Dual Lorentz Uzayında Spacelıke – Tımelıke İnvolüt– Evolüt Eğriler Üzerine

(1)

DUAL LORENTZ UZAYINDA SPACELIKE – TIMELIKE İNVOLÜT– EVOLÜT EĞRİLER

ÜZERİNE SÜMEYYE GÜR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(2)

T.C.

ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DUAL LORENTZ UZAYINDA SPACELIKE – TIMELIKE İNVOLÜT – EVOLÜT EĞRİLER ÜZERİNE

SÜMEYYE GÜR

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

AKADEMİK DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT

(3)

T.C.

ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Bu çalışma jürimiz tarafından ..../.../... tarihinde yapılan sınav ile Matematik Anabilim Dalı'nda YÜKSEK LİSANS tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan : Prof. Dr. Mustafa ÇALIŞKAN

Üye : Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT

Üye : Yrd. Doç. Dr. Selahattin MADEN

ONAY :

Yukarıdaki imzaların adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım.

..../..../2010

Yrd. Doç. Dr. BeyhanTAŞ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

(4)

ÖZET

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümde çalışmanın amacı ve konunun ele alınma nedeni tartışıldı. Genel bilgiler bölümünde ise Öklid uzayı, Lorentz uzayı ve dual Lorentz uzayı ile ilgili temel kavramlara yer verildi.

Materyal ve Yöntem bölümünde IL3, 3-boyutlu Lorentz uzayında involüt – evolüt eğrilerin eğrilikleri, Frenet vektörleri arasındaki ilişkiler, Darboux vektörleri ve bu vektörler yönündeki birim vektörler arasındaki bağıntılar verildi.

Bulgular bölümü çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde 3

1

ID dual Lorentz uzayında spacelike – timelike dual involüt – evolüt eğrilerin dual eğrilikleri, dual Frenet vektörleri arasındaki ilişkiler, dual Darboux vektörleri ve bu vektörler yönündeki birim dual vektörler ele alınarak bazı bulgular elde edildi.

(5)

ABSTRACT

This study consists of four basic chapters. In introduction, it is discussed aim of the study and why this study is taken into consideration. In general information part, the basic concept about Euclid space, Lorentz space and dual Lorentz space have been examined.

In material and method part, involute – evolute curve couple, curvatures, relationship the between Frenet vectors, Darboux vectors and unit vectors direction of this vectors of involute – evolute curves in IL3_{3-dimensional Lorentz space} have been given.

The fourth chapter is the orijinal part of this study. In this chapter, dual curvatures, relationship the between Frenet vectors, dual Darboux vectors and unit dual vectors direction this vectors of spacelike – timelike dual involute – evolute curves in

3 1

ID dual Lorentz space have been investigated and some results have been found.

(6)

TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca beni her aşamada yönlendiren bilgi ve tecrübeleriyle yardımlarını esirgemeyen aynı zamanda danışmanlığımı yapan Saygıdeğer Hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT’ a, her türlü yardım ve önerileriyle varlığını ve desteğini hep arkamda hissettiğim Saygıdeğer Hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Selahattin MADEN’e ve maddi, manevi her yönden daima yanımda olan Canım Aileme tüm içtenliğimle en derin saygı, en candan minnet ve sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

(7)

İÇİNDEKİLER

1. Giriş ………..……….1

2. Genel Bilgiler ………...………...2

2.1 Öklid Uzayında Temel Kavramlar..………...………...2

2.2 E Öklid Uzayında İnvolüt – Evolüt Eğriler …….………...…5 3 2.3 Lorentz Uzayında Temel Kavramlar……...………...8

2.4 Dual Uzayda Temel Kavramlar …..……….16

3. Materyal ve Yöntem .………..28

3.1 IL Lorentz Uzayında Spacelike – Timelike İnvolüt – Evolüt Eğriler ……….28 3 4. Bulgular ………...34

4.1 ID₁3 Dual Lorentz Uzayında Spacelike – Timelike Dual İnvolüt – Evolüt Eğriler………..………....34

5. Tartışma ………..47

6. Sonuç ve Öneriler ………...48

7. Kaynaklar ………...49

(8)

ŞEKİLLER LİSTESİ

1. Şekil 2.1 Darboux Vektörü…………...……….5 2. Şekil 2.2 İnvolüt – Evolüt Eğriler ……….………....6 3. Şekil 2.3 Dual Açı………..………..19

(9)

1. GİRİŞ

Öklid uzayı, Lorentz uzayı ve dual uzay ile ilgili temel kavramlar birçok kaynakta mevcuttur. Bunlardan bazıları Hacısalihoğlu’ nun “Diferensiyel Geometri” ve “Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi”, Sabuncuoğlu’ nun “Diferensiyel Geometri, Struik’ un “Lectures on Classical Differential Geometry”, O’neill’ in “Semi Riemann Geometry”, Ratcliffe’ in “Foundations of Hyperbolic Manifolds” ve Müler’ in “Kinematik Dersleri” isimli kitaplardır.

İnvolüt – evolüt eğriler ile ilgili olarak, Bilici’ nin “İnvolüt – Evolüt Eğrilerinin Küresel Göstergelerinin Eğrilikleri ve Tabii Liftleri” isimli yüksek lisans tezi ve “Timelike veya Spacelike İnvolüt – Evolüt Eğri Çiftleri Üzerine” isimli doktora tezi, Turgut ve Esin’ in “Involute – Evolute Curve Couples of Higher Order in and Their Horizontal Lifts in IR ” isimli makalesi, Bükcü ve Karacan’ ın “On The Involute and n Evolute Curves of The Spacelike Curve with a Spacelike Binormal in Minkowski Space” ve “On The Involute and Evolute Curves of The Timelike Curve in Minkowski 3-Space” isimli makaleleri bulunmaktadır.

Bu çalışmada ise ID₁3 dual Lorentz uzayında spacelike – timelike dual involüt – evolüt eğrilerin Frenet çatıları arasındaki bağıntılar, evolüt eğrisinin B

binormal vektörü ile W Darboux vektörü arasındaki F dual açısına bağlı olarak ifade edilmiş ve bu eğrilerin dual eğrilikleri, Darboux vektörleri ve bu vektörler yönündeki birim vektörler arasındaki ilişkiler bulunmuştur.

(10)

2. GENEL BİLGİLER

2.1. Öklid Uzayında Temel Kavramlar

Tanım 2.1.1: A¹ Æ bir cümle ve K cismi üzerinde bir vektör uzayı V olsun.

:

f A A´ ®V

fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlarsa A ya V ile birleştirilmiş bir afin uzay denir:

A1) " , , P Q RÎA için f P Q

(

,

)

+ f Q R

(

,

)

= f P R( , ),

A2) " Î ve P A " Îa V için f P Q

(

,

)

= olacak biçimde bir tek a QÎA noktası vardır. Burada P Q, ÎA için f P Q

(

,

)

=PQuuur dir.

Tanım 2.1.2: A bir reel afin uzay ve A ile birleşen vektör uzayı V olsun. :V V IR

, ´ ®

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlarsa bu fonksiyona iç çarpım fonksiyonu denir:

i) Bilineerlik Aksiyomu; , X Y Z V " , Î ve " , a bÎIR için , , , aX +bY Z =a X Z +b Y Z , , , X aY+bZ =a X Y +b X Z , ii) Simetri Aksiyomu;

, X Y V

" Î için X Y, ,= Y X , iii) Pozitif Tanımlılık Aksiyomu;

X V

" Î için X X, 0> ,

, 0 0

(11)

Tanım 2.1.3: IR standart reel afin uzay olsun. n 1 : , n n n i i i IR IR IR X Y x y = , ´ ® =

å

şeklinde tanımlı fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. Bu iç çarpıma n

IR de standart iç çarpım veya Öklid iç çarpımı denir. Standart iç çarpımın tanımlı olduğu IR vektör n uzayı ile birleşen IR afin uzayına n n–boyutlu reel standart Öklid uzayı denir ve E n

ile gösterilir. Tanım 2.1.4:

(

)

2 1 : , ( ) n n n i i i d E E IR d X Y y x = ´ ® =

å

- şeklinde tanımlı d fonksiyonuna E de uzaklık fonksiyonu, n d X Y reel sayısına da

(

,

)

, n

X YÎE noktaları arasındaki uzaklık denir.

Tanım 2.1.5: a : IÌIR®En a

( )

t =

(

a₁

( ) ( )

t , a₂ t , ..., a_n

( )

t

)

diferansiyellenebilir fonksiyonuna E de bir eğri denir. n

Tanım 2.1.6: a: ÌI IR®En diferansiyellenebilir bir eğri olsun. a¢ : I®IR şeklinde tanımlı fonksiyona skaler hız fonksiyonu, a¢( ) t reel sayısına a eğrisinin

( )

t a noktasındaki skaler hızı,

( )

1

( )

, 2

( )

, , n

( )

t d t d t d t d t dt dt dt dt a a a a a¢ = =æ_ç ¼ ö_÷ è ø vektörüne

de eğrinin hız vektörü denir.

Tanım 2.1.7: n

I IR E

a: Ì ® bir eğri olsun. a¢( )s =1 ise a eğrisine birim hızlı eğri ve sÎ parametresine de eğrinin yay parametresi denir. I

Tanım 2.1.8: n

I IR E

a: Ì ® bir eğri olsun. y=

{

a a¢ ¢¢, , , ¼a( )r

}

sistemi lineer bağımsız ve "a( )k

, k> için r a( )k ÎSp

{ }

y olmak üzere, y den elde edilen

( ) ( )

( )

{

v1 m ,v2 m ,¼,vr m

}

ortonormal sistemine, a eğrisin mÎ noktasındaki a

Serret-Frenet r-ayaklısı denir. Her bir v , _i 1 i£ £ , vektörüne Serret-Frenet vektörü r adı verilir.

(12)

Özel olarak n= alınırsa 3

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) t s s s n s s b s t s n s a a a ì ₌ _¢ _, ï ¢¢ ï ₌ _, í _¢¢ ï ï ₌ _Ù î

olur. Burada t n, ve b vektörlerine, sırasıyla, eğrinin teğet, asli normal ve binormal vektörleri denir.

Tanım 2.1.9: n

I IR E

a: Ì ® eğrisinin, a( )s noktasındaki Frenet r-ayaklısı

( )

{

v1 s v s, 2( ),¼,vr( )s

}

olsun.

( )

1

( )

: , 1 i i i i k I ®IR k s = v¢ s v₊ s , £ £i r ,

şeklinde tanımlı k fonksiyonuna _i a eğrisinin i-yinci eğrilik fonksiyonu, k s_i

( )

ÎIR sayısına da a( )s noktasındaki i-yinci eğriliği denir.

Teorem 2.1.1: a : ÌI IR®E3 bir eğri, a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

( ) ( )

{

t s n s b s, , ( )

}

, eğrilikleri k₁ ve k olsun. Eğrinin Frenet vektörleri ile bu ₂ vektörlerin türev vektörleri arasında;

1 1 2 2 t k n n k t k b b k n ¢ = ì ï ¢ = - + í ï ¢ = -î

bağıntısı vardır (Hacısalihoğlu, 1983). Bu bağıntıya Frenet formülleri adı verilir.

Tanım 2.1.11: a: ÌI IR®E3 eğrisinin a( )s noktasındaki

{

t s n s b s

( ) ( )

, , ( )

}

Frenet 3-ayaklısının her s anında, bir eksen etrafında bir ani helis hareketi yaptığı kabul edilir. Bu eksene eğrinin a( )s noktasındaki Darboux (ani dönme) ekseni, bu eksenin yön ve doğrultusunu veren vektöre Darboux vektörü denir ve bu vektör

2 1 w= Ù =n n¢ k t+k b

(13)

bağıntısı ile verilir. Burada b ile w arasındaki açı j ile gösterilirse 1 2 cos sin k w k w j j ì = ï í = ïî

olur. Darboux yönündeki birim vektör c ise;

sin cos

c= jt+ jb

şeklinde bulunur (Şekil 2.1).

O Tt

q

k W B

Şekil 2.1. Darboux vektörü

2.2. E Öklid Uzayında İnvolüt – Evolüt Eğriler 3

Tanım 2.2.1: 3

I IR E

a : Ì ® ve b : Ì_I _IR®_E3_{eğrileri verilsin.}a_{eğrisinin teğet}

doğruları b eğrisinin teğet doğrularına dik oluyorsa b eğrisine a eğrisinin bir involütü veya b eğrisinin teğet doğruları a eğrisinin normal doğruları oluyorsa b eğrisine a eğrisinin bir evolütü denir. b eğrisi a nın involütü ise,

( )

s

( ) ( ) ( )

s s t s IR

b =a +l , lÎ ,

aeğrisi b nın involütü ise,

( )

s

( ) ( ) ( )

s s n s

( ) ( )

s b s , IR

b =a +l +m l m, Î

dir. Bu tanıma göre t v, ₁ = olur. Bu eğriler involüt – evolüt eğriler olarak 0 isimlendirilir.

(14)

Teorem 2.2.1: 3

I IR E

b : Ì ® eğrisi 3

I IR E

a: Ì ® _{eğrisinin bir involütü ,}a

eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

t n b , eğrilikleri , ,

}

k₁ ve k ve ₂ b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, eğrilikleri p ve q olsun. Bu durumda a( )s ve b( )s noktaları arasındaki uzaklık

( ) ( )

(

,

)

, , d a s b s = -c s c=sbt " Î s I (2.1) dir. İspat: O v₂ (a) (b) n t b a( )s b( )s v₁ v 3

Şekil 2.2. İnvolüt – evolüt eğriler b eğrisi a eğrisinin involütü olduğundan

( )

s

( )

s t s

( )

, IR

b =a +l lÎ (2.2)

yazılabilir. s ye göre türev alınırsa,

(

)

*

1 1 1

v ds t k n

ds = +l¢ +l (2.3)

olur. Her iki taraf t ile iç çarpılır ve gerekli işlemler yapılırsa

(

1+l¢

)

= Þ = - Þ = -0 l¢ 1 l c s c, =sbt

(15)

bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısından, a

( )

s ile b

( )

s noktaları arasındaki uzaklık

( ) ( )

(

,

)

( )

d a s b s = b s -a s , = l lt, t , = -c s, cÎIR elde edilir. Teorem 2.2.2: b : Ì_I _IR®_E3 _eğrisi, 3 I IR E

a: Ì ® eğrisinin involütü, a eğrisinin

( )s

a noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

}

k₁ ve k , ₂ b eğrisinin b( )s

noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, eğrilikleri pve q olsun. Bu iki eğrinin eğrilikleri arasında;

(

)

(

)

2 2 1 2 2 2 ₂ 1 , k k c s k p = + - (2.4)

(

1 2

)

(

12 2 2

)

1 1 2 k k k k q c s k k k ¢_- ¢ = - + (2.5)

bağıntıları vardır (Hacısalihoğlu, 1983).

Teorem 2.2.3: b : Ì_I _IR®_E3 _eğrisi 3

I IR E

( )s

{

t n b , , ,

}

b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

olsun. a eğrisinin b binormal vektörü ile w Darboux vektörü arasındaki açı j olmak üzere, bu eğrilerin Frenet vektörleri arasında;

1 2 3 0 1 0 cos 0 sin sin 0 cos v t v n v b j j j j é ù é ù é ù ê ú ê_{= -} ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û (2.6)

(16)

Teorem 2.2.4: 3

I IR E

b : Ì ® eğrisi 3

I IR E

( )s

{

t n b , Darboux vektörü , ,

}

w ve b eğrisinin b( )s

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, Darboux vektörü w olsun. w ile w_arasında

(

)

1 w n w k c s j¢ + = - (2.7)

bağıntısı vardır (Bilici, 1999).

Teorem 2.2.5: 3

I IR E

b : Ì ® eğrisi 3

I IR E

( )s

{

t n b , , ,

}

w_{Darboux vektörü yönündeki birim}

vektör c ve b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, w_Darboux

vektörü yönündeki birim vektör c olsun. c ile c _arasında;

2 2 1 2 2 2 2 1 2 n k k c c k k j j ¢ + + = ¢ + + (2.8)

bağıntısı vardır (Bilici, 1999).

2.3. Lorentz Uzayında Temel Kavramlar

Tanım 2.3.1: , :V V´ ®IR fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa , fonksiyonuna V vektör uzayı üzerinde simetrik bilineer form denir:

, a b IR " Î ve "u v w V, , Î için, i) Bilineerlik Aksiyomu; , , , au+bv w =a u w +b v w , , , au bv w+ =a u w +b v w ,

ii) Simetri Aksiyomu; , , u v = v u

(17)

Tanım 2.3.2: , :V V´ ®IR fonksiyonu _{V uzayı üzerinde bir simetrik bilineer} form olsun.

i) " Î ve v V v¹ için 0 v v, 0> ise simetrik bilineer forma pozitif tanımlı, ii) " Î ve v V v¹ için 0 v v, 0 < ise simetrik bilineer forma negatif tanımlı, iii) " Î ve v V v¹ için 0 v v, 0 ³ ise simetrik bilineer forma yarı-pozitif tanımlı, iv) " Î ve v V v¹ için 0 v v, 0 £ ise simetrik bilineer forma yarı-negatif tanımlı, v) " Î için v V v w, = Þ =0 w 0 ise simetrik bilineer forma non-dejenere denir . Tanım 2.3.3: , :V V´ ®IR fonksiyonu simetrik, bileener ve non-dejenere ise , ye V üzerinde bir skalar çarpım fonksiyonu, V vektör uzayına da skalar çarpım uzayı denir (O’ neill).

Tanım 2.3.4: 1 1 2 : , n n n i i i IR IR IR X Y x y x y = , ´ ® = - +

å

fonksiyonu bir skalar çarpım fonksiyonudur. Bu fonksiyona IRn üzerinde Lorentz metriği denir.

Tanım 2.3.5: n

IR üzerinde tanımlı Lorentz metriği ile birlikte

{

IRn, ,

}

ikilisine

n-boyutlu Lorent uzayı veya kısaca Lorentz uzayı denir ve IL ile gösterilir. n

Tanım 2.3.6: XÎILn vektörü için;

i) X X, 0> veya X = ise 0 X e uzaysı (spacelike) vektör, ii) X X, 0< ise X e zamansı (timelike) vektör vektör, iii) X X, =0 ise X e ışıksı (lightlike veya null) vektör denir.

Tanım 2.3.7: Lorentz uzayında bir X vektörünün normu X = X X, şeklinde tanımlanır.

(18)

Teorem 2.3.1: XÎILn_için, i) X > , 0

ii) X = Û bir null vektördür, 0 X

iii) X bir timelike vektör ise X 2 = - X X, dir,

iv) X bir spacelike vektör ise X 2 = X X, dir (O’neill, 1983).

Tanım 2.3.8: e=

(

1, 0,¼, 0, 0

)

olmak üzere X =

(

x x₁, ,₂ ¼,x_n

)

ÎILn timelike vektörü;

, 0

X e < ise future pointing (pozitif), X e, >0 ise past pointing (negatif) olarak adlandırılır.

Teorem 2.3.2: , n

X YÎIL _{vektörleri için} X ¹ ve 0 Y ¹ olmak üzere 0 X Y, 0=

olsun. X timelike vektör ise Y spacelike vektördür (Ratcliffe, 1994).

Tanım 2.3.9: IL , 3-boyutlu Lorentz uzayında iki vektör 3 X ve Y olsun.

(

)

(

)

3 3 3 1 2 3 1 2 3 3 2 2 3 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2 3 : , , , IL IL IL e e e X Y X Y x x x x y x y x y x y x y x y y y y Ù ´ ® -® Ù = = - -

-fonksiyonuna vektörel çarpım fonksiyonu, X ÙY vektörüne de X ile Y nin vektörel çarpımı denir (Akutagawa ve Nishikawa, 1990).

Teorem 2.3.3: IL , 3-boyutlu Lorentz uzayında iki vektör 3 X ve Y olsun. i) X ve Yspacelike vektör ise X ÙY bir timelike vektördür,

ii) X ve Ytimelike vektör ise X ÙY bir spacelike vektördür,

iii) X spacelike ve Y timelike vektör ise X ÙY bir spacelike vektördür, iv) X ve Y null vektör ise X ÙY bir spacelike vektördür,

v) X timelike ve Y null vektör ise X ÙY bir spacelike vektördür,

vi) X spacelike ve Y null vektör olmak üzere X Y, 0= ise X ÙY bir null vektör,

, 0

(19)

Teorem 2.3.4: X Y Z, , ÎIL3 olsun. Bu durumda; i) X Ù ,Y Z det=-

(

X Y Z, ,

)

, ii)

(

X ÙY

)

Ù = -Z X Z Y, + ,Y Z X, iii) X ÙY X, 0= ve X ÙY Y, 0= , iv) XÙY X, ÙY = - X X, Y Y, + X Y, 2 dir (Turgut, 1995).

Teorem 2.3.5: IL , n n -boyutlu bir Lorentz uzayı olsun. i) , n

X YÎIL pozitif (negatif) timelike vektörler olsunlar. Bu durumda

,

X Y £ X Y

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlikte eşitlik olması için gerek ve yeter şart X ve Y

vektörlerinin lineer bağımlı olmasıdır. X ve Y pozitif (negatif) timelike vektörler ise

, cosh , ( , ) X Y = X Y j j h= X Y

olacak şekilde bir tek j>0 reel sayısı vardır. Bu j sayısına timelike vektörler arasındaki Lorentzian timelike açı denir.

ii) X Y, ÎILn spacelike vektörler olsun. Bu vektörlerin gerdiği düzlem spacelike ise ,

X Y £ X Y

olur. Bu eşitsizlikte eşitlik olması için

, cos , ( , ) X Y = X Y j j h= X Y

olacak şekilde bir tek 0£ £j p reel sayısı vardır. Bu j sayısına spacelike vektörler arasındaki Lorentzian spacelike açı denir.

(20)

iii) X Y, ÎILn spacelike vektörler olsunlar. Eğer X ve Y_{vektörlerinin gerdiği düzlem}

timelike ise,

,

X Y > X Y

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlikte eşitlik olması için

, cosh , ( , ) X Y = X Y j j h= X Y

olacak şekilde bir tek j>0 reel sayısı vardır. Bu j sayısına spacelike vektörler arasındaki Lorentzian timelike açı denir.

iv) XÎILn spacelike ve n

YÎIL timelike vektörler olsunlar. Bu durumda , sinh , ( , )

X Y = X Y j j h= X Y

olacak şekilde bir tek j>0 reel sayısı vardır. Bu j sayısına spacelike ve timelike iki vektör arasındaki Lorentzian timelike açı denir (Ratcliffe, 1994).

Tanım 2.3.9: a: ÌI IR®ILn eğrisinin teğet vektörü t olsun. i) t t, 0> ise a eğrisine uzaysı (spacelike) eğri,

ii) t t, <0 ise a eğrisine zamansı (timelike) eğri,

iii) t t, =0 ise a eğrisine ışıksı (lightlike veya null) eğri denir (O’neill, 1983).

Tanım 2.3.10: 3

I IR IL

a: Ì ® _{diferansiyellenebilir eğrisinin} a

( )

s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

}

k₁ ve k olsun. ₂

i) α timelike eğri bir ise;

, ,

tÙ = -n b nÙ =b t bÙ = -t n

olur. Bu durumda Frenet formülleri

1 1 2 2 t k n n k t k b b k n ¢ = ì ï ¢ = -í ï ¢ = î (2.9)

(21)

(Woestijne, 1990) ve Darboux vektörü

2 1 w=k t k b

-şeklinde bulunur (Uğurlu, 1997).

ii) α spacelike binormalli spacelike bir eğri ise;

, ,

tÙ = -n b nÙ = -b t bÙ =t n

1 1 2 2 t k n n k t k b b k n ¢ = ì ï ¢ = + í ï ¢ = î (2.10)

2 1 w= -k t+k b

şeklinde bulunur (Uğurlu, 1997).

iii) α timelike binormalli spacelike bir eğri ise;

, ,

tÙ =n b nÙ = -b t bÙ = -t n

1 1 2 2 t k n n k t k b b k n ¢ = ì ï ¢ = - + í ï ¢ = î (2.11)

2 1 w=k t k b

(22)

Tanım 2.3.11: a: ÌI IR®IL3 eğrisinin a

( )

{

}

k₁ ve k , Darboux vektörü de w olsun. ₂

i) α timelike bir eğri ise,

2 2 1 2

w = k -k (2.12)

dir . Bu durumda

a) k1 > k2 ise w w, 0> olacağından w spacelike vektör olur. b ile w vektörü arasındaki Lorentzian timelike açı j ile gösterilirse, eğrilikler ve c_vektörü,

1 2 2 1 2 2 cosh , sinh k w w k k k w j j ì = ï ₌ -í = ïî (2.13) ve sinh cosh c= jt- jb (2.14) şeklinde bulunur.

b) k1 < k2 ise w w, 0< olacağından w timelike vektör olur. b ile w vektörü arasındaki Lorentzian timelike açı j ile gösterilirse, eğrilikler ve c_vektörü,

1 2 2 2 1 2 sinh , cosh k w w k k k w j j ì = ï ₌ -í = ïî (2.15) ve cosh sinh c= jt- jb (2.16) şeklinde bulunur.

ii) α spacelike binormalli spacelike eğri ise,

2 2 1 2 w = k +k

(2.17)

dir. Burada w w, 0> olduğundan w spacelike vektör olur. b ile w arasındaki Lorentzian spacelike açı j ile gösterilirse, eğrilikler ve c_vektörü,

(23)

1 2 2 1 2 2 cos , sin k w w k k k w j j ì = ï ₌ ₊ í = ïî (2.18) ve sin cos c= - jt+ jb (2.19) şeklinde bulunur.

iii) α timelike binormalli spacelike eğri ise, 2 2

2 1

w = k -k (2.20)

dir . Bu durumda

a) k₂ > k₁ ise w w, 0> olacağından w spacelike vektör olur. b ile w arasındaki Lorentzian timelike açı j ile gösterilirse, eğrilikler ve c_vektörü,

1 2 2 2 1 2 sinh , cosh k w w k k k w j j ì = ï ₌ -í = ïî (2.21) ve cosh sinh c= jt- jb (2.22) şeklinde bulunur.

b) k₂ < k₁ ise w w, 0< olacağından w timelike vektör olur. b ile w arasındaki Lorentzian timelike açı j ile gösterilirse, eğrilikler ve c_vektörü,

1 2 2 1 2 2 cosh , sinh k w w k k k w j j ì = ï ₌ -í = ïî (2.23) ve sinh cosh c= jt- jb (2.24) şeklinde bulunur.

(24)

2.4. Dual Uzayda Temel Kavramlar

Tanım 2.4.1: ID=

{

A=

( )

a a, * a a, *ÎIR

}

cümlesine dual sayılar cümlesi denir. Tanım 2.4.2: IDcümlesi üzerinde toplama, çarpma, ve eşitlik işlemleri, sırasıyla,

(

)

(

*

) ( ) (

* * *

)

: , , , , , ID ID ID A B A B a a b b a b a b Å ´ ® ® Å = Å = + +

(

)

( ) ( ) (

* * * *

)

: , , , , ID ID ID A B A B a a b b ab ab a b ´ ® ® = = + e e e ve * * , A= Û =B a b a = b şeklinde tanımlanır.

Teorem 2.4.1:

(

ID, ,Å e üçlüsü birimli ve değişmeli bir halkadır.

)

Tanım 2.4.3: 0=

( )

0, 0 dual sayısınaID nin toplama işlemine göre sıfır elemanı denir. Tanım 2.4.4: Dual sayılarda bölme işlemi A=

( )

a a, * ¹ Î0 ID ve

( )

* , B= b b ÎIDolmak üzere; * * 2 B b ab a b A a a æ - ö =_ç , _÷ è ø şeklinde tanımlanır.

Tanım 2.4.5: Bir A=

(

a a, *

)

Î ID dual sayısının reel ve dual kısmı

( )

*

Re A =a , Du A = a

şeklinde gösterilir.

Tanım 2.4.6:

( )

1, 0 = dual sayısına 1 ID nin çarpma işlemine göre birim elemanı veya reel birimi denir.

(25)

Tanım 2.4.7:

( )

0,1 dual sayısına ID deki dual birim denir ve kısaca e ile gösterilir. Sonuç 2.4.1: Tanım 2.4.2 deki çarpma işlemi gereğince

( ) ( ) ( )

2 0,1 0,1 0, 0 0 e =e e_e = _e = = olduğu görülür. Teorem 2.4.2: A=

(

a a, *

)

Î IDsayısı * A= +a ea şeklinde yazılabilir. İspat: Tanım 2.4.2 gereğince

(

*

)

, A= a a için

( )

( ) ( )

( )

* * * , 0 0, , 0 0,1 . , 0 A a a A a a A a ea = Å = Å = + olur. Teorem 2.4.3: A=

(

a a, *

)

Î ID, lÎ ise, IR l_e A=l_e

(

a a, *

) (

= l la, a*

)

dır. İspat:

(

)

( )

(

)

* * , 0 , , . A a a A a a l l l l l = = e e e Tanım 2.4.8: *

A= +a ea dual sayısının mutlak değeri diye a reel sayısına denir. O halde A = +a ea* = a dir.

Tanım 2.4.9: 3

{

(

)

}

1, 2, 3 i ,1 3

ID =ID ID ID´ ´ = A= A A A AÎID £ £i cümlesi üzerinde

toplama ve skalar ile çarpma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanır:

(

)

( ) ( ) (

)

(

)

( )

3 3 3 3 3 : , : , i i i i i ID ID ID A B A B A B A B ID ID ID A A A l l l + ´ ® ® + = + = + , × ´ ® ® × = .

(26)

Teorem 2.4.4:

(

3

)

, ,

ID + × üçlüsü ID dual sayılar halkası üzerinde bir modüldür. Bu modül kısaca ID- Modül şeklinde gösterilecektir.

Tanım 2.4.10: ID- Modülün elemanları olan sıralı dual üçlülere dual vektörler denir. Teorem 2.4.5: a ar,uur*ÎIR3 olmak üzere ID- Modülde her bir urA dual vektörü,

* A= +a eauur ur r şeklinde yazılabilir. İspat:

(

)

(

)

(

)

(

)

* 1 2 3 * * * 1 1 2 2 3 3 * * * 1 2 3 1 2 3 , , , , 1 3, olduğundan , , , i i i A A A A A a a i A a a a a a a A a a a a a a e e e e e = = + £ £ = + + + = + + + + + ur ur ur yazılabilir. a a_i, _i*ÎIR olduğundan a=

(

a a a1, 2, 3

)

, a*=

(

a1*,a2*,a3*

)

uur r alınabilir ve dolayısı ile * A= +a eauur ur r olur.

Tanım 2.4.11: ur rA= +a eauur* , ur rB= +b ebuur* ÎID3 olsun.

(

)

3 3 * * * * , : ( , ) , , , , , ID ID ID A B A B a ea b eb a b e a b a b ´ ®

® = + uur + uur = + uur + uur

ur ur ur ur r r r r r r

fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa bu fonksiyona ID- Modül de bir iç çarpım fonksiyonu denir: "ur ur urA B C, , ÎID3,aÎIDiçin;

1 2 3 4 : , , : , , , : , , , , , , : 0 , 0 I A B B A I A B A B A B I A B C A C B C A B C A B A C I A A A a a a = , = = , + = + + = + , = Þ = . ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur

(27)

Tanım 2.4.12: ur rA= +a eauur* , ur rB= +b ebuur* ÎID3 vektörlerinin vektörel çarpımı

(

) (

)

(

)

3 3 3 * * * * : ( , ) ID ID ID A B A B a ea b eb a b e a b a b Ù ´ ®

® Ù = + uur Ù + uur = Ù + Ù +uur uurÙ

ur ur ur ur r r r r r r

şeklinde tanımlanır.

Tanım 2.4.13: ur rA= +a eauur*ÎID3 dual vektörünün normu urA = +a ea*ÎID şeklinde bir dual sayıdır. Burada

* * , a a , 0 a a a a a = , = ¹ uur r r r r r .

Tanım 2.4.14: urA =

( )

1, 0 ise urA vektörüne birim dual vektör denir. urA birim dual vektör ise ar =1 , a ar,uur* =0.

Tanım 2.4.15: F = +

j e j

* dual sayısına urA ile Bur birim dual vektörleri arasındaki dual açı denir. Burada j eksenler arasındaki reel açı, j* ise eksenler arasındaki en kısa uzaklıktır (Şekil 2.3).

.

X X a j j* Y y

o

b d₁ d₂ b* a*

(28)

Teorem 2.4.6: urA ile Bur iki birim dual vektör olsun. Bu durumda , A B ur ur =

(

*

)

cos j ej+ =cosF dır (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.4.16: Elemanları dual sayılar olan bir A matrisine dual matris denir ve bu matris * , , 1 , 3 ij ij ij ij A=é ù_{ë û}A A =a +ea £i j£ şeklinde gösterilir.

Tanım 2.4.17: ur rA= +a euura*, ur rB= +b ebuur*ÎID3 olsun.

( )

(

)

3 3 * * , , , ID ID ID A B A B a b e a b a b , : ´ ® , ® , = + + ur ur ur ur r r r r r r

şeklinde tanımlı iç çarpıma dual vektörler arasındaki Lorentz iç çarpımı denir. Burada a br r, = -a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3} şeklindedir.

Tanım 2.4.18: Üzerinde Lorentz iç çarpımı tanımlı ID uzayına dual Lorentz uzayı 3 denir ve bu uzay

{

* *

}

3 3 1 , 1 ID = ur rA= +a ea a ar r r ÎIR şeklinde gösterilir. Tanım 2.4.19: urA Î ID13 olsun.

i) ur urA A, <0 ise urA dual vektörüne timelike (zamansı) vektör,

ii) ur urA A, >0 veya urA=0 ise urA dual vektörüne spacelike (uzaysı) vektör,

(29)

Tanım 2.4.20: ur rA= +a ear* Î ID13 dual vektörünün normu; * , , , 0 a a A A A a a a e = = + ¹ r r ur ur ur r r r şeklinde tanımlanır. Tanım 2.4.21: * * 3 1 A= +a eauur, B= +b ebuurÎID ur r ur r olsun.

( )

(

)

3 3 3 1 1 1 * * ID ID ID A B A B a b e a b a b Ù : ´ ® , ® Ù = Ù + Ù + Ù ur ur ur ur r r r r r r

şeklinde tanımlı vektörel çarpıma iki dual vektörün vektörel çarpımı denir. Burada ar ile br nin vektörel çarpımı

(

3 2 2 3, 1 3 3 1, 1 2 2 1

)

ar rÙ =b a b -a b a b -a b a b -a b

şeklindedir.

Lemma 2.4.1: X Y, ÎID₁3 için X ¹ ve 0 Y ¹ olmak üzere; 0 X Y, 0= olsun. Eğer

X timelike dual vektör ise, bu durumda Y spacelike dual vektördür (Ratcliffe, 1994).

Lemma 2.4.2: X Y, ÎID₁3 pozitif (negatif) timelike vektörler olsun. Bu durumda X Y, £ X Y eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlikte eşitlik olması için gerek ve yeter şart

X ve Y dual vektörlerinin lineer bağımlı olmasıdır (Ratcliffe, 1994).

Lemma 2.4.3:

i) 3

1

X Y, ÎID pozitif (negatif) timelike vektörler olsun. Bu durumda X Y, £ X Y

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlikte eşitlik olması için

(

)

cosh

(30)

olacak şekilde bir tek negatif olmayan birim dual F

(

X Y,

)

sayısı vardır. X ve Y arasındaki bu dual sayıya timelike dual vektörler arasındaki Lorentzian timelike dual açı denir.

ii) X Y, ÎID₁3 spacelike vektörler ve bu vektörlerin gerdiği düzlem spacelike olsun. Bu durumda

X Y, £ X Y

(

)

cos

X Y, = X Y F X Y,

olacak şekilde 0 £ F £ birim dual p F

(

X Y,

)

sayısı vardır. X ve Y arasındaki bu dual sayıya spacelike dual vektörler arasındaki Lorentzian spacelike dual açı denir.

iii) X Y, ÎID₁3 spacelike vektörler ve bu vektörlerin gerdiği düzlem timelike olsun. Bu durumda

X Y, ³ X Y

(

)

cosh

X Y, = X Y F X Y,

olacak şekilde bir tek pozitif birim dual F

(

X Y,

)

sayısı vardır. X ve Y arasındaki bu dual sayıya spacelike dual vektörler arasındaki Lorentzian timelike dual açı denir.

iv) 3

1

XÎID spacelike 3 1

YÎID pozitif timelike dual vektör olsun. Bu durumda

(

)

sinh

X Y, = X Y F X Y,

olacak şekilde bir tek negatif olmayan birim dual F

(

X Y,

)

sayısı vardır. X ve Y arasındaki bu dual sayıya spacelike ve timelike dual iki vektör arasındaki Lorentzian timelike dual açı denir (Ratcliffe, 1994).

(31)

Tanım 2.4.22: a%: ®I D₁3 a%

( )

t =a

( )

t +ea*

( )

t dual eğrisinin teğet vektörü *

T = +t e olsun. t

i) T T, 0> ise a% eğrisine uzaysı (spacelike) dual eğri, ii) T T, 0< ise a_% eğrisine zamansı (timelike) dual eğri,

iii) T T, =0 ise a_% eğrisine ışıksı (lightlike veya null) dual eğri denir (O’neill, 1983).

Tanım 2.4.23: a%: ®I D₁3 diferansiyellenebilir dual eğrisinin Frenet 3-ayaklısı

{

T N B, ,

}

, dual eğrilikleri k = +k₁ ek₁* ve t =k₂+ek₂* olsun.

i) a% dual timelike birim hızlı bir eğri ise,

, ,

T ÙN = -B NÙ =B T BÙ = -T N (2.25)

0 0 0 0 0 T T N N B B k k t t ¢ é ù é ù é ù ê ú ê_{¢ =} _- ú ê ú ê ú ê ú ê ú ¢ ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û (2.26) ve Darboux vektörü W =tT-kB (2.27)

şeklinde bulunur. Burada dual eğrilikler

(

)

* 1 1 * 2 2 det k k T T T T T k k T T k e t e ì ï _{= +} ₌ _{¢ ¢}_, _, ïï í ï _{, ,}_{¢ ¢¢} ï = + = ¢ ¢ ï , î (2.28)

(32)

1 1 2 2 * * * 1 1 * * * * * 1 2 1 2 * * * 2 2 t k n n k t k b b k n t k n k n n k t k n k t k n b k n k n ì ¢ = ï ï ¢ = -ï ï ¢ = ï í ï ¢ = + ï ï ¢ = + -ï ï ¢ = + î (2.29)

olur. W Darboux vektörü ile B spacelike binormal birim dual vektörü arasındaki Lorentzian timelike dual açı F = +j ej* ve _{W yönündeki birim dual vektör}

*

C= +c ec ile gösterilsin.

a) k >t ise W spacelike dual vektör olur. Bu durumda eğrilikler ve Cvektörü, cosh sinh 2 2 W W W k k t t ì = F ï _, ₌ -í = F ïî (2.30) ve sinh -cosh C= FT F B (2.31)

şeklinde bulunur. Bu denklem reel ve dual bileşenlerine ayrılırsa,

(

)

* * * *

sinh cosh

sinh cosh cosh sinh

c t b c t b t b j j j j j j = , = -ìï í - + -ïî (2.32) olur.

b) k <t ise W timelike dual vektör olur. Bu durumda eğrilikler ve Cvektörü, sinh cosh 2 2 W W W k t k t ì = F ï _, ₌ -í = F ïî (2.33) ve cosh sinh C= FT- FB (2.34)

(33)

(

)

* * * *

cosh sinh

cosh sinh sinh cosh

c t b c t b t b j j j j j j = , = -ìï í _- ₊ -ïî (2.35) olur.

ii) a% spacelike binormalli dual spacelike birim hızlı bir eğri ise,

, ,

T ÙN = -B NÙ = -B T BÙ =T N (2.36)

0 0 0 0 0 T T N N B B k k t t ¢ é ù é ù é ù ê ú ê_{¢ =} ú ê ú ê ú ê ú ê ú ¢ ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û (2.37) ve Darboux vektörü W = -tT+kB (2.38)

şeklinde bulunur. (2.37) ifadesi reel ve dual bileşenlerine ayrılırsa

1 1 2 2 * * * 1 1 * * * * * 1 2 1 2 * * * 2 2 t k n n k t k b b k n t k n k n n k t k n k t k n b k n k n ì ¢ = ï ï ¢ = + ï ï ¢ = ï í ï ¢ = + ï ï ¢ = + + + ï ï ¢ = + î (2.39)

olur. W Darboux vektörü ve B binormal birim vektörü spacelike vektörler ve bunların gerdiği düzlem de spacelike olduğundan bu vektörler arasındaki açı Lorentzian spacelike dual açıdır. Bu açı F = +j ej* ve _{W yönündeki birim dual vektör}

*

C= +c ec olsun. Bu durumda eğrilikler ve Cvektörü, cos sin 2 2 W W W k k t t ì = F ï _, ₌ ₊ í = F ïî (2.40)

(34)

ve

sin cos

C= - F +T F B (2.41)

(

)

* * * *

sin cos

sin cos cos sin

c t b c t b t b j j j j j j = - , = -+ ìï í ₊ _- ₊ ïî (2.42) olur.

iii) a% timelike binormalli dual spacelike birim hızlı bir eğri ise,

, ,

T ÙN =B NÙ = -B T BÙ = -T N (2.43) olur. Bu durumda Frenet formülleri

0 0 0 0 0 T T N N B B k k t t ¢ é ù é ù é ù ê ú ê_{¢ = -} ú ê ú ê ú ê ú ê ú ¢ ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û (2.44) ve Darboux vektörü W =tT-kB (2.45)

şeklinde bulunur. (2.44) ifadesi reel ve dual bileşenlerine ayrılırsa,

1 1 2 2 * * * 1 1 * * * * * 1 2 1 2 * * * 2 2 t k n n k t k b b k n t k n k n n k t k n k t k n b k n k n ì ¢ = ï ï ¢ = - + ï ï ¢ = ï í ï ¢ = + ï ï ¢ = - + - + ï ï ¢ = + î (2.46)

olur. W Darboux vektörü ve B timelike binormal birim dual vektörü arasındaki Lorentzian timelike dual açı F = +j ej* ve _{W yönündeki birim dual vektör}

*

(35)

a) k <t ise W spacelike dual vektör olur. Bu durumda eğrilikler ve Cvektörü, sinh cosh 2 2 W W W k t k t ì = F ï _, ₌ -í ₌ _F ïî (2.47) ve cosh sinh C= FT- FB (2.48)

şeklinde bulunur. Bu denklem reel ve dual bileşenlerine ayrılırsa

(

)

* * * *

cosh sinh

cosh sinh sinh cosh

b) k >t ise W timelike dual vektör olur. Bu durumda eğrilikler ve Cvektörü, cosh sinh W W W k k t t ì = F ï _, ₌ -í = F ïî 2 2 (2.50) ve sinh cosh C= FT- FB (2.51)

(

)

* * * *

sinh cosh

sinh cosh cosh sinh

(36)

3. MATERYAL VE YÖNTEM

3.1. IL Lorentz Uzayında Spacelike – Timelike İnvolüt – Evolüt Eğriler 3

Tanım 3.1.1: 3

I IL

a: ® timelike bir eğri ve 3

I IL

b : ® eğrisi a nın bir involütü olsun. b eğrisi spacelike binormalli spacelike eğri veya timelike binormalli spacelike bir eğri olur. Bu durumdaki involüt – evolüt eğrilere spacelike – timelike involüt – evolüt eğriler adı verilir.

Bu tanıma göre a timelike eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

t n b ve , ,

}

b spacelike eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

alınırsa

, 1 , 1 , 1 t t n n b b = -= + = + ve 1 1 2 2 0 3 3 0 , 1 , 1 , 1 v v v v v v e e = + = = = = m m (3.1) olur. Teorem 3.1.1 : 3 I IR IL b : Ì ® spacelike eğrisi, 3 I IR IL a: Ì ® _{timelike eğrisinin}

bir involütü olsun. a eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

t n b , , ,

}

b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

ise a( )s ve b( )s noktaları arasındaki uzaklık

( ) ( )

(

,

)

, ,

d a s b s = -c s c=sbt " Î . s I (3.2) İspat: b eğrisi a nın involütü olduğundan

( )

s

( )

s t s

( )

, IR

b =a +l lÎ

yazılabilir. s ye göre türev alınır ve her iki taraf t ile iç çarpılırsa,

(

)

* 1 1 1 v ds t k n ds = +l¢ +l ,

(

1

)

0 , c s c sbt l l ¢ + = , = - =

(37)

bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısından a

( )

s ile b

( )

s noktaları arasındaki uzaklık

( ) ( )

(

,

)

( )

d a s b s = b s -a s , = l lt, t , = -c s, cÎIR olur.

Teorem 3.1.2: b : Ì_I _IR®_IL3_{spacelike eğrisi,} 3

I IR IL

a: Ì ® _{timelike eğrisinin}

bir involütü olsun. a eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

}

1

k ve k , ₂ b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, eğriliği p olmak üzere;

(

)

(

)

2 2 0 2 1 2 2 2 1 k k p c s k e -= - (3.3) dir.

İspat: b spacelike eğrisi a timelike eğrisinin involütü olduğundan

( )

s

( )

s t s

( )

,

(

c s

)

, t (c sbt)

b =a +l l= - a¢= =

yazılır. İfadenin s ye göre türevi alınır ve (2.9) bağıntısı dikkate alınırsa

1 v = n

olur. Bu ifadenin türevi alınır ve her iki tarafı kendisiyle iç çarpılırsa,

2 2 2 0 2 1 2 2 1 ( ) ( ) k k c s k p =e -elde edilir.

(38)

Teorem 3.2.2: 3

I IR IL

b : Ì ® spacelike eğrisi, 3

I IR IL

a: Ì ® _{timelike eğrisinin bir}

involütü olsun. a eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

}

k₁

ve k , ₂ b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, burulması q ise 1 2 1 2 2 2 1 1 2 k k k k q c s k k k ¢_- ¢ = - - (3.4) dir.

İspat: (2.2) denkleminin s_{ye göre türevleri alınırsa,}

1 k n b¢ =l ,

(

)

2 1 1 1 1 2 k t k k n k k b b_{¢¢ =}l ₊ l ¢_- _-l _,

(

2

) (

3 2

) (

)

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2k 3 k k t k 2k k k k n 2 k k 2k k k k b b_{¢¢¢ = -} ₊ l ¢ ₊ l _- ¢₊l ¢¢_-l _{+ -} l ¢ ₊ _-l ¢ olur. Buradan

(

)

2 1 2 2 1 k k t k b b b¢Ù ¢¢=l - + , (3.5) 2 4 4 ₂ ₂ 1 2 1 k k k b b¢Ù ¢¢ = l - (3.6) ve

(

)

3

(

)

1 1 2 3 1 2 det b b b¢ ¢¢ ¢¢¢ =, , l k kk¢-k¢k (3.7) bulunur. q det

(

b b b, , ₂

)

b b ¢ ¢¢ ¢¢¢ =

¢Ù ¢¢ ifadesinde (3.6) ve (3.7) denklemleri yerlerine yazılırsa

(

1 2

)

(

12 2 2

)

1 1 2 k k k k q c s k k k ¢_- ¢ = - -olarak bulunur.

(39)

Teorem 3.2.3: 3

I IR IL

involütü ve a eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

t n b , , ,

}

b eğrisinin b( )s

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

olsun. a eğrisinin b binormal vektörü ile w Darboux vektörü arasındaki Lorentzian timelike açı j olmak üzere,

{

t n b ile , ,

}

{

v v v1, , 2 3

}

arasında; i) w spacelike ise, 1 2 3 0 1 0 cosh 0 sinh , sinh 0 cosh v t v n v b j j j j é ù é ù é ù ê ú ê_{= -} ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê- ú ê ú ë û ë û ë û (3.8)

ii) w timelike ise,

1 2 3 0 1 0 sinh 0 cosh cosh 0 sinh v t v n v b j j j j é ù é ù é ù ê ú ê₌ _- ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê- ú ê ú ë û ë û ë û (3.9) bağıntıları vardır. İspat: : (2.2) denkleminden 1 k b¢ = l olur. v1 b b ¢ = ¢ olduğundan 1 1 1 k n v n k l l = _{= m}

bulunur. Pozitif yönlendirme seçilerse

1

v = n _(3.10)

(40)

2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 k k w k k b b l l ¢Ù ¢¢ = -= bulunur. v3 b b b b ¢Ù ¢¢ = ¢Ù ¢¢ olduğundan 2 3 1 k t v w k b - + = (3.11)

olur. Bu vektör w vektörünün spacelike veya timelike olmasına göre değişir. i) w spacelike vektör ise (2.13) bağıntısından,

3 sinh cosh

v = - jt+ jb _(3.12)

olur. v₂ = Ù olduğundan v₃ v₁

2 cosh sinh

v = - jt+ jb (3.13)

bulunur. (3.10) , (3.12) ve (3.13) denklemleri matris formunda ifade edilirse istenen elde edilir.

ii) w timelike vektör ise (2.15) bağıntısından,

3 cosh sinh v = - jt+ jb (3.14) olur. v₂ = -

(

v₃Ùv₁

)

olduğundan 2 sinh cosh v = jt- jb (3.15)

bulunur. (3.10) , (3.14) ve (3.15) denklemleri matris formunda ifade edilirse istenen olur.

(41)

Teorem 3.2.4: 3

I IR IL

involütü, a eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

}

w ve b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, Darboux vektörü _w olsun. w ile w arasında,

i) _{w spacelike ise;}

(

)

1 1 w n w c s k j¢ = - - , - (3.16)

ii) _{w timelike ise;}

(

)

1 1 w n w c s k j¢ = - + - (3.17)

bağıntıları vardır (Bilici, 2009).

Teorem 3.2.5: 3

I IR IL

b : Ì ® spacelike eğrisi, a: ÌI IR®IL3_{timelike eğrisinin bir}

involütü ve a eğrisinin a( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

}

yönündeki birim vektör c , b eğrisinin b( )s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

v v v₁, , ₂ ₃

}

, Darboux vektörü yönündeki birim vektör _{c olsun. c ile c arasında,}

i) _{w spacelike ise;} 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 k k c n c k k k k j j j -¢ = - - , ¢ + - ¢ + - (3.18)

ii) _{w timelike ise;}

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 k k c n c k k k k j j j -¢ = - + ¢ + - ¢ + - (3.19)

(42)

4. BULGULAR

4.1. ID₁3 Dual Lorentz Uzayında Spacelike – Timelike Dual İnvolüt – Evolüt Eğriler

3 1

I ID

a%: ® timelike birim dual bir eğri ve 3 1

I ID

b%: ® eğrisi de a% nın bir dual involütü olsun. Bu durumda b% dual eğrisi spacelike binormalli dual spacelike bir eğri veya timelike binormalli dual spacelike bir eğri olur. Bu durumdaki dual involüt – evolüt eğrilere dual spacelike – timelike involüt – evolüt eğriler adı verilir. b% dual eğrisi a% nın dual involütü ise,

( )

s

( ) ( ) ( )

s s T s IR

b% =a_% +l% , lÎ , (4.1)

a% dual eğrisi b% nın involütü ise,

( )

s

( ) ( ) ( )

s s N s

( ) ( )

s B s

b% =a_% +l% +m_% , l l el m m em%= + *, = +% *ÎID .

Bu tanıma göre a% eğrisinin a%

( )

{

T N B ve , ,

}

b% eğrisinin b%

( )

{

V V V₁, , ₂ ₃

}

alınırsa,

, 1 , 1 , 1 T T N N B B = -= + = + ve 1 1 2 2 3 3 , 1 , 1 , 1 V V V V V V = + = = m m (4.2) olur. Teorem 4.1.1: 3 1 I ID

b%: ® dual spacelike eğrisi, 3 1

I ID

a%: ® _{dual timelike eğrisinin}

bir dual involütü olsun. a% dual eğrisinin a%( )s dual noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

T N B ve , ,

}

b% dual eğrisinin b%( )s dual noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

V V V ₁, ₂, ₃

}

olmak üzere, a%( )s ve b%( )s noktaları arasındaki dual uzaklık

( ) ( )

(

,

)

1 2, 1 2 ,

d b% s a% s = c - -s ec c c, =sbt " Îs I (4.3) dir.

(43)

İspat: b%

( )

s =a%

( ) ( ) ( )

s +l% s T s denkleminin s ye göre türevi alınırsa * * d ds d d dT T ds ds ds ds ds b%_× ₌ a_% ₊ l% ₊_l _, %

(

)

* 1 1 ds V T N ds l¢ lk × = + % + %

olur. Bu ifadenin her iki taraf T ile iç çarpılır ve gerekli işlemler yapılırsa,

1 l%¢ = -bulunur. l l el%¢ = ¢+ *¢ olduğundan * 1 ve 0 l¢ = - l¢ = olur. Bu durumda * 1 2 1 2 =c s ve c , ,c c =sbt ve s I l - l = " Î

dir. Buradan l% dual sayısı

(

1

)

2

= c s c

l% - +e (4.4)

şeklinde elde edilir. Diğer taraftan iki nokta arasındaki uzaklık bağıntısından, a%( )s ve

( )s

b% noktaları arasındaki dual uzaklık,

( ) ( )

(

)

( )

, d s s s s T s a b b a l = -= % % % % %

(

)(

)

(

)

* * * * * * , t t t t t t t t t t l el l e l l l l l l e l e = + = + + + + = + 2 * * , , t t t t l ll l e l + = +

(44)

* ll l e l = * 1 2 c s c l el e = = -m m bulunur. Teorem 4.1.2: 3 1 I ID

b%: ® dual spacelike eğrisi, a%: ®I ID₁3_{dual timelike eğrisinin}

bir dual involütü olsun. a% dual eğrisinin a%( )s dual noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

T N B , dual eğrilikleri , ,

}

k ve t , b% dual eğrisinin b%( )s dual noktasındaki Frenet 3-ayaklısı

{

V V V ve dual eğriliği ₁, ₂, ₃

}

P_ise,

(

2 2

)

2 2 2 P t k l k -= m _% (4.5) dir.

İspat: (4.1) ifadesinin s ye göre türevi alınırsa, * * * 1 d ds d d dT T ds ds ds ds ds ds V N ds b a l _l lk × = + + , = % _% % % %

olur. Norm tanımından * ds

ds = % ve lk 1

V = N (4.6)

bulunur. Bu ifadenin türevi alınırsa

* 1 * dV ds dN ds ×ds = ds ve (2.26) dan

(45)

(

)

2 1 PV kT tB lk = -%

olur. Her iki taraf kendisiyle iç çarpılıp gerekli işlemler yapılırsa;

(

2 2

)

2 2 2 P t k l k -= m _%

elde edilir. Bu ifade reel ve dual bileşenlere ayrılırsa,

(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)(

)

2 * 2 * 2 2 2 1 1 1 2 * 2 * 2 * 1 1 1 2 2 * * 2 1 2 2 1 1 2 2 2 * * 2 1 1 1 1 1 2 2 * * 2 2 2 * * 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k p pp k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k e e e l ell e e l e l ll l l ll e l l + - -+ = + + é _- ₊ _- ù ë û = + + - - - + -= m m m m

(

)

(

)

(

)

4 1 2 2 * * * 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2 2 k k k k k k k k k k k k k l e l l l é ù - - -ê ú = -ê ú ë û m m

ve l=

(

c₁-s

)

, l* = eşitlikleri de dikkate alınırsa c₂

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 2 2 ₂ 1 1 * * 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 * 2 ₃ 3 ₂ 1 1 1 1 k k p c s k k k k k k c k k pp c s k c s k ì -ï ₌ ï -ïï í ï _é _ù - -ï ₌ _ê _- _ú ï _ê _- _- _ú ï ë û î m m (4.7) bulunur.