İkinci türevden bağımsız chebyshev-halley metodu

(1)

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İKİNCİ TÜREVDEN BAĞIMSIZ CHEBYSHEV-HALLEY METODU

Gamze HANER YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalını

(2)

TEZ KABUL VE ONAYI

Gamze HANER tarafından hazırlanan “İkinci Türevden Bağımsız Chebyshev-Halley Metodu” adlı tez çalışması 06/09/2011 tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri tarafından oy birliği ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Jüri Üyeleri İmza

Başkan

Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA Danışman

Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Üye

Yrd. Doç. Dr. İsmail KINACI

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Bayram SADE FBE Müdürü

(3)

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all materials and results that are not original to this work.

Gamze HANER Tarih: 06.09.2011

(4)

ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

İKİNCİ TÜREVDEN BAĞIMSIZ CHEBYSHEV-HALLEY METODU

Gamze HANER

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE 2011, 46 Sayfa

Jüri

Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Yrd. Doç. Dr. İsmail KINACI

Bu çalışmada lineer olmayan denklemlerin basit kökünün bulunmasında kullanılan ve Newton-Raphson metodunun geliştirilmiş hali olan Chebyshev-Halley metodunun ikinci türevden bağımsız bazı değişkenleri sunulacaktır. Yakınsaklık analizleri, her iterasyonda yeni metotların en az üçüncü mertebe yakınsak olduğu düşünülerek yapılmaktadır. Sunulmuş olan metotların performansını, diğer bazı metotlarla özellikle de Newton metoduyla kıyaslama yaparak, değerlendirmek için çeşitli sayısal örneklere yer verilmektedir.

Anahtar Kelimeler: Chebyshev metodu, Chebyshev-Halley metodu, Halley metodu, İteratif

metotlar, Lineer olmayan denklemler, Newton metodu.

(5)

ABSTRACT MS THESIS

CHEBYSHEV-HALLEY METHODS FREE FROM SECOND DERIVATIVES

Gamze HANER

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS

Advisor: Assist. Prof. Dr. Hasan KÖSE 2011, 46 Pages

Jury

Assist. Prof. Dr. Hasan KÖSE Assist. Prof. Dr. Necati TAŞKARA

Assist. Prof. Dr. İsmail KINACI

In this paper, some modifications of Chebyshev-Halley methods free from second derivative, which are used for finding a simple root of non-linear equations and improve Newton’s method, are presented. The convergence analysis shows that the methods are at least third-order convergent per iteration. Several numerical examples are given to demonstrate the performance of the presented methods by comparing with some other methods especially Newton’s methos.

Keywords: Chebyshev’s method, Chebyshev-Halley method, Halley’s methods, Iterative

(6)

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans çalışmalarımın yönetimini kabul ederek bana bu tezi hazırlama imkanı sağlayan, çalışmalarım boyunca yardımlarını esirgemeyen ve beni yönlendiren danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE’ ye, Arş. Gör. Ayşe Betül KOÇ’ a, manevi destekleriyle beni yalnız bırakmayan eşime, aileme, arkadaşlarıma ve şu ana kadar emeği geçen herkese teşekkürü bir borç bilirim.

Gamze HANER Eylül, 2011

(7)

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ SİMGELER AÇIKLAMALAR



,



C a b



a b,



aralığında sürekli olan fonksiyonlar kümesi

*

x Lineer olmayan denklemlerin gerçek

kökü

 

U_ a Delik komşuluk

n

 n İterasyon sonundaki hata .

 

xn n elemanlı dizi  

 

n f x f x

 

fonksiyonunun n Mertebeden . türevi NM Newton metodu HM Halley metodu CM Chebyshev metodu CHM Chebyshev-Halley metodu SHM Super-Halley metodu

NHM Newton Halley metodu

NCM Newton Chebyshev metodu

(8)

İÇİNDEKİLER

TEZ BİLDİRİMİ ... iii

ÖZET ... iv

ABSTRACT ...v

TEŞEKKÜR ... vi

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... vii

İÇİNDEKİLER... viii 1. GİRİŞ ... 1 1.1. Araştırmacının Amacı ... 1 1.2. Kaynak Araştırması... 2 1.3. Problem Cümlesi... 2 1.4. Tanımlar... 2

2. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN BASİT KÖKÜNÜN BULUNMASINDA KULLANILAN BAZI METOTLAR ... 6

2.1. Yarılama Metodu ... 6

2.2. Regula Falsi Metodu ... 6

2.3. Newton- Raphson Metodu... 7

2.3.1. Newton- Raphson yönteminin yakınsaklık mertebesi... 8

2.4. Chebyshev-Halley Metodu ... 9

2.5. Halley Metodu ... 9

2.6. Chebyshev Metodu...10

3. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN BASİT KÖKÜNÜN BULUNMASINDA İKİNCİ TÜREVDEN BAĞIMSIZ BAZI METOTLAR ...11

3.1. İkinci Türevden Bağımsız Chebyshev-Halley Metodunun Gelişimi ve Yakınsaklık Analizleri ...11

3.1.1. Sayısal örnekler ...17

3.2. İkinci Türevden Bağımsız Chebyshev Metodu...19

3.2.1. Metotlar...20

3.2.2. Yakınsaklık analizi ...22

3.3. İkinci Türevden Bağımsız Chebyshev- tip Metotlar ...23

3.3.1. İkinci türevden bağımsız Chebyshev tip metotların yeni bir ailesi ...23

3.4. İkinci Türevden Bağımsız Halley Metodu ...27

3.4.2. Yakınsaklık analizleri ...29

4. FARKLI YAKINSAKLIK MERTEBELERİNDE CHEBYSHEV-HALLEY METODU...32

4.1. İkinci Türevden Bağımsız Dördüncü Mertebe Chebyshev-Halley Metodu....32

4.2.Beşinci Mertebe Yakınsak Chebyshev-Halley Metodu ...36

4.3. Altıncı Mertebe Yakınsak Chebyshev-Halley Metodu ...40

(9)

5. SONUÇ ...45 KAYNAKLAR...46 ÖZGEÇMİŞ...47

(10)

1. GİRİŞ

Bu bölümde; araştırmacının amacı, problem cümlesi ve tanımlar üzerinde durulacaktır.

1.1. Araştırmacının Amacı

Lineer olmayan denklemler; değişkenin kuvvetlerini içeren veya transandantal fonksiyonları içeren denklemler olarak tanımlanabilir. Lineer olmayan denklemler sayısal analizde en önemli problemlerden birisidir. Bu tip denklemlerle, özellikle mühendislikte, diferansiyel denklemler ve öz değer problemleri ile uğraşılırken sıklıkla karşılaşılabilir. Amaç y f x

_{ }

fonksiyonunu sıfır yapan x

değerini bulmaktır. Kökler reel, kompleks yada her ikisi de olabilir. Lineer olmayan denklemlerin çözümü için genel bir çözüm metodu yoktur. Fakat farklı doğruluk derecelerine sahip ve yakınsaklık oranları değişen farklı metotlar mevcuttur.

Newton metodu lineer olmayan denklemlerin çözümü için iyi bilinen bir metottur. Bu metot, lineer olmayan denklemler, lineer olmayan denklem sistemleri, diferansiyel denklemler gibi çeşitli denklemlerde uygulanabilir olduğu için pek çok araştırmacı tarafından beğenilmektedir. Fakat, Newton metodunun uygulanmasındaki en büyük zorluk başlangıç değerinin tahminidir. Başlangıç değerinin seçimi için bir kriter bulmak oldukça zordur ve bu sebeple daha farklı metotlar arayışına girilmiştir. Sonuçta bulunan metotlardan bir tanesi de Newton metodunun geliştirilmişi olan Chebyshev-Halley metodudur.

Bu çalışma bir derleme çalışması olup, Newton ve Chebyshev-Halley metotları ile bu metotların modifiye edilmiş bazı aileleri dört bölümde incelenmiştir.

İkinci bölüm lineer olmayan denklemlerin çözümünde kullanılan bazı metotlar içermektedir.

Üçüncü bölümde lineer olmayan denklemlerin basit kökünün bulunmasında kullanılan Chebyshev-Halley tip metotlar ikinci türevden bağımsız olarak incelenmiş ve Newton metodu ile mukayese edilmiştir.

Dördüncü bölümde ise Chebyshev-Halley tip metotlar farklı yakınsaklık mertebelerinde incelenmiş olup bunların Newton metoduna ve birbirlerine göre üstün durumları ortaya koyulmuştur.

(11)

1.2. Kaynak Araştırması

Chun C. (2007) Bu çalışmada, Chebyshev-Halley metodu dördüncü mertebeden yakınsak olarak incelenmiştir.

Gutierrez J. M. , Hernandez M. A. (2001) Bu çalışmada, Newton metodunun özel bir hali olan Super-Haley metodu verilmiş ve metodun üstün tarafları verilen örneklerle desteklenmiştir.

Homeier H. H. H. (2005) Bu çalışmada, Newton tip metotlar kübik yakınsaklıkla incelenmiş ve çeşitli sayısal örneklerle desteklenmiştir.

Jinseng K. , Yitian Li. (2007) Bu çalışmada, modifiye edilmiş Chebyshev-Halley metodu altıncı mertebeden yakınsak olarak incelenmiştir.

Kou Ji. , Li Y. (2007) Bu çalışmada, lineer olmayan denklemler için, ikinci türevden bağımsız modifiye edilmiş Chebyshev metodu incelenmiştir.

Xiaojian Z. (2008) Bu çalışmada, Chebyshev-Halley metodu ikinci türevden bağımsız olarak incelenmiş ve yakınsaklık analizleri yapılmıştır.

1.3. Problem Cümlesi

Lineer olmayan denklemlerin basit kökünün bulunmasında, sunulan metotlardan hangisinde ve hangi yakınsaklık mertebelerinde gerçek köke daha çabuk yaklaşılır?

1.4. Tanımlar Mutlak hata:

Yaklaşık değeri a olan bir A büyüklüğünün yaklaşık hatası A a ile gösterilir.

 

A a   a

şartını sağlayan 

 

a sayısına a sayısının ‘Mutlak Hatası’ adı verilir



Oturanç ve ark., 2003



. Göreceli hata:

Mutlak hatanın gerçek değere bölünmesine denir. Bir ölçümün duyarlılığı mutlak hatanın dışında ölçülen değerin büyüklüğüne de bağlıdır. Ölçülen büyüklüğe göre hatanın hassasiyetini ölçmek için göreceli hata kullanılır





. Aşağıdaki şekilde ifade edilir,

(12)

 

a

 

a a   Taylor formülü: f x

 

fonksiyonu,



1

_

n 1

_

inci mertebeye kadar tüm türevleri



a b,



kapalı aralığında tanımlı ve sürekli



2



a b,



açık aralığında f n

 

x var ve sonlu ise

axb aralığında

 

  

  





 









 





 

2 1 1 ' '' ... 2! 1 ! ! n n n n x a x a x a f x f a x a f a f a f a f c n n              olacak şekilde en az bir c a

_

 c x

_

değeri vardır.

Verilen f x

_{ }

fonksiyonu bir a noktasının

_

a,a

_

komşuluğunda istenildiği kadar ardışık türevlere sahip ve Taylor formülünün Lagrange formundaki kalan kısmı R_n

_{ }

x fonksiyonu bu aralıkta

 





 

lim lim 0 ! n n n n n x a R x f c n     

ise bu taktirde seçilen aralıkta f x

_{ }

fonksiyonu

 





 

_{ }

1 ! k k k x a f x f a f a k     

_

olarak yazılabilir. Bu seriye Taylor serisi denir

_

Aydın ve ark., 2003

_

. Lineer olmayan denklem:

Değişkenin kuvvetlerini içeren veya transandantal fonksiyonları içeren denklemlere, lineer olmayan denklemler denir





.

Yakınsaklık:

a noktasının U_

 

a delik komşuluğu ve f U: _

 

a   bir fonksiyon olmak üzere x kümesinin tüm a

_{ }

x_n dizileri için



f x

_{ }

_n



dizileri yakınsak ve

 

lim _n

n f x L

(13)

 

lim _n

n f x L

olarak gösterilir. f fonksiyonu L ye yakınsıyor denir





. Delik komşuluk:

 



: ,



\

 

U_ a  x xa  x  a

kümesine a reel sayısının  - delik komşuluğu denir

_

_

. Basit iterasyon

 

0

f x 

 

1.1 şeklinde verilmiş bir fonksiyon

 

xg x



1.2



şeklinde yazılabiliyorsa

_

1.2

_

denkleminin çözümü aynı zamanda

_{ }

1.1 denkleminin de çözümü olur. Böylece

 

1

n n

x_ g x



1.3



ardışık tekrar bağıntısıyla bir xx₀ noktasından başlayarak f x 

_{ }

0 denkleminin kökleri bulunabilir





.

Basit iterasyonda yakınsama mertebesi

0, ,1 2,...

x x x dizisi bir  sayısına yakınsak ve n xn olsun.

1 lim n _p n n c     

olacak şekilde bir p sayısı ve sıfırdan farklı bir c sabiti varsa p sayısına dizinin “yakınsaklık mertebesi” ve c sabitine “asimtotik hata sabiti” denir.

 

xg x fonksiyonun gerçek kökü  ise bu durumda  g

_{ }

 eşitliği sağlanır.



n 1 .



iterasyon sonundaki hatayı,

1 1

n xn

    

ile gösterelim. x_n_₁ g x

_{ }

_n ardışık tekrar bağıntısı ve ortalama değer teoremi kullanılarak,

 

'

 

1 1

n xn g g xn g n n

         

(14)

lim _n nx  olduğundan

 

' ' lim _n ng  g 

olur. Böylece n yeterince büyük olmak üzere

 

' 1

n g n

 _   



1.4



yazılabilir. Bu ise

_

n 1 .

_

iterasyon hatasının n iterasyon hatasına bağlı olduğunu . gösterir. '

_{ }

g x in mutlak değerce sıfıra çok yakın olması yakınsamanın çok hızlı olmasını sağlar.



1.4



denklemi

 

1 ' lim n n n g      

şeklinde yazılırsa yöntemin yakınsaklık mertebesinin bir olduğunu görülebilir





.

(15)

2. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN BASİT KÖKÜNÜN BULUNMASINDA KULLANILAN BAZI METOTLAR 2.1. Yarılama Metodu

Bu metot bir fonksiyonun köklerinin bulunmasında kullanılan en basit iteratif yöntemlerden birisidir. y f x

 

fonksiyonunu göz önüne alırsak, amacımız y ‘yi sıfır yapan x değerlerini bulmaktır. Bu metodu kullanmak için,

   

0 f a f b 

olacak şekilde herhangi a ve b noktaları seçilmelidir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta



a b,



aralığında fonksiyonun sürekli olması gerektiğidir.

Anlaşıldığı üzere fonksiyon a ‘ da negatif, b ‘ de pozitif ve



a b,



aralığında süreklidir. Böylece



a b,



aralığında en az bir kök bulunmaktadır. Buradan yeni bir kök yaklaşımı olarak,

1

2 a b

x  

yazılabilir. Böylece yeni kök yaklaşımını bulmak için a ve x değerleri kullanılır. ₁

Bu işlemler f x 

_{ }

0 oluncaya kadar devam ettirilir. Bu yöntemin yakınsaklık hızı çok yavaştır. İstenen doğrulukta bir kök bu yöntemle bulunabilir, fakat diğer metotlarla karşılaştırıldığında yarılama metodu daha yavaş yakınsar. Yakınsaklık hızını incelemek için x , _k k. iterasyon sonucundaki kök olsun. Böylece asıl kök,

lim _k k x x   dir ve



1 / 2

 

k



k xx  b a

olduğunu görmek kolaydır. Böylece yarılama metodunun yakınsama oranının



1 / 2



k olduğu görülür





.

2.2. Regula Falsi Metodu

Temel olarak yarılama metoduna bağlı olsa da bu yöntem daha hızlı yakınsar. Regula-Falsi metodunun uygulanabilmesi için de yarılama metodunda olduğu gibi zıt işaretli fonksiyon değerlerine sahip iki başlangıç noktası gerekmektedir.

(16)

   

0 f a f b 

olacak şekilde A a f a



,

 



ve B b f b noktalarını seçelim.



,

 





AB



doğru parçasının x eksenini kestiği nokta bizim ilk x kök yaklaşımımız seçilirse ₀

 

0 0

y x  yazılabilir. Bir noktası



x₀, 0



ve eğimi m f b

 

f a

 

b a    olan doğru denklemi yazılırsa

 



o



f b f a f a x a b a      elde edilir ve buradan

 

0 af b bf a x b a   



2.1



bulunur. Böylece ilk kök yaklaşımı elde edilmiş olur. Yeni iterasyon için kökün bulunduğu aralığın bilinmesi gerekmektedir. Eğer f a f b 

_{   }

0 ise kök



a x, ₀



aralığında olur ve



2.1



iterasyon formülünde b yerine x alınarak tekrar uygulanır. ₀

Aksi taktirde f x

_{   }

₀ f b 0 olacağından kök



x b₀,



aralığında olmalıdır ve

_

2.1

_

denkleminde a yerine x alınarak iterasyona devam edilir. Böylece yaklaşık köke ₀

ulaşılır





. 2.3. Newton- Raphson Metodu

 

0 f x 

denkleminin bir kökünün yaklaşık değerini bulmak için kullanılan yöntemlerden birisidir. f x

 

sürekli ve türetilebilen fonksiyonunun bilinen yaklaşık bir kökü x _n

olsun. f x

_

_nh

_

fonksiyonu x civarında ikinci mertebeye kadar Taylor serisine _n

açılırsa,





 





2 ' '' , 2 n n n n n n h f x h  f x hf x  f   x x h

yazılabilir. x_nhx_n_₁ değerinin gerçek köke çok yakın olduğu yani f x

_

_nh

_

‘ ın hemen hemen sıfır olduğu düşünülürse,

 





2 ' '' 0 , 2 n n n n n h f x hf x f   x x h     



2.2



(17)

yazılır. Şayet h yeterince küçük ise h ‘ yi içeren terim ve sonraki terimler ihmal 2 edilebilir. Böylece

 

'

 

0 n n f x hf x  veya

 

' n n f x h f x   , f'

 

x_n 0

olarak elde edilir. Eğer, hx_n_₁x_n olduğu göz önüne alınırsa,

 

' 1 ' 0 n n n n n f x x x f x f x    



2.3



iterasyon denklemine ulaşılır. Bu ise Newton-Raphson formülüdür

_

_

.

Newton- Raphson yöntemi geometrik olarak incelenecek olursa f x 

 

0 fonksiyonunun başlangıç kökü x olmak üzere fonksiyonun ₀



x0,f x

 

0



noktasındaki teğetinin denklemi

 

'

 



0 0 0

y f x  f x xx

olarak yazılabilir. Bu teğetin x eksenini kestiği nokta ilk kök yaklaşımı olur ve

 

0 1 0 ' 0 f x x x f x  

elde edilir. Bu şekilde ardışık yaklaşımlar kullanılarak gerçek kök  ‘ ya ulaşılır.

2.3.1. Newton- Raphson yönteminin yakınsaklık mertebesi

 

f x fonksiyonunun gerçek kökünün x_nh olduğu göz önüne alınarak



2.2



denklemi,

  

  





 

2 ' '' 0 2 n n n n n x f x  x f x   f     



2.4



şeklinde yazılabilir. Burada  sayısı,  sayısı ile x arasındadır. n f

 

 0

(18)

 





 

2 _'' ' ' 2 n n n n n n f x x f x f x f x       



2.5



şeklinde yazılır.

_

2.3

_

denklemi kullanılarak ve hata teriminin _n x_n olduğu göz önüne alınarak gerekli düzenlemeler yapılırsa

_

2.5

_

denklemi

 

'' 2 1 ' , 0 2 n n n n f n f x       

şeklinde ifade edilebilir. Bu ise

_

n 1 .

_

terim hatasının n. terim hatasına “kuadratik” olarak bağlı olduğunu gösterir.

n   iken '

_{ }

'

_{ }

n f x  f  ve ''

_{ }

''

_{ }

n f   f  olacağından

 

'' 1 2 ' lim n n n f f       

yazılabilir. Böylece Newton yönteminin yakınsaklık mertebesinin “2 “ olduğu görülmüş olur





.

2.4. Chebyshev-Halley Metodu Chebyshev-Halley metodu,

 

   

 





'' 2 ' n n f n n f x f x L x f x 

_

2.6

_

olmak üzere

 

1 ' 1 1 2 1 n f n n n f n n L x f x x x L x f x      _  _   



2.7



ile ifade edilmiştir.

_

Gutierrez ve Hernandez,1997

_

. Bu aileyse üçüncü mertebe yakınsak olup (İlerleyen sayfalarda gösterilecektir.) ,   iken klasik Chebyshev 0 metodu, 1

2

  iken Halley metodu,   iken Super- Halley metodu 1



Gutierrez ve Hernandez, 2001



isimlerinde bazı özel durumlara sahiptir. 2.5. Halley Metodu

 

   

 





'' 2 ' n n f n n f x f x L x f x 

(19)

olmak üzere

 

1 1 ' 2 n f n n n f n n L x f x x x L x f x     _  _   

ile ifade edilmiştir. 2.6. Chebyshev Metodu

 

   

 





'' 2 ' n n f n n f x f x L x f x  olmak üzere

 

1 1 ' 2 n f n n n n L x f x x x f x         

(20)

3. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN BASİT KÖKÜNÜN BULUNMASINDA İKİNCİ TÜREVDEN BAĞIMSIZ BAZI METOTLAR 3.1. İkinci Türevden Bağımsız Chebyshev-Halley Metodunun Gelişimi ve Yakınsaklık Analizleri

Cheyshev-Halley metodu ikinci mertebe türevlere dayanmaktadır ve ancak ikinci mertebe türevlerin hesabı zor olmadığında etkili olabilmektedir. Buna karşın bazı durumlarda ikinci mertebe türevlerin hesabı çok zor yapılmaktadır. Bu çalışmada Chebyshev-Halley metodunu ikinci mertebe türevden bağımsız inceleyeceğiz.

_

2.6

_

eşitliğindeki ikinci türevi elimine etmek için ikinci türev ile fonksiyon ve birinci türevin değerlerini değiştirerek metodun ikinci türevden bağımsız yeni bir ailesi şu şekilde verilmiştir.

Chebyshev-Halley metodu,

 

   

 





'' 2 ' n n f n n f x f x L x f x 

_

3.1

_

olmak üzere

 

1 ' 1 1 2 1 n f n n n f n n L x f x x x L x f x      _  _   

_

3.2

_

eşitliği ile ifade edilmekte olup,

 

3 2

f x g x ax bx cxd



3.3



yaklaşımını göz önüne alınmıştır

_

Chun, 2007

_

.

 

' n n n n f x y x f x  

_

3.4

_

olmak üzere

 

' ' ' ' , n n n n f x g x f y g y

_

3.5

_

şartları sağlansın. Bu şartlara bağlı olarak b değerini tanımlarsak

 









' ' 3 2 2 n n n n n n f y f x a b y x y x     



3.6



ve

 

' ' '' '' 6 2 n n 3 ( ) n n n n n n n f y f x f x g x ax b a y x y x        



3.7



(21)

olur.(3.7) eşitliği (3.1) de ve buradan elde edilen L_f

_{ }

x_n değeri (3.2) de yerine yazılırsa

 





 

3 3 2 ' ' 2 2 1 ' ' ' 2 ' 1 1 2 1 n n n n n n n n n n n n f x f y f x f x f x x x f x f x f y f x f x       _ _            

_

3.8

_

bulunur ki 3 ;a   ve y n



3.4



te tanımlandığı gibidir. Böylece ikinci türevden

bağımsız Chebyshev-Halley metodu elde edilmiş olur.

_

3.8

_

ile verilen metoda ait bir teorem ve ispatı Chun tarafından şu şekilde verilmiştir.

Teorem 3.1.

_

Chun, 2007

_

 bir açık aralık olmak üzere f    : diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve  , f in bir sıfırlayanı



 



olsun. Eğer

0

x , ya yeterince yakınsa, bu taktirde



3.8



ile verilen metot     için üçüncü , mertebe yakınsaktır ve aşağıdaki hata denklemi yazılabilir





 

2 3 4 1 3 2 ' 1 1 2 1 2 2 n n n e c c e O e f       _    _   

_

3.9

_

( Burada e_n x_n ve  

 

' ! k k f c k f    dir. )

İspat.



Chun, 2007



, f fonksiyonunun bir sıfırlayanı olsun.x_n  civarında

 

0

f   olmak üzere Taylor açılımını ele alınırsa,

 

'

 

2

_{ }

3 2 n n n n f x _ f  e _c e _O e   



3.10



 

' ' 2 3 2 3 1 2 3 n n n n f x  f    c e  c e O e   



3.11



olur. e_n x_n  ve  

 

' ! k k f c k f  

 , k 1, 2,... olmak üzere basit bir hesaplama ile aşağıdaki eşitlikleri elde edilir.

 

2

 

2 ' 2 3 , n n n f x  f  e O e



3.12



 





 

2 2 ' ' 2 2 3 2 2 3 1 4 4 6 , n n n n f x _ f   _ c e _ c _ c e _O e   



3.13



 

_

_

_{ }

3 3 ' ' 2 2 3 2 2 3 1 6 12 9 , n n n n f x  f  _  c e  c  c e O e _



3.14



(22)

 





 

2 2 3 4 2 2 3 ' 2 , n n n n n n f x e c e c c e O e f x     



3.15



 





 

2 2 3 4 2 2 3 ' 2 . n n n n n n n f x y x c e c c e O e f x        

_

3.16

_

Buradan,

 

 







2



 

' ' '' ' 2 2 3 2 1 2 n n n n n f y _ f  _ f  y _ _O y _ _ f   _ c e _O e   



3.17





3.12 , 3.13 , 3.14

 



ve

_

3.17

_

eşitliklerinden

 





 



 

3 2 2 ' ' ' 2 ' 2 ' 2 3 2 2 3 ' 2 6 3 n n n n n n n f x f y f x f x c f e c c f e O e f            



3.18



ve





 

  

  

 

3 2 2 ' ' ' 2 ' ' 2 2 ' 1 6 2 n n n n n n f x f y f x f x f f c e O e f              

_

3.19

_

ve buradan da

 





 





 

3 2 3 2 ' ' ' 2 2 2 3 2 ' 3 2 ' ' ' 2 2 3 6 4 1 n n n n n n n n n n n f x f y f x f x c e c c e O e f f x f y f x f x             _     _     _ _

_

3.20

_

elde edilir. Ardından



3.15



ve



3.20



eşitlikleri kullanılarak

 





 





 

3 2 3 2 ' ' ' 2 1 ' ' ' 2 ' 2 3 4 3 2 ' 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 n n n n n n n n n n n n n n f x f y f x f x f x x x f x f x f y f x f x c c e O e f           _ _                _    _   

_

3.21

_

elde edilir.e_n₁ x_n₁ olduğu için



3.8



ile tanımlanan metot üçüncü mertebe

yakınsaklığa sahiptir. Böylece ispat tamamlanır.

(23)

Eğer   ise, bu taktirde 0   vey n



3.4



te tanımlandığı gibi olmak

üzere,



3.21



denkleminden Chebyshev metodunun aşağıda verilen üçüncü mertebe ailesinin yeni bir parametresi elde edilir,

 

3 ' 2 1 ' ' ' 1 3 2 n n n n n n n n f y f x f x x x f x  f x f x             



3.22



Bu aile bazı özel durumlar içerir. Bunlar,

0   için,

 

' 1 ' ' 1 3 2 n n n n n n f y f x x x f x f x      _  _    

_

3.23

_

1   için,

 

3 ' 2 1 ' ' ' 1 3 2 n n n n n n n n f y f x f x x x f x f x f x             



3.24



1    için,

 

3 ' 2 1 ' ' ' 1 3 2 n n n n n n n n f y f x f x x x f x f x f x             



3.25



dir. Eğer 1 2

  ise, bu taktirde   ve y _n



3.4



te tanımlandığı gibi olmak üzere ,



3.21



denkleminden aşağıda verilen Halley metodunun üçüncü mertebe ailesinin yeni bir parametresi elde edilir

 

2 3 2 ' 1 _' _' _' ₂ 2 _n _n n n n n n n f x f x x x f x f y f x f x     



3.26





3.26



ile verilen aile bazı özel durumlar içerir. Bunlar, 0

  için aşağıda verilen Weerakoon ve Fernando metodu



Weerakoon ve Fernando, 2000



elde edilir,

 

1 ' ' 2 _n n n n n f x x x f x f y    



3.27



1   için,

(24)

 

2 3 2 ' 1 _' _' _' ₂ 2 _n _n n n n n n n f x f x x x f x f y f x f x     



3.28



1    için,

 

2 3 2 ' 1 _' _' _' ₂ 2 n n n n n n n n f x f x x x f x f y f x f x     



3.29



Eğer   ise, bu taktirde 1   ve y _n

_

3.4

_

te tanımlandığı gibi olmak üzere,

_

3.21

_

denkleminden aşağıda verilen Super-Halley metodunun üçüncü mertebe ailesinin yeni bir parametresi elde edilir.

 

3 2 ' 1 ' ' 2 ' 1 1 2 n n n n n n n n f x f x x x f x f y f x f x          _   

_

3.30

_



3.30



ile verilen aile bazı özel durumlar içerir. Bunlar,

0

 için aşağıda verilen Homeier metodu

_

Homeier, 2005

_

elde edilir,

 

' 1 ' ' 1 1 2 n n n n n n f x f x x x f y f x      _  _    

_

3.31

_

1   için,

 

3 2 ' 1 _' _' ₂ ' 1 1 2 n n n n n n n n f x f x x x f x f y f x f x          _   

_

3.32

_

1    için,

 

3 2 ' 1 ' ' 2 ' 1 1 2 n n n n n n n n f x f x x x f x f y f x f x          _   



3.33



şeklindedir.

Chebyshev-Halley Metodunun bir diğer gelişimi ise

_

Xiaojian, 2008

_

,



3.1



denklemindeki f''

 

x_n e bir yaklaşım türetmek için f x 

 

0 denkleminin



x_n, f x

_{ }

_n



noktası etrafında hiperbole yaklaştırmak için

0 axy y bx c  ele alınsın.

 

'

 

'

   









, , n n n n n n n y x  f x y x  f x y x  y w  f w



3.34



teğetlik koşullarını göz önüne alalım. Burada x , n. iterasyon ve _n

(25)

 

' n n n n f x w x f x  

_

3.35

_

dir.

Teğetlik koşulları kullanılarak

  



 

   

  



' 2 ' n n n n n n n n f x f w a f x x f x f w f x f w    



3.36



olup

 

   

 

   

2 ' ' '' '' 2 2 2 1 n n n n n n n n n af x f x f w f x y x ax f x f x f w      



3.37



elde edilir.



3.37



yi kullanılarak

 

   

 

2 '' ' 2 n n n f n n n n f x f x f w L x f x f w f x   



3.38



elde edilir.

_

3.38

_

i

_

3.2

_

de yerine yazılırsa ikinci türevden bağımsız yeni bir

Chebyshev-Halley metodu ailesi

 





  

  

 

1 ' 2 1 2 n n n n n n n n f x f w f x x x f x f w f x        



3.39



elde edilir. Burada    ve w , n



3.35



te tanımlandığı gibi olup  nın en iyi

seçimi aşağıdaki teoremde gösterilmiştir.

Teorem 3.2.



Xiaojian, 2008



x  , yeterli derecede diferansiyellenebilir :

f D   nin basit kökü olsun. Eğer x ,₀ x na yeteri kadar yakınsa

_

3.39

_

de belirtilen metotlar herhangi bir sonlu  için üçüncü mertebe veya 1

2   için dördüncü mertebedendir. İspat.



Xiaojian, 2008



 

' 1 ! k k f x c k f x    , k 2,3,... ve e_n x_nx alalım. f yeterli

derecede diferansiyellenebilir olduğundan f x

 

n ve

 

'

n

f x fonksiyonlarını x

da genişleterek aşağıdaki eşitlik elde edilir.

 

'

 

2 3 4



2 3 4 ...

n n n n n

f x  f x e c e c e c e 



3.40



ve

(26)

 

 



' ' 2 3 2 3 4 1 2 3 4 ... n n n n f x  f x  c e  c e  c e 

_

3.41

_

 









2 2 3 3 4 2 2 3 2 3 2 4 ' 2 7 4 3 ... n n n n n n f x e c e c c e c c c c e f x        



3.42



Böylece

 









2 2 3 3 4 2 2 3 2 3 2 4 ' 2 7 4 3 ... n n n n n n n f x w x x c e c c e c c c c e f x           

_

3.43

_



n



f w i x civarında genişleterek ve



3.43



den

f w



_n



 f'

 

x



c e₂ _n22



c₂2c e₃



_n3



7c c_{2 3}4c₂33c e₄



_n4...





3.44





3.40 , 3.41 , 3.44

 



yi



3.1



de yerine yazılarak,





2 3

_

2

_

3





4

_{ }

5 1 2 1 2 4 10 3 2 8 3 2 3 n n n n e    c e _    c   c c _e O e



3.45



elde edilir. Bu şu anlama gelir ki

_

3.39

_

de tanımlanan metotlar herhangi bir  için

en az üçüncü mertebedendir. 2   1 0

ise

_

3.39

_

ile tanımlanan metotlar 1 2

  olduğunda dördüncü mertebedendir.

Şimdi bu metotların performansını daha iyi görebilmek için bazı sayısal örnekler verelim.

3.1.1. Sayısal örnekler

Aşağıdaki çizelgede f x

_{ }

x3 x 3 fonksiyonunun basit kökünün bulunmasında üç metot kullanılmıştır ve metotlar birbirleriyle karşılaştırılmıştır. Bu metotlar bilinen Newton metodu ve ikinci bölümdeki

_

3.2

_

eşitliğinin özel halleri olan klasik Chebyshev metodu ile Halley metotlarıdır. Öncelikle bu metotları hatırlatıp daha sonra Çizelge 3.1. deki değerleri inceleyelim.

 

1 ' n n n n f x x x f x    ( Newton metodu )

   

 

2 '' 1 1 ' ' 2 n n n n n n n f x f x f x x x f x f x           

(27)

   

 

   

 

2 '' 1 1 ' '' ' 2 n n n n n n n n n f x f x f x x x f x f x f x f x         _    ( Halley metodu)

Çizelge 3.1. f x

_{ }

fonksiyonunun basit kökünün bulunmasında çeşitli metotlar

 

3

2 f x x  x

Devir Newton metodu Klasik Chebyshev

metodu Halley metodu

 

0 0 0 0

 

1 2 2 2

 

2 1.384 1.209 1.140

 

3 1.082 1.005 1.000000023

 

4 1.004 1.000000108

 

5 1.00001196

Çizelge 3.1. de sunulan sonuçlar ₁₀8_{dijit kullanılarak diğer iki metodun}

Newton metodu ile neredeyse aynı performansı gösterdiğini ve hatta Newton metodundan daha hızlı yakınsadığını göstermektedir. Şimdi, bu durumun daha iyi görülebilmesi için 2.bölümde verilen, üçüncü mertebe yakınsak olan diğer metotları da ele alarak ayrıntılı bir çizelge sunalım. Çizelge 3.2. Newton metodu (NM),

_

3.27

_

ile verilen Weerakoon ve Fernando metodu (WFM),

_

3.31

_

ile verilen Homeier metodu (HM),

_

3.23

_

ile verilen metot (M1),

_

3.28

_

ile verilen metot (M2),

_

3.33

_

ile verilen metotlarla (M3) mukayese edilecektir.

Çizelge 3.2. de kullanılan fonksiyonlar:

 

3 2 1 4 10 f x x  x 

 

2 2 2 sin 1 f x  xx 

(28)

 

2 3 3 2 x f x x e  x

 

2 4 2 5 2 2 cos sin 6 cos sin 3cos 5 sin 28 x x x x f x x x f x xe x x f x x x e         

Çizelge 3.2. Çeşitli metotların yakınsaklık yönünden karşılaştırılması

 

f x NM HM WFM M1 M2 M3 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 8 8 6 7 8 8 14 5 5 4 5 5 5 9 5 5 4 5 6 5 10 6 6 4 5 6 6 10 5 6 5 6 6 5 10 5 5 5 6 5 5 9

Çizelge 3.1. de olduğu gibi Çizelge 3.2. de de verilen tüm metotların Newton metodundan daha hızlı yakınsadığı görülmektedir.

3.2. İkinci Türevden Bağımsız Chebyshev Metodu Chebyshev metodu üçüncü mertebe yakınsak olup,

   

 

'' 1 _' 2 ' 1 1 2 n n n n n n n f x f x f x x x f x f x            



3.46



eşitliği ile verilir

_

Kou ve Li, 2007

_

. Fakat, görüldüğü gibi Chebyshev metodu da ikinci mertebe türeve dayanmaktadır ve metodun uygulanışı kısıtlanmaktadır. Böyle hallerde lineer olmayan denklemlerde, yüksek hesaplama etkinliğinden dolayı Newton metodu daha çok tercih edilmektedir. Bundan dolayı, ikinci türevden bağımsız bir iteratif metotlar ailesi geliştirilmiş ve

 

' ' '' n n n n n f y f x f x y x    olmak üzere

(29)

 

' ' 1 ' ' 1 1 2 n n n n n n n f y f x f x x x f x f x       _  _  

_

3.47

_

eşitliği ile verilmiştir. Öyle ki burada  ,  0 ve

 

' n n n n f x y x f x    dir. Bu aile, kübik olarak yakınsamasına rağmen ikinci mertebe türevlere gerek duymadığından son derece önemli ve ilginçtir.

Şimdi, Chebyshev metoduna faklı bir yaklaşımla bakıp modifiye edilmiş Chebyshev metodunun ikinci türevden bağımsız bir ailesinin elde edilişini vereceğiz. Yakınsaklık analizleri, bu metotlar ailesinin basit kök civarında kübik olarak yakınsadığını göstermektedir. Her iterasyonda bu metotlar, fonksiyonun iki adet değerlendirilmesini ve bir adet birinci türevini gerektirmektedir. Buradaki yakınsaklık aynı zamanda çok katlı kökler için de düşünülmüştür.

3.2.1. Metotlar

 , sıfırdan farklı reel bir parametre olmak üzere

 

' n n n n f x y x f x   

olsun. x civarında _n f y

 

_n in Taylor açılımını yazılırsa,

 

'

 



1 ''

 



2 2 n n n n n n n n f y  f x  f x y x  f x y x



3.48



öyle ki

  

  

   

 

2 2 2 ' '' 1 1 2 n n n n n f x f x f y f x f x     

_

3.49

_

dir. Buradan,

   

 

  

  

 

2 2 2 ' '' 1 1 2 n n n n n n f x f x f y f x f x f x     



3.50



yazılır.



3.50



eşitliğini



3.47



de yerine yazılırsa

 





 

2 1 2 ' 1 n n n n n f y f x x x f x         

_

3.51

_

(30)

eşitliği elde edilmiş olur. Bu eşitlikte  ,  0 ve

 

' n n n n f x y x f x    dir.

_

3.51

_

eşitliği ile verilen aile üçüncü mertebe yakınsaktır. ( Daha sonra ispatlanacaktır. )



3.51



eşitliğindeki  parametresine farklı değerler verildiğinde, Chebyshev

metodunun bir ailesini elde ederiz. Bu aile bazı özel haller için aşağıdaki gibi verilmiştir:

1.  1 için, üçüncü mertebe bir metot:

 

' 1 ' n n n n n n n f x f x f x f x x x f x             



3.52



2. 5 1 2

   için, yeni bir üçüncü mertebe metot:





 

' 1 ' 5 1 2 3 5 2 n n n n n n f x f x f x x x f x   _   _         _     



3.53



3.   1 için, bir başka üçüncü mertebe metot:

 

' 1 ' n n n n n n n f x f x f x f x x x f x             



3.54



4. Son olarak   2 için,

 

' 1 ' 2 4 n n n n n n n f x f x f x f x x x f x             

_

3.55

_

elde edilir.

Görüyoruz ki



3.51



eşitliğinden, sadece bilinen bazı üçüncü mertebe metotlar yeniden keşfedilmekle kalmadı, aynı zamanda ikinci mertebe türevden bağımsız yeni üçüncü mertebe metotlar, bu metotları

_

3.52

_{ }

 3.55

_

eşitliklerinde verilmiş, türetilebilmiştir.

(31)

3.2.2. Yakınsaklık analizi

Teorem 3.3.



Kou ve Li, 2007



Farz edelim ki f D :  fonksiyonu, D bir açık aralık olmak üzere, x*D basit köküne sahip olsun. Eğer f x

_{ }

, x* civarında yeterince yakın ise,

_

3.51

_

eşitliği ile verilen metotların yakınsaklık mertebesi üçtür. İspat.



Kou ve Li, 2007



* n n e x x ve

 

' n n n n f x y x f x    olmak üzere * n n d  y x olsun.

Taylor açılımı ve f x



*



0 olduğunu göz önüne alırsak

 

* ' * 1 2,3,... ! k k f x c k k f x   _ _    olmak üzere,

 

'

 

* 2 3

 

4 2 3 n n n n n f x  f x _e c e c e O e _

_

3.56

_

 

' ' * 2 3 2 3 1 2 3 n n n n f x  f x _  c e  c e O e _



3.57



elde edilir. Eşitlikleri birbirine bölerek,

 





 

2 2 3 4 2 2 3 ' 2 n n n n n n f x e c e c c e O e f x     



3.58



ve buradan

 









 

2 2 3 4 2 2 3 ' 1 2 n n n n n n n n f x d e e c e c c e O e f x            

_

3.59

_

elde edilir. Yine _{x civarında}*

 

n

f y fonksiyonuna Taylor açılımı uygulanırsa,

 

'

 

* 2 3

 

4 2 3 n n n n n f y  f x _d c d c d O d _ ve

_

3.59

_

eşitliği yardımıyla

 

'

 

*







2



2



2 2



3 2



3

 

4 2 2 3 1 1 2 3 1 n n n n n f y  f x   e     c e   c      c e O e   



3.60



buradan



3.56



ve



3.60



eşitliklerinden,

 



2



 

2 '

 

* 2



2





3

 

4 2 2 3 1 2 2 4 n n n n n n f y     f x  f x _e  c e  c   c e O e _



3.61





3.57



ve



3.60



eşitliklerinden,

(32)

 





 





 

2 2 3 4 2 3 2 1 2 1 ' n n n n n n f y f x e c c e O e f x           _   _ 



3.62



elde edilir.

Önce

_

3.51

_

ve daha sonra

_

3.62

_

den

 





 

2 1 2 ' 1 n n n n n f y f x e e f x         





 

2 3 4 1 2 2 1 3 n n n e   c   c e O e



3.63



bulunur ki, bu

_

3.51

_

eşitliği ile verilen metotların sıfırdan farklı reel sayı 

civarında üçüncü mertebe yakınsak olduğunu gösterir. 3.3. İkinci Türevden Bağımsız Chebyshev- tip Metotlar

Chebyshev metodu daha önce de gösterdiğimiz gibi şu şekilde verilir,

   

 

2 '' 1 ' ' 1 1 2 n n n n n n n f x f x f x x x f x f x           

_

3.64

_

Bu metodun uygulanabilirliğini artırmak için metottaki ''

_{ }

n f x ,

 

' n n n n f x y x f x  

_

3.65

_

olmak üzere





 





' 1 ' 2 1 2 n n n n n f x y f x y x         

şeklinde birinci türevlerle yer değiştirilecek olursa,

 

' ' ' 1 ' ' 1 2 1 n n n n n n n n n f x f x f x f x f x x x f x f x                 _  _      



3.66



ikinci türevden bağımsız Chebyshev metodu elde edilmiş olur



Hernandez, 2000



. 3.3.1. İkinci türevden bağımsız Chebyshev tip metotların yeni bir ailesi

 

''

n f x i,