Kesikli tesadüfü değişkenlerin sıralı istatistiklerinin sistematik momentleri. / Systematic moments of order statistics of discrete random variables

(1)

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN SĠSTEMATĠK MOMENTLERĠ

Hidayet YALÇIN

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR OCAK–2011

(2)

T.C.

KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI

ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN SĠSTEMATĠK MOMENTLERĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Hidayet YALÇIN

(08121109)

Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Uygulamalı Matematik

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 11 Ocak 2011 OCAK–2011

(3)

T.C.

KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI

ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN SĠSTEMATĠK MOMENTLERĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Hidayet YALÇIN

(08121109)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 11 Ocak 2011 Tezin Savunulduğu Tarih: 27 Ocak 2011

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR (F.Ü) Diğer Jüri Üyeleri: Prof. Dr. Necdet ÇATALBAġ (F.Ü)

Yrd. Doç. Dr. Mahmut IġIK (F.Ü)

(4)

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın planlanmasında ve yürütülmesinde çalışmalarım süresince benden destek ve ilgilerini esirgemeyen bilgi ve hoşgörülerinden yararlandığım değerli hocam sayın Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR’ e en içten teşekkür ve saygılarımı sunarım.

Hidayet YALÇIN ELAZIĞ – 2011

(5)

III ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖNSÖZ...II ĠÇĠNDEKĠLER...III ÖZET...IV SUMMARY...V SEMBOLLER LĠSTESĠ...VI 1. GĠRĠġ...1 1.1. Temel Tanımlar...2 2. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN DAĞILIMLARI...7 3. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN SĠSTEMATĠK

MOMENTLERĠ...15 4. SONUÇLAR...23 KAYNAKLAR...27 ÖZGEÇMĠġ...

(6)

ÖZET

Bu tez, dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık ve dağılım fonksiyonları incelenmiştir.

Üçüncü bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin beklenen değer, varyans ve kovaryansı elde edilmiştir.

Son bölümde, kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin momentleriyle ilgili bazı sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Sıralı İstatistikler, Bağımsız Tesadüfi Değişkenler, Aynı Dağılımlı

Olmayan Tesadüfi Değişkenler, Kesikli Tesadüfi Değişkenler, Dağılım Fonksiyonu, Olasılık Fonksiyonu, Beklenen Değer, Varyans, Kovaryans.

(7)

V

SUMMARY

Systematic Moments of Order Statistics of Discrete Random Variables

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, the fundamental definitions and theorems are given.

In the second chapter, the probability and distribution functions of order statistics of independent and nonidentically distributed discrete random variables are examined.

In the third chapter, the expected value, variance and covariance of order statistics of independent and nonidentically distributed discrete random variables are obtained.

In the last chapter, the some results related to the moments of order statistics of discrete random variables are given.

Key Words: Order statistics, Independent Random Variables, Nonidentically

Distributed Random Variables, Discrete Random Variables,

Distribution Function, Probability Function, Expected Value, Variance, Covariance.

(8)

SEMBOLLER LĠSTESĠ

F : Dağılım fonksiyonu

f : Olasılık yoğunluk fonksiyonu

] ... a a [ 2 1 2 1 i i

: a₁,a₂,... kolon vektörleri olmak üzere, a ’in ₁ i defa, ₁ a ’nin ₂ i defa, … ₂

alınması ile oluşturulan matris

) [ ] A

[ s/ : sN olmak üzere, indisleri s’de olan satırların alınması ile A’dan oluşturulan matris

s

n : s’nin eleman sayısı



P

(9)

1. GĠRĠġ

Sıralı istatistikler, istatistik teorisinde oldukça önemlidir. Çünkü; sıralı istatistiklerin dağılımları, örneklemin alındığı dağılımdan bağımsızdır.

Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları, Khatri [1], tarafından incelenmiştir. Vaughan ve Venables [2], permanent yardımıyla bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını incelemişlerdir. Corley [3], sürekli çok değişkenli tesadüfi değişkenlerin farklı anlamlarda sıralı istatistiklerini tanımlamıştır. Balakrishnan [4], bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistikler için sağlanan bazı bağıntılar elde etmiştir. Bu bağıntılardan bazıları, aynı zamanda bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistikleri için de sağlanmaktadır. Reiss [5], bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılım ve yoğunluk fonksiyonları için birçok bağıntı elde etmiştir. Nagaraja [6,7], bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli bir anakütleden gelen sıralı istatistiklerin temel yapılarını incelemiştir. David [8], Arnold vd. [9] ve Gan ve Bain [10], bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir.

Bu çalışmada; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları ve momentleri farklı şekillerde ifade edilmiştir.

(10)

1.1. Temel Tanımlar

Tanım 1.1.1. Bir tesadüfi değişken, sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta değerler

alabiliyorsa bu tesadüfi değişkene kesikli tesadüfi değişken denir [11].

Tanım 1.1.2. X, kesikli bir tesadüfi değişken olsun.

i. f(x)0,

ii.



( )1.

x x f

koşulları sağlayan f(x)’e X’in olasılık fonksiyonu denir [11].

Tanım 1.1.3. X, olasılık fonksiyonu f olan kesikli tesadüfi değişken olsun. X’in dağılım fonksiyonu,



    x u u f x X P x F( ) ( ) ( ) şeklinde tanımlanır [11].

Tanım 1.1.4. X, olasılık fonksiyonu f(x) olan bir tesadüfi değişken ve Y’de olasılık fonksiyonu f( y) olan bir tesadüfi değişken olsun. Ayrıca, X ve Y’nin bileşik olasılık

fonksiyonu f(x,y) olsun. Eğer,

) ( ) ( ) , (x y f x f y f 

(11)

3

eşitliği sağlanıyorsa X ve Y’ye bağımsız tesadüfi değişkenler denir [11].

Tanım 1.1.5. X1,X2, ... ,X_n tesadüfi değişkenlerinin meydana gelme sırası değil

büyüklüklerinin sırası göz önüne alınırsa bu tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistikleri,

n n n

n X X

X₁_:  ₂_:  ...  _:

olarak ifade edilir.

n r

X _: , r-inci sıralı istatistik denir.

Buradan, ) , . . . , , ( min 1 2 : 1n X X Xn X  ve ) , . . . , , ( max ₁ ₂ :n n n X X X X  yazılabilir [5].

(12)

per A =



Sn  σ n i i σ i a 1 ) (

olarak ifade edilir. Burada; S , (1, 2,…, n)’nin permütasyonlarının kümesidir. Yani; _n

permanent, açılımındaki bütün terimlerin işaretlerinin pozitif olması hariç determinant ile aynıdır [12].

Tanım 1.1.7. X, olasılık fonksiyonu f olan kesikli tesadüfi değişken olsun. X’in

beklenen değeri,



   0 ) ( ) ( x x f x X E

olarak ifade edilir [13].

Tanım 1.1.8. X tesadüfi değişkeninin varyansı,

2 2 )] ( [ ) ( ) (X E X E X Var  

olarak ifade edilir [13].

Tanım 1.1.9. X ve Y tesadüfi değişkenlerinin beklenen değerleri sırasıyla E( X) ve

) (Y

E ise X ve Y arasındaki kovaryans,

) ( ) ( ) ( ) , (X Y E XY E X EY Cov  

(13)

5

Teorem 1.1.1. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı

istatistiğinin olasılık fonksiyonu, F(x)P(X x) ve x0,1,2,... olmak üzere

! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( [ ! ) ( 1 1 0 1 0 : r m n m k k r x F x f x F n x f r m n m k k r r n m r k n r _ _ _ _ _ _           

 

veya dv v v r n r n x f r n r x F x F n r       

_

(1 ) ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( 1 ) ( ) ( :

şeklinde ifade edilir [1].

Teorem 1.1.2. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s_:_n’nin

bileşik olasılık fonksiyonu, 1rsn, x1x2 ve k2m1 s1r olmak üzere

! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( ) ( [ )] ( [ )] ( [ ! ) , ( 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 : , 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 s m n m k r m k s m k k r x F x f x F x F x f x F n x x f s m n m k r m k s m k k r s n m r s k r s m r k n s r                                       

   

veya 1 2 2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 : , ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) , ( 1 1 2 2 dv dv v v v v s n r s r n x x f s n r s r x F x F x F x F n s r              



(14)

Teorem 1.1.3. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı

istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

                       

 



![₍ ( ₁)] ₎_!₍[ (₁)] ₎_![₍1 ( )]₎_! ) ( 1 1 0 1 0 0 : r m n m k k r x F x f x F n x F r m n m k k r r n m r k x x n r veya dv v v r n r n x F r n r x F n r   _   



(1 ) ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( 1 ) ( 0 :

şeklinde ifade edilir [1].

Teorem 1.1.4. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s_:_n’nin

bileşik olasılık fonksiyonu, 1rsn ve x₁x₂ olmak üzere

                                              

   

 

! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( ) ( [ )] ( [ )] ( [ ! ) , ( 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 : , 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 s m n m k r m k s m k k r x F x f x F x F x f x F n x x F s m n m k r m k s m k k r s n m r s k r s m r k x x x x x n s r veya 1 2 2 1 1 2 1 1 ) ( 0 ) ( 2 1 : , ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) , ( 1 2 1 dv dv v v v v s n r s r n x x F s n r s r x F F x v n s r            

_{ }

(15)

2. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN DAĞILIMLARI

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık ve dağılım fonksiyonları verilecektir.

n X X

X₁, ₂,..., bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenler olsun.

i

X (i1,2,...,n) tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu i F i

olsun. Bu tesadüfi değişkenlerden elde edilen sıralı istatistikler, X₁_:_n X₂_:_n... X_n_:_n

olsun.

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonu, x0,1,2,... olmak üzere

] ) ( F 1 ) ( f ) ( F [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 1 0 1 0 : r m n m k k r r n m r k n r per x x x r m n m k k r x f                   

 

(2.1)

şeklinde ifade edilir. Burada; F_i(x)P(X_i x)olmak üzere

, ))' ( , ... , ) ( , ) ( ( ) ( F x  F₁ x F₂ x F_n x ))' ( , ... , ) ( , ) ( ( ) ( f x  f₁ x f₂ x f_n x ve

(16)

))' ( 1 , ... , ) ( 1 , ) ( 1 ( ) ( F 1 x  F₁ x F₂ x F_n x kolon vektörleridir.

(2.1)’de permanent açılımı kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonu,

         _             _           





 

             )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 1 1 0 1 0 : x F x f x F r m n m k k r x f i n m r i m r k r i k r P r n m r k n r       (2.2)

şeklinde de ifade edilebilir.

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonunun integral formu,

' 1 ) ( ) ( : [v 1 v][ /.) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( ' '      dv per r n r x f r n r n x F x F n r       

 

(2.3)

(17)

9

şeklinde ifade edilir. Burada;  {(1),(2),...,(n1)} ve  '{1,2,...,n} olmak üzere





n

,  üzerinden toplamı ifade eder. Ayrıca;

) ( ) ( ) ( )] ( [ () ) ( ) ( ' ' '     F x x f x f x F v v l l l _      olmak üzere, )' , ... , , ( v v₁ v₂ v_n ve )' 1 , ... , 1 , 1 ( v 1  v₁ v₂ v_n kolon vektörleridir.

(2.3)’de permanent açılımı kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonunun integral formu,

r l l r i r i i n r l i P r l i x F x F n r v v dv r n r x f _               







     1 1 1 ) ( ) ( : (1 ) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( (2.4)

şeklinde de ifade edilebilir. Burada; l

i

(18)

) ( ) ( ) ( )] ( [      F x x f x f x F v v l r l r r l i i i i i i şeklindedir. n r

X _: ve X_s_:_n’nin bileşik olasılık fonksiyonu, 1rsn, x₁x₂ ve k₂m₁ s1r

olmak üzere                                              

   

] ) ( F 1 ) ( f ) ( F ) ( F ) ( f ) ( F [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 : , s m n m k r m k s m k k r s n m r s k r s m r k n s r x x x x x x per s m n m k r m k s m k k r x x f (2.5)

şeklinde ifade edilir.

(2.5)’de permanent açılımı kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık fonksiyonu,

(19)

11                                                        





   

                           )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 : , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 x F x f x F x F x f x F s m n m k r m k s m k k r x x f i n m s i m s k s i i k s m r i m r k r i k r P s n m r s k r s m r k n s r            (2.6)

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s_:_n’nin

bileşik olasılık fonksiyonunun integral formu,

) 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 (1) (2) 1 (1) , ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 : , ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 2 1 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 .) / ][ v 1 v v v [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , (          dv dv per r n r s r x x f s n r s r n n x F x F x F x F n s r             





(2.7)

şeklinde ifade edilir. Burada; { , ,..., 1( 2)} ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 1      n  , 2{2(1)}, { } ) 1 ( 3 3    ,   için       ve {1,2,..., } 3 1 n    



 olmak üzere



2 1,   n n , _ 



2  1 

üzerinden toplamı ifade eder. Ayrıca;

(20)

) ( ) ( ) ( )] ( [ 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 3 ) ( 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) ( 1      F x x f x f x F v v    _      ve ) ( ) ( ) ( )] ( [ ₂ 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 1      F x x f x f x F v v    _      olmak üzere, )' , ... , , ( v(.) v₁(.) v₂(.) v_n(.) ve )' 1 , ... , 1 , 1 ( v 1 (.)  v₁(.) v₂(.) v_n(.) kolon vektörleridir.

(2.7)’de permanent açılımı kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s:_n’nin bileşik olasılık fonksiyonunun integral formu,

) 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 : , ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 1 1 2 2 r s l l l l r i r i s i s i i i n s l i s r l i i P r l i x F x F x F x F n s r dv dv v v v v s n r s r x x f                          









         (2.8)

(21)

13 şeklinde de ifade edilebilir. Burada; (1)

l i v ve (2) l i v değişkenleri, ) ( ) ( ) ( )] ( [ ₁ 1 1 1 ) 1 ( ) 1 (      x F x f x f x F v v l r l r r l i i i i i i ve ) ( ) ( ) ( )] ( [ ₂ 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( _ _ _ _ _ x F x f x f x F v v l s l s s l i i i i i i şeklindedir.

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

  

                            x x r m n m k k r r n m r k n r per x x x r m n m k k r x F 0 1 1 0 1 0 : [F( ) f( ) 1 F( )] ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( (2.9)

(2.5)’de permanent açılımı yapılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

(22)

             _             _              





 



              )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 1 1 0 1 0 0 : x F x f x F r m n m k k r x F i n m r i m r k r i k r P r n m r k x x n r       (2.10)

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonunun integral formu,

' 1 ) ( 0 : [v 1 v][ /.) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( '     dv per r n r x F r n r n x F n r      

 

(2.11)

(2.7)’de permanent açılımı yapılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonunun integral formu,

r l l r i i n r l i P r l i x F n r v v dv r n r x F _      _         



_



    1 1 1 ) ( 0 : (1 ) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( (2.12)

(23)

3. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN SĠSTEMATĠK MOMENTLERĠ

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin beklenen değer, varyans ve kovaryansı ifade edilecektir.

n X X

X₁, ₂,..., bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenler olsun.

i

X (i1,2,...,n) tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu i F i

olsun. Bu tesadüfi değişkenlerin büyüklüklerine göre sıralanmasıyla elde edilen sıralı istatistikler, X₁_:_n X₂_:_n... X_n_:_n olsun.

Kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin beklenen değeri, x0,1,2,...

olmak üzere



   0 : : ) ( ) ( x n r n r x f x X E (3.1)

( 2.1) ve (2.2), (3.1)’de kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n’nin beklenen değeri,

                            

 



[F( ) f( ) 1 F( )] ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 1 0 1 0 0 : r m n m k k r r n m r k x n r per x x x r m n m k k r x X E (3.2) veya

(24)

             _             _              





 



               )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 1 1 0 1 0 0 : x F x f x F r m n m k k r x X E i n m r i m r k r i k r P r n m r k x n r       (3.3)

şeklinde elde edilir.

(2.3) ve (2.4), (3.1)’de kullanılırsa E(X_r_:n)’nin integral formu,

' 1 ) ( ) ( 0 : [v 1 v][ /.) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( ' '      dv per r n r x X E r n r n x F x F x n r         



 

(3.4) veya r l l r i r i i n r l i P r l i x F x F x n r v v dv r n r x X E _               







       1 1 1 ) ( ) ( 0 : (1 ) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( (3.5)

n r

X _: ’nin beklenen değeri,



    0 : : ) [1 ( )] ( x n r n r F x X E (3.6)

(25)

17 olarak da ifade edilebilir.

(2.9) ve (2.10), (3.6)’da kullanılırsa X_r_:_n’nin beklenen değeri,

   

   __ __ _ _                               0 0 1 1 0 1 0 : [F( ) f( ) 1 F( )] ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 1 ) ( x x x r m n m k k r r n m r k n r per x x x r m n m k k r X E (3.7) veya              _             _              _ 





 



                )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 1 ) ( 1 1 1 0 1 0 0 0 : x F x f x F r m n m k k r X E i n m r i m r k r i k r P r n m r k x x x n r       (3.8)

(2.11) ve (2.12), (3.6)’da kullanılırsa E(Xr:n)’nin integral formu,





 

 _ _                      0 ' 1 ) ( 0 : [v 1 v][ /.) ! ) ( ! ) 1 ( 1 1 ) ( ' x n _r _n _r x F n r per dv r n r X E  _   (3.9) veya

(26)



_







                                     0 1 1 1 ) ( 0 : (1 ) ! ) ( ! ) 1 ( 1 1 ) ( x i n r l i P r l i x F n r _l _l _r r i dv v v r n r X E (3.10)

Kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin varyansı,









2 0 : 0 : : ) (2 1)1 ( ) [1 ( )] ( _          



    x n r x n r n r x F x F x X Var (3.11)

(2.9) ve (2.10), (3.11)’de kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n’nin varyansı,

2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 : ] ) ( F 1 ) ( f ) ( F [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 1 ] ) ( F 1 ) ( f ) ( F [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 1 ) 1 2 ( ) (                                                                         

   



  

                          x x x r m n m k k r r n m r k x x x r m n m k k r r n m r k n r x x x per r m n m k k r x x x per r m n m k k r x X Var (3.12) veya

(27)

19 2 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 : )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 1 )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 1 ) 1 2 ( ) (                  _             _                                _             _              _  





 







 



                                x F x f x F r m n m k k r x F x f x F r m n m k k r x X Var i n m r i m r k r i k r P r n m r k x x x i n m r i m r k r i k r P r n m r k x x x n r             (3.13)

(2.11) ve (2.12), (3.11)’da kullanılırsa Var(X_r_:n)’nin integral formu,

2 0 ' 1 ) ( 0 0 ' 1 ) ( 0 : .) / ][ v 1 v [ ! ) ( ! ) 1 ( 1 1 .) / ][ v 1 v [ ! ) ( ! ) 1 ( 1 1 ) 1 2 ( ) ( ' '                                                           



 



 

  _ _   _ _ x n _r _n _r x F x n _r _n _r x F n r dv per r n r dv per r n r x X Var         (3.14) veya 2 0 1 1 1 ) ( 0 0 1 1 1 ) ( 0 : ) 1 ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 1 ) 1 2 ( ) (                               _                                         _           













            x i n r l i P r l i x F x i n r l i P r l i x F n r r l l r i r l l r i dv v v r n r dv v v r n r x X Var (3.15)

(28)

Kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s_:_n arasındaki kovaryans, 1rsn ve x1x2 olmak üzere              



        ) ( ) ( ) , ( ) , ( ₂ _: ₂ 0 1 : 1 0 2 1 : , 2 1 0 : : 2 1 1 2 1 x f x x f x x x f x x X X Cov _s_n x n r x n s r x x x n s n r (3.16)

(2.1) ve (2.5), (2.2) ve (2.6), (3.16)’da kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s_:_n arasındaki kovaryans,

                                                 



   



s m n m k r m k s m k k r s n m r s k r s m r k x x x n s n r x x x x x x per s m n m k r m k s m k k r x x X X Cov 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ) ( F 1 ) ( f ) ( F ) ( F ) ( f ) ( F [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 : :                                                          

 



 



] ) ( F 1 ) ( f ) ( F [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ] ) ( F 1 ) ( f ) ( F [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 2 1 2 1 2 0 1 0 2 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 1 s m n m k k s s n m s k x r m n m k k r r n m r k x x x x per s m n m k k s x x x x per r m n m k k r x (3.17)

(29)

21 veya                                                       _             _                                                                      





 







 







   



                                                             )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 1 2 2 1 1 0 1 0 2 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 : : 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 x F x f x F s m n m k k s x x F x f x F r m n m k k r x x F x f x F x F x f x F s m n m k r m k s m k k r x x X X Cov i n m s i m s k s i k s P s n m s k x i n m r i m r k r i k r P r n m r k x i n m s i m s k s i i k s m r i m r k r i k r P s n m r s k r s m r k x x x n s n r                        (3.18)

(30)

                                                  

 



 







' 1 ) ( ) ( 2 0 ' 1 ) ( ) ( 1 0 ) 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 (1) (2) 1 (1) ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 : : .) / ][ v 1 v [ ! ) ( ! ) 1 ( 1 .) / ][ v 1 v [ ! ) ( ! ) 1 ( 1 .) / ][ v 1 v v v [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 ' 2 ' 2 1 ' 1 ' 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 2 1 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 1 2 1                    dv per r n r x dv per r n r x dv dv per r n r s r x x X X Cov r n r n x F x F x r n r n x F x F x s n r s r n n x F x F x F x F x x x n s n r (3.19) veya                                       _                                  























 





                           s l l s i s i r l l r i r i r s l l l l r i r i s i s i i n s l i P s l i x F x F x i n r l i P r l i x F x F x i i n s l i s r l i i r l i P x F x F x F x F x x x n s n r dv v v s n s x dv v v r n r x dv dv v v v v s n r s r x x X X Cov 1 1 1 ) ( ) ( 2 0 1 1 1 ) ( ) ( 1 0 ) 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 : : ) 1 ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) 1 ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 (3.20)

(31)

4. SONUÇLAR

n X X

X1, 2,..., bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenler olsun.

i

X (i1,2,...,n) tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu _i F _i

olsun. Burada, f_i  f ve F_i F alınırsa X₁,X₂,...,X_n bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenler elde edilir. Bu yaklaşımla, aşağıdaki sonuçlar verilebilir.

Sonuç 4.1. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı

istatistiğinin beklenen değeri,

  

                          0 1 1 0 1 0 : ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( [ ! ) ( x r m n m k k r r n m r k n r r m n m k k r x F x f x F n x X E (4.1)

Ġspat. (3.2), (3.3), (3.7) veya (3.8)’de f_i  f ve F_i F alınırsa (4.1) elde edilir.

istatistiğinin beklenen değerinin integral formu,

 

_                0 1 ) ( ) ( : (1 ) ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( x r n r x F x F n r v v dv r n r n x X E (4.2)

(32)

Ġspat. (3.4), (3.5), (3.9) veya (3.10)’de fi  f ve Fi F alınırsa (4.2) elde edilir.

istatistiğinin varyansı, 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 : ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( [ ! 1 ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( [ ! 1 ) 1 2 ( ) (                                                             



 



 

                          x r m n m k k r r n m r k x x x r m n m k k r r n m r k x x n r r m n m k k r x F x f x F n r m n m k k r x F x f x F n x X Var (4.3) olarak ifade edilir.

Ġspat. (3.12) veya (3.13)’de f_i  f ve F_i F alınırsa (4.3) elde edilir.

istatistiğinin varyansının integral formu,

2 0 1 ) ( 0 0 1 ) ( 0 : ) 1 ( ! ) ( ! ) 1 ( ! 1 ) 1 ( ! ) ( ! ) 1 ( ! 1 ) 1 2 ( ) (                                           



_





        r x r n r x F x r n r x F n r dv v v r n r n dv v v r n r n x X Var (4.4)

(33)

25 olarak ifade edilir.

Ġspat. (3.14) veya (3.15)’de fi  f ve Fi F alınırsa (4.4) elde edilir.

Sonuç 4.5. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s_:_n

arasındaki kovaryans,                                                                                                 

 



 



   



! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( [ ! ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( [ ! ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( ) ( [ )] ( [ )] ( [ ! ) , ( 2 1 2 1 2 0 1 0 2 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 : : 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 s m n m k k s x F x f x F n x r m n m k k r x F x f x F n x s m n m k r m k s m k k r x F x f x F x F x f x F n x x X X Cov s m n m k k s s n m s k x r m n m k k r r n m r k x s m n m k r m k s m k k r s n m r s k r s m r k x x x n s n r (4.5)

Ġspat. (3.17) veya (3.18)’de f_i  f ve F_i F alınırsa (4.5) elde edilir.

Sonuç 4.6. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli bir anakütleden gelen X_r_:_n ve X_s_:_n

(34)

                                                 













! ) ( ! ) 1 ( ) 1 ( ! ! ) ( ! ) 1 ( ) 1 ( ! ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ) 1 ( ) ( ! ) , ( 1 ) ( ) ( 0 1 ) ( ) ( 0 1 2 2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 : : 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 s n s dv v v n x r n r dv v v n x s n r s r dv dv v v v v n x x X X Cov s n s x F x F s x r n r x F x F r x s n r s r x F x F x F x F s r x x x n s n r (4.6) olarak ifade edilir.

(35)

KAYNAKLAR

[1] Khatri, C. G., 1962. Distribution of order statistics for discrete case, Ann. Inst.

Statist. Math., 14, 167-171.

[2] Vaughan, R. J. and Venables, W. N., 1972. Permanent expressions for order statistics densities, Journal of the Royal Statistical Society, Ser.B 34, 308-310.

[3] Corley, H. W., 1984. Multivariate order statistics, Commun. Statist.- Theor. Meth.,

13, 1299-1304.

[4] Balakrishnan, N., 1986. Order statistics from discrete distributions, Commun.

Statist.- Theor. Meth., 15, 657-675.

[5] Reiss, R. -D., 1989. Approximate distributions of order statistics, Springer, Verlag,

New York Inc., USA.

[6] Nagaraja, H. N., 1986. Structure of discrete order statistics, J. Statist. Plann.

Inference, 13, 165-177.

[7] Nagaraja, H. N., 1992. Order statistics from discrete distributions, Statistics, 23, 189-216.

[8] David, H. A., 1981. Order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York.

[9] Arnold, B. C., Balakrishnan, N. and Nagaraja, H. N., 1992. A first course in order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York.

(36)

[10] Gan, G. and Bain, L. J., 1995. Distribution of order statistics for discrete parents with applications to censored sampling, J. Statist. Plann. Inference, 44, 37-46.

[11] Milton, J. S. and Arnold, J. C., 2003. Introduction to probability and statistics, McGraw-Hill, Boston.

[12] Balakrishnan, N., 2007. Permanents, order statistics, outliers and robustness, Rev.

Mat. Complut., 20,7-107.

(37)

ÖZGEÇMĠġ

Hidayet YALÇIN, 1978 yılında Hatay’ın İskenderun ilçesinde doğdu. İlk ve orta öğrenimini İskenderun’da tamamladı. 1999 yılında Balıkesir Üniversitesi Necatibey Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği Bölümü’nden mezun oldu. Aynı yıl Malatya’da öğretmen olarak göreve başladı. 2008 yılında Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans çalışmasına başladı. Halen Kaya Karakaya Fen Lisesi’nde Matematik öğretmeni olarak çalışmaktadır. Evli ve iki çocuk babasıdır.