Tam metin

(1)
(2)

Kartezyen çarpım : İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir.

Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise

AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.

BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} şeklinde yazılır. Örnekte görüldüğü gibi

( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ). Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6

(3)

Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman

sayılarının çarpımına eşittir.

Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ).

( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ) s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )

Bağıntı : Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eğer bağıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o

bağıntıya A’dan B’ye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır.

(4)

“n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2n

olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2s(A)s(B) ‘ dir.

Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı şekilde B’den

A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 220 ‘dir.

Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir bağıntı tanımlayalım :

(5)

 : A  B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım kümesi A,

değer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir.

NOT :  : A  B ( A’dan B’ye bir bağıntıdır diye okunur) C =  (A) = { (1), (2), (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı

anlama gelmeyebilir.

Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A’ dan A’ya yazılabilecek bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ?

Çözüm : s(AxA) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı

(6)

olur.

Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan

 ={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)}bağıntısını grafik ile gösteriniz : Çözüm :

Bağıntıların özellikleri :

1. Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde

tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.

(7)

2. Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.

3. Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.

4. Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa

geçişkendir.

Bağıntı çeşitleri :

1. Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik

bağıntısı denir.

2. Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya sıralama bağıntısı denir.

(8)

Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,

(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediğinden ters simetrik,

(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.

Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır. Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

(9)

Çözüm :

A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,

(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiğinden simetrik, (2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.

Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır. Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan  = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.  = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini

(10)

Çözüm :

Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.

Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama bağıntısıdır.

Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.

Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan  = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

(3,3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ;

(11)

aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiği için ters simetrik değil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadığından dolayı da geçişken değildir.

Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.

Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan  = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

(3,3) ve (4,4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ;fakat simetrik ve geçişkendir.

(12)

 : A ® A ve s(A) = n olmak üzere

Tanımlanabilen bağıntı sayısı ;

Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı ;

Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı ‘ dir.

Fonksiyon :

Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer

kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:

(13)

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için :

1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;

2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.

f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2 elemanının 1’den fazla değeri olduğu için fonksiyon

(14)

Tanım kümesinde açıkta eleman

kaldığı için fonksiyon değildir.

f(2) = tanımsız.

Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur.

(15)

A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A)

ile hesaplanır.

A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A  B şeklinde gösterilebilir.

x  A ve y B olmak üzere f : x  y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.

Örnek 11: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun :

Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.

Örnek 12: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :

Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :

(16)

f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan f (A) = {3,4,5} olur.

(17)

Örnek 13: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve

grafik yöntemiyle gösterelim: Çözüm : f(-1) = 2 ;

f (0) = 1 ; f( 1) = 2 ;

f( 2) = 5 olduğuna göre : f(A) = {1,2,5} olur.

(18)

Örnek 14 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin

elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen

(19)

Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 } Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 } Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }

Örnek 15 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

(20)

Çözüm : Tanım kümesi = [-1,7] ; Değer kümesi = [-5,8] ;

Görüntü kümesi = [-5,8] .

Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.

(21)

Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.

Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların

herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.

Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.

Örnek 17: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?

(22)

Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir.

Aynı zamanda [-4, ) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu

(23)

Fonksiyon Türleri : İçine fonksiyon :

Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım

kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir. Örnek 18 :

(24)

Eğer fonksiyonun görüntü kümesi ,

değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 19 :

(25)

Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 20 :

(26)

Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 21 :

(27)

Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 22:

(28)

Örnek 23 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.

(29)

Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki

değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.

x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.

(30)

Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.

(31)

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı

zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.

(32)

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.

(33)

Örnek 28 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?

Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu

nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.

s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere : 1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;

2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;

(34)

Örnek 29 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye

tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?

Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A)

= 3’tür.

Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da

olur.

Örnek 30 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon

tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?

(35)

Örnek 31 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı

tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?

Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.

Permütasyon fonksiyonu : Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon

(36)

Örnek 32 :

s(A) = a olmak üzere :

A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.

(37)

Örnek 33 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten

fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?

Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.

Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.

Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan

geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.

Örnek 35 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?

Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.

Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi

yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan

(38)

Örnek 35 : Aşağıda grafiği verilen f : A  B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .

(39)

Çözüm : f (1) = 3 ; f (2) = 1 ;

f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu

şeklinde yazılabilir.

Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü :

f (x) ve g (x) fonksiyonları için

h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;

h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;

(40)

h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;

h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.

Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi

f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim

kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde

yapılacaktır.

Örnek 36 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = 1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.

(41)

Çözüm : Tanım kümesi = A  B = {-1,2,3} olur. h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan

h (-1) = -3 h ( 2) = 12

h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur.

Örnek 37 : f : A  B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve g : C  D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre

h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz . Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir. h (1) = 5f (1) = 10 ;

h (2) = 5f (2) = 15 ;

h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.

(42)

Bir Fonksiyonun Tersi :

f:A B, f = {(x,y)| x y B} bire bir örten fonksiyon olmak üzere ,

f -1:B A, f -1 = {(y,x)| (x,y)  f } fonksiyonunda f’nin ters

fonksiyonu denir.

(X,Y)  f  (y,x) f -1 olduğu için, y = f(x)  x = f -1 (y) dir.

(43)

UYARI :

f, A dan B ye bire bir ve örten bir fonksiyon değilse f -1, B den A

ya bir fonksiyon olmayıp bir bağıntıdır.

Örnek 38 :A = {a,b,c} dan B = {1,2,3} ye f = {(a,2),(b,3),(c,3)} fonksiyonunun tersi olup olmadığını araştıralım.

Çözüm :

(44)

Ters Fonksiyonunun Bulunması :

y = f(x)  x = f -1 (y) olduğundan f -1 i bulmak için x,y cinsinden

bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir. Örnek 39:

f :R R, f(x) Olduğuna göre f -1 i bulalım.

F(x) y x + 2 = 4y x = 4y - 2 x f -1 (x) olur. f: |R |R f: x y f(x) =y f -1(y) = x

(45)

Bileşke Fonksiyon:

f:A B, g:B C fonksiyonları tanımlansın.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C Kümesinin

elemanlarına eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.

(46)

SORU 1:

(47)

SORU 2:

(48)
(49)
(50)
(51)

Şekil

grafik yöntemiyle gösterelim: Çözüm : f(-1) = 2 ;

grafik yöntemiyle

gösterelim: Çözüm : f(-1) = 2 ; p.17

Referanslar

Updating...

Benzer konular :