Özel bir radyal schrödinger dekleminin uygun simetriler yardımı ile çözümü

T.C.

TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

ÖZEL BĠR RADYAL SCHRÖDINGER DENKLEMĠNĠN UYGUN SĠMETRĠLER YARDIMI ĠLE ÇÖZÜMÜ

KISMET KASAPOĞLU

DOKTORA TEZĠ

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Cengiz DANE Ġkinci Tez DanıĢmanı: Prof. Dr. Hasan AKBAġ

i Doktora Tezi

Özel Bir Radyal Schrödinger Denkleminin Uygun Simetriler Yardımı ile Çözümü T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

ÖZET

Bu çalıĢmada; 2.,3. ve 4. bölümlerde adi diferansiyel denklemler, nokta dönüĢümleri, sonsuz küçük dönüĢümler, üreteç ve üreteçlerin normal formları, adi diferansiyel denklemlerin Lie nokta simetrileri ve simetri koĢulları hakkında kısa bilgiler verilmiĢ, simetrileri bilinen bazı adi diferansiyel denklemlerin çözümleri gözden geçirilerek bir veya iki simetrisi bilinen bir veya ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerinden bahsedilmiĢtir.

ÇalıĢmanın 5.3. bölümde V(r)0 potansiyeline sahip bir radyal Schrödinger denklemi ikinci mertebeden özel bir denkleme dönüĢtürülmüĢ, bu denklemin uygun simetrileri ile bulunan çözümleri denklemin klasik çözümü ile karĢılaĢtırılmıĢtır.

Yıl : 2016

Sayfa Sayısı : 97

ii Doctoral Thesis

The Solutions of a Special Radial Schrödinger Equation by Using Appropriate Symmetries

Trakya University Institute of Natural Sciences Department of Mathematics

ABSTRACT

In this study, it is given short knowledge about ordinary differential equations, point transformation, infinitesimal transformations, generator and normal form of generators, Lie point symmetries of ordinary differential equations and symmetry conditions in chapter 2,3 and 4. By considering the solutions of some ordinary differential equations which are known their symmetries it is mentioned about the methods of solutions of first or second order ordinary differential equations which are known one or two symmetries.

In the subsection 5.3 of the study, a radial Schrödinger equation which has got the potential V(r)0 is transformed into a special equation. The solutions which are found by using appropriate symmetries of this equation are compared with the classical solution of the equation.

Year : 2016

Number of Pages : 97

iii

ÖNSÖZ

Bu çalıĢmada adi diferansiyel denklemler, nokta dönüĢümleri, üreteç ve üreteçlerin normal formları, Lie nokta simetrileri hakkında bilgi verilmiĢ, simetrileri bilinen denklemlerin çözümleri gözden geçirilmiĢtir.

ÇalıĢmanın 5.3. bölümde ikinci mertebeden özel bir denkleme dönüĢtürülebilen 0

) (r 

V potansiyeline sahip radyal Schrödinger denkleminin klasik yöntemlerle bulunan çözümleriyle özel denklemin uygun simetrileri yardımı ile yapılan çözümleri karĢılaĢtırılmıĢtır.

ÇalıĢmam süresince bilgi ve tecrübeleri ile bana her konuda yardımcı olan ve yol gösteren, bu çalıĢmanın ortaya çıkmasında emeği geçen değerli danıĢman hocalarım sayın Doç. Dr. Cengiz DANE’ ye ve Prof. Dr. Hasan AKBAġ’ a en içten teĢekkürlerimi sunarım.

Ayrıca çalıĢmalarımı destekleyen ve yardımlarını esirgemeyen bölüm baĢkanımız (Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü) sayın Prof. Dr. Hülya ĠġCAN’ a ve herzaman yanımda olan, dualarını üzerimden esirgemeyen biricik anneciğim Cevriye KASAPOĞLU’ na çok teĢekkür ederim.

Bu çalıĢma Trakya Üniversitesi Bilimsel AraĢtırma Projeleri Birimi’nde yapılan TÜBAP-2009/125 nolu doktora projesi ile desteklenmiĢtir.

iv

ĠÇĠNDEKĠLER

ÖZET

………..i ABSTRACT ………..……..ii ÖNSÖZ ………...iii ĠÇĠNDEKĠLER ………..iv SĠMGELER DĠZĠNĠ ………..……….vi BÖLÜM 1 / GĠRĠġ ………..1

BÖLÜM 2 / TEMEL KAVRAMLAR VE LIE DÖNÜġÜM GRUPLARI………...4

2.1 Temel Kavramlar ve Sınıflandırmalar ……….4

2.2 Grup ve Alt Grup Kavramları ………...……….6

2.3 DönüĢüm Grupları ………...6

2.4 Bir Parametreli Lie DönüĢüm Grubu ………7

2.5 Sonsuz Küçük DönüĢüm ve Üreteç ………...7

2.6 Üreteçlerin DönüĢüm ve Normal Formları ……….………...10

2.7 Üreteçlerin GeniĢlemeleri ………..12

2.8 Çok Parametreli DönüĢümler ………...15

BÖLÜM 3 / LIE NOKTA SĠMETRĠLERĠ VE KULLANIMI ………..17

3.1 DeğiĢmezlik ve Lie Nokta Simetrileri ………...17

3.1.1 Sonsuz Küçük dönüĢüm Altında DeğiĢmezlik ..………17

3.1.2 Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemler Arasındaki ĠliĢkiler ………19

3.2 Simetrilerin Bulunması ………...23

3.2.1 Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlerin Simetri KoĢulu …...23

3.2.2 Ġkinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Ġçin Simetri KoĢulu …24 3.2.3 Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Ġçin Simetri KoĢulu .25 3.3 Bir Lie Nokta Simetrisi Bilinen Diferansiyel Denklemler ve Çözümleri …...26

3.3.1 Ġntegral Çarpanı………...………...26

v

BÖLÜM 4 / LĠE CEBRĠNĠN BAZI ÖZELLĠKLERĠ VE ĠKĠ SĠMETRĠLĠ

DĠFERANSĠYEL DENKLEMLER ………..32

4.1 Lie Cebri ve Bazı Özellikleri, Genel Tanım ve Kavramlar ………...32

4.2 Ġki Simetrisi Bilinen Adi Diferansiyel Denklemler …………...36

4.2.1 Üreteçlerin Normal Formları ve Diferansiyel Denklemlerin DönüĢümü...36

4.3 Ġki Simetrisi Bilinen Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri………....41

4.3.1 Abelyan ve Abelyan Olmayan Durum ….………41

4.3.2 Ġkinci Çözüm Yöntemi ..………....47

BÖLÜM 5 / KÜRESEL SĠMETRĠYE SAHĠP BĠR POTANSĠYEL ĠÇĠN SCHRÖDĠNGER DENKLEMĠ VE ÜRETEÇLERLE ÇÖZÜMLER ………...52

5.1 Radyal Schrödinger Denklemi ………...52

5.2 V(r)0 Potansiyeline Sahip Radyal Schrödinger Denkleminin Taban Durum Dalga fonksiyonu ve Enerjisi ...……….54

5.3 V(r)0 Potansiyelli Radyal Schrödinger Denkleminin Uygun Simetrileri ve Çözümleri ...………....57

5.4 Uygulama ………....75

BÖLÜM 6 / SONUÇLAR VE TARTIġMA ………78

EK-A/ Af 0 VE y(n)  DENKLEMLERĠ ARASINDAKĠ ĠLġKĠLER………...80

EK-B/ ALGORĠTMA UYGULAMALARI………...82

KAYNAKLAR ………..93

ÖZGEÇMĠġ ………...96

vi

SĠMGELER DĠZĠNĠ

A : Operatör P NM C : Yapı sabitleri  : Determinant E : Enerji ) , (x y  : DönüĢümün sonsuz küçüğü 2

G : Ġki parametreli grup

I

G₂ : Abelyan grup

II

G₂ : Abelyan olmayan grup  : (6.631027)/2 erg.s

) (

2 1 t

J : Küresel bessel fonksiyonu ) , (x y  : DönüĢümün sonsuz küçükleri 2  : Lablasyen m : kütle

X : Denklemin simetrisi, üreteci y x ~, ~ _{: Nokta dönüĢümleri} V : Potansiyel ) ( 2 1 t

Y : Küresel Neuman fonksiyonu

dx dy y : Adi Türev x x     , : Kısmi Türev  : Ġkili ĠĢlem

1

BÖLÜM I

GĠRĠġ

Bir doğa olayının anlaĢılması, açıklanması ve matematiksel kavramlarla ifade edilmesi, olayı karakterize eden bir matematiksel modelin kurulması ile mümkündür. Bir doğa olayı için matematiksel model daima gerçek durumdan daha basittir.

Birçok doğa problemi değiĢken nicelikler arasındaki bağıntılarla iliĢkilidir. Problemdeki değiĢim oranları matematiksel olarak türevlerle ifade edilebildiğinden matematiksel modeller genellikle bilinmeyen fonksiyonlarla birlikte onların türevleri ile bağlantılı denklemler içerirler. Böyle denklemeler diferansiyel denklemler olarak bilinir [1,2,3].

Günümüzde; fizik, mühendislik, ekonomi, biyoloji, vb gibi bilim ve teknolojinin birçok alanı diferansiyel denklemlerin uygulama alanlarıdır.

Diferansiyel denklemler ile ilgili birinci dönem diyebileceğimiz ilk çalıĢmalar 17. ci yüzyılda G.W. Leibniz (1646-1716) ve I. Newton (1642-1727) nın birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin çözümleri üzerine yapmıĢ oldukları çalıĢmalar ile baĢlar. Bu dönemde James Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Daniel Bernoulli (1700-1782) kardeĢler, B. Taylor (1685-1731), L. Euler (1707-1783), A. C. Clairaut (1713-1765), J. D’Alembert (1717-1783), J. Lagrange (1736-1813), B.S. Laplace (1749-1827), A. M. Legendre (1752-1833) ın sonsuz küçükler hesabı, integrasyon çarpanı, seri çözümler, tekil çözüm, uzay eğrileri, varyasyon metodu, denklem sistemleri, sınır değer problemleri, özel fonksiyonlar, sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri konularında yapmıĢ oldukları çalıĢmalarla diferansiyel denklemler teorisine büyük katkılar sağlamıĢlardır [4,5,6,7].

Ġkinci dönem A.L. Cauchy (1789-1857) ve R. Lipschitz (1831-1903) gibi bilim adamlarının fonksiyonlarla ilgili çalıĢmaların diferansiyel denklemlere uygulanması,

2

çözümlerin varlığı, tekliği, kuvvet serileri ile çözümler gibi konular üzerine yapılan çalıĢmalarla devam etmiĢtir [6,7,8].

1870 li yıllar ile baĢlayan üçüncü dönemde; M. Sophus Lie (1842-1899) nın geometri ve diferansiyel denklemler arasındaki iliĢki ve diferansiyel denklemleri invaryant bırakan sürekli dönüĢüm gurupları ile ilgili çalıĢmalar ön plana çıkmıĢtır [6,7,9].

Dördüncü dönem olarak adlandırılan ve 1880 li yıllarda baĢlayan bu dönemde R. Picard (1856-1941), L. Fuchs (1833-1902) H. L. Hamburger (1889-1956), P. Hilbert (1862-1943), G. D. Birkhoff (1884-1944), M. Mason (1877-1961) ve çağdaĢlarınca diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve yeni çözüm yöntemleri ile ilgili çalıĢmalar yapılmıĢtır [4,6,7].

BeĢinci dönem diyebileceğimiz ve 1930 larda G. D. Birkhoff, R. D. Carmichael (1879-1967) in homojen lineer diferansiyel denklem sistemleri ve lineer diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri ile baĢladığı kabul edilen bu dönemde diferansiyel denklemlerin tam çözüm yöntemleri geliĢtirilmiĢtir [6,7].

Diferansiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunmasında kullanılan metotlardan biride 1881 de S. Lie tarafından bulunan ve grup analizi olarak da adlandırılan Klasik simetriler metodudur [1]. Bu metot ve metodun genelleĢtirilmesi ile ilgili G. Birkhoff, Hermann Weye (1885-1955) ve I. Sedov (1907- 1999) gibi araĢtırmacılar çok sayıda çalıĢma yapmıĢlardır [2,3,4,5,6,7,8,9,10].

Lie nokta simetrileri diferansiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunmasında çok iyi bir yöntem olmasına karĢın uzun hesaplamalar gerektiren bir yöntemdir.

Son yıllarda hızlı bir geliĢme gösteren ve geniĢ uygulama alanı bulunan bu yöntemle diferansiyel denklemlerle ilgili nokta dönüĢümleri, sonsuz küçük dönüĢümler, simetriler, Lie nokta simetrileri, simetri koĢulları, simetri analizi gibi konularda yaygın çalıĢmalar yapılmıĢ, bu çalıĢmalarda bilgisayarlar ve paket programlar da kullanılmıĢtır.

Lie teorisi kısmi ve adi türevli diferansiyel denklemlerin hemen hemen tümüne uygulanabilen nadir teorilerden biridir [9].

Bu çalıĢmada değiĢik problemlere uygulanabilen ve klasik tekniklerle çözülebilen ikinci mertebeden özel bir diferansiyel denklemin uygun simetriler ile çözümlerinin irdelenmesi amaçlanmıĢtır. Bu kapsamda önce ikinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerde konu ile ilgili genel bilgiler verildikten sonra beĢinci bölümde ikinci

3

mertebeden özel bir denkleme dönüĢtürülebilen V(r)0 potansiyeline sahip Radyal Schrödinger denkleminin klasik yöntemlerle bulunan çözümleri özel denkleme dönüĢtürülmüĢ denklemin uygun simetrileri yardımı ile yapılan çözümleri karĢılaĢtırılmıĢ, bulunan çözümlerin irdelenmesi yapılmıĢtır.

Ġkinci bölümde; simetrilerle çözümlerin bulunmasında gerekli olan temel kavramlar, Lie grupları, nokta dönüĢümleri, sonsuz küçük dönüĢümler, üreteçlerin dönüĢüm ve normal formları gibi temel kavramlar özet olarak verilmiĢtir.

Üçüncü bölümde; dönüĢümler ve Lie simetrileri, simetrilerin bulunması simetrisi bilinen adi diferansiyel denklemlerin çözümleri kısa bir Ģekilde incelenmiĢtir.

Dördüncü bölümde Lie cebrinin bazı özellikleri ve iki simetrili diferansiyel denklemler ve çözüm yöntemleri gözden geçirilmiĢtir.

BeĢinci bölümde küresel simetriye sahip V(r)0 potansiyelli Radyal Schrödinger denkleminin özel simetrilerle çözümleri araĢtırılmıĢtır.

Altıncı bölümde elde edilen sonuçlar tartıĢılmıĢtır.

4

BÖLÜM 2

TEMEL KAVRAMLAR VE LIE DÖNÜġÜM GRUPLARI

2.1 Temel Tanımlar ve Sınıflandırmalar

Bir bağımlı değiĢkeni ve bunun bir ya da daha çok bağımsız değiĢkene göre türevlerini içeren bir denkleme diferansiyel denklem denir. Bir adi diferansiyel denklem, bir fonksiyon ve bu fonksiyonun türevlerini içeren bir eĢitliktir. Bağımlı değiĢkenin yalnızca bir bağımsız değiĢkene göre türevlerini içeren denkleme adi diferansiyel denklem, bağımlı değiĢkenin iki yada daha çok bağımsız değiĢkene göre kısmi türevlerini içeren denkleme kısmi diferansiyel denklem denir [3,11].

n . mertebeden en genel adi diferansiyel denklem y, x ’in bir fonksiyonu olmak üzere 0 ) ,..., , , ( _n  n dx y d dx dy y x F (2.1.1) veya 0 ) ,..., , , (x y y y(n)  F (2.1.2) biçiminde yazılır.

Bir diferansiyel denklemde en yüksek türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi, eğer denklem bütün türevlerine göre bir polinom ise en yüksek türevli terimin kuvvetine denklemin derecesi denir. an(x) özdeĢ olarak sıfır olmayan bir fonksiyon olmak üzere

) ( ) ( ) ( ... ) ( ) (x y( ) a ₁ x y( 1) a₁ x y a₀ x y q x a_n n  _n n     (2.1.3) denklemi n . mertebeden lineer diferansiyel denklemdir. Eğer bir adi diferansiyel denklem lineer değilse non-lineer diferansiyel denklem olarak adlandırılır. (2.1.3)

5

denkleminde q(x)0 ise denklem homojen veya ikinci tarafsız diferansiyel denklem adını alır.

Birinci ve ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler, belirli çarpan formlarında iseler çözülebilirler. Lineer adi diferansiyel denklemler çeĢitli integral dönüĢümleri kullanılarak da çözülebilir [10].

Fizik, mühendislik, elektronik, ekonomi vs. gibi alanlarda kullanılan denklemlerin çözümlerini bulmak için analitik çözüm yöntemleri yanında çok sayıda nümerik çözüm yöntemleri de geliĢtirilmiĢtir. Buna rağmen çözülebilen denklemlerin sayısı oldukça sınırlıdır.

Adi ve kısmi türevli diferansiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunabilmesinin temel özelliği denklemlerin simetrilerinin varlığıdır. Denklemin simetrisi bulunabilirse tam çözümü bulunabilir. Bir anlamda; simetriyi bulmak verilen diferansiyel denklemi değiĢmez bırakan özel dönüĢümleri bulmak demektir.

Diferansiyel denklemlerin ortaya çıkıĢından günümüze kadar üç asır geçmesine rağmen henüz tüm denklemleri çözen genel bir çözüm yöntemi geliĢtirilememiĢtir [3].

Bu doğrultudaki çalıĢmalar; çözümleri bulunabilen diferansiyel denklem sınıflarının bazı ortak özelliklere sahip olduklarını göstererek bunlarla sürekli dönüĢüm grupları arasında iliĢkiler kurmuĢ olan S. Lie’nin çalıĢmalarında görülmektedir [3,9].

Bir parametreli Lie grupları diferansiyel denklemlere uygulanmıĢ, bazı diferansiyel denklemlerin grup teorisi yardımı ile nasıl çözülebileceği gösterilmiĢtir. Lie teorisi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin türetildiği az sayıdaki teoriden biridir.

Bu teori ile, simetri grupları yardımıyla baĢlangıç ve sınır değer problemlerinin değiĢmez çözümlerini yeni çözümlere götüren çözümler elde edilebileceği gibi, adi diferansiyel denklemlerin mertebelerinin düĢürülmesi ve kısmi türevli diferansiyel denklemelerin adi diferansiyel denklemlere indirgenmesi de mümkün olabilmektedir. Ayrıca bir diferansiyel denklem sisteminin çözüm kümesini değiĢmez bırakan simetri grubu diferansiyel denklem sisteminin simetri grubudur. Eğer bir denklem sisteminin simetri grubu biliniyor ise sistemin eski çözümlerinden yeni çözümler elde edilebilir [9,12,13].

6 2.2 Grup ve Alt Grup kavramları

G boĢ olmayan bir küme ve  , G ’ de bir ikili iĢlem olsun. (G,) cebirsel yapısı;

1)  , G ’ de bir ikili iĢlemdir,

2)  iĢleminin G ’ de birleĢme özelliği vardır, yani, a,b,cG için c b a c b a(  )(  ) dir,

3)  iĢleminin G ’ de birim elemanı vardır, yani, aG için aeeaa olacak Ģekilde eG vardır,

4)  iĢleminin göre, G ’ deki her elemanın bir tersi vardır, yani aG için, e

a a a

a 1  1  olacak biçimde a1G vardır, aksiyomlarını sağlıyorsa (G,)' a bir gruptur denir.

Eğer (G,) bir grup ve a,bG için abba özelliği de sağlanıyor ise gruba, değiĢmeli grup veya Abel grubu denir.

G bir grup ve G ,₁ G nin boĢ olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer G ,₁ G deki iĢleme göre bir grup ise G ’e, G nin bir alt grubu denir ve ₁ G₁ G ile gösterilir.

G grubunun boĢ olmayan bir alt kümesinin alt grup olması için gerek ve yeter

koĢul a,bG₁ için, ab1G₁( veya a1bG₁) olmasıdır.

2.3 DönüĢüm Grupları

Bir Dℝ𝑛 bölgesi ve S  ℝ alt kümesini göz önüne alalım. D x x x n  ( 1, 2,..., ) x ve S parametresine bağlı 𝑓_𝑖: 𝐷 × 𝑆 → ℝ (x,ε) fi(x;)~xi i1,2,...,n

Ģeklindeki dönüĢümlerin kümesi, eğer;

1) S parametresi için dönüĢüm D de bire bir,

2) S kümesi  iĢlemine göre etkisiz elemanı e olan bir grup, 3) xD için fi( x;e)xi, 4)xD, , S için ~xi  fi(x;) ve ; ) ~ ( ~ ~ _{x } i i f x  ise~~x_i  f_i



x;(,)



,

koĢullarını sağlıyorsa dönüĢümler kümesine D üzerinde bir parametreli dönüĢümler grubu denir [9,16,17].

7 2.4 Bir parametreli Lie DönüĢüm Grubu

DönüĢüm grubu koĢullarına ek olarak, dönüĢüm; 1)  sürekli bir parametre, yani S , ℝ’ de bir aralıktır,

2) f ; x ’e göre i D bölgesinde her mertebeden sürekli türevlere sahip ve ’ a göre S

üzerinde analitik bir fonksiyondur,

3) ,S olmak üzere; (,),  ve  nın analitik bir fonksiyondur,

koĢullarını da sağlıyorsa dönüĢümler grubu bir parametreli Lie dönüĢüm grubu adını alır [9,16,17,18,19]. 2.5 Sonsuz Küçük DönüĢüm ve Üreteç  D ℝ𝑛 ve S  ℝ olmak üzere. x(x₁,x₂,...,x_n)D ve S parametresine bağlı 𝑓_𝑖: 𝐷 × 𝑆 → ℝ (x,ε) fi(x;)~xi (2.5.1)

bir parametreli Lie dönüĢüm grubunu göz önüne alalım. (2.5.1) grubu  0 civarında ... ) , ( 2 ) , ( ~ 0 2 2 2 0           _        i x i x i i f f x x (2.5.2) veya ) ( ) , ( ~ 2 0      O f x x i i i       x (2.5.3) Ģeklinde seriye açılır ve

) ( ) ; ( 0 x f i i         x (2.5.4) ile gösterilirse (2.5.3) ifadesi

) ( ~_{x x x} i i i   (2.5.5)

Ģeklinde yazılır. Bu ifade (2.5.1) dönüĢümünün sonsuz küçük dönüĢümünü tanımlar. )

(x

i

 bileĢenlerine (2.5.1) dönüĢümünün sonsuz küçükleri denir [9,20]. Buna göre keyfi bir (x,y) noktası için

... ) ; , ( ~ ) 0 ; , ( ~ ) ; , ( ~ 0            x x y x x y y x x (2.5.6)

8 ... ) ; , ( ~ ) 0 ; , ( ~ ) ; , ( ~ 0            y x y y x y y x y (2.5.7) dönüĢümlerinde ki birinci mertebe türevlerin  0 için değerleri

) , ( ) ; , ( ~ 0 y x y x x _        , (2.5.8) ve ) , ( ) ; , ( ~ 0 y x y x y _        (2.5.9) ile gösterilirse; y y x y x y x x( , ;0) , ~( , ;0) ~ _(2.5.10) olduğundan (2.5.6), (2.5.7) dönüĢümleri ... ) , ( ) ; , ( ~ ... ) , ( ) ; , ( ~       y x y y x y y x x y x x     (2.5.11) Ģeklinde yazılabilir, bu sonsuz küçük dönüĢümün bileĢenleri olan (x,y) ve (x,y)

fonksiyonları dönüĢümün sonsuz küçükleri olur. (2.5.11) ifadesi;

y y x x y x       ( , ) ( , ) X   (2.5.12) Ģeklinde tanımlanan bir operatör olmak üzere

... ... ) , ( ) ; , ( ~ ... ... ) , ( ) ; , ( ~             y y y x y y x y x x y x x y x x X X       (2.5.13) Ģeklinde ifade edilebilir. Buradaki X _{operatörüne dönüĢümün sonsuz küçük üreteci} denir. Her dönüĢüm sonsuz küçük üreteci yardımı ile belirlenir.

(2.5.12) ile (x,y) ℝ2 için tanımlanan sonsuz küçük üreteç;  (x₁,x₂,...,x_n) x ℝ𝑛 (2.5.14) olmak üzere



    n k k k x 1 ) ( x X  (2.5.15) Ģeklinde genelleĢtirilebilir. Burada k( x)

0 ~       k xk (2.5.16)

9 dir [21,22,23].

Sonsuz küçük dönüĢümün tekrar uygulanması ile sonlu bir dönüĢüm elde edilir. X üreteci; vektör alanının integral eğrilerinin grup yörüngeleri olduğunu ifade eder. Yani  0 da x,y baĢlangıç değerleri ile

) ~ , ~ ( ~ ), ~ , ~ ( ~ y x y y x x _          , (2.5.17) ifadelerinin integrali alınırsa

), ; , ( ~ ~_{x x x y } ~_{y } ~_{y(x,y;), (2.5.18)} Ģeklindeki sonlu nokta dönüĢümüne varılır.

Sonsuz küçük üreteç, grubun yörüngelerini tek Ģekilde belirler. Fakat yörüngeler sabit bir çarpan kadar farklı üreteç verirler [22].

Örneğin;   sin cos

~_{x x y ;} ~_{y xsin ycos (2.5.19)} dönmesi ile verilen bir parametreli grubun sonsuz küçük üreteci;

y x     0 ~   , x y    0 ~   (2.5.20) olmak üzere y x x y        X , (2.5.21) dir. Benzer Ģekilde



  x x

~ _, ~_{y  y (2.5.22)} yatay dönüĢümü ile verilen bir parametreli grubun sonsuz küçük üreteci

x    X , (2.5.23) dir. x e x   ~ _, ~_{y e}_{y (2.5.24)}

ölçeklenmesi ile verilen bir parametreli grubun sonsuz küçük üreteci ise

x x _   0 ~   , y y _   0 ~   (2.5.25) olmak üzere y y x x       X (2.5.26)

10

dir. Görüldüğü gibi üreteçler Lineer operatörler Ģeklindedirler [22,23].

2.6 Üreteçlerin DönüĢüm ve Normal Formları

(2.5.12) ile verilen X üretecinde x ve y değiĢkenleri yerine u(x,y) ve v(x,y) değiĢkenleri alındığında  ve  bileĢenlerinin alacağı Ģekli inceleyelim. Bunun için (2.5.15) ile verilen ve i n i x x b    ( ) X , i1,...,N (2.6.1) Ģeklinde ifade edilen üreteçleri göz önüne alalım. (2.6.1) de

) ( i i i x x x   , 0    i i x x (2.6.2) dönüĢümü yapılırsa i i i i _{x x} x x          (2.6.3) olacağından, dönüĢüm kuralı; i i i i _b x x b      (2.6.4) olmak üzere i i x b  _    X (2.6.5) olur. Görüldüğü gibi (2.6.2) ve (2.6.4) den X üretecinin bi bileĢenleri bir vektörün kontravaryant bileĢenleri Ģeklinde değiĢmektedir. Ayrıca

n n i i n b x x b x     X (2.6.6) n n b x    X (2.6.7) olduğundan X üreteci i i i i x x x x  _      (X ) (X ) X (2.6.8) Ģeklinde farklı bir formda yazılabilir. Bu kural ile; eğer X üretecinin xi koordinatlarında ki yazım Ģekli bilinirse xi(xi) koordinatlarındaki bileĢenleri yazılabilir.

11

(2.5.24) ölçeklenmesi ile verilen bir parametreli grubun (2.5.26) sonsuz küçük üreteci

x y

u  , vxy (2.6.9) koordinatlarında ifade edilirse

v xy xy y y x x v x y y y x x u 2 2 ) ( 0 ) (                X X (2.6.10) veya v v v v u u         (X ) (X ) 2 X ; (2.6.11) olur. (2.5.19) dönmesi ile verilen bir parametreli grubun (2.5.21) üreteci

x y arctg y x r     2 1 ) ( 2 2 (2.6.12)

polar koordinatlarda ifade edilirse;

1 ) ( 0 ) )( ( 2 1 2 2                  x y arctg y x x y y x y x x y r  X X (2.6.13) veya            (X ) (X ) X r r (2.6.14) olarak bulunur [22]. (2.6.1) üretecinin s    X (2.6.15) Ģeklinde ifade edilebildiği koordinatlar bulunabilir. Üretecin bu Ģeklinde yazılıĢına “Üretecin Normal Formu” denir.

12 N n N i x x b x x s b s i n i n i i ,..., 2 , ,... 2 , 1 , 0 1              X X (2.6.16)

denklemlerinden oluĢan sistem



s(xi),xn(xi)



(2.6.17) Ģeklinde aĢikar olmayan çözümlere sahiptir. (2.6.15) normal formu, (s,xn) koordinatlarına dönüĢüm yapılarak bulunabilir [22, 23].

2.7 Üreteçlerin GeniĢlemeleri

(2.5.18) ile verilen bir nokta dönüĢümü 0 ) ,... , , , (x y y y y(n)  H (2.7.1) diferansiyel denklemine uygulanmak istendiğinde, denklemdeki (n)

y türevlerinin nasıl dönüĢtüğünün yani nokta dönüĢümlerinin türevlere nasıl geniĢlediğini bilinmesi gerekir. Bu; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ) ; , , , ( ~ ~ ~ ~ ) ; , , ( ~ ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ; , ( ~ ) ; , ( ~ ~ ~ ~     y y y x y x d y d y y y x y x x y x y x y y y y y x x d y x y d x d y d y                           (2.7.2)

tanımları ile yapılır [22]. Görüldüğü gibi dönüĢtürülmüĢ türevler dönüĢtürülmüĢ değiĢkenlere karĢı gelen türevlerdir.

Nokta dönüĢümlerinin türevlere geniĢlemesi ile buna bağlı olarak X sonsuz küçük üreteçlerinin geniĢlemelerini inceleyelim. Bunun için önce

, ~ 0          y …., 0 ) ( ) ( ~        n y n (2.7.3) Ģeklinde _{,,,...,}(n) _{tanımlanarak (2.5.13)’e benzer Ģekilde}

13 ... ... ) ,..., , , ( ~ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ) , , ( ~ ... ... ) , ( ~ ... ... ) , ( ~ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{      }                         n n n n n n _{y x y y y y y} y y y y y x y y y y y x y y x x y x x x X X X X          (2.7.4)

değerleri bulunur. (2.7.4) ifadeleri (2.7.2) de bulunan ~( )

,..., ~ , ~ n y y y  türevlerinde yerlerine konulursa; ~y türevinin değeri;

... ) ( 1 ... ) ( ... ... ~ ~ ... ~                   dx d dx d y d dx d dy x d y d y y           (2.7.5)

veya (2.7.5) in pay ve paydası 1 ( )... dx d  ile çarpılırsa                                   ... ) ( 1 ... ) ( 1 ... ) ( 1 ... ) ( ... ... ~ ~ ... ~ dx d dx d dx d dx d y d dx d dy x d y d y y _              (2.7.6)

olarak bulunur. Bu ifadedeki  2( )2 ... dx d

 terimleri ihmal edilerek ~y;

... ... ~ _      _{ }          dx d y dx d y y y     , (2.7.7) Ģeklinde yazılır. Buradan (2.7.3) ile tanımlanan  nin

dx d y dx d     (2.7.8) olduğu görülür. Benzer Ģekilde ~(n) y türevi de; ... ~ ~ ... ~ ( ) ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (                 dx d y dx d y x d y d y y n n n n n n n     (2.7.9)

olarak bulunur. Burada (i), (i1,...,n) değerleri

y y x y y x dx d y dx d                          2 ) ( , (2.7.10)

14 dx d y dx d n n n    ( ) ) 1 ( ) (    (2.7.11) Ģeklindedir. (2.7.11) bağıntısı _(n)

ler için bir tekrarlama bağıntısıdır ve bu bağıntı

   ( ) ( 1) ) (      n n n n y y dx d (2.7.12) Ģeklinde yazılabilir. Burada _(n)

gösterimi  nın n .inci mertebe türev gösterimi

değildir. Böylece; Eğer y y x x y x      ( , ) ( , ) X (2.7.13) ifadesi bir nokta dönüĢümünün sonsuz küçük üreteci ise bu durumda

) ( ) ( ... n n y y y x _                  X (2.7.14) ifadesi de bu üretecin n.ci mertebeden türeve geniĢlemesidir.

(2.7.14) geniĢleme formülündeki _(n)

lerin (2.7.12) ile verilen tekrarlama bağıntısının ilk iki adımı olan

2 , , , , ( )y y dx d y dx d y x y x                 (2.7.15) y y y y y dx d y dx d y x y yy xy yy xx yx xx                    ) 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , , , 3 , 2 , , , , ,             (2.7.16)

eĢitlikleri göz önüne alınırsa, (n) lerin y,y,...,y(n), n2 , değerleri için en yüksek mertebeden y(n) türevine göre lineer polinomlar olduğu görülür [22,23,24].

Örneğin (2.5.19) deki bir parametreli dönmeler ve buna karĢı gelen geniĢletilmiĢ üreteç için x y y x _          0 0 ~ , ~       (2.7.17) olup (2.7.11) den

15 , 4 3 , 3 , 1 2 2 y y y dx d y dx d y y dx d y dx d y dx d y dx d                                   (2.7.18)

hesaplanarak (2.7.14) de yerine yazılırsa üreteç

... ) 4 3 ( 3 ) 1 ( 2 2                             y y y y y y y y y y x x y X (2.7.19) Ģeklinde bulunur. x    X (2.7.20) örneği, (2.7.14) geniĢlemesinde  1 ve  0 veya  0,  1 ve tüm (n) ler özdeĢ olarak sıfır olduğunda normal formun geniĢletilmiĢ üreteç ile çakıĢtığını ifade eder [22,23].

2.8 Çok Parametreli DönüĢümler

DönüĢümler birden fazla parametreye sahip olabilirler. (2.5.18) dönüĢümü yerine ) ; , ( ~ ~ N y x x x   , ~y  y~(x,y;_N) N1,2,...,r (2.8.1) dönüĢümleri yazılabilir.

Her bir _N parametresi için X sonsuz küçük üreteci _N

0 ~ ) , (     M N N x y x    , 0 ~ ) , (     M N N y y x    , (2.8.2) olmak üzere y y x x y x _N N _      ( , )  ( , ) N X , (2.8.3) Ģeklindedir. N in, ) ˆ ( M N N     , N(0)0 (2.8.4) Ģeklinde yeniden ölçeklendirilmesi sabit bir çarpan ile X ’ i ölçekler. _N

16 Örneğin; M M N N M M N M M N N B x x L L L                           0 ˆ 0 ˆ 0 ~ ~ ˆ _{, (2.8.5)} olduğundan M N

B sabit katsayıları ile X ler arasında _N

M

N X

Xˆ B_NM (2.8.6) Ģeklinde bir iliĢki vardır [22].

Özel bir dönüĢümü belirtmek için farklı _A değerlerinin birbirine nasıl bağlı olduklarının bilinmesi gerekir. Bu özel dönüĢüm için sonsuz küçük üreteç

N N N N a x x _                  0 0 ~ ~ , N _N a    (2.8.7) olmak üzere N X X aN (2.8.8) Ģeklindedir. Yani sonsuz küçük üreteç X taban üreteçlerinin bir lineer bileĢimidir. _N

)

(xy düzleminde

2 1, ~

~_{x  x y  y (2.8.9)} Ģeklindeki iki parametreli öteleme grubu göz önüne alınırsa; üreteçler

y x       ₂ 1 X X , (2.8.10) ve özel üreteç de y a x a       1 2 X (2.8.11) olur.

Biçimsel olarak bir parametreli grup ile çok parametreli grup üreteçleri arasındaki tek fark çok parametreli grup üretecinin lineer olarak bazı N

a parametrelerini içermesidir [22].

17

BÖLÜM 3

LIE NOKTA SĠMETRĠLERĠ VE KULLANIMI

3.1 DeğiĢmezlik ve Lie nokta simetrileri

3.1.1 Sonsuz Küçük DönüĢüm Altında DeğiĢmezlik )

, ( ~

~_{x  x x y ,} ~_{y }~_{y(x,y) (3.1.1.1)} Ģeklindeki bir nokta dönüĢümü diferansiyel denklemin çözümlerini yine aynı denklemin çözümlerine eĢliyorsa bu dönüĢüme denklemin simetri dönüĢümü veya simetrisi denir.

(3.1.1.1) dönüĢümü ile 0 ) ,..., , , (x y y y(n)  H (3.1.1.2) denklemi değiĢmez ve (3.1.1.1) , (3.1.1.2) den

0 ) ~ ,..., ~ , ~ , ~ (x y y y(n)  H (3.1.1.3) denklemi elde edilir.

Simetri; denklem ve denklemin çözümlerinde bulunan değiĢkenlerin seçiminden bağımsızdır, eğer keyfi bir nokta dönüĢümü yapılırsa bu durumda sadece simetrinin açık formu değiĢir.

Simetriler diferansiyel denklem çalıĢmalarında önemli bir araçtır. Bir simetri dönüĢümünün ) ; , ( ~ ~_{x  x x y  ,} ~_{y } ~_y(x,y;), ~_y~_{y(x,y,y;),… (3.1.1.4)} Ģeklinde en az bir  parametresi içerdiği varsayılsın. (3.1.1.4) dönüĢümüne Lie nokta simetrisi denir [22].

Simetri koĢulunun bir analitik formunu belirleyelim. (3.1.1.3) denklemi her  değeri için geçerli olacağından denklemin ’a göre türevinden

0 ~ ~ ... ~ ~ ~ ~ ) ~ ,..., ~ , ~ ( 0 ) ( ) ( 0 ) (                                  n n n y y H y y H x x H y y x H (3.1.1.5)

18 bağıntısı elde edilir. Eğer

x H x H      0 ~  olup 0 ~ ) , (        x y x , 0 ~ ) , (        x y y , , ~ 0          y …., 0 ) ( ) ( ~      

 n y n _{tanımları kullanılırsa (3.1.1.5) ifadesinin}

0 ... ( ) _{( )}                n n y H y H y H x H _{  }  (3.1.1.6) veya 0  H X (3.1.1.7) ifadesine denk olduğu görülür. Eğer H 0 diferansiyel denklemi X üreteçli simetrilerden oluĢan bir grubu kabul ederse bu durumda (3.1.1.7) ifadesi daima doğrudur ve H 0 denklemi sonsuz küçük dönüĢüm altında değiĢmezdir.

0 

H olmak üzere, eğer bazı X ler için XH 0 ise bu simetri üreteci daima

s 

 

X (3.1.1.8) Ģeklinde normal forma dönüĢtürülebilir. s değiĢkeni, yeni bir x~ bağımsız değiĢkeni olarak seçilir ve ~ sembolü kaldırılırsa (3.1.1.7) denklemi

0     x H H X (3.1.1.9) Ģeklini alır. Bu bağıntı genelde doğru ise H, x den bağımsızdır. Fakat (3.1.1.9) denkleminin sadece H 0 denkleminin çözümleri için sağlanması gerektiğinden bu sonuç her zaman mümkün olmayabilir [22].

0  H ’ın çözümleri için 0   x H

olması H’ın x ’den bağımsız olması demek değildir. Diferansiyel denklemin bu durumundan kurtulmak için, denklemin en yüksek mertebeden türeve göre çözülebileceği varsayılarak H 0 da H’nın tüm birinci mertebeden türevlerinin sıfıra eĢit olmadığı kısıtlaması getirilebilir ve böylece denklem

0 ) ,...., , ( ( 1) ) (     n n y y x y H  (3.1.1.10) Ģeklinde yazılır. Bu durumda;

0        x x H H  X (3.1.1.11)

19

ifadesi H’ın x ten bağımsız olduğunu gösterir. Böylece ~x  x Ģeklindeki sonlu bir dönüĢümün H’ı değiĢtirmediği ve diferansiyel denklemin bir simetrisi olduğunu ifade eder. Bu sonuç; 0 ) ,..., , , (x y y y(n)  H (3.1.1.12) Ģeklindeki bir adi diferansiyel denklemin, X üreteçli simetrilerinin bir grubunu kabul etmesi için gerek ve yeter koĢul

) 0 mod ( 0   H H X (3.1.1.13) olmasıdır Ģeklinde ifade edilir [22].

3.1.2 Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemler Arasındaki ĠliĢkiler .

n mertebeden adi türevli diferansiyel denklemler ile (n1) değiĢkenli birinci mertebeden lineer kısmi türevli diferansiyel denklemler arasında yakın bir iliĢki vardır.

Böyle bir kısmi diferansiyel denklem 0 ) ( ) (        r i r i i i x f x x a f x a f A i,r1,...,n1 (3.1.2.1) Ģeklinde ifade edilir.

Eğer f denklemin bir çözümü ise Af 0 ve (xk)Af 0 denklemleri aynı çözüm kümesine sahiptirler. Bunun sonucu olarak F( f) keyfi fonksiyonu da (3.1.2.1) denkleminin bir çözümü olur.

X üretecinin normal forma dönüĢtürülmesine benzer Ģekilde

i i x a    A (3.1.2.2) lineer operatörü 0    A (3.1.2.3) olmak üzere n x x s s ( i),  ( i),  1,2,3,..., (3.1.2.4) Ģeklinde uygun koordinatlar tanımlanarak daima

s 

 

A (3.1.2.5) Ģeklinde kendi normal formuna dönüĢtürülebilir.

20

Burada hem s hem de , tek Ģekilde belirlenemezler. A operatörünü normal forma dönüĢtürmek için (3.1.2.3) ve (3.1.2.5) ifadelerini etkilemeksizin,

) ( S s s  (3.1.2.6) ve ) ( ˆ ˆ _ _   (3.1.2.7) dönüĢümlerini yapmak mümkündür. (3.1.2.2), (3.1.2.3), (3.1.2.4) ve (3.1.2.5) bağıntılarından (3.1.2.1) denkleminin bağımsız çözümlerinin sayısı n olarak belirlenir, bu da bağımsız  fonksiyonlarının sayısına eĢittir.

0  f

A denkleminin çözülmü ile A nın (3.1.2.5) Ģeklinde normal formuna dönüĢmesi aynı problemlerdir.

Buna karĢılık; (n1) boyutlu uzayda Af 0 denkleminin çözümleri olan n tane bağımsız ( i)

x



 fonksiyonlarının bir sistemi verilmiĢ ise, bu durumda  fonksiyonu, A’yı sabit olmayan bir  çarpanı kadar değiĢtirir. Eğer  ve bazı s(xi) fonksiyonları koordinat olarak alınırsa bu durumda, A operatörü

s 



operatörü ile orantılı olmalıdır.

Bunun sonucu olarak adi türevli diferansiyel denklemler ile (3.1.2.1) bağıntısı ile verilen kısmi türevli diferansiyel denklemler arasında iliĢki kurulabilir.

Bunun için n mertebeden bir adi diferansiyel denklem . ) ,...., , ( ( 1) ) (n   n y y x y  (3.1.2.8) Ģeklinde yazılır. Buna karĢı gelen n1 değiĢkenli kısmi türevli diferansiyel denklem

0 ) ... ( _{( 1)}                  _ f y y y y y x f  _n A (3.1.2.9) dir. Bu denklemdeki ( 1) ,...., ,    n y y

y büyüklükleri x ve y bağımsız değiĢkenlerinin davranıĢına sahiptirler [22].

(3.1.2.8) ve (3.1.2.9) denklemleri arasındaki iliĢki, her iki denklemde bulunan  fonksiyonuna dayanır. Ġlk integral; (3.1.2.8) denkleminin çözümleri boyunca sabit olan

) ,...., , (  ( 1)  n y y x z

z Ģeklinde bir fonksiyonudur. Eğer y(n) ile  yer değiĢtirirse 0 ... ( ) _{( 1)}                  n _n y z y y z y y z y x z dx dz (3.1.2.10)

21

olur. z z(x,y,y,....,y(n1))z₀ sabit ın y(n1)’e göre çözülmesi ile

) ; ,...., , ( ˆ ( 2) ₀ ) 1 ( z y y x y n  n (3.1.2.11) denklemi elde edilir. Ġlk integral, diferansiyel denklemin mertebesini bir mertebe düĢürmede kullanılabilir.

(3.1.2.10) ile verilen ilk integral tanımı ile (3.1.2.9) ile verilen denklem karĢılaĢtırıldığında, Af 0 denkleminin her  çözümünün y(n)  denkleminin bir z ilk integrali olduğu görülür. Ayrıca  çözümlerinin her tam kümesi, y’nin türevlerinin   _  0 ) 1 ( ) ,...., , , (x y y y n   1,2,...,n (3.1.2.12) sisteminden yok edilmesi ile elde edilen adi diferansiyel denklemin y y(x,₀) Ģeklindeki genel çözümüne karĢı gelir. Buradaki 0 sabitleri, diferansiyel denklemin

integrasyon sabitleridir. Örnek EK-A. Diğer taraftan (n)  y diferansiyel denklemi; 0 ) ... ( _{( 1)}                  _ f y y y y y x f  _n A (3.1.2.13)

de tanımlanan A lineer operatörü ve denklemin

) 1 ( ) 1 ( ...  _                n _n y y y x     X (3.1.2.14) üreteciyle belirlenen Lie nokta simetrisi ile ifade edilebilir. Bu nedenle A operatörü ve

X üreteci aynı kavramlardır [22].

X üretecinin (3.1.2.13) denkleminin bir simetrisi olması için sağlanması gereken koĢulları belirleyelim. Bunun için denklemin n tane bağımsız  çözümlerinin bir tam kümesini gözönüne alalım. Simetri üreteci, çözümleri çözümlere eĢlediğinden  bir çözüm ise X da bir çözüm olmalıdır. Buradan

 

   A

A 0 , X () (3.1.2.15) denklemleri elde edilir. (3.1.2.15) deki bilinmeyen  fonksiyonlarını yok etmek için

22





) 1 ( ) 1 ( )] ( ) [( ... )] ( ) [( ) ( ,                   n n y w y y x    A X A X A AX XA A X (3.1.2.16)

Ģeklinde tanımlanan X veA operatörlerinin komütatörünü göz önüne alalım. (3.1.2.15) den



X,A



  X(A)A(X)0 (3.1.2.17) olur. Bu eĢitlik tüm  fonksiyonları için geçerli olduğundan



X,A



f 0 ve Af 0 denklemleri aynı çözüm kümesine sahip olurlar. Bu ise



X ,A



ve A operatörlerinin  sabit olmayan bir çarpan olmak üzere



X,A



(x,y,...,y(n1))A (3.1.2.18) olduğunu ifade eder.

Buradaki  fonksiyonunun, (3.1.2.16) ve (3.1.2.18) bağıntılarından x 

 in katsayılarının karĢılaĢtırılması ile

                y y x     A (3.1.2.19) olduğu görülür. Eğer (3.1.2.18) koĢulu sağlanırsa, bu durumda X operatörü, Af 0 denkleminin bir simetrisi olur. Buradan simetrinin (3.1.1.14) ve (3.1.2.18) tanımlarının eĢdeğer olduğu görülür. Eğer ) 0 mod ( 0   H H X (3.1.2.20) veya



X,A



A (3.1.2.21) bağıntıları sağlanırsa (3.1.1.2) (3.1.2.8) veya (3.1.2.9) formlarından biri ile ifade edilebilen diferansiyel denklem

dx d y dx d y y y y x x y x m m m i i        ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( , ... ) , ( ) , (                   X (3.1.2.22)

23 3.2 Simetrilerin Bulunması

3.2.1 Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlerin Simetri KoĢulu

Bir H(x,y,y,...,y(n))0 diferansiyel denkleminin Lie nokta simetrilerinin bulunması için (3.1.2.20) simetri koĢulundaki (x,y),(x,y) nın fonksiyonlarının bulunması gerekir. Simetri koĢulu; (n)

X (mody(n) ) olmasından dolayı, (n) de görülen (n)

y ,  ile yer değiĢtirmek ve (i)

dx d y dx d i i i    () ) 1 ( ) ( _{ }  (3.2.1.1) olmak üzere ) ( ) 1 ( ) 1 ( ... n _n n y y y x        _                       _ X (3.2.1.2) Ģeklinde verilir.

(3.2.1.2) koĢulu  ve  fonksiyonlarına göre bir lineer denklemdir ve tüm

) 1 ( ,...., , ,y y y n

x değiĢkenleri için özdeĢ olarak sağlanmalıdır.  ve , x ve y nin fonksiyonları olduklarından bu lineer denklem genellikle aĢikar çözümleri bulunabilen kısmi türevli diferansiyel denklemlere ayrılabilir.

) , (x y

y (3.2.1.3) adi diferansiyel denklemi için

y x        A (3.2.1.4) olmak üzere (3.2.1.2) simetri koĢulu

x x y y y x                                         X (3.2.1.5) veya y y x y x x , , , 2 , , ,                (3.2.1.6) Ģeklinde yazılır. (x,y) fonksiyonu ile verilen bu kısmi türevli diferansiyel denklem daima sıfırdan farklı (x,y) ve (x,y) çözümlerine sahiptir. (3.2.1.3) denklemin çözümü (veya  ) oluĢturularak daha sonra (3.2.1.6) dan (veya  ) nın belirlenmesi ile yapılır [22,23].

24

Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümlerinin kümesi bir parametreli bir eğri ailesi olduğundan sonsuz sayıda simetriye sahiptirler. Simetri, çözümleri çözümlere tasvir eden bir dönüĢümle tanımlandığından X üreteci çözümleri çözümlere götürür ve bir vektör alanı oluĢturur. Bu alanda herhangi bir X vektörünün yönü tanımlanabilir. X ve Xˆ operatörlerinin farklı seçimleri, integral eğrileri yönünde bir yer değiĢtirme ile fark eder. Bu da analitik olarak; ˆ _{ve ˆ , x ve y nin} fonksiyonları olmak üzere eğer X bir simetri ise, [Xˆ,A]ˆA olduğundan

A X

Xˆ  (x,y) olması demektir. Bu bir simetridir ve (x,y)fonksiyonunun değiĢimi ile diferansiyel denklemin sonsuz sayıda simetrisi olduğu görülür [22].

3.2.2 Ġkinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Ġçin Simetri KoĢulu )

, , (x y y

y  (3.2.2.1) formundaki bir ikinci mertebeden diferansiyel denklem için (3.2.1.2) simetri koĢulu

      _                   y y x X (3.2.2.2) olur. Eğer  ve  için (2.7.15) ve (2.7.16) bağıntıları kullanılır ve y yerine  alınırsa (3.2.2.2) simetri koĢulu





0 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 3 2 ( , 3 , , 2 , , , , 2 , , , , , , , , ,                      _ yy xy yy xx xy xx y x y x y y x y x y y y y y y y                    (3.2.2.3) olur. Bu koĢul; x,y ve y ye göre bir özdeĢliktir ve (x,y),(x,y) fonksiyonları y den bağımsız olduklarından (3.2.2.3) denklemi y den bağımsız denklemlere ayrılır. Bu denklemlerden simetri için gerekli olan (x,y) ve (x,y) fonksiyonları belirlenir [22,23].

En basit ikinci mertebeden diferansiyel denklem 0

 

y (3.2.2.4) denklemidir [22,23]. (3.2.2.3) simetri koĢulundan y0 alınırsa simetri koĢulu

0 ) 2 ( ) 2 ( _{, ,} 2 _{, ,} 3 _, ,xx y yx xx y yy  xy yyy   (3.2.2.5)

25 0 0 2 0 2 0 , , , , , ,       yy xy yy xx xy xx       (3.2.2.6)

denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden elde edilen (x,y) ve (x,y) fonksiyonlarından X üreteci y y a xy a y a x a a x x a xy a y a x a a              ( ) ( 6 7 8 5 4 2) 2 5 4 3 2 1 X (3.2.2.7) Ģeklinde belirlenir [22,23].

3.2.3 Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Ġçin Simetri KoĢulu 2  n olmak üzere ) ,...., , ( ( 1) ) (n   n y y x y  (3.2.3.1) Ģeklindeki diferansiyel denklemlerin simetrileri ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin simetrilerinin bulunmasında izlenen yönteme benzer Ģekilde bulunur. Önce (3.2.1.1) tanımına göre (i) _,

n

i1,2,..., hesaplanır, daha sonra (3.1.1.14) veya (3.2.1.2) simetri koĢulundan ortaya çıkan kısmi türevli diferansiyel denklemlerden

) , (x y

 ve (x,y) fonksiyonları hesaplanır.  ve  nın hesaplandığı diferansiyel denklemler daima lineer denklemlerdir ve bu denklemler yardımı ile elde edilen simetriler genellikle y y x x y y y x x x x b a ) 1 ( ~ , ) 1 ( ~ ); 1 ( ~ ; ~ ; ) 1 ( ~ ; ~                   (3.2.3.2) sonlu dönüĢümlerine karĢı gelir ve sırası ile

y y y x x x             X X X X , , , , y y b x x a       X (3.2.3.3) Ģeklinde ifade edilirler [22].

.

n ci mertebeden genel bir lineer diferansiyel denklem



   n i i i x y g x f y L 0 ) ( ) ( ) ( ) ( (3.2.3.4) Ģeklinde verilir. Bu denklemin genel çözümü; c1,c2,...,cn keyfi sabitler ve

) ( ),..., ( ), ( ₂ 1 x u x u x u _n ler

26



   n i i i x y f y L 0 ) ( 0 ) ( ) ( (3.2.3.5) homojen denkleminin genel çözümü, y_inh(x) homojen olmayan (3.2.3.4) denkleminin bir özel çözümü olmak üzere



   n k k k inh x c u x y x y 1 ) ( ) ( ) ( (3.2.3.6) dir. Buradan da n tane lineer bağımsız uk(x) fonksiyonlarının bir sabitle çarpımının

) (x

y çözümüne eklenmesi ile diğer bir çözümün elde edilebileceği görülür. Bu ise k

a bir sabit olmak üzere



   n k k k x u a y y 1 ) ( ~ _{ (3.2.3.7)} nin



       n k k k y x u a y x 1 ) ( ) (  X (3.2.3.8) üreteçli bir simetri dönüĢümü olduğunu ifade eder [22].

3.3 Bir Lie Nokta Simetrisi Bilinen Diferansiyel Denklemler ve Çözümleri 3.3.1 Integral Çarpanı ) , (x y y diferansiyel denklemi y y x x y x      ( , ) ( , ) X (3.3.1.1) üreteçli bir simetri kabul ederse, bu diferansiyel denklemin çözümü

sbt y x y x y x dx y x dy y x     



0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (       (3.3.1.2)

Ģeklinde bir çizgi integrali ile verilir. Teorem

Eğer y(x,y) diferansiyel denklemi (3.3.1.1) Ģeklinde bir simetri kabul ederse,  0 olmak üzere

1

)

(  

  

M (3.3.1.3) ifadesi diferansiyel denklemin bir integrasyon çarpanı olur.

27 x y x y x y( , )1tan(  )/ (3.3.1.4) diferansiyel denklemini göz önüne alalım [22]. Bu denklem için (x,y)0 ve

1 )] cos( [ ) , (x y  x xy 

 Ģeklinde olup (3.3.1.2) ifadesinden





) sin( ] ) sin( [ ] ) sin( ) cos( ) cos( [ y x x y x x d dy y x y x x dx y x x            





 (3.3.1.5)

bulunur.  ₀ sbt alınırsa denklemin genel çözümü ) / arcsin( ₀ x x y   (3.3.1.6) olur [22].

3.3.2 Bir Simetrisi Bilinen Yüksek Mertebeden Denklemler ) ,..., , , , ( ( 1) ) (n _   n y y y y x y  (3.3.2.1) veya 0 ... _{( 1)}                  _ f y y y x f  _n A (3.3.2.2) diferansiyel denkleminin ) 1 ( ) 1 ( ... ) , ( ) , (  _           n _n y y y x x y x    X (3.3.2.3)

Ģeklinde bir simetrisi olsun. Bu simetri (3.3.2.1) diferansiyel denklemin çözümünün bulunmasında kullanılır [22].

Gerçekten; X simetri üretecinin

s 

 

X~ Ģeklinde normal forma dönüĢtürüldüğünü varsayalım. Normal forma dönüĢtürme (x,y)-uzayında

) , ( ~ , ) , (

~_{x t x y y s x y Ģeklinde bir koordinat dönüĢümü ile yapılabilir. (3.3.2.1)} diferansiyel denklemi; bu koordinatlardan elde edilen s(t) fonksiyonu ile

) ,..., , , , ( ~ ( 1) ) (n    n s s s s t s  (3.3.2.4) Ģeklini alır. Diğer taraftan yüksek mertebeden diferansiyel denklemler için

) ( ~ ~ ~  n X (mod ~y(n) ~ ) (3.3.2.5) Ģeklindeki simetri koĢulundaki ~(n)

değeri 0 ~ ~ ~ ( ) ) 1 ( ) ( _{  }  dx d y dx d n n n    , n1 (3.3.2.6)