Nichols yöntemi frekans yanıtı kullanılarak belirlenen katsayılar için geliştirildiğinden ve birinci dereceden sistemler için geçerli olmadığından bu benzetim çalışmasında AZNPI yöntemi ile karşılaştırma yapılmamıştır.

Önerilen yöntem ile ZNPI kontrolünün sistem yanıtı ve kontrol sinyalleri Şekil 4.6’ da görülmektedir.

Şekil 4.6 : Birinci mertebeden ölü zamanlı sistem için; kapalı çevrim basamak yanıtı (a), kontrol işareti (b)...

Grafikten de görüleceği üzere, Ziegler Nichols yöntemi ile elde edilen sistem yanıtının sahip olduğu üst aşım daha az bir kontrol işareti kullanılarak önerilen yöntem ile ortadan kaldırılmış, sistemin daha az aşımlı yanıt vermesi sağlanmıştır.

sistem yanıtının yükselme zamanı artmıştır. Sisteme bozucu eklenmesi durumunda da önerilen yöntem ile iyi bir performans elde edilmiştir.

Elde edilen sistem yanıtlarının performans karşılaştırmaları Çizelge 4.3’ te verilmiştir. Önerilen yöntem ile ayarlanan kontrolör parametreleri Kp ve Ki’nin değişimi ise Şekil 4.7’ de görülmektedir.

Şekil 4.7 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi. Çizelge 4.3 : Birinci mertebeden sistem yanıtlarının performans analizi.

ZNPI Önerilen Yöntem

%ÜA 75.9 10.38

tr [s] 0.32 0.58

ts [s] 4.8 3.1

IAE 2.137 1.484

ITAE 11.81 9.377

Önerilen yöntemin dayanıklılığını sınamak amacıyla sistemin ölü zaman değerinin %50 arttırılması yani L=0.4 sn’ den L=0.6 sn’ ye değiştirilmesi durumunda aynı kontrolör parametreleri için sistem basamak yanıtı incelenmiştir. Şekil 4.8, ölü

zamanı arttırılmış sistem basamak yanıtlarını göstermektedir. Buna göre önerilen yöntem ile ayarlanan katsayıların Ziegler Nichols kontrolör katsayılarına göre daha iyi yanıt verdiği görülmektedir.

Şekil 4.8 : Ölü zamanı arttırılmış birinci mertebeden sistem basamak yanıtı. 4.3.2 Đkinci mertebeden ölü zamanlı sistem benzetim çalışmaları

Đkinci mertebeden sistem benzetim çalışmaları lineer, marjinal kararlı ve doğrusal olmayan sistemler üzerinde gerçekleştirilmiştir.

4.3.2.1 Đkinci mertebeden ölü zamanlı doğrusal sistem benzetim çalışmaları Đkinci mertebeden doğrusal sistem benzetimlerinin uygulandığı sistem transfer fonksiyonu şu şekildedir:

( )

(

1+

)

2 , =0.2 = − L s e s G Ls (4.10)

Eşitlik (4.10)’ da yer alan doğrusal sistemin ZNPI, AZNPI ve yeni ayarlama yöntemi uygulanmış basamak yanıtı ve kontrol işareti Şekil 4.9’ da gösterilmiştir.

Şekil 4.9 : Đkinci mertebeden ölü zamanlı lineer sistemin kapalı çevrim birim basamak yanıtı (a); kontrol işareti (b)..

Sistem yanıtları belirli performans kriterlerine göre karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonuçları Çizelge 4.4’te verilmiştir.

Çizelge 4.4 : Đkinci mertebeden lineer sistem yanıtlarının performans analizi.

ZNPI AZNPI Önerilen Yöntem

%ÜA %69.53 %12.5 %9.5

tr[sn] 0.53 1 1.1

ts[sn] 13.6 4.19 5.69

IAE 4.186 1.553 2.139

Önerilen yöntem ile sistem yanıtının üst aşım değeri ZNPI ve AZNPI yöntemlerine göre büyük oranda azaltılmıştır. Üst aşım açısından istenilen sistem başarımı sağlanmıştır. IAE ve ITAE performans kriterlerinde ise Arttırılmış Ziegler Nichols PI Kontrolörü kadar iyi sonuçlar elde edilemese de Ziegler Nichols yöntemine göre tatmin edici sonuçlar elde edilmiştir.

Önerilen yöntem vasıtası ile ayarlanan Kp ve Ki kontrolör parametrelerinin değişimi ise Şekil 4.10’ da görülmektedir.

Şekil 4.10 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi.

Ölü zamanı arttırılmış sistem yanıtları Şekil 4.11’ de gösterilmiştir. Ölü zaman değerinin %50 arttırılması ile önerilen yöntem sistem yanıtı her ne kadar Ziegler Nichols yöntemine göre daha iyi olsa da AZNPI yöntemine göre aşım değeri bir miktar artmıştır.

Şekil 4.11 : Ölü zamanı arttırılmış ikinci mertebeden lineer sistem basamak yanıtı. Referans değer değişikliği durumundaki sisteme uygulanan referans işareti Şekil 4.12’ de gösterilmiştir. Referans değişimine karşılık elde edilen sistem yanıtları ise Şekil 4.13 ile belirtilmiştir. Önerilen yöntemin referans değer değişimine göre de başarılı bir sonuç verdiği gözlenmiştir.

Şekil 4.13 : Referans değişikliği durumunda ikinci mertebeden doğrusal sistem yanıtları.

4.3.2.2 Đkinci mertebeden ölü zamanlı marjinal kararlı sistem benzetim çalışmaları

Đkinci mertebeden marjinal kararlı sistem benzetimlerinin uygulandığı sistem transfer fonksiyonu şu şekildedir:

( )

(

1+

)

, =0.2 = − L s s e s G Ls (4.11)

Eşitlik (4.11)’ de yer alan sistemin basamak yanıtı ve kontrol işareti Şekil 4.14 ile gösterilmiştir. Marjinal kararlı sistem karşılaştırmalarında önerilen yöntem ile diğer iki yönteme göre genel olarak daha iyi sonuçlar elde edilmiştir. Üst aşım değeri Ziegler Nichols kontrolüne göre neredeyse % 50 oranında azalmıştır. Oturma zamanı ise diğer iki yönteme göre oldukça düşük değerde elde edilmiştir. Önerilen yöntemde sisteme bozucu uygulanmasına karşılık elde edilen sistem yanıtının daha az aşımlı ve daha az salınımlı olduğu görülmüştür.

Şekil 4.14 : Đkinci mertebeden ölü zamanlı marjinal kararlı sistem basamak yanıtı(a) ve kontrol işareti(b).

Elde edilen sistem yanıtlarının performans karşılaştırmaları Çizelge 4.5’ te, ayarlanan kontrolör kazançlarınn değişimi ise Şekil 4.15 ile gösterilmiştir.

Çizelge 4.5 : Đkinci mertebeden marjinal kararlı sistem yanıtlarının performans analizi.

ZNPI AZNPI Önerilen Yöntem

%ÜA 105.75 69.85 57.39

tr[sn] 0.75 0.9 1.2

ts[sn] 49.8 18.8 11.4

IAE 20.93 6.108 4.464

Şekil 4.15 : Kontrolör parametrelerinin değişimi.

Ölü zaman değerinin %50 arttırılması ile ZNPI kontrolörünün sistem yanıtı kararsızlık sınırındadır (Şekil 4.16). AZNPI yöntemi ile ise oldukça salınımlı bir sistem yanıtı elde edilmiştir.

4.3.2.3 Đkinci mertebeden ölü zamanlı doğrusal olmayan sistem benzetim çalışmaları

Ayarlama mekanizmasının başarımı doğrusal olmayan sistemler üzerinde de incelenmiştir. Doğrusal olmayan sistem transfer fonksiyonu:

(

)

, 0.2 2 . 0 2 2 = − = + + y u t L L dt dy dt y d (4.12)

Şekil 4.17’ de benzetim çalışması sonucunda elde edilen sistem yanıtı ve kontrol işareti; Şekil 4.18’ de de kontrolör parametrelerinin değişimi verilmiştir.

Şekil 4.17 : Đkinci mertebeden doğrusal olmayan sistem basamak yanıtı (a) ve kontrol işareti (b)....

Çizelge 4.6’ da ise doğrusal olmayan sistem benzetim yanıtlarının performans karşılaştırmaları görülmektedir.

Şekil 4.18 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi.

Çizelge 4.6 : Đkinci mertebeden nonlineer sistem yanıtlarının performans analizi.

ZNPI AZNPI Önerilen Yöntem

%ÜA 80.65 41.6 33.25

tr[sn] 0.76 1.01 1.38

ts[sn] 26.79 12.15 9.63

IAE 7.974 3.624 3.386

ITAE 138 52.37 51.26

Ziegler Nichols yöntemi doğrusal olmayan sisteme uygulandığında dayanıklılığı diğer yöntemlere göre oldukça düşük kalmaktadır. Ziegler Nichols kontrolü ile sistem yanıtının referans değerine oturması oldukça uzun sürmektedir. Yapılan karşılaştırmada; önerilen yöntemin ZNPI ve AZNPI yöntemlerine karşılık çok daha az üst aşım ile daha kısa sürede referans değerine oturduğu gözlenmiştir. Çizelge 4.6’ dan görüleceği üzere IAE ve ITAE hata ölçütlerinde de diğer yöntemlere göre daha

Şekil 4.19 : Ölü zamanı arttırılmış ikinci mertebeden doğrusal olmayan sistem basamak yanıtı. 4.3.3 Birinci mertebeye indirgenmiş sistem benzetim çalışmaları

Đkinci mertebeden daha yüksek mertebeli sistemler için Sigurd Skogestad [15] tarafından önerilmiş olan mertebe indirgeme yöntemi kullanılarak örnek bir benzetim çalışması gerçekleştirilmiştir. Bu yöntem ile yüksek mertebeli bir sistem birinci mertebeden ölü zamanlı sistem parametreleri ile ifade edilebilmektedir. Bu sayede sisteme uygulanacak Ziegler Nichols PI kontrolör katsayıları kolaylıkla bulunabilmektedir. Bu yöntem ile yüksek mertebeli sistemin transfer fonksiyonu (4.12) ile ifade edilebilir:

(

)

(

)

s i inv j j inv j e s s T s G 0 1 1 ) ( 0 0 θ τ −

∏

∏

+ + − = _(4.12)

Paydadaki τi0 değerleri büyüklüklerine göre sıralanır ve [15] ile belirtilen kurallara göre sistemin birinci mertebeli modeli:

1 ) ( 1 + = − s e s G s τ θ (4.13)

şeklinde elde edilir. Benzetim çalışmasında kullanılacak indirgeme yöntemi uygulanan yüksek mertebeli sistem (4.14) ile belirtilmiştir:

(

)

(

_{20 1}

)(

₁

)(

_{0.1 1}

)

2 1 15 2 ) ( + + + + = s s s s s G _(4.14)

Mertebe indirgemesi uygulandığında birinci mertebeli sistem transfer fonksiyonu (4.15)’ teki gibi olmaktadır:

15 . 0 1 05 . 1 5 . 1 ) ( − + = e s s G _(4.15)

Bu durumda indirgenmiş sistem için Ziegler Nichols PI kontrolör katsayıları basamak yanıtı yöntemi ile bulunarak sistem çıkışları gözlenmiştir. Önerilen yöntem ile Ziegler Nichols sistem yanıtları ve kontrol çıkışları Şekil 4.20’ da görüldüğü gibidir.

Önerilen yöntem ile ayarlanmış kontrolör kazanç katsayılarının değişimi ise Şekil 4.21 ile verilmiştir.

Şekil 4.21 : Ayarlanan kontrolör parametrelerinin değişimi.

Çizelge 4.7’ de ZNPI ile önerilen yöntemin performans karşılaştırması yapılmıştır. Çizelge 4.7 : Birinci mertebeye indirgenmiş yüksek mertebeli

sistem yanıtlarının performans analizi. ZNPI Önerilen Yöntem

%ÜA 54.09 9.86

tr[sn] 0.23 0.51

ts[sn] 1.92 1.27

IAE 0.8 0.69

ITAE 2.42 2.32

Mertebe indirgeme benzetim çalışması ile önerilen yöntemin yüksek mertebeli sistemler için de iyi sonuçlar verebileceği gözlenmiştir. Elde edilen sonuçlar incelendiğinde önerilen yöntem ile daha düşük bir kontrol işareti gereksinimi ile daha aşımsız ve daha kısa oturma zamanına sahip bir sistem yanıtı elde edildiği sonucuna

varılmıştır. Bir sonraki bölümde kontrol edilmiş ancak çok sönümlü sistem yanıtına sahip sistemin kontrolör parametrelerinin iyileştirilmesine yönelik bir yaklaşımda bulunulacak ve bu kapsamda yapılan benzetim çalışmalarına yer verilecektir.

5. ÇOK SÖNÜMLÜ SĐSTEM YANITI VEREN PI KONTROLÖRLER ĐÇĐN HATA VE NORMALĐZE EDĐLMĐŞ ĐVME BĐLGĐSĐNE DAYALI

KATSAYI AYARLAMA MEKANĐZMASI

Ziegler Nichols ayarlama metodu ile her ne kadar birinci mertebeden sistemler için kabul edilebilir yanıtlar elde edilse de ölü zamanlı ve yüksek mertebeli sistemler için aşımlı ve salınımlı sistem yanıtları ile karşılaşılmakta, referans değer değişikliği ve sisteme bozucu eklenmesi durumlarında yeterli dayanıklılık sağlanamamaktadır. Bu sebeple Ziegler Nichols sistem yanıtlarını iyileştirmek adına 4. bölümde anlatılmış olan katsayı ayarlama yöntemi geliştirilmiştir.

Bu bölümde ise Ziegler Nichols yönteminden farklı olarak deneme yanılma yoluyla kontrolör parametreleri belirlenen ve yavaş bir kontrol edilmiş sistem yanıtına sahip olan sistemler için kontrolör kazanç katsayılarının ayarlanmasına dair bir yaklaşımda bulunulacaktır. Aşımsız ve yavaş sistem yanıtları veren kontrolör parametrelerini iyileştirmek amacıyla sistem hatası ve sistem yanıtının hızlanma bilgisi kullanılarak bir ayarlama mekanizması geliştirilmiş ve klasik PI kontrolörünün katsayıları bu mekanizma yardımıyla güncellenmiştir. Temel olarak ayarlama stratejisi 4.bölümde anlatıldığı gibidir. Ancak, bu bölümde sistem yanıtının çok sönümlü olması sebebiyle kontrol çıkışının etki oranının değiştirilmesi amaçlanmış, katsayıları ayarlamada kullanılan fonksiyonların tanım aralıkları arttırılmıştır.

PI kontrolör katsayılarından oransal kazanç değeri Kp (5.1) eşitliği yardımıyla güncellenir. Sistem yanıtının referans değerine yaklaşıyor olması ve uzaklaşıyor olması durumlarının her ikisi için de oran katsayısının güncellenmesi için aynı ifade kullanılır. ( )_     = +erv p m p e K K ₁1 _(5.1)

Güncelleme amacıyla kullanılan fonksiyonun sistem hatası ve normalize ivmeye bağlı değişimi Şekil 5.1 ile gösterilmiştir. Bu fonksiyonun uygulanması ile hatanın büyük olduğu durumda sistem yanıtı yavaş iken oransal kazanç çarpanı değeri daha