Kartezyen çarpım : İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir.
Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise
AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.
BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} şeklinde yazılır. Örnekte görüldüğü gibi
( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ). Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6
Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman
sayılarının çarpımına eşittir.
Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ).
( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ) s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )
Bağıntı : Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eğer bağıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o
bağıntıya A’dan B’ye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır.
“n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2n
olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2s(A)s(B) ‘ dir.
Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı şekilde B’den
A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 220 ‘dir.
Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir bağıntı tanımlayalım :
: A B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım kümesi A,
değer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir.
NOT : : A B ( A’dan B’ye bir bağıntıdır diye okunur) C = (A) = { (1), (2), (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı
anlama gelmeyebilir.
Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A’ dan A’ya yazılabilecek bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ?
Çözüm : s(AxA) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı
olur.
Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan
={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)}bağıntısını grafik ile gösteriniz : Çözüm :
Bağıntıların özellikleri :
1. Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde
tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.
2. Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.
3. Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.
4. Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa
geçişkendir.
Bağıntı çeşitleri :
1. Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik
bağıntısı denir.
2. Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya sıralama bağıntısı denir.
Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediğinden ters simetrik,
(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.
Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır. Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiğinden simetrik, (2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.
Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır. Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir. = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini
Çözüm :
Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.
Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama bağıntısıdır.
Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.
Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ;
aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiği için ters simetrik değil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadığından dolayı da geçişken değildir.
Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.
Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ve (4,4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ;fakat simetrik ve geçişkendir.
: A ® A ve s(A) = n olmak üzere
Tanımlanabilen bağıntı sayısı ;
Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı ;
Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı ‘ dir.
Fonksiyon :
Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer
kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için :
1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;
2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.
f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2 elemanının 1’den fazla değeri olduğu için fonksiyon
Tanım kümesinde açıkta eleman
kaldığı için fonksiyon değildir.
f(2) = tanımsız.
Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur.
A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A)
ile hesaplanır.
A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A B şeklinde gösterilebilir.
x A ve y B olmak üzere f : x y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.
Örnek 11: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun :
Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.
Örnek 12: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :
Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :
f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan f (A) = {3,4,5} olur.
Örnek 13: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve
grafik yöntemiyle gösterelim: Çözüm : f(-1) = 2 ;
f (0) = 1 ; f( 1) = 2 ;
f( 2) = 5 olduğuna göre : f(A) = {1,2,5} olur.
Örnek 14 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :
Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin
elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen
Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 } Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 } Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }
Örnek 15 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :
Çözüm : Tanım kümesi = [-1,7] ; Değer kümesi = [-5,8] ;
Görüntü kümesi = [-5,8] .
Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.
Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.
Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların
herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.
Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.
Örnek 17: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?
Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir.
Aynı zamanda [-4, ) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu
Fonksiyon Türleri : İçine fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım
kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir. Örnek 18 :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi ,
değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 19 :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 20 :
Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 21 :
Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 22:
Örnek 23 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.
Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki
değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.
x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.
Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.
Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı
zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.
Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.
Örnek 28 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?
Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu
nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.
s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere : 1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;
2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;
Örnek 29 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye
tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A)
= 3’tür.
Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da
olur.
Örnek 30 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon
tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?
Örnek 31 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı
tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?
Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.
Permütasyon fonksiyonu : Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon
Örnek 32 :
s(A) = a olmak üzere :
A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.
Örnek 33 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten
fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.
Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan
geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.
Örnek 35 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?
Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi
yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan
Örnek 35 : Aşağıda grafiği verilen f : A B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .
Çözüm : f (1) = 3 ; f (2) = 1 ;
f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu
şeklinde yazılabilir.
Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü :
f (x) ve g (x) fonksiyonları için
h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi
f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim
kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde
yapılacaktır.
Örnek 36 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = 1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.
Çözüm : Tanım kümesi = A B = {-1,2,3} olur. h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan
h (-1) = -3 h ( 2) = 12
h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur.
Örnek 37 : f : A B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve g : C D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre
h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz . Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir. h (1) = 5f (1) = 10 ;
h (2) = 5f (2) = 15 ;
h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.
Bir Fonksiyonun Tersi :
f:A B, f = {(x,y)| x y B} bire bir örten fonksiyon olmak üzere ,
f -1:B A, f -1 = {(y,x)| (x,y) f } fonksiyonunda f’nin ters
fonksiyonu denir.
(X,Y) f (y,x) f -1 olduğu için, y = f(x) x = f -1 (y) dir.
UYARI :
f, A dan B ye bire bir ve örten bir fonksiyon değilse f -1, B den A
ya bir fonksiyon olmayıp bir bağıntıdır.
Örnek 38 :A = {a,b,c} dan B = {1,2,3} ye f = {(a,2),(b,3),(c,3)} fonksiyonunun tersi olup olmadığını araştıralım.
Çözüm :
Ters Fonksiyonunun Bulunması :
y = f(x) x = f -1 (y) olduğundan f -1 i bulmak için x,y cinsinden
bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir. Örnek 39:
f :R R, f(x) Olduğuna göre f -1 i bulalım.
F(x) y x + 2 = 4y x = 4y - 2 x f -1 (x) olur. f: |R |R f: x y f(x) =y f -1(y) = x
Bileşke Fonksiyon:
f:A B, g:B C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C Kümesinin
elemanlarına eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.
SORU 1:
SORU 2: