Fourier operatörlerinin morrey uzaylarında yaklaşım özellikleri

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

FOURIER OPERATÖRLER

İNİN MORREY UZAYLARINDA

YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

LEVENT AÇIL

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

FOURIER OPERATÖRLER

İNİN MORREY UZAYLARINDA

YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

YÜKSEK LISANS TEZI

LEVENT AÇIL

KABUL VE ONAY SAYFASI

Levent AÇIL tarafından hazırlanan “FOURİER

OPERATÖRLERİNİN MORREY UZAYLARINDA YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ” adlı tez çalışmasının savunma sınavı 06.06.2013 tarihinde

yapılmış olup aşağıda verilen jüri tarafından oy birliği ile Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Jüri Üyeleri İmza

Danışman

Prof. Dr. Ali GÜVEN

Üye

Prof. Dr. Daniyal İSRAFİLZADE

Üye

Doç. Dr. Yunus Emre YILDIRIR

Jüri üyeleri tarafından kabul edilmiş olan bu tez BAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunca onanmıştır.

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

ÖZET

FOURIER OPERATÖRLERİNİN MORREY UZAYLARINDA

YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

LEVENT AÇIL

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(TEZ DANIŞMANI: PROF. DR. ALİ GÜVEN)

BALIKESİR, HAZİRAN - 2013

Bu çalışma trigonometrik Fourier serilerinin Cesàro, Zygmund, Nörlund ve Riesz ortalamalarının Morrey uzaylarındaki bazı yaklaşım özelliklerinden oluşmaktadır.

Bu tez birinci bölüm giriş olmak üzere dört ana bölümden oluşmaktadır İkinci bölümde, trigonometrik yaklaşımın temel taşı olan Fourier serilerinin tanımı verilmiştir. Bu bölümün ikinci kısmı ise, Cesàro, Zygmund Nörlund ve Riesz ortalamalarının tanımı ile ana teoremlerde kullanılacak bazı tanımlardan oluşmaktadır.

Üçüncü bölümde, bu çalışmada kullanılan fonksiyon uzaylarının tanımı ve temel özellikleri verilmiştir.

Dördüncü bölümde ise, elde edilen sonuçlar, bu sonuçların ispatları ve bu ispatlarda kullanılan bazı lemmalar verilmiştir.

ANAHTAR KELİMELER: Morrey uzayı / Lipschitz sınıfı / Fourier serisi /

Cesàro ortalaması / Zygmund ortalaması / Nörlund ortalaması / Riesz ortalaması

ABSTRACT

APPROXIMATION PROPERTIES OF FOURIER OPERATORS IN MORREY SPACES

MSC THESIS LEVENT AÇIL

BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS

(SUPERVISOR: PROF. DR. ALİ GÜVEN )

BALIKESİR, JUNE 2013

This study consists of some approximation properties of Cesàro, Zygmund, Nörlund and Riesz means of trigonometric Fourier series in Morrey spaces.

This study consists of four main chapters including the introduction part as the first chapter.

In the second chapter, the definition of Fourier series, which is the crucial point of trigonometric approximation is given.The second part of this chapter consists of the definitions of Cesàro, Zygmund, Nörlund and Riesz means with some definitions that are going to be used in the main theorems.

In the third chapter, the definition of the main properties of function spaces used in this study are given.

In the fourth chapter, the results which were obtained, the proofs of these results and some lemmas that are used in these proofs are given.

KEYWORDS: Morrey space / Lipschitz class / Fourier series / Cesàro mean /

Zygmund mean / Nörlund mean /Riesz mean ii

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET ……….. i ABSTRACT ……… ii İÇİNDEKİLER ……….. iii SEMBOL LİSTESİ ……… iv ÖNSÖZ ……… v 1. GİRİŞ ……….. 1 2. FOURIER SERİLERİ ………... 2 2. 1 Fourier Serileri ………... 2

2. 2 Cesàro, Zygmund, Nörlund ve Riesz Ortalamaları ……….. 3

3. FONKSİYON SINIFLARI ………..………….….…… 6

3.1 Morrey Uzayları ……… ……….…….. 6

3. 2 Süreklilik Modülü ve Lipschitz Sınıfları ……… ……….. 7

4. ANA TEOREMLER ……….. 9

4.1 Cesàro ve Zygmund Ortalamaları İle Yaklaşım ……..……… 9

4. 1. 1 Yardımcı Sonuçlar ………...………... 9

4. 1. 2 Teoremler ……….………. 10

4. 2 Nörlund ve Riesz Ortalamaları İle Yaklaşım ……… 13

4. 2. 1 Yardımcı Sonuçlar ……….………... 13

4. 2. 2 Teoremler ……….………. 19

5. KAYNAKLAR ………...……… 27

SEMBOL LİSTESİ

 : Birim çember (

[

0, 2π aralığı )

]

Lp ,α

( )

 : Morrey Uzayı

Lip_{α, p}

( )

β : Lipschitz Uzayı

σ_n : Cesàro (Fejér) ortalaması

Zn ,r : Zygmund ortalaması R : _n Riesz ortalaması N : _n Nörlund ortalaması ω : Süreklilik modülü _{p ,α} iv

ÖNSÖZ

Yüksek lisans çalışmam süresince bana değerli zamanını ayıran, tecrübesini benden esirgemeyen değerli danışmanım Prof. Dr. Ali GÜVEN’ e teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca çalışmalarımda bana destek olan kıymetli hocalarım Yrd. Doç. Dr. Figen AÇIL KİRAZ, Doç. Dr. Sebahattin İKİKARDEŞ ve Doç. Dr. Yunus Emre YILDIRIR’ a teşekkür ederim.

Son olarak her zaman yanımda olan, büyük bir özveriyle beni yetiştiren sevgili annem ile babama ve sonsuz anlayışından dolayı sevgili eşim Sema’ya çok teşekkür ederim.

1.

GİRİŞ

Trigonometrik Fourier serilerinin Cesàro, Zygmund, Nörlund ve Riesz ortalamaları ile yaklaşım problemi birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır. Cesàro ortalamasının Lebesgue uzaylarında bazı yaklaşım özellikleri Quade tarafından incelenmiştir [1]. Kokilashvili ve Samko Değişken üslü Ağırlıklı Lebesgue uzayında trigonometrik serilerin Zygmund ve Cesàro ortalamalarını incelemişlerdir [2].Cesàro ve Zygmund ortalamalarının ağırlıklı Orlicz uzaylarında yaklaşım özellikleri ise Güven ve Israfilov tarafından çalışılmıştır( [7]).

Nörlund ve Riesz ortalamalarının p

L uzaylarında yaklaşım özellikleri

Mohapatra ve Russell ([3]) , Chandra ([4]) , Leindler ([5]) tarafından çalışılmıştır. Güven , Chandra’nın ağırlıklı p

L uzaylarına genellemelerini

ispatlamış ([6]) , Güven ve İsrafilov ise Chandra ve Leindler’in sonuçlarının benzerlerini genelleştirilmiş Lebesgue uzaylarında elde etmişlerdir ([8]).

Morrey uzaylarında yaklaşım teorisinin düz ve ters problemleri Tozman tarafından elde edilmiştir ([9]).

Bu çalışmada trigonometrik Fourier serilerinin Cesàro, Zygmund , Nörlund ve Riesz ortalamaları ile yaklaşım özellikleri incelenmiş ve [2], [4] ve [5]

çalışmalarında elde edilen sonuçların Morrey uzaylarında benzerleri ispatlanmıştır.

n∈ 

2. FOURI

ER SERİLERİ

2. 1 Fourier Serileri

2. 1.1 Tanım : a , _k b _k

(

k=0,1, 2,...

)

sabit sayılar olmak üzere

(

)

0 k k k 1 a a cos kx b sin kx 2 ∞ = +

∑

+ (2. 1)

serisine bir trigonometrik seri denir.

(

k k

)

k 1 a sin kx b cos kx ∞ = −

∑

serisine de (2. 1) serisinin eşlenik serisi denir.

2. 1. 2 Tanım : , a , k b k

(

k =0 1 2, , ,...,n

)

sabit sayılar ve an +bn ≠0

olmak üzere

( )

(

cos sin

)

n 0 n k k k 1 a t x a kx b kx 2 = = +

∑

+ , n=0 1 2, , ,...

ifadesine n . dereceden bir trigonometrik polinom denir.

2. 1. 3 Tanım : n=0,1,… için derecesi n’yi aşmayan trigonometrik

polinomların kümesi Πn ile gösterilir.

2. 1. 4 Tanım :=

[

0,2π

]

olmak üzere f ∈L1( ) olsun.

( )

2 k 0 1 a f t cos ktdt , π π =

∫

k =0 1 2, , ,... ve

( )

2 k 0 1 b f t sin ktdt , π π =

_∫

k =1 2, ,... 2

olmak üzere 0

(

k k

)

k 1 a a cos kx b sin kx 2 ∞ =

+

∑

+ trigonometrik serisine f fonksiyonunun

Fourier serisi denir ve

(

)

0 1 2 k k k a f ( x ) a c os kx b sin kx ∞ = +

∑

+  yazılır. 2. 1. 5 Tanım :

( )( )

0 0 2 =a A f x : ,

( )( )

= + k k k A f x : a cos kx b sin kx , k =1 2, ,... olmak üzere

( )( )

( )( )

0 = =

∑

n n k k S f x A f x , n=0 1 2, , ,...

biçiminde tanımlı

(

Sn

( )

f

)

dizisine f fonksiyonun Fourier serisinin kısmi toplamlar

dizisi denir. 2. 1.6 Tanım : f ∈ ve L1

( )

0

(

)

1 2 k k k a f x a cos kx b sin kx ∞ = +

∑

+  olsun.

(

)

1 k k k a sin kx b cos kx ∞ = −

∑

trigonometrik serisi bir fonksiyonun Fourier serisi ise bu fonksiyona f fonksiyonunun eşlenik fonksiyonu denir ve f şeklinde gösterilir.

2. 2 Cesàro, Zygmund, Nörlund ve Riesz Ortalamaları

2. 2. 1 Tanım :

(

S_n

( )

f

)

, _{f fonksiyonun Fourier} serisinin kısmi toplamlar

dizisi olmak üzere

( )( )

( )( )

( )( )

0 0 1 1 1 = = 1   σ = = _ − _ +

∑

∑

 +  n n n k k k k k f x S f x A f x n n , n=1 2, ,...

ifadesine f fonksiyonunun Fourier serisinin n. dereceden Cesàro (Fejér) ortalaması denir.

2. 2. 2 Tanım : r 1 2= , ,..._{olmak üzere ,}

( )( )

(

)

( )

r n 0 n ,r r k k 1 a k Z f x 1 A f n 1, 2 2 = n 1 , ,   = + _ − _ = … +  

∑

ifadesine f fonksiyonunun Fourier serisinin r. mertebeden Zygmund ortalaması denir. Zygmund ortalaması , r = 1 durumundaCesàro ortalamasına eşit olur.

2. 2. 3 Tanım :

{ }

p_n ∞_n=0 pozitif reel sayıların bir dizisi olsun.

1 1 0 0 n n m m P p , p₋ P₋ = =

∑

= = olmak üzere

( )( )

( )( )

0 1 − = =

∑

n n n m m m n N f x p S f x P

ifadesine f fonksiyonun Fourier serisinin

{ }

p_n ∞_n=0 dizisine göre Nörlund ortalaması,

( )( )

( )( )

0 1 = =

∑

n n m m m n R f x p S f x P

ifadesine ise f fonksiyonun Fourier serisinin

{ }

0 ∞

=

n _n

p dizisine göre Riesz ortalaması denir.

1 0 1 2

n

p = , n= , , ,...

durumunda Nörlund ve Riesz ortalamalarının ikisi de Cesàro ortalamasına eşittir.

2. 2. 4 Tanım :

{ }

p_n ∞_n=0 pozitif reel sayıların bir dizisi olsun. n≥m

şeklindeki her n,m∈  için

≤

n m

p cp

(

p_n ≥cp_m

)

olacak şekilde sadece

{ }

pn ∞_n=0 dizisine bağlı bir c pozitif sabiti varsa

{ }

₀

∞ =

n _n

p

dizisine

hemen hemen monoton azalan (artan) dizi denir ve

{ }

p_n ∞_n=0∈AMDS

{ }

(

0

)

∞ = ∈

n n

p AMIS şeklinde gösterilir.

2. 2. 5 Tanım : Ana teoremlerde kullanılacak olan ∆ gösterimi pn

∆p : p_n = _n −p_n+1 şeklinde tanımlıdır.

3. FONKSİYON SINIFLARI

3.1 Morrey Uzayları

3. 1. 1 Tanım : =

[

0, 2π

]

,0≤ ≤ ve α 2 p≥ olmak üzere 1

( )

( )

, 1 1 2 1 : sup p p p L I _I f f d I α _α θ θ −     =_{ } <∞   

∫

  koşulunu sağlayan p

( )

loc

f ∈L  fonksiyonlarının kümesine Lp,α

( )

 Morrey

uzayı denir . Buradaki supremum tüm I ⊂ aralıkları üzerinden alınır.

Bu uzay bir Banach uzayıdır ve α =2 olduğu durumda Lp

( )

 uzayıyla , α =0 durumunda da L∞

( )

 uzayı ile çakışır .Lp,α

( )

 ⊂Lp

( )

 dir.

3. 1. 2 Teorem : 0 ≤α ≤ 2 ve 1< < ∞p olsun. Her f ∈Lp,α

( )



için

( )

p, _{( )} p, _{( )}

n _{L L}

S f α _ ≤c f α _ olacak şekilde bir c > 0 sabiti vardır ([9]).

3. 1. 3 Teorem : 0 ≤α ≤ 2 ve 1< < ∞p olsun .Her f ∈Lp,α

( )



için ( ) , ( ) , p p L L f _α ≤c f α _  

olacak şekilde f ’den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır ([9]).

3. 2 Süreklilik Modülü ve Lipschitz Sınıfları

3. 2. 1 Tanım : ,

( )

, 0 2 1 . p f ∈L α  ≤ ≤α ve p≥ olsun

( )( )

(

) ( )

∆_h f x = f x h+ −f x olmak üzere

(

)

( )

, _{( )} , 0 , sup p , 0 p h _{L T} h f f α α δ ω δ δ < ≤ = ∆ ≥

şeklinde tanımlanan ωp,α

(

f, . : 0,

)

[

+∞ →

)

[

0,+∞ fonksiyonuna f

)

fonksiyonunun süreklilik modülü denir.

Süreklilik modülünün bazı özellikleri şunlardır ;

• ,

( )

(

)

(

)

(

)

1 , 2 , 1 2, . , 1, . , 2, . , p p p p Her f f ∈L α T için ω _α f + f ≤ω _α f +ω _α f • ω_p,α

(

f n, .δ

)

≤nω_p,α

(

f, . ,

)

n∈  • ω_p,α

( )

f, 0 =0, 7

• _,

(

)

0 lim pα f, 0 . δ_→ +ω δ = 3. 2. 2 Tanım : 0< ≤β 1 , 0≤α ≤ 2 ve p>1 olsun.

( )

{

,

( )

(

)

( )

}

, : : , , , 0 p p p Lip_α β = f ∈L α  ω _α δ f =O δβ δ >

kümesine Lipschitz sınıfı denir.

4. ANA TEOREMLER

4.1 Cesaro ve Zygmund Ortalamaları ile Yaklaşım

4. 1. 1 Yardımcı Sonuçlar

4. 1. 1. 1. Lemma : f ∈Lp,α

( )

 , 0≤ ≤α 2 ve p≥1 olmak üzere, ( i )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )} , _, p _p n n _L n n L S f −σ f α _ ≤c S f −σ f _α    (4.1)

olacak şekilde bir c >0 sabiti vardır.

( ii )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) , , , p , p n n r _L n n r L S f −Z f α _ ≤c S f −Z f _α    (4.2)

olacak şekilde bir c >0 sabiti vardır.

İspat: ( i )

( )

( )

_{( )}

( ) ( )

( ) , , p p n n _L n n L S f f α S f f α σ σ − = − − −  _    

( ) ( )

p, _{( )} n n L f S f α σ = −     

( ) ( )

(

)

, _{( )} =  −    p n n L f S f α σ

( ) ( )

, _{( )} ≤  −   p n n L c σ f S f _α

( ii ) ispatı ( i ) deki gibi yapılır.

4.1.1. 2 Teorem :(Morrey uzaylarındaki Marcinkiewicz Çarpan Teoremi)

{ }

0 ∞ = k k λ reel sayıların ≤ k M λ ’ 1 2 1 1 2 +₋ + = − ≤

∑

k k j j j M λ λ k=0,1,...

( )

4.3

koşullarını sağlayan bir dizisi olsun . Eğer ∈ p,

( )



f L α , 0≤ ≤α 2 ,

( )

0 1 i _k ik k p ve f eθ c e θ ∞ = < < ∞ _

∑

ise

( )

0 i ik k k k h eθ c λe θ ∞ =

∑

 ve ( ) ( ) , _ ≤ , _ p p L L h α c f α olacak şekilde ∈ p,

( )



h L α ve bir c >0 sabiti vardır ([9]).

4. 1. 2 Teoremler

4.1.2.1 Teorem:f ∈Lp,

( )

 , 0≤ ≤ 2 ve p≥ olmak üzere 1

(

)

, _{( )} , 1 . , p , , 1, 2, 3,... n _L p f f c f n n α α σ ω   − ≤ _{ } =   

olacak şekilde n’den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır.

İspat :

( ) ( )

( )

1 , , , 1 = − = +

∑

  n  n n k k k S x f x f A x f n σ dir. 10

( ) 1 , sin 2 0 , n k k n _{k n} k n k n λ   + _≤  =    _>  , k=1, 2,...

dizisi (4.3) deki şartları sağlar ([7]).

( ) ( )

_{( )}

( )

( ) , , 1 . , . , . , 1 p p n n n k L _k L k S f f A f n α α σ = − = +

∑

 _    ( )

( )

( ) , 1 sin . , 2 p n n k k k L k A f n α λ = =

∑

  ( )

( )

( ) , 1 sin , 2 ∞ = =

∑

  p n k k k L k A x f n α λ

( )

( ) , 1 sin . , 2 p k k L k c A f n α ∞ = ≤

∑

  ( ) , 1 1 . . 2 2 _Lp c f f n n α     ≤ _ + _− _ − _     _ c p_, 1, f n α ω   ≤ _{ }   ve (4.1) den

( )

( )

, _{( )} , 1 . , . , p , n n _L p S f f c f n α α σ ω   − ≤ _{ }   

elde edilir. Buradan

( )

. , p, _{( )}

( )

. , p, _{( )}

( )

.,

( )

. , p, _{( )}

n _L n _L n n _L

f −σ f α _ ≤ f −S f α _ + S f −σ f α _ 11

, 1 , p c f n α ω   ≤ _{ }   bulunur.

4.1.2. 2 Teorem f ∈Lp,α

( )

 , 0≤ ≤α 2 , p>1 ve n=1, 2,...olmak üzere ,

(

)

, _{( )} , , 1 . , p , n r _L p f Z f c f n α ω α   − ≤ _{ }   

olacak şekilde n’den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır.

İspat:

( )

( )

(

)

( )

, 1 , , , 1 = − = +

∑

  n r  n n r r k k k S x f Z x f A x f n ( )

(

1

)

, sin 2 0 , r r n k k n k n k n k n λ   ₊  ≤ =    >  k =1, 2,...

dizisi (4.3) deki şartları sağlar ([7]).

( )

( )

_{( )}

₍

₎

( )

( ) , , , 1 ., ., ., 1 p p r n n n r r k L _k L k S f Z f A f n α α = − = +

∑

     ( )

( )

( ) , 1 sin . , 2 p n n k k k L k A f n α λ = =

∑

  ( )

( )

( ) , 1 sin . , 2 p n k k k L k A f n α λ ∞ = =

∑

 

( )

( ) , 1 sin . , 2 p k k L k c A f n α ∞ = ≤

∑

  ( ) , 1 1 . . 2 2 _Lp c f f n n α     ≤ _ + _− _ − _     _ 12

c _p, 1, f n α ω   ≤ _{ }   ve (4.2) den

( )

,

(

)

, _{( )} , 1 . , . , p , n n r _L p S f Z f c f n α ω α  − ≤ _{ }   

elde edilir. Buradan

( )

, _{( )}

(

)

, _{( )}

(

)

( )

, _{( )} , . , p . , p . , , . , p n r _L n _L n n r _L f −Z f α _ ≤ f −S f α _ + S f −Z f α _ ≤ ,

(

)

, _{( )} , 1 . , p , . n r _L p f Z f c f n α ω α  − ≤ _{ }    bulunur.

4. 2 Nörlund ve Riesz Ortalamaları İle Yaklaşım

4. 2. 1 Yardımcı Sonuçlar

Bu kısımda teoremler ispatlanırken kullanılacak bazı lemmalar verilmiştir .

4. 2. 1. 1 Lemma : f ∈Lp,α

( )

 , 0< ≤α 2 ve 1< < ∞p için

( )

, _{( )} , 1 , , 1, 2 , 3,... p n L p E f O f n n α ω α    = _{  } =      olur.

4.2. 1. 2 Lemma : 0< ≤β 1 ve p>1 olsun Bu durumda.

( )

, p

Her f ∈Lip_α β için

( )

p, _{( )}

( )

, 1, 2,3,...

( )

4.4 n _L f S f α O n n β − − = =  olur. İspat : *

(

)

( )

, 0,1, 2,... , n p

t n= f ∈Lip_α β fonksiyonun trigonometrik polinomlarla en iyi yaklaşımıolsun. O halde

( )

, _{( ) , ( )} * p _p n L n L E f α _ = f −t α _ ve 4.2.1.1 Lemma’dan ( ) , * , 1 , p n _L p f t O f n α ω α    − = _{  }      ve f ∈Lip_{α, p}

( )

β olduğundan ( )

( )

, * p n L f −t _α =O n−β  olur .

Kısmi toplamlar dizisinin p,

( )

L α  uzayında düzgün sınırlılığından ([9]),

( )

p, _{( )} n _L f −S f α _ ≤ , _{( )} * p n L f −t _α  +

( )

, ( ) * p n n _L t −S f _α  = ( ) , * p n L f −t _α  + , ( ) * ( ) _p n n _L S t − f _α  ≤ , _{( )} * p n L f −t _α  +c , ( ) * p n L f −t _α  =

(

* _{p, ( )}

)

n L O f −t _α  = O n

( )

−β elde edilir. 14

4. 2. 1. 3 Lemma : 0< ≤α 2 , 1< < ∞ olsun . p

( )

,p 1

f ∈Lip_α ise f mutlak sürekli ve f′∈Lp,α

( )

 olur . İspat : p,

( )

p

( )

L α  ⊂L  olduğundan f _p ≤c f _Lp,α_{( )} dır. Buradan

( )

( )

, _{( )} 0 0 sup h _p sup h _Lp h h f c f α δ δ < ≤ ∆ ≤ < ≤ ∆  ve

(

,

)

,

(

,

)

p f ≤c pα f ω δ ω δ olur.

( )

,p 1 f ∈Lip_α ise

(

)

, , , pα f ≤c ω δ δ ve böylece ωp

(

f,δ

)

≤cδ

olduğundan f ∈Lip_p

( )

1 dir. Böylece f mutlak sürekli ve f′∈Lp

( )

 olur

( )

[ ]

11 .

f mutlak sürekli olduğundan h.h. x∈

[

0, 2π

]

için türevlenebilirdir.

(

)

( )

_{( )}

, 0 . . f x t f x f x t h h t + − _′ → →

(

)

( )

( )

, 0 . . p p p f x t f x f x t h h t + − ′ → → olur. 15

Buradan

(

)

( )

_{( )}

2 2 , 0 p p p f x t f x dt f x t δ δ δ δ + + − ′ → →

∫

elde edilir.

Her I⊂ aralığı için, Fatou Lemmadan

( )

(

)

( )

0 1 1 2 2 2 1 1 2 lim p p P I I f x t f x f x dx dt dx t I I δ α α _δ δ δ + → − −   + −   ′ = _{ }    

∫

∫

∫

( )

0 1 2 2 1 2 lim inf p t p I f x dt dx t I δ α δ_→ + ₋ δ _δ   ∆   ≤ _{ }    

∫ ∫

( )

0 1 0 2 1 2 2 lim inf p p t I f x dt dx I δ α δ_→ + ₋ δ δ     ≤ _{  } ∆ _    

∫

∫

( )

1 0 1 0 2 2 1 lim inf p p t I f x dx dt I δ α δ + δ + → −     _{ } = _{ } ∆     _{ }  

∫

∫

( )

, 1 0 0 2 lim inf p p p tf x _L αdt δ δ + δ + → _{ }  ≤   ∆      

∫



(

)

(

)

1 , 0 0 2 lim inf , p p p f dt + + → _{ }  ≤ _{ }      

∫

 δ α δ δ ω δ

( )

1 0 0 2 lim inf . p p c dt δ δ + δ δ + →   ≤ _{ }  

∫

( )

1 0 2 lim inf . . . p p c δ + δ δ δ + →   = _{ }   = c 16

elde edilir . Buradan

( )

1 2 1 sup P , I I f x dx c I α −

∫

′ ≤ < ∞ ve böylece f′∈Lp,α bulunur. 4. 2. 1. 4 Lemma :0< ≤α 2 , 1< < ∞ olsun . p

( )

,p 1

f ∈Lip_α ise her n=1 , 2,… için

( )

( )

,

( )

1 p n n _L S f σ f α O n − − = (4. 5) olur.

İspat: 4. 2. 1. 3 Lemma’dan f mutlak sürekli ve ,

( )

.

p

f′∈L α  dır

f fonksiyonunun Fourier serisi

( )

( )( )

0 ∞ =

∑

 k k f x A f x ise

( )

( )( )

1 . _k k f x k A f x ∞ = ′

∑

 _ olur.

( )

( )

( )( )

1 1 n n n k k k S f f A f x n σ = − = +

∑

1

( )

( )

. 1Sn f x n ′ = + 

Buradan, 3. 1. 2 Teorem ve 3. 1. 3 Teorem kullanılarak

( )

( )

, _{( )}

( )

_{, ( )} 1 1 p _p n n _L n L S f f S f n α _α σ ′ − = +   _ 17

( )

( ) , 1 1 1c f _Lp n ′ α ≤ +  

( )

, _{( )} 2 1 1c f Lp n ′ α ≤ +  3 1 1 1c c n n ≤ ≤ +

elde edilir. Böylece

( )

( )

, _{( )}

( )

1 p n n _L S f σ f α O n − − =  bulunur.

4. 2. 1. 5 Lemma :

{ }

p_{n n}∞₌₀ pozitif sayıların bir dizisi olsun .

{ }

pn n 0 AMDS ∞ = ∈ veya

{ }

pn n 0 AMIS ∞ = ∈ ve

(

n+1

)

pn =O P

( )

n ise 0< <β 1 için

(

)

1 − − − = =

∑

n n m n m m βp O n βP (4. 6) olur ([4]). 4. 2.1.6 Lemma (Abel dönüşümü): u u₁, ₂,...,u_n ve m m₁, ₂,...,m , n_n ∈  , +

reel sayıları için

(

)

1 1 1 1 n n v v v v v n n v v u m U m m U m − + = = = − +

∑

∑

 olur. Burada Uk = + + +u₁ u₂ ... uk, k=1, 2,...,n dır ([10]). 18

4. 2. 2 Teoremler

4. 2 .2 .1 Teorem : : p>1 , 0< <β 1 için f ∈Lip_p,α

( )

β olsun.

{ }

pn n 0 AMDS ∞ = ∈ veya

{ }

pn n 0 AMIS ve

(

n 1

)

pn O P

( )

n ∞ = ∈ + = ise

( )

p, _{( )}

( )

n _L f N f α O n β − − =  olur. İspat:

( )

( )

0 1 − = =

∑

n _{n m} m n f x p f x P olduğundan

( )

( )( )

{

( )

( )

}

0 1 − = − _n =

∑

n _{n m} − _m m n f x N f x p f x S f P olur. (4. 4) ve (4. 6) dan

( )

_{( )}

( )

( ) , , 0 1 − = − _ ≤

∑

−  p p n n _L n m m L m n f N f p f S f P α α

( )

( )

( )

( ) , 0 , 1 1 − = =

∑

− + −   p p n n n m m L L m n n p p f S f f S f P α P α

( )

1 1 1 1 − − =   = _{+  } +  

∑

n n m m n p O m O P n β

(

)

1 −  1 = _{+  }   n n O n P O P n β

( )

− = O n β bulunur. 19

4. 2 .2 .2 Teorem : p>1ve0≤ ≤ olmak üzere α 2 f ∈Lip_p,α

( )

1 için

( )

1 1 n k n k k p O P − = ∆ =

∑

veya 1 0 − =   ∆ _{=  }  

∑

n n k k P p O n ve

(

n+1

)

pn =O P

( )

n ise

( )

, _{( )}

( )

1 . p n _L f N f α O n dir − − =  İspat:

( )

( )( )

0 1 − = =

∑

n n n m m m n N f P A f x P

eşitliğinden ve Abel dönüşümünden

( )( )

( )( )

(

) ( )( )

1 1 − = − =

∑

n − n n n n m m m n S f x N f x P P A f x P _{1 1}

( )( )

₁

( )( )

1 1 1 − = = = −   = ∆ _{ } + +  

∑

n

∑

m

∑

m n n m m k k m k k n P P k A f x k A f x P m n buradan

( )

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( ) , , , 1 1 1 1 1 . 1 − = = = −   − ≤ ∆ _{ } + +  

∑

∑

∑

   p p p n m m n n m n n _L m k k m k k n L L P P S f N f k A f k A f P m n α α α

bulunur. (4. 5) den ise

( )

( )

( )

( )

( )

( )

, , 1 1 1 1 − = = − = +

∑

  p p m k n n _L k L k A f S f f O n n α α σ olur. Böylece 20

( )

( )

, _{( )}

( )

1 1 1 (4.7) p n n n m n n _L m m n P P S f N f O O n P m α − − =    −  − = _{ } ∆ _{ } +    

∑



elde edilir. Önce

( )

1 1 − = ∆ =

∑

n k n k k p O P

olduğunu kabul edelim. Bu varsayımla birlikte

1 − = −     ∆ _{ } = _{ }    

∑

n n n m n m m P P P O m n

olduğu [5] numaralı kaynakta gösterilmiştir. Böylece (4. 7) den

( )

( )

, _{( )}

( )

1 − − =  p n n _L S f N f α O n

olduğu çıkar. Son eşitlik ve (4. 4) den

( )

, _{( )}

( )

, _{( )}

( )

( )

, _{( )} , − ≤ − + −    p p p n _L n _L n n _L f N f α f S f α S f N f α

( ) ( )

−1 −1 =O n +O n

( )

1 . − = O n Şimdi de

( )

1 0 4. 8 n n k k P p O n − =   ∆ _{=  }  

∑

olduğunu kabul edelim.

(

1 1

)

(

1

)

− − = − −     ∆ _{ } = _ − + _ +   

∑

 n n n m m k n m k n m P P p m p m m m eşitliğinden ve tümevarımdan

(

)

1 1 1 _{− − + −} = − = − + ≤ −

∑

n k n m

∑

m n k n k k n m k p m p k p p elde edilir. Bununla birlikte

(

)

1 1 1 1 1 1 − − + − = = = −     ∆ _{ } ≤ _ − _ +    

∑

n

∑

n

∑

m n n m m n k n k m m k P P k p p m m m

(

)

1 1 1 1 − + − = =   = − _{ } +  

∑

n

∑

n n k n k k m k k p p m m

(

)

1 1 1 1 ∞ − + − = =   ≤ − _ _ +  

∑

n n k n k

∑

k m k k p p m m 1 1 − + − = ≤

∑

n _{n k} − _{n k} k k p p 1 0 . − = =

∑

n ∆ k k p (4. 7) ve (4. 8) den

( )

( )

, _{( )}

( )

1 1 1 − − =    −  − = _{ } ∆ _{ } +    

∑

 p n n n m n n _L m m n P P S f N f O O n P m α

( )

1 1 −  _{  } = _{   }+     n n P O O O n P n

( )

1 . − = O n

Son eşitlik ve (4. 4) den

( )

, _{( )}

( )

, _{( )}

( )

( )

, _{( )} , − ≤ − + −    p p p n _L n _L n n _L f N f α f S f α S f N f α

( ) ( )

−1 −1 =O n +O n

( )

−1 = O n

elde edilir ve ispat tamamlanmış olur.

4. 2. 2. 3 Teorem : p>1 , 0< ≤β 1için f ∈Lip_p,α

( )

β olsun.

( )

1 0 4. 9 1 1 n m n m P P O m m − =     ∆_{ } = _{ } + +    

∑

ise

( )

p, _{( )}

( )

, 1, 2,... n _L f R f α O n n β − − = =  olur. İspat : 0< <β 1 olsun.

( )

( )

0 1 − = =

∑

n _{n m} m n f x p f x P

olduğundan ve Rn

( )( )

f x ortalamasının tanımdan

( )

( )( )

{

( )

( )

}

0 1 . n n m m m n f x R f x p f x S f P = − =

∑

− (4. 4) den 23

( )( )

( )( )

, _{( )}

( )

( )

, _{( )}

(

)

0 1 4.10 p p n n _L m m _L m n f x R f x p f S f P α α = − ≤

∑

−  

( )

( )

( )

, _{( )} 0 0 1 1 − = =

∑

+ −  p n m _L m n n p p O m f S f P P α β

( )

1 1 . − =   =    

∑

n m m n O p O m P β Abel dönüşümden

{

(

)

}

1 1 1 1 − ₋ − − − = = = − + +

∑

n

∑

n m n n m m p m β P m β m β n βP 1 , 1 1 − − − = ≤ + +

∑

n n n m P m n P m β β ve (4. 9) koşulundan 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − = = = =     = ∆_{  }+ +  +   +

∑

n n

∑

n n

∑

m n

∑

n m m k m P P P m k m m m n β β β

(

−

)

=O n Pβ _n

elde edilir. Böylece

(

)

1 − − = =

∑

n m n m p m β O n Pβ

olur. Bu son eşitlik ve (4.10) dan

( )

, _{( )}

( )

− − =  p n _L f R f α O n β

elde edilir. Şimdi β =1 durumunu ele alalım. Abel dönüşümünden

( )( )

( )( )

0 1 = =

∑

n n m m m n R f x p S f x P 24

{

(

( )( )

( )( )

)

( )( )

}

1 1 0 1 − + = =

∑

n m m − m + n n m n P S f x S f x P S f x P

(

( )( )

)

( )( )

1 1 0 1 − + = =

∑

n m − m + n m n P A f x S f x P olur ve buradan

( )( )

( )( )

1 1

( )( )

0 1 . − + = − = −

∑

n n n m m m n R f x S f x P A f x P

Yine Abel dönüşümünden

( )( )

(

)

( )( )

1 1 1 1 0 0 0 1 1 − − + + = = =     = ∆_{ } + _ +   

∑

n

∑

n

∑

m m m m k m m k P P A f x k A f x m

(

)

( )( )

1 1 0 1 . 1 − + = + + +

∑

n n k k P k A f x n

Bununla beraber (4.5) ve (4.7) göz önüne alınırsa

( )( )

( )

(

)

( )( )

( ) , , 1 1 1 1 0 0 0 1 1 − − + + = = =   ≤ ∆_{ } + +  

∑

∑

∑

  p p n n m m m m k m L m k L P P A f x k A f x m α α

(

)

( )( )

( ) , 1 1 0 1 1 − + = + + +

∑

p _ n n k k L P k A f x n α

(

)

( )

( )

, _{( )} 1 1 1 0 2 1 − + + =   = ∆_{ } + − +  

∑

p  n m m m _L m P m S f f m σ α

( )

( )

, _{( )} + −  p n m m _L P S f σ f α

( )

1 0 1 1 − =     = ∆_{ } + _{ } +    

∑

n m n m P P O O m n elde edilir. Bu da 25

( )

( )

_{( )}

( )

( ) , , 1 1 0 1 p p n n n _L m m m n L R f S f P A f P α α − + = − =

∑

  1 _n 1 n P O O P n n     =     _{ }  

eşitliğini verir. Bu son eşitlik ve (4. 4) den

f −Rn

( )

f _Lp,α_{( )} ≤ f −Sn

( )

f _Lp,α_{( )} + Sn

( )

f −Rn

( )

f _Lp,α_{( )}

( ) ( )

−1 −1 =O n +O n

( )

1 O n− = elde edilir. 26

5. KAYNAKLAR

[1] Quade, E.S., "Trigonometric approximation in the mean", Duke Math. J. 3,

529-542, (1937).

[2] Kokilashvili, V. M. , Samko, S. G. "Operators of harmonic analysis in weighted

spaces with non-standard growth "/ J. Math. Anal. Appl. 352 , 15–34, (2009).

[3] Mohapatra, R.N. and Russell, D.C., "Some direct and inverse theorems in

approximation of functions", J. Austral. Math. Soc. (Ser. A) 34, 143-154, (1983).

[4] Chandra, P., "Trigonometric approximation of functions in Lp -norm", J. Math

Anal. Appl. 275, 13-26, (2002).

[5] _{Leindler, L., "Trigonometric approximation in Lp -norm", J. Math. Anal. Appl}

302, 129-136, (2005).

[6] Guven, A.,"Trigonometric approximation of functions in weighted Lp

spaces", Sarajevo J. Math. 5 (17) , 99 -108, (2009).

[7] Guven, A., Israfilov, D. M. "Approximation by Means of Fourier

Trigonometric Series in weighted Orlicz spaces", Adv. Stud. Contemp. Math.19, 283-295, (2009).

[8] Guven, A., Israfilov, D. M. “Trigonometric Approximation in Generalized

Lebesgue Spaces Lp x( ) , J. Math. Inequal. 4, 285-299, (2010).

[9] Tozman , N. P. ,”Morrey Uzaylarında Yaklaşım Teorisinin Bazı

Problemleri”,Doktora Tezi, Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstütisi, (2009).

[10] Zygmund, A.,”Trigonometric Series,Volume I.”, Cambridge Univ. press,

(1959).

[11] R.A.Devare and G. G. Lorentz, Constructive Approximation, Springer-Verlag

(1993).