Euler ve MHD denklemlerinin dalga modelleri ile üçgensel örgülerde dengesizlik dağılımı metoduyla nümerik çözümleri

(1)

TÜRKİYE ATOM ENERJİSİ KURUMU

ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

Ç.N.A.E.M. - T.R - 332

EULER VE MHD DENKLEMLERİNİN DALGA MODELLERİ İLE ÜÇGENSEL ÖRGÜLERDE DENGESİZLİK DAĞILIMI METODUYLA

NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ

N. ASLAN* , Ş. BALCI** , V. ÜSTOĞLU**

NÜKLEER MÜHENDİSLİK BÖLÜMÜ

Haziran 1997

* Marmara Üniversites Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyesi * Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Grv.

P.K. 1, 34831 Havaalanı - İstanbul Basım tarihi: Ağustos 1997

(2)

TÜRKİYE ATOM ENERJİSİ KURUMU

ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

Ç.N.A.E.M. - T.R - 332

NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ

N. ASLAN* , Ş. BALCI** , V. ÜSTOĞLU**

NÜKLEER MÜHENDİSLİK BÖLÜMÜ

Haziran 1997

* Marmara Üniversites Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyesi * Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Grv.

P.K. 1, 34831 Havaalanı - İstanbul Basım tarihi: Ağustos 1997

(3)

NÜM ERİK ÇÖZÜMLERİ

ÖZET

Bu raporda tiçgensel örgülerde kullanılan dengesizlik dağılımı metodu için ilk defa MHD denklemleri için geliştirilen bir dalga modeli: MHD-A sunulmaktadır. Bu modelde etkin bir dalga modeli oluşturabilmek için korunundu formdan ziyade denklemlerin ilkel halleri kullanılmıştır. Araştırmalarda ele alınan düzlemsel MHD dalga modelinde birer çift hızlı ve yavaş magneto-akustik dalga, bir entropy dalgası ve bu raporun ilk yazan tarafından saptanmış olan manyetik akı (diverjans) dalgası olduğu bulunmuştur. İki boyutlu MHD denklemlerinin çözümlerinde bu dalganın olması gerektiği ilk defa Aslan[l] tarafından doktora tezinde belirtilmişti. Nümerik sonuçlann verilmemesine rağmen, Aslan korunundu formun ilkel formla uyundu olması için manyetik alanın diveıjansıyla oranülı bir kaynak teriminin olması gerekliliğini belirtmişti. Bu fikir daha sonra Powell [2] tarafından uygulandı ve bunun manyetik alanın (nümerik hatalar sonucu) sıfırdan farklı olan diverjansından kaynaklanan instabiliteleri yok etttiği bulundu. Aynı fikir Gombosi [3] ve Powell [4] tarafından başarıyla kullanıldı. Daha sonra ise Aslan [5J Tokamak plazmaları, yüksek beta (beta=kinetik basınç/manyetik basınç) patlamaları, ve yüksek hızlı akışları incelemek için bu adı geçen dalga ve kaynağı Riemann türü bir metod’da kullandı [6], Bu tür metodlara benzer metod olan dengesizlik dağılunı metoduyla, sıkıştırılmaz (incompressible) akışların çözümlerinde nasıl nümerik osilasyon üretildiği Mesaros [7] tarafından izah edilmişü. Bu raporda (Sıvı sodyum veya Tokamak plazma akışları gibi) sıkıştınlamaz akışları incelemede gayet başarılı olan dengesizlik dağılımı metoduyla kullanılan (ve ilk defti bulunan) bir MHD dalga modeli: MHD-A sunulmaktadır. Bu metod yine ilk yazar tarafından bulunan zor bir test problemine uygulanmış ve ilk model olmasına rağmen oldukça başarılı sonuçlar ortaya koymuştur (ayrıntı için [9] no Tu referansa bakınız).

SUMMARY

This report presents a new wave model (called MHD-A) for the Magneto-hydrodynamics (MHD) equations suitible for the fluctuation splitting schemes. In this method, the primitive form of the MHD equations is utilized rather than the conservative form in order to derive an efficient wave model. It is found that the planar MHD equations include a pair of fast and slow magneto-acoustic waves, an entropy wave , and a new magnetic flux (divergence) wave. The requirement of divergence wave for multi-dimensional MHD equations was first pointed by Aslan [1] in his thesis. Although no numerical results were presented, Aslan observed that a source related to the divergence of magnetic field was needed in order the conservative form to be consistent with the primitive form of the MHD equations. This idea was then succesfully applied to two dimensional MHD equations by Powell [2] and it was seen that the source efficiently removes the instabilities due to nonzero divergence of the magnetic field. The same idea was the utilized by Gombosi [3] and again by Powell [4], Aslan [5] then utilized this wave and source in a Riemann solver in order to simulate Tokamak plasmas, high beta explosions, and high speed flows [6], Mesaros then described how the numerical oscillations are produced when incompressible flows are solved with similar methods such as fluctation splitting [7], This report describes a new wave model (called MHD-A) for the MHD equations to be used with the fluctuation splitting schemes and presents an initial step towards simulating incompressible magnetized flows (such as Liquid sodium or Tokamak plasma flows). The scheme was applied to a very difficult test problem originally developed by the first author [8], And it was found that the model MHD-A is only the first step towards obtaining an accurate wave model for MHD (see (9J for details).

(4)

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ... 4

2. DENGESİZLİK DAĞILIMI VE DALGA MODELLERİ... 4

3. MHD-A: MHD DENKLEMLERİ İÇİN DALGA MODELLERİ... 7

4. NÜMERİK SONUÇLAR... 12

5. SONUÇ VE YORUM... 14

6. TEŞEKKÜR... 14

7. KAYNAKLAR... 15

ŞEKİLLER

Şekil 1: Dengesizlik dağılımları metodunda kullanılan örgü yapısı.

Şekil 2: Euler sonuçları: Model A yüksek Mach no. test probleminden bulunan yoğunluk konturları.

Şekil 3: Model MHD-A sonuçları: Yüksek Mach no. MHD test problemi için 81x21 noktalı üçgenlerden oluşmuş izotropik örgüden elde edilen sonuçlar.

(5)

1. GİRİŞ

Son günlerde MHD denklemlerinin çözümleri için yeni metotlar geliştirilmektedir. Yakın bir gelecekte bu yeni metotlar plazma fiziğinde, dolayısıyla da Füzyon teknolojisinde enerji üretimi için çok önemli rol oynayacak ve probleme farklı bir bakış açısı sağlayarak bu konudaki araştırmalara ışık tutacaktır. Lokal nötralizeyi koruyan plazma, elektrik (E) ve magnetik alanla (B) etkileşim içinde olan kütle yoğunluğu (p) ile tek bir akışkan olarak tanımlanabilir. Magneto-hidrodinamik (MHD) denklemleri, plazmanın geçiş ve denge durumlarını tanımlar ve hızlı, yavaş, Alfven, entropy ve son günlerde keşfedilen diverjans adı verilen plazma dalgalarını türetmekte kullanılır.

Bölüm 2. de ilk defa Roe tarafından geliştirilen “Dengesizlik Dağılımları” metodu ve Euler denklemleri için bazı dalga modelleri tanımlanacaktır. Bölüm 3. de düzlemse! MHD denklemleri için 6 dalga karakteri içeren, bu konuda ilk defa bulunmuş olan yeni bir MHD-A modeli tanımlanacaktır. Euler ve MHD denklemlerinin nümerik sonuçlan Bölüm 4. de, sonuçların yorumlanması da Bölüm 5. de verilecektir.

2. D E N G E S İZ L İK D A Ğ ILIM I VE DALGA M O D E L L E R İ Hiperbolik sistemlerin iki boyutlu kurunundu şekli

öÖ + aF + 5Ğ

di dx dy ( 1)

ifadesiyle tanımlanır ve dengesizlik dağılımı metoduna uygun olan, quazi-lineer formu ise

Ü , + ( Â U,B U).VU = S (2)

ile verilir. Â u = d F /3 U v e Bu =dG/<3U linearize edilmiş jakobian matrisleri, U (yoğunluk, hız, magnetik alan ve enerjiden oluşan) korunundu hal vektörü, F ve G sırasıyla x ve y yönündeki akı vektörleridir. S ise dış kuvvet vektörüdür.

(a) (b)

(6)

Denklem (1) in Q T alanlı bir üçgen bölge üzerinden integrali alınırsa, U üçgenin köşe noktaları olmak üzere,

J J j g + F . + Ğ ^ s j d n elde edilir ya da denklem (2) kullanılarak

| | ü , d n = < t T = - | |

au

Au ax +Bu ayj

İQ+ IlSdQ

$

(3)

(4)

elde edilir. Burada <E>r, üçgendeki dengesizlik olarak tanımlanır ve değeri sıfırdan farklı ise ilgili üçgenin dengeye ulaşıp ulaşmadığını gösterir. Korunundu hal vektörünün tüm üçgen üzerinde lineer olarak değiştiği kabul edilirse, bu integral analitik olarak hesaplanabilir. Fakat korunundu jakobiyenler U ile lineer olarak değişmediğinden dolayı integralin hesaplanması oldukça zordur. Bu zorluğu ortadan kaldırmak için tüm üçgen üzerinde lineer olarak değişen bir 'parametrik hal vektörü' kullanılabilir. Bu parametrik hal vektörü, her türlü sistem için ilgili Rankine-Hugoniot (R-H) şartı

(Fx,Ö y) = [A(Z),B(Z)].(Üx,Ü y) (5)

kullanılarak elde edilebilir. Burada Â = [A(Z),B(Z)] çözümde kullanılan özdeğer ve öz vektörlerin elde edildiği jakobien matrisidir. Örneğin, bu şartlan sağlayan böyle bir parametrik vektör Euler denklemleri için.

Vp>Vp u’Vp v-E h + P

S

J

(

6

)

şeklinde tanımlanır. Burada p akışkanın yoğunluğunu, u ve v sırasıyla x ve y Yönlerindeki hızları, P skaler basıncı ve E1! toplam hidrodinamik enerjiyi göstermektedir. Z lineer olarak değiştiğinden, otalama Z i, j ve k üçgenin köşe noktaları olmak üzere ortalama, Z ~ [Z1 + Z J + Z k] /3 ile verilebilir, (Şekil l.a).

Yukarıda bahsedilen şartları sağlayan uygun bir parametrik vektör bulunduğunda, T üçgeni için (4) eşitliği,

J{.Ö1d n = <DT = - Qt[(Az(Z),Bz(Z )).Y Z -S(Z )] (7) şeklinde yazılabilir. Burada A,. B z = <3(F,G)/5Z parametrik vektöre bağlı olan jakobiyenler olup, (Z) ile lineer olarak değişmektedir. Örgü içinde Z lineer olarak değiştiğinden, gradyenti sabit olur ve integral dışına alınabilir. Böylelikle (7) eşitliği,

(7)

haline dönüşür (burada Mi (Z) = ö U / 5 Z ,(Z) ile lineer olarak değişen korunumlu parametrik hal jakobiyenidir). Bu durumda dengesizlik,

cbT = - f 2 r[(A z(Z)M z(Z)"l ,B z(Z).M z(Z )'l)V .U -S (Z )] (9) veya

Ot = -Qt[(Au(Z),Bu(Z ))V .Ü -S(Z )] (10)

şeklinde ifade edilebilir.

Hiperbolik denklemleri çözülürken, çözüm bölgesinde her türlü fiziksel bilginin çeşitli dalgalar ile yayıldığı ve bu dalgaların hızlarının sistem jakobiyeninin öz değerleriyle, yayılma yönleri ve şiddetlerinin ise özvektörleri ile verildiği bilinmektedir. Örgüde dengesizliğin nasıl ifade edileceği, sonlu sayıda dalga içeren yeni bir dalga modeli tanımlayarak bulunabilir. Bu dalga modelini türetmek için (1) ve (2) no'lu eşitlikleri ilkel formda

ÖW "öt~+ A.

a w

+ B„

a w

olarak yazılır ve (Z ile) lineerize edilirse

W ,+ (Â w(Z),Bw(Z))VW

(11)

( 12) şeklinde yazılabilinir. Burada W (p,v,B ,P den oluşan) ilkel hal vektörü olarak tanımlanmaktadır. Dengesizlik dağılımı yaklaşımında ilkel dengesizlik, Qw = - ( A w,B w).V.W şeklinde lineerize edilmiş basit dalga çözümlerinin toplamı şeklinde düşünülebilir. Hiperbolik denklemlerin çözümleri dalga karakterinde olduğundan, ilkel hal vektörünü W = W(Ç) şeklinde ifade edebiliriz. Burada ii0 herhangi bir dalganın yayılma yönündeki birim vektör olup, dalga yüzeyi Ç= x.n0 - >.9t ifadesiyle verilir. Böylece ilkel fiziksel büyüklüklerin zamanla değişimi, dalga yüzeyine göre değişimi cinsinden Wt = - X e3W/öÇ şeklinde yazılabilir. Bu ifadeyi denklem (12) de yerine koyduğumuzda ise

r . . , a w

[- ^9+ ( A w,B w).n9] — = 0 (13)

a a

elde edilir. Bu ifadeden görüldüğü gibi (A w,B w).n0 matrisinin öz değeri Z9 ve öz vektörü dW /öÇ olacaktır. Bunun için dalga yüzeyindeki herhangi bir değişiklik sonrasında SW'daki değişmeler bahsedilen matrisin üzerine izdüşürülebilir. Sonuç olarak özdeğer problemi, A köşegen öz değer matrisi ve R sağ öz vektör matrisi olmak üzere

(8)

A A A A A

şeklinde tanımlanabilir. Burada A n = (A w,B w).n e= c° s9 + B w sinG olarak verilebilir. W mn gradyentini de rw ilkel öz vektörler cinsinden ifade ettiğimizde,

VW = E t t i r i n ; (15)

k

şeklinde yazabiliriz. Burada a k, k’ıncı dalga şiddeti olup, değeri fiziksel niceliklerin gradyentlerine bağlıdır. Fiziksel büyüklüklerdeki değişmelerden dolayı dalga yüzeyindeki akılarda da bir değişme olacaktır. Bu durumda R-H şartlarını,

VÜ= (16)

k k

şeklinde yazabiliriz. Burada rku , korunumlu k'ncı sağ öz vektör sütun matrisi olup, ilkel öz vektörü ile aralarında R u = M UR W şeklinde bir bağıntı vardır. Denklem (16), (10) ifadesinde yerine konulduğunda,

I > k a kru n e —S(Z) ] (17)

k

elde edilir.

J J ( 3 Ü / 3 t)d Q 'nın T üçgenin i noktasındaki yaklaşık değeri nümerik olarak,

dQ =

u r - ur

At - a (18)

şeklinde yazılabilir (burada; At zaman aralığı, Qj T üçgeninin i. noktası civarındaki ortalama ağırlıklı alanıdır), (Şekil l.b). Böylece adı geçen noktadaki ll'nun zamana bağlı değişimi ise

U--I

- u r - a r Z Z o #

“ *« T

l-(19)

ile -eritecektir. Buradaki a 'r , Ok = - Q T[ X ka krukıig - S(Z) ] ile verilen toplam dengesizliğin i. noktaya aktardan kısmıdır. Euler denklemleri için geliştirilen dalga modellerini anlamak için Ref. [12]'ye ve O, 'nin hangi hıza göre nasıl dağıtılacağım anlamak için ise (Şekil l.b.)'ye bakınız.

3.MI1D-A: MHD DENKLEMLERİ İÇİN DALGA MODELLERİ MHD denklemlerinin korunumlu ifadesi,

ÖU 5F 5G ĞH _ -

di + dx + dy + öz ^ dıv (20)

şeklinde tanımlanır. Burada U = [p,pV ,B ,E] korunumlu hal vektörü, E = E " + B 2 / 8ti toplam enerji, F ,G ve H sırasıyla x. y ve z yönündeki akı

(9)

vektörleri, [5], Sj.v ise manyetik alanın diverjansı ile orantılı olan ve sadece nümerik metotlarda kararlılığın sağlanması için kullanılan kaynak vektörüdür, [8],

Dengesizlik dağılımı metodunda, MHD denklemlerinin ilkel formu,

ö w ö w 5 w a w

' 4- A ... —; + B.„ -;; + C ... I = 0 (21) Öt vv öx w öy w öz

ile verilir. Aw, Bw ve Cw ilkel jakobiyen matrisleri ve W = [p,V ,B ,P] ise ilkel hal vektörüdür. Görüldüğü gibi MHD denklemlerinin ilkel formu ne S u,v 'i ne de singülarite içeren jakobiyen matrisleri içermektedir. İki boyutta (di öz = 0 ), Aw ve B„ matrisleri birbiri ile komüte etmemektedir. Bu durumda Roe'nun da önerdiği gibi, [13], bu matrisler lineerize olmazsa ve dengesizlikler basit dalga çözümlerinin toplamı şeklinde ifade edilmezse kararsız denklemler için karakteristik çizgiler tanımlanamaz. MHD denklemlerinin lineerize edilmiş formu, jakobiyen matrislerinin yine bir ortalama parametre vektörü ile lineerize edilmesiyle aşağıdaki denklem ile

W, + ( A w, B w )V. W = 0 (22)

ifade edilebilir. Daha önceki bölümde de tanımlandığı gibi Â n = (Â w,B w).n 0 matrisinin öz sistemi ve gradyentlerinin sağ öz vektörler üzerine izdüşürülmesmin sağlanması yeterli olacaktır. MHD alanında ilk defa bu çalışmada yayınlanan MHD-A modeli için herhangi bir dalga yönündeki A n = A w cos0 + B w sin 9 matrisinin kartezyen koordinatlardaki ifadesini

“v„ pcosö psin0 0 0 0 1

0 V, 0 - b v sin0 - b cos0 COS0/p

0 0 v n b sin0 - b v cos0 sin 0 / p

Â„ = 0 - B y sin0 B x sin0 X V„ 0 0 0 B y cos0 - B x cos0 ₀ _Vn 0 .0 _{p a 2 cos0} pa2 sın0 0 0 v . .

şeklinde tanımlayabiliriz. Burada Vn normal hız ve b=B/4rcp 'dur. Denklem (23)'de verilen matris Vz ve Bz alanlarını içermediğinden, matrisin öz sistemi doğrudan Alfven dalgalarını içermez. Bununla birlikte hızlı ve yavaş dalgalara dolaylı yoldan Alfven hızından bir katkı gelmektedir. İlk defa MHD-A modelinde entropi, yavaş ve hızlı dalgalardan başka bir dalganın daha varolduğu gözlenmiştir: diverjans yada magnetik akı dalgası. Sonlu hacim türü metotlarda nümerik stabiliteyi sağlamak amacıyla, bu dalganın ele alınması gerekliliğine daha önceden de işaret edilmişti [1], [5]. Ancak MHD-A modelinde magnetik akı dalgasının tamamen fiziksel olduğu ve her MHD dalga m odelinin diverjans dalgasını içermesi gerektiği bulunmuştur. Yukarıda verilen matrisin öz değerleri sırasıyla Vn, Vn, Vn-us, Vn+us, Vn-Uf, Vn+Uf olarak verilmektedir. Bunlardan ilk ikisi entropi ve diverjans öz değerleri olup, us ve Uf

(10)

us/r = a~ +■)

B- _{T - / 7} R 2_D _{\ 7} _, ₇ ₇

'+ (a + ~---)' -4 a -u ;

11/2 11/2

4n p 1_ 4 n p (24)

ifadesiyle verilirler. Burada; a = -Jy P / p ses hızını, uA=yjBl / 4 np Alfven hızım ve B„ = B x co s0 + By sin0 ise normal magnetik alanı ifade etmektedir.

Gerekli analitik işlemler yapıldığında, p diverjans (magnetik akı) ve 0 yavaş ve hızlı dalgaların yayılma açılan olmak üzere, Â n matrisinin ilkel sütun sağ-öz vektörlerinin

l

0 P

P

0

0 “ Ls

Ls

- r:r

_Lf

0

0 "Ls

Lf

"Lf

(25)

0 cosP

r4s sin0

r4f sin0

0 sinP

-r4s cos0

-r4f cos0

-r 4f cos0

0

0 pa2

pa2

_pa2

olarak verildiği rahatlıkla bulunabilir. (Yavaş ve hızlı dalgaların farklı açılarda hareket ettikleri düşünüldüğünde çok karmaşık bir çözüm ortaya çıktığından, açılar aynı alınmıştır).

Sol öz vektörler ise f r, = 8y normalizasyonu yardımıyla

1 0 0 0 P _P 0 0 0 S, — r2f _r2f Lw= 0 _-İ3f _-İ2f x s 2 r3f _{“ Lf} 0 _^3f _^2f X S2 r4f sin0 _{r4f sin0} 0 _İ3S _^2s - X S 2 -r 4f cos0 _{- r 4f cos0} .0 _-İ3S _-İ2s - X S 2 pa2 _pa2

olarak bulunabilir. Bu aşamada MAPLE, MATHEMATICA gibi sembolik hesap paketlerinin kullanılması tavsiye edilir. Yukarıda verilen matrislerde geçen bazı terimler ise, 1 1 r 2s/f — L s / f = B yurff -V4Îrpauf/sSign(Bn)sin 0 V47tpauf/sSign(Bn) cos0 r4s/f = 4rcp(Uf/s - Ug)/ B x B xu,f / B x / Bj. 2s/f 3s/f

= [sign(B„By)u yu , f - auf/s sin0 = [Sign(BnB J u xu , f - a u f/icosö Uvf = a f/1 / 2pa f 2(Uf - U j) / 2(Uf - u 2) (27) (28) (29) (30) (31) (32)

(11)

olarak verilmektedir. Ayrıca Bx = B y c o s 0 - B x sin0, Uj = B2 / 4rcp, u T = | B j / V 4 n p , u xy = | BX y | / V^ r p , a f/s = ( u 2/ s- u 2 ) / ( u 2 - u 2) ve

, , cos0 s i n 0 ... X = a B , / 8 n p ( U f - u , ) , S, = _ _ , S2 = — 1 — olarak verilmektedir.

n6.rip Hg.ıip

Bu aşamada öz vektörler elde edildiğine göre bunlara bağlı olan ilkel hal gradyenti,

VW = 2 > ki n e (33)

k

toplamı ile ifade edilebilir. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli husus, MHD için bütün lineerize şartlarını sağlayan bir parametre vektörünün olmaması nedeniyle, sadece yaklaşık olarak bulunabilen bir Z (parametrik vektörü) kullanıldığıdır. Fakat bu ilerideki çalışmalarda daha gerçekçi bir parametre vektörünün bulunamayacağı anlamına gelmez. Örneğin, Brio [14], y, öz ısıların oranı, için R-H şartlarını sağlayan Roe ortalamasının MHD için varolmadığını daha önce iddia etmişti. Daha sonra Aslan [15], bir boyutta MHD için bu iddianın aksine belli bir Roe ortalamasının varoldoğunu gösterdi. Günümüze kadar iki boyutta MHD denklemleri için R-H şartlarını tamamen sağlayan ve üçgen içinde lineer olarak değişen bir parametrik vektör bulunamamıştır. Buna rağmen [15] no'lu referansdaki sonuçlar ele alındığında aşağıda verilen parametrik vektörün, MHD-A modelinde kullanıldığında oldukça güzel sonuçlar verdiği gözlenmiştir

Z = _{VfV>/pvx > VpVy} B„ B v _' (34)

Burada H* = [E + P + B 2 / 8tij / p toplam entalpi olup B2/8tc ise magnetik basınç olarak adlandırılır. Parametrik vektörün bu şekilde seçilmesiyle, MHD jakobiyenleri A 7_, B7. deki terimlerin çoğu Z ile lineer olarak değişmekle birlikte, sadece momentum ve enerjide Z ile ikinci dereceden terimler kalmıştır. Bu durum küçük boyutlu üçgenlerden oluşan bir örgü kullanılarak düzeltilebilir. Bir sonraki bölümde bu parametrik vektörün kullanılmasıyla, MHD-A modeli kullanılarak elde edilen sonuçlar verilmiştir.

MHD-A modeli 10 dalga içermektedir. 0£ açısı ile yayılan Entropi dalgası, P açısı ile yayılan diverjans dalgası ve 0 açısı ile yayılan 4 magnetoakustik dalgası (2 tanesi yavaş, diğer ikisi hızlı) ve 0'ya dik olarak yayılan diğer 4 magnetoakustik dalgadan oluşmaktadır. Bu durumda tüm dalgaların katkısı düşünüldüğünde W'nin gradyenti bu dalgalar cinsinden,

^ W = a l rX +ot$rp X + S a ere + 2 j a e+iT/2re+n/2^e+ıı/2

k=3 k=7

(35)

olarak yazılabilir. Bu ifadeden de,

(12)

a U ' i W - U U p V W ) ,

ne„/2-(ll,n.ıı^W) =

<k-w .'« )

(37)

a ? = n,,.(lJ,»VW), a ; = n . - d ^ V W ) (38)

bağıntıları elde edilebilir. Denklem (36) ve (37) nin sağ taraflarındaki ifadelerden ise iV(Io.pVW) n 0+I[/2.( lL n .pVW)

— z z---= --- r —:--- (j9) n p 'n 0 n p-n0+)t/2

olarak tanımlanan 'geçerlilik denklemi' elde edilir.

Entropi dalgası için 0e açısı, denklem (38)' den kolaylıkla bulunabilir. Geçerlilik denkleminde 0 ile P' mn birbirine eşit alınarak çözülmesiyle de,

5Bl_ 3 B İ dy

<5x

tan

2

P = tan

2 0

= — --- g g - , ----“ + ----L dy dx (py - P y / a 2) ( P * ~ V a 2) (40)

açılan elde edilir. Denklem (38) de verilen eşitlikten ise Entropi ve Diverjans dalgalarının şiddetleri

ot _{= -\/(Px _ ?x / a ) + (Py - P> / a ')}2 \2 ve _«_d_{= ö (}1 3B, 5B 1

2 âx - + dv J -) = — V.B 2 (41) olarak bulunabilir. Bu sonuçlar otp 'nın magnetik alanın diverjansına eşit olduğunu göstermektedir. Böyiece bu dalga sayesinde çözümler fiziksel olmayan magnetik monopollerin varlığına karşı stabilize olmaktadır. Yavaş ve hızlı dalgaların şiddetleri ise denklem (36) yardımıyla,

a04 = + İ3f(cos0ux + sin0uy) + l2f (cos0vx + sin0vv) - l^YP

- X [ ( b x sinp + c x c o s P ) c o s 0 - ( b y sinp + c y cosP)sin0] (42)

a e6 = ± ljs(cos0ux + sin0uy) ± l2s(cos0vx + sin0vy) + 1®SYP

+x|(bx

sinp + c x c o s P ) c o s 0 -

(by

sinP + c y cosP)sin0]

(43)

olarak bulunabilir (burada YP = Px cos0 + P sin0 olup basınç gradyentidir). Ayrıca b ve c harfleri B x ve By 'yi tanımlamaktadır. Denklem (37) 'de 0 yerine Q+n/2 yazılırsa

a 0?!t 7 ve a o+n/2 rahatlıkla elde edilebilir.

ıMHD-A modelinde, bilinmeyenlerin sayısı toplam gradyentlerin sayısına eşit olduğundan oldukça tutarlı bir yaklaşım olduğu söylenebilir. Bu model ve Euler sistemi için oluşturulan bazı modellerden elde edilen sonuçlar bir sonraki bölümde verilecektir.

(13)

4. NÜMERİK SONUÇLAR

Bu bölümde. Model A kullanılarak İzotropik üçgensel gridler kulanılarak çözülen Euler denklemleri için elde edilen sonuçlar kadar iyi netice veren ve MHD için geliştirilen MHD-A modelinin nümerik sonuçları verilmektedir. Euler denklemleri için geliştirilen bu modellerin detayları için [12] no'lu referansa bakınız. Burada akış yüksek hızlı bir akış olarak alındı ve problemler boyutları x:[0,1.8], y: [0 ,l] olan 30x30 luk kartezyen grid kullanılarak çözüldü. Tüm problemlerde akışkanlar için y=1.4 olarak alındı. Courant sayısı Euler denklemleri için 0.8, MHD için 0.5 olarak alındı ve tüm sonuçlar 400. zaman adımında çizildi.

İlk test problemi, dikdörtgen bir uzayda (sıfır manyetik alanlı) Mach No=2.9 olan Euler akışıdır. Sol ve sağ sınır şartları analitik değerlerde, diğer sınırlardaki şartlar ise serbest akış olarak verilmiştir. Bu sınır şartları, iki boyutta Euler akışı için R-H şartlarının analitik olarak çözülmesiyle elde edilmiş olup

W L = [1 ,2 .9 ,0 ,0 ,0 ,0 .7 ]T, Wr = [1 .7 ,2 .6 ,- 0 .5 ,0 ,0 ,l.5 ]T

olarak verilmektedir. Bu problem, referans [12] de verilen Model A kullanılarak izotropik bir örgüde çözülmüş olup, yoğunluk konturları Şekil. 2'de verilmektedir. Grafiklerin çiziminde fazladan bir ortalama kullanılmadan bu sonuçlar elde edilmiş olup, eğriler oldukça keskin ve çözümler monotondur.

Density, 80x20 Isotropic Grid, Levels: 14

Şekil 2. Euler sonuçlan: Model A yüksek Mach no. test problemi için yoğunluk konturları

Diğer test problemi dikdörtgensel bir alanda Mach=2.9 olarak uyarlanan MHD akışıdır. Bu problem bir önceki probleme benzer olmasına rağmen, R-H şartlarının MHD

'ye

uygulanmasıyla farklı sonuçlar elde edilmiştir. Fakat bu problem tam anlamıyla lineer olmadığından MHD için bu sonuçları elde etmek çok kolay olmamıştır. Aşağıda verilen değerler iki boyutta MHD denklemleri için R-H şartlarını sağlamaktadır (detaylı bilgi için referans [(?]'ya bakınız). MHD için hesaplanan sol ve üst sınır değerleri

W L = [l,2.9,0,V ît,0 ,l/y ]T, Wr = [1.46,2.72- 0 .4 1 ,2 .4 2 0.36,1.22]T olarak verilmektedir.

(14)

Yukarıda verilen bu verilerin kullanılmasıyla, izotropik 81x21 iiçgensel örgüden elde edilen yoğunluk, basınç, Vx, Vy, Bx ve By konturları şekil. 3a-f 'de gösterilmektedir. Şekillerden de görüldüğü gibi sonuçlar mükemmeldir. Fiziksel niceliklerin x'e göre nasıl değiştikleri ise 81x21 ve 4 1x11'lik izotropik gridlerden alınan sonuçlara göre Şekil 4'de verilmektedir. Buna göre, örgüde yer alan üçgensel bölgelerin boyutları küçüldükçe analitik çözüme yaklaşılmaktadır. Bu hassasiyet analizi göstermektedir ki model MHD-A gayet başarılı bir modeldir.

P, Isotropic Grid 41x2L. Levels:i l

(b) Basınç Konturları

Şekil 3. Model MHD-A sonuçlan: Yüksek Mach No. MHD test problemi için iki farklı büyüklüklerdeki üçgenlerden oluşmuş izotropik Örgüde elde edilen sonuçlar. Baklava ve yıldız geniş

(15)

5. SONUÇ VE YORUM

Bu çalışmada düzlemsel MHD denklemleri için 'dengesizlik dağılımları' metodunda kullanılan ve MHD-A olarak adlandırılan yeni bir dalga modeli tanıtılmıştır. MHD-A modelinin altı dalga karakteri içerdiği bulunmuştur. Bunlar; entropy, 2-yavaş, 2-hızlı ve yeni bulunan diverjans (magnetik akı) dalgalarıdır. Diverjans ve magneto-akustik dalgalarının yayılma açılarının, normal akım yoğunluğu ile ilgili olduğu ve diverjans dalga şiddetinin magnetik alanın diverjansına eşit olması gerektiği bulunmuştur. Çalışmada kullanılan modelin tüm detayları verilerek, Euler ve MHD denklemlerinden elde edilen nümerik sonuçlar verilmektedir. Bu sonuçlar, düzlemsel MHD denklemlerinin çözümleri için MHD-A modelinin çok güçlü ve elverişli olduğunu göstermektedir.

6. TEŞEK K Ü R

Küçük Çekmece Nükleer Araştırma Merkezi Nükleer Mühendislik Bölümü personeline her türlü yardımları için teşekkürü borç biliriz.

7. ACKNO W LED GEM EN TS

The first author also acknowledges CNAEM Nuclear Research Center, Turkey for providing its computer facility available during this research.

KAYNAKLAR

[1] N. Aslan, "Computational investigations o f ideal MHD plasmas with discontinuities", Ph.D. Thesis, University o f Michigan, Nuclear Eng. Dept., USA

1993.

[2] K. G. Powrell,"An approximate Riemann solver for magnetohydrodynamics (that works in more than one dimension), ICASE report No: 94-24, Langley, VA, 1994. [3] T. I.Gombosi, K. G. Powell, and D. De Zeeuw ,"Axisymmetric modelling o f cometary mass loading on an adaptively refined grid", J.Geophys.Res. 99, A l l , 21525- 21539,1994.

[4] K. G. Powell, P. L. Roe, R. S. Myong, T. Gombosi, and D. De Zeeuw,"An upwind scheme for Magnetohydrodynamics",to appear JCP, 1996.

[5] N. Aslan and T. Kammash,"A new scheme for the numerical solutions o f multidimensional MHD equations",ICASE/LaRC Workshop on Barriers and Challenges in CFD",Aug. 5-7, 1996, Hampton VA, USA.

[6] N. Aslan and T. Kammash,"A Riemann Solver for Two Dimensional MHD Equations", in print Int. J. Numer. Meth. in Fluids, 1997.

(16)

[7] L. M. Mesaros,"Multidimensional fluctuation splitting schemes for the Euler equations on unstructured grids", Ph.D. Thesis, University of Michigan, Aerospace Eng. Dept., USA ,1995.

[8] N. Aslan and T. Kammash. "Developing numerical fluxes with new sonic fix for MHD equations", in print J. Comp. Phys., 1997.

[9] N. Aslan."A New Wave Model for Planar Magnetohydrodynamics Equations", submitted to J. Comput. Phys., April, 1996.

[10] P. L. Roe and L. Beard. "An improved wave model for multidimensional upwinding of the Euler equations", 13. Int. Conf. on Numer. Meth. for Fluid Dynamics,

Rome, Italy. July, 1992.

[11] S. Mineshige, K. Shibata, and P. R. Shapiro, "Large scale explosions and superbubbles in the galactic disk and halo. I. Magnetohydrodynamic simulations". Astro. J. 409:663-68 U June. 1993.

[12] H. Paillere, J-C. Carette, and H. Deconinck, "Multidimensional upwind and SUPG methods for the solution of the compressible flow equations on unstructured grids", von Karman Inst. Lect. Series, 1994-05.

[13] P. L. Roe, "Wave-modeling of time-dependent hyperbolic systems". Tech. Rep. ICASE, 1993.

[14] M. Brio and C. C. Wu, "An upwind differencing scheme for the equations of ideal magnetohydrodynamics", J. Comp. Phys., 75, 400-422, 1988.

[15] N. Aslan, "Numerical solutions of one-dimensional MHD equations by a fluctuation approach", Int. J. for Num. Meth. in Fluids, 22, 569-580, 1996.