Gecikmeli parabolik bir diferansiyel denklemin çözümleri

(1)

T.C.

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GECİKMELİ PARABOLİK BİR DİFERANSİYEL

DENKLEMİN ÇÖZÜMLERİ

İSMAİL HAKKI GÜRBEY

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN: YRD. DOÇ. DR. DENİZ AĞIRSEVEN

EDİRNE 2013

(2)

GECİKMELİ PARABOLİK BİR DİFERANSİYEL

DENKLEMİN ÇÖZÜMLERİ

İSMAİL HAKKI GÜRBEY

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

2013

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

(3)

T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü onayı

Prof. Dr. Mustafa ÖZCAN

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü Bu tezin Yüksek Lisans/Doktora tezi olarak gerekli şartları sağladığını onaylarım.

Prof. Dr. Hülya İŞCAN Anabilim Dalı Başkanı

Bu tez tarafımca (tarafımızca) okunmuş, kapsamı ve niteliği açısından bir Yüksek Lisans/ Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Yrd. Doç. Dr. Deniz AĞIRSEVEN Tez Danışmanı Bu tez, tarafımızca okunmuş, kapsam ve niteliği açısından Matematik Anabilim Dalında bir Yüksek lisans tezi olarak oy birliği ile kabul edilmiştir.

Jüri Üyeleri: İmza

Prof. Dr. Allaberen ASHYRALYEV ………

Prof. Dr. Mustafa ÖZCAN ………

Yrd. Doç. Dr. Deniz AĞIRSEVEN ………

(4)

T.Ü.FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI DOĞRULUK BEYANI

İlgili tezin akademik ve etik kurallara uygun olarak yazıldığını ve kullanılan tüm literatür bilgilerinin kaynak gösterilerek ilgili tezde yer aldığını beyan ederim.

... / .... / 2013

(5)

Yüksek Lisans Tezi

Gecikmeli Parabolik Bir Diferansiyel Denklemin Çözümleri T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

ÖZET

Bu çalışmada gecikmeli parabolik bir diferansiyel denklemin değişkenlerine ayırma ve Fourier serileri ve Laplace dönüşüm metotları kullanılarak tam çözümü ve homotopi analiz metodu kullanılarak yaklaşık çözümü bulunmuştur. Homotopi analiz metodu ile bulanan yaklaşık çözüm ile birinci basamaktan doğruluklu fark şemasının nümerik çözümleri karşılaştırılarak elde edilen sonuçlar tablolarla verilmiştir.

Yıl : 2013

Sayfa Sayısı: 88

Anahtar Kelimeler: Gecikmeli Parabolik Denklemler, Değişkenlerine Ayırma ve Fourier Serileri ile Çözüm Metodu, Laplace Dönüşümü Metodu, Homotopi Analiz Metodu, Fark Şemaları Metodu

(6)

Master’s Thesis

Solutions of a Delay Parabolic Equation Trakya University Institute of Natural Sciences Department of Mathematics

ABSTRACT

In this study, exact solution of a delay parabolic equation is found by using separation of variables and Fourier series and Laplace transform methods and approximate solution of the same equation is found by using homotopy analysis method. The approximate solution found by using homotopy analysis method and numerical solutions found by first order of accuracy difference scheme are compared and the obtained results are given with tables.

Year : 2013

Number of Pages : 88

Keywords: Delay Parabolic Equations, Separation of Variables and Fourier Series Method, Laplace Transform Method, Homotopy Analysis Method, Method of Difference Schemes

(7)

TEŞEKKÜRLER

Eğitim hayatım boyunca teşekkür etme fırsatı bulamadığım, üzerimde emeği olan saygıdeğer hocalarıma, üniversite hayatımda sağladıkları bilimsel katkının yanında, sabırlı ve anlayışlı davranışlarıyla örnek birer insan olmalarından dolayı Matematik Bölümü sayın hoca ve asistanlarına, tez sürecinde tüm bilgi, birikim ve hoşgörüsüyle büyük katkı sağlayan değerli hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Deniz AĞIRSEVEN' e ve koşulsuz desteklerinden dolayı sevgili aileme çok teşekkür ederim. .

(8)

İÇİNDEKİLER

ÖZET...i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR...iii İÇİNDEKİLER...iv SİMGELER DİZİNİ...vi TABLOLAR...vii 1. GİRİŞ...1-4 2. GECİKMELİ PARABOLİK BİR DENKLEM İÇİN NEUMANN TİPİ SINIR KOŞULLU BAŞLANGIÇ VE SINIR DEĞER PROBLEMİNİN DEĞİŞKENLERİNE AYIRMA VE FOURIER SERİLERİ METODU İLE ÇÖZÜMÜ...5-14 3. GECİKMELİ PARABOLİK BİR DENKLEM İÇİN NEUMANN TİPİ SINIR KOŞULLU BAŞLANGIÇ VE SINIR DEĞER PROBLEMİNİN LAPLACE DÖNÜŞÜM METODU İLE ÇÖZÜMÜ

3.1. Laplace Dönüşümü...15-18 3.2. Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri...18-20 3.3. Laplace Dönüşümünün Türevi ve İntegrali...20-21 3.4. Türevin Laplace Dönüşümü...21-23 3.5. Laplace Dönüşümünün Kısmi Diferansiyel Denklemlere Uygulanması...23-24 3.6. Gecikmeli Parabolik Bir Denklem için Neumann Tipi Sınır Koşullu Başlangıç ve Sınır Değer Probleminin Laplace Dönüşüm Metodu ile Çözümü...25-33 4. GECİKMELİ PARABOLİK BİR DENKLEM İÇİN NEUMANN TİPİ SINIR KOŞULLU BAŞLANGIÇ VE SINIR DEĞER PROBLEMİNİN HOMOTOPİ ANALİZ METODU İLE ÇÖZÜMÜ...34-66 5. SONUÇLAR...67-71 KAYNAKLAR...72-76

(9)

(10)

SİMGELER DİZİNİ

( )

f

L : f fonksiyonunun Laplace dönüşümü

 : Yakınsaklık kontrol parametresi

app u : Yaklaşık çözüm : ex u Tam çözüm : er u Mutlak hata

( )

A

D : A operatörünün tanım kümesi

(

A E

)

E

E_α = _α , : E Banach uzayında A operatörü ile tanımlı fractional uzay

Kısaltmalar

(11)

TABLOLAR

Tablo 4.1.: HAM ile =−1 için 3 π =

x 'deki Mutlak Hata ...67 Tablo 5.1.:

(

0.5,π 3

)

noktasında =−1 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması ………...70 Tablo 5.2.:

(

1.5,π 3

)

noktasında =−1 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması………...70 Tablo 5.3.:

(

2.5,π 3

)

noktasında =−1 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması………...………...70 Tablo 5.4.:

(

3.5,π 3

)

noktasında =−1 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması ………..…………...71 Tablo 5.5.:

(

0.5,π 3

)

noktasında =−2 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması………...71 Tablo 5.6.:

(

1.5,π 3

)

noktasında =−2.1 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması………...……...……71 Tablo 5.7.:

(

2.5,π 3

)

noktasında =1.5 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması ………...71 Tablo 5.8.:

(

3.5,π 3

)

noktasında =2 iken HAM ve Fark Şemaları Metotlarının Mutlak Hata Karşılaştırması………...…72

(12)

BÖLÜM 1

GİRİŞ

Gecikmeli diferansiyel denklemler, doğal olarak meydana gelen salınımlı sistemler gibi, fiziksel, biyolojik ve sosyolojik süreçleri modellemek için kullanılır. İlk olarak 1942 yılında Minorsky [1], kendinden uyartımlı salınımlı dinamik sistemleri modellemek için kullanılan histerodiferansiyel denklemler fikrini tanıtmıştır. Minorsky, öz salınımlar gibi bazı doğal fenomenlerin gecikmeli zamana bağımlı olan bir eylemi tarif eden bir gecikmeli dinamik sistemi [2] tanımlayan bir hareket veya eylemin öncesinden etkilenmiş olabileceği önerisini ortaya atmıştır. Ayrıca, Minorsky bir kontrol sistemi içinde kendi kendini uyarmayı modelleme yeteneğinden dolayı bu sistemlerin önemini açıklamıştır.

g bir dış kuvvet olmak üzere; fiziksel sistemler genelde gecikmeli sönüme sahip

( )

t Kx

( )

t bx

(

t

)

g

( )

t

x′′ + ′ + −τ = (1.1) ve gecikmeli kuvvete sahip

( )

t Kx

(

t

)

bx

( ) ( )

t g t

x′′ + ′ −τ + = (1.2) sistemleriyle sınıflandırılır. Minorsky (1.1) ve (1.2) modellerini gemilerdeki stabilizasyon sistemlerini [3] çalışmak için kullanmıştır. Hareketli denge ağırlığı ile bir geminin hareketini kontrol etmeyle ilgili olan bu çalışmasında gecikme (denge ağırlığının yeniden ayarlanmasını temsil eden zaman) içeren bir realist matematiksel model yapmış ve gecikme çok büyükse hareketin salınımlı olduğunu gözlemlemiştir.

(13)

Bir adi diferansiyel denklem, şimdiki zamanda geleceği öngören denklemdir. Gecikmeli diferansiyel denklem ise şimdiki zamanın ve geleceğin bir biçimde geçmişe bağlı olduğu denklemdir. Bir adi diferansiyel denklemin karakteristik denkleminin derecesi sonlu iken bir gecikmeli diferansiyel denklemin karakteristik denkleminin derecesi sonsuzdur. Gecikmeli diferansiyel denklemin karakteristik denkleminin derecesinin sonsuz olması çözümde kendinden uyartımlı salınımlar gibi farklı çözüm davranışlarını destekleyen sonsuz sayıda öz değer olmasını sağlar. Gecikmeli diferansiyel denklemlerin bu özelliği, fiziksel kontrol sistemlerinin modellenmesinde bu denklemlerin kullanımına büyük avantaj sağlar.

Minorsky, fiziksel sistemlerde salınımlı fenomen modellemek için bir temel atmıştır. Onun bu konu üzerine araştırmalarından birçok fiziksel ve biyolojik sürecin modellenmesinde kullanışlı olan gecikmeli dengeleyici kuvvete ve gecikmeli sönüme sahip gecikmeli diferansiyel denklem modelleriyle tanışmış olduk.

Hutchinson, 1948’de bir dairesel nedensel sistemin dinamiğini tanımlayan gecikmeli lojistik sistem olarak bilinen bir gecikmeli diferansiyel denklem modeli geliştirmiştir [4]. Bir nedensel sistem, çıktının şimdiki veya geçmiş girdiye bağlı olduğu bir sistemdir. Bir dairesel nedensel sistem ise sistem yok olmasın diye farklı oranlarda ve sıklıkta sistemin bir parçasının diğerini etkilediği biçimde değişen nedensel bir sistemdir. Konak-parazit ilişkisi [5], bir parazit konak popülasyonunun gelişimini zorlayıcı bir şekilde değiştirmeden veya konağı öldürmeden yaşam döngüsünü tamamlayabileceği için konak popülasyonu var olmaya devam edeceğinden ekolojik dairesel nedensel sisteme bir örnektir. Bu modeldeki gecikme, büyüyen bir popülasyondaki gebelik periyodu veya bir parazitin yaşam döngüsü gibi modellenebilen ve sürecin doğal olarak meydana geldiği çeşitli özelliklerini temsil eder.

20. yüzyılda, 1950'lerde gecikmeli denklemler teorisi üzerine araştırmalar artmış ve araştırmacıların ilgisi ile hızlı bir gelişme kaydedilmiştir. Özellikle adi gecikmeli diferansiyel denklemler üzerine yapılan çalışmalar günümüzde de etkin bir şekilde gelişmeye devam etmektedir [6-10]. Gecikmeli denklemlerin nümerik çözümleri üzerine daha çok adi diferansiyel denklemlerde çalışılmıştır [11-15]. Bazı yazarlar gecikmeli adi diferansiyel denklemlerin kararlılığını çalışmışlardır [16-22]. Adi gecikmeli diferansiyel denklemler üzerine çalışmalar aktif olarak devam etmesine rağmen kısmi gecikmeli diferansiyel denklemlerle çalışan az sayıda bilim adamı vardır.

(14)

Kısmi gecikmeli denklemler için farklı tipte problemler, operatör yaklaşımı kullanılarak çözülmüştür. A. Ashyralyev ve P.E. Sobolevskii, parabolik tipte lineer kısmi diferansiyel denklemler için başlangıç değer problemini göz önüne almışlar ve probleminin kararlılığı için gerekli koşullardan daha kuvvetli varsayımlar altında kararlılık eşitsizlikleri kanıtlamışlardır. Gecikmeli parabolik tipte denklemler için başlangıç değer probleminin yaklaşık çözümünde birinci ve ikinci basamaktan doğruluklu fark şemaları çözümlerinin kararlılık kestirimlerini vermişlerdir [23-24].

D.B. Gabriella, sınırsız gecikme operatörleri içeren Banach uzaylarında değerler alan gecikmeli denklemleri çözmek için ekstrapolasyon uzaylarını kullanmıştır. Gabriella, abstract yarı lineer gecikmeli denklemlerin bir sınıfı için kuvvetli ve zayıf çözümlerin varlığını araştırmıştır [25].

Daha çok çözümün karakteri üzerine bazı çalışmalar yapılmıştır [26-30]. Y.Liang, T.J. Xiao bir Banach uzayında sonsuz gecikme içeren fonksiyonel diferansiyel denklemler için Cauchy probleminin çözülebilirliğini incelemişlerdir [31]. S. Ahmad, M. Rama Mohana Rao ve Y. Zhang gecikmeli denklemlerin kararlılığını çalışmışlardır [32-33]. Feng ve Lu asimptotik davranış üzerine araştırma yapmış [34], J. Yang, C.Y. Wang, J. Li, Z.J. Meng nötral hiperbolik gecikmeli denklemlerin salınımı için gerekli ve yeterli koşulu göz önüne almıştır [35]. M.El-Borai ve F.K.Asaad yüksek mertebeden gecikmeli parabolik diferansiyel denklemlerin Cauchy probleminin çözümünün varlık ve tekliği üzerine çalışmıştır [36]. C.V. Pao, üst ve alt çözüm metodunu kullanarak lineer olmayan gecikmeli parabolik sistemleri incelemiştir [37].

Analitik çözümleri ifade edilebilen az sayıda gecikmeli diferansiyel denklem vardır. Gecikme teriminin varlığı gecikmeli diferansiyel denklemlerin teorik analizinin yapılmasını zorlaştırır. Bu durumda nümerik metotlar bu açığın kapatılması için gereklidir. Nümerik metotların sistematik olarak çalışılması Barwell ‘in 1975’te P-kararlılık ve GP P-kararlılık kavramlarını tanıtmasından sonra başlamıştır [38]. Yirminci yüzyılın son on senesinde nümerik metotları kullanarak gecikmeli denklemler üzerine yapılan çalışmalar en üst düzeye çıkmıştır. 1990’da Liu ve M.N. Spijker, gecikmeli diferansiyel denklemlerde θ -metodunun kararlılığını çalışmışlar ve birçok sonuca ulaşmışlardır [39]. Z.Jackiewicz ve B.Zubik-Kowal, lineer olmayan gecikmeli kısmi denklemler için Chebyshev spektral kollokasyon ve dalga biçimi relaksasyon

(15)

metotlarını araştırmışlardır [40]. Ferreria, Hutchinson denkleminin özel durumu olan lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemi çalışmıştır [41].

Bu çalışmada gecikmeli parabolik

           = = ≤ ≤ < < − = < < > = ∂ − ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , 0 1 , cos ) , ( , 0 , 0 , 0 ) , 1 ( ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 π π π t u t u x t x e x t u x t x x t u x x t u t x t u x x t

denklemi için Neumann tipi sınır koşullu başlangıç ve sınır değer problemi çalışılmıştır. İkinci bölümde değişkenlerine ayırma ve Fourier serileri metodu kullanılarak denklemin analitik çözümü bulunmuştur.

Üçüncü bölümde aynı denklemin çözümünü bulmak için Laplace dönüşüm metodu kullanılmıştır.

Dördüncü bölümde Liao [42] tarafından tanıtılan homotopi analiz metodu (HAM) kullanılarak denklemin yaklaşık çözümü bulunmuş, metotta yakınsaklık kontrol parametresi olan =−1 alındığında problemin tam çözümü elde edilmiştir.

Beşinci ve son bölümde ise fark şemaları metoduyla bulunan [43] birinci basamaktan doğruluklu fark şemasının nümerik çözümleri ile aynı noktalar göz önüne alınarak HAM ile bulunan yaklaşık çözümler karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırma yapılırken MATLAB 7.0 programı kullanılmıştır. Sonuçlar tablolarla verilmiştir.

(16)

BÖLÜM 2

GECİKMELİ PARABOLİK BİR DENKLEM İÇİN

NEUMANN TİPİ SINIR KOŞULLU BAŞLANGIÇ VE

SINIR DEĞER PROBLEMİNİN DEĞİŞKENLERİNE

AYIRMA VE FOURI

ER SERİLERİ METODU İLE

ÇÖZÜMÜ

Bilindiği gibi, bir lineer parabolik diferansiyel denklemin analitik çözümü, Fourier serileri, Laplace dönüşüm ve Fourier dönüşüm metotları kullanılarak bulunabilir. Bu çalışmada gecikmeli parabolik

        = = ≤ ≤ ≤ < − = < < > = ∂ − ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , 0 1 , cos ) , ( , 0 , 0 , 0 ) , 1 ( ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 π π π t u t u x t x e x t u x t x x t u x x t u t x t u x x t (2.1)

denklemi için Neumann tipi sınır koşullu başlangıç ve sınır değer problemi çalışılmıştır. Öncelikle bu problemin çözümü için değişkenlerine ayırma ve Fourier serileri metodu kullanılacaktır.

[ ]

0,1 ∈

t için t−1∈

[

−1,0

]

olduğundan u(t−1,x)=e−(t−1)cosx fonksiyonu, (2.1)

denkleminde yerine yazılırsa parabolik denklem için

[ ]

        ∈ = = ≤ ≤ = < < ≤ ≤ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − 1 , 0 , 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , cos ) , 0 ( , 0 , 1 0 , cos ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( ( 1) 2 2 t t u t u x x x u x t x e x x t u t x t u x x t π π π (2.2)

Neumann tipi sınır koşullu başlangıç ve sınır değer problemi elde edilir. (2.2) problemini çözmek için u ,

( )

t x ’i

(17)

u

( ) ( ) ( )

t,x =vt,x +wt,x (2.3) biçiminde iki fonksiyonun toplamı olarak yazarız. Bu durumda (2.2) probleminin çözümü

[ ]

        ∈ = = ≤ ≤ = < < ≤ ≤ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 1 , 0 , 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , cos ) , 0 ( , 0 , 1 0 , 0 ) , ( ) , ( 2 2 t t v t v x x x v x t x x t v t x t v x x π π π (2.4) ve

[ ]

        ∈ = = ≤ ≤ = < < ≤ ≤ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − 1 , 0 , 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , 0 ) , 0 ( , 0 , 1 0 , cos ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( ( 1) 2 2 t t w t w x x w x t x e x x t w t x t w x x t π π π (2.5)

problemlerinin çözümlerinin toplamını verir. Öncelikle (2.4) problemini çözelim. Değişkenlerine ayırma metoduyla

( ) ( ) ( )

t,x =T t X x ≠0

v

biçiminde tanımlayıp denklemde yerine yazarsak

( ) ( ) ( ) ( )

− ′′ =0 ′t X x T t X x T veya

( )

= ′′

( )

=λ ′ x X x X t T t T (2.6) bulunur. (2.6) eşitliğinden

( )

   = ′ = ′ = − ′′ 0 0 0 π λ X X x X x X (2.7) denklemi elde edilir. Çözümü bulabilmek için λ ’nın aldığı değerlere göre üç durum söz konusudur.

i) λ=µ2 >0 için sadece aşikar çözüm vardır.

ii) λ =0 için c herhangi bir sabit sayı olmak üzere; X

( )

x = çözümü elde edilir. c

iii) λ =−µ2 <0 için µ ’nün µ =k,k∈Z+ ve çözümün

( )

x =c coskx+d sinkx, k =1,2,....

Xk k k

(18)

( )

− 2

( )

=0 ′t k T t

T (2.8) denklemi yazılır. Bu denklemden

( )

kt

k k t C e

T = − 2

çözümü bulunur. Böylece a_k =c_kC_k, b_k =d_kC_k olmak üzere;

( )

_∑

∞

(

)

= − + = 1 2 sin cos , k t k k k kx b kxe a x t v (2.9) bulunur. π ≤ ≤ = x x x v(0, ) cos , 0

başlangıç koşulu kullanılırsa

(

a kx b kx

)

x

k

kcos sin cos

1

∑

∞ = = + eşitliğinden 2 , 0 , 1 1= a = k≥ a _k 1 , 0 ≥ = k b_k

katsayıları elde edilir. Katsayılar, (2.9) çözümünde yerine yazıldığında (2.4) probleminin çözümü

( )

t x e x

v , = −tcos (2.10) bulunur. (2.5) probleminin çözümünü elde etmek için

∑

∞ = = 1 cos ) ( ) , ( k k t kx A x t w (2.11) serisini göz önüne alalım.

π ≤ ≤ = x x w(0, ) 0, 0 (2.12) başlangıç şartı kullanılarak

0 cos ) 0 ( 1 =

∑

∞ = k k kx A olduğundan 0 ) 0 ( = k A , k ≥1

elde edilir. (2.11) seri çözümü (2.5) probleminde yerine yazılırsa

∑

∞ = − − ∞ = = + 1 ) 1 ( 2 1 ' cos ) 1 , 0 ( cos ) ( cos ) ( k t k k k t kx k A t kx e x A yani

(19)

[

]

∑

∞ = − − = + 1 ) 1 ( 2 ' cos ) 1 , 0 ( cos ) ( ) ( k t k k t k A t kx e x A

bulunur.

{

coskx

}

∞_k₌₁ kümesi ortogonal bir küme olduğundan (2.12) başlangıç koşulu

kullanılarak     ≥ = = + = = + − − 2 , 0 ) 0 ( , 0 ) ( ) ( , 0 ) 0 ( , ) 1 , 0 ( ) ( ) ( 2 ' 1 ) 1 ( 1 ' 1 k A t A k t A A e t A t A k k k t

Cauchy problemleri elde edilir. Bu problemlerin çözümlerinden

∫

− − − − − ₊ = t s s t t ds e e A e t A 0 ) 1 ( ) ( 1 1( ) (0) (0,1)

∫

− − = t s t ds e 0 ) ( ) 1 , 0 ( =e−(t−1)(0,1)t =e−t(0,1)et ve 2 , 0 ) (t = k≥ A_k

bulunur. Katsayılar, (2.11) çözümünde yerine yazılırsa

x et e x t w( , )= −t(0,1) cos (2.13) bulunur. Sonuç olarak (2.3) eşitliğinden (2.2) problemin çözümü

( )

t,x =e−

{

1+(0,1)et

}

cosx, 0≤t≤1 u t (2.14) biçiminde bulunur.

[ ]

1,2 ∈ t için t−1∈

[ ]

0,1 olduğundan u t x e t

{

e t

}

x cos ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) , 1 ( − = −(−1) + −

fonksiyonu, (2.1) denkleminde yerine yazılırsa parabolik denklem için

{

}

{

}

[ ]

        ∈ = = ≤ ≤ + = < < ≤ ≤ − + = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − − 2 , 1 , 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , cos ) 1 , 0 ( 1 ) , 1 ( , 0 , 2 1 , cos ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( 1 ) 1 ( 2 2 t t u t u x x e e x u x t x t e e x x t u t x t u x x t π π π (2.15)

( )

t x ’i (2.3) biçiminde yazarız. Buradan (2.15) probleminin

(20)

{

}

[ ]

        ∈ = = ≤ ≤ + = < < ≤ ≤ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − 2 , 1 , 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , cos ) 1 , 0 ( 1 ) , 1 ( , 0 , 2 1 , 0 ) , ( ) , ( 1 2 2 t t v t v x x e e x v x t x x t v t x t v x x π π π (2.16) ve

{

}

[ ]

        ∈ = = ≤ ≤ = < < ≤ ≤ − + = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − 2 , 1 , 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 , 0 ) , 1 ( , 0 , 2 1 , cos ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( ( 1) 2 2 t t w t w x x w x t x t e e x x t w t x t w x x t π π π (2.17)

problemlerinin çözümlerinin toplamını verir. (2.16) problemini değişkenlerine ayırma ve Fourier serileri metoduyla çözelim. t∈

[ ]

0,1 aralığındaki işlemleri tekrarlarsak (2.9) çözümünü elde ederiz.

{

+

}

≤ ≤π = − x x e e x v(1, ) 1 1 (0,1) cos , 0

(

)

{

}

1 1 cos ) 1 , 0 ( 1 sin cos 2 − ∞ = − ₌ ₊ +

∑

a kx b kx e e xe k k k k eşitliğinden 2 , 0 , ) 1 , 0 ( 1 1 = + e a = k≥ a k 1 , 0 ≥ = k b_k

( )

t x e

{

e

}

x

v , = −t 1+(0,1) cos (2.18) bulunur. (2.17) probleminin çözümünü elde etmek için (2.11) seri çözümünü göz önüne alalım. π ≤ ≤ = x x w(1, ) 0, 0 (2.19) başlangıç şartı kullanılarak

0 cos ) 1 ( 1 =

∑

∞ = k k kx A olduğundan 0 ) 1 ( = k A , k ≥1

(21)

elde edilir. (2.11) seri çözümü (2.17) probleminde yerine yazılırsa

{

e t

}

x e kx t A k kx t A t k k k

k( )cos ( )cos (0,1) 1 (0,1) ( 1) cos

) 1 ( 1 2 1 ' ₊ ∞ ₌ − − ₊ ₋ = ∞ =

∑

Yani

[

]

{

}

∑

∞ = − − ₊ ₋ = + 1 ) 1 ( 2 ' cos ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( cos ) ( ) ( k t k k t k A t kx e e t x A bulunur.

{

}

∞ =1

coskx _k kümesi ortogonal bir küme olduğundan (2.19) başlangıç koşulu

kullanılarak

{

}

    ≥ = = + = − + = + − − . 2 , 0 ) 1 ( , 0 ) ( ) ( 0 ) 1 ( , ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ) ( ) ( 2 ' 1 ) 1 ( 1 ' 1 k A t A k t A A t e e t A t A k k k t

Cauchy problemleri elde edilir. Bu problemlerin çözümlerinden

{

}

∫

− − − − − − − ₊ ₊ ₋ = t t t s s ds s e e e A e t A 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 1( ) (1) (0,1) 1 (0,1) ( 1)

{

e s

}

ds e t t

∫

+ − = − − 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 (

(

)

                ₋ + = − t t e s s e e 1 2 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 (       − − + = − e t e et e t (0,1) 2 ) 1 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 2 2 2

( )

(

)

      − − + = − e t e et e t ) 1 , 0 ( ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 2 ve 2 , 0 ) (t = k≥ Ak

( )

(

)

x e t e et e x t w t (0,1) cos ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) , ( 2       − − + = −

(22)

bulunur. Sonuç olarak (2.3) eşitliğinden (2.15) problemin çözümü

(

)

, 2 1 , cos ! 2 ) 1 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 1 ) , ( 2 ≤ ≤       ₊ ₊ − = − t x t e et e x t u t (2.20) biçiminde bulunur. + ∈ Z m , t∈

[

m,m+1

]

için t−1∈

[

m−1,m

]

olduğundan x m m t e t e e x t u m t cos ! ) ( ) 1 , 0 ( ... ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) , 1 ( ( 1)       − + + − + = − − − fonksiyonu, (2.1) denkleminde yerine yazılırsa parabolik denklem için

(

)

(

)

[

(

)

]

[

]

          + ∈ = ≤ ≤       ₋ ₋ + + − + + = ≤ ≤ + ≤ ≤       ₊ ₋ ₊ ₊ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − − 1 , ), , ( ) 0 , ( , 0 , cos ! 1 ) 1 , 0 ( ... ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 1 ) , ( , 0 , 1 , cos ! ) ( ) 1 , 0 ( ... ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 ) 1 ( 2 2 m m t t u t u x x m m m e m e em e x m u x m t m x m m t e t e e x x t u t x t u x x m m m t π π π (2.21)

( )

t x ’i (2.3) biçiminde yazarız. Buradan (2.21) probleminin

çözümü

(

)

(

)

[

]

[

]

         + ∈ = ≤ ≤       + + + − + + = ≤ ≤ + ≤ ≤ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − 1 , ), , ( ) 0 , ( , 0 , cos ! ) 1 , 0 ( ... ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 1 ) , ( , 0 , 1 , 0 ) , ( ) , ( 2 2 2 m m t t v t v x x m e m e em e x m v x m t m x x t v t x t v x x m m π π π (2.22) ve

(23)

[

]

            + ∈ = ≤ ≤ = ≤ ≤ + ≤ ≤       ₊ ₋ ₊ ₊ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − 1 , ), , ( ) 0 , ( , 0 , 0 ) , ( , 0 , 1 , cos ! ) ( ) 1 , 0 ( ... ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( ( 1) 2 2 m m t t w t w x x m w x m t m x m m t e t e e x x t w t x t w x x m t π π π (2.23)

problemlerinin çözümlerinin toplamını verir. (2.22) problemini değişkenlerine ayırma ve Fourier serileri metoduyla çözersek (2.9) çözümünü elde ederiz.

(

)

(

)

[

]

_≤ _≤_π       + + − + + = − x x m e m e em e x m v m m 0 , cos ! ) 1 , 0 ( ... ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 1 ) , ( 2

(

)

∑

∞ = − + 1 2 sin cos k mk k k kx b kxe a

(

)

[

]

x m e m e em e m m cos ! ) 1 , 0 ( ... ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 1 2       + + − + + = − eşitliğinden

(

)

(

)

[

]

2 , 0 , ! ) 1 , 0 ( ... ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 1 2 1 ≥ = + + − + + = k a m e m e em a k m 1 , 0 ≥ = k b_k

( )

(

)

[

]

x m e m e em e x t v m t cos ! ) 1 , 0 ( ... ! 2 1 ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 1 , 2       + + − + + = − (2.24) bulunur. (2.23) probleminin çözümünü elde etmek için (2.11) seri çözümünü göz önüne alalım. π ≤ ≤ = x x m w( , ) 0, 0 (2.25) başlangıç şartı kullanılarak

0 cos ) ( 1 =

∑

∞ = k k m kx A olduğundan

(24)

0 ) (m =

A_k , k ≥1 elde edilir.

(2.11) seri çözümü, (2.23) probleminde yerine yazılırsa

∑

∞

∑

= ∞ = + 1 1 2 ' cos ) ( cos ) ( k k k k t kx k A t kx A

[

]

x m m t e t e e m t cos ! ) ( ) 1 , 0 ( .... ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ( 1)       ₋ + + − + = − − yani

[

]

∑

∞ = + 1 2 ' cos ) ( ) ( k k k t k A t kx A

[

]

x m m t e t e e m t cos ! ) ( ) 1 , 0 ( .... ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ( 1)       ₊ ₋ ₊ ₊ − = − − bulunur.

{

}

∞ =1

coskx _k kümesi ortogonal bir küme olduğundan (2.25) başlangıç koşulu kullanılarak

[

]

     ≥ = = + =       − + + − + = + − − . 2 , 0 ) 1 ( , 0 ) ( ) ( 0 ) 1 ( , ! ) ( ) 1 , 0 ( .... ) 1 ( ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ) ( ) ( 2 ' 1 ) 1 ( 1 ' 1 k A t A k t A A m m t e t e e t A t A k k k m t

Cauchy problemleri elde edilir. Bu problemlerin çözümlerinden + = − − ) ( ) ( ( ) ₁ 1 t e A m A t m

( )

( ) (

)

(

( ) (

)

ds m m s e s e e e m s t m s t       ₊ ₋ ₊ ₊ − − − − −

∫

( ) 0,1 ( 1) 1 0,1 1 ... 0,1 _!

( )

(

( ) (

)

(

( ) (

)

(

( ) (

)

( )

(

)

(

( ) (

)

(

)

           + − + − + − + + − − − + − = − ₊ ! 1 1 , 0 ! 1 , 0 ! 1 1 , 0 .... ! 2 1 1 , 0 ! 2 1 1 , 0 1 , 0 1 , 0 1 2 2 m m t e m e m m t e m e t e em et e _m _m m t ve 2 , 0 ) (t = k≥ A_k

( )

(

( ) (

)

(

( ) (

)

( ) (

)

(

)

(

( )

)

(

( ) (

)

(

)

x m m t e m e m m t e m e t e em et e x t w t _m _m _m cos ! 1 1 , 0 ! 1 , 0 ! 1 1 , 0 ... ! 2 1 1 , 0 ! 2 1 1 , 0 1 , 0 1 , 0 ) , ( ₁ 2 2             + − + − + − + + − − − + − = − ₊ (2.26)

(25)

( )

( ) ( )

( ) (

₍

₎

)

cos , 1 ! 1 1 , 0 ... ! 2 1 1 , 0 1 , 0 1 , 1 2 + ≤ ≤       + − + + − + + = − + m t m x m m t e t e et e x t u m t _(2.27)

biçiminde bulunur. Böylece, (2.1) gecikmeli parabolik denklemi için Neumann tipi sınır koşullu başlangıç ve sınır değer probleminin değişkenlerine ayırma ve Fourier serileri metodu kullanılarak bulunan analitik çözümü [43]

( )

{

}

( )

(

( ) ( )

)

( )

(

( ) ( )

)

(

( ) (

₍

₎

)

             ≥ + ≤ ≤       + − + + − + + ≤ ≤       ₊ ₊ − ≤ ≤ + ≤ ≤ − = + − − − − ... ... ... ... ... ... ... ... , 2 , 1 , cos ! 1 1 , 0 .. ! 2 1 1 , 0 1 , 0 1 ... ... ... ... ... ... ... ... , 2 1 , cos ! 2 1 1 , 0 1 , 0 1 , 1 0 , cos 1 , 0 1 , 0 1 , cos , 1 2 2 n n t n x n n t e t e et e t x t e et e t x et e t x e x t u n t t t t (2.28) biçimindedir.

(26)

BÖLÜM 3

GECİKMELİ PARABOLİK BİR DENKLEM İÇİN

NEUMANN TİPİ SINIR KOŞULLU BAŞLANGIÇ VE

SINIR DEĞER PROBLEMİNİN LAPLACE DÖNÜŞÜM

METODU İLE ÇÖZÜMÜ

3.1 Laplace Dönüşümü

İntegral dönüşümlerinin tarihçesi L´eonard Euler (1763 ve 1769)'in çalışmasına dayanır. Euler ikinci mertebeden lineer adi diferansiyel denklemlerin çözümlerinde aslında ters Laplace dönüşümünü göz önüne almıştır. Laplace, Theorie analytique des

probabilites (1812) adlı çalışmasında, aslında Euler'in Laplace dönüşümünü tanıttığını

kabul etmiştir. İlk olarak Euler 'in kullandığı

( )

s ds e y b a sxφ

∫

=

integral dönüşüme Laplace dönüşümü ismini koyan ise Spitzer(1878) 'dir. Bu haliyle Laplace dönüşümü y= y

( )

x 'in bilinmeyen fonksiyon olduğu diferansiyel denklemde

kullanılmıştır.

19. yüzyılın sonlarında, Laplace dönüşümü Poincare ve Pincherle ve daha sonra Petzval tarafından kompleks haline genişletilmiş ve Picard tarafından iki değişkenli formuyla yeniden bulunmuştur. Abel ve diğer birçok araştırmacı Laplace dönüşümü ile ilgili çalışmalara devam etmiştir. Modern Laplace dönüşümünün ilk uygulaması, Rutherford'un radyoaktif parçalanma üzerine çalışmasından ortaya çıkan denklemleri dönüştüren Baterman (1910)'ın çalışmasıdır.

Baterman, P dt dP i λ − =

(27)

denkleminde

( )

x e P

( )

tdt p

∫

xt ∞ − = 0

dönüşümünü yerine koyarak dönüştürülmüş denklem elde etmiştir. Bernstein (1920), teta fonksiyonları üzerine yaptığı çalışmasında

( )

s e

( )

udu f

∫

su ∞ − = 0 φ

ifadesini kullanarak bu dönüşümü Laplace dönüşümü olarak adlandırmıştır.

Laplace dönüşümüne modern yaklaşım, Doetsch tarafından 1920 ve 30 larda verilmiştir ve Laplace dönüşümü Doetsch [44-45] tarafından diferansiyel, integral ve integro-diferansiyel denklemlere uygulanmıştır. Doetsch çalışmasını, 1937 yılında sunduğu Theorie und Anwendungen der Laplace Transformation adlı metinde sonuçlandırmıştır.

Oliver Heaviside'ın (1894, 1899, 1912), üç ciltten oluşan Electromagnetic

Theory adlı eserinde Laplace dönüşüm yöntemine benzerlikler bulunmaktadır.

Heaviside'ın hesaplamalarında elektrik mühendisleri için problemlerini çözmede oldukça kullanışlı bir teknik bulunur. Bromwich bu tekniği güçlendirip Laplace dönüşümü ile birleştirerek γ , x fonksiyonunun bütün tekilliklerinin sağında olmak üzere;

( )

e x

( )

s ds i t X i i ts

∫

∞ + ∞ − = γ γ π 2 1 ters dönüşümünü bulmuştur.

Adi ve kısmi diferansiyel denklemler, elektrik akımı, titreşen zar, yalıtılmış iletken içinden geçen ısı akımı gibi bazı zamanla değişen nicelikleri tanımlarlar. Bu denklemler genelde sistemin t=0 anındaki durumunu tanımlayan başlangıç koşulları ile verilirler. Laplace dönüşümü, bu problemleri çözmek için verilen çok güçlü bir tekniktir. Dönüştürülmüş denklemin çözümü de daha sonra uygulanan ters dönüşümle orijinal problemin çözümüne dönüştürülür. Bu teknik "Laplace dönüşüm yöntemi" olarak bilinir.

Laplace dönüşüm yöntemi adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin, integro-diferansiyel denklemlerin, fark denklemlerinin, imroper integrallerin çözümlerinde kullanılır ve literatürde bu konu üzerine yapılan birçok çalışma bulunmaktadır [46-50].

(28)

Laplace Dönüşümünün Tanımı: t >0 olmak üzere; f = f

( )

t , bir reel veya kompleks değişkenli fonksiyon ve s , bir reel veya kompleks parametre olsun. Limit mevcut iken

f 'nin Laplace dönüşümü

( )

s L

(

f

( )

t

)

e f

( )

t dt e f

( )

tdt F st st

∫

− ∞ → ∞ − ₌ = = τ τ 0 0 lim (3.1) ile verilir. (3.1) integrali limit mevcut iken yakınsaktır, limit mevcut değilse integral

ıraksaktır denir ve f için tanımlanan Laplace dönüşümü yoktur.L

( )

f notasyonu f ' in Laplace dönüşümünü gösterirken kullanılır ve buradaki integral Riemann (improper) integralidir. Yani L sembolü, f = f

( )

t fonksiyonlarından yeni bir F

( )

s =L

(

f

( )

t

)

fonksiyonu üreten Laplace dönüşümüdür.

Tanım 3.1. (3.1) integraline

( )

t dt f e st

∫

− ∞ → τ τ 0 lim

limiti varsa mutlak yakınsaktır denir. Eğer L

(

f

( )

t

)

mutlak olarak yakınsıyor ise

∞ →

τ iken her τ′>τ için

( )

tdt f e st

∫

′ − τ τ ≤

∫

( )

→0 ′ − dt t f e st τ τ

olur. Bu durumda L

(

f

( )

t

)

de yakınsar1.

Tanım 3.2. (3.1) integraline, kompleks düzlemde bir Ω bölgesindeki s parametreleri için eğer her ε >0 için τ ≥ eşitsizliğini sağlayan bir τ0 τ sayısı varsa ve her 0 s∈Ω

için

( )

ε τ <

∫

∞ − dt t f e st 1

( )

dt t

∫

∞ 0

ϕ integralinin yakınsaklığı Cauchy kriterine denktir:

∞ → τ iken τ′>τ için

∫

( )

→0 ′ dt t τ τ ϕ .

(29)

sağlanıyorsa düzgün yakınsar denir.

Tanım 3.3. Bir f fonksiyonu, eğer

( )

− →0− = 0 lim f t f t t t ve

( )

+ →0+ = 0 lim f t f t t t

limitleri mevcut ve f

( ) ( )

t₀− ≠ f t₀+ ise bir t ₀ noktasında sıçrama süreksizliğine sahiptir.

Tanım 3.4. Bir f fonksiyonu, i)

( )

+ → + = 0 lim 0 f t f t t limiti mevcut ve

ii) f 'in

( )

0,b aralığındaki sıçrama süreksizliğine sahip olduğu sonlu sayıda τ₁,τ₂,...,τ_n noktası hariç, her sonlu

( )

0,b aralığında sürekli ise

[

0,∞

)

aralığında parçalı süreklidir denir. Parçalı sürekli bir fonksiyon her alt aralıkta sınırlıdır. Yani sonlu sayıda M i

sabiti için

( )

t ≤ M,, <t< +1,i =1,2,...,n−1

f i τi τi

sağlanır.

Tanım 3.5. Bir f fonksiyonu, eğer ∃t₀ ≥0 için

( )

t Me ,t t0 f ≤ αt ≥

eşitsizliğini sağlayan M >0 ve α sabitleri varsa αüstel mertebeye sahiptir.

3.2. Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri

Lineerlik: Laplace operatörü L 'nin en temel ve kullanışlı özelliklerinden biri

lineerliğidir. Yani

( )

s >α

Re için f₁∈L, Re

( )

s >β için f₂∈L ise Re

( )

s >max

{ }

α,β için f₁+ f₂∈L

ve her c ,₁ c sabiti için ₂

(

c1f1 c2f2

)

c1L

( )

f1 c2L

( )

f2

L + = + (3.2) eşitliği sağlanır.

(30)

Düzgün Yakınsaklık:

[

0,∞

)

aralığında parçalı sürekli ve üstel mertebeden f

fonksiyonları için Laplace integrali mutlak yakınsaktır yani

∫

e stf

( )

t dt ∞

− 0

yakınsaktır.

Üstelik bu tür fonksiyonlar için Laplace integrali düzgün yakınsaktır.

Teorem 3.1. f fonksiyonu,

[

0,∞

)

aralığında parçalı sürekli ve α üstel mertebeye sahip ise Re

( )

s →∞ iken

( )

s =L

(

f

( )

t

)

→0

F

olur.

Laplace Dönüşümünün Tersi: F

( )

s =L

(

f

( )

t

)

ise bir fonksiyonun Laplace dönüşümünü orijinal fonksiyona dönüştüren ters Laplace dönüşümü

( )

(

F s

)

f

( )

t

L−1 = , t≥0, ile gösterilir.

Lerch Teoremi:

[

0,∞

)

aralığında farklı sürekli fonksiyonlar farklı Laplace dönüşümlerine sahiptirler.

Ters Laplace Dönüşümünün Lineerliği: −1

L ters Laplace dönüşümü de lineerdir,

yani, F

( )

s =L

(

f

( )

t

)

ve G

( )

s =L

( )

g

( )

t ise

( )

(

aF s bG s

)

aL

(

F

( )

s

)

bL

(

G

( )

s

)

L−1 + = −1 + −1 =af

( )

t +bg

( )

t (3.3) sağlanır.

Birinci Öteleme Teoremi: F

( )

s =L

(

f

( )

t

)

ise Re

( )

s >0 için a reel Re

( )

s >a olmak üzere;

(

s a

)

L

(

e f

( )

t

)

F − = at eşitliği sağlanır. İspat:

( )

s >a Re için

(31)

(

_s _a

)

_e ( ) _f

_{( )}

_t _dt _e _e _f

_{( )}

_t _dt _L

(

_e _f

_{( )}

_t

)

F − = s at = st at = at

∫

∞ − ∞ − − 0 0 bulunur.

İkinci Öteleme Teoremi: F

( )

s =L

(

f

( )

t

)

ise , 0 ≥ a

( )

   < > = . , 0 , 1 a t a t t u_a olmak üzere;

( ) (

)

(

u t f t−a

)

=e− F

( )

s, a≥0. L a as eşitliği sağlanır. İspat:

( ) (

)

(

)

[

( ) (

)

]

(

)

, 0

∫

∞ − ∞ − ₋ ₌ ₋ = − a st a st a t f t a e u t f t a dt e f t a dt u L integralinde τ =t−a dönüşümü yapılırsa ( )

( )

_. 0 0 s F e d f e e d f e s a as s as

∫

∞ ∞ − − − + − τ _τ _τ ₌ τ _τ _τ ₌ bulunur.

3.3. Laplace Dönüşümünün Türevi ve İntegrali

Yardımcı Teorem: f

( )

x, t ve f

( )

x t a x b x ≤ ≤ ∂ ∂ , , , 0≤t≤T , T >0

bölgelerinde t=t_i ,i=1,...,n doğruları boyunca sonlu sayıda sıçrama süreksizlikleri

hariç sürekli fonksiyonlar olsun.

( )

=

_∫

∞

( )

0 , dtt x f x F ve

∫

( )

∞ ∂ ∂ 0 , dtt x f

x integralinin ilki yakınsak, ikincisi düzgün

yakınsaktır. Bu durumda

( )

_∫

∞

( )

∂ ∂ = 0 , dtt x f x x F dx d

(

a<x<b

)

olur.

(32)

Teorem 3.2. f ,

[

0,∞

)

’da α üstel mertebeden parçalı sürekli bir fonksiyon ve

( )

(

f t

)

F

( )

s L = olsun. Bu durumda

( )

s =L

(

( )

− t f

( )

t

)

n=

(

s>α

)

F ds d n n n n ,..., 3 , 2 , 1 , 1 (3.4) olur.

İspat : s≥x₀ >α için aşağıdaki hesaplamada Yardımcı Teoremden yararlanarak türev ve integral işaretlerini yer değiştirilirse

( )

e f

( )

tdt s dt t f e ds d s F ds d st st

∫

∞ − ∞ − ∂ ∂ = = 0 0

( )

tdt L

(

tf

( )

t

)

f te st = − − =

∫

∞ − 0 . elde edilir.

Her s>α için s≥ x0 >α eşitsizliğini sağlayan∃ x0 bulunabilir. Bu durumda yukarıda

bulunan sonuç her s>α için sağlanır. Diferansiyel almayı tekrarlayarak ya da

tümevarımla s≥x0 >α için teorem ispatlanmış olur.

3.4. Türevin Laplace Dönüşümü

Diferansiyel denklemleri çözmek için bir f fonksiyonunun f ′ türevinin Laplace dönüşümünün bilinmesi gerekir. L

( )

f' , L

( )

f cinsinden yazılabilir.

Türev Teoremi: f ,

( )

0,∞ aralığında α üstel mertebeden, sürekli fonksiyon ve f',

[

0,∞

)

aralığında parçalı sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda

( )

(

)

₌

(

( )

)

₋

( )

+ 0 ' t sL f t f f L

(

Re

( )

s >α

)

(3.5) sağlanır. Kısmi integrasyon ile

( )

_∫

( )

∫

− ∞ →→ ∞ − ₌ τ δ τ δ e f t dt dt t f e st st ' lim ' 0 0

( )

      + = −

∫

− ∞ →→ τ δ τ δ τ δ e f t s e f t dt st st 0 lim

( )

_      + − = − −

_∫

− ∞ →→ τ δ δ τ τ δ e f τ e f δ s e f t dt st s s 0 lim

( )

∫

( )

∞ − + ₊ − = 0 0 s e f t dt f st

(

Re

( )

s >α

)

. bulunur. Buradan

( )

(

)

₌

(

( )

)

₋

( )

+ 0 ' t sL f t f f L

(33)

( )

τ ατ τ _f _τ _e _Me e−s ≤ −x ≤Me−(x−α)τ →0 bulunur.

( )

f

( )

t f t ' lim 0 ' 0+ → + ₌

limiti var olduğunda f

( )

0+ vardır. Eğer f , t=0 da sürekli fonksiyon ise f

( )

0+ = f

( )

0 olur ve buradan

( )

(

f' t

)

sL

(

f

( )

t

)

f

( )

0

L = − (3.6) bulunur.

Teorem 3.3. f ,

[

0,∞

)

aralığında t= t₁ >0 sıçrama süreksizlik noktası hariç sürekli ve

αüstel mertebeden fonksiyon, 'f ,

[

0,∞

)

aralığında parçalı sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda

( )

(

)

₌

(

( )

) ( )

₋ ₋ −

(

( ) ( )

+ ₋ −

)

1 1 1 0 ' t sL f t f e f t f t f L ts

(

Re

( )

s >α

)

olur. İspat :

( )

_      + + = ′ = ′

∫

− − − ∞ → − ∞ → ∞ − + − _τ τ τ τ τ 0 0 0 0 1 1 lim lim dt t f e t f e t f e dt t f e dt t f e st t st t st st st

( )

0

( )

. lim 0 1 1 1 1       + − + − = − − − − +

_∫

− ∞ → τ τ τ e f t f e f τ e f t s e f t dt st st s st bulunur. Böylece

( )

(

)

₌

(

( )

)

₋

( )

₋ −

(

( ) ( )

+ ₋ −

)

1 1 1 0 ' t sL f t f e f t f t f L st olur.

Eğer 0=t₀ <t₁ <...<t_n sonlu sayıda sıçrama süreksizlik noktaları ise bu

Teorem 3.3. 'ün sonucu,

( )

(

)

(

( )

)

( )

_∑

(

( ) ( )

)

= − + − + ₋ ₋ − = n k k k st t f t f e f t f sL t f L k 1 0 ' (3.7) olarak genelleştirilebilir. '

f ,

[

0,∞

)

aralığında sürekli ve üstel mertebeden fonksiyon ise f de sürekli ve üstel mertebedendir. Bunu görmek için

(34)

( )

≤ , ≥ ₀, ≠0 ′ α α t t Me t f t olduğu varsayılsın.

( )

0 0 t f d f t f t t + ′ =

∫

τ τ olur ve

( )

0

( )

0 , 0. 0 t t Ce t f e M t f d e M t f t t t t ≥ ≤ + ≤ + ≤

∫

ατ α α α τ

bulunur. f sürekli olduğundan bu sonuç α ≠0 için olduğu kadar α =0 için de geçerlidir.

Diferansiyel denklemlerin çözümlerinde daha yüksek mertebeden türevlerin de Laplace dönüşümlerini almak gerektiğinden (3.6) formülünü f ′′'ne uygulayarak

( )

(

f t

)

sL

(

f

( )

t

)

f

( )

0 s

(

sL

(

f

( )

t

) ( )

f 0

)

f

( )

0 L ′′ = ′ − ′ = − − ′

( )

(

)

( )

0

( )

0 2 f sf t f L s − − ′ = (3.8) elde edilir. Benzer biçimde

( )

(

f t

)

sL

(

f

( )

t

)

f

( )

0 s3L

(

f

( )

t

)

s2f

( )

0 f

( )

0

L ′′′ = ′′ − ′′ = − ′ − ′′ (3.9) bulunur.

Bu bulunanlar genelleştirilirse aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 3.4. f

( ) ( )

t , f′t ,..., f (n 1−)

( )

t ,

( )

0,∞ aralığında sürekli ve α üstel mertebeden fonksiyon, f( )n

( )

t

,

[

0,∞

)

aralığında parçalı sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda

( )

_{( )}

(

)

₌

(

( )

)

₋ −

( )

+ ₋ − _′

( )

+ ₋ ₋ ( −)

( )

+ 0 ... 0 0 2 1 1 n n n n n f f s f s t f L s t f L (3.10) olur.

3.5. Laplace Dönüşümünün Kısmi Diferansiyel Denklemlere Uygulanması

0 ≥

t zaman değişkeni olmak üzere; u=u

( )

t,x fonksiyonu göz önüne alınsın.

( )

s x

U , ile u 'nun t'ye göre Laplace dönüşümü gösterilir.

( )

s x L

(

u

( )

t x

)

e u

( )

t xdt U

∫

st ∞ − = = 0 , , ,

(35)

Bu durumda

( )

U

( )

s x x dt x t u e x dt x t u x e x u L st st , , , 0 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =       ∂ ∂

∫

∞ − ∞ − (3.11)

bulunur. Yani türevin dönüşümü, dönüşümün türevidir.

( )

_∫

(

)

∫

− ∞ − → = 0 0 0 , , lim 0 dt x t u e dt x t u e st st x x τ , Yani,

( )

,

(

, 0

)

lim 0 x s U x s U x x→ = (3.12) bulunur.

(3.11) 'de x'e göre türev alındığından s parametresi sabit olarak alınabilir. Böylece

( )

dx dU x s U dx d x s U x = = ∂ ∂ , ,

yazılabilir. (3.11)'in türevi

2 2 2 2 dx U d x u L _=      ∂ ∂ olur. Türev teoreminden

( )

(

u t x

)

u

( )

x sU

( )

s x u

( )

x sL t u L = , − 0+, = , − 0+,      ∂ ∂ olur.

Laplace dönüşüm yönteminde kısmi diferansiyel denklemin her iki yanına Laplace dönüşümü uygulanır ve denklem bilinmeyen fonksiyonun U =U

( )

x olduğu adi

diferansiyel denkleme döner. u'nun diğer değişken olan x 'e göre Laplace dönüşümü alınırsa bu sefer denklem bilinmeyen fonksiyonun U =U

( )

t olduğu adi diferansiyel

denkleme döner ve dönüştürülmüş denklemin çözümü bulunur. Bulunan çözümün ters Laplace dönüşümü alınarak orijinal denklemin çözümü bulunur.

(36)

3.6 Gecikmeli Parabolik Bir Denklem için Neumann Tipi Sınır Koşullu Başlangıç ve Sınır Değer Probleminin Laplace Dönüşüm Metodu ile Çözümü

(2.1) denklemini fark denklemi olarak yazıp t∈

[

m,m+1

]

için denklemin çözümünü Laplace dönüşüm metodu ile bulabiliriz.

(

)

[

]

        ≥ = = ≤ ≤ − ≤ ≤ = + ∈ ≤ ≤ > ≥ ∂ − ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ + + − + + 0 , 0 ) , ( ) 0 , ( , 0 1 , 0 , cos ) , ( , 1 , , 0 , 0 , 0 , , 1 ) 1 , 0 ( ) , ( ) , ( 1 1 0 2 2 2 1 2 1 t t u t u t x x e x t u m m t x t k x x t u x x t u t x t u x k x k t k k k π π π _(3.13)

gecikmeli parabolik Neumann tipi sınır koşullu başlangıç ve sınır değer probleminin Laplace dönüşüm metodu ile çözümü bulunabilir. t zaman değişkenine göre u( xt, ) fonksiyonunun ve türevlerinin ve gecikmeli terim içeren fonksiyonun türevinin Laplace dönüşümü dt x t u e u L k st k t

∫

∞ + − + = 0 1 1) ( , ) ( (3.14) ve

( )

,

( )

0,

( )

, , , 1 1 0 1 0 0 1 ' 1 1 s sU x u dt x t u e s e x t u dt x t u e t u L k k k st st k k st k t + + ∞ + − ∞ _∞ − + + − + + − = + = =       ∂ ∂

∫

(3.15)

(

)

₍

₎

₍ ₎

( )

( ) 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 cos 1 , , , , , dx u d e x s e e d x x u e d x x u e e d x x u e dt x x t u e x x t u L k s s s k s k s s k s k st k t τ τ θ τ τ τ θ τ τ τ θ θ θ θ θ θ θ τ τ − − + − − ∞ − − − − ∞ − + − ∞ − +       + = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ∂ − ∂ =       ∂ − ∂

∫

(3.16) olarak tanımlansın.

Öncelikle t∈

[ ]

0,1 için çözüm bulmak istediğimizde (3.13) denkleminde (3.14), (3.15) ve (3.16) eşitliklerinde τ =1, k =0 alırsak

(37)

( )

(

)

2 0 2 2 1 2 1 , , 0.1 1, x x t u x x t u t x t u ∂ − ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ (3.17) denklemi ve dt x t u e u L_t

∫

st ∞ − = 0 1 1) ( , ) (

( )

s sU x t u L_t 1 ₁ cos + − ==       ∂ ∂ ,

(

)

( ) x s e x s e x s e e x x t u L s s s t cos 1 cos 1 1 cos 1 1 , 1 2 0 2 + − = + −       + − =       ∂ − ∂ + ₋ − τ τ τ τ τ

elde edilir. (3.17) denklemin her iki yanına Laplace dönüşümü uygulanırsa

( )

(

)

( )

      + − − = − + −       ∂ − ∂ − =       ∂ ∂ −       ∂ ∂ x s e x U sU x x x t u L x u L t u L_t _t _t cos 1 1 . 0 d d cos , 1 1 . 0 2 1 2 1 2 0 2 2 1 2 1 ve dönüştürülmüş denklem

( )

_{( )}

( )

x s e x x s sU x s U cos 1 1 . 0 cos , dx , d 1 2 1 2 + − − = − (3.18) olarak bulunur. Bu denklemin homojen çözümü

( )

sx sx

h s x ce c e

U₁ , = ₁ + ₂ −

olur. Başlangıç koşulları kullanılırsa c₁= c₂ =0 bulunur. (3.18) denkleminin özel çözümü

( )

s x A x B x

U₁_p , = cos + sin

olarak kabul edilip (3.18) denkleminde yerine konulursa

( )

(

)

2 1 1 . 0 1 1 + + + = s e s A , B=0

bulunur. Buradan (3.18) denkleminin çözümü

( )

(

s

)

x e s x s U x s U _p cos 1 1 . 0 1 1 , , ₁ ₂ 1       + + + = = (3.19)