Horner fonksiyonları yardımıyla AX=B matris denkleminin çözümleri
47
0
0
Tam metin
(2) TEZ KABUL VE ONAYI Mustafa KOÇ tarafından hazırlanan “Horner Fonksiyonları Yardımıyla Matris Denkleminin Çözümleri” adlı tez çalışması 08/03/2011 tarihinde aşağıdaki jüri. tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS olarak kabul edilmiştir.. Jüri Üyeleri. İmza. Başkan Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL. Danışman Doç. Dr. Kemal AYDIN. Üye Doç. Dr. Mahir KADAKAL. Yukarıdaki sonucu onaylarım.. Prof. Dr. Bayram SADE FBE Müdürü.
(3) TEZ BİLDİRİMİ. Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.. DECLARATION PAGE. I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.. MUSTAFA KOÇ.
(4) ÖZET. YÜKSEK LİSANS TEZİ. MATRİS DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ HORNER FONKSİYONLARI YARDIMIYLA. Mustafa KOÇ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü MATEMATİK Anabilim Dalı. Danışman : Doç. Dr. Kemal AYDIN. 2011, 39 Sayfa. Jüri: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Doç. Dr. Mahir KADAKAL Doç. Dr. Kemal AYDIN Bu çalışmada, matris denkleminin çözümlerini Horner fonksiyonları. yardımıyla hesaplayan bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlar, düzenli matrisin tersinin, Horner fonksiyonları kullanılarak, 1- Bir sonsuz serinin sonlu toplamlar haline indirgenmesi, 2- Cayley-Hamilton teoreminin birlikte değerlendirilmesi şeklinde oluşan sonuçlardır. Her iki durumda elde edilen sonuçların etkinliği nümerik örneklerle de incelenmiştir.. Anahtar Kelimeler: Horner şema metodu, Horner fonksiyonu, Fundamental matris, Matris denklemi, Cayley-Hamilton Teoremi, Ters matris. iv.
(5) ABSTRACT. MS THESIS. WITH HORNER FUNCTIONS. SOLUTIONS OF THE MATRIX EQUATIONS. Mustafa KOÇ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS. Advisor : Assoc. Prof. Dr. Kemal AYDIN. 2011, 39 Pages. Jury: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Assoc. Prof. Dr. Mahir KADAKAL Assoc. Prof. Dr. Kemal AYDIN. solutions of the matrix equation with the Horner functions. These results which. In this study, it has been obtained the some results which computing the. are. 1- the reduction of the infinite sums to the finite sums, 2- the evaluation of Cayley-Hamilton theorem occurs using the Horner functions. The effectiveness of the obtained results in both cases has been investigated with the numerical examples.. Keywords: Horner’s scheme method, Horner function, Fundamental matrix, Matrix equation, Cayley-Hamilton theorem, Inverse matrix. v.
(6) ÖNSÖZ. Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’nde yüksek lisans tezi olarak hazırlanmıştır. Çalışma süresince yardımlarını esirgemeyen ve beni her konuda yönlendiren danışmanım Doç. Dr. Kemal AYDIN’ a teşekkürlerimi bir borç bilirim.. Mustafa KOÇ Konya2011. vi.
(7) SİMGELER . : Elemanları F cisminden olan
(8) –kare matrislerin kümesi. . :
(9) . dereceden polinomlar kümesi. |. : İlaveli matris. χ . : matrisinin karakteristik polinomu. . : Çözüm uzayı (öz uzay). . : matrisinin öz değerleri. , . : Öz çift ( -özdeğer, -öz vektör). . : matrisinin rankı. , … , : , … , fonksiyonlarının Wronskian determinantı . : matrisinin tersi. , … , : , … , vektörlerinin gerdiği uzay ! . . : Horner fonksiyonları. : Matris polinomu : Matris fonksiyonu. vii.
(10) İÇİNDEKİLER ÖZET .............................................................................................................................. iv ABSTRACT ..................................................................................................................... v ÖNSÖZ ........................................................................................................................... vi 1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ............................................................................................ 4 2.1.Vektör Uzay ............................................................................................................ 4 2.2. Lineer Bağımlılık ve Bağımsızlık, Wronskian Determinantı ................................ 4 2.3. "# $ Lineer Denklem Sistemi ve Bir Matrisin Tersi ........................................ 5 2.4. Alt Vektör Uzayı ve Taban .................................................................................... 6 2.5. Özdeğer, Öz Uzay ve Özvektör ............................................................................. 7 3. MATRİS FONKSİYONLARI ................................................................................... 9 3.1. Horner Şema Yöntemi ........................................................................................... 9 3.2. Horner Fonksiyonu .............................................................................................. 10 3.3. Horner Fonksiyonları Yardımıyla Fundamental Matrisin Hesaplanması ............ 11 3.4. Cayley–Hamilton Teoremi ve Matris Tersi ......................................................... 12. 4. "% & MATRİS DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ ............................................. 14. 4.1. Sonsuz Matris Serisi Yardımıyla Matris Tersi Hesaplama .................................. 14 4.2. Cayley–Hamilton Teoremi Yardımıyla Matris Tersini Hesaplama ..................... 17 4.3. "% & Matris Denkleminin Horner Fonksiyonlarıyla Çözümleri .................... 20 4.4. Bulguların "%& ' Matris Denkleminin Çözümüne Uygulanması ................ 22. 5. NÜMERİK ÖRNEKLER ......................................................................................... 23. 6. SONUÇ VE DEĞERLENDİRMELER .................................................................. 29 7. KAYNAKLAR .......................................................................................................... 30 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................. 32 EKLER .......................................................................................................................... 33 EK 1: Tablo 1. Örnek 5.1 İçin Maple Çıktısı.............................................................. 33 EK 2: Tablo 2. Örnek 5.2 İçin Maple Çıktısı.............................................................. 34 EK 3: Tablo 3. Örnek 5.3 İçin Maple Çıktısı.............................................................. 35 EK 4: Tablo 4. Örnek 5.4 İçin Maple Çıktısı.............................................................. 36 EK 5: Tablo 5. Örnek 5.5 İçin Maple Çıktısı.............................................................. 37 EK 6: Tablo 6. Örnek 5.6 İçin Maple Çıktısı.............................................................. 38 EK 7: Tablo 7. Örnek 5.7 İçin Maple Çıktısı.............................................................. 39. viii.
(11) 1 1. GİRİŞ Son yıllarda, uygulamalı matematik alanında, özellikle kararlılık teorisi ve kontrol teorisinde önemli yer tutan Sylvester matris denklemleri çözümleri üzerine çok sayıda. çalışmalar. yapılmıştır.. Çok. sayıda. mühendislik. probleminde. matris. denklemlerinin çözümlerinin incelenmesinin önemli bir yer tuttuğu iyi bilinmektedir. Mesela. () (*. ,
(12) kare matris, sürekli sistemler için + , - , - . 0. Lyapunov matris denklemi ve - 1 ,
(13) kare matris, kesikli sistemler için + , , - . 0 Lyapunov fark matris denkleminin , , + 0 olan. Genelleştirilmiş Sylvester matris denklemi - 12 denkleminin genel olarak. çözümünün olup olmadığının bilinmesi sistemler hakkında önemli bilgiler vermektedir.. sistem teoride uygulama alanları oldukça geniştir. Sürekli ve kesikli sistemler için. Lyapunov matris denklemleri, genelleştirilmiş Sylvester matris denklemlerinin birer özel halidir. Bu durum dikkate alındığında Sylvester matris denklemlerinin bir özel hali olan ; ,
(14) kare matris. denkleminin çözümlerinin var olup olmaması, varsa tam çözümünün bulunması oldukça önemlidir. Sylvester matris denklemleri ve özel durumu olan matris denklemlerinin çözümlerini inceleyen bazı çalışmalar aşağıdaki gibi sıralanabilir; Apostol (1969), Langrange-Sylvester enterpolasyon yöntemi olarak bilinen (bak Gantmacher, 1959) yöntemin özel hali Langrange enterpolasyon yöntemini tanıtmış ve farklı ispatını vermiştir.. Moler ve Van Loan (1978, 2003), 4 * üstel matrisin hesaplanması için 19 farklı. yöntem vermişlerdir. Bu yöntemlerden bazıları birbirine benzer yöntemlerdir. Örneğin Langrange enterpolasyon, Newton enterpolasyon ve Vandermonde yöntemleri benzer yöntemlerdir. Bulgakov ve Godunov (1978), lineer denklem sistemleri için çözüm yöntemi Sylvester matris denkleminin bir özel durumu olan + , - , - . 0 Lyapunov matris olan Conjugate Gradient Yöntem yardımıyla uygulamada oldukça öneme sahip,. denkleminin çözümleri için algoritma vermişlerdir.. Bulgakov ve Godunov (1985), Bulgakov ve Godunov (1978) tarafından verilen algoritmanın hata analizini yapmışlardır..
(15) 2 Peng ve ark. (2005), 1 matris denkleminin optimal yaklaşık çözümleri. ve simetrik çözümleri için bir iteratif yöntem geliştirmişler, bu yöntemle verilen matris denklemi uygun olduğunda denklemin çözülebilirliğinin otomatik olarak elde edildiğini iddia etmişlerdir.. Peng (2005), 1 matris denkleminin simetrik çözümlerini bulmak için. 5 1 kalan matrisinin normunun minimizasyonu için bir iteratif yöntem. vermiştir. Bu yöntemin simetrik bir başlangıç matrisi ile başlandığında yuvarlama. hataları olmaksızın sonlu iterasyonla çözümün elde edildiğini ifade etmiştir.. Verde-Star (2005, 2007), 678 67 - 78 , 69 1, : ; 0 Horner. algoritmasının. çözümleri. olan. 67 7 - 7 - < - 7 - 7. Horner. polinomlarını kullanarak matris fonksiyonları ve fundamental matrisleri hesaplayan açık formüller vermiştir.. Sheng ve Chen (2007), , 12 =, şeklinde verilen çift matris. denkleminin çözümleri için etkili bir iteratif yöntem verilmiş, bu yöntemle aynı. zamanda matris denklemlerinin çözülebilirliğinin otomatik olarak tespit edilebildiğini göstermişlerdir.. Keskin ve Aydın (2007), lineer cebirsel denklem sistemi için her adımda. bir boyut indirgeyen bir metod (.22 ve bu metoda dayanan iteratif boyut indirgeme algoritması (.22 vermişler, ayrıca uygulamalar da yapmışlardır.. Fanliang ve ark. (2008), , 1 2 matris denklem çiftinin çözümlerini. incelemiş, ayrıca çözülebilirlik için gerek ve yeter şartlar vermişlerdir.. Çıbıkdiken ve Aydın (2008), .22 yardımıyla ., (
(16) kare düzenli. matris, .–birim matris) matris denkleminin çözümü olarak ters matris hesaplamışlardır.. Şahinbay (2010), .22 yardımıyla 1 (,
(17) kare düzenli matris, 1. –
(18) kare matris) matris denkleminin çözümlerini hesaplamıştır.. Bilgin ve Aydın (2010a), Horner fonksiyonları yardımıyla sürekli ve kesikli. sistemlerin fundamental matrislerinin hesaplanması üzerine sonuçlar vermişler ve bu sonuçları nümerik örneklerle de desteklemişlerdir. Ayrıca Horner fonksiyonları, Putzer fonksiyonları ve bölünmüş fark fonksiyonlarının aynı olduğunu da göstermişlerdir. Bilgin ve Aydın (2010b), Bilgin ve Aydın (2010a) tarafından elde edilen sonuçları kullanarak sürekli ve kesikli sistemler için Lyapunov matris denklemlerinin.
(19) 3 direk çözümlerini hesaplayan açık formüller vermişler ve nümerik örneklerle de desteklemişlerdir.. Bu çalışmaların önemli bir kısmı, lineer denklem sistemleri için. literatürde var olan bazı iteratif yöntemleri direk veya modifiye ederek matris denklemlerinin çözümlerinin araştırılması şeklindedir. Bu çalışmada,. ;
(20) kare boyutlu-düzenli matris,
(21) × boyutlu matris. matris denkleminin Horner fonksiyonları yardımıyla çözümleri araştırılacaktır. Metod olarak, genelde Horner fonksiyonlarının, matris fonksiyonlarının hesaplanması üzerine yapılan çalışmalar esas alınacak, özelde ise Bilgin ve Aydın (2010a) ve Bilgin ve Aydın (2010b) tarafından elde edilen sonuçlar esas alınacaktır..
(22) 4 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çalışma boyunca dolaylı veya direk kullanılacak bazı temel kavramlar kısaca tanıtılacaktır. Bu kavramlar vektör uzay, alt uzay, lineer bağımlılık bağımsızlık, taban, lineer denklem sistemleri ve çözümlerinin analizi, karakteristik polinom, öz değer, öz uzay, öz vektör, Cayley– Hamilton teoremi, matris tersi vb. şeklinde literatürde iyi bilinen kavramlardır. Bu bölümdeki bilgiler (Bulgak ve Bulgak 2001; Taşçı 2007; Morris 1990) kaynaklarından faydalanılarak hazırlanmıştır. 2.1.Vektör Uzay. > ? herhangi bir küme ve F cisim olmak üzere, herhangi bir @, A için. @ - A ve B A , @ A için B@ şeklinde çarpma işlemi tanımlansın. Buna göre. aşağıdaki aksiyomlar sağlanıyorsa o zaman ye F cismi üzerinde vektör uzayı denir; ) @, , 6 A ⇒ @ - - 6 @ - - 6 ,. C) @ A ⇒ @ - 0 0 0 - @ olacak şekilde 0 A ,. D @ A ⇒ @ - @ 0 @ - @ olacak şekilde @ A , E @, A ⇒ @ - - @,. F α A , @, A ⇒ α @ - B@ - B,. H B, I A F, A ⇒ B - I B - I, J B, I A , A ⇒ B I BI ,. K @ A ⇒ 1 olacak şekilde 1 A , vardır.. Örnek 2.1. L| MN , MN A ,
(23) kare matris} kümesi matrislerde. toplama ve skalerle çarpma işlemine göre bir vektör uzayıdır.. Örnek 2.2. L! : der! Y
(24) Z kümesi polinomlarda toplama ve. skalerle çarpma işlemine göre cismi üzerinde bir vektör uzayıdır.. 2.2. Lineer Bağımlılık ve Bağımsızlık, Wronskian Determinantı. , cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. , C , … , A olmak üzere ; M - MC C - < - M 0 ; M , MC , … , M A. eşitliğini sağlayan M , MC , … , M skalerlerinden en az biri sıfırdan farklı ise , C , … , .
(25) 5 vektörlerine lineer bağımlıdır denir. Aksi takdirde M , MC , … , M skalerlerinin hepsi sıfır. ise , C , … , vektörlerine lineer bağımsız vektörler denir. , C , … , . vektörleri. , C C , … , . şeklinde. durumda [ 1, 2, … , ] fonksiyonlarının Wronskian determinantı. fonksiyon iseler lineer bağımlılık ve bağımsızlık tanımını uygulamak pratik değildir. Bu. , C , … , . ^ ^. . `. . C . . . C ` . . . ` ^ . ^ . C . . . şeklinde tanımlıdır. Eğer , C , … , > 0 ise [ 1, 2, … , ] fonksiyonları. lineer bağımsızdır.. Örnek 2.3. 1,0,1 , C 1,2,0 vektörleri lineer bağımsızdır. Gerçekten; M - MC C 0 ⇒ a 1,0,1 - aC 1,2,0 0. eşitliği ancak M MC 0 için sağlanır. Bu nedenle lineer bağımsızdır.. Örnek 2.4. L 1, C , D C Z fonksiyonlar kümesi lineer bağımsızdır. Gerçekten;. 1. , C , D a 0 0. olup fonksiyonlar lineer bağımsızdır.. 1 0. C 2 a = 1> 0 1. 2.3. "# $ Lineer Denklem Sistemi ve Bir Matrisin Tersi. ; b
(26) boyutlu matris, boyutlu vektör,. lineer cebirsel denklem sistemini ele alalım. matrisine sistemin katsayı matrisi . vektörüne bilinmeyen vektörü, vektörüne de sağ taraf vektörü denilmektedir. Eğer 0 ise lineer denklem sistemine homojen denklem sistemi adı verilir. ile gösterilir. | matrisi ilaveli matris olmak üzere. Bir matrisin lineer bağımsız satır sayısına matrisin rankı adı verilir ve genellikle | ,. ise lineer cebirsel denklem sistemi tutarlıdır ve bir çözüme sahiptir. Eğer.
(27) 6 1.
(28) ise sisteminin tek çözümü,. 2.
(29) ise
(30) paremetreye bağlı sonsuz çözümü,. vardır. Eğer c > M ise sistem tutarsızdır ve sistemin bir çözümü yoktur. Homojen lineer denklem sistemleri her zaman tutarlı sistemlerdir.. Eğer matrisi
(31) kare matris ve
(32) ise matrisi düzenli matris (regüler. matris),
(33) ise matrisi düzenli olmayan matris (singüler matris) olarak adlandırılır.. düzenli matris ise. b b , .–birim matris,. olacak şekilde bir matrisi vardır. matrisine matrisinin ters matrisi denir ve ile gösterilir.. 2.4. Alt Vektör Uzayı ve Taban. d e olmak üzere V deki bilinen toplama ve skalerle çarpma işlemime göre. cismi üzerinde bir vektör uzayı oluyorsa d’ya ’nin alt uzayı denir.. Mesela, vektör uzayının ] tane vektörünü alalım. Bu vektörlerin lineer. kombinasyonlarından oluşan. Lf|f M - MC C - < - M , M , MC , … , M A Z,. kümesine , C , … , vektörlerinin gerdiği (ürettiği) küme denir ve bu küme vektör. uzayının bir alt uzayıdır. vektör uzayındaki , C , … , vektörleri, ’yi geriyor ve. lineer bağımsız ise L , C , … , Z kümesine ’nin tabanı (bazı) ve ] sayısına ise ’nin. boyutu denir.. Örnek 2.5. F cismi üzerinde polinomların oluşturduğu. C L! |der! Y 2Z. vektör uzayı için g L1, , C Z kümesi F cismine göre bir baz oluşturur. Gerçekten S lineer bağımsız ve C in elamanlarının S’nin elamanları cinsinden yazılabildiği açıktır.. S kümesi yerine g L1, 1 , 1 C Z kümesini ele alalım. C uzayı. için g kümesi de bir baz teşkil eder. Ayrıca ;. M9 - M - MC C 9 - 1 - C 1 C ; M9 , M MC A ,.
(34) 7 ifade düzenlenirse;. elde edilir.. C MC , M - 2MC , 9 M9 - M - MC , 9 1 h i h0 C 0. 1 1 M9 1 2i hM i M, 0 1 MC. şeklinde yazılır. Bu ise C polinomunun g bazına göre yazılabileceğini gösterir (. düzenli matristir ve genellikle ’ya geçiş matrisi denir).. C vektör uzayı için gC L1, 1 , 1 2 Z kümesi de bir baz. oluşturur. Şöyle ki ;. 1 j1, 1 , 1 2 k a0 0. 1 C 3 - 2 1 2 3 a 2 > 0 0 2. olup gC lineer bağımsızdır ve 2. dereceden bir polinom. M9 - M - MC C m9 - m 1 - mC 1 2 ; M9 , M , MC A. gC nin elamanları cinsinden yazılır. Buradan. mC MC , m M - 3MC , m9 M9 - M - MC. lineer denklem sistemine ulaşılır. Yani. m9 1 1 m nm o n0 1 mC 0 0. 1 M9 3o nM o M 1 MC. şeklinde yazılır. Bu ise C polinomunun gC bazına göre yazılabileceğini gösterir. 2.5. Özdeğer, Öz Uzay ve Özvektör. , cismi üzerinde
(35) –kare matris, A ve vektörü ise N–boyutlu vektör. uzayının bir elamanı olmak üzere. , > 0. eşitliğini sağlayan A değerlerine matrisinin özdeğerleri denir.. A N–kare matris, I–birim matris ve bir skaler olmak üzere λI A’ya A’nın. karakteristik matrisi ,. χ t4u . v - Mv v - Mv C v C - < - M - M9.
(36) 8 polinomuna A’nın karakteristik polinomu ve χ t4u . 0 denklemine de karakteristik denklem denilmektedir. Özdeğerler, karakteristik denklemin kökleri olarak. da tanımlanabilmektedir.. ' lar ’nın özdeğerleri olmak üzere;. L| . 0Z. çözüm uzayına λ’ya karşılık gelen öz uzay, λ özdeğerine karşılık gelen öz uzayın baz vektörlerine λ’ya karşılık gelen öz vektörleri adı verilir. , C , … , olmak üzere lineer bağımsız vektörleri ile birlikte , ikililerine ise ’ya karşılık gelen özçiftler denir (Bulgak ve Bulgak, 2001). 2 matrisi verilsin. A matrisinin öz değerleri 1, C 4 2 2 1 bunlara karşılık gelen öz çiftleri ise 1 , , 4 , olur. 3 1 Örnek 2.6. . 1 3.
(37) 9 3. MATRİS FONKSİYONLARI. ! Mv v - Mv v - < - M - M9 A v herhangi bir polinom ve . kare matris olmak üzere;. ! Mv v - Mv v - < - M - M9 .,. biçiminde tanımlanır. Ancak ’ in büyük kuvvetleri için bu şekilde hesaplamak pratik değildir.. Eğer polinom şeklinde değilse, bu fonksiyonu analiz, fonksiyonlar teorisi. kriterlerini kullanarak matris fonksiyonu tanımlanabilir. Bir sonsuz. derslerinden bildiğimiz seriye açma tekniklerini ve sonsuz serilerin yakınsaklık. mertebeden türevlenebilir bir fonksiyon ise seriye açıldığında; . Mv v v9. şeklinde ifade edilebilir. Bu sonsuz serinin yakınsaklık bölgesi || 5 ise | | 5. olması durumunda;. . Mv v v9. tanımlıdır (Bronson,1991). 3.1. Horner Şema Yöntemi. Keyfi seçilen bir ! A . polinomun. ! M9 - M - MC C - … - M ,. M9 , M , … M A. ! L… M - M - < - M Z - M9. şeklinde iç içe ifadeler şeklinde yazılması yöntemine Horner Şema Yöntemi denir (Engeln-Müllges ve Uhlig, 1996; Boehm ve Prautzsch, 2003).. Örnek 3.1. ! 3 D 4 C - 5 - 7 polinomunu Horner şema yöntemiyle biçiminde yazılır.. ! 3 4 - 5 - 7.
(38) 10 ’in vektör uzay ve L1, , C , … , Z kümesinin uzayın standart bazı. olduğu iyi bilinmektedir.. L1, m , … , m. Z. . ; C L1, m , … , m Z . kümeleri de uzayının diğer bazlarıdır. ! polinomu ve C bazına göre; ! m - m - < - m - 9,. ! : m m … m - < - : m - :9 ,. şeklinde yazılabilir ve bu polinoma Horner şema yöntemini uygulanırsa. ! jL… m - m - < - Z m k - 9,. ! jL… : m - : m - < - : Z m k-:9,. olarak yazılabilir (Bilgin ve Aydın, 2010a; Bilgin ve Aydın, 2010b). Örnek 3.2. ! 3 D - 2 C - 4 3 polinomu m 1 için. ! 3 1 D - 11 1 C - 17 1 - 6,. ! L3 1 - 11 1 - 17Z 1 - 6,. olarak, m 1, mC 2, mD 3 değerleri için. ! 1 2 3 - 8 1 2 - 17 1 - 4, ! L 3 - 8 2 - 17Z 1 +4,. olarak yazılabilir.. 3.2. Horner Fonksiyonu. χ polinomu matrisinin karakteristik polinomu olmak üzere λ. fonksiyon χ - : , der:
(39) , olacak şekilde λ fonksiyonu ve : λ polinomu vardır (bak Bronson, 1991).
(40) < n için. : v … - C - < - C - ,. eşitliğindeki , [ 1, 2, … ,
(41) fonksiyonları Horner fonksiyonları olarak. adlandırılır ve aşağıdaki teoremlerle açık formüller olarak verilmektedir..
(42) 11 Teorem 3.1. > N [, 1, 2, … ,
(43) değerleri matrisinin özdeğerleri ve . Horner fonksiyonları olmak üzere. Nv ; mN jN k mN . . N. N. ile hesaplanır (bak, Bilgin ve Aydın, 2010a; Teorem 2). Örnek 3.3.. 1⁄3 h 3⁄5 37⁄38. 2⁄3 0 3⁄38. 1⁄4 2⁄5i 3⁄4. matrisinin özdeğerleri 1⁄4 , 1⁄2 , 1⁄3 Horner dizileri ise. 1 v 1 v 1 v , C 4 4 4 4 2. olarak bulunur.. 1 v 1 v 1 v D 48 - 24 72 4 2 3. Uyarı 3.1. Matrisin özdeğerlerinden birisi ] katlı ise Horner fonksiyonları . [1. v 8 , [ 1, 2, … , ],. ile hesaplanır (bak, Bilgin ve Aydın, 2010b).. 3.3. Horner Fonksiyonları Yardımıyla Fundamental Matrisin Hesaplanması ,
(44) –kare matris olmak üzere. - 1 ,. (3.1). lineer fark denklem sistemi denilmektedir. 0 . (.–birim matris) başlangıç şartı ile şeklindeki denklem sistemini ele alalım. Bu denklem sistemine 1. mertebeden homojen. (3.1) sisteminin çözümü olan. v ,. matrisi (3.1) sisteminin fundamental matrisidir. . sisteminin çözümü. v v 9. ile verilir (bak, Elaydi, 1996; Akın ve Bulgak, 1998).. 9. 9 başlangıç şartıyla (3.1).
(45) 12 Teorem 3.2. Horner fonksiyonları olmak üzere bir matrisinin fundamental matrisi;. . . j .k v. . ile hesaplanır (bak, Bilgin ve Aydın, 2010a; Sonuç 1).. Örnek 3.4. . 1 2. olup. 3 matrisin özdeğerleri 1, C 4 ve Horner dizileri 2 4v 1 v 1 v , C 5 C. . j .k . - - . C v. . . 1 v 0. 0 2 - 1 v 2. C×E 8D× . F C×E C× F. 3 E , F 3. D×E D× . F , C×E 8D× F. olarak hesaplanır. 3.4. Cayley–Hamilton Teoremi ve Matris Tersi Her karesel matris karakteristik denklemini sağlar. Yani. χ v - Mv v - Mv C v C - < - M - M9 0,. matrisinin karakteristik denklemi olmak üzere. χ v - Mv v - Mv C v C - < - M -M9 . 0,. dır (Bulgak ve Bulgak, 2001; Bronson,1991).. hesaplayabiliriz; M9 > 0 olmak üzere χ 0 dan matrisinin tersi Cayley–Hamilton. teoremi. yardımıyla. düzenli. bir. v - Mv v C - < - M . , . . elde edilir (bak,Bronson,1991).. matrisin. tersini. de.
(46) 13 Örnek 3.5. olup. 2 3. 2 matrisinin karakteristik polinomu χ C 6 - 14 4 2 3. χ C 6 - 14. bulunur. Ayrıca. . olarak bulunur.. . E. 6. . 2 C 2 6 4 3. . E. ¡. 2 1 - 14 4 0. 0 0 1 0. 2 2 6 0 4 2 ¢ , E 3 2 3 4 0 6. 0 0.
(47) 14 4. "% & MATRİS DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ. matrisi
(48) –kare-düzenli matris, matrisi
(49) × matris olmak üzere . matris denkleminin çözümünün. . şeklinde olduğu açıktır.. Bu çalışmanın amacı, matris denkleminin çözümlerini Horner. fonksiyonları yardımıyla çözmektir. Bu amaç için, çözümdeki matrisini Horner fonksiyonları yardımıyla hesaplanması yeterli olacaktır.. Şimdi matrisinin Horner fonksiyonları yardımıyla hesaplanması üzerine. bazı sonuçları iki farklı başlık altında inceleyelim.. 4.1. Sonsuz Matris Serisi Yardımıyla Matris Tersi Hesaplama. . matrisi
(50) –kare-birim matris, | | 1 olan matris olmak üzere . . veya . şeklindeki ,
(51) –kare-düzenli matrisi ele alalım. Böylece . ; . . matrislerini . . . . . . . v ; . v . . v9. v9. olarak yazabiliriz.. v Şimdi ∑ v9 serisinin hesaplanması üzerine bir teoremi aşağıya verelim.. Teorem 4.1. | | 1 ve [ 1, 2, … ,
(52) fonksiyonları Horner fonksiyonları. olmak üzere,. . . N . . v 7 . N . v9. N. 7. formülü ile verilir. Burada ∏97 . . dır.. v9.
(53) 15 İspat. | | 1 [ 1, 2, … ,
(54) olduğundan . v. v9. matris serisi yakınsaktır (bak, Bronson,1991). Bu serideki kuvvet (fundamental) matrisi, Teorem 3.2’ den Horner fonksiyonlarına bağlı olarak yazılır ve düzenlenirse, . . . . . N . v N 7 . . v9. v9 N. 7. N . 7 . N v9 N . . 7. N . 7 . N N . v9. N . 7. . 7 . N N. v9. 7. olarak bulunur. Buradan ∑ v9 N serisi yakınsak seridir. Bu ise ispatı tamamlar.. Teorem 4.2. > N [, 1, 2, … ,
(55) | | 1 ve fonksiyonları Horner fonksiyonları olmak üzere, . v v9. . N . N. . 1 1 7 . ; mN jN k mN¥ 1 ¥ N. 7. N. ¥. eşitliği ile hesaplanır. Burada ∏97 . . ’dır.. İspat. | | 1 olduğundan matrisi tersinir matristir. Ayrıca Horner fonksiyonlarına bağlı olarak Teorem 4.1’ den . . v9. v. . N . . 7 . N N. 7. v9. v şeklindedir. ∑ v9 serisinin yakınsaklığı ∑v9 N serisinin yakınsaklığını. garantilemektedir. Böylece.
(56) 16 . . N lim N ¦. v9. olur. Buradan,. N. . . v9. N. . v¥ 1 N v¥ mN¥ mN¥ v9 ¥. v9. eşitliğine ulaşılır. |¥ | 1 ve. ¥. . 1 , 1 ¥. v¥ . v9. olduğundan. N. . N . v9. dolayısıyla, . . v9. ¥. 1 1 , mN¥ 1 ¥. N . N. v 7 . . v9. N. 7. ¥. 1 1 mN¥ 1 ¥. olarak bulunur. Bu ise ispatı tamamlar. Sonuç 4.1. | | 1 olmak üzere. 1- . şeklindeki
(57) –kare-düzenli matrisin tersi . . v ∞. v9. 2- . şeklindeki ,
(58) –kare-düzenli matrisin tersi . . eşitliği ile verilir.. v ∞. v9. v v İspat. Sonucun ispatı . ∑ ∑ v9 ; . v9 eşitliklerinden. açıktır..
(59) 17 4.2. Cayley–Hamilton Teoremi Yardımıyla Matris Tersini Hesaplama. ,
(60) –kare-düzenli matris olmak üzere Cayley–Hamilton teoremi ile bir matrisin. tersinin nasıl hesaplanacağı kısım 3.5’ de kısaca tanıtılmıştı. Bu yöntemle Horner. fonksiyonlarını birlikte kullanarak bir matrisin tersini hesaplamak için bir formül vereceğiz.. Teorem 4.3. ,
(61) –kare-düzenli matris ve fonksiyonları da Horner fonksiyonları. olmak üzere. . . ile hesaplanır.. N . . . 1 j .k M7 N : 1 M9 . N. İspat. Cayley–Hamilton teoreminden . 7. . 1 M7 7 ; M 1 M9 7. 4.1. olduğu açıktır. Ayrıca Teorem 3.2’den . N . 7 § . N : 1 N. . 4.2. dir. (4.1)’i, (4.2)’de yerine koyup düzenlersek . . . N . 1 M7 j .k N : 1 M9 7. . N. N . . . 1 j .k M7 N : 1 M9 N. . 7. elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar.. Sonuç 4.2. ,
(62) –kare-düzenli matris, > N [, 1, 2, … ,
(63) olan bir matris ve . fonksiyonları da Horner fonksiyonları olmak üzere . N . N. j .k N. ile hesaplanır.. . ¥. 1 ¥ mN¥.
(64) 18 İspat. Teorem 4.3’ den . . N . . . 1 j .k M7 N : 1 M9 . N. 4.3. 7. dir. Ayrıca Teorem 3.1’den N. 7 ¥ N : 1 mN¥. 4.4. ¥. dir. 4.3)’ü, 4.4 ’de yerine koyup düzenlersek . . N . . . N. 1 7 ¥ j .k M7 M9 mN¥ N . . 7. . 7. N . . ¥ . 1 1 j .k M7 7 ¥ M9 mN¥ N. 7. elde edilir. . M7 7 M - MC ¥ - < - M ¥ ¥. 7. M9 ¥. olduğundan . . N . N. . N . N. 1 1 M9 1 j .k j .k M9 mN¥ ¥ ¥ mN¥ N. . ¥. N. . olarak bulunur.. ¥. 7 Yardımcı Teorem 4.1. χ ∑ 79 M7 karakteristik polinom olmak üzere . M7 . 7N. eşitliği doğrudur.. : 1 7 N 1 N M9 1 N.
(65) 19 7 İspat. , matrisinin özdeğeri ise ∑ 79 M7 0, dolayısıyla . M7 7 . 7. M9 . olur. Buradan her iki tarafın 1 inci mertebeden türevini alır ve düzenlersek, . . t N M9 t N 7 h M i 7 t N t N N . 7. M7 : ¨ 7 N . 7N. olarak bulunur. Buradan. ©. ∏N 1 N M9 © : ¨ 7 N M7 1 ! N . 7N. olur.. olduğu dikkate alındığında. ∏N :1 © : ¨ 1 1 !. . M7 . 7N. elde edilir.. 1 N ¨ ! M9 N. N : 1 7 N 1 M9 1 N. Sonuç 4.3. ,
(66) –kare-düzenli matris, matrisinin
(67) –katlı özdeğeri ve . fonksiyonları da Horner fonksiyonları olmak üzere . . 1 N8 . N N . N. ile hesaplanır. İspat. Teorem 4.3’den . . . N . . 1 j .k M7 N : 1 M9. dir. Ayrıca Uyarı 3.1’den. N. . 7.
(68) 20 : 1 7 N N : 1 1. ve. 0 :1 N «∏© : ¨ 1 1 !. olduğundan. . : . :;. ¬. . : 1 7 N : 1 7 N M7 M7 1 1. 7. olur. Buradan . . 7N. . . 1 : 1 7 N . N M7 1 M9 N. 7N. dir. Yardımcı Teoremden 4.1’den. : 1 7 N 1 N M9 M7 1 N . 7N. olduğundan . . 1 N8 1 N 1 . N . N N N M9 . . N. . olarak bulunur. 4.3. "% & Matris Denkleminin Horner Fonksiyonlarıyla Çözümleri. matrisi
(69) –kare-düzenli matris, matrisi
(70) × matris olmak üzere. matris denkleminin çözümünün. şeklinde. olduğu. bilinmektedir.. . B. Buradan. matris. fonksiyonlarıyla çözümleri ise aşağıdaki gibi verilir:. denkleminin. Horner.
(71) 21 Sonuç 4.4. | | 1 ve . veya . şeklindeki
(72) –kare-düzenli. matris olmak üzere matris denkleminin çözümü,. 1- öz değerlerinden bazıları katlı olmak üzere, . . N . . ± 7 . N b ¯ ¯ N. v. 7. ° N ¯ ¯ 7 . N b v ® N 7. 2- > N [, 1, 2, … ,
(73) , | | 1 olmak üzere, . . N . .. N. 1 1 ± . b 7 ¯ mN¥ 1 ¥ ¯ N. 7. . . ¥. N ° N 1 1 ¯ ¯ 7 . m 1 b N¥ ¥ ¥ ® N 7. ¬. . . .. ¬. ile verilir. Sonuç 4.5. ,
(74) –kare-düzenli matris olmak üzere matris denkleminin çözümü, 1- fonksiyonları da Horner fonksiyonları olmak üzere N . . . 1 j .k M7 N : 1 b M9 N. 7. . 2- > N [, 1, 2, … ,
(75) olmak üzere . N . N. j .k N. . ¥. 3- , matrisinin
(76) –katlı özdeğeri olmak üzere
(77). 1. ile hesaplanır.. 1 -1 . . 1 b ¥ mN¥. . 1 b .
(78) 22 4.4. Bulguların "%& ' Matris Denkleminin Çözümüne Uygulanması. ,
(79) -kare düzenli matris, matrisi -kare düzenli matris ve 1 matrisi
(80) b . matris olmak üzere. 1. matris denkleminin çözümünün. 1 . 4.5. olduğu açıktır. ve matrislerinin tersleri 4.1. ve 4.2. kısımdaki sonuçlar yardımıyla. (horner fonksiyonları yardımıyla) bulunup (4.5) de yerine yazılırsa denklemin çözümü elde edilir.. 2 0 Örnek 4.1. h 3 3 3 0. 0 2 2i , 3 1. 1 matrisi denkleminin çözümünü. 3 2 2 ve 1 h 1 4 i için alınırsa 4 1 2. 1 şeklinde olup ve. matrislerinin tersleri Teorem 3’den bulunup yerine yazılırsa ; . 1. 2 3. ´ ³ ³2 3. ²2. olarak elde edilir.. 0 1 3 0. 2 3 2 · 2 7 ¶h 1 4 i ¸3 3¶ 1 2 14 1 µ 0. 11 1 ´ 28 14 · 5 23 ¶ ³ ³ 28 42 ¶ 67 1 ² 28 14 µ. 1 7¹ 1 7.
(81) 23 5. NÜMERİK ÖRNEKLER Örnek 5.1.. 3 3. 1 3. º» ¼. 1 1 matrisi. ½» º. ½¾ ». ters matrisini hesaplayalım. 1. .. 1 =h0 0. 0 1 0. için Teorem 4.1.’i (Sonuç 4.1-1’i) kullanarak . 2 0 0i 3 ½º» 1 ¼. 2. matrisinin özdeğerleri; . 1 2 » º. 1 1 ¿ ». , C . D. , D . C. 3. mN katsayılarından sadece m 1 mevcuttur. 4. Horner dizileri ; v. v. v. , C 6 6 D. D. C. C. v. , D 36 6 C C. 5. δN ∑∞ v9 N değerleri; δ E, δC C , δD D D. . . . v . v. - 36 D. ,. 6. Teorem 4.1.’den (Sonuç 4.1-1’den) ters matrisi ; . . 7 . δN. . N 7 D E. Örnek. 5.2.. . - C - D . - D - D . - C ., . D. . H ´ . ³. olarak bulunur.. N . D. ². K À ¼. E CÁ. ½¾ Àº. E. 1 0. 1 1. ½À Â. »¾ »Â. . . . E. · 0¶ , D. 4. µ. 0 1 ½» ¼. matrisi. kullanarak ters matrisini hesaplayalım; 0 0 0 1 0i 0 À 0 1 Â. 1 1. . =h0 0. . 1 0. ½»¾ »Â. için. Teorem. 0 1 à ¼. 2. matrisinin öz değerleri; D, C D, D E, 3. mN katsayıları;. m 1, mC . 4. Horner dizileri;. C. , mCC D, mD DH, mDC . D. . . F. 4.1'i. D. , mDD EE,. DH. F. (Sonuç. 4.1-1’i).
(82) 24 v. v. C v. , C 3 - 3 , D . 5.. D. D. D. DH v F. δN ∑∞N N değerleri; δ C, δC C , δD 18 D. Á. C v. 36 D. D. EE D v F. , E. 6. Teorem 4.1.’den (Sonuç 4.1-1’den) ters matrisi ; N . D. 7 . δN . olarak bulunur. Örnek 5.3. . N 7 D C. . - . - 18 . ., Á. C. 4 3 3. ½ºÃ º ½ºÃ º ½ºÄ º. ¼ » » ¾ »Ã »¿. À ¼ º ¾ à ¼. . º ». 1. » »¿. ters matrisi hesaplayalım;. . C. D. 18 18, 18. D. matrisi için Teorem 4.2’yi (Sonuç 4.1-1) kullanarak . 1⁄3 0 0 1 0i h 3⁄5 0 1 37⁄38. 1 1. . h0 0. 2. matrisinin öz değerleri; λ . 3. mN katsayıları;. . D. , λC . E. 2⁄3 0 3⁄38. , λD . C. 1⁄4 2⁄5i 3⁄4. D. m 1, mC E, mCC E, mD EK, mDC CE, mDD JC,. 4. ÅN ∑¥ Æ. . N. . . Ç ÈÉÇ. . değerleri; Å F, ÅC F, ÅD F, E. 5. Teorem 4.2.’den ters matrisi D. N 7 E K. F. C. . - F - E . - F - E . - C ., HFD. ÁF9 ´ CF. ³ ÁF9. JH. olarak bulunur.. K. . N . 7 . ÅN , . . ² EJF. FE. E9 ÁFD. E9 KH CKF. . C. D. F9 CD· F9 ¶ FC. ,. JF. µ. . .
(83) 25 2 Örnek 5.4. h 3 23⁄4. matrisini hesaplayalım;. 1 2 3⁄2. 1 1 i matrisi için Teorem 4.3’ ü kullanarak ters 8⁄3. 1. matrisinin öz değerleri; . , C . D. 2. mN katsayılarından m 1 mevcuttur, 3. Horner dizileri sırasıyla; v. v. , D . C. v. C. v. v . ; C 6 6 ; D 36 6 D. D. 4. ’nın karakteristik polinomu;. C. C. C. v. - 36 D. χ λ λD - D λC - C λ - C ; M9 C, M C, MC D , MD 1, E. J. . . J. 5. ÊN ∑3:1 M: : 1 değerleri ; Ê E , ÊC C, ÊD 1,. 6. Teorem 4.3’den matrisi; . D. . C. 3. 6 - C . 12 - C . , 82 h27 192. olarak bulunur.. 2 0 Örnek 5.5. h 3 3 3 0. hesaplayalım;. . N . 1 j k ÊN , M9 N. . E. . 14 36 5 12 i 33 84. . 0 2i matrisi için Teorem 4.3’ü kullanarak ters matrisini 1. 1. matrisinin öz değerleri; 2, C 1, D 3 2. Horner dizileri sırasıyla; 2 v ; C . D C F. 3. nın karakteristik polinomu;. ; D . H. - F 2 v - 9 3v . . χ D 2C 5 - 6; M9 6, M 5, MC 2, MD 1. 4. ÊN ∑3:1 M: : 1 değerleri ;Ê 3, ÊC 1, ÊD 1 5. Teorem 4.3’den matrisi;.
(84) 26 . . . . 1 j k δ, M9 . . L3. - 2. - - 2. 3. Z, . ´ ³. olarak bulunur.. H. . D C D. ². 0. C. 0. . C. D. D. 0. C. 1. · ¶, µ. 1⁄3 Örnek 5.6. h 3⁄5 37⁄38. ters matrisi hesaplayalım;. 2⁄3 0 3⁄38. 1. matrisinin öz değerleri; λ 2. mN katsayıları;. 1⁄4 2⁄5i matrisi için Sonuç 4.2’yi kullanarak 3⁄4. , λC E. . m 1, mC , mCC , mD . 3. ÅÍÌ ∑¥ Æ N. . . Ç ÈÉÇ. . E. . E. , λD C. . , mDC . EK. . D. , mDD , . CE. JC. değerleri; ÎÎÎ Å 4, ÎÎÎ ÅC 8, ÎÎÎ ÅD 24,. 4. Sonuç 4.2’den ters matrisi N . D. 7 . ÅÍÌ , N 7. 4. 8 - E . 24 - E . - C ., ´ ³. olarak bulunur.. ². JC. ÁF DK. ÁF 9K. . ÁF. . . CDJ Á D. Á D9K Á. DC. C· F ¶, F. . EK. Fµ. . .
(85) 27 2 29⁄12 Örnek 5.7. h3 1⁄2 1 145⁄24. 1 0 i matrisi için Sonuç 4.3’ ü kullanarak ters 3. matrisini hesaplayalım. 1. matrisinin öz değerleri; C D . 2. Sonuç 4.3’ den . . . . 1 8 § . , D. C. . . . C. 2. 4 - C . 8 - C . , 12. olarak elde edilir.. ters matrisi ;. . 72 149. 2 Örnek 5.8 . h 3 23⁄4. . CÁ D. 56 116. 1 2 3⁄2. çözümünü bulalım. Örnek 5.4’ den;. 4. . 24 , 50. 1 1 3 2 1 i h 5 4 2i matris denkleminin 8⁄3 1 0 1. 82 14 36 h27 5 12 i 192 33 84. olarak bulunmuştu. Sonuç 4.5-1’ den 82 h27 192. 14 36 1 3 2 5 12 i h 5 4 2i 33 84 1 0 1. 188 190 h64 61 441 444. olarak bulunur.. 100 32i 234.
(86) 28 1⁄3. 2⁄ 3 1⁄4 2 1 0 2⁄5i h1 1i matris denkleminin çözümünü 0 3 37⁄38 3⁄38 3⁄4. Örnek 5.9. h 3⁄5. bulalım. Örnek 5.6 ’ dan. . . ´ ³ ². olarak bulunmuştu. Sonuç 4.5-2’den,. olarak bulunur.. JC. ÁF DK. ÁF 9K. . ÁF. . CDJ. . Á D. Á D9K Á. DC. C· ¶, F F. . EK. Fµ. 72 237 32 DCÁ 95 19 5 ÁF ´ · 2 1 ´ CÁ 138 3 2 ³ ¶ h1 1i ³ ÁF 19 5¶ 0 3 ³ 95 JFH 108 308 48 ² ÁF µ ² 95 19 5. J ÁF Á · ÁF ¶ D9E ÁF µ.
(87) 29 6. SONUÇ VE DEĞERLENDİRMELER Bu çalışmada,. ;
(88) kare boyutlu-düzenli matris,
(89) × boyutlu matris. matris denkleminin Horner fonksiyonları yardımıyla çözümleri araştırılmış ve bazı sonuçlar elde edilmiştir. Metod olarak, Bilgin ve Aydın (2010a) ve Bilgin ve Aydın (2010b) tarafından elde edilen, 1- matris fonksiyonlarının Horner fonksiyonları kullanılarak hesaplanması üzerine sonuçlar, 2- 1’ deki sonuçlar kullanılarak sürekli ve kesikli sistemler için Lyapunov matris denklemlerinin sonlu seri olarak hesaplanması üzerine sonuçlar, esas alınmıştır.. matrisi
(90) –kare-düzenli matris olduğundan problemin çözümünün B. şeklinde olduğu açıktır. Problemin çözümü için ters matrisin hesaplanması yeterli. olmaktadır. ters matrisinin hesaplanması üzerine literatürde çok sayıda yöntem. bulunduğu da açıktır. Tez çalışmasını anlamlı ve farklı kılan en önemli unsur, “ ters matrisinin Horner fonksiyonları yardımıyla”. hesaplanmasıdır. Çalışmamızda ters matrisinin Horner fonksiyonları kullanarak. hesaplanması üzerine, •. sonsuz matris serisini sonlu seriye dönüştürerek. •. Cayley–Hamilton teoreminin uygulaması olarak. sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen bu sonuçlar yardımıyla da matris. denkleminin çözümleri hesaplanmış ve 1 matris denklemine de kolayca uygulanabileceği gösterilmiştir.. Ayrıca çalışmada elde edilen sonuçların her durumuna uygun nümerik örnekler verilmiş, bu örnekler için Maple çıktıları ekler kısmında sunulmuştur..
(91) 30 7. KAYNAKLAR Akın, Ö. ve Bulgak, H.,1998, Lineer Fark Denklemleri ve Kararlılık Teorisi, S. Ü. Uygulamalı Matematik Araştırma Merkezi Yayınları No : 2, Sel-Ün Vakfı, Konya. Apostol, T. M., 1969, Some Explicit Formulas for the Matrix Exponential, The American Mathematical Monthly, 76, 284–292. Bilgin, İ. ve Aydın, K., 2010a, Horner fonksiyonları ile fundamental matrislerin hesaplanması, (Dergiye gönderildi). Bilgin, İ. ve Aydın, K., 2010b, Horner fonksiyonları ile Lyapunov matris denklemlerinin çözümleri, XXIII. Ulusal Matematik Sempozyumu, 4-7 Agustos 2010, Kayseri. Boehm, W. and Prautzsch, H., 2003, Numerical Methods, First Edition, Universities Press (India) Private Limited, India. Bronson, R., 1991, Matrix Methods : An Introduction, Second Edition, Academic Press, Boston. Bulgak, A. ve Bulgak, H., 2001, Lineer Cebir, Selçuk Üniversitesi Uygulamalı Matematik Araştırma Merkezi yayınları, No. 4, Sel-Ün Vakfı, Konya. Bulgakov, A. Ya. and Godunov, S.K., 1978, The stability of stable matrices, Theory of cubature formulas and numerical mathematics, Pap. Conf. Differential equations and numerical mathematics, Novosibirsk ,13-28. Bulgakov, A. Ya. and Godunov, S.K., 1985, Allowance for computation errors in a variant of the conjugate gradient method, Num. Methods of Lin. Alg., Novosibirsk, Nauka, pp. 38-55 (Russian). Çıbıkdiken, A. O. ve Aydın, K., 2008, IDDM yardımıyla ters matris hesaplama, SDÜ Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi (E-Dergi), 3(1), 98-106. Elaydi, S. N., 2005, Introduction to Difference Equations, Third Edition, Springer, New York, US. Engeln-Müllges, G. and Uhlig, F., 1996, Numerical Algorithms with C, SpringerVerlag, New York..
(92) 31 class of matrix equations , 1 2 , Acta Mathematica Scientia, 28B(1):185-. Fanliang, L., Xiyan, H. and Lei, Z., 2008, The generalized reflexive solution for a. 193.. Gantmacher, F. R., 1959, The Theory of Matrices, Vol. 1, Chelsea Publishing Company, New York. Keskin, T. and Aydın, K., 2007, Iterative Decreasing Dimension Algorithm, Computers and Mathematics with Applications, 53(7) 1153-1158. Moler, C. and Van Loan, C., 1978, Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, SIAM Review, 20 (4), 801-836. Moler, C. and Van Loan, C., 2003, Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, SIAM Review, 45(1), 3-49. Morris, A. O., 1990, Linear Algebra, Second Edition, Chapman and Hall, London. linear matrix equation 1, Applied Mathematics and Computation, 170:711-723.. Peng, Z., 2005, An iterative method for the least squares symmetric solution of the. solutions and the optimal approximation solution of the matrix equation 1, Peng, Y.X., Hu, X.Y. and Zhang, L., 2005, An iteration method fort he symmetric. Applied Mathematics and Computation, 160:763-777.. matrix equation , 12 =, , Applied Mathematics and Computation,. Sheng, X. and Chen, G., 2007, A finite iterative method for solving a pair of linear. 189:1350-1358.. Şahinbay, O. V., 2010, 1 matris denklemlerinin iteratif çözümleri, Y.Lisans Tezi, S. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.. Taşcı, D., 2007, Soyut Cebir, Alp Yayınevi, Ankara, 431-476. Verde-Star, L., 2005, Functions of Matrices, Linear Algebra and its Applications, 406, 285-300. Verde-Star, L., 2007, On Linear Matrix Differential Equations, Advances in Applied Mathematics, 39(3), 329-344..
(93) 32 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı. Mustafa KOÇ. Uyruğu. T.C. Doğum Yeri ve. Karaman-1964. Tarihi Telefon Faks. mustafa_koc64@hotmail.com. e-mail EĞİTİM Derece. Adı, İlçe, İl. Bitirme Yılı. Lise. : Konya Gazi Lisesi -KONYA. 1982. Üniversite. : S.Ü.Fen Fakültesi Matematik Bölümü –KONYA. 1988. Yüksek Lisans : Doktora. :. İŞ DENEYİMLERİ Yıl. Kurum. Görevi. 1992-. Milli Eğitim. Öğretmen. UZMANLIK ALANI YABANCI DİLLER.
(94) 33 EKLER EK 1: Tablo 1. Örnek 5.1 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[3,-1,-1],[3,3,-1],[23/4,-3/2,-5/3]]);. > E:=IdentityMatrix(3,3);. 1.Adım: > A1:=E-A;. 2.Adım: > eigenvalues(A1);. > L1:= -1/3; L2:=-1/2; L3:=-1/2; ,. ,. 3.Adım: > c11:=1; 4.Adım: > r1:=n->(-1/3)^n; r2:=n->6*(-1/3)^n-6*(-1/2)^n; r3:=n->-36*(-1/2)^n-6*n*(-1/2)^(n-1)+36*(-1/3)^n; ,. 5.Adım: > d1:=sum((-1/3)^n,n=0..infinity); d2:=sum(6*(-1/3)^n-6*(-1/2)^n,n=0..infinity); d3:=sum(-36*(-1/2)^n-6*n*(-1/2)^(n-1)+36*(-1/3)^n,n=0..infinity); ,. ,. 6.Adım: >A_Matrisinin_Tersi:=d1*E+d2*(A1-L1*E)+d3*MatrixMatrixMultiply((A1-L1*E),(A1-L2*E));. Not: Örnek 5.1 deki δN t olarak alınmıştır..
(95) 34 EK 2: Tablo 2. Örnek 5.2 İçin Maple Çıktısı >. A:=Matrix([[1,-1,0],[0,1,-1],[-1/6,35/36,-3/4]]);. > E:=IdentityMatrix(3,3);. 1Adım:> A1:=E-A;. 2.Adım:> eigenvalues(A1);. > L1:=1/3;L2:=2/3;L3:=3/4; ,. ,. 3.Adım:> c11:=1; c21:=-1/3; c22:=1/3; c31:=5/36; c32:=-1/36; c33:=5/144; ,. ,. ,. ,. 4.Adım:> r1:=n->(1/3)^n; r2:=n->-3*(1/3)^n+3*(2/3)^n; r3:=n->36/5*(-1/2)^n-36*(2/3)^n+144/5*(3/4)^n; ,. 5.Adım: > d1:=sum((1/3)^n,n=0..infinity); d2:=sum(-3*(1/3)^n+3*(2/3)^n,n=0..infinity); d3:=sum(36/5*(1/3)^n-36*(2/3)^n+144/5*(3/4)^n,n=0..infinity); ,. ,. 6.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=d1*E+d2*(A1-L1*E)+d3*MatrixMatrixMultiply((A1-L1*E),(A1-L2*E));. Not: Örnek 5.2 deki δN t olarak alınmıştır..
(96) 35 EK 3: Tablo 3. Örnek 5.3 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[4/3,-2/3,1/4],[3/5,1,2/5],[37/38,3/38,7/4]]);. > E:=IdentityMatrix(3,3);. 1.Adım: > A1:=E-A;. 2.Adım: > eigenvalues(A1);. > L1:=-1/4;L2:=-1/2;L3:=-1/3; ,. ,. 3.Adım: > c11:=1; c21:=1/4; c22:=-1/4; c31:=1/48; c32:=1/24; c33:=-1/72; ,. ,. ,. ,. ,. 4.Adım: > p1:=1/((1-L1)*c11);p2:=1/((1-L1)*c21)+1/((1-L2)*c22); p3:=1/((1-L1)*c31)+1/((1-L2)*c32)+1/((1-L3)*c33); ,. ,. 5.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=p1*E+p2*(A1-L1*E)+p3*MatrixMatrixMultiply((A1-L1*E),(A1-L2*E));. Not: Örnek 5.3 deki ÅN ! olarak alınmıştır..
(97) 36 EK 4: Tablo 4. Örnek 5.4 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[-2,1,1],[-3,-2,1],[-23/4,3/2,8/3]]);. 1.Adım : > eigenvalues(A);. > L1:=-1/3; L2:=-1/2; L3:=-1/2; ,. ,. 2.Adım: > c11:=1;. > E:=IdentityMatrix(3,3);. 3.Adım : >r1:=n->(-1/3)^n; r2:=n->6*(-1/3)^n-6*(-1/2)^n; r3:=n->-36*(-1/2)^n-6*n*(-1/2)^(n-1)+36*(-1/3)^n; ,. 4.Adım : > det(x*E-A);. > a0:=1/12; a1=7/12; a2:=4/3; a3:=1; ,. ,. ,. 5.Adım: > t1:=(7/12)*r1(0)+a2*r1(1)+a3*r1(2); t2:=a1*r2(0)+a2*r2(1)+a3*r2(2); t3:=a1*r3(0)+a2*r3(1)+a3*r3(2); ,. ,. 6.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=(-1/a0)*(t1*E+t2*(A-L1*E)+t3*MatrixMatrixMultiply(A-L1*E,A-L2*E));. Not: Örnek 5.4 deki ÊN u olarak alınmıştır..
(98) 37 EK 5: Tablo 5. Örnek 5.5 İçin Maple Çıktısı > E:=IdentityMatrix(3,3);. > A:=Matrix([[-2,0,0],[-3,3,-2],[3,0,1]]);. 1.Adım: > eigenvalues(A); > L1:=-2; L2:=3; L3:=1;. 2.Adım: > r1:=n->(-2)^n; r2:=n->1/5*(3)^n-1/5*(-2)^n; r3:=n->-1/6+1/15*(-2)^n+1/10*(3)^n;. 3.Adım: >det(x*E-A);. > Karakteristik_Polinom:=x->x^3+(-2)*x^2+(-5)*x+6;. > a0:=6; a1=-5; a2:=-2; a3:=1; ,. ,. ,. 4.Adım: > d1:=(-5)*r1(0)+a2*r1(1)+a3*r1(2);d2:=a1*r2(0)+a2*r2(1)+a3*r2(2); d3:=a1*r3(0)+a2*r3(1)+a3*r3(2); , , 5.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=(-1/a0)*(d1*E+d2*(A-L1*E)+d3*MatrixMatrixMultiply(A-L1*E,A-L2*E));. Not: Örnek 5.5 deki ÊN t olarak alınmıştır..
(99) 38 EK 6: Tablo 6. Örnek 5.6 İçin Maple Çıktısı > E:=IdentityMatrix(3,3);. > A:=Matrix([[-1/3,2/3,-1/4],[-3/5,0,-2/5],[-37/38,-3/38,-3/4]]);. 1.Adım: >eigenvalues(A);. > L1:=-1/4; L2:=-1/2; L3:=-1/3;. 2.Adım: >c11:=1; c21:=1/4;c22:=-1/4;c31:=1/48;c32:=1/24;c33:=-1/72; ,. ,. ,. ,. ,. 3.Adım: > t1:=1/L1*c11; t2:=1/(L1*c21)+1/(L2*c22); t3:=1/(L1*c31)+1/(L2*c32)+1/(L3*c33);. 4.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=t1*E+t2*(A-L1*E)+t3*MatrixMatrixMultiply((A-L1*E),(A-L2*E));. Not: Örnek 5.6 daki ÅÍÌ t olarak alınmıştır..
(100) 39 EK 7: Tablo 7. Örnek 5.7 İçin Maple Çıktısı > A:=Matrix([[2,29/12,1],[-3,-1/2,0],[1,-145/24,-3]]);. 1.Adım: >eigenvalues(A);. > L1:=-1/2; L2:=-1/2; L3:=-1/2;. > E:=IdentityMatrix(3,3);. 2.Adım: > A_Matrisinin_Tersi:=-2*E-4*(A-L1*E)-8*MatrixMatrixMultiply((A-L1*E),(A-L2*E));.
(101)
Benzer Belgeler
contains four chapters. The first three chapters are composed of a compilation of some studies, especially Altundağ and Başarır [13], [24] on this subject. In the first
A nın satırları sütun ve sütunları satır yapılarak elde edilen matrise A nın devriği ya da transpozu denir ve A t ya da A d ile
Türk Kü tüphaneciliği dergisinin 1995 yılında “hakemli” dergi olarak yayınlanmaya baş laması ile Türkiye’ deki diğer akademik dergilerin, özellikle de
As in the single-period problem, at a specific price value, the manufacturer’s expected profit will be higher since the retailer has less products to sell which decrease the
The Effects on Follicular Dynamics Caused by Changing the Application Time of PGF2α and GnRh in the Cosynch Protocol Administered in Montofon Cows with Estrus Stimulated by
E˘ger bir integral denklem hem Volterra integral denklemi hem de Fredholm integral denklemini içeriyorsa bu integral denkleme Volterra-Fredholm integral denklemi denir...
[r]
Osmanlı toplumu bünyesinde kurulan pek çok vakfa köyler, mezraalar, bağlar, bahçeler, zeytinlikler, korular ve ormanlar gelir kalemi olarak ayrılırken, doğrudan
