SIP özelliğine sahip genelleştirilmiş ADS modüller

ESKĠġEHĠR

BĠLECĠK

ANADOLU ÜNĠVERSĠTESĠ ġEYH EDEBALĠ ÜNĠVERSĠTESĠ

Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Ana Bilim Dalı

SIP ÖZELLĠĞĠNE SAHĠP GENELLEġTĠRĠLMĠġ ADS

MODÜLLER

Kübra ÜLGER KÖSE

Yüksek Lisans

Tez DanıĢmanı

Doç. Dr. Figen TAKIL MUTLU

BĠLECĠK, 2019

Ref. No:10267979

ESKĠġEHĠR

BĠLECĠK

ANADOLU ÜNĠVERSĠTESĠ ġEYH EDEBALĠ ÜNĠVERSĠTESĠ

Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Ana Bilim Dalı

SIP ÖZELLĠĞĠNE SAHĠP GENELLEġTĠRĠLMĠġ ADS

MODÜLLER

Kübra ÜLGER KÖSE

Yüksek Lisans

Tez DanıĢmanı

Doç. Dr. Figen TAKIL MUTLU

ESKĠġEHĠR

BILECIK

ANADOLU UNIVERSITY SEYH EDEBALI UNIVERSITY

Graduate School of Sciences

Department of Mathematics

GENERALIZED ADS MODULES WITH THE SIP

Kübra ÜLGER KÖSE

Master’s Thesis

Thesis Advisor

Assoc. Prof. Dr. Figen TAKIL MUTLU

TEġEKKÜR

Bu çalışmanın hazırlamasında, sunulmasında, başında ve sonunda; heran emek veren, ilgi ve alakalarını hiç eksik etmeyen saygı değer hocam, Doç. Dr. Figen TAKIL MUTLU‟ ya sonsuz minnet ve teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca benim tüm eğitim hayatımı tek başına sırtlayan, bana her daim güven veren, yol gösteren fedakar annem Gülsün SÜZGÜN‟e bana verdiği her emek için çok teşekkür ederim.

Son olarak kıymetli eşim Ozan KÖSE‟ye desteği ve yardımları için çok teşekkür ederim.

BEYANNAME

Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kılavuzu‟na uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında, tez içindeki tüm verileri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, görsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçların akademik ve etik kurallara uygun olarak sunulduğunu, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezde yer alan verilerin bu Üniversite veya başka bir üniversitede herhangi bir tez çalışmasında kullanılmadığını beyan ederim.

11/07/ 2019

SIP ÖZELLĠĞĠNE SAHĠP GENELLEġTĠRĠLMĠġ ADS MODÜLLER

ÖZET

1970‟ de Fuchs tarafından tanımlanan, modüller için mutlak dik toplanan özelliği (absolute direct summand property, kısacası Ads ) son yıllarda revaçta olan bir araştırma konusudur. 1986 yılında Wilson modüller için dik toplanan arakesit özelliği (summand intersection property ya da kısacası SIP ) kavramını tanımladıktan sonra birçok matematikçi bu özellik üzerinde araştırmalar yaptı ve halen yapmaktadır. Bu iki kavram her ne kadar bağlantılıymış gibi gözüksede birbirinden tamamen farklı kavramlardır. 2015 yılında Takıl Mutlu, hem Ads hem de SIP özelliğini sağlayan yeni bir modül sınıfı olan SA-modül kavramını literatüre kazandırmıştır.

Bu tezde, Ads ve SIP özelliğini sağlayan modül sınıfının bir genelleştirilmesi yapılmıştır. Bu amaçla önce çalışmamızda kullanacağımız modül teorinin temel kavramları ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde, SA modüller olarak bilinen Ads ve SIP özelliğini sağlayan modül sınıfının bazı özellikleri ispatlarıyla birlikte verilmiştir.

Son bölümde ise, SA modüllerin bir genelleştirmesi olan SA-extending modüller tanımlanmıştır. Keyfi bir halka üzerinde tanımlı bir modülün SA-extending olması için gerek ve yeter koşul verilmiştir. Ayrıca, iki SA-SA-extending modülün dik toplamının SA-extending olması için gerekli koşul verilmiştir.

GENERALIZED ADS MODULES WĠTH THE SIP ABSTRACT

In 1970, Fuchs defined modules for the absolute direct summand property (Ads) in recent years is a subject of popular research. After defining the summand intersection property (SIP) for Wilson modules in 1986, many mathematicians have done many researches on this feature and still do it. Although these two concepts seem to be connected, they are completely different concepts. In 2015, Takıl Mutlu added the concept of SA-module, which is a new module class that provides both Ads and SIP property.

In this thesis, a generalization of the class of modules that provides Ads and SIP property is made. Firstly, basic notions and theorems in the module theory which will be used in this work are given.

Then, some of the properties of the class of module that provides the Ads and SIP property known as SA modules are given with their proofs.

Finally, SA-extending modules, as a generalization of SA modules, are defined. Necessary and sufficient conditions for a module on an arbitrary ring to be extending are given. Also a condition for the direct sum of two SA-extending modules to be an SA-SA-extending module is provided.

ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No TEġEKKÜR ... BEYANNAME ... ÖZET... I ABSTRACT ... II ĠÇĠNDEKĠLER ... III ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ... IV SĠMGELER ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ ... V 1. GĠRĠġ... 1

1.1. Ayrıştırılamaz (Indecomposable ) Modüller ... 1

1.2. Büyük (Essential) Alt modüller ... 2

1.3. Tümleyen (Complement] Alt Modüller ... 8

1.4. İnjektif Ve Projektif Modüller ... 11

1.5. Extending (CS), Yarı-Sürekli (Quasi-Continuous) Ve Sürekli (Continuous) Modüller ... 14

1.6. Mutlak Dik Toplanan Özelliğine Sahip (Ads) Modüller ... 19

2. SA-MODÜLLER ... 23

3. SA-EXTENDĠNG MODÜLLER ... 25

KAYNAKLAR ... 41 ÖZ GEÇMĠġ ...

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

ġekil 1.1. h f g homomorfizması ġekil 1.2. f hg homomorfizması ġekil 1.3. | _Y homomorfizması ġekil 1.4. g f h homomorfizması

SĠMGELER ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ 1



Eleman 2  En az bir 3  Her 4  Alt küme 5



Kesişim 6  İse

7  Gerek ve yeter şart 8



İzomorf

9 ker f f ‟nin çekirdeği 10 Im f f ‟nin görüntüsü 11  Alt modül

12 _d Dik toplanan alt modül 13 _e Essential alt modül 14 _c Tümleyen alt modül

15 i

i I

M 



M_i‟lerin dik toplamı

16 i

i I

M 



M_i‟lerin dik çarpımı

17 End M _R( ) M ‟nin R _{endomorfizmalar halkası} 18 E M( ) M ‟nin injektif hull‟ı

19 Tam sayılar halkası 20 Rasyonel sayılar halkası

1.GĠRĠġ

Bu bölümde çalışmamızda kullandığımız temel tanım ve teoremler ispatları ile birlikte verilmiştir.

1.1 AyrıĢtırılamaz (Indecomposable) Modüller

Tanım 1.1.1. M bir Rmodül ve N M olsun. NN0 ve M  N N olacak şekilde  N M _varsa M‟ye N ile N‟nün dik toplamı ve N ile N alt modüllerine de M‟nin dik toplananları denir. M  N N ve N N,  _d M şeklinde gösterilir.

Örneğin, modülünün alt modülleri n (n ) şeklindedir. ,

n m

  için n m 0 olduğundan n ve m alt modülleri dik toplanan şeklinde yazılmaz.

Tanım 1.1.2. Bir M Rmodülünü M N₁N₂ şeklinde yazılabilecek herhangi

1

N , N alt modülleri yoksa ₂ M modülüne ayrıĢtırılamaz (indecomposable)‟dır denir.

Örneğin, Rasyonel sayılar , modül olarak ayrıştırılamazdır. Eğer ayrıştırılamaz değilse N₁N₂ olacak şekilde sıfır ve ‟dan farklı N , ₁

2 N  vardır. Bu durumda 0 a N₁ b   ve 1 2 1 0 a N b   için 1 1 1 1 2 1 0 b a. .a b a. .a N N 0 b b     

olur ki bu N₁N₂ 0 olmasıyla çelişir. O halde ayrıştırılamazdır.

Tanım 1.1.3. M bir Rmodül olsun. A, BM olsun. A ve B‟nin toplamı



: ,



A B  a b a A bB

Sonuç 1.1.4. (Modüler Kural) M bir Rmodül olsun. C B M  ve A M olsun. Bu durumda ( ) ( ) C AB  B AC dir. Kanıt: (AB) A ve (AB)B olduğundan C(AB) C A ve ( ) C AB  C B’dir C(AB) C B ve CB olduğundan C B B dir. O halde ( ) ( ) C AB  B CA (1.1) Tersine b B (AC) alalım. Bu durumda b a c olacak şekilde aA ve c C vardır. b      a c a b c A B     b a c C (AB) olduğundan ( ) ( ) B A C  C AB (1.2) (1.1) ve (1.2)‟den B(A C ) C (AB)‟dir.

1.2 Büyük (Essential) Alt Modüller

Tanım 1.2.1. M bir Rmodül ve N M olsun. Her 0X M için 0

N X ise M ‟ye N ‟nin essential genişlemesi ve N ‟ye de M ‟nin essential alt modülü denir. N _e M ile gösterilir.

Önerme 1.2.2. M bir Rmodül olsun. Bu durumda

(i) K _e M olması için gerekli ve yeterli şart m 0 için KmR0‟dır. (ii) X  Y M için X _e M olması için gerekli ve yeterli şart X _eY ve e

(iii) N_e M ve K M ise N K _e K‟dır .

(iv) N_i _e K_i (1 i t) ise



N1 ... Nt

 

e K1 ... Kt



‟dir. (v) K N M için N _e M

K  K ise Ne M‟dir .

(vi) m M ve NM için m N1  



r R mr: N



kümesini tanımlayalım. 1 R m N R ‟dir. Ayrıca 1 e e R N Mm N  R dir . (vii) N_i M_i M ve i i M M  



olsun. i e i i i N M M    





olması için

gerek ve yeter şart i I için N_i _e M_i‟dir.

(viii) f :M N bir homomorfizma ve B_e N f1( )B _e M‟dir . Kanıt:

(i) K _e M ve 0 m M olsun. O halde gösterelim ki 0mrK olacak biçimde rR vardır. Gerçekten de R halkası birimli olduğundan

m mR ‟dir. Böylece mR alt modülü boştan farklıdır. K e M ise KmR0 dır. Dolayısıyla 0 mr K  olacak biçimde rR vardır.

Tersine, 0  m L M olsun. Varsayımdan 0mrK olacak şekilde rR vardır. Ayrıca mrL‟dir. Böylece K L 0 olup K_e M ‟dir.

(ii) X  Y M için X _e M olsun. Göstereceğiz ki X _eY ve Y _e M dir. Gerçekten de 0 L Y  olsun. O halde 0 L M‟dir. Kabulden X L 0 ‟dır. Her 0 L Y  ve X Y olduğundan X _eY‟dir. Şimdi 0 K M  olsun. Kabulden X _e M olduğundan X K 0‟dır. Gene kabulden X Y ve

, ,

X Y K M olduğundan

0   X K Y K

Tersine, X  Y M _{olmak üzere} X _eY ve Y _e M olsun. Göstereceğiz ki X _e M ‟dir. 0 B M  için Y _e M olduğundan 0 Y  B Y‟dir. X eY olduğundan

0 X(YB)(X Y) B X B

dir. O halde X B 0 yani X _e M ‟dir.

(iii) 0X K olsun. Göstereceğiz ki (NK)X 0’dır. Gerçekten de e

N M olduğundan N X 0’dır.

0NX N(KX)(NK)X

O halde N K _e K‟dır.

(iv) İspatı t üzerinden tümevarımla yapalım. t1 için açıktır. 2

t için N₁_e K₁, N₂ _e K₂ olsun. Göstereceğiz ki (N₁N₂)_e(K₁K₂) dir. A(K₁K₂) ve (N₁N₂) A 0 olsun. N₁(N₂A)0 ve N₁_e K olduğundan N₁ 0 olamaz. N₂ A 0‟dır. Aynı şekilde N₂ 0 olamaz.

0 A ‟dır. tk için N1e K1, N2 e K2 , … , Nk e Kk iken 1 2 1 2 (N N  ... N_k)_e(K K  ... K_k) olsun.

Şimdi t k 1 için doğruluğunu kontrol edelim.

1 2 1 ( ... _k ) S K K  K _ ve (N₁N₂ ... N_k1) S 0 olsun. 1 ( 2 ... k 1 ) 0 N  N  N _ S  _ise (N₂ ... N_k1S)0‟dır. (N₁_e K₁) 2 ( 3 ... k 1 ) 0 N  N  N _ S  _ise (N₃ ... N_k1S)0‟dır. (N₂ _e K₂) Bu şekilde devam edersek S 0‟dır. O halde

1 1 1 1

Bu özellik sonlu olmayan bir indeks kümesi için doğru değildir.

Örneğin, _{modül göz önüne alalım. n}  için n e ‟dir. Fakat

0 n n   _e dir.

(v) Y M _ve Y N 0 olsun. İki durumu kontrol etmeliyiz. Eğer YK _ise 0 Y  N Y olur. N e M ‟dir. Eğer K Y ise 0 Y M K K   dır. Şimdi Y N 0 K K  olsun. e N M K  K olduğundan 0 Y

K  ‟dır. Dolayısıyla YK‟dır. Kabulümüzle çelişti. O halde N e M ‟dir. (vi) İlk olarak 1 R m N R olduğunu gösterelim. 0R ve m0 0 N olduğundan 1 0m N ve 1 m N  ‟dır. r r₁, ₂m N1 ve sR alalım. 1 2 (1 2) mr mr m r r N olduğundan 1 1 2 (r r)m N ‟dir. 1 1 (mr s) m r s( )N

ve buradan r s₁ m N1 ‟dir. Böylece m N1 R_R‟dir. Şimdi göstereceğiz ki N e M iken

1

e R

m N  R ‟dir. Gerçekten de m M ve 0  R_R olsun. Eğer m 0 ise

m   N m 1 0 m N      dır.

Eğer m 0 ise 0 m  N

dır. O halde mr N olacak şekilde 0 r vardır. 1 mrN  r m N olduğundan 1 0 m N    ‟dır. Dolayısıyla 1 R m N R ‟dir.

(vii) i2 için bakalım. N₁N₂_e M₁M₂ fakat N_{1 e} M olsun. Bu ₁ durumda N₁ L 0 olacak şekilde 0 L M₁ vardır. (N₁N₂) L 0‟dır. Gerçekten de l(N1N2)L alınsın. l n1 n2 olacak şekilde n1N1,

2 2

n N vardır. n₂   l n₁ M₁M₂ 0 olup l n₁ N₁ L 0‟dır. Bu sebeple (N₁N₂) L 0‟dır. N₁N₂ _e M₁M₂ olduğundan L0‟dır. Bu ise kabulle çelişir. O halde N₁_e M₁‟dir. Benzer şekilde N₂ _e M₂ de gösterilir. n‟ye göre tümevarım uygulayıp genel sonuç bulunabilir.

Tersine K₁_e M₁ ve K₂ _e M₂ ise K₁K₂_e M₁M₂ olduğunu gösterelim. 0  x₁ x₂ M₁M₂ alınsın. x₁0 ise x₂ 0 olmalı. K₂ _e M₂ olduğundan 0x r₂ K₂ olacak biçimde r vardır. 0(x₁x r₂) K₁K₂ olması nedeniyle K₁K₂ _eM₁M₂‟dir. x₂ 0 olursa x₁0 olup benzer şekilde aynı sonuç bulunur. x x₁, ₂ 0 olsun. K₁_e M₁ olduğundan 0x r_{1 1}K₁ olacak biçimde r₁ var. Eğer x r_{2 1}K₂ ise K₁K₂ 0 olması x r_{1 1}x r_{2 1}0 olmasını gerektirir. Böylece (x₁x r₂)₁K₁K₂ olur. Eğer x r_{2 1}K₂ ise

2 1 0

x r  ‟dır. K₂ _e M₂ olduğundan 0(x r r_{2 1})₂K₂ olacak biçimde r₂ vardır. K₁K₂ 0 olması nedeniyle x r r_{1 1 2}x r r_{2 1 2} 0‟dır. Ayrıca

1 2 1 2 1 2

(x x r r) K K ‟dir. K₁K₂ _e M₁M₂‟dir. n‟ye göre tümevarım uygulayıp genel sonuç bulunabilir.

(viii) f1( )B  U 0 olacak şekilde UM olsun. x B f U( ) için ( )

x f u olacak şekilde u U vardır. x f u( )B olduğundan

( ) ( )

f u  f U B ve böylece u U  f1( )B 0‟dır. Bu durumda

( ) (0) 0

x f u  f 

dır. Yani f U( ) B 0‟dır. B_e N olduğundan f U( )0‟dır. O halde

1 ker (0) U  f  f ‟dır. 1 1 (0) ( ) f  f B dir. Böylece 1 ( ) 0 U  f B  U dır.

Örnek 1.2.3. , modülünün her alt modülü essential‟dir. Bunu görmek için

1

N  ve a N₁ alalım.  r vardır ki arN₁‟dir. Gerçekten p a q  , 1 1 2 k k N k   , r qk k₂ olsun. 1 2 1 1 2 k p ar qk pk N q k   

Tanım 1.2.4. 0 M , Rmodül olsun. Eğer 0 K M  aynı zamanda K _e M ise M‟ye uniform (düzgün) modül denir.

Örneğin , M  / modülüne bakalım.

1 1 2 N   , ₂ 1 3 N    2 3 k t x    ( ,k t ) olsun. 2x  0 3x 0 0 x   dır. N _{1 e} M ve N_{2 e} M , M düzgün değildir.

1.3 Tümleyen (Complement) Alt Modüller

Tanım 1.3.1. M bir Rmodül ve X M olsun. Eğer X _eY M iken X Y ise X alt modülüne M‟de kapalı (closed) alt modül denir.

Örneğin, modülünün 0 ve kendinden başka kapalı alt modülü yoktur.

Tanım 1.3.2. M bir Rmodül ve X M olsun. X Y 0 özelliğini sağlayan maksimal Y modülüne X ‟in M ‟de ki tümleyeni denir.

Önerme 1.3.3. M bir Rmodül X Y, M ve X Y 0 olsun. Bu durumda YK olacak şekilde X ‟in bir K tümleyeni vardır (Anderson ve Fuller, 1974).

Sonuç 1.3.4. Bir M modülünde her alt modülün tümleyeni vardır.

Kanıt: M bir Rmodül ve X M olsun. X 0 0 olup (Önerme 1.3.3„den) X ‟ in bir 0 K olan tümleyeni vardır.

Önerme 1.3.5. M bir Rmodül olsun. X M ve X ‟in bir tümleyeni Y M ise X  Y _e M ‟dir.

Kanıt. X Y 0 olduğundan X   Y X Y M‟dir. K M ve (X Y)K 0 olsun. (X Y)K 0 ise (X Y)K (X Y)K ‟dir. O halde (X Y)K X (YK)‟dir. _{X(YK)0 olur.} Y , X ‟in tümleyeni olduğundan, Y K Y‟dir. Y K 0 olduğundan K0‟dır. Böylece X Y _e M ‟dir.

Teorem 1.3.6. M bir Rmodül veX, Y M _olsun. X Y 0 özelliğine göre Y‟nin maksimal olabilmesi için gerek ve yeter koşul

(X Y) /Y _e M Y/ olmasıdır.

Kanıt. (X Y) /YK Y/ 0 olacak şekilde Y  K M olsun. O halde

(X Y) /YK Y/ Y Y/ ve (X Y)KY‟dir. Modüler kuraldan (XK) Y Y‟dir. O halde X K Y ‟dir. X  K X Y ve X Y 0 olduğundan X K 0‟dır. X ile arakesiti 0 olan maksimal alt modül Y olduğundan KY ve K Y/ 0‟dır.

Tersine X, Y M _ve (X Y) /Y _e M Y/ olsun. X U 0 ve Y U M olacak biçimde keyfi bir a(XY)U alalım. a x y olacak şekilde x X , yY vardır. x  a y X U 0 olduğundan x0‟dır. Böylece a y Y olduğundan (X Y)U Y‟dir. O halde kabulden

Tanım 1.3.7. M bir Rmodül ve X M olsun. X ‟in M ‟de tümleyeni olduğu bir Y M varsa X ‟e M ‟de tümleyen alt modül denir. X _c M şeklinde gösterilir.

Her dik toplanan modül tümleyen alt modüldür. Örneğin, X  A B A N X ve N B 0 olsun.

( ) ( )

N NX N AB  A NB A

Ama tersine her tümleyen alt modül dik toplanan olmak zorunda değildir.

Örneğin, K bir cisim V ‟de K üzerinde boyutu 3 olan vektör uzayı olsun.

1 2 3 V v Kv Kv K alalım. Bu durumda : , 0 k v R k K v V k    _{ }   _    

matris işlemleri ile tanımlı birimli değişmeli ve indecomposable bir halkadır.

1 0 : 0 0 R v k I _ _ kKR     2 0 : 0 0 R v k J _ _ kKR     3 0 : 0 0 R v k L_ _ kKR    

olsun. O halde J(IL)0, I(JL)0, L(IJ)0 olur ve sırasıyla (IL), (JL), (IJ) bu özelliğe göre maksimal alt modüllerdir.

Yani (I L)_c R_R, (JL)_c R_R, (IJ)_c R_R‟dir ancak sırasıyla (IL) _d R_R, (JK) _d R_R, (IJ) _d R_R‟dir.

Önerme 1.3.8. M bir Rmodül olsun. AM ve A_e B_c M olacak şekilde BM vardır. B‟ye A‟nın M‟de ki kapanıĢı (closure) denir.

Kanıt: Önerme 1.3.3.‟den A, A‟nın M‟de ki tümleyeni olsun. O halde A de M‟de AB olacak biçimde bir B tümleyeni vardır. O halde bir kK, aA ve 0 a A vardır ki a k a şeklinde yazılabilir.

0 a    a k A B

O halde a 0 ve 0   a k A K olur. Böylece A_e B_c M ‟dir.

Önerme 1.3.9. M bir Rmodül ve X M olsun. X ‟in M ‟de tümleyen alt modül olması için gerek ve yeter koşul X _eY M iken X Y olmasıdır. Kanıt: X _c M ve X _eY Molsun. Öyleyse bir KM vardır ki X , K‟nın

M‟de ki tümleyen alt modülüdür ve K X 0 özelliğine göre X maksimaldir. e

X  Y ve K _e K olduğundan Önerme 1.1.1 (iv)‟den 0  K X _e KY

O halde K Y 0 dır. X , K‟nın tümleyeni idi. O halde X Y ‟dir. Önerme1.3.8‟den X _eY _c M ‟dir. Kabulümüzden X Y ‟dir. O halde

c

X  M ‟dir.

1.4. Ġnjektif Modüller

Tanım 1.4.1. R bir halka ve I bir Rmodül olsun. Her f :AB birebir homomorfizması ve g A: I homomorfizması için h f  g şartını sağlayan bir h B: I homomorfizması varsa I‟ya injektif modül denir .

Teorem 1.4.2. (Baer Kriteri) I bir Rmodül olsun. I modülünün injektif olması için gerek ve yeter koşul her U (sağ) ideali için her :k U IR modül homomorfizmasının bir m R: I_R modül homomorfizmasına genişletilebilmesidir (yani | m _Uk olmasıdır) (Sharpe ve Vamos, 1972).

Tanım 1.4.3. ( , )G  bir grup olsun.  x G ve  n için nyx olacak biçimde yG varsa G ye divisible grup denir.

Örneğin, divisible grup değil ancak divisible gruptur.

Teorem 1.4.5. Bir D grubunun injektif olması (D injektif) için gerek ve yeter şart D‟nin divisible olmasıdır.

Kanıt: D injektif ( modül) grup, d D ve n0, _n alalım. Her m için f m( )nm olmak üzere f :  ve m  için g m( )md olmak üzere

:

g D fonksiyonlarını tanımlayalım. f „nin bir monomorfizma, g‟nin bir homomorfizma olduğu açıktır. D injektif olduğundan g h f olacak biçimde bir :h D homomorfizma vardır. Yani

Şekil 1.2. : f hg homomorfizması. Bu durumda (1) ( )(1) ( (1)) d g  h f h f h n( )h n( .1) nh(1)nD

Tersine D divisible olsun. Baer Kriteri ile D‟nin injektif olduğunu görelim.

‟nin herhangi bir 0 I idealinden D‟ye keyfi bir f :I D homomorfizmasını alalım. n0, n olmak üzere In . D divisible olduğundan f n( )nd olacak biçimde bir dD vardır. Her m için

( )

g m md olmak üzere g: D fonksiyonunu tanımlayalım. g bir homomorfizmadır. Her nk n I için

( ) ( ) ( )

g nk nkd knd kf n  f nk

olduğundan |g _I f ‟dir. Baer Kriterinden D injektiftir.

Teorem 1.4.6. A bir Rmodül olsun. Bu durumda bir E bir Rmodül vardır ki aşağıdaki koşullar sağlar;

(a) E, A‟yı essential olarak kapsayan injektif modüldür. (b) E, A‟yı essential olarak kapsayan maksimal modüldür. (c) E, A‟yı kapsayan minimal injektif modüldür.

Bu koşullardan birini sağlayan bir E, Rmodülüne A modülünün injektif hull‟ı denir ve E(A) ile gösterilir (Sharpe ve Vamos, 1972).

Tanım 1.4.7. M bir R modül ve N M olsun. Her : N X homomorfizması için  : M  X ,  | _N olacak biçimde bir



homomorfizması varsa (yani her : N  X homomorfizması bir  : M  X homomorfizmasına genişlerse ) X modülüne Minjektif modül denir .

Eğer M modülü Minjektif ise M ‟ye yarı-injektif (quasi-injective) denir.

Lemma 1.4.8. Bir M modülü yarıinjektiftir gerekli ve yeterli şart

f End

  E M( ) için f M( )M olmasıdır (Mohamed ve Muller, 1990). Lemma 1.4.9. M_





Ainjektiftir gerekli ve yeterli şart   için M_‟lar Ainjektiftir (Mohamed ve Muller, 1990).

1.5. Extending (CS), Yarı Sürekli (Quasi-Continuous) ve Sürekli (Continuous) Modüller

Bir X Rmodülü için aşağıdaki koşulları göz önüne alalım;

1

( )C X ‟in her alt modülü, X ‟in bir dik toplananı tarafından essential olarak kapsanır.

2

(C ) X ‟in herhangi bir toplananına izomorf olan her modül X ‟in bir dik toplananıdır.

3

(C ) X ‟in X , ₁ X dik toplanan alt modülleri ₂ X₁X₂ 0 özelliğini sağlasın. X1X2 de X ‟in bir dik toplananıdır.

Tanım 1.5.1. Bir X , Rmodülü ( )C₁ özelliğini sağlıyorsa CSmodül (ya da extending) denir (Dung vd., 1994).

Tanım 1.5.2. Bir X , CSmodülü, (C özelliğini sağlıyorsa ₂) X ‟e sürekli (continuous) modül denir.

Tanım 1.5.3. Bir X , CSmodülü (C özelliğini sağlıyorsa 3) X ‟e yarı-sürekli

(quasi-continuous) modül denir.

Önerme 1.5.4. Herhangi bir (yarı) injektif X modülü CS ‟dir.

Kanıt: YX , E X( )E₁E₂ ve E Y( )E₁ olsun. X (yarı–) injektif modül olduğundan

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

X  X E X  X E E  X E  X E

dir. Y _e E₁, Y X ve Y  X E₁E₁ olduğundan Önerme 1.1.1(iii)‟den

1

Y  X E ‟dir.

Önerme 1.5.5. X bir Rmodülü olsun. X ‟in CS olması için gerek ve yeter şart X ‟in her kapalı altmodülü X ‟in bir dik toplananıdır.

Kanıt: Y M kapalı bir alt modül ve M , CS olsun. O halde Y e Z d M olacak şekilde ZM vardır. Y kapalı alt modül olduğundan essential genişlemesi yoktur. O halde Y  Z _d M‟dir.

Tersine Y M _{alalım. Önerme 1.3.8.‟den} Y _e X _c M olacak şekilde X M vardır. Kabulümüzden X _d M‟dir. O halde M modülü CS şartını sağlar.

Önerme 1.5.6. X bir indecomposable R modül olsun. X modülü CS olması için gerekli ve yeterli şart X ‟in uniform olmasıdır.

Kanıt: X indecomposable modülü CS olsun. X ‟in sıfırdan farklı her alt modülü X içinde essential olarak kapsanır. O halde X uniformdur.

Tersine X _{uniform bir modül olsun.}  Y 0 ve Y X için Y _e X ve X indecomposable olduğundan CS ‟dir.

Önerme 1.5.7. X herhangi bir modül ve YX olsun. Y, X ‟in bir dik toplanında kapalı ise X kapalıdır.

Kanıt. Y _c Z _d X olsun. Bir modülde her dik toplanan bir komplement alt modül olduğundan

c c Y Z X

dir. Y Z ve Z  X vardır ki Y Y, ‟nün tümleyeni ve Z Z, ‟nün tümleyenidir. Ayrıca

( ) 0

Y YZ 

ve Y Z X ‟dir. Gerçekten de; y Y (YZ) alırsak yyz (yY z , Z) vardır. yy  z Z Z0 olduğundan y y Y Y0 dır. O halde y yz0 bulunur.

Şimdi Y _e L X olacak şekilde birLX olsun. Bu durumda ( ) _e ( ) Y YZ  L YZ olduğundan L(YZ)0‟dır. Böylece







 



( ) 0 Z LZ  Y ZY  LZ  Y LZ         

olur. Y Z(LZ)(LZ) ve Y_, Y _{ile arakesiti sıfır olan maksimal alt} modül olduğundan



( )



Y  Z LZ dür. Y 



Z(LZ)



_e L olduğundan





0 Z(LZ) Z_e LZ yani L Z 0‟dır. Böylece (ZL)Z L Z0

dır. Z  Z L ve Z Z‟nün tümleyeni olduğundan Z L Z‟dir. O halde LZ‟dir. Sonuç olarak Y _e LZ ve Y _c Z olduğundan Önerme 1.3.9.‟dan Y L‟dir. Buradan Y _c X ‟dir.

Teorem 1.5.8. Bir M modülü için aşağıdaki koşullar denktir; 1. M quasicontinuous modüldür.

2. X ve Y, M ‟nin birbirlerinin komplementleri olan iki alt modülü ise M  X Y‟dir.

3. Her f2 f End_R( (E M)) için f M( )M ‟dir.

4. ( ) _i i I E M E  



ise _i i I M M E  



 ‟dir. (Mohamed ve Muller, 1990)

Teorem 1.5.9. M bir R modül olsun. (1) M, _injektiftir.

(2) M, yarı injektiftir. (3) M, süreklidir. (4) M, yarı süreklidir.

olmak üzere (1)(2)(3)(4) gerektirmeleri vardır.

Kanıt: (1)(2) X modülü injektif ise her _R A için Ainjektiftir. Özel olarak A ‟yı X alırsak Xinjektiftir (yani yarıinjektiftir). Tanımdan bunu görmek çok

kolaydır. Y X olsun.

ġekil 1.3. |  _Y homomorfizması.

| _Y

  olacak biçimde



homomorfizması vardır. O halde

ġekil 1.4. g f h homomorfizması

(2)(3) X Rmodülü, Y X, E X( )E₁E₂ ve E Y( )E₁ olsun. M yarıinjektif olduğundan Lemma 1.4.8. „den

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

X  X E X  X E E  X E  X E

elde edilir. Y _e E₁, Y X ve Y  X E₁E₁ olduğundan Önerme 1.1.1.‟den

1

Y  X E ‟dir. Böylece ( )C özelliği sağlanır. ₁ d

X  X olmak üzere f :X X bir monomorfizma olsun. X yarı

injektif olduğundan Lemma 1.4.9.‟dan X X injektiftir. Böylece A X ise d

A X olur. Böylece (C koşulu sağlanmış olur. ₂)

(3)(4) (C₂)(C₃) göstermek yeterli olacaktır. K ve L, X ‟in dik toplananları ve K L 0 olsun. O halde X  K K olacak şekilde K  X vardır. : X  K KK _{olarak tanımlansın.} K L 0 ve ( )L  L olduğundan ( )L K‟dır. (C 'den ₂) ( )L _d X ‟dir. O halde X  ( )L L olacak biçimde bir L X vardır. Böylece

( ) ( )

K  L  KL ve böylece

( ) ( )

X K  L  KL

dür. Buradan K ( )L _d X olduğundan K  L _d M ‟dir.

Tersine bir örnek vermek gerekirse (yarısürekli ama sürekli olmayan bir

modül) X_R  olsun. X indecompasable ve uniformdur. Bu sebeple yarı– süreklidir. Şimdi Y n (n0, 1 ve n ) diyelim. : YX izomorfizmadır. Fakat Y _d X _R (C sağlanmaz. ₂)

1.6. Mutlak Dik Toplanan Özelliğine Sahip (Ads) Modüller

Tanım 1.1.6. M bir R modül olsun. Herhangi bir M A B ayrışımı için; C , A‟nın M‟de ki bir tümleyeni iken M  A C oluyorsa M ‟ye Ads özelliğine sahiptir veya Adsmodül denir (Fuchs, 1970).

Örneğin, indecomposable modüller ve uniform modüller Ads‟tir.

Önerme 1.6.2. M bir Rmodül olsun. M, CS ve Ads özelliklerine sahip ise yarısürekli modüldür.

Kanıt: M bir Rmodül ve M  A Bşeklinde yazılsın. C , M‟de A‟nın tümleyeni olsun. Önerme 1.3.9.‟dan komplement her modül kapalıdır. C kapalı

bir alt modüldür. M, CS olduğundan C_d M ‟dir. O halde M C D  olacak biçimde bir DM vardır. M _{Ads olduğundan M}  C A‟dır. Böylece (C 3)

özelliği sağlandı. M yarısürekli modüldür.

Teorem 1.6.3. M bir Rmodül olsun. M‟nin Ads olması için gerek ve yeter şart herhangi bir M  A B ayrışımında A‟nın Binjektif ve B‟nin A injektif olmasıdır.

Kanıt: KA _ve : K B bir homomorfizma olsun. X 



k( ) :k kK



kümesini tanımlayalım. k₁( )k₁ X (k₁K) alalım. k₁A ve ( )k₁ B olduğundan k₁( )k₁ M ‟dir. O halde X M ‟dir. X B 0‟dır. Gerçekten de X ‟in elemanları A B ‟nin elemanları olduğundan arakesit sıfırdır. O halde B‟nin M de X C olacak biçimde bir C tümleyeni vardır. Kabulümüzden M Ads-modüldür ve bu yüzden M  C B‟dir. Böylece a c b  (aA, bB,

,

c c b C) formunda yazılabilir. Öyleyse ₁: M C ve ₂: M B projeksiyon dönüşümleri olsun.  ₂ │_1A:AB‟dir. Bu durumda :i KA içerme dönüşümü olmak üzere k K 

2 1 2 1 )( ) ( )( ( )) ( │_A i k   │_A i k ( 2 1│ )( )A k ( 2( 1│ ( ))A k 2( )k 2(k( )k ( ))k 2(k( ))k  2( ( ))k  2( ( ))k ( )k

olduğundan B_, A injektiftir. Benzer şekilde A modülünün de Binjektif olduğu gösterilebilir.

Tersine M ‟nin bir parçalanışı M  A B ve C , B‟nin M ‟de ki bir tümleyeni olsun. Y A(BC) kümesini tanımlayalım. Y M olsun. O halde herbir yY b, c b, B c, C için y b c şeklinde yazılabilir.

: B C B

   projeksiyon dönüşümü olmak üzere   │_Y :YB bir homomorfizmadır. Gerçekten de y y₁, ₂Y ve b b₁, ₂B ve c c₁, ₂C için

1 1 1,

y  b c y₂  b₂ c₂ şeklinde yazılabilir. Ve │_Y(y₁y₂)│_Y( )y₁ │_Y(y₂) ve  b B için │_Y(by₁)b│_Y( )y₁ dir. Şimdi B A, injektif olduğundan



homomorfizması bir  : AB homomorfizmasına genişler. aA için

( ( ))

H R a a C alt modülüne bakalım. brar( )a  c HB, cC, rR olsun. O halde ra b r( )a  c Y‟dir. Bu durumda

(ra) ( i ra)( ) r ( )a

    

öyle ki

(ra) (b r ( )a c)

( )b (r ( ))a ( )c

   

    b r( )a

olduğundan b0 olur. O halde H B 0 olur. R birimli bir halka ve 0

B C özelliğine göre C maksimal olduğundan  a A için a( )a C dir. Böylece m M  için

( ( ) ( ))

m  a b a a  a   b B C

dir. M  B C yazılabilir. O halde M Adsmodüldür.

Örnek 1.6.4. , injektif olmadığından dolayı M (  ) modülü Ads modül değildir.

Örnek 1.6.5. Teorem 1.4.6.‟dan Quasicontinuous modüllerin Adsmodül olduğu açıktır.

Tanım 1.6.6. M bir Rmodül olsun. M‟ nin keyfi iki dik toplananının arakesiti de yine bir dik toplanan ise, yani ,A B_d M iken A B _d Moluyorsa, M‟ye dik toplanan kesişim özelliğine sahip (summand intersection property, kısaca, SIP) modül denir (Wilson, 1989).

Lemma 1.6 7. M Rmodülünün SIP olabilmesi için gerek ve yeter şart her M  A B ayrışımı ve her f :AB homomorfizmi için Kerf ‟nin bir dik toplanan olmasıdır.

Kanıt: M  A B SIP modül ve f :AB homomorfizma olsun.



( ) |



T  a f a aA alalım. Bu gösterir ki M  T B‟dir ve x M olmak üzere x a b  şeklinde yazılabilir (aA, bB). x a f a( ) f a( )b‟dır.

( )

a f a T ve f a( ) b B olduğundan M  T B‟dir. Şimdi x T B olsun. Burdan

( )

x a f a , aA ve a x f a( )  A B 0‟dır. Böylece f a( )0

ve x0‟dır. M SIP özelliğine sahip olduğundan M ‟nin bir dik toplananı TA‟dır. T A Kerf olduğundan Kerf M ‟nin bir dik toplananıdır.

Tersine her M  A B ayrışımı ve her f :AB homomorfizması için M ‟nin bir dik toplananı Kerf olsun. M  N N₁ ve M  K K₁ ve

1 1

| :_N M N



 ,  | :_K M K doğal epimorfizma olsun.

1

( |_N | ) /_K

h





N tanımlayalım. Bu gösterir ki h N: N₁ tanımlıdır. Böylece Kerh M ‟nin bir dik toplananıdır. Kerh



NK

 

 N K1



‟dır. N K , Kerh ‟nin bir dik

toplananıdır ve Kerh M ‟nin bir dik toplananıdır. Böylece N K , M ‟nin bir dik toplananıdır.

Aşağıdaki örneklerden SIP modül sınıfı ile Adsmodül sınıflarının birbirinden farklı olduğunu görülür.

Örnek 1.6.8 F bir cisim ve

0 F F R F        olsun. Bu durumda 0 0 F N F        ve 0 0 F F L  _   sağ Rmodüllerdir. R M L  ve X MN alalım. (Garcia, 1969)‟dan X _{modülü SIP özelliğini sağlamaz}. Ancak 0 0

0 R M F F L    _{ }   olduğundan M R L

 , Ninjektiftir. Diğer yandan, M R L

 cisimdir. Kendinden ve 0‟dan başka alt modülü yoktur. Bu yüzden Minjektiftir. Böylece X Ads modüldür.

Örnek 1.6.9. p bir asal tam sayı ve K ( / p ) olsun. K‟nin tüm dik toplamları



/p 0



, 0 , 00 ve K olduğundan, K _SIP‟dir. injektif olduğundan / p injektiftir. Varsayalım ki / p , injektif olsun.

: p

  kanonik epimorfizma olsun. ( )n  n p (n ) olur. Bu



‟yi

: / p   homomorfizmasına genişletebiliriz. 1 x p (x ) p  _{ }     olur. Böylece p 1

 

1

 

1 1 p p  _{ }      olur. pxp  1 p ve bu yüzden





2. SA-MODÜLLER

Çalışmamızın bu bölümünde SIP ve Ads özelliğini sağlayan SA

modüllerle ilgili çalışmamızda işimize yarayacak olan tanım teorem ve lemmalar verilecektir.

Tanım 2.1. SIP ve Ads özelliğini sağlayan modüllere SAmodül denir (Takıl Mutlu, 2015).

Diğer taraftan (Tercan ve Karabacak, 2007) makalesinde yazarlar SIP modüllerin daha genel hali olan SIPextending modülleri aşağıdaki gibi tanımlayarak, SIPextending koşulunu sağlayan matris halkalarını incelemişlerdir.

Tanım 2.2. M _{modülünün her M}  A B ayrışımındaki A B, _d M elemanları için A B _e D özelliğini sağlayan D_d M varsa M modülüne SIPextending modül denir.

SIP özelliğini sağlayan her modül SIP-extending‟dir. Ancak tersi her zaman doğru değildir. Örneğin, 4 4

4 2 0 Z Z R Z     

  SIPextending modül olmasına

rağmen SIP değildir. R‟nin tüm idempotentleri aşağıdaki gibidir. a c, Z₄ ve

4 2b2Z için 2 2 2 0 0 0 a b a b a b c c c                     2 2 2 2 2 0 0 a b a ba bc c c               2 0, 1 a   a a a , c2   c c 0,c1 , 2ba2bc2b „dir. O halde 1 0 0 , 0 0 e _ _  



2 0 2 , 0 1 b e _ _  



3 1 2 , 0 0 b e _ _  



4 1 0 , 0 1 e _ _  



5 0 0 , 0 1 e _ _  



6 1 0 0 0 e _ _  



dır. Ve bu yüzden R_R‟nin tüm dik çarpanları aşağıdaki gibidir:

4 4 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d R Z Z e R R Z       _{  }_{ }     

4 4 4 2 4 4 4 2 0 2 0 2 0 2 : 0 0 0 1 0 d R Z Z Z c e R c Z R Z Z c           _{   } __{ }  _         4 4 4 4 3 4 2 1 2 2 0 0 0 0 0 d R Z Z Z Z e R R Z       _{  }_{ }      4 4 5 4 4 2 0 0 0 0 0 0 0 1 d R Z Z e R R Z Z       _{   } _       4 4 4 6 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 d R Z Z Z e R R Z       _{  }_{ }      2 e5 d RR

e R R olduğundan SIP-modül değildir.

3.SA-EXTENDING MODÜLLER

SIPextending modüller, SIP modülerin bir genelleştirilmesi olduğundan hem Ads hem SIPextending koşulunu sağlayan modüllerin hangi özellikleri sağladığı sorusu akla gelen doğal bir sorudur. Çalışmamızın bu bölümünde, adına SA-extending modüller diyeceğimiz hem Ads hem de SIPextending koşulunu sağlayan modül sınıfının bazı özellikleri incelenmiştir.

Tanım 3.1. Hem Ads hem SIPextending özelliğini sağlayan modüllere SA-extending modül diyelim.

Tanımdan görüleceği üzere, SA modüller aynı zaman da SAextending olmasına rağmen tersi her zaman doğru değildir.

Örnek 3.2. F cisim ve 0 0 0 0 0 : , , , 0 0 0 0 0 a x b T a b x y F b y a       _{ }  _  _   _{ }  _{ }    olsun. T‟nin tüm sağ idealleri 1 0 0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 0 0 x I x F       _{ }  _  _   _{ }  _{ }    0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0              2 0 0 0 0 0 0 0 | , 0 0 0 0 0 0 0 x I x y F y       _{ }  _  _   _{ }  _{ }   

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0              3 0 0 0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 0 I y F y       _{ }  _  _   _{ }  _{ }    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0              4 0 0 0 0 0 0 | , 0 0 0 0 0 0 0 a x I a x F a          _{ }   _  _    _{ }   _{ }    1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 d T                            5 0 0 0 0 0 0 0 | , 0 0 0 0 0 0 b I b y F b y       _{ }  _  _   _{ }  _{ }    0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 d T                           

6 0 0 0 0 0 0 | , 0 0 0 0 0 0 a x I a x F a a       _{ }  _  _   _{ }  _{ }    1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d T                            7 0 0 0 0 0 0 | , 0 0 0 0 0 0 b b I b y F b y       _{ }  _  _   _{ }  _{ }    0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 d T                           

biçimindedir. Şimdi T‟nin tüm dik toplananlarını bulalım. Bunun için T‟nin tüm idempotentlerini hesaplayalım.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a x a x a x b b b b y b y b y a a a                 _                   

koşulunu sağlayana x b y, , , F elemanlarını bulalım.

2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a x a ax xb b b b y b by ay a a            _               eşitliğinden

2

a a , ax xb x, b2 b ve byay  y

denklemleri elde edilir. Buradan a0,1, b0,1 bulunur. Buna göre

 a0, b0 ise y0 bulunur.

 a0, b1 ise x ve y keyfi elemanlar olarak bulunur.

 b0, a1 ise x ve y keyfi elemanlar olarak bulunur.

 a1, b1 _ise x0 vey0 olarak bulunur.

Sonuç olarak T‟nin tüm idempotent elemanlar x, yF _{olmak üzere} aşağıdaki biçimdedir. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x y             , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x y             , I_{4 4x} ve 0_{4 4x}

İlk olarak T‟nin SIPextending olduğunu gösterelim. Bunun için keyfi iki dik toplam alalım ve arakesitlerine bakalım.

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x e y              ve 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x f y             

Keyfi iki dik toplam olup ilk olarak e formunda ki idempotentler tarafından üretilen dik toplamların arakesitine bakalım. Aşağıdaki durumlar geçerlidir: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x e y              ve 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x e y                 olsun. Bu durumda

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 | , , , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x a x b eT a b x y F y b y a           _{   }  _  _     _{   }  _{   }    0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 | , , , , , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x a x b e T a b x y x y F y b y a            _{   }   _    _      _{   }  _{   }    0 0 0 0 0 | , , , , , 0 0 0 0 0 0 a x b b a b x y x y F b y        _{   }  _  _    _{ }  _{ }    olur. 1) x0, y0 ve x 0, y 0 ise 0 0 0 0 0 0 0 | , 0 0 0 0 0 0 d b eT e T b y F T b y       _{ }    _  _   _{ }  _{ }    2) x0, y0 ve x 0, y 0 ise 0 0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 0 d b eT e T b F T b       _{ }    _  _   _{ }  _{ }    3) x0, y0 ve x 0, y 0 ise