Sonsuz ve yarı sonlu kuantum kuyularında bağlanma enerjisi ve self polarizasyon

SONSUZ VE YARI SONLU KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE SELF POLARĠZASYON

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI

FAĠK GÜNDOĞDU Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Hasan AKBAġ

T.C

TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

SONSUZ VE YARI SONLU KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE SELF POLARĠZASYON

FAĠK GÜNDOĞDU

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI

Tez yöneticisi: Prof. Dr. Hasan AKBAġ

EDĠRNE

Yüksek Lisans Tezi

Sonsuz Ve Yarı Sonlu Kuantum Kuyularında

Bağlanma Enerjisi Ve Self Polarizasyon

Trakya Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı

ÖZET

Bu çalıĢmada, 𝐴𝑙_𝑥1𝐺𝑎_1−𝑥1𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙_𝑥2𝐺𝑎_1−𝑥2𝐴𝑠 sonsuz, 𝑥₁ = 𝑥₂ = 1, ve yarı sonlu, 𝑥₁ = 1 𝑣𝑒 0 < 𝑥₂ < 1 kuantum kuyuları incelenmiĢtir. Bulgular etkin kütle yaklaĢımı çerçevesinde varyasyonel yöntemle elde edilmiĢtir. Subband , bağlanma enerjileri ve self polarizabilite statik düzgün elektrik alanda hesaplanmıĢtır. Bağlanma enerjileri ve self polarizabilitenin yabancı atomun konumuna ve hapsedilmenin derecesine bağlı olduğu bulunmuĢtur. Sonuçlar literatürle uyum içindedir.

Yıl: 2011

Sayfa:64

Master‟s thesis

Binding Energy and Self-Polarization on Semi-Infinite And Finite Quantum Wells

Trakya üniversity, graduate school of natural and applied sciences

Department of physics

SUMMARY

In this work,

𝐴𝑙

𝐺𝑎

/𝐺𝑎𝐴𝑠/ 𝐴𝑙

𝐺𝑎

𝐴𝑠 infinite,

𝑥

= 𝑥

= 1, and semi-finite , 𝑥

= 1 𝑎𝑛𝑑 0 < 𝑥

< 1, quantum wells are

investigated. The results are obtained using variational method in frames of

the effective mass approximation. Subband, binding energies , and self

polarizability are calculated in the influence of a static uniform electric

field. It is found that the binding energy and self polarizability depend on

the impurity position and degree of confinement. Obtained results are in

good agreement with the literature.

Year: 2011 Pages: 64

TEġEKKÜR

Tez yöneticiliğimi üstlenerek, çalıĢmalarım sırasında tüm çalıĢma ortamını ve imkanlarını sağlayan, aydınlatıcı bilgilerini esirgemeyen, Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Bölüm BaĢkanı Prof. Dr. Hasan AKBAġ‟a teĢekkür ederim.

ÇalıĢmalarım esnasında aydınlatıcı bilgilerini ve desteğini esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. Ġlhan ERDOĞAN ve Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN‟ a teĢekkür

ederim.

Bu çalıĢma süresince gerekli olan tüm imkanları sağlayan ve ders aĢamam sırasında emeği geçen Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyelerine teĢekkür ederim.

Tez çalıĢmalarım sırasında tüm manevi desteğini benden esirgemeyen aileme teĢekkür ederim.

Okul hayatım ve tez çalıĢmam süresince her zaman yanımda olan ve desteğini hiçbir zaman eksik etmeyen Gizem ġEN‟ e sonsuz teĢekkürler.

SĠMGELER

m* Elektronun etkin kütlesi

a0 Bohr yarıçapı

a* Etkin Bohr yarçapı

R* Etkin Rydberg enerjisi

λ Varyasyonel Parametre

ψ Dalga fonksiyonu

ε Dielektrik sabiti

β Varyasyonel Parametre

η Hamiltonyen „ deki elektrik alan terimi

ξ DeğiĢken

zi Yabancı atomun konumu

ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... i SUMMARY...ii TEġEKKÜRLER...iii SĠMGELER...iv ĠÇĠNDEKĠLER...v ġEKĠLLER DĠZĠNĠ………...………...…………vii 1. GĠRĠġ………1 1.1. DüĢük Boyutlu Yapılar……….……….1

1.2. Kuantum Kuyularının OluĢumu……….……….………...2

2. SĠMETRĠK SONSUZ KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ……….…...………....4

2.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusuna Elektrik Alan Etkisi……….……10

2.2. Düzgün Elektrik Alan Gören Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi………...……….……16

3. YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ……….…...23

3.1. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusu Ġçine Hapsedilen Elektrona Elektrik Alan Etkisi………30

3.2. Elektrik Alan Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusuna Yabancı Atom Etkisi.………….………...…..…….34

4. SELF POLARĠZASYON VE SELF POLARĠZEBĠLĠTE………..…….…..41

4.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self Polarizabilite………43 4.2. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self Polarizabilite……52

SONUÇLAR VE TARTIġMA………...………...62 KAYNAKLAR...63

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

ġekil 1: Kuantum kuyularının oluĢumu……….2 ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu……….…..4 Grafik 2.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre elektronun enerjisinin değiĢim grafiği……….….…9 ġekil 3: Elektrik alan etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu………10 Grafik 2.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda dalga fonksiyonu………...14 Grafik 2.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda elektrik alanın Ģiddetine göre elektronun enerjisinin değiĢim grafiği………..15 ġekil 4: Donor yabancı atomlu sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi………...16 Grafik 2.4 :Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………...19

Grafik 2.5 : Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………20

Grafik 2.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………...21

Grafik 2.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………22 ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu………23 Grafik 3.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonları………28

Grafik 3.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100,200Å kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin enerjiye bağlı değiĢim grafiği………..………29

ġekil 6: Elektrik alan etkisi altındaki –L/2 de sonsuz ,+L/2 de Vo potansiyel engeline sahip olan

yarı sonlu kuantum kuyusu……….……….30

Grafik 3.3: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu……….……….……….32

Grafik 3.4: F=0,100 kV/cm elektrik alan altındaki yarı sonlu kuantum kuyusunun basamak potansiyelinin değiĢimine göre taban durum enerjisinin değiĢim grafiği…………..…………..33 ġekil 7 : Elektrik alan altında, –L/2 de sonsuz ,+L/2 de Vo potansiyel engeline sahip olan bir

potansiyel kuyu………34

Grafik 3.5: Donor yabancı atomunun zi=L/4 konumu için dört farklı kuyu geniĢliğinde

(L=100,150,200,250Å ) bağlanma enerjisinin elektrik alanla değiĢimi………...37

Grafik 3.6: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken L=100,150,200,250Å kuyu geniĢliklerinde

bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….38

Grafik 3.7: Donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan

Ģiddeti altında bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………..……..39

Grafik 3.8: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan

Ģiddeti altında bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….40

Grafik 4.1.1: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Ģiddetine bağlı değiĢimi………44

Grafik 4.1.2: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu

geniĢliğine bağlı değiĢimi………45

Grafik 4.1.3: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Ģiddetine bağlı değiĢimi………46

Grafik 4.1.4: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizebilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu

Grafik 4.1.5 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Ģiddetine bağlı değiĢimi………48

Grafik 4.1.6 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi = - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu

geniĢliğine bağlı değiĢimi………49

Grafik 4.1.7: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Ģiddetine bağlı değiĢimi………50

Grafik 4.1.8: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun

geniĢliğine bağlı değiĢimi………51 Grafik 4.2.1 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken self

polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………..54

Grafik 4.2.2 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self

polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………55

Grafik 4.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self

polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….………..………56

Grafik 4.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self

polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi………..……57

Grafik 4.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………..…………58

Grafik 4.2.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………..……….………59

Grafik 4.2.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi………..………60

Grafik 4.2.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………..……….…61

1. GĠRĠġ

1.1 DüĢük Boyutlu Yapılar

DüĢük boyutlu yapılar farklı tür yarıiletkenlerin bir araya getirilmesiyle oluĢturulmaktadır. Kristal büyütme teknolojisinde sağlanan geliĢmeler ile yarıiletkenler çok hassas bir biçimde bir atomik tabaka üzerine baĢka bir atomik tabaka yerleĢtirilerek büyütülebilmektedir. Baslıca deneysel yöntemler arasında Sıvı Faz Büyütme (LPE), Moleküler Demet Büyütme (MBE) ve Kimyasal Buhar Depolama (CVD) yöntemleri sayılabilir. Bu yöntemler ile boyutları 10−6 cm‟ den daha küçük düĢük boyutlu yapıların üretimi gerçekleĢtirilmiĢtir. Bu geliĢmeler sonucu yeni elektronik devre elemanlarının yapımı son derece ilginç fizik problemlerini de doğurmuĢtur. DüĢük boyutlu yapıların elektronik ve optik özellikleri halen yaygın olarak araĢtırılmaktadır.

Günümüzde düĢük boyutlu yarıiletken yapıların araĢtırılması kuantum fiziği ile açıklanabilen davranıĢlara sahip yeni elektronik devre elemanlarının üretilmesini mümkün kıldığından büyük ilgi çekmektedir. DüĢük boyutlu yarıiletken sistemlerden oluĢan nanometre boyutunda elektronik ve optoelektronik cihazlar günümüz bilgisayar ve haberleĢme endüstrisinde kullanılan devrelerin temel yapıtaĢlarını oluĢturmaktadır. Bu cihazların fiziğinin ve çalıĢma prensiplerinin bilinmesi, bu sistemlerin daha ayrıntılı olarak incelenmesi ile mümkündür.

Son yıllarda düĢük boyutlu yapı olarak tanımlanan kuantum kuyusu, kuantum kuyu teli ve kuantum noktaları üzerinde birçok araĢtırma yapılmıĢtır (Akbas vd. 1995; Okan vd. 2004; Manaselyan vd. 2002).

1.2. Kuantum Kuyularının OluĢumu

𝐺𝑎_1−𝑥𝐴𝑙_𝑥𝐴𝑠 ve 𝐺𝑎𝐴𝑠 malzemeleriyle bir yapı oluĢturulduğunda, oluĢan yapı için

“z” yönündeki potansiyel değiĢimi aĢağıdaki Ģekilde gösterildiği gibi olur. Buradaki x

ifadesi mol kesridir ve yapının oluĢtuğu malzemelerin 𝐺𝑎, 𝐴𝑙 oranını belirler. Buradaki x‟ i kısaca malzemede bulunan alüminyum miktarını belirleyen bir değiĢken olarak tanımlayabiliriz.

Ġletkenlik ve Valans bandındaki potansiyeller için 𝑉₀, 𝑉_𝑕 aĢağıdaki bağıntılar kullanılabilir.

𝐸_𝑔 = 1,555 𝑥 + 0,37 𝑥2

𝑉₀ = %60 𝐸_𝑔

𝑉_𝑕 = %40𝐸_𝑔

𝐺𝑎1−𝑥𝐴𝑙𝑥𝐴𝑠 malzemesinde mol kesri 𝑥 = 1 olursa sonsuz potansiyelli kuantum

2. SĠMETRĠK SONSUZ KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ

Tek boyutlu, L geniĢliğindeki sonsuz potansiyelli bir kuantum kuyusu içindeki m* etkin kütleli elektronun dalga denklemi çözülecektir. Böyle bir sonsuz potansiyel kuyusu aĢağıdaki gibidir;

ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu

Yapının potansiyel dağılımı;

𝑉 𝑧 = 0, 𝑧 ≤𝐿₂ ∞, 𝑧 >𝐿 2 (2.1) dir.

Kuyunun dıĢında, 1. ve 3. Bölgelerde, m*

etkin kütleli elektron daima kuyu içinde kalacaktır. Yani elektronu temsil eden dalga fonksiyonu 𝜓 𝑧 engeller içinde sıfır olur. Schrödinger denklemi yalnızca kuyu içinde çözülmelidir.

Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi:

𝐻. 𝜓 𝑧 = 𝐸. 𝜓 𝑧 (2.2)

−ℏ2 2𝑚∗

𝑑2

𝑑𝑧2+ 𝑉 𝑧 𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 (2.3)

dir. Uzunluk olarak etkin Bohr yarıçapı (a*), enerji birimi olarak da etkin Rydberg enerjisi (R*) kullanıldığında sonsuz potansiyelli kuyu içerisine hapsedilmiĢ elektronun Schrödinger dalga denklem ifadesi;

−𝑑2

𝑑𝑧2 + 0 𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 −𝑑2

𝑑𝑧2 − 𝐸 𝜓 𝑧 = 0 (2.4)

Ģeklinde olur. Burada 𝑘2 _{= 𝐸 olmak üzere dalga fonksiyonu;}

𝜓 𝑧 = 𝐴 cos 𝑘𝑧 + 𝐵 sin 𝑘𝑧

Ģeklinde elde edilir.

Elde edilen dalga fonksiyonuna sınır Ģartlarını uygularsak:

 𝑧 = −𝐿 2 ‟ de 𝑉 𝑧 = ∞ olduğundan 𝜓2 𝑧 = − 𝐿 2 = 0 olmalıdır. 𝜓 −𝐿 2 = 𝐴 cos − 𝑘𝐿 2 + 𝐵 sin − 𝑘𝐿 2 = 0 ve 𝐴 cos 𝑘𝐿 2 − 𝐵 sin 𝑘𝐿 2 = 0

denklemleri elde edilir.  𝑧 = 𝐿 2 ‟de 𝑉 𝑧 = ∞ olduğundan 𝜓2 𝑧 = 𝐿 2 = 0 olmalıdır. 𝜓 𝐿 2 = 𝐴 cos 𝑘𝐿 2 + 𝐵 sin 𝑘𝐿 2 = 0 ve 𝐴 cos 𝑘𝐿 2 + 𝐵 sin 𝑘𝐿 2 = 0

elde edilir. Bu denklemleri çözmek için katsayılar determinatına bakılır.

sin 𝑘𝐿 2 cos 𝑘𝐿 2 − sin 𝑘𝐿 2 cos 𝑘𝐿 2 = 0 Buradan; 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 k_n = 𝑛𝜋 𝐿 n=0,1,2,... (2.5)

elde edilir. Dalga denklemine k_n ifadesi yazılır.

𝜓 𝑧 = 𝐴 cos 𝑛𝜋

𝐿 𝑧 + 𝐵 sin 𝑛𝜋

𝐿 𝑧 (2.6)

Elde edilen bu dalga fonksiyonu için tek çözümler ve çift çözümler olmak üzere iki tür çözümü vardır.

n çift durum için: 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0

𝜓_𝑛+ 𝑧 = 𝐴 cos 𝑛𝜋

𝐿 𝑧 n=1,3,5,… (2.7)

n tek durum için: 𝐵 = 0, 𝐴 ≠ 0

𝜓𝑛− 𝑧 = B sin 𝑛𝜋

Burada A ve B normalizasyon sabitleridir. Bu sabitler dalga fonksiyonunun normalize edilmesi ile elde edilir.

𝜓∗ 𝑧

𝐿/2

−𝐿/2 𝜓 𝑧 𝑑𝑧 = 1 (2.9)

Dalga fonksiyonlarının normalize edildikten sonraki ifadeleri:

𝜓_𝑛+ 𝑧 = 2 Lcos 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 n=1,3,5,… (2.10) 𝜓_𝑛− 𝑧 = 2 Lsin 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 n=2,4,6,… (2.11) Ģeklindedir..

Elektronun enerji özdeğerleri ise:

E = 𝜓𝑛 𝑧 H0 𝜓𝑛 𝑧 𝜓𝑛 𝑧 𝜓𝑛 𝑧

bağıntısından hesaplanır, burada H hamiltonyen;

𝐻₀ = − 𝑑

2

𝑑𝑧2

dir. Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna hapsedilen elektronun alabileceği enerji özdeğerleri, bu sonuçlar doğrultusunda n tamsayısına bağlı olarak değiĢir. Yani enerji değerleri n tam sayı katları Ģeklinde kuantize olmuĢtur.

GaAs bölgesine hapsedilmiĢ elektronun etkin kütlesi m∗ _{= 0.067m}

0 dır. Burada

𝑚₀ = 9,11. 10−31 𝑘𝑔 serbest elektron kütlesidir. AlAs GaAs AlAs kuantum kuyusu içinde bulunan böyle bir elektronun taban durumu enerjisi hesaplanmıĢ ve kuyu geniĢliğine bağlı olarak Grafik 2.1 „de verilmiĢtir.

Grafik 2.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre

2.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusuna Elektrik Alan Etkisi

𝐴𝑙𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙𝐴𝑠 kuantum kuyusu içerisine hapsedilmiĢ bir elektrona ait Hamilton, elektrik alan etkisi altında;

𝐻 = − ћ2

2𝑚∗𝛻

2 _{+ 𝑒𝐹 . 𝑟 + 𝑉 𝑧 (2.1.1)}

Ģeklindedir. Burada 𝐹 elektrik alan, 𝑚∗ _{elektronun etkin kütlesi, 𝑟 elektronun konumu,}

∇2 kartezyen koordinatlarda laplasyendir. Elektrik alan etkisi altında kuyu ġekil-3‟ de görüldüğü gibi olur. Seçilen elektrik alan sabit, düzgün ve +z yönündedir, 𝐹 = 𝐹𝑒 ₃

ġekil 3: Elektrik alan etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu

Sistemimize uyguladığımız elektrik alandan hamiltonyene gelen katkı;

olur. Bu durumda, H hamiltonyeni 𝐻 = 𝐻₀+ 𝑒𝐹𝑧 (2.1.2) ve 𝐻₀ = − ћ 2 2𝑚∗ 𝑑2 𝑑𝑧2+ 𝑉(𝑧)

dır. 𝐻0 elektrik alanın yokluğunda sistemimizin Hamiltonyenidir. Elektrik alandan H

hamiltonyenine gelen katkı ;

𝑊 = 𝑒𝐹𝑧

dır. a* ve R* birim sisteminde bu katkı 𝜂𝑧 olur. Burada 𝜂 =𝑒𝑎𝑏∗

𝑅∗ 𝐹 olup a* ve R* etkin

Bohr yarıçapı ve etkin Rydberg enerjisidir.

Buna göre a*, R* birim sisteminde H Hamiltonyeni

𝐻 = − 𝑑2

𝑑𝑧2+ 𝑉 𝑧 + 𝜂𝑧 (2.1.3)

olur.

Sistemin Schrödinger Denklemi:

𝐻𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 − 𝑑2

𝑑𝑧2+ 𝑉 𝑧 + 𝜂z 𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 (2.1.4)

Ģeklinde yazılır. Sonsuz potansiyel kuyusuna hapsedilmiĢ elektron için 𝑉 𝑧 = 0 olduğundan denklem;

− 𝑑2

olur. Bu denklem yaklaĢık olarak varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Bu yöntemde bir deneme dalga fonksiyonu önerilir. Bu deneme dalga fonksiyonu 𝜓 𝑧 ;

𝜓 𝑧 = 𝜓₀ 𝑧 𝑒−𝛽𝑧 _(2.1.6)

olarak seçilir. Burada 𝜓₀ 𝑧 dalga fonksiyonu Denklem 2.10 ve Denklem 2.11 ile ifade edildiği gibidir. Buna göre tek ve çift çözümler;

𝜓_𝑛𝑡𝑒𝑘 _{𝑧 =} Nt Lsin 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 _(2.1.7) ve 𝜓_𝑛ç𝑖𝑓𝑡 𝑧 = Nç Lcos 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 _(2.1.8)

olur, bu denklemlerde 𝛽 varyasyonel parametredir. Elektronun enerjisi varyasyon yöntemine göre; E _{n tek} = 𝜓𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 H 𝜓𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 𝜓𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 𝜓𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 _{min β} (2.1.9) E _{n çift} = 𝜓 ç𝑖𝑓𝑡 _{𝑧 H 𝜓}ç𝑖𝑓𝑡 _𝑧 𝜓ç𝑖𝑓𝑡 𝑧 𝜓ç𝑖𝑓𝑡 𝑧 min β (2.1.10)

denklemlerinden hesaplanır, burada E tek tek durumların enerjisi, E çift çift durumların enerjisidir.

Elektronun taban durum dalga fonksiyonu Denklem 2.1.8 e göre, n=1, 𝜓 𝑧 = N cos 𝜋

𝐿𝑧 𝑒

−𝛽𝑧

olur.

Taban durum 𝐿 = 100Å, F=0 ve 100 kV/cm elektrik alan Ģiddetleri için hesaplanmıĢ ve elektrik alanın dalga fonksiyonuna etkisi Grafik 2.1‟de verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın dalga fonksiyonunu sola kaydırdığını baĢka bir deyiĢle dalgadaki simetriği bozduğunu görüyoruz.

𝐿 = 100Å ve 150Å geniĢliğindeki iki farklı kuantum kuyusuna farklı elektrik alanlar 0 kV/cm ≤ F ≤ 300kV/cm uygulandığında taban durum enerjileri

hesaplanmıĢ ve enerjilerin elektrik alanın Ģiddetine bağlı değiĢimleri Grafik 2.3‟te verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın taban durum enerjisine geniĢ kuyuda daha etkin olduğu görülmektedir.

Grafik 2.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda elektrik alanın Ģiddetine

2.2. Düzgün Elektrik Alan Gören Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi

Ġçinde yabancı atom bulunan simetrik sonsuz kuantum kuyusuna “+z” yönünde düzgün ve sabit bir elektrik alan uygulandığında, “F” elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyunun Ģekil 4‟te görüldüğü gibi olur. Burada elektrik alan sabit, düzgün ve +z yönünde, 𝐹 = 𝐹𝑒 , seçilmiĢtir. 3

ġekil 4: Donor yabancı atomlu sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi

Düzgün elektrik alan altında donorlu kuantum kuyusu için sistemin silindirik koordinatlarda Hamiltonyeni; 𝐻𝑓𝑖 = − ћ2 2𝑚∗∇ 2₋ 𝑒2 𝜀0 𝜌2+(𝑧−𝑧𝑖)2+ 𝑒𝐹𝑧 + 𝑉 𝑧 (2.2.1)

Sistemin 𝑎∗ _{ve 𝑅}∗ _{biriminde Schrödinger Denklemi:} 𝐻_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (2.2.2) veya − 𝜕2 𝜕𝑧2− 1 𝜌 ∂ ∂𝜌𝜌 ∂ ∂𝜌 − 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2+ 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (2.2.3)

Ģeklinde yazılır. Kuyunun sonsuz olması halinde V(z)=0‟dır ve sistemin Schrödinger denklemi; − 𝜕2 𝜕𝑧2− 1 𝜌 ∂ ∂𝜌𝜌 ∂ ∂𝜌− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2+ 𝜂𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (2.2.4)

olur. Bu denklemin analitik çözümü olmadığından yaklaĢık olarak varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Bu yöntemin kullanılması için bir deneme dalga fonksiyonu önerilir. Taban durumu için deneme dalga fonksiyonu 𝜓_𝑓 𝜌, 𝑧 ;

𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝜓0 𝑧 𝑒−𝛽𝑧𝑒−

𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2

𝜆 _(2.2.5)

olarak seçilir. Burada 𝜓₀ 𝑧 daha önce Denklem 2.10 ile tanımlanan dalga fonksiyonudur. Buna göre 𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 dalga fonksiyonu;

𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = N cos 𝜋

𝐿𝑧 𝑒

−𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2_𝜆

(2.2.6)

Ģeklini alır. Bu denklemlerde 𝛽 ve 𝜆 varyasyonel parametrelerdir. Donor enerjisi;

E _fi = 𝜓𝑓𝑖 𝜌 ,𝑧 Hfi 𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧

𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧 _{min 𝜆,𝛽} (2.2.7)

formundan hesaplanır. Burada dV hacim elemanı silindirik koordinatlarda 𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝑧𝑑𝜑‟ dir.

E _f düzgün elektrik alan etkisinde ancak yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, E _fi düzgün elektrik alan etkisinde ve yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere, bağlanma enerjisi;

Eb = E f− E fi (2.2.8)

olarak tanımlanır.

Bağlanma enerjisi nümerik olarak yazdığımız FORTRAN programı ile hesaplanmıĢ ve bağlanma enerjisinin artan kuyu geniĢliği ve artan elektrik alanlarda azaldığı Grafik 2.5‟ te görülmüĢtür.

Düzgün elektrik alan altında sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda, yabancı atomun iki farklı konumu, zi=L/4 ; -L/4, ve dört farklı kuyu geniĢliği için bağlanma

enerjisi hesaplanmıĢ ve elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 2.4 ve Grafik 2.6‟da verilmiĢtir

Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 Kv/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 2.5 ve Grafik 2.7‟ de verilmiĢtir.

Grafik 2.4 :Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin

Grafik 2.5 : Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin

Grafik 2.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin

Grafik 2.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin

3. YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ

Yarı sonlu bir kuantum kuyusunda m kütleli bir parçacık için Schrödinger denklemi çözülecektir. Kuyunun Ģekli aĢağıdaki gibi olur.

ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu

Kuyunun potansiyel enerji dağılımı;

𝑉 𝑥 = ∞, 𝑧 ≤ −𝐿 ₂ 0, −𝐿 2< 𝑧 < 𝐿 2 𝑉0, 𝑧 > 𝐿 2 (3.1) Ģeklindedir.

Yarı sonlu kuyuda parçacık tamamen kuyu içine hapsolmayacak, potansiyel engelin bulunduğu 2. bölgede de bulunacaktır.

Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi:

𝐻𝜓(𝑧) = 𝐸𝜓(𝑧) (3.2) −ℏ2 2𝑚∗ 𝑑2 𝑑𝑧2+ 𝑉(𝑧) 𝜓(𝑧) = 𝐸𝜓(𝑧) Bu denklemde a* ve R* biriminde ℏ 2 2𝑚∗= 1 olur.

1.Bölgede 𝑉 𝑧 = 0 olduğu için a*

ve R* birim sisteminde Schrödinger denklemi: −𝑑2

𝑑𝑧2 + 0 𝜓1(𝑧) = 𝐸𝜓1 𝑧 𝜓1 𝑧 = 𝐴 cos 𝑘1𝑧 + 𝐵 sin 𝑘1𝑧

olur. Burada 𝑘₁ = 𝐸 dir.

2.Bölgede 𝑉 𝑧 = 𝑉₀ olduğundan, bu bölgede Schrödinger denklemi ;

−𝑑2

𝑑𝑧2 + 𝑉0 𝜓2 𝑧 = 𝐸𝜓2 𝑧 𝜓2(𝑧) = 𝐶𝑒

𝑘2𝑧_{+ 𝐷𝑒}−𝑘2𝑧 _(3.3)

olur. Burada; 𝑘₂ = 𝑉0− 𝐸 „dir. 𝜓2(𝑧) dalga fonksiyonu 𝑧 = ∞ için sıfırdır ve C

katsayısı 0 olur. Dalga fonksiyonunun son hali;

𝜓2(𝑧) = 𝐷𝑒−𝑘2𝑧 (3.4)

olur.

Bu dalga fonksiyonlarına sınır Ģartları uygulanırsa,

 𝑧 ≤ −𝐿

2 bölgesinde 𝑉 𝑧 = ∞ olduğundan dalga fonksiyonu 𝜓1 𝑧 = − 𝐿 2 = 0

𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝑘1𝐿

2 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 − 𝑘1𝐿

2 = 0 (3.5)

Bu durumda 𝜓₁(𝑧) dalga fonksiyonu; 𝜓1 𝑧 = 𝐵𝑡𝑎𝑛

𝑘₁𝐿

2 𝑐𝑜𝑠(𝑘1𝑧) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘1𝑧)

olur. 𝑧 = 𝐿

2 „de dalga fonksiyonunun sürekliliğinden

𝜓1(𝑧) _𝑧=𝐿 2 = 𝜓2(𝑧) _𝑧=𝐿 2 veya 𝐵𝑡𝑎𝑛 𝑘1 𝐿 2 𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝐿 2) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘1 𝐿 2) = 𝐷𝑒 −𝑘2𝐿 _{2 (3.6)}

olur. Dalga fonksiyonlarının türev sürekliliğinden

𝑑𝜓1(𝑧) 𝑑𝑥 _𝑧=𝐿 2 = 𝑑𝜓2(𝑧) 𝑑𝑥 _𝑧=𝐿 2 veya −𝐵𝑘1𝑡𝑎𝑛 𝑘1 𝐿 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝐿 2 + 𝐵𝑘1𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝐿 2) = −𝐷𝑘2𝑒 −𝑘2𝐿 _{2 (3.7)}

olur. Denklem (3.6) ve Denklem (3.7) den;

𝑘₂tan 𝑘₁𝐿

2 + 𝑘1 = 0 (3.8)

ifadesi elde edilir. Burada 𝑘₁ = 𝐸 ve 𝑘2 = 𝑉0− 𝐸 kullanılırsa;

𝑉0− 𝐸 tan 𝐸 𝐿

2 + 𝐸 = 0 (3.9)

bulunur. Bu çalıĢmada denklemi sağlayan enerji değerleri nümerik olarak FORTRAN programı yardımı ile hesaplanmıĢtır.

Buna göre dalga fonksiyonları:

𝜓₁ 𝑧 = 𝐵𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿

ve

𝜓₂ 𝑥 = 𝐷𝑒−𝑘2𝑥 _(3.11)

olur, burda B ve D sabitleri dalga fonksiyonun normalize edilmesi ile elde edilir.

𝜓1∗ 𝑧 𝜓1 𝑧 𝑑𝑧 + 𝐿 2 −𝐿 2 𝜓2 ∗ _{𝑧 𝜓} 2 𝑧 𝑑𝑧 = 1 ∞ 𝐿 2 (3.12) denklemi kullanılırsa; 𝜓 𝑧 = 𝐵𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 − 𝐿 2 < 𝑧 < 𝐿 2 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿 _{2 𝑒}−𝑘2𝑧 _{𝑧 >}𝐿 2 (3.13)

olarak elde edilir, burada B katsayısı

𝐵−2 ₌𝐿 2 1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 2𝑘1𝐿 + 𝑠𝑖𝑛2(𝑘1𝐿) 𝑘2𝐿 (3.14) dır.

Elektronun taban durum dalga fonksiyonu kuyu geniĢliğine bağlı olarak V₀ = 200,400 meV potansiyel engelli yapı için Denklem (3.8), Denklem (3.13) ve Denklem (3.14) yardımıyla hesaplanmıĢ ve hesaplanan dalga fonksiyonları Grafik 3.1 ‟de çizilmiĢtir.

Ġki farklı kuyu geniĢliği 𝐿 = 100Å 𝑣𝑒 200Å için taban durum enerjisini V0 engel

değiĢimi Grafik 3.2‟de verilmiĢtir. Bu grafik, artan engel potansiyeli yani artan hapsedilme ile elektron enerjisinin arttığını ve sonsuz kuantum kuyusundaki değere yaklaĢtığı görülmektedir.

Grafik 3.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga

Grafik 3.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100,200 A0 kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin enerjiye bağlı değiĢim grafiği

3.1. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusu Ġçine Hapsedilen Elektrona Elektrik Alan Etkisi

ġekil 6: Elektrik alan etkisi altındaki –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo potansiyel

engeline sahip olan yarı sonlu kuantum kuyusu

Yarı sonlu kuantum kuyusuna “+z” yönünde düzgün “F” elektrik alanı uygulanırsa a* ve R* birim sisteminde yapının Hamiltonyeni :

𝐻𝑓 = − 𝑑2

𝑑𝑧2+ 𝑉 𝑧 + 𝜂𝑧 (3.1.1)

olur. Buna göre zamandan bağımsız Schrödinger denklemi,

− 𝑑2

𝑑𝑧2+ 𝑉 𝑧 + 𝜂𝑧 𝜓𝑓 𝑧 = 𝐸𝑓𝜓𝑓 𝑧 (3.1.2)

olur. Bu Schrödinger denklemi varyasyonel yöntemle çözülecektir, çözüm için taban durum danga fonksiyonları,

𝜓_𝑓 𝑧 = 𝐵 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 ₋𝐿 2 < 𝑧 < 𝐿 2 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿 _{2 𝑒}−𝑘2𝑧_𝑒−𝛽𝑧 _{𝑧 >}𝐿 2 (3.1.3)

olacak Ģekilde seçilmiĢtir, burada 𝛽 varyasyonel parametredir.

Elektronun enerjisi,

E f =

𝜓𝑓 𝑧 Hf 𝜓𝑓 𝑧

𝜓𝑓 𝑧 𝜓𝑓 𝑧 _{min β} (3.1.4)

denkleminden hesaplanmıĢtır.

Elektronun taban durum dalga fonksiyonları, farklı F =0,100 kV/cm elektrik alan Ģiddeti için grafikleri Grafik 3.3‟ de verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın dalga fonksiyonunu sola kaydırdığını ve basamak içindeki tünellemeyi yani sızmayı azalttığı görülmektedir.

F =0,100 kV/cm elektrik alan altında elektron taban durum enerjisinin 𝑉₀ kuyu engel potansiyeline bağlı olarak değiĢimi hesaplanmıĢ ve bu durum Grafik 3.4‟ te verilmiĢtir. Bu grafikten, uygulanan elektrik alan ve artan engel potansiyeli elektrondaki hapsedilmeyi arttırdığından elektrik alan altında elektron enerjisi büyük olur. Bu durum Grafik 3.3 ile uyumludur.

Grafik 3.3: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen

Grafik 3.4: F=0,100 kV/cm elektrik alan altındaki yarı sonlu kuantum kuyusunun

3.2. Elektrik Alan Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusuna Donor Yabancı Atom Etkisi

ġekil 7 : Elektrik alan altında, –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo potansiyel engeline sahip

olan kuantum kuyusu

Ġçinde donor yabancı atom bulunan simetrik yarı sonlu kuantum kuyusuna “+z” yönünde bir F elektrik alan uygulandığında, sistemin Hamiltonyeni,

𝐻_𝑓𝑖 = − 𝜕2 𝜕𝑧2− 1 𝜌 ∂ ∂𝜌𝜌 ∂ ∂𝜌− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 (3.2.1) ve Schrödinger denklemi: 𝐻_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (3.2.2) veya

− 𝜕2 𝜕𝑧2− 1 𝜌 ∂ ∂𝜌𝜌 ∂ ∂𝜌− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (3.2.3) olur.

Bu denklemin analitik çözümü olmadığından denklem yaklaĢık olarak varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Bu yöntemde deneme dalga fonksiyonu 𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 ;

𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝜓 𝑧 𝑒−𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2_𝜆

(3.2.4)

olarak seçilir. Burada 𝜓 𝑧 daha önce Denklem (3.1.3) ile tanımlanan dalga fonksiyonudur. 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 dalga fonksiyonu iki bölge için yerine yazarsak, birinci

bölgede; 𝜓_𝑓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁₁ 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 −𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2 𝜆 _(3.2.5) ve ikinci bölgede; 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿 _{2 𝑒}−𝑘2𝑧_𝑒−𝛽𝑧 _𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2 𝜆 _(3.2.6)

olur. burada 𝛽 ve 𝜆 varyasyonel parametreleri ve zi donor atomunun z ekseni üzerindeki

izdüĢümünün konumudur. Donor enerjisi veya donora ait elektronun enerjisi ise,

E fi =

𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧 Hfi 𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧

bağıntısından hesaplanır.

Bu durum için bağlanma enerjisi de:

E_b = E _f− E _fi (3.2.8)

olur, burada E _f enerjisi yabancı atom yokluğundaki elektrik alan altındaki taban durum enerjisidir ve daha önce Denklem (3.1.4) ile tanımlanmıĢtır.

Düzgün elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusunda, yabancı atomun iki farklı konumu, zi=L/4 ; -L/4, ve dört farklı kuyu geniĢliği için bağlanma enerjisi

hesaplanmıĢ ve elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 3.5 ve Grafik 3.7‟de verilmiĢtir.

Donor yabancı atomun iki farklı konumu (zi=L/4 ve zi=-L/4) ve dört farklı kuyu

geniĢliği 𝐿 = 100,150,200,250Å durumunda, bağlanma enerjisinin elektrik alana bağlı değiĢimi Grafik 3.5 (zi=L/4) ve Grafik 3.6 (zi=-L/4)‟ de verilmiĢtir.

Grafik 3.5‟ ten baĢka bir deyiĢle donor yabancı atomunun kuyu içinde ve sonlu engel potansiyele yakın olması halinde bağlanma enerjisinin artan elektrik alan ve artan kuyu geniĢliği ile azaldığı görülmektedir.

Grafik 3.6‟ da yabancı atomun sonsuz engel potansiyeline yakın olduğu durumda bağlanma enerjisinin beklenmedik bir Ģekilde artan kuyu geniĢliği ile artan, ancak beklendiği gibi artan elektrik alanla azaldığı görülmektedir. DüĢük elektrik alanlarda Eb‟nin davranıĢı

yüksek elektrik alanlara göre daha karmaĢıktır.

Donor atomunun iki farklı konumu (zi=L/4 ve zi=-L/4) ve dört farklı elektrik alan Ģiddeti (F=0,50,100,150 kV/cm) için bağlanma enerjisinin kuyu geniĢliğine bağlı değiĢim grafikleri Grafik 3.7 (zi=L/4) de ve Grafik 3.8 (zi=-L/4) de verilmiĢtir.

Grafik 3.7‟ den, yabancı atomun sonlu engel potansiyeline yakın olması durumunda bağlanma enerjisi artan kuyu geniĢliği ve artan elektrik alanla artarken, yabancı atomun sonsuz engel potansiyeline yakın olması halinde dar kuyularda bağlanma enerjisi kuyu geniĢliği ile azalmakta, ancak geniĢ kuyularda ve sıfırdan farklı elektrik alanlarda bağlanma enerjisi beklenenin aksine artan elektrik alan ve artan kuyu geniĢliği ile artmaktadir.

Grafik 3.5: Donor yabancı atomunun zi=L/4 konumu için dört farklı kuyu geniĢliğinde

Grafik 3.6: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A0 kuyu

Grafik 3.7: Donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan

Grafik 3.8: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan

4. SELF POLARĠZASYON VE SELF POLARĠZEBĠLĠTE

Kuyunun enerji duvarları donor elektronu etkiler ve bu etkiyi elektrondaki self polarizasyon olarak tanımlarsak; self polarizasyon, elektrik alan etkisi altında;

𝑃_𝑠 = 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 −𝑒 𝑧 − 𝑧𝑖 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑣𝑎𝑟 − 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 −𝑒 𝑧 − 𝑧𝑖 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑦𝑜𝑘 veya, 𝑃𝑠 𝑒 = − 𝛹_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑣𝑎𝑟 + 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑦𝑜𝑘

Ģeklinde hesaplanır, burada 𝜓𝑕 𝜌, 𝑧 kuyu geniĢliği sonsuz kabul edildiğinde donor

elektrona ait dalga fonksiyonudur ve

𝜓_𝑕 𝜌, 𝑧 = 𝑁𝑒−

𝜌2_{+ 𝑧−𝑧} 𝑖 2

𝑎𝑜

Ģeklinde tanımlanır. Burada 𝛹_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 dalga fonksiyonları elektrik alan uygulanmıĢ donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilen bir elektronun taban durumu dalga fonksiyonu ve 𝑎₀ Bohr yarıçapıdır.

Self polarizasyon elektrik alan varlığında hesaplandığı gibi elektrik alan etkisi yokken de 𝑃_𝑠 𝑒 = − 𝛹𝑖 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹_𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹_𝑖 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑣𝑎𝑟 + 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹𝑕 𝜌, 𝑧 𝛹_𝑕 𝜌, 𝑧 𝛹_𝑕 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑦𝑜𝑘

bağıntısından hesaplanabilir, burada 𝛹_𝑖 𝜌, 𝑧 elektrik alan yokluğunda donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilmiĢ elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonudur.

Birim elektrik alan baĢına self polarizasyona self polarizabilite denir. Self polarizabilite;

𝛼_𝑠 =𝑃𝑠 𝐹 Ģeklindedir.

4.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self Polarizabilite

Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyon Denklem 2.2.6‟da belirtilen dalga fonksiyonları yardımı ile hesaplanacaktır. Bu taban durumu dalga fonksiyonları; 𝜓_𝑖 𝜌, 𝑧 = N cos 𝜋 𝐿𝑧 𝑒 − 𝜌2+(𝑧−𝑧_𝜆 𝑖)2 ve 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = N cos 𝜋 𝐿𝑧 𝑒 −𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 𝜆

Ģeklindedir. Bu dalga fonksiyonlarından 𝜓_𝑖 𝜌, 𝑧 elektrik alan yokluğunda donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durum dalga fonksiyonudur, 𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 elektrik alan uygulanmıĢ donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durum dalga fonksiyonudur.

Donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken uygulanan elektrik alan ve

kuyunun geniĢliği arttırıldıkça, simetrik sonsuz kuantum kuyusunda polarizasyon (Ps/e)

belirgin Ģekilde artmaktadır. Bu artıĢ Grafik 4.1.1, Grafik 4.1.2‟de gözlemlenmektedir.

Self polarizabilite, donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken, simetrik

sonsuz kuantum kuyusunda artan elektrik alanla beraber azalmakta ve artan kuyu geniĢliği ile artmaktadır. Bu değiĢimler Grafik 4.1.5 ve Grafik 4.1.6‟de görülmektedir.

Grafik 4.1.1: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Grafik 4.1.2: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu

Grafik 4.1.3: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Grafik 4.1.4: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizebilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu

Grafik 4.1.5 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Grafik 4.1.6 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu

Grafik 4.1.7: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

Grafik 4.1.8: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun

4.2. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self Polarizabilite

Yarı sonlu kuantum kuyusunda self polarizasyon Denklem 3.2.5 ve Denklem 3.2.6‟da belirtilen dalga fonksiyonları yardımı ile hesaplanacaktır. Bu taban durumu dalga fonksiyonları; 𝜓_𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁_𝑖 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 − 𝜌2+ 𝑧−𝑧_𝜆 𝑖 2 𝜓_𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁_𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘₁𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿_{2 𝑒}−𝑘2𝑧 _𝑒− 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 𝜆 ve 𝜓_𝑓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁₁ 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 −𝛽𝑧_𝑒− 𝜌2+ 𝑧−𝑧_𝜆 𝑖 2 𝜓_𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁₁ 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿_{2 𝑒}−𝑘2𝑧_𝑒−𝛽𝑧 _𝑒− 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 𝜆

Ģeklindedir. Bu dalga fonksiyonlarından 𝜓_𝑖1 𝜌, 𝑧 ve 𝜓_𝑖2 𝜌, 𝑧 elektrik alan yokluğunda donor yabancı atomlu yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban

durum dalga fonksiyonu, 𝜓_𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 ve 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 elektrik alan uygulanmıĢ donor

yabancı atomlu yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durum dalga fonksiyonudur.

Donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken uygulanan elektrik alan ve

kuyunun geniĢliği arttırıldıkça, yarı sonlu kuantum kuyusunda self polarizasyon (Ps/e)

belirgin Ģekilde artmaktadır. Bu artıĢ Grafik 4.2.1, Grafik 4.2.2‟de gözlemlenmektedir.

Self polarizabilite, donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken, yarı sonlu

kuantum kuyusunda artan elektrik alanla beraber azalmakta ve artan kuyu geniĢliği ile artmaktadır. Bu değiĢimler Grafik 4.2.5 ve Grafik 4.2.6‟de görülmektedir.

Grafik 4.2.1 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken self

polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) içinelektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

Grafik 4.2.2 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken

self polarizasyonunfarklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi

Grafik 4.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken

self polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

Grafik 4.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken

self polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi

Grafik 4.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken

self polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) içinelektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

Grafik 4.2.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken

self polarizasyonunfarklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi

Grafik 4.2.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken

self polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi

Grafik 4.2.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken

self polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) içinelektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

SONUÇLAR VE TARTIġMA

Bu çalıĢmada düzgün elektrik alan altında 𝐴𝑙_𝑥1𝐺𝑎_1−𝑥1𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙_𝑥2𝐺𝑎_1−𝑥2𝐴𝑠 sonsuz, 𝑥₁ = 𝑥₂ = 1, ve yarı sonlu, 𝑥₁ = 1 𝑣𝑒 0 < 𝑥₂ < 1, kuantum kuyularında donor yabancı atomuna ait bağlanma enerjisi ve donor elektronunun self polarizasyonu hesaplanmıĢtır. Bağlanma enerjisinin ve self polarizasyonunun kuyu geniĢliğine, yabancı atomun konumuna ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak değiĢtiği bulunmuĢtur. Genel kural olarak, yabancı atom kuyu kenarlarına yaklaĢtıkça ve elektrik alan arttıkça bağlanma enerjisinin azaldığı, self polarizasyonun arttığı bulunmuĢtur. BaĢka bir deyiĢle hapsedilme ve simetri azaldıkça bağlanma enerjisinin azaldığı, self polarizasyonun arttığı sonucuna ulaĢılmıĢtır.

KAYNAKLAR

1. AKANKAN O., ERDOGAN I., AKBAS H., 2006, “Spatial electric field effect on the self-polarization in GaAs/AlAs square quantum-well wires”, Physica E, 35, 217–221 2. AKANKAN O., OKAN S.E., AKBAS H., 2005, “Spatial electric field effect in GaAs–AlAs quantum wires”, Physica E , 25 ,535–538

3. AKBAġ H.,EKMEKÇĠ S.,AKTAġ ġ.,TOMAK M., 1995, ”Electric field effect on shallow impurity states in mıltiple quantum –well structures”, Tr. J. of Physics, 19, 381.

4. AKTAġ ġ.,BOZ F., 2004, “The binding energy of a hydrogenic impurity in triple GaAs/AlxGa1-xAs quantum well-wires under applied electric field”, Trakya Univ. J. Sci., 5(2), 159.

5. O. YAMAN “Kuantum kuyu ve tellerinde hapsedilen elektronun özellikleri; elektrik alan ve yabancı atom etkileri” yüksek lisans tezi – Edirne, 2010

6. KARAOĞLU B., 1994, “Kuantum Mekaniğine GiriĢ”, Bilgitek yayıncılık, Ġstanbul. 80

7. AKTAġ ġ., OKAN SE, AKBAġ H., “Electric field effect on the binding energy of a hydrogenic impurity in coaxial GaAs-AlxGa 1-x As quantum well-wires” Supperlattices

and Microstructures, 30(3),129-134, 2001

8. KASAPOGLU E., SARĠ H., SOKMEN I.,2003, “Binding energies of shallow donor impurities in different shaped quantum wells under an applied electric field”, Physica B, 339, 17–22

9. KITTEL C, 1996, “Katıhal Fiziğine GiriĢ”( Bekir Karaoğlu), 6.basım,224, BilgiTekyayın.,Ġst.

10. MANUK G., BARSEGHYAN, ALBERT A. KĠRAKOSYAN, 2005,” Electronic states in a step quantum well in a magnetic field”, Physica E , 28, 471–481

11. PACHECO M., BARTICEVIC Z., LATGÉ A., 2001, “Electronic and impurity states in triple quantum wells” Physica B, 302-303, 77.

12. SARI H., KASAPOĞLU E., SÖKMEN I., 2003, “Shallow donors in a triple graded quantum well under electric and magnetic field” Physica B, 325, 300.

13. SARI H., SÖKMEN I., YESILGÜL U., 2004, “Photoionization of donor impurities in quantum wires in a magnetic field” J. Phys. D: Appl. Phys., 37, 674.

14. ULAS M., ERDOGAN Ġ, CĠCEK E, SENTURK DALGIC S. “Self polarization in GaAs-(Ga,A)As quantum-well wires: electric field and geometrical effects”, 2004

ÖZGEÇMĠġ

Adı Soyadı : Faik GÜNDOĞDU Doğum Yeri ve Yılı : Rize – 1987 Medeni Hali : Bekar

Öğrenim Durumu:

2004-2008 : T. Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü (Lisans)

2008-2011 :T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans)

Konu: Sonsuz Ve Yarı Sonlu Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Self

Polarizasyon.

2008-2011 : T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans).

Yayınlar:

1-“Antisimetrik Ve Simetrik Kuantum Kuyularında Elektrik Alan Etkisi: Self

Polarizasyon Ve Self Polarizebilite” Sunum, Türk Fizik Derneği 27. Fizik Kongresi, Ġstanbul, 2010