FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BİLİNEN BK UZAYLARI İLE bvp DİZİ
UZAYI ARASINDAKİ MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ Hacer BİLGİN
Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Osman ÖZDEMİR
2010
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
BİLİNEN BK UZAYLARI İLE bv
pDİZİ
UZAYI ARASINDAKİ MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ
Hacer BİLGİN
TOKAT 2010
Yüksek Lisans Tezi
BİLİNEN BK UZAYLARI İLE bvp DİZİ
UZAYI ARASINDAKİ MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ Hacer BİLGİN
Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman : Yrd. Doç. Dr. Osman ÖZDEMİR
Bu çalışma, altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, çalışma için gerekli temel tanım ve teoremler verildi. İkinci bölümde; Malkowsky ve ark. (2002) tarafından tanımlanan, bvp (1 ≤ p < ∞) dizi uzayı kavramı ele alındı. Ayrıca, bu dizi uzayının bazı lineer ve topolojik özellikleri incelendi ve Schauder bazı ele alındı. Çalışmanın üçüncü bölümünde, bu dizi uzayının β-duali ile ilgili teoremin ifade ve ispatı verildi. Çalışmanın dördüncü bölümünde ise, Malkowsky ve ark.(2002) tarafından karakterize edilen matris dönüşümleri ile ilgili teoremlerin ifade ve ispatları verildi. Çalışmanın beşinci bölümünde, bilinen BK uzayları ile bvp dizi
uzayı arasındaki bir matris dönüşümünün, kompakt bir operatör olması için gerek ve yeter şartları vermek için non-kompaktlık Haussdorff ölçümü kullanıldı. Çalışmanın son bölümünde, sonuç verildi.
2010, 78 sayfa
Anahtar kelimeler: Fark Dizi Uzayı, Schauder Baz, β− Dual, Matris Dönüşümleri, Non-Kompaktlık Ölçümü
Ms Thesis
MATRIX TRANSFORMATIONS BETWEEN THE SEQUENCE SPACE bvp AND CERTAIN BK SPACES
Hacer BİLGİN Gaziosmanpasa University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor : Asst. Prof. Dr. Osman ÖZDEMİR
This study consists of six chapters. In the first chapter, the necessary basic definitions and theorems for this study are given. In the second chapter, the concept of sequence space bvp (1 ≤ p < ∞) presented by Malkowsky et al. (2002) is studied. Also, some linear and topological properties of this sequence space are analyzed and a Schauder basis of this sequence space is given. In the third chapter, the expression and proof of the theorem related with the β- dual of this sequence space. The expression and proof of the theorems related with matrix transformations characterized by Malkowsky et al. (2002) are given in the fourth chapter. In the fifth chapter of this study, the Hausdorff measure of noncompactness is applied to give necessary and sufficient conditions for a matrix map between the sequence space bvp and certain
BK spaces to be a compact operator. And finally, the result is given at the last chapter of the study.
2010, 78 pages
Key words: Difference Sequence Space, Scahauder Basis, β Dual, Matrix Transformations, Measure of Noncompactness
Yüksek Lisans Tezi olarak sunduğum bu çalışmanın planlanmasında, araştırılmasında, yürütülmesinde ve oluşumunda ilgi ve desteğini esirgemeyen, engin bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım, yönlendirme ve bilgilendirmeleriyle çalışmamı bilimsel temeller ışığında şekillendiren Sayın Yrd.Doç.Dr. Osman ÖZDEMİR’e, sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Tez çalışmalarım sırasında desteklerini aldığım başta bölüm başkanımız Sayın Prof.Dr. Oktay MUHTAROĞLU olmak üzere bölümdeki tüm hocalarıma teşekkürü bir borç bilirim.
Ayrıca bu çalışmanın yapılması sırasında, değerli olduğunu bildiğim vaktini, benim için ayıran Sayın Arş. Gör. Serkan DEMİRİZ’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Bilimsel çalışmalarda desteğini hiç esirgemeyen TUBİTAK-BİDEB’e yüksek lisans öğrenimim boyunca maddi destek sağladığı için sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Bugünlere gelmeme vesile olan pek kıymetli annem Tütiye BİLGİN, en büyük destekçim babam Alineci BİLGİN, abim Erkan BİLGİN, yengem Şengül BİLGİN ve dayım Gürbüz OKUMUŞ’a desteklerinden dolayı tüm kalbimle teşekkür ederim.
Hacer BİLGİN Ağustos 2010
ÖZET . . . i
ABSTRACT . . . ii
TEŞEKKÜR . . . iii
SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ . . . v
1. GİRİŞ . . . 1
1.1 Temel Tanım ve Teoremler . . . 3
2. bvp DİZİ UZAYI . . . . 15
2.1 bvp Dizi Uzayı Kavramı . . . . 15
2.2 bvp Uzayının Schauder Bazı . . . . 27
3. bvp UZAYININ β− DUALİ . . . . 30
3.1 bvp Uzayının β− Duali . . . . 30
4. bvp DİZİ UZAYI ÜZERİNDEKİ MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ . 38 4.1 bvp Dizi Uzayı Üzerindeki Matris Dönüşümleri . . . . 38
5. NON-KOMPAKTLIK ÖLÇÜMÜ VE DÖNÜŞÜMLERİ . . . . 51
5.1 Non-Kompaktlık Hausdorff Ölçümü ve Kompakt Operatörler . . . 51
6. SONUÇ . . . 69
KAYNAKLAR . . . 70
ÖZGEÇMİŞ . . . 72
N : Doğal Sayılar Cümlesi
N0 : Genişletilmiş Doğal Sayılar Cümlesi
Z : Tamsayılar Cümlesi R : Reel Sayılar Cümlesi C : Kompleks Sayılar Cümlesi
∀ : Her ∃ : En Az Bir → : İse ⇔ : Mantıksal Denk ≤ : Büyük Olmayan ≥ : Küçük Olmayan Y : Ya da ⊆ : Alt Cümle ∪ : Birleşim ∩ : Arakesit ∈ : Elemanıdır sup : En Küçük Üst Sınır inf : En Büyük Alt Sınır
A : A Cümlesinin Kapanışı
ω : Bütün Reel ya da Kompleks Terimli Dizilerin Uzayı c0 : Sıfıra Yakınsak Dizilerin Uzayı
c : Yakınsak Dizilerin Uzayı `∞ : Sınırlı Dizilerin Uzayı
φ : Sonlu Dizilerin Uzayı
cs : Yakınsak Seri Teşkil Eden Dizilerin Uzayı v
L(X, Y ) : Xten Y İçine Tanımlı Bütün Lineer Operatörlerin Cümlesi
B(X, Y ) : X0ten Y İçine Tanımlı Bütün Sınırlı Lineer Operatörlerin Cümlesi K(X, Y ) : X0ten Y İçine Tanımlı Bütün Kompakt Operatörlerin Cümlesi
kak : a0nın Normu X∗ : X0in Sürekli Duali X† : X0in Cebirsel Duali
XA : A Matrisinin X Cümlesindeki Etki Alanı
dY |Y1 : dY Metriğinin Y
0
1deki Alt Metriği
closY1(S) : S Kümesinin Y1 Metrik Uzayındaki Kapanışı
MX : X Metrik Uzayının Boştan Farklı Bütün Sınırlı Altcümlelerinin Cümlesi
Reel ya da kompleks terimli bütün dizilerin cümlesi, ω ile gösterilecektir. ω’nın herhangi bir alt uzayına bir dizi uzayı denir. `∞, c ve c0 ile sırasıyla bütün sınırlı,
yakınsak ve sıfıra yakınsak olan dizilerin cümlesi gösterilecektir. bs ve cs ile de sırasıyla bütün sınırlı ve yakınsak seri teşkil eden dizilerin uzayı gösterilecektir. Ayrıca, 1 ≤ p < ∞ için p−inci dereceden mutlak yakınsak seri teşkil eden dizilerin uzayı `p ile gösterilecektir.
Yeni bir dizi uzayı inşaa etmek ve bu uzayın diğer uzaylar arasındaki yerini belirleyecek şekilde kapsama bağıntılarını vermek, yeni dizi uzayının α−, β − ve γ− duallerini hesaplamak, bu dizi uzayından diğer bilinen dizi uzaylarına matris dönüşümlerini karakterize etmek, dizi uzayları ile ilgili önemli problemler arasındadır.
X, bir dizi uzayı ve A = (ank), kompleks sayıların herhangi bir matrisi olmak
üzere, x = (xk) ∈ X ve ∀n ∈ N0 için (Ax)n= ∞ X k=0 ankxk
serileri yakınsak ise
Ax = ((Ax)n)
dizisine, x dizisinin A-dönüşümü denir.
λ, herhangi bir dizi uzayı ve A, bir sonsuz matris olsun.
λA= {x = (xk) ∈ ω : Ax ∈ λ}
cümlesine, A matrisinin etki alanı denir. λAcümlesi, ω üzerinde tanımlı koordinatsal
toplama ve skalarla çarpma işlemleri altında bir vektör uzayıdır, dolayısı ile bir dizi uzayıdır.
yapanların başında gelen Ng -Lee, 1978’de birinci mertebeden Cesàro matrisinin `p (1 ≤ p < ∞) üzerindeki etki alanını kullanarak Mutlak Olmayan Tipten Cesàro
Dizi Uzayı adını verdiği Xp dizi uzayını inşaa etti. Bu çalışmayı takiben Wang,
Nörlund ortalamasının `p (1 ≤ p < ∞) üzerindeki etki alanını; Malkowsky, Riesz
ortalamasının `∞, c ve c0 üzerindeki etki alanını kullanarak yeni dizi uzayları inşaa
ettiler. Daha yakın zamanlarda, Altay ve Başar, r− inci mertebeden Euler ortalamasına karşılık gelen E(r) üçgensel matrisinin c ve c
0 üzerindeki etki alanlarını
kullanarak e(r)0 ve e(r)c dizi uzaylarını tanımlayıp, bu uzayları incelediler.
∆nk = (−1)n−k, n − 1 ≤ k ≤ n, 0, aksi takdirde
ile tanımlı matrise fark matrisi denir. Bu çalışmada, fark matrisinin `p dizi uzayı
üzerindeki bvp ile gösterilen etki alanı incelenecektir.
λ ve µ herhangi iki dizi uzayı ve A = (ank) bir sonsuz matris olsun. Eğer her x ∈ λ
için ((Ax)n) dizisi mevcut ve µ uzayında ise; A, λ uzayından µ uzayına bir matris
dönüşümü tanımlar denir. λ uzayını, µ uzayına taşıyan bütün sonsuz matrislerin sınıfı, (λ, µ) ile gösterilir. A sonsuz matrisinin λ uzayındaki dizileri µ dizi uzayına taşıması için hangi şartlara sahip olması gerektiği problemi, 1911 yılında, Alman Matematikçisi O. Toeplitz’e kadar dayanır. Bu şartların belirlenmesine, ilgili matris sınıfının karakterizasyonu denir. İncelenen bu çalışmada (bvp, `
∞), (bvp, c) (bvp, c0),
(bvp, `
1) ve (bvp, bv) matris sınıfları da karakterize edilecektir.
BK- uzayları teorisi, bilinen dizi uzayları arasındaki matris karakterizasyonlarının yapılmasında kullanılan çok önemli bir araçtır. Bu teoride kullanılan en önemli sonuç ise, " uzayları arasındaki matris dönüşümlerinin sürekli olmasıdır." BK-uzayları arasındaki matris dönüşümünün bir kompakt operatör tanımlaması için matris üzerine ne gibi şartlar konulması gerektiğinin belirlemesi problemi oldukça önemlidir. Çalışmamızın son bölümünde, bvp uzayından bilinen BK- uzaylarına matris dönüşümlerinden yola çıkarak, non-kompaktlık Hausdorf ölçümü yardımıyla ilgili matris dönüşümlerine karşılık gelen lineer operatörün kompakt olabilmesi için hangi şartların gerektiği ile ilgili teoremler ifade ve ispat edilecektir.
1.1 Temel Tanım ve Teoremler
Bu kısımda, çalışma boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verilecektir. Teorem 1.1.1. E ⊂ R, sınırlıdır ⇔
∃K > 0 3 ∀x ∈ E, |x| ≤ K
kalır. (Anderson, 1970).
Teorem 1.1.2. E ⊂ R, sınırlı bir cümle olsun. Bu takdirde; E’nin üst sınırları içerisinde bir en küçüğü, alt sınırları içerisinde bir en büyüğü vardır (Anderson, 1970).
Tanım 1.1.1. A, reel sayılar cümlesinin üstten sınırlı bir alt cümlesi olsun. A cümlesinin üst sınırlarının en küçüğüne, A cümlesinin, en küçük üst sınırı veya supremumu denir ve sup A ile gösterilir. A cümlesinin alt sınırlarının en büyüğüne, A cümlesinin en büyük alt sınırı veya infimumu denir ve inf A ile gösterilir.
Bu tanıma göre, (i) ∀x ∈ A, x ≤ sup A (ii) ∀ > 0, ∃x0() ∈ A 3 x0() > sup A − kalır. (iii) ∀x ∈ A, inf A ≤ x (iv) ∀ > 0, ∃x0() ∈ A 3 x0() < inf A + (Anderson, 1970).
Tanım 1.1.2. X, boştan farklı bir cümle olsun.
M1) ∀x, y ∈ X, d(x, y) ∈ R+∪ {0}
M2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
M3) ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x)
şartlarını sağlayan
d : X × X → R
fonksiyonu varsa, d’ye X için bir metrik, (X, d) ikilisini de metrik uzay denir. Eğer M2 şartının sadece yeterlilik kısmı sağlanırsa d’ye yarı-metrik, (X, d) ikilisine de yarı-metrik uzay denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.3. (X, d) bir metrik uzay ve x = (xn) X’de bir dizi ve α ∈ X olsun.
Eğer ∀ > 0, ∃N () ∈ N 3 ∀n > N (),
d(xn, α) <
kalıyorsa, (xn) dizisine yakınsak, α ∈ X’e, (xn) dizisinin limiti denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.4. (X, d) bir metrik uzay ve x = (xn) X’de bir dizi olsun.
Eğer ∀ > 0, ∃N () ∈ N 3 ∀n, m > N (),
d(xn, xm) <
kalıyorsa, (xn) dizisine X’de bir Cauchy dizisi denir (Kreyzig, 1978).
Teorem 1.1.3. X, bir metrik uzay ve (sn), X’de yakınsak herhangi bir dizi olsun.
Bu takdirde (sn), Cauchy dizisidir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.5. (X, d), bir metrik uzay olsun. Eğer X’de her Cauchy dizisi, X’de bir noktaya yakınsıyorsa, X’e tam metrik uzay denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.6. X, boştan farklı bir cümle ve F , reel veya kompleks sayıların bir cismi olsun. + : X × X → X (x, y) → +(x, y) = x + y ve · : F × X → X (λ, x) → ·(λ, x) = λx
fonksiyonları;
L1) ∀x, y ∈ X, x + y ∈ X L2) ∀x, y ∈ X, x + y = y + x
L3) ∀x, y, z ∈ X, (x + y) + z = x + (y + z)
L4) ∀x ∈ X, x + θ = x olacak şekilde bir tek θ ∈ X vardır.
L5) Her bir x ∈ X, x + (−x) = θ olacak şekilde bir tek (−x) ∈ X vardır. L6) ∀x ∈ X, 1.x = x
L7) ∀λ, µ ∈ F, ∀x ∈ X, λ(µx) = (λµ)x L8) ∀λ ∈ F, ∀x, y ∈ X, λ(x + y) = λx + λy L9) ∀λ, µ ∈ F, ∀x, y ∈ X, (λ + µ)x = λx + µx
aksiyomlarını sağlıyorsa, X cümlesine F cismi üzerinde bir lineer (vektör) uzay denir ve (X, +, ·) ile gösterilir. Eğer F = R ise X’e reel vektör uzayı, F = C ise X’e kompleks vektör uzayı denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.7. X, F cismi üzerinde bir lineer uzay ve Y ⊆ X olsun. Bu takdirde; ∀x, y ∈ Y ve ∀α, µ ∈ F için αx + µy ∈ Y oluyorsa Y ’ye, X uzayının bir alt uzayıdır denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.8. X, F cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer,
k · k : X → R
x → k.k(x) = kxk
fonksiyonu,
N1) ∀x ∈ X, kxk ∈ R+∪ {0} N2) kxk = 0 ⇔ x = θ,
N3) ∀x ∈ X ve ∀α ∈ F, kαxk = |α|kxk, N4) ∀x, y ∈ X kx + yk ≤ kxk + kyk
aksiyomlarını sağlıyorsa, k·k fonksiyonuna X, üzerinde bir norm ve (X, k·k) ikilisine de normlu uzay denir (Kreysig, 1978).
Örnek 1.1.1. c0, c, `p, `1, `∞ ve bv dizi uzayları üzerlerinde tanımlı doğal normları
altında birer normlu uzaydırlar (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.9. (X, k · k) bir normlu uzay ve x = (xn), X’de bir dizi ve α ∈ X olsun.
Eğer ∀ > 0, ∃N () ∈ N 3 ∀n > N (),
kxn− αk <
kalıyorsa, (xn) dizisine yakınsak, α ∈ X’e (sn) dizisinin limiti denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.10. (X, k · k) bir normlu uzay ve x = (xn) X’de bir dizi olsun.
Eğer ∀ > 0, ∃N () ∈ N 3 ∀n, m > N (),
kxn− xmk <
kalıyorsa, (xn) dizisine X’de bir Cauchy dizisi denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.11. (X, k · k), bir normlu uzay olsun. Eğer, X’de alınan her Cauchy dizisi, normdan elde edilen metriğe göre X uzayında bir noktaya yakınsıyorsa, X uzayına Banach uzayı denir (Kreyzig, 1978).
Tanım 1.1.12. X, bir lineer uzay ve d, X üzerinde bir metrik olsun. Eğer, X üzerinde cebirsel işlemler sürekli fonksiyonlar ise, yani (xn) ve (yn), X’de iki dizi
(λn)’de skalerlerin bir dizisi olmak üzere
d(xn, x) → 0 ve d(yn, y) → 0 ⇒ d(xn+ yn, x + y) → 0 (n → ∞)
ve
λn→ λ ve d(xn, x) → 0 ⇒ d(λnxn, λx) → 0 (n → ∞)
Tanım 1.1.13. X, lineer metrik uzay olsun. Eğer her bir x ∈ X için, x = ∞ X n=1 λnbn
olacak şekilde skalerlerin bir tek (λn) dizisi mevcut ise (bn) dizisine, X için bir
Schauder baz denir (Wilansky, 1964). Tanım 1.1.14. x = (xk) ∈ ω : sup k |xk| < ∞ n x = (xk) ∈ ω : lim k→∞xk - mevcut o n x = (xk) ∈ ω : lim k→∞xk = 0 o
cümlelerine, sırasıyla sınırlı, yakınsak ve sıfıra yakınsak dizi uzayları denir ve `∞, c
ve c0 ile gösterilir (Maddox, 1988).
Tanım 1.1.15. ( x = (xk) ∈ ω : X k xk− yakınsak ) ( x = (xk) ∈ ω : n X k=0 xk ! ∈ `∞ ) ( x = (xk) ∈ ω : X k |xk| < ∞ ) ( x = (xk) ∈ ω : X k |xk|p < ∞ ) ( x = (xk) ∈ ω : X k |xk− xk−1| < ∞ )
cümlelerine, sırasıyla, yakınsak seri teşkil eden bütün dizilerin dizi uzayı, sınırlı kısmi toplamlar dizisine sahip bütün dizilerin dizi uzayı, mutlak yakınsak seri teşkil eden bütün dizilerin dizi uzayı, 1 ≤ p < ∞ olmak üzere p. kuvvetleri mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin dizi uzayı ve sınırlı salınımlı dizilerin dizi uzayı denir ve cs, bs, `1, `p ve bv ile gösterilir(Maddox, 1988).
Tanım 1.1.16. X ve Y aynı cisim üzerinde lineer uzaylar ve f : X → Y tanımlı bir operatör olsun. Eğer ∀x1, x2 ∈ X ve ∀α, β ∈ C,
f (αx1+ βx2) = αf (x1) + βf (x2)
ise f ’ye bir lineer operatör denir (Maddox, 1988).
Tanım 1.1.17. X ve Y lineer uzaylar ve f : X → Y tanımlı bir operatör olsun. Eğer f : X → Y operatörü lineer , bire-bir ve örten ise bu f operatör bir izomorfizm denir. Bu takdirde, X ve Y uzayları lineer olarak izomorfik uzaylar adını alır ve X ∼= Y yazılır (Maddox, 1988).
Tanım 1.1.18. T = (tnk), sonsuz matrisi verilsin. Eğer, T = (tnk) sonsuz matrisi,
k > n, tnk = 0 ya da k < n, tnk = 0 ise T = (tnk) matrisine, üçgensel matris denir
(Hofman ve Kunze, 1971). Tanım 1.1.19. enk = 0 , k 6= n 1 , k = n
ile tanımlı e = (enk), sonsuz matrisine, birim matris denir (Kreyzig, 1978).
Örnek 1.1.2. e = (e(n)) dizisi, c
0 ve `p (1 ≤ p < ∞) uzayları için Schauder bazdır
(Wilansky, 1964).
Tanım 1.1.20. Σ = (σnk), sonsuz matrisi,
σnk = 0 , k > n 1 , 0 ≤ k ≤ n
ile tanımlanır. Bu matrise fark matrisinin tersi veya toplam matrisi de denir (Malkowsky ve ark., 2002).
Tanım 1.1.21. n = 1, 2, ... ve k = 1, 2, ... olmak üzere ank ∈ C olan A = (ank)
sahip oldugundan ∀x = (xk) dizisinin terimleri; x = x1 x2 x3 . . . xk . . .
şeklinde sonsuz bileşenli bir kolon vektörü gibi yazılabilir. A = (ank) sonsuz matrisi
ile x = (xk) dizisinin matris çarpımı alınarak;
Ax = a11 a12 ... a1k ... a21 a22 ... a2k ... . . ... . . an1 an2 ... ank ... . . ... . . x1 x2 x3 . . . xk . . . = a11x1+ a12x2+ ... + a1kxk+ ... a21x1+ a22x2+ ... + a2kxk+ ... . . . an1x1+ an2x2 + ... + ankxk+ .... . .
olarak tanımlanan Ax dizisi elde edilir. Burada ∀n ∈ N için X
k
ankxk = an1x1+ an2x2+ ... + ankxk+ ...
toplamları yakınsıyorsa, bu sekilde elde edilen (An(x)) dizisine, x = (xk) dizisinin
Tanım 1.1.22. X ve Y , ω dizi uzayının alt cümleleri, A = (ank) (n, k = 1, 2, ...)
bir sonsuz matris olsun. ∀x = (xk) ve ∀n ∈ N için An(x) = P ∞
k=1ankxk serileri
yakınsak ve (An(x)) ∈ Y ise A matrisi X’i Y içine dönüştürüyor denir. X’i Y içine
dönüştüren bütün matrislerin cümlesi (X, Y ) ile gösterilir (Wilansky, 1964).
Tanım 1.1.23. X, bir lineer metrik uzay olsun. Eğer X uzayı, tamsa X’e Fréchet dizi uzayı denir (Wilansky, 1964).
Örnek 1.1.3. ∀x, y ∈ ω için d(x, y) = ∞ X k=0 1 2k |xk− yk| 1 + |xk− yk|
ile tanımlı d metriğine göre, ω bir Fréchet uzayıdır (Malkowsky ve Rakocevic, 2000). Tanım 1.1.24. X, bir dizi uzayı olsun. Eğer,
τk : X → C, x → τk(x) = xk, (k = 0, 1, 2, ....)
dönüşümü sürekli ise, X’e K - uzayı denir (Goes and Goes, 1970).
Tanım 1.1.25. X ⊂ ω, olacak şekilde bir lineer metrik uzay olsun. X dizi uzayı, Fréchet uzayı ve K uzayı ise, X’e FK - uzayı denir. Ayrıca, X dizi uzayı, Banach uzayı ve K uzayı ise, bu uzaya BK - uzayı denir (Wilansky, 1964).
Örnek 1.1.4. `∞, c, c0 ve `p (1 ≤ p < ∞) dizi uzayları üzerlerinde tanımlı doğal
normları altında birer BK - uzayıdırlar (Wilansky, 1964).
Lemma 1.1.1. FK- uzayları arasındaki herhangi bir matris dönüşümü süreklidir (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Tanım 1.1.26. X, bir FK - uzayı olsun. Eğer, her x = (xk) ∈ X için
x =
∞
X
k=0
xke(k)
şeklinde bir tek temsile sahipse, x[m] = Pm
k=0xke
(k) olmak üzere
limm→∞x[m] = x oluyorsa, X’e AK - uzayı denir (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Örnek 1.1.5. `p (1 ≤ p < ∞) ve c0, AK- uzaylarıdır (Malkowsky ve Rakočević,
Tanım 1.1.27. X, bir FK uzayı ve a, x0 ∈ X olsun.
Sδ[x0] = SX,δ[x0] = {x ∈ X : dX(x, x0) ≤ δ} (δ > 0)
olmak üzere FK uzayı üzerindeki norm,
kak∗D = kak∗X,D = sup ( ∞ X k=0 akxk : x ∈ S1/D[0] ) (D > 0) ile tanımlanır.
Eğer X bir BK uzayı ise, X üzerindeki norm
kak∗ = kak∗X = sup ( ∞ X k=0 akxk : kxk = 1 ) şeklindedir.
X ve Y , Fréchet uzaylar olsun. X’den Y ’ye bütün sınırlı (sürekli) L lineer operatörlerinin cümlesi, B(X, Y ) gösterilir. Eğer, X ve Y normlu uzaylar ve L ∈ B(X, Y ) ise L’nin operatör normu;
kLk = sup{kL(x)k : kxk = 1} olarak tanımlanır (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Tanım 1.1.28. X ve Y , ω’nın iki alt kümesi olsun. ∀z ∈ ω,
z−1∗ Y = {x ∈ ω : xz = (xkzk)∞k=0 ∈ Y }.
Z = M (X, Y ) = \
x∈X
x−1∗ Y = {a ∈ ω : ∀x ∈ X, ax ∈ Y }
cümlesine, X ve Y nin çarpım uzayı denir. Eğer Y = `1 ve Y = cs özel durumlarına,
sırasıyla X’in α − ve β− dualleri denir (Malkowsky ve Rakočević, 2000). Lemma 1.1.2. p ≥ 1, a1, a2, ..., an ≥ 0 ve b1, b2, ..., bn ≥ 0 olsun. Bu takdirde,
n X k=0 (ak+ bk)p !1/p ≤ n X k=0 apk !1/p + n X k=0 bpk !1/p
Lemma 1.1.3. x = (xn) ve y = (yn) reel veya kompleks terimli herhangi iki dizi
olsun. sn= x1+ x2+ ... + xn olmak üzere n X i=1 xiyi = n X i=1 si(yi− yi+1) + snyn+1
ifadesine Abel Kısmi Toplamı denir (Maddox, 1988).
Tanım 1.1.29. M ve S, (X, d) metrik uzayının alt cümleleri ve > 0 olsun.
∀x ∈ M, ∃s ∈ S 3 d(x, s) <
kalıyorsa, bu takdirde S cümlesine, M nin bir − netidir denir.
Eğer M cümlesi, > 0 için sonlu bir − nete sahipse M cümlesine total sınırlı cümle denir (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Tanım 1.1.30. M , bir X metrik uzayının alt cümlesi olsun. Eğer M ’de her (xn)
dizisi, limiti yine M ’de olan yakınsak bir alt diziye sahipse M ’ye kompaktır denir. Eğer M ’nin M kapanışı kompakt ise, M cümlesine relatif kompakt (ön kompakt) denir.
Ayrıca, M cümlesi relatif kompakt ise, M total sınırlıdır (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Tanım 1.1.31. κ1 ve κ2, sırasıyla, X ve Y Banach uzayları üzerinde tanımlı
herhangi birer non-kompaktlık ölçümler ve L, X’den Y ’ye bir operatör olsun.
∀Q ∈ MX, L(Q) ∈ MY
ve 0 ≤ k < ∞ olacak şekilde ∃k ∈ R 3
∀Q ∈ MX, κ2(L(Q)) ≤ kκ1(Q)
kalıyorsa, bu takdirde L operatörü, (κ1, κ2)− sınırlıdır.
Eğer, L operatörü, (κ1, κ2)− sınırlı ise, bu takdirde,
ile tanımlı kLkκ1,κ2 sayısına; L’nin (κ1, κ2)− operatör normu denir.
Eğer κ1 = κ2 = κ ise, kLkκ,κ yerine kLkκ yazılır (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Tanım 1.1.32. X ⊂ ω olsun. x ∈ X ve y ∈ ω için |yk| ≤ |xk| (k ∈ N0) şartları
y ∈ X olmasını gerektiriyorsa, X cümlesine normal cümle denir (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Teorem 1.1.4. X ve Y , FK- uzayları ve X ⊂ Y olsun. Bu takdirde, X üzerindeki dX metriği, X üzerindeki dY |X metriğinden daha kuvvetlidir.
dX ve dY |X metrikleri denktir ⇔ X, Y ’nin kapalı bir alt uzayıdır (Malkowsky ve
Rakočević, 2000).
Lemma 1.1.4. X, k.k normuna göre bir BK - uzayı ve T’de üçgensel bir matris olsun. Bu takdirde; XT cümlesi, ∀x ∈ XT için,
kxkT = kT (x)k
normuna göre bir BK - uzayıdır (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
Lemma 1.1.5. 1 < p < ∞ ve 1p + 1q = 1 olsun. Bu takdirde; A ∈ (`p, `1) olması
için gerek ve yeter şart, F = {0, ..., n} olmak üzere
sup N ∈F ∞ X k=0 X n∈N ank q < ∞ (1.1.1) dır (Stieglitz ve Tietz, 1977).
Lemma 1.1.6. 1 < p < ∞ ve 1p +1q = 1 olsun. Bu takdirde; A ∈ (`p, c) olması için
gerek ve yeter şart
lim n→∞ank − mevcut (1.1.2) ve sup n∈N ∞ X k=0 |ank|q < ∞ (1.1.3)
Lemma 1.1.7. 1 < p < ∞ ve 1p + 1
q = 1 olsun. Bu takdirde; A ∈ (`p, c0) olması
için gerek ve yeter şart
lim n→∞ank = 0 (1.1.4) ve sup n∈N ∞ X k=0 |ank|q < ∞ (1.1.5) dır (Stieglitz ve Tietz, 1977).
Lemma 1.1.8. 1 < p < ∞ ve 1p + 1q = 1 olsun. Bu takdirde; A ∈ (`p, `∞) olması
için gerek ve yeter şart 1.1.3 şartının sağlanmasıdır (Stieglitz ve Tietz, 1977). Lemma 1.1.9. 1 < p < ∞ ve 1p + 1
q = 1 olsun. Bu takdirde; A ∈ (`p, bv) olması
için gerek ve yeter şart
sup N X k X n∈N (ank− an−1,k) q < ∞ (1.1.6) dır (Stieglitz ve Tietz, 1977).
Lemma 1.1.10. a0, a1, ..., an∈ C olsun. Bu takdirde, n X k=0 |ak| ≤ 4. max N ⊂{0,...,n} X k∈N ak (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
2.1 bvp Dizi Uzayı Kavramı
Bu bölümde, bvp dizi uzayının tanımı verilerek, BK- uzayı olduğu gösterilecektir. Ayrıca, bvp uzayı ile `p uzayı arasındaki ilişkiler incelenecek ve bvp uzayının bir
Schauder bazı bulunacaktır. Tanım 2.1.1. δnk = (−1)n−k , n − 1 ≤ k ≤ n, 0 , aksi takdirde
ile tanımlı ∆ = (δnk) matrisine, fark matrisi denir (Malkowsky ve ark., 2002).
Tanım 2.1.2. X, herhangi bir dizi uzayı ve A, sonsuz bir matris olsun.
XA = {x = (xk) ∈ ω : Ax ∈ X} (2.1.1)
cümlesine, A matrisinin etki alanı denir (Malkowsky ve Rakočević, 2000). Tanım 2.1.3. 1 ≤ p < ∞ için bvp cümlesi, x−1 = 0 olmak üzere,
bvp = {x = (xk) ∈ ω : ∞
X
k=0
|xk− xk−1|p < ∞} (2.1.2)
olarak tanımlanır (Malkowsky ve ark., 2002).
Önerme 2.1.1. 1 ≤ p < ∞ olmak üzere bvp dizi uzayı fark matrisinin `
p de ki etki
alanıdır. Yani;
bvp = (`p)∆ (2.1.3)
İspat . 2.1.1 ve 2.1.2 den (`p)∆ = {x = (xn) ∈ ω : ∆x ∈ `p} = {x = (xn) ∈ ω : ( ∞ X k=0 δnkxk) ∈ `p} = {x = (xn) ∈ ω : ( n X k=n−1 (−1)n−kxk) ∈ `p} = {x = (xn) ∈ ω : (xn− xn−1) ∈ `p} = {x = (xn) ∈ ω : ∞ X n=0 |xn− xn−1|p < ∞} = bvp Önerme 2.1.2. p = 1 için bvp = bv dir (Malkowsky ve ark., 2002).
İspat . bvp = {x = (xk) ∈ ω : ∞ X k=0 |xk− xk−1|p < ∞} = {x = (xk) ∈ ω : ∞ X k=0 |xk− xk−1| < ∞} = bv ⇒ bvp = bv Teorem 2.1.1. bvp = {x = xk ∈ ω : ∞ X k=0 |xk− xk−1|p < ∞}
ile tanımlı bvp cümlesi, diziler üzerindeki toplama ve skalerle çarpma işlemine göre bir lineer uzaydır (Malkowsky ve ark., 2002).
İspat . θ = (0) ∈ bvp olduğundan bvp cümlesi boş değildir.
Üçgen eşitsizliği ile
|αxk+ yk− (αxk−1+ yk−1)| ≤ |α(xk− xk−1)| + |yk− yk−1|
≤ |α|.|xk− xk−1| + |yk− yk−1| (2.1.4)
elde edilir. Bu yüzdende (2.1.4) eşitsizliği ve p ≥ 1 için Minkowski eşitsizliği uygulanarak, ∞ X k=0 (|αxk+ yk− (αxk−1+ yk−1)|) p !1/p ≤ ∞ X k=0 (|α|.|xk− xk−1|)p !1/p + ∞ X k=0 |yk− yk−1|p !1/p = |α| ∞ X k=0 |xk− xk−1|p !1/p + ∞ X k=0 |yk− yk−1|p !1/p < ∞
elde edilir. Bu ise, αx + y ∈ bvp olduğunu gösterir. Bu yüzdende, bvp cümlesi,
dizilerin toplama ve skalarla çarpma işlemine göre bir lineer uzaydır. Teorem 2.1.2. 1 ≤ p < ∞ olmak üzere, ∀x = (xk) ∈ bvp,
k.kbvp(x) = kxkbvp = ∞ X k=0 |xk− xk−1|p !1/p (2.1.5) ile tanımlı k.kbvp : bvp → R
fonksiyonu, bvpuzayında bir norm ve (bvp, k.k
bvp) de bir normlu uzaydır (Malkowsky
ve ark., 2002). İspat . N1) x = (xk) ∈ bvp, ∞ X k=0 |xk− xk−1|p
serisi yakınsak ve negatif olmayan bir reel sayıdır. Bu yüzdende, ∞ X k=0 |xk− xk−1|p !1/p ∈ R+∪ {0} dır. Yani, kxkbvp ∈ R+∪ {0} dır. N2) kxkbvp = 0 ⇔ ∞ X k=0 |xk− xk−1|p !1/p = 0 ⇔ ∞ X k=0 |xk− xk−1|p = 0 ⇔ ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}, |xk− xk−1| = 0 ⇔ ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}, xk = xk−1 P (n) :88xn = xn−1 ⇒ x = (xn) = θ00 olsun.
(i) x−1 = 0 ve x0− x−1 = 0 olduğundan x0 = 0 dır. Bu yüzden de p(0)− doğrudur.
Benzer şekilde x0 = 0 ve x1 − x0 = 0 olduğundan x1 = 0 dır. Bu yüzdenden de
p(1)− doğrudur.
(ii) k ∈ N0, p(k) doğru olsun. Yani,
xk = xk−1 ⇒ x = (xk) = θ
olsun. Bu takdirde, k ∈ N,
xk+1 = xk ⇒ x = (xk+1) = θ
olduğundan (xk+1) = (0) = θ dır. Bu yüzdende k ∈ N, p(k + 1)− doğrudur. k ∈ N,
Prensibinin her iki şartıda sağlandığından ∀n ∈ N, P (n) doğrudur. Yani xn= xn−1⇒ x = (xn) = θ dir. Bu yüzdende x = (xn) = (0) = θ dir. x = (x0, x1, x2, ..., xn, ...) = (0, 0, 0, ...) = θ elde edilir. N3) ∀x = (xk) ∈ bvp ve ∀α ∈ C için, kαxkbvp = ∞ X k=0 |αxk− αxk−1|p !1/p = ∞ X k=0 (|α||xk− xk−1|)p !1/p = ∞ X k=0 |α|p|xk− xk−1|p !1/p = |α| ∞ X k=0 |xk− xk−1|p !1/p = |α|.kxkbvp
N4) ∀x = (xk), y = (yk) ∈ bvp, `p için Minkowski Eşitsizliği kullanılırsa,
kx + ykbvp = ∞ X k=0 |(xk+ yk) − (xk−1+ yk−1)|p !1/p = ∞ X k=0 |(xk− xk−1) + (yk− yk−1)|p !1/p ≤ ∞ X k=0 |xk− xk−1|p !1/p + ∞ X k=0 |yk− yk−1|p !1/p = kxkbvp + kykbvp
elde edilir. Bu yüzdende N1-N4 aksiyomları sağlandığından
k.kbvp : bvp → R
fonksiyonu bvp üzerinde bir norm ve (bvp, k.k
bvp) de bir normlu uzaydır. Aynı
zamanda Teorem 2.1.1 den, bvp uzayı lineer uzay olduğundan, bvp uzayı normlu lineer uzaydır.
Teorem 2.1.3. 1 ≤ p < ∞ olmak üzere bvp lineer uzayı, 2.1.5’de tanımlı norma
göre bir Banach uzayıdır (Malkowsky ve ark., 2002).
İspat . bvp uzayının Banach uzay olduğunu göstermek için, 2.1.5’de tanımlanan norma göre tam olduğunu göstermek yeterlidir.
x(i) = {x(i) 0 , x
(i) 1 , x
(i)
2 , ...} olmak üzere (x(i)), bvp’de keyfi bir Cauchy dizisi olsun.
Bu takdirde ∀ > 0, ∃N () ∈ N 3 ∀i, j > N (), kx(i)− x(j)k bvp = k∆(x(i)) − ∆(x(j))kp < (2.1.6) kalır. Bu yüzdende ∀k ∈ N0, |(∆(x(i)))k− (∆(x(j)))k| ≤ ∞ X k=0 |(∆(x(i)))k− (∆(x(j)))k|p !1/p = k∆(x(i)) − ∆(x(j))kp < (2.1.7)
dır. Bu takdirde, her bir k ∈ N0 için {(∆(x(i)))k}i∈N0, C üzerinde bir Cauchy
dizisidir. C tam olduğundan her bir k ∈ N0 için
(∆(x(i)))k → (∆(x))k, (i → ∞)
olacak şekilde C de ki noktaların bir ((∆(x))k) dizisi vardır.
∀ > 0, ∃N () ∈ N 3 ∀i, j > N() için
k∆(x(i)) − ∆(x(j))k
dır. Bu takdirde, ∀i, j > N (), m ∈ N için, m X k=0 |(∆(x(i)))k− (∆(x(j)))k|p !1/p ≤ k∆(x(i))k− (∆(x(j)))kkp < (2.1.9)
dir. Bu yüzdende ∀i, j > N (), m ∈ N için,
m
X
k=0
|(∆(x(i)))k− (∆(x(j)))k|p ≤ p (2.1.10)
elde edilir. |.| fonksiyonunun sürekliliği kullanılırsa,
m X k=0 |(∆(x(i))) k− (∆(x(j)))k|p = lim j→∞ m X k=0 |(∆(x(i))) k− (∆(x(j)))k|p = m X k=0 |(∆(x(i))) k− lim j→∞(∆(x (j))) k|p = m X k=0 |(∆(x(i))) k− (∆(x))k|p ≤ p ⇒ m X k=0 |(∆(x(i))) k− (∆(x))k|p ! ≤ (2.1.11)
elde edilir. 2.1.11 den m → ∞ iken limite geçilirse, ∀ > 0, ∃N () ∈ N 3 ∀i > N (),
lim m→∞ m X k=0 |(∆(x(i))) k− (∆(x))k|p ! ≤ ⇒ ∞ X k=0 |(∆(x(i))) k− (∆(x))k|p ! ≤ (2.1.12)
kalır. Bu yüzdende x = (xk) dizisi, x e yakınsaktır.
|(∆(x))k|p ≤ |(∆(x))k− (∆(x(i)))k| + |(∆(x(i)))k|
p
olduğundan Minkowski Eşitsizliğini kullanarak, m X k=0 |(∆(x))k|p !1/p ≤ m X k=0 |(∆(x))k− (∆(x(i)))k|p !1/p + m X k=0 |(∆(x(i)))k|p !1/p (2.1.14)
yazılabilir. 2.1.12 den dolayı,
m X k=0 |(∆(x))k− (∆(x(i)))k|p ! ∈ c ∧ m X k=0 |(∆(x(i))) k|p ! ∈ c (2.1.15) dır. c ⊆ `∞ ve 2.1.15 dan ∀m ∈ N, m X k=0 |(∆(x))k− (∆(x(i)))k|p ! ≤ Kp 1 ∧ m X k=0 |(∆(x(i))) k|p ! ≤ Kp 2 (2.1.16) olacak şekilde Kp 1, K p
2 vardır. Bu yüzdende 2.1.12 ve 2.1.14 dan,
m X k=0 |(∆(x))k|p !1/p ≤ m X k=0 |(∆(x))k− (∆(x(i)))k|p !1/p + m X k=0 |(∆(x(i))) k|p !1/p ≤ (Kp 1) 1/p+ (Kp 2) 1/p (2.1.17) ⇒ m X k=0 |(∆(x))k|p !1/p ≤ K1 + K2 = K ⇒ m X k=0 |(∆(x))k|p ≤ Kp kalır. Bu yüzdende, m X k=0 |(∆(x))k|p !1/p < ∞ dır. Yani x = (xk) ∈ bvp dir.
Teorem 2.1.4. bvp uzayı, 2.1.5’de ki norma göre bir BK uzayıdır (Malkowsky ve
ark., 2002).
İspat . bvp uzayının BK uzayı olduğunu göstermek için, Banach uzayı ve bvp deki koordinat dönüşümlerinin sürekli olduğunu göstermek yeterlidir. Teorem 2.1.3’te bvp uzayının, Banach uzayı olduğu ispat edildi.
Şimdi de bvp deki koordinat dönüşümlerinin sürekli olduğu gösterilecektir. x(n)= (x(n)
k ), x(n)→ x olacak şekilde bvp deki noktaların, herhangi bir dizisi olsun.
bvp nin tanımından dolayı y(n)
k = (∆x(n))k ∈ `p dir. `p bir BK- uzayı olduğundan,
`p de koordinat dönüşümleri süreklidir. Bu yüzdende
y(n)→ y ⇒ yk(n)→ yk
⇒ (∆x(n))
k→ (∆x(n))
yazılabilir. Σ matrisinin, ∆ matrisinin tersi olduğu kullanılırsa,
x(n)k = Σk(y (n) k ) = k X j=0 σkjy (n) j = k X j=0 yj(n)→ k X j=0 yj = xk ⇒ x(n)k → xk
elde edilir. Bu yüzdende, bvp deki koordinat dönüşümleri süreklidir.
Teorem 2.1.5. 1 ≤ p < ∞ olmak üzere bvp uzayı , `p uzayına izomorfik uzaydır
(Altay ve Başar,2007). İspat . Bunun için bvp ve `
p uzayları arasında birebir, örten bir lineer dönüşümün
varlığı gösterilmelidir.
x = (xk), ω da bir dizi olmak üzere;
T : bvp −→ ` p
x −→ T x = y = (yk) = (xk− xk−1) (2.1.18)
ile tanımlı T dönüşümü göz önüne alınırsa; x = (xk), u = (uk) ∈ bvp ve α ∈ C,
T (x + u) = (xk+ uk) − (xk−1+ uk−1)
= (xk− xk−1) + (uk− uk−1)
ve
T (αx) = (αxk− αxk−1)
= α(xk− xk−1)
= αT x
olduğundan T dönüşümü lineerdir.
Şimdi de, x = (xk), u = (uk) ∈ bvp, T x = T u olduğu kabul edilerek x = u olduğu
gösterilicektir. O halde;
T x = T u ⇒ T x − T u = θ
ve T dönüşümü lineer olduğundan T (x − u) = (xk− uk) − (xk−1 − uk−1) = 0 elde
edilir.
P (n) : (xn− un) − (xn−1− un−1) = 0 ⇒ xn= un
olsun.
(i) x−1 − u−1 = 0 ve (x0 − u0) − (x−1 − u−1) = 0 olduğundan x0 − u0 = 0 dır.
Dolayısıyla da x0 = u0 dır. Bu yüzdende p(0)− doğrudur.
Benzer şekilde x0 = u0 ve (x1− u1) − (x0 − u0) = 0 olduğundan x1 − u1 = 0 dır.
Dolayısıyla da x1 = u1 dır. Bu yüzdende p(1)− doğrudur.
(ii) k ∈ N, p(k) doğru olsun. Yani,
(xk− uk) − (xk−1− uk−1) = 0 ⇒ xk= uk
olsun. Bu takdirde, k ∈ N,
(xk+1− uk+1) − (xk− uk) = 0
olduğundan xk+1− uk+1 = 0 dır. Dolayısıyla da xk+1 = uk+1 dır. Bu yüzdende,
k ∈ N, p(k + 1)− doğrudur. k ∈ N, p(k) → p(k + 1) totoloji olduğundan
∀n ∈ N, P (n) doğrudur. Yani
(xn− un) − (xn−1− un−1) = 0 ⇒ xn= un
dir. Bu yüzdende
x = (xn) = (un) = u
dir. O halde x = (xk), u = (uk) ∈ bvp, T x = T u ⇒ x = u elde edilir.
Bu yüzdende T dönüşümü birebirdir. ∀y = (yk) ∈ `p için ∃x = (xk) = Pk j=0yj ∈ bvp 3 T (x) = y = (y k) = (xk− xk−1) kalır. Bu yüzdende T dönüşümü örtendir. Sonuç olarak, bvp uzayından, `
p uzayına birebir, örten ve lineer bir dönüşüm var
olduğundan, bvp dizi uzayı , `
p dizi uzayına izomorfik uzaydır.
Teorem 2.1.6. 1 ≤ p < ∞ için `p, bvp nin kesin alt cümlesidir. Yani, `p ⊂ bvp
dir(Altay ve Başar,2007).
İspat . x = (xk), `p de keyfi bir dizi olsun. Bu takdirde, ∞ X k=0 |xk|p < ∞ (2.1.19) dir. Dolayısıyla (Pn k=0|xk|
p) dizisi, üstten sınırlıdır. Bu yüzdende ∀n ∈ N 0, n
X
k=0
|xk|p ≤ Mp (2.1.20)
olacak şekilde ∃Mp > 0 vardır. Ayrıca 1 ≤ p < ∞ için Minkowski Eşitsizliği
kullanılarak, n X k=0 |xk− xk−1|p !1/p ≤ n X k=0 |xk|p !1/p + n X k=0 |xk−1|p !1/p ≤ n X k=0 |xk|p !1/p + n−1 X k=0 |xk|p !1/p
≤ n X k=0 |xk|p !1/p + n X k=0 |xk|p !1/p ≤ 2 n X k=0 |xk|p !1/p ≤ 2M = K0 (2.1.21) yazılabilir. Bu yüzdende, ∀n ∈ N0, ∃K0 > 0 3 n X k=0 |xk− xk−1|p ≤ K0p = K (2.1.22) ⇒ n X k=0 |xk− xk−1|p ≤ K (2.1.23) kalır. Bu takdirde, ∞ X k=0 |xk− xk−1|p
serisi yakınsaktır. Bu yüzdende x = (xk) ∈ bvp dir. ∀x = (xk) ∈ `p, x = (xk) ∈ bvp
olduğundan `p ⊂ bvp elde edilir.
Ayrıca,
x = (1, 1, 1, ...) dizisi göz önüne alınırsa,
∆x = (xk− xk−1) = (x0− x−1, x1− x0, ...) = (1, 0, 0, ...) ve ∞ X k=0 |(∆x)k|p = |(∆x)0|p+ ∞ X k=1 |(∆x)k|p = |x0|p+ 0 = 1
olduğundan ∆x ∈ `p dir. Dolayısıyla da x = (xk) ∈ bvp dir. Fakat x = (xk) /∈ `p
2.2 bvp Uzayının Schauder Bazı
Bu kısımda, bvpdizi uzayının Schauder bazına ilişkin teorem ifade ve ispat edilecektir.
Teorem 2.2.1. 1 ≤ p < ∞ olmak üzere bvp uzayınının elemanlarının b(k) = (b(k) j ) dizisi; b(k)j = 0, j < k 1, j ≥ k
olarak tanımlansın. Bu takdirde (b(k)) dizisi, bvp dizi uzayının bir Schauder bazıdır
ve ∀x ∈ bvp, λk= (∆x)k = xk− xk−1, (k ∈ N0) olmak üzere; x = ∞ X k=0 λkb(k), (k ∈ N0) (2.2.1)
şeklinde bir tek gösterime sahiptir (Malkowsky ve ark., 2002). İspat . e(k), `
p için bir Schauder bazdır. Bu takdirde ∀k ∈ N0,
∆(b(k)) = (∆(b(k)j )) = (b(k)j − b(k)j−1) = (e(k)j )
= e(k) ∈ `p (2.2.2)
olduğundan {(bk)} ⊂ bvp dir.
x = (xk) ∈ bvp, keyfi bir dizi ve ∀m > 0 için,
x[m] =
m
X
k=0
olsun. Bu yüzdende 2.2.2 eşitliğinin varlığı göz önünde tutularak, 2.2.3 eşitliğine ∆ matrisini uygulanırsa, ∆x[m] = m X k=0 λk∆b(k)= m X k=0 (∆x)ke(k) ve i, m ∈ N0 ∆(x − x[m] )i = 0 , 0 ≤ i ≤ m (∆x)i , i > m elde edilir. ∀ > 0, ∃m0 ∈ N 3 ∀m > m0, ∞ X i=m0+1 |(∆x)i|p !1/p < 2 kalır. Bu yüzdende ∀ > 0, ∃m0 ∈ N 3 ∀m > m0, ∆(x − x[m])i p = ∞ X k=m |(∆x)i|p !1/p ≤ ∞ X k=m0 |(∆x)i|p !1/p < 2 < ⇒ ∆(x − x[m])i p < kalır. Bu yüzdende x[m] → x (m → ∞) dir. x[m] = m X k=0 λkb(k)
olduğundan lim m→∞x [m] = lim m→∞ m X k=0 λkb(k) = ∞ X k=0 λkb(k) dir. Bu yüzdende x = ∞ X k=0 λkb(k) elde edilir. x dizisinin x = ∞ X k=0 µkb(k), (k ∈ N0) (2.2.4)
şeklinde başka bir gösterimi var olsun. 2.2.2 eşitliğinin varlığını göz önünde tutularak 2.2.4 eşitliğine ∆ matrisini uygulanırsa, ∀n ∈ N0 için,
(∆(x)n) = ∞ X k=0 µk(∆b(k))n= ∞ X k=0 µke(k)n = µn
elde edilir. Bu takdirde ∀n ∈ N0,
(∆x)n= µn = λn
dir. O halde x ∈ bvp dizisinin 2.2.1 teki gösterimi bir tektir. Bu yüzden de (b(k))∞k=0 dizisi, bvp dizi uzayının bir Schauder bazıdır.
3.1 bvp Uzayının β− Duali
Bu kısımda, bvp’nin β− dualini belirleyen teorem ifade ve ispat edilecektir.
Teorem 3.1.1. 1 ≤ p < ∞ olmak üzere ∀n ∈ N için,
Enk = 0, 0 < k < n − 1 1, k ≥ n (3.1.1)
ile E = (Enk) matrisi tanımlansın ve
M (bvp) = ((n + 1)1/q)−1∗ `∞ (3.1.2) olsun. Bu takdirde; (a) (bvp)β = (`βp ∩ M (bvp)) E (3.1.3) ve (b) ∀a ∈ (bvp)β, kak∗ bvp = kE(a)kq (3.1.4) dır (Malkowsky ve ark., 2002).
İspat . (a) İlk olarak ((`p)β∩ M (bvp, co))E = (bvp)β olduğu gösterilecektir.
a ∈ (`β
p ∩ M (bvp, co))E olsun. Bu takdirde;
dır. y ∈ bvp, keyfi olsun. Bu takdirde, ∆(y) = x ∈ `p dır. 3.1.5 den dolayı
R ∈ M (bvp, c0) ⇒ ∀y ∈ bvp, R.y ∈ c0 (3.1.6)
olur. Ayrıca, R ∈ `β
p olduğundan, x ∈ `p ve ∀k, için
(Rkxk) ∈ cs (3.1.7)
dır. Abel Kısmi Toplama Formülünden, n ∈ N0 için, n X k=0 akyk = n X k=1 Rk∆(yk) − Rn+1yn+1 = n X k=1 Rkxk− Rn+1yn+1 (3.1.8)
dır. 3.1.8 eşitliğinde n → ∞ iken limite geçilir, 3.1.6 ve 3.1.7 ifadeleri göz önüne alınırsa;
(akyk) ∈ cs
elde edilir. O halde ∀y ∈ bvp için a.y ∈ cs olduğundan a ∈ (bvp)β elde edilir. Bu takdirde,
((`p)β ∩ M (bvp, co))E ⊆ (bvp)β (3.1.9)
dır.
Tersine olarak, a ∈ (bvp)β ve y ∈ bvp olsun. Bu takdirde, a.y ∈ cs dir. Ayrıca,
∆(e) = e(0) ∈ φ ⊂ `p
olduğundan e ∈ bvp ve dolayısıyla a = a.e ∈ cs olur. Bu da E = (E
nk) dizisinin
tanımlı olduğunu gösterir. y ∈ bvp olduğundan x = ∆(y) ∈ `
p ve dolayısıyla y = Σ(x) dir. Bu yüzdende; ∀n ∈ N0, n X k=0 akyk = n X k=0 ak k X j=0 xj = n X k=0 n X j=k aj ! xk (3.1.10)
yazılabilir. 3.1.10 eşitliğinde n X k=0 akyk ! ∈ c ⇒ n X k=0 n X j=k aj ! xk ! ∈ c dir. A = (ank)∞n,k=0 matrisi ank = Pn j=kaj , 0 ≤ k ≤ n 0 , k > n
şeklinde tanımlanırsa, 3.1.10 eşitliğinden, A ∈ (`p, c) ⊂ (`p, `∞) elde edilir. Bu
takdirde ∀n ∈ N0 ve x ∈ S1/D[0] olacak şekilde ∃D > 0 reel sayısı için
n X k=0 n X j=k aj ! xk ≤ C
olacak şekilde ∃C > 0 vardır. m ∈ N0 olsun. n ≥ m ve ∀n ∈ N0 ve x ∈ S [m] 1/D[0] için n X k=0 n X j=k aj ! xk = m X k=0 n X j=k aj ! xk ≤ C
dir. a ∈ cs ve R = E(a) olduğundan m X k=0 Rkxk = m X k=0 lim n→∞ n X j=k aj ! xk = lim n→∞ m X k=0 n X j=k aj ! xk ≤ C (3.1.11) elde edilir.
x ∈ `p verilmiş ve δ = 1/2D olsun. x dizisinie exk = (sgnRk)xk, (k = 0, 1, 2, ...) olarak tanımlansın. `p normal ve |xek| ≤ |xk| olduğundan ex ∈ `p dir. `p, AK uzayı olduğundan ∀m ≥ m0 için,
e e
olacak şekilde ∃K > 0 reel sayısı ve m0 ∈ N0 vardır. Bu yüzdende 3.1.11 ve 3.1.12’den, m X k=0 Rke e x[m]k = m X k=0 RkK−1ex [m] k ≤ 1 K m X k=0 Rkxe [m] k ≤ 1 K m X k=0 Rkx [m] k ≤ C = 1 K m X k=0 |Rkxk| ≤ C dir. Bu yüzdende m X k=0 |Rkxk| ≤ KC (3.1.13) dir. O halde R ∈ `αp ⊂ `β p (3.1.14)
dir. Sonuç olarak 3.1.8 ve 3.1.14 birleştirilirse,
lim
n→∞Rn+1yn+1 (3.1.15)
ifadesi ∀y ∈ bvp için mevcuttur ve R ∈ (bvp, c) dir. Bu yüzdende;
R ∈ M (bvp, c) (3.1.16)
dir. 3.1.14 ve 3.1.16 birleştirilirse;
R = E(a) ∈ (`βp ∩ M (bvp, c))
elde edilir. Bu yüzdende
a ∈ (`βp ∩ M (bvp, c)) E
dır. ∀a ∈ (bvp)β, a ∈ (`β
p ∩ M (bvp, c))E olduğundan dolayı da
(bvp)β ⊆ (`βp ∩ M (bvp, c))E (3.1.17)
elde edilir. 3.1.9 ve 3.1.17 den
(bvp)β = (`βp ∩ M (bvp, c)) E
elde edilir. Şimdi de;
M (bvp, c) ⊂ M (bvp) ⊂ M (bvp, c0) (3.1.18)
olduğu gösterilecektir. İlk olarak kabul edelim ki a ∈ M (bvp, c) keyfi olsun. Bu takdirde ∀x ∈ bvp, ax ∈ c dir. Ayrıca, x ∈ bvp olması için gerek ve yeter şart
∆(x) = y ∈ `p dir. Bu takdirde x = Σ(y) ve ∀n ∈ N0, anxn =
Pn k=0anyk dır. ∀n ∈ N0, cnk = an , 0 ≤ k ≤ n 0 , k > n
ile tanımlı C = (cnk) matrisini tanımlayalım. Bu takdirde C ∈ (`p, c) dir. O halde,
Lemma 1.1.6’dan dolayı
sup n ∞ X k=0 |cnk|q = sup n n X k=0 |cnk|q+ ∞ X k=n+1 |cnk|q ! = sup n n X k=0 |an|q+ 0 ! = sup n n X k=0 |an|q = sup n (n + 1)|an|q < ∞ (3.1.19)
elde edilir. Diğer taraftan,
{(n + 1)|an|q} ∈ `∞
⇒ {(n + 1)1/q|a
n|} ∈ `∞
⇒ {(n + 1)1/qa
n} ∈ `∞
dır. Bu ise, a ∈ M (bvp) olduğunu gösterir. ∀a ∈ M (bvp, c), a ∈ M (bvp) olduğundan
dolayı da
M (bvp, c) ⊂ M (bvp) (3.1.20)
elde edilir.
a ∈ M (bvp) keyfi olsun. Bu takdirde a ∈ ((n + 1)1/q)−1∗ `
∞ olduğundan ((n + 1)1/qan) ∈ `∞ dır. O halde ∃K > 0 3 ∀n ∈ N0, (n + 1)1/q|an| ≤ K kalır. Bu yüzdende ∃K > 0 3 ∀n ∈ N0, |an| ≤ K(n + 1)−1/q kalır. Bu yüzdende ∀n ∈ N0, 0 ≤ |an| ≤ K (n + 1)1/q olduğundan 0 ≤ lim n→∞|an| ≤ K limn→∞ 1 (n + 1)1/q = 0 ⇒ 0 ≤ limn→∞|an| ≤ 0 ⇒ limn→∞|an| = 0 ⇒ limn→∞an= 0 ⇒ a ∈ c0 (3.1.21)
elde edilir. C matrisini yukarıda ki gibi tanımlanırsa 3.1.19 tekrar elde edilir. Lemma 1.1.7, 3.1.19 ve 3.1.21 den C ∈ (`p, c0) elde dilir. Bu takdirde ∀x ∈ bvp,
olduğundan
M (bvp) ⊂ M (bvp, c0) (3.1.22)
elde edilir. 3.1.20 ve 3.1.22 birleştirilirse 3.1.19 elde edilir.
(b) a ∈ (bvp)β olarak verilsin. x ∈ bvp alınırsa, ∆(x) = y ∈ `p elde edilir. R = E(a)
olmak üzere Abel Kısmi Toplama Formülünden
n X k=0 akxk = n X k=0 Rkyk− Rn+1xn+1 (n = 0, 1, 2, ...) (3.1.23)
yazılabilir. a ∈ (bvp)β ve (a) dan R ∈ M (bvp, c
0) olduğundan dolayı 3.1.23 den n X k=0 akxk = n+1 X k=0 Rkyk (n = 0, 1, 2, ...) (3.1.24)
elde edilir. kxkbvp = kykp olduğundan kak∗
bvp = kRk∗` p ve `
∗
p ve `q norm izometrik
olduğundan dolayı da 3.1.4 elde edilir. Uyarı 3.1.1. (a) `q * M (bvp) (b) M (bvp) * ` q (Malkowsky ve ark., 2002). İspat . (a) ak = 1 v+1, k = 2 v 0, k 6= 2v (v = 0, 1, 2, ...) (3.1.25)
ile a dizisi tanımlansın.
∞ X k=0 |ak|q = |a0|q+ |a1|q+ |a2|q+ |a3|q+ |a4|q+ ... = |a1|q+ |a2|q+ |a4|q+ ... = |a20|q+ |a21|q+ |a22|q+ ... = ∞ X v=0 |a2v|q = ∞ X v=0 1 (v + 1)q < ∞
olduğundan a ∈ `q dır. Fakat |a2v|(2v+ 1)1/q ≥ 2v/q v + 1 → ∞ (v → ∞) olduğundan a /∈ M (bvp) dır. O halde; a ∈ `q\ M (bvp) elde edilir. (b)∀k ∈ N0, e ak = 1 k + 1 1/q (3.1.26)
ileea dizisi tanımlansın. k = (0, 1, 2, ...) için
eak(k + 1)
1/q
= 1
olduğundanea ∈ M (bvp) dir. Fakat ∞ X k=0 |eak|q = ∞ X k=0 1 k + 1 = ∞ olduğundanea /∈ `q dir. O halde
ea ∈ M (bv
p)\` q
4.1 bvp Dizi Uzayı Üzerindeki Matris Dönüşümleri
Bu bölümde bvp dizi uzayı üzerindeki matris dönüşümleri karakterize edilecektir. Daha önce olduğu gibi, 1 < p < ∞ ve q = p/(p − 1) olarak kabul edilecektir. Lemma 4.1.1. X ⊂ φ, AK özelliğine sahip normal bir FK uzayı, Y bir lineer uzay ve M (X∆, c) = M (X∆, c0) olsun. ∀n, k ∈ N0 için RA matrisi,
rnkA =
∞
X
j=k
anj (4.1.1)
olarak tanımlansın. Bu takdirde; A ∈ (X∆, Y ) olması için gerek ve yeter şart
RA ∈ (X, Y ) (4.1.2)
ve ∀n ∈ N0
RAn ∈ M (X∆, c0) (4.1.3)
dır (Malkowsky, 2002).
İspat . Kabul edelim ki A ∈ (X∆, Y ), X∆ = Z ve RA = R olsun. Bu takdirde
A ∈ (Z, Y ) dır. Bu yüzdende An∈ Zβ olur.
(X∆)β = (Xβ∩ M (x∆, c))E, E(An) = Rn (4.1.4)
olduğundan
An ∈ (Xβ ∩ M (x∆, c))E ⇒ Rn= E(An) ∈ Xβ ∧ Rn= E(An) ∈ M (x0, c)
dir. Böylece 4.1.3 ispatlanır. Şimdi de R ∈ (X, Y ) olduğunu gösterelim. Bunun için ∀x ∈ X olmak üzere, R(x) ∈ Y olduğunu göstermek yeterlidir. z ∈ Z için ∆(z) = x ∈ X olacaktır. ∀n ∈ N0 için Abel Kısmi Toplama Formülüne göre;
m X k=0 ankzk = m+1 X k=0 rnkxk− rn,m+1zm+1 (m ∈ N0) (4.1.6)
yazılabilir. 4.1.3 den dolayı ∀n ∈ N0,
lim
m→∞rn,m+1zm+1 = 0
dır. 4.1.6 ifadesine (m → ∞) iken limite geçilirse, ∀n ∈ N0,
lim m→∞ m X k=0 ankzk= lim m→∞ m+1 X k=0 rnkxk− lim m→∞rn,m+1zm+1 ⇒ lim m→∞ m X k=0 ankzk= lim m→∞ m+1 X k=0 rnkxk ⇒ m X k=0 ankzk = m+1 X k=0 rnkxk ⇒ An(z) = Rn(x) ⇔ A(z) = R(x)
olacaktır. A ∈ (Z, Y ) olarak kabul edildiğinden A(z) ∈ Y ve dolayısıylada R(x) ∈ Y olur. ∀x ∈ X, R(x) ∈ Y olduğundan R ∈ (X, Y ) dir. Dolayısıyla 4.1.2 elde edilir.
Tersine olarak, R ∈ (X, Y ) ve ∀n için Rn ∈ (X∆, c0) olsun. Bu durumda Rn ∈
M (X∆, c) ve dolayısıyla da ∀x ∈ X için Rn(x) ∈ c dir. 4.1.6 dan dolayı da z ∈ Z
ve M (X∆, c0) = M (X∆, c) ile birlikte ∀n ∈ N0,
An(z) = Rn(x) ⇔ A(z) = R(x)
olur. R ∈ (X, Y ) verilmiş olduğundan R(x) ∈ Y ve dolayısıyla A(z) ∈ Y dir. Bu A ∈ (X∆, Y ) olduğunu gösterir.
(a) A ∈ (X, `∞) olması için gerek ve yeter şart
kAk∗X = sup
n
kAnk∗ < ∞ (4.1.7)
dır. Ayrıca, A ∈ (X, `∞) ise, bu takdirde
kLAk = kAk∗X (4.1.8)
dır. (b) (b(k))∞
k=0, X’in bir Schauder bazı ve Y1, Y de kapalı bir BK uzayı olsun.
Bu takdirde
A ∈ (X, Y1) ⇔ A ∈ (X, Y ) ve ∀k, A(b(k)) ∈ Y1 (4.1.9)
(Malkowsky ve Rakočević,2000).
İspat . (a) Kabul edelim ki 4.1.7 şartı sağlansın. Bu takdirde ∀n ∈ N ve kxk = 1 şartını sağlayan ∀x ∈ X, An(x) serisi yakınsak ve A(x) ∈ `∞ dur. Bu yüzdende
Tanım 1.1.22’den dolayı A ∈ (X, `∞) elde edilir.
Tersine olarak; A ∈ (X, `∞) olsun. Bu takdirde Lemma 1.1.1’den dolayı kxk = 1
şartını sağlayan ∀x ∈ X, LA(x) = A(x) olacak şekilde en az bir LA ∈ B(X, `∞)
operatörü vardır. kxk = 1 şartını sağlayan ∀x ∈ X, A(x) ∈ `∞ olduğundan
kA(x)k∞= kLA(x)k∞ = sup n
|An(x)| = sup n
kAnk∗X ≤ M kxk
dır. Bu yüzdende 4.1.7 şartı elde edilir.
Ayrıca ∀n ∈ N ve kxk = 1 şartını sağlayan ∀x ∈ X,
kA(x)k∞ = sup n
|An(x)| = kLA(x)k∞ ≤ kLAk
olur. Bu yüzdende ∀n ∈ N ve kxk = 1 şartını sağlayan ∀x ∈ X,
dır. k.k∗ normunun tanımı gereğince
kAk∗ = sup
n
|An(x)| ≤ kLAk (4.1.10)
elde edilir. Ayrıca, ∀ > 0 için
kA(x)k∞ ≥ kLAk − /2 (4.1.11)
olacak biçimde kxk = 1 şartını sağlayan ∃x ∈ X vardır ve
|An(x)(x)| ≥ kA(x)k∞− /2 (4.1.12)
olacak şekilde bir n(x) tamsayısı vardır. Bu yüzdende 4.1.11 ve 4.1.12’dan
|An(x)(x)| ≥ kLAk − (4.1.13)
dir. Sonuç olarak;
kAk∗ = sup
n
kAnk∗ ≥ kLAk − (4.1.14)
olur. > 0 keyfi olduğundan, kAk∗ ≥ kLAk ve 4.1.10 ile de
kAk∗ = kLAk (4.1.15)
elde edilir.
(b) A ∈ (X, Y1) için koşulların gerekliliği açık olarak görülebilir. Tersine; A ∈ (X, Y )
olsun. Bu takdirde Lemma 1.1.1’den dolayı LA(x) = A(x) olacak şekilde en az bir
LA∈ B(X, Y ) operatörü vardır. Y1, Y ’nin kapalı bir alt uzayı olduğundan, Teorem
1.1.4’den Y1 ve Y ’deki metrikler aynıdır. S, Y1’de herhangi bir uzay olsun. Bu
takdirde sırasıyla dY1 ve dY |Y1 metriklerine göre S’nin Y1 ve Y ’deki kapanışları için
closY1(S) = closY |Y1(S) (4.1.16)
∀x ∈ X ve SB = ( m X k=0 λkb(k) : m ∈ N0, λk ∈ C (k ∈ N0) ) (4.1.17) ile {b(k) : k = 0, 1, ...}
nin spanı tanımlansın. ∀k = 0, 1, ..., LA(b(k)) ∈ Y1 ve dY1 ve dY |Y1 metrikleri denk
olduğundan
LA|SB : (X, dX) → (Y1, dY1) (4.1.18)
dönüşümü süreklidir. Ayrıca, (b(k))∞
k=0, X’in bir bazı olduğundan, SB = X dır. Bu
takdirde 4.1.16 ve LA|SB nin sürekliliğinden
LA(x) = LA(SB) = closY1(LA|SB(SB)) = closY |Y1(LA|SB(SB))
⊂ closY |Y1(Y1) = Y1
elde edilir. Bu yüzdende ∀x ∈ X için LA(x) = A(x) ∈ Y1 dir. Sonuç olarak
A ∈ (X, Y ) elde edilir.
Teorem 4.1.1. (a) A ∈ (bvp, `∞) olması için gerek ve yeter şart
kAk(bvp,` ∞) = sup n ∞ X k=0 ∞ X j=k anj q!1/q < ∞ (4.1.19) ve ∀n ∈ N0, sup k k1/q ∞ X j=k anj < ∞ (4.1.20) olmasıdır. (b) A ∈ (bvp, c
0) olması için gerek ve yeter şart 4.1.19 ve 4.1.20 sağlanır ve herbir
k ∈ N0, lim n→∞ ∞ X j=k anj = 0. (4.1.21)
(c) A ∈ (bvp, c) olması için gerek ve yeter şart 4.1.19 ve 4.1.20 sağlanır ve herbir k ∈ N0, lim n→∞ ∞ X j=k anj = αk. (4.1.22)
(d) Y ; `∞, c0 ya da c dizilerinden herhangi biri olsun.
Eğer A ∈ (bvp, Y ) ise, bu takdirde kL
Ak = kAk(bvp,` ∞)
(Malkowsky ve ark., 2002).
İspat . (a) 3.1.18’den dolayı M (bvp, c) = M (bvp, c
0) dır. O halde, Lemma 4.1.1.’in
bütün şartları sağlanır. rnkA = ∞ X j=k anj olsun. Bu takdirde, A ∈ (bvp, `
∞) olması için gerek ve yeter şart
(i) RA ∈ (` p, `∞)
(ii) ∀n ∈ N0, RAn ∈ M (bvp, c0)
olmasıdır. (i) den ve Teorem 1.1.18’den dolayı
RA ∈ (`p, `∞) ⇔ sup n ∞ X k=0 |rnk|q < ∞
yazılabilir. Bu takdirde 4.1.19 şartı sağlanır. 3.1.2 ve 3.1.18’den dolayı M (bvp, c) = M (bvp, c
0) = M (bvp) ve
M (bvp) = (k1/q)∞k=0−1∗ `∞ (4.1.23)
yazılabilir. (ii) ve 4.1.23’den dolayı ∀n ∈ N0,
RAn ∈ M (bvp, c0) ⇔ k1/q(rnkA) ∈ `∞⇔ sup k k1/q|rAnk| = sup k k1/q ∞ X j=k anj < ∞
dur. Bu ise 4.1.20 şartının sağlanığını gösterir.
(b(k))∞ k=0 dizisi; b(k)j = 0, j < k 1, j ≥ k olarak tanımlanırsa, (b(k))∞
k=0 dizisi, bvp dizi uzayının bir Schauder bazıdır. Bu
takdirde, ∀k ∈ N0, An(b(k)) = ∞ X j=0 anjb(k)j = ∞ X j=k anj (4.1.24)
dir. Lemma 4.1.2. (b) şıkkına göre A ∈ (bvp, c0) olması için gerek ve yeter şart
(bvp, `∞) ve ∀k ∈ N0, An(b(k)) ∈ c0 olmasıdır. Bu yüzdende 4.1.24’den 4.1.21
sağlanır. Ayrıca, (a) şıkkıda göz önüne alınırsa, (b) şıkkının ispatı biter. (c) (b), şıkkının ispatı ile aynıdır.
(d)A ∈ (bvp, `
∞) ise bu takdirde Lemma 4.1.2’den
kAk∗bvp = kLAk
yazılabilir. Bu takdirde, ∀n ∈ N0
kAk∗bvp = sup
n
kAnk∗bvp
dir. Teorem 3.1.1’den dolayı sonuç elde edilir.
(bvp, c0) ⊂ (bvp, c) ⊂ (bvp, `∞)
olduğundan Y = c0 veya Y = c olduğunda da ispat benzer verilebilir.
Lemma 4.1.3. X, X ⊃ Φ olacak şekilde bir BK-uzayı ve An de Tanım 1.1.22 de ki gibi tanımlansın. A ∈ (X, `1) olması için gerek ve yeter şart
kAk(X,`1) = sup N ⊂ N0 N − sonlu X n∈N An < ∞ (4.1.25)
olmasıdır (Malkowsky, 1987). Ayrıca,A ∈ (X, `1) ise, bu takdirde
kAk(X,`1) ≤ kLAk ≤ 4kAk(X,`1) (4.1.26)
dir (Malkowsky ve ark., 2002).
İspat . A ∈ (X, `1) ve m ∈ N0 olsun. Bu takdirde, Lemma 1.1.1’den dolayı
LA(x) = A(x) olacak şekilde en az bir LA ∈ B(X, `1) operatörü vardır. Bu yüzdende
kLA(x)k = sup kxk=1
kA(x)k1 (4.1.27)
dır. Bu takdirde ∀N ⊂ {0, ..., m} ve kxk = 1 olacak şekilde ki her bir x ∈ X, X n∈N An(x) ≤ m X n=0 |An(x)| ≤ ∞ X n=0 |An(x)| ⇒ kAk(X,`1) = sup N ⊂ N0 N − sonlu X n∈N An(x) ≤ sup n kA(x)k1 = kLAk ⇒ kAk(X,`1) ≤ kLAk (4.1.28)
elde edilir. 4.1.27 ve supremumun özelliğinden dolayı ∀ > 0 ve kxk = 1 şartını sağlayan her bir x ∈ X 3
kA(x)k1 ≥ kLAk −
2 (4.1.29)
kalır. Ayrıca, 4.1.25 ve supremumun özelliğinden dolayı da ∀ > 0 ve kxk = 1 şartını sağlayan her bir x ∈ X 3
m(x) X n=0 |An(x)| ≥ kA(x)k1− 2 (4.1.30)
kalır. 4.1.29 ve 4.1.30 den dolayı
m(x) X n=0 |An(x)| ≥ kA(x)k1− 2 ≥ kLAk − 2 − 2 = kLAk −
⇒
m(x)
X
n=0
|An(x)| ≥ kLAk − (4.1.31)
yazılabilir. Lemma 1.1.5 ve 4.1.31 den dolayı
4. max N ⊂{0,...,m(x)} X n∈N An(x) ≥ m(x) X n=0 |An(x)| ≥ kLAk − (4.1.32)
elde edilir. 4.1.32’den
4.kAk(X,`1) ≥ kLAk −
yazılabilir. > 0 keyfi olduğundan,
4.kAk(X,`1) ≥ kLAk (4.1.33)
yazılabilir. 4.1.28 ve 4.1.34 den dolayıda
kAk(X,`1)≤ kLAk ≤ 4.kAk(X,`1) (4.1.34)
elde edilir.
Lemma 4.1.4. X ve Y , ω’ nın keyfi alt cümleleri olsun.
(a)A ∈ (X, YT) olması için gerek ve yeter şart B = T A ∈ (X, Y ) olmasıdır.
(b) Eğer X ve Y BK uzayları ve A ∈ (X, YT) ise
kLAk = kLBk (4.1.35)
dir (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
İspat . (a)A ∈ (X, YT) olsun. Bu takdirde A, X den YT ye bir matris dönüşümüdür.
A ∈ (X, YT) ⇔ ∀x ∈ X, y = A(x) ∈ YT
⇔ ∀x ∈ X, T (y) = T (A(x)) ∈ Y ⇔ ∀x ∈ X, (T A)(x) ∈ Y
(b) X ve Y BK uzayları ve A ∈ (X, YT) olsun. Bu takdirde, ∀x ∈ X, y = A(x) ∈ YT
dir. Y bir BK uzayı ve T bir üçgensel matris olduğundan, y ∈ YT,
kykYT = kT (y)kY (4.1.36)
normuna göre YT bir BK uzayıdır. Teorem 2.1.8 ’den dolayı A dönüşümü süreklidir.
Ayrıca, her A ∈ (X, Y ) matrisi ve her x ∈ X,
LA(x) = A(x) (4.1.37)
olacak şekilde bir LA operatörü vardır ve
kLAk = sup{kLA(x)kYT : kxk = 1}
= sup{kA(x)kYT : kxk = 1}
< ∞
dir. Bununla beraber B = T A, sürekli olmasından ve 4.1.36 eşitliğinden,
kLBk = sup{kLB(x)kY : kxk = 1} = sup{kB(x)kY : kxk = 1} = sup{k(T A)(x)kY : kxk = 1} = sup{kT (A(x))kY : kxk = 1} = sup{kA(x)kYT : kxk = 1} = kLAk olarak bulunur. Teorem 4.1.2. (a) A ∈ (bvp, `
1) olması için gerek ve yeter şart ∀n ∈ N0,
sup k k1/q ∞ X j=k anj ! < ∞ (4.1.38)
sağlanır ve kAk(bvp,`1) = sup N ⊂ N0 N − sonlu ∞ X k=0 X n∈N ∞ X j=k anj ! q!1/q < ∞. (4.1.39) Ayrıca, A ∈ (bvp, ` 1) ise, bu takdirde kAk(bvp,` 1) ≤ kLAk ≤ 4.kAk(bvp,`1). (4.1.40)
(b) A ∈ (bvp, bv) olması için gerek ve yeter şart ∀n,
sup k k1/q ∞ X j=k anj ! < ∞ (4.1.41) sağlanır ve kAk(bvp,bv)= sup N ⊂ N0 N − sonlu ∞ X k=0 X n∈N ∞ X j=k (anj − an−1,j) ! q!1/q < ∞. (4.1.42)
Ayrıca,A ∈ (bvp, bv) ise, bu takdirde
kAk(bvp,bv)≤ kLAk ≤ 4.kAk(bvp,bv). (4.1.43)
(Malkowsky ve ark., 2002).
İspat . (a) 3.1.18’den dolayı M (bvp, c) = M (bvp, c0) dır. O halde, Lemma 4.1.1’in
bütün şartları sağlanır. rnkA = ∞ X j=k anj olsun.
Bu takdirde, A ∈ (bvp, `1) olması için gerek ve yeter şart
(i) RA ∈ (` p, `1)
olmasıdır. (i) den ve Lemma 1.1.5’ten dolayı RA∈ (`p, `1) ⇔ sup N ∞ X k=0 X n∈N ∞ X j=k anj ! q < ∞
yazılabilir. Bu takdirde 3.1.2 şartı sağlanır.
(ii), 3.1.2 ve 3.1.18’den dolayı M (bvp, c) = M (bvp, c
0) = M (bvp) ve
M (bvp) = (k1/q)∞k=0−1∗ `∞ (4.1.44)
yazılabilir. (ii) ve 4.1.44’den dolayı ∀n ∈ N0,
RAn ∈ M (bvp, c 0) ⇔ k1/q(rnkA) ∈ `∞⇔ sup k k1/q|rA nk| = sup k k1/q ∞ X j=k anj < ∞
dur. Bu ise 4.1.38 şartının sağlanığını gösterir.
Ayrıca, A ∈ (bvp, `1) ise Lemma 4.1.3.’te X = (bvp) alınırsa,
kAk(bvp,`
1) ≤ kLAk ≤ 4kAk(bvp,`1) (4.1.45)
elde edilir.
(b) 3.1.18 den dolayı M (bvp, c) = M (bvp, c
0) dır. O halde, Lemma 4.1.1.’in bütün
şartları sağlanır. rnkA = ∞ X j=k anj olsun.
Bu takdirde, A ∈ (bvp, bv) olması için gerek ve yeter şart (i) RA ∈ (`p, bv)
(ii) ∀n ∈ N0, RAn ∈ M (bvp, c0)
olmasıdır. (i) den ve Lemma 1.1.9’dan dolayı
RA∈ (`p, bv) ⇔ sup N ∞ X k=0 X n∈N ∞ X j=k (anj − an−1,j) ! q < ∞
yazılabilir. Bu takdirde 4.1.42 şartı sağlanır.
(a)’dan (ii) şartının 4.1.41 şartını gerektirdiği açıktır. Ayrıca, A ∈ (bvp, bv) ise bv = (`
1)∆ olduğundan Lemma 4.1.4’den dolayı A ∈
(bvp, bv) ise B = ∆A ∈ (bvp, `1) dir. Bu yüzdende Lemma 4.1.3.’ten dolayı
kBk(bvp,`
1)≤ kLBk ≤ 4kBk(bvp,`1) (4.1.46)
yazılabilir. Ayrıca, 4.1.39’den
kBk(bvp,` 1) = sup N ⊂ N0 N − sonlu ∞ X k=0 X n∈N ∞ X j=k (bnj) ! q!1/q < ∞. (4.1.47)
yazılabilir. B = (bnk) ve B = ∆A = (ank− an−1,k) olduğundan 4.1.42 ve 4.1.47’den
kBk(bvp,` 1) = sup N ⊂ N0 N − sonlu ∞ X k=0 X n∈N ∞ X j=k (anj− an−1,j) ! q!1/q = kAk(bvp,bv) (4.1.48)
elde edilir. 4.1.48 ve 4.1.46’den dolayı 4.1.43 şartı sağlanır. Yani,
kAk(bvp,bv)≤ kLAk ≤ 4.kAk(bvp,bv)
5.1 Non-Kompaktlık Hausdorff Ölçümü ve Kompakt Operatörler
Bu bölümde, (bvp, `∞), (bvp, c) (bvp, c0), (bvp, `1) ve (bvp, bv) arasındaki bir lineer
operatörün kompakt olması için operatör üzerine hangi şartların konulması gerektiği non-kompaktlık Haussdorff ölçümü kullanılarak belirlendi.
Tanım 5.1.1. X, bir metrik uzay ve Q, X’in sınırlı bir alt kümesi olsun.
χ(Q) = inf{ ∈ R+ : Q, X0de sonlu bir -nete sahiptir} = inf{ ∈ R+ : Q ⊂ ∪ni=1B(xi, ri), xi ∈ X, ri < }
cümlesine Q’nun non-kompaktlık Hausdorf ölçümü denir (Malkowsky ve ark., 2002). Lemma 5.1.1. (X, d), bir metrik uzay ve Q, Q1 ve Q2 X metrik uzayının alt
cümleleri olsun. Bu takdirde,
(i) χ(Q) = 0 ⇔ Q, total sınırlı cümledir. (ii) Q1 ⊂ Q2 ⇒ χ(Q1) ≤ χ(Q2)
(iii) χ(Q) = χ(Q)
(iv) χ(Q1∪ Q2) = max{χ(Q1), χ(Q2)}
(v) χ(Q1∩ Q2) ≤ min{χ(Q1), χ(Q2)}
dir (Malkowsky ve Rakočević, 2000).
İspat . (i) χ(Q) = 0 olsun. Tanım 5.1.1’den
dır. İnfimumun II. özelliğinden ∀δ > 0, ∃0 ∈ R+ 3 0 < 0 + δ ve Q ⊂ n [ i=1 B(xi, ri) , ri < 0 kalır. Bu yüzdende, ∀δ > 0, ri < δ ve Q ⊂ n [ i=1 B(xi, ri)
dir. O halde Q, total sınırlıdır.
Tersine Q, total sınırlı olsun. Bu takdirde,
∀ > 0, ri < ve Q ⊂ n
[
i=1
B(xi, ri)
dir. Dolayısıyla da,
{ ∈ R+ : Q ⊂ ∪n
i=1B(xi, ri), xi ∈ X, ri < } (5.1.1)
cümlesi tanımlanabilir. Q, total sınırlı ve ∈ R+ olduğundan 5.1.1 cümlesinin infimumu sıfır olur. O halde, χ(Q) = 0 dır.
(ii) Q1 ⊂ Q2 olsun. χ(Q1)’in tanımı ve infimumun I. özelliğinden
Q1 ⊂
Sn
i=1B(xi, ri) ve ri < şartını sağlayan ∀ > 0,
χ(Q1) ≤ (5.1.2)
kalır ve χ(Q2)’in tanımı ve infimumun II. özelliğinden
Q2 ⊂
Sn
i=1B(xi, ri) ve ri < şartını sağlayan ∀δ > 0, ∃0 > 0 3
0 < χ(Q2) + δ (5.1.3)
kalır. 5.1.2 ∀ > 0 için doğru olduğundan 0 içinde doğrudur. O halde 5.1.2 ve 5.1.3
birleştirilirse, Q1 ⊂ Q2 ⊂Sni=1B(xi, ri) ve ri < şartını sağlayan ∀δ > 0, ∃0 > 0 3
χ(Q1) ≤ 0 < χ(Q2) + δ
kalır. Bu yüzdende
χ(Q1) ≤ χ(Q2)
dir. (iii)
Q ⊂ Q ⇒ χ(Q) ≤ χ(Q) (5.1.4)
Diğer taraftan, χ(Q)’in tanımından Q ⊂ Sn
i=1B(xi, ri) ve ri < şartını sağlayan
∀δ > 0, ∃0 > 0 3 0 < χ(Q) + δ (5.1.5) kalır. Q ⊂ n [ i=1 B(xi, ri) ⇒ Q ⊂ n [ i=1 B(xi, ri) = n [ i=1 B(xi, ri)
dir. Ayrıca, B(xi, ri) ile B(xi, ri)’nin yarıçapları aynı olduğundan
Q ⊂ n [ i=1 B(xi, ri), ri < şartını sağlayan ∀ > 0, χ(Q) < (5.1.6) kalır. 5.1.5 ve 5.1.6 birleştirilirse, ∀δ > 0, ∃0 > 0 3 χ(Q) ≤ 0 < χ(Q) + δ ⇒ χ(Q) < χ(Q) + δ kalır. Bu yüzdende χ(Q) ≤ χ(Q2) (5.1.7) dir. 5.1.4 ve 5.1.7 birleştirilirse
χ(Q) = χ(Q) elde edilir.
(iv) Q1 ⊂ Q1 ∪ Q2 ve Q2 ⊂ Q1∪ Q2 olduğundan (ii)’den
χ(Q1) ⊂ χ(Q1∪ Q2) ve χ(Q2) ⊂ χ(Q1 ∪ Q2)
yazılabilir. Bu yüzdende,
max{χ(Q1), χ(Q1)} ≤ χ(Q1 ∪ Q2) (5.1.8)
elde edilir.
Tersine, max{χ(Q1), χ(Q1)} = s ve ∈ R+ olsun. Tanım 5.1.1’den
Q1 ⊂ n [ i=1 B(xi, ri), Q2 ⊂ n [ j=1 B(xj, rj), ri < s + , rj < s +
elde edilir. Bu yüzdende,
Q1∪ Q2 ⊂ n [ i=1 m [ j=1 {B(xi, ri) ∪ B(xj, rj)} ⊂ n+m [ k=1 B(xk, rk) ve rk < s + dir. Bu takdirde, ∀ > 0, χ(Q1∪ Q2) ≤ s +
elde edilir. O halde
χ(Q1 ∪ Q2) ≤ s
yani,
χ(Q1∪ Q2) ≤ max{χ(Q1, Q2)} (5.1.9)
dir. 5.1.8 ve 5.1.9 birleştirilirse (iv) elde edilir.
(v) Q1∩ Q2 ⊂ Q1 ve Q1∩ Q2 ⊂ Q2 olduğundan (ii)’den
yazılabilir. Bu yüzdende,
χ(Q1 ∩ Q2) ≤ min{χ(Q1), χ(Q1)}
elde edilir.
Lemma 5.1.2. (X, d), bir nomlu uzay ve Q, Q1 ve Q2 X normlu uzayının alt
cümleleri olsun. Bu takdirde,
(i) χ(Q1+ Q2) ≤ χ(Q1) + χ(Q2)
(ii) ∀λ ∈ C, χ(λQ) = |λ|χ(Q) (iii) ∀x ∈ X, χ(Q + x) = χ(Q)
dir(Malkowsky ve Rakočević, 2000).
İspat . (i) > 0 olsun. Ayrıca {x1, ..., xn} ve {y1, ..., yn} sırasıyla Q1 ve Q2 nin
[χ(Q1) + ]− ve [χ(Q2) + ]− neti olsun. Bu takdirde
Q1 ⊂ n [ i=1 B(xi, ri) ve ri < χ(Q1) + (5.1.10) Q2 ⊂ n [ j=1 B(xj, rj) ve rj < χ(Q2) + (5.1.11) dir. 5.1.10 ve 5.1.11 birleştirilirse, Q1+ Q2 ⊂ n [ i=1 m [ j=1 {B(xi, ri) + B(xj, rj)} ⊂ n [ i=1 m [ j {xi+ yiB(θ, ri) + B(θ, rj)} ⊂ n [ i=1 m [ j {xi+ yiB(θ, ri+ rj)}
= n [ i=1 m [ j B(xi+ yi, ri+ rj) ⇒ Q1+ Q2 ⊂ n [ i=1 m [ j B(xi+ yi, ri+ rj), ri+ rj < χ(Q1) + χ(Q2) + 2 yazılabilir. Bu takdirde ∀ > 0, χ(Q1 + Q2) ≤ χ(Q1) + χ(Q2) + 2 dir. Bu yüzdende χ(Q1+ Q2) ≤ χ(Q1) + χ(Q2) dir.
(ii) λ = 0 ise eşitlik açıktır. λ 6= 0 olsun. Ayrıca, χ(Q)’nun tanımından > 0,
Q ⊂ n [ i=1 B(xi, ri) ve ri < λQ ⊂ n [ i=1 {λB(xi, ri)} = n [ i=1 {λ(xi+ B(θ, ri))} = n [ i=1 {λxi+ λB(θ, ri)} = n [ i=1 {λxi+ B(θ, |λ|ri)} = n [ i=1 B(λxi, |λ|ri) ⇒ λQ ⊂ n [ i=1 B(λxi, |λ|ri), |λ|ri < |λ|
yazılabilir. Bu takdirde Tanım 5.1.1’den ∀ > 0,
dir. Bu yüzdende χ(λQ) ≤ |λ|χ(Q) (5.1.12) dır. Tersine, χ(Q) = χ(λ−1(λQ)) ≤ |λ|−1χ(λQ) (5.1.13) ⇒ kλkχ(Q) ≤ |λ|−1χ(λQ) (5.1.14) dir. 5.1.12 ve 5.1.13 birleştirilirse χ(λQ) = |λ|χ(Q) elde edilir. (iii) x ∈ X olsun. χ(Q + x) = χ(Q) + χ({x}) = χ(Q) (5.1.15)
dir. Benzer şekilde,
χ(Q) = χ(Q + x − x) ≤ χ(Q + x) + χ({−x}) = χ(Q + x) (5.1.16)
5.1.15 ve 5.1.16 birleştirilirse
χ(Q + x) = χ(Q)
elde edilir.
Lemma 5.1.3. X, Schauder bazı {e1, e2, ...} olan bir Banach uzayı ve Q, X’in
sınırlı bir alt cümlesi olsun. Eğer Pn operatörü, ∀x = (xk) dizileri için,
şeklinde tanımlanıyorsa,
χ(Q) = lim
n→∞supx∈Qk(I − Pn)(x)k (5.1.17)
dir (Malkowsky ve Rakočević, 2000). İspat . ∀n ∈ N0,
Q ⊂ Q ⇒ Q ⊂ IQ
⇒ Q ⊂ PnQ + (I − Pn)Q
olduğu açıktır. Lemma 5.1.1 ve Lemma 5.1.2’den dolayı,
χ(Q) ≤ χ(PnQ + (I − Pn)Q) ≤ χ(PnQ) + χ((I − Pn)Q)
= χ((I − Pn)Q)
≤ sup
x∈Q
k(I − Pn)xk
dir. n → ∞ iken limite geçilirse,
χ(Q) ≤ lim
n→∞supx∈Qk(I − Pn)xk (5.1.18)
elde edilir.
Tersine, > 0 ve {z1, z2, ..., zk}, Q’nun bir [χ(Q) + ]- neti olsun. Bu takdirde;
Q ⊂ {z1, ..., zk} + [χ(Q) + ]BX (5.1.19) dir. 5.1.19 den ∀x ∈ Q, ∃z ∈ {z1, ..., zk} ve s ∈ BX 3 x = z + [χ(Q) + ]s kalır. Bu yüzdende, sup x∈Q k(I − Pn)Qk ≤ sup 1≤i≤k k(I − Pn)zik + [χ(Q) + ] (5.1.20)
